Dear Mrs

1
Monte Carlo Studie vektorfeld-induzierter Dunkler Materie in einer
Spiralgalaxie
Stefan von Weber1
Hochschule Furtwangen University
Alexander von Eye
Michigan State University
Dieser Artikel ist die deutsche Fassung des Originalartikels
Monte Carlo study of vector field-induced dark matter in a spiral galaxy
erschienen 2011 in
InterStat, August 2011, http://interstat.statjournals.net/ (2011)
http://interstat.statjournals.net/YEAR/2011/articles/1108002.pdf
1
Address correspondence concerning this article to Stefan von Weber, Department of Mechanical and
Environmental Engineering, Hochschule Furtwangen University, 78120 Furtwangen, GERMANY; [email protected]
2
Abstract
Key Words: Monte Carlo, vector field, membrane, dark matter, interaction
In this article we broaden the membrane model by an additional property of the membrane –
the resistance in a homogenous vector field. A membrane that is stretched exactly
perpendicular to the vector field, has no resistance. However, if the membrane is deformed
under the influence of baryonic matter, the flow of the vector field is deflected by the fine
structures of the membrane and a lateral sloped force acts, increasing the resistance of the
membrane.
Computations show that the interaction of the homogenous vector field with the membrane
is an appropriate candidate for the explanation of dark matter. Inside the radius of a spiral
galaxy, the increase of the elastic energy of the grid leads to an amount of dark matter
comparable to the baryonic mass of the galaxy. However, if one considers the space
surrounding the galaxy then this ratio increases to a value of 6 to 1.
The rotation curve becomes flatter under the influence of the dark matter interaction, and the
average speed is increased.
An estimation of the action of this dark matter type inside the solar system shows that the
portion of dark matter of the sun mass is negligibly small.
This applies accordingly to the change of gravitational acceleration.
Zusammenfassung
Key Words: Monte Carlo, vector field, membrane, dark matter, interaction
In diesem Artikel erweitern wir das Membranmodell durch eine zusätzliche Eigenschaft der
Membrane – den Widerstand in einem homogenen Vektorfeld. Eine Membrane, die genau
senkrecht zu einem Vektorfeld aufgespannt ist, hat keinen Widerstand. Ist die Membrane
jedoch unter dem Einfluss baryonischer Materie deformiert, dann wird der Fluss des
Vektorfelds an den Feinstrukturen der Membrane abgelenkt, und es wirkt eine seitliche Kraft,
die den Widerstand der Membrane erhöht.
3
Berechnungen zeigen, dass die Wechselwirkung des homogenen Vektorfeldes mit der
Membrane ein geeigneter Kandidat für die Erklärung der Dunklen Materie ist. Innerhalb des
Radius einer Spiralgalaxie führt das Anwachsen der elastischen Energie des Gitters zu einem
Betrag an Dunkler Materie, der dem der baryonischen Materie vergleichbar ist. Betrachtet
man jedoch auch die Umgebung der Galaxie, dann wächst dieses Verhältnis auf einen Wert
von 6 zu 1 an.
Die Rotationskurve wird unter dem Einfluss der Dunklen-Materie-Wechselwirkung flacher
und die mittlere Geschwindigkeit erhöht sich. Eine Schätzung der Wirkung dieses Typs an
Dunkler Materie zeigt, dass der Anteil an Dunkler Materie an der Sonnenmasse
vernachlässigbar
klein
ist.
Gravitationsbeschleunigung.
Dies
betrifft
demzufolge
auch
die
Änderung
der
4
Einführung
Eine der interessantesten Fragen der Kosmologie betrifft die Natur der Dunklen Materie, die
das Universum durchdringt [8, 25]. Dunkle Materie bezeichnet das Phänomen, dass die
äußeren Sterne von Galaxien mit einer Geschwindigkeit rotieren, die zu hoch ist, als dass sie
aus den Gravitationskräften der sichtbaren Materie erklärt werden könnte. Man postuliert,
dass ungefähr 23,4% der Gesamtmasse des Universums aus Dunkler Materie besteht, aber nur
4,4% aus baryonischer Materie. Der Rest ist Dunkle Energie [40]. Das bedeutet ein Verhältnis
von Dunkler Materie zu normaler Materie von ungefähr 5 zu 1. Die Dichte der Dunklen
Materie wird auf ungefähr =510−28 [Kg/m3] geschätzt.
Im frühen 20-ten Jahrhundert schlossen Kapteyn [46] und Jeans [43], dass nichtleuchtende
Materie existieren muss. Zwicky [69, 70] entdeckte, dass die Galaxien im Coma Cluster sich
zu schnell bewegen. Derselbe Effekt wurde 1936 von Smith im Virgo Cluster gefunden. Im
Jahre 1939 fanden Rubin und Ford [59] die flache Rotationskurve der Galaxie M31. Die
Geschwindigkeitskurve der äußeren Sterne pegelt sich bei ungefähr 200 km/s ein. Beginnend
in den 1930-ern vermaß Oort [56] die Geschwindigkeit der Sterne senkrecht zur galaktischen
Scheibe. Er fand ein Verhältnis von sichtbarer Materie zu Dunkler Materie von ungefähr 4
(dark matter coefficient). Man sollte im Gedächtnis behalten, dass der Begriff Dunkle Materie
für das Unvermögen steht, dieses Phänomen im Kontext bekannter Gravitationstheorien zu
erklären. Eine andere Möglichkeit, die Wirkung der Dunklen Materie zu entdecken, ist die
Lichtbeugung durch Gravitation (gravitational lensing) [20]. Die Lichtbeugung durch
Gravitation kann auch mit dem Membranmodell [30] erklärt werden, aber das ist nicht das
Thema dieses Artikels.
Die Astrophysik unterteilt die Dunkle Materie in Kalte und Heiße Dunkle Materie (Cold and
Hot Dark Matter). Kalte Dunkle Materie (CDM) denkt man sich zusammengesetzt aus
MACHOs (Massive Compact Halo Objects), d.h. aus kleinen Sternen, Staub oder Schwarzen
Löchern, oder aus WIMPS (Weakly Interacting Massive Particles) [32, 39, 65]. Andere
Autoren argumentieren für leichte Teilchen (1-100 MeV) [14, 44, 64]. Kandidaten für die
Heiße Dunkle Materie (HDM) sind schwere Neutrinos, SUSY (Super Symmetry) Teilchen
wie Neutralinos oder Axions.
Die Vorstellung (Paradigma) von der Existenz der Dunklen Materie ist die am meisten
akzeptierte Erklärung für die anormalen Effekte in beobachteten Rotationskurven. Es wurden
jedoch auch andere Theorien entwickelt. Eine Gruppe von Theorien nimmt an, dass die
beobachteten Unstimmigkeiten auf einem unvollständigen Verständnis der Gravitation
5
beruhen, d.h. man müsste die Gesetze der Gravitation modifizieren [51, 52, 61]. Im Jahre
1983 schlug Milgrom vor, Newtons Beziehung zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung,
d.h. f=m∙a, so abzuändern, dass in allen Fällen einer sehr kleinen Beschleunigung a die
resultierende Kraft f aus dem Produkt m∙a größer wird, als in Newtons Gesetz [51]. Im Jahre
1979 schlug Moffat [54, 55] einen Metriktensor mit antisymmetrischem Anteil vor. Der
antisymmetrische Anteil kann eine neue Kraft darstellen zusätzlich zur Gravitationskraft. Im
Jahr 1995 fand Moffat, dass das Feld, das durch den antisymmetrischen Anteil des Tensors
definiert wird, nicht masselos sein muss. Im Jahre 2005 ersetzte er den antisymmetrischen
Anteil des Tensors durch ein Vektorfeld. Der hauptsächliche Effekt in dieser Theorie ist, dass
die bezüglich der Gravitation aktive Masse eines Testteilchens sich mit dem Abstand ändert.
Auf diese Weise kann die Skalar-Tensor-Vektor Theorie der Gravitation (STVG) die flachen
Rotationskurven der Galaxien erklären [16, 55].
Im Jahre 2004 modifizierte Bekenstein Milgroms Theorie derart, dass die Erhaltung des
Impulses gesichert ist. Er fügte ein zeitähnliches Vektorfeld und zwei Skalare zu Einsteins
Allgemeiner Relativitätstheorie hinzu. Mit diesen zwei Termen kann die Gravitationskraft in
Abhängigkeit von der Entfernung zwischen zwei Massen auf andere Weise modelliert
werden, als der von Newton gegebenen, aber ohne einige der Schwierigkeiten, die sich aus
Milgroms MOND-Theorie ergeben [10]. Bekensteins Theorie ist im vorliegenden Kontext
interessant, da die Idee eines zeitähnlichen Vektorfeldes ebenfalls in der vorliegenden
Untersuchung benutzt wird.
Eine andere Gruppe von Theorien betrachtet den Raum selbst und seine Eigenschaften [17,
18, 48]. Anastopoulos [3] z.B. betrachtet gravitierende ideale Flüssigkeiten und ihr Verhalten.
Seine
Gleichungen
beinhalten
die
Effekte
der
Rückwirkung
(backreaction)
von
Inhomogenitäten. Arbey and Mahmoudi [4] postulierten, dass man die Dunkle Materie und
die Dunkle Energie als zwei Effekte einer Komponente, des Dunklen Fluids (dark fluid)
auffassen kann. Wegen der zwei Effekte benutzen die Autoren ein komplexes Skalarfeld um
die Eigenschaften des Dunklen Fluids zu beschreiben. Es gibt auch Wissenschaftler, die sich
nicht sicher sind, dass die Dunkle Materie überhaupt existiert. Fehlende Dunkle Materie,
besonders in elliptischen Galaxien, wird in der Literatur oft diskutiert [22].
In [30] zeigten wir, dass die resultierende Krümmung einer Membrane von der Verteilung
der Materie abhängt, wenn ein homogenes Vektorfeld senkrecht auf die gespannte Membrane
einwirkt und das Vektorfeld nur auf die Materie innerhalb der Membrane wirkt, aber nicht auf
die Membrane selbst. Im einfachsten Fall (dem der sphärischen Symmetrie) wirkt das
Vektorfeld auf eine einzelne Zentralmasse und verursacht einen Gravitationstrichter mit
6
sphärischer Symmetrie. Bemerkenswert ist, dass eine 3D-Membrane, die sich in einem 4DHyperraum (bulk space) krümmt, genau die Krümmung liefert, die Newtons universelles
Gravitationsgesetz erfüllt. Die Krümmung kann durch die Formel w(r) = 1/r beschrieben
werden, wobei r der x-y-z-Abstand von der Zentralmasse ist und w die Auslenkung der
Membrane in der vierten Dimension.
In diesem Artikel erweitern wir das Membranmodell durch eine zusätzliche Eigenschaft der
Membrane - den Widerstand. Widerstand heißt, dass eine geneigte Membrane der Wirkung
einer Kraft unterworfen ist ähnlich der Widerstandskraft eines Testkörpers in einem
Windkanal (the drag). Eine Membrane, die exakt senkrecht zum Vektorfeld gespannt ist, hat
keinen Widerstand. Um dieses Verhalten zu erklären, nehmen wir an, dass die Membrane eine
wabenförmige Struktur habe (Abb. 1). Von der individuellen Zelle, d.h. einer Wabe, wird
angenommen, dass sie oben und unten offen sei. Zusätzlich wird angenommen, dass das
