Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Transcrição

Jürgen Roth
Didaktik der
Zahlbereichserweiterungen
Modul 5: Fachdidaktische Bereiche
Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.1
Inhalt
1
Ziele und Inhalte
2
Natürliche Zahlen ℕ
3
Ganze Zahlen ℤ
4
Rationale Zahlen ℚ
5
Reelle Zahlen ℝ
6
Komplexe Zahlen ℂ
Und merk dir ein für allemal
den wichtigsten von allen Sprüchen:
Es liegt dir kein Geheimnis in der Zahl,
allein ein großes in den Brüchen.
Goethe, Urfaust
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ
Inhalt
4.0 Exkurs: Diagnostische Kompetenz
4.1 Grundvorstellungen zu Bruchzahlen
4.2 Probleme beim Verständnis von Bruchzahlen
4.3 Grundvorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen
4.4 Grundvorstellungen mit EXIs erarbeiten
4.5 Repräsentationen von Bruchzahlen
4.6 Erarbeitung von Rechenregeln (Bsp. „Bruch durch Bruch“)
4.7 Gemischte Zahlen und Dezimalbrüche
4.0 Exkurs:
Diagnostische Kompetenz
Diagnostische Kompetenz (DK)
Bedeutung
DK ist wesentlich für professionelles Lehrerhandeln
Horstkemper (2004); Praetorius u.a. (2012)
Diagnosen innerhalb eines Lernprozesses
DK ist „ein Bündel von Fähigkeiten, um
den Kenntnisstand,
die Lernfortschritte und
die Leistungsprobleme
sowie die Schwierigkeiten verschiedener Lernaufgaben
im Unterricht fortlaufend beurteilen zu können,
sodass das didaktische Handeln auf diagnostischen
Einsichten aufgebaut werden kann.“
(Weinert 2000, S. 16)
Diagnose und
Unterrichtsadaptation
Lernprozessdiagnostik
„Eine Lehrperson sollte im Unterricht in der Lage sein zu erkennen,
wo sich der einzelne Lernende in einem Lernprozess befindet
und welche Hilfe und Rückmeldungen dieser benötigt.
(Praetorius u.a. 2012, S. 137)
Diagnose alleine reicht nicht
Weitere Schritte müssen folgen
Kurzfristige Anpassungen/Interventionen, z. B.
Einschieben zusätzlicher Erklärungen
Reaktion auf Schülerfehler
Hoge & Coladarci (1989); Schrader (2013)
„on-the-fly“
wahrnehmen
diagnostizieren
Gründe dafür finden
agieren
William & Thompson (2007); Van Es & Sherin (2008)
Literatur zur Prozessdiagnose
Hoge, R. D. & Coladarci, T. (1989). Teacher-Based Judgements of
Academic Achievement: A Review of Literature. Review of Educational
Research, 59 (3), 297–313.
Horstkemper, M. (2004). Diagnosekompetenz als Teil pädagogischer
Professionalität. Neue Sammlung, 44(2), 201-214.
Praetorius, A.-K., Lipowsky, F. & Karst, K. (2012). Diagnostische Kompetenz von Lehrkräften: Aktueller Forschungsstand, unterrichtspraktische
Umsetzbarkeit und Bedeutung für den Unterricht. In R. Lazarides & A. Ittel
(Hrsg.), Differenzierung im mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterricht (S. 115–146). Bad Heilbrunn: Klinkhardt.
Schrader, F.-W. (2013). Diagnostische Kompetenz von Lehrpersonen.
Beiträge zur Lehrerinnen- und Lehrerbildung, 31(2), 154–165.
Van Es, E. & Sherin, M. G. (2008). Mathematics teachers’ “learning to
notice” in the context of a video club. Teaching and Teacher Education,
24(2), 244–276.
Weinert, F. E. (2000). Lehren und Lernen für die Zukunft - Ansprüche für
das Lernen in der Schule, Pädagogisches Institut Bad Kreuznach.
Wiliam, D. & Thompson, M. (2007). Integrating assessment with instruction:
What will it take to make it work? In C. A. Dwyer (Hrsg.), The Future of
Assessment. Shaping Teaching and Learning (S. 55–82). Mahwah, NJ:
Routledge.
