Zahlensysteme und Umrechnung
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Zahlensysteme und Umrechnung
Torsten Witt Mathe www.wissen4free.og Zahlensysteme und Umrechnung allgemeine Übersicht: Mengen : z.B. Kerbholz, Strichlisten Additionssystem : Römische Zahl MDCCC, IX, VIII Positionssystem : „Arabische Ziffern“ 527, 45 10n ... 10 2 101 100 , 10−1 10−2 allgemein: d n ... d 2 d 1 d 0 , d −1 d −2 d −3 d ... d −k n Formel: Dezimalzahl = ∑ d i∗b (d = Ziffer, b = Basis) i i =−k Allgemeine Darstellung einer Zahl im Dezimalsystem Die Zahlen, wie wir sie kennen, nennen wir das dekadische Zahlensystem. Der Name beruht auf deren Basis, nämlich 10. Somit kann man eine Zahl, wie die 365,2 auch so darstellen: 3∗10 26∗1015∗100 , 2∗10−1 n Formel: Zahl = ∑ d i∗10 i i=−k Zur Unterscheidung schreibt man die Basis mit an: 5410 Ziffern: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Torsten Witt Mathe www.wissen4free.og die wichtigsten Zahlensysteme Dualzahlsystem/Binärzahlensystem: Basis: 2 Ziffern: 0;1 n Formel: Zahl = ∑ d i∗2i i=−k Beispiel: 1101102=54 10 (in anderen Darstellungen wird B anstatt der 16 geschrieben) Octalsystem: Basis: 8 Ziffern: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9 Beispiel: 668=54 10 (in anderen Darstellungen wird O anstatt der 16 geschrieben) Hexadezimalsystem: Basis: 16 Ziffern: 0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;A;B;C;D;E;F Beispiel: 3616 =5410 (dabei entspricht A = 10, B=11, bis F = 15) (in anderen Darstellungen wird H anstatt der 16 geschrieben) Andere bekannte Zahlensysteme: Duodezimalsystem: Sexagesimalzalsystem: Basis: 12 Basis: 60 Umwandlung der Zahlensysteme in das Deziamzahlensystem n allgemein: Dezimalzahl = ∑ bi∗bi i=−k n Dualzahlsystem: Dezimalzahl = ∑ d i∗2i i=−k Beispiel: 110110,112 1∗251∗24 0∗231∗22 1∗210∗20 ,1∗2−11∗2−2=54,7510 Torsten Witt Mathe www.wissen4free.og n Dezimalzahl = ∑ d i∗16 i Hexadezimalsystem: i=−k Beispiel: F3,6 16 15∗161 3∗160 6∗16−1=243,37510 (man kann natürlich nicht mit den Buchstaben rechnen, sondern mit deren Wertigkeiten im Dezimalsystem) Bei allen anderen Zahlensystemen verhält es sich genauso, entsprechend deren Basen. Umwandlung Dezimalsystem in ein anderes Zahlensystem Ganze Zahlen! Vorgang: – – – – Dezimalzahl durch Basis des gewünschten Zahlensystems dividieren Rest wird aufgeschrieben (Wert hinter dem Komma mal Basis) so lange, bis kein Rest mehr da Zahl in umgekehrter Reihenfolge aufschreiben 10010 ÷2=50 Rest: 0 5010 ÷2=25 Rest: 0 2510 ÷2=12 Rest: 1 1210 ÷2=6 Rest: 0 610 ÷2=3 Rest: 0 310 ÷2=1 Rest: 1 110 ÷2=0 Rest: 1 Leserichgung der Zahl Beispiel: in das Dualzahlsystem: Ergebnis: 1100100 Das selbe Verfahren geht auch mit allen anderen Zahlensystemen. Bei den anderen ist der Rest manchmal nicht so schnell ersehbar, dann einfach das ganzzahlige Ergebnis wieder mal der Basis zurückrechnen und einfach die Differen zwischen Vorgänger und Nachfolger. Torsten Witt Mathe www.wissen4free.og Gebrochene Zahlen: Vorgang: – – – – Dezimalzahl mit Basis des gewünschten Zahlensystems multiplizieren Wert vor dem Komma im Ergebnis notieren, dies ist die erste Ziffer nach dem Komma im Ergebnis Betrag hinter dem Komma mit Basis multiplizieren das geht so lange, bis nur noch eine ganze Zahl übrig bleib Achtung, oftmals kann das unendlich lange gehen. Also sinnvoll aufhören! Das sind übrigens die Gründe für Rundungsfehler in Computerprogrammen!!!! Beispiel in das Hexadezimalsystem: 0,50512695312510∗16=8,08203125 Nachkommaanteil: 0,08203125 Merke: 8 0,0820312510∗16=1,3125 Nachkommaanteil: 0,3125 Merke: 1 0,312510∗16=5 Nachkommaanteil: 0 Merke: 5 Ergebenis: 0,81516 Wie gehabt, das geht auch in das Oktalsystem usw.