Vektorfeld Eigenschaft einer strömenden Flüssigkeit, eines strömenden Gases oder einer
Strahlung hat, d.h. Geschwindigkeit, Masse und Impuls. Wenn der Fluss des Vektorfelds an
den Feinstrukturen der Membrane abgelenkt wird, wirkt eine seitliche geneigte Kraft. Die
Kräftezerlegung dieser Kraft liefert zwei Komponenten: (1) fR in Richtung des Vektorfelds,
und (2) fM senkrecht zum Vektorfeld (d.h. in der Ebene der ungekrümmten Membrane
liegend).
Vektor Feld
Membrane
Seitliche
Kraft
a)
b)
Abb. 1: Senkrechte (a) und geneigte (b) Membrane
Jetzt kann man unterschiedliche Arten der Wechselwirkung zwischen Vektorfeld und
Membrane annehmen. Jede Art hat Vorteile und birgt Fragen. Zu den Vorteilen zählen z.B.
eine leichte Erklärbarkeit, die Konvergenz der Integration, oder die Übereinstimmung der
Ergebnisse mit den astronomischen Beobachtungen von Galaxien ebenso wie mit den Daten
unseres Sonnensystems. Fragen und Probleme treten auf, wenn obige Vorteile nicht zutreffen.
7
In diesem Artikel untersuchen wir die folgenden zwei Typen an Wechselwirkung:
1. dww’w(x,y,z)w’(x,y,z)
2. dw’w’w’2(x,y,z)
Der erste Wechselwirkungstyp, ww’, ist die multiplikative Wechselwirkung der Raumtiefe w
mit der Neigung w’. Durch die seitliche Kraft, die oben beschrieben wurde, wird die
Membrane komprimiert und ändert ihre Eigenschaften, z.B. ihren Widerstand. Diese
Kompression ist proportional zu w. Aber auch die Neigung w’ der Membrane kann Quelle des
Anwachsens des Widerstands sein. Auf diese Weise haben wir beide Effekte in der
Wechselwirkung vom Typ 1 vereint. Der zweite Wechselwirkungstyp, w’2, basiert auf der
Zerlegung der seitlichen Kraft, die oben beschrieben wurde. Ihre Komponente in Richtung
des Vektorfeldes verhält sich wie w’2.
Der Dunkle-Materie-Koeffizient dww’ [N/m4] liefert die Kraft, die vom Vektorfeld bei der
Wechselwirkung mit einem Kubikmeter Raum der Membrane mit Raumtiefe w und Neigung
w’ ausgeübt wird. Der Dunkle-Materie-Koeffizient dw’w’ [N/m3] liefert die Kraft, die vom
Vektorfeld bei der Wechselwirkung mit einem Kubikmeter Raum der Membrane mit der
quadrierten Neigung w’ ausgeübt wird. Andere Typen an Wechselwirkung wurden nicht
untersucht wegen der Nicht-Konvergenz der Integrale.
Dieser Artikel ist wie folgt aufgebaut: Im Abschnitt 1 werden einige Grundlagen gegeben,
die die Dunkle Materie, die Membrane, das Vektorfeld und Spiralgalaxien betreffen.
Methoden und Instrumente werden in Abschnitt 2 diskutiert. Numerische Resultate sind in
Abschnitt 3 zusammengefasst. Abschnitt 4 enthält eine Diskussion und einige
Schlussfolgerungen.
1.
Grundlagen und stochastisches Modell
1.1.
Eigenschaften der Dunklen Materie
Dunkle Materie interagiert nicht mit gewöhnlicher Materie über elektromagnetische Kräfte
[47]. Eine andere Eigenschaft der Dunklen Materie ist, dass sie sich wie ein perfektes Fluid
verhält ohne inneren Widerstand oder Viskosität [64], d.h., dass die Teilchen der Dunklen
Materie nicht untereinander interagieren.
8
Es gibt jedoch eine gravitationelle Querverbindung zwischen sichtbarer Materie und Dunkler
Materie. Die sonnennahen Werte der Dichte der Dunklen Materie, ihre Geschwindigkeitsverteilung und ihr Abbruchradius (truncation radius) werden zu
>350 km s−1 und
0.3 GeV cm−3,
150 kpc geschätzt [21].
Dunkle Materie spielt eine wichtige Rolle in Modellen der Strukturenbildung und der
Entwicklung von Galaxien. Man findet messbare Einflüsse auf die Anisotropien, die in der
kosmischen Hintergrundstrahlung beobachtet wurden [11, 40, 68]. Die Geschwindigkeitsverteilung der Dunklen Materie ist nicht dieselbe wie die der baryonischen Materie [41].
Simulierte Halos der Dunklen Materie haben steilere Dichteprofile, als die, die aus
Beobachtungen berechnet werden. Das ist ein Problem in kosmologischen Modellen [11].
Dunkle Materie dehnt sich jenseits des sichtbaren Radius der Galaxie aus bis zum 10-fachen
Radius [6, 33].
1.2.
Das Vektorfeld
Das Vektorfeld, das auf die Membrane einwirkt, ist ein zentrales Konzept unseres Modells.
Dieses Konzept wird in unterschiedlichen Formen in einer Reihe von Veröffentlichungen
benutzt, z.B. in [4, 30, 34, 35, 37, 38, 54, 55]. Es wäre verfrüht, eine physikalische
Interpretation dieses Begriffs vorzuschlagen. Man könnte sich ein strömendes Gas oder eine
strömende Flüssigkeit vorstellen, oder eine Art von Strahlung, oder eine beliebige andere
Quelle von Kraft und Wirkung. Wir wissen jedoch zu wenig über die physikalische Natur des
Vektorfeldes, das auf die Membrane wirkt, und vermeiden deshalb eine vorzeitige Festlegung.
Stattdessen stellen wir eine ausgewählte Liste von Eigenschaften vor.
Das Vektorfeld
1. ist homogen, d.h., es hat dieselbe Richtung und Stärke an jedem Punkt der Oberseite
der Membrane
2. ist senkrecht zur ungekrümmten Membrane (in unserem Koordinatensystem in
negativer w-Richtung wirkend)
3. hat keine (oder nahezu keine) Wechselwirkung mit der ungestörten Membrane
4. hat eine starke Wechselwirkung mit jeder Art von Materie (Teilchen, Strahlung) in der
Membrane. Die vom Vektorfeld erzeugte Kraft ist proportional zur Masse der Materie
und in Richtung des Vektorfeldes gerichtet
9
5. hat eine schwache Wechselwirkung mit einer gestörten Membrane. Diese
Wechselwirkung kann von der Dichte der Membrane abhängen oder ihrer Neigung,
d.h. vom Winkel zwischen Vektorfeld und Membrane.
1.3.
Das Membranmodell (membrane paradigm)
Das Membranmodell des Raumes geht zurück auf Thorne, Douglas und Price [66]. Die
Annahmen des Membranmodels, wie es in dieser Studie benutzt wird, sind:
1. Die Membran ist ein 3D-Objekt mit idealer Elastizität
2. Die Membran ist in alle 3 Raumrichtungen gespannt mit derselben Spannung Fo
3. Die ungestörte Membrane ist im betrachteten Bereich nicht gekrümmt
4. Das homogene Vektorfeld erzeugt eine Kraft F = m AVF wenn es mit einer Masse m
innerhalb der Membrane interagiert (AVF ist die Vektorfeld-Beschleunigung)
5. Das homogene Vektorfeld wirkt aus der vierten Dimension. Seine Richtung ist immer
senkrecht zur ungestörten Membrane
6. Die Kraft, die vom Vektorfeld erzeugt wird, ist proportional zur Masse der Materie.
Ihre Richtung ist die des Vektorfeldes
7. Alle Materie ist frei beweglich innerhalb der Membrane
8. Es existiert eine Wechselwirkung zwischen dem Vektorfeld und der deformierten
Membrane. Diese Wechselwirkung heißt Dunkle-Materie-Effekt. Diese Annahme ist
wesentlich für diese Studie und wurde in [30] noch nicht benutzt.
In [30] haben wir gezeigt, dass das Modell eines homogenen Vektorfeldes, das senkrecht auf
eine gespannte Membrane einwirkt, auf bekannte Lösungen führt. In einem einfachen Fall
wirkt das Vektorfeld auf eine einzelne Zentralmasse im Ursprung eines Kartesischen
Koordinatensystems x-y-z und verursacht einen Gravitationstrichter mit sphärischer
Symmetrie. Die Krümmung, die mit diesem Modell gefunden wird, erfüllt Newtons
Gravitationsgesetz, d.h. die Krümmung folgt der Formel w(r) = 1/r, wobei r der Abstand von
der w-Achse ist mit r  x 2  y 2  z 2 , und w(r) die Auslenkung der Membrane in der vierten
Dimension. Denselben Ausdruck erhält man bei einer analytischen Herleitung der
gewöhnlichen Differenzialgleichung der Krümmung in diesem symmetrischen Fall [30]. Gl.
(1) zeigt die DGL.
10
w(r )  
2w(r )
.
r
(1)
Jede Funktion w(r)=C1+C2/r ist eine Lösung der DGL Gl. (1). Differenziation von
w(r)=C1+C2/r ergibt w‘(r)=C2/r², die Neigung der Membrane im Abstand r. Die
Kräftezerlegung der Kraft, die auf eine kleine Masse m innerhalb der geneigten Membrane
im Abstand r von der w-Achse wirkt, liefert die Hangabtriebskraft FDH als
FDH = m AVF sin().
(2)
Hier ist AVF die Vektorfeld-Beschleunigung und  ist der Neigungswinkel der Membrane.
Betrachten wir nur kleine Winkel, dann gilt sin() tan() = w‘. Wir ersetzen sin() durch
C/r² und erhalten
FDH = m AVF w’(r).
(3)
Das ist Newtons Gravitationsgesetz für den Fall zweier Massen, d.h., einer großen zentralen
Masse, die den Gravitationstrichter verursacht, und einer kleinen Masse m. FDH ist hier die
Anziehungskraft. Wir wenden jetzt Gl. (3) auf das Sonnensystem an. RS ist der Sonnenradius,
MS die Sonnenmasse, WRS die Raumtiefe w der deformierten Membrane am Sonnenrand, und
W’RS die Neigung der Membrane am Sonnenrand. Dividieren wir Gl. (3) durch die Masse m,
dann erhalten wir die Gravitationsbeschleunigung gRS am Sonnenrand.
g RS  AVF WRS .
(4)
Gemäß Newtons Gravitationsgesetz ist
g RS   M S / RS2 .
(5)
Wäre der numerische Wert von W’RS bekannt, dann könnte man den Wert der VektorfeldBeschleunigung AVF berechnen. Mit der Annahme, dass die Raumtiefe w gegen Null geht für
r→∞, kann man die Funktion w(r) des Gravitationstrichters, der die Sonne umgibt, durch Gl.
(6) und ihre erste Ableitung durch Gl. (7) ausdrücken.
w(r )  
w(r ) 
WRS RS
.
r
WRS RS
.
r²
(6)
(7)
Wir erhalten mit r=RS
WRS 
WRS
.
RS
(8)
Nun müssen wir einen Wert für WRS finden. Mit diesem Ziel knüpfen wir eine Verbindung zu
Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie [26]. Wir finden eine Schätzung der Raumtiefe WRS
am Sonnenrand, wenn wir Feynmans Exzessradius, rEx=a/3=491[m], formal gleichsetzen der
11
geometrischen Pfadverlängerung dSR vom Sonnenrand zu ihrem Zentrum [31]. Dieser
Exzessradius wurde von Feynman für eine Kugel konstanter Dichte berechnet, aber man kann
(numerisch) zeigen, dass die geometrischen Pfadverlängerungen innerhalb und außerhalb
einer Kugel mit konstanter Dichte gleich sind. Die Raumtiefe w(r) und folglich auch die
geometrische Pfadverlängerung dS außerhalb einer Kugel hängen nur von der Gesamtmasse
der Kugel ab, aber nicht von der inneren Massenverteilung.
w
RS
r
W RS
Vektor
Feld
Membrane
w(r)
Sonne
Abb. 2: Raumtiefe am Sonnenrand
Wir berechnen die äußere geometrische Pfadverlängerung, dS, indem wir das Integral (11)
lösen. Die Streckung dr eines Stückes dr der Membrane ist
dr  dr 1  w2 (r )  dr  dr w2 (r ) / 2 .
(9)
Mit Gl. (7) erhalten wir
dr 
WRS2 RS2 dr
,
2r4
(10)
und
dS  

