Anleitung 1 - Fachbereich Mathematik
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Anleitung 1 - Fachbereich Mathematik
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg Dr. Hanna Peywand Kiani WiSe 2011/2012 Anleitung zu Blatt 1 Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Aussagen, Beweistechniken, Funktionen I 04.11.2011 Die ins Netz gestellten Kopien der Anleitungsfolien sollen nur die Mitarbeit während der Veranstaltung erleichtern. Ohne die in der Veranstaltung gegebenen zusätzlichen Erläuterungen sind diese Unterlagen unvollständig (z. Bsp. fehlen oft wesentliche Voraussetzungen). Tipp– oder Schreibfehler, die rechtzeitig auffallen, werden nur mündlich während der Veranstaltung angesagt. Eine Korrektur im Netz erfolgt NICHT! Eine Veröffentlichung dieser Unterlagen an anderer Stelle ist untersagt! Ablauf, Organisation, Material Vorlesung: Prof. Oberle, Do 9:45-11:15 Audimax I, Mi 14:15-15:45, Audimax II Übungen : 40 Gruppen, 20 Tutoren, Anmeldung erforderlich!, siehe http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a1/1112/gruppen.html 14-täglich im Wechsel mit den Übungen zu Lineare Algebra Übungsaufgaben: http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a1/1112/lm.html Abgabe der Übungsaufgaben jeweils in Gruppen von 2-4 Personen Anleitungen: Brücke zwischen Vorlesung und Übung/Klausur Hanna Peywand Kiani, Fr 11:30-13:00, Audimax I und Fr. 14:15-15:45, Audimax II (AI,ET,IN) ; 2 14-täglich im Wechsel mit den Anleitungen zur Linearen Algebra (Dr. Jens Zemke) Alle Infos, Alles an Material zu Analysis (alte Klausuren, Sprechstunden etc.) unter http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/index.html Kiani: Tel. 42838-4940 e-mail: kiani at math.uni-hamburg.de Sprechstunden: Raum 2074, SBS95 (Lindwurm) Probleme mit Chemie/Physikpraktikum 3 1.1. Aussagen sind sprachliche Gebilde, die eindeutig wahr oder falsch sind. Einer Aussage wird der Wahrheitswert w (bzw. 1) oder f (bzw. 0) zugeordnet. Aussagen kann man verknüpfen. Zum Beispiel Aussage A : zwei ist eine gerade Zahl. (wahr) Aussage B : zwei ist eine Primzahl. (wahr) Aussage C : 2 · 3 = 5 (falsch) Dann ist A und B =: A ∧ B wahr, A ∧ C falsch, A oder B =: A ∨ B wahr. Merke : Das mathematische oder ist kein entweder oder. Genauer: 4 Konjunktion (und) A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A∧B 1 0 0 0 Adjunktion/Disjunktion (oder) A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 (Serienschaltung) (Parallelschaltung) A∨B 1 1 1 0 5 Negation von A : ¬A bzw. (Ā) A 1 0 (bei Schaltern s̄) ¬A 0 1 Implikation B ∨ ¬A bzw. A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A =⇒ B 1 0 1 1 Äquivalenz A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A ⇐⇒ B 1 0 0 1 6 Beispiel: Implikation Seien : A : x > 3, B : x2 > 1 Die Aussage: aus A folgt B ist wahr. A: wahr −→ offensichtlich ist B auch wahr A: falsch – z.B. x = 2 dann ist B wahr – z.B. x = 0 dann ist B falsch B: falsch −→ offensichtlich ist A auch falsch. 