Die Vektordifferenzialoperatoren „grad“ „div “ „rot“ und der Nabla

Inst. für Theoretische Physik
Vektordifferentialoperatoren (kartesisch)
Die Vektordifferenzialoperatoren „grad“ „div “
→
−
und der Nabla-Operator ∇
30. April 2010
„rot“
→
−
Der Nabla-Operator ∇ ist ein Vektordifferenzial-Operator, der aus drei Komponenten besteht, die selbst Differenzialoperatoren sind. In kartesischen Koordinaten ist er definiert:
 ∂ 
 ∂x 
T


→
−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 ∂ 
∇ = ~ex
+ ~ey
+ ~ez
≡
,
,
=

 ∂y 
∂x
∂y
∂z
∂x ∂y ∂z


∂
∂z
→
−
1. Der Gradient ist die Anwendung des ∇-Operators auf ein Skalarfeld U (~r) (Potenzial). Er bildet die Richtungsableitung von diesem und weist so in Richtung stärksten
Wachstums des Potenzials. Er ist ein Vektor der senkrecht zu den Äquipotenzialflächen steht.
T
→
−
∂U ∂U ∂U
,
,
;
grad U (~r) ⊥ U (~r) = const
grad U (~r) = ∇ U (~r) =
∂x
∂y
∂z
→
−
~ r) (Vek2. Die Divergenz ist die Anwendung des ∇-Operators auf ein Vektorfeld A(~
~ r) die Quellendichte,
torpotenzial) im Sinne eines Skalarproduktes. Sie ergibt für A(~
~ r).
das ist ein Skalarfeld, > 0 in echten Quellpunkten und < 0 in Senken von A(~
− ~
∂Ax ∂Ay ∂Az
~ r) = →
+
+
div A(~
∇ · A(~r) =
∂x
∂y
∂z
→
−
3. Die Rotation ist die Anwendung des ∇-Operators auf ein Vektorfeld F~ (~r) im Sinne
eines Vektorproduktes. Sie ergibt für F~ (~r) die Wirbeldichte, das ist ein Vektorfeld
mit Richtung der Drehachse des lokalen Wirbels von F~ (~r).


∂Fz ∂Fy
~ex ~ey ~ez
 ∂y − ∂z 


 ∂Fx ∂Fz 
→
−
∂
∂
∂

rot F~ (~r) = ∇ × F~ (~r) = 
 ∂z − ∂x  = ∂x ∂y ∂z


 ∂Fy ∂Fx 
Fx Fy Fz
−
∂x
∂y
Merk-Formeln
grad r =
~r
r
→
−
→
−
! div ~r = 3 ! rot ~r = ~0 ! grad (~a ·~r) = ∇(~a ·~r) = ~a ! (~a · ∇) ~r = ~a
∂ 2U
∂ 2U
∂ 2U
+
+
! der Laplace-Operator
∂x2
∂y 2
∂z 2
~ = ~0
rotgrad U = 0 ! divrotA
divgrad U = ∆U =
Gauß’scher Integral-Satz
I
Z
~
~
~ dV
A · dS =
divA
∂V
Stokes’scher Integral-Satz
I
Z
~
~ · dS
~
A · d~r =
rotA
V
∂S
1
S
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Vektordifferentialoperatoren (kartesisch)
30. April 2010
Beispiele
Potenzial
Gradient
U (~r)
r=
p
x2 + y 2 + z 2
r2
mM
γ
r
f (r)
~a · ~r
Divergenz
grad U (~r)
divgrad U (~r) = ∆ U (~r)
1
~r
2
= (x y z)
r
r
r
2~r
6
mM
−γ 3 ~r
0
r
0
~r
2f (r)
f 0 (r)
+ f 00 (r)
r
r
~a
0
f (~a · ~r)
f 0 (~a · ~r) · ~a
f 00 (~a · ~r)a2
−m~g · ~r
−m~g
0
(~a × ~r)2
2(~a × ~r) × ~a
4a2
Kraftfeld
Divergenz
Rotation
F~ (~r)
div F~ (~r)
α ~r
mM
γ 3 ~r
r
1
(~ω × ~r)
2
~a
3α
rot F~ (~r)
~0
0
~0
0
ω
~
0
~a(~a · ~r)
a2
~0
~0
(~a · ~r)~r
4(~a · ~r)
~a × ~r
Aufgaben
1. Bestimmen Sie zu folgenden Potenzialen die zugehörigen Kraftfelder!
Die Größen ~a, m, ~g sind Konstanten, eine Funktion f () sei differenzierbar.
U2 (~r) = r2
U1 (~r) = r = |~r|
1
U3 (~r) =
r
U5 (~r) = ~a · ~r
U6 (~r) = −m ~g · ~r
U7 (~r) = f (~a · ~r)
U8 (~r) = (~a × ~r)2
U4 (~r) = f (r)
2. Bestimmen Sie für folgende Kraftfelder die Quellendichte und finden Sie wo es existiert ein zugehöriges Potenzial! Die Größen α, γ, ω
~ und ~a sind Konstanten.
γ
~
r
F~1 = α · ~r
F~2 = 3
r
1
~
~
F3 = (~ω × ~r)
F4 = ~a
2
F~5 = (~a · ~r) · ~r
2
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Vektordifferentialoperatoren (kartesisch)
30. April 2010
→
−
Produktregeln für den ∇-Operator
→
−
→
−
→
−
grad(U V ) = ∇(U V ) = U ∇V + V ∇U = U grad V + V grad U
−
− ~ ~ →
−
~ =→
~ =U →
~+A
~ · grad U
div(U A)
∇ · (U A)
∇ · A + A · ∇U = U divA
−
−
−
~ =→
~ =U →
~−A
~×→
~−A
~ × gradU
rot(U A)
∇ × (U A)
∇ ×A
∇U = U rotA
−
−
−
~ × B)
~ =→
~ × B)
~ =B
~ ·→
~−A
~·→
~ =B
~ · rotA
~−A
~ · rotB
~
div(A
∇ · (A
∇ ×A
∇ ×B
− ~
− ~
~ × B)
~ =A
~ · divB
~ −B
~ · divA
~ + (B
~ ·→
~·→
rot(A
∇)A − (A
∇)B
− ~
− ~
~ · B)
~ =A
~ × rotB
~ +B
~ × rotA + (B
~ ·→
~·→
grad(A
∇)A + (A
∇)B
„Quadrate“ des Nabla-Operators (Operatoren 2. Ordnung)
→
− →
−
divgrad U = ( ∇ · ∇) U = ∆ U
der Laplace-Operator − ein skalarer Operator
− →
− ~
~ = →
graddiv A
∇( ∇ · A)
im Ergebnis ein Vektorfeld
→
− →
−
rotgrad U = ( ∇ × ∇) U (= ~0 Wirbelfreiheit ist Bedingung für ein skalares Potenzial!)
− →
− ~
~ = →
divrot A
∇ · ( ∇ × A)
(= 0 Quellenfreiheit ist Bedingung für ein Vektorpotenzial!)
−
→
−
~ = →
~ = graddivA
~−∆ A
~
rotrot A
∇ × ( ∇ × A)
3