Formeln für Metallbauberufe

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EUROPA-FACHBUCHREIHE
für Metallberufe
Formeln für Metallbauberufe
Bearbeiter
Dillinger, Josef
Röhrer, Werner
Tyroller, Hans
Weingartner, Alfred
Studiendirektor
Dipl.-Ing. (FH), Dipl.-Gewerbelehrer
Oberstudiendirektor a. D.
Studiendirektor
München
Balingen
München
München
Lektorat und Leitung des Arbeitskreises
Alfred Weingartner, München
Bildbearbeitung:
Zeichenbüro des Verlages Europa-Lehrmittel GmbH & Co. KG, Ostfildern
Das vorliegende Buch wurde auf der Grundlage der neuen amtlichen Rechtschreibregeln erstellt.
4. Auflage 2010
Druck 5 4 3 2
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© 2010 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruiten
http://www.europa-lehrmittel.de
Satz: Satz+Layout Werkstatt Kluth GmbH, 50374 Erftstadt
Druck: M. P. Media Print Informationstechnologie GmbH, 33100 Paderborn
Europa-Nr.: 16313
ISBN 978-3-8085-1634-8
VERLAG EUROPA-LEHRMITTEL · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG
Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten
2
Inhaltverzeichnis
Mathematische Grundlagen Grundrechnungsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Umrechnen von Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Winkel, Strahlensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mischungs-, Prozent-, Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Längen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung regelmäßiger Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verschnitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Körper, Volumen und Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Masse, Gewichtskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
7
8
9
9
10
11
12
13
14
15
18
Naturwissenschaftliche
Grundlagen
Bewegungslehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Gleichförmige Kreis- oder Drehbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Vorschub-, Schnitt-, Umfangsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . 20
Mittlere Geschwindigkeit bei Kurbeltrieben. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Hebel und Drehmoment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Auflagerkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Mechanische Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Kräfte an der schiefen Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23, 24
Mechanische Leistung, Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Rolle und Flaschenzug . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Fertigungstechnik
Berechnungen an Metallbaukonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Teilungslängen bei Gittern und Bauelementen . . . . . . . . . . . . . . . 26
Teilungslängen nach Landesbauordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Teilungslängen gekrümmter Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Oberflächen von Profilkonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Masse von Profilkonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Zuschnittlängen gebogener Profile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Zuschnittlängen von Systemkonstruktionen, Fenster, Türen . 30, 31
Rohmaße von Schmiede- und Pressstücken . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Treppenberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Blechkonstruktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Gestreckte Längen gekanteter Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Zugaben, Drahteinlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Zugaben, Falze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Abwicklungen von Blechformkörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34, 35
Wärmetechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Wärmemenge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Längen- und Volumenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 37
Kohle- und Gasverbrauch beim Schmieden . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Wärmestrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Wärmedurchlasswiderstand einschichtiger Bauelemente . . . . . . 38
Wärmeleitfähigkeit verschiedener Baustoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Wärmedurchlasswiderstand mehrschichtiger Bauelemente . . . . 39
Wärmedurchgangswiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Wärmedurchgangskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Wärmeübergangswiderstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Nachweisverfahren nach Wärmeschutzverordnung . . . . . . . . . . . 41
Schweißen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Inhaltsverzeichnis
Festigkeitsberechnungen
im Stahlbau
3
Beanspruchungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Beanspruchbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Sicherheitsnachweis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Knickfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44, 45
Festigkeit von Schweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Festigkeit von Schraubenverbindungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46, 47
Festigkeitsberechnungen im Beanspruchung auf Zug. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maschinen- und Anlagenbau Beanspruchung auf Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beanspruchung auf Flächenpressung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beanspruchung auf Schub (Scherung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Festigkeit von Schweißverbindungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schneiden von Werkstoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Beanspruchung auf Biegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Axiale Widerstandsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
48
48
49
49
49
50
50
Zahnradberechnungen
Zahnradmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Achsabstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Einfache Übersetzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Hauptnutzungszeit
Bohren, Reiben, Senken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Längs-Runddrehen, Quer-Plandrehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Hydraulik und Pneumatik
Druck, Druckeinheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Schweredruck, Luftdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Druck und Druckausbreitung von Gasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Kolbenkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55, 56
Kraftübersetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Kolben- und Strömungsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Luftverbrauch pneumatischer Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Elektrotechnik
Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leiterwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reihenschaltung von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parallelschaltung von Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Steuerungstechnik
Logische Grundfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Kostenrechnung
Berechnung der Einzelkosten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Berechnung der Gemeinkostenzuschlagssätze . . . . . . . . . . . . . . . 61
Berechnung der Herstell- und Selbstkosten. . . . . . . . . . . . . . . 61, 62
Einfache Zuschlagskalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Differenzierte Zuschlagskalkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
