PV - Universität Hamburg
Transcrição
PV - Universität Hamburg
Finanzierung Kapitel 4: Der Zeitwert des Geldes von Prof. Dr. Michael Adams Sommersemester 2010 Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Grundlegendes zur Investitionstheorie • Jedes Investitionsprojekt kann abstrakt als eine zeitliche Verteilung von Cash-Flows betrachtet werden. werden Zeitpunkt 0 1 2 3 4 5 ... Cash‐In‐ /Out‐Flow /Out Flow ‐100 100 20 ‐20 20 30 10 15 ... • Eine Investition, die mit einer Auszahlung beginnt und in den Folgeperioden nur noch Einzahlungen erwirtschaftet wird “Normalinvestition” genannt (“es gibt nur einen Vorzeichenwechsel im Cashflow-Profil”). • Die Beträge dürfen nicht direkt miteinander addiert werden: Verzicht auf Kapital heute ist nicht kostenlos. Der Preis des Geldes ist der Zinssatz. Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Grundlegendes zur Investitionstheorie • Zinssatz: Prozentualer Betrag eines verliehenen Kapitalbetrages Üblicherweise in Dezimalschreibweise Kapitalbetrages. notiert . • Zinsfaktor: 1 + Zinssatz • Einfache Verzinsung (Simple Interest) – Zinsen, die nur auf den ursprünglichen Anlagebetrag verdient werden. • Zinseszins (Compound Interest) – Zinsen, die auf Zinsen verdient werden. Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Grundlegendes zur Investitionstheorie • Endwert (Future Value) – Betrag, auf den eine Investition einschließlich Zinsen nach einer bestimmten Zeit (üblicherweise das zeitliche Ende der mit der Investition verbundenen Unternehmung) anwächst. • Barwert (Present Value) – Wert, den eine zukünftige Zahlung heute besitzt • Mithilfe Mithilf der d Zinsrechnung Zi h können kö Endwerte E d t in i Barwerte B t und umgewandelt werden. Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Endwerte (Future Values) Beispiel zur einfachen Verzinsung und Berücksichtigung von Zinseszinsen Zinsen, die auf eine für 5 Jahre angelegte Summe von 100 bei 6% Zinsen verdient werden. Zeitpunkt Cashflow Wert der Anlage bei einfacher Verzinsung Wert der Anlage bei Berücksichtigung von Zinseszinsen Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft 0 100 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 100 106 112 118 124 130 100 106 112,36 119,1016 126,247696 133,822558 Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Endwerte (Future Values) Der Endwert bzw. Futurevalue von $100 errechnet sich unter Berücksichtigung von Zinseszinsen gemäß: FV $100 (1 r)) FV=$100×(1+ t Siehe Beispiel: FV = $100 × (1 + .06) = $133 .82 5 Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Endwerte bei Zinseszins 7000 Zinssätze: 6000 0% FV of $1 100 5% 5000 10% 4000 15% 5% Endwerte nach 30 Jahren 100 432,194238 1744,94023 6621,1772 0% 5% 10% 15% 3000 2000 1000 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 Number of Years Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Der Verkauf der Insel Manhattan Peter Minuit kaufte 1626 Manhattan Island für $24 von den dort lebenden Indianern. Um zu beantworten, ob sich das G häf gelohnt Geschäft l h hat, h muss man dden Endwert E d d 24 $ im der i Jahr 2003 berechnen. Unterstellt werden 8% jährlicher Zinssatz. Zinssatz 377 FV = $24 × (1 + .08) = $ 95.712.147.424.566 Probleme: Finde den richtigen Zinssatz und berücksichtige spätere Cashflows Cashflows. Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Barwerte (Present Values) Barwert: Der heutige Wert eines zukünftigen Geldbetrages. g Diskontierungsrate: Zinssatz, der benutzt wird um den Barwert zukünftiger g Zahlungen g zu errechnen. Diskontierungsfaktor: Der Barwert von 1$ zukünftiger g Zahlung g PV = Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Wert nach t - Perioden (1 + r) t Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Present Values Beispiel Sie haben heute einen neuen Computer gekauft. Die Zahlungsbedingungen sehen vor, dass sie in 2 Jahren 3000 € bezahlen müssen. Wie viel Geld müssen sie heute anlegen, um bei einem Zinssatz von 8% die in zwei Jahren fällige g Zahlung g aufzubringen? g PV = Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft 3000 (1.08 ) 2 Finanzierung = $2,572 Prof. Dr. Michael Adams Present Values – Diskontierungsfaktoren Der Diskontierungsfaktor (DF) multipliziert mit dem Futurevalue eines Cashflows