7 Behauptung: (A =⇒ B) ⇐⇒ (B ∨ ¬A ) ⇐⇒ ¬(A ∧ ¬B). Beweis über Wahrheitstafeln: A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 Folgerung: A =⇒ B 1 0 1 1 ¬A B ∨ ¬A ¬B (A ∧ ¬B) ¬(A ∧ ¬B) (¬A ∨ ¬C) ⇐⇒ ¬(A ∧ C) Oft hilfreich : Regeln von D’Morgan ¬ (A ∨ B) ¬ (A ∧ B) = = ¬A ∧ ¬B ¬A ∨ ¬B und Distributivgesetze: A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) (Beweis: Übung) A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) 8 Beispiel Schaltkreis: C B C B A B A 9 Zur Aufgabe 2: Für Alle / Es gibt / Aussageformen: ∀, ∃ ¬ (∀x ∈ M : A) ⇐⇒ ∃x ∈ M : ¬A Beispiel: M := Menge aller Personen im Saal A(x) : Person x ist männlich B(x) : Person x trägt eine blaue Hose Behauptung: ∀x ∈ M : A(x) =⇒ B(x) Beweistechniken: Zu Beweisen sei A =⇒ B – direkter Beweis A ⇐⇒ · · · =⇒ · · · B, – indirekter/Widerspruchsbeweis: führe Annahme A ∧ ¬B zum Widerspruch. – Gegenbeispiel 10 Beispiel 1: ∀ε > 0 ∃ δ > 0, so dass für alle x ∈ R mit |x − 2| < δ stets |f (x) − f (2)| < ε gilt . Was bedeutet das? a) Für f (x) = x2 Beweis: Sei ein beliebiges ε > 0 vorgegeben. Dann gilt wegen |f (x) − f (2)| = |x2 − 22| = |(x + 2) · (x − 2)| = |x + 2| · |x − 2| ǫ zum Beispiel mit δ := min 1, 10 für alle x ∈ R mit |x − 2| < δ |f (x) − f (2)| < 5 · |x − 2| < 5δ < 5ǫ 10 < ǫ. 11 b) Für f (x) = ( 0 1 x<2 . x≥2 Wähle z.B. ǫ = 0.5. Es gilt für alle δ > 0 δ f 2 − 2 = 0, f (2) = 1 δ =⇒ f 2 − 2 − f (2) = 1 > ǫ. Merke: Die Negation von ∀ x ∈ M : A(x) ist ∃ x ∈ M : ¬A(x). 12 Beispiel 2: Beweisen Sie folgende Aussagen indirekt oder widerlegen Sie die Aussagen mit Hilfe von Gegenbeispielen. a) | 2ab | ≤ a2 + b2 ∀ a, b ∈ R . Beweis: Annahme : Es gibt reelle Zahlen a, b mit | 2ab | > a2 + b2 . Dann folgt (2ab > a2 +b2) ∨ (−2ab > a2 +b2) ⇐⇒ ( (a−b)2 < 0 ) ∨ ( (a+b)2 < 0 ) . Widerspruch! 13 b) (a ∈ Q) ∧ (b ∈ R \ Q) =⇒ a − b ∈ R \ Q. Beweis: Annahme: a − b ∈ Q. Da Q bzgl. der Multiplikation und Addition abgeschlossen ist, gilt a, a − b ∈ Q =⇒ a, b − a ∈ Q =⇒ a + (b − a) = b ∈ Q . Dies widerspricht der Voraussetzung b ∈ R \ Q. Also ist a − b ∈ R \ Q. c) ∀ x ∈ Q : x2 ≥ x. 1 2 Die Aussage ist falsch! Gegenbeispiel: 2 = 14 < Merke: Die Negation von ∀ x ∈ M : A(x) ist 1 2 ∃ x ∈ M : ¬A(x). 