Das Noethertheorem in der Quantenmechanik und die SO(4)

Das Noethertheorem in der
Quantenmechanik und die
SO(4)-Symmetrie des Wasserstoffatoms
Matthias Jacobi und Hendrik Spahr
13.12.2006
1
Inhaltsverzeichnis
1 Das
1.1
1.2
1.3
Noethertheorem in der Quantenmechanik
Ein kurzer Rückblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Noether-Theorem quantenmechanisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Die
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
SO(4)-Symmetrie des Wasserstoffatoms
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das klassische Keplerproblem . . . . . . . . .
Der quantenmechanische Runge-Lenz-Vektor .
Die Gruppe SO(4) . . . . . . . . . . . . . . .
Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms . . .
Abschließende Zusammenfassung . . . . . . .
2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
7
7
7
7
10
12
13
14
1 Das Noethertheorem in der Quantenmechanik
1.1 Ein kurzer Rückblick
Bevor wir das Noether-Theorem quantenmechanisch betrachten wollen, ein kurzer Rückblick in die Theoretische Physik I:
Dort haben wir Transformationen, die die Lagrangefunktion bis auf eine Umeichung
invariant lassen, für die also
d
L(q, q̇, t) → L(q 0 , q˙0 , t) + F (q˙0 , t, α)
dt
(1)
gilt, Symmetrietransformationen genannt, weil die Koordinaten qi und q˙i dieselben Bewegungsgleichungen haben. Das Noether-Theorem besagt nun, dass zu jeder Symemmtrietransformation eine Erhaltungsgröße gehört. Wenn man die Symmetrietransformation
kennt, so berechnet sich die Erhaltungsgröße mit
J=
3N
−k
X
i=1
∂F (q 0 , t, α) ∂L ∂qi (q 0 , t, α) ·
α=0 −
∂ q˙i
∂α
∂α
α=0
(2)
(siehe Kuypers, Klassische Mechanik)
1.2 Noether-Theorem quantenmechanisch
In der Quantenmechanik besagt das Noether-Theorem: Für jede kontinuierliche Symmetrie (kontinuierlich verknüpft mit der Identität) existiert eine Erhaltungsgröße, d.h.
eine erhaltene Observable. Dies wollen wir uns nun verdeutlichen. Dazu wiederholen wir
zunächst einige Kernaussagen der vorherigen Vorträge:
1. Wigner-Theorem: Für jede Gruppe G mit den Elementen g(~a) existiert eine unitäre
Darstellung U (~a).
2. Bei kontinuierlichen Gruppen existiert zu g(~a) und U (~a) ein Satz von Matrizen
(Generatoren):
g(~a) = g(0) +
X
k
∂g(~a)
∂a
| {zk }
(3)
Generator g̃k
Dieser Satz von Matrizen (Generatoren) kann als Basis einer Darstellung der Lie
Algebra der Gruppe G dienen.
3. Gruppenelemente können in der Umgebung der Identität in Exponentialform geschrieben werden:
!
r
X
g(~a) = exp
ak g̃k
(4)
k=1
3
bzw. die unitäre Darstellung:
U (~a) = exp
r
X
!
≡ exp
ak Ũk
k=1
r
X
!
iak X̃k
(5)
k=1
Durch dieses Vorgehen wurden aus unseren Generatoren hermitesche Operatoren,
mit X̃k = −iŨk .
Beweis:
aus U unitär (U † = U −1 ) folgt:
†
1 = U † U = e0 = e−i~aX · ei~aX = ei~a(X−X
†)
⇒ X = X†
(6)
(7)
Also ist X hermitesch.
4. Durch dieses Vorgehen wurden die ai kanonische Parameter. Durch (a1 , a2 , ..., ar ) =
~a = |~a| ·~n~a = a ·~n~a erhalten wir eine Abel’sche Untergruppe mit einem Parameter a
und festem ~n~a . Das heißt also, dass jede Richtung ~ni eine eigene Untergruppe bildet.
n~a = (0, 0, ..., 1, 0, 0, ..., 0) = ~ni
z.B.
