Descrição dos Objetos Galois Sobre uma Álgebra de Hopf

Transcrição

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ
EDSON MINORU SASSAKI
Descrição dos Objetos Galois sobre uma Álgebra de Hopf Associada a
um Conjunto de Dados de Grupo
CURITIBA
2014
EDSON MINORU SASSAKI
Descrição dos Objetos Galois sobre uma Álgebra de Hopf Associada a
um Conjunto de Dados de Grupo
Dissertação apresentada como requisito
parcial à obtenção do grau de Mestre em
Matemática, no Curso de Pós-Graduação
em Matemática, Setor de Ciências Exatas,
da Universidade Federal do Paraná.
Orientador: Prof. Dr. Marcelo Muniz Silva
Alves
CURITIBA
2014
RESUMO
Neste trabalho, apresentaremos uma forma de classificar todos os objetos Galois sobre uma
álgebra de Hopf associada a um conjunto de dados de grupo. Estas álgebras são introduzidas
por Chen, Huang, Ye e Zhang, em seu artigo ”Monomial Hopf Algebras”, no qual as relacionam com álgebras de Hopf monomiais não semi simples. A classificação foi proposta por
Julien Bichon, em seu artigo ”Galois and Bigalois Objects Over Monomial Non-Semisimple
Hopf Algebras”. Além disso, damos uma caracterização de objetos Galois sobre uma álgebra
de Hopf fielmente planos sobre K através de funtores monoidais exatos aditivos. Conceitos,
como estrutura de coálgebras, comódulos, funtores aditivos exatos, biálgebras e álgebras de
Hopf são apresentados para que o leitor acompanhe as demonstrações principais.
Palavras-chave: Extensão Galois, Objeto Galois, Álgebra de Hopf, Cohomologia de Grupos, Produto Cruzado
ABSTRACT
In this paper, we present a way to classify all Galois objects over a Hopf algebra associated
with a group datum. These algebras were introduced by Chen, Huang, Ye and Zhang, in their
article ”Monomial Hopf Algebras”, in which they relate them to monomial non-semisimple
Hopf algebras. The classification was proposed by Julien Bichon, in his article ”Galois and
Bigalois Objects Over Monomial Non-Semisimple Hopf Algebras”. Moreover, we give a characterization of faithfully K-flat Galois objects over a Hopf algebra by exact additive monoidal
functors. Concepts like coalgebras structure, comodules, exact additive functors, bialgebras
and Hopf algebras are introduced so the reader can understand the main proofs.
Key-words: Galois Extension, Galois Object, Hopf Algebra, Group cohomology, crossed
product
CONTEÚDO
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Coálgebras e Comódulos . . . . . . . . . .
1.2 Bicomódulos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Funtores Aditivos e Produto Tensorial . .
1.4 Produto Cotensorial . . . . . . . . . . . .
1.5 Biálgebras e Álgebras de Hopf . . . . . . .
1.6 Extensões Galois . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Extensões Galois sobre Álgebras de Hopf .
1.8 Produtos Cruzados . . . . . . . . . . . . .
1.9 Cohomologia de Grupos . . . . . . . . . .
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2. Descrição dos objetos A(G)-Galois . . . . . . . . . . . .
2.1 A álgebra de Hopf A(G) . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Os objetos A(G)-Galois Aσ,a,Ψ (G) . . . . . . . . .
2.3 Os objetos A(G)-Galois Aσ,a (G) . . . . . . . . . .
2.4 Caracterização dos objetos A(G)-Galois . . . . . .
2.5 Descrição dos objetos A(G)-Galois com G do tipo I
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44
48
58
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ao tipo V
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3. Descrição dos objetos A(G)-biGalois . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Os objetos A(G)-biGalois Auσ,a (G) . . . . . . . . . . . . . .
3.2 O grupo Γ(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Descrição dos objetos A(G)-biGalois com G do tipo I e II .
3.4 Os objetos A(G0 )-A(G)-biGalois . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Descrição dos objetos A(G)-biGalois com G do tipo III e IV
3.6 Descrição dos objetos A(G)-biGalois com G do tipo V e VI
Apêndice
8
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130
A. q-Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B. Álgebras e outros resultados gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
C. Lema do Diamante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
D. Categorias Monoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
INTRODUÇÃO
A menor álgebra de Hopf não comutativa e não cocomutativa foi apresentada por Sweedler
no final da década de 60. Esta álgebra tem dimensão 4 sobre um corpo de caracterı́stica
diferente de 2 e é não semi simples. Taft generaliza esta construção em seu artigo ”The Order
of the Antipode of Finite-dimensional Hopf Algebra”, [10], no qual apresenta uma famı́lia de
álgebras de Hopf com antı́poda de ordem 2d e dimensão dn+1 , onde n ≥ 1 e d > 1.
As álgebras de Hopf acima são monomiais não semi simples. Estas álgebras são classificadas por Chen, Huang, Ye e Zhang, em seu artigo ”Monomial Hopf Algebras”, [7], no
qual as descrevem como álgebras de Hopf associadas a um conjunto de dados de grupo. Um
conjunto de dados de grupo é formado por um grupo finito G, um elemento g central em
G, um morfismo de grupos χ : G → K∗ e uma constante µ ∈ K tal que se o(g) = o(χ(g)),
então µ = 0 e se µ 6= 0, então χo(χ(g)) = 1. Denotamos este conjunto por G = (G, g, χ, µ) e
podemos classificá-lo em 6 tipos diferentes, de modo que, se dois conjuntos de dados de grupo
não são do mesmo tipo, então não podem ser isomorfos. A álgebra de Hopf associada à G
será denotada por A(G) e seus elementos grouplike são correpondentes aos elementos de G.
Neste trabalho, apresentaremos uma forma de classificar todos os objetos Galois e biGalois
sobre uma álgebra de Hopf associada a um conjunto de dados de grupo.
Um objeto Galois (à direita) sobre uma álgebra de Hopf H é uma álgebra A que tem
estrutura de H-comódulo (à direita) ρ, onde a subálgebra dos coinvariantes Aco H é isomorfa
à K e a função:
κ : A ⊗ A −→ A ⊗ H
a ⊗ b 7−→ aρ(b)
é um isomorfismo de A-módulos à esquerda e de H-comódulos à direita. Um objeto biGalois
sobre uma álgebra de Hopf é uma álgebra que tem a estrutura acima à esquerda e à direita,
de forma compatı́vel.
A classificação dos objetos Galois e biGalois que utilizaremos foi proposta por Julien
Bichon, em seu artigo ”Galois and Bigalois Objects Over Monomial Non-Semisimple Hopf
Algebras”, [1], onde ele estabelece relações entre estes conjuntos e versões modificadas da
segunda cohomologia de grupos dos elementos grouplike.
No primeiro capı́tulo, conceitos, como estrutura de coálgebras, comódulos, funtores aditivos exatos, biálgebras e álgebras de Hopf são apresentados para que o leitor acompanhe as
demonstrações principais. A conexão entre teoria de Galois para corpos e teoria de Galois
sobre álgebras de Hopf é feita na seção 1.6, com base em ”Galois Structures”, [15], de Tomasz
Maszczyk. Nas seções 1.3 e 1.4, desenvolvemos as ferramentas necessárias para estudarmos
a estrutura de grupo do conjunto de objetos biGalois sobre uma álgebra de Hopf. que será
feita na seção 1.7. Em particular, apresentamos uma correpondência bijetora entre funtores
monoidais exatos que comutam com somas diretas arbitrárias HM → MK e objetos H-Galois
fielmente K-planos.
No segundo capı́tulo, apresentamos a álgebra A(G) e, para conjuntos de dados de grupo do
tipo I ao tipo V, apresentamos uma famı́lia de objetos A(G)-Galois que cobre todos os outros
objetos A(G)-Galois. Além disso, introduzimos uma equação que é necessária e suficiente
para que um objeto seja A(G)-Galois. Esta equação será utilizada na classificação dos objetos
Galois para cada tipo de conjunto de dados de grupo.
Conteúdo
9
No terceiro capı́tulo, apresentamos uma famı́lia de objetos A(G)-biGalois que cobre todos
os outros objetos A(G)-biGalois. Para os conjuntos de dados dos tipos I e II, a demonstração
é feita diretamente a partir desta famı́lia. Para os tipos III e IV, precisamos também estudar
objetos H-A(G)-biGalois, com H podendo ser diferente de A(G). Os tipos V e VI são feitos
a partir do caso III. Por fim, concluı́mos a descrição dos objetos A(G)-Galois utilizando o
seguinte resultado apresentado por Schauenburg em [2]: Se H1 e H2 são duas álgebras de
Hopf tais que existe um objeto H1 -H2 -biGalois, então temos uma bijeção entre os objetos
H1 -Galois e os objetos H2 -Galois. A caracterização dos objetos A(G)-Galois para G do tipo
VI é feita construindo um objeto A(G)-A(G0 )-biGalois com G0 do tipo III.
1. PRELIMINARES
1.1 Coálgebras e Comódulos
Nesta seção introduziremos os conceitos necessários para demonstrar o seguinte resultado e
algumas de suas consequências: Sejam A um C-comódulo álgebra e I um ideal de A que é um
C-subcomódulo de A. Então existe uma única estrutura de C-comódulo álgebra no quociente
A/I para o qual o morfismo projeção πI : A → A/I é morfismo de C-comódulo álgebras.
Quando não houver menção contrária, K será um anel comutativo.
Observação 1.1. Seja V um K-módulo. Chamaremos de V : V → V o isomorfismo identidade definido por V (x) = x.
Observação 1.2. Seja V um K-módulo. Chamaremos de τV : V → V ⊗ K o isomorfismo
canônico definido por τV (x) = x ⊗ 1.
Definição 1.3. Sejam C um K-módulo, ∆C : C → C ⊗C e εC : C → K morfismos K-lineares.
Dizemos que a tripla (C, ∆C , εC ) é uma coálgebra se os seguintes diagramas comutam:
∆C
C
∆C
/C ⊗C
∆C ⊗C
C ⊗C
C⊗∆C
/C ⊗C ⊗C
C
∼
=
∼
=
y
%
K ⊗ Ce
C9 ⊗ K
∆C
εC ⊗C
C⊗εC
C ⊗C
Quando não houver ambiguidade, diremos apenas que C é coálgebra.
Definição 1.4. Sejam C e D coálgebras e f : C → D um morfismo K-linear. Diremos que f
é um morfismo de coálgebras se os seguintes diagramas comutam:
f
C
∆C
/D
f ⊗f
C ⊗C
/D⊗D
f
C
εC
∆D
~
/D
εD
K
Notação de Sweedler: Se C é uma coálgebra, então para cada c ∈ C denotaremos:
X
∆C (c) =
c1 ⊗ c2
1. Preliminares
11
Como temos que (∆C ⊗ C) ◦ ∆C = (C ⊗ ∆C ) ◦ ∆C , podemos extender esta notação da
seguinte forma:
X
X
X
c1 ⊗ c2 ⊗ c3 :=
c1,1 ⊗ c1,2 ⊗ c2 =
c1 ⊗ c2,1 ⊗ c2,2
Esta notação será amplamente utilizada a partir da Seção 1.8.
Definição 1.5. Sejam C uma coálgebra, M um K-módulo e ρM : M → M ⊗ C um morfismo
K-linear. Diremos que o par (M, ρM ) é um C-comódulo à direita se os seguintes diagramas
comutam:
ρM
/M ⊗C
M
ρM
M ⊗C
M ⊗∆C
ρM
M
∼
=
ρM ⊗C
/M ⊗C ⊗C
#
/M ⊗C
y
M ⊗εC
M ⊗K
Quando não houver ambiguidade, diremos apenas que M é C-comódulo à direita.
