13quadratische Funktionenneu

Transcrição

Materialien zum Modellversuch:
Vorschläge und Anregungen zu einer
veränderten Aufgabenkultur
(13)
Zum Themengebiet Quadratische Gleichungen und
Quadratische Funktionen
(erstellt in Zusammenarbeit mit der
Georg-Christoph- LichtenbergSchule in Kassel)
Vorschlag 13.1: Parabeln kommen vor.........................................................3
Abbildungen zur Anwendung quadratischer Funktionen, die den Lebensbezug herausstellen
können
Vorschlag 13.2:Die Ziegenweide ...................................................................5
Variation der bekannten Extremwertaufgabe, in der die Schüler eigene Aufgaben entwickeln
sollen
Vorschlag 13.3: Kinokrieg ............................................................................6
Eine Extremwertaufgabe: Wenn der Preis erhöht wird, kommen linear weniger Besucher
Vorschlag 13.4: Verschiebungsregeln mit der Betragsfunktion....................7
Durch die Vorbereitung der Verschiebungsregeln mit Hilfe der Betragsfunktion können die
Schüler die entsprechenden Regeln bei den quadratischen Funktionen besser einordnen
Vorschlag 13.5: Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph ........8
Gruppenaufträge zur arbeitsteiligen Erarbeitung dieser Zusammenhänge und Arbeitsblätter
Vorschlag 13.6: Steigungsverhalten von Funktionen..................................13
Tabellen, in denen die Schüler stets einige Zeilen selbst ergänzen müssen
Vorschlag 13.7: Der Goldene Schnitt – ein Gesetz der Ästhetik .................17
Anregungen und Sachinformationen rund um das Thema Goldener Schnitt
Vorschlag 13.8: Gleicher Abstand zu Punkt und Gerade ...........................21
Anregung, die die Ortslinieneigenschaft der Parabel in den Vordergrund stellt. Hierdurch wird
einer Begriffsverengung vorgebeugt und wichtige Vernetzungen werden ermöglicht
Vorschlag 13.9: Spielerische Übungsformen...............................................23
Beim Parabelspiel müssen die Schüler Graphen gegebenen Funktionsgleichungen zuordnen. Ein
Silbenrätsel verknüpft wichtige Inhalte von linearen und quadratischen Funktionen
Vorschlag 13.10: Mögliche Vernetzungen mit anderen Themengebieten...26
Durch die Vernetzung zu anderen Funktionstypen und zu Flächeninhalten soll die Grundeige nschaft der Quadratfunktionen besonders betont werden
Vorschlag 13.11: Diskussion der Busfahrpreise im Verkehrsausschuss.....28
In einem Verkehrsausschuss werden zwei Anträge diskutiert, wie der „optimale“ Busfahrpreis
für eine Strecke festgesetzt werden soll
Vorschlag 13.12: Das flächeninhaltsgrößte Fenster....................................29
Klassische Extremwertaufgabe, in der die Schüler auf eine Lösungshilfe zurückgreifen können
Vorschlag 13.13: Aufgaben zu quadratischen Funktionen
und Gleichungen ........................................................................................31
Sammlung verschiedener Aufgaben zur Anwendung quadratischer Funktionen und Gleichungen
Vorschlag 13.14: Kälberhaltungsverordnungsentwurf...............................36
Zeitungsartikel, die zeigen wie Mathematik von Amts wegen verwendet wird und zu welch unsinnigen Äußerungen dies führen kann
Vorschlag 13.15: Gleichungen bestimmen..................................................38
Als Zielumkehr sollen Gleichungen bestimmt werden, bei denen die Lösungen in einer vorgegebenen Beziehung zueinander stehen
Vorschlag 13.16: Multiple Choice-Test.......................................................39
Multiple Choice- Test, der zeigt, dass ein solcher keineswegs trivial sein muss
Vorschlag 13.17: Quadratische Ergänzung.................................................40
Gleichungen, mit deren Hilfe die Schüler die quadratische Ergänzung selbst entdecken sollen
Vorschlag 13.18: Mit Graphen zeichnen.....................................................41
Durch das Zeichnen vorgegebener Funktionsgraphen in einem bestimmten Bereich entsteht eine
Figur
Die Arbeit entstand im Rahmen des BLK-Modellversuchsprogramms
"Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen
Unterrichts", das vom Bund und den Ländern gefördert wird.
2
Vorschlag 13.1: Parabeln kommen vor
Quelle: Jahnke/Wuttke: Mathematik 11. Schuljahr, Cornelsen, 2000, S. 74ff
3
Parabeln kommen vor: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Aufzeigen von Anwendungsmöglichkeiten quadratischer Funktionen
• Horizontale Vernetzung
Variationen der Aufgabe:
• (1) „Wo kommen Parabeln in der Realität vor? Nenne weitere Anwendungsgebiete“.
• (2) Die Schüler erhalten die Aufgabe, eine Parabel (die ihnen real begegnet ist; z.B. Wasserstrahl auf dem Schulhof erzeugen) als Funktionsgraph darzustellen. Dazu werden geeignete
Funktionen gesucht. Zunächst probieren Schüler bekannte Funktionen (linear, antiproportional) und müssen schließlich neue suchen.
• (3) Ausgehend von den Bildern „ähnlich“ aussehende „Gebilde“ in der Realität zusammentragen. Evtl. Wasserstrahl vorführen. Dann Arbeitsblatt mit Parabeln im Koordinatensystem
vorgeben: „ Stelle anhand des Graphen eine Wertetabelle auf. Wie hängen x und y zusammen?“
• (4) Die Aufnahmen eignen sich teilweise auch zur Beantwortung der Frage, ob es sich um
eine Parabel handelt. „Lege ein Transparentpapier über das Foto und übertrage die Zeichnung.
Könnte es sich um eine Parabel hand eln?“
Lösungen:
• (1) Zu den Aufnahmen auf der vorherigen Seiten: Oben rechts: Rheinbrücke bei Emmerich,
Mitte links: Kölnarena, Mitte rechts: Gateway Arch in St. Louis (USA). Aber auch: Brücken
in der Gegend, Springbrunnen im DEZ, Springseil, Scheinwerfer, rotierende Flüssigkeit im
Glas, usw.
4
Vorschlag 13.2: Die Ziegenweide
Mit 120m Zaun soll eine rechteckige Weidefläche für die Ziege Alma
abgezäunt werden. In welchem Abstand von der Mauer könnten die
Pfosten eingeschlagen werden? Welche Weidefläche steht Alma dann zur
Verfügung? Finde mehrere Möglichkeiten, wobei die 120m Zaun jeweils
verbraucht werden sollen.
Die Ziegenweide: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Anwendung nach Einführung der Scheitelpunktform oder
als Einführungsbeispiel zum Kennen lernen einer quadratischen Funktion
• a) Welches ist der größtmögliche Flächeninhalt?
• b) Stelle im Koordinatensystem den Flächeninhalt in Abhängigkeit von dem Pfostenabstand von
der Mauer dar (Bedeutung von HP, Nullstellen, Symmetrie usw.)
• c) In welchem Abstand müssten die Pfosten eingeschlagen werden, wenn die Weide an der einen
Seite nicht durch eine Mauer begrenzt wird ?
• d) Für weitere vorgegebene Längen (100m, 200m, 80m, 160m, 300m) könnten in Gruppen zu
der Ausgangsaufgabenstellung die möglichst größten Flächeninhalte und die zugehörigen
Abstände von der Mauer ermittelt werden.
• Nach dem Sammeln der Ergebnisse aus d):
In welchem Abstand müssen die Pfosten eingeschlagen werden, wenn die Länge des Zaunes a
beträgt und der Flächeninhalt möglichst groß sein soll ?
Vermutung aufgrund der Ergebnisse von d) ? Nachrechnen mit Hilfe der Scheitelpunktform.
Eignung, (mögliche) Methoden:
• Ausgangsaufgabe als Gruppenarbeit
• Weitere Fragestellungen können von den Schülern in Gruppen entwickelt oder vorgegeben
werden
(M ögliche) Lösungen:
• 120 m lang: SP (30|1800)
(
2
• Länge a: SP a4 | a8
)
5
Vorschlag 13.3: Kinokrieg
„Kinokrieg“
Kassel besitzt inzwischen zwei große Kinocenter mit zahlreiche Kinosälen.
