M-V Zentralabitur Mathematik 2009 ohne CAS

Abitur 2009 Mathematik
Seite 1
Name, Vorname: ....................................................
Aufgabe A0 (beinhaltet die Aufgaben 1−3 des Arbeitsblattes)
Arbeitsblatt
Dieses Arbeitsblatt ist vollständig und ohne Zuhilfenahme von Tafelwerk und Taschenrechner
zu bearbeiten. Das Arbeitsblatt wird nach einer Bearbeitungszeit von genau 45 Minuten
eingesammelt. Zusätzliche Lösungsblätter sind mit Ihrem Namen zu versehen und in dieses
Arbeitsblatt einzulegen.
1
1.1
a)
b)
Analysis
In dem Koordinatensystem ist der
Graph einer der Funktionen
f(x) = − x3 + 5x − 1 oder
g(x) = − x3 + 3x2 dargestellt.
Geben Sie an, welche der beiden
Funktionen dargestellt ist.
Begründen Sie.
Skizzieren Sie den Verlauf der
Ableitungsfunktion der
dargestellten Funktion in dasselbe
Koordinatensystem.
y6
5
4
3
2
1
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
1.2
Der Graph der Funktion mit der Gleichung f ( x ) = x 2 + bx + c hat im Punkt (3 | 2) den
Anstieg 1.
Berechnen Sie b und c.
1.3
Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f(x) = x 4 + 5x 2 mit x ∈ \ keinen Wendepunkt
besitzt.
Abitur 2009 Mathematik
1.4
Seite 2
Untersuchen Sie die Monotonie der Funktion f(x) = 2 − e x und begründen Sie.
2
1.5
Berechnen Sie alle Lösungen für k.
∫ (x + 5)dx =
k
2
2.1
2.2
45
2
Analytische Geometrie
Ein Dreieck ist durch die Eckpunkte A(−1 | −1 | 1), B(3 | 2 | 1) und C(−2 | 3 | 1) gegeben.
Prüfen Sie, ob der Winkel BAC ein rechter Winkel ist.
Berechnen Sie die Länge der Strecke AB .
Geben Sie den Mittelpunkt der Seite BC an.
G
G G
G
Geben Sie den Vektor x mithilfe der Vektoren a , b und c an.
G
c
G
x
G
b
G
a
Abitur 2009 Mathematik
Seite 3
2.3
Bestimmen Sie einen Wert für k, sodass der Punkt P(3 | k2 | k) auf der Geraden AB mit
A(1 | 2 | 4) und B(0 | 1 | 5) liegt.
3
3.1
Stochastik
Eine Tür kann nur mit einem Code, der aus vier Feldern besteht, geöffnet werden.
Für jedes Feld stehen die Zeichen „0“ oder „1“ zur Verfügung.
Wie viele verschiedene vierstellige Codes sind höchstens möglich?
3.2
Ein Würfel wird 100-mal geworfen. Formulieren Sie jeweils das Gegenereignis zu den
folgenden Ereignissen.
A: Weniger als 10-mal erscheint die Augenzahl 6.
B: Mindestens bei der Hälfte der Würfe fällt eine 3 oder eine 4.
3.3
In einem Behälter liegen 2 rote und 3 blaue Kugeln.
Es wird eine Kugel zufällig gezogen, ihre Farbe notiert und nicht wieder in den Behälter
gelegt. Anschließend wird dieser Vorgang mit einer zweiten Kugel wiederholt.
Begründen Sie, dass es sich bei diesem Vorgang nicht um eine Bernoulli-Kette handelt.
Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden gezogenen Kugeln die gleiche
Farbe besitzen.
a)
b)
Abitur 2009 Mathematik ohne CAS
2
Hinweise für Schüler
Aufgabenwahl:
Die Prüfungsarbeit besteht aus den Teilen A und B.
Der Teil A ist von allen Prüfungsteilnehmern zu bearbeiten.
Von den Aufgaben A1, A2 und A3 sind zwei auszuwählen.
Prüfungsteilnehmer, die die Prüfung unter erhöhten
Anforderungen ablegen, bearbeiten zusätzlich den
Prüfungsteil B.
