Nichtlineare Finite Elemente

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Nichtlineare Finite Elemente
Nichtlineare
Finite Elemente
– Vorlesungsunterlagen WS 05/06 –
JP Dr.–Ing. habil. Ellen Kuhl
Kaiserslautern, Januar 2006
Inhaltsverzeichnis
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.1 Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Deformationsabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Deformationsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Verzerrungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Spannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Spannungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Hyperelastizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Massenbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Impulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Drehimpulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Prinzip der virtuellen Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Prinzip der virtuellen Arbeit (materiell) . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Prinzip der virtuellen Arbeit (räumlich) . . . . . . . . . . . . .
1.5 Richtungsableitung – Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Linearisierung kinematischer Größen . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit ( materiell )
1.5.3 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit (räumlich) .
1.6 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . . . . . . . . . . .
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.1 Räumliche Diskretisierung mit Finiten Elementen . . .
2.1.1 Diskretisierung kinematischer Größen . . . . . .
2.1.2 Beispiel: Diskretisierung kinematischer Größen
2.2 Diskretisierung der schwachen Form (materiell) . . . .
2.2.1 Diskretisierung des Residuums . . . . . . . . . .
2.2.2 Linearisierung des Residuums . . . . . . . . . .
2.3 Diskretisierung der schwachen Form (räumlich) . . . .
2.3.1 Diskretisierung des Residuums . . . . . . . . . .
2.3.2 Linearisierung des Residuums . . . . . . . . . .
2.4 Diskretisierung in Matrix–Vektor–Notation . . . . . . .
2.4.1 Diskretisierung des Elementresiduums . . . . .
2.4.2 Linearisierung des Elementresiduums . . . . . .
2.5 Stabelement im 2D Raum . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
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10
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57
Inhaltsverzeichnis
2.6
2.7
Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . . . . . . . . . . . .
Algorithmische Umsetzung mit MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Hauptprogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.2 Elementlastvektor und Elementsteifigkeitsmatrix . . . . . . . .
2.7.3 Gleichungslöser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.4 Zusammenbau Systemsteifigkeitsmatrix und Systemlastvektor
2.7.5 Plot der materiellen und räumlichen Konfiguration . . . . . . .
3 Lösungsverfahren
3.1 Newton–Raphson Verfahren (Lastkontrolle) . . . . . . . . . . .
3.1.1 Newton–Raphson Verfahren – Algorithmus . . . . . .
3.1.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . .
3.2 Modifiziertes Newton Verfahren (Lastkontrolle) . . . . . . . .
3.2.1 Modifiziertes Newton Verfahren – Algorithmus . . . .
3.2.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens . . . .
3.3 Gedämpftes Newton Verfahren (’line search’) . . . . . . . . . .
3.3.1 Gedämpftes Newton Verfahren – Algorithmus . . . . .
3.4 Newton–Raphson Verfahren (Verschiebungskontrolle) . . . . .
3.5 Bogenlängenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Bogenlängenverfahren – Algorithmus . . . . . . . . . .
3.5.2 Bogenlängenverfahren – mögliche Nebenbedingungen
ii
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78
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86
88
91
92
Literaturverzeichnis
[1] Bathe, K. J. [1995]. Finite Element Procedures. Prentice Hall, Englewood
Cliffs, New Jersey.
[2] Bathe, K. J. [2000]. Finite–Element–Methoden. Springer Verlag, Berlin.
[3] Belytschko, T., W. K. Liu & B. Moran [2000]. Nonlinear Finite Element
Analysis for Continua and Structures. John Wiley & Sons.
[4] Bonet, J. & R. D. Wood [1997]. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite
Element Analysis. Cambridge University Press.
[5] Crisfield, M. A. [1996]. Non–linear Finite Element Analysis of Solids and
Structures. John Wiley & Sons.
[6] Holzapfel, G. A. [2000]. Nonlinear Solid Mechanics: A Continuum Approach
for Engineering. John Wiley & Sons.
[7] Hughes, T. J. R. [2000]. The Finite Element Method – Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
[8] Wriggers, P. [2001]. Nichtlineare Finite–Element–Methoden. Springer Verlag, Berlin.
[9] Zienkiewicz, O. C. & R. L. Taylor [2000]. The Finite Element Method, Volume I: The Basis. Butterworth Heinemann, fifth edition.
[10] Zienkiewicz, O. C. & R. L. Taylor [2000]. The Finite Element Method, Volume II: Solid Mechanics. Butterworth Heinemann, fifth edition.
1
Literaturverzeichnis
2
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
FEM I (bisher):
lineare FEM, Gleichgewicht am unverformten System
• Verzerrungen als lineare Funktion der Verschiebungen u
• Spannungen als lineare Funktion der Verzerrungen
lineares Gleichungssystem der Form
int
ext
fI − fI = 0
mit
int
fI =
nnd
∑ KI J u J
J =1
nnd
1 ext
direkt lösbar für unbekannten Knotenvektor u J = − ∑ K−
JI f I
I =1
FEM II (jetzt):
nichtlineare FEM, Gleichgewicht am deformierten System
• Verzerrungen als nichtlineare Funktion der Deformation
es gibt unterschiedliche Verzerrungsmaße
primäre Unbekannte J = X J + u J
• Spannungen als nichtlineare Funktion der Verzerrungen
es gibt unterschiedliche Spannungsmaße
nichtlineares Gleichungssystem der Form
ext
f int
I − fI = 0
mit
int
f int
I = fI (
J)
nur iterativ lösbar für unbekannten Knotenvektor
3
J
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.1 Kinematik
Lehre der Bewegung und Deformation ohne Bezug zur Ursache
1.1.1 Deformationsabbildung
raumlichekonfiguration
materiellekonfiguration
F(X,t)
F
X
x
B0
Bt
f
f(x,t)
Abbildung 1.1: Deformationsabbildung und Deformationsgradient
Bewegung des Körpers B mathematisch beschreibbar durch die
Deformationsabbildung ( X, t ) bzw. ( x, t )
• materielle Deformationsabbildung
x=
( X, t ) :
von B0 nach Bt
B0 × R → Bt
Lagrange’sche Betrachtungsweise, beschreibt das Verhalten eines materiellen Punktes X, üblich in der Festkörpermechanik
• räumliche Deformationsabbildung
X=
( x, t ) :
von Bt nach B0
Bt × R → B0
Euler’sche Betrachtungsweise, beschreibt das Verhalten an einem räumlichen Punkt x, üblich in der Fluidmechanik
4
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
im folgenden: Lagrange’sche Betrachtungsweise
• Verschiebungsvektor u
u = x−X =
−X
1.1.2 Deformationsgradient
• materieller Deformationsgradient F
Tangentenabbildung von T B0 nach T Bt
∂
= ∇X
∂X
∂ i
FiJ =
= ∇XJ
∂X J
F =
mit