5. Als letztes noch, der Hamilton-Operator H ist invariant unter den Transformationen der Symmetriegruppe.
Beweis:
Betrachten wir die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
d
dt
|Ψ(t)i =
1
i~ H
|Ψ(t)i
die unitäre Transformation verändert unsere Wellenfunktion
U |Ψ(t)i = |Ψ0(t)i
nun gilt also
d
dt (U
|Ψ(t)i − |Ψ0(t)i) = 0
der Zeitableitungsoperator vertauscht mit unserer zeitunabhängigen Transformation
1
i~ (U H
|Ψ(t)i − H |Ψ0(t)i) = 0
und somit
1
i~ (U H
|Ψ(t)i − HU |Ψ(t)i) = 0
⇒ U H − HU = [U, H] = 0
4
Nach diesem Rückblick, wollen wir nun das Noether-Theorem herleiten. Betrachten wir
dazu (in Bezug auf (i)) eine unitäre Dartellung U (~a) , mit den Generatoren Ũk , wobei k
∈ (0, 1, ..., r). Dann folgt die lokale Darstellung:
U (~a) = exp (i
P
ak X̃k ) , wobei X̃k = −iŨk
Wählen wir nun speziell eine Richtung im Raum der kanonischen Parameter
nk = (0, 0, ..., 1, 0, ...., 0) , dann erhalten wir eine Abelsche Untergruppe der Gruppe
aller unitären Darstellung der Gruppe G (siehe (iv)):
U (a) = exp (iaX̃k )
Unter dieser unitären Transformation ist der Hamilton-Operator invariant (siehe v):
H 0 = U (a)HU −1 (a) = HU (a)U −1 (a) = H
Wenn wir nun den Parameter a gegen null gehen lassen, können wir eine TaylorEntwicklung um die Identität durchführen. Da wir a gegen null gehen lassen, brechen
wir nach der ersten Ordnung ab und erhalten:
U (a) = U (0) + iX̃k exp (0)(a − 0) bzw.
U −1 (a) = U −1 (0) − iX̃k exp (0)(a − 0)
⇒ (1 + iaX̃k )H(1 − iaX̃k ) = H − ia[H, X̃k ] = H (Terme die quadratisch in X̃k sind,
wurden vernachlässigt)
=⇒ [H, X̃k ] = 0
Dies bedeutet, dass der hermitesche Operator X̃k eine Konstante der Bewegung ist.
Satz (Noether): Ist U eine Symmetrietransformation, X̃k eine Observable, H der zeitunabhängige Hamilton-Operator, dann ist die X̃k zugeordnete physikalische Größe eine
Erhaltungsgröße. D.h.
(a) hAi = const. (Erwartungswert erhalten)
(b) Ist das System einmal in einem Eigenzustand von X̃k , bleibt es ohne äußere Einwírkung in diesem.
(c) Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Eigentwert von X̃k in einem beliebigen
Zustand |Ψ(t)i zu messen, ist zeitunabhängig.
Beweis:
zu (a): Das System befinde sich in dem beliebigen Zustand |Ψ(t)i. Es gilt: hAi =
5
E
Ψ(t) X̃k Ψ(t)
d
E
∂
d
∂
1 D
d
hAi = Ψ(t) X̃k Ψ(t) +
Ψ(t) X̃k Ψ(t) + Ψ(t) X̃k Ψ(t) =
A +
[X̃k , H] = 0
dt
∂t
dt
dt
∂t
ih
D
zu b): X̃k |Ψ(t)i = xn |Ψ(t)i (xn ist Eigenwert, |Ψ(t)i Eigenvektor zum Zeitpunkt
t = t0 )
Die Zeitentwicklung wird mit Hilfe des Zeitentwicklungsoperators ausgedrückt:
|Ψ(t)i = e−i(t−to )H/~) |Ψ(t0 )i
⇒ X̃k |Ψ(t)i = X̃k e−i(t−to )H/~) |Ψ(t0 )i = e−i(t−to )H/~) X̃k |Ψ(t0 )i = xn e−i(t−to )H/~) |Ψ(t0 )i =
xn |Ψ(t)i
|Ψ(t)i ist also Eigenvektor zum gleichen Eigenwert.