RS
2
2
 W
WRS2
1 2
RS RS
w (r ) dr  
dr

.
RS
2
2r4
6 RS
(11)
Mit Feynmans [31] Wert rEX = dS = 491 [m] und RS=6,958108 [m] erhalten wir den Wert
WRS= 1,432106 [m] oder 1432 [km] für die Raumtiefe am Sonnenrand in unserem
Membranmodell. Mit Gl. (4) ist die Vektorfeld-Beschleunigung dann
AVF 
g RS g RS RS

.
WRS
WRS
(12)
Mit der Beschleunigung gRS = 280,1 [m/s2] auf Grund der Gravitation am Sonnenrand und mit
den oben genannten Werten von RS und WRS erhalten wir den Betrag von AVF = 1,361105
[m/s2] für die Vektorfeld-Beschleunigung. Dieser Wert ist universell gültig.
12
Die Membrane hält die Sonne. Die Wirkung des Vektorfeldes wird durch die Spannung Fo
der Membrane kompensiert (siehe Abb. 1). Daraus folgt, dass die Kraft F = MS AVF durch die
vertikal (in w-Richtung) gerichteten Komponenten der Spannung Fo, die an der Oberfläche
4πRS2 der Sonne ziehen, kompensiert werden muss. Die vertikale Komponente von Fo ist
Fow= Fo sin(α). Die Neigung der Membrane ist w’=tan(α). Für kleine Winkel α erhalten wir
am Sonnenrand die Gleichung
M S AVF  4 RS2 Fo WRS ,
(13)
und, zusammen mit Gl. (8), die Spannung Fo der Membrane
Fo 
M S AVF
.
4 RS WRS
(14)
Der numerische Wert der Spannung ist Fo = 2,1641019 [N/m2]. Obgleich die Membrane in
der Umgebung eines Sterns gestört ist, ist sie jedoch immer noch nahezu flach, wenn man die
winzige Neigung am Sonnenrand betrachtet. Auf diese Weise können wir den obigen Wert
der Spannung Fo als eine gute Schätzung der Spannung der ungestörten Membrane in
unserem Modell betrachten.
1.4.
Das stochastische Modell der Galaxie
Der Begriff stochastisches Modell bedeutet in diesem Artikel, dass die Positionen der
Massenpunkte mit Methoden gefunden werden, die in Monte-Carlo Sudien benutzt werden
[28]. Insbesondere die flockige Struktur der galaktischen Scheibe erfordert den Gebrauch von
Zufallszahlen mit unterschiedlichen Verteilungen. Die Scheibe unseres Milchstraßensystems
besteht aus Sternen, Gas und Staub und hat einen Durchmesser von ungefähr 100.000
Lichtjahren (ly) oder 30 kpc. (Ein parsec (pc) hat 30,8561015 [m] oder 3,261 Lichtjahre.) Die
Scheibe hat eine Dicke von 3000 bis 6000 Lichtjahren [36, 57, 62]. Die dicke Scheibe
erstreckt sich nahe der galaktischen Ebene und hat eine maximale Ausdehnung von 2500
Lichtjahren. Man nimmt an, dass die Galaxis die Zahl von 100 Milliarden bis 300 Milliarden
Sternen enthält. Die exakte Zahl hängt vom unbekannten Anteil niedrigmassiger Sterne ab,
die nicht sichtbar sind. Die Scheibe hat keinen scharfen Rand, sondern zeigt vielmehr eine
Abnahme der Sterndichte pro Raumeinheit. Diese Abnahme ist sehr stark für einen Radius
größer 40.000 Lichtjahre. Die Gasscheibe ist viel dicker als die Sternscheibe (ungefähr 12.000
Lichtjahre).
13
Die zentrale Ausbauchung (bulge, kernel) hat eine Dicke von 16.000 Lichtjahren (5 kpc).
Man nimmt an, dass sich dort ein supermassives Schwarzes Loch befindet mit einer Masse
von ungefähr 4300 Millionen Sonnenmassen. Der Rest der zentralen Ausbauchung (bulge) ist
balkenförmig mit einer Balkenlänge von ungefähr 27.000 Lichtjahren und innerhalb der
galaktischen Ebene gelegen.
Beobachtungen von Spiralgalaxien und ihrer Rotationskurven zeigen ein übereinstimmendes
Dichteprofil, das durch die Summe aus einer Sternscheibe und einem kugelförmigen Halo aus
Dunkler Materie beschrieben werden kann, mit einem flachen Kern des Radius r0 und Dichte
ρ0 = 4,5 × 10−2(r0/kpc)−2/3 MSpc−3, wobei MS die Sonnenmasse bezeichnet (2 × 1030 kg). Die
interstellare Masse wird auf 600 Milliarden bis zu einigen Tausend Milliarden Sonnenmassen
geschätzt [42, 53, 60].
Der kugelförmige galaktische Halo erstreckt sich jenseits der Scheibe bis zu einem Radius
von ungefähr 180.000 Lichtjahren, aber wir finden 90% der Sterne innerhalb eines Radius von
100,000 Lichtjahren. Irreguläre Zwerggalaxien (z.B. die Magellanschen Wolken) und
Kugelsternhaufen sind die am besten sichtbaren Objekte des Halos. Der Halo enthält nahezu
keinen Staub, aber große Mengen an Dunkler Materie. Die Scheibe enthält Gas und Staub, der
Halo nicht.
Unsere eigene Galaxie, das Milchstraßensystem, wird als zweiarmige Spiralgalaxie
betrachtet [45], ähnlich der Galaxie NGC 1365. Einige weitere Arme sind von minderer
Ausdehnung. Der Raum zwischen den Armen ist nicht leer, sondern hat eine geringere
Leuchtstärke. Die Masse des inneren Teils wird auf 3,5× 1041 kg geschätzt. Die Gesamtmasse
wird auf einen Wert zwischen 1,5× 1042 und 3× 1042 kg geschätzt [7, 12, 34]. Diese Schätzung
enthält die Dunkle Materie. Die Masse innerhalb eines Radius von 80 kpc ist 9×1011 MS mit
einem Fehler von 3×1011 MS.
Die zwei Spiralarme können durch logarithmische Spiralen beschrieben werden. Der
Anstellwinkel (pitch) beträgt ungefähr 12 Grad. Der äußere Ring (oder Monoceros Ring)
enthält Sterne und Staub. Man nimmt an, dass diese Materie anderen Galaxien entrissen
wurde [58]. Der Ring hat eine Masse zwischen 300 und 900 Milliarden Sonnenmassen und
hat eine Länge von 200.000 Lichtjahren. Die orbitale Geschwindigkeit der meisten Sterne
hängt nicht von ihrer Entfernung vom Zentrum der Galaxie ab. Innerhalb eines weiten
Radiusbereichs liegt die Geschwindigkeit der Sterne zwischen 210 und 240 [km/s]. Die
orbitale Geschwindigkeit der Sonne um das Zentrum unserer Galaxie beträgt ungefähr
220 km/s.
14
Das Model einer Spiralgalaxie, das wir in dieser Untersuchung benutzt haben, wurde von
den Modellen aus [2, 62] inspiriert. Das Modell enthält drei unterschiedlich geformte Massen:
1. den kugelförmigen Kern (oder zentrale Ausbauchung, bulge) im Zentrum der Galaxie,
2. den mehr zylindrisch geformten Balken, dessen lange Achse innerhalb der
Scheibenebene liegt, und der sein Massenzentrum im Zentrum der Galaxie hat, und
3. eine flache Scheibe.
Unser Modell beschreibt nur die baryonische Materie, deren Gesamtmasse mit MG=1011 MS
[7, 34] angenommen wird. Die baryonische Gesamtmasse MG der Galaxie ist die Summe aus
den Massen des Kerns, des Balkens und der Scheibe. d.h. MG=MK+MB+MD. Wir legten die
Massenverhältnisse mit MK=0,12 MG, MB=0,12 MG, und entsprechend dann MD=0,76 MG
fest.
Der Wert der Masse des Galaxiekerns, MK=0.12 MG, wurde aus der Balkenmasse, deren
Wert zwischen 1010 MS und 1,7× 1010 MS liegend angenommen wird, abgeleitet [2, 63].
Duvals Verhältnis der Masse des Balkens zur Masse der zentralen Scheibe (Kern oder
zentraler Teil der zentralen Ausbauchung) variiert bei den Spiralgalaxien von 0,41 bis 0,94
mit einem Mittelwert von 0,7 [23]. Indem wir Duvals Verhältnis nutzen, können wir eine
Schätzung der Masse des Kerns mit MK=1,2× 1010 MS / 0,94 ~ 1,2× 1010 MS angeben.
Die Dichtefunktion des Kerns (bulge) wird durch eine Exponentialfunktion mit sphärischer
Symmetrie modelliert. Die Formel mit ihren Parametern wird in Gl. (15) angegeben.
ρk (r) = ρk0 e -α r.
(15)
Radius r ist hier die Entfernung vom Zentrum. Die spitze Gestalt der Funktion ist hier
sinnvoll und beabsichtigt wegen des angenommenen Schwarzen Lochs in der zentralen
Ausbauchung. Die zwei Parameter der Dichteverteilung sind ρk0 und α. Wir entschieden uns,
den Wert α=5 [1/kpc] zu benutzen, um ein steiles Anwachsen der Rotationskurve nahe dem
Zentrum zu erzeugen. Das Integral der Dichtefunktion ρk(r) ist in Kugelkoordinaten
MK  

r 0
 / 2

  / 2
2

0
k 0 e r r 2 cos  dr d d  8 k 0 /  3  1,2  1010 M S ,
(16)
das für den Parameter ρk0 einen Wert von ρk0 = 5,97× 10 10 [MS/kpc3] liefert. Innerhalb einer
Kugel mit dem Radius R = 2,5 [kpc] findetn wir die Masse
15
M 
R

 / 2

2
r 0   / 2  0
 k 0 e  r r 2 cos  dr d d ,
(17)
oder
 2
 R 2 2R 2  
M  4  k 0  3  e  R 
 2  3  
 
 