Definição 1.6. Sejam C uma coálgebra, M um K-módulo e βM : M → C ⊗ M um morfismo
K-linear. Diremos que o par (M, βM ) é um C-comódulo à esquerda se os seguintes diagramas
comutam:
βM
/C ⊗M
M
βM
∆C ⊗M
C ⊗M
βM
M
∼
=
#
C⊗βM
/C ⊗C ⊗M
y
/C ⊗M
εC ⊗M
K⊗M
Quando não houver ambiguidade, diremos apenas que M é C-comódulo à esquerda.
Notação de Sweedler:
• Se (M, ρM ) é um C-comódulo à direita, então para cada m ∈ M denotaremos:
X
ρM (m) =
m(0) ⊗ m(1)
Como temos que (ρM ⊗ C) ◦ ρM = (M ⊗ ∆C ) ◦ ρM , podemos extender esta notação da
seguinte forma:
X
X
X
m(0) ⊗ m(1) ⊗ m(2) :=
m(0),(0) ⊗ m(0),(1) ⊗ m(1) =
m(0) ⊗ m(1),1 ⊗ m(1),2
• Se (M, βM ) é um C-comódulo à esquerda, então para cada m ∈ M denotaremos:
X
βM (m) =
m(−1) ⊗ m(0)
Como temos que (C ⊗ βM ) ◦ βM = (∆C ⊗ βM ) ◦ βM , podemos extender esta notação da
seguinte forma:
X
X
X
m(−2) ⊗ m(−1) ⊗ m(0) =
m(−1) ⊗ m(0),(−1) ⊗ m(0),(0) =
m(−1),1 ⊗ m(−1),2 ⊗ m(0)
1. Preliminares
12
Esta notação será utilizada na Seção 1.5.
Os próximos resultados serão feitos para C-comódulos à direita, mas possuem resultados análogos para C-comódulos à esquerda. Ocultaremos o termo ”à direita”, pois não há
ambiguidade.
Definição 1.7. Sejam (M, ρM ) e (N, ρN ) dois C-comódulos, e f : M → N um morfismo
K-linear. Diremos que f é morfismo de C-comódulos se o seguinte diagrama comuta:
f
M
ρM
f ⊗C
M ⊗C
/N
ρN
/N ⊗C
Definição 1.8. Seja (A, ρA ) um C-comódulo tal que A é uma álgebra. Diremos que A é um
C-comódulo álgebra se ρA é morfismo de álgebras. Neste caso, chamaremos ρA de uma coação
de C sobre A.
Definição 1.9. Sejam A e B dois C-comódulo álgebras. Diremos que um morfismo f : A →
B é um morfismo de C-comódulo álgebras se f é morfismo de álgebras e morfismo de Ccomódulos.
Teorema 1.10. Sejam M um C-comódulo e L a álgebra tensorial sobre M . Então existe
uma única estrutura de C-comódulo tal que L é C-comódulo álgebra e o morfismo inclusão
ι : M → L é morfismo de C-comódulos.
Demonstração. Pela definição de álgebra tensorial, existe um único morfismo de álgebras ρL
tal que o seguinte diagrama comuta:
6L
ι
M
(ι⊗C)◦ρM
ρL
/L⊗C
Note que, se M e L são C-comódulos, então ι é morfismo de C-comódulos pela comutatividade do diagrama acima.
Vejamos que de fato ρL é uma coação de C sobre L:
(ρL ⊗ C) ◦ ρL ◦ ι = (ρL ⊗ C) ◦ (ι ⊗ C) ◦ ρM
= (ρL ◦ ι) ⊗ C ◦ ρM
= (ι ⊗ C) ◦ ρM ⊗ C ◦ ρM
= (ι ⊗ C ⊗ C) ◦ (ρM ⊗ C) ◦ ρM
= (ι ⊗ C ⊗ C) ◦ (M ⊗ ∆C ) ◦ ρM
= (ι ⊗ ∆C ) ◦ ρM
= (L ⊗ ∆C ) ◦ (ι ⊗ C) ◦ ρM
= (L ⊗ ∆C ) ◦ ρL ◦ ι
Logo, (ρL ⊗ C) ◦ ρL e (L ⊗ ∆C ) ◦ ρL fazem o seguinte diagrama comutar:
5L
ι
M
(ι⊗∆C )◦ρM
/L⊗C ⊗C
Pela definição de álgebra tensorial, temos que (ρL ⊗ C) ◦ ρL = (L ⊗ ∆C ) ◦ ρL .
1. Preliminares
13
Do mesmo modo, temos:
(L ⊗ εC ) ◦ ρL ◦ ι = (L ⊗ εC ) ◦ (ι ⊗ C) ◦ ρM
= (ι ⊗ εC ) ◦ ρM
= (ι ⊗ K) ◦ (M ⊗ εC ) ◦ ρM
= (ι ⊗ K) ◦ τM
= τL ◦ ι
Logo, (L ⊗ εC ) ◦ ρL e τL fazem o seguinte diagrama comutar:
6L
ι
M
(ι⊗K)◦τM
/L⊗K
Pela definição de álgebra tensorial, temos que (L ⊗ εC ) ◦ ρL = τL .
Portanto L é C-comódulo álgebra e ι é morfismo de C-comódulos.
Corolário 1.11. Sejam M um C-comódulo, A um C-comódulo álgebra, L a álgebra tensorial
sobre M e f : M → A um morfismo de C-comódulos. Então existe um único morfismo de
C-comódulo álgebras f 0 : L → A tal que o seguinte diagrama comuta:
7L
ι
f0
M
f
/A
Demonstração. Pela definição de álgebra tensorial, existe um único morfismo de álgebras f 0
que faz o seguinte diagrama comutar:
7L
ι
M
f
f0
/A
Seja ρL a coação de C sobre L dada pelo Teorema 1.10.
Temos que:
ρA ◦ f 0 ◦ ι = ρA ◦ f
= (f ⊗ C) ◦ ρM
= (g ◦ ι) ⊗ C ◦ ρM
= (f 0 ⊗ C) ◦ (ι ⊗ C) ◦ ρM
= (f 0 ⊗ C) ◦ ρL ◦ ι
Logo, ρA ◦ f 0 e (f 0 ⊗ C) ◦ ρL fazem o seguinte diagrama comutar:
6L
ι
M
((f ⊗C)◦ρM
/A⊗C
Pela definição de álgebra tensorial, temos que ρA ◦ f 0 = (f 0 ⊗ C) ◦ ρL e portanto f 0 é
morfismo de C-comódulo álgebras.
Definição 1.12. Sejam M um C-comódulo e N um K-submódulo de M . Diremos que N é
um C-subcomódulo de M se ρM (N ) ⊂ N ⊗ C.
1. Preliminares
14
Neste caso, (N, ρN ) é C-comódulo, onde ρN : N → N ⊗ C é a restrição de ρM à N e
N ⊗ C. Além disso, o morfismo inclusão ιN : N → M , ιN (n) = n, ∀n ∈ N é morfismo de
C-comódulos.
Proposição 1.13. Sejam M um C-comódulo e N um C-subcomódulo de M . Então existe
uma única estrutura de C-comódulo no quociente M/N para o qual o morfismo projeção
πN : M → M/N é morfismo de C-comódulos.
Demonstração. Como (πN ⊗ C) ◦ ρM (N ) ⊂ (πN ⊗ C) (N ⊗ C) = πN (N ) ⊗ C = 0, pela
propriedade universal de quociente de espaços, existe um único morfismo de K-módulos
ρ̄M : M/N → M/N ⊗ C tal que o seguinte diagrama comuta:
(πN ⊗C)◦ρM
M
πN
/ M/N ⊗ C
9
ρ̄M
"
M/N
Note que, se M e M/N são C-comódulos, então πN é morfismo de C-comódulos pela
comutatividade do diagrama acima, pois o mesmo pode ser reescrito da seguinte forma:
πN
/ M/N
M
ρM
πN ⊗C
M ⊗C
ρ̄M
/ M/N ⊗ C
Temos que:
(ρ̄M ⊗ C) ◦ ρ̄M ◦ πN = (ρ̄M ⊗ C) ◦ (πN ⊗ C) ◦ ρM
= ((ρ̄M ◦ πN ) ⊗ C) ◦ ρM
= (((πN ⊗ C) ◦ ρM ) ⊗ C) ◦ ρM
= (πN ⊗ C ⊗ C) ◦ (ρM ⊗ C) ◦ ρM
= (πN ⊗ C ⊗ C) ◦ (M ⊗ ∆C ) ◦ ρM
= (πN ⊗ ∆C ) ◦ ρM
= (M/N ⊗ ∆C ) ◦ (πN ⊗ C) ◦ ρM
= (M/N ⊗ ∆C ) ◦ ρ̄M ◦ πN
e
(M/N ⊗ εC ) ◦ ρ̄M ◦ πN = (M/N ⊗ εC ) ◦ (πN ⊗ C) ◦ ρM
= (πN ⊗ εC ) ◦ ρM
= (πN ⊗ K) ◦ (M ⊗ εC ) ◦ ρM
= (πN ⊗ K) ◦ τM
= τM/N ◦ πN
Como πN é epimorfismo, temos que:
(ρ̄M ⊗ C) ◦ ρ̄M = (M/N ⊗ ∆C ) ◦ ρ̄M
e
(M/N ⊗ εC ) ◦ ρ̄M = τM/N
Portanto (M/N, ρ̄M ) é C-comódulo e πN é morfismo de C-comódulos.
A unicidade segue da propriedade universal do quociente de espaços.
1. Preliminares
15
Apresentamos agora o resultado principal desta seção.
Corolário 1.14. Sejam A um C-comódulo álgebra e I um ideal de A que é um C-subcomódulo
de A. Então existe uma única estrutura de C-comódulo álgebra no quociente A/I para o qual
o morfismo projeção πI : A → A/I é morfismo de C-comódulo álgebras.
Demonstração. Pela Proposição 1.13, temos que existe um único morfismo ρ̄I : A/I → A/I ⊗C
que faz A/I ser C-comódulo com πI : A → A/I morfismo de C-comódulos.
Como I é C-subcomódulo de A, temos que ρA (I) ⊂ I ⊗ C, o que implica que:
(πI ⊗ C) ◦ ρA (I) ⊂ (πI ⊗ C)(I ⊗ C) = 0
Logo, I ⊂ ker (πI ⊗ C) ◦ ρA .
Pela Proposição B.7, temos que existe um único morfismo de álgebras f : A/I → A/I ⊗ C
tal que o seguinte diagrama comuta:
(πI ⊗C)◦ρA
A
πI
/ A/I ⊗ C
:
f
A/I
Pela unicidade do morfismo que satisfaz o diagrama para K-módulos, temos que ρ̄A = f e
A/I é C-comódulo álgebra com πI morfismo de C-comódulo álgebras.
Corolário 1.15. Sejam A e B dois C-comódulo álgebras. Se I é um ideal de A que também
é um C-subcomódulo e f : A → B é um morfismo de C-comódulo álgebras com I ⊂ ker f ,
então existe um único morfismo de C-comódulo álgebras g : A/I → B tal que f = g ◦ πI .
Demonstração. Pela Proposição B.7, existe um único morfismo de álgebras g : A/I → B tal
que f = g ◦ πI . Precisamos apenas verificar que g é morfismo de C-comódulos. Tome a
estrutura de C-comódulo de A/I dada pela Proposição 1.13.
Temos que:
ρB ◦ g ◦ πI = ρB ◦ f
= (f ⊗ C) ◦ ρA
= (g ◦ πI ) ⊗ C ◦ ρA
= (g ⊗ C) ◦ (πI ⊗ C) ◦ ρA
= (g ⊗ C) ◦ ρA/I ◦ πI
Como πI é sobrejetor, temos que ρB ◦ g = (g ⊗ C) ◦ ρA/I e portanto g é morfismo de
C-comódulo álgebras.
