vermessung - Department für Raum, Landschaft und Infrastruktur

Transcrição

LVA-Nr. 857.100
VERMESSUNG
für Studierende des Bakkalaureatsstudiums
KULTURTECHNIK und WASSERWIRTSCHAFT
LVA-Skriptum Version 2008.4
WS 2008/09 - Vortragender: Ass.Prof. Dr. Reinfried MANSBERGER
Institut für Vermessung, Fernerkundung und Landinformation
Department für Raum, Landschaft und Infrastruktur
Universität für Bodenkultur, Wien
Nur für den Studiengebrauch an der Universität für Bodenkultur!
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Inhaltsverzeichnis
1 Allgemeines
1.1 Aufgaben und Bereiche . . . . . . . .
1.1.1 Erdmessung . . . . . . . . . . .
1.1.2 Landesvermessung . . . . . . .
1.1.3 Detailvermessung . . . . . . . .
1.1.4 Grundregeln der Vermessung .
1.2 Ziel und Inhalt der Lehrveranstaltung
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2 Messen und Maßeinheiten
2.1 Durchführung einer Messung
2.2 Maßeinheiten . . . . . . . . .
2.2.1 Winkelmaß . . . . . .
2.2.2 Bogenmaß . . . . . . .
2.2.3 Längenmaß . . . . . .
2.2.4 Flächenmaß . . . . . .
2.3 Maßstabsverhältnisse . . . . .
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3 Grundlagen der Geodätischen Rechentechnik
3.1 Koordinatenrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Rechtwinkelige Koordinaten, Polarkoordinaten .
3.1.2 Hauptaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Orientieren beobachteter Richtungen . . . . . . .
3.2 Fehler- und Ausgleichungsrechnung . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Zweck und Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Wahre und Scheinbare Fehler . . . . . . . . . . .
3.2.3 Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Fehlerarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Genauigkeitsmaße und Vertrauensbereiche . . . .
3.2.6 Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7 Prinzip und Verfahren der Ausgleichungsrechung
3.2.8 Ausgleichung direkter Beobachtungen . . . . . .
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4 Bezugsflächen der Erde und deren Abbildungen
4.1 Bezugsflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Mathematisch-Geometrische Bezugsflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Physikalisch-Dynamische Bezugsflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.2
4.3
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Dreidimensionale geodätische Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Dreidimensionales Kartesisches Koordinatensystem . . . . . . . .
4.2.2 Geografische und Ellipsoidische Koordinaten . . . . . . . . . . .
Geodätische Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Lokale Bezugssysteme in der österreichischen Landesvermessung
4.3.2 Globale Bezugssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verebnete Abbildung der Erdoberfläche - Projektionssysteme . . . . . .
4.4.1 Charakterisierung von Abbildungen (Projektionen) . . . . . . . .
4.4.2 Soldner-Cassini Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Gauß-Krüger Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Bundesmeldenetz (BMN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.5 Lambert-Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.6 UTM - Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Die amtliche Vermessung in Österreich
5.1 Allgemeines zur österreichischen Landadministration . . . . . . . . .
5.2 Organisation des Vermessungswesen in Österreich . . . . . . . . . . .
5.2.1 Historischer Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Aufgaben der amtlichen Vermessung . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Grundlage des Katasterwesens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Katastralmappe und Digitale Katastralmappe (DKM) . . . .
5.3.2 Festpunktfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Grundstücksdatenbank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Amtliche Kartenwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Österreichische Karte 1 : 50 000 (ÖK50) . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Österreichische Karte 1 : 25 000 V (ÖK25V) . . . . . . . . . .
5.5.3 Österreichische Karte 1 : 200 000 (ÖK200) . . . . . . . . . . .
5.5.4 Österreichische Karte 1 : 500 000 (ÖK500) . . . . . . . . . . .
5.5.5 Umstellung der Österreichischen Karten in das UTM-System
5.5.6 Österreichische Kartenwerke auf CD . . . . . . . . . . . . . .
5.5.7 Orthofotos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.8 Österreichische Luftbildkarte 1 : 10 000 (ÖLK10) . . . . . . .
5.5.9 Digitales Landschaftsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.10 Digitales Geländemodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Grundlegende Verfahren und Vermessungsinstrumente
6.1 Winkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 Horizontalwinkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2 Vertikalwinkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.3 Der Theodolit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Seitenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Maßbandmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Elektrooptische Entfernungsmessung: Prinzip und Instrumente . . . . .
6.2.3 Reduktionen der Seitenmessungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Bestimmung von Höhenunterschieden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Geometrische Höhenmessung und Nivellierinstrument . . . . . . . . . .
6.3.2 Trigonometrische Höhenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Direkte Punktbestimmung mittels GNSS (Global Navigation Satellite System)
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118
8 ANHANG: Trigonometrische Grundlagen
8.1 Trigonometrische Funktionen im Rechtwinkeligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Trigonometrische Funktionen im schiefwinkeligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . .
a
a
b
9 Referenzen und vertiefende Literatur
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6.5
6.6
6.7
6.4.1 Messprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.2 Beobachtungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Positionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 Planung von GPS-Beobachtungen . . . . . . . . . . . .
6.4.5 Berechnungen und Genauigkeit . . . . . . . . . . . . . .
6.4.6 GPS-Empfänger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.7 GLONASS (GLObal NAvigation Satellite System) . . .
Terrestrische Laserscanner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung von Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6.1 Flächenbestimmung aus Koordinaten . . . . . . . . . . .
6.6.2 Flächenbestimmung mit dem Polarplanimeter . . . . . .
Bestimmung von Massen (Kubaturen) . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Massenberechnung aus geometrisch definierten Figuren .
6.7.2 Massenberechnung aus Querprofilen . . . . . . . . . . .
6.7.3 Massenberechnung aus Höhenlinien . . . . . . . . . . . .
7 Durchführung eines Vermessungsprojektes
7.1 Festpunktverdichtung . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Polygonzug . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Freie Stationierung . . . . . . . . . .
7.1.3 Triangulierung (Rückwärtsschnitt) .
7.2 Detailaufnahme . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Polaraufnahme . . . . . . . . . . . .
7.2.2 Schnittverfahren . . . . . . . . . . .
7.2.3 Orthogonalaufnahme . . . . . . . . .
7.3 Dokumentation der Vermessungsarbeiten .
7.4 Kartierung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Absteckung von Punkten . . . . . . . . . .
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ANMERKUNG:
Die im Skriptum gewählte Bezeichnung s beschreibt immer die horizontale Seite im jeweiligen
Projektionssystem (siehe Kap. 6.2.3).
iii
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Kapitel 1
Allgemeines
1.1
Aufgaben und Bereiche der Geodäsie
Geodäsie (griechisch: Erdeinteilung) ist die Wissenschaft von der Ausmessung und
Abbildung der Erdoberfläche (Definition nach Helmert [Robert Friedrich HELMERT,
1843-1917, deutscher Geodät und Mathematiker] ). Sie befasst sich mit der Vermessung größerer oder kleinerer Teile der Erdoberfläche und deren Darstellung in Karten und Plänen.
Die Geodäsie wird in folgende Fachbereiche unterteilt:
• die Erdmessung,
• die Landesvermessung und
• die Detailvermessung.
Die beiden erstgenannten Gebiete, bei denen die Form der Erdoberfläche und die
Verteilung der Schwerebeschleunigung berücksichtigt werden müssen, werden auch
als Höhere Geodäsie (engl.: geodesy) bezeichnet, während die Detailvermessung auch
Niedere Geodäsie (engl.: surveying) genannt wird.
Die vermessungstechnischen Aufgaben gliedern sich in Lagemessungen und Höhenmessungen, wobei diese getrennt oder gleichzeitig durchgeführt werden können.
Vorweg sei gesagt, dass in den meisten Fällen in der Natur Entfernungen (mit einem
Maßband oder mit einem elektrooptischen Entfernungsmessinstrument) und Richtungen bzw. Winkel (mit einem Theodolit - Winkelmessinstrument) gemessen werden müssen, um nach einer rechnerischen Auswertung die Koordinaten von Punkten
in einem einheitlichen Koordinatensystem zu erhalten. Koordinaten wiederum sind
Grundlage für planliche Darstellungen etc. Zur direkten koordinative Punktbestimmung werden heutzutage satellitengestützte Positionierverfahren (GPS) eingesetzt.
1.1.1
Erdmessung
Die Hauptaufgabe der Erdmessung ist die Bestimmung der Figur und der Größe der
Erde sowie des Erdschwerefelds. Die in den sechziger Jahren des 20. Jahrhunderts
entwickelte Satellitengeodäsie brachte die Erdmessung in den letzten Jahrzehnten
1
2
Vermessung
weiter als in den vergangenen 2000 Jahren. Mit Hilfe von Satelliten werden dreidimensionale Koordinaten von weltweit verteilten Punkten mit hoher Genauigkeit (in
der Größenordnung von ± 1mm) bestimmt. Satellitenbasierte Messverfahren werden
in den nächsten Jahren die hochgenaue Bestimmung des Erdschwerefelds erlauben
und damit die Berechnung des Geoids (siehe Kap.4.1.2) mit einer Genauigkeit von
± 1cm ermöglichen.
Aber die Satellitengeodäsie mit ihrer Möglichkeit, die Erde und ihr Schwerefeld
hochgenau zu bestimmen, ermöglicht auch die exakte Bestimmung von dynamischen
Erdprozessen: Hierzu zählen u.a. die messtechnische Erfassung der Plattentektonik,
der vertikalen Krustenbewegungen, der Polwanderungen, der Beschleunigung der
Erdrotation.
1.1.2
Landesvermessung
Die Hauptaufgabe der Landesvermessung ist die Schaffung und Erhaltung eines
Festpunktfeldes (Lagefestpunktfeld, Höhenfestpunktfeld) und die Erstellung von
amtlichen Kartenwerken. Dabei werden die aus der Erdmessung gewonnene Erkenntnisse verarbeitet (z.B. Bezugsfläche in Österreich: Ellipsoid von Bessel [Wilhelm BESSEL, 1784-1846 ]). Eine weitere wichtige Aufgabe der Landesvermessung
ist die Festlegung eines nationalen Projektionssystems für die verebnete Darstellung
der jeweiligen Bezugsfläche sowie die Mitwirkung bei der Definition von globalen
Projektionssystemen.
Soll ein Staatsgebiet zusammenhängend vermessen werden, so wird es in bestimmten
Abständen mit Festpunkten (Katastralpunkte) überdeckt. Die Festpunkte definieren anhand ihre Koordinaten auch das Projektionssystem. Ein Lagefestpunktfeld
wird in der Regel in mehreren Stufen (Ordnungen) angelegt: Z.B. wird das Netz 1.
Ordnung durch ein Netz 2. Ordnung mit geringeren Entfernungen verdichtet usw.
Die älteren Lagefestpunktfelder sind nach den Verfahren der Triangulation aufgebaut (sie werden daher auch trigonometrische Punkte genannt): Auf Grund der sehr
aufwändigen Seitenmessung wurden nur wenige Seiten gemessen (z.B. in Österreich
die Wiener Neustädter Basis, ca. 12,2 km lang), die dann durch Winkelmessung
mit Theodoliten höchster Genauigkeit vergrößert wurden (Basisvergrößerungsnetz).
Es wurden damit Dreiecksnetze aufgebaut, deren Eckpunkte die Punkte 1. Ordnung bildeten. Zur Orientierung des Netzes auf dem Bezugsellipsoid mussten auf
einigen ausgewählten Punkten astronomische Beobachtungen durchgeführt werden
(Bestimmung der geografischen Breite, Länge und Richtung zu einem benachbarten
Punkt in Bezug auf den Meridian). Heute wird die Vermessung von Festpunkten
vorrangig mit GPS-Methoden durchgeführt.
Das Lagefestpunktfeld bildet zusammen mit dem Höhenfestpunktfeld die Grundlage für die topografische Landesaufnahme (amtliche Kartenherstellung), für die
Grundstücks- und Katastervermessung sowie für alle weiteren Detailvermessungen
im Landeskoordinatensystem.
Die Landesvermessung ist in Österreich vom Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen (BEV) durchzuführen [Vermessungsgesetz, §1, Abs.1].
Institut für Vermessung, Fernerkundung und Landinformation, BOKU Wien
2008/09
KAPITEL 1. ALLGEMEINES
1.1.3
3
Detailvermessung
Da das Aufnahmegebiet bei der Detailvermessung normalerweise relativ klein ist,
können für lagemäßige Berechnungen innerhalb eines Vermessungsgebietes von ca.
10 · 10 km2 die Unterschiede zwischen mathematisch definierter Erdfigur und Ebene
vernachlässigt werden, d.h. als Bezugsfläche dient nicht mehr die Kugel oder das
Rotationsellipsoid sondern die Ebene: Dadurch können alle Berechnungen mit den
vereinfachten Formeln der ebenen Trigonometrie durchgeführt werden. Allerdings
müssen - je nach Projektion - in der Natur gemessene Seiten (auf jeden Fall) und
die in der Natur gemessene Winkel (bei nicht winkeltreuen Abbildungen) für die
Berechnung korrigiert werden.
Diese Vereinfachung gilt allerdings nicht für die höhenmäßige Bestimmung von
Punkten. Hier muss üblicherweise die Kugelgestalt der Erde berücksichtigt werden (R = 6370 km), da der Einfluss der Erdkrümmung bereits bei einer Entfernung
von 1 km schon etwa 7 cm ausmacht.
Zu den Detailvermessungen zählen vor allem die Katastervermessung (amtliche
Grundstücksvermessung) zum Zweck von Grundteilungen, Grundstückszusammenlegungen (Kommassierung) etc. sowie die lage- und höhenmäßige Vermessung von
natürlichen Objekten. In vielen Fällen wird dazu das von der Landesvermessung bereitgestellte Festpunktfeld benötigt (Bestimmung der Punkte im amtlichen Koordinatensystem). Bestimmte Vermessungsaufgaben können aber auch in einem lokalen
Koordinatensystem durchgeführt werden.
1.1.4
Grundregeln der Vermessung
Bei der Durchführung von Vermessungen sind normalerweise die folgenden Grundregeln zu beachten:
• Einbindung in übergeordnete Netze: Zur Absicherung eines homogenen
Aufbau des Messnetzes sind Vermessungen möglichst so durchzuführen, dass
sie in das jeweils übergeordnete Koordinatensystem eingepasst werden können.
So sollte jedes nationale Landeskoordinatensystem (siehe Kap.4.4) in ein von
der Erdmessung geschaffenes Basisnetz (siehe Kap.4.2) transformiert werden
können. Die bei einer Detailvermessung lokal erfassten Objekte sollten wiederum anhand der - von der Landesvermessung - beigestellten Festpunkte (siehe
Kap.5.3.2) in das Landeskoordinatensystem übergeführt werden können.
• Zuverlässigkeit: Jedes Mess- oder Rechenergebnis ist durch eine unabhängige
Kontrolle abzusichern ( Eine Messung ist keine Messung “) und mit einem Ge”
nauigkeitsmaß zu versehen. Der Qualitätsnachweis kann durch überbestimmte Einmessung von Objekten unter Verwendung statistischer Methoden (z.B.
mittlerer Fehler, siehe Kap. 3.2) bestimmt werden.
• Nachvollziehbarkeit: Vermessungsarbeiten und deren Berechnungen sollten
ausreichend dokumentiert werden. Messprotokolle, Feldskizzen, Berechnungsprotokolle uäm. sind geeignete Werkzeuge, um die erhaltenen Ergebnisse auch
für Dritte nachvollziehbar zu machen (siehe Kap. 7.3).
Vermessung
2008
4
Vermessung
• Wirtschaftlichkeit: Vermessungen sollten so genau wie möglich, aber nicht
genauer als erforderlich durchgeführt werden. Dies erfordert eine für die jeweilige Aufgabenstellung angepasste Vermessungsmethode und den Einsatz
der dafür am besten geeigneten Vermessungsinstrumente (siehe Kap. 6 bzw.
Kap.7).
• Winkelwerte zwischen 0gon und 400gon : In der Vermessung liegen die Winkelwerte normalerweise immer zwischen 0g und 400g . Sollte eine Winkelsubtraktion einen negativen Wert ergeben, wird solange ein Vielfaches von 400gon
addiert, bis der Winkelwert zwischen 0g und 400g zu liegen kommt. Ist z.B.
bei einer Addition der Winkel größer als 400g , wird ebenfalls der Wert um
Vielfache von 400g reduziert.
Es gibt aber auch Ausnahmen von dieser Regelung: Winkelfehler (wie z.B.
bei der Ausgleichung eines Polygonzuges, Kap.7.1.1) müssen vorzeichenrichtig
in der Fehlerrechnung berücksichtigt werden. Ebenso werden z.T. die Vertikalwinkel (z.B. der Höhenwinkel, Kap.6.1.2) mit einem negativen Vorzeichen
angegeben.
ANMERKUNG: Rechentechnisch ist dieser Fall am günstigsten mit
der Modulofunktion - z.B. in Microsoft Excel mit dem Befehl ,REST
(Winkelwert;400)‘ zu lösen.
1.2
Ziel und Inhalt der Lehrveranstaltung
Absolventinnen und Absolventen des Bakkalaureats Kulturtechnik und Wasserwirtschaft sollen im Rahmen der Lehrveranstaltung ein enzyklopädisches Wissen über
die Erd- und Landesvermessung sowie Basiskenntnisse über die Detailvermessung
erhalten. Dies beinhaltet auch die Aneignung von Wissen über die national und
global verwendeten Koordinatensysteme sowie den Erwerb von Kenntnissen über
die amtliche Vermessung in Österreich.
Absolventinnen und Absolventen des Bakkalaureats Kulturtechnik und Wasserwirtschaft führen in ihrem Berufsleben normalerweise Vermessungsarbeiten (Detailvermessungen) selbständig durch. Dazu benötigen sie Wissen über grundlegende Methoden der Detailvermessung und über die für die Durchführung der Vermessungen
notwendigen Instrumente. Beides wird Ihnen in der gegenständlichen Lehrveranstaltung angeboten.
Im Detail werden insbesondere Kenntnisse in den folgenden Themenbereichen vermittelt:
• Die Studierenden der Bakkalaureats Kulturtechnik und Wasserwirtschaft weisen aufgrund ihre schulischen Vorbildung unterschiedliche Kenntnisse in Mathematik (Trigonometrie) und Statistik (Ausgleichungsrechnung) auf. Zur Harmonisierung des Wissens steht am Beginn der Lehrveranstaltung ein Block mit
den in der Vermessung benötigten Grundlagen aus den Fachbereichen Mathematik und Statistik.
• Das Endprodukt von Vermessungsarbeiten ist normalerweise ein Plan, welcher neben den projektierten Objekten auch den derzeitigen Naturstand gra-
2008/09
KAPITEL 1. ALLGEMEINES
5
fisch beinhaltet. Möglichkeiten der verebneten Darstellung der gekrümmten
Erdoberfläche (Projektionen) und die damit verbundenen Koordinatensysteme sind Inhalt der Lehrveranstaltung.
• Einfache Vermessungen werden von Kulturtechnik-Büros üblicherweise selbständig durchgeführt. Daher ist die Vermittlung von Kenntnissen über die gebräuchlichsten Verfahren zur Festpunktfeldverdichtung und zur Detailpunktvermessung Ziel dieser Lehrveranstaltung. Die gängigsten Methoden für die
lage- als auch höhenmäßige Bestimmung von Objektpunkten werden vorgestellt. Darüber hinaus sollen die Studierenden auch lernen, das für die jeweilige
Aufgabenstellung am besten geeignete Verfahren auszuwählen und die damit
erzielbaren Genauigkeiten abschätzen. Aber auch theoretische Kenntnisse über
die wichtigsten Vermessungsinstrumente werden in der Lehrveranstaltung vermittelt.
ANMERKUNG: Praktische Kenntnisse der Vermessung werden
in einer eigenen Lehrveranstaltung (LVA-Nr. 857 102 Kulturtechnisches Feldpraktikum) gelehrt. Die Belegung des Kulturtechnischen Feldpraktikums ist aufgrund der dafür benötigten Vorkenntnisse erst nach der erfolgreichen Teilnahme an der gegenständlichen Lehrveranstaltung (LVA-Nr. 857 100 Vermessung) sinnvoll.
• In Österreich liegen zahlreiche für den Fachbereich Kulturtechnik und Wasserwirtschaft notwendige Daten flächendeckend in öffentlichen Institutionen auf.
Dazu zählen topografische Karten, ein dichtmaschiges Festpunktfeld (vermarkte, stabilisierte, signalisierte und koordinativ bekannte Punkte), eine Datenbank über die Eigentums- und Besitzverhältnisse von Grundstücken (Österreichische Grundstücksdatenbank) und ein digitaler Datensatz über die Geometrie der Grundstücke (Digitale Katastralmappe). In der gegenständlichen
Lehrveranstaltung werden alle diese amtliche verfügbaren Daten und deren
Beschaffungsmöglichkeit vorgestellt.
Vermessung
2008
Kapitel 2
Messen und Maßeinheiten
2.1
Durchführung einer Messung
In vielen Ingenieurdisziplinen ist das Messen von physikalischen Größen eine fundamentale Aufgabe. Dies trifft in besonderer Weise für das Vermessungswesen zu,
bei welchem das Hauptaugenmerk in der Messung von Längen (Seiten) und Winkeln liegt. Aus den gemessenen physikalischen Größen Länge und Winkel lassen sich
anschließend Koordinaten berechnen.
Eine Messung ist das Bestimmen des Zahlenwerts einer Messgröße bezüglich der zutreffenden Maßeinheit. Dies wird erreicht durch den Vergleich des unbekannten Wertes (der Messgröße) mit einer physisch realisierten Maßeinheit (Maßverkörperung).
Das Messergebnis besteht aus einem Zahlenwert und der gewählten Maßeinheit.
BEISPIEL: Messgröße: Seite eines Hauses; Maßeinheit: m; Maßverkörperung: Meterstab, Maßband; Messergebnis: 4 m
Dabei sollte genau überlegt werden, welche Genauigkeit des Messergebnisses für
die betreffende Messaufgabe erforderlich ist. Die Vorbereitung, Durchführung und
Auswertung der Messung kostet Zeit und Geld, wobei im allgemeinen der Aufwand
mit der zu erzielenden Genauigkeit (exponentiell) steigt.
ANMERKUNG: Es wäre überzogen, eine Schotterlieferung auf Gramm
genau zu wägen. Ebenso ist es nicht sinnvoll eine Seite auf Millimeter genau zu bestimmen, wenn vom Auftraggeber nur eine DezimeterGenauigkeit gefordert ist.
Das Messverfahren beschreibt alle Tätigkeiten, welche für eine spezielle Messung
entsprechend einer vorgegebenen Messmethode durchzuführen sind.
Es gibt unterschiedliche Messmethoden, wie zum Beispiel:
• Direkte Vergleichsmethode: z.B. Längenmessung mit Maßband
• Indirekte Vergleichsmethode: z.B. Temperaturmessung mit
Quecksilberthermometer
• Ausschlagmethode: z.B. Gewichtsmessung mit Federwaage
• Substitutionsmethode: z.B. Gewichtsmessung mit Balkenwaage
6
KAPITEL 2. MESSEN UND MASSEINHEITEN
7
Nicht jedes Messverfahren ist für die vorgesehene Messaufgabe gleich gut geeignet.
Mit dem Messverfahren sind die dafür geeigneten Messgeräte bzw. Messeinrichtungen untrennbar verbunden.
Den Wahren Wert der Messgröße kennt man nicht und man kann ihn auch
nicht bestimmen. Der Richtige Wert der Messgröße ist ein durch Vereinbarung anerkannter Wert, der eine dem Verwendungszweck anerkannte Unsicherheit
aufweist (z.B. international anerkannte Werte von Naturkonstanten).
Die Genauigkeit eines Messinstrumentes ist die Fähigkeit des Messgerätes,
Werte des Messergebnisses in der Nähe des Wahren Wertes der Messgröße zu liefern
(Auflösung bzw. Empfindlichkeit des Messinstruments). Dagegen gibt die Messgenauigkeit das Ausmaß der Übereinstimmung zwischen dem erzielten Messergebnis
und dem Wahren Wert der Messgröße an (Kombination Instrument und Verfahren).
Z.B. die Messung der Länge wurde auf ±1cm genau durchgeführt.
Vor der Durchführung einer Messung ist allgemein zu beachten:
• Was ist die Messaufgabe?
• Welche Messgröße ist für diese Aufgabe zu bestimmen und welche Maßeinheit
ist dafür zu wählen?
• Welche Messgenauigkeit erfordert die gestellte Aufgabe?
• Mit welcher Messmethode kann die Messgröße mit der erforderlichen Genauigkeit bestimmt werden?
• Welches Messinstrument ist mit dem gewählten Messverfahren geeignet, die
Größe mit der erforderlichen Genauigkeit zu messen?
• Welche externen Einflüsse sind dabei zu berücksichtigen?
2.2
Maßeinheiten
Maßeinheiten werden durch nationale und internationale Vereinbarung festgelegt.
Genau gesagt werden der Wert, der Name und das zugehörige Einheiten-Zeichen für
die jeweilige Einheit abgestimmt. In früheren Zeiten wurden die Maßeinheiten für
Länge oft von Körpermaßen abgeleitet, die Maßeinheit für Zeit von der Dauer eines
Tages. Das Internationale Büro für Maß und Gewicht (Bureau International
des Poids et Mesures, BIPM)
• koordiniert die Entwicklung von Maßeinheiten (Primärnormalen),
• hält die internationalen Normale und Prototypen für die wichtigsten Größen
bereit,
• führt Vergleichsmessungen zwischen nationalen und internationalen Normalen
durch,
• organisiert internationale Vergleichsmessungen und
• bestimmt die Werte physikalischer Konstanten.
Vermessung
2008
8
Vermessung
Die nationalen messtechnischen Institute (in Österreich das Bundesamt für Eichund Vermessungswesen - BEV) sind die landesweit höchste messtechnische Instanz. Sie entwickeln und bewahren nationale Normale. Ihnen obliegt die Weitergabe der gesetzlichen Maßeinheiten (durch Kalibrierung, Prüfung, Eichung) an die
einzelnen Benutzer.
2.2.1
Winkelmaß
Zur Winkelmessung werden heutzutage Theodolite (Winkelmessinstrumente) mit
Zentesimalteilung (0 gon bis 400 gon ) eingesetzt. Nur ältere Vermessungsinstrumente
weisen heutzutage noch eine Sexagesimalteilung (0 o bis 360 o ) auf.
Sexagesimalteilung (Altgrad)
1 Vollkreis = 360 o (Grad)
1 o = 60 0 (Minuten)
1 0 = 60 00 (Sekunden)
Zentesimalteilung (Neugrad)
1 Vollkreis = 400 g (Gon)
1 g = 100 c (Neuminuten)
1 c = 100 cc (Neusekunden)
Rechenoperationen sind in Neugrad einfacher durchzuführen. Da auch die Ablesung
der heute handelsüblichen geodätischen Instrumente vorwiegend in Zentesimalteilung erfolgt, wird in der geodätischen Praxis durchwegs nur mehr mit Neugrad
gerechnet.
2.2.2
Bogenmaß
Das Bogenmaß eines Winkels (arc α) ist das Verhältnis des Bogens b zum Kreisradius r bzw. die Länge des Bogens am Einheitskreis (r = 1) für den zugehörigen
Zentriwinkel α. Die Einheit ist der Radiant (rad). Der Winkel, welcher dem Bogen-
Abbildung 2.1: Bogenmaß
maß von einem Radiant entspricht, wird mit ρ bezeichnet. Dieser Wert ρ dient als
Umwandlungsfaktor für die Berechnung von Kreisbogenlängen oder kleiner Winkel,
da bei kleinen Winkeln sich die Werte für Sinus, Tangens und Radiant nur unwesentlich unterscheiden. ρ kann für die jeweilige Winkeleinheit (Gon, Grad oder
weiter abgeleitete Einheiten) spezifisch angegeben werden.
2008/09
Sexagesimalteilung (Altgrad)
r : 2 · r · π = ρ o : 360 o
ρ o = 180 o /π ≈ 57, 296 o
ρ 0 = 180 · 60 0 /π ≈ 3438 0
ρ 00 = 180 · 60 · 60 00 /π ≈ 206265 00
9
Zentesimalteilung (Neugrad)
r : 2 · r · π = ρ g : 400 g
ρ g = 200 g /π ≈ 63, 6620 g
ρ c = 200 · 100 c /π ≈ 6366, 20 c
ρ cc = 200 · 100 · 100 cc /π ≈ 636620 cc
Um nun einen Winkel vom Winkelmaß ins Bogenmaß oder umgekehrt umzurechnen,
muss nur durch ρ dividiert oder mit ρ multipliziert werden:
Z.B. arc α = a o /ρ o oder α c = arc α · ρ c
RECHENBEISPIEL zur Berechnung von Querverschwenkungen aus einem bekannten Winkel:
Wie groß ist die Querverschiebung des Endpunktes einer 100m langen
Seite bei Verschwenkung dieser Seite um einen Winkel von 1 0 bzw. 1 c :
1 0 auf 100m ≈ 2, 9cm (= 100m/ρ 0 ) bzw.
1 c auf 100m ≈ 1, 6cm (= 100m/ρ c )
2.2.3
Längenmaß
Die koordinative Bestimmung von Punkten erfolgt in der Vermessung normalerweise anhand von gemessenen Winkeln und Seiten. Neben dem Winkelmaß spielt
daher auch das Seitenmaß in der Vermessung eine bedeutende Rolle. Bis zur Einführung des metrischen Maßes (Einheit: 1 m) am 1. Jänner 1876 (durch Kaiser Franz
Josef 1875 angeordnet) wurde das alte österreichische Längenmaß Wiener Klafter
verwendet.
• 1 o (Wiener Klafter) = 6 0 (Wiener Fuß)
= 72 00 (Wiener Zoll) = 864 000 (Wiener Linien)
Umrechnung:
• 1 o = 1, 896484 m bzw. 1 m = 0, 527292 o
• 1 00 = 0, 026340 m bzw. 1 m = 37, 965072 00
ANMERKUNG: Historische Maßeinheiten wurden sehr oft durch häufig
in der Natur vorkommende Maße definiert (z.B. ein ,Zoll‘ entspricht in
etwa einer Daumenbreite, ein ,Fuß‘ ca. einer Fußlänge).
Im Jahre 1791 beschloss die französische Nationalversammlung, in Frankreich als
Längenmaß das Meter als den zehnmillionsten Teil des Erdmeridianquadranten einzuführen (Urmeter in Sèvres bei Paris).
Danach wurde das Meter oftmals neu definiert und am 21. Oktober 1983 entschied
die 17. Generalkonferenz für Maß und Gewicht: Das Meter ist die Länge der Seite,
die Licht im luftleeren Raum in der Zeit von einer 299 792 458stel Sekunde durchläuft.
ANMERKUNG: Diese Meterdefinition wird sehr lange unverändert gültig
sein können, da sie auf Naturmaßen (Lichtgeschwindigkeit und Sekunde)
beruht.
Vermessung
2008
10
2.2.4
Vermessung
Flächenmaß
Metrische Flächenmaße:
• 1m2
• 1 a = 100 m 2
• 1 ha = 10 000 m 2
Entsprechend den alten Längenmaßen galten als Einheiten: Quadratklafter (2 o ),
Quadratfuß (2 0 ) und Quadratzoll (2 00 ).
• 1 Joch = 16002 o
(ein Quadrat von 40 Klaftern Seitenlänge)
Umrechnung:
• 1 Joch = 0, 575464 ha
• 1 2 o = 3, 596652 m 2
2.3
bzw. 1 ha = 1, 737727 Joch
bzw. 1 m 2 = 0, 278036 2 o
Maßstabsverhältnisse
Die alten österreichischen Katastralmappenblätter haben das Maßstabsverhältnis
1 : 2 880. Dies kommt dadurch, da die 40-Klafter-Seite eines Jochs in der Natur
durch die Länge 1 Zoll am Mappenblatt dargestellt wurde (Verhältnis 100 : 40o ). Mit
der Umwandlung von
• 40 o = 40 · 6 0 = 240 · 12 00 = 2 880 00
ergibt sich daher
.
• 1 00 : 40 o = 1 : 2 880
Größere Städte wurden in den alten Katastralmappen im allgemeinen im Maßstab
1 : 1 440, unproduktive Flächen und größere, zusammenhängende Waldgebiete im
halben Katastermaßstabsverhältnis 1 : 5 760 dargestellt.
Spätere nummerische Aufnahmen benutzten das Katastermaßstabsverhältnis von
1 : 2 500 mit den Folgemaßstäben 1 : 1 250 und 1 : 5 000 bzw. in den Maßstabsverhältnissen von 1 : 1 000, 1 : 2 000 und 1 : 5 000 im amtlichen Koordinatensystem
(Gauß-Krüger).
Heute ist vorrangig die Digitale Katastralmappe im Gebrauch, welche in jedem beliebigen Maßstab ausgedruckt werden kann. Dennoch ist es auch bei diesem
digitalen Daten sinnvoll einen Gebrauchsmaßstab anzugeben, welcher sich durch
Genauigkeit und Detaillierungsgrad der Daten definiert (siehe Kap.5.3.1).
Das amtliche österreichische Kartenwerk beinhaltet topografische Karten mit den
Maßstabsverhältnissen 1 : 25 000, 1 : 50 000, 1 : 200 000 und 1 : 500 000 (siehe
Kap.5.5).
2008/09
11
ANMERKUNG: Der Kartenmaßstab MK wird meist als Verhältnis
1 : mK angegeben, wobei mK als Kartenmaßstabszahl bezeichnet wird.
Man spricht von einem großen Kartenmaßstab, wenn MK groß bzw.
mK klein ist, und von einem kleinen Kartenmaßstab bei einem kleinen
MK bzw. einem großen mK . Der Maßstab 1 : 30 000 ist also ein kleinerer
Maßstab als 1 : 10 000.
Vermessung
2008
Kapitel 3
Grundlagen der Geodätischen
Rechentechnik
ACHTUNG!! Die in diesem Kapitel ausgewiesenen Formeln beziehen sich immer auf
Grundrissprojektionen (Horizontalebene). Die mit s bezeichneten Seiten in diesem und
in den folgenden Kapiteln sind daher immer als Horizontalseiten zu verstehen. Die in
der Vermessungspraxis normalerweise schräg gemessene Seiten sS müssen daher vor den
Berechnungen horizontiert (bzw. reduziert) werden (siehe Kap. 6.2.3).
3.1
3.1.1
Koordinatenrechnung
Rechtwinkelige Koordinaten, Polarkoordinaten
Ein geodätisches Koordinatensystem ist ein kartesisches Koordinatensystem, in dem
die positive x-Achse (Abszissenachse) nach Norden (Hochwert) und die positive yAchse (Ordinatenachse) nach Osten (Rechtswert) gerichtet ist.
Abbildung 3.1: Kartesische Koordinaten und
Polarkoordinaten
Als Koordinatensystem kann ein übergeordnetes System (Landeskoordinatensystem, in Österreich z.B. das Gauß-Krüger-System, siehe Kapitel 4.4) oder ein beliebiges lokales System verwendet werden. Die Lage eines Punktes in diesem System
12
KAPITEL 3. GRUNDLAGEN DER GEODÄTISCHEN RECHENTECHNIK
13
kann durch seine rechtwinkeligen Koordinaten (y, x) oder durch seine Polarkoordinaten (Richtungswinkel ν, Seite s) in Bezug auf einen bestimmten Punkt beschrieben
werden.
Die Polarkoordinaten stehen in engem Zusammenhang mit den in der Vermessung
gemessenen Größen (Richtungen, Winkel, Seiten). Der Richtungswinkel ν wird von
Norden (Gitternord) im Uhrzeigersinn von 0g bis 400g gezählt!
Der Richtungswinkel von Punkt P1 nach P2 unterscheidet sich vom Richtungswinkel
von P2 nach P1 um ±200g :
ν21 = ν12 ± 200g
3.1.2
(3.1)
Hauptaufgaben
Die für viele Berechnungen notwendigen Umrechnungen von Polarkoordinaten in
rechtwinkelige Koordinaten und umgekehrt besorgen die beiden Hauptaufgaben der
Koordinatenrechnung.
Erste Hauptaufgabe
Bestimmung der Koordinaten eines Punktes P 2 aus einem koordinativ gegebenen
Punkt (P 1) sowie den Polarkoordinaten ν12 und der Seite s12 (Umrechnung von
Polarkoordinaten in rechtwinkelige Koordinaten).
