hu L syx ρ η

............................................................................... .............................................................................
(Name, Matr.-Nr, Unterschrift)
Klausur Strömungsmechanik II
07. 03. 2012
1. Aufgabe
(11 Punkte)
Zwischen zwei unendlich ausgedehnten Platten mit dem Abstand h befindet sich eine Newtonsche Flüssigkeit der Dichte ρ und der Zähigkeit η. Die obere Platte bewegt sich mit der
Geschwindigkeit uW und die untere Platte ist in Ruhe. Der Druck in x-Richtung ist konstant.
Es stellt sich eine stationäre ausgebildete inkompressible Strömung ein.
uw
s
h
y
ρ, η
x
L
a) Vereinfachen Sie unter der Annahme einer ebenen Strömung die Erhaltungsgleichungen
für Masse und Impuls (siehe Hinweis) für den betrachteten Fall.
b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeitsverteilung u(x, y). (Setzen Sie dafür die Beziehungen der Newtonschen Flüssigkeit aus dem Hinweis in die in Aufgabenteil a) vereinfachten
Gleichungen ein.)
c) Bestimmen Sie den Wirbelvektor ⃗ω (x, y).
d) Bestimmen Sie die Zirkulation Γ entlang der in der Skizze angegebenen Kurve s und den
Wirbelfluss Ω durch die von der Kurve s aufgespannte Fläche.
Gegeben:
uW , h, L
Hinweis:
• Die Erhaltungsgleichungen für Masse und Impuls lauten:
dρ
+ ρ(∇ · ⃗v ) = 0
dt
∂⃗v
ρ
+ ρ (⃗v · ∇) ⃗v = −∇p + ∇ · τ
∂t
• Für eine Newtonsche Flüssigkeit gilt:
τxx
∂u
= 2η
∂x
τyy
∂v
= 2η
∂y
(
τxy = τyx = η
∂u ∂v
+
∂y ∂x
)
2. Aufgabe
(11 Punkte)
u∞
H
Ein Leuchtturm (Durchmesser D, Höhe H) wird mit der Geschwindigkeit u∞ angeströmt. Auf
der windabgewandten Seite bildet sich eine Kármán’sche Wirbelstraße aus, deren Wirbel mit
der Frequenz f abschwimmen. Um die Windkraft FW auf den Leuchtturm zu bestimmen, sollen
Windkanalexperimente durchgeführt werden.
a) Bestimmen Sie mit dem Buckinghamschen π-Theorem die dimensionslose(n) Kennzahl(en)
des Problems und überführen Sie die erhaltene(n) Kennzahl(en) in bekannte Kennzahlen
der Strömungsmechanik.
Gegeben für a): Alle notwendigen Referenzgrößen
Die Experimente sollen in einem sogenannten Kryo-Kanal bei Bedingungen mit geringer Temperatur (pM odell = p0 , TM odell < TReal ) an einem Modell im Maßstab 1:10 erfolgen. Bei dem
Medium im Kryo-Kanal handelt es sich um ein ideales Gas (RM odell = RReal , γ = 1, 4). Für
die Zähigkeit der Luft und des Modell-Gases soll gelten:
( )0,72
T
η(T ) = η0
, mit η0 = η0,Real = η0,M odell
T0
b) Wie groß ist das Verhältnis der Frequenzen der abschwimmenden Wirbel
fM odell
?
fReal
c) Der Versuch soll durchgeführt werden, ohne Kompressibilitätseffekte im Modell berücksichtigen zu müssen. Bis zu welcher Windgeschwindigkeit in der Realausführung eignet
sich das betrachtete Modell?
Gegeben für b) und c):
DReal
= 10, T0 , TM odell , RReal , γ
DM odell
Hinweis zu b):
Nehmen Sie am Ort des realen Leuchtturms die Umgebungsbedingungen (TReal = T0 , pReal =
p0 ) an.
3. Aufgabe
(11 Punkte)
Das ebene Strömungsfeld zweier gleichstarker Wirbelstürme, die sich umeinander drehen, soll
mittels der Potentialtheorie untersucht werden. Der Abstand der beiden Wirbelstürme beträgt k.
y
2
1
x
x=0
x=k
a) Bestimmen Sie die komplexe Potentialfunktion F (z) mit Hilfe der gegebenen Elementarfunktionen. Geben Sie das Vorzeichen der Konstanten explizit an.
b) Hat diese Strömung Staupunkte? Begründen Sie kurz (ohne Rechnung) Ihre Antwort.
c) Skizzieren Sie das Stromlinienbild unter Angabe der Staupunkte und Staupunktstromlinien.
d) Bestimmen Sie die Geschwindigkeitskomponente in x-Richtung uind,1→2 , die von Wir1 im Zentrum von Sturm ⃝
2 (x = k, y = 0) induziert wird. Wie wird sich der
belsturm ⃝
Abstand der beiden Wirbelstürme mit der Zeit verändern?
e) Wie ändert sich die Staupunktposition qualitativ, wenn die Zirkulation von Wirbelsturm
1 erhöht wird? Begründen Sie Ihre Antwort kurz oder erläutern Sie Ihre Antwort mit
⃝
Hilfe einer Skizze.
