PFR7 - PET Engenharia Química

SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO PARTICULADO EM UM CANAL
PARCIALMENTE POROSO HOMOGÊNEO
1
Guilherme H. de Lima, 1 Fernando C. De Lai, 1 Admilson T. Franco e 1 Silvio L. M. Junqueira
1
Centro de Pesquisas em Reologia e Fluidos Não Newtonianos – CERNN, Universidade Tecnológica Federal do Paraná
– UTFPR. Av. Sete de Setembro, 3165 – Rebouças CEP 80230-901 – Curitiba – PR – Brasil.
E-mail: [email protected], [email protected]; [email protected]; [email protected].
RESUMO - Durante o processo de perfuração de poços de petróleo em formações rochosas, a
eventual presença de fraturas na região perfurada pode ocasionar a perda de fluido de
perfuração para o interior da formação porosa, através de um fenômeno denominado invasão.
Um dos meios de reduzir esta perda é através da adição de material particulado no fluido de
perfuração, a fim de realizar o preenchimento das fraturas com partículas sólidas e reduzir a
vazão do fluido para a formação. Neste trabalho é apresentada uma metodologia para simular
o escoamento particulado em um domínio parcialmente poroso, com o objetivo de analisar os
parâmetros mais adequados ao processo de preenchimento de fraturas com partículas durante
uma eventual perda de circulação. A formulação matemática e a modelagem numérica para o
escoamento líquido-sólido são apresentadas para uma abordagem Euler-Lagrange. O
acoplamento entre as fases discreta (partículas) e contínua (fluido) é realizado através da
combinação dos modelos Lagrangian Multiphase (LMP) e Discrete Element Method (DEM). A
solução numérica das equações de conservação, tanto para a fase fluida (Navier-Stokes),
quanto para a fase porosa (Darcy-Brinkman-Forchheimer), é obtida através do método dos
volumes finitos. O movimento das partículas é calculado de acordo com a segunda lei de
Newton acoplada às equações da quantidade de movimento para o fluido, sendo levadas em
consideração as diversas forças do fluido que agem sobre as partículas e as forças de colisão
entre as partículas e demais superfícies. Resultados preliminares são obtidos para o
escoamento em um canal parcialmente poroso fraturado, com as condições de contorno que
descrevem o problema de invasão, investigado através do monitoramento da vazão na saída
da fratura e da variação de parâmetros do meio poroso e do fluido. Além disso, é realizada a
verificação da velocidade de uma partícula imersa em um fluido com propriedades conhecidas,
investigando o efeito da variação do diâmetro e da massa específica da partícula.
Palavras-Chave: escoamento particulado, canal parcialmente poroso, simulação numérica,
DEM.
INTRODUÇÃO
O escoamento multifásico sólido-fluido
pode ser comumente observado na natureza e
em diversas aplicações industriais. Para o estudo
deste tipo de escoamento é necessário o
entendimento de diversos fenômenos físicos
envolvendo as fases fluida e sólida, o que faz
com que a modelagem destes problemas seja de
grande complexidade. A investigação destes
fenômenos proporciona o desenvolvimento de
trabalhos em áreas como a física, engenharias
mecânica, civil, nuclear, química, petrolífera,
ambiental e aeroespacial (FALCONE et al. 2009).
Em formações rochosas é comum o
escoamento de água, petróleo ou gás, em que é
possível observar a presença de diferentes fases
sólidas, líquidas, ou gasosas. As formações
geológicas são constituídas de uma matriz sólida
fixa, i.e., um substrato composto por rochas
permeáveis,
eventualmente
apresentando
descontinuidades (fraturas). A presença de
fraturas em uma formação rochosa implica na
presença de caminhos preferenciais ao
escoamento, fazendo com que as fraturas atuem
como condutores ou obstáculos hidráulicos, de
acordo com as características geométricas da
formação.
Durante o processo de perfuração de
poços de petróleo, a eventual presença de
fraturas pode causar perda de fluido de
perfuração para o interior da formação, num
fenômeno conhecido como invasão. Fraturas
também podem estar associadas à produção não
controlada de petróleo, num fenômeno de influxo,
verificado quando óleo e/ou gás escoam para o
interior do poço como consequência de uma
eventual queda de pressão no poço.
