Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona

Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
Von
GEORG WIDMER, Zürich
Inhaltsverzeichnis
I. Integralgleichungen für die Elektronendichte der Korona 1. Problemstellung 2. Voraussetzungen und physikalische Grundlagen 3. Differentialformeln 4. Integralformeln 5. Berechnung der Kernfunktionen 6. Integralgleichungen H. Analytische Lösung der Integralgleichungen 1. Anwendung von VoLTERRAschen Operatoren 2. Darstellung als Differentialgleichung 3. Lösung der Differentialgleichung 4. Diskussion der Lösungen IH. Numerische Behandlung 1. Auswahl der Methode 2. Umwandlung der analytischen Formeln
3. Numerische Berechnung der Elektronendichte 4. Numerische Berechnung des Polarisationsgrades 5. Analytische Kontrolle der numerischen Rechnung 6. ALGOL-Programm und Organisation der Rechnung IV. Ausgeführte Berechnungen 1. Kontrollrechnungen 2. Berechnungen an der Korona von 1954 3. Diskussion der Resultate 106
106
106
107
108
108
110
111
111
112
113
114
115
115
115
117
118
119
120
124
124
128
137
Abstract
A new method is developed for the determination of electron density distributions in a rotationally
symmetric solar corona. Under this assumption, taking into consideration anisotropic scattering
and limb darkening, the integral equations are derived for each heliographic latitude and for different
cases of polarisation. The equations themselfs just as their analytically feasible inverse transformations
are of the VOLTERRA-type. Computations of densities are worked out using the explicit formula
by numerical integrations over brightness distributions on different cuttings perpendicular to the
solar axis. An ALGOL program has been written to be used by a computer, which allows future
calculations for any distribution of measured points and for each case of polarisation. Density
distributions are given for the minimum corona of 1954 and represented in an isoelectron density map.
106
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich
1963
I. Integralgleichungen für die Elektronendichte der Korona
1. Problemstellung
Die Berechnung der räumlichen Dichteverteilung in der Sonnenkorona beruht
auf der Auswertung ihrer nach aussen abfallenden Helligkeit, welche zusammengesetzt ist aus dem ursprünglich von der Sonne herkommenden Streulicht aller in
cinem Sehstrahl liegenden Elektronen. Die beobachtbare Grösse stellt somit an jedem
Punkt ein Integral dar, in dessen Integranden die unbekannte Funktion vorkommt
in Verbindung mit einer Streufunktion. Ihr zweidimension al er Verlauf liefert daher
in Form einer Integralgleichung die Information über die gesuchte dreidimensionale
Dichteverteilung, sofern man für diese eine geeignete Symmetrieannahme trifft.
In Erweiterung der auf Kugelsymmetrie beruhenden Arbeiten von SCHWARZSCHILD
[1], MINNAERT [2], BAUMBACH [3] und V. D. HULST [4] soll das Problem hier rotationssymmetrisch auf verschiedenen heliogr. Breiten behandelt und dabei für jeden
Polarisationsfall explizit gelöst werden unter Berücksichtigung anisotroper Streuung
an den Elektronen.
2. Voraussetzungen und physikalische Grundlagen
Wir treffen folgende Voraussetzungen:
1. Als einzige Streuzentren in der Korona sind nur freie Elektronen vorhanden
(K-Korona) mit einer bezüglich der Sonnenachse rotationssymmetrischen Dichteverteilung.
2. Die sekundäre Streuung wird vernachlässigt.
3. Die Entfernung Korona-Beobachter wird als sehr gross angenommen im Vergleich
zur Ausdehnung der Korona.
4. Die Beobachtungsrichtung steht senkrecht zur Sonnenachse.
5. Elektronendichte und Helligkeit verschwinden an einem genügend grossen
Abstand 1, welcher als die obere Grenze der Korona betrachtet wird.
Mit 1 und 3 kann für die Streuung von Licht an einem Elektron die Theorie des
Hertzschen Oszillators in der Wellenzone verwendet werden (Thompsonstreuung).
Nach Fig. 1 wlrd die von einem Oberflächenelement dF in A von der Sonne ausgehende Strahlung am Ort Q von einem Elektron auf dicse Art gestreut und gelangt
dann auf ein Flächenelement dF' am Beobachtungsort P'.
Die nur vom Winkel a gegen die Normale abhängige Intensität der Sonnenoberfläche hat die Form
I (a) = Iof (a) =
I0 (a+b cos a),
(1)
wobei Io die Intensität in Richtung der Normalen bedeutet und f(a) die Randverdunklung beschreibt [5]. Sie wird in die beiden senkrecht und parallel zur Ebene
AQ P schwingenden Anteile
Ii=12= 2 I (a)
(2)
Jahrgang 108 G.
WIDMER. Bestimmung
der Elektronendichte der Sonnenkorona 107
zerlegt. Die Thompsonstreuung an einem Elektron liefert dann für die beiden .am
Ort P auf dF' fallenden Leistungen
dLl = 2Jof(a)adwdw', dL 2 = 2Jof (a) adcodw'cos26
(3)
e2 2
mit dem Streukoeffizienten
a =
m C2
und den Raumwinkelelementen dw bzw. dw', welche zu Einfalls- und Streurichtung
gehören, die ihrerseits den Winkel einschliessen.
Fig. l. Zur Ableitung der Glelchungen in Kap. I.
3. Differentialformeln
Zur Erfassung der variablen Dichteverteilung der Elektronen errichten wir über
dF' längs der Beobachtungsrichtung y eine zylindrische Säule (Sehstrahl), welche
alle Elektronen enthält, die durch Streuung einen Beitrag an das Flächenelement dF'
liefern. Sie wird in die Volumenelemente dF' dy eingeteilt mit je NdF' dy Elektronen,
wenn N(y) die längs des Sehstrahles y variable Elektronendichte bedeutet. Die
beiden linear polarisierten Anteile der Streustrahlung aus einem Volumenelement
ergeben somit in P':
dLl = z Io f ( cc)adw du/ N(y)dF'dy,
(4)
dL2 = Z 'of (a)oa du) dw'cos2iN(y)dF'dy.
Wegen Voraussetzung 3 kann für verschiedene Orte Q innerhalb der Korona der
Abstand QP' als konstant betrachtet und gleich dem Abstand SonnenzentrumBeobachter gesetzt werden, was auch für die dazugehörigen Raumwinkelelemente
gilt. Die vom Zentrum der Sonnenscheibe direkt eingestrahlte Leistung beträgt dann
d Lo= lodw'dF'.
(5)
108
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich
1963
Mit der auf das Zentrum bezogenen relativen Intensität 1= LILo, welche in Zukunft
immer verwendet wird, erhalten wir die Differentialformeln:
d Ji = z .f (a) cr N (y) dw dy ,
dJ2 = z.f (a)0-N(y)cos2.19'du,dy.
(6)
4. Integralformeln
Für die weitere Behandlung benützen wir entsprechend Vor. 3 und 4 ein rechtwinkliges Koordinatensystem xyz mit z als Sonnenachse und einer in die xz-Ebene
projizierten Koronaaufnahme. Die mit der nachfolgenden Integration verbundene
Lageänderung der Ebene AQ P bewirkt eine Änderung der Schwingungsrichtungen
von dJi und dJ2. Aus diesem Grunde werden die bezüglich der Sonnenscheibe
radiale und die dazugehörige tangentiale Richtung als feste Bezugsrichtungen r und t
in P gewählt. Die Projektionen von dJi und dJ2 auf letztere ergeben mit ν als dem
Winkel zwischen den Ebenen OQP und A Q P
dJc = dJi cos2 ν+dJ2 sin2 ν, dJ,. = dJlsin2ν+dJ2cos2ν,
(7)
wenn berücksichtigt wird, dass die Projektion der Intensität quadratisch durchzuführen ist. Unter Verwendung von (6) erhält man
dJc = z f (a)oN(y)(cos2 ν+sin2vcos2,5)dwdy,
dJ,.= z f (a) a N (y)(sin2 ν +cos2 νcos2 dwdy.
(7a)
Für den festen Punkt Q ist vorerst die Integration über alle Raumwinkelelemente dw
auszuführen, die innerhalb eines die Sonne einschliessenden Kegels mit dem Raumwinkel Q liegen:
12 (xyz)
f d Jc = 2 uN(y)[ f f (a)(cos2ν+sin2νcos29)dw]dy,
w
0
(8)
S2 (xyz)
f dJ,.= 2QN(y)[ff (a)(sin 2 v+cos2 νcos 2 9) dad dy.
0
w
Die weitere Integration über dy kann aus Symmetriegründen mit Vor. 5 zweimal
von 0 bis V 12 —x2 erstreckt werden.
Sie führt auf den Beitrag aller Volumenelemente in einem Sehstrahl und somit
auf die beobachtbaren, nur von x und z abhängigen Intensitäten in tangentialer und
radialer Richtung:
V12_xa
jc(xz)
_ ^ 0f N(xyz)Oc(xyz)dy,
Jt
(xz) =
0 2_xa
Q f N(xyz)Φ,.(xyz)dy.
(9)
0
Zur Abkürzung sind die Raumwinkelintegrale aus Gl. (8) mit Φ 1 und Φ,, bezeichnet
worden.
5. Berechnung der Kernfunktionen
Die ortsabhängigen Funktionen c und Or liefern einen Beitrag zu den Kernfunktionen in den endgültigen Integralgleichungen. Ihre Integration wird mit
d w = sin e d 8 d e in eine solche über d8 von 0 bis 27r und in eine weitere über d e von
Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
109
0 bis Eo zerlegt, wobei Eo den zum Raumwinkel Ω gehörenden ebenen Winkel bedeutet. Mit Hilfe der aus Fig. 1 ersichtlichen Beziehungen
sin sin E
sin ν =
sine
cos 0= cos y cos Ed-sin y sin E cos ^, cos y =
(10)
schreiben sich die Funktionen zunächst
E 02
7r
Φ 1 = f f (a) f(l—sin2isin2E)sin E d 8 dE ,
0
o
E 02
7r
Or =ff (a) f (cos20+sin20'sin2E)sin E d5 de.
o
o
Die Integration über d8 liefert:
E0
= 7T f
Y^.
mit
R
=
f (a)(l+cos2E)sinEd€,
7T f f
=V
(12)
(a)(2-2cos2 e)sm Ede+ 7 2
7T f f a) (-1+3cos2 E)sin Ed
(
(13)
.x2+y2+z2.
Für die Integration über dE verwenden wir das in Gl. (1) mitgeteilte Randverdunklungsgesetz, und mit den weiteren aus Fig. 1 abzulesenden Bcziehungen
cos a = V 1—R2 sm2 E, cos E0 = V 1 —l/R2 ,
(14)
in welchen der Sonnenradius gleich 1 gesetzt wird, erhalten die in (12) und (13)
vorkommenden Integrale eine je durch ganzzahlige Parameter p und q bestimmte,
sonst aber gemeinsame Form:
eo
(R)
k(p,q,R) = f (a+b V 1 —R2 sin2 E) (p i gcos 2 E)sin ed€.(15)
0
Eine erste Substitution t= cos E führt mit h=V1-l/R 2 auf den Ausdruck:
1
I
k(p,q,R) =1 a(p+g t2)dt+f bR Vt 2— h 2 (p+gt 2)dt,
(16)
dessen zweiter Anteil mit der weiteren Substitution t = Cos u in
Ar Cos (1/h)
(17)
f bRh 2 Sin 2 u(p+qh 2 Cos 2 u)du
Ar Cos (1)
übergeht. Die nun ausführbare Integration liefert nach einiger Rechnung:
(18)
k (p , q, R) = pki(R)+gk2(R)
mit
ki(R) = a (l—Vl-l/R 2)+2 (1_R[l_1/R2] 2logR+1),
(19)
a
2
1c (R)
= 3 (l— Vl-1/R2)+ 8 (1—R[l-l/R9 2 2log
R+ 1
+ R).