zu c): Der Beweis wird für diskrete Basen geführt, kann aber leicht verallgemeinert werden. Aus [X̃k ,H]=0 folgt, dass eine Orthonormalbasis aus Vektoren existiert, die sowohl
Eigenvektor von X̃k als auch von H sind. Sie werden mit Entartungsindex j wie folgt
definiert:
X̃k |n, k, ji = xn |n, k, ji , H |n, k, ji = Ek |n, k, ji , an , Ek ∈ R
Es gilt also für einen beliebigen Zustand: |Ψ(t)i =
P
(8)
cnkj (t) |n, k, ji , cnkj ∈ C.
n,k,j
Sei |Ψ(t)i normiert, also hΨ(t) |Ψ(t)i (Die Norm ist allgemein eine Erhaltungsgröße),
so ist die Wahrscheinlichkeit bei der Messung von X̃k das Ergebnis xn zu erhalten,
gegeben durch (Argument t aufgrund besserer Übersichtlichkeit weggelassen): P n =
P
hΨ |n, k, ji hn, k, j |Ψi .
k,j
d
1 X
Pn =
(hΨ |n, k, ji hn, k, j |H| Ψi) − hΨ |H| n, k, ji hn, k, j |Ψi)
dt
i~
(9)
kj
1 X
=
[hΨ |n, k, ji hn, k, j |H| Ψi − (hΨ |n, k, ji hn, k, j |H| Ψi)∗ ]
i~
(10)
kj
=
2X
=m(hΨ |n, k, ji hn, k, j |H| Ψi)
~
(11)
k,j
H |Ψi =
P
n,k,j
cnkj Ek |n, k, ji, hΨ |n, k, ji = c∗njk
P
P
P
hΨ |n, k, ji hn, k, j |H| Ψi = c∗njk · Ek · cnjk = Ek · |cnjk |2 ∈ R
⇒
k,j
k,j
k,j
d
Pn = 0
Der Imaginärteil aus der obigen Gleichung verschwindet und ∀ n gilt dt
6
1.3 Resumé
Die Generatoren einer Symmetriegruppe sind erhaltene Observablen.
2 Die SO(4)-Symmetrie des Wasserstoffatoms
2.1 Einleitung
Uns ist allen aus der Quantenmechanik-Vorlesung bekannt, dass die Rotationssymmetrie
des Keplerpotentials im Wasserstoffatom eine Entartung der Energie bezüglich der Richtung des Drehimpulses verursachen muss, das heißt etwa bezüglich der Eigenwerte einer
~ z . Wir werden im folgenden
bestimmten Komponente, zum Beispiel der z-Komponente L
sehen, dass über die aus der Rotationssymmetrie folgenden Entartungen hinaus auch
noch Entartungen anderen Ursprungs auftreten können. Man muss mit solchen Entartungen rechnen, wenn die Schrödingergleichung auf verschiedene Weisen gelöst werden
kann, entweder in verschiedenen Koordinatensystemen oder auch in einem einzigen Koordinatensystem, das unterschiedlich orientiert werden kann. Wir müssten erwarten, dass
auch diese Entartungen mit Symmetrien in einem engen Zusammenhang stehen. Und
das tun sie auch, nur unterscheiden sich diese Symmetrien wesentlich von allen, die wir
bisher betrachtet haben, denn sie sind nicht geometrischer Natur. Man nennt sie dynamische Symmetrien, denn sie sind Folge bestimmter Formen der Schrödingergleichung
oder des klassischen Kraftgesetzes. Wir werden jetzt diese dynamische Symmetrie des
Keplerpotentials zunächst klassisch, dann quantenmechanisch betrachten.
2.2 Das klassische Keplerproblem
Zunächst untersuchen wir das klassische Keplerproblem. In Relativkoordinaten lautet die
Hamiltonfunktion:
2
b = p~ − κ
H
2m r
(12)
Darin ist m die reduzierte Masse des Systems und κ = Ze2 . Aus der theoretischen
Mechanik wissen wir, dass es sich bei den gebundenen Lösungen um Ellipsen handelt.