ViviAn: Video-Diagnose von
Gruppenarbeitsprozessen
Bartel & Roth (2015)
Schülerebene
Lernumgebung: Thema und Ziele
Arbeitsauftrag
Metaebene
Schülerprofile
S2 S3
Materialien
Schülerdokumente
S1
S4
Zeitliche
Einordnung
Diagnoseauftrag
ViviAn: Transkript-Diagnose von
Gruppenarbeitsprozessen
Bartel & Roth (2016)
4.1 Grundvorstellungen
zu Bruchzahlen
Kernpunkte des
Grundvorstellungskonzepts
vom Hofe & Hattermann (2014)
Grundvorstellungen
repräsentieren abstrakte Begriffe anschaulich
verbinden abstrakte Mathematik & Anwendungen
Zwei Typen von Grundvorstellungen
Primäre Grundvorstellungen
Wurzeln in Handlungserfahrungen
Sekundäre Grundvorstellungen
werden mit mathematischen Darstellungsmitteln
(Zahlenstrahl, Koordinatensystem, Graph, …) repräsentiert
Grundverständnis
Grundverständnis
… ist Ausbildung von Grundvorstellungen
und deren Vernetzung
… eines mathematischen Inhalts
kann mit drei Dimensionen umfassend
beschrieben werden.
Sinnkonstituierung durch Anknüpfung an bekannte
Sachzusammenhänge oder Handlungsvorstellungen
Aufbau visueller Repräsentationen, die operatives
Handeln auf der Vorstellungsebene ermöglichen
Fähigkeit zur Anwendung des Inhalts auf die Wirklichkeit
durch Erkennen der entsprechenden Struktur in Sachzusammenhängen oder Modellieren des Sachproblems mit Hilfe der
mathematischen Struktur
Stufen des
Begriffsverständnisses
Vollrath, H.-J. (1984). Methodik des Begriffslehrens im MU. Stuttgart: Ernst Klett Verlag, S. 215-217
Intuitives Begriffsverständnis
Begriff als Phänomen
Beispiele kennen.
Inhaltliches Begriffsverständnis
4
5
Begriff als Träger von Eigenschaften
Eigenschaften kennen
Integriertes Begriffsverständnis
Begriff als Teil eines Begriffsnetzes
Beziehungen von Eigenschaften untereinander
und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen
Formales Begriffsverständnis
Begriff als Objekt zum Operieren
Beispiel: Rechnen mit Bruchzahlen
+
=
Vollrath, H.-J. & Weigand, H.-G. (2007). Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 160-162
Grundvorstellungen
zu Bruchzahlen
Malle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8
Eine
Dreivierteltorte
Teil eines Ganzen
3
4
Resultat einer Division
3
4
(von 1)
Relativer Anteil
3
4
=3∶4
Vergleichsoperator
3
4
mal so viel wie …
Nur wenn nicht
gerechnet wird!
Verhältnis
𝟑
𝟒
von …
Absoluter Anteil
3
4
Vgl. Teil
mehrerer
Ganzer
(Padberg)
3
4
= 3 ∶ 4 (3 zu 4)
Quasikardinalzahl
3
4
= 3 Viertel
2 Viertel + 3 Viertel
= 5 Viertel
… … drei von vier
Quasiordinalzahl
1
4
… … jeder vierte
Teil vom Ganzen
Padberg, F. (2002). Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 41-50
Teil eines
Ganzen
Teil mehrerer
Ganzer
Ausweitung des Standpunkts
„Teil“ ⇔ „Ganzes“
Hefendehl-Hebeker, L. (1996). Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-16
6
4
Darstellen
Ausweitung des Standpunkts
„Teil“ ⇔ „Ganzes“
Hefendehl-Hebeker, L. (1996). Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-16
6
4
∶4
⋅6
·6
∶4
Auflösen in Ketten
von Einzeloperatoren
Bruchzahlaspekte
Padberg: Didaktik der Bruchrechnung. Spektrum Akademischer Verlag, 2002³, S. 35-38
1. Teil vom Ganzen
2. Maßzahl
1
3
1
ℎ, 4 𝑘𝑔, 4 𝑘𝑚
2
3. Operator
4. Verhältnis
Inneres Teilverhältnis
Die roten Perlen verhalten sich
zu den blauen Perlen wie 1 ∶ 3.
(„inneres bzw. äußeres Teilverhältnis)
5. Quotient
6. Lösung linearer
Gleichungen
𝑛 ⋅ 𝑥 = 𝑚 mit 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ
Äußeres Teilverhältnis
Je eine von vier Perlen ist rot,
je drei von vier Perlen sind blau.
7. Skalenwerte
8. Quasikardinalität
Brüche Vergleichen
zählergleiche Brüche
nennergleiche Brüche
mit 1 vergleichen
mit ½ vergleichen
4.2 Probleme beim
Verständnis von Bruchzahlen
„Brüche bei den Brüchen“
Prediger, S. (2004). Brüche bei den Brüchen – aufgreifen oder umschiffen? mathematik lehren 123, S. 10-13
Kardination
Eine Zahl und eine Rechenaufgabe beantworten
immer eine Frage nach „wie viele?”.