2
110
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich
1963
Die gesuchten Funktionen Φ, und O r hangen nur von R und y ab und heissen schliesslich :
^t =
7r[kl(R)+k2
(R)]
(20)
= 7r [2 kl(R)-2k2(R)]+ R2 [—kl(R)+3k2 (R)].
Ir
6. Integralgleichungen
Die Integralformeln (8) werden erst zu Integralgleichungen, wenn nun die in Vor. 1
mitgeteilte Bedingung der Rotationssymmetrie verwendet wird. Mit der neuen, dieser
Symmetrie entsprechenden Variablen
p =
Vx2 +y 2
(21)
geht N(xyz) auf jeder Höhe z über in Nz (p), und die Funktionen (R,y) werden zu
z (p,x). Für tangential und radial polarisierten Anteil (Fall 1 und 2) heissen die
Integralgleichungen dort (n. Gl. (9)):
Jt(x)=a JN (P)0t(P,x)V
p=x
p2
x2
dp,
J,•(x) pafN(P)Φ,•(P,x)
^p2 P
x2
dp.
(22)
Die entsprechenden Gleichungen für die totale Intensität (Fall 3)
Jt+,• = Jt --J,.
(23)
•t_,. = Jt—J,•
(24)
und für die Differenz (Fall 4)
schreiben sich sofort als
Jt+r = a
p
f
N (P) q5 t+r (
1
p=x
bzw.
Jt =
a]
P=x
N
(25)
P,x)
(P) O t (P, x) p 2-x2
P
dp
d p mit
t
( _,.
l/p2-x2
_ Ot —O,..
(26)
Unter Verwendung von (20) und (21) ergibt sich mit den Abkürzungen
Fi (p) =
g l k l(P)+ h l k 2(p), F2(p) =
g
2 k 1(0+ h 2 k 2( p )
(27)
die allen vier Polarisationsfällen gemeinsame Form der Integralgleichung für die
Elektronendichte der Korona:
J(x) = a7 f
N(P) [Vp
2x2
Fi(P) +
P2+Z2
2
F2(P),d p.
(28)
Sie ist eine Volterra'sche Integralgleichung erster Art mit singulärem Kern, gültig
für jede Höhe z, die je als konstanter Parameter auftritt in den Funktionen J, N,
Fi und F2.
Die in (27) eingeführten Parameter, welche die vier Polarisationsfälle beschreiben,
sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt:
Jahrgang 108 G.
WIDMER.
Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona Fall
t
r
t+r
t—r
gl.
hi
g2
h2
(l)
1
1
0
0
(2)
(3)
2
3
(4)
—l
—2
—1
3
—l
—1
1
3
3
—3
111
(28 a)
Die verschiedenen Gleichungen (28) reduzieren sich am Äquator (z = 0) auf den
von V. D. HULST [4] verwendeten, auf einer Rechnung von MINNAERT [2] beruhenden
kugelsymmetrischen Fall. Zu der ursprünglich von SCHWARZSCHILD [l] und später
von BAUMBACH [3] ebenfalls bei Kugelsymmetrie, aber ohne Anisotropie der Streuung benützten Form gelangt man, wenn in unserer Gleichung ausserdem noch
g1
8
= und h1= ga=h2=0
gesetzt werden. Neben dieser Verallgemeinerung unterscheidet sich die vorliegende
Arbeit hauptsächlich durch die im folgenden Kapitel beschriebene Lösungsmethode
von denjenigen der erwähnten Autoren.
II. Analytische Lösung der Integralgleichungen
1. Anwendung von Volterra'schen Operatoren
Ausser einem Satz über die Eindeutigkeit der Lösung von Gleichungen dcr Art
.f (x) = f T (x, P) p (P) d p
(29)
ist bei KOWALEWSKI [6] eine auf VOLTERRA [7] zurückgehende Operatorenschreibwcisc zu finden
(30)
f (x) = T (x, P) p (P)
wobei T(x, p) ein linearer Operator darstellt, welcher die Zuordnung von p)(p) zu f(x)
vermittelt und T(x, p) die zur Integralgleichung gehörende Kernfunktion bedeutet.
Zwei hintereinander ausgeführte gleichartige Operationen
0(u) = V (u,x) f (x) = V (u, x)T (x, p) p(p)
(31)
0(u) = W (u,p)99(p)
(32)
sind einer einzigen
äquivalent, wobei formal geschrieben werden kann:
W (u, p) = V (u, x) T (x, p) .
(33)
Die zum neuen Operator W gehörendc Kernfunktion wlrd aus den beiden anderen
durch die Beziehung
W(u,p) =f V(u,x)T(x,p)dx
(34)
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich
112
1963
gebildet. Die Integralgleichung (28) lautet nun in Operatorenform:
—
J (x) = P 1
(x, P) [N (P) P F1(P)]+ P 2 (x, P) [N(p) 22 F2 (P)
Q7r
Pl (x, p) = p
mit
V 2 1x 2
(35)
und P 2 (p) = V p2— x2.
Die Anwendung eines Operators S(u, x)
x
S (u, x) =
Vx2—u2
mit
auf Gl. (35)
führt auf die neuen Operatoren
S ( u , x) P i( x ,P) = Mi( u ,P) und S ( u , x) P 2(x ,p) = M2(u,P),
(36)
deren Kernfunktionen sich auf Grund der allgemeinen Relation
J (P2—x2)2-1(x2—u2)D-lxdx =- 2 (p2—u2)V+4-1 N(p,g)
(37)
angeben lassen. ß(p,g) bedeutet die Euler'sche Betafunktion, welche mit der Gammafunktion durch
r
, =
P (P,q)
r(p) r(q)
r(p+q)
(38)
verbunden ist. Dies liefert auf Gl. (36) angewendet:
Mi( u ,P) =— , M2(u,P) =-2(p 2—u2) 2 , (39)
und Gl. (28) wird zu einer Integralgleichung, in welcher die Singularität nicht mehr
in Verbindung mit der unbekannten Funktion auftritt:
r
r
l
dx
(40)
[2 PFl(P)+ 2+Z2 F2 (P)(P2—u2)Jdp.
4
JV
U
U
2. Darstellung als Differentialgleichung
Der Parameter u kann nun auf der rechten Seite der neuen Integralgleichung (40)
durch differenzieren nach u vor das Integral gebracht werden:
u J... =—N(u)2uFi(u) -2u J
u
(41)
u
Das Integral auf der linken Seite wird vorerst einer. partiellen Integration unterworfen:
f J(x)Vx2x—u2 dx=J(l)Vl 2 —u 2 —fJ'(x)Vx 2 —u 2 dx;
^^
(42)
Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
113
dabei verschwindet mit Vor. 5 der an der oberen Grenze entstehende Ausdruck
J(1)1/ 1 2 —u 2 . Die Ableitung nach u ergibt dann:
r
r
d
C
J ^x) x 2
dx = 2u
J vx u
it
^ 2 (x)
Vx u 2
dx
(43)
Mit den Bezeichnungen
= ?U
c
77 2
und
G(u)
= —c
^
J
erhalten wlr somit nach Anwendung der Operation
^ (x) dx
'/
y x2—u2
2u du
(44)
auf Gl. (40) die parameter-
freie Integralgleichung
G (u) = N ( u) Fi(u)+$ N (P) P
2+ z2 F2(P) dp ,
(45)
welche als Differentialgleichung erkannt wlrd und durch nochmaliges Differenzieren
nach u sofort in einc solche übergeht:
z2 F2 (u)•
u2
G '(u) = [N(u)Fi(u)]'—N(u)^
(46)
Mit den günstiger gewählten Grössen
H(u) = N(u)Fi(u)
(47)
als unbekannte Funktion und mit
u F2 (u)
B(u) u2 +z2 Fl (u)
schreibt sie sich in der Form:
H' (u)—B(u)H(u)—G' (u) = 0.
(48)
(49)
Dic dazugehörige Anfangsbedingung ergibt sich zusa mmen mit Vor. 5 unmittelbar
aus Gl. (45) durch Einsetzen an der oberen Grenze u=l zu:
H(l) = G(l) = 0.
(50)
3. Lösung dcr Differentialgleichung
Dcr unter «Variation der Konstanten» bckannte Ansatz führt auf die allgemeine
Lösung der linearen Differentialgleichung (49)
B(w)dwdv,
H(u) =— f G' (v) 2f
(51)
wobci die Integrationskonstante uo als obere Grenze auftritt. Durch partielle Integration erhalten wir ein von der Ableitung G' freies Resultat, aus welchem in Verbindung mit (42) und (44) ersichtlich ist, dass die Integrationskonstante uo der ursprünglichen oberen Grenze 1 gleichzusetzen ist:
Vierteljahrsschrift der NaturfoIschenden Gesellschaft in Zürich
114
H(u)
= G(u)— B(v)e „ B(w)dw G(v)dv.
1963
(52)
11
Diese Lösung stellt wiederum eine Volterra'sche Integralgleichung dar und schreibt
sich mit dem auf G(v) wirkenden Operator L(u,v) mit
L(u,v) = B(v)e zf B(w)dw
H (u) = G(u)—L (u, v)G(v).
in der Form:
(53)
Sie erfüllt die parameterfreie Integralgleichung (45), wie man sich leicht überzeugen
kann, durch Anwendung der Operatorenregel (34). Wenn nach (44) auch G(u) mit
Hilfe der Operatorfunktion
E (u, x) = Vx2
c ue
(55)
geschrieben wird, erhalten wlr ebenfalls eine Volterra'sche Integralgleichung, deren
Operatoren nun auf die Ableitung J (x) wirken:
H(u) = E(u,x)J'(x)—L(u,v)E(v,x)J'(x).
(56)
4. Diskussion der Lösungcn
Als Ausgangspunkt für die spätere numerische Behandlung schreiben wir Gl. (52)
wieder in der Form:
G(u)
e t(4)
(V)
u
N()
= Pl (u) F1(u) B(v)e^G(v)dv
mit
v F2(v)
B(v) = v2 z2 Fi(v),
A (v) =
J
B(w)dw, G(u)
(57)
= —cl
u
V
J (x) dx.
V x2—u2
Sie stellt die Lösung dar für die Fälle 2 und 3, d. h. für die Bestimmung der Elektronendichte aus J,. oder Jt+,.. Für den Fall 1 (J1) reduziert sie sich wegen F2= 0 auf
N(u) = G(u) ,
FI(u)
(58)
was dem Spezialfall der aufgelösten Abel'schen Integralgleichung entspricht, welcher
formal von BAUMBACH [3] für die totale Intensität Jt+,. benützt wurde.
F2
Fall 4 (J1_,.) ergibt mit = -1 die einfachere Auflösungsformel:
(
N(u) F
i(u)
1
+ Fi (u) Vu2
v
Fz2 Vv2+z2
G(V)dV.
