Übergangsprozesse - Maikäferpopulation

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Übergangsprozesse - Maikäferpopulation - Aufgabe mit Lösung
Ein Maikäferweibchen legt 80 Eier und stirbt bald danach. Von den sich daraus entwickelnden Larven
(Engerlinge) überleben nur ein Viertel das darauffolgende Jahr. Auch im zweiten Jahr überleben nur ein
Viertel der Larven. Im dritten Jahre verpuppen sich die Larven und aus einem Fünftel von ihnen entwickeln sich im folgenden Jahr Maikäferweibchen, die wieder 80 Eier legen.
80
Larven 1
0,25
Larven 2
0,25
Larven 3
0,2
Maikäferweibchen
Die Startpopulation besteht aus 6000 Larven 1, 2000 Larven 2, 300 Larven 3 und 500 Käferweibchen.
Arbeitsaufträge:
Untersuchen Sie die Entwicklung dieser Startpopulation.
© 2006 Thomas Unkelbach ; Quelle: J. Bemetz / OSA Tübingen / Lehrerfortbildung 1999
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Lösung:
Zustandsvektor der Startpopulation:
 l1 ( 0)   6000 

 

 l 2 ( 0)   2000 
po = 
=
l 3 (0)   300 

 

 k (0)   500 
Für die Verteilung nach einem Jahr ergibt sich:
l1 (1) = 80 ⋅ k ( 0)
l2 (1) = 0,25 ⋅ l1 (0)
l 3 (1) = 0, 25 ⋅ l 2 (0)
k (1) = 0,2 ⋅ l 3 (0)
LGS in Matrixschreibweise:
 l1 (1) 


 l 2 (1) 
 l (1)  =
 3 
 k (1) 
0
0 80   l 1 (0) 
 0

 

0
0
0   l 2 (0) 
 0, 25
⋅
 0
0,25 0
0   l 3 ( 0) 

 

0
0
0
,
2
0
k
(
0
)

 

p1 = U ⋅ p 0
0
0 80 
 0


0
0
0
 0, 25
mit der Übergangsmatrix U = 
0
0,25 0
0


0
0,2 0 
 0
Ausgehend vom Startvektor p0 können wir damit nun die Populationen für die folgenden Jahre berechnen:
 40000 


 1500 
p1 = U ⋅ p0 = 
500 


60


8000




 1200 
p3 = U ⋅ p2 = 
2500 


75


 4800 


10000 
p 2 = U ⋅ p1 = 
375 


100


6000




 2000 
p 4 = U ⋅ p3 = 
= p0
300 


500


In einem Zyklus von 4 Jahren stellt sich also wieder die Ausgangspopulation ein.
© 2006 Thomas Unkelbach ; Quelle: J. Bemetz / OSA Tübingen / Lehrerfortbildung 1999
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Entwicklung des Maikäferbestandes
Solche vierjährigen Zyklen werden bei Maikäferpopulationen in der Natur beobachtet.
© 2006 Thomas Unkelbach ; Quelle: J. Bemetz / OSA Tübingen / Lehrerfortbildung 1999
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