Escoamento Estacionário - Tanques
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Escoamento Estacionário - Tanques
IF-USP Mecânica dos Fluidos 2o Semestre de 2016 Escoamento Estacionário - Tanques Exercı́cio 1. Certo dia, um jovem fı́sico triste após uma prova foi a um restaurante de fast food, para comer algo e tentar se alegrar um pouco. Ao chegar lá, observou as promoções do dia e notou que o combo do lanche McFlu estava barato. Ele pediu e veio além do lanche, um copo de suco e uma porção de batata frita. Conforme ele recebeu o lanche e sentou-se na mesa percebeu que havia um pequeno furo na parte lateral do copo, rente ao fundo. Ele precisava pedir um novo copo para não perder o precioso lı́quido. Dado que era um copo cilı́ndrico e a altura original do suco era de h0 , o raio do copo era R, o furo era circular de raio a, gravidade g e o suco como um fluido incompressı́vel e perfeito. Figure 1: Esquematização do copo. 1. Encontre a velocidade de escape ν do fluido pelo furo e a variação de volume função de ν. dV dt em 2. Encontre a velocidade ω com o qual o volume se esvai como uma derivada de h(t) e em função de ω. (Não é a velocidade de escape é a velocidade com que o escreva dV dt topo do suco vai descendo.) 3. Resolva a equação diferencial e compute h(t). 4. Usando os resultados anteriores, calcule o tempo T para que o suco escorra todo pelo furo. 5. Calcule quanto tempo o fı́sico tem para ir pedir outro copo, sendo que ele quer evitar menos de 10% de desperdı́cio do lı́quido, sendo R = 3cm, a = 0, 1mm, h0 = 15cm e g = 10m/s2 . 6. É visualmente claro que dh < 0. Caso tenha utilizado um modelo de escoamento dt estacionário, discuta o porquê. 1 IF-USP Mecânica dos Fluidos 2o Semestre de 2016 Exercı́cio 2. Após todo o drama vivido com o copo danificado o jovem fı́sico conseguiu trocá-lo e comer seu valioso lanche. Ao final percebeu que suas mãos estavam sujas devido ao óleo excessivo do lanche e ao suco que acabara vazando e entrando em contato com seus dedos. Então ele foi a pia do banheiro lavá-las. Após lavar em água abundante ele notou que ficava uma quantidade razoável de água na pia que descia vagarosamente. Ele ficou pensando ”Será que o cano está obstruı́do?”. Para resolver essa inquietação interna ele imaginou dois modelos fı́sicos para a situação. Figure 2: (a) tanque esférico sem cano acoplado ao ralo; (b) Pia com o cano desobstruı́do de tamanho y; (c) com o cano obstruı́do num ponto de distância y do ralo. A pia é semiesférica de raio R, o cano é cilı́ndrico de raio a e a altura inicial da água em relação ao ralo é h0 . Considere o fluido como ideal e incompressı́vel. Analise a situação após a torneira ter sido fechada e considere o escoamento estacionário. 1. Considerando o caso (b), no espı́rito do exercı́cio anterior, pela conservação de massa escreva a equação diferencial que caracteriza a função da altura do nı́vel de água na pia. (Dica: Monte com carinho o elemento diferencial do volume.) 2. No caso (b) ainda, integre a equação diferencial obtida em 1 e considere que a pia está totalmente cheia (h0 = R). Contemple como esse cano extra de tamanho y bagunça um pouco a equação, qual situação corresponderia a y = 0? (Não se preocupe em isolar h(t)) 3. (Dados: h0 = R = 30cm, a = 1cm, g = 10m/s2 ) Calcule o tempo necessário para esvaziar a pia nos casos de y = 0cm e y = 10cm. Pensando no caso (c), considere a obstrução como se mantivéssemos um cilindro, apenas com diminuição de raio. Basicamente o sistema torna-se a pia e em sequência um cilindro de raio a, terminando num ”furo” de raio b no centro do cilindro. 4. Para o item (c), encontre a nova velocidade de escape após a obstrução em função de h(t) e y. 5. Monte a equação diferencial e a integre, aproveite os resultados anteriores. 6. Encontre o tempo para esvaziar totalmente a pia nesse sistema e compare com os resultados anteriores. (Dados: R = 30cm, a = 1cm, g = 10m/s2 , y = 10cm, b = 0,5cm) 2 IF-USP Mecânica dos Fluidos 3 2o Semestre de 2016