Da bangen die kleinen Kinos um ihre Einnahmen.
Eines dieser kleinen Kinos hat bei einem Eintrittspreis von 8 DM durchschnittlich 95 Besucher pro Vorstellung.
Eine Marktstudie ergibt folgendes:
Würde der Besitzer den Eintrittspreis um 0,50 DM; 1 DM, 2 DM usw. erhöhen, so ginge die Besucherzahl um 10 Personen; 20 Personen; 40 Personen usw. zurück.
Welche Preiserhöhung bringt die höchsten Einnahmen?
Kinokrieg: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Entdecken und Einführen quadratischer Funktionen anhand eines Optimierungsproblems
Lösung:
E ( x ) = ( 95 + y )(8 + x) = −20( x + 1,625) 2 + 812,81 . Theoretisch maximale Einnahme bei Preisreduzierung auf 6,375. Dies ist aber wohl kein guter Preis...
• Möglicher Unterrichtsgang:
- Problemstellung; - Erarbeitung einer Funktionsgleichung durch die Schüler (Hilfestellung, Binnendifferenzierung: Tabelle s.u.); - Grafisches Bestimmen des Scheitelpunktes (hier: Bestimmen
der Preiserhöhung, die höchsten Einnahmen bringt); -Definition quadratischer Funktionen (f(x) =
ax2 +bx+c); - aus Graphen unterschiedlicher quadratischer Funktionen Eigenschaften quadratischer Funktionen sammeln und Scheitelpunkte grafisch ermitteln (Funktionsplotter); -Grenzen
grafischer Verfahren erkennen à rechnerische Verfahren, Scheitelpunktsbestimmung.
Preiserhöhung
Preis
Anzahl der Besucher
Gesamteinnahme
Bemerkungen:
• Nützlich für diese Vorgehensweise: Grafikfähige(r) Taschenrechner oder Funktionsplotter
• Mehr zu dieser Vorgehensweise in: Mathematik in der Schule 36 (1998), H. 2.
• Im Anschluss sollte der Realitätsgehalt der Aufgabe diskutiert werden.
6
Vorschlag 13.4: Verschiebungsregeln mit der Betragsfunktion
1. Vergleiche die Graphen der folgenden Betragsfunktionen mit dem
Graphen von f(x) = x .
a) f1( x) = x − 5
b) f 2 ( x) = x + 1
c) f 3 ( x) = x + 1,5
d) f 4 ( x) = x − 2,5
e) f 5 ( x) = x − 2 − 4
f) f 6 ( x) =
g) f 7 ( x) = 3 ⋅ x
h) Stelle selbst einen Funktionsterm
auf und zeichne den Graphen.
1
x
3
2. Formuliere aufgrund deiner Beobachtungen bei Aufgabe 1. Verschiebungsregeln für folgende Funktionen:
g1 (x) = x + a
,
a∈R
g2 (x) = x + b
a∈ R
,
g3 (x) = x + a + b
,
a∈R
3. Verändere den Faktor c in der Gleichung h(x) = c ⋅ x .
Wie geht der Graph von h aus dem von f hervor?
Unterscheide c > 0, c < 0, c = 0, c < 1, c < 1 usw.
Verschiebungsregeln mit der Betragsfunktion: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Vorbereitung der Verschiebungsregeln der quadratischen Funktionen
7
Vorschlag 13.5: Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph
Aufträge für die Gruppen:
Gruppe A:
Gegeben sind Funktionsgleichungen der Form f(x) = x 2 + e . Zeichne die Parabeln für verschiedene Parameter e und beschreibe den Zusammenhang
zwischen Graph und Funktionsgleichung.
Stelle ausgewählte Beispiele und den gefundenen Zusammenhang auf der
beiliegenden Folie für die anderen Gruppen dar.
Gruppe B:
Gegeben sind Funktionsgleichungen der Form f(x) = (x + d)2 . Zeichne die
Parabeln für verschiedene Parameter d und beschreibe den Zusammenhang zwischen Graph und Funktionsgleichung.
Gruppe C:
Gegeben sind Funktionsgleichungen der Form f(x) = (x + d)2 + e . Zeichne
die Parabeln für verschiedene Parameter d und e. Beschreibe den Zusammenhang zwischen Graph und Funktionsgleichung.
Gruppe D:
Verändere den Faktor a in der Gleichung f(x) = a ⋅ x2 . Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Funktionsterm und der zugehörigen Parabel?
8
Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Übung nach Einführung der Verschiebungsregeln und Scheitelpunktform
Eignung:
• Gruppenarbeit; in Gruppe C sollten leistungsstärkere Schüler vertreten sein
• Arbeitsauftrag auch gut für Expertenmethode (Gruppenpuzzle) geeignet. Dabei entsendet jede
Stammgruppe (z.B. Tischgruppe) einen Vertreter in die Gruppen A, B, C und D. Diese kehren
als „Experten“ für die jeweilige Verschiebung in die Stammgruppe zurück. Angeregt durch die
Bearbeitung konkreter Aufgaben (vgl. Vorschläge), sollen die Experten ihr Wissen weitergeben.
• Die Gruppen könnten auch den Auftrag erhalten, nach den Folien auch Kopiervorlagen mit den
Beispielen und der gefundenen Regel für ihre Mitschüler herzustellen.
• Eventuell können die folgenden Arbeitsblätter auch als Vorbereitung dienen. Dann sollen die
Schüler die Funktionsgleichungen durch Probieren und mit Hilfe einer Wertetabelle finden.
• Wenn die Schüler beispielsweise zu Beginn der Einheit Parabeln auf Plakate gezeichnet haben,
können diese an vielen Stellen (insbesondere bei der Erarbeitung der Verschiebungsregeln) sinnvoll eingesetzt werden.
Lösungen zu den folgenden Arbeitsblättern:
• Zu (1):
1. f ( x ) = x 2 − 6,5
2. f ( x ) = x 2
3. f ( x ) = ( x − 3)2 − 5
4.
f ( x ) = ( x − 6) 2 + 5
5.
f ( x ) = ( x − 6 )2
6.
f ( x ) = (x + 4 )2 − 4,5
7.
f ( x ) = ( x + 4 )2 + 3,5
9.
f (x ) = x 2 + 5
• Zu (2):
1. f ( x ) = −( x + 7) 2
4. f ( x ) = − x 2 − 3
10. f ( x ) = (x −
)
1 2
4
+ 2,5
2.
f (x ) = − x 2 + 3
5.
f ( x ) = −( x − 4)2 + 2
f (x ) = x 2
6.
f ( x ) = 12 x 2
7.
9.
f ( x ) = −2 x 2
10. f ( x ) = −4 x 2 + 6
• Zu (3):
1. f ( x ) = (x + 1,5)2 − 3
2.
f (x ) =
f ( x ) = (x − 3,5 )2 + 1
5.
f ( x ) = −( x − 5)2 + 7
7.
f ( x ) = −2 x + 1,5
4.
6.
f ( x ) = (x + 3)2 − 2
9.
f (x ) =
3
4
x
1
2
8. f ( x ) = (x + 2 )2 − 2
x2 − 2
3. f ( x ) = − x 2
8. f ( x ) = 2 x 2
3. f ( x ) = −( x + 4 )2 + 5
8. f ( x ) = x 2 + 3
10. f ( x ) = −( x − 3,5)2 + 3
9
Aufgabe 1: Zusammenhang zwischen Funktionsterm und Graph
Finde die Funktionsgleichungen f1(x), f2 (x), ..., f10 (x) zu den gezeichneten
Parabeln 1 - 10.
1
4
2
5
3
6
7
8
9
10
10
Finde die Funktionsgleichungen f1(x), f2 (x), ..., f10 (x) zu den gezeichneten
Parabeln 1 - 10.
2
5
3
1
4
6
7
8
10
9
11
Finde die F unktionsgleichungen f1(x), f2 (x), ..., f10 (x) zu den gezeichneten
Graphen 1 - 10.