ergibt seinen Presentvalue. Er hängt von der Zeitspanne und dem Zinssatz ab ab. DF = Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft 1 (1+ r ) t Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Der Zeitwert von Geld (Time Value of Money) • Die Barwertformel hat viele Anwendungen. Hat man die Angaben bis auf eine, eine kann man die Gleichung nach der verbliebenen Variablen lösen. PV=FV× Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft 1 (1+r)t Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Barwert mehrfacher Kapitalströme Beispiel Ihr Autohändler gibt Ihnen die Wahl, ob sie $15,500 heute bar zahlen, oder drei Zahlungen machen mit $8,000 jetzt und jeweils $4,000 am Ende der folgenden zwei Jahre. Wenn Sie ihr Geld 8% kostet, was werden sie bevorzugen? 8 , 000 PV 0 = Zahlungheu te = = 8 , 000 0 (1 + 08 ) PV 1 = 4 , 000 (1 + . 08 )1 PV 2 = 4 , 000 (1 + . 08 ) 2 Total PV Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft = 3, 703 . 70 = 3, 429 . 36 = $15,133.06 $15 133 06 Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Barwert mehrerer Geldzahlungen • Barwerte können addiert werden, um so den Wert mehrerer Geldzahlungen zu bewerten bewerten. • Barwerte müssen natürlich auf den selben Zeitpunkt bezogen g sein! PV = (1+r)1 + (1+r)2 + .... C1 Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung C2 Prof. Dr. Michael Adams Sonderfälle des Cashflow-Profils: Ewige Renten und Annuitäten(Perpetuities & Annuities) Ewige Rente (Perpetuity): Ein Strom von gleichen, äquidistanten Geldzahlungen, der niemals endet. Annuität (Annuity): Ein gleichmäßiger Strom von Geldzahlungen für eine begrenzte g Anzahl von Perioden. Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Perpetuities & Annuities Annahme: Sie zahlen heute 100€ auf ein Tagesgeldkonto ein und bekommen 3% Zinsen p p.a. a Solange Sie das Kapital nicht abziehen, erhalten Sie jedes Jahr 3€. Bankinsolvenz, Zinsänderungen g ausgeschlossen. g Die 100€ können dann bei einem Zinssatz von 3% p.a. als Barwert einer ewigen Rente von 3 € interpretiert werden. Daher ergibt sich der Barwert einer ewigen Rente als: PV = C r C = Geldzahlung (cash payment) r = Zinssatz (interest rate ) Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Perpetuities & Annuities Beispiel – Ewige Rente Um eine Vermögensausstattung zu erzielen erzielen, die ewig $100 $100,000 000 pro Jahr erzielt, muss wieviel Geld heute zur Seite gelegt werden, wenn der Zinssatz 10% beträgt? PV = 100 ,000 .10 Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft = $1,000 ,000 Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Perpetuities & Annuities Fortsetzung des Beispiels Wenn die erste Zahlung der ewigen Rente erst in drei Jahren von heute an gerechnet beginnen soll, wieviel Geld muss man dann heute beiseite legen? PV = 1,000 ,000 3 (1+ 10 ) (1+.10 Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft = $751, 315 Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Perpetuities & Annuities Der Barwert einer Annuität ergibt sich wie folgt: Zeitpunkt PV der ewigen Rente PV einer verzögerte ö n ewigen Rente PV der Annuität 0 0 1 2 6 6 3 6 4 6 5 6 ... 6 0 0 0 0 6 6 6 0 6 6 6 0 0 0 PV = C Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft [ 1 r − 1 r (1 + r ) t Finanzierung ] PV = C r PV = C r (1+ r ) 3 PV = Cr − r (1C+ r )3 Der Barwert einer Annuität ergibt sich wie folgt: C = Geldzahlung (cash payment) r = Zinssatz Zi (i (interest rate)) t = Anzahl der Jahre, in der die Geldzahlung anfällt Prof. Dr. Michael Adams Perpetuities & Annuities Barwert Annuitätsfaktor (PV Annuity Factor (PVAF)): Der Barwert von einem Dollar pro Jahr für jedes von t Jahren Jahren. PVAF = Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft [ 1 r − Finanzierung 1 r (1 + r ) t ] Prof. Dr. Michael Adams Perpetuities & Annuities Beispiel Annuität: Sie kaufen ein neues Auto. Auto Sie müssen drei jährlich gleichhohe Zahlungen von $4,000 pro Jahr entrichten. Wie hoch ist der Preis / Barwert des Autos bei einem Zinssatz von 10% heute? PV = 4 , 000 [ 1 .10 − 1 .10 10 (1 + .10 10 ) 3 ] PV = $ 9 , 947 .41 Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Perpetuities & Annuities Beispiele für Anwendungen der Formel: • Wert von Zahlungen • Implizite Zinssätze für eine Annuität • Berechnung von periodischen Zahlungen ¾ Hypothekenkredite (Mortgage payment) ¾ Jährliche Einnahmen aus einer Investition ¾ Der Endwert von jährlichen Zahlungen FV = [C × PVAF ] × (1+ r) Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams t Perpetuities & Annuities Beispiel: der Endwert von jährlichen Zahlungen Sie planen 20 Jahre lang jedes Jahr $4,000 $4 000 zu sparen sparen, um dann in den Ruhestand zu treten. Bei einem Zinssatz von 10%, wie hoch wird der Wert ihres Konto sein, wenn sie sich in 20 Jahren zur Ruhe setzen? FV = 4 , 000 [ 1 .10 10 − 1 .10 10 (1 + .10 10 ) 20 ] × ((1 + .10 ) 20 FV = $ 229 ,100 Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Annuitäten und ewige Renten • In Deutschland hatten sich die Begriffe etabliert: ¾ ¾ ¾ ¾ Annuität * Rentenbarwertfaktor = Barwert Annuität = Wiedergewinnungsfaktor * Barwert Annuität * Endwertfaktor = Endwert Endwert * Tilgungsfaktor = Annuität • ACHTUNG: Bislang haben wir nachschüssige Cash Cash-Flows Flows betrachtet. Bei direkter / vorschüssige Zahlungskonsequenz g q muss jjede Zahlung g mit 1+r multipliziert werden (annuity due!) Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Inflation Inflation – Rate, zu der die Preise in einer Volkswirtschaft / in einem Währungsraum ansteigen. Nominale Zinsrate – Rate, mit der das investierte Geld nominal wächst. Reale Zinsrate – Rate, mit der die Kaufkraft des investierten Geldes wächst. Es besteht ein Zusammenhang zwischen nominaler und realer Zinsrate! Dieser wurde von I.Fisher zur Erklärung des “FisherEffektes” formuliert: Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Inflation 1 + real interestrate = 1+nominalinterestrate 1+inflationrate Approximation: 1 + Realer R l Zinssatz Zi t ≈ 1 + Nominaler N i l Zinssatz Zi t – (erwartete) ( t t ) Inflationsrate I fl ti t Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Dr. Tobias Effertz Inflation Beispiel B i i l Wenn der Zinssatz für einjährige Regierungsschuldverschreibungen 5.0% beträgt g und die Inflationsrate ist 2.2%,, wie hoch ist dann die reale Verzinsung? .050 050 1 + reall interest i rate = 11++ .022 1 + reall interest i rate = 1.027 1 027 reall interest i t t rate t = .027 027 or 2.7% 2 7% Approximation i i Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft = .050 050 - .022 022 = .028 028 or 2.8% 2 8% Finanzierung Dr. Tobias Effertz Effektiver Zinssatz • Effektiver Jahreszins (Effective Annual Interest Rate): Jahresverzinsungg unter Zinseszins-Berücksichtigung g g der periodenbezogenen Einzelzinsen Beispiel: 1% pro Monat = 1,01^12 Effektiver Jahreszins = 12,68% • Annual Percentage Rate – Jahreszinssatz ohne Berücksichtigung von Zinseszinseffekten. (US-Besonderheit) Beispiel 1% pro Monat = 12% Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Effektiver Zinssatz • Insbesondere Kreditinstitute haben zusätzlich die Möglichkeit durch das sog sog. Agio (Aufgeld) bzw bzw. Disagio (auch Damnum) die effektive Verzinsung einer Forderung/Kredit zu steuern. • Kreditinstitute sind dazu verpflichtet, zum Schutze der Gläubiger/Anleger/Kreditnehmer den effektiven Zinssatz anzugeben bzw. bzw auszuweisen, auszuweisen um eine (mögliche) Fehlorientierung der Anleger/Kreditnehmer zu vermeiden. § 492 I,5 , BGB Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Effektiver Zinssatz • Durch eine häufigere Verzinsung kann ebenfalls der effektive Zinssatz geändert werden: Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Finanzierung Prof. Dr. Michael Adams Beispiel – Effektiver Jahreszins • Die Lüneburger-Krösus-Bank vergibt einen Kredit in Höhe von 5000€,, der in 24 Monatsraten à 217,82€ , zu tilgen g ist. Wie hoch ist der Monatszins und der „effektive ZweiJahreszins“. Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft Beispiel – Effektiver Jahreszins 2 • • Die Lüneburger-Krösus-Bank vergibt einen Kredit in Höhe von 5000€, der in 24 Monatsraten à 217,82€ zu tilgen ist. Als effektiver Jahreszins sind 4,4% angegeben. Wie hoch ist der Monatszins und der „effektive Zwei-Jahreszins“. 1 12 = 1,00359474 1 , 044 1 044 1,044 • 2 = 1 , 089936 Die monatliche Verzinsung g beträgt g 0,3594 , %, der effektive Zweijahrszins liegt bei 8,9936. Der Endwert Liegt bei 5449,68€. Universität Hamburg Institut für Recht der Wirtschaft