docDarstellungstheorie der symmetrischen Gruppe – Der Okounkov
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Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe – Der Okounkov
Seminar: Darstellungstheorie der symmetrischen Gruppe – Der Okounkov—Vershik Ansatz WS 2016/17 Köln Mittwochs 16.17:30, Seminarraum 1 (Raum 005) MI Peter Littelmann, Lara Bossinger Vortrag 1: Einführung in die Darstellungstheorie endlicher Gruppen und Schurs Lemma 26.10.2016, Ina -‐Definitionen: Gruppe, Darstellung einer Gruppe, Morphismen, Unterdarstellungen, einfache Darstellung, Quotienten von Darstellungen -‐Definitionen: Gruppenalgebra, Moduln, Modulmorphismen, Untermoduln, einfache Moduln, Quotienten von Moduln -‐Bijektion zwischen Moduln der Gruppenalgebra und Darstellungen der Gruppe -‐Schur’s Lemma mit Beweis -‐Beispiele für alle Definitionen und Gegenbeispiel zu Schur’s Lemma mit nicht einfachem Modul. Referenzen: Alperin S. 107-‐110 und S. 113-‐114 für Schur’s Lemma Fulton-‐Harris S. 5-‐7 Vortrag 2: Halbeinfache Algebren und Maschke’s Theorem 02.11.2016, Laurenz -‐Definition: halbeinfache Moduln, halbeinfache Algebren -‐Maschkes Theorem für Gruppenalgebren -‐Beispiel: Matrixalgebren, obere Dreickesmatrizen als Beispiel für nicht halbeinfache Moduln Referenzen: Alperin S. 116 (Maschke), S. 120-‐123, Lang S. 645-‐646 Vortrag 3: Wedderburn Theorem 09.11.2016, Thuy-‐Mi -‐Definitionen: opposite Algebra, Endomorphismen Algebra -‐Lemmata: Endomorphismen Algebra und direkte Summe, Endomorhismen Algebra und opposite Algebra, Endomorphismen Algebra und Matrix Algebra Referenzen: Alperin S. 125-‐129, Lang S. 646-‐649 Vortrag 4: Charaktere 16.11.2016, Nakieta -‐Definitionen: Grade der Gruppenalgebra, Konjugationsklassen, Charakter eines Moduls, regulärer Charakter, irreduziebler Charakter -‐Wedderburn für Gruppenalgebren und Folgerung für Ordnung der Gruppe -‐Eigenschaften von Charakteren: direkte Summen, Eigenwerte, komplex Konjugierte, als Funktionen -‐Beispiele zu Theorem 7 Alperin und in positiver Charakteristik Referenzen: Alperin S. 138-‐143 Vortrag 5: Charaktertafeln 23.11.2016, Clarissa -‐Definitionen: Klassenfunktionen, Inneres Produkt, Charaktertafeln -‐Dimension eines Moduls, Charaktere als Basis, Zeilenorthogonalität, Spaltenorthogonalität -‐Beispiel: Symmetrische Gruppe S_4 Charaktertafel Referenzen: Alperin S.143 -‐149, Fulton—Harris S. 18-‐19 Vortrag 6: Frobenius Reziprozität 30.11.2016, Jennifer -‐Definitionen: Induktion, Restriktion, Tensorprodukt von Darstellungen, äußeres Tensorprodukt -‐Frobenius Reziprozität -‐Beipiele: Symmetrische Gruppe und Alternierende Gruppe Referenzen: Sagan S. 43-‐48, Notation aus Fulton-‐Harris S. 32-‐35 Vortrag 7: Young Graph und Contentvektoren 07.12.2016, Sebastian -‐Definitionen: Young Diagramm, Young Tableaux, Young Graph, Partitionen, zulässige Permutation, kanonisches Tableaux, Content -‐Umformen beliebiger Tableaux zum kanonischen -‐Beispiel: Contentvektoren und Wege im Young Graph zu S_4 -‐weitere Beispiele und Bilder Referenzen: Kleshchev S. 14-‐15 und Lemma 2.2.8, P. Py S. 5, Okounkov—Vershik S.19-‐21 oben, Tania Silva slides Vortrag 8: Jucys Murphy Elemente und Multiplizitätenfreiheit 14.12.2016, Svenja -‐Definitionen: Jucys Murphy Elemente, Zentralisatoralgebra -‐Erzeuger der Zentralisatoralgebra -‐Kommutativität der Zentralisatoralgebra und Restriktion endlich-‐dimensionaler Moduln -‐Restriktion eines S_n Moduls nach S_n-‐1 ist multiplizitätenfrei -‐Beispiel: S_4 Jucys Murphy Elemente Referenzen: Kleshchev Lemma 1.0.1, S. 7-‐9, Tolli S. 64-‐65, Okounkov—Vershik S. 8-‐9, S. 13 oben Vortrag 9: Branching Graph und Gelfand-‐Tsetlin Basis 21.12.2016, Stefan Definitionen: Braching Graph, Gelfand-‐Tsetlin Basis (Young Basis) -‐Restriktion zu S_0 -‐Beispiel: Standarddarstellung der S_4 Gelfand-‐Tsetlin Basis und Branching Graph Referenzen: Kleshchev S. 9-‐11, Okounkov—Vershik S. 12-‐13, Tania Silva slides Vortrag 10: Gelfand-‐Tsetlin Algebra und Coxetererzeuger 11.01.2017, Dario -‐Definitionen: Gelfand-‐Tsetlin Algebra (auch GZ-‐algebra), Coxetererzeuger, Gewichte -‐Wirkung der Coxetererzeuger auf dem Branching Graph -‐Gewichte entsprechen Contentvektoren -‐Beispiel: Standarddarstellung der S_4 Gewichte der Jucys Murphy Elemente unter Identifikation von S_4 mit Permutationsmatrizen Referenzen: Kleshchev S. 10-‐12, Okounkov—Vershik S. 14-‐15, Tania Silva slides Vortrag 11: Branching Graph und Young Graph sind identisch 18.01.2017, Ngoc-‐Anh -‐Definitionen: die Algebra H_2, B_i-‐tripel, H_2-‐Moduln -‐Irreduzible H_2-‐Moduln -‐Braching Graph entspricht Young Graph, Folgerungen und Beispiele Referenzen: Kleshchev S. 12-‐14, S. 16-‐17, Okounkov—Vershik S. 15-‐19 Vortrag 12: Specht Moduln oder der klassische Ansatz 25.01.1017 -‐Definitionen: Permutationsmoduln, Specht Modul -‐Specht Moduln sind irreduziebl -‐alle irreduziblen Moduln sind Specht Moduln -‐Untermodultheorem -‐Permutationsmoduln zerfallen Referenzen: Sagan S. 60-‐66 Literatur: *Alperin, J. L. (1-‐CHI); Bell, Rowen B. (1-‐CHI) FGroups and representations. (English summary) Graduate Texts in Mathematics, 162. Springer-‐Verlag, New York, 1995. x+194 pp. $49.95. ISBN 0-‐387-‐94525-‐3 *Fulton, William (1-‐CHI); Harris, Joe [Harris, Joseph Daniel] (1-‐HRV) FRepresentation theory. A first course. Graduate Texts in Mathematics, 129. Readings in Mathematics. Springer-‐Verlag, New York, 1991. xvi+551 pp. $49.50; $29.50 paperbound. ISBN 0-‐387-‐97527-‐6; 0-‐387-‐97495-‐4 *Sagan, Bruce E. [Sagan, Bruce Eli] (1-‐MIS) FThe symmetric group. Representations, combinatorial algorithms, and symmetric functions. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 203. Springer-‐ Verlag, New York, 2001. xvi+238 pp. $44.95. ISBN 0-‐387-‐95067-‐2 * Lang, Serge (1-‐YALE) FAlgebra. (English summary) Revised third edition. Graduate Texts in Mathematics, 211. Springer-‐Verlag, New York, 2002. xvi+914 pp. $69.95. ISBN 0-‐387-‐95385-‐X *Kleshchev, Alexander (1-‐OR) FLinear and projective representations of symmetric groups. Cambridge Tracts in Mathematics, 163. Cambridge University Press, Cambridge, 2005. xiv+277 pp. $80.00. ISBN 0-‐ 521-‐83703-‐0 *Py, P. [Py, Pierre] (F-‐ENSLY) On representation theory of symmetric groups. (English. Russian summary) Zap. Nauchn. Sem. S.-‐Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 301 (2003), Teor. Predst. Din. Sist. Komb. i Algoritm. Metody. 9, 229–242, 245–246; reprinted in J. Math. Sci. (N.Y.) 129 (2005), no. 2, 3806– 3813. *Vershik, A. M. [Vershik, Anatoli˘ı Moiseevich] (RS-‐AOS2); Okun0kov, A. Yu. [Okounkov, Andrei] (1-‐PRIN) A new approach to representation theory of symmetric groups. II. (Russian. English, Russian summaries) Zap. Nauchn. Sem. S.-‐Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 307 (2004), Teor. Predst. Din. Sist. Komb. i Algoritm. Metody. 10, 57–98, 281; translation in J. Math. Sci. (N. Y.) 131 (2005), no. 2, 5471– 5494. *Ceccherini-‐Silberstein, Tullio [Ceccherini-‐Silberstein, Tullio G.] (I-‐SAN); Scarabotti, Fabio (I-‐ROME); Tolli, Filippo (I-‐ROME3) FRepresentation theory of the symmetric groups. The Okounkov-‐Vershik approach, character formulas, and partition algebras. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 121. Cambridge University Press, Cambridge, 2010. xvi+412 pp. $78.00. ISBN 978-‐0-‐521-‐11817-‐0 *Tânia Silva, http://www.math.uni-‐bonn.de/veranstaltung/ywrep2016/Talk_Silva.pdf Title: Two different approaches to the representation theory of the symmetric group and the rook monoid, Abstract: There's a long history about the representation theory of the symmetric group and the rook monoid. Since the 19th century many mathematicians contributed to this theories, where the Young diagrams always take an important role. We'll try to resume the classic approach, which uses the Young symmetrizers and the Specht modules, and a more recent one which uses Jucys-‐Murphy elements and Gelfand-‐Zetlin bases. (Conference talk, Young women in Representation theory, Bonn June 23-‐25 2016)