2
1
4
3
6
7
5
8
9
10
12
Vorschlag 13.6: Steigungsverhalten quadratischer Funktionen
Beschreibung der Funktion
fällt
steigt
a) f(x) = x2
b) f(x) = x2 + 2
c) f(x) = (x - 3 )2
d) f(x) = (x - 3 )2 + 1
e) f(x) = x2 + 2x - 8
f) Hochpunkt der Parabel: H( 7 / 4,5 )
g) Tiefpunkt der Parabel: T(- 2,5 / 3 )
h) Schnittpunkte mit der 1.Achse: S1 (-2 / 0)
und S2 (10 / 0)
i)
j)
2. Gib mehrere Funktionsgleichungen an, für die folgende Aussagen zutreffen:
Steigungsverhalten
a) Der Graph fällt für x < - 4 und
steigt für x > -4
Funktionsgleichungen
b) Der Graph steigt für x < 2 und
fällt für x > 2
c)
13
Steigungsverhalten quadratischer Funktionen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Übung zum Steigungsverhalten; falls die Scheitelpunktform nicht bekannt ist, kann 1e) zeichnerisch gelöst werden
• Ein Schüler soll den Verlauf einer Parabel in einem Telefongespräch so gut beschreiben, dass ein
Mitschüler diese an der Tafel skizzieren kann.
• Die Schüler sollen die freien Zeilen selbständig ausfüllen. Die anderen überprüfen die Ergebnisse.
(Mögliche) Lösungen:
• (1) jeweils nur Bereich in dem der Graph fällt:
a. x ≤ 0
b. x ≤ 0
d. x ≤ 3
e. x ≤ −1
g. x ≤ −2,5
h. x ≤ 4 oder x ≥ 4
c. x ≤ 3
f. x ≥ 7
• (2):
a) z.B. f ( x ) = ( x + 4 )2 + c
b) z.B. f ( x ) = −( x − 2 )2 + c
Eignung:
• Partnerarbeit; ev. zur Einführung des Steigungsverhaltens von Parabeln
14
Quadratische Funktionen und deren Graphen ( Parabeln ) - Übungsblatt 1
Funktionsgleichung
f(x) = x2
Lage des
Steigungsverhalten: Die Parabel...
Scheitelpunktes
...fällt
...steigt
T(0/0)
für x < 0
für x > 0
x<2
x>2
Verschiebung der
Normalparabel
keine
f(x) = x2 + 1
f(x) = x² - 2
f(x) = (x + 2)²
f(x) = (x - 3)²
f(x) = (x - 2)² + 1
f(x) = (x - 3)² - 2
f(x) = (x + 4)² +3
T(1/3)
T(-2/-5)
um 2 nach links und
um 3 nach unten
f(x) = x²+6x+9
f(x) = x²-3x+2,25
f(x) = x²- 4x - 5
f(x) = x²+ 6x +5
H(0/0)
x>1
x<1
15
Quadratische Funktionen und deren Graphen ( Parabeln ) - Übungsblatt 2
Funktionsgleichung
f(x) = - x2
Lage des
Steigungsverhalten: Die Parabel...
Scheitelpunktes
...fällt
...steigt
H(0/0)
für x > 0
für x < 0
x>2
x<2
Verschiebung der
Normalparabel
Spiegelung an der
1.Achse
f(x) = - (x2 + 1)
f(x) = - x² + 1
f(x) = - (x - 2)²
f(x) = - (x + 3)²
f(x) = - (x -2)² +1
f(x) = -((x -3)²-2)
H(1/- 2)
T(1/- 2)
T(-2/-5)
an der 1.Achse
gespiegelt, um 4 nach
rechts verschoben
um 2 nach links
verschoben, an der
1.Achse gespiegelt
an der 1. Achse
gespiegelt, um 3 nach
unten verschoben
um 2,5 nach unten
verschoben, an der 1.
Achse gespiegelt
16
Vorschlag 13.7: Der Goldene Schnitt – ein Gesetz der Ästhetik
Beim Menschen stehen die Länge des Oberkörpers und die Länge des Unterkörpers angenähert
stets in einem bestimmten Verhä ltnis. Dieses Verhältnis bezeichnet man als Goldenen Schnitt:
a
b
=
(Goldener Schnitt),
b a+b
a
oder in Worten:
b
kürzerer Abschnitt längerer Abschnitt
=
.
längerer Abschnitt
Gesamtlänge
Der Goldene Schnitt wird oft als besonders wohlgefällig empfundenes Längenverhältnis angesehen. Er ist nicht nur an Menschen und Statuen, sondern auch in vielen Gemälden und Gebäuden
wiederzufinden. Gerade in der Antike und Renaissance wurde der Goldene Schnitt immer wieder
als Stilmittel eingesetzt.
Aufgabe:
Das Apollo-Projekt
Apollo auf dem Campus
Der Kasseler Apollo, der im Museum des Schlosses Wilhelmshöhe zu bewundern ist, soll als
10m hohe Statue auf dem Universitätsgelände Kassel errichtet werden. Zur Errichtung des Apollos genügt den Bildhauern die Gesamtgröße allein natürlich nicht.
Hilf den Bildhauern und berechne die Länge von Apollos Unter- und Oberkörper.
Nimm dabei an, dass Apollo nach dem Gesetz des Goldenen Schnitts konstruiert werden soll.
Zusatz: Gib die Unter- bzw. Oberkörperlänge prozentual zur Gesamtgröße an.
17
Der Goldene Schnitt – ein Gesetz der Ästhetik: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Vertikale und horizontale Verknüpfungen
• (1) Einstieg über Abstimmung: „Welches Rechteck ist am schönsten (am harmonischsten)? Bilde eine Reihenfolge und finde mögliche Gründe.“
Quelle: H. Winter: Satzgruppe des Pythagoras. In: mathematik lehren (1984), H. 2, S. 46.
•
•
Alternative: Einstieg über verschiedene Puppen oder ähnliche Figuren, deren Proportionen
untersucht werden (Bsp: Captain Janeway). So leichterer Übergang zum vorangestellten Arbeit sblatt.
Vorgabe weiterer Figuren und prüfen, ob goldener Schnitt vorliegt.
• (1) Die Frage führt in natürlicher Weise auf Begriffe wie Proportionen und Verhältnisse. Vielen
Leuten kommt D am harmonischsten vor. Beobachtung: Die Länge übersteigt die Breite um ca.
60%. Definition goldenes Rechteck.
Kurzfassung der wesentlichen algebraischen Zusammenhänge beim goldenen Schnitt:
Eine Größe mit Maßzahl 1 ist im Verhältnis des „Goldenen Schnittes“ geteilt, wenn sich die beiden Teilgrößen zueinander verhalten wie die längere Teilgröße x zur gesamten Größe, also
1− x
x
=
x
1
Dies führt auf die quadratische Gleichung x + x − 1 = 0 mit den Lösungen
2
x1 =
−1 + 5
2
≈ 0 ,61803 und x 2 =
−1− 5
2
≈ −1,61803 .
Wird die Gesamtgröße mit einer positiven Zahl t multipliziert, so wirkt sich dieser Faktor auch
auf die Lösungen aus.
−1 + 5
Die positive Lösung
wird häufig mit ρ bezeichnet, ihr Kehrwert mit τ.
2
Dann gelten offensichtlich diese „schönen“ Beziehungen :
τ ⋅ ρ =1
τ+ρ = 5
τ − ρ =1
ρ2 + ρ = 1
τ 2 −τ = 1
Die quadratische Gleichung x 2 + x − 1 = 0 hat die beiden Lösungen x 1 =ρ und x 2 =-τ.
Die quadratische Gleichung x 2 − x − 1 = 0 hat die beiden Lösungen x 1 =τ und x 2 =-ρ.
18
Anwendungen:
• Seit der Antike tritt der Goldene Schnitt in vielen Bereichen von Geometrie, Architektur, Kunst,
Philosophie oder Musik auf; in neuerer Zeit auch in der Technik oder bei Fraktalen.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Anregungen:
Das Thema Goldener Schnitt ermöglicht eine Fülle unterschiedlichster Behandlungen sowohl im
Fachunterricht (insb. Mathe und Kunst), als auch im Rahmen von selbstständigem, fächerübergreifendem, fächerverbindendem Lernen. Einige Anregungen, basierend auf u.a. Literatur und
dem auch zu diesem Thema wieder sehr ergiebigen Internet.