Von den Aufgaben B1, B2 und B3 ist eine auszuwählen.
Bearbeitungszeit:
Allen Prüfungsteilnehmern steht eine Bearbeitungszeit von
195 Minuten zuzüglich 30 Minuten für die Aufgabenauswahl
zur Verfügung.
Den Prüfungsteilnehmern, die die Prüfung unter erhöhten
Anforderungen ablegen, stehen zusätzlich 60 Minuten
Bearbeitungszeit zur Verfügung.
Hilfsmittel:
Für die Bearbeitung der Aufgaben sind zugelassen:
• das an der Schule eingeführte Tafelwerk,
• der an der Schule zugelassene Taschenrechner ohne
CAS,
• Zeichengeräte
• ein Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung.
Hinweis:
Die Lösungen sind in einer sprachlich korrekten, mathematisch
exakten und äußerlich einwandfreien Form darzustellen.
In der Niederschrift müssen die Lösungswege nachvollziehbar
sein.
Entwürfe können ergänzend zur Bewertung nur herangezogen
werden, wenn sie zusammenhängend konzipiert sind und die
Reinschrift etwa drei Viertel des zu erreichenden
Gesamtumfanges beinhaltet.
Sonstiges:
Maximal zwei Bewertungseinheiten können zusätzlich
vergeben werden bei
• guter Notation und Darstellung,
• eleganten, kreativen und rationellen Lösungswegen,
• vollständiger Lösung einer zusätzlichen Wahlaufgabe.
Maximal zwei Bewertungseinheiten können bei mehrfachen
Formverstößen abgezogen werden.
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Seite 3
A1
Analysis
(25 BE)
1.1
Gegeben sind zwei Funktionen durch die Gleichungen
x 2 − 6,25
f1(x) =
x2
y
mit x ∈ \ ,
K1
x
f2 (x) = −5,25
mit x ∈ \ .
K2
Der Graph von f1 ist K1. Der Graph von f2 ist K2.
1.1.1 Begründen Sie rechnerisch, dass der Graph K1 symmetrisch zur y-Achse ist.
1.1.2 Berechnen Sie die Nullstellen von f1.
Geben Sie die Gleichungen der Asymptoten des Graphen K1 an.
x 2 + 6,25
die Gleichung einer Stammfunktion von f1 ist.
x
1.1.4 Der Querschnitt eines 20 m langen Wasserbeckens wird begrenzt durch:
• K1 in den Intervallen −2,5 ≤ x ≤ −1 und 1 ≤ x ≤ 2,5
• K2 im Intervall −1 ≤ x ≤ 1.
(Alle Längenangaben in Meter)
Berechnen Sie das Volumen des Wasserbeckens in Liter, wenn es bis zum
oberen Rand gefüllt ist.
Das Becken wird nun bis zu einer Höhe von 5 m gefüllt.
Zu wie viel Prozent ist das Becken dann gefüllt?
1.1.3 Zeigen Sie, dass F1(x) =
1.2
Gegeben ist eine Funktionenschar durch die Gleichung
x 2 − a2
fa (x) =
mit x ∈ \, a ∈ \, a ≠ 0 .
x2
Die zugehörige Kurvenschar ist Ga.
1.2.1 Zeigen Sie, dass Ga keine Extrempunkte und keine Wendepunkte besitzt.
1.2.2 An jeden Graphen Ga werden durch den Punkt P(a | fa (a)) die Tangente und die
Normale gelegt.
Der Koordinatenursprung und die Schnittpunkte der Tangente mit den
Koordinatenachsen bilden die Eckpunkte eines Dreiecks, des
Tangentendreiecks.
Der Koordinatenursprung und die Schnittpunkte der Normale mit den
Koordinatenachsen bilden die Eckpunkte eines weiteren Dreiecks, des
Normalendreiecks.
Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte von Normalen- und
Tangentendreieck in Abhängigkeit von a.