FiJ = 


∂ 1
∂X1
∂ 2
∂X1
∂ 3
∂X1
∂ 1
∂X2
∂ 2
∂X2
∂ 3
∂X2
:
T B0 → T Bt
i
∂ 1
∂X3
∂ 2
∂X3
∂ 3
∂X3







zentrale Größe zur Beschreibung finiter Deformationen, beschreibt die relative räumliche Position zweier benachbarter
Partikel nach ihrer Deformation als Funktion ihrer relativen materiellen Position vor der Deformation, Zweifeldtensor
F = ∇X
FiJ = ∇X J
= ∇X [ X + u ] = I + ∇X u
i
= ∇X J [ Xi + ui ] =
• Jacobi Determinante J
J = det( F )
5
iJ
+ ∇ X J ui
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
• Transformation von Linienelementen
dx = ∇X
dxi = ∇X J
· dX
i
dX J
dx = F · dX
dxi = FiJ dX J
raumlichekonfiguration
materiellekonfiguration
F(X,t)
dA
B0
X
Bt
dX
dV
da
F
f
x
dx
dv
f(x,t)
Abbildung 1.2: Transformation von Linien-/ Flächen- und Volumenelementen
• Transformation von Volumenelementen
materielles Volumenelement dV
dV = dX 1 · [ dX 2 × dX 3 ]
= det( [ dX 1 , dX 2 , dX 3 ] )
6
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
räumliches Volumenelement dv
dv = dx1 · [ dx2 × dx3 ]
= det( [ dx1 , dx2 , dx3 ] )
= det( [ F [ dX 1 , dX 2 , dX 3 ] ] )
= det( F ) det( [dX 1 , dX 2 , dX 3 ] )
dv = J dV
• Transformation von Flächenelementen
materielles Flächen- und Volumenelement dA und dV
dV = dX · dA
dA = N dA
N ... Einheitsnormale des materiellen Flächenelements dA
räumliches Flächen- und Volumenelement da und dv
da = n da
dv = dx · da
n ... Einheitsnormalen des räumlichen Flächenelements da
mit dx = F · dX = dX · F t und dv = J dV
dv = dx · da
= dX · F t · da
= dX · J dA = J dV
Nanson’s formula
da = J F −t · dA
dai = J FiJ−t dA J
7
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.1.3 Verzerrungsmaße
Vergleich des Skalarproduktes des materiellen Linienelementes
dX mit dem zugeörigen räumlichen Linienelement dx
dx · dx − dX · dX = F · dX · F · dX − dX · dX
dxk dxk − dX I dX I = FkI dX I FkJ dX J − dX I dX I
ausklammern ergibt
dx · dx − dX · dX = dX · [ F t · F − I ] · dX
t
dxk dxk − dX I dX I = dX I [ FIk
FkJ −
IJ
] dX J
• Deformationstensoren
rechter Cauchy–Green Deformationtensor C
C = Ft · F
t
C I J = FIk
FkJ
rein materielle Größe, es gilt:
dx · dx = dX · [ F t · F ] · dX = dX · C · dX
linker Cauchy–Green Deformationtensor (Fingertensor) b
b = F · Ft
bi j = FiK FKt j
rein räumliche Größe, es gilt:
dX · dX = dx · [ F −t · F −1 ] · dx = dx · b−1 · dx
• Verzerrungstensoren
Green–Lagrange Verzerrungstensor E
1
1
E = [ Ft · F − I ] = [ C − I ]
2
2
1 t
1
E I J = [ FIk FkJ − I J ] = [ C I J − I J ]
2
2
8
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
rein materielle Größe
es gilt mit F = ∇X x = ∇X [ X + u ] = I + ∇X u
1
E = [ I + ∇tX u ][ I + ∇X u ] − I ]
2
1
= [ I + ∇X u + ∇tX u + ∇tX u · ∇X u − I ]
2
1
= [ ∇X u + ∇tX u + ∇tX u · ∇X u]
2
vergleiche mit geometrisch linearer Theorie (FEM I)
1
= [ ∇u + ∇t u ]
2
Euler–Almansi Verzerrungstensor e
1
1
e = [ I − F −t · F −1 ] = [ I − b −1 ]
2
2
1
1
−t
ei j = [ i j − FiK
FK−j1 ] = [ i j − bi−j 1 ]
2
2
rein räumliche Größe
es gilt mit F −1 = ∇ x X = ∇ x [ x − u ] = I − ∇ x u
1
e = [ I − [ I − ∇tx u ][ I − ∇ x u ] ]
2
1
= [ I − I + ∇x u + ∇tx u − ∇tx u · ∇x u ]
2
1
= [ ∇x u + ∇tx u − ∇tx u · ∇x u]
2
vergleiche mit geometrisch linearer Theorie (FEM I)
1
= [ ∇u + ∇t u ]
2
es gilt
push forward e = F −t · E
· F −1
−t
ei j = FiK
EKL FL−j1
9
pull back E = F t · e · F
t
E I J = FIk
ekl Fl J
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.2 Spannungen
1.2.1 Spannungsmaße
e3
dp
dP
t
n
e2
dN
dn
dA
da
B0
Bt
e1
Abbildung 1.3: Definition der Spannungen
• Cauchy Spannungstensor
t =n ·
=
ti = n j
ji
=
t
t
ij
t
·n
nj
j... erster Index: Normale auf die Fläche
i... zweiter Index: Richtung
betrachte Kraftelement dp der räumlichen Konfiguration
dp = t da =
t
· n da
physikalische Interpretation
dp =
t
· da
Cauchy Spannungstensor liefert Beziehung zwischen Kraftelement dp der räumlichen Konfiguration und Oberflächenelement da der räumlichen Konfiguration, rein räumliche Größe
10
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
• 1. Piola–Kirchhoff Spannungstensor t (vergl. Literatur: P)
betrachte Kraftelement dp der räumlichen Konfiguration
t
dp = t da =
t
· n da =
· da = J
t
· F −t · dA =
t
· dA
Zusammenhang
t
=J
t
=J
iJ
t
· F −t
t
FkJ−t
ik
= J F −1 ·
Ji
= J FJk−1
ki
physikalische Interpretation
dp =
t
· dA
erster PK liefert liefert Beziehung zwischen Kraftelement dp
der räumlichen Konfiguration und Oberflächenelement dA der
materiellen Konfiguration, Zweifeldtensor
• 2. Piola–Kirchhoff Spannungstensor t (vergl. Literatur: S)
betrachte Kraftelement dP der materiellen Konfiguration
dP = F −1 · dp = F −1 ·
t
· dA = J F −1 ·
t
· F −t · dA =
t
· dA
Zusammenhang
t
= F −1 ·
t
= FIk−1
IJ
t
= J F −1 ·
t
= J FIk−1
kJ
t
· F −t
t
Fl−J t
kl
physikalische Interpretation
dP =
t
· dA
zweiter PK liefert liefert Beziehung zwischen Kraftelement dP
der materiellen Konfiguration und Oberflächenelement dA der
materiellen Konfiguration, rein materielle Größe
11
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
es gilt
push forward
1
= F ·
J
1
t
=
FiK
ij
J
t
t
t
· Ft
KL
FLt j
pull back
t
= J F −1· t· F −t
t
= J FIk−1
IJ
t
kl
Fl−J t
1.2.2 Hyperelastizität
• Elastizität:
Spannungszustand ist allein eine Funktion des aktuellen Deformationszustandes
• Hyperelastizität:
Spannungszustand ist pfadunabhängig und läßt sich als
Funktion der gespeicherten Verzerrungsenergie darstellen
∂
∂
t
= ( F ( X ), X ) ˙ =
: Ḟ = t : Ḟ
:=
∂F
∂F
∂
∂
∂
t
= ( E ( X ), X ) ˙ =
: Ė = t : Ė
:=
=2
∂E
∂E
∂C
Zusammenhang zwischen materiellem Spannungszuwachs
∆ t und materiellem Verzerrungszuwachs ∆E
∂ t
∂2
∂2
∆ = IL : ∆E
mit
IL =
=
=4 2
∂E
∂E2
∂C
IL ... vierstufiger Lagrange’scher Elastizitätstensor
IE ... vierstufiger Euler’scher Elastizitätstensor
t
12
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
es gilt
push forward IE
Ei jkl
pull back
IL
1
¯ F ] : IL
¯ F t]
= [F ⊗
: [ Ft ⊗
J
1
= FiI
FjJ
L I JKL FKk FLl
J
¯ F −1 ] : IE
¯ F −t ]
= J [ F −1 ⊗
: [ F −t ⊗
L I JKL = J FIi
FJ j
FkK
Ei jkl
FlL
Beispiel: St. Venant–Kirchhoff Material ( materiell)
Verzerrungsenergiefunktion des St. Venant–Kirchhoff Materials
1
[ E : I ]2 +
2
... Lamé Parameter
kir
,
( E) =
E:E
zugehörige Spannungen und Materialoperator
kir t
IL
kir
∂ kir
( E) =
= [ E : I ] I +2
∂E
( E) =
∂
kir t
∂E
=
E
I ⊗ I +2 IIsym
I ... zweistufiger Einheitstensor [ I I J ] = I J
IIsym ... symmetrischer vierstufiger Einheitstensor
sym
IIsym = 21 [ I ⊗ I + I ⊗ I ] bzw. [I I JKL ] = 21 [ IK
vergleiche FEM I, Hooke’sches Gesetz, E ←
13
JL
und
+
IL
←
JK ]
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
Beispiel: Neo–Hooke Material (materiell)
dazu: Invarianten der Deformationstensoren
C:I
IC =
I IC = 21 [ tr2 (C ) − tr(C 2 ) ] =
det(C )
I I IC =
b:I
=
1
2
2 [ tr ( b )
= J2 =
= Ib
− tr(b2 ) ] = I Ib
det(b)
= I I Ib
partielle Ableitung der Invarianten
∂IC
∂Ib
=
I
=
I
C
b
∂I IC
∂I Ib
= tr(C ) I − C t
= tr(b) I − bt
C
b
∂I
I Ib
∂I I IC
= det(C ) C −1 = J 2 C −t
= det(b) b−1 = J 2 b−t
C
b
Verzerrungsenergiefunktion des Neo–Hooke Materials
[ IC − 3 ] − ln( J ) + [ ln( J ) ]2
2
2
mit:
√
√
∂ ln( J )
1
∂ ln( I I IC )
1 ∂ I I IC
1 1 I I IC −1
√
C = C−
=
=√
=√
∂C
∂C
2
I I IC ∂C
I I IC 2 I I IC
2
∂ ln ( J )
1
= 2 ln( J ) C −1 = ln( J ) C −1
∂C
2
zugehörige Spannungen und Materialoperator
neo
(C ) =
neo t
IL
neo
=2
∂
=2
∂
neo
∂C
=
neo t
∂C
=[2
[ I − C −1 ]
+
ln( J ) C −1
∂C −1
− 2 ln( J ) ][ −
] + C −1 ⊗ C −1
∂C
∂C −1 = − 1 C −1 ⊗C −1 + C −1 ⊗C −1 2
∂C −1
h
i
∂C I J
−1 −1
−1 −1
1
[
] = − 2 CIK C JL + CIL C JK
∂C KL
14
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
Beispiel: Neo–Hooke Material (räumlich)
push forward des Spannungstensors und des Materialtensors
1
ln( J )
F · neo t · F t = [ b − I ] +
I
J
J
J
1
¯ F ] : ILneo : [ F t ⊗
¯ Ft ] = ∗ I ⊗ I + 2
= [ F⊗
J
neo t
=
IEneo
∗ sym
ii
Materialparameter
∗
=
∗
J
=
− ln( J )
J
I ... zweistufiger Einheitstensor [ Ii j ] = i j
iisym ... symmetrischer vierstufiger Einheitstensor
sym
sym
1
1
ii
= 2 [ I ⊗ I + I ⊗ I ] bzw. [ii jkl ] = 2 ik jl +
vergleiche FEM I, Hooke’sches Gesetz, J ← 1,
15
∗
il
jk
← ,
∗
←
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.3 Bilanzgleichungen
zeitliche Änderung der Bilanzgröße {•}0 , {•}t bilanziert mit
Oberflächenfluß {}, {♦} und Volumenquelltermen {◦}0 , {◦}t
• materiell, auf raumfestem materiellem Gebiet B0
Dt {•}0 = Div {} + {◦}0
• räumlich, auf zeitveränderlichem räumlichem Gebiet Bt
Dt {•}t = div ({♦}) + {◦}t
dt {•}t = div ({♦} − {•}t ⊗ v) + {◦}t
1.3.1 Massenbilanz
”Die zeitliche Änderung der Masse m, der materiellen Volumendichte 0 im materiellen Gebiet B0 , bzw. der räumlichen Volumendichte t im räumlichen Gebiet Bt ist identisch zu Null.”
• materiell
Dt
0
=0
kein Fluß– & Quellterm, konstante Massendichte
0
= const.
• räumlich
Dt
t
= − t div (v)
dt
t
= div (− t v)
vergleiche Kontinuitätsgleichung der Strömungsmechanik
1.3.2 Impulsbilanz
”Die zeitliche Änderung des Impulses I, der mit der materiellen bzw. räumlichen Volumendichte 0 bzw. t gewichteten
Geschwindigkeit v̇ = Dt = ¨ im materiellen bzw. räumlichen
16
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
Gebiet B0 bzw. Bt entspricht der Summe aus Kräften aus dem
Oberflächenfluß t , und den Volumenkräften 0 b, t b (z.B.
Gravitation).”
• lokale Form, materiell
0 Dt v
= Div (
t
)+
0
b
1. Cauchy’sche Bewegungsgleichung
• räumlich
t Dt v
= div ( t ) +
t
b
t dt v
= div (
t
− t v ⊗ v) +
t
b
vergleiche Strömungsmechanik
1.3.3 Drehimpulsbilanz
”Die zeitliche Änderung des Drehimpulses L = r × I, entspricht der Summe aus dem Drehimpuls verursacht durch
Oberflächenkräfte r × t und dem Drehimpuls verursacht durch
Volumenkräfte r × b.”
• materiell
F·
=
t
· Ft
=
t
1. Piola–Kirchhoff Spannungstensor nicht symmetrisch, aber
2. Piola–Kirchhoff Spannungstensor ist symmetrisch
• räumlich
=
t
Symmetrie des Cauchy Spannungstensors
17
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.3.4 Energiebilanz
”Die zeitliche Änderung der (inneren) Energie I0 Entropie S0
entspricht der Summe aus Wärmeänderung durch den Oberflächenfluß Q, q und den Volumenquellterm Q0 , Qt plus der
inneren mechanischen Leistung t : Dt F, : ∇ x v.”
• materiell, energie–basiert
t
Dt I0 = Div (− Q) + Q0 +
• materiell, entropie–basiert
mit I0 = 0 + S0 und Dt
0
: Dt F
t
=
: Dt F − S0 Dt folgt
Dt S0 = Div (− Q) + Q0
• räumlich, energie–basiert
Dt It = div (−q) + Qt +
t
: ∇x v
( wobei ∇ x v = Dt F · F −1 = l)
• räumlich, entropie–basiert
mit It = t + St und Dt t =
Dt St = −div (−q) + Qt
dt It = div (−q − It v) + Qt +
t
: ∇ x v − St Dt folgt
dt St = div (−q − St v) + Qt
18
t
:∇
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.4 Prinzip der virtuellen Arbeit
1.4.1 Prinzip der virtuellen Arbeit (materiell)
• Kinematik
E
• Gleichgewicht
0
• Konstitutives Gesetz
• Dirichlet RB
• Neumann RB
1 t
[F ·F−I]
2
¨ = Div t + 0 b
∂W
t
=
∂F
¯
=
in
B0
in
B0
in
B0
auf
∂B0
· N = T̄ auf
∂B0
=
T
t
=
0. Ausgangspunkt: lokale materielle Form der Impulsbilanz
−
0
¨ + Div
−
0
¨i +
t
+
0
b =0
t
+
0
bi = 0i
iJ,J
1. Skalarmultiplikation mit Testfunktion
i
·[−
0
¨ + Div
[−
0
¨i +
t
+
0
b ]=0
t
+
0
bi ] = 0
iJ,J
2. Integration über das materielle Gebiet B0
−
−
Z
·
Z B0
B0
i
0
¨ dV +
0
¨ i dV +
Z
· Div
Z B0
B0
t
t
i
dV +
iJ,J
dV +
Z
·
Z B0
B0
i
0
b dV = 0
0 bi dV
=0
3. partielle Integration des Divergenzterms
Z
· Div
Z B0
B0
i
t
t
iJ,J
dV =
dV =
Z
Z B0
·
Div [
[
i
B0
19
t
t
] dV −
iJ ],J
dV −
Z
Z B0
B0
∇X
:
i,J
:
t
dV
t
dV
iJ
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
4. Gauss’scher Integralsatz
Z
Z B0
t
·
Div [
[
t
iJ ],J
i
B0
] dV =
dV =
Z
·
Z ∂B0
i
∂B0
t
· N dA
t
N J dA
iJ
5. Randbedingungen
= ¯ auf ∂B0
i
= ¯ i auf ∂B0
Z
·
Z ∂B0
T=
t
· N = T̄ auf ∂B0
= 0i auf ∂B0
Ti =
iJ
t
· N J = T̄i auf ∂B0
· N dA =
t
i
∂B0
t
i
= 0 auf ∂B0
iJ
N J dA =
Z
t
·
Z ∂B0
t
i
∂B0
· N dA +
iJ
N J dA +
Z
· T̄ dA
Z ∂B0
i
∂B0
T̄i dA
• schwache Form
Z
·
Z B0
B0
i
0
¨ dV +
0
¨ i dV +
bzw. mit ∇X
Z
·
Z B0
B0
i
0
¨ dV +
0
¨ i dV +
:
Z
Z B0
B0
Z
∇X
Z B0
dV −
t
iJ dV −
]sym :
i,J ]
sym
:
20
Z
· T̄ dA−
Z ∂B0
∂B0
i
T̄i dA−
Z
· 0 b dV =0
Z B0
B0
0 bi dV = 0
i
= [ F t · ∇X ]sym :
= ∇X : F ·
[ F t ·∇X
[ FIit
:
i,J :
B0
t
t
dV −
t
I J dV −
Z
· T̄ dA−
Z ∂B0
∂B0
i
T̄i dA−
Z
· 0 b dV =0
Z B0
B0
i
0 bi dV = 0
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
Interpretation als Prinzip der virtuellen Arbeit
mit
←
... virtuelle Verschiebung
dyn
W0 = W0
+ W0int − W0ext = 0
mit
dyn
W0
int
W0
=
=
W0ext =
Z
·
Z B0
Z B0
∂B0
∇X
0
:
· T̄
¨
dV
t
dV =
dA +
Z
Z B0
B0
E:
·
dV
0
b dV
wobei E = [ F t · F ]sym ... virtueller Verzerrungstensor