Siehe: www-cip.mathematik.uni-wuerzburg.de/~hkramer/schnitt/
Geometrie
o Konstruieren regelmäßiger Flächen und Körper
www.raikas.net/5eck.html
Algebra
o Entdecken lassen einfacher, „schöner“ Beziehungen zwischen ρ und τ
o Zusammenhang zwischen Fibonacci- Zahlen, Kettenbrüchen und goldenem Schnitt
Projektarbeit und Zusammenarbeit der Fächer Mathe und Kunst
o sehr schön dokumentiert von
www.lmg.pcom.de/faecher/goldsect.htm
Medienkompetenz
o Quellen leicht dubioser Art, etwa
www.pythagoras-institut.de
Vergabe von Facharbeiten zum Thema
o www.asamnet.de/%7Ehollwecm/section/inhalt.htm
Fremdsprachen: englischsprachige Webseiten zum Thema, z.B.
o www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/
Fibonacci/fibInArt.html
o www.goldenmeangauge.co.uk/golden.htm
Sonstiges
o Bonsai:
www.yamadori-bonsai.de/4/Reg/Gold/gold04.html
Weitere Literaturempfehlungen:
Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Heidelberg 1996
Hans Walser: Der Goldene Schnitt. Leipzig 1996
Themenheft zum Goldenen Schnitt: mathematik lehren, H. 55, Dez. 1992
http://www.did.mat.unibayreuth.de/ab/j09/pythag/gold_sch/gold_sch.htm )
19
Was haben das Parthenon in
Athen, das Rathaus in Leipzig,
eine griechische Vase und ein
Ei gemeinsam?
Legt man um diese Bilder ein Rechteck, gilt für das Seitenverhältnis
a
b
=
5+1
.
2
Man spricht daher von einem goldenen Rechteck.
Die Geige setzt sich aus dem Resonanzkörper und dem Hals zusammen. Der
Teilpunkt zerlegt die Geige nach dem goldenen Schnitt.
Bei antiken Statuen teilt der Bauchnabel die Körperlänge ungefähr nach dem
goldenen Schnitt. Überprüfe andere Figuren.
20
Vorschlag 13.8: Gleicher Abstand zu Punkt und Gerade
Der Punkt P ist genauso weit entfernt von
der Geraden g und dem Punkt B.
Auch der Punkt Q ist genauso weit entfernt
von der Geraden g und von dem Punkt B.
Zeichne weitere solche Punkte.
Was entsteht?
Kannst du das erklären?
Quelle: Herget/Jahnke/Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek. I. Cornelsen (2001), S. 127.
Nimm ein Blatt Papier quer in die Hand und markiere 2 - 5 cm vom unteren
Rand einen Punkt F. Falte nun die untere Kante des Papiers so nach innen, dass der markierte Punkt F auf der Kante liegt. Stelle auf diese Weise
weitere Knicklinien her. Was fällt dir auf?
Quelle: Cukrowicz/Zimmermann: MatheNetz 9. Westermann (2001).
Die gezeichnete Mittelsenkrechte zu AF ist eine
Tangente an die Parabel, da es sich um einen
Berührpunkt handelt. Begründe mit Hilfe der Abbildung: Jeder Punkt P’, der auf der Mittelsenkrechten zu AF liegt und nicht mit P identisch ist,
hat von der Leitgeraden l einen geringeren Abstand als von F.
Benutze die nebenstehende Figur,
um zu zeigen, dass der Winkel α genauso groß ist wie der Winkel β.
Quelle: Dustmann: Abakus. Angewandte Mathematik. Schöningh
(1995).
In vielen Anwendungsbereichen werden häufig
sogenannte Paraboloide eingesetzt. Dieses
räumliche Gebilde entsteht, wenn man eine Parabel um ihre Symmetrieachse rotieren lässt.
Nenne so viele Anwendungsbereiche wie möglich.
Quelle: Jahnke/Wuttke: Mathematik: 11. Schuljahr. Cornelsen (2000), S. 87.
21
Gleicher Abstand zu Punkt und Gerade: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Einführung der Parabel über die Ortslinieneigenschaft
•
•
•
•
•
•
(1) Wenn die funktionale Abhängigkeit schon bekannt ist, kann mit
Hilfe des Satzes des Pythagoras leicht nachgewiesen werden, dass es
sich bei dieser Ortslinie um den Graph einer quadratischen Funktion
handelt.
(2) Alternativ zur vorgeschlagenen Einführung kann den Schülern
auch eine Abbildung von konzentrischen Kreisen und einer Schar von
Geraden vorlegt werden: „In der Abbildung wurden einige Punkte
hervorgehoben. Welche besondere Eigenschaft haben diese?“
(Quelle: Abakus, S. 84)
(3) Der Zusammenhang zwischen der Ortslinieneigenschaft und dem
Papierfalten ist sehr naheliegend. Beim Falten erzeugt man gerade die Tangente an die Parabel
und kann so leicht die Parabel als Hüllkurve entdecken.
(4) Viele Anwendungsbereiche nutzen aus, dass alle senkrecht zur Leitgeraden einfallenden
Strahlen durch den Brennpunkt reflektiert werden. Durch relativ leichte geometrische Überlegungen können die Schüler nun diese Anwendungen erschließen.
(5) Einstieg durch „Wo liegen alle Punkte, die von zwei gegebenen Punkten A und B gleich weit entfernt sind?“ und „Wo liegen
alle Punkte, die von zwei gegebenen Geraden g und h gleich weit
entfernt sind?“
(6) Vertiefung durch „Zeichne auf ein neues Blatt alle Punkte,
die von der Geraden g doppelt so weit (halb so weit) entfernt sind
wie vom Punkt B. Was entsteht jetzt?
• (1) Es entsteht eine Parabel. Diese weist man z.B. mit den nebenstehenden Bezeichnungen leicht nach (vgl. Abb.) (Pythagoras; das
Koordinatensystem kann durch ein festes b normiert werden):
x2 b
+
2b 2
• (5) Bei Punkten: Mittelsenkrechte zur Verbindungsstrecke. Bei Geraden: Fallunterscheidung:
Schnitt: Winkelhalbierende; Parallel: Mittelparallele.
• (6) Ellipse bzw. Hyperbel
y 2 = ( y − b )2 + x 2 ⇔ y 2 = y 2 − 2by + b 2 + x 2 ⇔ 2by = x 2 + b 2 ⇔ y =
•
•
Bemerkungen:
Weitere Hinweise in MUED: Konzentrierende Kollektorsysteme; Mathe
lehren 83 (1997): Mathe Welt über
Sonnenspiegel (Münzinger)
Abbildung aus Jahnke/Wuttke, S. 73.
22
Vorschlag 13.9: Spielerische Übungsformen
Das Parabelspiel
Quelle: mathematik lehren 66 (1994), S. 57-59.
23
Spielerische Übungsformen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Spiel zur Übung des Zusammenhangs zwischen Gleichung und Graph
Spielanleitung:
24 Plättchen (oder Streichhölzer) auf die Graphen verteilen. Die Spieler würfeln nacheinander
mit einem Spielwürfel (gut: weniger als sechs Flächen oder umdefinieren) und setzen ihren
Spielstein entsprechend. Können sie diesem Feld eine richtige Parabel zuordnen, geht das Plättchen in seinen Besitz über.
Anregungen:
• Der Spielplan sollte möglichst auf A2 vergrößert werden.
• Die Schüler sollten selbständig sinnvolle Vereinbarungen treffen, z.B.:
- Kommt man auf ein Feld, das schon besetzt ist, ...
- Bei Gleichungen mit Parametern sollte man Sonderfälle ausschließen
24
Silbenrätsel für Mathe Profis
In dem folgenden Text über lineare und quadratische Funktionen sind einige wichtige
Begriffe verlorengegangen. Glücklicherweise sind die Silben der fehlenden Wörter bekannt. Viel Spaß beim Ausfüllen!
a – bel – bel – ben – de – dra – ga – ge – ge – gen – gung – le – ler – li – mal – ne – ne –
nor – null – o – pa – pa – po – punkt – qua – ra – ra – ra – re – recht – sche – schei – si –
stei – stei – stel – tan – te – tel – ten – ti – tiv – tiv – un – waa
Bei den folgenden Sätzen geht es stets um eine Funktion f mit f(x) = mx + b.