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A2
Seite 4
Analytische Geometrie (25 BE)
I
F G
7 dm
Der Name eines Unternehmens wird mit den
Großbuchstaben LFW abgekürzt. Dieses Logo soll für
Werbezwecke aus Quadern mit quadratischem Querschnitt
(1 dm x 1 dm) hergestellt werden.
Die Buchstabenhöhe soll 7 dm betragen.
H
3 dm
2.1
Zeichnen Sie alle Kanten des L in einem geeigneten
räumlichen Koordinatensystem.
Geben Sie die Koordinaten der oberen vier Eckpunkte F, G, H und I an.
2.2
Zur Planung wird das W vorerst nur als Linienmodell betrachtet.
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
A(2 | 2 | 8) und C(2 | 5 | 7) durch ihre Koordinaten gegeben.
Der Punkt B liegt auf der Geraden mit der Gleichung
A
⎛ x ⎞ ⎛ 2⎞
⎛ 0 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜
⎟
gA: ⎜ y ⎟ = ⎜ 2 ⎟ + r ⋅ ⎜ 2 ⎟ , r ∈ \ durch A
⎜ z ⎟ ⎜8⎟
⎜ −14 ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝
⎠
und der Geraden mit der Gleichung
E
C
B
D
⎛ x⎞ ⎛ 2 ⎞
⎛0⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
gC: ⎜ y ⎟ = ⎜ 1 ⎟ + s ⋅ ⎜ 1 ⎟ , s ∈ \ durch C.
⎜ z ⎟ ⎜ −5 ⎟
⎜3⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
2.2.1 Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B.
(zur Kontrolle: B(2 | 3 | 1))
2.2.2 Prüfen Sie, ob der Punkt K(2 | 7 | 13) auf der Strecke BC liegt.
2.2.3 Berechnen Sie die Größe des Winkels CBA.
2.2.4 Bestimmen Sie den Durchstoßpunkt der Geraden gA in der xz-Ebene.
2.2.5 Beschreiben Sie die Lage des Buchstaben W in dem Koordinatensystem.
2.2.6 Nutzen Sie die Symmetrie des Buchstaben W, um die Koordinaten der Punkte
D und E zu ermitteln. Geben Sie diese an.
2.2.7 Das Logo wird auf einer Fläche stehen, die in der Ebene ε mit der Gleichung
ε : 1x + 0y + 2z = 4 liegt.
Berechnen Sie den Abstand des Punktes C aus dem Linienmodell von dieser
Ebene.
Abitur 2009 Mathematik ohne CAS
A3
Analysis und Stochastik (25 BE)
3.1
Die Skizze zeigt den Querschnitt eines
Trägers in einem kartesischen
Koordinatensystem. Die sichelförmige
Querschnittsfläche wird durch zwei
Parabelbögen p1 und p2 begrenzt, die
die x-Achse in den Punkten A(xA | yA)
und B(xB | yB) schneiden.
1 Längeneinheit entspricht 1 m.
Seite 5
y
Q
p1
T
p2
A
B x
2
Abbildung nicht maßstäblich
3.1.1 Der obere Parabelbogen p1 ist der Graph der Funktion f mit der Gleichung
3 2 12
f(x) = −
x +
mit x ∈ \, x A ≤ x ≤ xB .
80
5
Berechnen Sie die Spannweite AB .
3.1.2 Der untere Parabelbogen p2 ist der Graph der Funktion g mit der Gleichung
4
g(x) = −a x 2 +
mit x ∈ \, x A ≤ x ≤ xB .
5
Berechnen Sie den Wert der Konstante a.
(zur Kontrolle: a =
1
80
)
3.1.3 Die Strecke QT verläuft parallel zur y-Achse. Die Länge dieser Strecke ist die
Dicke des Trägers an der Stelle 2.
Berechnen Sie die Dicke des Trägers an der Stelle 2.
Geben Sie die größte Dicke des Trägers an.
3.1.4 Berechnen Sie die Querschnittsfläche des Trägers.
Geben Sie die dazu erforderliche Stammfunktion an.
3.1.5 Der Träger soll mit senkrecht auf der x-Achse aufgestellten Balken von 60 cm
Länge unterstützt werden.
Begründen Sie, warum dies möglich ist.