Gegeben:
• P 1 (y1 , x1 ) ν12
s12
Gesucht (berechnet):
• Koordinaten des Punktes P 2 (y2 , x2 )
Bestimmung der jeweiligen Koordinatendifferenzen mit Hilfe des Richtungswinkels
ν12 und der Seite s12 (siehe Abb.3.1):
∆y12 = s12 · sin ν12
∆x12 = s12 · cos ν12
(3.2)
Bestimmung der jeweiligen Koordinate mit Hilfe der Koordinaten des Punktes P1
und der jeweiligen Koordinatendifferenz:
y2 = y1 + ∆y12 = y1 + s12 · sin ν12
x2 = x1 + ∆x12 = x1 + s12 · cos ν12
(3.3)
Kontrolle:
s12 =
Vermessung
q
(y2 − y1 )2 + (x2 − x1 )2
(3.4)
2008
14
Vermessung
RECHENBEISPIEL für Erste Hauptaufgabe:
Gegeben ist die Koordinate des Punktes P 1 sowie der Richtungswinkel ν12
und die Seite s12 zwischen P 1 und P 2:
• P 1 (13 676.369 / 998.756)
• ν12 = 129.1418 g
• s12 = 52.211 m
Gesucht sind die Koordinaten des Punktes P 2. Die Berechnung ist kontrolliert durchzuführen.
ERGEBNIS:
•
•
•
•
∆y12 = 46.836 m
∆x12 = −23.074 m
y2 = 13 723.205
x2 = 975.682
Zweite Hauptaufgabe
Bestimmung des Richtungswinkels ν12 und der Seite s12 zwischen zwei koordinativ
gegebenen Punkten P 1 und P 2 (Umrechnung von rechtwinkeligen Koordinaten in
Polarkoordinaten).
Gegeben:
• P 1 (y1 , x1 ),
P 2 (y2 , x2 )
• ν12
ν21
s12
Bestimmung des Richtungswinkels über den Hilfswinkel ϕ mit den Beträgen (immer
positive Werte) der Koordinatendifferenzen (siehe Abb.3.1):
tan ϕ =
|y2 − y1 |
|x2 − x1 |
∆y
+
+
-
(3.5)
∆x
+
+
Quadrant
I
II
III
IV
ν12
ϕ
200 - ϕ
200 + ϕ
400 - ϕ
Tabelle 3.1: Quadrantenabhängige Richtungswinkelbestimmung
2008/09
15
Die Vorzeichen der Koordinatendifferenzen (∆y12 = y2 − y1 ) und (∆x12 = x2 − x1 )
bestimmen den Quadranten des Richtungswinkels ν. Der Richtungswinkel lässt sich
mit Hilfe des Quadranten und des Winkels ϕ laut Tabelle 3.1 berechnen.
ν21 = ν12 ± 200g
(siehe Formel 3.1)
Bestimmung der Seite:
s12 =
s12 =
x2 − x1
y2 − y1
=
sin ν12
cos ν12
oder
q
(y2 − y1 )2 + (x2 − x1 )2
(3.6)
(3.7)
ANMERKUNG: In Formel 3.6 ist aus numerischen Gründen jene Winkelfunktion zu nehmen, welche für den errechneten Richtungswinkel den
größeren Wert liefert.
Kontrolle für den Richtungswinkel:
tan (ν12 + 50 g ) =
∆x12 + ∆y12
∆x12 − ∆y12
(3.8)
RECHENBEISPIEL für Zweite Hauptaufgabe:
Gegeben sind die Koordinaten der beiden Punkte P 1 und P 2:
• P 1 (13 676.369 / 998.756)
• P 2 (13 605.595 / 1080.488)
Gesucht sind der Richtungswinkel ν12 , ν21 sowie die Seite s12 . Die Berechnung ist kontrolliert durchzuführen.
ERGEBNIS:
•
•
•
•
•
Hilfswinkel ϕ = 45.4335 g
IV.Quadrant (negatives ∆y, positives ∆x)
ν12 = 354.5665 g
ν21 = 154.5665 g
s12 = 108.116 m
ANMERKUNG: Normalerweise korrespondieren die angegebenen Nachkommastellen bei der Ergebnisdarstellung mit der erzielten und ausgewiesenen Genauigkeit (siehe Kap. 3.2). Die Genauigkeit des Ergebnisses kann anhand von a priori (im vorhinein) bekannten Genauigkeiten
(Genauigkeit der Koordinaten von gegebenen Punkten, Genauigkeit der
Winkel- bzw. Seitenmessung, uam.) abgeschätzt bzw. bei überbestimmten
Messungen berechnet werden. Im oben angeführten Beispiel ist aufgrund
Vermessung
2008
16
Vermessung
der Angabe die Genauigkeit der Koordinaten im mm-Bereich gegeben. Damit kann auch die Genauigkeit der Seiten zwischen den beiden Punkten
im mm-Bereich angegeben werden. Da die Verschwenkung der Seite von
±10 cc bei einer Seitenlänge von 108 m bereits etwa 1.7 mm ausmacht (siehe Kap.2.2.2), ist die Angabe des Richtungswinkels in Sekunden (1 cc )
gerechtfertigt.
3.1.3
Koordinatentransformation
Häufig werden Vermessungsarbeiten aus messtechnischen Gründen in einem anderen
Koordinatensystem durchgeführt, als sie letztendlich benötigt werden. Die damit
notwendige Überführung von Koordinaten von einem System in ein anderes wird
als Koordinatentransformation bezeichnet. Voraussetzung für die Umformung
von Koordinaten ist die Kenntnis des mathematischen Zusammenhangs zwischen
den beiden Systemen (System alt und System neu). Die Transformationsparameter
sind dabei entweder
• a priori bekannt oder
• müssen über idente Punkte, welche koordinativ in beiden Systemen bekannt
sind, berechnet werden.
Die Transformationen zwischen unterschiedlichen geodätischen Abbildungssystemen
(Projektionssystemen) sind im allgemeinen sehr kompliziert. Die Formeln und die
Transformationsparameter zwischen den gängigsten Abbildungen sind jedoch bekannt. Daher sind diese Transformationen üblicherweise softwaremäßig in Vermessungsprogrammen und in Geografischen Informationssystemen implementiert.
Sehr oft werden Koordinaten in einem lokalen System bestimmt und anschließend in
das übergeordnete Landeskoordinatensystem übergeführt. Für diese Aufgabe sind
die Transformationsparameter normalerweise nicht bekannt. Aufgrund der kleinräumigen Ausdehnung des Vermessungsgebietes können einfache, im folgenden angeführte Ebene Koordinatentransformationen angewendet werden, deren Parameter über in beiden Systemen bekannte idente Punkte bestimmt werden können.
Schiebung des Systems
Die Koordinatenachsen des lokalen Systems (Koordinaten η, ξ) und des Landeskoordinatensystems (Koordinaten y,x) sind parallel zueinander, die Nullpunkte jedoch
um die Werte y0 und xo verschoben. Damit ergeben sich für die zu transformierenden Punkte Pi folgende Transformationen:
yi = y0 + ηi
xi = x0 + ξi
(3.9)
Schiebung und Drehung des Systems
Das lokale System (Koordinaten η, ξ) und das Landeskoordinatensystem (Koordinaten y,x) sind zueinander um die Werte y0 und xo verschoben und zusätzlich um den
2008/09
17
Winkel ε verdreht. Die Punkte Pi können mit folgender Transformation ineinander
übergeführt werden:
yi = y0 + ηi · cos ε − ξi · sin ε
xi = x0 + ηi · sin ε + ξi · cos ε
(3.10)
Abbildung 3.2:
Koordinatentransformation:
Schiebung und Drehung
Schiebung, Drehung und Maßstabsänderung des Systems
(Ebene Ähnlichkeitstransformation)
Das lokale System (Koordinaten η, ξ) und das Landeskoordinatensystem (Koordinaten y,x) sind zueinander um die Werte y0 und xo verschoben, um den Winkel ε
verdreht und um den Maßstabsfaktor λ verändert. Die Punkte Pi können mit der
Ebenen Ähnlichkeitstransformation ineinander übergeführt werden:
yi = y0 + λ · ηi · cos ε − λ · ξi · sin ε
xi = x0 + λ · ηi · sin ε + λ · ξi · cos ε
(3.11)
Ebene Ähnlichkeitstransformation: Berechnung der Parameter
Die vier Parameter der Ebenen Ähnlichkeitstransformation (y0 , x0 , ε, λ) können mit
Hilfe zweier Punkte (P 1 und P 2), deren Koordinaten in beiden Koordinatensystemen bekannt sind, folgendermaßen berechnet werden:
1. Berechnung der Richtungswinkel ν12 im System (y, x) und ρ12 im System (η, ξ)
mit Hilfe der Zweiten Hauptaufgabe (Kap. 3.1.2, Bestimmung über Hilfswinkel
ϕ - Formel 3.5)
2. Berechnung der beiden Seitenlängen s12 im System (y, x) und σ12 im System
(η, ξ) mit Hilfe der Zweiten Hauptaufgabe (Formeln 3.6 oder 3.7)
3. Berechnung des Drehwinkels:
ε = ρ12 − ν12
Vermessung
(3.12)
2008
18
Vermessung
4. Berechnung des Maßstabsfaktors:
s12
λ=
σ12
5. Berechnung der Verschiebungsparameter:
(3.13)
y0 = y1 − λ · η1 · cos ε + λ · ξ1 · sin ε
x0 = x1 − λ · η1 · sin ε − λ · ξ1 · cos ε
(3.14)
6. Kontrolle durch Einsetzen der Koordinaten des Punktes P2 in die Formeln 3.11
unter Verwendung der berechneten Transformationsparameter.
RECHENBEISPIEL für Ebene Ähnlichkeitstransformation:
Gegeben sind vier Punkte P 1 bis P 4 in einem lokalen Koordinatensystem
(η, ξ) sowie die Koordinaten des Punktes P 1 und des Punktes P 2 im
übergeordneten Landeskoordinatensystem (y, x):
•
•
•
•
P 1 : η1
P 2 : η2
P 3 : η3
P 4 : η4
= 1.22 ξ1 = −3.21
= 0.87 ξ2 = 114.24
= 14.27 ξ3 = 6.87
= 46.26 ξ4 = 31.40
y1 = −57560.64 x1 = 5396701.56
y2 = −57450.38 x2 = 5396742.29
Gesucht sind die Transformationsparameter der Ebenen Ähnlichkeitstransformation sowie die Koordinaten der Punkte P 3 und P 4 im Landeskoordinatensystem. Die Berechnung ist kontrolliert durchzuführen.
ERGEBNIS:
•
•
•
•
•
•
Drehwinkel ε = 322.3372g
Maßstabsfaktor λ = 1.000782
Verschiebung y0 = −57 558.04
Verschiebung x0 = 5 396 703.81
P 3 im Landeskoordinatensystem: (−57 546.68 / 5 396 692.76)
P 4 im Landeskoordinatensystem: (−57 512.62 / 5 396 671.14)
Zwischenergebnisse:
• Richtungswinkel: ρ12 = 399.8103g
• Seitenlängen: σ12 = 117.4505m
ν12 = 77.4731g
s12 = 117.5423m
Helmerttransformation: Berechnung der Parameter
Die Berechnung der Parameter der Ebenen Ähnlichkeitstransformation kann auch
mit mehr als zwei in beiden Systemen gegebenen identen Punkten erfolgen. Diese mit Methoden der Ausgleichungsrechnung zu berechnende Überbestimmte
Ähnlichkeitstransformation wird als Helmerttransformation bezeichnet.
Die Transformationsparameter der Helmerttransformation sind wie jene der Ebenen
Ähnlichkeitstransformation (Formeln 3.11). Aus rechentechnischen Gründen ist es
zweckmäßig, bei der Berechnung der Transformationsparameter die Koordinaten jeweils vom Schwerpunkt der identischen Punkte aus zu zählen. Bei n identen Punkten
ergeben sich folgende Berechnungsschritte:
2008/09
19
1. Berechnung der Koordinaten der Schwerpunkte in beiden Systemen:
[ηi ]
[ξi ]
ξS =
n
n
[yi ]
[xi ]
yS =
xS =
n
n
ηS =
(3.15)
ANMERKUNG: [ηi ] stellt das Summenzeichen dar und kann auch als
P
ηi dargestellt werden.
2. Berechnung der Schwerpunktskoordinaten aller in beiden Systemen gegebenen
Punkte:
∆ηi = ηi − ηS
∆yi = yi − yS
∆ξi = ξi − ξS
∆xi = xi − xS
(3.16)
3. Berechnung von λ · cos ε (Hilfsvariable a) und λ · sin ε (Hilfsvariable o):
[∆ξi · ∆xi ] + [∆ηi · ∆yi ]
[∆ξ 2 + ∆η 2 ]
[∆ηi · ∆xi ] − [∆ξi · ∆yi ]
o=
[∆ξ 2 + ∆η 2 ]
a=
4. Berechnung des Drehwinkels:
o
ε = arctan
a
5. Berechnung des Maßstabsfaktors:
λ=
p
a2 + o2
(3.17)
(3.18)
(3.19)
6. Berechnung der Verschiebungsparameter durch Einsetzen der Schwerpunktskoordinaten in die Transformationsformel:
y0 = yS − λ · ηS · cos ε + λ · ξS · sin ε
x0 = xS − λ · ηS · sin ε − λ · ξS · cos ε
(3.20)
7. Berechnung der vorhandenen Restfehler durch Berechnen der Verbesserungen
vy und vx aus mit Hilfe der Transformationsformeln (Formeln 3.11) berechneten Koordinaten und der gegebenen Koordinaten. Damit lässt sich die Genauigkeit der Transformation abschätzen (siehe Kap 3.2.5).
3.1.4
Orientieren beobachteter Richtungen
In der Praxis werden von einem Standpunkt S aus Richtungen in Bezug auf die
Nullrichtung des Teilkreises des Theodolits gemessen. Die Ablesung am Horizontalkreis des Theodolits (siehe auch Kap. 6.1.3) werden als Horizontale Richtungen
RSi bezeichnet.
Für die Berechnung von Koordinaten wird laut Kap. 3.1.2 jedoch der Richtungswinkel ν benötigt. Dies ist jene Horizontale Richtung, bei welcher die Nullrichtung des
Vermessung
2008
20
Vermessung
Horizontalkreises (Teilkreisnull) exakt mit der Nordrichtung des Koordinatensystems zusammenfallen würde. Da dies bei einer Aufstellung des Theodolits praktisch
nie der Fall ist, muss vorerst die als Orientierungswinkel (auch als Orientierung
oder Orientierungsunbekannte) bezeichnete Verdrehung des Teilkreisnulls zur
geodätischen Nordrichtung für jede Theodolitaufstellung rechnerisch bestimmt werden. Die Berechnung der Orientierung wird mit Hilfe eines Festpunktes (koordinativ
bekannter Punkt) bzw. von mehreren Festpunkten (überbestimmt) durchgeführt.
ANMERKUNG: Da sich die Ausrichtung des Teilkreisnulls mit jeder Aufstellung des Theodolits verändert, muss die Orientierung für jede neue Instrumentenaufstellung bestimmt werden! Werden jedoch bei einer Theodolitaufstellung mehrere Neupunkte Pi eingemessen, können die Richtungswinkel νS P i mit ein und derselben Orientierung berechnet werden.
Orientierung mit Hilfe eines Anschlusspunktes
Mit einem Theodolit wird von einem koordinativ bekannten Standpunkt S aus die
Richtung RS F P zu einem (koordinativ auch bekannten) Fernziel F P (Anschlusspunkt) sowie die Richtung RS P und die Seite sS P zu einem koordinativ zu bestimmenden Punkt (Neupunkt) P gemessen. Für die Berechnung der Koordinaten wird
neben der gemessenen Seite sSP auch der Richtungswinkel νSP vom Punkt S zum
o
Neupunkt P benötigt (auch als Orientierte Richtung RSP
bezeichnet).
Abbildung 3.3: Orientierte Richtungen
Dabei wird folgendermaßen vorgegangen. Vorerst wird der Richtungswinkel νS F P
zwischen dem Standpunkt S und dem Anschlusspunkt F P berechnet und die Orientierung bestimmt (siehe Abb. 3.3):
o = νS F P − RS F P
(3.21)
Der Richtungswinkel νS P zwischen dem Standpunkt S und dem Neupunkt P kann
nunmehr durch Addition der Orientierung zur beobachteten Richtung RS P berechnet werden:
2008/09
νSP = RSP + o
21
(3.22)
RECHENBEISPIEL für Orientierungsbestimmung:
Gegeben sind die Koordinaten eines Standpunkts S und eines Fernziels F P :
• Koordinaten des Punktes S: (−99 927.12 / 5 303 259.16)
• Koordinaten des Punktes F P : (−100 261.53 / 5 302 913.48)
Gemessen wurden im Standpunkt die horizontalen Richtungen zum Fernziel F und zu einem Neupunkt P :
• RS F P = 326.4895g
• RS P = 181.2369g
Gesucht ist die Orientierungsunbekannte und die Orientierte Richtung
RSo P (Richtungswinkel).
ERGEBNIS:
• Richtungswinkel νS F P = 248.9451g
• Orientierung o = 322.4556g
• Orientierte Richtung RSo P = νS P = 103.6925g
ANMERKUNG: In Kap. 2.2.2 wurde gezeigt, dass sich die Querverschiebung eines Punktes bei einer konstanten Verschwenkung mit zunehmender Seitenlänge vergrößert. Umgekehrt bedeutet dies, dass sich bei einer
konstanten Querverschiebung (z.B. Punktlagefehler von Festpunkten) mit
Zunahme der Seitenlänge der Verschwenkungswinkel verkleinert. Zur Genauigkeitssteigerung werden daher für die Durchführung von Orientierungsaufgaben normalerweise weiter entfernte Festpunkte ausgewählt.
Orientierung mit mehreren Anschlusspunkten
Zur Kontrolle und Genauigkeitssteigerung werden die Richtungen zu mehreren (n)
Anschlusspunkten F Pi gemessen. Nach der Berechnung der n Richtungswinkel νS F Pi
zwischen dem Standpunkt S und den n Anschlusspunkten F Pi kann die Orientierungsunbekannte n-mal unabhängig bestimmt werden:
oi = νS F P i − RS F P i
(3.23)
Wenn die Einzelwerte nur geringfügig voneinander abweichen, kann als wahrscheinlichster Wert das arithmetische Mittel(siehe Kap. 3.2.8)
om = [oi ]/n
(3.24)
als Orientierungsunbekannte angenommen und die orientierte Richtung zu den jeweiligen Neupunkten bestimmt werden:
νS P i = RS P i + om
Vermessung
(3.25)
2008
22
Vermessung
ANMERKUNG: Bei größeren Abweichungen von Einzelwerten auf Grund
von größeren Beobachtungsfehlern oder zu nahen Visuren, dürfen diese bei
der Mittelbildung nicht berücksichtigt werden! Da sich die Ausrichtung
des Teilkreisnulls mit jeder Aufstellung des Theodolits verändert, muss
die Orientierung für jede neue Instrumentenaufstellung bestimmt werden!
Eine Abschätzung der erzielten Genauigkeiten für die Bestimmung der mittleren
Orientierung ist durch die Überbestimmung möglich und erfolgt mit den Formeln
3.38 (mittlerer Fehler einer Beobachtung) bzw. 3.39 (mittlerer Fehler des Mittels).
RECHENBEISPIEL für Orientierungsbestimmung mit mehreren Fernzielen:
Gegeben sind die Koordinaten eines Standpunkts S und von drei Fernzielen F P 1, F P 2 und F P 3:
• Koordinaten des Punktes S:
(13 106.22 / 378 343.75)
• Koordinaten des Punktes F P 1:
(12 547.83 / 378 731.73)
(13 525.91 / 378 878.22)
(12 599.47 / 377 856.44)
Gemessen wurden im Standpunkt die horizontalen Richtungen zu den
Fernzielen F P i:
• RS F P 1 = 96.9794g
• RS F P 2 = 200.6978g
• RS F P 3 = 9.5657g
Gesucht ist die mittlere Orientierung om sowie der mittlere Fehler einer
Beobachtung mo und der mittlere Fehler des arithmetischen Mittels mx :
ERGEBNIS:
• mittlere Orientierung om = 241.6795g
• mittlerer Fehler einer Beobachtung mo = ±10cc
• mittlerer Fehler des Mittelwertes mx = ±6cc
Zwischenergebnisse:
• Richtungswinkel νS F P 1 = 338.6581g
• Orientierung berechnet mit F P 1 = 241.6787g
2008/09
3.2
3.2.1
23
Fehler- und Ausgleichungsrechnung
Zweck und Aufgabe
Die Entwicklung der Ausgleichungsrechnung erfolgte aus der Erfahrung, dass absolut fehlerfreie Messungen - aufgrund der Unvollkommenheit des Messverfahrens,
aufgrund von Umwelteinflüssen bzw. persönlichen Einflüssen uam. - grundsätzlich
nicht möglich sind. Dies macht sich immer dann bemerkbar, wenn man eine gewisse
Größe öfter gemessen hat, als zur eindeutigen Festlegung notwendig ist.
Um eine Ausgleichungsrechnung durchführen zu können, müssen auf jeden Fall
Überbestimmungen (überschüssige Beobachtungen) vorliegen. Diese können als
• Wiederholte Einzelmessungen (z.B. Wiederholung von Seitenmessungen),
• Mehrfach durchgeführte Messungen zur Bestimmung einer Größe (z.B. Seitenmessungen und/oder Winkelmessungen zu einem Punkt von mehreren Standpunkten), oder auch
• Bedingungen zwischen Mess- und Berechnungsgrößen (z.B. die Summe aller
drei Winkel eines ebenen Dreiecks muss die Winkelsumme 200g ergeben)
vorliegen. Bei der Auswertung der Messungen entstehen die folgenden Aufgaben,
welche mit den Methoden der Ausgleichungsrechnung bewältigt werden können:
• aus den Beobachtungen den günstigsten (wahrscheinlichsten) Wert der gesuchten Größe (Mittelwert) abzuleiten,
• eine Maßzahl für die Genauigkeit einer einzelnen Messung oder ihre Streuung
anzugeben
• sowie die Genauigkeit oder die Streuung des Mittelwertes abzuschätzen.
Diese Aufgaben sind bei der Bestimmung von einzelnen Größen noch relativ einfach, werden aber um vieles komplizierter, wenn man z.B. an die Bestimmung der
Koordinaten in einem Dreiecksnetz mit zahlreichen Winkel- und Seitenmessungen
denkt!
3.2.2
Wahre und Scheinbare Fehler
Wahre Fehler ε: Abweichungen der Beobachtungswerte li vom wahren Wert X (den
man allerdings nicht kennt):
εi = X − li
(3.26)
Scheinbare Fehler v: Abweichungen (,Soll - Ist‘) der Beobachtungswerte li von einem
Näherungswert x (wahrscheinlichster Wert, plausibelster Wert), der schon rein gefühlsmäßig, aber auch nach strenger Ableitung, der Mittelwert aller Beobachtungen
sein muss.
v = x − li
Vermessung
(3.27)
2008
24
Vermessung
Zwischen Scheinbarem und Wahrem Fehler besteht nach Aufsummierung aller Fehler folgender Zusammenhang :
n · [vv] = (n − 1) · [εε]
(3.28)
wobei n die Anzahl der Beobachtungen angibt.
ANMERKUNG: [vv] stellt das Summenzeichen dar und kann auch als
P
v · v dargestellt werden.
Wahre Fehler εi und Scheinbare Fehler vi können auch als Verbesserungen des jeweiligen Beobachtungswertes li gesehen werden, um den Wahren bzw. den Wahrscheinlichsten Wert zu erhalten. Deshalb wird für v auch die Bezeichnung Verbesserung
verwendet.
3.2.3
Normalverteilung
Wenn eine Messung sehr oft wiederholt wird, kann man erkennen, dass die dabei
auftretenden zufälligen Fehler (Abweichungen) ganz bestimmten Gesetzen folgen.
Abbildung 3.4: Histogramm einer oftmals
wiederholten Messung
Abbildung 3.4 zeigt die Verteilung der Fehler, die bei 140 Beobachtungen desselben Winkels gemacht wurden. Wie die Treppenkurve zeigt, ist die Häufigkeit, mit
der ein Fehler auftritt, eine Funktion seiner Größe. Gauß [Carl Friedrich GAUSS,
1777-1855, deutscher Mathematiker, Astronom, Geodät und Physiker] hat dieses
auffallend gesetzmäßige Verhalten untersucht und folgendes Fehlergesetz aufgestellt:
h
2 2
ϕ(ε) = √ · e−h ε
π
(3.29)
wobei ϕ(ε) die relative Häufigkeit des Auftretens eines Fehlers ε, e die Basis der
natürlichen Logarithmen und h eine Konstante ist.
2008/09
25
Trägt man das Fehlergesetz grafisch auf, so erhält man die Gauß’sche Glockenkurve
(stimmt in Abb.3.4 mit der Treppenkurve recht gut überein). Diese Kurve ist symmetrisch, d.h. negative Abweichungen sind gleich häufig wie positive. Die Häufigkeit
von kleinen Abweichungen ist größer als jene von großen Abweichungen. Die Kurve
ist umso steiler (größeres h), je genauer die Messungsreihe ist. In der Sprache der
Statistik haben solche Messungsreihen eine Normalverteilung und können mit den
Methoden der Ausgleichungsrechnung behandelt werden.
3.2.4
Fehlerarten
Die in der Vermessung verwendeten Begriffe Grobe, Systematische und Zufällige Fehler rufen zwangsläufig Missverständnisse hervor, da nur die Groben Fehler im
Sinne von Irrtum bzw. als Nichterfüllung von vorgebenen Forderungen (Fehlergrenzen) zu verstehen sind. Die Abweichungen, die innerhalb der Fehlergrenzen liegen,
werden als Systematische und Zufällige Fehler (Abweichungen) bezeichnet.
Grobe Fehler
Grobe Fehler sind grob fehlerhafte Ablesungen an den Messinstrumenten, Zielverwechslungen, Verwechslung von Zahlen bei der Protokollführung usw. Grobe Fehler
liegen dann vor, wenn eine Beobachtung einer Messreihe eine größere Abweichung
von bereits erfolgten Messungen aufweist als die zu erwartende Genauigkeit zulässt. Sie können durch genügende Aufmerksamkeit und durch Kontrollmessungen
aufgedeckt und ausgeschieden werden.
Systematische Fehler (Abweichungen)
Systematische Abweichungen wirken sich einseitig auf das Messergebnis aus und
werden durch unzureichende Eichung und einseitige Handhabung der Messmittel
sowie durch Einfluss von Temperatur, Luftdruck usw. auf das Messinstrument hervorgerufen (z.B. thermische Ausdehnung eines Stahlmaßbandes). Diese Fehler lassen
sich zum größten Teil durch Eichung, geeignete Messverfahren bzw. durch nachträgliche Rechnung korrigieren.
Zufällige Fehler (Abweichungen)
Zufällige Fehler sind die nach dem Ausscheiden der groben und systematischen Fehler verbleibenden Rest-Abweichungen, die auf die begrenzte Schärfe der menschlichen Sinne, die Unvollkommenheit der Messinstrumente und auf äußere Einflüsse
(Luftbewegung, Beleuchtung usw.) zurückzuführen sind. Diese Fehler, die sich weder nach Größe noch nach Vorzeichen vorhersagen lassen und den Gesetzen des
Zufalls unterliegen, sind eigentlicher Gegenstand der Ausgleichungsrechnung.
3.2.5
Genauigkeitsmaße und Vertrauensbereiche
Um Instrumente, Beobachtungsverfahren usw. miteinander vergleichen zu können,
braucht man Aussagen über die Zuverlässigkeit der Messungsergebnisse. Das wird
möglich mit der Einführung sogenannter Genauigkeitsmaße (Fehlermaße), die aus
Vermessung
2008
26
Vermessung
den wahren Fehlern abgeleitet werden und immer mit dem Vorzeichen ± versehen
sind.
Wahrscheinlicher Fehler
Der Wahrscheinliche Fehler ist jener Fehler, der von der Hälfte aller nach dem
Absolutwert geordneten Fehler überschritten wird und von der anderen Hälfte unterschritten wird. Er wird in der geodätischen Praxis nicht verwendet.
Durchschnittlicher Fehler
Der Durchschnittliche Fehler ist der Mittelwert der Absolutwerte der Fehler und
wird in der Vermessung ebenfalls nur selten als Genauigkeitsmaß angewendet.
Mittlerer Fehler
Der Mittlere Fehler ist in der Vermessung das bei weitem wichtigste Fehlermaß
zur Beschreibung der Genauigkeiten der Instrumente, der Punktgenauigkeiten und
der erzielten Messgenauigkeiten. Der mittlere Fehler wird aus dem Mittelwert der
Quadratsumme der wahren Fehler gebildet (welche durch die Definition des ,Wahren Wertes‘ nur bei Vorliegen von unendlich vielen Messungen bestimmt werden
können):
s
m=±
[εε]
n
(3.30)
Bei Vermessungsaufgaben kann der Wahre Wert niemals bestimmt werden (dazu
wäre die Durchführung unendlich vieler Messungen notwendig!). Deshalb bezieht
sich das Genauigkeitsmaß auf den Wahrscheinlichsten Wert x und wird mit Hilfe
der scheinbaren Fehler folgendermaßen berechnet:
s
m=±
[vv]
n−1
(3.31)
Die Unterschiede der Berechnung der mittleren Fehler aus wahren Fehlern (Formel
3.30) und scheinbaren Fehlern (Formel 3.31) lassen sich durch den in Formel 3.28
angegebenen Zusammenhang zwischen diesen beiden Fehlern herleiten.
Fehlergrenzen und Vertrauensbereiche
Die Fläche unter der Gauß’schen Glockenkurve (Abb. 3.4) repräsentiert die Gesamtheit aller auftretenden Fehler einer Beobachtungsreihe. Der Abzissenwert der beiden
Wendepunkte beschreibt den Mittleren Fehler und die dazu gehörige Ordinate die
Wahrscheinlichkeit für das Auftreten dieses Mittleren Fehlers. Die zwischen den
beiden Wendepunkten, der Abszisse und der Glockenkurve liegende Fläche ( Vertrauensbereichs x ± 1 · mx ) beträgt 68.3 Prozent der Gesamtfläche und sagt aus,
dass für 68.3 Prozent aller Messungen der auftretende Fehler kleiner dem Mittleren
Fehler ist. 95.4 Prozent aller zufälligen Fehler sind kleiner als der 2-fache Mittlere
Fehler (Vertrauensbereich x ± 2 · mx ) und nur 0.3 Prozent aller zufälligen Fehler
sind größer als der 3-fache Mittlere Fehler (siehe Abb.3.5).
2008/09
27
Abbildung 3.5: Fehlergrenzen zur Angabe von
Vertrauensbereichen x ± k · mx
Aufgrund der Tatsache, dass (für n → ∞) 99.7 Prozent aller Fehler innerhalb des
3-fachen Mittleren Fehlers liegen, wird meist der 3-fache Betrag des theoretischen
Mittleren Fehlers als Fehlergrenze angenommen. Messungen, welche die jeweilige
Fehlergrenze überschreiten, müssen daher wiederholt werden. Da die Anzahl der
Messungen aber begrenzt ist (n 6= ∞), kann deshalb nicht der theoretische Wert des
Mittleren Fehlers sondern nur ein Näherungswert ermittelt werden. Der Mittelwert
x (und damit auch die Angabe des Mittleren Fehlers) ist umso ungenauer, je kleiner
die Anzahl der zu ihrer Berechnung verwendeten überschüssigen Messungen ist.
Für ein Messergebnis (n 6= ∞) muss somit anstelle der Fehlergrenzen (n → ∞)
ein Vertrauensbereich angegeben werden, der sich mit Hilfe eines linearen Faktors
(abhängig von Anzahl der überschüssigen Messungen) ermitteln lässt.
So liegen z.B. 99.7 Prozent aller zufälligen Fehler
• bei ∞ vielen Messungen unter dem 3-fachen mittleren Fehler (zufällige Fehler
sind in diesem Fall Wahre Fehler ),
• bei 10 wiederholten Messungen (bzw. Überbestimmungen) unter dem 4.1fachen mittleren Fehler (zufällige Fehler sind in diesem Fall Scheinbare Fehler ),
• bei 5 wiederholten Messungen (bzw. Überbestimmungen) unter dem 6.6-fachen
mittleren Fehler.
3.2.6
Fehlerfortpflanzung
Die zu bestimmenden Größen in der Vermessung (z.B. Koordinaten, Flächen, Volumina) werden meist nicht direkt gemessen, sondern aus anderen Messgrößen (z.B.
Richtungen, Seiten) abgeleitet. Für die Messung von Richtungen, Winkel und Seiten
kann das Genauigkeitsmaß (mittlerer Fehler) durch die vom Hersteller angegebene
Messgenauigkeit des Instrumentes einfach festgelegt werden. Wegen des bekannten
funktionellen Zusammenhangs zwischen beobachteten Größen (Messgrößen li ) und
einer zu bestimmenden Größe x kann die Auswirkung (Fortpflanzung) der Messfehler der beobachteten Größen auf die Genauigkeit der zu bestimmenden Größe
abgeleitet werden.
Fehlerfortpflanzung bei Linearen Funktionen
Die zu bestimmende Größe x steht in folgendem linearen Zusammenhang mit den
k unabhängig voneinander gemessenen Größen (die Koeffizienten ai können auch
negativ sein):
x = a1 · l1 + a2 · l2 + . . . + ak · lk
Vermessung
(3.32)
2008
28
Vermessung
Die mittleren Fehler mi der jeweiligen Messgrößen lk sind a priori bekannt. Damit
errechnet sich der mittlere Fehler der Funktion gemäß Fehlerfortpflanzungsgesetz:
q
mx = ± (a1 · m1 )2 + (a2 · m2 )2 + . . . + (ak · mk )2
(3.33)
BEWEIS: (Beispiel mit 2 voneinander unabhängig gemessenen Größen l1 und l2 mit
den mittleren Fehlern ±m1 und ±m2 ):
x = l1 + l2
wobei
a1 = a2 = 1 und k = 2 laut F ormel 3.32
Da jede Beobachtung n-mal vorliegt, ergeben sich n Gleichungen:
vx1 = v11 + v21
vx2 = v12 + v22
....
vxn = v1n + v2n
Nach Quadrieren, Addition und Division durch n − 1 folgt:
[vx ·vx ]
n
=
[v1 ·v1 ]
n
+
[v2 ·v2 ]
n
+
2·[v1 ·v2 ]
n
Da die gemischten Produkte gegen Null gehen, ergibt sich als Mittlere Fehler der
aus den beobachteten Größen l1 und l2 berechneten Größe x:
m2x = m21 + m22
q
mx = ± m21 + m22
bzw.
[q.e.d.]
RECHENBEISPIEL für Abschätzung eines Winkelfehlers:
Von einem Standpunkt S sind die horizontalen Richtungen R1 und R2
mit demselben Minutentheodolit (mR = ±0.005g ) gemessen worden.
• R1 = 327.565g ± 50cc
• R2 = 245.795g ± 50cc
Wie groß und wie genau ist der Winkel α, der aus der Differenz der beiden
Richtungen R2 − R1 berechnet wurde?
ERGEBNIS:
• α = 318.230g ± 70.7cc
Zwischenergebnisse:
g
• α = 318.230
q
• mα = ± m2R + m2R
• Genauigkeit des Winkels α : ±70.7cc
2008/09
29
Fehlerfortpflanzung bei Nichtlinearen Funktionen
Ist der Zusammenhang zwischen der zu bestimmenden Größe und den Messgrößen nicht linear, so wird vorerst die (nicht lineare) Funktion (x = φ(l1 , l2 , . . . , lk )
mit Hilfe der Taylor’schen Reihe linearisiert. Die Koeffizienten ai werden aus der
partiellen Ableitung der Funktion nach den einzelnen Beobachtungsgrößen erhalten:
δφ
δφ
δφ
· l1 +
· l2 + . . . +
· lk
(3.34)
δl1
δl2
δlk
Durch die Linearisierung ist die Formel 3.34 gleich der Formel 3.32 und die Bestimmung des mittleren Fehlers mx kann analog der Vorgangsweise in Kap. 3.2.6 gemäß
Fehlerfortpflanzungsgesetz bestimmt werden:
dx =
m2x = (
δφ
δφ
δφ
· m1 )2 + (
· m2 )2 + . . . + (
· mk )2
δl1
δl2
δlk
(3.35)
Bei der Berechnung der mittleren Fehler für die zu bestimmende Größe x muss
darauf geachtet werden, dass die Messgrößen wirklich unabhängig voneinander sind.
RECHENBEISPIEL für die Abschätzung einer Flächengenauigkeit:
Von einer rechteckigen Fläche F wurde die Längsseite l mit einem elektrooptischen Entfernungsmessgerät und die Breitseite b mit einem Stahlmaßband gemessen. Die mittleren Fehler der jeweiligen Messinstrumente
sind bekannt und bei der jeweiligen Messung angegeben.
• l = 224.352 m (mEDM = ±3 mm)
• b = 57.78 m (mSM = ±1.5 cm)
Gesucht ist die Größe der Fläche sowie der mittlere Fehler der Fläche F .
ERGEBNIS:
• F = 12 963 m2 ± 3.4 m2
Rechengang:
• F = l · b = 12 963.058 m2
• δF
δl = b und
•
δF
δb
=l
q
δF
2
2
• mF = ± ( δF
δl · mEDM ) + ( δb · mSB ) und damit
p
• mF = ± (b · mEDM )2 + (l · mSB )2
• Genauigkeit der Fläche: mF = ±3.4 m2
ANMERKUNG: Die Anzahl der im Ergebnis für die berechnete Größe
ausgewiesenen Nachkommastellen ist mit der errechneten Genauigkeit abzustimmen. Es wäre im oberen Beispiel nicht sinnvoll, die Fläche genauer
als 1 m 2 anzugeben, da die Genauigkeit der Fläche aufgrund der verwendeten Messmittel und Größenverhältnisse bei ± 3 m2 liegt.