1.2 Bicomódulos
Definição 1.16. Seja M um C-comódulo à direita com estrutura ρ que também é D-comódulo
à esquerda com estrutura β. Dizemos que M é um D-C-bicomódulo se o seguinte diagrama
comuta:
ρ
/M ⊗C
M
β
D⊗M
D⊗ρ
β⊗C
/D⊗M ⊗C
1. Preliminares
16
Definição 1.17. Sejam M e N dois D-C-bicomódulos. Dizemos que um morfismo f : M → N
é morfismo de D-C-bicomódulos se f é morfismo de D-comódulos à esquerda e C-comódulos
à direita.
Nesta seção apresentaremos alguns resultados sobre álgebras tensoriais e quocientes que
serão utilizados no Capı́tulo 3, análogos aos resultados de comódulo álgebras da seção anterior.
Proposição 1.18. Sejam M um D-C-bicomódulo e L a álgebra tensorial sobre M . Então
existe uma única estrutura de D-C-bicomódulo para L tal que L é D-C-bicomódulo álgebra e
o morfismo inclusão ι : M → L é morfismo de D-C-bicomódulos.
Demonstração. Sejam β e ρ as estruturas de D-comódulo à esquerda e C-comódulo à direita
de M , respectivamente.
Pelo Teorema 1.10, temos que L possui uma única estrutura ρ0 de C-comódulo álgebra
à direita tal que ι é morfismo de C-comódulos à direita. Pelo resultado análogo à esquerda,
temos que L possui uma única estrutura β 0 de D-comódulo álgebra à esquerda tal que ι é
morfismo de D-comódulos à esquerda.
Temos que os seguintes diagramas comutam:
7L
7L
ι
M
(D⊗ι)◦β
ι
β0
/D⊗L
M
(ι⊗C)◦ρ
ρ0
/L⊗C
Como M é D-C-bicomódulo, temos que (D ⊗ ρ) ◦ β = (β ⊗ C) ◦ ρ : M → D ⊗ M ⊗ C.
Temos:
(D ⊗ ρ0 ) ◦ β 0 ◦ ι = (D ⊗ ρ0 ) ◦ (D ⊗ ι) ◦ β
= (D ⊗ (ρ0 ◦ ι)) ◦ β
= (D ⊗ ((ι ⊗ C) ◦ ρ)) ◦ β
= (D ⊗ ι ⊗ C) ◦ (D ⊗ ρ) ◦ β
= (D ⊗ ι ⊗ C) ◦ (β ⊗ C) ◦ ρ
= (((D ⊗ ι) ◦ β) ⊗ C) ◦ ρ
= ((β 0 ◦ ι) ⊗ C) ◦ ρ
= (β 0 ⊗ C) ◦ (ι ⊗ C) ◦ ρ
= (β 0 ⊗ C) ◦ ρ0 ◦ ι
Logo, denotando por f a composição (D ⊗ ι ⊗ C) ◦ (D ⊗ ρ) ◦ β = (D ⊗ ι ⊗ C) ◦ (β ⊗ C) ◦ ρ,
os morfismos (D ⊗ ρ0 ) ◦ β 0 e (β 0 ⊗ C) ◦ ρ0 fazem o seguinte diagrama comutar:
6L
ι
M
/D⊗L⊗C
f
Pela definição de álgebra tensorial, temos que (D ⊗ ρ0 ) ◦ β 0 = (β 0 ⊗ C) ◦ ρ0 e L é D-Cbicomódulo álgebra.
Proposição 1.19. Sejam M um D-C-bicomódulo, A um D-C-bicomódulo álgebra, L a álgebra
tensorial sobre M e f : M → A um morfismo de D-C-bicomódulos. Então existe um único
morfismo de D-C-bicomódulo álgebras f 0 : L → A tal que o seguinte diagrama comuta:
7L
ι
M
f
f0
/A
1. Preliminares
17
Demonstração. Pelo Corolário 1.11, existe um único morfismo de C-comódulo álgebras à
direita f1 : L → A que satisfaz o diagrama. Pelo resultado análogo à esquerda, existe um único
morfismo de D-comódulo álgebras à esquerda f2 : L → A que satisfaz o mesmo diagrama. Pela
definição de álgebra tensorial, o morfismo que satisfaz o diagrama é único, o que implica que
f1 = f2 , que denotaremos por f 0 , que é um morfismo de D-C-bicomódulo álgebras.
Proposição 1.20. Sejam A um D-C-bicomódulo álgebra e I um ideal de A que também
é um D-subcomódulo à esquerda e C-subcomódulo à direita de A. Então existe uma única
estrutura de D-C-bicomódulo álgebra no espaço quociente A/I para o qual o morfismo projeção
πI : A → A/I é morfismo de D-C-bicomódulo álgebras.
Demonstração. Sejam β e ρ as estruturas de D-comódulo à esquerda e C-comódulo à direita
de A, respectivamente.
Pelo Corolário 1.14, existe uma única estrutura ρ0 de C-comódulo álgebra no espaço quociente A/I tal que a projeção é morfismo de C-comódulo álgebra à direita. Pelo resultado
análogo à esquerda, existe uma única estrutura β 0 de D-comódulo álgebra no espaço quociente
A/I tal que a projeção é morfismo de D-comódulo álgebras à esquerda.
Como A é D-C-bicomódulo, temos que (D ⊗ ρ) ◦ β = (β ⊗ C) ◦ ρ : A → D ⊗ A ⊗ C. Temos:
(D ⊗ ρ0 ) ◦ β 0 ◦ πI = (D ⊗ ρ0 ) ◦ (D ⊗ πI ) ◦ β
= (D ⊗ (ρ0 ◦ πI )) ◦ β
= (D ⊗ ((πI ⊗ C) ◦ ρ)) ◦ β
= (D ⊗ πI ⊗ C) ◦ (D ⊗ ρ) ◦ β
= (D ⊗ πI ⊗ C) ◦ (β ⊗ C) ◦ ρ
= (((D ⊗ πI ) ◦ β) ⊗ C) ◦ ρ
= ((β 0 ◦ πI ) ⊗ C) ◦ ρ
= (β 0 ⊗ C) ◦ (πI ⊗ C) ◦ ρ
= (β 0 ⊗ C) ◦ ρ0 ◦ πI
Logo, denotando por f a composição (D ⊗ πI ⊗ C) ◦ (D ⊗ ρ) ◦ β = (D ⊗ πI ⊗ C) ◦ (β ⊗ C) ◦ ρ,
os morfismos (D ⊗ ρ0 ) ◦ β 0 e (β 0 ⊗ C) ◦ ρ0 fazem o seguinte diagrama comutar:
f
A
/ D ⊗ A/I ⊗ C
8
πI
A/I
Pela unicidade do morfismo que satisfaz o diagrama para K-módulos, temos que:
(D ⊗ ρ0 ) ◦ β 0 = (β 0 ⊗ C) ◦ ρ0
e A/I é D-C-bicomódulo álgebra com πI morfismo de D-C-bicomódulo álgebras.
Corolário 1.21. Sejam A e B dois D-C-bicomódulo álgebras, I um ideal de A que também
é um D-subcomódulo à esquerda e C-subcomódulo à direita de A e f : A → B morfismo de
D-C-bicomódulo álgebras com I ⊂ ker f . Então existe um único morfismo de D-C-bicomódulo
álgebras g : A/I → B tal que f = g ◦ πI .
Demonstração. Pelo Corolário 1.15, existe um único morfismo de C-comódulo álgebras à
direita f1 : A/I → B tal que f = f1 ◦ πI . Pelo resultado análogo à esquerda, existe um único
morfismo de D-comódulo álgebras à esquerda f2 : A/I → B tal que f = f2 ◦ πI . Logo os
morfismos f1 e f2 fazem o seguinte diagrama comutar:
1. Preliminares
f
A
πI
18
/B
=
!
A/I
Pela unicidade do morfismo que satisfaz o diagrama para K-módulos, temos que f1 = f2 .
Denotaremos este morfismo por g, que é um morfismo de D-C-bicomódulo álgebras.
1.3 Funtores Aditivos e Produto Tensorial
Nesta seção apresentaremos os conceitos necessários para a demonstração do seguinte resultado: Seja C uma coálgebra. Denotando por CM a categoria dos C-comódulos à esquerda e
por MK a categoria dos K-módulos à direita, se F : CM → MK é um funtor exato aditivo
que comuta com somas diretas arbitrárias, então para cada (M, ρ) ∈ CM e V ∈ MK , existe
um isomorfismo F(M ⊗ V ) ∼
= F(M ) ⊗ V , onde (M ⊗ V, ρ0 ) ∈ CM com ρ0 (m ⊗ v) = ρ(m) ⊗ v,
tal que:
1) é coerente, ou seja, se W é outro K-módulo à direita, então o seguinte diagrama comuta:
∼
=
F(M ⊗ V ⊗ W )
∼
=
/ F(M ⊗ V ) ⊗ W
'
w
∼
=
F(M ) ⊗ V ⊗ W
2) é natural em M , ou seja, se N é outro C-comódulo à esquerda e f : M → N é um
morfismo de C-comódulos à esquerda, então o seguinte diagrama comuta:
F(M ⊗ V )
F (f ⊗V )
F(N ⊗ V )
∼
=
∼
=
/ F(M ) ⊗ V
F (f )⊗V
/ F(N ) ⊗ V
3) é natural em V , ou seja, se W é outro K-módulo à direita e f : V → W é um morfismo
de K-módulos à direita, então o seguinte diagrama comuta:
F(M ⊗ V )
F (M ⊗f )
F(M ⊗ W )
∼
=
∼
=
/ F(M ) ⊗ V
F (M )⊗f
/ F(M ) ⊗ W
Observação 1.22. Seja (Mi )i∈I uma coleção em MK . Denotaremos os elementos de ⊕ Mt
t∈I
por (mt )t∈I , onde mt ∈ Mt , ∀t ∈ I, com mt = 0 a menos de um número finito de ı́ndices.
Para cada i ∈ I, denotaremos por ιi o morfismo inclusão:
ιi : Mi −→ ⊕ Mt
t∈I
m 7−→ (δt,i m)t∈I
onde δt,i é o Delta de Kronecker e denotaremos por πi o morfismo projeção:
πi : ⊕ Mt −→ Mi
t∈I
(mt )t∈I 7−→ mi
1. Preliminares
19
Observação 1.23. Se F : MK → MK é um funtor, para cada i ∈ I, denotaremos por ι0i o
morfismo inclusão:
ι0i : F(Mi ) −→ ⊕ F(Mt )
t∈I
x 7−→ (δt,i x)t∈I
e por πi0 o morfismo projeção:
πi0 : ⊕ F(Mt ) −→ F(Mi )
t∈I
(xt )t∈I 7−→ xi
Definição 1.24. Seja F : MK → MK um funtor. Dizemos que o funtor F comuta com
somas diretas se, para qualquer coleção (Mi )i∈I em MK , existe um único isomorfismo:
φI : ⊕ F(Mt ) → F ⊕ Mt
t∈I
t∈I
que faz o seguinte diagrama comutar, para todo i ∈ I:
⊕ F(Mt )
9 t∈I
ι0i
F(Mi )
φI
$ F (ιi )
F ⊕ Mt
t∈I
Proposição 1.25. Sejam F : MK → MK um
funtor
que comuta com somas diretas e (Vi )i∈I
uma coleção em MK . Se φI : ⊕ F(Vt ) → F ⊕ Vt é o isomorfismo dado pela Definição 1.24,
t∈I
t∈I
então para cada j ∈ I o seguinte diagrama comuta:
⊕ F(Vt )
t∈I
πj0
$
F(Vj )
φI
:
F ⊕ Vt
F (πj )
t∈I
Demonstração. Queremos que F(πj ) ◦ φI = πj0 , ∀j ∈ I.
