Exercícios de Produtos Notáveis e Fatoração
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Exercícios de Produtos Notáveis e Fatoração
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 13 e x⋅ y = 1, então x 2 + y 2 é 1. (Ufrgs 2016) Se x + y = a) 166. b) 167. c) 168. d) 169. e) 170. 2. (G1 - utfpr 2016) Simplificando a expressão (x + y)2 − 4xy x2 − y2 , com x ≠ y, obtém-se: a) 2 − 4 xy b) x−y x+y c) 2xy x+y d) −2xy e) − 4xy x−y x −2 − y −2 x 2 y + xy 2 3. (G1 - epcar (Cpcar) 2016) O valor da expressão ⋅ , em que x e x −1 + y −1 x 2 − y 2 y ∈ ∗ e x ≠ y e x ≠ − y, é a) −1 b) −2 c) 1 d) 2 4. (Espm 2015) Em relação ao número= N 248 − 1, pode-se afirmar que: a) ele é primo b) ele é par c) ele é múltiplo de 7 d) ele não é múltiplo de 224 + 1 e) ele não é divisível por 9 5. (G1 - ifsc 2015) Leia e analise as seguintes afirmações: I. (a + b)2 =a2 + b2 , para quaisquer a e b reais. II. a2 + b2 =a + b, para quaisquer a e b reais. a⋅b = a ⋅ b, para quaisquer a e b naturais. a a a = + , para quaisquer a, b e c racionais diferentes de zero. IV. b+c b c a c ad + bc V. + = , para quaisquer a, b, c, e d racionais diferentes de zero. b d bd III. Assinale a alternativa CORRETA. a) Apenas as afirmações II, III, IV e V são verdadeiras. b) Apenas as afirmações II, III e V são verdadeiras. c) Apenas as afirmações I, III e IV são verdadeiras. d) Apenas as afirmações III e V são verdadeiras. e) Todas as afirmações são verdadeiras. Página 1 de 5 PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 6. (Uece 2015) As soluções, em , da equação cos4 x − 4cos3 x + 6cos2 x − 4cos x + 1 = 0 são Sugestão: use o desenvolvimento do binômio (p − q)4 . a) x = 2kπ, onde k é um inteiro qualquer. b)= x (2k + 1)π, onde k é um inteiro qualquer. c) x = kπ, onde k é um inteiro qualquer. x (4k + 1)π, onde k é um inteiro qualquer. d)= 7. (G1 - cftmg 2015) Simplificando a fração algébrica x 2 − y 2 + 2x + 2y x2 − y2 números reais, tais que x + y ≠ 0 e x − y = 4, obtém-se o valor a) 1,5 b) 1,0 c) 0,5 d) 0,0 8. (Cefet MG 2015) Se x + , sendo x e y 1 = 3 e 8x 6 + 4x3 y 2 ≠ 0, então o valor numérico da expressão x 4x9 + 2x 6 y 2 + 4x3 + 2y 2 8x 6 + 4x3 y 2 é igual a a) 4. b) 7. c) 9. d) 12. e) 18. Página 2 de 5 PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO Gabarito: Resposta da questão 1: [B] x + y = 13 ⇒ (x + y)2 = 132 ⇒ x 2 + y 2 + 2 ⋅ x ⋅ y = 169 Como x ⋅ y = 1, temos: x 2 + y 2 + 2 ⋅= 1 169 ⇒ x 2 + y 2= 167 Resposta da questão 2: [B] Simplificando a expressão, tem-se: (x + y)2 − 4xy x 2 + 2xy + y 2 − 4xy x 2 − 2xy + y 2 (x − y)2 (x − y) = = = = 2 2 2 2 2 2 (x + y) ⋅ (x − y) (x + y) x −y x −y x −y Resposta da questão 3: [A] Resolvendo a expressão do enunciado, tem-se: 1 − − − 2 2 2 2 x − y x y + xy x2 −1 ⋅ 2 = −1 2 1 x +y x −y + x y2 − x2 1 y 2 xy ⋅ ( x + y ) x 2 y 2 ⋅ = 1 ( x + y ) ⋅ ( x − y ) y + x y xy y 2 − x 2 xy xy ⋅ ( x + y ) ⋅ = ⋅ ( xy )2 y + x ( x + y ) ⋅ ( x − y ) ( y2 − x2 ) ⋅ 1 xy ⋅ ( x + y ) ⋅ x + y ) ⋅ ( x − y ) ( ( y + x ) ⋅ (y − x) −1⋅ (x − y) 1 1 ⋅ = = = −1 (x + y) (x − y) (x + y) ⋅ (x − y) (x − y) Resposta da questão 4: [C] Desenvolvendo a expressão dada, tem-se: ( 224 − 1) ⋅ ( 224 + 1)= ( 212 − 1) ⋅ ( 212 + 1) ⋅ ( 224 + 1)= ( 26 − 1) ⋅ ( 26 + 1) ⋅ ( 212 + 1) ⋅ ( 224 + 1) 248 − 1= ( 23 − 1) ⋅ ( 23 + 1) ⋅ ( 26 + 1) ⋅ ( 212 + 1) ⋅ ( 224 + 1) ( 7 ) ⋅ ( 9 ) ⋅ ( 65 ) ⋅ ( 212 + 1) ⋅ ( 224 + 1) N= 248 − 1= N= N= Logo, pode-se concluir que o número N não é primo (pois é divisível por 7, 9 e 65, pelo menos), não é par (pois é resultado de multiplicações de números ímpares), é múltiplo de 224 + 1, é divisível por 9 e é múltiplo de 7. Resposta da questão 5: [D] [I] Falsa, pois (2 + 3)2 ≠ 22 + 32. [II] Falsa, pois 32 + 42 ≠ 3 + 4. Página 3 de 5 PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO [III] Verdadeira. 1 3 4 [IV] Falsa, + + ≠ . 4 4 8 [V] Verdadeira. Apenas as afirmações [III] e [V] são verdadeiras. Resposta da questão 6: [A] Substituindo cos x por a, tem-se: a4 − 4a3 + 6a2 − 4a + 1 = 0, o qual é o polinômio resultante de (a − 1)4 = (a − 1) ⋅ (a − 1) ⋅ (a − 1) ⋅ (a − 1) = 0 Assim, percebe-se facilmente que a raiz de tal polinômio é 1. Ou seja, cos x = 1 = x 360= ° 2π Como a função cosseno é periódica, podemos dizer que a cada 360° tem-se uma nova raiz da função, ou seja, a cada 2kπ, onde k é um inteiro qualquer. Resposta da questão 7: [A] x 2 − y 2 + 2x + 2y (x + y) ⋅ (x − y + 2) (x − y) + 2 4 + 2 = = = = 1,5 (x + y) ⋅ (x − y) 4 (x − y) x2 − y2 Resposta da questão 8: [C] Desde que x + 1 = 3, temos x 2 1 1 2 2 x + x = 3 ⇒ x + 2+ 2 = 9 x 1 ⇔ x2 + = 7. x2 Logo, segue que Página 4 de 5 PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 4x9 + 2x 6 y 2 + 4x3 + 2y 2 8x 6 + 4x3 y 2 = = 2x 6 (2x3 + y 2 ) + 2(2x3 + y 2 ) 4x3 (2x3 + y 2 ) (2x3 + y 2 )(2x 6 + 2) 4x3 (2x3 + y 2 ) 1 3 1 x + 3 2 x 1 1 2 1 = x + x − 1+ 2 x x2 1 = ⋅3⋅6 2 = 9. = Página 5 de 5
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