mathematischer Texte - Beuth Hochschule für Technik Berlin

Mathematische Texte
Axiome
Mathematische Texte . . .
Steffen Voigtmann
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. . . sind sprachliche Texte.
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. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
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Die Bernoulli-Ungleichung
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Die Bernoulli-Ungleichung
Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
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Die Bernoulli-Ungleichung
Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder
gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich
selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder
gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich
selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null
ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets
größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, für die die um Eins vergrößerte Zahl größer oder gleich Null
ist, ist das n-fache Produkt der um Eins vergrößerten Zahl mit sich selbst stets
größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, 1+x größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt von 1+x
mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt
um Eins.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, 1+x größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt von 1+x
mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt
um Eins.
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vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist das n-fache Produkt von 1 + x mit sich selbst stets
größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist das n-fache Produkt von 1 + x mit sich selbst stets
größer oder gleich dem n-fachen derselben Zahl vermehrt um Eins.
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. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n stets größer oder gleich dem n-fachen
derselben Zahl vermehrt um Eins.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n stets größer oder gleich dem n-fachen
derselben Zahl vermehrt um Eins.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n stets größer oder gleich 1 + nx.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n stets größer oder gleich 1 + nx.
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n ≥ 1 + nx.
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
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Die Bernoulli-Ungleichung
Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1, ist (1 + x)n ≥ 1 + nx.
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Die Bernoulli-Ungleichung
Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1 : (1 + x)n ≥ 1 + nx.
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. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
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Es sei n eine beliebige natürliche Zahl. Für alle reellen Zahlen, für die die um Eins
vergrößerte Zahl größer oder gleich Null ist, ist das n-fache Produkt der um Eins
vergrößerten Zahl mit sich selbst stets größer oder gleich dem n-fachen derselben
Zahl vermehrt um Eins.
∀ n ∈ N ∀ x ∈ R, x ≥ −1 : (1 + x)n ≥ 1 + nx.
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Beweis:
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. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
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Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx. Dann
ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt
wegen (1 + x)n ≥ 1 + nx sofort (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) =
1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0.
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Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt. Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx. Dann
ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen. Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt
wegen (1 + x)n ≥ 1 + nx sofort (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) =
1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0.
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. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx. Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt wegen (1 + x)n ≥ 1 + nx sofort (1 + x)n+1 =
(1+x)n (1+x) ≥ (1+nx)(1+x) = 1+nx +x +nx 2 = 1+(n+1)x +nx 2 ≥ 1+(n+1)x,
denn nx 2 ≥ 0.
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx. Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt wegen (1 + x)n ≥ 1 + nx sofort (1 + x)n+1 =
(1+x)n (1+x) ≥ (1+nx)(1+x) = 1+nx +x +nx 2 = 1+(n+1)x +nx 2 ≥ 1+(n+1)x,
denn nx 2 ≥ 0.
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt wegen der (IV) sofort (1 + x)n+1 = (1 +
x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2 ≥ 1 + (n + 1)x,
denn nx 2 ≥ 0.
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 +
↑
(IV)
2
x) = 1 + nx + x + nx = 1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0.
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Wegen x ≥ −1 ist 1 + x ≥ 0, also folgt (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 +
↑
(IV)
2
x) = 1 + nx + x + nx = 1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0.
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 =
↑
(IV), x ≥ −1
2
1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0.
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 =
↑
(IV), x ≥ −1
2
1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x, denn nx 2 ≥ 0.
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 =
↑
(IV), x ≥ −1
2
1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x.
↑
nx 2 ≥ 0
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. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x) = 1 + nx + x + nx 2 = .
↑
(IV), x ≥ −1
2
1 + (n + 1)x + nx ≥ 1 + (n + 1)x.
↑
nx 2 ≥ 0
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Es ist (1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x)
≥ (1 + nx)(1 + x)
.
.
↑
(IV), x ≥ −1
= 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2
≥ 1 + (n + 1)x.
.
↑
nx 2 ≥ 0
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. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Es ist
(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x)
≥ (1 + nx)(1 + x)
↑
(IV), x ≥ −1
= 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2
≥ 1 + (n + 1)x.
↑
nx ≥ 0
2
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. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Es ist
(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x)
≥ (1 + nx)(1 + x)
↑
(IV), x ≥ −1
= 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2
≥ 1 + (n + 1)x.
Markierungen
entsprechen
Nebensätzen.
↑
nx ≥ 0
2
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. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Es ist
(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x)
...
≥ (1 + nx)(1 + x)
↑
(IV), x ≥ −1
...