Ambas
as
situações
descritas
comprometem a produtividade do poço, bem
como os tempos de recuperação. Por isso,
diversas técnicas são utilizadas para controlar o
fluxo de fluido que escoa entre o conjunto
composto pelo poço e pela formação, sendo uma
delas a vedação de fraturas durante um
fenômeno de invasão, através da injeção de
partículas sólidas de granulometria selecionada
(Souza et al., 2009). A análise deste tipo de
problema é útil na redução de eventuais perdas
de circulação em situações de perfuração, uma
vez que o escoamento particulado pode vedar as
fraturas por onde as perdas de fluido de
perfuração podem ocorrer.
A complexidade geométrica observada em
formações porosas implica na busca de modelos
que sejam capazes de representar as
propriedades físicas referentes à interface entre
os domínios sólido e fluido, presentes nestes
domínios. Tal necessidade é acentuada no caso
da modelagem do escoamento particulado em
meios porosos fraturados, devido à presença da
interface entre o meio poroso e o fluido.
O meio poroso a ser utilizado neste
trabalho é descrito como um domínio composto
por uma única fase, em que descontinuidades
representadas por uma região fluida estão
presentes. Desta forma, tem-se um meio onde a
região porosa é representada por um modelo
homogêneo ou poro-contínuo, através de uma
escala macroscópica que permite determinar as
propriedades médias do domínio (Nield e Bejan,
2006). Nesse sentido, o domínio do fluido pode
ser considerado como sendo fraturas introduzidas
no meio poroso, em que a ordem de grandeza
microscópica das fraturas permite observar a
interface entre o meio poroso e o fluido.
O escoamento através de um meio com
interface fluido-porosa foi investigado por Betchen
et al. (2006), em um trabalho em que foram
apresentados os efeitos da direção de incidência
do escoamento sobre a interface. O meio poroso
foi abordado por meio de um modelo homogêneo,
em que diferentes parâmetros referentes às
propriedades hidráulicas do domínio poroso
foram variados.
Dias (2010) investigou o problema de
invasão em um canal parcialmente poroso com
uma fratura. Neste trabalho vários parâmetros
como a porosidade e a permeabilidade do meio
poroso tiveram sua influência investigada, além
da intensidade do escoamento e características
geométricas como a espessura da fratura e a
razão de aspecto da região anular.
Estes resultados foram corroborados por
Andreatta (2011) através da análise de um canal
parcialmente poroso fraturado, investigando o
efeito da variação de características geométricas
como o número de fraturas, a espessura e o
espaçamento entre elas. Também foi analisado o
efeito da alteração de parâmetros relativos à
intensidade do escoamento, como a velocidade
média do fluido e as pressões na saída da fratura.
O processo da perfuração de poços na
presença de uma fenda, em que as condições de
contorno caracterizam o problema de invasão, foi
abordado por Souza et al. (2009). Neste trabalho
foi estudado como o escoamento com material
particulado pode reduzir o fenômeno de invasão,
através da deposição de sólidos no interior da
fratura, com o objetivo de avaliar as tendências
de assentamento de partículas de diferentes
tamanhos e formas.
Um estudo numérico em que foram obtidos
resultados para o preenchimento de uma fratura
com partículas em um domínio com interface
impermeável foi realizado por De Lai (2013).
Neste trabalho é apresentado o efeito da variação
dos parâmetros de injeção para diferentes
parâmetros de monitoramento, como a vazão de
fluido na saída da fratura, a pressão da mistura
na entrada do canal e a concentração de
partículas no interior da fratura.
Barbosa (2015) apresenta um trabalho em
que os resultados de De Lai (2013) foram
complementados, também para um canal
fraturado com interface impermeável. Foram
variados parâmetros como o comprimento da
fratura, a velocidade média do fluido, o número
de partículas injetadas, bem como seus
diâmetros e massas específicas.
