13. Funções Trigonométricas Inversas

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13. Funções Trigonométricas Inversas
12. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
Função arco-seno
A função seno, f: R → R, onde f(x) = sen x não é injetora (pois, π ≠ 0 e
senπ ≠ sen0 ) e não é sobrejetora (pois, ∃/ x ∈ R; sen x = 3 ). Portanto, não é bijetora e
conseqüentemente não admite inversa.
Porém, a função g, restrição de f, definida por g : [−
π π
, ] → [−1,1] ; g(x) = sen x
2 2
é bijetora; como pode ser constatado através do seu gráfico a seguir.
Figura 1
Assim sendo, a função g admite inversa g-1, chamada de função arco-seno. Definida por:
π π
g −1 : [ −1,1] → [− , ]
2 2
x a arc sen x
OBS: arc sen x significa “o arco cujo seno é x”
Logo,
y = arc sen x ⇔ sen y = x , −
π
π
≤y≤
e -1 ≤ x ≤1
2
2
56
π π
Conseqüência: arc sen (sen y) = y e sen (arc sen x) = x; y ∈ [− , ] e x ∈ [−1,1] .
2 2
Exemplo:
Calcule arc sen (1/2).
π
π π
π π
1
R] arc sen (1/2) = y , y ∈ [− , ] ⇔ sen y = , y ∈ [− , ] ⇔ y =
6
2 2
2 2
2
Gráfico
Já vimos que os gráficos de duas funções inversas entre si são simétricas em
relação à reta y = x. Então, a partir do gráfico de g podemos obter o gráfico de g-1.
Figura 2
Função arco-cosseno
A função cosseno, f: R → R, onde f(x) = cos x não é injetora (pois, π/2 ≠ 3π / 2 e
cos(π / 2) = cos(3π / 2) ) e não é sobrejetora (pois, ∃/ x ∈ R; cos x = 3 ). Portanto, não é
bijetora e conseqüentemente não admite inversa.
Porém, a função g, restrição de f, definida por g : [0, π] → [−1,1] ; g(x) = cos x é
bijetora; como pode ser constatado através do seu gráfico a seguir.
57
Figura 3
Assim sendo, a função g admite inversa g-1, chamada de função arco-cosseno. Definida
por:
g −1 : [−1,1] → [0, π]
x a arc cos x
OBS: arc cos x significa “o arco cujo cosseno é x”
Logo,
y = arc cos x ⇔ cos y = x , 0 0 ≤ y ≤ π e − 1 ≤ x ≤ 1
Conseqüência: arc cos (cos y) = y e cos (arc cos x) = x, y ∈ [0, π] e − 1 ≤ x ≤ 1
Exemplo:
Calcule arc cos(-1/2).
R] arc cos (-1/2) = y , y ∈ [0, π] ⇔ cos y = −
5π
1
, y ∈ [0, π] ⇔ y =
2
6
Gráfico
A partir do gráfico de g podemos obter o gráfico de g-1.
58
Figura 4
Função arco-tangente
π


A função tangente, f: x ∈ R; x ≠ + kπ e k ∈ Z → R, onde f(x) = tg x é
2


sobrejetora (como já tínhamos visto anteriormente) mas, não é injetora (pois, 0 ≠ π e
tg(0) ≠ tg(π). Portanto, não é bijetora e conseqüentemente não admite inversa.
Porém, a função g, restrição de f, definida por g : [−
π π
, ] → R ; g(x) = tg x é
2 2
bijetora; como pode ser constatado através do seu gráfico a seguir.
59
Figura 5
Assim sendo, a função g admite inversa g-1, chamada de função arco-tangente. Definida
por:
π π
g −1 : R → [− , ]
2 2
x a arc tg x
OBS: arc tg x significa “o arco cuja tangente é x”
Logo,
y = arc tg x ⇔ tg y = x , −
π
π
<y<
ex∈R
2
2
π
2
Conseqüência: arc tg (tg y) = y e tg (arc tg x) = x, − < y <
π
e x ∈ R.
2
Exemplo:
Calcule arc tg(1).
 π π
π
R] arc tg (1) = y , y ⇔ tg y = 1 , y ∈ − ,  ⇔ y =
4
 2 2
Gráfico
A partir do gráfico de g podemos obter o gráfico de g-1.
60
Figura 6
61

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