...
= 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2
≥ 1 + (n + 1)x.
Keine Lücken
sondern Zeilenumbrüche
↑
nx ≥ 0
2
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. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Es ist
(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x)
(1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x)
↑
(IV), x ≥ −1
(1 + x)n+1 = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2
(1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x.
↑
nx 2 ≥ 0
Steffen Voigtmann
Beuth Hochschule für Technik Berlin
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Mathematische Texte
Axiome
Mathematische Texte . . .
. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Es ist
(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x)
⇒ (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x)
↑
(IV), x ≥ −1
⇒ (1 + x)n+1 = 1 + nx + x + nx 2 = 1 + (n + 1)x + nx 2
⇒ (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x.
↑
nx 2 ≥ 0
Steffen Voigtmann
Beuth Hochschule für Technik Berlin
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Mathematische Texte
Axiome
Mathematische Texte . . .
. . . sind sprachliche Texte.
. . . bestehen aus Sätzen, Zeilen, Absätzen . . .
. . . werden wie Texte in einem Buch / einer Zeitung gelesen.
Beweis: Für n = 1 ist (1 + x)1 = 1 + x erfüllt.
Es gelte (1 + x)n ≥ 1 + nx (IV). Dann ist (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x zu zeigen.
Es ist
(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x)
≥ (1 + nx)(1 + x)
(1 + x)n+1 = (1 + x)n (1 + x)
⇒ (1 + x)n+1 ≥ (1 + nx)(1 + x)
↑
(IV), x ≥ −1
n+1
⇒ (1 + x)
= 1 + (n + 1)x + nx
⇒ (1 + x)n+1 ≥ 1 + (n + 1)x.
↑
(IV), x ≥ −1
2
↑
nx 2 ≥ 0
Steffen Voigtmann
= 1 + (n + 1)x + nx 2
≥ 1 + (n + 1)x.
↑
nx 2 ≥ 0
Beuth Hochschule für Technik Berlin
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Ein Gedicht von Tartaglia (um 1540)
Quando chel cubo con le cose
appresso
Se agguaglia à qualche numero
discreto
Trouan dui altri differenti in esso.
Da poi terrai questo per consueto
Che’llor produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto,
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varra la tua cosa principale.
Questi trouai, & non con paßi tardi
Nel mille cinquecenté, quatroe trenta
Con fondamenti ben sald’è gagliardi
Nella Citta dal mar’intorno centa.
Steffen Voigtmann
Beuth Hochschule für Technik Berlin
Wenn der Kubus mit den Coßen
daneben
gleich ist einer diskreten Zahl,
finden sich als Differenz zwei andere in dieser.
Dann halte es wie gewöhnlich,
daß nämlich ihr Produkt gleich sei
dem Kubus des Drittels der Coßen,
Und der Rest dann, so die Regel,
ihrer Kubusseiten wohl subtrahiert
wird sein deine Hauptcoß.
Dieses fand ich, nicht schwerfälligen Schritts,
im Jahre
tausendfünfhundertvierunddreißig
mit Begründungen triftig und fest
In der Stadt vom Meer rings umgürtet.
3/3
Ein Gedicht von Tartaglia (um 1540)
Quando chel cubo con le cose
appresso
Se agguaglia à qualche numero
discreto
Trouan dui altri differenti in esso.
Da poi terrai questo per consueto
Che’llor produtto sempre sia eguale
Al terzo cubo delle cose neto,
El residuo poi suo generale
Delli lor lati cubi ben sottratti
Varra la tua cosa principale.
Questi trouai, & non con paßi tardi
Nel mille cinquecenté, quatroe trenta
Con fondamenti ben sald’è gagliardi
Nella Citta dal mar’intorno centa.
Wenn der Kubus mit den Coßen
daneben
gleich ist einer diskreten Zahl,
finden sich als Differenz zwei andere in dieser.
Dann halte es wie gewöhnlich,
daß nämlich ihr Produkt gleich sei
dem Kubus des Drittels der Coßen,
Und der Rest dann, so die Regel,
ihrer Kubusseiten wohl subtrahiert
wird sein deine Hauptcoß.
Dieses fand ich, nicht schwerfälligen Schritts,
im Jahre
tausendfünfhundertvierunddreißig
mit Begründungen triftig und fest
In der Stadt vom Meer rings umgürtet.
Welches mathematische Problem wird hier gelöst?
Überprüfen die Lösungsformel von Tartaglia an einem Beispiel.
Steffen Voigtmann
Beuth Hochschule für Technik Berlin
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