1
2
3
Eine solche Funktion heißt eine _______________ Funktion.
Der Graph einer solchen Funktion ersten Grades ist eine _______________.
Den x-Wert des Schnittpunktes eines Graphen mit der x-Achse nennt man
_______________.
4
Die
Konstante
m
in
der
Funktionsgleichung
f(x)
=
mx
+
b
gibt
die
_______________ des Graphen an.
5
Wenn der Funktionsgraph von links nach rechts fallend verläuft, dann ist m
_______________.
6
7
Je größer der Betrag von m ist, desto _______________ verläuft der Funktionsgraph.
Wenn m = 0 ist, dann verläuft der Funktionsgraph _______________.
Bei den folgenden Sätzen geht es stets um eine
Funktion g mit g(x) = a 2x2 + a1x + a 0.
8
9
Eine solche Funktion heißt eine _______________ Funktion.
Der
Graph
einer
ganzrationalen
Funktion
zweiten
Grades
ist
eine
_______________ . Der höchste bzw. tiefste Punkt eines solchen Funktionsgraphen
heißt _______________.
10
11
12
Wenn a 2 < 0 ist, ist der Funktionsgraph nach _______________ geöffnet.
Wenn a 2 > 0 ist, ist der Funktionsgraph nach _______________ geöffnet.
Wenn a 2 = 1 und a 1 = a0 = 0 sind, nennt man den Graphen dieser Funktion eine
_______________.
13
Eine quadratische Funktion besitzt keine Nullstelle, wenn der Scheitelpunkt
oberhalb der x-Achse liegt und a 2 _______________ ist.
14
Erhält man bei der Berechnung der Schnittp unkte einer linearen Funktion und einer
Parabel nur einen einzigen Schnittpunkt, so ist die Gerade in diesem Punkt eine
_______________ der Parabel.
25
Vorschlag 13.10: Mögliche Vernetzungen zu anderen Themengebieten
Proportionale
Funktion
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3x
Lineare Funktion
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3x+2
Quadratische
Funktion
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3x2
Fülle die Wertetabellen aus. Finde Eigenschaften der Funktionen in der
Wertetabelle.
Die neue Milkia ist da!!!
Noch sahniger, noch nussiger und
jetzt noch günstiger. Wir haben
unser Format geändert: Milkia ist
jetzt 10% Länger und 10% breiter.
Das ist 100% besser!!!
Die Schokolade hat vorher 1,49 gekostet und jetzt 1,79 DM. Beurteile die
Anzeige der Firma.
26
Mögliche Vernetzungen zu anderen Themengebieten: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Vertikale Vernetzungen; insbesondere: Herausstellen der Grundeigenschaft der Quadratfunktionen x a ax 2 .
• Abgrenzung der quadratischen Funktionen zu proportionalen und linearen Funktionen
• (1) Sammeln der Grundeigenschaften der bisher bekannten Funktionstypen
• (1) Fortsetzung durch „Wie erscheinen diese charakteristischen Eigenschaften im Graph?“
Veranschaulichung der Eigenschaften am Graphen
• (1) Hinzunahme einer quadratischen Funktion x a ax 2 + c . Welche Eigenschaften gelten
jetzt?
• (2) „Beide Seitenlängen werden mit dem Faktor 1,5 vergrößert. Wie ändert sich der Fläche ninhalt?“
• (2) „Beide Seitenlängen werden um 3 cm vergrößert. Wie ändert sich der Flächeninhalt?“
• (1) Grundeigenschaften:
proportionale Funktionen: zum Doppelten (der Argumente) das Doppelte (der Funktionswerte), zum k- fachen das k-fache, zur Summe die Summe;
lineare Funktionen: zu gleichen Schritten die gleiche Änderung
Quadratfunktionen: zum Doppelten das Vierfache, zum k- fachen das k2 -fache
• (2) Der Flächeninhalt wird um den Faktor 1,21 erhöht, der Preis um ca. 1,20. Nimmt man an,
dass der Preis um den gleichen Faktor steigen darf wie der Flächeninhalt, fällt die Preissenkung mit 1,29 Pfennigen doch recht gering aus. Man könnte jedoch auch argumentieren, dass
der Preis erhöht wurde, da man gezwungen ist mehr Schokolade zu kaufen (die man vielleicht
gar nicht isst)
• Gruppenarbeit
Bemerkungen:
• (2) Es sollte deutlich werden, dass die Berechnungen voraussetzen, dass die Höhe der Schokolade unverändert bleibt.
27
Vorschlag 13.11: Diskussion der Busfahrpreise im Verkehrsausschuss
Im Verkehrsausschuss diskutieren die Ratsvertreterinnen und Ratsvertreter über die
Verkehrspolitik einer Gemeinde. Sie machen Vorschläge für den Bau oder die Sperrung
von Straßen. Sie legen fest, welche öffentlichen Verkehrsmittel in der Gemeinde bevo rzugt werden sollen. Sie bestimmen mit über die Fahrpreise der Busse und Bahnen, die
von der Gemeinde im öffentlichen Personenverkehr eingesetzt werden. Aus der Stadt
Aachen benutzen täglich 200 Mitarbeiter der Forschungsanlage Jülich die direkte Busverbindung zwischen Stadt und Arbeitsstelle. Sie zahlen dafür bisher umgerechnet 5 €
am Tag. Mit der Tageseinnahme von 1000 € können die Kosten dieser Busverbindung
gerade gedeckt werden. Zwei der politischen Parteien, die im Verkehrsausschuss ve rtreten sind, haben dem Ausschuss Anträge zur Änderung des Fahrpreises vorgelegt.
Diese Anträge sind unten abgedruckt.
Antrag der Fraktion A
Die Einnahmen aus der Direktverbindung
zwischen Stadt und Forschungsanlage
decken die Kosten dieser Busverbindung. Da jedoch die Verkehrsbetriebe
der Stadt insgesamt mit hohen Verlusten
arbeiten, beantragen wir eine Fahrpreiserhöhung auch für die genannte Strecke.
Durch die Anhebung der Tarife werden
einige Benutzer auf das private Auto
ausweichen. Die Gesamteinnahmen aus
der Strecke werden voraussichtlich steigen, und das Defizit der Städtischen
Verkehrsbetriebe verringern helfen. Unsere Fraktion rechnet damit, dass bei
einer Preissteigerung um jeweils 0,50 €
pro Tag nur jeweils 10 Personen auf das
eigene Fahrzeug ausweichen.
Gemäß unserem Antrag möge der Ausschuss so beschließen, dass die Linie
möglichst hohe Einnahmen für unsere
Städtischen Verkehrsbetriebe erzielt.
Antrag der Fraktion B
Ziel der Verkehrspolitik unserer Partei ist
es,
den
öffentlichen
PersonenNahverkehr besonders zu fördern. Wir
wollen daher, dass möglichst viele Menschen vom privaten Auto auf die Benutzung von Bussen und Bahnen umsteigen.
Nur durch eine Senkung des Fahrpreises
auf der Strecke Aachen-Jülich kann es
gelingen, die eingesetzten Busse besser
auszulasten.
Unsere Fraktion rechnet damit, dass bei
einer Preissenkung um jeweils 0,50 € pro
Tag jeweils 40 Personen auf die Benutzung des eigenen Pkws verzichten und
den Bus für den Weg zur Arbeit nutzen
werden.
Unserem Antrag folgend möge der Ausschuss beschließen, dass möglichst viele
Personen zur Nutzung des Busses angereizt werden. Die Einnahmen der Linie
Aachen-Jülich sollen kostendeckend
bleiben.
Welchem Antrag würdest du zustimmen?
Diskussion der Busfahrpreise im Verkehrsausschuss: Anregungen für den
Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Ermittlung des „optimalen“ Fahrpreises
• Horizontale Vernetzungen
• Schulung des Textverständnisses
28
Vorschlag 13.12: Das flächeninhaltsgrößte Fenster
4m
Im Dachgeschoss eines Hauses soll ein Malstudio eingerichtet werden.
Das Studio soll möglichst viel Tageslicht durch eine rechteckige Glaswand
im Hausgiebel erhalten.