Para cada i, j ∈ I, temos:
• se i 6= j, então:
πj0 ◦ ι0i = 0
= F(πj ◦ ιi )
= F(πj ) ◦ F(ιi )
• se i = j, então:
πi0 ◦ ι0i = F(Vi )
= F(πi ◦ ιi )
= F(πi ) ◦ F(ιi )
1. Preliminares
20
Então, para todo i, j ∈ I, temos:
F(πj ) ◦ φI ◦ ιi = F(πj ) ◦ F(ιi )
= πj0 ◦ ι0i
Para cada j ∈ I, tomando fi = F(πj ) ◦ F(ιi ), temos que F(πj ) ◦ φI e πj0 satisfazem o
seguinte diagrama comutativo para todo i ∈ I:
⊕ F(Vt )
ι0i
: t∈I
fi
%
F(Vi )
F(Vj )
Pela definição de soma direta, o morfismo que satisfaz este diagrama é único. Portanto
F(πj ) ◦ φI = πj0 , ∀j ∈ I.
Observação 1.26. Seja (V, β) ∈ CM e I um conjunto não-vazio. Denotaremos por V (I) a
soma direta ⊕ Vi com Vi = V , ∀i ∈ I.
i∈I
Então (V (I) , β(I) ) é C-comódulo com estrutura dada pela composição:
V (I)
β (I)
/ (C ⊗ V )(I)
∼
=
/ C ⊗ (V (I) )
ou seja:
β(I) ((vt )t∈I ) =
X
vt,(−1) ⊗ (vt,(0) )t∈I
Observação 1.27. Seja V ∈ MK . Se (aj,i )i∈I,j∈J é uma matriz, chamamos de (aJ,I ) o
morfismo:
(aJ,I ) : V (I) −→ V (J)
X
(vt )t∈I 7−→
aj,i vi
i∈I
j∈J
Claramente se V ∈ CM, então (aJ,I ) é morfismo de C-comódulos.
Observação 1.28. Seja V ∈ MK . Chamaremos de ϕI o isomorfismo:
ϕI : V ⊗ K(I) −→ V (I)
v ⊗ (λt )t∈I 7−→ (λt v)t∈I
Claramente se V ∈ CM, então ϕI é isomorfismo de C-comódulos.
Lema 1.29. Sejam V ∈ MK e W ∈ CM. Dada uma resolução projetiva de V :
(a
)
J,I
/ K(J) q / V
/0
K(I)
0
(J)
existe um morfismo q : W
→ W ⊗ V de C-comódulos à esquerda tal que a seguinte
sequência é exata:
q0
(aJ,I )
/ W (J)
/W ⊗V
/0
W (I)
C
Além disso, se Z ∈ M e f : W → Z é um morfismo de C-comódulos, o seguinte diagrama
comuta:
W (I)
f (I)
Z (I)
(aJ,I )
(aJ,I )
/ W (J)
q0
f (J)
/ Z (J)
q 00
/W ⊗V
/0
f ⊗V
/Z ⊗V
/0
1. Preliminares
21
Demonstração. Como o funtor (W ⊗ ) é exato à direita, temos a seguinte sequência exata:
W ⊗(a
)
J,I
/0
/ W ⊗ K(J) W ⊗q / W ⊗ V
W ⊗ K(I)
−1
−1
0
0
Tome p = ϕJ ◦(W ⊗(aJ,I ))◦ϕI e q = (W ⊗q)◦ϕJ . Então o seguinte diagrama comuta:
W ⊗ K(I)
ϕI
W ⊗(aJ,I )
W ⊗q
/ W ⊗ K(J)
p0
/W ⊗V
/0
ϕJ
q0
/ W (J)
/W ⊗V
/0
W (I)
Note que, para cada i ∈ I, temos:
p0 (δt,i w)t∈I = ϕJ ◦ (W ⊗ (aJ,I )) ◦ ϕ−1
(δt,i w)t∈I
I
= ϕJ ◦ (W ⊗ (aJ,I ))(w ⊗ (δt,i )t∈I )
X
= ϕJ w ⊗
aj,i δt,i j∈J
t∈I
=
X
aj,i δt,i w
j∈J
t∈I
Portanto p0 = (aJ,I ) e a seguinte sequência é exata:
q0
(aJ,I )
/W ⊗V
/0
/ W (J)
W (I)
0
0
Além disso, p e q são morfismos de C-comódulos, pois (aJ,I ), (W ⊗q) e ϕ−1
J são morfismos
de C-comódulos.
Seja Z ∈ CM e f : W → Z um morfismo. O seguinte diagrama comuta:
W (I)
f (I)
Z (I)
pois, se (wt )t∈I ∈
W (I) ,
(aJ,I )
/ W (J)
(aJ,I )
f (J)
/ Z (J)
então:
X
f (J) ◦ (aJ,I ) (wt )t∈I = f (J)
aj,i wi
i∈I
= f
X
aj,i wi
=
j∈J
j∈J
i∈I
X
aj,i f (wi )
i∈I
j∈J
= (aJ,I ) (f (wt ))t∈I
= (aJ,I ) ◦ f (I) (wt )t∈I
Além disso, tomando q 00 = (Z ⊗ q) ◦ ϕ−1
J , temos que:
(f ⊗ V ) ◦ q 0 = (f ⊗ V ) ◦ (W ⊗ q) ◦ ϕ−1
J
= (f ⊗ q) ◦ ϕ−1
J
= (Z ⊗ q) ◦ (f ⊗ K(J) ) ◦ ϕ−1
J
(J)
= (Z ⊗ q) ◦ ϕ−1
) ◦ ϕ−1
J ◦ ϕJ ◦ (f ⊗ K
J
= q 00 ◦ f (J)
Portanto o seguinte diagrama comuta:
1. Preliminares
W (I)
f (I)
Z (I)
(aJ,I )
(aJ,I )
q0
/ W (J)
22
/W ⊗V
f (J)
q 00
/ Z (J)
/0
f ⊗V
/Z ⊗V
/0
Lema 1.30. Sejam V, W, Z ∈ MK e f : V → W um morfismo. Dadas resoluções projetivas
de V e W :
K(I)
(cK,I )
(aJ,I )
q1
/ K(J)
(bL,K )
/V
(dL,J )
q2
/0
f
/ K(L)
/W
/0
K(K)
(I)
(K)
(J)
onde os morfismos (cK,I ) : K → K
e (dL,J ) : K → K(L) são dados pelo teorema da
comparação para resoluções projetivas, temos que o seguinte diagrama comuta:
Z (I)
(cK,I )
Z (K)
(aJ,I )
/ Z (J)
q10
/Z ⊗V
(dL,J )
(bL,K )
/ Z (L)
q20
/0
Z⊗f
/Z ⊗W
/0
Demonstração. Pelo Lema 1.29, as linhas são exatas. O diagrama:
(aJ,I )
Z (I)
(cK,I )
/ Z (J)
(bL,K )
(dL,J )
/ Z (L)
Z (K)
claramente comuta, pois os morfismos são análogos aos do teorema da comparação para
resoluções projetivas.
Além disso, temos que:
(Z ⊗ f ) ◦ q10 = (Z ⊗ f ) ◦ (Z ⊗ q1 ) ◦ ϕ−1
J
= Z ⊗ (f ◦ q1 ) ◦ ϕ−1
J
= Z ⊗ (q2 ◦ (dL,J )) ◦ ϕ−1
J
= (Z ⊗ q2 ) ◦ (Z ⊗ (dL,J )) ◦ ϕ−1
J
−1
= (Z ⊗ q2 ) ◦ ϕ−1
L ◦ ϕL ◦ (Z ⊗ (dL,J )) ◦ ϕJ
= q20 ◦ (dL,J )
Z (I)
(cK,I )
Z (K)
(aJ,I )
/ Z (J)
(bL,K )
q10
(dL,J )
/ Z (L)
q20
/Z ⊗V
/0
Z⊗f
/Z ⊗W
/0
Lema 1.31. Sejam V ∈ MK , F : MK → MK um funtor que comuta com somas diretas e
(aj,i )i∈I,j∈J uma matriz. Então o seguinte diagrama comuta:
F(V )(I)
φI
(aJ,I )
/ F(V )(J)
φJ
F ((aJ,I ))
/ F V (J)
F V (I)
1. Preliminares
23
Demonstração. Como F comuta com somas diretas, o seguinte diagrama comuta:
F(V )(I)
:
ι0i
F(V )
φI
$
F V (I)
Pela Proposição 1.25, para cada j ∈ J, o seguinte diagrama comuta:
F(V )(J)
F (ιi )
πj0
$
F(V )
φJ
:
F V (J)
F (πj )
Assim temos:
0
F(πj ◦ (aJ,I ) ◦ ιi ) = F(πj ) ◦ F((aJ,I )) ◦ F(ιi ) = πj0 ◦ φ−1
J ◦ F((aJ,I )) ◦ φI ◦ ιi
Além disso, para cada i ∈ I e j ∈ J fixados, temos:
• dado v ∈ V :
πj ◦ (aJ,I ) ◦ ιi (v) = πj ◦ (aJ,I ) (δt,i v)t∈I
X
= πj
ar,k δk,i v
r∈J
k∈I
= πj (ar,i v)r∈J
= aj,i v
= aj,i V (v)
• dado x ∈ F(V ):
πj0 ◦ (aJ,I ) ◦ ι0i (x) = πj0 ◦ (aJ,I ) (δt,i x)t∈I
X
= πj0
ar,k δk,i x
r∈J
k∈I
= πj0 (ar,i x)r∈J
= aj,i x
= aj,i F(V )(x)
Logo, temos:
F(πj ◦ (aJ,I ) ◦ ιi )(x) = F(aj,i V )(x)
= aj,i F(V )(x)
= aj,i x
= πj0 ◦ (aJ,I ) ◦ ι0i (x)
e o seguinte diagrama comuta, ∀i ∈ I, j ∈ J:
1. Preliminares
(aJ,I )
F(V )(I)
/ F(V )(J)
8
ι0i
24
πj0
&
F(V )
8
&
F (ιi )
F V
Assim, os morfismos
πj0 ◦(aJ,I )
(I)
F ((aJ,I ))
F(V )
F (πj )
/ F V (J)
e πj0 ◦φ−1
J ◦F((aJ,I ))◦φI fazem o seguinte diagrama comutar:
F(V )(I)
:
ι0i
F(V )
$
F (πj ◦(aJ,I )◦ιi )
F(V )
Pela definição de soma direta, existe um único morfismo que faz o diagrama comutar.
Portanto πj0 ◦ (aJ,I ) = πj0 ◦ φ−1
J ◦ F((aJ,I )) ◦ φI , ∀j ∈ J.