(18)
mit M=1,199 ×10 10 [MS].
Die Dichteverteilung des Balkens sollte keine spitze Form aufweisen. Deshalb wird er durch
ein gestrecktes Ellipsoid mit einer dreidimensionalen Gaussverteilung modelliert [27]. Die
vier Parameter der Verteilung sind ρb0, σbx, σby, und σbz. Die multivariate Gaussverteilung für
k Variable ist im zentrierten Fall f(r) = ρb0/((2π)k/2 │∑│1/2) exp( -(1/2) (r’ ∑-1 r) ) mit
Radiusvektor r’=(x, y, z) und Kovarianzmatrix ∑. Die Kovarianzmatrix in unserem Modell ist
eine Diagonalmatrix mit den Elementen σbx2, σby2, σbz2. Die Standardabweichung σbx
beschreibt die Abnahme der Dichte entlang der x-Halbachse des Balkenmodells (die lange
Achse des Balkens liegt in der Scheibenebene). σby beschreibt die Abnahme der Dichte
entlang der y-Halbachse (senkrecht zu x und ebenfalls in der Scheibenebene gelegen), und σbz
beschreibt die Abnahme der Dichte entlang der z-Halbachse (senkrecht zur x- und zur yAchse und damit senkrecht zur Scheibenebene). Die Verhältnisse zwischen den Standardabweichungen σbx, σby, und σbz sind 1,7 : 0,64 : 0,44 [2]. Die Länge der langen Achse des
Balkens ist 3,13×1.7 = 5,3 kpc [2]. Wir setzen diesen Wert gleich 4σbx, d.h., σbx=1,325 kpc.
Aus der Festlegung dieses Wertes folgt σby=0.499 kpc und σbz=0,343 kpc. Das Integral über
das 2σ-Ellipsoid (das Ellipsoid mit den Längen 2σbx, 2σby, und 2σbz der Halbachsen) der
dreidimensionalen Gaußverteilung ist Ф2σ=0,7385. Ausgehend von diesem Wert berechnen
wir
den
Wert
ρb0
der
zentralen
Dichte
als
ρb0=(MB/0,7385)=(1,4× 1010 MS
/0,7385)=1,896× 1010 [MS/kpc3].
Die
Dichteverteilung
der
Scheibe
wird
ebenfalls
durch
eine
dreidimensionale
Gaußverteilung mit den Parametern ρd0, σdxy, und σdz modelliert. Die Standardabweichung
σdxy beschreibt die Abnahme der Dichte entlang eines beliebig gewählten Radius in der
Scheibenebene, σdz beschreibt die Abnahme der Dichte auf der z-Halbachse (senkrecht zur xund y-Achse und somit senkrecht zur Scheibenebene). Die Scheibe des Milchstraßensystems
hat einen Durchmesser von ungefähr 30 kpc [36]. Wir setzen diesen Wert gleich 6σdxy, d.h.,
σdxy=5 kpc. Die Scheibe ist ungefähr 1 kpc dick [36], so dass wir 6σdz=1 kpc setzen, oder
σdz=0,17 kpc. Da wir jedoch die flockige Struktur der Scheibe durch Cluster modellieren,
würden die Cluster die Scheibe etwas aufblähen. Deshalb benutzen wir in diesem Modell der
Scheibe σdz=0,01 kpc kombiniert mit einer Clusterausdehnung in z-Richtung von 0,04 kpc.
16
Das Integral über das 3σ-Ellipsoid (das Ellipsoid mit den Längen 3σdxy, 3σdxy, und 3σdz der
Halbachsen) der dreidimensionalen Gaußverteilung ist Ф3σ=0,9707. Aus diesem Wert erhalten
wir
den
Wert
ρd0
der
zentralen
Dichte
als
ρd0=MD/0,9707
=6,6× 1010 MS
/0,9707=6,8× 1010 [MS/kpc3].
Die Arme der Galaxie werden durch logarithmische Spiralen beschrieben, d.h. r ( )  a0 e k  .
Der Anstellwinkel (pitch) beträgt ungefähr 12 Grad, d.h. k=1/tan(12°)=4,705. Die Dichte der
Spiralarme wurde 3 mal so hoch angesetzt wie die Dichte der Scheibe außerhalb der Arme.
Die Arme haben eine tangentiale Ausdehnung von 22,5°.
In unserem Modell wurde die Zahl von 1.000.000 Punkten zufällig verteilt, d.h. ein Punkt
steht für 100.000 Sonnenmassen.
Abb. 3: X-Y-Projektion des Modells
17
Abb. 4: X-Z-Projektion des Modells
Abb. 5: Schiefe Projektion des Modells
2.
Methoden und Instrumente
In diesem Abschnitt erläutern wir Schritt für Schritt die Berechnung der Krümmung der
Membrane und der Rotationskurve mit und ohne Einfluss der Dunklen Materie. Die Schritte
sind: (1) Aufbau des Gitters; (2) Bestimmung der Randbedingungen und der äußeren Kräfte;
(3) die Berechnung der Krümmung der Membrane unter dem Einfluss der unterschiedlichen
Lasten; (4) die Berechnung der Rotationskurven.
18
2.1.
Aufbau des Gitters und Randbedingungen
Ein Ausschnitt aus einer 3D-Membrane, der in einem 4D-Hyperraum (bulk space)
aufgespannt ist, kann man sich als eine gespannte Kugel aus Gummi vorstellen. Die
Oberfläche der Kugel ist fixiert. Auf diese Weise benötigen wir im 3D-Fall ein räumlich
strukturiertes Gitter mit den vier Koordinaten x, y, z, und w. Die Konstruktion des Gitters
erfolgt identisch zu der in [30].
In dieser Studie stellen die Randbedingungen ein Problem dar [15]. Knoten, die weit weg
vom galaktischen Zentrum sind, werden so betrachtet, als seien sie in der ungestörten
Membrane angesiedelt, d.h. alle w-Koordinaten sind w = 0. Das Problem entsteht dann, wenn
man sich dem Zentrum nähert. Aus Gründen des Speicherplatzbedarfs und der Rechenzeit
verbietet sich ein feines Gitter über eine Kugel mit einem Durchmesser von 200 kpc. Aber
dieser Durchmesser ist erforderlich, um auch die Krümmung der Membrane außerhalb der
Grenzen der Galaxie mit ihrem Durchmesser von ungefähr 35 kpc zu berechnen. Deshalb
beschlossen wir, drei Gitter mit unterschiedlichen Maschenweiten zu benutzen: (1) ein grobes
Gitter mit Maschenweite dx = 3,6 kpc; (2) ein mittelfeines Gitter mit Maschenweite dx = 1,2
kpc; (3) und ein feines Gitter mit Maschenweite dx = 0,4 kpc. Je feiner die Maschenweite,
desto kleiner ist der Durchmesser der Kugel, die von dem Gitter aufgespannt wird. Die wKoordinaten der Randpunkte der größten Kugel (grobes Gitter) wurden w=0 gesetzt. Die
Randpunkte der Kugel mit dem mittelfeinen Gitter haben w-Koordinaten, die durch das grobe
Gitter vorgegeben werden, und die Randpunkte der Kugel mit dem feinen Gitter haben wKoordinaten, die durch das mittelfeine Gitter vorgegeben werden. Auf diese Weise ist ein
wesentlicher Punkt des Computerprogramms die w-Koordinaten der Randpunkte des
nächstfeineren Gitters aus den w-Daten des gröberen Gitters zu übernehmen. Da keine
Steifigkeit der Membrane angenommen wird, werden keine weiteren Randbedingungen
benötigt.
In dieser Studie ist die Größe des Gitters, das zur Modellierung des betrachteten Ausschnitts
der Membrane benutzt wird, durch die Anzahl N an Knoten auf dem Durchmesser gegeben,
der auf der x-Achse liegt. Die x- und die y-Achse liegen in der Ebene der galaktischen
Scheibe. Die z-Achse ist senkrecht dazu angeordnet. Wir benutzten N=72 Knoten für das
grobe und das mittelfeine Gitter, und N=140 für das feine Gitter.
19
2.2.
Erzeugung des Modells der Galaxie
Wir zielten auf eine flockige Struktur des Modells, d.h., dass die Massenpunkte in kleinen
Clustern angeordnet sind. Zuerst erzeugt der Algorithmus zufällig angeordnete Kondensationskerne, getrennt für die zentrale Ausbauchung (bulge), den Balken und die Scheibe. Das
Verhältnis von Kondensationskernen zu Massenpunkten war zu 0,2 gewählt worden. Der
Radius der Cluster war 0,1 kpc. In der zentralen Ausbauchung (bulge) und dem Balken haben
die Cluster dieselbe Ausdehnung in alle drei Richtungen x, y, und z. Im Gegensatz dazu
haben die Cluster der Scheibe in z-Richtung nur 1/5 der Ausdehnung in den anderen
Richtungen, x bzw. y.
Die Dichte der Massenpunkte nimmt vom Zentrum exponentiell nach auswärts ab [13]. Der
Algorithmus generiert ein zufälliges Tupel an Koordinaten in einem Würfel der Kantenlänge
5 kpc. Ein Punkt wird nur als Kondensationskern der zentralen Ausbauchung (bulge)
ausgewählt, wenn er innerhalb des Radius R=2,5 kpc liegt, und wenn eine [0 , 1]-Zufallszahl
den Wert der Dichtefunktion e-αr nicht übersteigt [19, 29].
Nach der Berechnung aller Kondensationskerne der zentralen Ausbauchung (bulge) werden
die Cluster generiert. Einer der Kondensationskerne wird zufällig aus der Liste ausgewählt.
Dann wird eine zufällige Position berechnet in einem Würfel mit der Kantenlänge eines
Clusterdurchmessers mit dem Kondensationskern im Zentrum. Wenn die zufällige Position
innerhalb des Radius eines Clusters liegt, wird die Position als Massenpunkt der zentralen
Ausbauchung (bulge) abgespeichert. Der Algorithmus wird wiederholt bis die Anzahl der
Massenpunkte der zentralen Ausbauchung (bulge) gefunden ist. Der Algorithmaus erlaubt,
dass sich Cluster überschneiden dürfen.
Auf ähnliche Weise werden Balken und Scheibe der Galaxie konstruiert. In beiden Fällen
nimmt die Dichte in Form einer dreidimensionalen Normalverteilung ab. Im Falle des Balkens
wählt der Algorithmus Punkte innerhalb des Radius r  ( x /  bx ) 2  ( y /  by ) 2  ( z /  bz ) 2  2
(im Falle der Scheibe innerhalb des Radius r  ( x /  dx ) 2  ( y /  dy ) 2  ( z /  dz ) 2  3 ) aus,
und in beiden Fällen nur, wenn eine [0 , 1]-Zufallszahl den Wert der Dichtefunktion e-r∙r/2
nicht übersteigt.
Ein besonderes Problem stellt die unterschiedliche Dichte der Spiralarme und die der
Scheibe außerhalb der Arme dar. Ein Arm (unserer Galaxie) wird durch eine logarithmische
Spirale mit einem Anstellwinkel von 12° beschrieben, d.h. der Radius r zu einem gegebenem
Winkel φ ist r ( )  ro e k  mit k=1/tan(12°) = 4,705. Ist der Radius gegeben, dann erhalten
20
wir den Winkel φ durch die Beziehung   ln(r / ro ) (1 / k ) mit ro als halbe Balkenlänge
( ro  2  bx ). Unser Model hat zwei Arme. Das Verhältnis der Dichte in den Armen zur Dichte
im Rest der Scheibe war in unserer Simulation densratio=3. Eine andere Eigenschaft unseres
Modells ist der glatte Übergang der Dichte in der zentralen Ausbauchung (bulge) zu der in
den Armen der Galaxie.
2.3.
Berechnung der Krümmung
Die Knotengleichungen erfordern, dass im Gleichgewichtszustand die Summe aller Kräfte
an einem Knoten null ist. Jeder Fall von Ungleichgewicht zwingt den Knoten dazu, eine
andere Position einzunehmen [9, 30]. Für die praktische Berechnung zerlegt man die
elastischen Kräfte der Fäden (strings) zwischen den Knoten in ihre x-, y-, z-, und wKomponenten, und bestimmt, ob die Summe der Komponenten null sind für jeden Knoten.
Wegen der Flachheit der Krümmung werden Verschiebungen der Knoten in x-, y-, oder zRichtung nicht betrachtet. Im Falle von Ungleichgewicht zerlegt man die resultierende Kraft
in w-Richtung. Diese Zerlegung ist eine direkte Festlegung der Richtung, in die man den
Knoten bewegen muss, um den Gleichgewichtszustand zu finden.
Die Berechnung der Krümmung startet mit einem flachen Gitter. Jeder Faden (string) hat
dieselbe Spannung Fo mit der Dimension einer Kraft. Alle Knoten, die im Galaxiekörper
lokalisiert sind, erfahren zusätzlich zu den Kräften, die ihre Nachbarknoten auf sie ausüben,
eine Kraft MSC∙AVF, in negativer w-Richtung. Die Masse MSC ist die Masse der Sterne
innerhalb der Raumzelle, die diesen Knoten umschließt. AVF ist die VektorfeldBeschleunigung. Eine Raumzelle hat in unserem Gitter (das durch die Dichteste
Kugelpackung gegeben ist) das Volumen
V  (4 / 3)(dx / 2)3 ((3 2 ) /  ) oder V  dx3 / 2 ,
wobei dx die Gitterkonstante ist. Das Programm findet automatisch die Gestalt der Raumzelle
und ihr Volumen durch die einfache Regel, dass jeder zufällig gesetzte Massenpunkt dem ihm
zunächst liegenden Knoten zugeordnet wird. Im Falle der Dunklen Materie erscheint ein
dritter Term in der Knotengleichung: die Wechselwirkung der gestörten Membran mit dem
homogenen Vektorfeld.
In diesem Abschnitt betrachten wir die Wechselwirkung dww’w(x, y, z)w’(x, y, z). Hier
liefert der Dunkle-Materie-Koeffizient dww’ [N/m4] die Kraft, die durch das Vektorfeld
21
ausgeübt wird, das mit einem Kubikmeter Membrane mit Raumtiefe w und Neigung w’
interagiert. Die Berechnung der richtigen Krümmung erfordert die Lösung aller
Knotengleichungen unter Einhaltung der Randbedingungen. Für mehr Einzelheiten siehe [30].
Die Gleichung für den Knoten mit der Nummer n im Gitter ist