58
58
58
58
59
59
Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4
Mathematische Grundlagen
Grundrechnungsarten
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zählen zu den Grundrechnungsarten. Man unterscheidet dabei zwischen den beiden Gruppen Strich- und Punktrechnung.
Rechnungsart
Rechnungsvorgang
Addition
Subtraktion
addieren
subtrahieren
Multiplikation
Division
multiplizieren
dividieren
Rechenzeichen
Ergebnis
Gruppe
+ plus
– minus
Summe
Differenz
Strichrechnung
· mal
: geteilt
Produkt
Quotient
Punkrechnung
Strichrechnungen
Bei Strichrechnungen handelt es sich um Summierungen, d. h. Additionen und Subtraktionen.
Regel
Zahlenbeispiel
Nur Zahlen mit gleichen Variablen
können summiert werden.
–
Algebraisches Beispiel
18a + a – 3a + 2b
= 16a + 2b
Zahlen und Buchstaben können vertauscht werden (Kommutativgesetz).
3–9+7=7+3–9
=–9+3+7=–9+7+3
a–b+c=a+c–b
=–b+a+c=c+a–b
Einzelne Glieder können zu Teilsummen zusammengefasst werden
(Assoziativgesetz).
3 + 7 – 9 = (3 + 7) – 9
a + b – c = (a + b) – c
Regel
Zahlenbeispiel
Klammern, vor denen ein Pluszeichen
steht, können weggelassen werden.
Die Vorzeichen der Glieder bleiben
dann unverändert.
16 + (9 – 5)
= 16 + 9 – 5
= 20
a + (b – c)
=a+ b–c
Klammern, vor denen ein Minuszeichen steht, können nur aufgelöst
(weggelassen) werden, wenn alle
Glieder in der Klammer entgegengesetzte Vorzeichen erhalten.
16 – (9 – 5)
= 16 – 9 + 5
= 12
a – (b – c)
=a– b+c
Klammern
Punktrechnungen
Punktrechnungen sind Multiplikationen und Divisionen.
Regel
Faktor · Faktor = Produkt
Zahlenbeispiel
2 · 5 = 10
x·y=z
Faktoren dürfen vertauscht werden
(Kommutativgesetz).
3·4·5=4·3·5
=5·3·4=5·4·3
a·b·c=b·a·c
=c·b·a=c·a·b
Einzelne Faktoren dürfen zu Teilprodukten zusammengefasst werden
(Assoziativgesetz).
3 · 4 · 5 = (3 · 4) · 5
= 3 · (4 · 5)
a · b · c = (a · b) · c
= a · (b · c)
Haben 2 Faktoren gleiche Vorzeichen,
so wird das Produkt (Ergebnis) positiv.
+ mal + = + ; – mal – = +
2 · 5 = 10
(– 2) · (– 5) = 10
a · x = ax
(– a) · (– x) = ax
5
Grundrechnungsarten
Punktrechnungen
Punktrechnungen sind Multiplikationen und Divisionen.
Regel
Zahlenbeispiel
Haben 2 Faktoren verschiedene Vorzeichen, so wird das Produkt (Ergebnis)
negativ.
+ mal – = –; – mal + = –
3 · (– 8) = – 24
(– 3) · 8 = – 24
a · (– x) = – ax
(– a) · x = – ax
Ein Klammerausdruck wird mit einem
Faktor multipliziert indem man jedes
Glied der Klammer mit dem Faktor
multipliziert. Man kann auch zuerst den
Inhalt der Klammer berechnen und
danach das Ergebnis mit dem Faktor
multiplizieren.
7 · (4 + 8)
= 7 · 4 + 7 · 8 = 84
oder
7 · (4 + 8)
= 7 · 12 = 84
a · (b + 2b) = ab + 2ab
= 3ab
oder
a · (b + 2b) = a · 3b
= 3ab
Ein Klammerausdruck wird mit einem
Klammerausdruck multipliziert indem
man jedes Glied der einen Klammer
mit jedem Glied der anderen Klammer
multipliziert.
Bei Zahlen können auch erst die Klammerausdrücke berechnet und danach
hieraus das Produkt gebildet werden.
(3 + 5) · (10 – 7)
= 3 · 10 + 3 · (– 7) +
+ 5 · 10 + 5 · (– 7)
= 30 – 21 + 50 – 35 = 24
oder
(3 + 5) · (10 – 7)
= 8 · 3 = 24
(a + b) · (c – d)
= ac – ad + bc – bd
(a + 2a) · (b + c)
= 3a · (b + c)
= 3ab + 3ac
Gemischte Punkte- und Strichrechnungen
Regel
Zahlenbeispiel
Punktrechnungen müssen vor Strichrechnungen gelöst werden.
Sind in einer gemischten Punkt- und
Strichrechnung auch Klammerausdrücke
vorhanden, so werden, wenn möglich,
zuerst die Klammern berechnet. Danach
wird die Punkt- und dann die Strichrechnung durchgeführt.
8 · 4 – 18 · 3
= 32 – 54 = – 22
4a · b – c · 3d
= 4ab – 3cd
16 + 20 –18
4 5 3
=4+4–6=2
16a – 3b + 6c
4
b 2c
= 4a – 3 + 3 = 4a
8 · (3 – 2) + 4 · (16 – 5)
= 8 · 1 + 4 · 11
= 8 + 44 = 52
a · (3x – 5x)
– b · (12y – 2y)
= a · (– 2x) – b · 10y
= – 2ax – 10by
Potenzen