Eineindeutigkeit zwischen Zahl und Zahlzeichen
Jede Zahl hat genau eine Zahlbezeichnung.
Visuell: Folge von Ziffern
Auditiv: Folge von Grundzahlwörtern (mit Stellenwertangabe)
Diskrete Ordnung
Jede Zahl hat einen Nachfolger und – außer der
kleinsten Zahl – einen Vorgänger.
Die Menge der Zahlen ist wie eine Kette mit Anfang,
aber ohne Ende.
Winter: Mehr Sinnstiftung, mehr Einsicht, mehr Leistungsfähigkeit im MU, dargestellt am Beispiel der Bruchrechnung
„Brüche bei den Brüchen“
Prediger, S. (2004). Brüche bei den Brüchen – aufgreifen oder umschiffen? mathematik lehren 123, S. 10-13
Rechnen
Jede Elementaroperation 𝑎 + 𝑏, 𝑎 – 𝑏 (wenn 𝑎  𝑏),
𝑎 · 𝑏 und 𝑎 ∶ 𝑏 (wenn 𝑏 Teiler von 𝑎) ist bei, in der
Ziffernsprache gegebenen 𝑎 und 𝑏 unmittelbar
durchführbar und liefert wieder eine Zahl in der
üblichen Ziffernsprache.
Einschränkung der Division
Die Division 𝑎 ∶ 𝑏 ist nicht immer restlos möglich.
Wenn sie möglich und der Teiler ungleich 1 ist,
dann ist das Ergebnis kleiner als die geteilte Zahl.
Multiplikation und Ordnung
Multiplizieren als „starkes“ Vermehren
Multipliziert man zwei Zahlen, die ungleich 0 oder 1 sind,
so ist das Ergebnis größer als jede der beiden Zahlen.
Multiplikative Anteilsbildung
Wartha, S., vom Hofe, R. (2005). Probleme bei Anwendungsaufgaben in der Bruchrechnung. mathematik lehren 128, S. 10-16
Lilly nimmt sich die Hälfte der dargestellten Tafel Schokolade.
3
Davon isst sie auf. Wie viele Stücke hat sie gegessen?
5
Welche Grundvorstellungen werden benötigt,
um diese Frage zu beantworten?
Moritz: Also da muss man erst
Interviewer: Was heißt denn für dich
ausrechnen, wie viel die Hälfte ist.
Das sind dann zehn solche viereckigen
Dinger. Und dann muss man noch drei
Fünftel von zehn irgendwie
ausrechnen. Also wie viel drei Fünftel
von zehn solchen Dingern ist.
das drei Fünftel von zehn Stück?
Interviewer:
Du kannst dir das jetzt gern alles
aufschreiben, was du so im Einzelnen
rechnest. (Moritz schreibt und überlegt)
Welchen Teil willst du ..., oder
überlegst du gerade?
Moritz:
Wie ich das jetzt, ... drei Fünftel von
zehn solchen Dingern wissen soll. Weil
es ist ja die Hälfte, ah, da kann man ja
ein Halb schreiben. Nein. (Moritz
überlegt)
Moritz: Ich weiß nicht.
Ich kann mir da nix drunter vorstellen.
Interviewer:
Du versuchst das jetzt rechnerisch
zu lösen ...
Moritz: Ja.
Interviewer:
Kannst du das vielleicht mit dieser
dargestellten Tafel Schokolade
irgendwie graphisch lösen, zum
Beispiel durch Wegstreichen ...
Moritz:
Ich müsste halt dann wissen, wie
viel ungefähr drei Fünftel ist ...
Sophia:
Interviewer:
... ein Fünftel ist ja jetzt 0,2. Dann sind
zwei Fünftel 0,4 und drei Fünftel, ehm,
0,6. Und die Hälfte, also ein Halb, sind
dann ...
Wieso jetzt geteilt durch null Komma
sechs? Und nicht mal oder plus oder
minus?
(überlegt)
Also weil das ja das Ganze ist, ist es
dann zwei Zweitel. Also ist es gleich
eins. Und, ehm, ... das ist 0,5, also die
Hälfte. Und dann noch 3,5 ...
Sophia:
Ja weil, dann wär's ja mehr und das
muss ja immer weniger werden, weil
sie isst ja nicht mehr, als Tafel da ist.
(meint offensichtlich den Bruch drei
Fünftel)
... das ist also 0,6 glaub ich. Und da
muss man dann also, zehn ...
(überlegt)
... mmm.
Ordnung und Dichte
von Bruchzahlen
Bruch
Gibt es einen Bruch, der größer
1
1
als und kleiner als ist?