O presente estudo tem como objetivo
apresentar resultados preliminares de verificação
para o problema de preenchimento de uma
fratura com material particulado, em um canal
parcialmente poroso na presença do fenômeno
de invasão. O trabalho se concentra na variação
de propriedades referentes à intensidade do
escoamento (número de Reynolds), propriedades
hidráulicas do meio poroso (e.g., número de
Darcy, porosidade), bem como o tamanho e a
massa específica das partículas.
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA
O problema proposto é caracterizado pela
perda de fluido de perfuração do poço para o
interior da formação, durante uma operação de
perfuração. Eventuais fraturas presentes na
formação rochosa intensificam o fenômeno de
invasão.
A Figura 1 mostra a representação do
conjunto poço-formação, em uma operação de
perfuração vertical, em que um plano de fratura
horizontal está inserido. Na Figura 1(a) é possível
observar um plano de corte longitudinal, pelo qual
pode ser vista a espessura da fratura eFR , que
representa a descontinuidade na direção axial do
poço. Um plano de corte axial é representado na
Figura 1(b), pelo qual é possível observar a
profundidade da fratura  z FR  .
Saída do
espaço anular
reestabelecendo o escoamento preferencial pelo
espaço anular.
Entrada
da coluna
eFR
(a)
Rocha
reservatório
Figura 2 – Representação do processo de
preenchimento de uma fratura ao longo do
tempo:
(a)
início
do
processo
de
preenchimento; (b) início da formação de um
leito fixo; (c) preenchimento total ou parcial.
Formulação para o escoamento em meio
poroso homogêneo
(b)
z FR
Parede
da fratura
Parede
do poço
Parede
da coluna
Espaço
anular
Figura 1 – Representação geométrica do
conjunto poço-formação com uma fratura: (a)
corte longitudinal; (b) corte transversal.
Neste problema, fluido de perfuração escoa
pela coluna do poço e retorna pelo espaço
anular. A região fraturada possui um gradiente de
pressão, em relação ao canal livre, suficiente
para que haja fuga do escoamento para o interior
da região porosa.
Uma das técnicas utilizadas para a
redução do fenômeno de invasão é a adição de
material particulado de granulometria selecionada
ao fluido que entra pelo interior da coluna. Devido
aos gradientes de velocidade e pressão entre a
fratura e o poço, as partículas são carregadas do
poço para o interior da fratura, podendo
preencher a descontinuidade de forma total ou
parcial.
Na Figura 2, o processo de preenchimento
da fratura com material particulado é
representado de forma esquemática, para três
diferentes momentos. Na Figura 2(a) é possível
observar o início do processo de preenchimento
da fratura. A Figura 2(b) mostra a deposição de
partículas na parede da fratura, gerando um leito
de partículas. Na Figura 2(c) verifica-se o
empacotamento das partículas e a formação de
um leito fixo, suficiente para equilibrar a perda de
carga entre saída da fratura e o canal livre,
Tendo em vista que o problema do
escoamento em meios porosos é complexo de
ser descrito devido à aleatoriedade geométrica do
domínio, modelos capazes de representar os
parâmetros que influenciam sobre os fenômenos
de transporte através destes meios são utilizados.
As equações que modelam o problema
dependem das características termo-hidráulicas
do meio. Para que o estudo destes domínios seja
possível, é necessário que sejam feitas
aproximações geométricas, sem que o problema
seja descaracterizado, visando a obtenção de
propriedades que sejam semelhantes às
encontradas em um problema físico real.
Na abordagem homogênea, ou porocontínua, as fronteiras entre sólido e fluido são
descritas através de propriedades médias,
fazendo uso de um modelo que considera o meio
como composto por uma única fase.
O modelo fundamental proposto pela Lei
de Darcy é investigado em diversos trabalhos
experimentais e teóricos, em que se aborda o
escoamento através de meios porosos. Uma boa
revisão destes trabalhos é apresentada por Lage
(1998).
A Lei de Darcy expressa a relação entre a
velocidade média do escoamento e o gradiente
de pressão, para uma direção do meio poroso.
Para este modelo o escoamento é laminar,
incompressível e lento, através de um meio
homogêneo, estacionário e isotrópico. As
principais extensões do modelo de Darcy (1856)
são a adição do efeito inercial, proposta por
Forchheimer (1901), e a do efeito viscoso,
proposta por Brinkman (1947).