Vermessung
2008
30
3.2.7
Vermessung
Prinzip und Verfahren der Ausgleichungsrechung
Messungen, die einer Ausgleichung unterworfen werden sollen, müssen frei von groben Fehlern und systematischen Abweichungen sein. Außerdem muss die Anzahl
der Beobachtungen n immer größer als die Anzahl der Unbekannten u sein (Überbestimmung).
ANMERKUNG: Wäre die Anzahl der Beobachtungen gleich der Unbekannten, so können die gesuchten Größen eindeutig bestimmt werden. Ist
die Anzahl der Beobachtungen kleiner als jene der Unbekannten, so können die gesuchten Größen nicht bestimmt werden.
Bei Überbestimmung (n > u) erhält man die Wahrscheinlichsten Werte der
Unbekannten aus der Forderung, dass die Summe der Quadrate der Verbesserungen
(vi = x − li ) zu einem Minimum wird. Daher spricht man von der Methode der
kleinsten Quadratsumme:
[vv] = M inimum
(3.36)
Aus dieser Forderung folgt auch, dass die so ermittelten Größen die kleinsten mittleren Fehler (siehe Formel 3.31) erhalten.
In der vermessungstechnischen Praxis gibt es drei Verfahren der Ausgleichungsrechnung:
1. Ausgleichung direkter Beobachtungen: Die gesuchten Größen werden direkt gemessen, die Ausgleichung führt immer zum arithmetischen Mittel (z.B.:
Seitenmessung).
2. Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen: Die gesuchten Größen können nicht direkt beobachtet werden, stehen aber in funktionellem Zusammenhang mit beobachteten Größen (z.B.: Ermittlung von Koordinaten aus Seitenund Winkelmessungen bei der geodätischen Punktbestimmung). Zur Lösung
werden zunächst die Beobachtungen durch die Unbekannten ausgedrückt, sodass sie vermittels der Unbekannten miteinander verglichen werden können.
Dann werden die dabei zutage tretenden Messungswidersprüche aufgrund der
Forderung [vv] → Minimum beseitigt. Eine detaillierte Darstellung des Verfahrens ist nicht Inhalt der gegenständlichen Lehrveranstaltung.
3. Ausgleichung bedingter Beobachtungen: Die Beobachtungen müssen bestimmte Bedingungen erfüllen (z.B. muss die Winkelsumme im Dreieck 200g
sein). Dieses Verfahren wird heutzutage selten angewendet, da die Bedingungsgleichung auch als Funktionsgleichung mit hohem Gewicht formuliert und damit als Ausgleichung vermittelnder Beobachtungen rechentechnisch einfacher
durchgeführt werden kann. Die Darstellung dieses Verfahren ist nicht Inhalt
der gegenständlichen Lehrveranstaltung.
3.2.8
Ausgleichung direkter Beobachtungen
Die gesuchte Messgröße wird n-mal direkt gemessen und der Wahrscheinlichste
Wert x für diese Unbekannte ist zu bestimmen.
2008/09
31
Ausgleichung direkter Beobachtungen gleicher Genauigkeit
Werden alle Messungen li mit gleicher Genauigkeit durchgeführt (z.B. immer mit
demselben Instrument), so sind alle Beobachtungen gleich zu gewichten. Der wahrscheinlichste Wert ergibt sich aus der Forderung [vv] = M inimum (gemäß Gleichung 3.27) durch die Mittelbildung aller Messergebnisse und wird als Arithmetisches Mittel bezeichnet:
x=
[l]
n
(3.37)
BEWEIS:
[v · v] = [(x − l) · (x − l)]
[v · v] = [x · x] − [2 · x · l] + [l · l] → M inimum
⇒ 1. Ableitung ist N ull
δ[v · v]
= 2 · [x] − [2 · l] = 0
δx
[x] = [l]
x=
⇒
n · x = [l]
[l]
n
[q.e.d.]
Die Ausgleichung direkter Beobachtungen liefert die folgenden mittleren Fehler (Genauigkeitsmaße):
• Mittlerer Fehler einer einzelnen Beobachtung:
s
m0 = ±
[vv]
n−1
(3.38)
• Mittlerer Fehler des Arithmetischen Mittels:
s
mx = ±
[vv]
m0
= ±√
n(n − 1)
n
(3.39)
Ausgleichung direkter Beobachtungen verschiedener Genauigkeit
Wird eine Größe mehrere Male mit verschiedener Genauigkeit (z.B. mit verschiedenen Messmitteln) gemessen, müssen bei der Bildung des Mittelwertes die Genauigkeitsverhältnisse oder die Gewichte p der einzelnen Messungen berücksichtigt
werden. Je genauer ein Messmittel bzw. eine Messmethode (je kleiner der mittlere
Fehler), desto größer ist das Gewicht p.
Vermessung
2008
32
Vermessung
Den Mittelwert, der als Allgemeines arithmetisches Mittel oder auch als Gewichtsmittel bezeichnet wird, erhält man aus der Forderung [pvv] = M inimum
mit
x=
[p · l]
[p]
(3.40)
mit den Genauigkeitsmaßen:
• Mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht 1:
s
m0 = ±
[pvv]
n−1
(3.41)
• Mittlerer Fehler einer Beobachtung vom Gewicht pi :
s
m0
mi = ± √ = ±
pi
[pvv]
pi · (n − 1)
(3.42)
• Mittlerer Fehler des Mittels:
s
m0
mx = ± p = ±
[p]
[pvv]
[p] · (n − 1)
(3.43)
2008/09
Kapitel 4
Bezugsflächen der Erde und deren
Abbildungen
4.1
Bezugsflächen
Der unmittelbare Gegenstand der Vermessung ist die sichtbare (physische) Erdoberfläche. Diese unregelmäßig gestaltete Oberfläche ist weder mathematisch noch
physikalisch exakt beschreibbar. Die auf der Erdoberfläche durchgeführten Messungen und deren Abbildungen müssen aber dennoch auf analytisch und physikalisch
definierte Flächen bezogen werden (Kap.4.1.1 und 4.1.2), wobei zum Erhalt eines
möglichst verzerrungsfreien Abbildes auf einer ebenen Karte (Plan) jeweils nur Teilstücke der Erdoberfläche herangezogen werden (Kap.4.4).
4.1.1
Mathematisch-Geometrische Bezugsflächen
Die Resultierende der auf die Erde wirkenden Kräfte (Gravitation, Fliehkraft) ist
die Schwerkraft. Durch diese wird eine Hauptkoordinatenrichtung vorgegeben, nach
welcher die Vermessungsinstrumente jederzeit und an jedem Ort der Erde orientiert
werden können. Jede Normale auf die Richtung der Schwerkraft (= Lotrichtung)
ergibt eine Horizontale. Die Lotlinien sind in verschiedenen Punkten der Erde aber
nicht parallel und auch gekrümmt (aufgrund der unterschiedlichen Dichteverhältnisse des Erdkörpers).
Bei der Durchführung von Messungen auf der Erdoberfläche werden die Messinstrumente mit Hilfe von Wasserwaagen, Libellen (siehe Kap. 6.1.3) und Kompensatoren
(siehe Kap. 6.1.2) horizontiert, d.h. die Messebene befindet sich normal auf die Richtung der Schwerkraft. Für kleine Vermessungsgebiete bis zu ca. 10 · 10 km 2 können
die Lotrichtungen aller Punkte aber als parallel betrachtet werden und die Punkte
der physischen Erdoberfläche daher auf eine Horizontalebene projiziert werden
(siehe Abb.4.1).
Geht man darüber hinaus, so ist die unregelmäßige Erdform durch eine
regelmäßige Ersatzfläche anzunähern.
Nach alten Anschauungen war die Erde eine Scheibe, die vom Okeanus umflossen
wird. Erst Pythagoras [PYTHAGORAS von Samos, geb. ca. 580 v. Chr. - genauere
33
34
Vermessung
Abbildung 4.1: Ebene als Bezugsfläche
Daten nicht bekannt, griechischer Mathematiker und Philosoph] erklärte die Erde
als Kugel und diese Vorstellung wurde von Aristoteles [ARISTOTELES, 384-322 v.
Chr., griechischer Philosoph und Naturforscher] und Archimedes [ARCHIMEDES
von Syrakus, 287-212 v. Chr., griechischer Mathematiker, Physiker und Ingenieur]
erhärtet (siehe Abb.4.2).
Abbildung 4.2: Kugel als Bezugsfläche
Die erste überlieferte Erdmessung wurde von Eratosthenes [ERATOSTHENES von
Kyrene, ca. 284-202 v. Chr., griechischer Mathematiker, Geograf, Historiker, Philologe, Direktor der Bibliothek von Alexandria] durchgeführt.
Mit Snell [Willebrord van Roijen SNELL - auch bekannt als SNELLIUS, 15801626, niederländischer Astronom und Mathematiker] und seiner neu entwickelten
Methode zur Bestimmung des Erdradius begannen erst wieder im 17. Jahrhundert
intensive Messungen zur Bestimmung des Erdumfanges: Nunmehr war es möglich,
durch Messen der Winkel in einer Dreieckskette und Messen einer relativ kurzen
Seite, große Seiten mit bisher unerreichter Genauigkeit zu bestimmen (Triangulation). Diese neue Technik gab den Anstoß für eine größere Zahl von Gradmessungen
im 17. und 18. Jahrhundert.
2008/09
KAPITEL 4. BEZUGSFLÄCHEN DER ERDE UND DEREN ABBILDUNGEN
35
Die Theorie von Newton [Sir Isaac NEWTON, 1643-1727, englischer Physiker,
Mathematiker, Astronom, Alchemist, Philosoph und Theologe], dass ein rotierender
elastischer Körper von kugelförmiger Gestalt unter Einfluss der Zentrifugalkraft an
den Polen abgeplattet sein muss, wurde durch von Frankreich entsandte Gradmessungsexpeditionen nach Peru und Lappland (1735) bestätigt. Diese führten eine
Reihe von Gradmessungen durch und konnten die große Halbachse a und die kleine
Halbachse b des Rotationsellipsoids bestimmen (siehe Abb.4.3).
Abbildung 4.3: Rotationsellipsoid als Bezugsfläche
4.1.2
Physikalisch-Dynamische Bezugsflächen
Für die immer genauer werdende Messtechnik reichte die Annahmen einer rein geometrischen Annahme der Erdfigur nicht mehr aus und es mussten auch physikalische Annahmen mit berücksichtigt werden. Aus diesem Grund definierte Gauß
[Carl Friedrich GAUSS] jene Äquipotentialfläche des Erdschwerefelds (Fläche gleichen Schwerepotentials) als physikalisch-dynamische Referenzfigur, von welcher die
ruhende mittlere Meeresoberfläche ein Teil ist. Der deutsche Geodät Listing [Johann
Benedikt LISTING, 1808-1882, deutscher Physiker] hat diese Fläche im Jahr 1872
als Geoid bezeichnet(siehe Abb.4.4). Das Geoid schneidet mit seiner Oberfläche die
Feldlinien (Lotlinien) der Schwerkraft überall im rechten Winkel.
Abbildung 4.4: Geoid als Bezugsfläche, 20.000-fach
c
überhöht; GFZ
Potsdam
Vermessung
2008
36
Vermessung
Aufgrund der unterschiedlichen Dichteverhältnisse im Erdkörper ist das Geoid keine regelmäßige Fläche und eignet sich damit auch nicht als Bezugsfläche für Lagevermessungen. Es kann ausschließlich als Referenzsystem für Höhenvermessungen
angenommen werden. Als Lagereferenzfläche blieben weiterhin mathematisch beschreibbare Ellipsoide erhalten. Allerdings konzentrierten sich die Bemühungen der
Erdmessung seit Definition des Geoids an das Ermitteln von an das Geoid bestanschließenden Ellipsoiden und Referenzellipsoiden.
4.2
Dreidimensionale geodätische Koordinatensysteme
Um Punkte auf der Erde eindeutig festzulegen, ist ein dreidimensionales, erdfestes
Koordinatensystem zu definieren. Wie schon beim zweidimensionalen Koordinatensystem bieten sich auch hier zwei Koordinatensysteme an: Das Dreidimensionale
Kartesische Koordinatensystem und das Dreidimensionale Ellipsoidische
(Geografische) Koordinatensystem als Pendant zum zweidimensionalen Polarkoordinatensystem.
4.2.1
Dreidimensionales Kartesisches Koordinatensystem
Im Dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem wird der auf der
Erdoberfläche liegende Punkt durch die drei Abstände (Y, X und Z) vom gemeinsamen Ursprung bis zu den senkrechten Projektionen des Punktes auf die entsprechenden Koordinatenachsen beschrieben. Die drei Koordinatenachsen stehen senkrecht
zueinander (siehe Abb.4.5). Die Lage des Nullpunktes und der Koordinatenachsen
muss definiert sein. Üblicherweise wird bei geodätischen kartesischen Koordinatensystemen der Erdmittelpunkt als Ursprung angenommen, die Z-Achse verläuft in
der Rotationsachse der Erde und die XY-Ebene fällt normalerweise mit der Äquatorebene zusammen.
Abbildung 4.5: Dreidimensionale Kartesische Koordinaten
Da die Vorstellbarkeit dreidimensionaler kartesischer Koordinaten nur sehr schwer
gegeben ist, werden in der praktischen geodätischen Arbeit zur Punktdefinition
öfters dreidimensionale Polarkoordinaten verwendet.
2008/09
4.2.2
37
Geografische und Ellipsoidische Koordinaten
Die allseits bekannten Geografischen Koordinaten haben als Referenzfigur die
Erdkugel: Dabei ist die geografische Breite ϕ eines Punktes jener Winkel, den die
durch den Punkt gehende Flächennormale der Erdkugel mit der Äquatorebene bildet. Die geografische Länge λ entspricht dem Winkel zwischen der Ebene durch
einen Nullmeridian (üblicherweise jener durch Greenwich) und der Meridianebene
im Punkt.
Abbildung 4.6: Dreidimensionale Ellipsoidische Koordinaten
Die Ellipsoidischen Koordinaten werden durch die ellipsoidische Breite ϕ, die
ellipsoidische Länge λ (siehe Abb.4.6) beschrieben. Diese werden ebenso wie die
Geographischen Koordinaten definiert, beziehen sich allerdings auf ein definiertes
Rotationsellipsoid (siehe Kap.4.3). Die Ellipsoidische Höhe h entspricht dem Abstand der Ellipsoidnormalen zwischen dem Punkt und dem Referenzellipsoid.
4.3
Geodätische Bezugssysteme
Ein geodätisches Referenzsystem legt die Dimension des als Referenzfigur für die
Erdoberfläche gewählten Rotationsellipsoids und dessen Lagerung im physikalischen
Raum fest. Darüberhinaus definiert das geodätische Bezugssystem auch die Referenz
für die Höhenangaben. Um eine bestmögliche Anpassung an die Erdfigur für das jeweilige Land zu erzielen, verwenden die nationalen Vermessungsinstitutionen in der
Regel lokale Bezugssysteme. Für erdumspannende Vermessungsaufgaben wurden von internationalen Institutionen globale Referenz- oder Bezugssysteme
festgelegt. Es gibt unzählig viele unterschiedliche Bezugssysteme. Eine Transformation zwischen den einzelnen Systemen ist möglich, wobei handelsübliche Vermessungsprogramme und Geografische Informationssysteme die meist sehr komplizierten Transformationsgleichungen (Reihenentwicklungen) inkludiert haben.
4.3.1
Lokale Bezugssysteme in der österreichischen Landesvermessung
In der österreichischen Landesvermessung gilt zur Zeit noch das lokale (regionale)
Referenzsystem des ehemaligen Militär-Geographischen Instituts: Dieses als MGI
Vermessung
2008
38
Vermessung
bezeichnete Referenzsystem bezieht sich auf das von Bessel [Friedrich Wilhelm
BESSEL, 1784-1846, deutscher Mathematiker Astronom und Geodät] berechnete
Erd-Ellipsoid mit einer großen Halbachse von a = 6 377 397.155 m und der kleinen Halbachse b = 6 356 078.963 m. Der Ellipsoidmittelpunkt ist exzentrisch zum
Erdschwerpunkt gelagert.
Die Punkte des Präzisionsnivellements (hochgenaue amtliche Höhenmessung) sind
netzförmig über das gesamte österreichische Bundesgebiet verstreut (siehe Kap.5.3.2).
Ab 1873 wurden diese Punkte vom k.u.k. Militärgeographischen Institut - und in
weiterer Folge vom Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen - gemessen. Die
Höhen dieses Netzes beziehen sich auf das Mittelwasser der Adria für das Jahr
1875, definiert durch den Flutmesser im Finanzgebäude am Molo Sartorio in Triest
(vergleiche Kap.4.1.2: Form des Geoids entspricht der ruhenden Meeresoberfläche).
Die Stadt Wien (MA41 Stadtvermessung) hat mit dem sogenannten Wiener Null
ein eigenes Höhenbezugssystem. Dieses unterscheidet sich durch die Konstante 156,680 Meter von den bundesamtlichen Höhenfestpunkten, die sich auf Adria Null
beziehen. Der Höhenbezug Wiener Null ist abgeleitet vom historischen Höhenpegel
an der Ferdinandsbrücke - der heutigen Schwedenbrücke. Damit liegen alle Punkte
im Wiener Höhennetz um 156,680 m tiefer als die Punkte im amtlichen Höhennetz.
4.3.2
Globale Bezugssysteme
In den nächsten Jahren wird Österreich - als Folge einer Harmonisierung von Koordinatensystemen innerhalb der Europäischen Union - ein neues Referenzsystem
erhalten. Dieses internationale Bezugssystem passt sich global bestmöglich an die
Erdfigur an. Das auch für GPS (Global Positioning System, siehe Kap.6.4) im Einsatz befindliche und als WGS84 (World Geodetic System) bezeichnete System weist folgende Parameter auf: Als Bezugsfläche dient das Ellipsoid GRS80
mit einer großen Halbachse a = 6 378 137.000 m und einer kleinen Halbachse b =
6 356 752.314 m. Das Rotationsellipsoid hat seinen Mittelpunkt im Erdschwerpunkt
(geozentrische Lagerung).
Aus historischen Gründen beziehen die verschiedenen Länder ihre Höhen auf unterschiedliche Bezugspunkte. Dadurch können sich an den österreichischen Staatsgrenzen zu den Nachbarsystemen Höhenunterschiede bis zu 60 cm ergeben. Daher gibt es
nun ein Projekt zur Vereinheitlichung der europäischen Höhensysteme, dabei wird
der Amsterdamer Pegel als Bezugspunkt verwendet (sog. Europahorizont). Das europäische Höhennetz (REUN = Réseau Europeen Unifié de Nivellement bzw. UELN
= United European Levelling Net) liefert keine Höhenwerte im metrischen System,
sondern geopotentielle Koten (Arbeitswerte), die jedoch umgerechnet werden können. Dieses internationale Netz ermöglicht eine korrekte Verbindung zwischen dem
Pegel in Amsterdam und den Höhenpunkten in Österreich. Bezüglich Detailinformation zu den unterschiedlichen Höhendefinitionen (wie z.B. ellipsoidische Höhen,
orthometrische Höhen, Geoidhöhen) muss auf die einschlägige Fachliteratur verwiesen werden.
2008/09
4.4
39
Verebnete Abbildung der Erdoberfläche - Projektionssysteme
Praktische Bedürfnisse (Erstellung von Karten, Plänen etc.) machen die Abbildung
des Erdellipsoides bzw. der Kugel in eine Ebene notwendig. Auch alle Berechnungen
für die praktische Vermessung sind wesentlich einfacher in der Ebene durchzuführen,
denn die Berechnung von geografischen (ellipsoidischen) Koordinaten (Breite ϕ und
Länge λ) für jeden Punkt auf der Kugel (Ellipsoid) ist sehr aufwändig. Weil die
Kugel bzw. das Rotationsellipsoid nicht ohne Verzerrungen in die Ebene ausgebreitet
werden kann, muss eine gesetzmäßige Beziehung zwischen den Punkten der Kugel
bzw. des Ellipsoides und der Ebene hergestellt werden. Dabei muss die Abbildung
nicht unmittelbar in die Ebene erfolgen, sondern kann auch über Flächen geschehen,
die in die Ebene abgewickelt werden können, also Zylinder- und Kegelflächen.
4.4.1
Charakterisierung von Abbildungen (Projektionen)
Streng mathematisch kann die als Kugel oder Rotationsellipsoid (Urbild) angenäherte Erdoberfläche nicht verzerrungsfrei, d.h. nicht gleichzeitig längen-, winkel-und
flächentreu auf eine Ebene abgebildet werden. Je kleiner die Ausdehnungen des
abzubildenden Gebietes sind, desto geringer werden sich die Abbildungsuntreuen
auswirken. Geometrische Konstruktionen (echte Projektionen) oder mathematische Berechnungen (unechte Projektionen) ermöglichen jedoch Abbildungen
(Projektionen) von größeren Teilen der Erdoberfläche, welche entweder
• Winkeltreue (Konformität),
• Flächentreue (Äquivalenz) und/oder
• teilweise (!!!) Längentreue (Äquidistanz) aufweisen.
ANMERKUNG: Sowohl der Begriff Abbildung als auch der Begriff Projektion findet sich in der einschlägigen Literatur. Beide Begriffe sind in
diesem Zusammenhang gleichbedeutend.
Bei jeder echten und unechten Abbildung werden zumindest zwei der im Urbild
senkrecht aufeinander stehenden Bogenelemente (z.B. Meridiane und Breitenkreise) auch im Abbild senkrecht zueinander abgebildet. In diesen beiden Richtungen
liegen die maximale bzw. minimale Längenverzerrung. Die Wahl der Abbildung
wird sich üblicherweise nach dem Zweck des Planes oder der Karte richten. Topografische und thematische Karten, welche dem Flächenvergleich dienen, müssen
Flächentreue besitzen. Will man Seiten in den Karten miteinander vergleichen, ist
eine längentreue Abbildung dafür Voraussetzung. Für geodätische Anwendungen ist
eine winkeltreue Abbildung günstig, da damit die in der Natur gemessenen Winkel
direkt in die Karte (Plan) übertragen werden können.
Neben der Konstruktionsmethode (echte oder unechte Abbildung) und den Treueeigenschaften (flächen-, winkel- und/oder tlw. längentreu) können die Abbildungen
auch nach folgenden Gesichtspunkten unterschieden werden:
• nach verwendeter Projektionsfläche (Azimutalprojektion, Zylinderprojektion oder Kegelprojektion (siehe Abb.4.7)
Vermessung
2008
40
Vermessung
Abbildung 4.7: Art der Projektionsfläche
• nach der Lage der Projektionsfläche zur Referenzfigur (Achse ident mit Lot
bzw. Rotationsachse der Projektionsfläche: Normale Abbildung; Erdachse normal auf Lot bzw. Rotationsachse der Projektionsfläche: Transversale
Abbildung, Erdachse weder parallel noch normal zum Lot bzw. zur Rotationsachse der Projektionsfläche: Schiefachsige Abbildung)(siehe Abb.4.8)
Abbildung 4.8: Lage der Projektionsfläche
• nach der mathematischen Annäherung der Erdfigur (Kugel als genäherte Erdfigur: kartografische oder geografische Abbildung, Rotationsellipsoid als
genäherte Erdfigur: geodätischen Abbildung).
In Österreich sind oder waren im amtlichen Vermessungswesen die folgend angeführten Bezugs- und Projektionssysteme in Verwendung.
ANMERKUNG: Da für bodenbezogene Aufgabenstellungen häufig auf historisches Kartenmaterial zurück gegriffen wird (z.B. alte Katastralmappen) werden im Folgenden auch jene Abbildungen vorgestellt, in welcher
die historischen Karten seinerzeit kartiert wurden.
4.4.2
Soldner-Cassini Abbildung
Die Soldner-Cassini-Abbildung (Projektion) ist eine transversale Zylinderprojektion, d.h. die Achse liegt in der Äquatorebene [Johann Georg von SOLDNER, 17761833, deutscher Physiker, Mathematiker, Astronom und Geodät; César François
CASSINI de THURY, 1714-1784, französischer Geodät und Astronom]. Der als
2008/09
41
Projektionsfläche dienende Zylinder berührt die Erdkugel entlang eines Grundmeridians. Ein in der Mitte des Vermessungsgebietes liegender Grundmeridian ist Abszissenachse und ein beliebiger Punkt auf der Abszissenachse ist Koordinatenursprung.
Der Vorteil der Soldner-Cassini Projektion liegt in der Einfachheit der Abbildung,
der Nachteil allerdings in der Tatsache, dass in Abhängigkeit von der Entfernung
vom Grundmeridian Winkel-, Seiten- und Flächenverzerrungen auftreten.
Die Seitenverzerrung erhöht sich mit zunehmendem Abstand zur x-Achse (H in
Abb.4.9; Hochwert), wobei sich jeweils bei Seiten parallel zur x-Achse ein Maximum
ergibt. Keine Verzerrung gibt es bei Seiten, welche exakt parallel zur y-Achse (R in
Abb.4.9; Rechtswert) ausgerichtet sind.
Bei größerer Ausdehnung des Vermessungsgebietes müssen mehrere Systeme nebeneinander angeordnet werden. In der Monarchie wurden für die bis 1920 verwendete
Soldner-Cassini Projektion elf Koordinatensysteme eingeführt, für das heutige österreichische Staatsgebiet waren dies:
Koordinatenursprung
Wien, St. Stephan
Gusterberg bei Kremsmünster
Schöckl bei Graz
Innsbruck, Pfarrkirche-Südturm
Krumberg bei Laibach
Land
Wien, Niederösterreich
Oberösterreich, Salzburg
Steiermark
Tirol, Vorarlberg
Kärnten
Abbildung 4.9: Soldner-Cassini Abbildung
Das heutige Burgenland war als Teil der ungarischen Reichshälfte im einzigen Koordinatensystem Ungarns mit dem Ursprung Budapester Sternwarte abgebildet.
4.4.3
Gauß-Krüger Abbildung
Um die Verzerrungen der Cassini-Soldner-Abbildung zu umgehen, hat Carl Friedrich Gauß ein Verfahren der konformen (winkeltreuen) Abbildung der Kugel entwickelt. Krüger [Heinrich Louis KRÜGER, 1857-1923, deutscher Geodät] führte
die formelmäßige Weiterentwicklung der Gauß’schen konformen Projektion für das
Erdellipsoid durch. Die geodätische Gauss-Krüger Projektion ist damit eine streng
winkeltreue, transversale Zylinderprojektion.
Vermessung
2008
42
Vermessung
Die Seite in der Projektion ist immer größer als in der Natur. Seitentreue ist nur
mehr im Bezugsmeridian gegeben. Die Projektionsverzerrung ist nicht von der Richtung der Seite im System abhängig, sondern nur von der Lage im Bezug auf den
Mittelmeridian. Daher müssen die Systeme größenmäßig begrenzt werden.
Seitenverzerrung m (ym Abstand vom Meridian):
m=1+
2
ym
2 · R2
(4.1)
In Österreich wurde die Gauss-Krüger Projektion 1921 eingeführt. Die Grundlage
bildet das Erdellipsoid von Bessel und die von Ferro ausgehende Zählung der Meridiane (Ferro: 20 o westlich von Paris, 17 o 40 0 westlich von Greenwich). Um die
Seitenverzerrungen nicht zu groß werden zu lassen, wird das gesamte Staatsgebiet
auf drei Meridianstreifen mit den Bezugsmeridianen M 28, M 31 und M 34 östlich von Ferro aufgeteilt. Jeder Meridianstreifen überdeckt ein Gebiet von 1 o 30 0 in
Länge westlich und östlich vom Bezugsmeridian mit Übergriffen von 30 0 (Überlappungsbereich). Die y-Koordinate wird vom Bezugsmeridian aus gezählt (nach Osten
positiv und nach Westen negativ), die x-Koordinate wird vom Äquator aus gezählt
(deshalb Werte über fünf Millionen).
Streifensystem
M 28
M 31
M 34
Bundesland
Vorarlberg., westl. Teil von Tirol
östl. Teil von Tirol, Osttirol, Salzburg, Oberösterreich,
Kärnten., Teile von Niederösterreich und Steiermark
Oststeiermark, Großteil von Niederösterreich,
Burgenland und Wien
Abbildung 4.10: Gauss-Krüger Abbildung
Eine wichtige Aufgabe ist in diesem Zusammenhang die Umrechnung von geografischen bzw. ellipsoidischen Koordinaten (ϕ, λ) in Gauß-Krüger Koordinaten (y, x)
und umgekehrt sowie die Umrechnung von einem Streifen in einen Nachbarstreifen
(speziell in den Überlappungsbereichen interessant).
Die Umrechnung zwischen den Systemen ist nicht streng möglich. Die durch Reihenentwicklungen angenäherten Formeln sind heute in zahlreichen EDV-Programmen
realisiert.
2008/09
4.4.4
43
Bundesmeldenetz (BMN)
Um einen Punkt in Österreich eindeutig koordinativ zu beschreiben, muss im GaußKrüger-System immer der Bezugsmeridian mit angegeben werden. Mit der Einführung des Bundesmeldenetzes erspart man sich zum einen die Angabe des Bezugsmeridians. Darüber hinaus werden durch die Umrechnungsparameter zwischen GaußKrüger-System und Bundesmeldenetz-System (nur Verschiebungen) auch negative
y-Koordinaten vermieden. In Abhängigkeit vom Bezugsmeridian gilt folgender Zusammenhang zwischen den beiden Systemen:
Streif en
M 28 :
yBM N = yGK + 150 000.000 m
Streif en
M 31 :
yBM N = yGK + 450 000.000 m
Streif en
M 34 :
yBM N = yGK + 750 000.000 m
(4.2)
xBM N = xGK − 5 000 000.000 m
(4.3)
alle Streif en :
Abbildung 4.11: Bundesmeldenetz
4.4.5
Lambert-Projektion
Die kleinmaßstäbigen amtlichen Kartenwerke werden in Österreich in der LambertProjektion [Johann Heinrich LAMBERT, 1728-1777, deutscher Mathematiker, Physiker und Philosoph] dargestellt. Diese Abbildung ist eine winkeltreue, normale
Schnittkegelprojektion, wobei der Kegel in den Parallelkreisen 46 o und 49 o nördlicher Breite das Bessel-Ellipsoid schneidet. In den beiden genannten Parallelkreisen
ist die Längentreue gegeben. Der Koordinatenursprung befindet sich in einer nördlichen Breite von 47 o 30 0 und einer Länge von 13 o 20 0 östlich von Greenwich. Zur
Vermeidung von negativen Koordinaten wird der Ursprung des Koordinatensystems
mit folgenden Werten definiert:
y0 Lambert = 400 000.000 m
x0 Lambert = 400 000.000 m
Vermessung
(4.4)
2008
44
Vermessung
4.4.6
UTM - Abbildung
Diese Projektion wird aufgrund der europäischen Harmonisierung (Partnerschaft
für den Frieden) in Zukunft als Grundlage für die österreichische Landesvermessung dienen. Die UTM (Universal Transversal Mercator)-Projektion [benannt nach
Gerhard MERCATOR - eigentlich Gerard De KREMER, 1512-1594, belgischer Mathematiker und Kartograf ] ist eine konforme, transversale zylindrische Abbildung.
Abbildung 4.12: UTM - Koordinaten
Die Abbildung hat als globale Referenz das WGS84-System (mit dem Ellipsoid
GRS80). Das österreichische Bundesgebiet wird in zwei 6 o breiten Meridianstreifen
abgebildet mit den Meridianen 9 o und 15 o östlich von Greenwich als Bezugsmeridiane. Der Koordinatenursprung liegt jeweils im Schnittpunkt des Bezugsmeridians mit
dem Äquator. Zur eindeutigen Festlegung eines Punktes ist daher die Angabe des
Bezugsmeridians bzw. der Zone (siehe unten) notwendig. Um negative Koordinaten
zu vermeiden wird zum Rechtswert (y-Wert) eine Konstante von dy = 500 000.00
addiert.
Die gesamte Erde wird im UTM-System in sechzig 6 o -breiten Meridianstreifen abgebildet, in die sogenannten Zonen. Zone 1 liegt zwischen 180 o und 174 o westlich
von Greenwich. Die Nummerierung erfolgt fortlaufend nach Osten. Daher werden
die beiden Österreich betreffenden Meridianstreifen als Zone 32 (Bezugsmeridian
9 o ) und Zone 33 (Bezugsmeridian 15 o ) bezeichnet.
Um größere Längenverzerrungen im Bereich der Grenzmeridiane zu vermeiden, ist
der Mittelmeridian nicht längentreu, sondern mit dem Verjüngungsfaktor 0,9996
abgebildet. Längentreue ergibt sich damit etwa bei 180 km beiderseits des Mittelmeridians, während die Längenverzerrung am Grenzmeridian etwa 1,00015 beträgt
(für λ = 50 o ).
2008/09
Kapitel 5
Die amtliche Vermessung in Österreich
5.1
Allgemeines zur österreichischen Landadministration
In Österreich wird die Landadministration vom Bund, von den Bundesländern und
von den Gemeinden durchgeführt. Die Aufteilung der jeweiligen Aufgaben und
Kompetenzen zwischen diesen Gebietskörperschaften sind in der Österreichischen
Verfassung [Bundes-Verfassungsgesetz, BGBl.Nr. 1/1930, § 14] festgelegt.
Im Hinblick auf die Verwaltung von Grund und Boden sind die Verantwortungen
folgendermaßen aufgeteilt:
• Bundessache ist die Führung von Kataster und Grundbuch sowie die Festlegung der Besteuerung von Grund.
• Die Bundesländer sind für alle Belange der Raumplanung und des Naturschutzes zuständig.
• Gemeindeagenden liegen in der Erstellung des Flächenwidmungsplanes und der
Einhebung der Grundsteuer.
Abbildung 5.1: Verwaltungseinheiten und
c
ihre Kompetenzen, BEV
ANMERKUNG: Da die Bundesländer eine eigene Gesetzgebung haben,
gibt es österreichweit für einzelne Kompetenzbereiche neun - z.T. unterschiedliche - Landesgesetze (z.B. 9 unterschiedliche Raumordnungsgesetze).
45
46
Vermessung
In der österreichischen Landadministration ist die kleinste Verwaltungseinheit von
Land das Grundstück (veralteter Name: Parzelle). Jedes Grundstück hat eine eigene Grundstücksnummer, welche innerhalb einer Katastralgemeinde, der nächstgrößeren Verwaltungseinheit in Kataster- und Grundbuchsangelegenheiten, eindeutig ist. Eine (politische) Gemeinde besteht aus einer Katastralgemeinde oder auch
aus mehreren Katastralgemeinden. Die Bezeichnung der Katastralgemeinden erfolgt
durch eine fünfstellige Zahl, wobei die Nummerierung nicht fortlaufend für das gesamte Bundesgebiet erfolgt, sondern bezirksweise geblockt ist.
Die ca. 10.4 Millionen Grundstücke [Stand 2006] in Österreich werden in zwei unterschiedlichen Registern verwaltet:
Kataster: ist eine von den bundesweit 41 Vermessungsämtern [Stand 2006] geführte öffentliche Einrichtung zur Ersichtlichmachung bestimmter tatsächlicher Grundstücksverhältnisse (z.B. Lage, Fläche, Nutzung). Ebenso dient der Kataster
zum Nachweis von Grundstücksgrenzen (Details dazu siehe Kap. 5.3).
Kataster leitet sich aus catastrum (lat.) ab, bedeutet sinngemäß Kopfsteuerverzeichnis und war früher hauptsächlich für die Steuereinhebung geschaffen worden. Heutzutage dient der Kataster auch zur planlichen Darstellung der Grundstücke, zur Sicherung des Eigentums, als
Grundlage für das landwirtschaftliche Förderungswesen, als Basis für
Landinformationssysteme (LIS) und steht in engem Zusammenhang
mit dem Grundbuch.
Grundbuch: ist ein von den bundesweit 139 Bezirksgerichten (Grundbuchsämtern) [Stand
2006] geführtes öffentliches Verzeichnis, in das Grundstücke und die an ihnen
bestehenden dinglichen Rechte eingetragen werden.
Folgende Rechte können in das Grundbuch eingetragen werden: das Eigentum, das Wohnungseigentum, das Pfandrecht, das Baurecht, Dienstbarkeiten
und Reallasten (von beiden gibt es verschiedene Arten); Darüber hinaus kann
durch Anmerkungen und Ersichtlichmachungen auf bestimmte rechtlich erhebliche Tatsachen hingewiesen werden. Die Bedeutung des Grundbuches liegt
vor allem darin, dass die erwähnten dinglichen Rechte nur durch Eintragung in
das Grundbuch erworben werden können (sogenannter Eintragungsgrundsatz)
und dass jedermann grundsätzlich auf die Richtigkeit und Vollständigkeit des
Grundbuches vertrauen kann (sogenannter Vertrauensgrundsatz - gilt auch für
Kataster). Grundstücke mit gleichen Rechtsverhältnissen (Eigentümer, Belastungen, u.ä.m.) sind im Grundbuch in einer sogenannten Grundbuchseinlage
mit eigener Einlagezahl (ELZ) zusammengefasst (wird auch als Liegenschaft
bezeichnet). In Österreich gibt es ca. 3 Millionen Grundbuchseinlagen [Stand
2006].