Zehnerpotenzen
Schreibweise als
ausgeschriebene
Zahl
1 000 000
100 000
10 000
1 000
100
10
1
Zehnerpotenz
106
105
104
103
102
101
100
Schreibweise als
Vorsatz bei
Einheiten
Mega (M)
–
–
kilo (k)
hekto (h)
deka (da)
–
ausgeschriebene
Zahl
1
0,1
0,01
0,001
0,000 1
0,000 01
0,000 001
Zehnerpotenz
100
10–1
10–2
10–3
10–4
10–5
10–6
Vorsatz bei
Einheiten
–
deci (d)
centi (c)
milli (m)
–
–
mikro (U)
6
Grundrechnungsarten
Potenzieren
Regel
Zahlenbeispiel
Algebraische Beispiele
axn + bxn
= xn (a + b)
a
= ax –n
xn
Potenzen dürfen nur dann addiert
oder subtrahiert werden, wenn sie
sowohl denselben Exponenten als
auch dieselbe Basis haben.
2 · 52 + 4 · 52 =
= 52 (2 + 4) = 6 · 52
2 1
1
– + = 3–2
32 32 32
a3 + a3 = 2a3
Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die
Exponenten addiert und die Basis
beibehält.
32 · 33 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3
= 35
oder:
32 · 33 = 3(2 + 3) = 35
x4 · x 2 = x · x · x · x · x · x
= x6
oder
x4 · x2 = x(4 + 2) = x6
xm · xn = xm + n
Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem
man ihre Basen multipliziert und
den Exponenten beibehält.
42 · 62 = (4 · 6)2 = 242
= 576
6 x2 · 3 y2 = 18 x2 · y2
= 18 (x · y)2
xn · yn = (xy)n
Potenzen mit gleicher Basis
werden dividiert, indem man ihre
Exponenten subtrahiert und die
Basis beibehält.
43 4 · 4 · 4
=
=4
42
4·4
oder:
43 · 4–2 = 43 – 2 = 41 = 4
m3 m · m · m
=
=m
m2
m·m
oder:
m3 · m–2 = m3 – 2 = m1 = m
xm
= xm – n
xn
Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man
ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.
Jede Potenz mit dem Exponenten
Null hat den Wert 1.
5
152 15
3
32
2
2
7
4
3
–
=
= 3 · d –n
dn dn dn
= 25
104
= 104 – 4 = 100 = 1
104
a3 a
b
b3
3
an a
b
bn
(m + n)0 = 1
n
a0 = 1
Wurzelziehen
Regel
Zahlenbeispiel
Wurzeln dürfen nur dann addiert oder
subtrahiert werden, wenn sie gleiche Exponenten und Radikanden haben. Man
addiert (subtrahiert) die Faktoren und
behält die Wurzel bei.
2 6+3 6
= (2 + 3) 6
=5 6
Ist der Radikand ein Produkt, so kann die
Wurzel entweder aus dem Produkt oder
aus jedem einzelnen Faktor gezogen
werden.
9 · 16 = 144 = 12
oder
9 · 16 = 9 · 16
= 3 · 4 = 12
Ist der Radikand eine Summe oder eine
Differenz, so kann nur aus dem Ergebnis
die Wurzel gezogen werden.
9 + 16 = 25 = 5
52 – 42 = 25 – 16
= 9=3
Ist der Radikand ein Quotient (Bruch),
so kann die Wurzel aus dem Quotienten
oder aus Zähler und Nenner getrennt
gezogen werden.
9
0, 36 0, 6
25
oder
9
9 3
=
= = 0, 6
25
25 5
Algebraische Beispiele
8 m–3 m
= (8 – 3) m
=5 m
a m+b m
= (a + b) m
3
a · b = 3a · 3b
n
ab = n a · n b
3
a – b = 3 (a – b)
n
a – b = n (a – b)
4
a 4a
=
b 4b
n
a na
=
b nb
7
Umrechnung von Einheiten
Länge
Fläche
1 m = 10 dm = 100 cm = 1 000 mm
1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2 = 1 000 000 mm2
m
dm
1 Stelle
cm
1 Stelle
mm
dm2
m2
1 Stelle
2 Stellen
1 m = 101 dm = 102 cm = 103 mm
cm2
2 Stellen
mm2
2 Stellen
1 m2 = 102 dm2 = 104 cm2 = 106 mm2
10 kleine Einheiten geben die nächst größere
Einheit. Bei den Längenmaßen ist die Umrechnungszahl 10.
100 kleine Einheiten geben die nächst größere Einheit. Bei den Flächenmaßen ist die
Umrechnungszahl 100.
Bei Umrechnung der Längenmaße rückt das
Komma von Einheit zu Einheit um eine Stelle.
Bei Umrechnung der Flächenmaße rückt das
Komma von Einheit zu Einheit um zwei Stellen.
Volumen
Masse
1 m3 = 1 000 dm3 = 1 000 000 cm3
= 1 000 000 000 mm3
1 t = 1 000 kg = 1 000 000 g = 1 000 000 000 mg
m3
dm3
3 Stellen
cm3
3 Stellen
mm3
3 Stellen
t
kg
3 Stellen
1 m3 = 103 dm3 = 106 cm3 = 109 mm3
g
mg
3 Stellen
3 Stellen
1 t = 103 kg = 106 g = 109 mg
1 000 kleine Einheiten geben die nächst größere Einheit. Bei den Volumenmaßen ist die
Umrechnungszahl 1 000.
1 000 kleine Einheiten geben die nächst größere Einheit. Bei den Massen ist die Umrechnungszahl 1 000.