As extensões de Forchheimer (1901) e
Brinkman (1947) são introduzidas em uma
equação generalizada para o domínio poroso, em
que se consideram os efeitos inerciais e viscosos,
respectivamente, (VAFAI e TIEN, 1981):
  v  


 2 v v  P   2 v  v 
 t 

K
cF  
 1/ 2 v v    g
cF 
1, 75
(150 5 )1/ 2
t
      u    0
    u 
(1)
K
sendo t o tempo,  a porosidade e cF
coeficiente de Forchheimer, expresso por:
    
o
(2)
Neste trabalho, a equação generalizada
pra o domínio poroso é resolvida através de um
programa computacional de código fechado. Dito
isto, é importante ressaltar que a equação
resolvida pelo programa apresenta algumas
simplificações, em que são desconsiderados os
coeficientes 1  2 e 1  nos termos convectivo e
difusivo, respectivamente.
Formulação para o escoamento particulado
Na sequência, são apresentadas as
equações para o movimento de uma única
partícula isolada, sujeita à ação de diversas
forças de interação em um escoamento simples,
i.e., mesmas hipóteses e considerações da fase
fluida. Estas equações servem de base para
descrever o modelo numérico adotado no
presente trabalho.
Para o presente trabalho o escoamento
particulado é tratado através de uma abordagem
lagrangeana. O modelo Lagrangeano trata o
sistema particulado de forma discreta, em que
diversas forças de interação atuando sobre as
partículas são consideradas, podendo ser de
interação entre a partícula e o fluido ou entre a
partícula e outro corpo sólido. Esse modelo
possui algumas vantagens sobre modelos mais
simples, em que as colisões não são levadas em
consideração, permitindo a análise de fenômenos
associados à interação entre as partículas e
demais corpos sólidos.
Para um escoamento bifásico, é necessário
modificar as equações governantes para
contabilizar a influência das partículas na forma
de fração volumétrica. Além disso, existe a
necessidade de acrescentar as forças de
interação entre as partículas e o fluido na
conservação da quantidade de movimento.
Aplicando tais hipóteses, as equações de
conservação modificadas para o escoamento
líquido-sólido, como pode ser visto em Cliff et at.
(1978), são:
t
        u  u      p 
         u        g  Fp
(3)
(4)
O movimento de uma partícula é descrito
através de uma combinação de translação e
rotação de um corpo com centro de massa, com
isso é possível determinar a posição do objeto.
Partindo da aplicação da segunda lei de Newton
para o movimento, é possível obter as equações
para o movimento translacional e rotacional de
uma única partícula, sendo elas:
mp
du p
d 2x p
 mp
  Fp 
dt
dt 2
 Fp ,b  Fp , s  Fp ,c
(5)
Ip
dω p
  Tp  Tp , s  Tp , c
dt
(6)
dx p
 up
dt
(7)
sendo m p a massa da partícula, I p o momento
de inércia, x p o vetor posição do centro da
partícula, u p a velocidade linear e ω p a
velocidade angular da partícula. As forças Fp que
agem sobre a partícula podem ser divididas em
forças de corpo Fp ,b , superfície Fp , s e colisão
Fp ,c . Os torques sobre a partícula Tp , por sua
vez, podem ser devido às tensões de fluido sobre
a superfície das partículas Tp , s e devido às
colisões entre partículas Tp ,c . u p , ω p e x p são
vetores.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Nesta seção serão apresentados os
resultados preliminares do modelo para o
problema proposto. O estudo do escoamento
particulado em um canal parcialmente poroso é
dividido em dois problemas. O primeiro dos
problemas envolve a investigação do fenômeno
de invasão em um canal parcialmente poroso
fraturado, em que são analisados os efeitos da
variação dos parâmetros do escoamento e do
meio poroso sobre a vazão na saída da fratura. O
outro problema é a verificação da velocidade
terminal de uma partícula em queda livre imersa
em um fluido com propriedades conhecidas.