3
2
Getränkepackung
Einen Firma stellt
Einwegverpackungen für
Erfrischungsgetränke in zwei
verschiedenen Größen her.
1
2
Um das Angebot abzurunden
soll eine weitere Verpackung
angeboten werden.
Das Volumen der neuen
Packung soll größer sein als
das der Dose und kleiner als
das der Flasche.
1
3
𝑙
𝑙
Ordnung und Dichte
von Bruchzahlen
Kilian:
Ich würd‘ erst mal nach einer
Zwischenzahl suchen.
Interviewer: OK.
Kilian: Ein Eintel kann es nicht sein,
1
weil das kleiner ist als und kleiner
1
3
2
1
3
als ist. Er muss größer als sein
und kleiner als
1
.
2
Interviewer: Ob es überhaupt einen
gibt ist da ja die Frage.
Kilian: Ach so … Nee.
Interviewer: Nicht. Warum nicht?
Kilian: Ich schau einfach unten auf
die beiden Zahlen, 3 und 2 und
dazwischen kenn‘ ich keine Zahl.
Florian: Nee, ich glaub nicht.
Interviewer: Warum nicht?
Kannst du das versuchen zu erklären?
Florian:
1
1
Ja ist ja schon größer als .
3
2
1
3
Interviewer: Was bedeutet der Bruch ?
1
3
1
2
Oder warum ist größer als ?
Florian:
Nee, eigentlich ist es genauso groß.
Interviewer: Da wäre die Frage
trotzdem, warum ist das genauso groß?
Kannst du das irgend erklären?
Was stellst du dir da drunter vor?
Florian: Das hier sind 3 Teile und das
hier sind 2, aber es ist halt insgesamt
gleichgroß.
Häufige
Grundvorstellungsdefizite
Fehlende oder nur in Ansätzen vorhandene
Vorstellungen zum Bruchzahlbegriff
Keine inhaltliche Vorstellung zur Addition
von ungleichnamigen Brüchen
Nicht entwickelte Vorstellungen zur
Multiplikation und Division von Bruchzahlen
Unreflektierte Übertragung von intuitiven
Annahmen aus den natürlichen Zahlen auf
die Bruchzahlen
Falsche Orientierung an Nenner oder Zähler
beim Ordnen und Vergleichen von Brüchen
Gegenmaßnamen
Kontexte und Grundvorstellungen
Einführung neuer Begriffe mit Kontexten verbinden, in denen
die wichtigen Grundvorstellungen zum Tragen kommen.
Produktive Übungsphasen
Übersetzungsprozesse zwischen Grundvorstellungen
fordern und fördern.  Grundvorstellungen können
sich ausbilden und stabilisieren.
Bedeutungsänderungen
Bedeutungsänderungen bewusst machen bzw.
von der Notwendigkeit einer Neubewertung
alter Vorstellungen überzeugen (z. B. durch
Aufgaben, die zum Nachdenken anregen;
Kognitiver Konflikt )
Spiel zu Grundvorstellungen
Wartha, S., vom Hofe, R. (2005). Mathematik lehren 128, S. 16
4.3 Grundvorstellungen zum
Rechnen mit Bruchzahlen
Erweitern und Kürzen
von Brüchen
Erweitern & Kürzen
2
3
Verfeinern
Vergröbern
4
6
Addition und Subtraktion
von Bruchzahlen
Unterschied
bestimmen
Addition & Subtraktion
Zusammenfügen,
Hinzufügen
(Gegenständliche)
Operation
Addieren
Vorwärtsbewegen,
Vorwärtsschreiten
Subtrahieren
Rückwärtsbewegen,
Rückwärtsschreiten
Zahlenstrahl
+
Wegnehmen
=
Grundvorstellungen zur
Addition von Brüchen
𝟏
𝟑
𝟏
𝟒
𝟏
𝟑
𝟏
𝟒
𝟏
𝟑
𝟏
𝟒
𝟏
𝟒
=
𝟑 𝟏𝟐
𝟏
𝟑
=
𝟒 𝟏𝟐
𝟏
𝟏𝟐
𝟏
𝟏𝟐
𝟏
𝟏𝟐
𝟏
𝟏𝟐
𝟏
𝟏𝟐
𝟏 𝟏
𝟒
𝟑
𝟕
+ =
+
=
𝟑 𝟒 𝟏𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟐
𝟏
𝟏𝟐
http://www.dms.uni-landau.de/mathelabor/stationen/mathematik_und_kunst/sites/seite_3_02.html
Multiplikation von
Bruchzahlen
Multiplikation einer natürlichen Zahl mit einer Bruchzahl
4
3∙ =?