(59)
Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
115
III. Numerische Behandlung
1. Auswahl der Methode
Da die bis jetzt als analytische Funktion betrachtete Helligkeitsverteilung in Form
diskreter Messpunkte vorliegt, ist eine numerische Behandlung des Problems unumgänglich, welche in Anbetracht des Aufwandes am besten mit einem Computer zu
bewältigen ist. An die gewählte Methode muss die Forderung gestellt werden, dass
sie neben minimalem Aufwand und bestmöglicher Genauigkeit universell anwendbar
ist für jede Höhe und Polarisation verschiedener Koronaaufnahmen. Prinzipiell ist
jedc der in Kap. II abgeleiteten Gleichungen zwischen J und N für eine direkte oder
indirekte Berechnung von N geeignet. Die für den numerischen Prozess typischen
Schwierigkeiten, näm li ch das Auftreten von Singularitäten und das Vorkommen der
Ableitung einer emplrisch gegebenen Funktion, erscheinen bei den verschiedenen
Gleichungen immer in irgend einer Form. Das Naheliegendste wäre eine geeignete
Approximation des jeweiligen Helligkeitsverlaufes mit einer Summe analytischer
Funktionen. Es wurden verschiedene Versuche in dieser Richtung unternommen. Sie
haben sich aber in bezug auf Genauigkeit, Aufwand und gleichzeitige Verwendbarkeit
für alle Kurven als ungünstig erwiesen (s. auch Bemerkung darüber in Kap. IV). Aus
den gleichen Gründen musste auch die in solchen Fällen übliche Zerlegung einer
Integralgleichung in ein System von endlich vielen linearen Gleichungen wieder fallen
gelassen werden. Nach Prüfung solcher Möglichkeiten an den verschiedenen Gleichungen von Kap. II hat sich gezeigt, dass die explizite analytische Auflösungsformel
(57) auch von der numerischen Seite her am einfachsten zu behandeln ist, und zwar
durch eine direkte numerische Integration.
2. Umwandlung der analytischcn Formeln in numerische Vorschriften
Die Behandlung von Gl. (57) verlangt neben der trivialen Berechnung gegebener
Funktionen an jedem Punkt cine solche für die drei Integrale
G(v), A(v)
f B(v)ed(v) G(v)dv,
und
(60)
deren Auswertung am besten mit der einfachen Trapezregel geschieht, sofern genügend Stützpunkte gewählt werden. Die genauere Simpson'sche Regel belastet das
Problem unnötig durch die Forderung (mindestens teilweiser) Äquidistanz. Es ist
dann auch ohne Komplikationen möglich, N an dcn gleichen Ste llen zu berechnen,
wie sie durch die Helligkeitsverteilung vorgegeben werden. Einer vorherigen Bearbeitung bedarf lediglich der Ausdruck für G(u) (Gl. (44)), da das Auftreten der Ableitung einer empirisch gegebenen Funktion in Verbindung mit der Singularität an der
Stelle x=u empfindliche Schwankungen crzeugen kann. Er wird deshalb in die
beiden Anteile
(u+du
Gn (u)
=— c
r
J
u
'/
V
J
(x)
x2-u2
dx
(61)
116
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich
G 2 (u) =—c
und
zerlegt. Die Integration von
wegen J(1)=0:
G2
dx
J' (x)
J
ll +d
1963
(62)
vx2—u2
Z6
erfolgt besser über die Variable dJ und lautet dann
G2 (u) =
J(u+d u)
dJ
J
y x 2 (J)—u2
('
c
(63)
Eine Abschätzung zeigt, dass G1 , obschon nur aus einem einzigen Intervall d u
herrührend, wegen des steilen Abfalles von J' und '/vx 2 1— u2 einen beträchtlichen Beitrag zum Ganzen liefern kann. Die übliche lineare Approximation in der Form
u-I -d n
Gi (u) =—c d JI
1
J u j/x2— u2
dx
(64)
hat sich denn auch als ungenügend erwiesen bei einer analytischen Kontrollrcchnung
(s. Kap. III, 5). Stellt man hingegen im jeweiligen Intervall die Funktion J(x) in der
Form
(65)
J(x) = ae- bx
dar, wlrd dadurch der Veränderung von J besser Rcchnung getragen und Gi(u)
schreibt sich als
u +du
ae^'
Gi(u) = be
u
y x2
.u2
(66)
dx.
Es wlrd dann ae- linearisiert, d. h. auf die Form a+ßx gebracht, was wegen
Gl. (65) einfach der linearen Interpolation von J(x) entspricht mit
bx
= Jl I
J1 — J2
x2 —x1
(67)
xl
Jl—J2
(68)
ß
X2— X1'
wenn die Indizes 1 und 2 die an Anfang und Ende dcs betr. Intervalles liegenden
Werte bezeichnen. Die für die Ableitung massgebende Grösse b ergibt sich ebenfalls
aus Gl. (65) zu
log T.
b
=
(69)
x2—xl
Damit wlrd Gl genauer approximiert in der Form
u+d u +du
u
Gi (u) = be[ccj
1
U
dx+ß j/ x 2 —ul 2V
x
x2—
ZZ
u2
dx
-
(70)
Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
117
mit den analytisch auswertbaren Integralen
u+du
dx = log [(u+zlu)2+V(u+zJu)2—u21
1
Vx2—u2 U 2u
(71)
u +d u
x
dx = l^(u+®u)2—
'/
V x2—u2
u2
,
(72)
was durch die Kontrollrechnung auch bestätigt wurde. Ausserdem hat man mit
Rücksicht auf die weitere Integration den offensichtlichen Vorteil, dass jeweils nur
zwei Stützpunkte benötigt werden.
3. Numerische Berechnung der Elektronendichte
Mit den analytischen Umformungen des vorhergehenden Abschnittes sind die
Grundlagen gegeben für eine Übersetzung der Formeln (57)—(59) in eine numerische
Vorschrift. Das Integrationsgebiet wird in n (nicht notwendig äquidistante) Stützstellen eingèteilt, welche durch die Indizes k oder ν markiert werden. Die bis jetzt
unterschiedenen Variablen x, p, u, v, w erhalten deshalb durchwegs die Bezeichnungen xk oder x,,. Dasselbe gilt auch für die zu berechnenden Grössen Nk und für die
dazugehörigen Zwischenwerte, deren Bedeutung aus der folgenden Zerlegung
ersichtlich ist.
uu)
e- 21( "))
G(u)
B(v)ea(v)G(v)dv.
N (u) _
(73)
Fi( )Fi (u 5
JJ
Nk
Mk
ek
Qk
Nach der zu verwendenden Trapezregel werden alle hier auftretenden Integrale von
der Form
n-1
durch Summen S k = 2 (fv+fv+i.) (xvF1—xv)
(74)
v=1c
angenähert, wobei u und 1 den Stellen x k und x9z entsprechen. Dem obersten Index n
wird der Wert S1z =0 zugeordnet.
Die im ALGOL-Programm (Abschn. 6) unter «Berechnung der Elektronendichte» im einzelnen angegebenen Schritte führen auf dic Berechnung von Nk (in
Anzahl Elektronen pro cm3) an den Stellen k= 1 bis n, wobei die folgenden Eingangswerte verwendet werden:
1. Stützstellen:
x, für k=1... n, d. h. horizontale Abstände auf einer bestimmten Höhe z, in
Elnheiten des Sonnenradius R0.
2. Helligkeiten:
Jh an den Stellen xk für einen bestimmten Polarisationsfall in Einheiten der
Zentralhelligkeit der Sonne.
118
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gese ll schaft in Zürich
1963
3. Parameter:
a, b
z
nach Randverdunklungsgesetz Gl. (1).
Höhe über dem Äquator in Einheiten wie xk.
71
Anzahl der Werte für einen horizontalen Schnitt.
= u Ro =
I korrigierter Streukoeffizient mit 6 nach Gl. (3) und R 0
0,547 . 10- 14 cm 3 l Sonnenradius, damit man N als Anzahl/cm 3 erhält.
g1, h 1 , g 2 , h 2je nach Polarisationsfall nach (28a).
=
'4. Numerische Berechnung des Polarisationsgrades
Im Anschluss an die Berechnung von N aus JI+,. kann noch der Polarisationsgrad
P
JI_,.
(75)
JI-kr
bestimmt werden, indem aus den bereits erhaltenen Werten N mit Hilfe der ursprünglichen Integralgleichung (28) zuerst JI _, • berechnet wird unter Verwendung der zu
Fall 4 gehörenden Koeffizienten nach (28a). Der analytische Ausdruck für P(u)
lautet dann:
P(u)
=
J N (p) F(p)p [ /
r1 +2•p
1
u
mit
F(p)
V p2—u2 1
u2
21
p2+z2
d
p
= —kt(p)+3 k 2 (p)•
(76)
(77)
Aus dem gleichen Grunde wie bei der numerischen Berechnung von N wlrd das
Intervall von u bis u+d u für sich behandelt, innerhalb welchem N(p) F(p) p linear
interpoliert wird. Im übrigen erfolgt die Rechnung auf die gleiche Art wie bei der
schon durchgeführten von Nk (Trapezregel), wobei die dort gebildeten Ausdrücke
zum Teil wieder benützt werden können. Nach der folgenden Zerlegung
1
f ...
u+d u
= f N(P)F (P)P ^p2
1
1
z
S1
— N (p) F(p)
—u2 dp
P2 + 22
^p 2
—u2 d p
S2
p1/ 2 _ x2
f
1
++ ^ f N(p)F(p)p
(78)
dp
-vS3
wird auf das ALGOL-Programm (Abschn. 6) verwiesen, in welchem unter «Berechnung des Polarisationsgrades» die einzelnen Anweisungen enthalten sind 1. P k wird
an den Stellen k=1 bis 11 berechnet unter Verwendung von Eingangswerten und
Resultaten der vorangehenden Berechnung der Nk bei Fall 3.
1 Dort werden Si ,
Sz und Si mit der dynamischen Variablen
S bezeichnet.
Jahrgang 108 G. WIDMER. Besti mmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
119
5. Analytische Kontrolle der numerischen Rechnungen
Da die Bestimmung N aus J und auch deren Umkehrung nur auf numerischem
Wege möglich ist, kann eine analytische Kontrolle der Genauigkeit — vor allem
bedingt durch die Auswahl der Stützstellen — nicht ohne weiteres erfolgen. Dies ist
auch dann nicht der Fall, wenn für N oder J ein analytischer Ansatz, z. B. in der
Form 'P
gemacht wlrd, weil die Ausdrücke zusammen mit den Kernfunktionen
nicht integrierbar sind. Da es sich hier lediglich um die Prüfung der Methode, insbesondere um die günstigste Auswahl der Stützstellen bei gegebenem Helligkeitsabfall handelt, ist es nicht nötig, dabei die exakten Funktionswerte lci (p) und k2(p)
zu benützen. Sie werden deshalb ersetzt durch die Funktionen
(
k (p) = a
bl 1
a b) 1
p_2_
2 und Ic2 (p) = 3 +
,
4 p2 (
+J
79
)
welche nur im Punkt p=1 bei z=0 mit ki (p) und k2(p) übereinstimmen, im übrigen
aber nur ihren ungefähren Verlauf wiedergeben. Es ist dann auf einfache Art möglich — allerdings nur am Äquator — zu einer analytisch angenommenen Elektronendichte von der. Form
N* (p)
=P
(in ganzzahlig)
(80)
für alle vier Polarisationsfälle den dazugehörigen Verlauf der Helligkeit anzugeben,
sofern, im Gegensatz zum numerischen Prozess, die Integration bis naeh oo erstreckt
wird. Die Integralgleichung (28) liefert unter diesen Bedingungen mit der Substitution p = x für den analytischen Helligkeitsverlaufe
cos m
J* (x)
mit
=
(81)
1
d = air y [(gik (l)+h i k (l))Em,+(g2k (l)+h 2 0 (1))(Em—Em+2)]
(82)
wiz
wobei
Ein = ,f (cos (p)npdcp
0
1 3 5... 2,„ 1
für gerades in
2.4.6...2,„
2.4.6...2m
für ungerades in.