Escoamento em canal parcialmente poroso
O canal parcialmente poroso fraturado
representa a região entre a coluna de perfuração
e a formação rochosa, em que é possível
observar a presença de uma interface fluidoporosa. A metade superior do canal é composta
pela região fluida, enquanto a metade inferior
representa o domínio poroso, sendo possível
observar as diferenças nos perfis de velocidade
entre as duas regiões. A compreensão do
escoamento através desse tipo de domínio é de
grande importância para a investigação do
problema de invasão em um canal parcialmente
poroso fraturado. Por isso, a verificação dos
perfis de velocidade para este problema é
apresentada na Figura 3.
2
1.8
através deste tipo de domínio para a investigação
do problema de invasão.
Na Figura 4 é possível observar a
geometria e condições de contorno utilizadas
para representar o fenômeno de invasão em um
canal parcialmente poroso fraturado. Para esta
geometria, o fluido é injetado com velocidade
inicial média em (1), saindo em (5) e em (7),
considerando a pressão nula na saída da fratura
 Pf  0  , igual à pressão na saída do canal pelas
regiões fluida e porosa  Po  0  . As paredes (2),
(3) e (4) representam superfícies impermeáveis,
apresentando condições de não deslizamento. A
superfície (6) representa a interface entre o meio
poroso e o fluido, em que existe o escoamento de
fluido através dessa interface.
1.6
1.4
hFR
hCH
1.2
(7)
h (m ) 1
0.8
0.6
0.2
0
l2
Betchen (2006); Da = 10-3
Presente; Da = 10-3
Betchen (2006); Da = 10-2
Presente; Da = 10-2
0.4
0
0.5
u p (ms-1 )
1
1.5
(3)
y
x
(5)
eFR
(4)
l1
Figura 3 – Comparação dos perfis de
velocidade para o canal parcialmente poroso.
A Figura 3 apresenta os perfis de
velocidade obtidos através da metodologia
proposta em comparação com os resultados
publicados por Betchen et al. (2006), para
Da  102 e Da  103 . No caso em que Da  102 ,
é possível observar uma pequena diferença entre
o perfil obtido neste trabalho e o apresentado por
Betchen et al. (2006), devido a simplificação
adotada pelo programa utilizado na resolução da
equação para o meio poroso. Uma discordância
menos pronunciável é observada para Da  103 ,
caso em que a permeabilidade é baixa e, logo, as
velocidades do fluido são baixas. Essa redução
na permeabilidade faz com que o meio poroso
apresente comportamento próximo ao de um
sólido, dificultando a passagem de fluido através
do domínio.
Escoamento em canal parcialmente poroso
fraturado
O canal parcialmente poroso fraturado
apresenta uma geometria simplificada para o
conjunto poço-formação, sendo de grande
importância o entendimento do escoamento
(6)
(1)
(2)
Figura 4 – Geometria e condições de contorno
utilizadas para representar o fenômeno de
invasão.
Na Figura 5 é possível observar a
influência da variação de parâmetros do
escoamento e do meio poroso sobre a vazão na
saída da fratura, sendo eles o número de
Reynolds  Re  , o número de Darcy  Da  e a
porosidade   . A vazão adimensional pela saída
da fratura é adimensionalizada pela relação entre
a vazão mássica na saída da fratura e a vazão
mássica que entra no canal  Q f  q f qin  .
O aumento no número de Reynolds  Re 
exerce influência sobre a velocidade de entrada
do fluido no canal, o que faz com que o fluido
apresente maior inércia na direção perpendicular
à fratura com este acréscimo, dificultando uma
mudança na direção preferencial do escoamento.
Esta maior inércia ocorre em menos fluido
entrando pela fratura, sendo observado um
decréscimo na vazão adimensional do fluido pela
saída da fratura  Q f  .
Da = 10 -2 ; f
Da = 10-2 ; f
Da = 10-2 ; f
Da = 10-3 ; f
Da = 10-3 ; f
Da = 10-3 ; f
Da = 10-4 ; f
Da = 10-4 ; f
Da = 10-4 ; f
-0.3
-0.4
= 0, 2
= 0, 4
= 0,9
= 0, 2
= 0, 4
= 0,9
= 0, 2
= 0, 4
= 0,9
Velocidade terminal de uma partícula
Qf
-0.5
-0.6
1
adimensional para cada Da , nos quais a
variação da porosidade não influencia de maneira
significativa sobre a vazão na saída do canal.