Bei Umrechnung der Volumenmaße rückt das
Komma von Einheit zu Einheit um drei Stellen.
Bei Umrechnung der Masse rückt das Komma
von Einheit zu Einheit um drei Stellen.
Hohlmaß
Kraft
Den Inhalt von Gefäßen misst man in Litern.
1 l = 1 dm3 1 dl = 0,1 dm3 1 cl = 0,01 dm3
1 ml = 0,01 dm3 = 1 cm3
1 MN = 1 000 kN = 1 000 000 N = 1 000 000 000
mN
1 MN = 103 kN = 106 N = 109 mN
Umrechnung von Zollmaßen
1 inch
1 Inch = 1 Zoll = 25,4 mm; 1 mm = ––––
25,4
1 foot = 12 inches = 304,8 mm; 1 m = 39,37 inches = 3,28 feet
Vergrößernde Vorsätze
Vorsatz
da = Dekah = Hektok
= Kilo-
M = Mega-
Verkleinernde Vorsätze
Bedeutung
10-fach
100-fach
1 000-fach
1 000 000-fach
Beispiel
1 daN =
1 hl
=
1 kW =
10 N
Vorsatz
Bedeutung
d = Dezi-
10tel
1 dm =
100stel
1 cm =
1 /100 m
1 000stel
1 mV =
1/1 000 V
100 l
c = Zenti-
1 000 W
m = Milli-
1 MN = 1 000 000 N
U = Mikro-
1 000 000stel
Beispiel
1/10 m
1 Um = 1/1 000 000 m
= 0,001 mm
8
Winkelfunktionen
ec
us
ten
o
yp
Ankathete b
ec
us
ten
o
p
Hy
für & E
Gegenkathete zu & E
Ankathete
zu & F
b
Ankathete
zu & E
Gegenkathete zu & F
c
Hypotenuse
rechter Winkel
Funktionswerte aus Tabellen
a
Ankathete a
H
Gegenkathete a
Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck
für & F
a
sin E =
c
sin F =
b
c
cos E =
b
c
cos F =
a
c
tan E =
a
b
tan F =
b
a
cot E =
b
a
cot F =
a
b
Gegenkathete b
Funktionswerte für ausgewählte Winkel
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
sin
0
1
= 0,5000
2
1
· 2 = 0,7071
2
1
· 3 = 0,8660
2
1
0
–1
0
cos
1
1
· 3 = 0,8660
2
1
· 2 = 0,7071
2
1
= 0,5000
2
0
–1
0
1
tan
0
1
· 3 = 0,5774
3
1
3 =1,7321
0
0
cot
3 = 1,7321
1
1
· 3 = 0,5771
3
0
0
Winkelfunktionen im schiefwinkligen Dreieck
Sinussatz
C
a : b : c = sin E : sin F : sin K
a
b
c
=
=
sin E sin F sin K
#
a
b
Cosinussatz
a2 = b2 + c 2 – 2 · b · c · cos E
b2 = a2 + c 2 – 2 · a · c · cos F
c 2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos K
A
B
c
Anwendung von Sinus- und Cosinussatz
Seitenberechnung
Flächenberechnung
Winkelberechnung
a =
b · sin E c · sin E
=
sin F
sin K
sin E =
a · sin F a · sin K
=
b
c
cos E =
b2 + c2 – a2
2·b·c
A=
a · b · sin K
2
b=
a · sin F c · sin F
=
sin E
sin K
sin F =
b · sin E b · sin K
=
a
c
cos F =
a2 + c2 – b2
2·a·c
A=
b · c · sin E
2
c =
a · sin K b · sin K
=
sin E
sin F
sin K =
c · sin E c · sin F
=
a
b
cos K =
a2 + b2 – c2
2·a·b
A=
a · c · sin F
2
9
Winkel, Strahlensatz, Mischungs-, Prozent-, Zinsrechnung
Winkelarten
Werden zwei Parellelen durch eine Gerade geschnitten, so bestehen für die dabei gebildeten Winkel geometrische Zusammenhänge.
g2
#
g1
Stufenwinkel sind gleich groß.
E=F
Scheitelwinkel sind gleich groß.
F=H
Wechselwinkel sind gleich groß.
E=H
Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.
E + K = 180°
In jedem Dreieck ist die Summe der
Innenwinkel gleich 180°.
E + F + K = 180°
Im rechtwinkligen Dreieck ist K = 90°,
die Winkel E und F ergänzen sich zu
90°.
E + F = 90°
Winkelsumme im Dreieck
a
C
b
B
# = 90° c
A
Strahlensatz
c1
C1
C
c
a
a1
A
b
b1
B1
B
Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen von zwei Parallelen
geschnitten, bilden die Abschnitte der
Parallelen und die zugehörigen Strahlenabschnitte gleiche Verhältnisse.
a
b
c
=
=
a1 b1 c1
a a1
=
b b1
b b1
=
c c1
Mischungsrechnung
m1;T1;c1
m2; T2; c2
m1, m2 Teilmassen
T1, T2
c1, c2
m1 + m2
TM
TM
Temperaturen der
Teilmassen in K
c · m1 · T1 + c 2 · m2 · T2
TM = 1
spez. Wärmec1 · m1 + c 2 · m2
kapazitäten der
Teilmassen
Temperatur der Mischung
Prozentrechnung
Ps Prozentsatz
Gw Grundwert
Pw Prozentwert
Pw =
Gw · Ps
100 %
Zinsrechnung
z
p
k
t
Zinswert
Zinssatz pro Jahr
Kapital
Zeit in Jahren
1 Zinsjahr (1 a) ¥ 360 Tage (d )
¥ 12 Monate
1 Zinsmonat
¥ 30 Tage
z=
k·p·t
100 %
10
Längen
Teilung von Längen
Randabstand = Teilung
;
p
p
p
p
p
p

