Ubungen zur Mathematik B für Molekulare Biotechnologie

Universität Heidelberg
Interdisziplinäres Zentrum
für Wissenschaftliches Rechnen
Dr. Stefan Körkel
Bärbel Janssen
Carmen Ellsässer
Übungen zur Mathematik B für Molekulare Biotechnologie
Sommersemester 2004
Übungsblatt 13
— Übungsaufgaben für die zweite Klausur —
1. Potenzmenge
Was ist die Potenzmenge einer Menge? Wir lauten die Potenzmengen von
(a) {1, 2, 3}
(b) {}
Wenn die Menge A n Elemente hat, wieviele Elemente hat dann die Potenzmenge von A?
2. Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
(a) Was ist ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P )?
(b) Was ist sind Ereignisse und was Elementarereignisse?
X
(c) Warum gilt: ∀A ⊂ Ω : P (A) =
P ({ω})?
ω∈A
(d) Beweise: ∀A, B ⊂ Ω : P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).
3. Altes Mittwochslotto
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß man beim Lotto 7 aus 38“ 7 Richtige hat?
”
4. Bedingte Wahrscheinlichkeit
Seien (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum, A, B ⊂ Ω und P (B) > 0.
(a) Wie ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A|B) von A bei gegebenen B definiert?
(b) Sei AC = Ω \ A das Komplement von A. Zeige: P (AC |B) = 1 − P (A|B).
(c) Wie lautet die Formel von Bayes?
5. Anwendung der Formel von Bayes
Du bist Außenminister von Land X und führst wichtige Verhandlungen mit einem Vertreter von Staat Y. Du weißt nicht so recht, ob du deinem Gegenüber trauen kannst, da
alle Politiker mit einer Wahrscheinlichkeit von p = 0.8 Lügner und mit p = 0.2 aufrichtig sind. Du hast du Information, daß Lügner zu 70% nervös werden, hingegen können
auch Nicht-Lügner mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% nervös werden. Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, daß dein Verhandlungspartner die Wahrheit sagt, wenn er nervös
wird bzw. wenn er nicht nervös wird?
Verwende die Formeln aus der vorigen Aufgabe.
6. Zufallsvariablen
Seien (Ω, P ) ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω → eine reelle Zufallsvariable. Sei B ⊂ . Wie ist die Wahrscheinlichkeit P (X ∈ B) definiert?
7. Augensumme beim zweimaligen Würfeln
Räuberzug bei Siedler von Catan: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß beim Würfeln
mit zwei Würfeln die Augensumme gleich 7 ist?
Beschreibe einen geeigneten endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) für das zweimalige
Würfeln und eine Zufallsvariable X : Ω → , die die Augensumme angibt. Berechne die
Wahrscheinlichkeit P (X = 7) sowie Erwartungswert und Varianz der Zufallsvariablen.
8. Binomialverteilung
(a) Welche Zufallsexperimente bzw. Zufallsvariablen sind binomialverteilt?
(b) Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Binomialverteilung?
(c) Berechne den Erwartungswert der Binomialverteilung.
9. Schwaches Gesetz der großen Zahl
Wie lautet das schwache Gesetz der großen Zahl? Erläutere die Formel mit deinen Worten.
10. Gleichverteilung
(a) Zeige: Durch φ : [a; b] →
gegeben.
: t 7→
1
ist eine Wahrscheinlichkeitsdichte auf [a; b]
b−a
(b) Berechne Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung.
11. Beispiel zur Normalverteilung
Die Körpergröße von Kindern eines Jahrgangs sei angenährt normalverteilt mit µ = 90
und σ = 8. Wieviel Prozent diser Kinder sind höchstens 87 cm groß? Und wieviel Prozent
dieser Kinder sind mindestens 86 cm und höchstens 95 cm groß?
12. Bogenlänge einer Kurve
Gegeben sei die Kurve f :
→
3


cos t
: t 7→  sin t .
t
Berechne die Ableitung f 0 dieser Kurve und die Bogenlänge für t ∈ [0; 2π].
13. Jacobimatrix
Berechne die Jacobimatrix der folgenden Funktion:
1 + ln x1
3
2
√
√
: x 7→
f: +→
.
x1 x 2 + x 3
14. Kettenregel
Erläutere die Kettenregel für Funktionen f :
n
→
m
und g :
m
→
k
.
15. Mathematik für Biotechnologen
Welche Themen haben wir dieses Semester behandelt? Und welche letztes Semester?
Abgabe: keine