Para os casos em que Da  10 4 , ou seja, a
configuração menos permeável, o meio se
aproxima da permeabilidade de um meio sólido,
tornando os efeitos da porosidade ainda menos
pronunciáveis.
Re
10
50
Figura 5 – Vazão adimensional na saída da
fratura para a variação de Re , Da e  .
Como pode ser visto na Figura 5, para os
casos em que o meio poroso apresenta um
mesmo Da , o aumento de  implica em um
aumento da vazão adimensional na saída da
fratura Q f . Este acréscimo de vazão na saída da
fratura com o aumento da porosidade é devido à
maior facilidade de penetração do escoamento
através do domínio poroso. Este efeito também
pode ser observado nas equações que modelam
o meio poroso, em que o aumento da porosidade
implica na redução do coeficiente de
Forchheimer, que representa a força de arrasto
sobre o fluido e as interfaces do meio poroso.
A influência de Da sobre o escoamento
através do meio poroso está diretamente
relacionada com a permeabilidade do meio, i.e.,
quanto maior o Da , maior a permeabilidade.
Meios mais permeáveis tendem a permitir a
passagem de fluido através do domínio com mais
facilidade, logo, para o problema em questão, o
aumento de Da implica no aumento da vazão de
fluido proveniente do meio poroso para o interior
da fratura. Este efeito pode ser observado pelo
aumento da vazão adimensional de fluido Q f na
saída da fratura, como mostrado na Figura 5, de
forma geral ao se manter os parâmetros Re e 
constantes.
Na Figura 5 também é possível observar
que o número de Darcy é o parâmetro que mais
exerce influência sobre a vazão adimensional na
saída do canal para um mesmo número de
Reynolds. Este efeito pode ser visto pois a
permeabilidade é o parâmetro que quantifica a
facilidade com que o fluido escoa pelo meio
poroso, existindo basicamente um nível de vazão
Os resultados para o problema de
velocidade terminal são verificados, neste
trabalho, através da comparação com os
resultados publicados por Mordant e Pinton
(2000). Este problema consiste na queda livre de
uma partícula esférica, com diâmetro d p e massa
específica  p , no interior de um domínio fluido,
com massa específica    997,561kg m -3 e
   103 kg m -1s -1 . As
viscosidade dinâmica
dimensões do domínio são grandes o suficiente
em relação a todos os diâmetros de partícula, de
tal forma que o movimento das partículas não é
influenciado por efeitos de parede.
O erro percentual em relação aos
resultados de referência E  %  é calculado de
acordo com a expressão:
E
 ref   p
100
 ref
(8)
sendo  ref o valor de referência de uma variável
qualquer na literatura e  p o valor desta mesma
variável, encontrado no presente estudo.
Na Tabela 1 é possível observar
resultados, em comparação com o trabalho de
Mordant e Pinton (2000), para a variação do
diâmetro
de
uma
partícula
de
vidro
(  p  2560 kg m -3 ). É possível notar um aumento
na velocidade terminal da partícula com o
aumento do diâmetro, devido a maior força
relativa ao peso da partícula.
Tabela 1 – Resultados para a variação do
diâmetro da partícula de vidro
d p  mm 
u p  ms -1 
E %
0,5
1,5
Mordant e
Pinton (2000)
0,074
0,218
Presente
0,076
0,215
3,378
1,287
A Tabela 2 mostra resultados para a
variação do diâmetro de uma partícula de aço
(  p  7710 kg m -3 ), em que também é possível
perceber o aumento da velocidade terminal
devido ao aumento do diâmetro da partícula.
Tabela 2 – Resultados para a variação do
diâmetro da partícula de aço
d p  mm 
u p  ms -1 
E %
1,0
3,0
6,0
Mordant e
Pinton (2000)
0,383
0,813
1,158
i.e., com menor diâmetro e massa específica, a
velocidade terminal é atingida em um intervalo
menor de tempo.