P
0
Como j∈J πj ◦ f = f , ∀f : F(V )(I) → F(V )(J) , temos que:
(aJ,I ) = φ−1
J ◦ F((aJ,I )) ◦ φI
e portanto o seguinte diagrama comuta:
F(V )(I)
φI
F V (I)
(aJ,I )
/ F(V )(J)
φJ
F ((aJ,I ))
/ F V (J)
Lema 1.32. Sejam V, W ∈ MK , F : MK → MK um funtor que comuta com somas diretas
e f : V → W um morfismo de K-módulos. Então o seguinte diagrama comuta, para toda
coleção I:
F(V )(I)
φI
F V
F (f )(I)
/ F(W )(I)
(I)
(I) F (f )
φI
/ F W (I)
Demonstração. Como F comuta com somas diretas, o seguinte diagrama comuta:
F(V )(I)
ι0i
F(V )
:
φI
$
F V (I)
Pela Proposição 1.25, para cada j ∈ I, o seguinte diagrama comuta:
F (ιi )
1. Preliminares
25
F(W )(I)
πj0
%
F(W )
φI
9
F (πj )
W (I)
F
Assim temos:
(I)
F(πj ◦ f (I) ◦ ιi ) = πj0 ◦ φ−1
) ◦ φI ◦ ι0i
I ◦ F(f
Além disso, para cada i, j ∈ I fixados, temos:
• se i 6= j, então:
πj0 ◦ F(f )(I) ◦ ι0i = 0
= F(πj ◦ f (I) ◦ ιi )
• se i = j, então:
πi0 ◦ F(f )(I) ◦ ι0i = F(f )
= F(πi ◦ f (I) ◦ ιi )
e o seguinte diagrama comuta, ∀i, j ∈ I:
F (f )(I)
F(V )(I)
/ F(W )(I)
8
ι0i
πj0
&
F(V )
8
F (ιi )
&
F V
Assim, os morfismos
πj0
◦ f (I)
(I)
F (πj )
F (f (I) )
F(W )
/ F W (I)
(I) ) ◦ φ fazem o seguinte diagrama comutar:
e πj0 ◦ φ−1
I
I ◦ F(f
F(V )(I)
:
ι0i
F(V )
$
F (πj ◦f (I) ◦ιi )
F(V )
Pela definição de soma direta, existe um único morfismo que satisfaz o diagrama. Portanto
(I) ) ◦ φ , ∀j ∈ J.
πj0 ◦ f (I) = πj0 ◦ φ−1
I
I ◦ F(f
P
0
Como j∈I πj ◦ f = f , ∀f : F(V )(I) → F(W )(I) , temos que:
(I)
F(f )(I) = φ−1
) ◦ φI
I ◦ F(f
e portanto o seguinte diagrama comuta:
F(V )(I)
φI
F V (I)
F (f )(I)
/ F(W )(I)
F (f (I) )
φI
/ F W (I)
1. Preliminares
26
Agora apresentaremos o resultado principal desta seção.
Teorema 1.33. Sejam C uma coálgebra e F : CM → MK um funtor exato aditivo que
comuta com somas diretas arbitrárias. Então para cada (M, ρ) ∈ CM e V ∈ MK , existe um
isomorfismo F(M ⊗ V ) ∼
= F(M ) ⊗ V , onde (M ⊗ V, ρ0 ) ∈ CM com ρ0 (m ⊗ v) = ρ(m) ⊗ v, tal
que:
1) é coerente, ou seja, se W é outro K-módulo à direita, então o seguinte diagrama comuta:
∼
=
F(M ⊗ V ⊗ W )
∼
=
/ F(M ⊗ V ) ⊗ W
'
∼
=
w
F(M ) ⊗ V ⊗ W
2) é natural em M , ou seja, se N é outro C-comódulo à esquerda e f : M → N é um
morfismo de C-comódulos à esquerda, então o seguinte diagrama comuta:
∼
=
F(M ⊗ V )
F (f ⊗V )
∼
=
F(N ⊗ V )
/ F(M ) ⊗ V
F (f )⊗V
/ F(N ) ⊗ V
3) é natural em V , ou seja, se W é outro K-módulo à direita e f : V → W é um morfismo
de K-módulos à direita, então o seguinte diagrama comuta:
∼
=
F(M ⊗ V )
F (M ⊗f )
∼
=
F(M ⊗ W )
/ F(M ) ⊗ V
F (M )⊗f
/ F(M ) ⊗ W
Demonstração. A coerência não será demonstrada.
Sejam M ∈ CM e V ∈ MK . Considere a seguinte resolução projetiva de V :
(aJ,I )
q
/ K(J)
/V
K(I)
Pelo Lema 1.29, temos a seguinte sequência exata:
/0
(aJ,I )
/M ⊗V
/0
/ M (J)
M (I)
Aplicando o funtor F, temos:
F ((aJ,I ))
/ F M (J)
/ F(M ⊗ V )
F M (I)
Também pelo Lema 1.29, temos a seguinte sequência exata:
(aJ,I )
/ F(M )(J)
F(M )(I)
Pelo Lema 1.31, o seguinte diagrama comuta:
F(M )(I)
φI
(aJ,I )
/ F(M ) ⊗ V
/0
/0
/ F(M )(J)
φJ
F ((aJ,I ))
/ F M (J)
F M (I)
Logo, existe um único isomorfismo θ : F(M )⊗V → F(M ⊗V ) que faz o seguinte diagrama
comutar:
F(M )(I)
φI
F M (I)
(aJ,I )
/ F(M )(J)
φJ
F ((aJ,I ))
/ F M (J)
/ F(M ) ⊗ V
/0
θ
/ F(M ⊗ V )
/0
1. Preliminares
27
• Naturalidade em V : A naturalidade em V é provada juntamente com a independência
da escolha da resolução projetiva. Seja W ∈ MK um outro K-módulo. Tome uma
resolução projetiva de W :
(bL,K )
/ K(L)
/W
/0
K(K)
e f : V → W um morfismo de K-módulos. Pelo teorema da comparação para resoluções
projetivas, existem morfismos (cK,I ) : K(I) → K(K) e (dL,J ) : K(J) → K(L) que fazem o
seguinte diagrama comutar:
(aJ,I )
K(I)
(cK,I )
/ K(J)
(bL,K )
/V
(dL,J )
/0
f
/ K(L)
/W
K(K)
Pelo Lema 1.30, os seguintes diagramas comutam:
M (I)
(cK,I )
M (K)
F(M )(I)
(cK,I )
F(M )(K)
(aJ,I )
/ M (J)
(bL,K )
/M ⊗V
(dL,J )
/ F(M )(J)
(bL,K )
/0
M ⊗f
/M ⊗W
/ M (L)
(aJ,I )
/0
/0
/ F(M ) ⊗ V
(dL,J )
/ F(M )(L)
/0
F (M )⊗f
/ F(M ) ⊗ W
/0
(cK,I )
F(M )(I)
φI
/ F(M )(K)
φK
F ((cK,I ))
(I)
/
F M
F M (K)
(dL,J )
F(M )(J)
φJ
/ F(M )(L)
φL
F ((dL,J ))
(J)
/
F M
F M (L)
(aJ,I )
F(M )(I)
/ F(M )(J)
(cK,I )
φJ
(bL,K )
"
F(M )(K)
φI
φK
F
M (I)
(dL,J )
"
θV
/ F(M )(L)
φL
/ F M (J)
/ F(M ⊗ V )
F ((aJ,I ))
F ((cK,I ))
/ F(M ) ⊗ V
"
F ((dL,J ))
F M (K)
F ((bL,K ))
"
F (M )⊗f
$
/ F(M ) ⊗ W
/0
θW
/0
F (M ⊗f )
/ F M (L)
/0
$ / F(M ⊗ W )
/0
e o isomorfismo é natural em V . Tomando W = V e f o morfismo identidade, temos
que o isomorfismo não depende da resolução projetiva escolhida.
• Naturalidade em M : Seja N ∈ CM e f : M → N um morfismo de C-comódulos à
esquerda. Pelo Lema 1.29, os seguintes diagramas comutam:
1. Preliminares
M (I)
f (I)
N (I)
F(M )(I)
F (f )(I)
F(N )(I)
(aJ,I )
/ M (J)
(aJ,I )
(aJ,I )
/M ⊗V
f (J)
(aJ,I )
28
f ⊗V
/ N (J)
/N ⊗V
/ F(M )(J)
/0
/ F(M ) ⊗ V
F (f )(J)
/0
/ F(N )(J)
/0
F (f )⊗V
/ F(N ) ⊗ V
/0
F (f )(I)
/ F(N )(I)
F(M )(I)
φI
F M (I)
F(M )(J)
φJ
F M
F (f (I) )
φI
/ F N (I)
F (f )(J)
/ F(N )(J)
(J)
(J) F (f )
φJ
/ F N (J)
(aJ,I )
F(M )(I)
/ F(M )(J)
F (f )(I)
φJ
(aJ,I )
"
F(N )(I)
φI
F M
φI
F (f (I) )
F ((aJ,I ))
/F M
(I)
"
F N
/ F(M ) ⊗ V
F (f )(J)
"
/ F(N )(J)
φJ
F ((aJ,I ))
F (f )⊗V
$
/ F(N ) ⊗ V
"
/F N
/0
θW
/ F(M ⊗ V )
(J)
F (f (J) )
(I)
θV
/0
/0
F (f ⊗V )
(J)
$ / F(N ⊗ V )
/0
e o isomorfismo é natural em M .
1.4 Produto Cotensorial
Seja C uma coálgebra. Se A é um C-comódulo à direita e B é um C-comódulo à esquerda,
temos um K-módulo AB ⊂ A ⊗ B, que chamaremos de produto cotensorial de A e B.
C
Dizemos que um C-comódulo à direita A é C-coplano se (A ) : CM → MK é um funtor
C
exato.
Nesta seção apresentaremos os conceitos necessários para a demonstração do seguinte
resultado: F : CM → MK um funtor exato aditivo que comuta com somas diretas arbitrárias.
Então existe um isomorfismo F(M ) ∼
= AM , natural em M ∈ CM, para algum C-comódulo
C
à direita A que é C-coplano.
Definição 1.34. Sejam V, W ∈ MK e f, g : V → W morfismos K-lineares. Definimos o
equalizador de f e g como sendo o conjunto {v ∈ V ; f (v) = g(v)} = ker(f − g).
1. Preliminares
29
Observação 1.35. Note que, se h : Z → V é um morfismo K-linear tal que f ◦ h = g ◦ h,
então h(Z) está contido no equalizador de f e g.
Denotaremos a categoria dos C-comódulos à direita por MC .
Definição 1.36. Seja C uma coálgebra. Para cada (A, ρA ) ∈ MC e cada (B, βB ) ∈ CM,
definimos o produto cotensorial entre A e B, denotado por AB, como o equalizador dos
C
morfismos (ρA ⊗ B) e (A ⊗ βB ) e representamos com o seguinte diagrama:
/
/A⊗B
AB ,
/A⊗C ⊗B
C
Proposição 1.37. Sejam C uma coálgebra, (A, ρ) um C-comódulo à direita e (B, β) um
C-comódulo à esquerda. Então temos que A ∼
= AC e B ∼
= C B.
C
C
Demonstração. Como A é C-comódulo, temos que:
(ρ ⊗ C) ◦ ρ = (A ⊗ ∆C ) ◦ ρ
Logo, ρ(A) ⊆ AC ⊆ A ⊗ C. Tome f : A → AC dado por f (a) = ρ(a) e g : AC → A
C
C
C
P
P
dado por g( xi ⊗ ci ) = ε(ci )xi .
Temos que:
X
g ◦ f (a) = g
a(0) ⊗ a(1)
X
=
ε(a(1) )a(0)
=a
Como
Assim:
P
ρ(xi )⊗ci =
P
xi ⊗∆C (ci ), aplicando (A⊗C ⊗ε) temos
P
ε(ci )ρ(xi ) =
P
xi ⊗ci .
X
X
f ◦ g(
xi ⊗ ci ) = f
ε(ci )xi
X
=
ε(ci )ρ(xi )
X
=
xi ⊗ ci
Portanto, temos que f ◦ g = AC e g ◦ f = A, o que implica que A ∼
= AC. De modo
C
C
∼ C B.
análogo, temos que B =
C
Lema 1.38. Considere o seguinte diagrama comutativo com a primeira linha exata em MK :
u /
v /
/U
0
V
W
f
/ U0
0
Então temos a seguinte sequência exata:
u0
g
/V0
v0
h
/ W0
β
/ ker f
/ ker g
/ ker h
0
onde α e β são os morfismos induzidos por u e v respectivamente.
