Aufgaben

SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2006
Mathematik
(Leistungskursniveau)
Arbeitszeit: 300 Minuten
Es sind die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlpflichtaufgabe zu lösen.
Der Prüfling entscheidet sich für eine Wahlpflichtaufgabe.
Die zur Bewertung vorgesehene Wahlpflichtaufgabe ist vom Prüfling anzukreuzen.
Wahlpflichtaufgabe 4.1
Wahlpflichtaufgabe 4.2
(Unterschrift)
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SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG 2006
MATHEMATIK (LEISTUNGSKURSNIVEAU)
Pflichtaufgaben
Aufgabe 1
Analysis
Gegeben sind die Funktionen ft durch
y = ft (x) = 1 + t x + e −x
,
x ∈ R, t ∈ R, t > 0 .
Ihre Graphen werden mit Gt bezeichnet.
a) Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionen ft für x → +∞ und geben Sie eine
Gleichung der Asymptoten der Graphen Gt an.
Ermitteln Sie die Art und Lage der lokalen Extrempunkte der Graphen Gt und zeigen Sie,
dass die Graphen Gt keine Wendepunkte besitzen.
[mögliches Ergebnis zur Kontrolle: Ordinate der Extrempunkte: 1 + t – t⋅ln t ]
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ortskurve der lokalen Extrempunkte der Graphen Gt.
Im Bild ist die Ortskurve der lokalen Extrempunkte in einem Koordinatensystem dargestellt.
Zeichnen Sie den Graphen G1 und dessen
Asymptote in dieses Koordinatensystem im
Intervall −2 ≤ x ≤ 3.
Weisen Sie nach, dass alle Graphen Gt genau
einen gemeinsamen Punkt besitzen.
Schlussfolgern Sie aus vorhergehenden
Untersuchungen den Einfluss des Parameters t
auf den Verlauf der Graphen Gt.
b) Berechnen Sie mithilfe eines Näherungsverfahrens
den Wert des Parameters t für den Fall, dass
der lokale Extrempunkt auf der x-Achse liegt
(auf Hundertstel genau).
c) Der Graph G1, die Koordinatenachsen und die
Gerade mit der Gleichung x = 3 begrenzen
eine Fläche vollständig.
Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes dieser
Fläche.
HINWEIS: Beschriften Sie dieses Aufgabenblatt mit Ihrem Namen und fügen Sie es der
Prüfungsarbeit bei.
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Pflichtaufgaben
MATHEMATIK (LEISTUNGSKURSNIVEAU)
Aufgabe 2
Analytische Geometrie
⎛1 ⎞
⎜ ⎟
Gegeben seien in einem kartesischen Koordinatensystem der Vektor v = ⎜ 2 ⎟ sowie die
⎜ 2⎟
⎝ ⎠
→
Punkte A(2 | 3 | 5) und C(8 | −3 | 2).
a) Geben Sie eine Gleichung für die Gerade g an, die den Punkt A enthält und in Richtung
→
des Vektors v verläuft.
Begründen Sie, dass die Gerade g nicht parallel zu der durch die Punkte A und C
bestimmten Geraden h verläuft.
Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels zwischen den Geraden g und h.
Berechnen Sie die Maßzahl des Abstandes der gegebenen Punkte und ermitteln Sie die
Koordinaten jenes Punktes M, der die Strecke AC im Verhältnis AM : MC = 1 : 2 teilt.
[Ergebnis zur Kontrolle: M(4 | 1 | 4) ]
b) Durch den Punkt M verlaufe eine Gerade k senkrecht zur Geraden h; ihr Durchstoßpunkt
durch die x-y-Ebene sei D.
Ermitteln Sie eine Gleichung dieser Geraden k und die Koordinaten des Punktes D für
den Fall, dass die Maßzahl des Abstandes der Punkte D und M den Wert 18 hat.
[Ergebnis zur Kontrolle: D(3 | 2 | 0)]
c) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung für die durch die Punkte A, C und D aufgespannte Ebene.
Die Punkte A, C und D sowie ein weiterer Punkt B sind Eckpunkte eines ebenen
Drachenvierecks ABCD.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B.
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MATHEMATIK (LEISTUNGSKURSNIVEAU)
Pflichtaufgaben
Aufgabe 3
Stochastik
Monitore wurden im Dauerbetrieb getestet. Dabei ist festgestellt worden, wie lange die
Monitore die Qualitätsnorm erfüllen.
Die Übersicht zeigt die Wahrscheinlichkeit für das Erfüllen der Qualitätsnorm bezogen auf
die Monitore der Typen MA und MB in Abhängigkeit von der Anzahl der Betriebstage.
Betriebstage
Wahrscheinlichkeit
Monitor MA
Monitor MB
101
183
366
549
732
0,99
0,98
0,98
0,96
0,94
0,91
0,86
0,80
0,50
0,40
Die Testergebnisse werden unter Annahme von Binomialverteilung ausgewertet.
a)
Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit am 732. Betriebstag von 100 Monitoren
MB höchstens 45 die Qualitätsnorm nicht erfüllen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 100 Monitoren MB mehr als 35 und weniger
als k am 732. Betriebstag die Qualitätsnorm erfüllen, soll mindestens 0,7 betragen.