Berechnen Sie die x-Koordinaten der Punkte, an denen die Balken den Träger
berühren. Die Breite der Balken wird vernachlässigt.
3.1.6 Im Punkt Q wird an die Parabel p1 die Tangente t gelegt.
Berechnen Sie
• eine Gleichung für t,
• die Schnittstelle von t mit der x-Achse,
• die Größe des Winkels, unter dem t die x-Achse schneidet.
Zu t gibt es eine Parallele, die die Parabel p2 im Punkt R berührt.
Berechnen Sie die Koordinaten von R.
Hinweis: Die Aufgabe wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.
Abitur 2009 Mathematik ohne CAS
3.2
Seite 6
Bei der Herstellung von Balken werden zwei Fehler, Fehler I und Fehler II,
registriert, die unabhängig voneinander auftreten. Der Fehler I wird
erfahrungsgemäß bei 3 % aller Balken registriert, der Fehler II bei 5 %.
Der laufenden Produktion wird auf gut Glück ein Balken entnommen und auf
das Vorhandensein beider Fehler untersucht.
3.2.1 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.
A: Der Balken hat den Fehler I, aber nicht den Fehler II.
B: Bei dem Balken werden beide Fehler festgestellt.
C: Der Balken ist fehlerfrei.
3.2.2 Ermitteln Sie, wie viele fehlerfreie Balken man in einer Lieferung von 200
solcher Balken erwarten kann. Die Anzahl der fehlerfreien Balken kann als
binomialverteilte Zufallsvariable angenommen werden.
3.2.3 Berechnen Sie, wie hoch der Prozentsatz der Balken mit registriertem Fehler II
sein müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines fehlerfreien
Balkens bei sonst gleichen Bedingungen auf ca. 95 % steigt.
Abitur 2009 Mathematik ohne CAS
B1
Analysis
Seite 7
(20 BE)
Gegeben ist die Funktion f durch die Gleichung
f(x) = e −2x +1
mit
y
x∈\.
K
Der Graph von f ist K.
1.1
Der Graph K schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden x = a mit
a > 0 eine Fläche mit dem Inhalt A ein.
•
Berechnen Sie A in Abhängigkeit von a.
•
Ermitteln Sie lim A(a).
a →∞
1.2
Auf dem Graphen K ist ein Punkt P(r | s) mit r > 0 gegeben.
Durch P werden Parallelen zu den Koordinatenachsen gelegt.
Diese Parallelen und die Koordinatenachsen begrenzen ein Rechteck.
Bestimmen Sie die Koordinaten von P so, dass der Umfang dieses Rechtecks
minimal wird.
Geben Sie den minimalen Umfang an.
1.3
Die Fläche zwischen den Graphen der Funktion f und der x-Achse rotiere über
dem Intervall [0 ; a] um die x-Achse.
Ermitteln Sie a so, dass das Volumen des entstehenden Rotationskörpers
1
π e2 (VE) beträgt.
8
1.4
Es sei Q(c | d) ein Punkt auf K.
Berechnen Sie den Wert von c so, dass die Tangente an den Graphen in Q
durch den Punkt R(−1 | 0) verläuft.
x
Abitur 2009 Mathematik ohne CAS
B2
Seite 8
Analytische Geometrie (20 BE)
Die Buchstaben des Firmenkürzels LFW sollen auf einer Verbrauchermesse zu
Werbezwecken befestigt werden. Zur Planung wird der Sachverhalt in einem
Linienmodell betrachtet. Der Buchstabe L wird durch die Punkte A, B und C
festgelegt. Im Punkt A stoßen die beiden Teile des L zusammen, B und C sind
die Endpunkte. In einem kartesischen Koordinatensystem (1 LE 1 dm) haben
die Punkte folgende Koordinaten A(2 | 3 | 4), B(5 | 5 | 2) und C(4 | 6 | 10).
2.1
Geben Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene an, in der das L liegt.
2.2
Das L soll im Punkt A mit einem Stab auf dem Boden (xy-Ebene) befestigt
werden.