Der Abstand zwischen Perihel und
√ Aphel sei 2a. Ist b die Länge der kleinen Halbachse, so ist die Exzentrizität e = a2 − b2 /a und der Abstand des Brennpunktes M vom
b zeitunabhängig ist, ist die Gesamtenergie E
geometrischen Zentrum ist f = ae. Weil H
b
eine Konstante der Bewegung. Da H auch rotationssymmetrisch ist, ist auch der Bahn~ = ~r × p~ eine Konstante der Bewegung:
drehimpuls L
~
dL
d~r
d~
p
= ( × p~) + (~r × )
dt
dt
dt
p~
−e2
= ( × p~) + (~r × 3 ~r)
m
r
=0
7
(13)
(14)
(15)
~ ein axialer Vektor, der auf der Bahnebene senkrecht steht. Man findet
Offensichtlich ist L
leicht:
κ
E=−
(16)
2a
und
~ 2 = mκa(1 − e2 )
L
(17)
b lautet dann:
Diese Beziehungen lassen sich am besten in Kugelkoordinaten herleiten, H
2
~2
b = p~r + L − κ
H
2m 2mr2
r
(18)
Im Aphel ~ra und im Perihel ~rp ist der Radialimpuls pr = 0, so dass wir zwei Gleichungen
für die Gesamtenergie erhalten:
~2
L
κ
−
2
2mra ra
~2
L
κ
E=
−
2
2mrp
rp
E=
(19)
(20)
Wenn wir Gleichung 19 durch rp und Gleichung 20 durch ra dividieren und dann voneinander abziehen, fällt der unbekannte Drehimpuls heraus und wir erhalten:
E(ra + rp ) = −κ
(21)
Durch direkte Subtraktion der Gleichungen 19 und 20 ergibt sich außerdem:
~2
L
(ra + rp ) = κra rp
2m
Mit den geometrischen Beziehungen ra = a + f , rp = a − f und f =
wir
(22)
√
ra + rp = 2a
2
a2 − b2 erhalten
(23)
2
ra rp = a − f = b
2
(24)
Die Gleichungen 21 bis 24 ergeben jetzt die gewünschten Beziehungen
κ
2a
ra rp
2
~
L = 2mκ
= mκa(1 − e2 ).
ra + rp
E=−
(25)
(26)
b bedingt, dass die Bahn in einer Ebene um das GravitatiDie Rotationssymmetrie von H
onszentrum liegt. Aber diese Rotationssymmetrie reicht nicht aus, um zu gewährleisten,
dass die Bahn geschlossen ist. Eine kleine Abweichung des Potentialterms von der Form
8
V (r) = − κr verursacht eine langsame Präzession der Ellipsenhauptachse. Dadurch ist
die Bahn dann nicht mehr geschlossen. Das legt die Vermutung nahe, dass es für das
b und L
~ eine weitere Erhaltungsgröße gibt, die die Orientierung
Keplerpotential neben H
der Hauptachse in der Bewegungsebene festlegt. Auch diese ist uns bereits aus der Theoretischen Mechanik bekannt, sie ist der Runge-Lenz-Vektor. Er hat die Form
2
~ := ~v × L
~ − e ~r
M
r
~ eine Konstante der Bewegung ist. Da
Man zeigt leicht, dass M
~:
für die Zeitableitung von M
(27)
~
dL
dt
= 0 ist, erhält man
~
~
dM
d~v
~ + (~v × dL ) − e2 d~er
=(
×L)
dt
dt
dt
dt
|{z}
|{z}
(28)
=0
~
F
=~a= m
−e2
~ − e2 d~er
~r × L
3
mr
dt
d~
r
dr
2
−e
~ − e2 dt r − ~r dt
=
~
r
×
L
mr3
r2
p
~
~
rp
~
2
−e
~ − e2 m r − ~r mr
=
~
r
×
L
mr3
r2
2
−e =
~r(~rp~) − p~(~r~r) + p~r2 − ~r(~rp~)
3
mr
=0
=
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
~ liegt in der Bahnebene, denn
M
~M
~ = L(~
~ v × L)
~ − e2 L~
~ er