F0   w j  wn   Ln AVF  d ww' wn wn   0 .
 j

(19)
Hier ist Fo die Spannung eines Fadens (strings), wn oder wj sind die w-Koordinaten von zwei
benachbarten Knoten, Ln ist die Masse der Sterne in der Raumzelle, AVF die VektorfeldBeschleunigung, dww’ der Koeffizient der speziellen Wechselwirkung, und wnw’n die Art der
Wechselwirkung der Membrane mit dem Vektorfeld. Die Summation geht über alle 12
direkten Nachbarn des Knotens. Das Stop-Kriterium, das in diesem Programm benutzt wird,
basiert auf der Änderung der elastischen Energie, die im gekrümmten Gitter gespeichert ist,
zwischen zwei Iterationsschritten. Wenn die Änderung dE der Energie kleiner als ein
gegebenes ε wird, dann wird die Iteration angehalten. Ein Iterationsschritt des Proramms
umfasst die zweimalige Behandlung aller beweglichen Knoten, zuerst radial auswärts und
dann radial einwärts. Der Algorithmus benutzt deshalb zwei Listen mit den Knotennummern
in den geforderten Reihenfolgen.
2.4.
Berechnung der Rotationskurve
Die Rotationskurve zeigt die Geschwindigkeit der Sterne in der galaktischen Scheibe
aufgetragen über dem Abstand r vom galaktischen Zentrum [7]. Wenn wir annehmen, dass die
Umlaufbahnen der einzelnen Sterne Kreisbahnen sind, dann können wir die Geschwindigkeit
v aus dem Gleichgewicht der Kräfte berechnen: Die Zentrifugalkraft mv2 / r muss gleich der
 
Zentripedalkraft m  AVF  (w  er ) sein. Hier ist m∙AVF die Kraft, die durch das Vektorfeld
 
verursacht wird, und  w  r die negative Richtungsableitung der Funktion w(x, y, z) in r
Richtung. Der Gradientenvektor w der Funktion w(x, y, z) kann mittels der gewichteten
multiplen Regressionsanalyse bestimmt werden [30]. Da die galaktische Scheibe nicht in allen
Richtungen homogen ist, erhalten wir unterschiedliche Geschwindigkeiten für einen Abstand
r, d.h., dass die Geschwindigkeit um einen Mittelwert streut. Für jeden Knoten in der
galaktischen Ebene (das sind alle Knoten mit der Koordinate z=0) wird der Gradientenvektor
22
 

w berechnet, dann das Skalarprodukt  w  er , und aus diesem die Geschwindigkeit v
 