21
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.4.2 Prinzip der virtuellen Arbeit (räumlich)
• Kinematik
b
• Gleichgewicht
t
Bt
in
Bt
¨ = div + t b in
∂W
2
b·
in
=
J
∂b
¯
=
auf
• Konstitutives Gesetz
• Dirichlet RB
• Neumann RB
F · Ft
=
t
t
=
Bt
∂Bt
· n = t̄ auf
∂Bt
0. Ausgangspunkt: lokale räumliche Form der Impulsbilanz
−
t
¨ + div
−
t
¨i +
i j, j
+
t
b =0
+
t
bi = 0i
1. Skalarmultiplikation mit Testfunktion
·[−
t
¨ + div
[−
t
¨i +
i
i j, j
+
t
b ]=0
+
t
bi ] = 0
2. Integration über das räumliche Gebiet Bt
−
−
Z
·
Z Bt
Bt
i
t
¨ dv +
t
¨ i dv +
Z
· div
Z Bt
Bt
dv +
i j, j dv +
i
Z
·
Z Bt
Bt
t
b dv = 0
t bi dv = 0
i
3. partielle Integration des Divergenzterms
Z
· div
Z Bt
Bt
i
dv =
i j, j dv =
Z
Z Bt
Bt
·
div [
[
i
22
] dv −
i j ], j dv −
Z
sym
Z Bt
Bt
∇x
sym
i, j
:
dv
:
i j dv
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
4. Gauss’scher Integralsatz
Z
Z Bt
·
div [
[
i j ], j dv =
i
Bt
] dv =
Z
·
· n da
Z ∂Bt
i
∂Bt
n j da
ij
5. Randbedingungen
= ¯ auf ∂Bt
i
= ¯ i auf ∂Bt
Z
·
· n da =
Z ∂Bt
i
∂Bt
i
n j da =
ij
= 0 auf ∂Bt
t=
= 0i auf ∂Bt
ti =
Z
·
· n da +
Z ∂Bt
i
∂Bt
ij
n j da +
· n = t̄ auf ∂Bt
ij
· n j = t̄i auf ∂Bt
Z
· t̄ da
Z ∂Bt
t̄i da
i
∂Bt
• schwache Form
Z
Z
· t ¨ dv+ ∇x
Z Bt
Bt
sym
i
t
¨ i dv+
Z Bt
sym
i, j
Bt
:
dv−
:
i j dv −
Z
·t̄ da−
Z ∂Bt
∂Bt
i
t̄i da−
Z
· t b dv=0
Z Bt
Bt
i
t bi dv = 0
Interpretation als Prinzip der virtuellen Leistung
mit
← v ... virtuelle Geschwindigkeit
dyn
Wt = Wt
+ Wtint − Wtext = 0
mit
dyn
Wt
int
Wt
=
=
Wtext =
Z
Z Bt
Z Bt
∂Bt
sym
wobei d = ∇ x
v·
sym
∇x
t
¨
dv
v:
dv =
v · t̄
da +
Z
Z Bt
Bt
d:
v·
dv
t
b dv
v ... virtueller Deformationsratentensor
23
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.5 Richtungsableitung – Linearisierung
Problem: nichtlineare Kontinuumsmechanik führt auf nichtlineares Gleichungssystem, i.a. gelöst mit Newton–Raphson Verfahren, dazu Linearisierung des nichtlinearen Gleichungssystems erforderlich
allgemeine Definition der Richtungsableitung von F ( x) an der
Stelle x0 in Richtung von ∆x
d
∆F ( x0 ) = D∆x F ( x0 ) · ∆x :=
[ F ( x0 + ∆x) ]
d
=0
Bemerkung: Die Richtungsableitung D∆x F ( x0 ) · ∆x liefert die
Änderung der Funktion F aufgrund einer kleinen Änderung
∆x ihres Argumentes x0 . D∆x F ( x0 ) · ∆x ist dabei immer linear
in ∆x, so daß die Richtungsableitung auch als Linearisierung
∆F ( x0 ) von F bezüglich ∆x verstanden werden kann.
Bemerkung: Häufig findet man auch die folgende Darstellung.
∆F ( x0 ) =
∂F ( x0 )
· ∆x
∂x0
mit
D∆x F ( x0 ) =
∂F ( x0 )
∂x0
hier: primäre Unbekannte Deformationsabbildung , Linearisierung des Residuums r an der Stelle in Richtung von ∆
∆r ( ) = D∆ r ( ) · ∆
d
:=
[ r ( + ∆ ) ]
d
24
=0
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.5.1 Linearisierung kinematischer Größen
• Linearisierung von F an der Stelle
in Richtung von ∆
d
[ F ( + ∆ ) ]|
d
d
= [∇X + ∇X [ ∆ ]]|
d
d
= [∇X + ∇X [∆ ]]|
d
=
∇X ∆
|
∆F = D∆ F ( ) · ∆ =
• Linearisierung von E an der Stelle
∆E= D∆
d
=
d
d 1
=
d 2
d 1
=
d 2
=0
=0
=0
=0
= ∇X ∆
in Richtung von ∆
E( ) · ∆
[ E ( + ∆ )]|
=0
[[∇tX + ∇tX [ ∆ ]] · [∇X + ∇X [ ∆ ]] − I ]|
=0
[∇tX · ∇X + ∇tX · ∇X ∆
+ ∇tX ∆ · ∇X +
2
∇tX ∆ · ∇X ∆ − I ]|
=0
1
[∇tX · ∇X ∆ + ∇tX ∆ · ∇X ] = [∆F t · F ]sym
2
alternative Herleitung
=
d 1 t
[ F ( + ∆ ) · F ( + ∆ ) − I ]|
d 2
1
=
[
∆F t · F + F t · ∆F
]
2
=
[ ∆F t · F ]sym
∆E = D∆ E( ) · ∆ =
25
=0
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.5.2 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit ( materiell )
Bemerkung: hier Linearisierung der kontinuierlichen Gleichungen, dann Diskretisierung mit Finiten Elementen, alternativ:
Diskretisierung, dann Linearisierung (insbesondere bei Strukturelementen)
Problem: nichtlineares Gleichungssystem der Form
Z
·
B0
0
¨ dV +
−
Z
Z
B0
[∇tX · F ]sym :
· T̄dA −
∂B0
Z
·
B0
dV
0
bdV = 0
allgemeine Form
W0 ( + ∆ ) = 0
iterative Lösung mit Hilfe des Newton–Raphson Verfahrens
Taylor Reihenentwicklung mit Abbruch nach dem linearen
Term
W0 ( + ∆ ) = W0 ( ) + ∆ W0 ( ) = 0
mit
W0 =
dyn
+
dyn
+ ∆ W0int − ∆ W0ext
W0
∆ W0 = ∆ W0
W0int −
26
W0ext
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
und
dyn
W0 =
dyn
∆ W0 =
W0int =
∆ W0int =
+
W0ext =
∆ W0ext =
Z
·
Z B0
Z B0
Z B0
Z B0
¨
dV
∂¨
·∆
0
∂
dV
[∇tX · F ]sym :
dV
·
Z B0
0
[∇tX · ∇X ∆ ]sym:
dV geom. Anteil
[∇tX · F ]sym: IL : [ F t · ∇X ∆ ]sym dV mat. Anteil
· T̄dA +
Z ∂B0
0
∂B0
Z
dA +
·
ZB0
∂B0
0
b
0
dV
dV
Interpretation als Prinzip der virtuellen Arbeit
←
mit
... virtuelle Verschiebung
int
W0 =
∆ W0int =
+
Z
Z B0
Z B0
E : IL :
E dV
∆E : IL :
E dV
geometrischer Anteil
E : IL : ∆E dV
materieller Anteil
B0
wobei
...
∆ ...
Variation
Linearisierung
(formal gleiche Herleitung)
mit
F = ∇X
∆ F = ∇X ∆
E = [ F t·
F ]sym
∆ E = [ ∆F t ·
F ]sym
∆ E = [ F t · ∆F ]sym
27
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.5.3 Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit (räumlich)
Problem: nichtlineares Gleichungssystem der Form
Z
·
Bt
t
¨ dv +
Z
sym
Bt
∇x
:
dv −
Z
· t̄da −
∂Bt
Z
·
Bt
t
bdv
allgemeine Form
Wt ( + ∆ ) = 0
iterative Lösung mit Hilfe des Newton–Raphson Verfahrens
Taylor Reihenentwicklung mit Abbruch nach dem linearen
Term
Wt ( + ∆ ) = Wt ( ) + ∆ Wt ( ) = 0
mit
Wt =
dyn
+
dyn
+ ∆ Wtint − ∆ Wtext
Wt
∆ Wt = ∆ Wt
Wtint −
Wtext
Bemerkung: Linearisierung auf bewegtem Gebiet Bt nicht ohne
weiteres durchführbar, deshalb: push forward der materiellen
Form aus 1.5.2 dazu
dA =
1 t
F · da
J
und
dV =
28
1
dv
J
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
also
dyn
Wt =
dyn
∆ Wt
=
Wtint =
∆ Wtint =
+
Wtext =
∆ Wtext =
Z
·
Z Bt
¨
t
dv
∂¨
·∆
t
∂
sym
∇x
:
·
Z Bt
Z Bt
dv
dv
[∇tx · ∇x ∆ ]sym :
Z Bt
sym
∇x
Z Bt
sym
: IE : ∇ x ∆ dv
· t̄da +
Z ∂Bt
0
∂Bt
dv geometrischer Anteil
Z
da +
·
ZBt
∂Bt
t
materieller Anteil
b dv
0 dv
Interpretation als Prinzip der virtuellen Leistung
mit
← v ... virtuelle Geschwindigkeit
int
Wt =
∆ Wtint =
+
Z
Z Bt
Z Bt
d:
dv
[∇tx v · ∇x ∆ ]sym :
dv geometrischer Anteil
d : IE :
Bt
dv
materieller Anteil
vergleiche mit geometrisch linearer Theorie (FEM I)
sym
d = ∇x
v
sym
= ∇x
und
29
u
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
Bemerkungen:
• Generell liefern materielle und räumliche Formulierung
identische Ergebnisse, es können also auch einzelne Integralausdrücke materiell und andere räumlich ausgewertet
werden.
sym
• Die Beziehung zwischen d = ∇ x v und v hat formal die
sym
gleiche Struktur wie die Beziehung zwischen
= ∇x u
und u der linearen FEM.
• Der materielle Anteil aus der Linearisierung der räumlichen
Formulierung nimmt eine analoge Struktur an, wie der entsprechende Term der linearen FEM, deswegen wird häufig
die räumliche Form bevorzugt.
• Materielle formulierte Stoffgesetze (St. Venant Kirchhoff)
motivieren eine materielle Formulierung, räumliche Stoffgesetze (Neo–Hooke) eine räumliche.
• Bei richtungsabhängigen Lasten, z.B. aus Wasserdruck, der
immer senkrecht zur Oberfläche wirkt, ist die Linearisierung der externen Lasten nicht Null, ∆ W ext 6= 0.
30
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1.6 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens
materiellekonfiguration
raumlichekonfiguration
fext
fext
L
EA
l
H
u
H−u
B
B
B
B
Abbildung 1.4: Dreigelenkrahmen: undeformierte & deformierte Konfiguration
Annahme
homogener Deformationszustand → lineare Deformationsverteilung über Stablänge → konstanter Deformationsgradient
Kinematik
Geometrie des undeformierten Systems
p
p
2
2
L= B +H
l = B2 + 2
Deformationsgradient (’stretch’) F
F=
aktuelle Länge
l
=
Ausgangslänge
L
J = det( F ) =
Verzerrungsmaße
31
l
L
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
Green–Lagrange Verzerrungstensor E
1
1 t
1 l 2 − L2
=
[
E = [F F−1] =
2
2 L2
2L2
linearer Verzerrungstensor
=
∆l
L
mit
∆l = u sin ;
sin
=
2
− H2 ]
H
L
→
=
Hu
L2
Linearisierung / Variation kinematischer Größen
Längenänderung
d
[ l ( + ∆ ) ] | =0
d
d 2
2 1/2 =
B +[ + ∆ ]
=0
d
1 =
2 ∆ + 2 ∆ 2 =0
2l
1
=
∆
l
Deformationsgradient
d 1
1
∆F = D∆ F ( ) =
[ l ( + ∆ ) ] =
∆
d L
L
l
=0
1
d 1
[l( +
) ] =
F = D F( ) =
d L
=0 L l
d
1
∆ F = D∆ F ( ) =
[ + ∆ ]
d Ll( + ∆ )
=0
2
1
1− 2 ∆
=
Ll
l
Green–Lagrange Verzerrungstensor
d
1 2
= 1 ∆
∆E = D∆ E ( ) =
[
l
(
+
∆
)
−
1
]
2
d 2 L2
=0 L
∆l = D∆ l ( ) =
32
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
1 2
d
= 1
[
l
(
+
)
−
1
]
E = D E( ) =
2
d 2 L2
=0 L
Bemerkung: Linearisierung der Green–Lagrange Verzerrungen
liefert ∆ E
→ X = H,∆ →u
→
∆ E = D∆
d
E( ) =
d
1
[
L2
= 1∆
2
=0 L
+ ∆ ]
lineare Verzerrungen
=D
d
(u) =
d
u
H[u+
L2
u ] =
=0
H
u
L2
Hyperelastisches Stoffgesetz vom St. Venant Kirchhoff Typ
kir
= Emod E
Prinzip der virtuellen Arbeit am halben System
Beschränkung auf symmetrischen Versagenszustand
W ( ) = W int ( ) − W ext ( ) = 0
W( ) =
=
L
Z
Z0 L
0
=
L
Z
0
=
E Emod EA dX −
f ext
1
1
mod
E
[ 2 − H 2 ] A dX −
2
2
L
2L
mod
E A 3
2
ext
−
H
dX
−
f
4
2Lmod
E A 3
− H 2 − f ext = 0 ∀
3
2L
Newton–Raphson Verfahren
(a) direkte Lösung der nichtlinearen Gleichung
W( +∆ ) = 0
33
∀
f ext
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
Taylor Reihenentwicklung
W ( + ∆ ) = W ( ) + ∆ W ( ) + ... = 0
mit
W( ) =
E
mod
A
3
2L3
−
H
2
− f ext
d
[ W ( + ∆ )]| =0
d mod
E A
=
3 2 − H2 ∆
3
2L
∆ W( ) =
Iterationsvorschrift für Newton–Raphson Verfahren
∆
2L3
= mod
E A [3 2 − H 2 ]
Emod A ext
f −
2L3
3
− H
(
2
b) allgemeine Linearisierung des Prinzips der virtuellen Arbeit
Lösung der nichtlinearen Gleichung
W( +∆ ) = 0
Taylor Reihenentwicklung
W ( + ∆ ) = W ( ) + ∆ W ( ) + ... = 0
34
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
mit
W( ) =
L
Z
E Emod E A dX −
0
f ext
Emod A 3
ext
2
−
f
]
−
H
[
3
2L
{z
}
|
=
:= f int
∆ W( ) =
=
+
Z
L
Z
L
∆E A dX +
∆ E Emod E A dX
0 1
1
mod
E
∆
A dX
2
2
L
L
1
1
mod
2
2
∆
E
[
−
H
] AdX
L2
2 L2
Emod A
Emod A 2
2
2
[
2
[
−
H
]]∆
+
3
3
2L
2L
|
{z
} |
{z
}
:=Kmat
:=Kgeo
EE
Z0 L
Z 0L
0
=
mod
Iterationsvorschrift für Newton–Raphson Verfahren
= [Kmat + Kgeo ]
∆
−1
f ext − f int
interne Kräfte und Steifigkeit für St. Venant–Kirchhof Material
Emat A f
=
3
2L
mat
E A
Kmat =
2
3
2L
Emat A geo
K =
2L3
int
3
− H2
2
2
−H
2
35
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
Vergleich mit linearer Theorie (FEM I)
Z
L
Emod A dX − u f ext
Z0 L H
H
=
u A dX − u f ext
u 2 Emod
2
L
L
0
mod
E A 2
=
u[
H u − f ext ] = 0
∀ u
3
L
| {z }
: =K
direkte Lösung der linearen Gleichung
W (u) =
u = K−1 f ext
Gleichung linear in u → keine Iteration erforderlich
36
1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik
Last–Verschiebungskurve / Kurvendiskussion
virtuelle Arbeit
W( ) =
Emod A 2 L3
3
− H
2
− f ext = 0
∀
Bestimmung der kritischen Last / Traglast des Systems
2 L3 ext
= mod f =
E A
Nullstellen
1
=H
Extrema mit 3
1
2
2
3
−
=0
H2 =
3
[
+ H][
−H]
= −H
− H2 = 0
1
= −√ H
3
2
1
= +√ H
3
500
geom. nichtlinear
geom. linear
400
300
fext
200
100
0
−100
−200
−300
0
0.2
0.4
0.6
u
37
0.8
1
1.2
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.1 Räumliche Diskretisierung mit Finiten Elementen
• ’isoparametrisches Konzept’: gleiche Ansätze für Geometrie
X und unbekannte Deformationsabbildung
• ’Bubnov–Galerkin Technik’: gleiche Ansätze für Unbekannte
und Testfunktionen ( alternativ:
oder v )
• Zerlegung des Gebietes B0 in nel Elemente B0e
B0 =
nel
[
B0e
e=1
2.1.1 Diskretisierung kinematischer Größen
• (elementweise) Approximation der Geometrie X
nen
X=
∑ Ni X i
i =1
nen ... Anzahl Knoten pro Element
N ... hier: Lagrange’sche Formfunktionen, vergl. FEM I
• (elementweise) Approximation der Deformationsabbildung
38
2 Finite Element Methode – Elastizität
, der Beschleunigung ¨ und der Testfunktion
nen
=
nen
∑
Ni
∑
Ni
¨ =
i
i =1
nen
=
(bzw.
∑
Ni
¨i
∑
Ni
i
i =1
nen
i
=
bzw.
i =1
i =1
• Gradient der Testfunktionen und der Deformation
nen
∇X
=
∑
i
⊗ ∇X Ni
∑
i
⊗ ∇X Ni
i =1
nen
∇X
=
i =1
• Deformationsgradient
nen
F=
nen
∑
i
⊗ ∇X Ni
FjJ =
bzw.
i =1
∑
ji
⊗ ∇X J Ni
i =1
mit Ni = Ni ( ) → Kettenregel
−t
∂X
∂Ni
∂Ni ∂
∂Ni
∇X Ni =
=
·
=
·
∂X
∂
∂X
∂
∂
• Deformationstensoren
t
C = F ·F =
b = F · Ft =
nen nen
∑∑
[
i
·
j]
∇X Ni ⊗ ∇X N j
i =1 j=1
nen nen
∑∑
[∇X Ni · ∇X N j ]
i =1 j=1
• Deformationsratentensor
1 nen
d = ∑ ˙ i ⊗ ∇ x Ni + ∇ x Ni ⊗ ˙ i
2 i =1
mit Ni = Ni ( ) → Kettenregel
−t
∂Ni
∂Ni ∂
∂x
∂Ni
∇x Ni =
=
·
=
·
∂x
∂
∂x
∂
∂
39
i
⊗
j
)
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.1.2 Beispiel: Diskretisierung kinematischer Größen
3
2
X2,x2
f
c2
c1
1
3
c2
1
T1
T4
T7
T2
T5
T8
T3
T6
T9
X1,x1
c1
2
Abbildung 2.1: Diskretisierung kinematischer Größen
• isoparametrische Koordinaten