L
=0
(34)
(35)
~ in Richtung der Hauptachse zeigt, betrachten wir
Um zu zeigen, dass M
~ = ~r(~v × L)
~ − ~r
~rM
e2~r
r
p~
~ − e2 r
× L)
m
~
(~r × p~)L
=
− e2 r
m
L2
=
− e2 r
m
= ~r(
(36)
(37)
(38)
(39)
~ als θ bezeichnet wird, gilt:
Wenn der Winkel zwischen ~r und M
L2
− e2 r
m
(40)
L2
= r(e2 + M cos θ)
m
(41)
rM cos θ =
⇔
9
Das ist die Ellipsengleichung in Polarkoordinaten. r ist minimal für cos θ = 1 also für
θ = 0. Also ist der Runge-Lenz-Vektor parallel zur Hauptachse der Ellipse. Für die Länge
~ finden wir:
von M
~ 2 = 1 (~
~ 2 − 2 κ (~
~ r + κ2
M
p × L)
p × L)~
2
m
mr
i
1 h ~2
~ 2 − 2 κ (~r × p~)L
~ + κ2
= 2 p~2 L
− (~
pL)
m
mr
κ ~2
1 2~ 2
p L )−2
L + κ2
= 2 (~
m
mr
2 ~ 2 p~2
κ
(
= L
− ) + κ2
m
2m
| {z r}
(42)
(43)
(44)
(45)
=H
2 ~2
= EL
+ κ2
m
(46)
2.3 Der quantenmechanische Runge-Lenz-Vektor
Um das Wasserstoffatom quantenmechanisch zu behandeln, müssen wir statt der klassi~ ist das einfach. Das Vektorprodukt
schen Funtionen Operatoren einführen. Für ~r, p~ und L
~
~
p~ × L ist aber nicht gleich −L × p~, daher ist der Ausdruck, der aus 27 beim einfachen
Ersetzen der Funktionen durch Operatoren entsteht, nicht hermitesch. Wir müssen des~ neu definieren. Um einen hermiteschen Operator zu erhalten, müssen wir die
halb M
~ verwenden:
symmetrisierte Definition von M
c
~ := 1 (~
~ −L
~ × p~) − κ ~r.
M
p×L
2m
r
(47)
~ ] = 0 auszurechnen, um zu zeigen, dass es sich wirklich um eine
Den Kommutator [H, M
Erhaltungsgröße handelt, ist zwar nicht besonders schwer, dafür aber besonders viel.
So viel, dass ich die mehrere Seiten lange Rechnung hier nicht ausführen werde. Was
~M
~ = 0 (von hier an werde ich
sich jedoch recht einfach zeigen lässt, ist die Relation L
aus Gründen der Bequemlichkeit und Übersichtlichkeit die Hüte über den Operatoren
~ ~r = 0 wegen
weglassen): Es ist L
r
X
Li
xi X
xi
=
imn xm pn
r
r
X
X
pn xm xi
xi
=
imn
+ i~
imn δmn
r
r
= 0.
10
(48)
(49)
(50)
~ p × L)
~ − L(
~ L
~ × p~) = 0 wegen:
Weiterhin gilt L(~
X
X
X
ijk Li (pi Lk − Lj pk ) =
Li
ijk (kmn pj xm pn − jmn xm pn pk )
i
ijk
=
X
Li
i
+
X
(δim δjn − δin δjm )pj xm pn
(52)
jmn
X
Li
i
=
(51)
jkmn
X
(δkm δjn − δkn δim )xm pn pk
(53)
kmn
X


X
Li  (pj xi pj − pj xj pi + xj pi pj − xi pj pj ) ,
i
(54)
j
wobei im letzten Schritt die Summe über k in eine Summe über j umbenannt wurde.
Unter Verwendung des Kommutators [xi , pj ] = i~δij folgt:
X
=
Li (2i~pi )
(55)
i
= 2i~
X
imn xm pn pi
(56)
imn
=0
(57)
~ als Generatoren von infinitesimalen
Wir betrachten nun die drei Komponenten von M
~ und L,
~ die aus
Transformationen und bestimmen die Algebra der sechs Generatoren M
fünfzehn Kommutatorrelationen besteht. Drei davon sind die bekannten Relationen für
die Drehimpulsoperatoren:
[Li , Lj ] = i~ijk Lk .