1 .3.5...2„, +1
7r
2
(83)
Der dazugehörige Polarisationsgrad P* wird in diesem Falle konstant und ergibt
mit (76) und (80):
[31c2* (1)-0(1)]Em+2 (84)
P* —
(1)±4
(l)]
(l)-3 14 ( 1 )1 Em +2 •
2 [ki
Wird nach Gl. (80) eine willkürliche Verteilung von N* an einer bestimmten Folge
2 Im ALGOL-Programm werden die verschiedenen Funktionswerte k1 (p),
k2 (p) bzw. kt (p),
kl (l ) bzw.
/cz (p) mit den dynamischen Varlablen K1 bzw. K2 bezeichnet. Die speziellen Werte
kZ (l) erhalten dort die Bezeichnungen Kl1 bzw. K21.
120
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich
1963
xk von Stützstellen vorgegeben und werden die daraus resultierenden analytischen
Helligkeitswerte dann als Eingangsgrössen unserer numerischen Rechnung benützt
— natürlich ebenfalls mit den abgeänderten Funktionen kl und k2 —, so stellen
die auf diese Art berechneten numerischen Resultate Nk und P k im Vergleich mit
den Zahlen Ng und P/, ein empirisches Mass für die Genauigkeit dar. In Kap. IV
werden hiezu für verschiedene Fälle (Wahl von in und y) die relativen Fehler
Nk = Nk /Ng und d Pk = Pk/P% berechnet.
N/ wird dabei an den gleichen Stellen so gewählt, dass der Verlauf von J^^
einem in Wirklichkeit gemessenen im grossen und ganzen entspricht, damit das
Fehlermass auch verbindlich wlrd für die nichtkontrollierbare Rechnung mit empirischen Daten. Hat sich damit bei z=0 ein tragbarer Fehler ergeben, so darf dieser
in der Grössenordnung auch für Höhen z> 0 angenommen werden, um so mehr als
dort alle auftretenden Funktionen schwächer abfallen.
Die Möglichkeit dieser Kontrollrechnung ist unter «analytische Kontrolle» ebenfalls im ALGOL-Programm (Abschn. 6) eingebaut. Sie kann wahlweise ausgeführt
werden unter Verwendung derselben Eingangswerte wie bei «Berechnung der Elektronendichte» mit Ausnahme der Helligkeiten , welche in diesem Falle nach
Eingabe der zu wählenden Parameter y und in vorerst berechnet werden.
Die konsequente Weiterführung dieses Gedankens könnte im Prinzip noch auf
eine andere Lösungsmethode unseres eigentlichen Hauptproblemes führen. Dabei
müssten in jedem Fall (auch bei z> 0) sowohl die Helligkeit J als auch die Kernfunktionen kl und k2 durch einen Ansatz von der Form cm/x"' approximiert werden.
N wäre dann einfach durch einen analytischen Ausdruck von ähnlicher Form bestimmt. Die Hauptarbeit würde in der jeweiligen Bestimmung der Koeffizienten c,"
für die verschiedenen Funktionen bestehen, was mit der Durchführung vieler Integrationen und ausserdem mit der Auflösung von Gleichungssystemen verbunden
wäre. Eine Vereinfachung würde dabei die Verwendung eines orthogonalen Funktionensystems (zu erhalten durch Orthogonalisierung der Folge 1/x ?") mit sich bringen.
Im Vergleich zu der von uns gewählten Methode wird der hiezu benötigte Aufwand
aber nicht geringer, abgesehen von den unkontrollierbaren Schwankungen, welche
notwendigerweise bei jedem Approximationsprozess auftreten.
6. ALGOL-Programm und Organisation der Rechnung
Die Rechenvorschriften wurden in einem für die ERMETH (Elektronische
Rechenmaschine an der ETH [8], [9]) bestimmten allgemeinen Programm gespeichert
in der Absicht, zukünftige und ältere Koronaaufnahmen mit beliebiger Verteilung
der Messpunkte für jede Polarisation immer nach der gleichen Methode möglichst
rasch zu verarbeiten. Das nachfolgende ALGOL-Programm [14] enthält sämtliche
Informationen über die Rechnung und deren Organisation. Ausserdem erlaubt diese
Darstellung eine direkte Durchführung derselben Rechnungen an denjenigen Instituten, welche einen Algol-Übersetzer besitzen.
Zusammen mit den bereits erwähnten Daten wird noch ein ganzzahliger Parameter p mit den Werten 1 bis 4 eingegeben, der den automatischen Ablauf des
gewünschten Polarisationsfalles bewirkt.
Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
121
Die Rechnung läuft dann je nach Einstellung vor Beginn — als eigentliche
Rechnung mit empirischen Daten oder als analytische Kontrollrechnung (choice (1))
mit einem vorgegebenen Ansatz. Dasselbe gilt für den Polarisationsgrad, welcher,
ebenfalls wahlweise (choice (2), im Anschluss an die Elektronendichte noch berechnet
werden kann.
ALGOL- Programm 3
begin
comment Es wird vorausgesetzt, dass die Grössen
real a,b,SIGMAO,z,GAMMA,Em,Emplus2,
n,m,p,
integer
array X,J,N,P,DELTAN,DELTAP [l:n]
1
beim Eintritt in diesen Block bereits deklariert sind, wobei den
Eingabegrössen a,b,SIGMAO,z,GAMMA,Em,Emplus,n,m,p,X,
J, bereits Zahlenwerte zugeordnet sind.
Ferner wlrd vorausgesetzt, dass die beiden Prozeduren choice (l)
und choice (2) die folgende Wirkung haben:
choice(1) hat den Wert true, wenn der Wahlschalter z an der
ERMETH eingeschaltet ist. Dasselbe gilt für choice (2) mit dem
Wahlschalter zz;
real cl,c2,g1,h1,g2,h2,K11,K21,d,PSTERN,BO,PHIO,A,THETA,Xm,
NSTERN,LO,R3,R4,R,PHIl,K1,K2,Fl,Bl,W,G,M,A2,PSI,Q,F,S;
k,NUE;
integer
array Y,X2,R2,DELTAN,DELTAP,L,DELTAX,DELTAJ [l:n];
cl:= SIGMAOx3.14159; c2:=l/(3.14159xcl);
then
if = 1
begin
gl:=l; hl:=1; g2:=0; h2:=0; goto 2
end;
if =2 then
begin
gl:=2; hl:=-2; g2:=-l; h2:=3; goto 2
end;
ifp = 3 then
begin
gl:=3; hl:=-l; g2:=-l; h2:=3; goto 2
end;
if = 4 then
begin
gl: =-1; hl : =3; g2:=l; h2:=-3;
end;
2:
if choice(1)
then
3 Die in diesem Programm vorkommenden Namenpaare n,N; p,P; b0, BO sind als verschieden
zu betrachten.
122
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich
1963
begin
comment Analytische Kontrolle der Elektronendichte;
Kll : = a+b/2; K21: = a/3+b/4;
d: =clx GAMMA x((gl xKll+hl xK21)xEm+
(g2 x K 11-+2 x K21) x (Em—Emplus2));
if choice (2)
then
begin
comment Analytische Kontrolle der Polarisation;
PSTERN: = (3 x K21-1(11) x Emplus2/
(2 x (KI l+K21) x Em+(K11-3 x K21) x Emplus 2)
end
end;
3:
BO: =PH10:=A:= THETA: =O; N[n]:=Y[n]:=P[n]:=0;
4:
for k : = n step —l until 1 do
begin
comment Berechnung der Elektronendichte;
X2[k] : = X[k] x X[k] ; R2[k] : = X2[k]+z x z; R: = sqrt(R2[k]);
if choice(1)
then
begin
comment Analytische Kontrolle;
Xm : = X[k] t m; J[k] : = d/(Xm x X[k]) ;
NSTERN: = GAMMA/Xm;
K1: = K11/X2[k]; K2:=K21/X2[k]
end
else
begin
= 0.5 x (R+l)/(R— 1) ; R3 : = l-l/R2[k];
R4: = sqrt(R3); Kl: = ax(l—R4)+
b/2x(l—RxR3xL0);
K2:= a/3x(l—R4t3)
+b/8 x (l—R x R3 t 3 x LO+ 1/R2[k])
L0:
end;
6:
7:
8 :
9 :
F1:=gl xKl+hl x K2;
if p =l A p = 4 then goto 6;
Bl: = BO; BO: = X[k] x (g2 x Kl +h2 x K2)/(R2[k] x Fl)
if k = n then goto 14;
DELTAX[k]: =X[k+1]—X[k]; DELTAJ[k]: =J[k]—J[k+l);
for NUE: = n step —1 until k+ 1 do
L[NUE]: = sqrt(X2[NUE]—X2[k]);
W: = ln((X[k+1]+L[k+1])/X2[k]);
G: = 2/DELTAX[k] x ln(J[k]/J[k+ l]) x (J[k] x W+
DELTAJ[k]/DELTAX[k] x (W—L[k+l]);
for NUE: = k+ 1 step 1 until n-l do
G: = G+DELTAJ[NUE] x (l/L[NUE]+
+1/L[NUE+l]);
Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
10:
11:
123
G:=c2xG; M:=G/Fl;
if p = 1
then
N [k] : = M
else
begin
12:
if p = 4 then
begin
BO: = —X[k]/R2[k] ; A2: = R
end
else
begin
A: = A+DELTAX[k] x (B0+B1);
A2: = exp(A/2)
end;
13:
14:
PSI: = l/(A2 x Fl); PH11: = PHIO;
PHIO:=BOxA2xG;
THETA : =THETA+ DELTAX[k] x (PHI1 +PHIO);
THETA : =THETA/2; Q: = PSI x THETA;
N[k] : =M—Q;
end;
comment Analytische Kontrolle;
if choice(1)
then
DELTAN[k] : = N[k]/NSTERN;
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23: end
if not choice(2) then goto 22;
comment Berechnung des Polarisationsgrades;
if k = n
then goto 21;
F:=—Kl+3xK2; Y[k]:=N[k]xFxX[k];
5: = 2 x ((Y[k+l]—Y[k])/DELTAX[k] x (L[k+l]—X[k] x W)+
Y[k] x W);
for NUE: = k+1 step 1 until n-1 do
S : = S—DELTAX [NUE] x (Y[NUE]/L[NUE]+
Y[NUE+l]/L[NUE+1]);
L[k] : = 0;
for NUE: = k step 1 until n-1 do
S: = S—DELTAX[NUE] x (Y[NUE] x L[NUE]/R2
[NUE]--Y[NUE+l] x L[NUE+I]/R2
[NUE+l]);
P[k] : = cl x S/J[k] ;
comment Analytische Kontrolle
if choice(1)
then
DELTAP[k] : = P[k]/PSTERN;
end k;
comment Hier sind die Resultate der Rechnung
array N,DELTAN,P,DELTAP [l:n] verfügbar;
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich
124
1963
IV. Ausgeführte Berechnungen
N*(p)
l. Kontrollrechnungen
Die in Kap. III beschriebene analytische Kontrollrechnung wurde nach GI. (108)
mit
= 108
pmn
für die drei Exponenten m= 3, 5 und 15 durchgeführt, um den Einfluss verschiedener
Gradienten zu untersuchen. Die dabei verwendeten Stützstellen sind dieselben wie
bei der im nächsten Abschnitt berechneten Korona von 1954 am Äquator.