Geben Sie an, wie lang dieser Stab sein muss, wenn er senkrecht auf dem
Boden steht.
2.3
Zur Stabilisierung des rechten Winkels im Buchstaben L soll vom Punkt B zur
Strecke AC eine möglichst lange Strebe angebracht werden. Der Befestigungspunkt an der Strecke AC befindet sich höchstens 7 dm über dem Boden
(xy-Ebene).
Errechnen Sie die Länge der Strebe.
2.4
Zusätzlich wird durch den Punkt A senkrecht zu der angebrachten Strebe eine
Versteifung eingebaut.
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, in dem die Versteifung auf der
Strebe endet.
Durch Licht soll die Aufmerksamkeit der Besucher geweckt werden.
Das L wird vom Punkt P(6 | 5 | 10) aus angestrahlt.
Berechnen Sie die Länge des Schattens, den die längere der beiden Strecken
des L, auf die hintere Wand (yz-Ebene) wirft.
2.5
Abitur 2009 Mathematik ohne CAS
B3
Seite 9
Analysis und Stochastik (25 BE)
Ein Ornament eines Schrankes
wird durch die Graphen dreier
ganzrationaler Funktionen
nachgebildet
(siehe Abbildungen).
y
1
G1
G2
G3
-3
-2
-1
1
2
3
-1
3.1
Im Intervall −2 ≤ x ≤ 2 besteht die Nachbildung aus dem Graphen G1 der
quadratischen Funktion f1. Dabei gilt:
● f1 besitzt die Nullstellen −2 und 2.
● Zu G1 gehört der Punkt (0 | 0,8).
Ermitteln Sie die Funktionsgleichung von f1.
(Zur Kontrolle: f1(x) = −0,2 x 2 + 0,8 )
3.2
Die Nachbildung wird durch den Graphen G2 der Funktion f2 mit der Gleichung
f2 (x) = x 3 − 9x 2 + 26,25x + a
mit x ∈ \, 2 ≤ x ≤ 3,5, a ∈ \
fortgesetzt.
Beide Intervallgrenzen sind Nullstellen von f2.
Berechnen Sie
• den Wert von a,
• die Koordinaten des lokalen Hochpunktes,
• die Stelle im Definitionsbereich, an der die Krümmung von G2 wechselt.
3.3
Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Tangenten an die Graphen G1
und G2 im Punkt (2 | 0) einschließen.
3.4
Der linke Teil der Nachbildung ist der Graph G3 der Funktion f3. Er entsteht
durch Spiegelung des Graphen G2 an der y-Achse.
Geben Sie die Funktionsgleichung von f3 an.
3.5
Berechnen Sie den Inhalt der Gesamtfläche, die von den Graphen G1, G2 und
G3 sowie der x-Achse begrenzt wird.
Geben Sie die dazu erforderlichen Stammfunktionen an.
Hinweis: Die Aufgabe wird auf der nächsten Seite fortgesetzt.
x
Abitur 2009 Mathematik ohne CAS
Seite 10
3.6
Bei der Herstellung weisen erfahrungsgemäß maximal 4 % der Schränke
Fehler auf. Die Anzahl der fehlerhaften Schränke wird als binomialverteilt
angenommen.
Es wird ein verändertes Herstellungsverfahren erprobt, von dem ein Kritiker
behauptet, es erhöhe den Anteil der fehlerbehafteten Schränke.
Um diese Behauptung zu überprüfen, werden der nach dem neuen Verfahren
laufenden Produktion 20 Schränke zufällig entnommen und geprüft.
Geben Sie eine Entscheidungsregel dieses Testes für den Fall an, dass die
Irrtumswahrscheinlichkeit etwa 5 % betragen soll.
3.7
Erläutern Sie an diesem Beispiel, was man unter Fehlern 2. Art versteht.
Tabelle der Binomialverteilung (Summenfunktion) für n=20 und p=0,04
0
k
F20;0,04(k) 0,4420
1
0,8103
2
0,9561
3
0,9926
4
0,9990
5
0,9999
Alle nicht aufgeführten Werte sind auf 4 Dezimalstellen genau 1,0000.