X1 = 3 1
3 0
∂X

=
∂
X2 = 2 2
0 2

−t
∂X
1 2
= 
∂
6 0
• Ansatzfunktionen und deren Gradienten



−1
∂N(1)
∂N(1) 1 2
N(1) =1 − 1 − 2
= 
= 
∂
∂X
6 0
−1



+1
∂N(2)
∂N(2) 1 2


N(2) = 1
=
= 
∂
∂X
6 0
0



0
∂N(3)
∂N(3) 1 2
= 
= 
N(3) = 2
∂
∂X
6 0
+1
40


0
3


 
0
−1
2

= − 1  
6 3
3
−1


 
0
+1
2

= 1  
6 0
3
0


 
0
0
0

= 1  
6 3
3
+1
2 Finite Element Methode – Elastizität
• Deformationsgradient
3
F=
∑
3
i
⊗ ∇X Ni
FjJ =
bzw.
i =1
∑
ji
⊗ ∇X J Ni
i =1
F11 =
1(1) ∇1 N(1) +
1(2) ∇1 N(2) +
1(3) ∇1 N(3)
F12 =
1(1) ∇2 N(1) +
1(2) ∇2 N(2) +
1(3) ∇2 N(3)
F21 =
2(1) ∇1 N(1) +
2(2) ∇1 N(2) +
2(3) ∇1 N(3)
F22 =
2(1) ∇2 N(1) +
2(2) ∇2 N(2) +
2(3) ∇2 N(3)
4 7
= − + +0=1
3 3
4
4
= − +0+ =0
2
2
4 7
= − + +0=1
3 3
7 3
4
= − +0+ =
2
2 2
Annahme: Ebener Verzerrungszustand

1

F=1

0
0
3
2
0

0

0

1
• rechter Cauchy–Green Deformationstensor


1

C = Ft · F =  0

0
1
3
2
0

0

0

1
41
1

1

0

2
3
2

0
0
3
2
0
3
2
9
4
0

0

0

1

0

0  = Ct

1
2 Finite Element Methode – Elastizität
• linker Cauchy–Green Deformationstensor / Fingertensor


1 1 0


 0 32 0 


0 0 1

 

1 0 0 1 1 0

 

b = F · F t =  1 23 0   1 19 0  = bt

 

0 0 1
0 0 1
• Green–Lagrange Verzerrungstensor


1
3
0
2
4

1


E = [ F t · F − I ] =  43 58 0  = Et
2


0 0 1
• Jacobi Determinante

1

J = det F = det  1

0
0
3
2
0

0
 3
0=
 2
1
• Kontrolle: Flächeninhalte der Dreieckselemente
dV =
1
2·3 = 3
2
dv =
1
3 · 3 = 4.5
2
es gilt
dv = J dV =
3
3 = 4.5
2
√
42
2 Finite Element Methode – Elastizität
• Kontrolle: Transformation von Linienelementen
 
  

3
3
1 0
  = 
dX (1−2) =  
dx(1−2) = 
0
0
1 23
  
 

0
0
1 0
  = 
dX (1−3) =  
dx(1−3) = 
2
2
1 23
43
3
3
0
3

√



√
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.2 Diskretisierung der schwachen Form (materiell)
2.2.1 Diskretisierung des Residuums
kontinuierliche schwache Form
Z
W0 =
·
Z B0
−
0
¨ dV +
· T̄dA −
∂B0
Z
skalare Gleichung
[∇tX · F ]sym:
B0
Z
·
B0
0
bdV = 0
diskretisierte schwache Form
nel
W0 = A
i
e=1
Z
·[
Ni
e
Z B0
−
0
skalare Gleichung
¨ dV +
dA −
Ni T̄
∂B0e
dV
Z
e
Z B0
∇X Ni · [ F ·
B0e
Ni
0
b
] dV
dV ] = 0
bzw.
nel
W0 = A
e=1
h
i
dyn
· fi
int
ext
+ fi − fi
i
=0
∀
i
nel
A ... Zusammenbau aller i = 1, .., nen Elementknotenbeiträge
e=1
zu globalen Knotenbeiträgen I = 1, .., nnp
diskretes Gleichgewicht
dyn
r I := f I
vektorwertige Gleichung
ext
+ f int
I − fI = 0
∀ I = 1, .., nnp
44
2 Finite Element Methode – Elastizität
dyn
ext
mit Residuum r I und diskreten Knotenkräften f I , f int
I , fI
dyn
fI
nel
= A
Z
¨
dV
∇X Ni · [ F ·
] dV
Ni
e=1
nel
e
Z B0
e=1
nel
e
Z B0
e=1
nel
e
Z ∂B0
e=1
B0e
f int
= A
I
f ext
= A
I
+ A
0
Ni T̄
Ni
0
b
dynamische Kräfte
interne Kräfte
dA
externe Oberflächenkräfte
dV
externe Volumenkräfte
2.2.2 Linearisierung des Residuums
konsistente Linearisierung des Residuums r I an der Stelle n + 1
Taylor Reihenentwicklung
.
r I kn++11 = r I kn+1 + ∆r I = 0
∀ I = 1, .., nnp
mit Linearisierung des Residuums ∆r I
nnp
∆r I (
J) =
nnp
∑ D∆ J r I (
J) · ∆
J
=
J =1
∂r I (
∑ ∂
J =1
J)
·∆
mit inkrementellem Update des Lösungsvektors ∆
nnp
∆r I =
∑ KI J · ∆
J
KI J =
J =1
∂r I (
∂
J)
J
J
J
∀ I = 1, .., nnp
J
Steifigkeitsmatrix K I J aus Linearisierung des Residuums r I
dyn
geo
K I J = K I J + K I J + Kmat
IJ
∀ I, J = 1, .., nnp
45
2 Finite Element Methode – Elastizität
mit Anteilen der Steifigkeitsmatrix K I J
dyn
nel
geo
e=1
nel
e
Z B0
e=1
nel
e
Z B0
e=1
B0e
KI J = A
KI J = A
Kmat
IJ = A
Z
Ni
∇tX Ni ·
∂¨
Nj I
0
∂
· ∇X N j
dV dyn. Anteil
I
dV geom. Anteil
[∇tX Ni · F ]sym· IL · [ F t · ∇X N j ]sym dV mat. Anteil
zu lösendes Gleichungssystem
nnp
∆
J
=
∑ K−J I1 · ∆r I
∀ I, J = 1, .., nnp
I =1
Bemerkungen:
• Alternativ kann auch zunächst kontinuierliche schwache
Form W0 ( ) bezüglich der kontinuierlichen Verschiebungen linearisiert und die linearisierte schwache Form
.
W0 ( + ∆ ) = W0 ( ) + ∆ W0 ( ) = 0
dann diskretisiert werden. Für Kontinuumselemente erhält
man formal gleiche Ausdrücke wie bei der hier vorgestellten Vorgehensweise. Insbesondere für Strukturelemente können sich beide Verfahren jedoch erheblich unterscheiden, nur das hier vorgestellte liefert dann die richtigen Tangentenoperatoren.
• Die Summe aus dynamischen, internen und externen
Kräften wird als Elementresiduum r i ∀i = 1, .., nen bzw. als
globales Residuum r I ∀ I = 1, .., nnp bezeichnet. Das Residuum ist eine nichtlineare Funktion der unbekannten Deformation J . Mit Hilfe des Newton–Raphson Verfahrens wird
das globale Residuum an der Stelle n + 1 iterativ zu Null
.
berechnet, so daß r I n+1 = 0 ∀ I = 1, .., nnp .
46
2 Finite Element Methode – Elastizität
• Die Integralausdrücke über das materielle bzw. räumliche
R
R
Elementgebiet B e ...dV bzw. B e ...dv werden üblicherweise
t
0
im Rahmen der FEM mittels numerischer Integration ermittelt.
nip
Z
B0e
(•)dV ≈
∑ (•)(
I ) wI
bzw.
I =1
nip
Z
Bte
(•)dv ≈
∑ (•)(
I ) wI
I =1
Dazu erfolgt eine Auswertung an I = 1, .., nip Integrationspunkten und eine anschließende Gewichtung mit den jeweiligen Gewichten w I , vergleiche FEM I (Gauss–Legendre
oder Newton–Cotes Quadratur).
• Aufgrund der komplizierten Darstellung der materiellen
Form wird i.a. häufig die räumliche Form bevorzugt, die im
folgenden näher betrachtet wird.
47
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.3 Diskretisierung der schwachen Form (räumlich)
2.3.1 Diskretisierung des Residuums
kontinuierliche schwache Form
Wt =
Z
·
Bt
¨ dv +
t
Z
skalare Gleichung
t
∇x : dv −
Z
Bt
∂Bt
· t̄da −
diskretisierte schwache Form
nel
Wt = A
i
e=1
·[
−
Z
Ni
e
Z Bt
∂Bte
Z
·
Bt
t
b dv = 0
skalare Gleichung
t
¨ dV +
Ni · t̄ da −
Z
e
Z Bt
Bte
∇tx Ni
dv
Ni
t
∀
i
b dv ] = 0
bzw.
nel
Wt = A
e=1
h
i
dyn
· fi
int
ext
+ fi − fi
i
=0
nel
A ... Zusammenbau aller i = 1, .., nen Elementknotenbeiträge
e=1
zu globalen Knotenbeiträgen I = 1, .., nnp
diskretes Gleichgewicht
dyn
r I := f I
vektorwertige Gleichung
ext
+ f int
I − fI = 0
∀ I = 1, .., nnp
48
2 Finite Element Methode – Elastizität
dyn
ext
mit Residuum r I und diskreten Knotenkräften f I , f int
I und f I
dyn
fI
nel
= A
Z
Ni
e=1
nel
e
Z Bt
e=1
nel
e
Z Bt
e=1
nel
e
Z ∂Bt
e=1
Bte
f int
= A
I
f ext
= A
I
+ A
t
¨ dv
dynamische Kräfte
∇x Ni ·
dv
interne Kräfte
Ni t̄
da
externe Oberflächenkräfte
Ni
t
b dv
externe Volumenkräfte
2.3.2 Linearisierung des Residuums
konsistente Linearisierung des Residuums r I an der Stelle n + 1
Taylor Reihenentwicklung
.
r I nk++11 = r I kn+1 + ∆r I = 0
∀ I = 1, .., nnp
mit Linearisierung des Residuums ∆r I
nnp
∆r I (
J) =
nnp
∑ D∆ J r I (
J) · ∆
J
=
J =1
∂r I (
∑ ∂
J =1
J)
·∆
mit inkrementellem Update des Lösungsvektors ∆
nnp
∆r I =
∑ KI J
·∆
J
KI J =
J =1
∂r I (
∂
J)
J
J
J
∀ I = 1, .., nnp
J
Steifigkeitsmatrix K I J aus Linearisierung des Residuums r I
dyn
geo
K I J = K I J + K I J + Kmat
IJ
∀ I, J = 1, .., nnp
49
2 Finite Element Methode – Elastizität
mit Anteilen der Steifigkeitsmatrix K I J
dyn
nel
geo
e=1
nel
e
Z Bt
e=1
nel
e
Z Bt
e=1
Bte
KI J = A
KI J = A
Kmat
IJ = A
Z
Ni
t
∇tx Ni ·
∂¨
Nj I
∂
dv dynamischer Anteil
· ∇x N j I dv geometrischer Anteil
∇tx Ni · IE · ∇x N j dv materieller Anteil
• zu lösendes Gleichungssystem
nnp
∆
J
=
∑ K−J I1 · ∆r I
∀ I, J = 1, .., nnp
I =1
Bemerkung: einzelne Anteile von Residuum und Steifigkeitsmatrix können je nach Problemstellung materiell oder räumlich
ausgewertet werden
50
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.4 Diskretisierung in Matrix–Vektor–Notation
Bemerkung: Bei der Implementierung wird häufig die
Voigt’sche Darstellung / Matrixnotation verwendet, für die
sich die Darstellung der Tensoren und Vektoren erheblich vereinfacht, vergleiche FEM I
hier: Matrixnotation am Beispiel der räumlichen Formulierung,
vergleiche 2.3
• Unbekanntenvektor - Inkrement der Verschiebungen
∆
[3×1]
=[∆
1, ∆
2, ∆
3
]
nen
t
mit
∆
[3×1]
=
∑ Ni ∆
i =1
• Testfunktion
=[
1,
2,
3
]
nen
t
=
mit
[3×1]
∑ Ni
[3×1]
i
i =1
Ni ... isoparametrische Formfunktionen
• räumlicher Gradient des Unbekanntenvektors
∇x ∆
=[∆
[6×1]
1,1 ,
2,2 ,
∆
3,3 ,
∆
∆
1,2 ,
∆
mit
nen
∇x ∆
=
[3×1]
∑
Bit · ∆
i
[
3
×
1
]
[
6
×
3
]
i =1
• räumlicher Gradient der Testfunktionen
∇x = [
1,1 ,
2,2 ,
3,3 ,
1,2 ,
[6×1]
mit
nen
∇x =
[6×1]
∑
Bit ·
i
[
3
×
1]
i =1 [6×3]
51
2,3 ,
3,1
]t
2,3 ,
∆
3,1
]t
i
2 Finite Element Methode – Elastizität
Bi ... B-Matritzen, vergleiche FEM I

