Matemática Básica

Matemática Básica
4) (VUNESP-2008) A tabela mostra aproximadamente a
duração do ano (uma volta completa em torno do Sol) de
alguns planetas do sistema solar, em relação ao ano
terrestre.
Exercícios resolvidos de múltiplos e
divisores IV
Máximo divisor comum (M.D.C)
Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C)
Para compreender melhor o sentido exato do m.d.c. e m.m.c.,
exporemos, a seguir alguns problemas que virão tornar mais
claro este assunto.
1) (ESSA) A forma fatorada de um número natural x é 2 3 . 3
. 52 e a forma fatorada de um número natural y é 24 . 32 . 5 .
7. Então, podemos afirmar que o MDC de (x,y) é:
a) 102
b) 120
c) 840 d) 3600
e) 588
Solução
Como sabemos o MDC é igual ao produto dos fatores primos
comuns de menor expoente, então o MDC de x e y será:
MDC(x, y) = 23 . 3 . 5
MDC(x, y) = 8 . 3 . 5
MDC(x, y) = 120
Portanto a alternativa correta é a letra “b”.
Se, em uma noite, os planetas Júpiter, Saturno e Urano
são observados alinhados, de um determinado local na
Terra, determine, após essa ocasião, quantos anos
terrestres se passarão para que o próximo alinhamento
desses planetas possa ser observado do mesmo local.
Solução
Analisando a questão, verificamos que a mesma tratase de um problema de m.m.c., pois queremos encontrar
o próximo encontro simultâneo entre os três planetas, ou
seja, o mínimo intervalo tempo para que todos fiquem
alinhados novamente. Assim utilizando a decomposição
simultânea temos:
2) (INSTITUTO CIDADES-Agente Administrativo-2011)
A = 22 x 3 x 5
B = 2 x 32 x 7
C = 23 x 3 x 11
Marque a alternativa que contenha a solução do mmc(A,B)
a) 1260 b) 1350
c) 1410 d) 1515
Solução
Como sabemos o MMC é igual ao produto dos fatores
primos comuns e não comuns de maior expoente, então o
MMC de A e B será:
MMC(A, B) = 22 x. 32 x 5 x 7
MMC(A, B) = 4 x 9 x 5 x 7
MMC(A, B) = 1260
Portanto a alternativa correta é a letra “a”.
3) (UEPB-2005) Dois ônibus partem simultaneamente de um
mesmo terminal rodoviário com destinos diferentes. Um dos
ônibus torna a partir do terminal a cada 80 minutos e o outro
a cada 90 minutos. Quantos minutos serão necessários para
os ônibus partirem novamente juntos do terminal?
a) 450 minutos
b) 810 minutos
c) 650 minutos
d) 500 minutos
e) 720 minutos
Solução
De acordo com enunciado da questão, estamos querendo
determinar o tempo em minutos necessário para que os
ônibus voltem a partir juntos novamente do terminal e como
o menor tempo para que isso ocorra é igual ao m.m.c.( 80,
90) temos:
Portanto, o próximo alinhamento entre os planetas
Júpiter, Saturno e Urano será daqui a 420 anos.
5) (EPCAR) Uma abelha-rainha dividiu as abelhas de
sua colméia nos seguintes grupos para exploração
ambiental: um composto de 288 batedoras e outro grupo
de 360 engenheiras. Sendo você a abelha-rainha e
sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes
constituídas de um mesmo e maior número de abelhas
possível, então você redistribuiria suas abelhas em:
a) 8 grupos de 81 abelhas
c) 24 grupos de 27 abelhas
b) 9 grupos de 72 abelhas
d) 2 grupos de 324 abelhas
Solução
Ao analisar o problema, identificamos que o mesmo
trata-se de uma questão de m.d.c., pois devemos dividir
as abelhas em e grupos com o máximo valor possível
sem haver sobras e de modo cada grupo contenha o
mesmo número de abelhas. Portanto temos que o m.d.c.
é:
Portanto são necessários 720 minutos para os ônibus
partirem novamente juntos do terminal
Fanpage: www.facebook.com/cursoalunonota10
1
Site: www.alunonota10.com
Matemática Básica
 todos os objetos contidos nas caixas acima
relacionadas deverão ser divididos em pacotes e
encaminhados a diferentes setores dessa Unidade;
 todos os pacotes deverão conter a mesma quantidade
de objetos;
 cada pacote deverá conter um único tipo de objeto.
Nessas condições, a menor quantidade de pacotes a
serem distribuídos é um número compreendido entre:
a) 10 e 20. b) 20 e 30. c) 30 e 40.
d) 40 e 50. e) 50 e 60.
Solução
Para determinar a menor quantidade de pacotes a serem
distribuídos iremos determinar o número de unidades de
cada tipo de objeto.
 11 caixas de lápis, cada qual com
12 unidades = 11 x 12 = 132 lápis
 9 caixas de borrachas, cada qual com 8
unidades = 9 x 8 = 72 borrachas
 8 caixas de réguas, cada qual com
15 unidades = 8 x 15 = 120 réguas.
Então se desejamos dividir esses objetos em pacotes
com a mesma quantidade de sem misturar os tipos,
concluímos que o número de objetos por pacote deve ser
um divisor comum de 132, 72 e 120, por sua vez
queremos também obter o menor número de pacotes,
logo em cada pacote, deve haver o maior número
possível de unidades. Assim o número de unidades por
pacote deve ser igual ao mdc (132, 72, 120) = 12.
Assim, o número total de grupos e o número de abelhas
por grupo são respectivamente 9 e 72.