α
Demonstração. Denotando por i, j e k as inclusões dos núcleos de f , g e h respectivamente,
temos o seguinte diagrama comutativo com a segunda linha exata:
ker f
ker g
ker h
i
/U
0
f
0
/
U0
u
u0
j
/V
/V
v
g
0
v0
k
/W
h
/ W0
1. Preliminares
30
Note que:
g ◦ (u ◦ i) = u0 ◦ f ◦ i = 0
h ◦ (v ◦ j) = v 0 ◦ g ◦ j = 0
Logo, pela definição de núcleo, existem únicos morfismos:
α : ker f −→ ker g
β : ker g −→ ker h
tais que os seguintes diagramas comutam:
α
ker f
i
U
Como k é monomorfismo e:
u
/ ker g
ker g
j
j
/V
V
β
/ ker h
v
k
/W
k◦β◦α=v◦j◦α
=v◦u◦i
=0
temos que β ◦ α = 0.
Seja y ∈ ker β. Como:
v ◦ j(y) = k ◦ β(y) = 0
temos que j(y) ∈ ker v. Logo, existe x ∈ U tal que u(x) = j(y). Assim, temos:
u0 ◦ f (x) = g ◦ u(x)
= g ◦ j(y)
=0
Como u0 é monomorfismo, temos que f (x) = 0, ou seja, x ∈ ker(f ). Mas j é monomorfismo
e:
j ◦ α(x) = u ◦ i(x)
= u(x)
= j(y)
o que implica que α(x) = y, ou seja, a imagem de α é igual ao núcleo de β.
Se α ◦ Ψ = 0, então:
0=j◦α◦Ψ
=u◦i◦Ψ
Como u e i são monomorfismos, temos que Ψ = 0. Portanto α é monomorfismo e a
seguinte sequência é exata:
0
/ ker f
α
/ ker g
β
/ ker h
Proposição 1.39. Seja C uma coálgebra e A um C-comódulo à direita. Então a aplicação:
(A ) : CM −→ MK
C
V 7−→ AV
C
é um funtor exato à esquerda que comuta com somas diretas arbitrárias.
1. Preliminares
31
Demonstração. Primeiramente vejamos que (A ) é um funtor.
C
Seja f : V → W um morfismo de C-comódulos. Se x ⊗ v ∈ AV , temos que:
C
(ρA ⊗ W ) ◦ (A ⊗ f )(x ⊗ v) = (ρA ⊗ f )(x ⊗ v)
= (A ⊗ C ⊗ f ) ◦ (ρA ⊗ V )(x ⊗ v)
= (A ⊗ C ⊗ f ) ◦ (A ⊗ βV )(x ⊗ v)
= (A ⊗ βW ) ◦ (A ⊗ f )(x ⊗ v)
Pela definição de equalizador, (A ⊗ f )(AV ) ⊂ AW . Logo o seguinte diagrama comuta:
C
C
/
/A⊗V
AV ,
C
A⊗f
/A⊗C ⊗V
A⊗f
A⊗C⊗f
/
/A⊗W
AW ,
C
/A⊗C ⊗W
Denotaremos por Af o morfismo (A ⊗ f )|AV .
C
C
Sejam f : V → W e g : W → Z morfismos de C-comódulos. Temos os seguintes diagramas
comutativos:
/
/A⊗V
AV ,
/A⊗C ⊗V
C
Af
A⊗f
C
A⊗C⊗f
/A⊗W
AW ,
C
Ag
/
A⊗g
C
A⊗C⊗g
AZ ,
/A⊗Z
AV ,
/A⊗V
C
/
e
C
Agf
C
/A⊗C ⊗W
/A⊗C ⊗Z
/
/A⊗C ⊗V
A⊗gf
A⊗C⊗gf
/A⊗Z
AZ ,
C
/
/A⊗C ⊗Z
Como A ⊗ gf = (A ⊗ f ) ◦ (A ⊗ g), temos que Agf = (Ag)(Af ) e portanto (A ) é
C
C
C
C
um funtor entre as categorias CM e MK .
Considere a seguinte sequência exata em CM:
f
g
/W
/Z
/V
0
Então temos o seguinte diagrama comutativo com linhas exatas:
A⊗f
/A⊗V
0
A⊗g
/A⊗W
/A⊗Z
/ A ⊗ C ⊗ V A⊗C⊗f/ A ⊗ C ⊗ W A⊗C⊗g/ A ⊗ C ⊗ Z
0
Como AU = ker (ρA ⊗ U − A ⊗ βU ), ∀U ∈ CM, pelo Lema 1.38, temos a seguinte
C
sequência exata:
0
/ AV
Af
C
C
/ AW
Ag
C
C
/ AZ
C
Portanto o funtor (A ) é exato à esquerda.
C
Seja (Vi )i∈I uma coleção em CM. Vejamos que ⊕ (AVi ) ∼
= A( ⊕ Vi ). Para isto, basta
i∈I
mostrar que os seguintes diagramas comutam:
C
C
i∈I
1. Preliminares
32
⊕ (ρA ⊗Vi )
⊕ (A ⊗ Vi )
⊕ (A⊗βVi )
/ ⊕ (A ⊗ C ⊗ Vi )
i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
∼
=
∼
=
i∈I
∼
=
/ A ⊗ C ⊗ ( ⊕ Vi )
i∈I
i∈I
∼
=
ρA ⊗( ⊕ Vi )
A ⊗ ( ⊕ Vi )
/ ⊕ (A ⊗ C ⊗ Vi )
i∈I
⊕ (A ⊗ Vi )
A⊗β
⊕ Vi
i∈I
A ⊗ ( ⊕ Vi )
i∈I
/ A ⊗ C ⊗ ( ⊕ Vi )
i∈I
i∈I
De fato:
X
a(0) ⊗ a(1) ⊗ v i
⊕ (ρA ⊗ Vi )((a ⊗ v)i ) = ⊕
i∈I
i∈I
X
=
a(0) ⊗ a(1) ⊗ ( ⊕ (v)i )
i∈I
= (ρA ⊗ ( ⊕ Vi ))(a ⊗ ( ⊕ (v)i ))
i∈I
i∈I
e
⊕ (A ⊗ βVi )((a ⊗ v)i ) = ⊕ (a ⊗ 1 ⊗ v)i
i∈I
i∈I
= a ⊗ 1 ⊗ ( ⊕ (v)i )
i∈I
= (A ⊗ β ⊕ Vi )(a ⊗ ( ⊕ (v)i ))
i∈I
i∈I
Portanto, existe um isomorfismo que faz o seguinte diagrama comutar:
/
/ ⊕ (A ⊗ Vi )
⊕ (AVi ) ,
/ ⊕ (A ⊗ C ⊗ Vi )
C
i∈I
i∈I
i∈I
∼
=
A ( ⊕ Vi ) ,
C
∼
=
/ A ⊗ ( ⊕ Vi )
i∈I
/ A ⊗ C ⊗ ( ⊕ Vi )
/
i∈I
i∈I
e o funtor (A ) comuta com somas diretas.
C
Definição 1.40. Seja M um C-comódulo à direita. Dizemos que M é C-coplano se o funtor
(M ) : CM → MK é exato.
C
Lema 1.41. Se M ∈ MC é C-coplano, então para qualquer X ∈ MK e W ∈ CM a função
canônica (M W ) ⊗ X → M (W ⊗ X) é um isomorfismo. Além disso, este isomorfismo é
C
C
natural em X.
Em particular, se D é outra coálgebra K-plana, W ∈ CMD e U ∈ DM, então o produto
cotensorial é associativo:
(M W ) U ∼
= M (W U )
C
Demonstração. Seja W ∈
isomorfismos:
CM.
D
C
D
Para cada conjunto I de ı́ndices, considere os seguintes
∼
=
M ⊗ W ⊗ K(I) −→ (M ⊗ W ) ⊗ K(I)
m ⊗ (w ⊗ (λ)i ) 7−→ (m ⊗ w) ⊗ (λ)i
∼
=
M ⊗ C ⊗ W ⊗ K(I) −→ (M ⊗ C ⊗ W ) ⊗ K(I)
m ⊗ c ⊗ (w ⊗ (λ)i ) 7−→ (m ⊗ c ⊗ w) ⊗ (λ)i
Claramente os seguintes diagramas comutam com os isomorfismos acima:
1. Preliminares
M ⊗ W ⊗ K(I)
∼
=
33
ρM ⊗(W ⊗K(I) )
/ M ⊗ C ⊗ W ⊗ K(I)
(ρM
)⊗K(I)
∼
=
⊗W )⊗K(I)
/ (M ⊗ C ⊗ W ) ⊗ K(I)
(M ⊗ W ) ⊗ K(I)
M ⊗(βW ⊗K(I) )
/ M ⊗ C ⊗ W ⊗ K(I)
M ⊗ W ⊗ K(I)
∼
=
(M ⊗ W ) ⊗ K(I)
(M ⊗βW
∼
=
/ (M ⊗ C ⊗ W ) ⊗ K(I)
Logo, temos um isomorfismo entre M W ⊗ K(I) e (M W ) ⊗ K(I) que faz o seguinte
C
diagrama comutar:
M W ⊗ K(I) ,
C
/ M ⊗ W ⊗ K(I)
C
/
/ M ⊗ C ⊗ W ⊗ K(I)
∼
=
∼
=
/
/ (M ⊗ W ) ⊗ K(I)
(M W ) ⊗ K(I) ,
C
/ (M ⊗ C ⊗ W ) ⊗ K(I)
Tome X ∈ MK e considere uma resolução projetiva de X:
(aJ,I )
/X
/0
/ K(J)
K(I)
Nos diagramas a seguir, os morfismos são os induzidos pelos funtores aplicados e os isomorfismos são os da construção acima. Apenas explicitaremos o morfismo no diagrama quando o
mesmo não estiver claro pelo contexto.