∂Ni
∂Ni
0
0
0
 ∂x1
∂x
2

∂N
∂N

i ∂Ni
i
Bi =  0
0

∂x2
∂x1 ∂x3
[6×3]

∂Ni
∂Ni
0
0
0
∂x3
∂x2

∂Ni t
∂x3 


0 

∂Ni 
∂x1
• Beschleunigungsvektor
¨ = [ ¨ 1 , ¨ 2 , ¨ 3 ]t
[3×1]
• Spannungstensor in Voigt’scher Notation
[6×1]
=[
11 ,
22 ,
33 ,
12 ,
23 ,
• Spannungssvektor
t̄ = [ t̄1 , t̄2 , t̄3 ]t
[3×1]
• Volumenlastvektor
b = [ b1 , b2 , b3 ]t
[3×1]
52
31
]t
2 Finite Element Methode – Elastizität
• räumlicher Materialtensor

2 E1111 2 E1122 2 E1133


2 E2222 2 E2233


2 E3333
1

D = 
[6×6] 2 



sym.

E1112 + E1121 E1123 + E1132 E1131 + E
E2212 + E2221 E2223 + E2232 E2231 + E
E3312 + E3321 E3323 + E3332 E3331 + E
E1212 + E1221 E1223 + E1232 E1231 + E
E2323 + E2332 E2331 + E
E3131 + E
Beispiel: räumlicher Materialtensor des Neo–Hooke Materials
IE
[3×3×3×3]
∗
,
,
∗
∗
I ⊗ I +2
[3×3]
[3×3]
... Materialparameter mit
i
[3×3×3×3]
∗
=
... Lamé Parameter mit
=
E,
∗
=
J
und
=
∗
=
−
ln J
J
E
[1 + ][1 − 2 ]
E
2[1 + ]
... Elastizitätsmodul, Querkontraktion
• Materialtensor des Neo–Hooke Matrerials

∗
∗
∗
+2 ∗
0


∗
∗
∗
+2 ∗
0



∗
∗
∗
+2 ∗ 0

D =
∗

[6×6]
0
0
0



0
0
0
0

0
0
0
0
53
0

0
0
0
0
0
0












0
∗
0
0
∗
und
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.4.1 Diskretisierung des Elementresiduums
• diskretisierte schwache Form pro Element skalare Gleichung
Wte =
t
i
[1×3]
dyn
· [fi
+ f iint − f iext ] = 0
dyn
[3×1]
i
[3×1]
• diskretes Elementgleichgewicht
r i := f i
∀
vektorwertige Gleichung
+ f iint − f iext = 0
[3×1]
[3×1]
∀ i = 1, .., nen
dyn
mit Elementresiduum r i und Elementknotenkräften f i ,
f iint , f iext
dyn
fi
=
[3×1]
f iint =
[3×1]
f iext =
Z
Be
Z t
Be
Z t
∂Bte
[3×1]
+
Z
Bte
Ni
¨
dv
dynamische Kräfte
Bit ·
dv
interne Kräfte
Ni t̄
da
externe Oberflächenkräfte
dv
externe Volumenkräfte
t
[3×1]
[3×6] [6×1]
[3×1]
Ni
t
b
[3×1]
• Kontrolle am Beispiel der internen
Knotenkräfte
Z
... in Tensornotation f iint =
[3×1]
Bte
∇x Ni ·
[1×3]


11
int
f i = [ Ni,1 Ni,2


Ni,3 ] 

12
13
21
22
23
31
32
33
54
[3×3]
dv

  Ni,1
 
 =  Ni,1
 
Ni,1
11
Ni,2
21
Ni,3

31
12
Ni,2
22
Ni,3
32
13
Ni,2
23
Ni,3
33




2 Finite Element Methode – Elastizität
... in Matrix- / Vektor-Notation
int
fi
[3×1]
nel
= A
e=1
Z
Bit ·
Bte [3×6] [6×1]
dv


11

 Ni,1 0 0 Ni,2 0

f iint=  0 Ni,2 0 Ni,1 Ni,3

0 0 Ni,3 0 Ni,2



Ni,3 


0 


Ni,1 



 
22 

  Ni,1
33 

 =  Ni,1
 
12 
Ni,1


23 
11
Ni,2
12
Ni,3
31


23 

12
Ni,2
22
Ni,3
31
Ni,2
23
Ni,3
31
2.4.2 Linearisierung des Elementresiduums
konsistente Linearisierung des Elementresiduums r i an der Stelle n + 1, Taylor Reihenentwicklung
.
r i kn++11 = r i kn+1 + ∆r i = 0
∀ i = 1, .., nen
Elementsteifigkeitsmatrix Ki j aus Linearisierung des Elementresiduums r i
dyn
geo
Ki j = Ki j + Ki j + Kimat
j
∀i, j = 1, .., nen
55

33
2 Finite Element Methode – Elastizität
• mit Anteilen der Elementsteifigkeitsmatrix Ki j
dyn
Ki j =
Z
Bte
[3×3]
geo
Ki j =
Z
[3×3]
∇tx Ni ·
Bte [1×3]
[3×3]
Kimat
j =
Ni
Z
t
∂¨
Nj
∂
[3×3]
dv I
[3×3]
· ∇x N j dv I
[3×3]
[3×1]
Bit · D · B j
dv
Bte [3×6] [6×6] [6×3]
dynamischer Anteil
geometrischer Anteil
materieller Anteil
Bemerkung: Der geometrische Anteil der Tangentenmatrix läßt
sich in geschlossener Form besser in Tensornotation darstellen.
Ein wirkliche Vereinfachung erhält man nur für die internen
Kräfte f int und den materiellen Anteil der Tangentenmatrix
Kmat .
56
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.5 Stabelement im 2D Raum
2
phi
L
B0
l
F
N
Y
1
2
Bt
n
Xxi
X
xxi
1
Ll
xim1
xi
1
y
xip1
2
Abbildung 2.2: Nichtlineares Stabelement im 2d-Raum
Annahmen:
• einaxialer Spannungszustand
11
=
6= 0
ij
= 0 ∀i j 6= 11
• lineare Ansatzfunktionen
u linear, ∇X u konstant, F konstant, E konstant, konstant
1
1
N(1) = [ 1 − ]
N(2) = [ 1 + ]
2
2
• isoparametrischer Gradient der Formfunktionen
1
1
1 1
∇ N(2) = +
∇ Ni = − ; +
∇ N(1) = −
2
2
2 2
• materieller und räumlicher Gradient der Formfunktionen
1
1
2
∇X N(1) = − N ∇X N(2) = + N ∇X Ni = N ∇ Ni
L
L
L
1
1
2
∇x N(1) = − n
∇x N(2) = + n
∇x Ni = n∇ Ni
l
l
l
57
x
2 Finite Element Methode – Elastizität
• Diskretisierung der Geometrie und Deformation
2
X=
2
∑ Ni (
) Xi
=
i =1
∑ Ni (
)
i
i =1
also gilt


1  [ 1 − ] X(1) + [ 1 + ] X(2) 
2 [ 1 − ] Y(1) + [ 1 + ] Y(2)
X=
und damit

X (1)
=
X(1)
Y(1)


X (2)

=
X(2)
Y(2)