14 Direkte Hinweise zur Aufgabe 2: b) i) n ∈ N =⇒ ( ∃k ∈ N0 : (n = 3k − 1 ∨ n = 3k ∨ n = 3k + 1) ) + Fallunterscheidung b) ii) Führen Sie die Annahme: ∃x = m n m, n ∈ Z \ {0} teilerfremd, mit p(x) = 0 √ zum Widerspruch. Vergleiche Beweis von 2 ist irrational aus der Vorlesung. Oder: log10(2) ist irrational! Wobei: x = log10(2) ⇐⇒ 10x = 2 15 Zur Aufgabe 3a): Die Menge der reellen Zahlen ist geordnet. D.h. ∀ x, y, z ∈ R (x ≤ y x≤ y x≤ y x≤ y x≤ y ∨ ∧ ∧ =⇒ ∧ y ≤ x) , y≤ z y≤ x x+z z≥0 ∧ =⇒ =⇒ ≤ =⇒ x x x y+z x·z ≤ ≤ = x z y ≤ y·z 16 Zur Aufgabe 3b), 4): Elementare Funktionen: falls aus der schule nicht bekannt, bitte nachholen! • (Affin-)Lineare Funktionen : y = mx + b = a1x + a0 . • Polynome : y = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 . Stichworte: p-q-Formel, quadratische Ergänzung 2 2 Parabel: x −4x−5=(x−2) −9 20 15 10 5 0 −5 −4 −2 0 2 4 6 8 17 • Exponentialfunktionen : werden erst später sauber eingeführt. In der Schule definiert man für a ∈ R+ a1 = a, ax+y = ax · ay , a0 = 1 (ex)′ = ex, (ax)y = axy . e = 2.7182818 · · · =: Eulersche Zahl. ex = exp(x) > 0, ∀x ∈ R x Exponentialfunktion e 20 15 10 5 1 0 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 18 • Logarithmus Funktionen : Umkehrung der Exponentialfunktionen ln(ex) = x, loga(ax) = x, loga(x · y) = loga(x) + loga(y) . ex : R → R+, ln : R+ → R 3 y y= log(x) 2 1 0 1 x −1 −2 −3 −2 0 2 4 6 8 10 12 ln(1) = 0, ln(e) = 1 19 • Trigonometrische Funktionen: sin, cos. Wir rechnen im Bogenmaß: 360◦ = 2π. Gegeben : Punkt mit Koordinaten x und y. φ: Winkel zwischen x−Achse und Ortsvektor xy entgegen Uhrzeigersinn gemessen. y R x x2 + y 2 = R2 x = R cos(φ) y = R sin(φ) Speziell für R = 1 (Einheitskreis): x = cos(φ), y = sin(φ). 20 1 1 0.8 0.6 0.4 0.2 1 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −1 −1 −0.5 0 0.5 1 Umfang des Einheitskreises: 2π −→ Umfang des halben Einheitskreises: π Bogenlänge zu 360◦ = 2π −→ Bogenlänge zu 180◦ = π Allgemein: Bogenlänge φ, die zu einem Winkel mit g Grad gehört: φ g = π 180 21 Aus der Geometrischen Interpretation ist unmittelbar klar: Periodizität : cos(2π + φ) = cos(φ) sin(2π + φ) = sin(φ) ∀φ ∈ R sin(−φ) = − sin(φ) ∀φ ∈ R Symmetrie : cos(−φ) = cos(φ) Pythagoras : cos2(φ) + sin2(φ) := (cos(φ))2 + (sin(φ))2 = 1 Umkehrung: sin , cos sind auf ganz R definiert. 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 −0.2 −0.2 −0.4 −0.4 −0.6 −0.6 −0.8 −0.8 −1 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −1 −2 −1 0 1 2 3 4 Umkehrung nur möglich, wenn man den Definitionsbereich einschränkt: 22 cos : [0, π] → [−1, 1], arccos : [−1, 1] → [0, π] sin : [− π2 , π2 ] → [−1, 1], arcsin : [−1, 1] → [− π2 , π2 ] arccos(α) : die Bogenläge, die zum Cosinuswert α gehört. Beispiel: Schule: sin(30◦) = 0.5 φ 30 π = =⇒ φ = , π 180 6 sin( π6 ) = 0.5 −7π π 5π 13π · · · sin( −11π ) = sin( ) = sin( ) = sin( ) = sin( 6 6 6 6 6 ) = · · · = 0.5 Trotzdem: eindeutig arcsin(0.5) = sin( π6 ) Beispiel zur Aufgabe 4: Für welche reellen Zahlen x ist q y(x) := ln( π4 arcsin(x) ) ∈ R definiert? Welche Werte nimmt y an? 23 Matlab? Das vorletzte Bild wurde so erzeugt: axis([-8 8 -1.05 1.05]) hold on x=-15.9:.1:15.9; y=sin(x); plot(x,y) z=cos(x); plot(x,z,’r’) 24