gemäß der Formel v  (w  er ) AVF r .
3.
Ergebnisse
Es wurden 3 Programme in Visual C++ geschrieben. Das erste Programm berechnet die
Zufallsdaten der galaktischen Scheibe, d.h. die Koordinaten der 1.000.000 Massenpunkte. Mit
dieser Massenverteilung wird sowohl die Krümmung w(x, y, z) berechnet als auch die
Rotationskurve v(r). Dann wird in einem zweiten Schritt die Wechselwirkung des Vektorfelds
mit der gestörten Membrane hinzugefügt. Wir erhalten die angepasste Krümmung wDM(x, y, z)
mit einer neuen Rotationskurve vDM(r). Der Index DM bedeutet hier „mit Dunkler Materie“.
Das erste Programm benutzt das grobe Gitter. Das zweite und dritte Programm benutzen die
gespeicherten Koordinaten der Massenpunkte vom ersten Programm, und führen dieselben
Berechnungen aus, wie im Programm 1, benutzen aber das mittelfeine Gitter (Programm 2)
bzw. das feine Gitter (Programm 3). Zusätzlich werden die berechneten Krümmungsdaten von
einem Programm zum nächsten übertragen, um die richtigen Randbedingungen zu finden.
3.1.
Ergebnisse für den Wechselwirkungstyp ww’
Die Wechselwirkung ww’ wurde wegen zwei ihrer Eigenschaften benutzt: (1) Die schwache
Nicht-Konvergenz, und (2) der kleine Einfluss dieser Wechselwirkung in unserem
Sonnensystem. Betrachten wir einen einzelnen Stern, dann ist das Integral der
Differentialgleichung der Krümmung nicht konvergent, wenn man die obere Grenze R der
Integration als unendlich annimmt. Aber die Ordnung, mit der w(r) anwächst, ist nur die der
Funktion ln(r), und die obere Integrationsgrenze ist nicht unendlich, auch nicht in
astronomischen Maßstäben. Wir erhalten auf diese Weise für den Dunkle-MaterieKoeffizienten dww’= 4,7× 10-7 [N/m4] konvergente Lösungen, d.h. die Iteration geht gegen
eine feste Krümmung w(x, y, z). Abb. 6 zeigt die Rotationskurven, die mit dem groben Gitter
mit der Gitterkonstanten dx = 3,6 [kpc] gefunden wurden. Der Radius der Galaxie beträgt
ungefähr 17 kpc. Die linke Seite der Abbildung zeigt den Kurvenverlauf ohne
Berücksichtigung des Dunkle-Materie-Terms, die rechte Seite zeigt den Kurvenverlauf mit
Berücksichtigung des Dunkle-Materie-Terms. Ohne den Dunkle-Materie-Term sinkt die
Kurve für einen Radius r > 12 kpc. Im Falle der Dunklen Materie bleibt die Kurve nahezu
waagrecht, auch für r > 12 kpc. Wegen der großen Maschen des Gitters weicht die Kurve
23
nahe dem Zentrum von den Erwartungen ab. Der Anstieg des Geschwindigkeitsverlaufs sollte
steiler sein. Wegen der groben Maschen des Gitters streuen die Geschwindigkeitswerte hier
fast nur aufgrund der unterschiedlichen Dichten innerhalb und außerhalb der Arme der
Modellgalaxie. Mit der Dunklen Materie hat der Absolutbetrag der Geschwindigkeitskurve
sein Maximum bei einem Radius von ungefähr 12 kpc und einen Wert von ungefähr 135
km/s. Diese Zahl ist zu klein, aber ein Teil der fehlenden Geschwindigkeit ist eine Folge der
Grobheit des Gitters. Diese Tatsache folgt aus den Ergebnissen der feineren Gitter (siehe
unten). Schmidt [62] zeigt dagegen eine Rotationskurve mit einem Maximum von 250 km/s in
einer Entfernung von r~0,1 kpc vom Zentrum, gefolgt von einem Minimum mit v~190 km/s
bei r~3 kpc. Es folgt ein weiteres Maximum von v~220 km/s bei r~7 kpc, dann wieder ein
Minimum von v~190 km/s bei r~10 kpc, und von diesem Radius an einen nahezu flachen
Kurvenverlauf mit v~220 km/s bis zur Grenze der Galaxie bei r~17 kpc.
Abb. 6: Rotationskurven für das Gitter mit N = 72, dx = 3,6 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4],
links ohne dunkle Materie, rechts mit dunkler Materie
Abb. 7 zeigt die Deformation der x-y-Ebene (Koordinate z=0) der 3D-Membrane in negativer
w-Richtung. Die Deformation in w-Richtung wurde in dieser Abbildung um den Faktor 1015
vergrößert dargestellt. In Wirklichkeit ist die Deformation der Membrane nicht größer als ein
Atomdurchmesser in der Mitte des Erie-Sees. Die linke Seite der Abbildung zeigt die
Krümmung ohne den Dunkle-Materie-Term in Gl. (19), die rechte Seite mit einem solchen
Term. Man kann deutlich die größere Steilheit des Abstiegs und die größere Tiefe des
Gravitationstrichters erkennen.
24
Abb. 7: Gravitationstrichter w(x, y, 0) ohne und mit Dunkler Materie
(Gitter mit N=72, dx=3,6 [kpc], dww’= 4,7× 10-7 [N/m4])
Abb. 8 zeigt die zwei Rotationskurven für das Gitter mit N=72, dx=1,2 [kpc], und dww’=
4,7× 10-7 [N/m4]. Die Kurve mit Dunkler Materie zeigt schon einen steileren Anstieg und ein
Maximum mit v~160 km/s bei r~11 kpc. Außerhalb der Galaxie (r>17 kpc) ist die
Rotationsgeschwindigkeit konstant auf einem Niveau von 130 km/s. Ohne Dunkle Materie ist
die Kurve deutlich niedriger und sie fällt für r>10 kpc ab.
Abb. 8: Rotationskurven für das Gitter mit N = 72, dx = 1,2 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4]
ohne und mit Dunkler Materie
Abb. 9 zeigt die Deformation der x-y-Ebene der 3D-Membrane für dieses Gitter. Die
Darstellung der w-Deformation wurde um den Faktor 1015 auch in dieser Abbildung
vergrößert. Man kann hier den Effekt der Randbedingungen studieren. Die Absenkung der w-
25
Koordinaten am Rand ist ohne und mit Dunkler Materie leicht zu sehen. Die x- und die yAchse sind für w=0 dargestellt.
Abb. 9: Gravitationalstrichter ohne und mit Dunkler Materie
(Gitter mit N = 72, dx = 1,2 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4])
Abb. 10 zeigt schon mehr Details. Die Gitterkonstante ist hier dx=0,4 mit N=140 Maschen
im Duchmesser des Gitters. Die Rotationskurve ohne Dunkle Materie zeigt ein Maximum von
v~150 km/s bei r~1.5 kpc. Die beiden Minima werden von den Armen der Galaxie verursacht.
Die Kurve fällt nach ihrem letzten Maximum von v~140 km/s ab bis zu einem Wert von v~90
km/s hinter dem Rand der Galaxie bei r=20 kpc. Die Kurve mit Dunkler Materie zeigt ein