Welche Länge und Breite muss der Architekt dieser Glaswand geben,
wenn das Haus 10 m breit und der Giebel 4 m hoch ist?
10 m
"-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Lösungshilfe: Das flächeninhaltsgrößte Fenster
Eine Möglichkeit, einen Zusammenhang zwischen den Variablen herzustellen, ist ein Ansatz mit Hilfe der Ähnlichkeit.
§ Begründe, dass die Dreiecke ∆ ZED und ∆ ZE’D‘ zueinander ähnlich sind.
§ Stelle mit Hilfe dieser Ähnlichkeit eine Gleichung auf
(Nutze dabei die bekannten Seiten der Dreiecke).
E
m
E‘
m
A
m
D
m
D‘
10mm
C
m
4m
Z
m
B
m
29
Das flächeninhaltsgrößte Fenster: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Lösen einer Extremwertaufgabe durch Scheitelpunktbestimmung
• Vertikale Vernetzung
• Vorher ein möglichst großes Quadrat einschreiben lassen (vgl. Vorschlag 12.16: Die Werbetafel)
• Vor Bestimmung des Maximums mögliche Lösungen an der Tafel (besser: einer Styroporplatte)
visualisieren.
• Inhaltlich begründen, dass ein Maximum existiert.
• Schüler können selbständig entscheiden, ob sie die Lösungshilfe nutzen wollen. Diese sollte
jedoch nicht mit ausgeteilt werden.
• Vergleichen verschiedener Lösungswege möglich (insb. Strahlensatz, Ähnlichkeit, lineare
Funktionen)
30
Vorschlag 13.13: Aufgaben zu quadratischen Funktionen und Gleichungen
(1) Anwendungen der quadratischen Funktionen und Gleichungen
1
Viele moderne Brücken haben die Form von
Parabeln. Die Abbildung rechts zeigt die
Müngstener Brücke bei Solingen aus den fünfziger Jahren. Legt man ein Koordinatensystem
in den Scheitel des Bogens, so hat die Parabel
1
die Gleichung y = − x 2 .
90
Die Bogenhöhe beträgt 69m. Berechne die
Spannweite.
2
Der Brückenbogen der Fuldabrücke bei Guntershausen (Fig. 2) hat ebenfalls die Form
einer Parabel mit der Gleichung y = a x 2 .
Bestimme a und berechne die fehlenden Pfeilerhöhen.
3
Eine Normalparabel wird um 1 nach links, um 4 nach oben verschoben, dann an der 1.
Achse gespiegelt und schließlich parallel zur 2. Achse mit dem Faktor ½ gestreckt.
Zeichne schrittweise den Graphen, gib Lage und Art des Scheitels an.
4
Ein regelmäßiges Gebiss hat näherungsweise die Form einer
Parabel. Versuche für das rechts abgebildete eine Funktion zu
finden, die die ungefähre Lage der Zähne beschreibt.
5
Bob Beamon sprang bei seinem Weltrekord bei den
Olympischen Spielen 1968 in Mexiko-City 8,90 m weit. Sein
Körperschwerpunk t legte dabei in etwa die Bahn einer Parabel
zurück, die angenähert durch die Gleichung
y = -0,571x2 + 0,3838x + 1,14 beschrieben wird (y gibt die
jeweilige Höhe des Körperschwerpunktes über der
Sprunggrube (in m) und x die horizontale Entfernung von der
Ausgangslage beim Absprung (in m) an.
Hätte Bob Beamon bei seinem Weltrekord einen VW-Golf übersprungen?
31
1
Beim senkrechten Fall einer Kugel von einem hohen
Gebäude gilt für die Funktion
Fallzeit (in s) → Fallweg (in m) angenähert t a 5t2 .
a)
Wie lange würde ein Stein fallen, wenn man
ihn jeweils von der Spitze der Gebäude nach unten
fallen lassen würde?
2
Wirft man einen Gegenstand parallel zur Erde, so hat
seine Flugbahn die Form einer halben Parabel. Die Gleichung dieser Parabel hat die Form y = -ax2 + h.
5
Für den Wert von a gilt: a ≈ 2 .
v
Dabei ist v die Abwurfgeschwindigkeit (in m/s), x die
Entfernung vom Abwurfpunkt in vertikaler Richtung (in m)
und y die Höhe (in m), h ist die Abwurfhöhe (in m).
a)
Ein Flugzeug, das mit der Geschwindigkeit von
180 km/h (relativ zur Erde) fliegt, wirft ein
Versorgungspaket ab. Wie weit von dem linken
Baum entfernt landet das Paket?
b)
3
a)
b)
c)
4
Bei dem Springbrunnen tritt das Wasser aus dem
Rohr mit der Geschwindigkeit 3,5 m/s aus.
Wie weit muss der Rand des Wasserbeckens
mindestens von der Rohröffnung entfernt sein?
Beim Schießen einer Kugel senkrecht nach oben wird die Zuordnung Zeit t nach Abschuss (in s) → Höhe h über der Abschussstelle (in m) durch die Gleichung
h = 51,2t – 5t2 beschrieben.
In welcher Höhe befindet sich die Kugel nach 4 Sekunden? Wann erreicht sie die
gleiche Höhe beim Zurückfallen?
Nach welcher Zeit erreicht die Kugel ihren höchsten Punkt? In welcher Höhe befindet
sie sich dann?
Zu welchen Zeiten beträgt die Höhe 50m?
Beschleunigt ein Motorrad aus dem Stand (bzw. bei 30 km/h), so legt es in den ersten x
Sekunden etwa 2x2 (bzw. 2x2 – 8x + 64) Meter zurück. Zeichne für beide Fälle den Graphen der Funktion: Fahrzeit → zurückgelegte Strecke in dasselbe Koordinatensystem
und vergleiche sie.
32
1
Für eine quadratische Säule mit der Höhe 5 cm gilt:
a)
Die Grundfläche ist um 14 cm2 [um 24 cm2] größer als die Seitenfläche.
b)
Die gesamte Oberfläche beträgt 48 cm2 [288 cm2 ; 112 cm2].
Berechne die Seitenlänge der quadratischen Grundfläche.
2
Bei der Herstellung von Giebelfenstern für ein Dachgeschoss ist eine Glasplatte in Form
eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Kathetenlängen 80 cm und 120 cm übrig geblieben. Bestimme das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt, das sich aus dem
Dreieck ausschneiden lässt.
3
Der Goldene Schnitt kam bei Kunstwerken vor allem in der
antiken Architektur und in der italienischen Renaissance vor.
Prüfe dies an dem nebenstehenden Bild.
Goldene Schnitt: s : x = x : y
4
Ute will aus einem Poster ihres Lieblingssängers
Robbie Williams ein quadratisches Bild ausschneiden
und auf einen Karton aufkleben, der auf allen Seiten
0,5 dm überstehen soll.
a)
Wie viel dm2 Karton braucht sie bei der
Bildbreite von 2,5 dm?
b)
Gib die Funktion Seitenlänge des Bildes in dm a Flächeninhalt des Karton in
dm2 an und zeichne den Graphen dieser Funktion.
c)
Wie groß kann Ute das Bild höchstens machen, wenn sie 9 dm2 Karton hat?
5
Auf einem Blatt sind n Geraden gezeichnet. Dabei schneidet jede Gerade jede andere.
Es gibt 78 Schnittpunkte; durch keinen von ihnen gehen mehr als zwei der gezeichneten Geraden. Bestimme die Anzahl n der Geraden.
6
Von einem rechteckigen Grundstück an einer Straßenecke soll
für einen Radweg ein 2 m breiter Streifen längs der gesamten
Straßenfront abgetreten werden. Dadurch gehen 130 m2 des
ursprünglich 990 m2 großen Grundstücks verloren. Bestimme
Länge und Breite des rechteckigen Grundstücks.
7
Welche Seitenlänge hat ein Quadrat, dessen Flächeninhalt sich verdreifacht, wenn man
die Seitenlänge um 1 m vergrößert?
8
Ein Rechteck hat die Seitenlängen 18 cm und 16 cm. An seinen vier Ecken sollen
kongruente gleichschenklige Dreiecke so abgeschnitten werden, dass sich der
Flächeninhalt des Rechtecks um ein Viertel verkleinert. Wie lang sind die Katheten der
abgeschnittenen Dreiecke?