5
4 4 4 4
Abgekürzte Addition
3∙ = + +
5 5 5 5
= 4 Fünftel + 4 Fünftel + 4 Fünftel
Quasikardinalzahl
= 12 Fünftel =
4
∙3=?
5
oder
4
4 12
∙3=3∙ =
5
5
5
4
4
∙ 3 = von 3
5
5
12
5
Quasikardinalzahl
Permanenzprinzip (Kommutativgesetz)
Von-Deutung
12
5
Multiplikation von
Bruchzahlen  Von-Deutung
Multiplikation von Bruchzahlen
2 5
∙ =?
3 7
2 5 2
5
∙ = von
3 7 3
7
𝐴Ausgangsquadrat = 1
Von-Deutung
Aus Skizze ablesen:
2
5 10
von =
3
7 21
Flächeninhaltsformel
2 5
𝐴Rechteck = 𝑙 ∙ 𝑏 = ∙
3 7
5
7
2
3
Übung: Bestimmen Sie genauso
5 2
5 3
die Produkte ∙ und ∙ .
4 3
4 2
Vereinigung vieler
Bruchrechenaspekte
Hefendehl-Hebeker, L. (1996): Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-22, 47-48
Jede „Fliese“ hat die
1
1
Seitenlängen und
2
3
und ihre Fläche ist
1
der Gesamtfläche.
6
1
6
1
2
ist außerdem
die Hälfte von einem
Drittelstreifen,
ein Drittel von einer
Quadrathälfte,
1
3
2
3
das Ergebnis der
1 1
formalen Rechnung ∙ .
2 3
„Bruchgitter“
Hefendehl-Hebeker, L. (1996). Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-22, 47-48
Bestimme die Fläche
des Rechtecks mit den
Seitenlängen
4
3
3
2
und .
Erkläre dein Ergebnis
an der Zeichnung und
durch deine Rechnung.
Finde andere
Rechtecke mit dem
selben Flächeninhalt.
Usw.
Division von
Bruchzahlen
Malle (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8
Division von Bruchzahlen
4
∶2
9
7 7
∶
2 10
Maß kleiner als die zu
messende Größe.
Beispiel:
3
4
∶
Zugehörige Frage:
1
3
Wie oft ist in enthalten?“
4
Teilen
(Verteilen)
Messen
(Aufteilen)
1
4
4
Maß größer als die zu
messende Größe.
Beispiel:
1
4
∶
3
4
Zugehörige Frage:
Welcher Bruchteil
3
1
von passt in ?“
4
4
 Messen
7
2
Maß kleiner als die zu messende Größe:
 „Wie oft passt
7
10
7
2
∶
7
10
in ?“
2
1
3
7 7
∶
=𝟓
2 10
Beispiel:
𝟕
𝟐
𝟕
Liter Wein sollen in -Liter-Flaschen abgefüllt werden.
𝟏𝟎
Wie viele Flaschen können gefüllt werden?
7 7
7∙𝟓 7
35 7
= 35 𝐙𝐞𝐡𝐧𝐭𝐞𝐥 ∶ 7 𝐙𝐞𝐡𝐧𝐭𝐞𝐥 = 5
∶
=
∶ =
:
2 10 2 ∙ 𝟓 10 10 10
Dividieren
als Messen
Verfeinerung
der Einteilung
Bruchzahl als
Quasikardinalzahl
Es können
5 Flaschen
gefüllt
werden.
 Messen
Maß größer als die zu messende Größe:
4
9
4
9
∶2
 „Welcher Bruchteil von 2 passt in ?“
1
2
4
𝟐
∶2=
9
𝟗
Dimensionen beim
Aufgabenlösen
Winter, H. (2004). Ganze und zugleich gebrochene Zahlen. mathematik lehren 123, S. 14-18
Syntax
Semantik
Pragmatik
Regeln, Formeln
Bedeutung, Sinn
Anwendung, Gebrauch
Formales Verständnis
Inhaltliches Verständnis
Handlungsverständnis
3 2 3
2∶ = ∶
4 1 4
2 4
= ⋅
1 3
2⋅4
=
1⋅3
8
=
3
2
=2
3
8
2=
4
8
8 3
∶ =8∶3=
3
4 4
3
2 ist mit
4
zu messen.
2 Liter Milch sind in
3
𝑙-Gefäße
4
zu füllen.
2𝑙
2
2∶3=
3
∶4
·4
2 8
3
2∶ = 4⋅ =
3 3
4
2 volle Gefäße und ein
2
-volles
3
3
4
von je 𝑙.