(58)
Weitere neun Relationen ergeben sich für die Kommutatoren aus je einer Komponente
~ und L:
~
von M
[Mi , Lj ] = i~ijk Mk .
(59)
Nach noch mehr Rechenaufwand finden wir auch die letzten drei Kommutatorrelationen:
[Mi , Mj ] = −
2i~
Hijk Lk .
m
(60)
~ eine geschlossene Algebra und
Wie wir schon wissen, bilden die Komponenten von L
~
~
erzeugen die Gruppe SO(3). Die L und M zusammen bilden jedoch keine abgeschlossene
~ und M
~ -Komponenten enthalten,
Algebra, denn obwohl die Relationen 58 und 59 nur L~ und M
~ vererscheint in 60 zusätzlich der Operator H. Da H zeitunabhängig ist, mit L
tauscht und für gebundene Zustände nur negative Eigenwerte besitzt, können wir dieses
Problem durch die Definition von
~
~ 0 = qM
M
−2H
m
11
(61)
beheben. Denn dann lauten 59 und 60:
[Mi 0, Lj ] = i~ijk Mk 0.
(62)
[Mi 0, Mj 0] = i~ijk Lk .
(63)
und
2.4 Die Gruppe SO(4)
~ und M
~ 0 erzeugen bereits eine abgeschlossene Algebra und die
Die sechs Generatoren L
Definition von
1 ~
~0
J~(1) =
L+M
(64)
2
1 ~
~0
L−M
(65)
J~(2) =
2
führt zu den entkoppelten Kommutatorrelationen
h
i
(1)
(1)
(1)
Ji , Jj
= i~ijk Jk
(66)
h
i
(2)
(2)
(2)
Ji , Jj
= i~ijk Jk
(67)
h
i
(1)
(2)
Ji , Jj
= 0.
(68)
Die Operatoren J~(1) und J~(2) erfüllen jeder für sich eine SO(3)-Algebra und sie kommutieren miteinander. Die Algebra 66 bis 68 kann als SO(3) × SO(3) oder SU (2) × SU (2)
charakterisiert werden. Oder sie kann als Algebra der SO(4) betrachtet werden, die von
den Operatoren Lµν = xµ pν − xν pµ generiert wird, wobei µ und ν von 0 bis 3 laufen
und xµ und pν die kanonische Kommutatorrelation [xµ , pν ] = i~δµν erfüllen. Das ändert
~ nicht viel:
(abgesehen von den Indices) an L
~ = (L23 , L31 , L12 )
L
(69)
Und bei geeigneter Wahl der fiktiven vierten Komponenten von ~r und p~ erhalten wir:
~ 0 = (L01 , L02 , L03 )
M
(70)
~ 0 und L.
~ Die sechs GeDies liefert genau die gewünschten Kommutatorrelationen von M
~ von
neratoren Lij stellen offensichtlich eine Verallgemeinerung der drei Generatoren L
drei auf vier Dimensionen dar. Man kann zeigen, dass die zugehörige Gruppe die spezielle orthogonale Gruppe oder die Gruppe der eigentlichen Drehungen in vier Dimensionen
ist, das heißt SO(4). Sie enthält alle reellen orthonormalen 4 × 4-Matrizen, deren Determinante +1 ist. Natürlich repräsentiert dies nicht eine geometrische Symmetrie des
Wasserstoffatoms, denn die vierten Komponenten x0 und p0 sind fiktiv und können nicht
mit dynamischen Variablen identifiziert werden. Aus diesem Grund sagt man, die Gruppe SO(4) beschreibe eine dynamische Symmetrie des Wasserstoffatoms. Sie enthält die
~ erzeugt wird, als
geometrische Symmetrie SO(3), die von den Drehimpulsoperatoren L
Untergruppe.