p
n
Teilungslänge
Teilung
Anzahl der Bohrungen,
Sägeschnitte, …

Gesamtlänge
p=

n+1
Randabstand + Teilung
a
p
p
p
b
p
Teilung
a, b Randabstand
n
Anzahl der Bohrungen,
s
;s

s
R
s
n
;R
– (a + b)
n–1
Sägeschnitte, …
;
Trennen von Teilstücken
p=
;
Gesamtlänge, Stablänge
Teillänge beim Trennen
Restlänge
Sägeschnittbreite
Anzahl der Teilelemente,
z. B. Sägeschnitte, Stäbe,
Bohrungen
n=

s + s
R = – ( s + s) · n
Kreisumfänge und Kreisteilungen
d
U
r
;
;B
E

oB
r
d
p
n
Durchmesser
Kreisumfang
Radius
Zentriwinkel
Sehnenlänge
Kreisbogenlänge
Teilung
Anzahl der Teilelemente,
z. B. Sägeschnitte, Stäbe, …
U=T·d
p=
oB =
=
;2
d
dm
s
D
Außendurchmesser
Innendurchmesser
mittlerer Durchmesser

gestreckte Länge
1, 2 Teillängen
L
zusammengesetzte Länge
E
Biegewinkel
s
Dicke
;1
T·d·E
360°
= 2 · r · sin
Gestreckte und zusammengesetzte Längen
D
d
dm
U T·d
=
n
n
E
2
T · dm · E
360°
dm =
D+d
2
dm = d + s
dm = D – s
L = 1 + 2 + 3 + …
11
Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck
Lehrsatz des Pythagoras
3
=
b
4
th
th
ete
Ka
a=
Ka
ete
Hypotenuse
A
a
b
c
B
c=5
c2
Im rechtwinkligen Dreieck ist das Hypotenusenquadrat ﬂächengleich der Summe
der beiden Kathetenquadrate.
a 2 = 16
C
b2 = 9
= 25
h
;
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
;
b = c 2 – a2
c = a2 + b 2
c 2 = a2 + b2
Im gleichseitigen Dreieck ergibt sich für die
Höhe nach dem Lehrsatz des Pythagoras:
h
A

2
a = c2 – b2
Kathethe
Kathete
Hypothenuse
rechter Winkel
Höhe
Fläche
Seitenlänge
;
h
1
= · 3·
2
A
1
= · 3 · 2
4
Lehrsatz des Euklid (Kathetensatz)
a2
b2 b
a
p
q
c
c ·q
c ·p
Das Quadrat über einer Kathete ist ﬂächengleich einem Rechteck aus der Hypotenuse
und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.
a2 = c · p
a, b Kathete
p, q Hypotenusenabschnitt
c
Hypotenuse
b2 = c · q
Höhensatz
h
h2
q
p
p ·q
p
Das Quadrat über der Höhe h ist ﬂächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten p und q.
p, q Hypotenusenabschnitt
h
Höhe
h2 = p · q
12
Flächen
Quadrat
;
A

e
Fläche
Seitenlänge
Eckmaß
A = 2
e = · 2
;
Fläche
Länge
Breite
A=·b
A

b
Fläche
Seitenlänge
Breite
A=·b
b
A

b
Fläche
Länge
Breite
A=·b
A

b
Fläche
Seitenlänge
Breite
A=
A
1
2
m
b
Fläche
große Länge
kleine Länge
mittlere Länge
Breite
b
A

b
b
Rechteck
;
;
Raute (Rhombus)
;
Parallelogramm
;
b
Dreieck
·b
2
;
Trapez
;m
;1
b
;2
A=
1 + 2
·b
2
A = m · b
m =
1 + 2
2
13
Flächen
b2
Unregelmäßiges Vieleck
A
A 1 , A2
1, 2
b1, b2
A1
b1
A2
Gesamtﬂäche
Teilﬂächen
Längen
Breiten
A = A1 + A2 + …
;1, ;2
Regelmäßiges Vieleck
D
;
d
A

D
d
n
E
Fläche
Seitenlänge
Umkreisdurchmesser
Inkreisdurchmesser
Eckenzahl
Mittelpunktswinkel
A=
n··d
4
D · sin 180m
n
Im regelmäßigen Sechseck ist:
A £ 0,649 · D2 £ 0,866 · d2; D £ 1,155 · d
d = D 2 – 2
Berechnung regelmäßiger Vielecke mithilfe der Tabelle
Eckenzahl
3
4
0,325
0,500
Fläche
A£
d 2 mal
1,299
1,000
5
6
0,595
0,649
0,908
0,866
1,721
2,598
1,702
2,000
1,236
1,155
1,376
1,732
0,809
0,866
0,588
0,500
0,727
0,577
8
10
12
0,707
0,735
0,750
0,829
0,812
0,804
4,828
7,694
11,196
2,614
3,236
3,864
1,082
1,052
1,035
2,414
3,078
3,732
0,924
0,951
0,966
0,383
0,309
0,259
0,414
0,325
0,268
n
D 2 mal
2 mal
0,433
1,000
Umkreisdurchmesser D £
d mal
mal
1,154
2,000
1,414
1,414
Inkreisdurchmesser d £
D mal
mal
0,578
0,500
1,000
0,707
Seitenlänge
£
D mal
d mal
0,867
1,732
0,707
1,000
Kreis
A=
A
d
U
T · d2
4
A £ 0,785 · d2
Kreis
Durchmesser
Umfang
U=T·d
d
d
Kreisring
b
d
D
dm
A
D
d
dm
b
Fläche
Außendurchmesser
Innendurchmesser
mittlerer Durchmesser
Breite
4·A
T
A=
T · D 2 T · d2
–
4
4
A=
T
· (D 2 – d 2)
4
A = T · dm · b
dm
D+d
2
b=
D–d
2
14
Flächen
Kreisausschnitt
A=
;B
A
d
r