4.4 Grundvorstellungen
mit EXIs erarbeiten
Exis?
juergen-roth.de/veroeffentlichungen/geometrische_lernumgebung_bruchzahlen/roth_geometrische_lernumgebung_bruchzahlen.pdf
E
A
B
C
F
G
H
D
Exis
(Regelmäßiges) Sechseck A,
(gleichschenkliges) Trapez B, Raute C, mittleres (gleichseitiges) Dreieck D,
langes (stumpfwinklig-gleichschenkliges) Dreieck E,
kleines (rechtwinkliges) Dreieck F, großes (gleichseitiges) Dreieck G,
Rechteck H
Literatur
Roth, Jürgen: Eine geometrische Lernumgebung − Entwicklung von Verständnisgrundlagen für Bruchzahlen und
das Rechnen mit Brüchen. In: Fritz-Stratmann, A.; Schmidt, S. (Hrsg.): Fördernder Mathematikunterricht in der
Sekundarstufe I − Rechenschwierigkeiten erkennen und überwinden, Beltz Verlag, Weinheim, 2009, S. 186-200
Roth, Jürgen: Grundverständnis für Bruchzahlen aufbauen mit „EXI“ – Ein Anschauungsmittel auf der Basis eines
regelmäßigen Sechsecks
Teil eines Ganzen
E
A
C
B
H
G
F
D
Exi-Typ
A
B
C
D
E
F
G
H
Anzahl der Teile
Bruchteil von A
Teil eines Ganzen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/brueche/exi.html
1
2
1
1
6
1
12
1
6
1
3
1
2
2
3
Erweitern und Kürzen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/brueche/exi_2.html
Erweitern
Kürzen
Bruchstück und das Ganze
feiner unterteilen (Verfeinern)
Bruchstück und das Ganze
gröber unterteilen (Vergröbern)
Erweitern
1
3
1⋅2 2
=
3⋅2 6
2⋅2
4
=
6 ⋅ 2 12
Kürzen
Addieren
Addieren  Dazulegen
1
3
2
6
+
1
2
+
3
6
=
?
=
5
6
Dividieren
Dividieren  Messen
Maß kleiner als die zu messende Größe.
„Wie oft passt
1
2
:
1
3
in
1
2
?“
1
3
=
1
1
2
=
3
2
Dividieren
Dividieren  Messen
Maß größer als die zu messende Größe.
„Welcher Bruchteil von
1
3
:
1
2
1
2
passt in
=
1
3
?“
?
=
2
3
4.5 Repräsentationen
von Bruchzahlen
Verfeinern ⇔ Vergröbern
0
1
2
0
1
1
1
2
1
0
2
1
2
0
4
0
8
1
4
1
8
2
8
3
4
2
4
3
8
4
8
3
2
2
2
5
8
6
8
5
4
4
4
7
8
8
8
9
8
10
8
4
2
6
4
11
8
12
8
8
4
7
4
13
8
14
8
15
8
16
8
Brüche  Bruchzahl
Stammbrüche
Darstellung von
Stammbrüchen
Koepsell (2004). Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123
Färbe den angegebenen Teil der Streifen. Der gefärbte Teil liegt immer unten.
Darstellung von Bruchzahlen
Hefendehl-Hebeker (1996): Brüche haben viele Gesichter. Mathematik lehren 78, S. 20-22, 47-48
Koepsell (2004). Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123
Vgl. zur Prozentrechnung
folgenden Artikel:
Kristina Appell (2004).
Prozentrechnen –
Formel, Dreisatz, Brüche
und Operatoren.
In: Der Mathematikunterricht, Heft 6, S. 23-32
Prozentgummiband
Scholz (2002). Das Prozentgummiband. mathematik lehren 114, S. 69
Prozentrechnung
Aufgabe
Einen Hose kostet inklusive Mehrwertsteuer 87,00€.
Wie hoch ist der Preis der Hose ohne Mehrwertsteuer?
Gegeben: 87,00 €
Gesucht:
Dreisatz
Das ist der Prozentwert zum Prozentsatz 119 %.
Grundwert
: 119
∙ 100
87,00 €
0,7311 €
73,11 €
sind
sind
sind
Operator
87,00 € ∶ 1,19 ≈ 73,11 €
Verhältnis
𝑥
87,00 €
=
100
119
⇒ 𝑥=
119 %
1%
100 %
: 119
∙ 100
100
∙ 87,00 € ≈ 73,11 €
119
Koepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt, Heft 123
Koepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123
1
8
a) Färbe von jeder Figur . Mache es so genau wie möglich.
1
6
b) Färbe von jeder Figur .
Koepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt Heft 123
1
4
c) Färbe von jedem Quadrat . Mache es jedes Mal anders!