Das Grundbuch besteht aus
– dem sogenannten Hauptbuch (dem eigentlichen Grundbuch), in dem die
aktuellen Grundbuchseintragungen enthalten sind;
– aus dem Verzeichnis der gelöschten Eintragungen (oder Löschungsverzeichnis), in das gelöschte (auch nur teilweise gelöschte) sowie gegenstandslose
Eintragungen aus dem Hauptbuch übertragen werden;
– und aus der Urkundensammlung (das ist die Sammlung der Urkunden, die
den Grundbuchseintragungen zugrundeliegen).
2008/09
KAPITEL 5. DIE AMTLICHE VERMESSUNG IN ÖSTERREICH
47
Für die Führung und Evidenthaltung der im Kataster enthaltenen Information über
Lage, Größe und Benützungsart der Grundstücke ist die Vermessungsbehörde zuständig. Das Grundbuch mit dem Nachweis über die bestehende Rechtslage auf den
Grundstücken (Eigentum, Belastungen, Dienstbarkeiten etc.) liegt im Kompetenzbereich der Justizbehörde (Grundbuchsgerichte).
ANMERKUNG: Früher wurde die Information über Kataster und Grundbuch von den beiden Behörden immer wechselseitig als Hilfsverzeichnis geführt (so hatte z.B. die Vermessungsbehörde das Grundbuch als Hilfsverzeichnis). Seit Einführung der Grundstücksdatenbank (GDB) (siehe
Kap.5.4) sind die Daten beider Verzeichnisse (Kataster und Grundbuch)
in einer einzigen Datenbank, und die Führung von Hilfsverzeichnissen
entfällt.
5.2
Organisation des Vermessungswesen in Österreich
Oberste Behörde für das staatliche Vermessungswesen ist das Bundesamt für
Eich- und Vermessungswesen [BEV], eine dem Bundesministerium für Wirtschaft und Arbeit [BMWA] nachgeordnete Bundesdienststelle. Der Sitz des BEV
ist in Wien. Dezentral gibt es bundesweit 41 Vermessungsämter [Stand 2006].
Neben der Vermessungsbehörde (BEV und den Vermessungsämtern) dürfen in Österreich nach dem Liegenschaftsteilungsgesetz [BGBl.Nr. 3/1930, §1, Abs.1] folgende Personengruppen grundbücherliche Teilungen durchführen (Vermessungsbefugte):
• Ingenieurkonsulenten für Vermessungswesen,
• Personen im Wirkungsbereichs einer Dienststelle des Bundes oder eines Landes,
die das Studium für Vermessungswesen an einer wissenschaftlichen Hochschule
vollendet haben und eine praktische Betätigung durch mindestens zwei Jahre
auf dem Gebiet der Grenzvermessungen für alle Zwecke der grundbücherlichen
Teilungen, Ab- und Zuschreibungen nachweisen, oder
• Personen im Wirkungsbereich einer Agrarbehörde (u.a. Absolventen der Universität für Bodenkultur).
ANMERKUNG: Aufgrund des letzten Absatzes in diesem Paragraph sind
auch Absolventen von einschlägigen BOKU-Studien (Master-Studien) berechtigt, amtliche Vermessungen im Zuge eines Agrarverfahrens durchzuführen.
5.2.1
Historischer Überblick
1718 - 1760: Mailänder Kataster: : Erster Versuch einer systematischen Aufzeichnung
aller Bauwerke und ertragsfähigen Grundstücke auf Grund einer Vermessung
und Schätzung durch die österreichische Verwaltung in den oberitalienischen
Provinzen.
Vermessung
2008
48
Vermessung
1764 - 1787: 1. Landesaufnahme - Josephinische Landesaufnahme : Erste militärische Aufnahme der gesamten Monarchie im Maßstab 1 : 28 800. Infolge technischer Mängel der Vermessung war die Herausgabe eines zusammenhängenden
Kartenwerkes nicht möglich.
In diese Zeit fällt auch die Josephinische Steuerregulierung (Vermessung und
Schätzung des Ertrages von Grundstücken) und die Einführung des Wiener
Klafter als Längenmaß.
ANMERKUNG: Das Maßstabsverhältnis 1 : 28 800 ergibt sich aus dem
Verhältnis von 1 00 (Zoll) in der Kartierung zu 400 o (Klafter) in der Natur
(72 · 400 = 28 800) - siehe auch Kap.2.3.
1808 - 1869: 2. Landesaufnahme - Franziszeische Landesaufnahme : Sie stellt den
Beginn eines einheitlichen Vermessungswesens dar. Einen großen Anteil daran
hat das 1839 geschaffene Militärgeographische Institut. Mit dem Grundsteuerpatent (1817) wurde die rechtliche Grundlage für den Grundsteuerkataster
geschaffen: Beginn der Anlegung 1817 in Niederösterreich und Ende 1861 in
Tirol. Die Aufnahme erfolgte meist grafisch mit einem Messtisch, wobei die
Kartierung im Maßstab 1 : 2 880 durchgeführt wurde (Abb.5.2).
Abbildung 5.2:
c
1 : 2 880, BEV
Franziszeischer Kataster
1869 - 1887: 3. Landesaufnahme - Franzisko-Josephinische Landesaufnahme : Aufnahme der gesamten österreichisch-ungarischen Monarchie im Kartenmaßstab
1 : 25 000.
1876:
Einführung des Meter-Maßes
1896 - 1913: 4. Landesaufnahme - Präzisionsaufnahme: Landesaufnahme im Maßstab
1 : 25 000 erstmals unter Verwendung der terrestrischen Photogrammetrie,
mit stark vermehrten Höhenmessungen.
1923:
Gründung des Bundesamtes für Eich- und Vermessungswesen
1968:
Die Einführung des Vermessungsgesetzes führt zu einer umfassenden Neuregelung der Landesvermessung und zur Einführung des Grenzkatasters.
1987:
Beginn des Echtbetriebs für die direkte Einsichtnahme in die Grundstücksdatenbank über BTX und seit 1999 über Internet.
2004:
Fertigstellung der Digitalisierung der Katastralmappe
2008/09
5.2.2
49
Aufgaben der amtlichen Vermessung
Das Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen hat laut Gesetzesauftrag [BGBL.
Nr.306/1968, Vermessungsgesetz, § 1] die folgenden Aufgaben durchzuführen:
• Erdmessung:
– Arbeiten zur Erforschung der Erdgestalt und des Schwerefeldes
• Landesaufnahme:
– Schaffung und Erhaltung von Lage- und Höhenfestpunkten (die Realisierung des geodätischen Bezugssystems, siehe Kap.4.3)
– Topografische Landesaufnahme (für die Kartenherstellung)
– Herstellung von staatlichen Landkarten (amtliche Kartenwerke)
– Vermarkung und Vermessung der Staatsgrenzen
• Katastermessung:
– Allgemeine Neuanlegung des Grenzkatasters (siehe auch Kap.5.3)
– Übernahme der Ergebnisse der Bodenreform in den Grenzkataster
– Erstellung und Betreuung der Grundstücksdatenbank
Die Vermessungsämter als dezentrale Dienststellen des Bundesamtes für Eich- und
Vermessungswesen sind von Gesetzes wegen mit folgenden Aufgaben betraut:
• Teilweise Neuanlegung des Grenzkatasters
• Führung des Grenzkatasters
• Amtshandlungen im Zusammenhang mit dem Grenzkataster
• Ausstellung von Bescheinigungen für Pläne von Ingenieurkonsulenten für Vermessungswesen zur grundbücherlichen Durchführung
• Ausstellung von Auszügen und Kopien (auch aus der Grundstücksdatenbank)
• Mitwirkung bei der Schaffung und Erhaltung von Lagefestpunkten (Einschaltpunkte)
5.3
Grundlage des Katasterwesens
Der für die Katastralgemeinden Österreichs ursprünglich zur gleichmäßigen Berechnung der Grundsteuer angelegte Grundsteuerkataster hat sich zu einer sehr wertvollen Einrichtung entwickelt.
Durch das Vermessungsgesetz 1968 [BGBL. Nr.306/1968] und seine Novellen wurde
die Möglichkeit geschaffen, diesen Grundsteuerkataster in einen Grenzkataster
mit dem Ziel der Sicherung der Eigentumsgrenzen überzuführen. Der Grenzkataster
ist im Unterschied zum Grundsteuerkataster ein Rechtskataster (die Grenzen sind
rechtsgültig und können jederzeit wiederhergestellt werden).
Im Sinne eines Mehrzweckkatasters dient der Kataster auch zur Ersichtlichmachung
• der Benützungsarten,
Vermessung
2008
50
Vermessung
• der Flächenausmaße der Benützungsabschnitte und Grundstücke,
• gegebenenfalls der Ertragsmesszahlen sowie
• sonstiger Angaben zur leichteren Kenntlichmachung der Grundstücke.
ANMERKUNG: Der Grenzkataster darf nicht als eigenständiges Operat
neben dem Grundsteuerkataster gesehen werden. Die Unterscheidung ergibt sich nur durch ein zusätzliches Qualitätsattribut, welches neben einer genauen Vermessung des Grundstückes auch das schriftliche Einverständnis aller benachbarten Grundstückseigentümer erfordert. Damit ermöglicht der Grenzkataster den verbindlichen Nachweis der Grenzen der
Grundstücke. Eine exakte Rückübertragung von unkenntlich gewordenen
Grenzen in die Natur ist somit durch das Vermessungsamt (Grenzwiederherstellung) sowie durch Vermessungsbefugte jederzeit möglich. Hingegen
werden Grenzstreitigkeiten bei Grundstücken im Grundsteuerkataster gerichtlich abgehandelt.
Die Ersitzung von Teilen von im Grenzkataster eingetragenen Grundstücken ist ausgeschlossen. Weiters ist auch im Falle eines Grenzstreits
die Zuständigkeit des Gerichts ausgeschlossen. Der Grenzkataster bietet
somit höchste Rechtssicherheit hinsichtlich des Grenzverlaufs.
Grundstücke, welche im Grenzkataster eingetragen sind (ca.12 Prozent
aller Grundstücke in Österreich), werden durch den Buchstaben G in der
Grundstücksdatenbank bzw. in der Katastralmappe durch Unterstreichen
der Grundstücksnummer (
) gekennzeichnet.
Die Einführung des Grenzkatasters in einer Katastralgemeinde kann durch Allgemeine Neuanlegung oder Teilweise Neuanlegung erfolgen, wobei solche Verfahren
durch eine Verordnung des BEV eingeleitet werden. Voraussetzung ist das Vorhandensein eines Festpunktfeldes.
Der Kataster (Grundsteuerkataster und Grenzkataster) umfasst 7847 [Stand 2006]
Katastralgemeinden mit ca. 10,4 Millionen Grundstücken (davon 1,2 Millionen im
Grenzkataster) [Stand 2006] und besteht aus einem Technischen Operat und dem
Schriftoperat.
Das Technische Operat besteht aus
• der Katastralmappe
• dem Festpunktfeld (Triangulierungs- und Einschaltpunkte)
• dem Koordinatenverzeichnis der Grenzpunkte.
Das Schriftoperat besteht aus dem Grundstücksverzeichnis.
5.3.1
Katastralmappe und Digitale Katastralmappe (DKM)
Die Katastralmappe ist eine Ansammlung von amtlichen Karten größten Maßstabs,
auf der das gesamte österreichische Staatsgebiet abgebildet ist. Sie ist der grafische
Teil des Katasters im Projektionssystem der Landesvermessung.
2008/09
51
Gegenstand der Darstellung sind die Festpunkte, die Grenzen der Grundstücke und
deren Nummern und die Benützungsarten (landwirtschaftlich genutzte Flächen,
Wald, Gärten etc.).
Die alten österreichischen Mappenblätter haben die Maßstäbe 1 : 2 880, 1 : 1 440
(bei größeren Städten) bzw. 1 : 5 760 (bei größeren Waldgebieten) und sind in der
Regel in der Soldner-Cassini Projektion (vgl. Kap.4.4.2). Bis zum Jahr 2004 waren
Mappenblätter in den Maßstäben 1 : 1 000, 1 : 2 000 und 1 : 5 000 (Abb.5.3) im
Gauss-Krüger System (vgl. Kap.4.4.3)gebräuchlich.
Abbildung 5.3:
c
BEV
Analoge Katastralmappe,
Zwischen 1987 und 2004 wurde am BEV an der Digitalisierung der analog geführten
Katastermappenblätter gearbeitet. Ergebnis dieser Digitalisierarbeiten ist die Digitale Katastralmappe (DKM), welche neben dem Grundbuch einen wesentlichen
Teil eines einheitlichen grundstücksbezogenen Informationssystems für Österreich
darstellt.
Abbildung 5.4:
c
BEV
Vermessung
Digitale Katastralmappe,
2008
52
Vermessung
5.3.2
Festpunktfeld
Das - dreidimensionale - Triangulierungsnetz (TP-Netz) ist in 5 Ordnungen
gegliedert, wobei der Aufbau des Netzes nach dem geodätischen Grundsatz Vom
Großen ins Kleine erfolgte (Kap.1.1.4):
• 1. Ordnung: Durchschnittliche Seitenlänge 35 km; Punkte sind z.B. Hermannskogel, Buschberg, Schneeberg
• 2. Ordnung: Mittlere Seitenlänge 18,5 km
• 3. Ordnung: Mittlere Seitenlänge 11 km
• 4. Ordnung: Mittlere Seitenlänge 4 km; Grundlage der topografischen Landesaufnahme und von Kleintriangulierungen
• 5. Ordnung: Mittlere Seitenlänge 1,5 km; Grundlage für Detailvermessungen
Das Einschaltpunktnetz (EP-Netz) ist ein zweidimensionales Punktnetz, welches durch weitere Verdichtung des TP-Netzes entsteht. Die Punkte sind meist
photogrammetrisch bestimmt, Entfernungen 200 − 700 m.
Die Höhenpunkte (HP-Netz) liegen über das gesamte Bundesgebiet verteilt vor, und
wurden durch ein Präzisionsnivellement in linienförmiger Struktur aufgenommen
(Kap.6.3).
Das BEV betreut derzeit ca. 60 600 Triangulierungspunkte und ca. 233 100 Einschaltpunkte und ca. 30 000 Höhenpunkte [Stand 2006].
Punktsignalisierung und Stabilisierung
Zur dauernden Festlegung werden die Festpunkte ober- und unterirdisch stabilisiert. Die Stabilisierung kann erfolgen durch: Steine, Kunststoff- oder Metallmarken, Rohre mit Schutzring, Gabelpunkte sowie bei Höhenfestpunkten auch mit Bolzen (Abb.5.5 und 5.6). Zum leichteren Erkennen der Festpunkte wird in deren Nähe
meist ein Holzpflock (oft mit einem Hinweisschild) gesetzt.
Abbildung 5.5: Stabilisierung durch Marken
Abbildung 5.6: Stabilisierung durch Bolzen
Als Festpunkte dienen aber auch natürliche Punkte. Dabei kommen vor allem Objekte zur Verwendung, welche auch auf größere Entfernung sichtbar sind (wie z.B.
Kirchtürme, Maste, Schornsteine, Gipfelkreuze). Der eigentliche Festpunkt ist anhand der Punktübersicht zu identifizieren (z.B. Mitte des Kirchturm-Knaufs).
2008/09
53
Punktkarten und Punktübersichten
Von den Vermessungsämtern wurden und werden für alle Triangulierungspunkte
(TP), Einschaltpunkte (EP) und Höhenpunkte (HP) im Bearbeitungsgebiet des
jeweiligen Vermessungsamtes sog. Punktkarten (Topografien) hergestellt (siehe
Abb.5.7), die eine Lagebeschreibung (grafisch und verbal) des jeweiligen Punktes sowie dessen Koordinaten beinhalten. Triangulierungspunkte werden mit einer
Abbildung 5.7: Punktkarte zur Identifiziec
rung von Festpunkten, BEV
laufenden Punktnummer und der Nummer des ÖK-Blattes (Österreichische Karte
1 : 50 000, siehe Kap.5.5) auf der er sich befindet, bezeichnet: z.B. KT 306 − 59 ist
der Punkt 306 auf dem ÖK-Blatt 59 (Wien).
Einschaltpunkte werden katastralgemeindeweise mit 1 beginnend nummeriert. Der
Punktnummer wird die Nummer der KG vorangesetzt, z.B. entspricht EP 11032 −
25 dem Einschaltpunkt 25 in der Katastralgemeinde mit der Nummer 11032 (KG
Ernstbrunn).
Die Höhenpunkte sind durchlaufend numeriert, z.B. HP 33108.
Zum Zwecke der schnelleren Erhebung liegen für alle Triangulierungspunkte und
Höhenpunkte Punktübersichten (Abb.5.8) im Maßstab 1 : 50 000 im Blattschnitt
der Österreichischen Karte ÖK50 (siehe Kap.5.5.1) auf.
Für die Einschaltpunkte gibt es katastralgemeindenweise Übersichten im Maßstab
1 : 10 000.
Seit einigen Jahren können die Punktkarten aller Festpunkte auch digital über die
Homepage des Bundesamtes für Eich- und Vermessungswesen [www.bev.gv.at]
abgefragt werden. Die dazu gehörigen aktuellen Koordinaten können per Internet
gebührenpflichtig aus der Koordinatendatenbank (KDB) der GDB (Grundstücksdatenbank, Kap.5.4) abgerufen werden.
Vermessung
2008
54
Vermessung
Abbildung 5.8: Übersicht von Festpunkten
c
auf Österreichischer Karte 1 : 50 000, BEV
5.4
Grundstücksdatenbank
Alle Daten über sämtliche Grundstücke in Österreich sind in einer zentral geführten
Datenbank (verwaltet durch das Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen) abgespeichert. Diese als Grundstücksdatenbank (GDB) bezeichnete Datensammlung enthält sowohl die physischen Daten des Grundstücks (Kataster) als auch die
legistischen Daten (Grundbuch) des Grundstücks.
Dabei werden die
• rechtsverbindlichen Grundstücksdaten von den Grundbuchsgerichten,
• die finanzrelevanten Daten von den Finanzämtern und
• die Katasterdaten von den Vermessungsämtern
eingegeben und evident gehalten (Abb.5.9). Die Vermessungsbefugten (Kap.5.2)
dürfen Daten für die GDB erheben, diese werden aber anschließend von der Vermessungsbehörde (Vermessungsamt) kontrolliert (Planbescheinigung) und in die
Datenbank eingegeben. Ebenso können rechtsverbindliche Daten auch von privaten Notaren erstellt werden, die letzte Kontrolle und Eingabe obliegt aber auch hier
den Grundbuchsgerichten (Bezirksgerichten).
Die GDB enthält aber auch Angaben über die staatlichen Festpunkte und rund 30
Millionen Grenzpunkte [Stand 2006], die in der Koordinatendatenbank gespeichert
sind. Mit diesen gespeicherten Koordinaten wird die Lage der Festpunkte und der
Grenzpunkte der Grundstücke im Bezug auf das System der Landesvermessung festgelegt. Damit ist die Wiederherstellung von Grenzpunkten im Bedarfsfall zweifelsfrei
möglich. Daten aus der Koordinatendatenbank können ebenfalls von den Vermessungsbehörden im Wege der Datenfernverarbeitung (Internet) abgerufen und als
Auszüge gegen Entrichtung der vorgeschriebenen Gebühren abgegeben werden. Die
Daten der Koordinatendatenbank weisen den jeweils aktuellen Stand auf.
Da Kataster und Grundbuch auch personenbezogene Daten führen, ist bei der Herstellung von Abschriften usw. das Datenschutzgesetz zu berücksichtigen.
2008/09
55
Abbildung 5.9: Organisation der Grundstücksdatenbank (GDB) in Österreich,
c
BEV
5.5
Amtliche Kartenwerke
Eine Aufgabe der amtlichen Vermessung ist die Herstellung eines bundesweiten
Kartenwerkes. Österreich hat in diesem Belange große Tradition (siehe Kap.5.2.1)
und verfügt heutzutage über flächendeckende topografische Karten in unterschiedlichen Maßstäben. Die alle fünf bis zehn Jahre überarbeiteten Karten sind sowohl
in analoger als auch in digitaler Form erhältlich.
5.5.1
Österreichische Karte 1 : 50 000 (ÖK50)
Sie ist das topografische Grundkartenwerk der amtlichen Kartografie. Die gewählte Referenzfläche des Erdkörpers ist das Erdellipsoid nach Bessel und die gewählte
Projektion die Gauß-Krüger Projektion. Der kartografische Inhalt wird aus Luftbildauswertungen und Erhebungen von Topografen im Gelände erstellt und in Abständen von sechs bis acht Jahren flächendeckend sowie punktuell laufend nachgeführt
(Abb.5.10). Die Höhen sind auf die mittlere Adriahöhe bezogen (Molo Satorio bei
Triest).
Abbildung 5.10: Ausschnitt aus Österreichic
scher Karte 1 : 50 000, BEV
Jedes Blatt hat eine Längen- und Breitenausdehnung von 15 0 , die Längengradierung
ist auf Greenwich bezogen. Früher erfolgte die Bezeichnung der einzelnen Blätter
nur nach dem Blattnamen und einer durchlaufenden Nummerierung von 1 bis 213.
Durch den Übergang auf das Bundesmeldenetz (BMN, ein auf dem Blattschnitt
Vermessung
2008
56
Vermessung
der Landesaufnahme und den Meridianstreifen aufgebautes Netz auf der ÖK) gibt
es nun daneben auch eine Blattbezeichnung im BMN, die aus der Nummer der
zugehörigen ÖK200 und der Kennziffer 01 bis 16 der ÖK50 besteht (z.B. Blatt 161
- Knittelfeld - BMN5708). Das BMN hat den Vorteil, dass die Lage von Objekten
relativ genau angegeben werden kann und auch ungefähre Koordinaten aus der ÖK
heraus gelesen werden können.
5.5.2
Österreichische Karte 1 : 25 000 V (ÖK25V)
Ist eine fotomechanische Vergrößerung der ÖK50. Sie erscheint im Blattschnitt der
ÖK50 und die Kartengröße macht es daher notwendig, den Nordteil auf der Vorderseite und den Südteil auf der Rückseite eines Blattes darzustellen. Gute Lesbarkeit.
5.5.3
Modifizierte Gauß-Krüger Projektion, wird von der ÖK50 abgeleitet. Es handelt
sich um eine Gradkarte, d.h. jedes Blatt hat eine Längen- und Breitenausdehnung
von 1 o . Das Kartenwerk umfasst insgesamt 23 Blätter. Eine Neuauflage erfolgt i.a.
nach drei bis vier Jahren (Abb.5.11).
5.5.4
Auf einem Kartenblatt wird das gesamte Bundesgebiet dargestellt. Die Abbildung
erfolgt durch die winkeltreue Lambert-Projektion (siehe Kap.4.4.5). Eine Neuauflage
erfolgt i.a. nach ca. drei Jahren (Abb.5.12).
5.5.5
Umstellung der Österreichischen Karten in das UTM-System
Wie bereits im Kap.4.3.2 angedeutet, wird das österreichische Kartenwerk (Maßstäbe 1 : 50 000, 1 : 25 000 V , 1 : 200 000 derzeit auf das Universal Transversal Mercator (UTM)-System (siehe Kap.4.4.6) umgestellt. Dieses neue Kartenwerk weist
auch einen geänderten und europaweit harmonisierten Blattschnitt auf (z.B. für die
Karte 1 : 50 000 von 12 0 · 20 0 ).
Die Höhenangaben beziehen sich auf den Amsterdamer Pegel (Normal-Null, NN).
Jedes der neuen Kartenblätter (191 im Maßstab 1 : 50 000) ist wieder durch eine
Blattnummer und einen Blattnamen gekennzeichnet.
2008/09
57
Die Umstellung der Karten von der Gauß-Krüger-Projektion auf die UTM-Abbildung
erfolgt schrittweise. Jeder zu (periodisch) zu aktualisierende Bereich wird durch neue
Kartenblätter in der UTM-Projektion ersetzt.
5.5.6
Österreichische Kartenwerke auf CD
Das gesamte österreichische Bundesgebiet ist kartenmäßig seit neuestem auch auf
einer Doppel-CD oder auf einer DVD in digitalem Format verfügbar. Die sogenannte Austrian Map [Amap 3D oder Amap Fly (mit Fluganimation)] beinhaltet
die ÖK50 mit markierten Wanderwegen, die ÖK200 und die ÖK500. Neben den
Verwaltungsgrenzen und den Geländehöhendaten gibt es auch ein geografisches Namensverzeichnis, welches eine einfache Gebiets- oder Ortssuche im Kartenwerk ermöglicht. Die Amap bietet aber auch zahlreiche interaktive Möglichkeiten, wie z.B.
das Anzeigen von dreidimensionalen Koordinaten (in unterschiedlichen Koordinatensystemen), das Messen von Entfernungen, Höhen und Flächen, Zeichnen sowie
das Abspeichern von eigenen Eintragungen.
ANMERKUNG: Die folgenden Produkte der amtlichen Vermessung werden in der Lehrveranstaltung Einführung in die Fernerkundung, LVA-Nr. 857.101 detaillierter besprochen und
sind in diesem Skriptum nur der Vollständigkeit halber angeführt.
5.5.7
Orthofotos
Orthofotos in Farbe werden aus Farbpositiv-Luftbildern (teilweise auch Infrarot Farbpositiv) hergestellt, die mit einem mittleren Bildmaßstab 1 : 15 000 mit Brennweite 21 cm aufgenommen wurden. Diese Orthofotos haben eine Bodenauflösung
(Pixelgröße) von 25 cm. Farborthofotos werden vor allem für Klassifikationsaufgaben und Interpretationszwecke benötigt.
5.5.8
Österreichische Luftbildkarte 1 : 10 000 (ÖLK10)
Die Luftbildkarte (Abb.5.13) zeigt ein entzerrtes Luftbild (Orthofoto), das lagemäßig einer Karte entspricht. Dieses Orthofoto wird mit 1 km-Netzlinien, Rahmenausstattung, Höhenkoten und Beschriftung versehen. Der Blattschnitt erfolgt nach
Gauß-Krüger-Netzlinien in Abständen von 5 zu 5 km 2 (Bildformat 50 · 50 cm 2 ).
Vermessung
2008
58
Vermessung
Abbildung 5.13: Österreichische Luftbildkarc
te mit überlagertem Kataster, BEV
5.5.9
Digitales Landschaftsmodell
Das Digitale Landschaftsmodell [DLM] enthält Objekte und Informationen der Erdoberfläche in Vektorform. Es handelt sich dabei um originäre Messdaten (d.h. maßstabsfrei und nicht durch kartografische Bearbeitung - wie Generalisierung - verändert). Die Daten sind durch Name und Attribute näher beschrieben. Das DLM ist
in folgende Objektbereiche gegliedert, welche sich wiederum in Objektgruppen und
Objektarten untergliedern:
• Verkehr
• Siedlung
• Geografische Namen
• Gewässer
• Raumgliederung
5.5.10
Digitales Geländemodell
Das digitale Geländehöhenmodell [DGM] beschreibt die Erdoberfläche (den natürlichen Boden ohne Bewuchs) in Form eines Höhenrasters. Zusätzliche Geländestrukturen wie Bruchlinien, Formenlinien und markante Einzelpunkte ergänzen den
regelmäßigen Raster und liefern detailliertere Informationen über die Topographie
Österreichs. Das DGM ist eine unverzichtbare Planungsgrundlage für Umweltschutz,
Kartografie und für technische Auswertungen z.B. in den Bereichen Geologie, Hydrologie und Landwirtschaft.
2008/09
Kapitel 6
Grundlegende Verfahren und
Vermessungsinstrumente
6.1
Winkelmessung
Die koordinative Bestimmung eines Punktes erfolgt im allgemeinen sowohl messtechnisch als auch rechentechnisch in zwei Schritten:
Schritt 1: Lagebestimmung eines Punktes und
Schritt 2: Höhenbestimmung eines Punktes.
Mit einem Winkelmessgerät (Theodolit) werden Horizontalwinkel und Vertikalwinkel getrennt voneinander abgelesen, wobei die Anvisierung eines Zielpunktes
üblicherweise nur einmal erfolgt. Für hochpräzise Messungen werden - bedingt durch
instrumententechnische Belange - zuerst nur alle Horizontalwinkel bestimmt. Anschließend werden erst die Vertikalwinkel gemessen. Für diesen Fall ist jeder Punkt
mehrfach anzuzielen.
6.1.1
Horizontalwinkelmessung
Der Horizontalwinkel berechnet sich aus der Differenz zweier beobachteter Richtungen am Horizontalkreis (Abb.6.1). Je nachdem, ob nur zwei Richtungen (ein
einzelner Winkel) oder mehrere Richtungen (mehrere Horizontalwinkel) von einem
Standpunkt aus gemessen werden sollen, ergeben sich unterschiedliche Messverfahren.
Einfache Winkelmessung
Nach messgerechter Aufstellung des Theodolits im Standpunkt S wird der Winkel
zwischen zwei Zielpunkten A und B folgendermaßen bestimmt:
1. Einstellung des Instruments auf Fernrohrlage I
(Fernrohrlage links, siehe Kap.6.1.3):
2. Zielung nach A
3. Ablesung der Richtung RAL
4. Zielung nach B
59
60
Vermessung
5. Ablesung der Richtung RBL
6. Durchschlagen des Instruments in Fernrohrlage II (Fernrohrlage rechts):
7. Zielung nach B
8. Ablesung der Richtung RBR
9. Zielung nach A
10. Ablesung der Richtung RAR
Abbildung 6.1:
zwei Fernzielen
Einfache Winkelmessung zu
Die Berechnung des ausgeglichenen Wertes der Richtungen von erster und zweiter
Fernrohrlage erfolgt anhand folgender Formel:
Rm =
RL + (RR ± 200g )
2
(6.1)
ANMERKUNG: Durch Berechnen des ausgeglichen Wertes der Ablesungen RAL , RAR bzw. RBL , RBR werden die Einflüsse der Achsen- und Exzentrizitätsfehler (Ausnahme: Stehachsenfehler) eliminiert (siehe Kap.6.1.3).
Der ausgeglichene Wert der einzelnen horizontalen Richtungen ist nicht
ident mit dem arithmetischen Mittel der beiden Beobachtungen (linke und
rechte Fernrohrlage)!!. In der Vermessungspraxis kann aber - sofern sich
die Gradwerte der beiden Fernrohrlagen genau um 200g unterscheiden die Berechnung der Nachkommastellen durch arithmetische Mittelbildung
erfolgen.
Der gesuchte Winkel α ergibt sich als Differenz der beiden Mittel RBm − RAm .
RECHENBEISPIEL für die Berechnung eines Winkels aus zwei in zwei
Fernrohrlagen beobachteten horizontalen Richtungen:
Von einem Standpunkt S wurden die horizontalen Richtungen zum Punkt
A und zum Punkt B in beiden Fernrohrlagen gemessen:
• RA,L = 326.4897 g
• RB,L = 181.0004 g
• RB,R = 380.9990 g
2008/09
KAPITEL 6. GRUNDLEGENDE VERFAHREN UND VERMESSUNGSINSTRUMENTE
61
• RA,R = 126.4889 g
Gesucht ist der Winkel α zwischen dem Punkt A und Punkt B
ERGEBNIS:
• RAm = 326.4893 g
• RBm = 180.9997 g
• Horizontalwinkel α = 254.5104 g
Zur Erhöhung der Genauigkeit kann der Winkel n-mal beobachtet werden, wobei
der Horizontalkreis vor jeder Wiederholung um 200 g / n weiter gedreht wird. Das
Mittel aus allen Beobachtungen ergibt den endgültigen Wert des gesuchten Winkels.
Satzweise Richtungsbeobachtung
Von einem Standpunkt S aus werden mehr als zwei Richtungen beobachtet (Anwendung z.B. bei der Messmethode Freie Stationierung (Kap.7.1.2).
Vorgangsweise:
1. Auswahl jenes Zielpunkts, der für die Dauer der Messungen am besten sichtbar
bleibt (Einstellrichtung, z.B. Punkt C).
2. Ausgehend von der Einstellrichtung ist in Fernrohrlage I (Fernrohrlage links)
jede zu bestimmende Richtung im Uhrzeigersinn einzustellen und zu messen.
Nach der letzten Richtung ist die Einstellrichtung (Punkt C) nochmals anzuzielen und zu messen (Hinmessung, im Beispiel Abb.6.2: C −D−E−A−B−C).
3. Nach diesem Halbsatz wird das Fernrohr durchgeschlagen. Beginnend bei der
Einstellrichtung sind jetzt in Fernrohrlage II (Fernrohrlage rechts) entgegen
den Uhrzeigersinn die zu messenden Richtungen anzuzielen und abzulesen, bis
wieder die Einstellrichtung (Punkt C) als Satzabschluss erreicht wird (Rückmessung, im Beispiel Abb.6.2: C − B − A − E − D − C). Damit ist eine Satzmessung abgeschlossen.
Abbildung 6.2: Satzweise Richtungsbeobachtung zu fünf Fernzielen
4. Es werden die ausgeglichenen Werte der Ablesungen in beiden Fernrohrlagen
gebildet.
Vermessung
2008
62
Vermessung
Die Differenz der beiden gemittelten Werte für die Einstellrichtung ergibt den sog.
Satzschlussfehler. Dieser darf nach den Vorschriften des Bundesamtes für Eichund Vermessungswesen (BEV) im Netz 3. Ordnung max. 6 cc , in den Netzen 4. und
5. Ordnung nicht größer als 9 cc sein. Übersteigt der Satzschlussfehler die zulässigen
Höchstwerte, so wäre der betreffende Satz nochmals zu messen. Ansonsten kann der
Satzschlussfehler in geeigneter Weise auf alle beobachteten Richtungen aufgeteilt
werden.
Zur Beobachtung weiterer Sätze verdreht man den Horizontalkreis jeweils um ca.
200 g / n, wobei n die Anzahl der zu messenden Sätze ist. Um die Messungen der einzelnen Sätze miteinander vergleichen zu können, werden die gemittelten Richtungen
auf die Einstellrichtung (auf den ersten Zielpunkt) bezogen. Die damit erhaltenen
Werte werden als reduzierte Richtungen bezeichnet).
ANMERKUNG: Die Beobachtung in mehreren Sätzen dient der Genauigkeitssteigerung bei der Punktbestimmung (Grundregel ‘Zuverlässigkeit‘
siehe Kap.1.1.4).
ACHTUNG: Aufgrund der Verdrehung des Horizontalkreises zwischen den
einzelnen Sätzen muss für jeden Satz eine eigene Orientierung bestimmt
werden (siehe Kap. 3.1.4).
6.1.2
Vertikalwinkelmessung
Der Höhenkreis des Theodolits ist zentrisch an der Kippachse befestigt und macht
die Kippbewegungen des Fernrohrs mit. Zur Bestimmung eines Vertikalwinkels ist
daher nur die Einstellung des Zieles und die Ablesung am Höhenkreis notwendig.
Bei modernen Theodoliten sind die Kreise rechtsläufig von 0 g bis 400 g geteilt und
so beziffert, dass Zenitwinkel z (Nullrichtung im Zenit) abgelesen werden. Ältere
Geräte messen den Höhenwinkel β, welcher die Horizontale als Nullrichtung hat
und positiv nach oben und negativ nach unten gezählt wird (Abb.6.3).
Abbildung 6.3: Definition des Vertikalwinkels
Zum Ablesen des Vertikalwinkels wird eine Ablesevorrichtung benötigt, welche die
Ablesungen auf den Horizont oder die Lotrichtung beziehen muss. Dies kann entweder mit Hilfe von Libellen (sog. Höhenindex- oder Versicherungslibellen)
oder automatisch durch Kompensatoren erreicht werden.
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63
• Eine Röhrenlibelle (siehe Kap.6.1.3) ist fest mit der Ablesevorrichtung (dem
Höhenindex) verbunden. Höhenindex und Versicherungslibelle sind auf
einer unmittelbar vor dem Höhenkreis auf der Kippachse gelagerten Platte
montiert. Mit dem Höhenindextrieb kann diese unabhängig vom Fernrohr und
von der Stellung der Stehachse in geringem Umfang geneigt werden und die Höhenindexlibelle zum Spielen gebracht werden. Um einwandfreie Messergebnisse
zu erhalten, muss das vor jeder Ablesung geschehen. Nach richtiger Justierung
soll bei einspielender Libelle der Höhen- oder Zenitwinkel mit seinem Sollwert
abgelesen werden können.