33
1
Die rechts abgebildete Parabel ist durch
Verschiebung
und
Streckung
aus
der
Normalparabel entstanden.
Beschreibe
zunächst
die
verschiedenen
Veränderungen gegenüber der Normalparabel
und versuche dann die Funktions gleichung zu
finden.
2
In einer Klinik wird einem Kranken gleichmäßig
aus einer Infusionsflasche eine Kochsalzlösung
zugeführt. Nach einer halben Stunde sind noch
0,8 l in der Flasche, nach 2 Stunden sind es nur
noch 0,2 l.
a) Wie viel l waren bei Infusionsbeginn in der Flasche?
b) Wann war die Infusionsflasche leer?
3
a) Löse das Zahlenrätsel und kommentiere deinen Lösungsweg ausführlich:
Für welche Zahl ist das Produkt aus der um 6 verkleinerten Zahl und dem dreifachen
der ursprünglichen Zahl am kleinsten?
b) Gib ein selbst ausgedachtes Zahlenrätsel dieser Art an und löse es.
4
Auf einem Nährboden vermehrt sich eine Anzahl von Bakterien in einem Tag um einen
bestimmten Prozentsatz. Durch Erhöhung der Temperatur vergrößert sich dieser Prozentsatz am folgenden Tag um 5 %. Insgesamt hat sich die Anza hl in beiden Tagen um
die Hälfte erhöht. Wie groß war das ursprüngliche Wachstum?
5
6
Ein Rollband, wie man es z.B. auf dem Weg vom Bahnhof zur
EXPO sehen konnte, sei 100 m lang und bewege sich mit einem Meter pro Sekunde.
Jemand geht innerhalb von 2 Minuten gleichmäßig einmal hin
und einmal zurück. Bestimme die reine Gehgeschwindigkeit.
Wie groß wäre die Gehgeschwindigkeit, wenn man zwei Stunden (oder zwei Tage) bräuchte?
Welchen Weg braucht ein Auto, um zu bremsen?
Das hängt einmal von der Geschwindigkeit ab, dann
von der Straßenbeschaffenheit, Reifen und einigem
mehr. Außerdem muss der Fahrer erst einmal reagieren und auf die Bremse treten, bis der Bremsweg
beginnen kann. Zum Schätzen des Bremsweges gibt
es eine „Daumenregel“, ein Rezept, das man
manchmal in der Fahrschule hört: Man teilt die Tachoanzeige durch 10 und multipliziert
das Ergebnis mit sich selbst. Das Ergebnis ist der Bremsweg in Metern.
a) Welche Funktion beschreibt die „Daumenregel“? Zeichne den Graphen.
b) Mannis Vater sagt: „Wenn ich jetzt 10 km pro Stunde schneller fahre, erhöht sich der
Bremsweg gerade auch um 10 Meter.“ Beurteile diese Aussage.
c) Kannst du eine allgemeinere Aussage machen, die trotzdem wahr ist?
34
Quellen: Welt der Mathematik 9 (1990); Mathematik Heute 9 (1996); Lambacher Schweizer 9
(1997); Schnittpunkt 10 (1995); Unterlagen der MUED.
Aufgaben zu quadratischen Funktionen und Gleichungen: Anregungen für
den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Übung / Anwendung
• Vertikale Vernetzung
• Blatt (1):
• (1) ca. 158m
1
• (3) y = ( x + 1) 2 + 4
2
• (4) y = -1,04 x2
• (5) Scheitelpunkt bei
1,2m Höhe... Stimmt die
Funktionsgleichung?
•
•
•
•
•
• Blatt (2):
• Blatt (3):
• (1) 5,7s; 7,7s; 10,5s;
• (1) a) 7cm [8cm]; b) 2cm
7,6s; 9,1s; 9,4s
[8cm / 4cm]
• (2) a) 500m; b) 1,57m
• (2) 60cm mal 120cm
• (3) a) 124m; b) 5,12s;
• (4) a) 12,25dm2 ;
131,4m; c) 1,1s und 9,4s
b) f(x) = (s + 1)2 ; c) 2dm
• (5) 13 Geraden
• (6) 22m mal 45m
• (7) ca. 1,37m
• (8) 6cm
Blatt (4):
(2) linearer Prozess!!! a) 1 Liter; b)150 min nach Infusionsbeginn
(3) Für die Zahl 3
(4) Der Ans atz (1 + p)( 1, 05 + p) = 1, 5 führt zu 20% ursprünglichem Wachstum
(5) Lösungsvorschlag (Rollband):
-
Gesucht: Gehgeschwindigkeit v in m/s.
Wir wissen: t = s / v , wenn s die Strecke und t die Zeit ist.
Die Gesamtzeit t setzt sich zusammen aus der Zeit t1 für den Hinweg und der Zeit t2 für den Rückweg, dies ergibt
den Ansatz
t = t1 + t 2 =
-
-
100 m
v + 1m/s
+
100 m
v − 1m/s
= 120 s
Die Lösungen sind gerundet v1 =2,1 m/s und v2 =-0,5 m/s; die positive Lösung entspricht 7,7 km/h was für einen
Fußgänger schon recht flott ist.
Interessant und direkt einleuchtend ist, dass die Gehgeschwindigkeit nicht unter 1 m/s (der Geschwindigkeit des
Bandes) fallen darf, damit man beim Rückweg nicht „hinten runter fällt“, dies spiegelt sich in den Lösungen für
verschiedene Zeiten wieder, die für wachsende Zeit gegen 1 m/s konvergieren.
Wer findet sinnvolle Interpretationen für die negative Lösung?
Alternativen
Weitere Arbeitsblätter auch für leistungsschwächere Gruppen finden sich in MAT(H)ERIALIEN
7-10 Algebra S. 174ff (liegt jeder Schule vor).
Eine Vielzahl von Aufgaben ist im Internet unter http://did.mat.unibayreuth.de/smart/navigation/ abrufbar.
35
Vorschlag 13.14: Kälberhaltungsverordnungsentwurf
Amts-Mathematik
„Bei Gruppenhaltung muss für jedes Kalb in Abhängigkeit von der
Widerristhöhe in Zentimetern eine frei verfügbare Mindestfläche in
Quadratmetern gemäß nachstehender Formel vorhanden sein: (Mathematische Exponentenschreibweise) Mindestfläche cm (hoch) 2 gleich
0,40 x (hoch) 2 plus 70 x plus 2720“. (Aus dem neusten Entwurf des
Bundes für Kälberhaltungsverordnung.) Den Landwirten diesen Entwurf zu verdolmetschen und amtlichen Beistand in Rechenhilfe zu
leisten hat der hessische CDU-Landtagsabgeordnete Dieter Weirich
(Hanau) in Wiesbaden empfohlen. Man müsse sich fragen, meinte
Weirich, ob die Bauern angesichts eines „solchen Mists aus den Amtsstuben“ überhaupt noch dazu kämen, ihren Stall auszumisten.
Braunschweiger Zeitung
Perfekte Amtssprache
Die Perfektion der deutschen Vorschriftenmacher ist von Innenminister Georg Tandler im Münchner Landtag mit dem
Verlesen des Entwurfes für eine Kälberhaltungsverordnung des
Bundes belegt worden. Darin heißt es, was immer das im Klartext heißen mag: „Bei Gruppenhaltung muss für jedes Kalb in
Abhängigkeit von der Widerristhöhe in Zentimetern eine frei
verfügbare Mindestfläche gemäß nachstehender Formel vorhanden sein: Mindestfläche (Quadratzentimeter) gleich 0,4 mal
hoch 2 plus 70 mal plus 2720.“
Berliner Anzeiger
Was fällt dir an diesen beiden
Zeitungsartikeln alles auf?
Kannst du Fehler finden?
36
Kälberhaltungsverordnungsentwurf: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Zeitungsartikel kritisch hinterfragen
• Fehler entdecken
• Anwendungen quadratischer Funktionen kennen lernen
• (1) Gib einen korrekten Term für die Gesetzesvorschrift an!
• (2) Skizziere den Graphen dieser Funktion in einem Bereich, der für diese Verordnung von
Bedeutung ist!