1.2
1
0.8
u p (ms-1 )
Pode-se perceber, ainda, que ao aumentar
a massa específica da fase discreta, existe um
acréscimo na magnitude das velocidades
terminais das partículas. Comparando a partícula
de vidro de d p  1,5 mm com a partícula de aço
de d p  1, 0 mm , é possível observar que mesmo
com um diâmetro menor, a partícula de aço
atinge uma velocidade terminal maior, devido à
sua maior massa específica.
rp
rp
rp
rp
rp
0.6
= 2560 kg m -3 ; d p
= 7710 kg m-3 ; d p
= 2560 kg m -3 ; d p
= 7710 kg m -3 ; d p
= 7710 kg m-3 ; d p
= 0,5 mm
= 1, 0 mm
= 1,5 mm
= 3, 0 mm
= 6, 0 mm
0.4
Presente
0,375
0,792
1,128
2,212
2,608
2,622
Outra etapa dos testes de velocidade
terminal constitui-se da comparação de curvas de
velocidade pelo tempo entre o modelo numérico
aqui apresentado e os dados fornecidos por
Mordant e Pinton (2000). Os testes incluem
variações de diâmetro e massa específica das
partículas.
Na Figura 6 é apresentado o gráfico da
comparação dos resultados obtidos através do
modelo proposto para o presente trabalho e os
resultados apresentados por Mordant e Pinton
(2000) para a velocidade de uma partícula em
queda livre, a partir de um instante de tempo igual
a zero. Neste caso a partícula possui d p  1, 0 mm
e  p  7710 kg m -3 , sendo que a partícula leva
aproximadamente 0, 2s para atingir a velocidade
terminal, da ordem de 0, 4 ms-1 .
u p (ms -1 )
Mordant e Pinton (2000)
Presente
t (s )
Figura 6 – Velocidade terminal para uma
partícula de d p  1, 0 mm e  p  7710 kg m -3 .
Um resumo dos resultados obtidos para a
velocidade terminal das partículas é apresentado
na Figura 7. Nesta figura pode é possível
perceber que para as partículas com menor peso,
0.2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
t (s )
Figura 7 – Síntese dos resultados de
velocidade terminal para diferentes diâmetros
e massa específica das partículas.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste
trabalho,
o
processo
de
preenchimento de uma fratura através do
escoamento particulado foi apresentado. Sua
abordagem matemática e modelagem numérica
foram discutidas, além de problemas preliminares
para o problema proposto.
Uma revisão a respeito de conceitos
teóricos e de trabalhos fundamentais foi
apresentada,
referentes
ao
escoamento
particulado e em meios porosos, identificando
problemas utilizados para a verificação do
modelo. O modelo adotado apresenta vantagens
numéricas em relação ao tempo computacional
das simulações, que é significativamente maior
em outros modelos mais completos, como a
simulação numérica direta, utilizados no
tratamento deste tipo de problema.
Os resultados de verificação para a
velocidade terminal de uma partícula se
apresentam próximos aos observados em outros
trabalhos encontrados na literatura, bem como a
evolução da velocidade da partícula em queda
livra ao longo do tempo, conferindo credibilidade
ao modelo proposto. Para o escoamento em um
canal parcialmente poroso, em que se verificam
as condições de interface entre o fluido e o meio
poroso, os resultados obtidos também de
mostram confiáveis, pois apresentam tendências
concordantes com as esperadas ao analisar a
influência dos parâmetros adimensionais nas
equações que modelam o escoamento.
Com esta modelagem se espera a
simulação do canal parcialmente poroso com a
injeção de partículas no escoamento, a fim de
investigar o preenchimento de uma fratura com a
fase sólida. Além disso, existe o interesse em
verificar
resultados
que
serão
obtidos
experimentalmente através de um aparato
localizado no laboratório do CERNN.
AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem ao apoio do
IRF/CENPES/PETROBRAS, ao programa PRHANP/MCT
(PRH10-UTFPR),
ao
Conselho
Nacional de Desenvolvimento Científico e
Tecnológico (CNPq) e à Fundação de Apoio à
Educação,
Pesquisa
e
Desenvolvimento
Científico e Tecnológico da UTFPR (FUNTEFPR).
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Trabalho
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