• materielle und räumliche Länge
2
L = || X (2) − X (1) || = || ∑ 2 X i ∇ Ni ||
i =1
2
l = ||
(2)
−
(1)
|| = || ∑ 2
i∇
Ni ||
i =1
• materielle und räumliche Normale
X (2) − X (1) ∑i2=1 2 X i ∇ Ni
N=
=
L
L
n=
(2)
−
l
(1)
=
∑i2=1 2
i∇
2
∑ X i ∇ Ni =
i =1
2
Ni
∑
l
i ∇ Ni =
i =1
• materieller und räumlicher Jacobi-”Vector”
2
N ∇ {•}
L
2
= N
L
2
n∇ {•}
l
2
= n
l
∇X {•} =
∇x {•} =
∇X
∇x
58
LN
2
ln
2
2 Finite Element Methode – Elastizität
• Deformationsgradient
2
F=
∑
2
i ⊗ ∇ X Ni =
i =1
∑
i =1
l
2
⊗
N
=
n⊗N
∇
N
i
i
L
L
alternative Darstellung
l
F = F n⊗N
L
Interpretation als Tangentenabbildung von T B0 nach T Bt
F=
dx = F · dX
bzw.
ñ = F · N
Stretch F = l / L und Rotation der materiellen Normalen N
l
l
n⊗N·N = n
L
L
• Green–Lagrange Verzerrungstensor
ñ =
1
1 l 2 − L2
E = [F F−1] =
2
2 L2
E = EN⊗N
vergleiche Dreigelenkrahmen
• (eindimensionales) konstitutives Gesetz:Neo-Hooke Material
1
W0neo = Emod [ F 2 − 1 − 2 ln( F ) ]
4
neo
dW
1
1
0
neo
t
=
= Emod F −
=
n⊗N
dF
2
F
1
1
1
neo
neo
=
F = Emod F −
=
n⊗n
F
2
F
d2W0neo
d neo
1 mod
1
=
= E
1+ 2
dF 2
dF
2
F
• (eindimensionales) konstitutives Gesetz: St.–Venant Kirchhoff Material
1
W0kir = E Emod E
2
59
2 Finite Element Methode – Elastizität
1
= Emod E = Emod [ F2 − 1]
2
t
= F· t = F·N⊗N
1
kir
= F kir = Emod [ F3 − F ]
2
kir
t
=
N⊗N
t
=
F n⊗N
t
=
n⊗N
d2W0kir
d kir
d kir
1
mod
=
=E
= Emod 3 F2 − 1
dE
dE
dF
2
• Vergleich Neo–Hooke und St. Venant–Kirchhoff Spannungen
neo
=
1
F2
kir
kir
= F2
neo
• innere Kräfte
nel
f int
=
I
A
=
e=1
nel
e
Z B0
e=1
nel
e
Z B0
e=1
Bte
A
=
Z
A
∇X Ni · F ·
dV
...materiell
∇X Ni ·
dV
...materiell
∇x Ni ·
dv
...räumlich
mit
∇X Ni =
2
N ∇ Ni
L
2
∇x Ni = n ∇ Ni
l
und
dV =
1
ALd
2
nel
f int
I = A ∇ Ni 2
e=1
dv =
1
Ald
2
nel
A ne = A ∇ Ni 2
e=1
60
A ne
2 Finite Element Methode – Elastizität
• Linearisierung
nel d[∇ Ni 2
d f int
A ne ]
I
KI J =
= A
e=1
d J
d j
nel
nel
dne
d dF
A
A
+
=
∇ Ni 2 A
∇ Ni 2 A ne ⊗
e=1
dF d J e=1
d j
{z
}
|
{z
}
|
materiellerAnteil
geometrischerAnteil
Linearisierung des Stretches F = l / L
dF
1 dl
1 d|| ∑i2=1 2 i ∇ Ni ||
=
=
d j
Ld j
L
d j "
#
2
11
1
2 ∑ 2 i ∇ Ni 2 ∇ N j
=
L 2 || ∑i2=1 2 i ∇ Ni ||
i =1
dF
2
= ne ∇ N j
d j
L
Linearisierung der räumlichen (Einheits-)normale ne
1 d[∑i2=1 2 i ∇ Ni ]/ F
dne
=
d j
L
d j
1 1 d[∑i2=1 2 i ∇ Ni ] 1 2
dF −1
=
+ [ ∑ 2 i ∇ Ni ]
LF
d j
L i =1
d j
2
2
=
I ∇ Nj −
ne ⊗ ne ∇ N j
FL
FL
2
= [ I − ne ⊗ ne ] ∇ N j
l
61
2 Finite Element Methode – Elastizität
• materielle Steifigkeitsmatrix
nel
Kmat
IJ = A
e=1
nel
= A
[∇X Ni · F ]
B0e
Z
Bte
e=1
mat
d
[ F t · ∇X N j ] dV
dF
d
∇x N j
dv
∇x Ni
dF
Z
...materiell
...räumlich
Ad
∇ Ni ne ⊗ ne ∇ N j
L dF
nel
KI J = A 4
e=1
• geometrische Steifigkeitsmatrix
geo
nel
KI J = A
e=1
nel
e
ZB0
e=1
Bte
= A
geo
Z
nel
KI J = A 4
e=1
∇X Ni
A
l
∇X N j dV I
...materiell
∇x Ni ∇x N j dvI
...räumlich
∇ Ni [ I − ne ⊗ ne ] ∇ N j
62
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.6 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens
materiellekonfiguration
raumlichekonfiguration
fext
fext
L
l
2
EA
H
u
2
1
1
B
H−u
B
B
X
B
x
Abbildung 2.3: Dreigelenkrahmen: undeformierte & deformierte Konfiguration
• materielle und räumliche Normale
p
1
t
N = [ B, H ]
L =
B2 + H 2
L
p
1
t
l =
n = [ B, ]
B2 + 2
l
• Deformationsgradient
√
l
B2 + H 2
F= = √
L
B2 + 2
F = Fn⊗N
• Green–Lagrange Verzerrungstensor
1 2 − H2
1 l 2 − L2
E=
=
2 L2
2 L2
• Neo–Hooke Material
1
1
1
neo
= Emod F −
= Emod
2
F
2
63
E = EN⊗N
2
− H2
Ll
t
=
n⊗N
2 Finite Element Methode – Elastizität
d
dF
neo
1
1
= Emod 1 + 2
2
F
• St. Venant–Kirchhoff Material
kir
t
kir
1 mod 2 − H 2
=E E= E
2
L2
= F· t = F·N⊗N
mod
l
=
L
kir
1
l[
= Emod
2
2
− H2]
L3
t
=
N⊗N
t
=
l
n⊗N
L
t
=
n⊗N
d kir
1 mod 2
d kir
= E
3F −1
= Emod
dF
2
dE
• Vergleich Neo–Hooke und St. Venant–Kirchhoff Spannungen
neo
L2
= 2
l
kir
1
= 2
F
kir
kir
l2
= 2
L
neo
= F2
neo
• innere Kräfte
f int
I
= ∇ Ni 2
1 1 mod
neo
f int
=
+
2 E
(2) y
2 2
1 1 mod l [
kir
2 E
f int
=
+
(2) y
2 2
A ne
2
− H2
1
Emod A
A
=
[
2
Ll
l
2Ll
2
− H2] 1
Emod A
A
=
[
L3
l
2L3
3
−H ]
3
−H ]
• materielle Steifigkeit
Kmod
IJ
neo
K(mat
2) y(2) y
neo
K(mat
2) y(2) y
kir
K(mat
2) y(2) y
A
d
∇ Ni ne ⊗ ne ∇ N j
L
dF
A
d
1
1 1
1
= 4
L dF 2
l l
2
Emod A
1
2
=
1
+
2l 2 L
F2
Emod A 2
2
=
3F
−
1
2l 2 L
=
4
64
2 Finite Element Methode – Elastizität
• geometrische Steifigkeit
A
∇ Ni [ I − ne ⊗ ne ] ∇ N j
l
1
1 1
1
A
geo
[1 −
]
K( 2 ) y ( 2 ) y = 4
l 2
2
l 2l mod
E
A
1
geo neo
K( 2 ) y ( 2 ) y =
F−
1− 2
2l
F
l mod
2
E A 3
geo kir
K( 2 ) y ( 2 ) y =
F −F
1− 2
2l
l
geo
KI J
= 4
• Iterationsvorschrift für Newton–Raphson Verfahren
=
∆
ext
1
int
f
−
f
K mod + K geo
interne Kräfte und Steifigkeit für St. Venant–Kirchhof Material
Emod A 3
2
f
=
−
H
2L3 2
mod
L 2
E A
2
3
−
Kmod + Kgeo =
2L3
l 2
2
Emod A 2
2
1− 2
+
l
−
L
2L3
l
mod
E A 2
2
=
3 −H
2L3
vergleiche kontinuierliche Formulierung Dreigelenkrahmen 1.6
int
65
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.7 Algorithmische Umsetzung mit MATLAB
2
phi
L
B0
l
F
N
Y
1
Bt
n
Xxi
X
2
xim1
xxi
1
Ll
xi
1
xip1
2
Abbildung 2.4: Nichtlineares Stabelement im 2d-Raum
66
y
x
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.7.1 Hauptprogramm
%----------------------------------------------------------------% nonlinear elastostatics
%----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------clear all
initialization
[ q0,edof,bc,F ext,emod,area,nel,node,ndof ] = frame 2;
% input of discretization, geometry, material data
j = 1;
% init time index
time(1)= 0;
% init time
tol = 1e-8;
% tolerance of newton iteration
% init material coordinates
e mat = extr dis(edof,q0);
q2 = q0;
% init spatial coordinates
n gp = 2;
% number of integration points
dt = 1;
% init load increment
%----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------for im=1:1000
% loop over keyboard inputs
macro = input(’macro:’,’s’);
[ir,ic] = size(macro);
if ic<4
disp(’@ least 4 letters needed’)
% wrong keyboard input
else
%----------------------------------------------------------------if (strcmp(macro(1:4),’step’) == 1); % apply load in n increments
[ir,ic] = size(macro);
if ic==4
nsteps = 1;
else
nsteps = str2num(macro(7:ic));
end
for is = 1:nsteps;
% loop over all load increments
j = j+1;
time(j) = time(j-1) + dt;
iter=0; residuum=1;
while residuum > tol
% global newton-raphson iteration
iter=iter+1;
if iter>20
% no convergence
disp(’no convergence after 20 iterations’)
return
else
R = zeros(ndof,1);
% initialization of global residuum
Kt = zeros(ndof,ndof);
% initialization of global stema
67
2 Finite Element Methode – Elastizität
e spa = extr dis(edof,q2);
% extract global displacements
for ie = 1:nel
% loop over all elements
[Ke,Fe] = truss(e mat(ie,:),e spa(ie,:),emod,area);
[Kt,R] = assm sys(edof(ie,:),Kt,Ke,R,Fe);
end
R = R - time(j)*F ext; % add external load to righthand side
residuum=res norm(R,bc)
% norm of residual including bc’s
q2 = solve nr(Kt,R,q2,bc);
% solution and update
end
end
% end of global newton iteration
end
% end of load incrementation loop
%----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------elseif (strcmp(macro(1:4),’pmat’) == 1);
% plot mat config
figure(1)
elnum = edof(:,1);
plot mat(e mat,elnum)
%----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------elseif (strcmp(macro(1:4),’pspa’) == 1);
% plot spat config
figure(1)
e spa = extr dis(edof,q2);
plot spa(e spa)
%----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------elseif (strcmp(macro(1:4),’quit’) == 1);
% quit
return
%----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------else
% displace possible keyboard inputs
disp(’step ... apply one load step’)
disp(’step,,n ... apply n load steps’)
disp(’pmat ... plot material configuration’)
disp(’pspa ... plot spatial configuration’)
disp(’quit ... quit fe analyses’)
%----------------------------------------------------------------end
end
% end of keyboard input loop
end
% end of main programme
%-----------------------------------------------------------------
68
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.7.2 Elementlastvektor und Elementsteifigkeitsmatrix
%----------------------------------------------------------------function [ed] = extr dis(edof,a)
%----------------------------------------------------------------% extract displacements from global vecto
%----------------------------------------------------------------[nie,n] = size(edof);
t = edof(:,2:n);
for i = 1:nie
ed(i,1:(n-1)) = a(t(i,:))’;
end
%----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------function [Ke,fe] = truss(e mat,e spa,emod,area,e b)
%----------------------------------------------------------------% geometrically nonlinear isoparametric truss element
% two noded element, analytical integration, material formulation
%----------------------------------------------------------------% input: e mat = [ X 1 Y 1 X 2 Y 2 ]
... material coord
% e spa = [ x 1 y 1 x 2 y 2 ]
... spatial coord
% emod = 2 * mue
... young’s modulus
% area
... cross section area
% e b = [ bx; by ]
... volume force vector
%----------------------------------------------------------------% output: Ke = [ 4 x 4 ]
... element stiffness matrix
% fe = [ fx 1 fy 1 fx 2 fy 2]
... element load vector
%----------------------------------------------------------------fe = [ 0; 0; 0; 0];
% init load vector
unit = eye(2);
% init identity
if nargin==4 b=zeros(2,1); else b=e b; end
% init volume forces
indx =[1;3];
indy =[2;4];
ex mat=e mat(indx);
ey mat=e mat(indy);
ex spa=e spa(indx);
ey spa=e spa(indy);
% indices of x coordinates
% indices of y coordinates
% material x coordinates of 1/2
% material y coordinates of 1/2
% spatial x coordinates of 1/2
% spatial y coordinates of 1/2
69
2 Finite Element Methode – Elastizität
dx
dy
dx
dy
mat
mat
spa
spa
=
=
=
=
ex
ey
ex
ey
mat(2)-ex
mat(2)-ey
spa(2)-ex
spa(2)-ey
mat(1);
mat(1);
spa(1);
spa(1);
% material
% material
% spatial
% spatial
length
length
length
length
l mat = sqrt( dx mat*dx mat + dy mat*dy mat );
l spa = sqrt( dx spa*dx spa + dy spa*dy spa );
n mat =
n spa =
dNx ref
dNx mat
dNx spa
[
[
=
=
=
in
in
in
in
x
y
x
y
direction
direction
direction
direction
% material length
% spatial length
dx mat; dy mat ] / l mat;
dx spa; dy spa ] / l spa;
[ -1/2; +1/2 ];
% referential gradient of N1/N2
[ -n mat(1); -n mat(2); +n mat(1); +n mat(2) ];
[ -n spa(1); -n spa(2); +n spa(1); +n spa(2) ];
F mat = l spa / l mat;
% material deformation gradient
P = emod/2 * ( F mat - 1/F mat ); % 1st pk stress / cauchy stress
dPdF = emod/2 * ( 1 + 1/F mat/F mat ); % linearization of 1st pk
lin1 = dPdF / l mat - P / l spa;
lin2 = P / l spa;
for i=1:2 indx=[2*i-1; 2*i];
fe(indx)=P*n spa*dNx ref(i)*2*area;
for j=1:2 jndx=[2*j-1, 2*j];
Ke(indx,jndx)=dNx ref(i)*lin1*n spa*n spa’*dNx ref(j)*4*area...
+dNx ref(i)*lin2* unit *dNx ref(j)*4*area;
end
end
%-----------------------------------------------------------------
70
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.7.3 Gleichungslöser
%----------------------------------------------------------------function ug = solve nr(K,f,ug,bc)
%----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------if nargin==3 ;
% no dirichlet boundary conds
ug = ug - K \ f ;
% solve and update vector of unknowns
elseif nargin==4;
% dirichlet boundary conds to be included
[nd,nd] = size(K);
fdof = [1:nd]’;
pdof = bc(:,1);
dp = bc(:,2);
fdof(pdof) = [];
% extract load vector of non-dirichlet nodes
s =- K(fdof,fdof) \ f(fdof);
% solve reduced system
ug(fdof) = ug(fdof) + s;
% update vector of unknowns
end
%----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------function residuum = res norm(f,bc)
%----------------------------------------------------------------% norm of residual
%----------------------------------------------------------------if nargin==1
% no dirichlet bc’s
residuum = norm(f);
elseif nargin==2
% dirichlet bc’s
[nr,nc] = size(f);
fdof = [1:nr]’;
pdof = bc(:,1);
fdof(pdof) = [];
residuum = norm(f(fdof));
% residual without reaction forces
end
%-----------------------------------------------------------------
71
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.7.4 Zusammenbau Systemsteifigkeitsmatrix und Systemlastvektor