Como os funtores (W ⊗ ), (M ) e ((M W )⊗ ) são exatos, temos as seguintes sequências
C
C
exatas:
/ M (W ⊗ X)
/0
/ M (W ⊗ K(J) )
M (W ⊗ K(I) )
C
C
C
e
/ (M W ) ⊗ K(J)
(M W ) ⊗ K(I)
C
/ (M W ) ⊗ X
C
C
/0
Sejam Φ e Ψ os morfismos determinados pelos seguintes diagramas comutativos:
/ M ⊗ (W ⊗ K(J) )
M ⊗ (W ⊗ K(I) )
∼
=
Φ
)
/ M ⊗ C ⊗ (W ⊗ K(J) )
M ⊗ C ⊗ (W ⊗ K(I) )
Ψ
(M ⊗ C ⊗ W ) ⊗ K(I)
Como os seguintes diagramas comutam:
M ⊗ (W ⊗ K(I) )
M ⊗ (W ⊗
∼
=
∼
=
/ (M ⊗ W ) ⊗ K(J)
(M ⊗ W ) ⊗ K(I)
∼
=
∼
=
/ (M ⊗ C ⊗ W ) ⊗ K(J)
ρM ⊗(W ⊗K(I) )
ρM ⊗(W ⊗K(J) )
K(J) )
(M ⊗ W ) ⊗ K(J)
*
(ρM ⊗W )⊗K(J)
/ M ⊗ C ⊗ (W ⊗ K(I) )
/ M ⊗ C ⊗ (W ⊗ K(J) )
∼
=
/ (M ⊗ C ⊗ W ) ⊗ K(J)
1. Preliminares
M ⊗ (W ⊗ K(I) )
∼
=
(M ⊗ W ) ⊗ K(I)
M ⊗(βW ⊗K(I) )
(M ⊗βW
)⊗K(I)
(M ⊗βW )⊗K(J)
(M ⊗ W ) ⊗ K(J)
temos que o seguinte diagrama comuta:
M ⊗ W ⊗ K(I)
Φ
34
/ M ⊗ C ⊗ (W ⊗ K(I) )
∼
=
/ (M ⊗ C ⊗ W ) ⊗ K(I)
/ (M ⊗ C ⊗ W ) ⊗ K(J)
/
/ M ⊗ C ⊗ W ⊗ K(I)
/
(M ⊗ W ) ⊗ K(J)
Ψ
/ (M ⊗ C ⊗ W ) ⊗ K(J)
As compostas:
C
C
M (W ⊗
C
∼
=
/ M (W ⊗ K(J) )
M (W ⊗ K(I) )
∼
=
K(I) )
/ (M W ) ⊗
C
/ (M W ) ⊗ K(J)
C
/ (M W ) ⊗ K(J)
K(I)
C
satisfazem o seguinte diagrama comutativo:
/ M ⊗ W ⊗ K(I)
M W ⊗ K(I) ,
/
/ M ⊗ C ⊗ W ⊗ K(I)
C
Φ
Ψ
/
/ (M ⊗ W ) ⊗ K(J)
(M W ) ⊗ K(J) ,
C
/ (M ⊗ C ⊗ W ) ⊗ K(J)
Pela unicidade do morfismo que satisfaz o diagrama acima, temos que o seguinte diagrama
comuta:
/ M (W ⊗ K(J) )
M (W ⊗ K(I) )
C
C
∼
=
∼
=
/ (M W ) ⊗ K(J)
(M W ) ⊗ K(I)
C
C
e existe um único isomorfismo fX : M (W ⊗X) → (M W )⊗X que faz o seguinte diagrama
C
C
comutar:
/ M (W ⊗ K(J) )
/ M (W ⊗ X)
/0
M (W ⊗ K(I) )
C
C
C
∼
=
∼
=
fX
/ (M W ) ⊗ K(J)
(M W ) ⊗ K(I)
C
/ (M W ) ⊗ X
C
C
/0
Naturalidade em X: A naturalidade em X é provada juntamente com a independência
da escolha da resolução projetiva. Seja Y ∈ MK um outro K-módulo. Tome uma resolução
projetiva de Y :
(bL,K )
/Y
/0
/ K(L)
K(K)
e g : X → Y um morfismo de K-módulos. Pelo teorema da comparação para resoluções
projetivas, existem morfismos (cK,I ) : K(I) → K(K) e (dL,J ) : K(J) → K(L) que fazem o seguinte
diagrama comutar:
K(I)
(cK,I )
K(K)
(aJ,I )
/ K(J)
(bL,K )
(dL,J )
/ K(L)
/X
/0
g
/Y
/0
1. Preliminares
35
Aplicando os funtores (M (W ⊗ )) e ((M W )⊗ ) no diagrama acima, temos os seguintes
C
C
diagramas comutativos:
M (W ⊗ K(I) )
/ M (W ⊗ K(J) )
/ M (W ⊗ X)
/0
K(K) )
/ M (W ⊗ K(L) )
/ M (W ⊗ Y )
/0
(M W ) ⊗ K(I)
/ (M W ) ⊗ K(J)
/ (M W ) ⊗ X
/0
/ (M W ) ⊗ K(L)
/ (M W ) ⊗ Y
/0
C
M (W ⊗
C
C
C
C
C
C
C
(M W ) ⊗ K(K)
C
C
C
C
Além disso, do mesmo modo que provamos a comutatividade do diagrama:
/ M (W ⊗ K(J) )
M (W ⊗ K(I) )
C
C
∼
=
∼
=
/ (M W ) ⊗ K(J)
(M W ) ⊗ K(I)
C
C
podemos verificar que os diagramas a seguir comutam:
/ M (W ⊗ K(L) )
M (W ⊗ K(K) )
C
C
∼
=
∼
=
(M W ) ⊗ K(K)
/ (M W ) ⊗ K(L)
M (W ⊗ K(I) )
/ M (W ⊗ K(K) )
C
C
C
C
∼
=
∼
=
(M W ) ⊗ K(I)
/ (M W ) ⊗ K(K)
M (W ⊗ K(J) )
/ M (W ⊗ K(L) )
C
C
C
C
∼
=
∼
=
/ (M W ) ⊗ K(L)
(M W ) ⊗ K(J)
C
C
/ M (W ⊗ K(J) )
M (W ⊗ K(I) )
C
∼
=
%
∼
=
M (W ⊗
C
(M W ) ⊗
C
/ M (W ⊗ X)
C
K(K) )
∼
=
/ (M W ) ⊗ K(J)
K(I)
C
%
(M W ) ⊗ K(K)
C
fX
%
/ M (W ⊗ K(L) )
C
∼
=
/0
C
#
/ M (W ⊗ Y ) / 0
C
fY
/ (M W ) ⊗ X
/0
C
%
/ (M W ) ⊗ K(L)
C
# / (M W ) ⊗ Y
C
/0
e o isomorfismo é natural em X. Tomando Y = X e g o morfismo identidade, temos que
1. Preliminares
36
o isomorfismo não depende da resolução projetiva escolhida.
Observação 1.42. Utilizando um abuso de linguagem, diremos que uma sequência da forma:
f
/
0
/V
/W
0
/V
/ W f −g / Z
/Z
g
é exata se a sequência:
é exata.
Agora apresentaremos o resultado principal desta seção.
Teorema 1.43. Seja C uma coálgebra, e F : CM → MK um funtor exato aditivo que comuta
com somas diretas arbitrárias. Então existe um isomorfismo F(M ) ∼
= AM , natural em
C
M ∈ CM, para algum comódulo A ∈ MC que é C-coplano.
Demonstração. Seja θ : F(C ⊗ V ) → F(C) ⊗ V , ∀V ∈ MK o isomorfismo dado pelo Teorema 1.33.
Tome A = F(C) e ρA a composição:
F (∆C )
/ F(C ⊗ C)
/ F(C) ⊗ C = A ⊗ C
A = F(C)
Então A é um C-comódulo à direita. Vejamos que F(M ) ∼
= AM , ∀(M, βM ) ∈ CM. De
C
fato, pela Proposição 1.37, temos que M ∼
= C M . Logo, temos que a seguinte sequência é
C
exata:
/
/M
/C ⊗M
0
/C ⊗C ⊗M
Aplicando o funtor F, temos:
/
/ F(C ⊗ M )
/ F(M )
0
/ F(C ⊗ C ⊗ M )
Como θ é natural em V , temos que o seguinte diagrama comuta:
F (C⊗βM )
/ F C ⊗ (C ⊗ M )
F(C ⊗ M )
θ
θ
F (C)⊗βM
F (∆)⊗M
θ
/ F(C) ⊗ (C ⊗ M )
F(C) ⊗ M
Como θ é natural em C, temos que o seguinte diagrama comuta:
F (∆⊗M )
/ F (C ⊗ C) ⊗ M
F(C ⊗ M )
θ
θ
/ F(C ⊗ C) ⊗ M
F(C) ⊗ M
Além disso, pela definição de ρA , o seguinte diagrama comuta:
F(C) ⊗ M
F (∆)⊗M
θ
F(C) ⊗ M
F(C) ⊗ M
θ⊗M
ρA ⊗M
/ F(C) ⊗ C ⊗ M
F (∆⊗M )
/ F (C ⊗ C) ⊗ M
F(C) ⊗ M
F(C ⊗ M )
/ F(C ⊗ C) ⊗ M
F (∆)⊗M
ρA ⊗M
θ
/ F(C ⊗ C) ⊗ M
θ⊗M
/ F(C) ⊗ C ⊗ M
1. Preliminares
37
Como θ é coerente, os isomorfismos:
(θ ⊗ M ) ◦ θ : F (C ⊗ C) ⊗ M −→ F(C) ⊗ C ⊗ M
e
θ : F C ⊗ (C ⊗ M ) −→ F(C) ⊗ C ⊗ M
coincidem.
Logo, existe um isomorfismo ψM : F(M ) → F(C)M que faz o seguinte diagrama comutar:
C
/ F(M )
0
ψM
/ F(C)M
0
/
/ F(C ⊗ M )
/ F(C ⊗ C ⊗ M )
θ
/
/ F(C) ⊗ C ⊗ M
/ F(C) ⊗ M
C
θ
Portanto F(M ) ∼
= AM . Como o funtor F é exato, A é C-coplano.
C
Vejamos a naturalidade em M : Seja (N, βN ) outro C-comódulo à esquerda e f : M → N
um morfismo de C-comódulos à esquerda.
Como f é morfismo de C-comódulos à esquerda, os seguintes diagramas comutam:
βM
M
f
/C ⊗M
βN
C ⊗M
C⊗f
C⊗f
/C ⊗N
N
C ⊗N
Claramente o seguinte diagrama comuta:
C ⊗M
C⊗f
C ⊗N
Logo o seguinte diagrama comuta:
C⊗βM
f
βN
C⊗βN
C ⊗C ⊗M
∆⊗N
C⊗C⊗f
/C ⊗C ⊗N
∆⊗M /
C⊗C⊗f
/C ⊗C ⊗N
/
/ M βM / C ⊗ M
0
/C ⊗C ⊗M
/C ⊗C ⊗M
C⊗f
/
C⊗C⊗f
/C ⊗N
/N
0
/C ⊗C ⊗N
Durante a demonstração da Proposição 1.39, verificamos que o seguinte diagrama comuta:
/
/ F(C)M
/ F(C) ⊗ M
0
/ F(C) ⊗ C ⊗ M
C
F (C)f
F (C)⊗f
C
/ F(C)N
0
C
/ F(C) ⊗ N
/
F (C)⊗C⊗f
/ F(C) ⊗ C ⊗ N
Além disso, como θ é natural em V , os seguintes diagramas comutam:
F (C⊗f )
F(C ⊗ M )
θ
/ F(C ⊗ N )
F (C)⊗f
θ
F(C ⊗ C ⊗ M )
θ
/ F(C) ⊗ N
F(C) ⊗ M
F(C) ⊗ C ⊗ M
F (C⊗C⊗f )
/ F(C ⊗ C ⊗ N )
F (C)⊗C⊗f
θ
/ F(C) ⊗ C ⊗ N
1. Preliminares
/ F(M )
0
0
θ
/ F(N )
ψN
C
F (C⊗C⊗f )
$
/ F(C ⊗ N )
/ F(C) ⊗ M
θ
C
/ F(C) ⊗ C ⊗ M
/
/ F(C)N
& / F(C) ⊗ C ⊗ N
/
/ F(C) ⊗ N
C
θ
F (C)⊗C⊗f
#
! '
/ F(C ⊗ C ⊗ N )
/
θ
F (C)⊗f
F (C)f
0
/ F(C ⊗ C ⊗ M )
F (C⊗f )
#
/ F(C)M
0
/
/ F(C ⊗ M )
F (f )
ψM
38
e o isomorfismo é natural em M .
1.5 Biálgebras e Álgebras de Hopf
Nesta seção apresentaremos alguns resultados sobre biálgebras, quociente de biálgebras e
introduziremos o conceito de álgebra de Hopf.
Definição 1.44. Seja B uma coálgebra que também é uma álgebra. Diremos que B é uma
biálgebra se ∆B e εB são morfismos de álgebras.
Definição 1.45. Sejam A, B biálgebras e f : A → B um morfismo K-linear. Diremos que f
é morfismo de biálgebras se f é morfismo de álgebras e de coálgebras.
Proposição 1.46. Sejam M uma coálgebra e L a álgebra tensorial sobre M . Então existe
uma única estrutura de coálgebra para L tal que L é biálgebra e o morfismo inclusão ι : M → L
é morfismo de coálgebras.
Demonstração. Pela definição de álgebra tensorial, existem únicos morfismos de álgebras ∆L
e εL tais que os seguintes diagramas comutam:
7L
8L
ι
M
(ι⊗ι)◦∆M
ι
∆L
/L⊗L
M
εM
εL
/K
Note que, se L for coálgebra, então pela comutatividade destes dois diagramas, temos que
ι é morfismo de coálgebras.