• Beim Automatischen Höhenindex (Kompensator) wird der Anteil der restlichen Stehachsenneigung in Richtung Zielebene kompensiert und die Ablesung
des Vertikalkreises automatisch auf die Lotrichtung bezogen. Das Einspielen
einer Libellenblase entfällt daher. Ein Kompensatorteil ist fest im Instrument
angebracht, der bewegliche Teil folgt der Schwerkraft. Die Gerätehersteller
haben für ihre Instrumente verschiedene Ausführungen von Kompensatoren
entwickelt. Es gibt Flüssigkeits- und Pendelkompensatoren, wobei letztere freischwingend oder mit erzwungener Schwingung hergestellt werden.
Während bei der Horizontalwinkelmessung der Kreis feststeht und sich die Ableseeinrichtungen bewegen, ist es bei der Vertikalwinkelmessung umgekehrt. Bei der
Bestimmung eines Horizontalwinkels sind ferner zwei Richtungen einzustellen, während der Vertikalwinkel durch Messung nur einer Richtung, jener zum Zielpunkt,
erhalten wird. Der zweite Schenkel des Vertikalwinkels ist entweder die Horizontale
(bei Höhenwinkeln) oder die Richtung zum Zenit (bei Zenitwinkeln). Horizontale
und Zenit lassen sich am Instrument mit Hilfe von Libellen oder Kompensatoren
realisieren.
Theoretisch müsste sich bei einer Zielung zum Zenit nach Einspielen der Höhenindexlibelle die Ablesung Zenitwinkel z = 0 ergeben. Tatsächlich liefern aber verschiedene Einflüsse eine fehlerhafte Ablesung ξ. Dieser Winkel ξ, der auch alle anderen
Ablesungen am Vertikalkreis in gleichem Sinne verfälscht, wird als Indexfehler
bezeichnet. Er kann theoretisch jede Größe annehmen, soll aber möglichst klein
gehalten werden.
Der Indexfehler eines Winkelmessinstruments kann durch Messung des Zenitwinkels
in zwei Fernrohrlagen folgendermaßen bestimmt werden:
ξ=
(zL + zR − 400g )
2
(6.2)
Damit ergibt sich ein indexfehlerbereinigter Zenitwinkel z:
z=
(zL + 400g ) − zR
bzw.
2
z = zL − ξ
(6.3)
Neben dem Indexfehler werden durch Beobachten in zwei Kreislagen (zL und zR )
und durch Berechnen des Zenitwinkels laut Formel 6.3 auch die Einflüsse vorhandener Instrumentalfehler eliminiert (siehe Kap.6.1.3).
Vermessung
2008
64
Vermessung
RECHENBEISPIEL zur Bestimmung eines in zwei Fernrohrlagen beobachteten Zenitwinkels:
Von einem Standpunkt S wurden der Zenitwinkel z zum Punkt A in beiden
Fernrohrlagen gemessen:
• zA,L = 106.4895 g
• zA,R = 293.5113 g
Gesucht ist der Indexfehler des Instruments bzw. der Indexfehler-bereinigte
Zenitwinkel z.
ERGEBNIS:
• ξ = 0.0004 g
• zAm = 106.4891 g
6.1.3
Der Theodolit
Ein Theodolit dient zur Messung von Horizontal- und Vertikalwinkeln.
Die Charakterisierung bzw. Einteilung von Theodoliten kann anhand der Genauigkeit der Instrumente erfolgen.
• Theodolite niederer Genauigkeit werden oft auch als Bautheodolite oder
Minutentheodolite bezeichnet und für Bauvermessungen bzw. einfache Aufgaben im Vermessungswesen verwendet. Sie haben nur einfache Ableseeinrichtungen, bei denen meist nur auf ± 10 c direkt abgelesen und auf ± 0.5 c bis
± 1c geschätzt werden kann.
• Theodolite mittlerer Genauigkeit werden oft auch als Ingenieurtheodolite
bezeichnet und v.a für Detailpunktvermessungen (siehe Kap.7.2) und Absteckungsarbeiten (Kap.7.5) eingesetzt. Die Ablesegenauigkeit liegt bei ± 10 cc .
• Theodolite hoher Genauigkeit, auch als Sekundentheodolite bezeichnet,
sind v.a. bei Verfahren zur Festpunktfeldverdichtung (siehe Kap.7.1) und für
genaue Absteckungsarbeiten im Einsatz. Die Ablesegenauigkeit dieser Instrumente liegt meist bei ± 3 cc bis ± 5 cc .
• Theodolite höchster Genauigkeit sind Spezialinstrumente für hochpräzise
Vermessungsaufgaben und werden z.B. in der Landesvermessung, in der Tunnelvermessung oder in der Bauwerksüberwachung eingesetzt.
Aufbau des Theodolits
Der Theodolit (Abb.6.4) besteht aus einem festen Unterbau (Limbus) und einem
um eine vertikale Achse (Stehachse) drehbaren Teil (Alhidade). Der bewegliche
Teil ist eine Stütze, welche die Stehachse und die Kippachse miteinander verbindet. Die Kippachse trägt das Fernrohr (FR) und den Vertikalkreis (VK). Die
Stehachse ist ein Teil der Stütze. Die Stehachsbuchse verbindet den Theodolit mit
dem Unterbau und trägt den Horizontalkreis (HK). Der Unterbau ist über die
Fußschrauben (FS) mit einer Libelle horizontierbar.Die Verbindung zwischen der
Stehachsbuchse und dem Dreifuß (DF) kann fest sein oder in einer Zwangszentrierung abnehmbar.
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65
Abbildung 6.4: Theodolit Wild T1A: Foto,
Querschnitt und schematische Darstellung
Horizontalkreis und Vertikalkreis
Der Horizontalkreis besteht aus Metall oder Kunststoff. Die Gradteilung ist rechtsläufig und wird mit speziellen Kreisteilungsmaschinen hergestellt. Kreise elektronischer Theodolite haben binär codierte Ziffern bzw. codierte Inkremente. Der Vertikaloder Höhenkreis steht senkrecht auf der Kippachse, das Zentrum der Teilung liegt in
der Kippachse. Herstellung wie beim Horizontalkreis. Während der Horizontalkreis
bei der Messung fest bleibt, macht der Höhenkreis alle Bewegungen des Fernrohrs
mit. Die Ablesevorrichtung muss daher stützenfest angebracht sein. Der Höhenkreis
ist meist so geteilt, dass Zenitwinkel abgelesen werden. Da das Zentrum der Vertikalwinkel im Schnittpunkt von Steh-, Kipp- und Zielachse liegt, ist für Höhenberechnungen der lotrechte Abstand der Kippachse vom Bodenpunkt (Instrumentenhöhe)
zu berücksichtigen (siehe auch Abb.6.7).
Klemmen, Feintriebe: Zur Fest- und Feineinstellung der Alhidadendrehung sowie
der Fernrohrkippung sind Grobklemmen (GK) und Feintriebschrauben (FT)
vorhanden.
Fernrohr und Strichkreuz: In seiner einfachsten Form besteht ein Fernrohr aus
zwei zentrierten Sammellinsen, einer Objektivlinse mit großer und einer Okularlinse mit kleiner Brennweite (astronomisches Fernrohr, J. Kepler 1611). Das Objektiv
entwirft ein reelles, verkleinertes, umgekehrtes Bild des Gegenstandes. Dieses wird
durch das Okular betrachtet und als virtuelles, vergrößertes, umgekehrtes Bild gesehen. Die heutigen Fernrohre (terrestrisches Fernrohr) spiegeln das Bild nochmals,
womit ein virtuelles, vergrößertes und aufrechtes Bild gesehen wird.
Um das Fernrohr als Zielvorrichtung verwenden zu können, ist ein Strichkreuz eingebaut. Dieses muss zusammen mit dem Bild des Gegenstandes scharf erscheinen,
muss also in der Ebene des vom Objektiv erzeugten reellen Bildes liegen.
Das Anzielen eines Punktes muss parallaxfrei erfolgen, d.h. Bildebene und Strichkreuzebene müssen zusammen fallen. Eine parallaxfreie Zieleinstellung erfolgt folgendermaßen:
1. Fernrohr gegen den Himmel oder eine helle Fläche richten und mit dem Okular
das Strichkreuz scharf stellen.
2. Fernrohr auf das Ziel richten und Zwischenlinse bewegen, bis das Bild des
Gegenstandes scharf erscheint.
Vermessung
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Vermessung
3. Zur Probe das Auge hin- und herbewegen (Nickprobe): Bewegt sich das Strichkreuz scheinbar gegenüber dem Bild, so ist eine Parallaxe vorhanden, d.h. das
Bild des Gegenstandes und das Strichkreuz liegen nicht in einer Ebene.
4. Beseitigung der Parallaxe durch weitere, geringfügige Bewegung des Fokussierrings bis das Strichkreuz auch bei Kopfbewegung am Bild festliegt.
5. Gegebenenfalls (bei Unschärfe des Bildes nach Schritt 4) Nachfokussierung mit
Okularschraube.
MERKE: Mit der Okularschraube werden sowohl die Strichkreuzebene als
auch die Bildebene bewegt, mit der Fokussierschraube wird ausschließlich
die Bildebene bewegt.
Fernrohrlagen des Theodolits
Befindet sich nach dem Anzielen eines Punktes der Höhenkreis links vom Fernrohr,
spricht man von der linken (ersten oder normalen) Fernrohrlage. Ist nach Durchschlagen und neuerlichem Anzielen des Punktes der Höhenkreis jetzt rechts vom
Fernrohr, spricht man von der rechten (zweiten oder verkehrten) Fernrohrlage. Die
Gebrauchslage ist die erste Fernrohrlage.
Libellen des Theodolits
Allgemein dienen Libellen zur Lotrechtstellung oder zur Horizontallegung von
Geraden und Ebenen sowie zur Messung kleiner Neigungswinkel. Es gibt Dosenlibellen für Grobeinstellungen und Röhrenlibellen für feinere Messungen (Abb.6.5).
Abbildung 6.5: Dosenlibelle und Röhrenlibelle
• Eine Dosenlibelle besteht aus einem in Metall gefassten runden Glaskörper,
dessen Deckel innen kugelförmig ausgeschliffen ist. Das Gefäß ist bis auf die
Blase mit Äther oder Alkohol gefüllt. Zum Einspielen der Blase sind ein oder
mehrere zum Normalpunkt konzentrische Kreise mit 2 mm Abstand aufgetragen. Wenn die Libellenblase spielt, ist die Spielpunktebene horizontal. Die
Libelle ist justiert, wenn die Spielpunktebene parallel zur Auflagefläche ist oder
normal zur Stehachse steht. Sie dient zum groben Horizontieren einer Ebene
bzw. Lotrechtstellen einer Achse.
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Dosenlibellen an Theodoliten werden beim Justieren der Alhidadenlibelle mitgeprüft. Spielt letztere in allen Lagen ein, soll auch die Dosenlibelle einspielen.
Ein eventueller Ausschlag ist dann zur Gänze mit den drei vorhandenen Justierschrauben der Dosenlibelle zu beseitigen.
Dosenlibellen an Klapplatten (siehe Kap.6.3.1) werden geprüft, indem die Latte
zunächst mit Hilfe eines Senkels lotrecht gestellt wird. Ein danach vorhandener Ausschlag der Libelle wird wieder mit den drei Berichtigungsschrauben
entfernt.
• Eine Röhrenlibelle besteht aus einer innen tonnenförmig ausgeschliffenen
zylindrischen Glasröhre, die mit Äther oder Alkohol gefüllt ist. Die längliche
Blase wandert an die jeweils höchste Stelle der Libelle. An der Außenwand
ist eine Teilung angebracht: Abstand der Striche bei neueren Libellen 2 mm
(1 Pars). Der Mittelpunkt der Teilung ist der Normalpunkt. Bei spielender
Libelle ist dieser identisch mit dem Spielpunkt (Mittelpunkt der Libellenblase)
und die Gerade, in welcher die Libellenachse liegt, ist horizontal.
• Angabe der Libelle: Jener Winkel, um den die Libelle geneigt werden muss,
damit die Blase um 1 Pars wandert - ist abhängig vom Schliffradius. Je größer der Radius, umso kleiner ist die Angabe: Die Libelle reagiert leichter auf
Lageänderungen, lässt sich also genauer einstellen, das Einspielen dauert aber
auch länger.
• Die sogenannte Koinzidenzlibelle ermöglicht eine etwa viermal genauere Einstellgenauigkeit. Über der Libelle ist ein Prismensystem angebracht, das je eine
Hälfte der Blasenenden nebeneinander spiegelt. Bei einspielender Blase koinzidieren die Enden.
Ableseeinrichtungen des Theodolits
Die Richtungen der Zielachse müssen an den Kreisen abgelesen werden. Bei optischen (analogen) Theodoliten liest man den der Messmarke (Index) vorhergehenden
Teilkreisstrich unmittelbar ab (Grobablesung) und bestimmt dann das Reststück
zwischen diesem Teilkreisstrich und dem Index (Feinablesung). Im einfachsten Fall
erfolgt die Feinablesung durch Schätzen (auf Zehntel eines Intervalls). Eine Verschärfung der Feinablesung lässt sich durch Hilfsmaßstäbe und Anwendung von
optischen Hilfsmitteln erzielen (Abb.6.6).
Abbildung 6.6: Ablesebeispiele für unterschiedliche Ableseeinrichtungen eines Theodolits
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Vermessung
Bei elektronischen Theodoliten werden die Kreise elektronisch abgetastet. Damit
lässt sich von der Messwerterfassung bis zur Datenverarbeitung und Dokumentation
ein automatischer Datenfluss einrichten.
• Ablesemikroskope werden verwendet, um die nur einige hundertstel bis
zehntel Millimeter breiten Teilungsintervalle deutlicher zu sehen. Die optischen Systeme sind meist in der Stütze und einem Tubus neben dem Fernrohr
untergebracht. Befindet sich das Mikroskopokular neben dem Fernrohrokular
und sind beide Kreisbilder gleichzeitig sichtbar, kann das Zielen und Ablesen
schnell und einfach erfolgen. Bei einigen Geräten sind die Bilder der Kreise
unterschiedlich gefärbt, sodass Verwechslungen praktisch ausgeschlossen sind.
Zur Scharfstellung der Ablesung kann das Mikroskopokular in seiner Fassung
verschoben werden.
– Die Strichplatte des Strichmikroskops enthält als Ablesemarke einen
Strich, mit dem Zehntel des Teilungsintervalls schnell geschätzt werden
können.
– Das Skalenmikroskop besitzt in der Mikroskopbildebene eine Skala, deren Länge dem Strichabstand des Teilkreises entspricht. Die vom Nullstrich
ausgehende Bezifferung verläuft entgegengesetzt zu der des Teilkreises.
– Ein Strichmikroskop mit optischem Mikrometer hat neben dem Abbildungssystem eine um eine feste Achse drehbare Planplatte, mit der das
Bild des Kreisausschnitts relativ zur Ablesemarke messbar verschoben werden kann. Die Verschiebung des Kreisausschnittbildes ist zum Drehwinkel
der Planplatte proportional. Das Bild wird so lange bewegt, bis der vorangehende Teilstrich und die Ablesemarke koinzidieren. Der Betrag der
Verschiebung kann im Winkelmaß an einer Mikrometerteilung abgelesen
werden. Mit dem Mikrometer lassen sich Horizontal- und Vertikalkreis
nacheinander ablesen.
• Bei Elektronischen Ablesesystemen werden Teilstriche oder andere Muster als Teilkreise verwenden. Die Ablesemikroskope sind durch Abtastsysteme
ersetzt, wobei Code- und Inkrementalverfahren zur Anwendung kommen. Die
gemessenen Größen ergeben sich in Form von Dualzahlen, die über einen Codewandler digital angezeigt werden können.
Fehler des Theodolits
Instrumentenfehler beruhen darauf, dass die Konstruktionsidee beim Bau des Theodolits nicht voll verwirklicht werden kann. Die einzelnen Teile können auch durch
Beanspruchung beim Gebrauch, durch Temperatureinflüsse usw. ihre Solllage ändern. Die entstehenden Fehler können entweder durch Justierung beseitigt werden
oder ihr Einfluss kann durch die Anordnung der Messung eliminiert werden.
Sollen Horizontalwinkel gemessen werden, muss der Horizontalkreis horizontal
liegen und die Zielachse sich beim Kippen des Fernrohrs in einer lotrechten
Ebene bewegen. Dies ist der Fall, wenn die Zielachse normal zur Kippachse
steht, die Kippachse normal zur Stehachse liegt und die Stehachse streng
lotrecht steht (Abb.6.7).
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69
Abbildung 6.7: Achsen eines Theodolits
Wird eine der Bedingungen nicht erfüllt, so ist ein Zielachsen-, Kippachsenoder Stehachsenfehler vorhanden. Durch diese Fehler werden die Ablesungen
am Horizontalkreis verfälscht.
• Auch nach guter Berichtigung ist meist noch ein geringer Zielachsenfehler
vorhanden. Dessen Einfluss wird aber durch Messen in beiden Kreislagen und
Mittelung der Messergebnisse eliminiert.
• Die Prüfung und eventuelle Berichtigung des Kippachsenfehlers kann erst
nach der Beseitigung des Zielachsenfehlers erfolgen. Wie beim Zielachsenfehler
kann der Einfluss des Kippachsenfehlers aber auch durch Beobachtungen in
zwei Fernrohrlagen und Mittelung der Ablesungen beseitigt werden.
• Der Stehachsenfehler ist kein Instrumentenfehler, sondern ein Aufstellfehler.
Dieser kann nur durch strenge Lotrechtstellung der Stehachse vermieden werden, d.h. ein Stehachsenfehler lässt sich durch Beobachten in zwei Kreislagen
nicht beseitigen.
• Exzentrizitätsfehler der Teilkreise sind dann gegeben, wenn der Horizontalkreis nicht zentrisch auf die Stehachse und der Vertikalkreis nicht zentrisch
auf die Kippachse montiert ist. Beide Fehler werden aber durch die Mittelung
der Messungen in zwei Fernrohrlagen eliminiert.
• Zu den Theodolitfehlern zählen auch der in Kap. 6.1.2 genannte Indexfehler
sowie Teilungsfehler der beiden Teilkreise. Ersterer kann durch Beobachtung
in zwei Fernrohrlagen beseitigt werden. Die Kreisteilungfehler können nicht
verhindert werden. Der Teilungsfehler des Horizontalkreises kann jedoch durch
wiederholte Satzmessung mit Verdrehung des Teilkreises verkleinert werden.
ANMERKUNG: Bei modernen elektronischen Theodoliten und Totalstationen können Kippachsen- und Zielachsenfehlers durch Beobachtung von
mehreren gut geeigneten Zielpunkten (überbestimmt) bestimmt werden und
anschließend bei der Kreisablesung (in nur einer Fernrohrlage) berücksichtigt werden.
Vermessung
2008
70
Vermessung
Messgerechtes Aufstellen des Theodolits
Der Theodolit wird mit Hilfe eines Stativs aufgestellt. Ein Stativ besteht aus drei
Stativbeinen und dem Stativkopf. Die Beine sind entweder aus Holz oder Leichtmetall. Der Stativkopf schließt mit einer ebenen Aufstellfläche (Stativteller) ab. Die
Verbindung zwischen Stativ und Instrument wird mit der Herzschraube hergestellt.
Die Herzschraube ist in der Öffnung des Stativtellers bewegbar, sodass das Instrument beim Zentrieren verschoben werden kann.
Eine messgerechte Aufstellung des Theodolits bedeutet, dass dieser exakt
horizontiert und über dem Bodenpunkt exakt zentriert aufgestellt ist. Je nach
Horizontier- und Zentriereinrichtungen des Instrumentes ergeben sich unterschiedliche Aufstellungsprozeduren, wobei die zwei gängigsten Verfahren im Folgenden
angeführt werden. In beiden Fällen wird das Stativ zunächst mit möglichst horizontalem Stativteller über dem Bodenpunkt aufgestellt und das Instrument mittels
Herzschraube am Stativteller befestigt.
Horizontieren und Zentrieren mit einem optischen Lot:
Optische Lote bestehen aus einem kleinen Fernrohr mit einem Reflexionsprisma und
können in der Alhidade oder dem Dreifuß des Theodolits eingebaut sein. Mit den
Fußschrauben des Theodolits wird das optische Lot zunächst auf die Bodenmarke
eingestellt (Grobzentrierung). Danach bringt man die Dosenlibelle des Gerätes durch
Ein- und Ausfahren der Stativbeine zum Einspielen (Grobhorizontierung) und horizontiert mit Fußschrauben und Alhidadenlibelle (Feinhorizontierung). Eine eventuell notwendige Korrektur der Zentrierung erfolgt durch geringes Verschieben (nicht
Verdrehen!) des Instruments auf dem Stativteller (Feinzentrierung). Aufgrund der
gegenseitigen Beeinflussung von Feinhorizontierung und Feinzentrierung sind diese
Vorgänge üblicherweise solange zu wiederholen, bis eine exakte Horizontierung und
Zentrierung gegeben ist. Die Zentriergenauigkeit über dem Bodenpunkt beträgt mit
optischem Lot ± 0.5 mm. Optische Lote sind regelmäßig zu überprüfen.
Horizontieren und Zentrieren mit Laser-Lot und elektronischer Libelle
Moderne elektronische Instrumente sind oft mit einem Laserlot ausgerüstet, welches
über das Messdisplay aktiviert wird: Der Laserstrahl bildet einen roten Punkt am
Boden, gleichzeitig erscheint eine elektronische Libelle am Display. Mit den Fußschrauben des Geräts wird das Laser-Lot zunächst auf die Bodenmarke (Grobzentrierung) eingestellt. Danach bringt man die Dosenlibelle des Gerätes durch Ein- und
Ausfahren der Stativbeine zum Einspielen (Grobhorizontierung). Die Feinhorizontierung erfolgt nun wieder - meist ohne Alhidadendrehung - mit den Fußschrauben
über die elektronische Libelle am Display. Die weiteren Schritte sind gleich dem
oben genannten Verfahren. Die Zentriergenauigkeit über dem Bodenpunkt beträgt
± 0.8 mm.
ANMERKUNG: Ältere Vermessungsinstrumente haben weder ein Optisches Lot noch ein Laserlot. Diese Instrumente müssen mit einem Schnurlot zentriert werden, welches üblicherweise an der Herzschraube angebracht werden kann. Die Zentriergenauigkeit eines Schnurlots über dem
Bodenpunkt beträgt ± 5 mm.
2008/09
71
Feinhorizontieren mit Alhidadenlibelle
Die Alhidadenlibelle (Röhrenlibelle) eines Theodolits ist fest mit der Alhidade verbunden. Zur Feinhorizontierung des Instruments wird die Libelle vorerst parallel zu
zwei Fußschrauben gestellt und mit diesen zum Einspielen gebracht. Danach wird
die Alhidade um 100 g weiter gedreht und mit der dritten Fußschraube eingespielt
(Abb.6.8). Gegebenenfalls müssen diese beiden Schritte wiederholt werden.
Abbildung 6.8: Feinhorizontieren des Theodolits mit der Alhidadenlibelle und den Fußschrauben
Zur Kontrolle der Libelle Alhidade um weitere 200 g verdrehen. Bei einer justierten
Libelle muss die Libelle nun auch einspielen.
ANMERKUNG: Zeigt die Libelle einen Ausschlag, so ist eine Hälfte des
Ausschlags mit den Fußschrauben zu entfernen).
Bei Durchführung einer Libellenjustierung wird die zweite Hälfte mit Hilfe der Berichtigungsschraube der Libelle beseitigt. Die Justierung sollte
allerdings nur unter Laborbedingungen erfolgen.
Messung der Instrumentenhöhe
Alle Richtungs- und Winkelmessungen mit dem Theodolit beziehen sich auf den
Schnittpunkt zwischen Stehachse, Kippachse und Zielachse. Deshalb basieren auch
alle weiteren Berechnungen auf diesem Punkt. Die Lage (Lagekoordinaten) des
Schnittpunkts entsprechen bei einer messgerechten Aufstellung jenem Punkt, über
welchem das Instrument steht. Höhenmäßig muss die Aufstellungshöhe über dem
gegebenen Punkt berücksichtigt werden. Diese als Instrumentenhöhe bezeichnete
Größe wird vom Bodenpunkt bis zum Schnittpunkt der Theodolitachsen gemessen.
ANMERKUNG: In der Praxis erfolgt die Messung der Instrumentenhöhe
mit Hilfe eines Rollmeters (Maßbandes) von der Oberkante der BodenpunktStabilisierung bis zum gedachten Schnittpunkt der Kippachse mit einer
der Theodolitstützen (auf Instrumenten oft mit einem Punktsymbol gekennzeichnet). Der dadurch entstehende Fehler liegt unter 2 mm.
Da sich auch alle Vertikalwinkel auf den Schnittpunkt der Theodolitachsen
beziehen, wird auch eine mit dem Vertikalwinkel zu reduzierende Seite sS
bis zu diesem Schnittpunkt gemessen werden (siehe Kap.6.2.3). In diesem
Fall ist der durch Vernachlässigung des tatsächlichen Achsenschnittpunkts
entstehende Fehler weniger als 1 mm.
Vermessung
2008
72
6.2
Vermessung
Seitenmessung
Für die Koordinatenrechnung benötigt man die geradlinige, horizontale Seite. Die
unter einem Winkel β gegen den Horizont geneigte Seite zwischen zwei Punkten auf
der physischen Erdoberfläche nennen wir die schräge (schiefe) Seite sS . Durch Reduktion auf den Messungshorizont entsteht die horizontale Entfernung s. (Abb.6.9).
ANMERKUNG: Anstelle des Wortes Seite werden in der Vermessung
auch die Begriffe Distanz, Strecke bzw. Entfernung verwendet.
6.2.1
Maßbandmessung
Die gesuchte Seite zwischen zwei in der Natur gegebenen (stabilisierten) Punkten
wird nach Ausfluchten durch direkte Abmessung bestimmt.
Die angebotenen Stahl- oder Kunststoffmaßbänder haben Längen von 10 m bis
100 m, sind 0.2 mm stark und 13 mm breit. Sie sind normalerweise mit einer ZentimeterTeilung versehen und auf eine bestimmt Zugkraft und Temperatur geeicht (meist
10 kp und 20 o C).
Für jede geneigt (schräg) gemessene Seite sS muss mit dem Theodolit der zugehörige
Höhenwinkel (Zenit- oder Höhenwinkel) bestimmt werden. Die horizontale Seite s
berechnet sich gemäß (Abb.6.9):
s = sS · cos β
bzw.
s = sS · sin z
(6.4)
Abbildung 6.9: Zusammenhang zwischen Vertikalwinkel, geneigter und horizontaler Seite
6.2.2
Elektrooptische Entfernungsmessung: Prinzip und Instrumente
Ein im Anfangspunkt der zu bestimmenden Seite aufgestellter Sender sendet eine
sich mit konstanter Geschwindigkeit fortpflanzende elektromagnetische Welle oder
Wellengruppe aus, die am Endpunkt der Seite reflektiert und im Anfangspunkt wieder empfangen wird. Auf diese Welle ist ein scharf definiertes Signal aufmoduliert.
Je nachdem, ob die Bestimmung der Entfernung durch Messung der Laufzeit des
Signals erfolgt, oder ob die Phasendifferenz des ausgesendeten und empfangenen
2008/09
73
Signales herangezogen wird, spricht man vom Impuls- oder Laufzeitverfahren
oder vom Phasenvergleichsverfahren. Die notwendige Stromversorgung erfolgt
mit wiederaufladbaren Batterien.
Das vom Sender ausgehende Licht muss am Endpunkt der Seite reflektiert und
wieder zum Ausgangspunkt zurückgesendet werden. Als Reflektoren werden sogenannte Prismen verwendet, die den auftreffenden Lichtstrahl parallel zu sich selbst
zurücksenden. Die Prismen sind Glaskörper mit drei normal aufeinander stehenden
Flächen (entspricht einer abgeschnittenen Ecke eines Glaswürfels).
Die Reflektoren können auf einfachen Lotstöcken (auch Reflektorstäbe genannt befestigt werden oder mit speziellen Halterungen auf Stativen.
Viele der modernen Elektrooptischen Entfernungs-Messinstrumente benötigen zur
Messung von kürzeren Seiten (bis zu 200 m) keinen Reflektor mehr (Reflektorlose
Distanzmessung).
Die Genauigkeit der Seitenmessung mit elektrooptischen Distanzmessern liegt meist
bei ± 3 mm + 3 · 10 −6 · sS .
Nach dem äußeren Aufbau unterscheidet man
• Selbständiges Distanzmessgerät: Instrument ist ausschließlich zur Entfernungsmessung bestimmt (Abb.6.10).
Abbildung 6.10: Distanzmesser Disto Plus,
Fa.Leica
• Totalstation oder Elektronischer Tachymeter: Instrument, bei welchem die
Seitenmess-Einrichtung in einem Theodolit intergriert ist. Motorisierte Geräte
erlauben zusätzlich noch die permanente Verfolgung des Reflektors sowie die
automatische Zielerfassung vor der Messung (Abb.6.11).
6.2.3
Reduktionen der Seitenmessungen
Alle gemessenen schrägen Seiten sind zur weiteren Berechnung noch zu reduzieren.
• auf den Messungshorizont (siehe Formel 6.4),
• auf Meeresniveau (abhängig vom Referenzsystem, H: Seehöhe, R: Erdradius)
skorr.M N ≈ s · 1 −
H
R
(6.5)
Für eine Seite von 1 000 m ergibt sich bei einer Seehöhe von H = 1 500 m eine
Reduktion von ca. 0.24 m.
Vermessung
2008
74
Vermessung
Abbildung 6.11:
Distanzmesser
TPS1200 (links), Trimble S6 (rechts)
Leica
• wegen Projektionsverzerrung (abhängig von Projektion, ym : Koordinatenrechtswert im Projektionssystem, R: Erdradius)
skorr.P R
y2
≈ s· 1+ m2
2·R
!
(6.6)
Eine Seite von 1 000 m bei einem mittleren Abstand ym = 120 km (Randbereich des Systems) muss im Gauß-Krüger-System um ca. 0.18 m vergrößert
werden.
• bei elektrooptischer Distanzmessung bezüglich Reflektorkonstante (vom Instrumentenhersteller bzw. Reflektorhersteller angegeben).
6.3
Bestimmung von Höhenunterschieden
Die (orthometrische) Höhe eines Punktes ist sein in der Lotlinie gemessener Abstand
vom Meeresspiegel (von der in der Seehöhe Null liegenden Niveaufläche, dem Geoid).
Für Österreich gilt derzeit noch der Nullpunkt des Gezeitenpegels der Adria am
Molo Sartorio in Triest (Kap.4.3.1) als Bezugshöhe. Die Höhen über Adria beruhen
zum Großteil auf dem Nivellementnetz, das vom ehemaligen Militärgeographischen
Institut (MGI) zwischen 1873 und 1895 gemessen wurde.
Die Bestimmung von Höhenunterschieden kann erfolgen durch die
• Geometrische Höhenmessung (Nivellement) oder
• Trigonometrische Höhenmessung
6.3.1
Geometrische Höhenmessung und Nivellierinstrument
Grundgedanke: Ermittlung des Unterschieds der Geländehöhen von Punkt A und
Punkt B, indem man den lotrechten Abstand beider Punkte von einer horizontalen
Ziellinie misst.
2008/09
75
Dazu benötigt man ein Instrument, mit dem horizontale Ziellinien hergestellt werden können, d.h. einen Theodolit oder ein spezielles Nivelliergerät, sowie zwei
Nivellierlatten. Den Höhenunterschied ∆h zwischen zwei Punkten A und B erhält man als Differenz zwischen dem Rückblick R nach A und dem Vorblick V nach
B:
∆h = R − V
(6.7)
Nivellierinstrument
Ein Nivellierinstrument (Abb.6.12)besteht aus einem um eine vertikale Achse
drehbaren Fernrohr, das
• automatisch mit einem Kompensator
• oder manuell mit Hilfe einer Röhrenlibelle und einer Kippschraube (ältere Instrumente)
so eingerichtet werden kann, dass die Zielachse horizontal ist. Vorher muss allerdings
die Stehachse genähert lotrecht gestellt (mit einer Dosenlibelle) werden.
Abbildung 6.12: Nivellierinstrument
1990 kam das erste elektronische Nivellierinstrument (Digitales Nivellierinstrument) auf den Markt, bei dem das Lattenbild durch digitale Bildverarbeitung im
Instrument ausgewertet wird. Die Nivellierlatten haben anstelle der herkömmlichen
Teilung ein binäres Muster. Das Instrument hat den Lattenraster in digitaler Form
gespeichert und vergleicht diesen mit dem entsprechenden Wert der Latte. Von der
Aufnahme im Feld bis zur Abspeicherung der Ergebnisse lässt sich ein automatischer
Datenfluss herstellen.
Nivellierlatten:
Einfache Nivellierlatten sind 3 bis 5 m lang, 5 bis 8 cm breit und klappbar (Klapplatten). Gefertigt sind sie üblicherweise aus Holz mit PVC-Beschichtung oder Aluminium. Die Vorderseite ist geteilt - häufig die sog. E-Teilung (Abb.6.13). Digitale
Nivellierinstrumente benötigen Latten mit einem Strich-Code (Abb.6.13). Der Teilungsnullpunkt liegt in der Ebene der Aufsetzfläche. Zur Lotrechtstellung werden
die Latten mit justierbaren Dosenlibellen versehen (Angabe ca. 30 0 ). Nivellierlatten
sollten regelmäßig überprüft werden.
Vermessung
2008
76
Vermessung
Abbildung 6.13: Zubehör für das Nivellierinstrument
Lattenuntersätze:
Falls die Wechselpunkte nicht fest sind (Pflöcke, Gasrohre, Steine u.a.), müssen zum
Festlegen der Lattenstandpunkte sog. Lattenuntersätze (Frösche, Abb.6.13) aus
Grauguss verwendet werden, die fest in den Untergrund eingetreten werden.
Messverfahren:
Abbildung 6.14: Prinzip des Nivellierens
Die Höhe eines Punktes B ist im Anschluss an einen Festpunkt A (höhenmäßig bekannt) zu bestimmen. Grundsätzlich ist aus der Mitte zu nivellieren (Beseitigung
von Einflüssen der Erdkrümmung, der Refraktion und von restlichen Justierfehlern).
Die Seite von Punkt A zu Punkt B wird in - vom Gelände abhängige Abschnitte unterteilt, die Einzelhöhenunterschiede ∆h1 , ∆h2 ...∆hn ermittelt und aufsummiert (Abb.6.14).
∆h1 = R1 − V1
∆h2 = R2 − V2
∆hn = Rn − Vn
(6.8)
∆HAB = ∆h1 + ∆h2 + ... + ∆hn = Σ∆hi = ΣRi − ΣVi
(6.9)
Die maximale Zielweite sollte bei Millimeterablesung 50 m betragen, die Zielweiten
sind natürlich von der Topographie abhängig. Zur Beschleunigung der Arbeit am
2008/09
77
besten zwei Latten einsetzen. Bei längeren Nivellementseiten ist es günstig, hin und
wieder feste Punkte (Kilometerstein o.ä.) als Wechselpunkt zu benutzen (leichtere
Kontrollmöglichkeit).
Jede Nivellementseite ist grundsätzlich im Hin- und Rückweg zu beobachten! Eventuelle Seitpunkte werden vom jeweiligen Instrumentenhorizont aus bestimmt.
Genauigkeitsangabe:
Als Genauigkeitsmaß lässt sich bei höhenmäßig bekanntem Anfangs- und Endpunkt
der mittlere Kilometerfehler mkm folgendermaßen berechnen:
1. Berechnung des Widerspruches w zwischen der Differenz der beiden gegebenen
Höhen und dem gemessenen Höhenunterschied.
2. Berechnung des Nivellementweges L(in km) zwischen Punkt A und B
3. Berechnung des mittleren Kilometerfehlers
|w|
mkm = ± √
Lkm
(6.10)
Je nach Anwendung werden üblicherweise die Genauigkeitsgrenzen a priori mittels
des mittleren Kilometerfehlers angegeben.
6.3.2
Trigonometrische Höhenmessung
Der Höhenunterschied zwischen zwei Punkten kann auch trigonometrisch berechnet
werden (∆h: Höhenunterschied zwischen Theodolit-Kippachse und Ziel,
∆H: Höhenunterschied im Gelände zwischen Standpunkt und Zielpunkt, s: Horizontalseite (Horizontaldistanz), sS : Schrägseite (Schrägdistanz), β: Höhenwinkel,
z: Zenitwinkel, Ih: Instrumentenhöhe, Zh: Zielhöhe)
∆h = s · tan β
∆h = sS · sin β
bzw. ∆h = s · cot z
bzw. ∆h = sS · cos z
(6.11)
∆H = ∆h + Ih − Zh
(6.12)
Zur Bestimmung des Höhenunterschiedes zweier Punkte A und B wird die Entfernung (schräg oder horizontal) sowie der Vertikalwinkel in einem der Punkte benötigt
(Abb.6.15). Bei größeren Entfernungen (ab ca. 250 m) ist der Einfluss der Erdkrümmung bzw. die Krümmung des Zielstrahls (Refraktion) zu berücksichtigen.