Vgl. für weitere Regelableitungen Padberg: Didaktik der Bruchrechnung
4.6 Erarbeitung von Rechenregeln
(Beispiel „Bruch durch Bruch“)
Regelableitung
„Bruch durch Bruch“
Messen
3
2
Wie oft ist in einhalten?
5
3
2 3
∶
3 5
𝟐
𝟑
1
𝟑
𝟓
Regelableitung
Messen
3
2
5
3
2 3 2∙5 3∙3
∶
∶ =
3 5 3∙5 3∙5
𝟐
𝟑
1
𝟑
𝟓
Regelableitung
Messen
3
2
5
Rechenregel:
Bruch mal Bruch
3
2∙5 2 5
2 3 2∙5 3∙3
∶
= 2∙5 ∶ 3∙3 =
∶ =
= ∙
3∙3 3 3
3 5 3∙5 3∙5
Genutzte
(Grund-)
Vorstellungen
Messen &
Verfeinern
Quasikardinalzahl
Ergebnis einer
Division
𝟐
𝟑
1
𝟑
𝟓
Regelableitung
(Umkehr-)Operator
5
7
Lea denkt sich eine Zahl. Sie multipliziert diese Zahl mit .
3
4
Als Ergebnis erhält sie . Welche Zahl hat Lea sich gedacht?
5
∙
7
5
∙
7
3
4
𝑥
5
:
7
:7
∙5
∙7
:5
𝑥
3 5 3 7
: = ∙
4 7 4 5
3
4
7
∙
5
Regelableitung
Gleichungskette (Permanenzreihe)
2
6
:3 =
7
7
3
3
: 100 =
2
2 ∙ 100
:3 =
∙5
:5
Bei der Division durch eine ganze
= kleineres
2 Siebtel
6 Siebtel
∶ 3ein
Zahl,
erhält man
Bruchstück.
3
3
: 20 =
2
2 ∙ 20
∙5
:5
3
:4
2
=
=
3 =
:3
3
2∙4
:5
3 4
3∙5
: ==
?
2 5
2∙4
Welche Sorte erhält man?
∙5
Permanenzprinzip
3 5
= ∙
2 4
1
Bei 7 braucht man 7 Bruchstücke
um den Kreis zu füllen
Jetzt braucht man die dreifache
Anzahl, nämlich 7.3
Der Bruchteil ist also
1
des Ganzen
73
Regelableitung
Loska/Hartmann
Analogisieren
4 2 42
 
15 3 15  3
Analogisieren
4 2
4:2
2
: 

15 3 15 : 3 5
Es muss geprüft werden, ob dieser Analogieschluss sinnvoll ist.
5 5 2 2 5 2 2 5 2 : 2 5
  : 
: 

7 7 3 3 7 3 3 7 3: 3 7
Division als Umkehrung
der Multiplikation.
Wie kann man vorgehen, wenn die Division nicht aufgeht?
5 2 5 : 2 53 2 : 2 53 5 3
: 


 
7 3 7 : 3 7  23: 3 7  2 7 2
Erweitern
Schwierigkeiten bei der
Division von Brüchen
Prozentsatz
richtig gelöster
Aufgaben je Typ
Problembereiche bei
den gemeinen Brüchen
Probleme
Anschauliche
Bruchvorstellungen
Zusammenhang zwischen
natürlichen Zahlen und Brüchen
Verbreitete Fehlerrahmen
Additionsrahmen
𝑎 𝑐 𝑎∘𝑐
∘ =
𝑏 𝑏
𝑏
Multiplikationsrahmen
𝑎 𝑐 𝑎∘𝑐
∘ =
𝑏 𝑑 𝑏∘𝑑
𝑎 𝑛∘𝑎
n∘ =
𝑏
𝑏
Zusammenfassung
Dominanz der
syntaktischen Ebene
gegenüber der semantischen
(inhaltlichen) Ebene
Gegenmaßnahmen
Regelableitung
sorgfältig und spät
Rechenregeln und
inhaltliche Bruchvorstellungen
in Beziehung setzen
Möglichst wenige
und einprägsame
Rechenregeln formulieren
4.7 Gemischte Zahlen
und Dezimalbrüche
Gemischte Zahlen
Vorteile der Behandlung
gemischter Zahlen
1
5
Kurzschreibweise: 3 + = 3
Wert einer Bruchzahl > 1
kann besser erfasst werden
35
3
<
61
,
5
denn
2
11
3
<
1
12
5
Leichtere Addition und Subtraktion von Bruchzahlen > 1
Addition:
49
3
+
1
3
37
5
=
245
111
+
15
15
2
5
16 + 7 = 23 +
= 23
=
356
15
5
6
+
15
15
1
5
Subtraktion:
35
21
−
3
5
2
3
1
5
= 11 − 4 = 7
7
15
Gemischte Zahlen können zur
Einführung und zur Begründung
der Rechenoperationen mit
Dezimalbrüchen auf der
Grundlage der gemeinen
Brüche eingesetzt werden.