12
2.5 Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms
Ich habe bereits gezeigt, dass genau wie der klassische Runge-Lenz-Vektor auch der quantenmechanische othogonal zum Drehimpuls steht (siehe 34 und 54). Darüberhinaus lässt
sich zeigen, dass
~ 2 = 2H (L
~ 2 + ~2 ) + e4
M
m
(71)
was das quantenmechanische Analogon zu 46 ist. Wegen 66 bis 68 kennen wir bereits die
möglichen Eigenwerte von (J~(1) )2 und (J~(2) )2 . Sie lauten:
(J~(1) )2 Ψj1 = j1 (j1 + 1)~2 Ψj1
(J~(2) )2 Ψj2 = j2 (j2 + 1)~2 Ψj2 ,
(72)
(73)
~ = J~(1) +J~(2)
wobei j1 und j2 ganzzahlige und halbzahlige Werte annehmen können. Aus L
(1)
(2)
~ 0 = J~ − J~ folgt:
und M
~ 0LΨ
~ = (J~(1) − J~(2) )(J~(1) + J~(2) )Ψ
M
~ (1) )2 − (L
~ (2) )2 )Ψ
= ((L
2
2
= (j1 (j1 + 1)~ − j2 (j2 + 1)~ )Ψ,
(74)
(75)
(76)
was nach 54 gleich Null sein muss. Daraus folgt sofort, dass j1 = j2 = j sein muss. Die
einzige Gleichung, die wir bisher noch nicht benutzt haben, ist 71. Wenn wir sie mit
(m/ − 2H) multiplizieren erhalten wir:
4
~2
mM
~ 2 + ~2 ) − me
= −(L
2H
2H
4
me
~ 02 + L
~ 2 + ~2 = −
M
2H
−
(77)
(78)
~ 02 + L
~ 2 = 2((J~(1) )2 + (J~(2) )2 ) = 4j(j + 1)~2 .
Angewendet auf Eigenfunktionen ist M
Daraus folgt dann:
me4
= [4j(j + 1) + 1]~2
2H
me4
−
= (4j 2 + 4j + 1)~2
2E
= (2j + 1)2 ~2
−
(79)
(80)
(81)
Dies stellen wir nach den Eigenwerten von H um und erhalten:
E=−
me4
2(2j + 1)2 ~2
| {z }
(82)
=n
me4 1
=− 2 · 2
2~
n
13
(83)
Das ist genau das bekannte Energiespektrum des Wasserstoffatoms! Dass für j1 und j2
auch halbzahlige Werte zugelassen wurden, führt hier nicht zu Widersprüchen für die phy~ = J~(1) + J~(2) , denn l kann aus dem Intervall j1 +j2 = 2j, ... |j1 − j2 | = 0
sikalische Größe L
genommen werden, worin sich die aufeinanderfolgenden Werte um eins unterscheiden, l
ist also ganzzahlig, wie es sich für einen Bahndrehimpuls gehört und läuft von 0 bis
(1)
2j = (n − 1). Abschließend betrachten wir noch die Entartung der Zustände: J~z und
(2)
J~z können unabhängig voneinander 2j + 1 verschiedene Werte annehmen, wir erhalten
also eine (2j + 1)2 = n2 -fache Entartung.
2.6 Abschließende Zusammenfassung
Wir haben für das Wasserstoffatom die Energiewerte
me4 1
·
2~2 n2
n = 1, 2, 3, ...
E=−
(84)
(85)
gefunden. Diese hängen nur von der Quantenzahl n ab. Sie sind unabhängig von der
magnetischen Quantenzahl m (der Richtung des Drehimpulses), was wegen der Rotionssymmetrie nicht anders zu erwarten war. Die zunächst überraschende l-Entartung haben
wir erklärt, indem wir durch die Analogie zum klassischen Keplerproblem eine weitere
Erhaltungsgröße, den Runge-Lenz-Vektor
c
~ := 1 (~
~ −L
~ × p~) − κ ~r.
M
p×L
2m
r
(86)
gefunden haben. Dieser führte zu der übergeordneten SO(4)-Symmetrie, welche auch die
Entartung bezüglich l erklärt.
14