oB
E
r
d
;
Fläche
Durchmesser
Radius
Sehnenlänge
Bogenlänge
Mittelpunktswinkel
A=
oB · r
2
T · d2
E
·
4
360°
= 2 · r · sin
E
2
T·r·E
oB =
180°
Kreisabschnitt
A=
b
;B
r
d
;
A
d
r

oB
b
E
Fläche
Durchmesser
Radius
Sehnenlänge
Bogenlänge
Breite
Mittelpunktswinkel
A
D
Fläche
großer Durchmesser
kleiner Durchmesser
Umfang
A=
oB · r · – · ( r – b )
2
T · d2
E
· (r – b )
·
–
4
360°
2
b r · 1 – cos E
2
Ellipse
d
A=
d
U
T·D·d
4
Die angegebene Formel gilt auch für
Oval und Korbbogen.
U£
D
T
(D + d)
2
Verschnitt
A Ges = A W + A V
AV
AV
A1
AW = A1 + A2
A2
AGes Fläche des
Rohteils,
Ausgangsfläche
AW Fläche des
Werkstückes,
Abwicklungsfläche
AV Fläche des
Verschnitts,
Verschnitt
AV = AGes – AW
AV =
AGes – AW
· 100 %
AGes
15
Körper, Volumen und Oberfläche
Würfel
V = 3
;
;
V Volumen

Seitenlänge
AO Oberﬂäche
A O = 6 · 2
;
Vierkantprisma
b
h
V

h
b
AO
;
Volumen
Seitenlänge
Höhe
Breite
Oberfläche
V=·b·h
AO = 2 · ( · b + · h + b · h)
Zylinder
V=
V
d
h
A
AO
AM
h
d
A
AM
Volumen
Durchmesser
Höhe
Grundfläche
Oberfläche
Mantelfläche
A
T · d2
·h
4
AO = 2 · A + A M
AO = T · d · h + 2 ·
T · d2
4
h
AM = T · d · h
A
Hohlzylinder
V
D
d
h
AO
Volumen
Außendurchmesser
Innendurchmesser
Höhe
Oberfläche
V

1
h
hs
b
A
AO
AM
Volumen
Seitenlänge
Kantenlänge
Höhe
Mantelhöhe
Breite
Grundfläche
Oberfläche
Am Mantelfläche
h
d
D
V=
T·h
· (D 2 – d 2)
4
§1
¶
AO P · (D d ) · ¨ · (D – d ) h ·
©2
¸
Pyramide
h
;1
hs
A
b
;
V=
·b·h
3
hs h2 2
4
1 hs2 b2
4
AO = A + A M
16
Kegel
A·h
3
T · d2 h
V=
·
4
3
h
hs
V=
A
V
d
h
hs
A
AM
AO
d
AM
Volumen
Durchmesser
Höhe
Mantelhöhe
Grundfläche
Mantelfläche
Oberfläche
hs d2
h2
4
AO = A + A M
AM =
A
T · d · hs
2
Pyramidenstumpf
V=
;2
A2
H
b2
h
hs
A1
V
1, 2
b1, b2
h, H
hs
AO
A1
A2
Volumen
Seitenlänge
Breiten
Höhen
Mantelhöhe
Oberfläche
Grundfläche
Deckfläche
V=
A1 · H A2 (H – h)
–
3
3
h
· (A1 + A2 + A1 · A2)
3
AO = AM + A1 + A2
¤ – ³
hs h2 ¥ 1 2 ´
¦ 2 µ
b1
;1
2
A1 = 1 · b1; A2 = 2 · b2
Kegelstrumpf
V
D
d
D
h
hs
AO
AM
A1
A2
V
A
s
Volumen
Grundfläche
Schwerpunktlinie
d
h
hs
A2
Volumen
großer Durchmesser
kleiner Durchmesser
Höhe
Mantelhöhe
Oberfläche
Mantelfläche
Grundfläche
Deckfläche
A1
V=
T·h
· (D 2 + d 2 + D · d)
12
AO = A1 + AM + A2
AM =
T · hs
· (D + d)
2
¤D –d ³
hs h2 ¥
¦ 2 µ´
Ringförmiger Körper
A
;s
V = A · s
2
17
Kugel
V=
d
r
V Volumen
d Kugeldurchmesser
AO Oberfläche
T · d3
6
AO = T · d 2
Kugelabschnitt
d1
¤d h³
V P · h2 · ¥ – ´
¦ 2 3µ
h
V Volumen
d Kugeldurchmesser
d1 kleiner Durchmesser
h Höhe
AO Oberfläche
AM Mantelfläche
AO = T · h · (2 · d – h)
AM = T · d · h
d
Kugelschicht
V Volumen
d Kugeldurchmesser
d1 großer Durchmesser
h Höhe
AO Oberfläche
AM Mantelfläche
d1
h
d2
d
V ³
P · h ¤ 3 · d12 3 · d 22
·
h2 ´
6 ¥¦ 4
4
µ
¤
d2 d 2³
AO P · ¥ d · h 1 2 ´
4
4 µ
¦
AM = T · d · h
Kugelausschnitt
d1
h
V Volumen
d Kugeldurchmesser
h Höhe
AO Oberfläche
V=
AO =
T · d2 · h
6
T·d
· (4 · h + d1)
4
d
Zusammengesetzter Körper
V
=
V1
+
V2
–
V3
V
Gesamtvolumen
V1, V2, V3 Teilvolumina
V = V1 + V2 – V3
18
Masse
m=V·V
m Masse
V Volurnen
V Dichte
m
V=
1
m
V
g
kg
t
=1
=1 3
cm3
dm3
m
Längenbezogene Masse
m' in
kg
m
1m
m Masse
m’ längenbezogene Masse