%----------------------------------------------------------------function [K,f] = assm sys(edof,K,Ke,f,fe)
%----------------------------------------------------------------% assemble element contributions to global stiffness and force
%----------------------------------------------------------------% input: edof = [ elem X1 Y1 X2 Y2 ]
... incidence matrix
%
Ke = [ ndof x ndof ]
... element stiffness matrix
%
fe = [ ndof x 1]
... element load vector
%----------------------------------------------------------------% output: K = [ 4 x 4 ]
... element stiffness matrix Ke
... element load vector fe
%
f = [ fx 1 fy 1 fx 2 fy 2]
%----------------------------------------------------------------[nie,n] = size(edof);
t = edof(:,2:n);
for i = 1:nie
K(t(i,:),t(i,:)) = K(t(i,:),t(i,:))+Ke;
if nargin==5
f(t(i,:)) = f(t(i,:))+fe;
end
end
%-----------------------------------------------------------------
72
2 Finite Element Methode – Elastizität
2.7.5 Plot der materiellen und räumlichen Konfiguration
%----------------------------------------------------------------function plot mat(e mat,elnum)
%----------------------------------------------------------------% plot of material configuration (2d frame structures)
%----------------------------------------------------------------indx=[1;3]; ex mat=e mat(:,indx);a=size(ex mat);
indy=[2;4]; ey mat=e mat(:,indy);b=size(ey mat);
if(a-b)==[0 0]
nel=a(1);nen=a(2);
else
disp(’error in input of geometry’)
end
s1 = ’-’; s1 = [s1,’k’]; s2 = ’ko’;
x0 = sum(ex mat’)/nen; x = ex mat’; xc = [x ; x(1,:)];
y0 = sum(ey mat’)/nen; y = ey mat’; yc = [y ; y(1,:)];
axis(’equal’)
hold on
plot(xc,yc,s1)
plot(x, y, s2)
for i=1:nel
h=text(x0(i),y0(i),int2str(elnum(i)));
set(h,’fontsize’,8);
end
xlabel(’x’);ylabel(’y’);
hold off
%----------------------------------------------------------------%----------------------------------------------------------------function plot spa(e spa)
%----------------------------------------------------------------% plot of spatial configuration (2d frame structures)
%----------------------------------------------------------------indx=[1;3]; ex spa=e spa(:,indx);
indy=[2;4]; ey spa=e spa(:,indy);
s1 = ’--’; s1 = [s1,’k’]; s2 = ’ko’;
x=ex spa’; xc = [x; x(1,:)]; y=ey spa’; yc =[y; y(1,:)];
axis(’equal’)
hold on
plot(xc,yc,s1)
plot(x, y, s2)
hold off
%-----------------------------------------------------------------
73
3 Lösungsverfahren
3.1 Newton–Raphson Verfahren (Lastkontrolle)
Bemerkung: Das Newton–Raphson Verfahren ist ein iteratives
dyn
ext
Verfahren, das das Residuum r I = f I + f int
I − f I , den “Fehler
im Käftegleichgewicht”, zu Null iteriert.
• Problem: nichtlineare Gleichung der Form
.
rI( J + ∆ J) = 0
∀ I = 1, .., nnp
• Taylor Reihenentwicklung
.
r I nk++11 = r I kn+1 + ∆r I = 0
∀ I = 1, .., nnp
mit Linearisierung des Residuums ∆r I
nnp
∆r I =
∂r I
∑ ∂ J ·∆
J =1
KI J =
J
∂r I
∂ J
∀ I = 1, .., nnp
folgt
nnp
r I kn++11
=
r I kn+1
+
∑ KI J
·∆
.
=0
J
∀ I = 1, .., nnp
J =1
• Iterationsvorschrift für das Newton–Raphson Verfahren
nnp
∆
J
1
k
= − ∑ K−
J I · r I n+1
∀ J = 1, .., nnp
I =1
74
3 Lösungsverfahren
Bemerkung: Obwohl es theoretisch möglich wäre, die äußere
Last f ext
I in einem einzigen Schritt aufzubringen, ist es im allgemeinen üblich, die Last inkrementell zu steigern, so daß in
jedem Lastschritt n eine Teillast ∆ f ext
In mit
nstep
f ext
I =
∑
∆ f ext
In
n=1
aufgebracht wird. Man spricht von einem inkrementell
iterativen, lastkontrollierten Verfahren.
3.1.1 Newton–Raphson Verfahren – Algorithmus
1. Schleife über alle Lastschritte n = 1..nstep
ext
ext
f ext
In+1 = f In + ∆ f I
2. Schleife über alle Iterationsschritte i = 1..imax
a) Berechne Residuum
dyn
r I ( in+1 ) = f I ( in+1 ) + f int
I (
i
n+1 )
b) Berechne Tangentenmatrix
dyn
geo
K I J ( in+1 ) = K I J ( in+1 ) + K I J (
− f ext
In+1
i
n+1 )
+ Kmat
IJ (
c) Berechne Inkrement der Verschiebungen
nnp
∆ J = − ∑ I =1 K J I ( in+1 )−1 · r I ( in+1 )
d) Update
i +1
i
J n+1 =
J n+1 + ∆ J
e) Konvergenztest
≤ TOL goto 1.
||r I ( in++11 )||
> TOL goto 2.
75
i
n+1 )
3 Lösungsverfahren
3.1.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens
fext
L
H
EA
B
T1
=
T5
E1
T2
=
T6
E2
T3
=
T7
E3
T4
=
T8
E4
B
Abbildung 3.1: Durchschlagproblem: Geometrie und Abmessungen
Newton–Raphson Algorithmus, Beispiel Durchschlagproblem
ext
ext
f next
+1 = f n + ∆ f
1. Lastschrittschleife, n = 1..nstep
2. Iterationsschleife, i = 1..imax
a) Residuum
r(
b) Tangente
i
n+1 )
d) Update
||r(
76
3
2
−H
EA
i
k( n+1 ) = 2L3 3
=
c) Inkrement der Deformation ∆
e) Konvergenztest
EA
2L3
− f next
2
2
−H
i
−1
r( in+1 )
n+1 )
i +1
i
n+1 = n+1 + ∆
= −k(
i
n+1 )||
≤ TOL goto 1.
> TOL goto 2.
3 Lösungsverfahren
• Iterationsverlauf
Iteration
i
Residuum
||r(uin )||
1
2
3
4
5
1.0000E+02
1.1722E+01
2.5643E-01
1.3295E-04
3.5811E-11
Inkrement totale Verschiebg
∆u [m]
uin [m]
4.0150E-02
6.1222E-03
1.4003E-04
7.2684E-08
1.9576E-14
4.0150E-02
4.6272E-02
4.6412E-02
4.6412E-02
4.6412E-02
• qualitative Darstellung des Iterationsverlaufes
Bemerkungen:
• Das Newton–Raphson Verfahren ist das gebräuchlichste
Verfahren zur Lösung des aus der FE Diskretisierung resultierenden nichtlinearen Gleichungssystems.
• Vorteil: Das Newton–Raphson Verfahren zeichnet sich
durch quadratische Konvergenz in der Nähe der Lösung
aus, vergleiche Durchschlagproblem.
• Nachteil: In jedem Iterationsschritt muß die Tangentenmatrix neu aufgestellt und invertiert werden, vergleiche 2.(b).
77
3 Lösungsverfahren
3.2 Modifiziertes Newton Verfahren (Lastkontrolle)
Bemerkung: Das modifizierte Newton Verfahren stellt eine Vereinfachung des Newton–Raphson Verfahrens dar, bei der die
Tangentenmatrix pro Lastschritt nur einmalig aufgestellt und
invertiert wird.
3.2.1 Modifiziertes Newton Verfahren – Algorithmus
1. Schleife über alle Lastschritte n = 1..nstep
ext
ext
f ext
In+1 = f In + ∆ f I
Berechne (und invertiere) Tangentenmatrix
geo
dyn
K I J ( n+1 ) = K I J ( n+1 ) + K I J ( n+1 ) + Kmat
IJ (
n+1 )
2. Schleife über alle Iterationsschritte i = 1..imax
a) Berechne Residuum
dyn
r I ( in+1 ) = f I ( in+1 ) + f int
I (
b)
c)
d)
e)
i
n+1 )
− f ext
In+1
Berechne Tangentenmatrix (entfällt)
Tangentenmatrix wird einmalig vor Beginn der Schleife
initialisiert
Berechne Inkrement der Verschiebungen
nnp
∆ J = − ∑ I =1 K J I ( n+1 )−1 · r I ( in+1 )
Update
i +1
i
J n+1 =
J n+1 + ∆ J
Konvergenztest
≤ TOL goto 1.
||r I ( in++11 )||
> TOL goto 2.
78
3 Lösungsverfahren
3.2.2 Nichtlineare Analyse eines Dreigelenkrahmens
• Iterationsverlauf
Iteration
i
Residuum
||r(uin )||
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1.0000E+02
1.1722E+01
2.8623E+00
7.4478E-01
1.9673E-01
5.2170E-02
1.3848E-02
3.6771E-03
9.7644E-04
2.5929E-04
6.8855E-05
1.8284E-05
Inkrement totale Verschiebg
∆u [m]
uin [m]
4.0150E-02
4.7066E-03
1.1492E-03
2.9903E-04
7.8989E-05
2.0946E-05
5.5602E-06
1.4763E-06
3.9204E-07
1.0410E-07
2.7645E-08
7.3412E-09
• qualitative Darstellung des Iterationsverlaufes
79
4.0150E-02
4.4856E-02
4.6005E-02
4.6304E-02
4.6383E-02
4.6404E-02
4.6410E-02
4.6411E-02
4.6412E-02
4.6412E-02
4.6412E-02
4.6412E-02
3 Lösungsverfahren
Newton–Raphson Verfahren – Durchschlagproblem
Iteration
i
1
2
3
4
5
Residuum
||r(uin )||
1.0000E+02
1.1722E+01
2.5643E-01
1.3295E-04
3.5811E-11
Inkrement totale Verschiebg
∆u [m]
uin [m]
4.0150E-02
4.0150E-02
6.1222E-03
4.6272E-02
1.4003E-04
4.6412E-02
7.2684E-08
4.6412E-02
1.9576E-14
4.6412E-02
Modfiziertes Newton Verfahren – Durchschlagproblem
Iteration
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Residuum
||r(uin )||
1.0000E+02
1.1722E+01
2.8623E+00
7.4478E-01
1.9673E-01
5.2170E-02
1.3848E-02
3.6771E-03
9.7644E-04
2.5929E-04
6.8855E-05
1.8284E-05
Inkrement totale Verschiebg
∆u [m]
uin [m]
4.0150E-02
4.0150E-02
4.7066E-03
4.4856E-02
1.1492E-03
4.6005E-02
2.9903E-04
4.6304E-02
7.8989E-05
4.6383E-02
2.0946E-05
4.6404E-02
5.5602E-06
4.6410E-02
1.4763E-06
4.6411E-02
3.9204E-07
4.6412E-02
1.0410E-07
4.6412E-02
2.7645E-08
4.6412E-02
7.3412E-09
4.6412E-02
80
3 Lösungsverfahren
Durchschlagproblem – Last–Verschiebungskurve
300
200
fext
100
0
−100
−200
−300
0
0.2
0.4
0.6
u
0.8
1
1.2
Benötigte Iterationen bei unterschiedlichen Lastinkrementen
Kraft
f ext [kN ]
Verschiebung
un [m]
Newton
Raphson
modifizierter
Newton
40
80
120
160
200
240
0.016908
0.035892
0.057824
0.084414
0.120120
–
4
4
5
5
6
–
12
17
24
35
59
–
81
3 Lösungsverfahren
Die Traglast des gewählten Systems bei den angenommenen
ext
Material– und Geometriedaten liegt bei f max
= 239.6 kN, so daß
ext
beide Verfahren für f max
= 240 kN versagen.
Bemerkungen:
• Vorteil: Die Tangentenmatrix K I J ( n ) wird zu Beginn der
Iteration aufgestellt und muß nur einmalig invertiert werden.
• Nachteil: Die quadratische Konvergenz des Newton–
Raphson Verfahrens geht verloren, die Konvergenz des modifizierten Newton Verfahrens is lediglich linear.
• Wird die Tangentenmatrix nur ein einziges Mal vor Beginn
der Berechnung aufgestellt und invertiert, so spricht man
vom elastischen Anfangssteifigkeits-Verfahren. Die Konvergenz dieses Verfahrens ist jedoch extrem schlecht.
• Das modifizierte Newton Verfahren wird i.a. nur bei
schwach linearen Nichtlinearitäten verwendet.
82
3 Lösungsverfahren
3.3 Gedämpftes Newton Verfahren (’line search’)
Bemerkung: Ein Nachteil des Newton–Raphson Verfahrens ist
sein eingeschränkter Konvergenzradius. Es liefert nur ”in der
Nähe der Lösung” quadratische Konvergenz, erfordert also
einen guten Startwert 0n . Alternativ kann die Last inkrementell in mehreren Schritten ∆ f ext
aufgebracht werden oder ein
I
gedämpftes Newton–Raphson Verfahren (”line search”) verwendet werden. Dabei erfolgt der Update aus 2(d) mit
i +1
n+1
mit 0 ≤
=
i
n+1
+
i
∆
i
n+1
=
+
i
K− 1 (
i
n+1 )
· rI(
i
n+1 )
≤ 1 ... line search Parameter
Bedingung für i :
Reduktion des Residuums in jedem Iterationsschritt
||r I (
i +1
n+1 )||
≤ ||r I (
i
n+1
+
i
i
n+1 )||
∆ )|| ≤ ||r I (
dazu Minimierung der Energie Π( i ) des Systems
Π( i ) → min
daraus folgt
r( i ) :=
∂Π
∂Π
=
·∆
∂ i
∂ in+1
= rI(
i
n+1
+
i
∆ )·∆
=0
nichtlineare Gleichung in i → iterative Bestimmung von i mit
”regula falsi” Verfahren (Newton Verfahren auch möglich, aber
zu aufwendig)
83
3 Lösungsverfahren
2.(d) Schleife über alle Iterationsschritte k = 1..kmax
i. Berechne Inkrement des line search Parameters
i
k
− ki −1
i
∆ =−
r
(
)
k
r( ki ) − r( ki −1 )
ii. Update
i
i
k+1 = k + ∆
iii. Konvergenztest
||r(
i
k+1 )||
≤ 0.8 ||r(0)|| goto 2.(e)
> 0.8 ||r(0)|| goto 2.(d)
84
3 Lösungsverfahren
3.3.1 Gedämpftes Newton Verfahren – Algorithmus
1. Schleife über alle Lastschritte n = 1..nstep
ext
ext
f ext
In+1 = f In + ∆ f I
2. Schleife über alle Iterationsschritte i = 1..imax
a) Berechne Residuum
dyn
r I ( in+1 ) = f I ( in+1 ) + f int
I (
i
n+1 )
b) Berechne Tangentenmatrix
dyn
geo
K I J ( in+1 ) = K I J ( in+1 ) + K I J (
− f ext
In+1
i
+ Kmat
I J ( n+1 )
c) Berechne Inkrement der Verschiebungen
nnp
∆ J = − ∑ I K J I ( in+1 )−1 · r I ( in+1 )
d) Schleife über alle Iterationsschritte k = 1..kmax
i. Berechne Inkrement des line search Parameters
i
i
k − k−1
i
∆ =−
r
(
)
k
r( ki ) − r( ki −1 )
ii. Update
i
i
k+1 = k + ∆
iii. Konvergenztest
≤ 0.8 ||r(0)|| goto 2.(e)
i
||r( k+1 )||
> 0.8 ||r(0)|| goto 2.(d)
e) Update
i +1
J n+1 =
i
J n+1
+ i∆ J
f) Konvergenztest
≤ TOL goto 1.
i +1
||r I ( n+1 )||
> TOL goto 2.
85
i
n+1 )
3 Lösungsverfahren
3.4 Newton–Raphson Verfahren (Verschiebungskontrolle)
Bemerkung: Obwohl die line search Technik den Konvergenzradius des Newton–Raphson Verfahrens verbessert, können
mit dem lastgesteuerten Verfahren sogenannte ”limit points”
des Gleichgewichtspfads nicht überschritten werden. Abhilfe
schafft ein verschiebungsggesteuertes Verfahren, das durch
vorgegebene Verschiebungen an einem ausgewählten Knoten einen Spannungszustand in der Probe erzeugt, aus dem
Knotenkräfte an dem verschiebungskontrollierten Knoten resultieren.
Vorgehen:
Partitionierung (Umsortieren) des Lösungsvektors ∆ in tatsächliche Freiheitsgrade ∆ f und vorgeschriebene Werte ∆ p
= [∆
∆
f,
∆
p
]
zu lösendes Gleichungssystem
   