Tabelle I gibt Auskunft über die erhaltenen Resultate mit ihren Fehlern d N= N/N*
und ZI P = P/P*. Deren Mittelwerte betragen in % ausgedrückt:
Für m= 3:
m= 5:
m= 15:
® N= 2,8 %
Z1P=5,l
0,5 %
7,5
8,3 %
27
(bei 33 Punkten) (bei 31 Punkten)
10-8
)0 7
104
10
IMAM
=KU
II EMT
10-11
0
20
Fig. 2. Vergleich von analytisch angenommenen Helligkeitsverteilungen mit Korona 1954 am Äquator.
Abstand von 0 bis 1 linear, von 1 bis 20 logarithmisc.
Tabelle d Resultate der analytischen Kontrollrechnung
m=3
X
J*
N*
P*
30,0.100
25,0
20,0
18,0
16,0
14,0
12,0
10,0
9,00
8,00
7,00
6,00
5,50
5,00
4,50
4,00
3,50
3,00
2,80
2,60
2,40
2,20
2,00
1,90
1,80
1,70
1,60
1,50
1,45
l,40
1,35
l,30
l,25
1,20
l,15
1,10
1,05
2.227.10-12
4.618
l.127.10-11
l.718
2.730
4.696
8.700
1.804.10-10
2.749
4.404
7.514
l.392.10-9
l.971
2.886
4.399
7.047
1.202.10-°
2.227
2.935
3.948
5.438
7.701
l.127.10-7
I.384
l.718
2.160
2.753
3.563
4.081
4.696
5.431
6.317
7.390
8.700
l.031.10-6
l.232
l.484
3.703.103
6.400
1.250.104
l.714
2.441
3.644
5.787
1.000.10°
l.371
l.953
2.915
4.629
6.010
8.000
l.097.106
l.562
2.332
3.703
4.555
5.689
7.233
9.391
1.250.107
1.457
l.714
2.035
2.441
2.962
3.280
3.644.
4.064
4.551
5.120
5.787
6.575
7.513
8.638
1.016.10-1
!
N
AN
P
1.190.104
1.676
2.397
3.601
5.739
0.994.10°
l.371
1.943
2.899
4.604
6.032
7.976
l.093.106
1.555
2.321
3.684
4.608
5.689
7.219
9.366
1.246.107
1.473
1.718
2.036
2.441
2.961
3.326
3.663
4.077
4.563
5.131
5.798
6.587
7.525
8.651
9.525.10-1
9.774
9.819
9.881
9.917
9.941
9.999
9.949
9.945
9.946
l.003
9.971
9.960
9.955
9.951
9.949
1.011
1.000
9.980
9.973
9.968
l.010.10°
1.002
l.000
l.000
9.996
1.014
1.005
l.003
1.002
l.002
1.002
l.001
l.001
1.001
9.322.10-2
l.021.10-1
l.071
1.109
1.115
l.086
1.085
1.096
1.107
l.077
l.071
l.074
l.082
1.096
l.126
l.080
1.066
l.062
1.062
l.083
1.060
l.052
l.049
1.049
1.070
l.052
1.045
l.042
l.041
l.040
l.040
AP
0.9167.10°
l.004
l.054
1.091
l.096
l.068
l.067
1.078
l.089
l.059
l.053
1.056
l.064
l.077
1.107
l.062
l.048
l.044
l.044
1.065
1.043
1.035
l.032
1.031
1.052
l.035
l.028
l.025
l.023
l.023
l.022
M
rn
8Z01
LZO'I
LZ0'I
LZO' I
LZO'I
6Z0'1
Z£0'I
0170'1
Z901
0170'I
0170'I
£1701
I50'I
080'I
17901
0901
Z901
LLO' I
9£1'I
0£I'I
£011
980' I
LLO' T
0801
L I I' 1
0£I'I
9011
0011
L£ 1 . 1
OLI'I
ZZI'I
8L01
o0I'L00'I
dV
8ZI'I
8ZI1
LZI'I
al' I
8ZI'1
6ZI1
££1'T
ZbVI
S9T'I
Z17I'1
I17I'I
171711
175I'I
58 VI
89I1
£911
59I' I
£811
L7Z'I
07Z'I
I TZ1
Z611
Z81'1
581'i
9ZZ' I
I17Z'I
171Z'I
LOZ'I
87Z' I
178Z1
Z£Z'I
£811
T-01'90T'I
d
1001
ZO0'I
Z001
ZOO' I
ZO0'I
Z001
Z001
17001
£101
I00'I
I00'I
1001
ZOO'I
6001
Z001
I001
0001
000'1
8001
£101
8001
g00.1
£00'I
1001
17001
£101
LOO'I
1700'1
£001
'Mr I
ZI0'I
900'T
o0I'0001
T-01'656'6
o0I'OZO'I
NV
058'L
IZZ'9
Z8617
LZO17
178Z'£
OOL'Z
9£Z7
L98'I
085'I
L0T'8T£'I
L17S'6
ISO'L
£0£'5
SL0'17
Z£ I'£
£1761
90I'95Z' 1
ZZ7'8
L58'S
69117
616I
901186'0
5£17'S
50Z'£
5661
v0T'Z0£'1
966'S
b90'£
6691
o0I'TZ0'I
69017
7.,011L81
I175•6
OLZ'S
TOT '06I'£
N
5=w
5£8'L
60Z'9
IL617
8I0'17
9LZ'£
£697
0£Z7
6S81
0951
L 01'91£'I
9£S•6
Z1707.
Z6Z'S
8£0'17
17ZI'£
01761
90 T'SSZ' I
9I17'8
OT8'S
s OUST
Ft'
T-0I'L60'I
£061
59L'6
6117'S
00Z'£
9861
TOU98Z'I
6176'S
T50•£
£69' I
c0I'000'I
81017
90I.6581
9£5'6
Z6Z•S
17ZI'£
TOT '£ZO'I
o0T'STT'17
*d
*N
L56•8
SLL'9
68VS
OZ017
9171'£
98177
£861
1765'I
16rI
9-0I'£SO'I
17S 1'L
£L617
6Z5'£
I557
SL8'I
L-0I.8S0'I
I8Z'9
588•£
I617Z
a-0I'9 17 91
i 0£5'9
0£67
6-0I'517b'I
Z89' L
9££17
ZLS'Z
oT-OT'OZO'T
j ;
6LS17
8SZ7
ii-0I'OOZ'I
OZ017
€ 1 -0I'176S1
175 FL
6Z5'£
2T-OI'SL8'T
91617
bT-OT'9179'I
*f
SO`T
O1`I
5I`I
OZ` I
SZ`I
0£`1
S£`I
017`I
S17`I
OS`I
09`T
OL`I
08`I
06`1
007
OZ7
0177
097
087
00'E
OS`£
00'17
OS`17
00`S
OS`S
00'9
00'L
00'8
00'6
0`0I
0`ZI
0`17T
0'91
0`0I
0`0Z
0`5Z
o0I'0`0£
X
080'I
SLO'I
OLO'1
L90'I
7901
£901
S901
LLO' I
ZZI'I
8£I'1
SZI'I
811'I
£Z VI
181'1
£LZ'I
££Z'I
50Z'1
10Z1
II£'I
0E9'1
£617'1
96E1
LZEI
£8Z1
£ZE'I
0E91
£617'1
Z017'I
8017'!
Z£8'I
0£91
Z67'i
601'68£'i
91£'1
OI£'I
170£'I
00£'I
96Z' I
56Z'T
86Z1
£IZ'T
L9£1
L8£'T
IL£'I
Z9£'I
89£'I
6£71
ISS'I
Z05'T
897'1
£91711
L65'I
9861
6181
TOL'I
919'1
£951
Zl91
9861
6181
SOLI
SIC 1
Z£Z'Z
586'1
8I8'1
t-OT'Z69'T
6101
£0617
5£77
LOT '817Z'I
585'9
595'£
LL6' I
9011ZT'I
767'9
978'£
9OI'£LEZ
OL6'8
L65'£
ro0I'0Z5'I
S£L'9
20I''ZEE
£1787.
z01'£OI'Z
L9Z'9
t01'6£07
o017£7'8
Z170'8
I-0I'1750'1
z-0179L' I
s-01'1795'£
Z6£'8
v-0I'£L57
s-01'7577
9-OI'9IZ'£
09E5
t-Oi'JLZ1
6-OV£S8'L
ot-0I'687'L
1718'6
Tt-OI'Z£9'i
zT-OI'67i'7
L10'1
9101
7101
£10'1
ZIO'T
1101
0101
£I0'1
6E01
7£0'1
6Z0'1
SZO'I
ZZO'1
8801
£L0'1
1901
I50'I
6E01
60Z'I
591'1
Z£I'I
LOI' I
L801
690'I
60Z1
5911
1£ FT
£01'1
ILZ'I
60Z'i
5911
l£I'I
TOI'I
o0I'65£'I
01817
£6E'Z
toi'8ZZ'I
0617'9
8T5'£
£561
901'6011
8Z7'9
L6L' £
soi'£8Z'Z
£L9'8
£67'£
1701787' 1
cOI'L85'9
s0T'T50'£
zOi'50EL
z01'0861
TOI 796'5
TOI.I96'1
o01'699'9
t-01706'9
z-OI'£1E6
z -Oi' T 65 . 1
2-0I'9LZ'£
t-OI17178'L
7-0I'9ZI'Z
s-OI'90I7
9-0 I71787
t-O1'958'7
t-01'000'1
6-01'0617'9
oT-OI'8Z17'9
tT-OI'£L9'8
TT-O17817'T
zI-OT'T50'£
st-01'696'9
t-0!'17L8'£
t-01'0178.I
t-OI'£06.0
s-0i'5L5'7
9-01'08£7
s-OI'TLZ'T
6-01'676'9
6-0i'£88'£
6-01'5IZ'Z
6-0I7_8Z'I
oT-OT'585 7
or-OI'8£L1
1T -01'596'9
Tt-OI'Z£67
Ts-0!'06Z'1
zT-OI'8087
8t-01'O86'9
8t-Oi'6£61
TT-Oi'9Z6'5
1T-01796'T
st-0I'899'I
91-01'696'1
LT-01'166T
8I-Oi £75 5
sr-OI'90Z'1
6T-01 • 8667
0z-0.1'51757
is-Oi'500'£
zz-0I179517
8z-OI'8517'8
ts-Oi'5L5'7
oz-Oi'£88'£
9z-0.1'58517
tz -01'596'9
sz-OT'06Z'I
6z-01'Z£9'£
o8-OT'796'i
0`SZ
o0T'0`0£
9N
*f
X
8t-OI'£LO'1
T-0T'8TZ'I
(IV
d
NP
I
*d
N
ST
=
IIT
50`T
Or1
S!I
OZ`I
SZ`I
0£`I
SET
0171
57`1
05`l
09`1
On
08`T
06`1
007
Oft
07`Z
09`Z
08`Z
O0` £
05`£
00`17
007
00`5
05`5
00`9
00`L
00`8
00'6
0`OI
0`ZI
01
0`91
0`81
0`OZ
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich
128
1963
Sie werden bedeutend geringer, wenn die Mittelung nur bis etwa x=2,8 erstreckt
wird, da dort die Intervalle genügend klein gewählt wurden. Es scheint nötig zu sein,
dies auch auf die äusseren Gebiete zu übertragen. Zum Vergleich sind die drei
analytischen Helligkeitskurven(^x
1+ ^) zusammen mit dem an der Korona 1954
gemessenen Verlauf (Äq.) in Fig. 2 dargestellt: Da vor allem ihre Steilheit für den
Fehler verantwort lich ist und da die gemessene Kurve eher mit den Fällen m=3
und in= 5 zu vergleichen ist, rechtfertigt der dabei auftretende Fehler die Anwendbarkeit der Methode im nächsten Abschnitt.