Einfluss der Erdkrümmung
Bei einer Annahme der Erde als Kugel lässt sich der Einfluss der Erdkrümmung kE
(Abb.6.16) bei der Bestimmung des Höhenunterschiedes berücksichtigen:
∆Hkorr.EK = ∆H + kE = ∆H +
Vermessung
s2
2·R
!
(6.13)
2008
78
Abbildung 6.15:
messung
Vermessung
Trigonometrische Höhen-
ABSCHÄTZUNG: Für einen mittleren Erdradius R von ca. 6 370 km und
einer Entfernung der Punkte von 1 km ergibt sich bereits ein Einfluss der
Erdkrümmung von +7.8 cm!. Bei einer Entfernung des höhenmäßig zu
bestimmenden Punktes von 3 km wird das Ergebnis der Höhenmessung bei
einer Vernachlässigung des Erdkrümmungseinflusses bereits um +70.6 cm
verfälscht!
Einfluss der Refraktion
Die Dichte der Luft nimmt mit wachsender Höhe ab. Ein vom Instrument ausgehender Lichtstrahl wird daher nicht geradlinig verlaufen.
Abbildung 6.16: Einfluss von Erdkrümmung
und Refraktion
Die durch die Lichtbrechung entstehende Lichtkurve wird als Kreisbogen mit dem
Radius R0 angenähert (Abb.6.16), mit R = k · R0 , dabei wird k als Refraktionskoeffizient bezeichnet. Der Refraktionseinfluss kR lässt sich damit größenmäßig erfassen
und damit ergibt sich ein um den Refraktionseinfluss korrigierter Höhenunterschied:
∆Hkorr.RF = ∆H − kR = ∆H −
k · s2
2·R
!
(6.14)
Gauss [Carl Friedrich GAUSS, 1777-1855] hat einen Mittelwert für den Refraktionskoeffizient k von 0.13 errechnet. Dieser Wert wird auch heute noch für die Re-
2008/09
79
fraktionskorrektur verwendet (außer für Höhenmessungen mit hoher und höchsten
Genauigkeitsansprüchen).
ABSCHÄTZUNG: Für k = 0.13 sowie R ≈ 6 370 km ergibt sich für eine ca. 1 km lange Seite als Refraktionseinfluss −1.0 cm! Für eine Höhenbestimmung in einer Entfernung von 3km liegt die Verfälschung des
Ergebnisses aufgrund der Refraktion bei −9.2 cm!
Unter Berücksichtigung von Refraktion und Erdkrümmung ergibt sich
nunmehr der Höhenunterschied zwischen zwei Punkten mit
∆Hkorr. = s · cot z + (1 − k) ·
s2
2·R
!
+ Ih − Zh
(sS · sin z)2
2·R
∆Hkorr. = sS · cos z + (1 − k) ·
(6.15)
!
+ Ih − Zh
(6.16)
Genauigkeit der Trigonometrischen Höhenmessung
Zur Abschätzung der Genauigkeit des mit der trigonometrischen Höhenmessung
erzielten Höhenunterschiedes wird die Berechnungsformel 6.15 partiell differenziert:
m2∆H
2
s
= cotz + · (1 − k)
R
· m2s + (
s2
+ −
2·R
s 2
) · m2z +
sin2 z
!2
· m2k + m2Ih + m2Zh
(6.17)
Die Fehler der Seitenmessung ms und der Winkelfehler in der Höhenmessung mz ist
aufgrund der Angaben der Instrumentenhersteller bekannt. Der mittlere Fehler des
Refraktionskoeffizienten k kann normalerweise mit ± 0.04 angenommen werden und
die Messfehler von Instrumentenhöhe mIh und Zielhöhe mZh können für übliche
Vermessungsarbeiten mit ± 1 cm angenommen werden.
RECHENBEISPIEL für die Trigonometrische Höhenmessung:
Von einem Standpunkt S (Höhe = 572.96 m) wurden folgende Messungen
zu einem Punkt P1 durchgeführt:
z = 102.0086 g ± 10 cc (entspricht 10 · ρ1cc )
sS = 1463.74m ±1.5cm
Ih = 1.56m ± 1.0 cm
Zh = 1.75m ± 1.0 cm
Zu berechnen ist die Höhe des Punktes P1 sowie der Höhenunterschied
zwischen dem Standpunkt S und dem Punkt P1 . Die Genauigkeit des
Höhenunterschiedes ist anhand der vorgegebenen Messgenauigkeiten abzuschätzen (mit k = 0.13 ±0.04, R = 6370 km)
Vermessung
2008
80
Vermessung
ERGEBNIS:
HP1 = 526.74 m
∆H = -46.22 m
m∆H = ±0.028 m
Zwischenergebnisse:
∆h = −46, 175 m
∆H = −46, 365 m (ohne Refraktions- und Erdkrümmungseinfluss)
Erdkrümmungseinfluss kE = 0.168 m
Refraktionseinfluss kR = -0.022 m
6.4
Direkte Punktbestimmung mittels GNSS (Global Navigation
Satellite System)
Seit ca. 1960 werden Satellitensysteme für Gesetzesbestimmungen und weltweite
Navigation aufgebaut. Gemessen werden Distanzen oder Diskriminierungen zwischen Satelliten und festen oder aber auch beweglichen Stationen auf der Erde.
Daraus können die dreidimensionalen Koordinaten der Bodenpunkte berechnet werden.
Von den entwickelten Systemen ist derzeit für die Vermessung das von den USA entwickelte GPS (Global Positioning System) sowie das russische System GLONASS
(Global Navigation Satellite System) von Interesse. In Zukunft (ca. ab 2011) wird
- speziell für Europa - das von einem europäischen Konsortium entwickelte System GALILEO Bedeutung erlangen. Anfang 2006 wurde der erste Satellit in den
Weltraum geschickt.
Für geodätische Zwecke ergeben sich durch die satellitengestützten Verfahren einige
Vorteile:
• Keine direkte Sichtverbindung zwischen den Punkten notwendig
• Stabiler Netzaufbau, unabhängig von der Wahl der Punktlagen
• Unabhängig von der Wetterlage
• Hohe Wirtschaftlichkeit
• Hohe erzielbare Genauigkeit
Es gibt aber auch Nachteile:
• Genauer Einsatzplan notwendig
• Eingeschränkte Satellitensichtbarkeit im Wald oder bebautem Gebiet
• Abhängigkeit vom Systembetreiber
GPS ist ein - ursprünglich für militärische Zwecke - vom amerikanischen Verteidigungsministerium (Departement of Defense, DOD) entwickeltes satellitengestütztes
Radionavigationssystem. Nach dem Endausbau können beliebig viele militärische
Nutzer zu jeder Zeit und an jedem Ort der Erde sowohl eine Positionsbestimmung
(auf ± 10 m) als auch eine Geschwindigkeitsbestimmung (auf ± 0,1s m ) in Echtzeit
durchführen.
2008/09
81
Die dreidimensionale Positionsbestimmung beruht bei diesem System auf Seitenmessungen: Zur Koordinatenbestimmung sind von drei bekannten Punkten aus die
Seiten zum unbekannten Punkt zu messen. Geometrisch liegt der Schnitt dreier
Kugelschalen vor, da im dreidimensionalen Raum der geometrische Ort einer Seitenmessung aus einem bekannten Punkt eine Kugelschale ist. Zwei Kugelschalen
schneiden sich in einem Kreis und dieser durchstößt die dritte Kugelschale in zwei
Punkten. Davon ist einer der koordinatenmäßig gesuchte Punkt.
Bei GPS werden die bekannten Punkte durch Satelliten realisiert. Die Satellitenbahndaten werden auf das vom Satelliten ausgesendete Radiosignal aufmoduliert.
Die Distanz zwischen dem Satelliten und dem unbekannten Punkt kann - u.a. durch Messung der Laufzeit des Radiosignales abgeleitet werden, wobei sowohl im
Satelliten als auch im Empfänger die Zeit bestimmt werden muss. Das System hat
eine eigene GPS-System-Zeit, die sich geringfügig von der UTC (Universal Coordinated Time) unterscheidet. Der Zeitunterschied wird aber regelmäßig veröffentlicht.
Da die Uhren des Satelliten und des Empfängers niemals vollständig synchron sein
werden, erhält man nicht die geometrische Entfernung und man muss den Empfängeruhrfehler als weitere Unbekannte berücksichtigen. Dieser Uhrfehler kann auch als
unbekannte Additionskonstante in allen gleichzeitig gemessenen Distanzen interpretiert werden, daher werden die Messgrößen als Pseudoentfernungen bezeichnet. Um
die jetzt notwendigen vier Unbekannten zu bestimmen, braucht man daher vier
Pseudoentfernungen. Wegen der Forderung nach der Verfügbarkeit von GPS zu jeder Zeit und an jedem Ort müssen daher zumindest vier Satelliten zu jeder Zeit an
jedem Ort gleichzeitig beobachtbar sein.
Die o.a. Genauigkeit ist jedoch nicht für jedermann erreichbar, da die nötigen Informationen verschlüsselt sind. Zur Zeit können aber zivile Benutzer mit ihren Empfängern eine Positionsgenauigkeit von besser als 100 m erzielen. Als geometrisches
Referenzsystem dient dabei das World Geodetic System 84 (WGS84).
Das GPS-System besteht aus drei Komponenten,
• dem Raumsegment,
• dem Kontrollsegment und
• dem Nutzersegment.
Zum Raumsegment gehören die Satelliten und ihre Konstellation im Weltraum.
Die Endausbaustufe des Raumsegments besteht aus 24 Satelliten, wobei der zivile
Endausbau seit Dezember 1993 erreicht ist. Die Satelliten sind in sechs Bahnebenen zu je vier Satelliten angeordnet und umkreisen die Erde in einer Höhe von
ca. 20 200 km. Die Satellitenbahnen sind nahezu kreisförmig, die Umlaufzeit eines
Satelliten beträgt etwa 12 Stunden.
Auf ihren Umlaufbahnen werden die Satelliten von Kontrollstationen (Kontrollsegment) der US Air Force dauernd überwacht. Die Stationen übermitteln die
empfangenen Satellitensignale an die Master Control Station. Diese errechnet die
Bahnparameter, die Satellitenzeit und die Parameter des Ionosphärenmodells. Die
berechneten Bahndaten (Ephemeriden) werden dann von drei upload stations den
Satelliten übermittelt. Falls notwendig werden die Satellitenuhren auf die Masteruhr
synchronisiert.
Vermessung
2008
82
Vermessung
Das Nutzersegment umfasst die verschiedenen zivilen und militärischen Gerätesysteme zum Empfang der Satellitendaten. Die Hauptkomponenten einer GPSEmpfangsanlage sind
• Antenne mit Vorverstärker
• GPS-Empfänger, bestehend aus
– Hochfrequenzteil zur Signalidentifizierung und Signalverarbeitung
– Mikroprozessor zur Empfängerkontrolle, Datenerfassung und Berechnung
der Navigationlösung
– Nutzerkommunikation, Bedienungs- und Anzeigenfeld, Datenspeicherung
– Präzisionsoszillator
– Stromversorgung
6.4.1
Messprinzip
Die Satelliten können als hochfliegende Festpunkte angesehen werden, deren
Koordinaten zu jedem Zeitpunkt bekannt sind. Die aktiven Satelliten senden zwei
Trägerwellen aus dem L-Bandbereich (300 M Hz bis 3 000 M Hz) aus. Diesen Trägerwellen (L1 und L2) werden Navigationssignale (Codes) bzw. Navigations- und
Systemdaten (Messages) überlagert. Die Codes sind den Trägerwellen als sog. Pseudo Random Noise (PRN) Sequenzen aufmoduliert.
Im GPS-System sind zwei Genauigkeiten verfügbar:
• Der Standard Positioning Service (SPS) wird allen Benutzern über den
C/A-Code der L1 - Frequenz ohne Gebühr zur Verfügung gestellt.
• Die wesentlich genaueren Angaben des Precise Positioning Service (PPS)
sind nur für autorisierte Nutzer verfügbar.
Mit den Satellitendaten werden außerdem noch Parameter für die Ephemeridenrepräsentation, die Satellitenuhrkorrektionen, die Identifikationsnummer und den
Satellitenzustand übertragen.
6.4.2
Beobachtungsverfahren
Als Beobachtungen können die Trägerwellen (Phasenmessung) selbst oder die
aufmodulierten Codes (Codemessung) verwendet werden.
Bei der Codemessung wird der im Satellit erzeugte Code über die Trägerwelle
ausgesandt. Zeitgleich wird im Empfänger ein Duplikat dieses Codes erzeugt. Der
nun im Empfänger eintreffende Code wird mit dem Duplikat verglichen: Das Duplikat wird so lange verschoben, bis beide Codes zusammenfallen. Die Verschiebung
entspricht der Differenz zwischen der Zeit des Signaleingangs - gemessen in der
Empfängerzeitskala - und der Zeit der Signalaussendung - gemessen in der Satellitenzeitskala.
Die beiden Zeitsysteme sind i.a. nicht identisch, daher entspricht die gemessene
Laufzeit nicht der tatsächlichen Laufzeit. Die aus der Zeitmessung abgeleitete Entfernung ist verfälscht und ergibt daher nur eine Pseudo-Entfernung (Pseudo Range). Man erhält somit die drei Koordinaten (x, y, z) und einen konstanten Zeitfehler
2008/09
83
(∆t) als Unbekannte. Zur Positionsbestimmung sind daher mindestens vier Satelliten notwendig. Kennt man die Höhe des Standpunkts, so ist eine Ortsbestimmung
aber auch mit nur drei Satelliten möglich.
Bei der Phasenmessung wird die Phase der Schwebungswelle gemessen, die sich
aus der Differenz der Phase des vom Satelliten ausgesandten Trägersignals und der
Phase des im Empfänger erzeugten konstanten Referenzsignals ergibt. Die Messgröße liefert aber nur einen Bruchteil der zu messenden Entfernung zwischen Satellit
und Empfänger. Zur eindeutigen Zuordnung der als Beobachtung eingeführten Phase zu der Entfernung Satellit - Empfänger muss eine Unbekannte in die Phasenmessung eingeführt werden, die Phasenmehrdeutigkeit N (ambiguity). N beschreibt die
ganze Anzahl der Wellenlängen, die zusätzlich zur gemessenen Phase in der Entfernung enthalten sind. Pro Satellit muss nur eine Phasenmehrdeutigkeits-Unbekannte
bestimmt werden. Aufgrund der Messungen kann die absolute Position eines beliebigen Punktes erhalten werden.
6.4.3
Positionierung
Man unterscheidet absolute und relative Positionierung, wobei die dabei erzielbaren Genauigkeiten sehr unterschiedlich sind.
Die Absolute Positionierung dient hauptsächlich für Navigationsaufgaben und
wird im allgemeinen mit Hilfe von Codemessungen durchgeführt.
Die Relative Positionierung findet ihre Hauptanwendung in der geodätischen
Punktbestimmung und funktioniert ausschließlich auf Basis der Phasenmessung.
Bei der Anwendung kann noch unterschieden werden, ob die Empfänger als Einzelgeräte unabhängig voneinander arbeiten, oder ob sie im Relativmodus eingesetzt
werden (gleichzeitige Messung mit mindestens zwei Geräten). Bei Relativmessungen
ist von Vorteil, dass eine Vielfalt von Fehlereinflüssen, die sich auf mehrere Empfänger gleichmäßig auswirken, durch die Differenzbildung erheblich reduziert wird.
Für geodätische Messungen werden daher nur Differenzverfahren angewendet: Eine
temporäre Referenzstation beobachtet ständig, während ein mobiler Empfänger die
entsprechenden Neupunkte einmisst.
Satellitengestützte Beobachtungsverfahren liefern sofort dreidimensionale Positionen. In der Satellitengeodäsie ist daher die Festlegung von himmelsfesten Systemen
notwendig, die nicht mit der Erde rotieren. Diese Systeme sind geozentrisch gelagert und enthalten nicht nur geometrische Parameter (große Halbachse, Abplattung
des Referenzellipsoids), sondern auch Gravitationsfeldparameter. Das gültige Referenzsystem ist das World Geodetic System 1984 (WGS 84), in welchem auch die
Ergebnisse der GPS-Messungen angegeben werden (siehe Kap.4.3.2)
6.4.4
Planung von GPS-Beobachtungen
Wichtig ist die Wahl eines zeitlichen Beobachtungsfensters: Das optimale Fenster
ist durch eine möglichst große Anzahl beobachtbarer Satelliten und einen möglichst
kleinen sog. PDOP-Wert (Position Dilution of Precision) charakterisiert. PDOP
stellt dabei ein Maß für die Geometrie der Empfänger-Satelliten-Konfiguration dar.
Vermessung
2008
84
Vermessung
Zur Erkundung gehört ebenfalls eine Kennzeichnung der Bereiche der Punktumgebungen, in welchen aufgrund von Abschattungen keine Satellitensignale empfangen
werden können. An solchen Punkten sind zur Beobachtung dann oft Maste notwendig (u.U. bis ca. 30 m hoch), auf denen die Antenne des Empfängers montiert wird.
Die meisten GPS-Empfänger können sowohl für statische als auch kinematische
Messmethoden verwendet werden.
Auf jeden Fall ist für die Organisation von GPS-Messungen ein genauer Einsatzund Zeitplan notwendig. V.a. bei längeren Kampagnen werden die Messdaten günstigerweise täglich aus dem Empfänger auf ein Speichermedium übertragen.
6.4.5
Berechnungen und Genauigkeit
Die Berechnungen erfolgen mit der vom Gerätehersteller mitgelieferten Software.
Das Ergebnis der relativen Punktbestimmung sind Raumvektoren im dreidimensionalen globalen WGS84, die in das jeweilige Landeskoordinatensystem transformiert
werden müssen.
Die erzielbaren Genauigkeiten hängen vom verwendeten Receiver und dem gewählten Beobachtungsverfahren ab. Für Navigationszwecke - etwa bei Yachten etc.
- reichen Genauigkeiten im Meter-Bereich. Für geodätische Zwecke ist hingegen
bei Anwendung der Trägerphasenmessung eine relative Positionsgenauigkeit von
±0.5cm + 10−6 · s erreichbar.
6.4.6
GPS-Empfänger
Die Einteilung der verschiedenen Empfänger erfolgt aufgrund mehrerer Kriterien,
z.B. nach Datentypen, die empfangen werden können. Bei der Wahl eines Empfängers ist auch auf die Anzahl der Kanäle zu achten, weil diese ein Maß für die Zahl
der gleichzeitig beobachtbaren Satelliten darstellt.
Auf der Anwenderseite kann in militärische, zivile, Navigations-, Zeit- und geodätische Empfänger eingeteilt werden.
Zusammenfassend kann man sagen, dass es im Bereich der Koordinatenbestimmung
für Navigation oder Positionierung im Meter-Bereich ein sehr großes Angebot gibt,
dass aber für geodätische Zwecke nur eine geringe Anzahl von Empfängern in Frage
kommt.
6.4.7
GLONASS (GLObal NAvigation Satellite System)
Viereinhalb Jahre nach dem Start des ersten GPS-Satelliten wurde der erste GLONASSSatellit durch die Sowjetunion in eine Erdumlaufbahn geschickt (Oktober 1982). Im
September 1993 wurde das System offiziell in Betrieb genommen, volle Operationalität mit ebenfalls 24 Satelliten war Ende 1995 gegeben. Nach einer kritischen
Phase, in welcher nur mehr 7 Satelliten in Betrieb waren, wird das System seit den
letzten Jahren wieder gewartet. Derzeit (Stand Juni 2006) befinden sich 17 Satelliten im Umlauf und spätestens bis 2008 sollte die Endausbaustufe von 24 Satelliten
(in 3 Satellitenbahnen) wieder erreicht sein.
2008/09
85
Auch GLONASS verfolgt das Ziel einer globalen, wetterunabhängigen kontinuierlichen Echtzeit-Navigation für See-, Luft- und Landfahrzeuge. Daher sind die Satellitenorbits und die Signalstrukturen ähnlich wie bei GPS.
Obwohl sich die Konfigurationen unterscheiden, werden nach dem Vollausbau annähernd gleiche Überdeckungen bei beiden Systemen erreicht. Mindestens sechs
Satelliten (maximal elf) werden an jedem Ort der Erde zu jeder Zeit und für jedes
System zu beobachten sein.
Im Gegensatz zu GPS senden die GLONASS-Satelliten die Trägersignale auf verschiedenen Frequenzen.
Bei GLONASS sind die Code-Frequenzen halb so groß wie bei GPS, sodass die C/ACode Messung eine etwas geringere Genauigkeit ergibt. Weiters liefert GLONASS
jede halbe Stunde die Satellitenephemeriden, und zwar direkt in Form dreidimensionaler kartesischer Positionskoordinaten in einem erdfesten Koordinatensystem,
den Geschwindigkeitsvektor und den von Sonne und Mond verursachten Beschleunigungsvektor. Das Referenzsystem ist dabei das Sowjet Geodetic System 1985,
SGS85.
Die Navigationstechnik der beiden Systeme ist identisch: Gemessen werden mindestens vier Entfernungen zu vier verschiedenen Satelliten. Durch den gleichzeitigen
Empfang der Satelliteninformation (Ephemeriden, Uhrenoffset der Satelliten etc.)
können anschließend die Position des Nutzers und der Empfängeruhrenoffset zur
Bezugszeit in einem erdfesten Referenzsystem ermittelt werden.
Die beiden Satellitensysteme wurden als selbständige, militärische Navigationssysteme völlig unabhängig voneinander konzipiert. Um Redundanz und Verfügbarkeit
eines solchen Navigationssystems zu erhöhen, wurde der Gedanke zur Kombination der beiden Systeme geboren. Die industrielle Forschung beschäftigt sich daher
jetzt mit Empfängertypen, mit denen Daten beider Systeme empfangen und genutzt
werden können.
Ein solcher Receiver muss in der Lage sein, GPS- und GLONASS-Orbitdaten und
Uhreninformationen zu einer Positionsbestimmung zu kombinieren. Wegen der doch
unterschiedlichen Frequenzen sowie Zeit- und Koordinatensysteme müssen grundsätzlich neue Hard- und Softwareteile entwickelt werden. Im Navigationsbereich
werden bereits kombinierte GPS/GLONASS-Empfänger angeboten.
Der Hauptvorteil einer Kombination beider Systeme liegt in der vermehrten Anzahl
von Satelliten. Nach dem Vollausbau der Systeme würden insgesamt 48 Satelliten
und mindestens 12 Satelliten jederzeit zu empfangen sein. Daraus folgt eine erhöhte Redundanz, die zur Echtzeit-Aufdeckung fehlerhafter Signale verwendet werden
kann. Außerdem kann mit einer besseren Positionsgenauigkeit gerechnet werden, da
im GLONASS-System keine S/A-Maßnahmen bekannt sind.
6.5
Terrestrische Laserscanner
Bei Verwendung einer Totalstation werden einzelne Objektpunkte mit Hilfe von
Winkel- und Seitenmessung koordinativ bestimmt. Die Auswahl und Anzahl der
einzumessenden Punkte wird normalerweise vom Operateur vorgegeben (siehe auch
Kap.7.3).
Vermessung
2008
86
Vermessung
Ein Terrestrischer Laserscanner (Abb.6.17) beschreibt die Objekte rasterförmig
durch ein flächenhaftes Abscannen. Dabei werden die einzumessenden Objekte unter
verschiedenen Winkeln mit einem Laserstrahl erfasst.
Abbildung 6.17: Terrestrische Laserscanner:
Riegl Z360 - Trimble GX - Leica HDS4500
Die Intervalle für die horizontalen und vertikalen Drehungen des Instruments können
ebenso wie der insgesamt einzumessende Bereich vorgegeben werden. Beim eigentlichen Scanvorgang werden Polarkoordinaten (horizontale Richtung, Vertikalwinkel
und Schrägdistanz) erfasst und in rechtwinkelige Koordinaten umgerechnet. Die
Messeinrichtung des Instruments wird in vertikaler Richtung um das vorgegebene Winkelinkrement verändert, wobei nach jedem abgeschlossenen Vertikalscan das
Instrument um eine Einheit (Horizontalinkrement) in horizontaler Richtung weiter
gedreht wird. Moderne Laserscanner können in der Minute mehr als 10 Millionen
Punkte erfassen. Der Abstand der erfassten Rasterpunkte ist abhängig von der Entfernung des Objektes vom Laserscanner.
Als Ergebnis der Einmessung liegt eine unstrukturierte Punktwolke vor, aus welcher
mit geeigneter Software Information extrahiert werden kann (Abb.6.18).
Abbildung 6.18: Punktwolke: Retensionsbecken mit Staumauer
Ein terrestrisches Laserscanner-System besteht aus vier bzw. optional aus fünf Komponenten:
• Steuer- bzw. Aufzeichnungseinheit: üblicherweise dient ein Notebook oder
PC als Schnittstelle zwischen Operateur und Scanner. Die Steuerungssoftware
2008/09
•
•
•
•
87
erlaubt sowohl die Eingabe der Winkelinkremente als auch die Auswahl des
zu scannenden Bereichs. Auf dieser Einheit werden auch die Messdaten bzw.
die berechneten kartesischen Koordinaten der Punkte abgespeichert. Die meisten Systeme erlauben - bei vorgebenen Passpunkten - die Transformation der
Punktwolke in ein übergeordnetes System bzw. die Verknüpfung von einzelnen
Scanergebnissen zu einem zusammenhängenden Modell.
Winkelmesssytem: die beiden Konstruktionskonzepte unterscheiden sich je
nachdem ob die Strahlungsquelle selbst bewegt wird oder ob der Laserstrahl bei gerätefester Strahlungsquelle - über bewegliche Spiegel oder Prismen abgelenkt wird. Auch eine Kombination ist möglich: So kann die Vertikalmessung
über ein Spiegelsystem erfolgen und horizontal wird der gesamte Messkopf gedreht.
Seitenmesssystem: Je nach Instrumententyp erfolgt die Seitenmessung nach
dem Impulsverfahren bzw. nach dem Phasenvergleichsverfahren (siehe Kap.6.2.2).
Auswertesoftware: Die mit dem Laserscanner erhaltene Punktwolke des realen Objektes kann mit dieser Systemkomponente in ein mathematisch abstraktes Modell übergeführt werden. Die Instrumentenhersteller bieten dabei Software in verschiedenen Automatisierungsstufen und für unterschiedliche Anwendungsbereiche an.
Kamera: Die meisten Laserscanner können die Intensität des reflektierten Signals messen, als zusätzliche Information abspeichern und als Schwarz-WeißBild visualisieren. Da mit diesem Grautonbild eine Erkennbarkeit der Objekte
nicht immer gegeben ist, können zusätzlich Farb-Digitalkameras zur Bildaufzeichnung verwendet werden. Durch geeignete Kalibrierungsalgorithmen wird
dem einzelnen Bildelemente (Pixel) des Kamerabildes dann der jeweilige Messpunkt der Laserscannermessung zugeordnet.
Die heute am Markt befindlichen terrestrischen Laserscanner-Systeme unterscheiden
sich hinsichtlich
• des Messbereichs (Panorama-Scanner oder 360 o -Scanner, Kamera-Scanner; Entfernungsbereich),
• des Seitenmessverfahrens,
• der Wellenlänge des Lasers,
• der horizontalen bzw. vertikalen Winkelauflösung,
• der Messgeschwindigkeit,
• der Genauigkeit,
• der Auswertesoftware und
• der Verfügbarkeit einer Kamera (Aufsatzkamera oder Digitalkamera koaxial
zum Laser).
6.6
Bestimmung von Flächen
Eine geschlossene, geradlinig begrenzte Figur kann flächenmäßig bestimmt werden.
Für einfache Flächen (Dreiecke, Vierecke) können die aus der Trigonometrie bekannten Formeln verwendet werden. Entspricht die zu berechnende Fläche keiner
Vermessung
2008
88
Vermessung
der oben genannten geometrischen Formen, so kann sie durch Einzelpunkte in der
Natur aufgenommen und danach in Trapeze oder Dreiecke zerlegt werden. Ebenso
gibt es für die Erfassung von Flächen aus einem Plan oder einer Karte noch weitere
Möglichkeiten, welche in den nachstehenden Kapiteln skizziert werden.
Da die Fläche i.a. in der Ebene des Koordinatensystems (entspricht der Seehöhe
Null) gesucht ist, müssen größere, aus Feldmaßen bestimmten Flächen bzgl. Seehöhe
2·H
=F · 1−
R
Fkorr.SH
(6.18)
und Projektionsverzerrung (Beispiel Gauss-Krüger-Projektion)
Fkorr.P V
y2
= F · 1 + m2
R
!
(6.19)
reduziert werden.
6.6.1
Flächenbestimmung aus Koordinaten
Ist eine Fläche durch n koordinativ bekannte Punkte definiert, so kann der Flächeninhalt folgendermaßen bestimmt werden. Formeln 6.20 und 6.21 werden auch
als GAUSS’sche Trapezformeln bezeichnet.
2·F =
n
X
(xi − xi+1 ) · (yi + yi+1 )
(6.20)
(yi+1 − yi ) · (xi + xi+1 )
(6.21)
i=1
2·F =
n
X
i=1
Werden die Produkte multipliziert und anschließend ansteigend nach x oder y geordnet, so entstehen daraus die GAUSS’schen Dreiecksformeln:
2·F =
n
X
i=1
xi · (yi+1 − yi−1 ) oder
2·F =
n
X
yi · (xi−1 − xi+1 )
(6.22)
i=1
ANMERKUNG: Die Berechnung der auf einer Karte abgebildeten Fläche
kann auch durch Digitalisierung der Fläche mit einem Digitizer (Digitalisiertisch oder auf einem Bildschirm) erfolgen. Dabei werden die oben angeführten Formeln 6.20 oder 6.21 verwendet. Voraussetzung dafür ist die
Kenntnis der Transformationsparameter zwischen Digitizer-Koordinatensystem
und dem Karten-Koordinatensystem (inkl. Kartenmaßstab bei Berechnung der Fläche in der Natur).
2008/09
89
RECHENBEISPIEL für Flächenberechnung aus Koordinaten:
Die koordinativ gegebenen Punkte P 1 bis P 5 sind die Eckpunkte eines
Grundstücks. Die Fläche des Polygons P 1 - P 2 - P 3 - P 4 - P 5 - P 1 ist
zu berechnen.
•
•
•
•
•
P 1 (1 519.93 / 309 496.20)
P 2 (1 559.31 / 309 559.04)
P 3 (1 621.69 / 309 531.33)
P 4 (1 647.76 / 309 483.62)
P 5 (1 616.04 / 309 432.82)
ERGEBNIS:
• Fläche F = 8 837.39 m 2
6.6.2
Flächenbestimmung mit dem Polarplanimeter
Das Polarplanimeter ist ein mechanisches Integrationsgerät, mit dem der Flächeninhalt einer Figur durch Abfahren ihrer Begrenzungslinie ermittelt wird. Es
besteht aus dem Fahrarm und dem Polarm, die durch das Gelenk miteinander
verbunden sind. Der Polarm ruht in dem Pol, der bei der Umfahrung der Fläche mit
einem Gewicht auf dem Plan festgehalten wird. Der Fahrarm trägt den Fahrstift
und jenseits des Gelenkes die Messrolle (Abb. 6.19).
Abbildung 6.19: Polarplanimeter
Während der Umfahrung der Fläche bewegt sich das Gelenk auf einem Kreis um
den Pol. Zur Bestimmung der Gesamtabwälzung n (entspricht der Summe der sogenannten Noniuseinheiten) wird die Messrolle zu Beginn (Ablesung nA ) und nach
Abschluss der Umfahrung (Ablesung nE ) abgelesen und die Fläche im Plan lässt
sich ableiten mit
FP lan = n · w
(6.23)
w ist der Flächenwert der Noniuseinheit. Dieser ist neben der Fahrarmeinstellung
den Planimetern für verschiedene Maßstabsverhältnisse beigegeben.
Vermessung
2008
90
Vermessung
Vorteilhafter ist es jedoch, diesen Flächenwert für eine gewählte Fahrarmlänge und
die jeweilige Beschaffenheit des Zeichenträgers selbst zu bestimmen. Dazu verwendet
man eine bekannte Prüffläche: Z.B. kann durch ein dem Planimeter beigegebenes
Prüflineal eine Kreisfläche von bekanntem Flächeninhalt Fo erzeugt werden. Mit
den für die Umfahrung dieser Prüffläche ermittelten Noniuseinheiten nP errechnet
sich der geprüfte Flächenwert einer Noniuseinheit dann zu
wo =
Fo
nP
(6.24)
und gilt für die gewählten Verhältnisse (Fahrarmlänge, Zeichenträger usw.).
Zum Erhalt einer Fläche in der Natur ist die Planfläche FP lan noch mit dem Quadrat
des Planmaßstabes (mP lan 2 ) zu multiplizieren.
Digitalplanimeter: Durch Mikroprozessortechniken und kontaktlose Abtastung
der Messrolle können Flächenmessungen mit einem Digitalplanimeter schneller und
einfacher durchgeführt werden. Beim einmaligen Umfahren eines geschlossenen Linienzuges wird die umfahrene Fläche direkt digital angezeigt.
6.7
Bestimmung von Massen (Kubaturen)
Für den Fachbereich Kulturtechnik und Wasserwirtschaft ist die Bestimmung von
(Erd-)Massen (Kubaturen) bzw. die Berechnung von Massenänderungen während
vorgegebener Zeiteinheiten eine wichtige Aufgabe. Vor allem in der Wasserwirtschaft
sind sehr oft Speichermöglichkeiten zur Aufnahme von potentiellen Wassermassen
(wie Retensionsbecken, Flussbett) abzuschätzen.
Grundsätzlich gibt es zur Bestimmung von Massen die im Folgenden angeführten
Methoden, wobei die Auswahl des jeweiligen Verfahrens von den vorhandenen Datengrundlagen abhängt. Auch die Kombination von Verfahren ist möglich.
6.7.1
Massenberechnung aus geometrisch definierten Figuren
Oft lassen sich unregelmäßige Volumsobjekte in einfache geometrische Raumkörper
zerlegen (z.B. Quader, Prisma, Prismatoid, Pyramide, Pyramidenstumpf, Kegel,
Kugel), von welchen die Volumina nach vorgegebenen Formeln berechnet werden
können.
Eine mögliche Anwendung dieser Methode wäre bei einem vorgegebenen digitalen
Geländemodell (wird in der Lehrveranstaltung Einführung in die Fernerkundung,
LVA-Nr. 857.101 besprochen). Dabei wird das stetige Gelände durch diskrete Punkte repräsentiert, welche durch geeignete Vermaschungs-Algorithmen das Gelände
durch Dreiecksfacetten annähern(Abb.6.20).
Die jeweiligen Horizontalflächen dieser Facetten (Horizontalprojektion) lassen sich
anhand der bekannten Lagekoordinaten berechnen (siehe Kap.6.6.1). Aus den auch
bekannten Höhen der drei Punkte lässt sich das Volumen eines Dreiecksprismas
bestimmen:
Vi = Fi ·
hi1 + hi2 + hi3
3
(6.25)
2008/09
91
Abbildung 6.20: Massenbestimmung aus
Dreiecksprismen, Quelle: Resnik/Bill, 2000
bzw. das Gesamtvolumen des Objekts aus der Addition aller n Einzelprismen:
VGes. =
n
X
Vi
(6.26)
i=1
6.7.2
Massenberechnung aus Querprofilen
Diese Methode eignet sich besonders zur Berechnung der Volumina von langgestreckten Objekten (z.B. Flussbett, Straßendamm). Dabei wird das volumsmäßig
zu bestimmende Objekt entlang der Achse durch eine durch Topografie und Genauigkeitsvorgabe bedingte Anzahl von Vertikal-Profilen eingemessen. Damit wird
das gesamte Objekt in mehrere - durch jeweils benachbarte Profile begrenzte - Abschnitte zerlegt (Abb.6.21).
Abbildung 6.21: Massenbestimmung aus
Querprofilen, Quelle: Resnik/Bill, 2000
Die Kubatur eines einzelnen Objektabschnittes ergibt sich aus der Länge li des jeweiligen Abschnitts sowie den beiden aus den Profilmessungen berechneten Flächen
(Flächenbestimmung siehe Kap.6.6):
Vi = li ·
F1 + F2
2
(6.27)
bzw. das Gesamtvolumen des Objekts aus der Addition aller n Einzelmassen:
VGes. =
n
X
Vi
(6.28)
i=1
Vermessung
2008
92
6.7.3
Vermessung
Massenberechnung aus Höhenlinien
Liegt vom zu berechnenden Objekt bereits ein Höhenplan mit Höhenlinien (Schichtenlinien) vor, so werden die von einer Höhenlinie gebildete Flächen einzeln größenmäßig bestimmt. Auch in diesem Fall wird das gesamte Objekt in mehrere - durch
jeweils benachbarte Höhenlinien begrenzte - nunmehr vertikale - Abschnitte zerlegt
(Abb.6.22).