45
100
75
7
100
3,45 + 4,3 = 3
=
+4
3
10
= 7,75
11
15
Gemischte Zahlen
Nachteile der Behandlung
gemischter Zahlen
Bezeichnung „gemischte Zahl“
eigentlich falsch → besser:
„gemischte Zahlzeichen“
Möglicher fehlerhafter
Transfer in die Algebra:
𝑏
𝑏
𝑏
𝑎 =𝑎∙ ≠𝑎+
𝑐
𝑐
𝑐
Zusammenfassung
Vorteile überwiegen deutlich
gemischten Zahlen sollten im
Unterricht verwendet werden
Ergebnisse in gemischte Zahlen
umwandeln → Abschätzen
der Größenordnung der Zahl
Multiplikation und Division von
gemischten Zahlen ist sehr
fehleranfällig, wenn nicht vorher
in echte Brüche umgewandelt
wird.
Dezimalbrüche
257
kg
7,257 kg = 7 kg 257 g = 7
1000
200
30
4
234
2
3
4
=
+
+
=
+
+
0,234 =
1000 1000 1000
1000
10 100 1000
0,234 = 234 Tausendstel
= 200 Tausendstel + 30 Tausendstel + 4 Tausendstel
= 2 Zehntel + 3 Hundertstel + 4 Tausendstel
T
5
:10
:10
:10
:10
:10
:10
∙10
∙10
∙10
∙10
∙10
∙10
H
4
Z
3
E
z
h
t
7
2
5
7
0
2
3
4
1
7
8
9
Dezimalbrüche
endlich
(Beispiel: 𝟎, 𝟓)
Dezimalbruch
rein
periodisch
ഥ)
(Beispiel: 𝟎, 𝟑
periodisch
gemischt
periodisch
ഥ)
(Beispiel: 𝟎, 𝟏𝟔
Periodische Dezimalbrüche
⟺ echte Brüche
Als echten Bruch schreiben!
rein periodischer Dezimalbruch
ȁ ⋅ 1000
𝑥 = 0, 123
1000 ∙ 𝑥 = 123, 123 ȁ−𝑥
ȁ∶ 999
999 ∙ 𝑥 = 123
𝑥=
123
999
gemischt periodischer Dezimalbruch
1
0,231 = 10 ∙ (10 ∙ 0,231)
=
=
=
1
∙ 2, 31
10
1
31
1
∙2
=
10
99
10
229
990
∙ 2+
31
99
=
1
10
∙
198
99
+
31
99
=
1 229
∙
10 99
Anschauliche
Bruchvorstellungen
Anteil richtiger
Lösungen: 4 %
Anteil richtiger
Lösungen: 50 %
>
ഥ
𝟎, 𝟗 = 𝟏 ?
<
>
ഥ
𝟎, 𝟗 = 𝟏 ?
<
Wie groß ist der Abstand von 0, 9ത zu 1 ?
1
= 1 ∶ 9 = 0, 1ത
9 10
− 9
1
1
ȁ⋅ 9
= 0, 1ത
9
9
= 0, 1ത ⋅ 9
9
1 = 0, 9ത
>
ഥ
𝟎, 𝟗 = 𝟏 ?
<
1
= 1 ∶ 3 = 0, 3ത
3 10
− 9
1
1 1 1
1= + +
3 3 3
= 0, 3ത + 0, 3ത + 0, 3ത
𝑥 = 0, 9ത
ȁ⋅ 10
10 ⋅ 𝑥 = 9, 9ത
ȁ−𝑥
9⋅𝑥 =9
9
𝑥=
9
𝑥=1
ȁ∶ 9
= 0, 9ത
>
ഥ
𝟎, 𝟗 = 𝟏 ?
<
Geometrische Reihe
∞
𝑎
෍𝑎⋅𝑞 =
1−𝑞
𝑘
für
𝑞 <1
𝑘=0
Setze
1
𝑞=
10
∞
und
1
9, 9ത = ෍ 9 ⋅
10
𝑘
𝑘=0
9, 9ത = 10
0, 9ത = 1
𝑎=9
9
9
= 10
=
=
1
9
1−
10
10
ȁ−9
Grundvorstellungen bei
Schokoladenaufgabe

Didaktik der Zahlbereichserweiterungen

Transcrição

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