Die schlechte Übereinstimmung bei der Berechnung der Polarisation ist darauf
zurückzuführen, dass im wesentlichen die gleiche Rechnung (unter Addition der
Fehler) noch einmal rückwärts durchgeführt wird. Zur Verbesserung sollte es möglich sein, durch eine direkte analytische Bearbeitung der Ausgangsformel (28) mit
günstigen Näherungen einen Ausdruck für den Polarisationsgrad zu finden unter
Umgehung der jetzt verwendeten numerischen Werte von Nk.
2. Berechnungen an der Korona von 1954
Die von WALDMEIER [10, 11, 12] an der Minimumskorona von 1954 crstmals bis
zu 30 Sonnenradien ausgeführten Helligkeitsmessungen für die totale Intensität 40.
MIME
■
Lstommi
!RENE.'
kli \uni111111
0
1
1,4
2
5
,04
70
20
Fig. 3. Isoelektronenbild der Korona von 1954. Abstand von 0 bis 1 linear, von 1 bis 20 logarithmisch.
Tabelle II Resultate der BeIechnungen an der Korona von 1954
Z=0
J
X
7.777.10-13
1.781.10 - 12
2.696
3.242
4.081
5.634
7.093
1.415.10 - 11
1.823
2.459
4.373
6.468
9.350
l.177.10 - 10
1.741
2.696
4.081
7.777
l.150.10-°
l.781
2.823
4.686
8.527
1.232.10- 8
3.000.101
2.500
2.000
l.800
l.600
l.400
l.200
1.000
9.000.100
8.000
7.000
6.000
5.500
5.000
4.500
4.000
3.500
3.000
2.800
2.600
2.400
2.200
2.000
1.900
l.800
l.700
l.600
1.500
1.450
l.400
1.350
1.300
l.250
1.200
1.150
1.100
1.050
l.662
2.348
3.317
4.907
6.177
7.600
0.979.10- 7
l.232
1.701
2.295
3.242
4.795
7.093
Z=0,2
N
3.176.103
3.344
3.797
5.176
4.220
l.255.104
1.171
1.385
3.000
2.789
4.929
4.278
6.937
0.970.105
1.149
2.220
3.697
5.505
7.972
1.211.106
2.066
3.029
3.394
4.572
5.801
8.070
l.029.107
l.138
l.476
l.672
2.456
2.986
4.068
5.722
7.400
P
J
X
N
P
4.029.10 -1
4.778
4.770
6.040
6.229
5.863
6.457
6.272
6.453
6.241
6.194
6.356
6.204
6.394
6.800
6.761
6.722
6.627
6.531
6.569
6.267
5.957
5.700
5.405
5.367
5.111
4.861
4.644
4.370
4.118
3.757
3.342
2.823
7.672.10-13
1.755.10 -12
2.659
3.203
4.026
5.547
7.019.
l.407.10-11
l.797
2.435
4.310
6.360
9.178
l.153.10 -10
1.641
2.510
3.648
6.768
1.036.10 -9
l.514
2.497
4.275
7.704
1.136.10-8
l.569
2.242
3.263
4.821
6.177
7.894
0.998.10-7
1.310
l.813
2.563
3.317
4.780
7.077
2.999.101
2.499
1.999
1.799
l.599
l.399
1.199
9.997.100
8.997
7.997
6.997
5.996
5.496
4.995
4.495
3.994
3.494
2.993
2.792
2.592
2.391
2.190
1.989
l.889
l.788
1.688
1.587
1.486
l.436
l.385
1.335
l.284
l.233
l.183
1.132
1.081
l.030
3.136.103
3.323
3.736
5.076
4.224
l.256.104
l.136
1.380
2.940
2.730
4.823
4.171
6.142
0.879.105
0.962
1.868
3.477
4.349
7.333
l.145.106
l.855
2.871
3.334
4.471
5.975
7.983
1.067.107
1.280
l.485
1.915
2.663
3.589
3.728
5.454
7.327
4.032.10 -1
4.770
4.780
6.067
6.228
5.860
6.447
6.256
6.439
6.227
6.087
6.234
6.049
6.241
6.760
6.693
6.690
6.697
6.563
6.590
6.317
6.014
5.759
5.460
5.402
5.161
4.925
4.669
4.420
4.145
3.815
3.328
2.815
£I8'Z
SS£'£
SS8'£
£OZ't
tOS't
89Ct
tZ0'S
L9Z'S
SOS'S
Z17S'S
8Z8'S
£01'9
OI£'9
8£17'9
£L£'9
995'9
6W9
US-9
189'9
£I6'S
ZZ9'S
9£6'S
S178'S
861'9
0 .117'9
17ZZ'9
SZ17'9
1758'S
9ZZ'9
ZZ I'9
Z081
ZSL'17
I- 0 .1'8E017
ZII 'L
9Z817
OWE
170£'£
I8177
SI8'I
L9£'I
L0.1'O1.1'1
ZS0'6
56£'9
8Z£'17
IZZ'£
08177
tLL' I
90I'£170'I
1IZ'L
17L6'17
99£7
S887
901'9 T£'i
ZI6'S
1786'9
9LS'17
956'£
0T9't
£T9'Z
TZ87
OL£'1
S90'I
p0I'6SZ'I
££Z't
9L8'17
17I9'£
6LZ'£
s0i'9S0'£
d
N
9175'9
919'8
61Z'6
SSZ17
018'6
L86Z
6£0'I
S6Z7
960'T
809'I
EST 'I
L–OT'6£1'J
60Z'I
St£'S
179r 9I£'9
OZ£'I
LLL't
tL£'I
TLS'£
£817'I
ZSZ'Z
06S'I
017S'1
L69'I
s-0I' ISO' I
Z08'I
17Z0'L
L06'I
OTL'17
9117
8I87
£Z£7
s-0 YOU' I
6Z57
90r1
i£CZ
L80'8
6£67
SOO'S
81717'E
9LL7
1756'£
5£I7
6517'17
Zitrb'I
£9617
ot–OI'SOT•I
L917'S
5£8'8
696'S
Z17I'9
17L6'9
t8I't
LL6L
88£7
6L6'8
L17L' I
00I'186'6
IT- 0I'£6£'I
86I'T
IL8'9
86£'T
5L£'S
86S-I
LICE
86L'1
9Z YE
666'1
17857
66177
Zt- 0I'ZOL'I
TOT '6667
st–Ori917'L
X
9`O = Z
f
0087
I££'£
9178'£
191'17
9S•17
60L'17
L8617
96i'S
17£t'S
S8t'S
9LL'S
9£0'9
61£'9
175S'9
£SS'9
ZLC9
1799'9
919'9
LTC9
0170'9
098'S
960'9
IL6'S
£TZ'9
SZ17'9
I17Z'9
9£17'9
LSS'S
LZZ'9
1760'9
I6L't
I9L't
t-011'5£0'17
d
S8£'L
Z£6'17
SI17'£
OZ9'£
9LS7
17£6'I
8517'T
ZI£'T
LOI'Z66'0
£O17'L
17S£'S
L96'£
1001E
SL177
££S'I
9017S0'I
OOL'9
£OZ'£
19Z'£
9TS'T
s01'9LL'O
Z68'L
SS£'S
1790'17
8006
17Z0'1
8L0'1
I£T'1
178I'1
9£Z'I
68r1
I17£' I
£6£'I
St17'I
6tS'I
ZS9'I
175L'.1
LS8'1
6S61
£917
99£7
6957
I LCZ
£L67
LLI'£
LIE-17
IL97
0887
SL£'I
00T'1
I,0r8SZ'I
8ZZ'17
9L6't
SL9'£
IO£'£
201'960' £
N
17`0 = Z
9S8'9
191717
£9I'£
61S'Z
ZSL'i
L–OT'£LZ'T
S£S'6
96t'L
tZ9'S
17S£'17
I687
£L6'I
s–OI'9L£'I
S8L'6
109'9
608.E
69I7
6- 0.1'9tZ'I
ZZZ'6
SSL'S
£TZ'£
£Z£7
Z17S'I
0n–Or 6ZI'1
L00'6
ISZ'9
L17Z'17
ZT17'Z
6L6£
Z81717
£8617
S817'S
986'S
886'9
686'L
166'8
o01166'6
661'1
66£'I
66S'I
66L'T
666'1
66t7
101'6667
tt-01'0017'I
St6'9
I917'S
ZL6'£
t9I'£
ZZ97
st– OT'8ZL'I
81– OI'99S'L
X
f
ZLL'T
LZ97
68£'£
ISL'£
£01 17
86Z•7
0Z717
18917
SZO • S
LZ£'S
00 17 '5
8L5 •5
669'5
Z£8'5
558'6
OL97
LOI'LZ£'I
L56•9
IZL'S
995'£
10 I7
0117
Z1177
Z5I7
889' I
901'850'1
8Z17•8
888'5
00 17 '9
0176'5
£OZ'9
6£6'5
0I6'£
ZII'17
066'5
£6Z'1
tL9'I
90I'LIFI
917617
£S£'S
0176.£
Z8£'£
6L£17
1877
L897
09£'I
5££'9
17£8'5
5I17'5
089'5
169'5
ZOI •9
9L£'9
981'9
66£'9
8178'5
9ZZ•9
581'9
6Z8'7
0£L •7
T-OI'9t017
d
0857
986'0
170i79Z'I
£tZ•7
Z5917
9L7'£
I£Z'£
c01 '9967
18517
OI£'£
ZIL't
LZ8•5
L6L'9
8L9'L
L617•8
ILZ•6
100'I
ZLO'1
80Z' I
L££'1
Z917'I
1785'I
ZOL'I
££6'I
£176'£
L-OI'6191
LZ5•8
617F5
ZSL'£
£097
LL6' I
09E1
695'1
s-0I• TOE' I
8517
6-01'9170'T
8L£7
856'9
506'5
9657
0187
6££'£
658'£
9L£17
8881v
66£'S
L06•S
OZ6•9
0£6•L
8£6'8
90117176'6
56I'1
96£'1
965'1
158'8
618'5
art
LII'£
SI£'Z