erstes Maximum mit v~160 km/s bei r~1.5 kpc, ein letztes Maximum mit v~170 km/s bei
r~10 kpc, und fällt dann moderat ab bis auf eine Geschwindigkeit von v~125 km/s bei r=20
kpc. Der Effekt des Dunkle-Materie-Terms ist offensichtlich.
Abb. 10: Rotationskurven für das Gitter mit N = 140, dx = 0,4 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4]
26
Abb. 11: Gravitationstrichter ohne und mit Dunkler Materie
(Gitter mit N = 140, dx = 0,4 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4])
In den Abb. 11 und 12 kann man den Effekt der Inhomogenitäten in der Dichte des GalaxieModells erkennen. Das Gitter ist fein genug um den Effekt der Arme der Galaxie zu
modellieren. Die Wirkung der flockigen Struktur des Scheibenmodells bleibt jedoch
verborgen. Um diese Wirkung zu zeigen müsste das Gitter noch viel feiner sein.
Abb. 12: Die Galaxie und der Gravitationstrichter mit Dunkler Materie
(Gitter mit N = 140, dx = 0,4 [kpc], dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4])
27
Abb. 12 illustriert die Beziehung zwischen dem Durchmesser der galaktischen Scheibe und
der Ausdehnung des feinen Gitters. Man muss sich das Gitter als (3-dimensionale) Kugel
vorstellen mit der galaktischen Scheibe darin auf der x-y-Ebene. Aber es wäre bei einer
solchen Darstellung nicht möglich, die Deformation des Gitters in der vierten Dimension
darzustellen.
Die tiefsten Punkte der drei Gitter sind in Tabelle 1 aufgeführt, d.h. die w-Koordinate im
galaktischen Zentrum. Man sollte jedoch im Gedächtnis behalten, dass jeder Stern einen
zusätzlichen eigenen Trichter hat mit einer Tiefe von derselben Größenordnung. Schwarze
Löcher, weiße Zwerge oder Neutronensterne haben Trichter, die noch weit tiefer sind.
Gitterkonstante
dx = 4,2 kpc
dx = 1,2 kpc
dx = 0,4 kpc
Ohne DM
-2,39× 105 [m] -3,95× 105 [m] -6,10× 105 [m]
Mit DM
-4,90× 105 [m] -6,86× 105 [m] -9,12× 105 [m]
Tabelle 1: Tiefste Punkte des Gitters
Die im Gitter gespeicherte elastische Energie ist ein gutes Maß für den Effekt des DunkleMaterie-Terms in Gl. (19). Die elastische Energie wird wie folgt berechnet: Der horizontale
Abstand dx zweier Knoten bleibt unverändert. Der vertikale Abstand ist dw. Da dw sehr viel
kleiner ist als die Gitterkonstante dx, finden wir für die Längenänderung ds eines einzelnen
Fadens (strings) zu
 dw2 
ds  dx 2  dw2  dx  dx 1   2   dx 
 dx 
dw2
.
2dx
(20)
Da sich die Fadenspannung Fo nicht merklich ändert, erhalten wir für einen Faden, der zwei
Knoten verbindet, die zusätzliche Energie dE= Fo ds. Wir erhalten die totale zusätzliche
Energie des Gitters, EG, durch eine Summation über alle Fäden (strings) des Gitters. Die
erhaltenen Summen sind in Tabelle 2 aufgelistet.
28
Gitterkonstante dx = 4,2 kpc
dx = 1,2 kpc
dx = 0,4 kpc
Ohne DM
3,47× 1051 [Nm]
3,51× 1051 [Nm]
3,07× 1051 [Nm]
Mit DM
2,21× 1052 [Nm]
9,97× 1051 [Nm]
7,00× 1051 [Nm]
Tabelle 2: Totale zusätzliche elastische Energie des Gitters
3.2.
Ergebnisse zum Wechselwirkungstyp w’w’
Wir analysierten auch den Wechselwirkungstyp w’w’, da seine physikalische Interpretation
leichter ist, als die des Typs ww’. Obgleich die Berechnung ähnliche Resultate liefert, wie die
aus Abschnitt 3.1, sind wir der Meinung, dass diese Wechselwirkung nicht die Ursache für
einen nennenswerten Beitrag zum Dunklen-Materie-Effekt sein kann. Ursache ist der
erforderliche Wert des Koeffizienten mit dw’w’≈1014 [N/m3]. Dieser Wert ist zu hoch für einen
noch akzeptablen Anteil der Dunklen Materie an der Sonnenmasse.
4.
Diskussion und Schlussfolgerungen
4.1.
Wechselwirkungstyp ww’ und die Rotationskurve
Die Rotationskurven der Galaxien sind das wichtigste Indiz für die Existenz der Dunklen
Materie [5]. Deshalb müssen wir diese Kurven mit besonderer Sorgfalt untersuchen. Zuerst
sehen wir, dass die Rotationskurve ohne Dunkle Materie (Abb. 10, linke Seite) nahezu flach
ist im Bereich 0 bis 18 kpc. Damit wird verständlich, dass einige Autoren die Existenz der
Dunklen Materie nicht nur in Elliptischen Galaxien verneinen, sondern auch in Spiralgalaxien
(z.B. siehe [1]). Im Fall mit Dunkler Materie (Abb. 10, rechte Seite) hat sich die Flachheit der
Kurve noch verbessert und die mittlere Geschwindigkeit erhöht. Der Effekt der Dunklen
Materie ist gut sichtbar.
4.2.
Wechselwirkungstyp ww’ in unserem Sonnensystem
Eine wichtige Frage betrifft den Einfluss der Dunklen Materie in unserem Sonnensystem
[24]. Wie groß ist der Anteil der Dunklen Materie an der Sonnenmasse? Wir verweisen auf
Abb. 2. Die Raumtiefe außerhalb der Sonne ist w (r )  
WRS RS
r
(Gl. (6)), und die Neigung
29
ist w(r ) 
WRS RS
r²
(Gl. (7)). Der Verlauf w(r) innerhalb der Sonne ist weitgehend unbe-
kannt, aber wir können eine stetig abfallende Funktion mit einem Minimum im Zentrum der
Sonne annehmen, z.B. eine Parabel w(r) = Ar2 - WRS - W00 mit A = WRS /(2RS2) und W00 =
ARS2=(1/2)WRS und w’(r) = 2Ar. Hier ist RS der Radius der Sonne, WRS ist die Raumtiefe am
Sonnenrand relativ zur Umgebung, und WRS+W00 ist die Raumtiefe im Zentrum der Sonne.
Man sieht, dass die totale Raumtiefe im Zentrum der Sonne (3/2) WRS beträgt. Zu dieser
Raumtiefe müssen wir noch die mittlere Raumtiefe w der Membrane in jenem Teil der
Galaxie addieren, in dem sich unsere Sonne befindet. Wegen der randnahen Position der
Sonne in der Milchstraße schätzen wir den Betrag von w auf w =2.5105 [m]. Nun
versuchen wir das Massenäquivalent an Dunkler Materie innerhalb der Sonne zu schätzen.
Um das Massenäquivalent zu erhalten, müssen wir die Kraft FSI der Wechselwirkung des
Vektorfelds mit der geneigten und vertieften Membrane innerhalb der Sonne berechnen.
Diese Kraft dividieren wir duch die negative Vektorfeld-Beschleunigung, -AVF, und erhalten
so dass Massenäquivalent an Dunkler Materie. Es gilt
RS
2
FSI   d ww' 4 r w(r ) w' (r ) dr  d ww' 4
0