Gegeben:
k,
alle benötigten Konstanten der Elementarfunktionen
Elementarfunktionen:
Parallelströmung:
Potentialwirbel:
Quelle/Senke :
F (z) = (u∞ − iv∞ )z
iΓ
ln z
2π
E
F (z) =
ln z
2π
F (z) = −
Staupunktströmung: F (z) = az 2
Dipol:
F (z) =
M
2πz
4. Aufgabe
(9 Punkte)
ua
ρ, η
u(y)
δ
y
x
L
V
An einer längs angeströmten ebenen Platte (Breite B) bildet sich eine laminare, inkompressible
Grenzschicht aus. Durch gleichmäßig in der Platte verteilte Bohrungen wird mit konstanter Geschwindigkeit über der Länge L der Volumenstrom V̇ abgesaugt. Für das Geschwindigkeitsprofil in x-Richtung in der Grenzschicht gilt der Polynomansatz:
(y )
( y )2
u(y)
= a0 + a1
+ a2
.
ua
δ
δ
a) Für die Berechnung der Koeffizienten nennen Sie die drei Randbedingungen, die das Problem eindeutig beschreiben.
b) Bestimmen Sie für diese Grenzschichtströmung die Koeffizienten a0 , a1 und a2 des Geschwindigkeitsprofils.
c) Die Platte wird nun als Bodenplatte in einem Windkanal mit divergentem Querschnitt
verwendet und die Grenzschicht löst im Punkt xab ab. Bestimmen Sie das Geschwindigkeitsprofil der Grenzschicht am Punkt der Ablösung als Funktion der gegebenen Größen.
Gegeben: V̇ , B, L, η, ρ, ua (xab ), δ(xab )
Hinweis:
• x-Impulsgleichung der Grenzschichtgleichungen für zweidimensionale stationäre inkompressible Strömungen:
∂u
1 ∂p η ∂ 2 u
∂u
+v
=−
+
u
∂x
∂y
ρ ∂x ρ ∂y 2
5. Aufgabe
(9 Punkte)
pK
p0
T0
Ae
Durch eine konvergente Düse strömt Luft aus der Umgebung in einen großen Kessel.
a) Bestimmen Sie den Massenstrom durch die Düse für einen Kesseldruck pK = 0, 7 p0 .
ṁ
b) Skizzieren Sie sorgfältig qualitativ den Verlauf des dimensionslosen Massenstroms
ρ0 c0 Ae
pK
als Funktion des Kesseldruckverhältnisses
.
p0
Gegeben:
p0 , T0 , γ = 1, 4 (Luft), R, Ae ,
pK
= 0, 7
p0
Hinweise:
T∗
2
=
T0
γ+1
( ) γ−1
( )γ−1
pa γ
ρa
Ta
=
=
Tb
pb
ρb
• kritisches Temperaturverältnis:
• Isentropenbeziehung:
6. Aufgabe
(9 Punkte)
a) Darf sich die Öffnung eines in der Luftfahrt zur Staudruckmessung eingesetzten Pitotrohrs
innerhalb der Grenzschicht befinden? Begründen Sie Ihre Antwort!
b) Zwei Düsenflugzeuge fliegen wie in untenstehender Abbildung parallel (Abstand b) mit
unterschiedlichen Geschwindigkeiten (uA < uB , MB > 1) durch Luft (Isentropenexponent γ, spezifische Gaskonstante R, Temperatur T ). Zur Zeit t = 0 wird das eine vom
anderen eingeholt. Nach welcher Zeit vernimmt das langsamer fliegende Flugzeug das
Geräusch des schnelleren?
uB
R
γ
T
b
uA
c) Geben Sie die Kutta’sche Abflussbedingung an. Wird diese in einer Potentialströmung
erfüllt?
d) Wie ändert sich die kritische Schallgeschwindigkeit c∗ über einen senkrechten Verdichtungsstoß? Begründen Sie Ihre Antwort!
e) In zwei Versuchen werden zwei ebene Platten unterschiedlicher Längen L1 und L2 mit
Luft mit der gleichen Geschwindigkeit längs angeströmt. Wie groß ist das Verhältnis der
Grenzschichtdicken an den Plattenenden, wenn die Grenzschichten laminar sind und kein
Druckgradient vorhanden ist?