889'1
69Z17
SL£'Z
9Z8'I
OI£'I
oi-OI'ZZO'I
Z517•8
968'5
I17017
5££'Z
069'T
TT-OT'9L£'I
90L'9
I8I'S
176L'£
6£0'£
96L'I
L661
L6177
t0I • 8667
ST-0I7179'I
sT-0I•5ZZ'L
X
f
N
501 = Z
I6L7
0017'£
098'£
L£Z17
OZ517
81L'17
L5617
68Z'5
5£5'5
Z85•5
06E5
000'9
OZZ'9
09£'9
05Z'9
L5Z•9
Zt0•9
tZZ'9
ZZ5'9
LI6'S
9Z9•5
809'1
5Z£'9
998'£
0057
d
££8'I
555'5
£50•9
Z81'9
176£'9
80Z'9
17117'9
I58•5
9ZZ•9
171817
£tL't
T-0177017
6t5'L
19Z'8
t176'8
17 09'6
17Z0'I
L801
87I'I
60rI
89Z'I
58£'1
005'I
Z19.1
£ZL'I
90T7IZ'I
t Lt. L
5L817
17£0'£
6L5'I
8TZ7
901'7ZZ'I
606'5
051'9
008'9
8L£'L
i7ZL'£
8867
97177
088.1
LOI'08Z'1
8£0'8
L9t•9
L19•9
59917
90Z'£
100'Z
8178'£
£0517
17 557
Z9L7
99£'I
0£0'I
1,0 I'09Z'I
L£Z17
LLL'7
Z55'£
85Z'£
s01•910•£
N
8`0=Z
I6L'5
95Z•£
ZI£'Z
£179'1
L-OI'££T'I
17Z9'L
LIE'S
£L I'7
LI7'£
Z£57
L85' I
9-0I'0T0'T
0171' L
5Z617
£9£'£
686'1
61707
Z9Z7
£L177
£897
1687
LO17'£
616'£
8Z17't
5£617
I17-17'5
9 17 6'5
17 56'9
656•L
1796'8
901 'L96 •6
L6I'I
L6£'I
L65'i
86L'I
866'I
86177
TOI'8667
87£'I
oT-0I'I80'I
Z99.8
Z£0'9
OZ I•17
59£'Z
ZZL'I
TT-W.98E 1
86L'9
SE'S
Z98'£
L80'£
L1757
BT -OI'SL9'I
ct-OI'95£'L
X
f
6-0I'8ZZ'I
961.8
156'9
59911
£657
086'1
en
.—I
OIZ'S
Z175'5
0817'5
6£t'5
695'5
06C5
8ZL'5
566 . 5
SL17'9
Z£T'9
ON'S
OL17'5
17T9'5
5i8'5
95£'9
55I'9
L££'9
tZ8'5
6ZZ'9
99Z"9
£98't
ZOL
I—OT ' 950 ' 17
s0I'OIL'I
L17Z"L
8L0"5
69Z "£
86T7
81797
095'1
ZI£"I
85Z'I
sOF1ZZ-I
6Z0"7
605 "£
50Z"17
Z907
LII'17
Z8£7
LL77
£Z£'I
I68"0
170U99Z"T
L5Z"17
LL£t
LOVE
ZLI'£
80 .1'9587
d
N
559.5
ZLC5
59Z'8
9Z0'I
IOZ"i
1 I5
68L1
0507
86Z7
8£57
£I FE
999 "£
90Z17
X
I
L£ C17
9`1 = Z
N
M
Z9Z'5
£8E5
t!8"9
8£8'L
958'8
o0I'IL8'6
681' I
06£'1
T65'i
Z6CT
£66'I
176177
TO I'5667
59C5
ZZC£
5£97
9Z6'1
17175"1
6-0I'5ZZ"I
ZLI'8
115£"9
860'5
6£0"17
TL6'1
505'i
ot-OT 'Ur 1
L59'8
600'8
919.5
£Z8'£
LSZ'Z
TZ9' 1
ii-OI'95£'I
Z05'9
Zt6't
£179 "£
Z£6Z
86£7
zI -0VOL5'T
6t-OT'5£6"9
0E517
198"17
50T"5
St£'S
65£"5
0017'5
81717'5
£55.5
119"5
8£C5
LI0' 9
06C5
6Z6"5
£I17'9
600"9
£LZ'S
L95'5
099'5
686.5
Z919
691.9
8L£'9
t178'5
9ZZ'9
ZZZ'9
tt817
8T017
I-OT"050'7
a
995'9
Z5 r£
It£'Z
III"Z
61L"1
90I'951"T
0175'9
SZS'S
I9 Ft
£8CZ
OI£"£
1807
Z9I"I
£51711
s0T7OZ'I
8Lt't
£8£'17
960't
08CZ
65Z"t
LZ77
665Z
175£'T
Z176'0
v01"179Z'1
6tZ17
LZSt
66£'£
toZ "£
20T'9T67
N
£`T = Z
860'5
5L9' £
TZZ'S
Z717'9
005-L
17£"6
960'i
917Z'I
98£'T
OZS'I
SLC I
8107
ZSZ'Z
08177
tOLZ
05Z'£
£8L'£
80£'17
8Z8"t
17t£'5
L58'5
8L8"9
£68"L
506'8
o0I'5T6"6
Z61 ' I
£6£'T
1765'i
56CI
566'1
96t7
i0VL667
£Z87
196j
£05'1
s-OI'7IZ'T
895'6
LII'9
800'7
I80 "£
1717£'Z
I58'I
6-01'9£17'T
9ZZ'6
OL17'9
5£5'5
8TZ't
5 L17
699'I
oi-O!'OLZ'T
OZ5'6
Z5Z'8
69C5
Z56'£
90£Z
859'1
ti-0T'L9£'I
£ 19.9
ZL0'S
SZL'£
066Z
175t7
at-OT"609'T
6I-OI'£607,
X
f
1791'9
6819
Z10'9
8Z617
I6£'S
£ZZ'S
ZS9'S
0S0"9
S80"9
ZTZ'9
808"S
17ZZ'9
90V9
9£617
ZS917
T-0 Van'
d
687'1
ZZ0'1
90I' HO' I
ZZO'Z
66C£
8777
SIZ"Z
0897
£SI"Z
5£17
£8I"I
006"0
v0i"S£I'1
OI£17
8£6'£
6Z0'£
SLOE
20I'SL97
T-01'9LI'L
Z9Z'1
659'i
OSt"Z
£ZI'£
Z7C£
0££'t
66817
7S17'.S
8£5'9
66SL
9 17 9'8
001789'6
£L 1"1
08S"1
Z8CI
1786'1
L8177
101'686Z
SOS'S
886'£
ZVI'£
8W1
oT-OI"06Z'1
911"6
1091,
8S7'9
090'S
Z£t'£
0607
L£S1
TT-0I"67Z'I
Z81'9
SSS't
S6£ "£
LSL'Z
6ZZ7
z T-0I'O Slit
sT-0 1( .09 17 '9
N
X
f
LW!
S `Z = Z
Z89'S
SBCS
t08'S
Li0'9
17619
t17i'9
68817
76I'S
8ZvS
OSCS
I0£"9
Z7I'9
HZ'S'
018'S
17£Z"9
Z9Z"9
16817
6L917
T-0I'£9017
d
97£'£
8Z£7
SSt'I
cri
190'1
13111,1( I'
80Z "£
6£97
It-VE
8E8'1
IZC£
£Z£"Z
ZZ£Z
09V1
S88"0
t0i'£ZZ'1
89Z17
9L117
£8I'£
6Z YE
c01'9LCZ
z-OI'£Z£'9
1-01'981'6
SZ£'I
Z99'I
096'1
9£Z7
ZL87
79T£
I£0'7
£8S7
£ZI"S
L59'S
80C9
9tL'L
o01"86C6
£8I"I
S8£1
L85'I
88C1
686.1
I61Z
TOI'£66'Z
SIVI
6-OV£LO'1
61£"L
0£9'S
86£17
017S'£
t99"1
16V1
oT-0I'S80'i
ZLO'8
0£S'L
807'S
6179'£
£817
17851
TT-0I'9I£'I
£S£'9
89L17
££S'£
SS87
£Z£"Z
zT-OI'9IS"I
sT-0117ZL'9
X
f
SLC8
N
07=Z
SSS'£
OtZ't
19617
989'S
£JCS
T17L'S
9L0'9
I8L'S
ZOZ'9
590'9
600'S
15917
r-01'99 .117
d
£Z6'£
Z£6'0
0££'I
618'1
£197
TO17'T
818'T
£00'T
Z£6'0
T7OT796'0
08Z17
8£S'£
17887
8967
80I'8L77
s-0I'99£'8
8£6'I
6Z87
IL5'£
£17Z17
7L817
Z90'9
176I'L
T6Z'8
o0I'L9£'6
L7I'I
55£1
19S'T
S9L'I
696'T
SL177
TOT '6L67
or—OI'SZO'T
Z8S'L
£90'L
Z6£'9
SZS'S
866'£
9Z0'£
888'I
171717'1
rr—OI'8II'I
£178'5
96117
OL FE
79S7
Z707
st—OF LI£'I
8r—OrI£6'S
X
f
N
S`£ = Z
98L'£
TLS7
L6617
7L67
699'S
668'S
T10'9
£SI'9
008'S
60Z'9
££T'9
LL617
75917
I-01'90 T17
d
s0117T77
ITT'T
17667
9ZT'T
67177
TOZ'Z
Z176'I
6L6'I
660'1
916'0
vO1it0'I
L6Z17
I9L'£
9Z6Z
OZO'£
80I'7LS7
57CL
1708'I
9t97
tS£'£
00017
OI917
961'5
SZ£'9
9I7'L
58t'8
o0T'6£S'6
T9T'1
L9£'I
TLS'I
t LL: 1
18177
r0T17867
9S67
ZIT"!
ot-0I'£90'I
8£S'L
ZSZ'L
6LL'S
L8917
££Z'£
Z66'1
687'1
rr-01781'1
7I0'9
9L£17
ZLZ'£
0997
5£17
sr—OT't8£'I
CT—OT '961'9
X
f
LL6'1
N
£=Z
en
12 0'5
LZb'S
1781'5
£58'17
0507
L-0 I'LZ5'17
d
v0I'6176'0
S£L'17
10017
989'Z
9LVZ
SLZ'Z
0857
s01'105'1
t–OI'179Z'I
SZI'17
100'9
o0.1'5176'8
817I 'I
58£'I
ZI9'I
££8'I
89£7
t01'I687
it–OI'IOW!
N
X
f
0`8
LLL'L
L0I'9
91017
££0'£
817£'Z
£5I'17
ZL9'5
Z56'5
SZ£'S
Z117'5
98L'17
L6517
I-017LI'17
LL8'I
zT-0FOL£'I
LZ5'6
si–OI'OZZ'17
d
v0.1' IZ6'I
s01'Z00'5
1701'8Z.1'I
£08'£
7.1£'S
£80 -£
OIL'Z
1597
£9I'Z
80I'I8I7
817£7
1I9'I
T2-011'5£17'I
LZ5'8
1817'L
085'17
17Z17'£
9L9 'Z
LLO'Z
Z£L'I
zi-0I•I60'I
8i-0I'96L'17
X
f
N
=Z
0`9 = Z
iLL'£
117£17
5L817
Z£Z'S
859'5
1709'5
L00'9
OI1'9
6176'17
595't
T-0 .1'991'17
6Z0'Z
L5L'0
8178'0
9L0'I
v0I'188'0
801'968'5
v0I'1788'0
008'£
9067
5697
5057
80179£7
666'6
£6Z7
8I£'£
668'17
Str9
£817'L
001'099'8
060'I
LO£'I
61S'I
6ZL'I
9£6'I
617177
T01'8567
608'£
850'£
99CZ
60Z7
Z85'I
179 VI
II-0I '100'!
