Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik 1

Grundlagen der Informatik 2
Grundlagen der Digitaltechnik
1. Zahlensysteme
Prof. Dr.-Ing. Jürgen Teich
Dr.-Ing. Christian Haubelt
Lehrstuhl für Hardware-Software-Co-Design
Grundlagen der Digitaltechnik
Darstellung ganzer Zahlen
Vorzeichen-Betragsdarstellung
-7
-6
-5
1111
1110
+0
0000
0001
+1
0010
1101
+2
+
-4
1100
0011
+3
0 100 = + 4
-3
1011
0100
+4
1 100 = - 4
-2
1010
0101
1001
-1
+5
-
0110
1000
-0
0111
+6
+7
- Höchstes Bit ist Vorzeichen: 0 = positiv (oder NULL), 1 = negativ
- Die restlichen Bits der Betrag: 0 (000) bis 7 (111)
- Zahlenbereich für n Bits = +/- 2n-1
- Darstellung der Null: 0000 und 1000
Technische Informatik I
2
Darstellung ganzer Zahlen
1er-Komplement
N ist positive Zahl, dann ist N zugehöriges negatives 1er-Komplement
2 4 = 10000
n
N = (2 - 1) - N
-1
Bsp: 1er-Komplement von 7
00001
1111
-7
0111
1000
Schnelle Methode:
= -7 im 1er-Komp.
Einfach bitweises Komplement berechnen:
0111 -> 1000
Technische Informatik I
3
1er-Komplement
-0
-1
-2
1111
1110
+0
0000
0001
+1
0010
1101
+2
+
-3
1100
0011
+3
0 100 = + 4
-4
1011
0100
+4
1 011 = - 4
-5
1010
0101
1001
-6
+5
-
0110
1000
-7
0111
+6
+7
– Subtraktion realisiert durch Addition und 1erKomplement
– Zwei Darstellungen der Null: Macht Probleme!
– Addition ist nicht einfach durchzuführen!
Technische Informatik I
4
2er-Komplement
-1
-2
-3
wie 1er-Komp.,
zusätzlich jedoch
um eine Position
im Uhrzeigersinn
verschoben
1111
1110
+0
0000
0001
+1
0010
1101
+2
+
-4
1100
0011
+3
0 100 = + 4
-5
1011
0100
+4
1 100 = - 4
-6
1010
0101
1001
-7
+5
-
0110
1000
-8
0111
+6
+7
– Nur eine Darstellung der Null
– Eine negative Zahl mehr als positive
Technische Informatik I
5
2er-Komplement
n
N* = 2 - N
4
2 = 10000
Bsp.: 2er-Komplement von 7
sub 7
0111
1001 = -7 im 2er-Komp.
4
Bsp.: 2er-Komplement von -7
2 = 10000
sub -7
1001
0111 = 7 im 2er-Komp.
Schnelle Methode:
2er-Komplement = Bitweises Komplement + 1
0111 -> 1000 + 1 -> 1001 (Darstellung von -7)
1001 -> 0110 + 1 -> 0111 (Darstellung von 7)
Technische Informatik I
6
Addition und Subtraktion
Vorzeichen und Betragsdarstellung:
Ergebnisvorzeichenbit
entspricht den
Vorzeichenbits der
Operanden
Unterscheiden sich die
Vorzeichen, hängt das
Ergebnis von den
Beträgen der
Operanden
ab
4
0100
-4
1100
+3
0011
+ (-3)
1011
7
0111
-7
1111
4
0100
-4
1100
-3
1011
+3
0011
1
0001
-1
1001
Technische Informatik I
7
Addition und Subtraktion
2er-Komplement-Darstellung
Wenn Carry-in = Carry-out,
dann ignoriere Carry
4
0100
-4
1100
+3
0011
+ (-3)
1101
7
0111
-7
11001
Wenn Carry-In ungleich
Carry-Out, dann Überlauf!
4
0100
-4
1100
-3
1101
+3
0011
1
10001
-1
1111
Einfaches Vorgehen bei der Addition macht die
2er-Komplement-Darstellung zur ersten Wahl für
Integerberechnung in digitalen Systemen
Technische Informatik I
8
Addition und Subtraktion
2er-Komplement-Darstellung:
Warum kann Carry-Out ignoriert werden?
-M + N wenn N > M:
n
n
M* + N = (2 - M) + N = 2 + (N - M)
Ignorieren des Carry-out ist wie Subtraktion von 2
-M + -N wobei N + M < =
n
2 n-1
n
n
-M + -N = M* + N* = (2 - M) + (2 - N)
n
n
= 2 - (M + N) + 2
Nach dem Ignorieren des Carry die richtige
2er-Komplement-Darstellung für -(M + N)!
Technische Informatik I
9
Überlaufbedingungen
5
0101
-7
1001
3
0011
-2
1110
-8
1000
7
10111
Überlauf
Überlauf
5
0101
-3
1101
2
0010
-5
1011
7
0111
-8
11000
Kein Überlauf
Kein Überlauf
Überlauf, wenn Carry-In ungleich Carry-Out!!!
Technische Informatik I
10
Schaltungen für binäre Addition
Voll-Addierer
A3 B3
Geschachtelter Multi-bit
Addierer
A2 B2
A1 B1
+
+
S3
C3
A0 B0
+
S2
C2
+
S1
C1
S0
Gewöhnlich: Addition von mehr als zwei Bits
Deshalb wird ein Volladdierer benötigt
Technische Informatik I
11