Die Kubatur eines einzelnen Objektabschnittes ergibt sich aus dem aus der Karte
ersichtlichen Höhenlinienintervall ∆hi (entweder in der Legende angegeben oder aufgrund der Höhenkoten ersichtlich) des jeweiligen Abschnitts (üblicherweise ist das
Höhenlinienintervall konstant) sowie den beiden horizonalen Schichtflächen (Flächenbestimmung siehe Kap.6.6):
Vi = ∆hi ·
F1 + F2
2
(6.29)
bzw. das Gesamtvolumen des Objekts aus der Addition aller n Einzelmassen:
VGes. =
n
X
Vi
(6.30)
i=1
Abbildung 6.22: Massenbestimmung aus Höhenlinien, Quelle: Resnik/Bill, 2000
Diese Methode eignet sich vor allem für zur Berechnung von haufenförmigen Kubaturen.
2008/09
Kapitel 7
Durchführung eines
Vermessungsprojektes
Ist die Lage einer Anzahl von Punkten durch ihre Koordinaten in einem rechtwinkeligen Koordinatensystem gegeben, so kann man von ihnen ausgehend die Koordinaten weiterer Punkte bestimmen. Die bekannten Punkte, welche auch durch ihre
gegebenen Koordinaten das Abbildungs(Projektions)-System festlegen, werden als
Festpunkte bezeichnet (siehe Kap.5.3.2). Punkte, deren Koordinaten erst im Zuge
der Vermessung bestimmt werden, heißen Neupunkte.
ANMERKUNG: Festpunkte, deren Begehung im Zuge einer Vermessung
nicht notwendig ist, werden auch als Fernziele bezeichnet. So wird z.B.
zur Bestimmung der Orientierung (siehe Kap.3.1.4) nur die horizontale
Richtung vom Standpunkt zum Festpunkt (=Fernziel) benötigt.
Bei der Einmessung von Neupunkten kommen Methoden der Triangulation (Messung von Richtungen bzw. Winkeln), Methoden der Trilateration (Seitenmessungen) und kombinierte Verfahren (Richtungs-, Winkel- und Seitenmessungen) zur
Anwendung. In den letzten Jahren wird die Punktbestimmung auch mit Hilfe von
Positionierverfahren mit Satelliten (GPS) durchgeführt. Weitere Möglichkeiten zur
Bestimmung von Punkten durch Luftbild- oder Satellitenbild- Verfahren werden in
der Lehrveranstaltung Einführung in die Fernerkundung, LVA-Nr. 857.101, behandelt.
In der konventionellen Vermessung unterscheidet man die folgenden Arten der Punktbestimmung:
• Punktweise Bestimmung: Jeder Neupunkt wird einzeln für sich bestimmt
• Linienweise Bestimmung: Bestimmung von mehreren Neupunkte durch
einen Linienzug
• Netzweise Bestimmung: Bestimmung von mehreren Neupunkten durch Anlegung von Netzen aus Dreiecken und Vierecken
Zur eindeutigen Bestimmung von n Neupunkten müssen zur Ermittlung der Lagekoordinaten der Punkte 2 · n unabhängige Seiten oder Winkel gemessen werden:
Liegen für die Bestimmung der n Neupunkte mehr als 2 · n Beobachtungen vor
93
94
Vermessung
(überschüssige Messungen), so können die Koordinaten durch strenge Ausgleichung
oder zumindest durch mehrfache Berechnung und anschließender Mittelbildung gewonnen werden (vgl.Kap.3.2).
Abbildung 7.1: Ablauf eines Vermessungsprojektes
Bei der Durchführung eines Vermessungsprojektes werden in der Regel folgende
Schritte durchgeführt (siehe Abb.7.1):
1. Erhebung von amtlichen Festpunkten: Die im Vermessungsgebiet verfügbaren Festpunkte und deren Koordinaten müssen am Bundesamt für Eich- und
Vermessungswesen oder an einem regionalen Vermessungsamt anhand der dort
aufliegenden Punktkarten und Festpunkt-Topografien erhoben werden (siehe
Kap.5.3.2). Die Lage der Festpunkte kann aber auch online über die Homepage
des BEV erhoben werden und die aktuellen Koordinaten der Festpunkte aus
der Grundstücksdatenbank (Kap.5.4) abgefragt werden.
2. Verdichtung des Festpunktfeldes: Im günstigsten Fall liegen die amtlichen
Festpunkte in Entfernungen von 400m bis 800m. Da zur Durchführung einer
Detailpunktaufnahme die Messpunkte (Festpunkte) im allgemeinen geringere Abstände aufweisen sollten, wird normalerweise eine Festpunktverdichtung
durchgeführt. Die Lage der Punkte wird üblicherweise so gewählt, dass die
weiteren Vermessungsaufgaben (Detailmessung, Absteckung, u.a.m.) von diesen Punkten optimal durchgeführt werden können.
3. Messung von Detailpunkten: Die (terrestrisch geodätische) Detailaufnahme erfolgt je nach Lage des aufzunehmenden Objektes mit Hilfe der verdichteten Festpunkten und gegebenenfalls der amtlichen Festpunkte. Dabei werden
in der Natur vorhandene Objekte (Punkte, Linien, Flächen) aufgenommen.
4. Berechnung und Kartierung: Im Anschluss an die Vermessung werden
aus den Messergebnissen (in der Regel Richtungen, Winkel und Seiten) die
Koordinaten der aufgenommenen Punkte berechnet, die Punkte kartiert und
ein Plan hergestellt (Kap.7.4).
5. Absteckung: In einigen Fällen ist der erstellte Plan nur ein Zwischenergebnis. Aufgrund dieser Kartierung wird ein zukünftiges Objekt geplant und die
Punkte des zukünftigen Objektes in der Kartierung grafisch (bzw. im Computer digital) dokumentiert. Die Punkte des geplanten Objektes müssen nunmehr
auch in die Natur übertragen werden. Dabei kommen Methoden der Absteckung
(Kap.7.5) zur Anwendung.
2008/09
KAPITEL 7. DURCHFÜHRUNG EINES VERMESSUNGSPROJEKTES
7.1
95
Festpunktverdichtung
Für die Verdichtung des Festpunktfeldes (siehe Abb.7.2) können je nach vorhandener Instrumenten-Ausrüstung, nach Topografie des Geländes und nach verfügbaren
amtlichen Festpunkten unterschiedliche Verfahren gewählt werden. Folgende, in der
Vermessungspraxis am häufigsten angewandten Methoden werden in diesem (oder
wurden im vorangegangenen) Kapitel detaillierter betrachtet.
• GPS-Verfahren (Kap.6.4)
• Polygonzug (Kap.7.1.1)
• Freie Stationierung (Kap.7.1.2) und
• Triangulierung (Rückwärtsschnitt, Kap.7.1.3)
Abbildung 7.2: Festpunktverdichtung
ANMERKUNG: Bei allen oben genannten Verfahren der Festpunktfeldverdichtung wird das Messinstrument (GPS-Empfänger, Theodolit oder
Totalstation) auf dem einzumessenden Punkt aufgestellt (Neupunkt =
Standpunkt). Daher werden üblicherweise vor Durchführung der Vermessung die zu verdichteten Festpunkte in der Natur vermarkt und Topografien der Punkte angefertigt.
Bei den terrestrisch-geodätischen Verfahren der Festpunktfeldverdichtung liegen die
für die Punktbestimmung benötigten Festpunkte normalerweise in einer größeren
Entfernung. Zur Erreichung von Genauigkeiten im cm-Bereich werden daher Winkelmessinstrumente mit Messgenauigkeiten von < 10cc und Seitenmessinstrumente
mit Messgenauigkeiten von < 1cm eingesetzt. Die Winkel- bzw. Richtungsmessungen werden zur Minimierung von Instrumentenfehlern (siehe Kap.6.1.3) in zwei
Fernrohrlagen und zur Steigerung der Genauigkeit in mehreren Sätzen durchgeführt.
7.1.1
Polygonzug
Polygonzüge dienen hauptsächlich zur Verdichtung des Festpunktfeldes (z.B. in Österreich zur Verdichtung des Netzes 5. Ordnung, EP-Netz).
Der Polygonzug (siehe Abb.7.3) beginnt normalerweise auf einem Festpunkt (Punkt
A) und endet auch auf einem Festpunkt (Punkt E). Zur Bestimmung der dazwischen
Vermessung
2008
96
Vermessung
liegenden Neupunkte Pn müssen auf jeden Fall in jedem Polygonpunkt die Seiten
sn,n+1 gemessen und die in Zugsrichtung links liegenden Brechungswinkel βn mit
einem Theodolit oder einer Totalstation bestimmt werden.
ANMERKUNG: Eigentlich werden die Brechungswinkel im Polygonpunkt
nicht gemessen, sondern die Messgrößen sind die Richtung Rn−1 zum
Punkt Pn−1 (Rückmessung) und die Richtung Rn+1 zum Punkt Pn+1
(Vormessung). Der Brechungswinkel βn ist eine Berechungsgröße und
wird aus der Differenz Rn+1 − Rn−1 bestimmt.
Im Anfangs- und Endpunkt des Polygonzuges können auch Richtungen (Anschlussund Abschlussrichtungen) zu bekannten Fernzielen gemessen werden. Bei sehr langen Polygonzügen, bei Zügen mit kurzen Seiten und bei Zügen mit ungünstigen
Richtungsanschlüssen sind Zwischenvisuren in der Mitte des Zuges auf Fernziele
ratsam (Zwischenorientierung), um grobe Winkelverschwenkungen zu vermeiden.
Abbildung 7.3: Polygonzug (Beidseitig Angeschlossener Polygonzug)
Die Auswahl und Stabilisierung der Polygonpunkte richtet sich nach der jeweiligen
Aufgabenstellung, wobei die Seitenlängen v.a. vom vorhandenen Längenmessmittel,
dem Zweck der Messung und den topografischen Verhältnissen abhängen.
Polygonpunkte sollten so anlegt werden, dass von ihnen dann möglichst viele Einzelheiten aufgenommen werden können. Geschützte Standorte aussuchen: Der Punkt
soll möglichst lange unbeschädigt erhalten bleiben und das Messgerät soll sich sicher
aufstellen lassen. Auf gegenseitige Sichtverbindung achten - wenn möglich sollten
die Bodenpunkte sichtbar sein.
Vor der Messung müssen die Punkte dauerhaft stabilisiert werden: Meist werden
dazu Holzpflöcke, Gasrohre, Plastikmarken, Betonnägel oder Messmarken verwendet. Um die Punkte im Falle von Verwachsungen oder Verschüttungen später wieder
auffinden zu können, sollen Topografien angelegt werden.
Zur eindeutigen Festlegung von n Polygonpunkten sind 2 · n Bestimmungsstücke
notwendig. Je nach Umfang der gemessenen Größen werden u.a. folgende Fälle
unterschieden :
• Beidseitig Angeschlossener Polygonzug
2008/09
97
• Geschlossener Polygonzug
• Richtungsmässig weder an- noch abgeschlossener Polygonzug
• Fliegender Polygonzug
Beidseitig Angeschlossener Polygonzug
Gegeben:
• Anfangs- und Endpunkt: A (yA , xA ), E (yE , xE )
• Fernziele im Anfangs- und Endpunkt: B (yB , xB ), F (yF , xF )
Gemessen:
• Brechungswinkel im Anfangs- und Endpunkt: βA , βE
• Brechungswinkel in jedem Polygonpunkt: βn
• Seiten zwischen benachbarten Polygonpunkten: sn,n+1
• Koordinaten der n Polygonpunkte: Pn (yn , xn )
Beim Beidseitig Angeschlossenen Polygonzug werden (n + 2) Winkel und (n + 1)
Seiten gemessen, insgesamt (2n+3) Bestimmungsstücke. Daher müssen aufgrund der
drei überschüssigen Beobachtungen drei Bedingungen erfüllt (eine Winkelbedingung
und zwei Lagebedingungen) und der Polygonzug ausgeglichen werden.
Berechnung eines beidseitig angeschlossenen Polygonzuges
ANMERKUNG: Im Folgenden wird aus Übersichtsgründen bei den
Indizes für die Polygonpunkte auf den Buchstaben P verzichtet (z.B.
Bezeichnung s12 anstelle sP 1P 2 ).
Beim beidseitig angeschlossenen Polygonzug ergeben sich durch die überbestimmte Messung insgesamt drei Bedingungen:
• eine Winkelbedingung und
• zwei Lagebedingungen.
Die zweite Hauptaufgabe (Kap.3.1.2) für A und B bzw. E und F liefert νBA
und νEF (Sollwert).
Der Richtungswinkel νEF (Istwert) lässt sich aber auch aus dem Richtungswinkel νBA und einer fortlaufenden Aufsummierung der k beobachteten Brechungswinkel βi
νEF = νBA − k · 200g + [βi ]
mit
k =n+2
(7.1)
berechnen (n: Anzahl der Polygonpunkte ohne Anfangs- und Endpunkt, [..]:
Summe).
Theoretisch sollten beide Werte gleich sein (Winkelbedingung), praktisch ergibt sich zwischen dem durch Messung bestimmten Richtungswinkel νEF (Istwert) und dem aus gegebenen Koordinaten berechneten Richtungswinkel νEF
(Sollwert) ein Widerspruch fβ .
fβ = νEF (Soll) − νEF (Ist) = νEF (Soll) − νBA + k · 200g − [βi ]
Vermessung
(7.2)
2008
98
Vermessung
Der Widerspruch (Winkelfehler) fβ kann nunmehr auf alle beobachteten Brechungswinkel gleichmäßig aufgeteilt werden.
βAA = βA + vβ
wobei
vβ =
β1A = β1 + vβ .......
βEA = βE + vβ
(7.3)
fβ
k
Mit den verbesserten Brechungswinkeln βiA werden nun die ausgeglichenen
Richtungswinkel νi,i+1A berechnet (Richtungswinkel liegen immer zwischen 0g
und 400g ):
νA,P 1A = νBA − 200g + βAA
g
(7.4)
g
νP 1,P 2A = νBA − 2 · 200 + βAA + βP 1A = νA,P 1A − 200 + βP 1A
(7.5)
......
g
νE,FA = νE,F = νBA − k · 200 + [βiA ]
(7.6)
Dabei ist zu beachten, dass der letzte Richtungswinkel von E nach F mit dem
berechneten Sollwert νEF übereinstimmen muss.
Nun werden unter Zuhilfenahme der verbesserten Richtungswinkel und der
gemessenen Seiten die vorläufigen Koordinaten der Polygonpunkte berechnet
([..]: Summe):
y1 = yA + sA1 sinνA,1A
x1 = xA + sA1 cosνA,1A
y2 = y1 + s12 sinν1,2A = yA + sA1 sinνA,1A + s12 sinν1,2A
x2 = x1 + s12 cosν1,2A = xA + sA1 cosνA,1A + s12 cosν1,2A
......
yEV = yA + [s · sinν] = yA + [∆yV ]
xEV = xA + [s · cosν] = xA + [∆xV ]
(7.7)
Mit Hilfe der berechneten - vorläufigen - Koordinaten des Endpunktes
EV (yEV , xEV ) (Istwert) und den Koordinaten des gegebenen Punktes E(yE , xE )
(Sollwert) lassen sich nunmehr die beiden Lagebedingungen definieren:
fy = yE (Soll) − yEV (Ist) = (yE − yA ) − [s · sinν]
fx = xE (Soll) − xEV (Ist) = (xE − xA ) − [s · cosν]
(7.8)
Die dadurch entstehenden Koordinatenfehler fy und fx (Lagewidersprüche)
können aufgeteilt werden. Dabei gibt es zwei Möglichkeiten:
Aufteilung proportional zu den Seitenlängen:
Dieses Verfahren wird in der Regel bei gestreckten Zügen angewendet.
Mit
ky =
fy
[s]
bzw.
kx =
fx
[s]
werden die Koordinatendifferenzen folgendermaßen verbessert:
∆yi,i+1A = ∆yi,i+1V + si,i+1 · ky
∆xi,1+1A = ∆xi,i+1V + si,i+1 · kx
(7.9)
2008/09
99
Aufteilung proportional zu den Absolutwerten der Koordinatendifferenzen:
Dieses Verfahren sollte unbedingt bei Polygonzügen mit größerer Ausbiegung
angewendet werden. Es kann aber auch bei gestreckten Zügen Verwendung
finden.
Mit
ky =
fy
[|∆yV |]
bzw.
kx =
fx
[|∆xV |]
werden die Koordinatendifferenzen folgendermaßen verbessert:
∆yi,i+1A = ∆yi,i+1V + |∆yi,i+1V | · ky
∆xi,i+1A = ∆xi,i+1V + |∆xi,i+1V | · kx
(7.10)
Geschlossener Polygonzug
Gegeben:
• Anfangspunkt (ist gleich Endpunkt): A(yA , xA )
• Fernziel(im Anfangspunkt: B(yB , xB )
Gemessen:
• Brechungswinkel im Anfangs(=End)-Punkt: βA−F Z,1 , βA−n,F Z
• Anschlussrichtung RAB (ist gleich Abschlussrichtung RAB )
Die Berechnung des Geschlossenen Polygonzuges erfolgt gleich jener des Beidseitig
Angeschlossenen Polygonzuges. Da Maßstabsfehler bei dieser Art von Polygonzügen
nicht erkannt werden können, ist auf ein kalibriertes (geeichtes) Distanzmessgerät
zu achten.
In einem geschlossenen Polygonzug (bei insgesamt n Punkten) gelten die folgenden
Lagebedingungen:
fy = 0
fx = 0
(7.11)
bzw. Winkelbedingungen (bei Messung von Außen- bzw. Innenwinkeln):
fβ = (n + 2) · 200g − [βi ]
fβ = (n − 2) · 200g − [βi ]
Vermessung
(7.12)
2008
100
Vermessung
Richtungsmässig weder an- noch abgeschlossener Polygonzug
Gegeben:
• Anfangs- und Endpunkt: A (yA , xA ), E (yE , xE )
Gemessen:
Anfangs- und Endpunkt sind zwar koordinativ bekannt, der Zug kann aber durch
Fehlen der Anschluss- und Abschlussrichtung nicht orientiert werden. Es gibt in
diesem Fall nur eine Bedingung, nämlich eine Maßstabsbedingung. Die Berechnung
der Polygonpunkte erfolgt zuerst in einem lokalen System; anschließend werden alle
Punkte mit Hilfe der Ähnlichkeitstransformation (siehe Kap. 3.1.3) in das übergeordnete Koordinatensystem transformiert.
Fliegender Polygonzug
Gegeben:
• Anfangspunkt: A (yA , xA )
• Fernziel im Anfangspunkt: B (yB , xB )
Gemessen:
• Brechungswinkel im Anfangspunkt: βA
Gesucht(berechnet):
Nach Bestimmung der Orientierung (Kap.3.1.4) werden die Polygonpunkte nacheinander mit Hilfe der Ersten Hauptaufgabe berechnet (siehe Kap.3.1.2). Da es beim
fliegenden Polygonzug keine Kontrollmöglichkeiten gibt, muss man bei der Messung sehr sorgfältig vorgehen: Ein kalibriertes Längenmessmittel verwenden, den
Zug drei- bis viermal, evtl. in entgegengesetzter Richtung messen. Wenn möglich
sollten zur besseren Orientierung mehrere Anschlusspunkte einbezogen werden.
2008/09
101
Fehlergrenzen und Genauigkeitsangabe beim Polygonzug
Vom Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen sind für die Durchführung von
amtlichen Messungen folgende Winkel- und Lage-Fehlergrenzen für Polygonzüge
vorgegeben:
(7.13)
[s] + 0.06
(7.14)
k · (k + 1)
+ 0.06
12 · (k − 1)
(7.15)
∆fl = 0.00025 · [s] + 0.0075 ·
∆fq = [s] ·
1.7c
·
ρc
s
√
k + 1.7c
∆fβ = 1.7c ·
q
Während die Fehlergrenze für den maximalen Winkelfehler direkt mit dem aus
der Polygonzugsberechnung erhaltenen Winkelfehler (Formel 7.2) verglichen werden kann, müssen die berechneten Koordinatenfehler fy und fx (Formeln 7.8) zum
Vergleich mit den zuglängenabhängigen Lage-Fehlergrenzen erst in einen Längsfehler fl und einen Querfehler fq umgerechnet werden:
fl = −fy · sinνAE − fx · cosνAE
(7.16)
fq = −fy · cosνAE + fx · sinνAE
(7.17)
RECHENBEISPIEL für einen Beidseitig Angeschlossenen Polygonzug:
Ein Polygonzug wurde vom Punkt A bis zum Punkt E mit den Zwischenpunkten P 1 und P 2 gemessen. Vom Punkt A aus war das Fernziel B
sichtbar, vom Endpunkt E konnte der Festpunkt F angezielt werden:
•
•
•
•
A (−4 637.84 / 426 810.82) (Anfangspunkt)
E (−3 957.36 / 426 968.86) (Endpunkt)
B (−5 132.79 / 426 406.95) (Fernziel in A)
F (−3 634.07 / 426 991.65) (Fernziel in E)
Aus den gemessenen horizontalen Richtungen, Vertikalwinkeln und schrägen Seiten wurden die folgenden Brechungswinkel und die Horizontalseiten rechnerisch ermittelt:
•
•
•
•
βA = 220.3022 g
βP 1 = 213.2836 g
βP 2 = 206.2650 g
βE = 199.2464 g
• sA P 1 = 337.23 m
• sP 1 P 2 = 163.57 m
• sP 1 E = 204.25 m
Die Koordinaten der Punkte P 1 und P 2 sind koordinativ zu bestimmen.
Der Winkelfehler ist gleichmäßig auf alle Brechungswinkel, die Koordinatenfehler proportional zu den Seitenlängen aufzuteilen. Es ist abzuklären,
ob die erzielten Genauigkeiten unter den vom Bundesamt für Eich- und
Vermessungswesen angegebenen Fehlergrenzen liegen.
Vermessung
2008
102
Vermessung
ERGEBNIS:
• P 1 (−4 322.86 / 426 931.36)
• P 2 (−4 161.28 / 426 956.92)
• fβ = −0.0064g ≤ ∆fβ = 0.0512g
• fl = −0.06 m ≤ ∆fl = 0.44 m
• fq = 0.00 m ≤ ∆fq = 0.20 m
Zwischenergebnisse:
•
•
•
•
•
•
7.1.2
νBA = 56.4300g sBA = 638.82 m
νAE = 85.4717g sAE = 698.59 m
νEF = 95.5208g sEF = 324.09 m
fy = −0.06 m
fx = 0.01 m
Ausbiegung des Polygonzuges (= s[s]
) = 1.009
AE
Freie Stationierung
Darunter versteht man eine Methode zur Aufnahme von mehreren Punkten von
einem beliebigen - a priori koordinativ nicht bekannten - Standpunkt (Hilfspunkt)
aus. Während der Messung werden die Koordinaten des Standpunkts mitbestimmt
und damit eine Festpunktfeldverdichtung durchgeführt.
ANMERKUNG: Der Name Freie Stationierung wird in der Literatur auch als Sammelbegriff für alle jene Verfahren verwendet, welche die
Einmessung eines - a priori koordinativ unbekannten - Standpunkts erlauben. In diesem Fall würde auch der Rückwärtsschnitt (Kap.7.1.3, nur
Winkelmessung) bzw. die Trilateration (nur Seitenmessung) zu diesem
Verfahren zählen. Im gegenständlichen Fall beschreibt die Freie Stationierung die koordinative Bestimmung eines Standpunkts durch kombinierte
Winkel- und Seitenmessung. Dieses Verfahren wird manchmal auch als
Überbestimmte Exzenterberechnung bezeichnet.
Zur Bestimmung der Standpunktkoordinaten ist das Messen der Richtungen und
Seiten zu mindestens zwei koordinativ bekannten Festpunkten notwendig.
Abbildung 7.4: Freie Stationierung
2008/09
103
Gegenüber der Instrumentenaufstellung über einem koordinativ gegebenen Punkt
bringt eine Aufnahme in freier Stationierung einige Vorteile:
• Der freie Standpunkt kann so gewählt werden, dass zu Anschluss- und Aufnahmepunkten optimale Sichtverhältnisse bestehen
• Der Standpunkt kann in verkehrsfreie Bereiche verlegt werden, daher geringere Gefährdung von Instrument und Beobachter und keine Behinderung des
Straßenverkehrs
• Es wird eine bessere Nachbarschaftsgenauigkeit erreicht
Werden nach der für die Bestimmung der Standpunktkoordinaten notwendigen Messungen zu den Festpunkten auch gleich die Detailpunkte winkel- und seitenmäßig
eingemessen (siehe Kap.7.2), so kann die Berechnung der Detailpunkte vorerst im
lokalen System erfolgen. Anschließend können auch diese Punkte in das übergeordnete System anhand der berechneten Parameter transformiert werden.
Freie Stationierung mit zwei Festpunkten
Gegeben:
• Festpunkte: F P 1 (yF P 1 , xF P 1 ), F P 2 (yF P 2 , xF P 2 )
Gemessen bzw. bestimmt:
• Richtungen: RSF P 1 , RSF P 2 , RSPi
• horizontale bzw. horizontierte Seiten: sSF P 1 , sSF P 2 , sSPi
• Koordinaten des Standpunktes S (yS , xS ) sowie der Neupunkte Pi
Der Standpunkt wird als Ursprung eines lokalen Koordinatensystems η und ξ betrachtet, dessen ξ-Achse mit der Nullrichtung der beobachteten Richtungen identisch ist. Mit den gemessenen Polarkoordinaten nach F P 1 und F P 2 werden die
lokalen Koordinaten der Festpunkte F P 1 (ηF P 1 / ξF P 1 ) und F P 2 (ηF P 2 / ξF P 2 ) bestimmt. Da F P 1 und F P 2 idente Punkte der beiden Koordinatensysteme sind,
kann man die Transformationselemente für die Ähnlichkeitstransformation (siehe
Kap. 3.1.3) berechnen. Mit Hilfe der Transformationsparameter können anschließend die Koordinaten der Punkte S und P berechnet werden.
RECHENBEISPIEL für Freie Stationierung (zwei Festpunkte):
Von einem Punkt S wurden zu zwei Festpunkten F P1 und F P2 die horizontalen Richtungen RSF Pi gemessen. Die Horizontalseiten zu den Festpunkten wurden aus gemessenen Vertikalwinkeln und schrägen Seiten rechnerisch ermittelt:
•
•
•
•
Vermessung
F P 1 (12 547.83 / 378 731.73)
F P 2 (13 525.91 / 378 878.22)
RS F P 1 = 312.2521g ; horizontaleSeitesS F P 1 = 642.24 m
RS F P 2 = 14.4330g ; horizontaleSeitesS F P 2 = 730.41 m
2008
104
Vermessung
Die Koordinaten des Standpunktes S sind koordinativ zu bestimmen.
ERGEBNIS:
• S (13 046.57 / 378 327.10)
Zwischenergebnisse:
Punktkoordinaten im lokalen System:
• S (0.00 / 0.00)
• F P 1 (−630.38 / 122.84)
• F P 2 (164.18 / 711.72)
Transformationsparameter:
•
•
•
•
ε = 368.8604g
λ = 0.99999
∆y = 13 046.57 m
∆x = 378 327.10 m
Freie Stationierung mit mehr als zwei Festpunkten
Bei der Freien Stationierung mit mehr als zwei Festpunkten werden auf einem koordinativ nicht bekannten Gerätestandpunkt Richtungen und Seiten zu mehr als
zwei Festpunkten gemessen. Die Berechnung erfolgt wieder über eine Transformation. Da aber eine Überbestimmung vorliegt, wird eine überbestimmte Ähnlichkeitstransformation (Helmerttransformation, siehe Kap.3.1.3) angewendet.
7.1.3
Triangulierung (Rückwärtsschnitt)
Um einen Neupunkt S zu bestimmen, werden in diesem Punkt die Richtungen zu
drei koordinativ bekannten Festpunkten, die alle unbegehbar sein können (z.B.
Kirchtürme), gemessen bzw. die Winkel α (zwischen A und B) und β (zwischen
B und C) beobachtet.
Abbildung 7.5: Rückwärtsschnitt
Lange Zeit stand bei der Durchführung des Rückwärtsschnittes der geringen Feldarbeit ein erheblicher Rechenaufwand gegenüber. Deshalb entstanden eine Unzahl
von Lösungsvorschlägen, meist in Abhängigkeit vom jeweiligen Rechenhilfsmittel.
2008/09
105
Gegeben:
• Zielpunkte: F P 1 (yF P 1 , xF P 1 ), F P 2 (yF P 2 , xF P 2 ), F P 3 (yF P 3 , xF P 3 )
Gemessen:
• Richtungen: RSF P 1 , RSF P 2 , RSF P 3
• Koordinaten des Punktes: S (yS , xS )
Hier sind nur zwei Lösungen angeführt, wobei im Folgenden nur für die erste der
Berechnungsvorgang formelmäßig angegeben wird:
• Hilfswinkelverfahren, bei welchem die Berechnung über die Hilfswinkel ϕ und
ψ erfolgt sowie die
• Lösung nach Collins, bei welcher die Lösung auf Vorwärtsschnitte (siehe Kap.7.2.2)
unter der Ausnutzung von geometrischen Beziehungen rückgeführt wird.
Berechnung eines Rückwärtsschnittes mit dem Hilfswinkelverfahren
Berechnung von νF P 1F P 2 , νF P 2F P , sF P 1F P 2 , νF P 2F P 3 , νF P 3F P 2 und sF P 2F P 3 mit
der zweiten Hauptaufgabe (Kap.3.1.2).
γ = νF P 2F P 1 − νF P 2F P 3
(7.18)
ϕ + ψ = 400g − (α + β + γ)
(7.19)
sinϕ
sinψ
= sF P 2F P 3 ·
sinα
sinβ
sinϕ
sF P 2F P 3 · sinα
⇒
=
=m
sinψ
sF P 1F P 2 · sinβ
sF P 2S = sF P 1F P 2 ·
(7.20)
Addition und Subtraktion von 1 und anschließende Division ergibt
sinϕ + sinψ
m+1
=
sinϕ − sinψ
m−1
tan
ϕ−ψ
sin ϕ+ψ
2 · cos 2
cos ϕ+ψ
2
m−1
ϕ+ψ
ϕ−ψ
=
· tan
2
m+1
2
·
sin ϕ−ψ
2
⇒
ϕ−ψ
2
=
m+1
m−1
(7.21)
(7.22)
Aus Formel 7.19 und Formel 7.22 lassen sich die Winkel ϕ und ψ berechnen und
daraus die drei Richtungswinkel von den Festpunkten F Pi zum Neupunkt S ableiten:
νF P 1S = νF P 1F P 2 + ϕ
(7.23)
νF P 2S = νF P 1S + α = νF P 3S − β
(7.24)
νF P 3S = νF P 3F P 2 − ψ
(7.25)
Mit Hilfe des Sinussatzes (Formel 8.14) werden sF P 1S , sF P 2S und sF P 3S berechnet.
Vermessung
2008
106
Vermessung
Mit der zweiten Hauptaufgabe lassen sich mit den Richtungswinkeln νF P iS und den
Seiten sF P iS die Koordinaten des Punktes S (yS , xS ) (kontrolliert!!) bestimmen:
yS = yF P 1 + sF P 1S · sinνF P 1S = yF P 2 + sF P 2S · sinνF P 2S
= yF P 3 + sF P 3S · sinνF P 3S
(7.26)
xS = xF P 1 + sF P 1S · cosνF P 1S = xF P 2 + sF P 2S · cosνF P 2S =
= xF P 3 + sF P 3S · cosνF P 3S
(7.27)
Geometrisch ist der Neupunkt S der Schnittpunkt der beiden Kreise durch F P 1 und
F P 2 mit dem Peripheriewinkel α bzw. F P 2 und F P 3 mit dem Peripheriewinkel
β. Wenn nun diese beiden Kreise zusammen fallen, und damit alle vier Punkte auf
einem Kreis (Gefährlicher Kreis) liegen, wird die Lösung unbestimmt. Daher ist die
Konstellation der Fernziele bei deren Auswahl immer zu beachten.
Abbildung 7.6: Festpunktanordnung beim Rückwärtsschnitt: links ideale Schnitte, rechts - Schleifende
Schnitte (Gefährlicher Kreis)
RECHENBEISPIEL für Rückwärtsschnitt:
Von einem Punkt S wurden zu drei Festpunkten F P 1, F P 2 und F P 3 die
horizontalen Richtungen RS F P i gemessen:
•
•
•
•
•
•
F P 1 (1 619.78 / 310 872.96)
F P 2 (2 240.14 / 310 615.73)
F P 3 (2 345.12 / 309 856.06)
RS F P 1 = 17.2874g
RS F P 2 = 85.6656g
RS F P 3 = 148.4905g
Die Koordinaten des Standpunkts S sind koordinativ zu bestimmen.
ERGEBNIS:
• S (1 593.42 / 310 302.93)
Zwischenergebnisse:
Berechnete Richtungswinkel und Seiten zwischen Festpunkten:
• νF P 1 F P 2 = 125.0235g ;
sF P 1 F P 2 = 671.58 m
2008/09
• νF P 2 F P 3 = 191.2578g ;
107
sF P 2 F P 3 = 766.89 m
Berechnete Winkel:
•
•
•
•
γ = νF P 2 F P 1 − νF P 2 F P 3 = 133.7657g
α = RS F P 2 − RS F P 1 = 68.3782g
β = RS F P 3 − RS F P 3 = 62.8249g
∆x = 378 327.10 m
Berechnete Hilfswinkel:
• ϕ = 77.9182g
• ψ = 57.1130g
Mit Hilfe der berechneten Richtungswinkel und Seiten von dem jeweiligen
Festpunkt zum Neupunkt können die Koordinaten des Neupunktes kontrolliert berechnet werden:
• νF P 1 S = 202.9417g ;
• νF P 2 S = 271.3199g ;
• νF P 3 S = 334.1448g ;
7.2
sF P 1 S = 570.644 m
sF P 2 S = 718.369 m
sF P 3 S = 874.494 m
Detailaufnahme
Als Grundlage für die Detailaufnahme dienen Festpunkte, welche nach einem der
in Kap.7.1 angeführten Verfahren bestimmt wurden.
Abbildung 7.7: Detailaufnahme
Für alle Aufnahmeverfahren notwendig und wichtig ist das Anfertigen einer guten,
lagerichtigen - d.h. in den Relationen stimmenden - Feldskizze (siehe Kap.7.3).
Dabei sollte man die ÖNORM A 2250 (Allgemeine Zeichen für Vermessungspläne) bzw. die Vermessungsverordnung des BEV beachten. Aufgenommene Objekte
(Häuser, Brücken usw.) sollen durch sog. Sperrmaße (Seiten zwischen den aufgenommenen Punkten) kontrolliert werden.
Folgende, in der Vermessungspraxis am häufigsten angewandten Methoden werden
in diesem (oder wurden im vorangegangenen) Kapitel detaillierter betrachtet:
• Polaraufnahme (Kap.7.2.1)
Vermessung
2008
108
Vermessung
• Schnittverfahren (Kap.7.2.2)
• Orthogonalaufnahme (Kap.7.2.3) und
• Detailaufnahme mit GPS (Kap.6.4)
7.2.1
Polaraufnahme
Von einem Standpunkt S werden - in Bezug auf eine bekannte Anschlussrichtung
- die Detailpunkte Pi durch Messen der Richtungen und Seiten festgelegt. Für die
Richtungsmessung verwendet man Theodolite, die Seitenmessung kann mit Stahlband oder besser elektrooptisch erfolgen. Die Orientierung in das Festpunktfeld zu
koordinativ bekannten Punkten erfolgt normalerweise kontrolliert in zwei Fernrohrlagen, die Detailpunkte werden i.a. nur in einer Fernrohrlage (der linken) aufgenommen. Der Feldskizzenführer legt die aufzunehmenden Punkte fest und muss daher
mit dem Messgehilfen von Punkt zu Punkt gehen. Eine Kontrolle der Anschlussrichtung ist anzustreben, eine weitere Kontrollmöglichkeit ist - bei Standpunktwechsel
- durch die Aufnahme identer Punkte von beiden Standpunkten gegeben. Bei Verwendung elektronischer Tachymeter mit Registrierung lässt sich bis zur Auswertung
ein automatischer Datenfluss aufbauen.
Die Polarmethode ist das heute häufigst angewendete Aufnahmeverfahren.
Abbildung 7.8: Detailpunktverdichtung mit
Polaraufnahme
Gegeben:
• Standpunkt: S (yS , xS )
• Fernziel: F P 1 (yF P 1 , xF P 1 )
Gemessen:
• Anschlussrichtung: RS F P 1
• Richtungen: RS P i
• Zenitwinkel: zS P i
• Seiten: sSS P i (üblicherweise schräg gemessene Seiten)
• Detailpunkte: P i (yP i , xP i )
2008/09
109
Zur koordinativen Bestimmung der Punkte P i wird zuerst mit Hilfe von Fernzielen
(Festpunkten) die Orientierungsunbekannte (überbestimmt) ermittelt (Kap.3.1.4).