L17.1 '5
IL9'£
6587
17LZ'Z
L58'1
zi–OI'65I'I
si-0I'££I'S
d
N
X
f
0`S = Z
T-0rc60'I
L09'£
Z6Z'S
60L'9
°OI'000'8
6£0'I
179Z'I
£8T1
L69'i
LOCI
9ZVZ
z01'6£67
LO5'17
817£'5
1759'5
0817'5
LIS'S
LAL'S
50Z'9
IL0'9
0E0'5
IZ917
t–OI'9LI'7
a
£171 '£
Z6L'0
891'I
01707
I£I'I
0517'I
568'0
L06'0
v0I'8Z6'0
65Z'17
LO£'£
7Z87
ZZ87
80I'£L177
z--0I' £176'8
£60'L
£907
08£'5
100'£
Z90'5
SLL' £
ZZ91:7
£L1717
5177'£
51.'5
ZL97
8Z6"9
I8L'1
Z90'8
86£'I
00I'59I'6
u–OI'080'I
I£I'I
OL9'5
I17£'I
1710'7
6175'1
L90'£
55C 89177
656'1
I86'.1
L9VZ
2;1 -01.05Z'I
tO.1'£L67
81-01'999.5
N
X
0`7 = Z
I
Z=10,0
J
X
3.632.10-13
8.919
9.139
l.751.10- 12
2.169
2.271
3.562
5.634
2.828.101
2.291
1.732
l.496
1.249
9.798.10°
6.634
l.414.10 -1
Z=12,0
N
4.436.102
3.742.103
2.218
0.965
3.196
8.933
P
5.545.10 -1
4.500
4.997
4.665
J
X
N
P
3.293.10-13
8.607
8.718
l.687.10-12
l.763
l.781
3.317
2.749.101
2.193
l.600
l.341
l.058
7.212.10°
l.549.10-1
4.152.102
3.670.103
l.108
0.497
8.884
5.157.10-1
3.691
2.801
Z=14,0
J
X
2.983.10-13
7.946
8.527
l.566.10- 12
1.415
l.701
2.653.101
2.071
l.428
l.131
7.747.10°
l.673.10 -1
Z=16,0
N
5.092.102
3.272.103
3.209.102
2.038.103
P
4.708.10 -1
2.718
J
X
N
P
3.775.10-13
7.123
8.527
l.073.10-12
1.415
2.537.101
l.921
1.200
8.248.10°
l.788.10 -1
6.283.102
1.167.103
3.028.103
3.489.10 -1
Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
137
wurden von ihm auch auf die K-Komponente reduziert. Die unserem Mode ll zugrunde
liegende Rotationssymmetrie war bei dieser Korona besonders gut erfüllt und erlaubte
es deshalb,' die gemittelten Werte in einem einzigen Quadranten zusammenzufassen.
Da die vorliegende Berechnung auf horizontale Schnitte bei verschiedenen Höhen
angewiesen ist, war es nötig, die in Winkelabständen von 10° gegebene radiale Helligkeitsverteilng durch Interpolation in eine horizontale umzuwandeln. Auf den in
Tabelle III angegebenen 20 Höhen zi wurden zunächst die zu den vorliegenden
Radien gehörenden horizontalen Abstände x hi numerisch ermittelt. Die zugeordneten Helligkeiten entstanden ebenfalls numerisch (nach Umrechnung in Einheiten
des Sonnenzentrums) durch lineare Interpolation der auf demselben Kreisbogen
liegenden benachbarten Werte. Zu diesem Zweck wurde ein zusätzliches Rechenprogramm für die ERMETH aufgestellt, welches die für das Hauptprogramm benötigten Eingangswerte samt Parameter automatisch in der richtigen Reihenfolge auf
Lochkarten herausdruckt. Eine Wiederholung mit beliebig vorgegebenen Höhen z
an anderen radialen Verteilungen ist deshalb auch in Zukunft möglich. Die nach
dieser Methode auftretende unregelmässige Verteilung der Abstände auf grösseren
Höhen entspricht ungefähr dem dort wechselnden Gradienten der Helligkeit. Elektronendichte und Polarisation der auf diese Art (mit a = 0,2 und b = 0,8 nach [5]
bei der Wellenlänge A..4300 Å) durchgeführten automatischen Rechnung sind in
Tabelle II für verschiedene Höhen z mitgeteilt. Für einen Schnitt am Äquator mit
37 Punkten benötigt der Computer 30 Min. Rechenzeit. Auf grösseren Höhen nimmt
diese ungefähr quadratisch ab mit der Anzahl der Punkte, so dass für einen Polarisationsfall und für eine Korona im ganzen etwa 6-8 Stunden zu belegen sind.
3. Diskussion der Resultate
Die ausgeführte Kontrollrechnung lässt sich natürlich mit der Hauptrechnung
nur insofern vergleichen, als für die Eingangswerte eine «glatte» Kurve verwendet
wird, womit aber wenigstens gezeigt ist, dass die Schwankungen der Ausgangswerte
Nie nur zu einem sehr geringen Teil auf die von uns gewählte numerische Näherung
zurückzuführen sind und dass diese als Ausgangspunkt für weitere Untersuchungen
prinzipiell geeignet ist, sofern die anderen Schwankungsursachen noch etwas herabgedrückt werden können. Als solche ist vor allem die Messungenauigkeit in Verbindung mit dcm Auftreten der Ableitung zu nennen, welehe sich trotz des Integrationsprozesses im Resultat noch ziemlich auswirkt. Andererseits ist es durchaus
denkbar, dass auch bei monotoner Abnahme der Helligkeit ihre Ableitung einer
reellen Schwankung unterliegt (z. B. durch Schnitt mit Koronastrahlen), welche sich,
innerhalb unseres rotationssymmetrischen Modelles, in ebensolchen Dichteschwankungen äussern muss. Die Abtrennung solcher reeller Schwankungen von Messfehlern ist schwierig durchzuführen, da in jedem Falle (auch bei numerischen Glättungsmethoden, welche in unseren Prozess einzubauen wären) eine gewisse Willkür
vorhanden ist, die nur durch weitere physikalische Annahmen eingeschränkt werden
könnte. Es wurde deshalb auf die Glättung der Eingangswerte verzichtet und eine
solche erst im Schlussresultat (graphisch) vorgenommen, um nicht von vornherein
eine mögliche physikalische Information zu unterdrücken oder zu verfälschen. Aus
138
Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft in Zürich
1963
dem gleichen Grunde ist von der bereits erwähnten analytischen Darstellung der
Eingangswerte abzusehen.
Falls es sich als nötig erweist, die jetzt in diskreten Zahlen vor licgende Elektronendichte für weitere Berechnungen in analytischer Form zu haben, sollte dies erst
nachträglich mit einer geeigneten Approximationsmethode geschehen. In Anbetracht
der mannigfaltigen, zum grossen Teil unregelmässigen Koronaformen, innerhalb
welcher die vorliegende eine Ausnahme bildet, ist es auch nicht sehr sinnvoll, dem
Problem der Schwankungen eine allzugrosse Bedeutung beizumessen.
Zur Orientierung über die räumliche Dichteverteilung wurde mit Hilfe der berechneten und ausgeglichenen Kurvenschar ein Iso-Elektronenbild hergestellt, welches
einen Schnitt durch die Flächen gleicher Elektronendichte darstellt (Fig. 3). Die
erste Kurve entspricht einer Dichte von 108 cm-3 . Die logarithmische Abnahme
beträgt dann 0,2 bis zur 11. Kurve, die restlichen sind mit einer solchen von 0,25
eingezeichnet. In Übereinstimmung mit unseren Annahmen und mit der Mitteilung
über die vier Quadranten sind die Linien senkrecht zu den Rändern aufgetragen
worden, was auf der z-Achse teilweise als Hilfsmittel für die Extrapolation benützt
wurde.
Das Iso-Elektronenbild entspricht im inneren Teil dem von WALDMEIER [12] hergestellten Isophotenbild derselben Korona und zeigt dieselben typischen Merkmale,
vor allem die Erhöhung des Gradienten beim Positionswinkel 60°. Bemerkenswert
ist, dass sich nach diesem Bild am Pol eine höhere Elektronendichte ergibt als am
Äquator (bei R= Ro).
Dem äusseren Teil kann nur noch qualitativer Charakter zugesprochen werden,
da sowohl rechnerische Gründe (Wahl grosser Intervalle) als auch messtechnische
(Streulicht) das Resultat fragwürdig erscheinen lassen. Dasselbe gilt für den Polarisationsgrad P, dessen Verlauf am Äquator übereinstimmt mit dem von BAUMBACH
[13] berechneten.
Hauptanliegen dieser Arbeit war die Entwicklung eines rationellen mathematischen
Apparates, der mit seinen verschiedenen Möglichkeiten in Zukunft für weitere Messungen verwendet werden soll, wobei in erster Linie an die Variation der Elektronendichte mit dem 11 jährigen Zyklus gedacht wird. Eine feinere Einteilung der Messpunkte ist dabei noch zu verantworten in Anbetracht der relativ kurzen Rechenzeit.
Die hier noch nicht verwendeten Möglichkeiten der übrigen Polarisationsfälle können
eventuell benützt werden für die Abtrennung der K-Korona, da, wenn eine solche
richtig vorgenommen ist, bei verschiedenen Polarisationen lmmer dieselbe Elektronendichte herauskommen muss.
Ich danke Herrn Prof. Dr. M. Waldmeier für seine Unterstützung und sein anhaltendes Interesse
an dieser Arbeit sowie für das zur Verfügung gestellte Material der Korona 1954.
Ebenso zu Dank verp flichtet bin ich den Herren Prof. Dr. E. Stiefel und Prof. Dr. H. Rutishauser
für wertvolle Ratschläge und für die kostenlose Benützung der ERMETH. Herrn Dr. Th. Ginsburg
danke ich für seine Assistenz bei der Arbeit am Computer.
Jahrgang 108 G. WIDMER. Bestimmung der Elektronendichte der Sonnenkorona
Literaturverzeichnis
1. SCHWARZSCHILD K.: Astr. Mitt. Gött. 13, 1 (1906).
2. MINNAERT M.: Z. Astrophysik 1, 209 (1930).
3. BAUMBACH S.: A.N. 263, 121 (1937).
4. HULSr v. d. H.: B.A.N. 11, 135 (1950).
5. WALDMEIER M.: Ergebnisse und Probleme der Sonnenforschung, Leipzig 1955.
6. KOWALEWSKI G.: Integralgleichungen, Berlin u. Leipzig 1930.
7. VOLTERRA V.: Drei Vorl. über Fortschr. d. math. Phys., Leipzig 1914.
8. Mitteilungen aus d. Inst. f. angew. Math. a. d. ETH, Zürich, Nr. l-3.
9. WALDBURGER H.: Gebrauchsanl. f. d. ERMETH, Inst. f. angew. Math. a. d. ETH.
10. WALDMEIER M.: Z. Astrophysik 41, 130 (1956).
11. WALDMEIER M.: Z. Astrophysik 46, 17 (1958).
12. WALDMEIER M.: Z. Astrophysik 53, 81 (1961).
13. BAUMRACH S.: A.N. 267, 273 (1938).
14. SCHWARZ H. R.: Communications of the ACM 5, 82 (1962).
139