Länge
m = m’ ·
m Masse
m” ﬂächenbezogene Masse
A Fläche
m = m” · A
d
Flächenbezogene Masse
1m
kg
m2
s
m'' in
1m
Gewichtskraft
FG = m · g
g
m
FG
m
g
Gewichtskraft
Masse
Fallbeschleunigung
m=
g = 9,81
FG
g
m
m
£ 10 2
s2
s
FG
1 N = 1 kg · 1
m 1
kg · m
· =1
s s
s2
Naturwissenschaftliche Grundlagen
19
Bewegungslehre
Geradlinige Bewegung
v
s
t
5000
m
4000
Geschwindigkeit
Weg
Zeit
v=
s
t
s
3000
1
2000
m
m
km
= 60
= 3,6
s
min
h
1000
0
0
100
1
200 s 300
km
m
m
= 16,67
= 0,278
h
min
s
t
Gleichförmig beschleunigte Bewegung
a=
250
m
200
a
ve
vo
t
s
s
150
100
50
0
0
5
10 s
Beschleunigung
Endgeschwindigkeit
Anfangsgeschwindigkeit
Zeit
Weg
ve – vo
t
ve = vo + a · t
ve = vo2 + 2 · a · s
vo + ve
·t
2
a · t2
s = vo · t +
2
s=
15
t
Gleichförmige Kreis- oder Drehbewegung
d=2·r
P
v=T·d·n
r
v
;B
"
M
n
n
t
v
[
N
oB
d
r
Drehzahl
Zeit
Umfangsgeschwindigkeit
Winkelgeschwindigkeit
Drehwinkel im Bogenmaß
Bogenlänge
Durchmesser
Abstand
[=2·T·n
v=
d
·[
2
N=[·t
oB = N · r
d
1
= min –1
min
1 –1
s
s
20
Naturwissenschaftliche Grundlagen
Geschwindigkeiten
Vorschubgeschwindigkeit
vf
fz
z
Vorschub je Schneide
Anzahl der Schneiden,
Zähnezahl des Ritzels
f
Vorschub
n
Drehzahl
P, p Steigung
n
f
vf
n
z
fz
(Bohren, Drehen)
vf = n · f
(Fräsen)
vf = n · fz · z
(Gewindebetrieb)
vf = n · P
(Zahnstangentrieb)
vf = p · z · n
vf
vf
n
Gewindespindel
mit Steigung P
Schnittgeschwindigkeit, Umfangsgeschwindigkeit
d
vc
vc
v
d
n
n
Schnittgeschwindigkeit
Durchmesser
Drehzahl
Schnittgeschwindigkeit
vc = T · d · n
v=T·d·n
v
d
n
Mittlere Geschwindigkeit bei Kurbeltrieben
n
s
vm mittlere Geschwindigkeit
n Anzahl der Doppelhübe
s Hublänge
v
mittlere
Geschwindigkeit
vm
größte
Geschwindigkeit
vm
Mittlere Geschwindigkeit
OT s
UT
vm = 2 · s · n