Damit und mit den gemessenen Richtungen RS P i werden die Richtungswinkel νS P i
abgeleitet. Die Horizontierung einer schräg gemessenen Seite ssS P i erfolgt mit Hilfe des Zenitwinkels zS P i (Formel 6.4). Mit der Ersten Hauptaufgabe (Kap.3.1.2)
werden aus Richtungswinkel νS P i und horizontalen Seiten sS P i die Koordinatendifferenzen und anschließend die Koordinaten der Punkte Pi berechnet.
Die Höhe der Punkte wird mit den Formeln der Trigonometrischen Höhenmessung
(Formel 6.15 bzw. 6.17) berechnet. Bei Mess-Entfernungen unter 100m können die
Korrekturen bzgl. Erdkrümmung und Refraktion vernachlässigt werden.
RECHENBEISPIEL für Polaraufnahme:
Von einem koordinativ bekannten Punkt S (210.48 / 344 984.32 / 262.18)
wurden zu zwei Festpunkten
• F P 1 (333.53 / 344 984.19)
• F P 2 (66.34 / 345 051.27)
sowie zu zwei koordinativ noch unbekannten Punkte P 1 und P 2 die folgenden Messungen durchgeführt:
•
•
•
•
RS F P 1 = 32.0290g
RS F P 2 = 259.6449g
RS P 1 = 117.5060g zS P 1 = 96.7140g ss, S P 1 = 85.14 m
RS P 2 = 399.0111g zS P 2 = 113.0412g ss, S P 2 = 18.62 m
Die Instrumentenhöhe Ih im Punkt S betrug 1.58 m, die Zielhöhe Zh im
Punkt P 1 2.00 m und im Punkt P 2 0.00 m.
Die Lage- und Höhenkoordinaten der Punkte P 1 und P 2 sind zu bestimmen.
ERGEBNIS:
• P 1 (229.62 / 344 901.47 / 266.15)
• P 2 (226.32 / 344 993.34 / 259.97)
Zwischenergebnisse:
Orientierungsbestimmung:
•
•
•
•
•
oF P 1 = 68.0383g
oF P 2 = 68.0372g
om = 68.0378g
mo = ±8 cc
mx = ±6 cc
Lagebestimmung:
• νS P 1 = 185.5438g sS P 1 = 85.03 m
• νS P 2 = 67.0489g sS P 2 = 18.23 m
Höhenbestimmung:
• ∆HS P 1 = 3.97 m
• ∆HS P 2 = −2.21 m
Vermessung
2008
110
Vermessung
7.2.2
Schnittverfahren
Bei Schnittverfahren werden die Detailpunkte von zwei oder mehreren Festpunkten
durch Messen von Winkeln bzw. Richtungen oder von Seiten bestimmt.
Im Fall der Winkel- oder Richtungsmessung wird für die Messaufgabe nur ein Theodolit benötigt. Dieses Verfahren wird als Vorwärtsschnitt oder auch als Vorwärtseinschneiden bezeichnet.
Beim Bogenschnitt werden von den Festpunkten nur die horizontalen Seiten zum
Neupunkt gemessen. Aufgrund der heutzutage nur mehr seltenen Anwendung dieses
Verfahrens wird es in der gegenständlichen Lehrveranstaltung nicht näher behandelt.
Vorwärtsschnitt
Um einen Neupunkt N zu bestimmen, misst man auf zwei Standpunkten A und B
(zwischen denen keine Sichtverbindung bestehen muss) jeweils den Winkel zwischen
einem Festpunkt (Anschlusspunkt) und dem Neupunkt (Abb.7.9).
Abbildung 7.9: Detailpunktaufnahme mit Vorwärtsschnitt
Gegeben:
• Standpunkte: A (yA , xA ) B (yB , xB )
im Fall von nicht bestehender Sichtverbindung zwischen A und B:
• Fernziele: F P 1 (yF P 1 , xF P 1 )
F P 2 (yF P 2 , xF P 2 )
Gemessen bzw. aus horizontalen Richtungen berechnet:
• Winkel: α und β
im Fall von nicht bestehender Sichtverbindung zwischen A und B:
• Winkel: α0 und β 0
• Neupunkt: P (yP , xP )
2008/09
111
Formeln zur Berechnung eines Vorwärtsschnittes mit bestehender Sichtverbindung zwischen den beiden Standpunkten
Zu aller Erst wird der Richtungswinkel νAB und die Seite sAB mit der zweiten
Hauptaufgabe (siehe Kap.3.1.2) berechnet.
Anschließend können die beiden Richtungswinkel von den Standpunkten zum Neupunkt P berechnet werden. Dabei hängt es davon ab, ob der Neupunkt P links oder
rechts von der Verbindungslinie AB der beiden Standpunkte liegt.
• Neupunkt P links von der Verbindungslinie:
νAP = νAB − α
g
νBP = νBA + β = νAB ± 200 + β
(7.28)
(7.29)
• Neupunkt P rechts von der Verbindungslinie:
νAP = νAB + α
g
νBP = νBA − β = νAB ± 200 − β
(7.30)
(7.31)
Nach Berechnung des Winkels γ
γ = 200g − (α + β)
(7.32)
lassen sich mit dem Sinussatz (Formel 8.14) die beiden Seiten von den Standpunkten
zum Neupunkt berechnen:
sAP = sAB ·
sinβ
sinγ
sBP = sAB ·
sinα
sinγ
(7.33)
Die Lösung der zweiten Hauptaufgabe für P aus A und B muss eine Übereinstimmung der doppelt ermittelten Koordinaten des Punktes P (yP , xP ) ergeben:
yP = yA + sAP · sinνAP = yB + sBP · sinνBP
(7.34)
xP = xA + sAP · cosνAP = xB + sBP · cosνBP
(7.35)
Formeln zur Berechnung eines Vorwärtsschnittes ohne bestehende Sichtverbindung zwischen den beiden Standpunkten
Zu aller Erst werden die Richtungswinkel νAB , νA F P 1 , νB F P 2 , sowie die Seite sAB
mit der zweiten Hauptaufgabe (siehe Kap.3.1.2) berechnet.
Danach werden die beiden Richtungswinkel von den Standpunkten zum Neupunkt
P berechnet, wobei in diesem Fall durch die Einbindung von Fernzielen die Eindeutigkeit der Lage des Neupunktes P gegeben ist.
νAP = νA F P 1 + α0
(7.36)
0
(7.37)
νBP = νB F P 2 + β
Vermessung
2008
112
Vermessung
Nach Berechnung der Winkel α, β und γ
α = |νAB − νAP |
(7.38)
β = |νBP − νBA |
(7.39)
g
γ = 200 − (α + β)
(7.40)
ist der weitere Rechengang analog zum oben angeführten Vorwärtsschnitt mit Sichtverbindungen.
2008/09
113
Genauigkeitsbetrachtung zum Vorwärtsschnitt
Die Genauigkeit des Vorwärtsschnittes hängt von der Genauigkeit der Richtungsmessungen mR und des Schnittwinkels γ der beiden Sichtstrahlen (von den Standorten A und B) im Neupunkt P ab und lässt sich mit folgender Formel abschätzen
(ρ ist Umwandlungsfaktor zwischen Winkelmaß und Bogenmaß, siehe Kap.2.2.2):
mP =
q
1
mR
· s2AP + s2BP ·
sinγ
ρ
(7.41)
Diese Formel gilt unter der Voraussetzung, dass die Koordinaten der Festpunkte
als fehlerfrei angenommen werden können und der mittlere Fehler für die beiden
gemessenen Richtungen gleich groß ist. Die größte Genauigkeit ergibt sich bei einem
Schnittwinkel von 100g . Unbestimmbar wird der Vorwärtsschnitt bei Schnittwinkeln
von 200g und 0g .
RECHENBEISPIEL für Vorwärtsschnitt (mit Sichtverbindung zwischen
den beiden Festpunkten):
In zwei koordinativ bekannten Punkten (Festpunkten) A und B
• A (−6 097.764 / 29 480.090)
• B (−6 144.244 / 29 273.829)
wurden jeweils die Winkel zwischen einem Neupunkt P und dem jeweils
anderen Festpunkt mit der angegebenen Genauigkeit bestimmt:
• Winkel im Punkt A: α = 76.9547g
• Winkel im Punkt B: β = 76.9547g
• RS F P 2 = 259.6449g
± 0.0022g
± 0.0022g
Die Lagekoordinaten des Punktes P ist zu bestimmen und der Punktlagefehler des Neupunktes ist abzuschätzen. Der Neupunkt P liegt links von
der Verbindungslinie AB.
ERGEBNIS:
• P (−5 938.274 / 29 374.766)
• mP = 0.012 m
Zwischenergebnisse:
•
•
•
•
•
•
•
Vermessung
γ = 66.1639g
νAB = 214.1103g
sAB = 211.433 m
sAP = 191.128 m
sBP = 229.372 m
νAP = 137.1556g
νBP = 70.9917g
2008
114
7.2.3
Vermessung
Orthogonalaufnahme
Die aufzunehmenden Detailpunkte werden auf eine Messungslinie (üblicherweise
Polygonseite) mit Hilfe eines Winkelspiegels oder eines Winkelprismas rechtwinkelig aufgemessen. Die Abszissen und Ordinaten werden mit einem Maßband
eingemessen und in der Feldskizze dokumentiert. Damit ist jeder aufgenommene
Punkt P i durch lokale rechtwinkelige Koordinaten ηP i und ξP i eindeutig festgelegt.
Da normalerweise die Koordinaten der Detailpunkte im übergeordneten System benötigt werden, ist anhand der beiden die Messungslinie definierenden Punkte eine
Koordinatentransformation durchzuführen. Dazu müssen diese beiden Punkte im
lokalen System (A (0.00 /0.00), B (sAB / 0.00)) als auch im übergeordneten System
bekannt sein.
Abbildung 7.10: Detailpunktaufnahme mit
Orthogonalaufnahme
Aufgrund der erzielbaren Genauigkeit der Rechtwinkelgeräte (± 5 − ± 7 c ) sollten
die Ordinaten zur Einmessung von Grenzsteinen und festen Objekten (üblicherweise
geforderte Punktlagegenauigkeiten von < ±7 cm) nicht länger als 25m bis 50m sein.
7.3
Dokumentation der Vermessungsarbeiten
Bei allen Vermessungsarbeiten sind alle durchgeführten Messungen (Beobachtungen) sorgfältig zu protokollieren. Darüber hinaus sind alle eingemessenen Punkte
grafisch auf einer Feldskizze zu dokumentieren, um eine nachträgliche Identifikation
der Messpunkte zu ermöglichen. Bei Durchführung einer Festpunktfeldverdichtung
ist auch die Anfertigung einer Punkttopografie (Punktkarte, siehe Kap.5.3.2) zweckmäßig.
ANMERKUNG: Protokolle und Feldskizzen werden üblicherweise der jeweiligen Vermessungsaufgabe angepasst und je nach Anforderungen individuell erstellt. Die folgenden Beschreibungen sollten nur einen Rahmen
für die Inhalte von Protokollen und Feldskizzen geben. Generell kann gesagt werden, dass eine gute Qualität der Dokumentation der Messarbeiten sich dadurch auszeichnet, dass im Felde angefertigten Protokolle und
Feldskizzen von an der Messung nicht beteiligten Personen für die Weiterverarbeitung (Berechnung, Kartierung, uam.) ohne Probleme und Rücksprache verwendet werden können.
2008/09
115
Protokollierung der Messungen
Das Messprotokoll ist ein Dokument, auf welchem jede der durchgeführten Messungen (Beobachtungen) schriftlich dokumentiert ist. Das Messprotokoll ermöglicht
dem Protokollführer aber auch eine erste Kontrolle: Neben einer Prüfung der Vollständigkeit von Messungen können bei geeigneter Messanordnung (überbestimmt)
Fehler von Beobachtungen sofort aufgedeckt werden. So lassen sich zum Beispiel bei
Ablesung von horizontalen Richtungen oder Vertikalwinkeln in zwei Fernrohrlagen
Ablesefehler oder Anzielfehler unmittelbar feststellen.
Vorgefertigte Formulare für die jeweiligen Messmethode erleichtern die Durchführung der Messungen und die Kontrollmöglichkeit.
Im Detail sollte ein Messprotokoll die folgenden Information enthalten:
• Kennzeichnung (Datum, Name des Schriftführers, Operat)
• Kennzeichnung des Instruments
• Standpunkte (Nr., Instrumentenhöhe)
• Zielpunkte (Nr., Zielhöhe, Anmerkung)
• Messungen
• Kontrollrechnungen
Abbildung 7.11: Beispiel für ein Messprotokoll (Polygonzug)
ANMERKUNG: Idealerweise sollten bei größeren Projekten die einzelnen
Blätter eines Protokolls durchnummeriert werden, um auch zu einem späteren Zeitpunkt die chronologische Nachvollziehbarkeit der Messungen zu
erleichtern.
Heutzutage werden die Messergebnisse digital aufgezeichnet. Das Format kann bei
vielen Messinstrumenten a priori vom Benutzer vorgegeben werden. Beim Einsatz
von Instrumenten, welche sofort Koordinaten der eingemessenen Punkte berechnen
können, sollten neben den Koordinaten auch die eigentlichen Beobachtungen (wie
Richtungen, Winkel, Seiten) mitgespeichert werden. Damit könnten eventuell Fehler bei der Messdurchführung (Punktverwechslung, Messfehler, uam.) nachträglich
gefunden und korrigiert werden.
Anfertigung einer Feldskizze
Vermessung
2008
116
Vermessung
Während einer Vermessung ist eine Feldskizze herzustellen. In dieser sind die Standpunkte und die einzumessenden Punkte ungefähr maßstäblich einzuzeichnen. Dabei
ist jeder kartierte Punkt auch mit einer Punktnummer zu versehen, welche mit
der jeweiligen Punktnummer im Mess-Protokoll übereinstimmen muss. Linien- und
flächenförmige Elemente, welche vermessungstechnisch normalerweise durch Einzelpunkte erfasst werden, sind als Linien bzw. Flächen in die Feldskizze einzuzeichnen.
Die diese Objekte beschreibenden Einzelpunkte sind selbstverständlich auch in der
Feldskizze zu dokumentieren.
ANMERKUNG: Die Auswahl der linien- bzw. flächenbeschreibenden Einzelpunkten hat so zu erfolgen, dass das jeweilige Element mit der jeweilig geforderten Lagegenauigkeit und Detailliertheit im Endprodukt (Plan,
Geografisches Informationssystem, uam.) dargestellt werden kann. So ist
z.B. für die Darstellung eines kreisbogenförmigen Linienelements die Einmessung von drei Punkten (Kreisbogen-Anfang, Kreisbogen-Mitte, Kreisbogen-Ende) erforderlich.
Abbildung 7.12: Beispiel einer Feldskizze
(Detailaufnahme)
Im Detail sollte eine Feldskizze die folgenden Information enthalten:
• Kennzeichnung (Datum, Name des Schriftführers, Operat)
• Instrumentenstandpunkte
• Anschlussrichtung(en)
• Nordpfeil
• maßstäbliche Skizze des Aufnahmegebietes mit Darstellung der eingemessenen
Punkte
– Lagebeschreibende Punkte (Straßen, Häuser, Wasserflächen, Bäume, Nutzungsarten uam.)
– Geländebeschreibende Punkte (Bruchkanten, wie Böschungen, Grate, Mulden, Gipfel uam.)
Für die Herstellung eines Höhenplans ist die Feldskizze von besonderer Bedeutung:
Formlinien des Geländes (wie Bruchkanten, Gratlinien, Muldenlinien), ausgewählte
2008/09
117
höhenbeschreibende Punkte (wie Gipfel) und zusätzliche, die Richtung des stärksten
Gefälles repräsentierende Punkte erleichtern die spätere Kartierung von Höhenlinien.
ANMERKUNG: Die Feldskizze sollte ebenso wie der in späterer Folge
herzustellende Plan die in der ‘Verordnung des Bundesministers für wirtschaftliche Angelegenheiten über Vermessungen und Pläne‘ festgelegten
Darstellungselemente enthalten [BGBl. Nr. 562/1994].
7.4
Kartierung
Zweck der Vermessung ist die zeichnerische Darstellung der Erdoberfläche in Plänen
oder Karten.
• Ein Plan ist eine geometrisch exakte, aber kartografisch einfach gestaltete
Kartierung in sehr großen Maßstäben
• Eine Karte ist eine maßstäblich verkleinerte, generalisierte und erläuterte
Grundrissdarstellung der Erdoberfläche.
Der Kartenmaßstab ist das lineare Verkleinerungsverhältnis der Karte gegenüber
der Natur. Bei einer Kartenseite sK und der ihr entsprechenden Naturseite sN
ergibt sich der Maßstab MK = ssK
. Für sK = 1 erhält man die übliche Form
N
der Maßstabsangabe MK = 1 : mK , wobei mK als Maßstabszahl bezeichnet wird.
Bei wachsender Maßstabszahl müssen zwangsläufig immer mehr Details wegfallen.
Maßstab und Zeichenträger wählt man nach dem Zweck der Aufnahme.
Anforderungen an das Material sind: Mechanische Festigkeit, Ebenheit, glatte Oberfläche sowie Maßhaltigkeit.
Neben der grafischen Darstellung sollte jeder Plan auch die folgende Information
enthalten:
• Titel bzw. Inhalt des Planes
• Planverfasser (Adresse)
• Bezugszahl (Geschäftszahl - GZ)
• Datum der Messung und der Planverfassung
• Maßstabsverhältnis
• Nordrichtung (Nordpfeil)
• ha-Netz (inkl. Koordinatenangabe und Information bzgl. Projektionssystem)
• Legende
ANMERKUNG: Das ha-Netz ist die grafische Darstellung von rasterförmig im Plan kartierten Punkten (ha-Marken). Die häufig durch ein
Kreuzsymbol dargestellten Punkte weisen normalerweise runde Koordinaten auf und sollen - je nach Planmaßstab - im Plan eine Rasterweite
von ca. 10 cm bilden. Die Bezeichnung ha-Netz stammt daher, dass eine
Rastermasche von 10 · 10cm2 in einem Planmaßstab von 1 : 1 000 eine
Fläche von 1 ha in der Natur repräsentiert.
Vermessung
2008
118
Vermessung
Mit Hilfe von ha-Marken kann eine etwaiger Deformation des Zeichenträgers (z.B.Papiereingang) nachträglich berücksichtigt und eliminiert werden.
Dem Plan kann auch ein Koordinatenverzeichnis beigegeben werden.
Die Kartiergenauigkeit beträgt ±0, 05mm bis ±0, 1mm.
Zum Kartieren von wenigen Punkten genügen einfache Hilfsmittel: Lineale, Winkelmesser, Zirkel uäm.
Für größere Aufnahmen verwendet man interaktive grafische Kartiersysteme (CADSysteme), welche die digital auf einer Totalstation aufgezeichneten Daten automatisch oder semiautomatisch berechnen und kartieren können.
7.5
Absteckung von Punkten
Absteckung heißt Übertragung von Punkten oder Linien eines vorgegebenen Projektes in die Natur. Die Anzahl und Lage der abzusteckenden Punkte muss so gewählt
werden, dass die Geometrie der Objekte (Grundstücksgrenzen, Bauwerke, Straßen
etc.) möglichst naturgetreu erhalten bleibt.
Dazu werden genügend idente Punkte im Plan und in der Örtlichkeit benötigt, von
denen aus die Absteckungen vorgenommen werden können. Alle Arbeiten müssen,
da oft nur durch eine einmalige Messung abgesteckt wird, in geeigneter Weise kontrolliert werden.
Grundsätzlich sind die Verfahren der Absteckung die gleichen wie bei der Aufnahme, nämlich v.a. Polar-, Orthogonal- und Winkelschnittverfahren. Zur Absteckung
eines Punktes müssen von einem Ausgangspunkt Richtungen (meist in bezug auf ein
Fernziel) und Entfernungen in die Natur übertragen werden. Dabei ist zu beachten,
dass sämtliche Seiten entweder horizontal abgetragen werden oder, bei notwendiger
Aufmessung der Schrägentfernungen, die erforderlichen Korrekturen (wegen Projektionsverzerrung, Seehöhen- und Horizontalreduktion) anzubringen sind.
Am einfachsten sind Absteckungen jetzt mit den modernen elektrooptischen Distanzmessgeräten auszuführen.
Abstecken von Punkten mit Hilfe von Polarkoordinaten
Zunächst berechnet man aus den Planungsunterlagen die Absteckdaten (Richtungswinkel und horizontale Entfernungen von einem Festpunkt zu den abzusteckenden
Punkten) sowie den Richtungswinkel zu mindestens einem vom Festpunkt sichtbaren Fernziel. Nach Aufstellen des Theodolits im entsprechenden Festpunkt und
Orientierung der Horizontalkreises des Theodolits (Totalstation) mit Hilfe des zum
Festpunkt berechneten Richtungswinkel (Kontrolle der Orientierung mit Hilfe weiterer Festpunkte ratsam) werden die errechneten Richtungswinkel zu den abzusteckenden Punkte am Instrument (Theodolit oder Totalstation) eingestellt und die
berechneten Entfernungen abgetragen.
Abstecken von Punkten mit Hilfe von Orthogonalkoordinaten
2008/09
119
Vom Festpunkt aus wird zuerst in Richtung der Messungslinie (z.B. Polygonseite)
der Scheitel des rechten Winkels abgesteckt. In diesem Punkt bestimmt man mittels eines Winkelspiegels oder -prismas die Ordinatenrichtung und überträgt den
berechneten Ordinatenwert in die Natur.
Vermessung
2008
Kapitel 8
ANHANG: Trigonometrische
Grundlagen
Die trigonometrischen Grundlagen sind das ’Kleine Einmaleins’ der Geodäsie. Üblicherweise werden diese Grundlagen in den Allgemein Bildenden Höheren Schulen
sowie in den meisten der Berufsbildenden Höheren Schulen behandelt und werden
daher für diese Lehrveranstaltung vorausgesetzt. Zur Festigung werden die grundlegenden Formeln hier nochmals angeführt.
Für die in Kap.7 erwähnten Verfahren (für ein Vermessungsgebiet von 10 · 10km2 )
mit den Formeln der Ebenen Trigonometrie das Auslangen finden, wird auf
die in der Erdmessung und in der Landesvermessung notwendigen Formeln der
Sphärischen oder Ellipsoidischen Trigonometrie verzichtet.
8.1
Trigonometrische Funktionen im Rechtwinkeligen Dreieck
Abbildung 8.1: Rechtwinkeliges Dreieck
Die trigonometrischen Funktionen
Gegenkathete
a
=
Hypothenuse
c
Ankathete
b
cos α =
=
Hypothenuse
c
sin α =
a
(8.1)
(8.2)
b
Vermessung
Gegenkathete
a
sin α
= =
Ankathete
b
cos α
Ankathete
b
cos α
cot α =
= =
Gegenkathete
a
sin α
tan α =
(8.3)
(8.4)
Komplementsätze, da β = (100g − α) = (90o − α)
sin (100g − α) = sin (90o − α) = cos α
(8.5)
g
o
(8.6)
g
o
(8.7)
g
o
(8.8)
cos (100 − α) = cos (90 − α) = sin α
tan (100 − α) = tan (90 − α) = cot α
cot (100 − α) = cot (90 − α) = tan α
Durch Bildung der Quadrate
sin2 α =
a2
c2
und
cos2 α =
b2
c2
(8.9)
folgt
sin2 α + cos2 α =
a2 + b2
c2
(8.10)
Da nach Pythagoras
a2 + b2 = c2
(8.11)
ist, wird also
sin2 α + cos2 α = 1
8.2
(8.12)
Trigonometrische Funktionen im schiefwinkeligen Dreieck
Abbildung 8.2: Schiefwinkeliges Dreieck
2008/09
KAPITEL 8. ANHANG: TRIGONOMETRISCHE GRUNDLAGEN
c
Winkelsumme eines Dreiecks
α + β + γ = 200g = 180o
(8.13)
Sinussatz
a
b
c
=
=
sin α
sin β
sin γ
oder
a : b : c = sin α : sin β : sin γ
(8.14)
Kosinussatz
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos α
b2 = c2 + a2 − 2 · c · a · cos β
c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos γ
Vermessung
−a2 + b2 + c2
2·b·c
a2 − b2 + c2
cos β =
2·c·a
a2 + b2 − c2
cos γ =
2·a·b
cos α =
oder
(8.15)
(8.16)
(8.17)
2008
Kapitel 9
Referenzen und vertiefende Literatur
Bauer M. Vermessung und Ortung mit Satelliten. Herbert Wichmann Verlag Heidelberg. ISBN 3-87907-309-0. 1997.
Baumann E. Vermessungskunde - Band 1 - Einfache Lagemessung und Nivellement. Dümmler Verlag - Bonn. ISBN 3-427-79044-4. 1995.
Baumann E. Vermessungskunde - Band 2 - Punktbestimmung nach Lage und Höhe. Dümmler Verlag - Bonn. ISBN 3-427-79055-X. 1994.
BGBl. Nr. 1/1930 und Novellen Bundes-Verfassungsgesetz.
BGBl. Nr. 3/1930 und Novellen Liegenschafts-Teilungsgesetz.
BGBL. Nr.306/1968 und Novellen Vermessungsgesetz.
Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen 75 Jahre Bundesamt für Eichund Vermessungswesen (BEV). Eigenverlag des BEV - Wien. 1999.
Dale P., McLaughlin J. Land Administration. Oxford University Press - Oxford.
ISBN 0-19-823390-6. 1999.
Gruber F.J. Formelsammlung für das Vermessungswesen. Dümmler Verlag - Bonn.
ISBN 3-427-7908-7-8. 1995.
Hofmann-Wellenhof B., Kienast G., Lichtenegger H. GPS in der Praxis. Springer Verlag - Wien/New York. ISBN 3-211-82609-2. 2000.
Hofmann-Wellenhof B., Lichtenegger H., Wasle E. GNSS Global Navigation
Satellite Systems. Springer Verlag - Wien/New York. ISBN 978-3-211-73012-6.
2008.
Kahmen H. Angewandte Geodäsie - Vermessungskunde. 20., völlig neu bearbeitete Auflage. Walter de Gruyter und Co. Berlin. ISBN 3-11-018464-8. 2006.
Lego K. Geschichte des Österreichischen Grundkatasters. Eigenverlag des BEV Wien. 1967.
Lehr R., Prasuhn K.B. Vermessungstechnik im Garten- und Landschaftsbau. Verlag Paul Parey - Berlin/Hamburg. ISBN 3-489-55522-8. 1990.
Maling D.H. Coordinate Systems and Map Projections. 2nd Edition. Pergamon
Press - Oxford/New York/Seoul/Tokyo. ISBN 0-08-037234-1. 1992.
Osterloh H. Vermessungstechnik für Garten-, Landschaftsbau und Forstwesen. Bauverlag GmbH. - Wiesbaden und Berlin. ISBN 3-7625-2693-1. 1988.
d
KAPITEL 9. REFERENZEN UND VERTIEFENDE LITERATUR
e
Pethran G. Taschenbuch Vermessung - Grundlagen der Vermessungstechnik. Cornelsen Verlag - Berlin. ISBN 3-464-43305-6. 4.Auflage. 2000.
Resnik B., Bill R. Vermessungskunde für den Planungs-, Bau- und Umweltbereich. Herbert Wichmann Verlag - Heidelberg. ISBN 3-87907-355-4. 2000.
Wolf P.R., Ghilani Ch.D. Elementary Surveying - An Introduction to Geomatics. 10th Edition. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey. ISBN 0321-01461-8. 2002.
Vermessung
2008
Index
Abbildung
Bundesmeldenetz, 43, 55
Gauß-Krüger, 41, 55–57
Lambert, 43, 56
Soldner-Cassini, 40
UTM, 44
Abbildung der Erdoberfläche, 39
Abbildungen, 33
Alhidade, 64
Altgrad, 8
Amtliche Daten
Amap, 57
Digitale Katastralmappe, 50
Digitales Geländemodell, 58
Digitales Landschaftsmodell, 58
Festpunkte, 52
Grundbuch, 49
Grundstücksdatenbank, 54
Kataster, 49
Amtliche Fehlergrenzen
Polygonzug, 101
Satzschlussfehler, 62
Amtliche Karten
ÖK200, 56
ÖK25V, 56
ÖK50, 55
ÖK500, 56
AMap, 57
Luftbildkarte, 57
Orthofoto, 57
Umstellung auf UTM-System, 56
Amtliche Kartenwerke , 55
Amtliche Vermessung, 4, 45
Ausgleichung
Bedingte Beobachtungen, 30
Direkte Beobachtungen, 30, 31
Vermittelnde Beobachtungen, 30
Ausgleichungsrechnung, 23
Austrian Map (Amap), 57
Bezugsfläche, 33
Bezugsfläche
Mathematisch-Geometrische, 33
Physikalisch-Dynamische, 35
Bezugssystem
Global, 38
Lokal, 37
MGI, 38
WGS84, 38
Bogenmaß, 8
Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen,
2, 8
Bundesamt für Eich- und Vermessungswesen (BEV),
47
Detailaufnahme, 107
Detailaufnahme
Bogenschnitt, 110
Orthogonalaufnahme, 114
Polaraufnahme, 108
Schnittverfahren, 110
Vorwärtsschnitt, 110, 111
Detailvermessung, 1, 3
Digitale Katastralmappe, 50
Dreifuß, 70
Ebene Ähnlichkeitstransformation, 17
Elektronischer Tachymeter, 73
Erdfigur
Ebene, 33
Kugel, 34
Rotationsellipsoid, 35
Erdfigur/Geoid, 35
Erdkrümmung, 77
Erdmessung, 1, 49
Fehler, 25
Fehler
Durchschnittlicher, 26
Grober, 25
f
Mittlerer, 26
Scheinbarer, 23
Systematischer, 25
Wahrer, 23
Wahrscheinlicher, 26
Zufälliger, 25
Fehlerfortpflanzung, 27
Fehlergrenze, 26
Fehlermaß
mittlerer Kilometerfehler, 77
Fehlermaße, 25
Feldskizze, 115
Fernrohrlage, 66
Fernziel, 93
Festpunkfeld
Punktübersichten, 53
Festpunkte, 54
Festpunkte
Stabilisierung, 96
Vermarkung, 96
Festpunktfeld, 2, 52
Festpunktfeld
Höhe, 2
Lage, 2
Punktkarten, 53
Signalisierung, 52
Stabilisierung, 52
Festpunktverdichtung, 95
Festpunktverdichtung
Freie Stationierung, 102
Polygonzug, 95
Rückwärtsschnitt, 104
Triangulierung, 104
Flächenbestimmung, 87
Flächenbestimmung
Geometrische Figuren, 87
Koordinaten, 88
Polarplanimeter, 89
Flächenmaß, 10
Freie Stationierung
Mehrere Festpunkte, 104
Zwei Festpunkte, 103
Gauß’sche Glockenkurve, 25
Gebietskörperschaft, 45
Gefährlicher Kreis, 106
Geländemodell, 58
Genauigkeit
Vermessung
g
Geometrisches Nivellement, 77
GPS, 84
Kartierung, 118
Orthogonalaufnahme, 114
Polygonzug, 101
Trigonometrische Höhenmessung, 79
Vorwärtsschnitt, 113
Genauigkeitsmaße, 25
Geodäsie, 1
Geodäsie
Höhere, 1
Niedere, 1
Geodätisches Bezugssystem, 37
GNSS, 80
GPS, 80
GPS
Beobachtungsverfahren, 82
Codemessung, 82
Genauigkeit, 84
Komponenten, 81
Messprinzip, 82
Messverfahren, 83
Phasenmessung, 83
Grenzpunkte, 54
Grundbuch, 46
Grundbuch
Eingetragene Rechte, 46
Einlage, 46
Einlagezahl, 46
Ersichtlichmachungen, 46
Grundbuchsgericht, 47
Grundstück, 46
Grundstücksdatenbank, 47, 54
Grundstücksnummer, 46
Höhenbezugssystem
Amsterdamer Pegel, 56
Amsterdamer Pegel , 38
Molo Sartorio/Triest, 38, 55
Wiener Null, 38
Höhenkorrektur
Erdkrümmung, 77
Refraktion, 78
Höhenmessung, 1, 74
Höhenmessung
Genauigkeit, 79
Geometrisch, 74
Trigonometrisch, 77
2008
h
Höhenwinkel, 62
ha-Marken, 117
ha-Netz, 117
Hauptaufgabe
Erste Hauptaufgabe, 13
Zweite Hauptaufgabe, 14
Helmerttransformation, 18
Historische Flächenmaße
Joch, 10
Quadratfuß, 10
Quadratklafter, 10
Quadratzoll, 10
Historische Längenmaße
Wiener Fuß, 9
Wiener Klafter, 9
Wiener Zoll, 9
Indexfehler, 63
Instrumentenhöhe, 71
Karteninhalt, 117
Kartenmaßstab, 117
Kartiermaterial, 117
Kartierung, 117
Kataster, 46
Kataster
Ersichtlichmachung, 49
Grenzkataster, 49, 50
Grundsteuerkataster, 49
Katastervermessung, 3, 49
Katastralgemeinde, 46
Katastralmappe, 50
Katastralmappe
Digitale, 51
Mappenblatt, 51
Katastralmappenblatt
Historisch, 10
Koordinaten
Ellipsoidische, 37
Geografische, 37
Kartesische, 36
Polarkoordinaten, 13
Rechtwinkelige Koordinaten, 13
Koordinatensysteme, 4, 36
Koordinatensysteme
Dreidimensional geodätische, 36
Koordinatentransformation, 16
Koordinatentransformation
Vermessung
Ebene, 16
Helmerttransformation, 18
Längenmaß, 9
Lagemessung, 1
Landesaufnahme, 49
Landesaufnahme
Franzisko-Josephinische, 48
Franziszeische, 48
Josephinische, 48
Präzisionsaufnahme, 48
Landeskoordinatensystem, 12, 16
Landeskoordinatensystem
Gauß-Krüger-System, 12
Landesvermessung, 1, 2
Landschaftsmodell, 58
Laserlot, 70
Laserscanner, 85
Libelle
Angabe, 67
Dosenlibelle, 66
Koinzidenzlibelle, 67
Röhrenlibelle, 67
Limbus, 64
Maßbandmessung, 72
Maßeinheiten, 7
Maßstabsverhältnis, 10
Mailänder Kataster, 47
Massenbestimmung, 90
Massenbestimmung
DGM, 90
Geometrische Figuren, 90
Höhenlinien, 92
Querprofile, 91
Messdokumentation, 114
Messgröße, 7
Messgröße
Richtige Wert, 7
Wahrer Wert, 7
Messprotokoll, 115
Messung, 6
Messung
Methode, 6
Verfahren, 6
Methode der kleinsten Quadrate, 30
Neugrad, 8
2008/09
Nivellierinstrument, 75
Nivellierlatte, 75
Normalverteilung, 24
Optisches Lot, 70
Orientierte Richtung, 20
Orientierung, 19, 20
Planinhalt, 117
Polygonzug
Beidseitig angeschlossener, 97
Brechungswinkel, 96
Fälle, 96
Fliegender, 100
Genauigkeitsangabe, 101
Geschlossener, 99
Lagebedingung, 98
Punktauswahl, 96
Richtungsmäßig weder an- noch abgeschlossener, 100
Winkelbedingung, 97
Projektionssysteme, 39
Projektionssysteme
Annäherung der Erdfigur, 40
Konstruktionsmethode, 39
Lage der Projektionsfläche, 40
Projektionsflächen, 39
Treueeigenschaften, 39
Punktabsteckung, 118
Reflektor, 73
Refraktion, 78
Richtungswinkel, 13
Schrägseite, 72
Seitenmessung
Elektrooptisch, 72
Maßband, 72
Reduktionen, 73
Stativ, 70
Theodolit, 1, 64
Theodolit
Ableseeinrichtung, 67
Aufbau, 64
Fehler, 68
Fernrohr, 65
Fernrohrlage, 66
Kippachse, 64
Vermessung
i
Libellen, 66
Messgerechte Aufstellung, 70
Parallaxfreie Zieleinstellung, 65
Stehachse, 64
Theodolitfehler
Exzentrizitätsfehler, 69
Indexfehler, 63, 69
Kippachsenfehler, 69
Kreisteilungsfehler, 69
Stehachsenfehler, 69
Zielachsenfehler, 69
Topografie, 96, 114
Totalstation, 73
Triangulierungsnetz, 52
Vermessung
Grundregeln, 3
Vermessungsamt, 47
Vermessungsbefugte, 47
Vermessungsgesetz, 48, 49
Vertikalwinkel, 62
Vertrauensbereich, 26
Vertrauensbereiche, 25
Vorwärtsschnitt
Genauigkeit, 113
mit Richtungen, 112
mit Winkeln, 111
Winkelmaß, 8
Winkelmessung
Amtliche Fehlergrenzen, 62
Einfache, 59
Halbsatz, 61
horizontale Richtungen, 59
Horizontalwinkel, 59
Satz, 61
Satzschlussfehler, 62
Satzweise Richtungsbeobachtung, 61
Vertikalwinkel, 62
Zenitwinkel, 62
2008

vermessung - Department für Raum, Landschaft und Infrastruktur

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