6) (UFRN-Assistente Administrativo-2010) A letra que
ocupa a 1248ª posição na sequência A, B, C, D, E, A, B, C,
D, E, A, B, C, D, E,... é:
a) D.
b) B
c) A
d) C
Solução
Sendo a sequência da forma: A, B, C, D, E, A, B, C, D, E,
A, B, C, D, E,... Notamos que A, B, C, D, E repete-se em
blocos de 5 em 5 de modo periódico, verificamos ainda que a
posição 1248ª indicará a quantidade de letras que a sequência
analisada terá. Assim, para determinar qual letra ocupa a
posição 1248ª, basta dividir 1248 por 5, pois dessa forma
saberemos quantos blocos completos de A, B, C, D, E
existem e quantas letras sobrarão formando o próximo bloco
incompleto, veja:
Com isso concluímos que foram escritos 249 blocos
completos e que sobraram 3 letras das quais serão
obrigatoriamente A, B, C. Logo, a letra que ocupa a posição
1248ª na sequência em questão será a letra C.
Portanto a alternativa correta é a letra “d”.
7) (ESPCEX) Dois números têm para m.m.c. 240, e para
m.d.c. 20. Calcule a soma desses números, sabendo que um
deles é 60.
a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140
Solução
O problema é facilmente resolvido desde que seja lembrado
que o produto entre dois números naturais é igual ao produto
entre o m.m.c. e o m.d.c. dos mesmos, ou seja: a x b =
m.m.c. (a, b) x m.d.c. (a, b) Assim se um dois número,
m.m.c. e o m.d.c. são respectivamente 60, 240 e 20, logo
para determinarmos o outro número no qual denominamos
de x basta aplicar a regra acima, ou seja:
Com isso o número de objetos para cada pacote será:
Portanto a soma dos números em questão é: 60 + 80 =
140
8) (FCC-TRE-AC-2010) No almoxarifado de uma Unidade
do Tribunal Regional Eleitoral há disponível: 11 caixas de
lápis, cada qual com 12 unidades; 9 caixas de borrachas,
cada qual com 8 unidades; 8 caixas de réguas, cada qual com
15 unidades. Sabe-se que:
Fanpage: www.facebook.com/cursoalunonota10
2
Site: www.alunonota10.com
Matemática Básica
Note que os quocientes encontrados acima, ficam sempre do
lado inferior esquerdo do resultado do mdc. Com isso o
número total de pacotes será: 11 + 6 + 10 = 27 pacotes
Portanto a alternativa correta é a letra “b”.
7) (COLÉGIO NAVAL-2007) Deseja-se revestir uma área
retangular, de 198 cm de comprimento e 165 cm de largura,
com um número exato de lajotas quadradas, de tal forma que
a medida do lado dessas lajotas, expressa por um número
inteiro em cm, seja a maior possível. Quantas lajotas deverão
ser usadas?
a) 27 b) 30 c) 33 d) 36 e) 38
Solução
Como deseja-se revestir um retângulo um número exato de
lajotas quadrados, de mesma dimensão, inteiro em cm, basta
notar que o lado dessas lajotas devem ser um divisor comum
de 198cm e 165cm, como essa dimensão deve ser a maior
possível, então o lado da lajota será igual ao mdc (198, 165),
ou seja:
8) (UFRN-2011) Para se tratar de uma doença, Dona
Cacilda toma, por dia, os remédios A e B. Esses
medicamentos são vendidos em caixas de 30 e 28
comprimidos, respectivamente. O medicamento A é
ingerido de oito em oito horas e o B, de doze em doze
horas. Ela comprou uma quantidade de caixas de modo
que os dois tipos de comprimidos acabassem na mesma
data e iniciou o tratamento às 7 horas da manhã do dia
15 de abril, tomando um comprimido de cada caixa. A
quantidade de caixas dos remédios A e B que Dona
Cacilda comprou foi, respectivamente,
a) 5 e 5. b) 5 e 7.
c) 7 e 5.
d) 7 e 7
Solução
Note que os remédios da caixa A são tomados
de 8 em 8 horas ou seja, 3 comprimidos ao dia.
Então se cada caixa do remédio A possui
exatamente 30 comprimidos, logo a duração de cada
caixa será de exatamente 30/3 = 10 dias.
Por sua vez, os remédios da caixa B são
tomados de 12 em 12 horas, dessa forma são
consumidos 2 comprimidos ao dia; desse modo se cada
caixa do remédio B possuir exatamente 28 comprimidos,
a duração de uma caixa B será de 28/2 = 14 dias.
Assim, a caixa A é comprada a cada 10 dias (de
acordo com os múltiplos de 10) e caixa B é comprada a
cada 14 dias (de acordo com os múltiplos de 14).
Como Dona Cacilda comprou uma quantidade
de caixas de modo que os dois tipos de comprimidos
acabassem na mesma data, concluímos que essa
quantidade comprada é um múltiplo comum de 10 e 14.
Entretanto o menor dos múltiplos comum de 10
e 14 é igual ao mmc(10, 14), daí:
Com isso, o comprimento de 198cm será dividido em
colunas de 33cm, daí:
Por sua vez a largura de 165cm foi dividido em linhas de 33
cm, então:
Como sabemos o número de quadrados é igual ao produto do
número de linhas pelo número de colunas, daí:
mmc(10,14) = 2 x 5 x 7 = 70 dias
Portanto, D. Cacilda deve ter adquirido as seguintes
quantidades de medicamentos:
A = 70/10 = 7 caixas
B = 70/14 = 5 caixas
Portanto a alternativa correta é a letra “c”.
Portanto a alternativa correta é a letra “b”.
Observação:
Note que o número de quadrados obtidos sempre será igual
ao produto dos números que estão do lado
inferior esquerdo do resultado do mdc na decomposição
simultânea, veja:
Nº de quadrados = 5 x 6 = 30 quadrados
Fanpage: www.facebook.com/cursoalunonota10
3
Site: www.alunonota10.com