RS
0
3


r 2  Ar 2  WRS  w  (2 A r ) dr ,
2


(21)
oder
RS
W
 W
3
FSI  d ww' 4  r 2  RS2 r 2  WRS  w   2 RS2
0
2
 2 RS
  2 RS

r  dr ,

(22)
oder
 7 
FSI   4 d ww' WRS2 RS2    d ww'  w WRS RS2 ,
 24 
(23)
und mit AVF = 1,361105 [m/s2], RS = 6,958108[m], WRS = 1,432106[m], w = 2,5105 [m],
und dww’ = 4,7× 10-7 [N/m4] erhalten wir ein Massenäquivalent von
DMSI= -FSI/AVF =
1,271019 [kg]. Das ist nur ein winziger Teil der Sonnenmasse, die mit 21030 [kg]
angenommen wird.
Nun bestimmen wir das Massenäquivalent der Dunklen Materie außerhalb der Sonne. Das
Integral ist nicht konvergent, so dass wir eine Obergrenze Rmax der Integration annehmen
müssen. Wir nehmen hier an, dass der Gravitationstrichter eines Sterns in der Mitte des
Abstands zum nächsten Stern endet, d.h. wir wählen einen Wert für Rmax von ungefähr 5
Lichtjahren (Rmax = 4,71016 [m]). Die Kraft, die vom Vektorfeld außerhalb der Sonne
verursacht wird, ist dann durch Gl. (24) gegeben.
30
FSO  d ww' 4 
R max
RS
r 2 ww' dr  d ww' 4 
R max
RS
 W R
W R 
r 2   RS S  w   RS2 S  dr ,
r

 r

(24)
oder
FSO  4 d ww' (WRS2 RS2 ( ln( Rmax )  ln( RS ) )  w WRS RS ( Rmax  RS ) ) .
Mit FSO   1,17  1037 N  ,
(25)
dividiert durch die negative Vektorfeld-Beschleunigung von
-AVF = -1,361105 [m/s2], erhalten wir das Massenäquivalent der Dunklen Materie außerhalb
der Sonne als DMSO=861030 [Kg], oder ungefähr 40 mal die Masse der Sonne. Aber wir
bemerken an dieser Stelle, dass allein schon der zweite Term mit dem Faktor (Rmax-RS) in Gl.
(25) nahezu den gesamten Wert liefert. Die Schätzung des Wertes für DMSO ist zu hoch. Die
Ursache für diesen zu hohen Schätzwert ist, dass sich die Gravitationstrichter benachbarter
Sterne gegenseitig beeinflussen. Die Neigung des Trichters nimmt in der Nachbarschaft
anderer Sterne schneller ab, als im Falle eines isolierten Sterns. Unser Integrationsradius Rmax
hat eine Größe erreicht, für die wir eine kombinierte Berechnung der Dunklen Materie aller
Sterne aus der Nachbarschaft durchführen müssten. Diese Berechnung müsste mit einer
ähnlichen Methode ausgeführt werden, wie sie in Abschnitt 3 beschrieben wurde.
Die Wirkung des ww’-Typs der Dunklen Materie in unserem Sonnensystem ist sehr schwer
zu entdecken. Dafür gibt es zwei Gründe: (1) ist der Betrag sehr klein, und (2) verbirgt sich
diese Art der Wechselwirkung auf perfekte Weise, wenn man den Einfluss des w -Terms
vernachlässigt. Um diesen Fakt zu illustrieren, konstruieren wir die Formel für die
Gravitationskraft, die durch diesen Wechselwirkungstyp hervorgerufen wird. Die durch die
Gravitation verursachte Beschleunigung dA, die durch eine Kugelschale der Dicke dr an
Dunkler Materie mit der Sonne im Zentrum verursacht wird, ist
dA  d ww' 4 r 2
ww'   
4 r 2  WRS RS
W R   
 w   RS2 S   2  dr .

 2 dr  d ww'
 AVF  r 
 AVF 
r
 r  r 
(26)
Die Integration liefert
d ww' 2 WRS2 RS2    d ww' 4 w WRS RS   
A(r )  
 2
 .
AVF
AVF
r 
r
(27)
Die Abhängigkeit der Beschleunigung A(r) vom Radius r im ersten Term der rechten Seite
von Gl. (27) ist dieselbe, wie in Newtons Gravitationsgesetz, d.h. wir können nicht zwischen
dem Einfluss der Dunklen Materie und dem der normalen baryonischen Materie, die in der
Sonne konzentriert ist, unterscheiden. Zusätzlich ist der Betrag von A(r) sehr klein im
Verhältnis zur normalen Gravitationsbeschleunigung der Sonne im Abstand r. An der
31
Erdposition ist die Gravitationsbeschleunigung der Sonne ASE ungefähr ASE=610-3 [m/s2].
Die Beschleunigung ADME1, die durch den ersten Dunkle-Materie-Term an der Erdposition
gegeben wird, ist ADME1=0,8710-9 [m/s2], d.h., das ist nur ein Anteil von 10-7 von ASE. Die
Beschleunigung ADME2, die durch den zweiten Dunkle-Materie-Term an der Erdposition
gegeben wird, ist ADME2=4,810-12 [m/s2], d.h., das ist nur ein Anteil von 10-9 von ASE. Der
zweite Term, ADME2, ist in der Tat eine Störung von Newtons Gravitationsgesetz, aber der
Effekt ist sehr klein. Z.B. hat der Störterm APA = -6γMS a/r3 mit dem Schwarzschildradius
a=1483 [m] der Sonne, der für die Drehung des Perihels der Planetenbahnen verantwortlich
ist, einen Wert von APA=3,510-10 [m/s2], ein Wert, der 73 mal größer ist, als der von Term
ADME2.
4.3.
Wechselwirkungstyp w’w’ in unserem Sonnensystem
Obgleich wir von der Wechselwirkung w’w’ nicht annehmen, dass sie einen
bemerkenswerten Beitrag zum Dunkle-Materie-Effekt leistet, verbleibt doch ein Rest
Hoffnung, dass gerade diese Wechselwirkung eine Rolle spielen könnte bei der Erklärung des
Störterms APA = -6γMS a/r3. In der Vergangenheit gab es viele Versuche [26, 37, 67], die
Periheldrehung der Planetenbahnen zu erklären, aber die einfachste Erklärung würde die
Wirkung genau dieser Wechselwirkung, w’w’, des Vektorfeldes mit der Membrane sein. Das
impliziert aber, dass der Dunkle-Materie Koeffizient dw’w’ einen ganz bestimmten Wert haben
müsste. Dieser Wert kann nicht mit den Methoden berechnet werden, die in unserer
Untersuchung zur Anwendung kamen. Deshalb haben wir dieses Thema hier nicht weiter
vertieft.
4.4.
Schlussfolgerungen
Der Wechselwirkungstyp ww’ des homogenen Vektorfeldes mit der Membrane ist ein
geeigneter Kandidat zur Erklärung der Dunklen Materie. Innerhalb des Radius einer
Spiralgalaxie führt das Anwachsen der elastischen Energie des Gitters zu einem Betrag an
Dunkler Materie, der vergleichbar dem der baryonischen Masse der Galaxie ist [49, 50].
Betrachtet man jedoch den Raum, der die Galaxie umgibt, dann wächst dieses Verhältnis in
unserer Berechnung auf 6 zu 1 an.
32
Die Rotationskurve wird flacher unter dem Einfluss der Dunkle-Materie-Wechselwirkung,
und die mittlere Geschwindigkeit erhöht sich. Totale Flachheit wurde für das grobe Gitter
erreicht, aber nicht für die Berechnungen mit einem feineren Gitter.
Eine Abschätzung der Wirkung dieses Dunkle-Materie-Typs innerhalb des Sonnensystems
zeigt, dass der Anteil der Dunklen Materie an der Sonnenmasse vernachlässigbar klein ist.
Dementsprechend klein ist auch die Änderung der Gravitationsbeschleunigung. Die Änderung
ist ungefähr 70 mal kleiner als die kleine Beschleunigung, die für die Periheldrehung der
Planetenbahnen im Sonnensystem verantwortlich ist.
Es bleiben jedoch ungelöste Fragen. Wie groß ist der Anteil an Dunkler Materie, der durch
die Gravitationstrichter der einzelnen Sterne in der Zentralen Ausbauchung, im Balken und in
der Scheibe beigesteuert wird? Der geschätzte Faktor 40 ist zu hoch. Das heißt, man müsste
Untersuchungen anstellen mit nur wenigen benachbarten Sternen in einem sehr feinen Gitter.
Eine andere Frage betrifft die Lichtbeugung durch Gravitation (gravitational lensing). Hier
könnte man verschiedene Trajektorien von Lichtpfaden durch den äußeren Teil des
Gravitationstrichters einer Galaxie berechnen. Eine letzte Frage könnte sein, ob eine Lösung
existiert, die die Berechnung des tatsächlichen Dunkle-Materie-Koeffizienten zum
Wechselwirkungstyp w’w’ von Vektorfeld und Membrane gestattet.
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