int
ff
fp
 K K   ∆ f   0   f fI 

 =  −


int
pf
pp
K K
∆ p
0
f pI
mit ∆ ip=0 gegeben und ∆
1. Iterationsschritt
∆
1
f
i >0
p
= −Kff −1 · [ Kfp · ∆
0
P
=0
0
+ f int
f I ]
i. Iterationsschritt
∆
i +1
f
i
= −Kff −1 · [ f int
f I]
Bemerkung: Bei verschiebungskontrollierten Verfahren wird
ein reduziertes Gleichungssystem mit veränderter rechter Seite
86
3 Lösungsverfahren
gelöst. Die reduzierte Iterationsmatrix Kff besitzt i.a. einen kleineren Spektralradius als K. Verschiebungskontrollierte Verfahren liefern also i.a. stabilere Lösungen als lastkontrollierte Verfahren, vergleiche Durchschlagproblem.
Durchschlagproblem – Last–Verschiebungs Kurve
500
Lastkontrolle
Verschiebungskontrolle
400
300
fext
200
100
0
−100
−200
−300
0
0.2
0.4
0.6
u
87
0.8
1
1.2
3 Lösungsverfahren
3.5 Bogenlängenverfahren
Bemerkung: Ist man am Verhalten einer Struktur im überkritischen Bereich interessiert, so benötigt man ein stabiles
Verfahren zur vollständigen Verfolgung des nichtlinearen
Gleichgewichtspfades. Sowohl mit dem lastkontrollierten, als
auch mit dem verschiebungskontrollierten Verfahren können
bestimmte ”limit points” LL bzw. LV nicht überschritten werden. Abhilfe schafft das Bogenlängenverfahren (”arc length
control”), das die inkrementelle Last mittels eines Lastparameters über eine zusätzliche Nebenbedingung bestimmt.
äußere Last zum Zeitpunkt tin
f ext in =
i
n
f̄
ext
... Lastparameter, bisher = 1/nstep = const., jetzt
bestimmt aus Nebenbedingung f ( , ) = 0
variabel,
erweitertes Gleichungssystem
r̄ ( ¯ ) = 0
mit




 r( , ) 0

= 
f( , )
0
mit



¯ =


Newton–Raphson Verfahren zur Lösung des erweiterten Gleichungssystems, dazu Linearisierung, Newton–Raphson Iterationsvorschrift
K̄( ¯ ) · ∆ ¯ = −r̄
88
3 Lösungsverfahren
mit
 

 
∂r ∂r
r 
∂
 ∆ 
∂
=
−
·
 

 ∂f ∂f  
f
∆
∂
∂

Linearisierung der Gleichgewichtsgleichung
∂r
= K
∂
∂r
= K
∂
...standard Tangentenmatrix
= − f̄
ext
...externe Last
Linearisierung der Nebenbedingung
∂f
= K ...abhängig von der Wahl der NB f ( , ) = 0
∂
∂f
= K
...abhängig von der Wahl der NB f ( , ) = 0
∂
linearisiertes Gleichungssystem

 
 

ext
K
−
f̄
I   ∆

 rI 

=
−
·

 

 
f
∆
K
K
Bemerkung: Da die Iterationsmatrix des erweiterten Systems
t
unsymmetrisch ist, K̄ 6= K̄ , wird das Gleichungssystem
üblicherweise mittels Partitionierungstechniken gelöst, um die
Symmetrie der Tangentenmatrix, K = Kt , auszunutzen.
erste Gleichung
K · ∆ − f ext · ∆ = −r
∆
= −K−1 · r + K−1 · ∆ f̄
ext
89
3 Lösungsverfahren
mit
∆
∆
: = −K− 1 · r
=∆
und
∆
:= K−1 · f̄
ext
+∆ ∆
• zweite Gleichung
K
· ∆ + K ∆ = −f
+ [K · ∆ + K ]∆ = −f
f +K ·∆
∆ =−
K ·∆ +K
K
·∆
Wagner [1991], Wriggers [2001]
90
3 Lösungsverfahren
3.5.1 Bogenlängenverfahren – Algorithmus
1. Schleife über alle Lastschritte n = 1..nstep
a) Prädiktorschritt
ext
∆ = K−1 ( n ) · f̄ I
±∆s
∆
=
entsprechend Nebenbedigung f ( D n ,
||∆ ||
0
n+1 = n + ∆
n)
2. Schleife über alle Iterationsschritte i = 1..imax
a) Berechne Residuum
dyn
r I ( in+1 , ni +1 ) = f I (
i
n+1 )
+ f int
I (
b) Berechne Tangentenmatrix
K( in+1 ) = Kdyn ( in+1 ) + Kgeo (
c) Berechne ∆
und ∆
∆
= −K−1 ( in+1 ) · r I (
ext
∆ = K−1 ( in+1 ) · f̄ I
i
n+1 ,
i
n+1 )
i
n+1 )
−
ext
i
n+1 f̄ I
+ Kmat (
i
n+1 )
i
n+1 )
d) Berechne inkrementellen Lastparameter & Deformation
f ni + K · ∆
∆ =−
∆ =∆
+∆ ∆
K ·∆ +K
e) Update
i +1
i +1
i
i
n+1 + ∆
n+1 + ∆
n+1 =
n+1 =
f) Konvergenztest
||r I (
i +1
n+1 ,
i +1
n+1 )||
≤ TOL goto 1.
> TOL goto 2.
91
3 Lösungsverfahren
3.5.2 Bogenlängenverfahren – mögliche Nebenbedingungen
Standard Newton–Raphson Verfahren
Lastkontrolle
f( , ) =
−
daraus folgt
bzw.
p
=∂ f =0
K
∆ ≡0
und
∆
und
A
−
=∂ f =1
= −K− 1 · r = ∆
vergleiche 3.1
Batoz & Dhatt [1979]
Verschiebungskontrolle
f( , ) =
K
p
A
mit A... kontrollierter Freiheitsgrad, daraus folgt
K
= ∂ f = [ 0, 0, .., |{z}
1 , .., 0, 0 ] und K
=∂ f =0
A-te Komponente
bzw. ∆ = −
A
−
K
p
A
+K ·∆
·∆ +0
=−
1
n−
n ]·[
i +1
n −
1
n]
p
A
−
∆
+∆
A
A
vergleiche 3.4
Riks [1972]
Iteration auf fixer Normalenebene
f( , ) = [
A
+
92
2
[ n1−
i +1
1 ext ext
n ][ n − n ] f I · f I
− ∆s2
3 Lösungsverfahren
daraus folgt
K
1
n
=∂ f =
−
n
und K
=∂ f =
1
n
−
n
• ältestes Pfadverfolgungsverfahren
•
... Wichtungsfaktor
• ∆s ... Bogenlänge
• f linear in in+1 und ni+1
• f beschreibt Normalenebene zum ersten Tangentenvektor an
die Kurve
Ramm [1981]
Iteration auf Normalenebene
i
n−
f( , ) = [
daraus folgt
K
n ]·[
i +1
n −
=∂ f =
i
n]
+
i
n
2
[ ni −
−
n
ext
ext
i
i +1
n ][ n − n ] f I · f I
und K
=∂ f =
i
n
−
− ∆s2
n
• f linear in in+1 und ni+1
• f beschreibt Normalenebene zum aktuellen Tangentenvektor
an die Kurve
Crisfield [1981]
Iteration auf Kugelfläche
f( , ) = [
•
•
•
•
i +1
n −
i
n ]·[
i +1
n −
i
n]
+
2
[
i +1
i
i +1
i
ext
ext
n − n ][ n − n ] f I · f I
f quadratisch in in+1 und ni+1
f beschreibt Kugelfläche um letzten Gleichgewichtspunkt
∆s ... Radius
zwei Schnittpunkte mit dem Gleichgewichtspfad
93
− ∆s2
3 Lösungsverfahren
Bemerkung: Bogenlängenverfahren sind i.a. robuster als das
Standard Newton–Raphson Verfahren, jedoch sind sie nicht global stabil, so daß sie möglichst nur in Kombination mit line
search Techniken eingesetzt werden sollten.
94

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