Ermitteln Sie den kleinstmöglichen Wert für k.
b)
Es werden Monitore MA und MB betrachtet, die am 101. Betriebstag die Qualitätsnorm
erfüllt haben. Diese Monitore sind im Folgenden mit MA 101 bzw. MB 101 bezeichnet.
Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit der die Ereignisse eintreten:
E1: Ein Monitor MA101 erfüllt am 549. Betriebstag die Qualitätsnorm.
E2: Zwei Monitore verschiedenen Typs (MA101 bzw. MB101) erfüllen beide am 549.
Betriebstag die Qualitätsnorm.
E3: Von zwei verschiedenen Monitoren (MA101 bzw. MB101) erfüllt mindestens
einer am 732. Betriebstag die Qualitätsnorm.
Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E1 mittels
P(B)
PA (B) =
berechnet werden kann.
P( A )
c)
In einer Stichprobe von 175 Monitoren MB erfüllen 96 am 732. Betriebstag die Qualitätsnorm. Es wird vermutet, dass mehr Monitore MB, als bisher festgestellt, am 732. Betriebstag die Qualitätsnorm erfüllen.
Untersuchen Sie anhand eines Signifikanztests, ob die Nullhypothese H0: p0 ≤ 0,40 auf
dem Signifikanzniveau α = 0,05 abgelehnt werden kann.
Erläutern Sie mögliche Konsequenzen von Fehlentscheidungen aus Sicht des
Monitorherstellers.
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Wahlpflichtaufgaben
MATHEMATIK (LEISTUNGSKURSNIVEAU)
Aufgabe 4.1
Analysis
Gegeben ist ein Kreis, dessen Radius die Maßzahl r1 = a (a ∈ R, a > 0) hat. Dieser Kreis sei
die Figur 1.
a
Zwei Kreise haben jeweils den Radius mit der Maßzahl r2 = . Diese beiden Kreise seien
2
die Figur 2.
Jede weitere Figur entsteht aus ihrer Vorgängerfigur durch Halbieren der Radien der Kreise
und durch Verdoppeln der Anzahl der Kreise (siehe Abbildung).
a)
Ermitteln Sie für die Figur k (k sei die Nummer der Figur; k ∈ N; k ≥ 1) die Anzahl der
Kreise, die Maßzahl des Umfangs uk und die Maßzahl des Flächeninhaltes Ak in
Abhängigkeit von k.
Ermitteln Sie die Grenzwerte der Folgen (uk) und (Ak) für k → ∞ .
b)
Zeigen Sie, dass die Folge (Ak) eine geometrische Zahlenfolge ist und berechnen Sie
den Grenzwert der Summe der Maßzahlen der Flächeninhalte aller so entstehenden
Figuren für k → ∞ .
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MATHEMATIK (LEISTUNGSKURSNIVEAU)
Wahlpflichtaufgaben
Aufgabe 4.2
Analytische Geometrie
Gegeben seien in einem kartesischen Koordinatensystem
⎛ 3⎞
⎛ 1⎞
⎛ 2⎞
→
→ ⎜
⎜
⎟ → ⎜
⎟
⎟
der Punkt A(4 | 6 | 9) sowie die Vektoren v 1 = ⎜ − 3 ⎟ , v 2 = ⎜ − 1⎟ und u = ⎜ − 2 ⎟ .
⎜ 3⎟
⎜ − 5⎟
⎜ − 4⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
→
→
Durch Verschiebung des Punktes A mit dem Vektor v 1 bzw. mit dem Vektor v 2 werden die
Punkte B bzw. C bestimmt.
→
→
→
a) Weisen Sie nach, dass u = r1 v 1 + r2 v 2
→
→
(r1, r2 ∈ R) ist und schlussfolgern Sie daraus
→
Eigenschaften der Vektoren u , v 1 und v 2 .
b) Das durch die Punkte A, B und C gebildete Dreieck hat einen stumpfen Innenwinkel mit
dem Scheitelpunkt A.
Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte B und C und begründen Sie, dass das
Dreieck ABC gleichschenklig ist.
Geben Sie eine Gleichung für die Winkelhalbierende w des stumpfen Innenwinkels an.
⎛ 2⎞
→
⎜
⎟
[Teilergebnis zur Kontrolle: Richtungsvektor von w ist w = ⎜ − 2 ⎟ ]
⎜ − 1⎟
⎝
⎠
c) Die Geraden AB und AC seien Tangenten eines Kreises k.
Der Mittelpunkt M des Kreises k liegt auf der Winkelhalbierenden w.
→
→
Weiterhin sei TM = u , wobei T einer der Berührungspunkte der Tangenten an den
Kreis k ist.
Ermitteln Sie die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises k.
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