• (3) Könntest du eine einfachere Vorschrift empfehlen?
• Gruppenarbeit
• Partnerarbeit
• Im zweiten Artikel wird die Variable „x“ als Malzeichen interpretiert.
Bemerkung:
• Die Artikel standen wirklich so in den Zeitungen. Allerdings war dies im Juni bzw. im Juli 1979
– also zu einer Zeit in der die Schüler noch gar nicht geboren waren.
37
Vorschlag 13.15: Gleichungen bestimmen
Von drei verschiedenen quadratischen Gleichungen der Form x2 + px + q = 0
ist jeweils eine besondere Eigenschaft bekannt:
a) Gleichung 1: Die Lösungen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.
b) Gleichung 2: Eine Lösung ist der Kehrwert der anderen.
c) Gleichung 3: Genau eine der beiden Lösungen ist 0.
Mache jeweils begründete Aussagen über die Koeffizienten p und q.
Gleichungen bestimmen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Zusammenhang zwischen Koeffizienten und Lösungen quadratischer Gleichungen
Hier benutzt: Satz von Vieta
Sind x1 und x2 die Lösungen einer quadratischen Gleichung der Form x 2 + px + q = 0 ,
dann gilt: x1 + x2 = -p und x1 ⋅ x2 = q
• a) Die Lösungen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen: x2 = − x1
Also: x1 − x1 = 0 = − p und x1 ⋅ (− x1 ) = − x1 2 = q
Also: p = 0 und q < 0 . Für q gilt weiterhin oben stehende Beziehung.
1
• b) Eine Lösung ist der Kehrwert der anderen: x 2 =
x1
1 x +1
p
p2
1

Also: x1 + = 1
= − p ⇔  x1 +  =
− 1 und x1 ⋅ = 1 = q
x1
x1
2
4
x1

Also: q = 1 und p > 2 . Für p gilt weiterhin oben stehende Beziehung.
2
2
• c) Genau eine der beiden Lösungen ist 0: Sei o.B.d.A. x1 = 0
Also: 0 + x2 = − p und 0 ⋅ x2 = q
Also: q = 0 und p ≠ 0 , denn sonst gibt es keine zweite Lösung. Für p gilt weiterhin oben stehende
Beziehung.
Bemerkungen:
• Satz von Vieta ggf. anhand von
Beispielen vermuten lassen (vgl.
Abbildung).
• Ein geeignetes Arbeitsblatt findet
sich auch in den Mat(h)erialien 710 Algebra, S. 182 (liegt jeder
Schule vor).
• Alternative: Wann sind die
Lösungen gerade p und q?
38
1. Kreuze alle richtigen Aussagen an. Je Teilaufgabe
können keine bis alle Aussagen richtig sein.
a) Eine Gleichung der Form x 2 = e hat
¨ keine Lösung, für e<0
¨ keine Lösung für e=0
¨ zwei Lösungen für e>0
¨ eine einzige Lösung für e≠0
¨ mindestens eine Lösung
¨ nie die Lösung 0
b) Der Graph der Funktion f mit
¨
¨
¨
¨
¨
¨
=−
x
2
− 4x −1
ist nach oben geöffnet
geht durch den Ursprung
schneidet die erste Achse zwei Mal
ist symmetrisch zur 2. Achse
hat seinen Scheitel bei (11|-6)
hat ein Maximum
c) Der Graph der Funktion f mit
¨
¨
¨
¨
f(x)
1
3
f(x)
= ( x − 2 )2 − 3
ist eine verschobene Normalparabel
hat seinen Scheitel bei (2|-3)
geht durch den Punkt (-10|-15)
geht nicht durch den Ursprung
¨ ist identisch mit g( x ) = x 2 + 4 x − 1
¨ hat kein Maximum
d) Die Nullstellen jeder quadratischen Funktion mit
zwei Nullstellen
¨ sind symmetrisch zur ersten Achse
¨ sind symmetrisch zur zweiten Achse
¨ liegen vom Scheite lpunkt gleich weit entfernt
¨ lassen sich durch zwei Bruchzahlen angeben
¨ lassen sich durch zwei reelle Zahlen angeben
e) Die verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt S(−2|1)
¨ hat den Funktionsterm
(x
− 2 )2 + 1
(x
+ 2 )2 − 1
(x
+ 2 )2 + 1
2
x
+ 4x + 5
¨ hat den Funktionsterm − x + x + 5 + 3 x + 2 x
2
g)
Für jede quadratische Funktion f mit
= ax 2 + bx + c und a≠0 gilt
f(x)
¨
¨
¨
¨
ihr Graph ist nach unten geöffnet für alle a<1
ihr Graph ist nach oben geöffnet für alle a>1
ihr Graph ist eine Parabel
sie hat genau einen Schnittpunkt mit der
2. Achse
¨ ihre Symmetrieachse ist eine Parallele zur
1. Achse
¨ sie schneidet die 2. Achse bei c
h) Welcher Funktionsterm gehört nicht zu einem der
untenstehenden Graphen
¨
x
¨
(x
¨
x
2
−5
+ 2 )2 − 3
2
¨ hat den Funktionsterm 2 x + 8 x + 10
f) Der Scheitel einer verschobenen Normalparabel
liegt auf der Parallelen zur y-Achse, die durch den
Punkt P(3|0) geht. Der Punkt Q(7|18) liegt auch
auf dieser Parabel. Welche der unten angegebenen
Punkte liegen noch auf dieser Parabel?
¨ A(2|3)
¨ B(3|2)
¨ C(4|3)
¨ D(7|7)
¨ F(-1|18)
¨ G(0|0)
2
+3
¨
x
2
−6 x +7
¨
(x
− 3 )2 − 2
¨
x
2
+4x+1
2
Vorschlag 13.16: Multiple Choice-Test
Multiple-Choice-Test
zu quadratischen Gleichungen
und Funktionen
Vorschlag 13.17: Quadratische Ergänzung
Löse nacheinander die folgenden Gleichungen:
• x 2 = 20,25
• x − 729 = 0
2
• 52 − 13x = 0
2
• 5( x + 3) + (x − 15) = 996
2
2
• 12( x − 7 ) = 600 − 168x
2
• 36 = ( x − 8)
2
• 16 x = x + 28
2
• 14 x + x = 15
2
Kannst du daraus eine Strategie ableiten, wie man allgemein solche Gleichungen lösen kann?
Quelle: Herget/Jahnke/Kroll: Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht in der Sek. I. Cornelsen (2001), S. 108.
Quadratische Ergänzung: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Hinführung zur Quadratische Ergänzung
Eignung, Methoden:
• Da bei den ersten fünf Gleichungen die Auflösung der Klammern zum Ziel führt, liegt dieselbe
Strategie bei der sechsten na he. Dadurch aber können Schüler erkennen, dass die siebte mit der
sechsten identisch ist und bei der achten Gleichung diese Erkenntnis anwenden.
40
Vorschlag 13.18: Mit Graphen zeichnen
Zeichne die Graphen der folgenden Funktionen im angegebenen Definitionsbereich:
f1 ( x ) = 4
−4≤ x≤ 6
f 2 ( x ) = 6 − 25 x − 1
−4≤ x≤ 6
f 3( x ) = − 12 x + 5
3≤ x ≤ 5
f 4 ( x) = 12 x + 3,5
− 3 ≤ x ≤ −1
(
)
1 (8 x 2 − 16 x − 92 )
f 6 ( x) = 25
f 7 ( x) = 19 (14 x2 − 28 x + 5)
1 4 x 2 − 8 x − 46
f 5 ( x) = 25
− 1,5 ≤ x ≤ 3,5
−4≤ x≤ 6
− 0,5 ≤ x ≤ 2,5
Quelle: Raabits
Mit Graphen zeichnen: Anregungen für den Unterrichtseinsatz
Ziel:
• Zeichnen von linearen und quadratischen Funktionsgraphen
Variation der Aufgabe:
• „Überlegt Euch andere Bilder und die entsprechenden Funktionsterme. Lasst euren Nachbarn
(euren Funktionenplotter) die Graphen zeichnen.“
Lösung:
Das linke Auge ist in der Lösung
falsch dargestellt!!!
41

13quadratische Funktionenneu

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