Vejamos que de fato (L, ∆L , εL ) é coálgebra:
(∆L ⊗ L) ◦ ∆L ◦ ι = (∆L ⊗ L) ◦ (ι ⊗ ι) ◦ ∆M
= (∆L ◦ ι) ⊗ ι ◦ ∆M
= (ι ⊗ ι) ◦ ∆M ⊗ ι ◦ ∆M
= (ι ⊗ ι ⊗ ι) ◦ (∆M ⊗ M ) ◦ ∆M
= (ι ⊗ ι ⊗ ι) ◦ (M ⊗ ∆M ) ◦ ∆M
= ι ⊗ ((ι ⊗ ι) ◦ ∆M ) ◦ ∆M
= ι ⊗ (∆L ◦ ι) ◦ ∆M
= (L ⊗ ∆L ) ◦ (ι ⊗ ι) ◦ ∆M
= (L ⊗ ∆L ) ◦ ∆L ◦ ι
Logo, tomando f = (ι ⊗ ι ⊗ ι) ◦ (∆M ⊗ M ) ◦ ∆M = (ι ⊗ ι ⊗ ι) ◦ (M ⊗ ∆M ) ◦ ∆M , temos
que (∆L ⊗ L) ◦ ∆L e (L ⊗ ∆L ) ◦ ∆L fazem o seguinte diagrama comutar:
1. Preliminares
39
5L
ι
M
/L⊗L⊗L
f
Pela definição de álgebra tensorial, temos que (∆L ⊗ L) ◦ ∆L = (L ⊗ ∆L ) ◦ ∆L .
Além disso, temos:
(L ⊗ εL ) ◦ ∆L ◦ ι = (L ⊗ εL ) ◦ (ι ⊗ ι) ◦ ∆M
= ι ⊗ (εL ◦ ι) ◦ ∆M
= (ι ⊗ εM ) ◦ ∆M
= (ι ⊗ K) ◦ (M ⊗ εM ) ◦ ∆M
= (ι ⊗ K) ◦ τM
= τL ◦ ι
Logo, tomando f = (ι ⊗ K) ◦ τM , temos que (L ⊗ εL ) ◦ ∆L e τL fazem o seguinte diagrama
comutar:
6L
ι
M
f
/L⊗K
Pela definição de álgebra tensorial, temos que (L ⊗ εL ) ◦ ∆L = τL . À esquerda temos um
resultado análogo.
Portanto (L, ∆L , εL ) é coálgebra e ι é morfismo de coálgebras. Além disso, como ∆L e εL
são morfismos de álgebras, temos que L é biálgebra.
Definição 1.47. Seja (C, ∆C , εC ) uma coálgebra e I um K-submódulo de C. Diremos que I
é um coideal de C se:
∆C (I) ⊂ I ⊗ C + C ⊗ I e εC (I) = 0
Proposição 1.48. Sejam B uma biálgebra e I um ideal de B que também é um coideal de
B. Então existe uma única estrutura de biálgebra no quociente B/I para o qual o morfismo
projeção πI : B → B/I é morfismo de biálgebras.
Demonstração. Pela proposição B.7, temos que existem únicos morfismos de álgebras ∆B/I e
εB/I que fazem os seguintes diagramas comutarem:
(πI ⊗πI )◦∆B
B
πI
/ B/I ⊗ B/I
9
εB
B
πI
∆B/I
/K
>
εB/I
B/I
B/I
Vejamos que (B/I, ∆B/I , εB/I ) é uma coálgebra. Precisamos que os seguintes diagramas
comutem:
B/I
∆B/I
B/I ⊗ B/I
∆B/I
∆B/I ⊗B/I
/ B/I ⊗ B/I
B/I⊗∆B/I
/ B/I ⊗ B/I ⊗ B/I
1. Preliminares
40
B/I
∼
=
∼
=
w
'
K ⊗ B/I
B/I ⊗ K
∆B/I
g
εB/I ⊗B/I
7
B/I⊗εB/I
B/I ⊗ B/I
De fato, temos:
(∆B/I ⊗ B/I) ◦ ∆B/I ◦ πI = (∆B/I ⊗ B/I) ◦ (πI ⊗ πI ) ◦ ∆B
= (∆B/I ◦ πI ) ⊗ πI ◦ ∆B
= ((πI ⊗ πI ) ◦ ∆B ) ⊗ πI ◦ ∆B
= (πI ⊗ πI ⊗ πI ) ◦ (∆B ⊗ B) ◦ ∆B
= (πI ⊗ πI ⊗ πI ) ◦ (B ⊗ ∆B ) ◦ ∆B
= πI ⊗ ((πI ⊗ πI ) ◦ ∆B ) ◦ ∆B
= πI ⊗ (∆B/I ◦ πI ) ◦ ∆B
= (B/I ⊗ ∆B/I ) ◦ (πI ⊗ πI ) ◦ ∆B
= (B/I ⊗ ∆B/I ) ◦ ∆B/I ◦ πI
e
(B/I ⊗ εB/I ) ◦ ∆B/I ◦ πI = (B/I ⊗ εB/I ) ◦ (πI ⊗ πI ) ◦ ∆B
= πI ⊗ (εB/I ◦ πI ) ◦ ∆B
= (πI ⊗ εB ) ◦ ∆B
= (πI ⊗ K) ◦ (B ⊗ εB ) ◦ ∆B
= (πI ⊗ K) ◦ τB
= τB/I ◦ πI
Como πI é epimorfismo, temos que:
(∆B/I ⊗ B/I) ◦ ∆B/I = (B/I ⊗ ∆B/I ) ◦ ∆B/I
e
(B/I ⊗ εB/I ) ◦ ∆B/I = τB/I
À esquerda temos um resultado análogo. Portanto B/I é coálgebra. Como ∆B/I e εB/I
são morfismos de álgebras, temos que B/I é biálgebra. Além disso, como πI é morfismo de
álgebras e:
(πI ⊗ πI ) ◦ ∆B = ∆B/I ◦ πI
temos que πI é morfismo de biálgebras.
Definição 1.49. Seja B uma biálgebra e (M, ρM ) um B-comódulo à direita. Um elemento
m ∈ M é dito coinvariante se:
ρM (m) = m ⊗ 1
Denotaremos por M co B o conjunto de todos os elementos coinvariantes de M .
Pela K-linearidade de ρM , temos que M co B é um K-submódulo de M . Como:
ρM (m) = m ⊗ 1 ∈ M co B ⊗ C, ∀m ∈ M co B
temos que M co B é B-subcomódulo de M .
1. Preliminares
41
Definição 1.50. Seja B uma biálgebra. A biálgebra B op é definida da seguinte forma:
1) B op = B como K-módulo;
2) B op = B como coálgebra;
3) a estrutura de álgebra de B op é dada por: mB op (a ⊗ b) = mB (b ⊗ a), ∀a, b ∈ B.
Definição 1.51. Seja B uma biálgebra e f : B → B op um morfismo de álgebras. Definimos
o conjunto B f como:
X
X
B f = {b ∈ B;
f (b1 )b2 =
b1 f (b2 ) = ε(b)1}
Proposição 1.52. Seja B uma biálgebra e f : B → B op um morfismo de álgebras. Então B f
é uma subálgebra de B.
Demonstração. Vejamos que 1 ∈ B f . De fato, como ∆(1) = 1 ⊗ 1 e ε(1) = 1, temos que:
f (1)1 = 1 = ε(1)1 = 1f (1)
Portanto 1 ∈ B f .
Vejamos que se a, b ∈ B f , então ab ∈ B f . De fato, temos:
X
X
f ((ab)1 )(ab)2 =
f (a1 b1 )a2 b2
X
=
f (b1 )f (a1 )a2 b2
X
= ε(a)
f (b1 )b2
= ε(a)ε(b)1
= ε(ab)1
e
X
(ab)1 f ((ab)2 ) =
X
=
X
a1 b1 f (a2 b2 )
a1 b1 f (b2 )f (a2 )
X
= ε(b)
a1 f (a2 )
= ε(b)ε(a)1
= ε(a)ε(b)1
= ε(ab)1
Portanto ab ∈ B f , ∀a, b ∈ B f .
Vejamos que se a, b ∈ B f , então a + b ∈ B f . De fato, como:
X
X
X
∆(a + b) = ∆(a) + ∆(b) =
a1 ⊗ a2 +
b1 ⊗ b2 =
(a1 ⊗ a2 + b1 ⊗ b2 )
temos que:
X
f ((a + b)1 )(a + b)2 =
X
(f (a1 )a2 + f (b1 )b2 )
= ε(a)1 + ε(b)1
= ε(a + b)1
e
X
X
(a + b)1 f ((a + b)2 ) =
(a1 f (a2 ) + b1 f (b2 ))
= ε(a)1 + ε(b)1
= ε(a + b)1
Portanto B f é uma subálgebra de B.
1. Preliminares
42
Definição 1.53. Sejam C uma coálgebra, A uma álgebra e f, g : C → A morfismos K-lineares.
Definimos o produto de convolução de f e g por:
f ∗ g : C −→ A
X
c 7−→
f (c1 )g(c2 )
Proposição 1.54. Sejam (C, ∆, ε) uma coálgebra e (A, m, u) uma álgebra. O conjunto
Hom(C, A) é uma K-álgebra com o produto de convolução, com a unidade dada por u◦ε : C →
A.
Definição 1.55. Seja H uma biálgebra. Uma função K-linear S : H → H é chamada de
antı́poda da biálgebra H se S é a inversa da função identidade I : H → H com respeito ao
produto de convolução em Hom(H, H), ou seja, ∀h ∈ H, temos:
X
X
S(h1 )h2 =
h1 S(h2 ) = ε(h)1
Definição 1.56. Uma biálgebra H que tem antı́poda é chamada de álgebra de Hopf.
A proposição a seguir mostra as principais propriedades da antı́poda, que serão utilizadas
livremente ao longo deste trabalho. Sua demonstração encontra-se em [4].
Proposição 1.57. Seja H uma álgebra de Hopf e S sua antı́poda. Então para todo h, g ∈ H
temos:
1) S(hg) = S(g)S(h)
2) S(1) = 1
3) ∆(S(h)) =
P
S(h2 ) ⊗ S(h1 )
4) ε(S(h)) = ε(h)
Corolário 1.58. Seja H uma biálgebra. Então H é uma álgebra de Hopf com antı́poda S se,
e somente se, H S = H para o morfismo de álgebras S : H → H op .
O corolário acima será utilizado na Proposição 2.6 da Seção 2.1 e sua demonstração é
consequência direta da Definição 1.51.
Exemplo 1.59. Seja G um grupo e K um corpo. A álgebra KG é uma álgebra de Hopf com
estrutura dada por:
∆KG : KG −→ KG ⊗ KG
h 7−→ h ⊗ h
εKG : KG −→ K
h 7−→ 1
e
SKG : KG −→ KG
h 7−→ h−1
1. Preliminares
43
Exemplo 1.60. O dual de KG dado por (KG)∗ = HomK (KG, K) é álgebra com o produto de
convolução e é álgebra de Hopf com estrutura dada por:
∆(KG)∗ : (KG)∗ −→ (KG)∗ ⊗ (KG)∗
X
ph 7−→
pg ⊗ pg−1 h
g∈G
ε(KG)∗ : (KG)∗ −→ K
ph 7−→ δ1,h
e
S(KG)∗ : (KG)∗ −→ (KG)∗
ph 7−→ ph−1
Como ∆KG (h) = h ⊗ h, ∀h ∈ G, temos que:
pg ph := (pg ∗ ph ) = δg,h pg
Além disso, sabemos que a unidade em HomK (KG, K) é dada por uK εKG . Como uK é a
identidade em K, temos:
X
X
1 = uK εKG =
uK εKG (g)pg =
pg
Vejamos que (KG)∗ é coálgebra. De fato:
(∆(KG)∗ ⊗ (KG)∗ ) ◦ ∆(KG)∗ (ph ) = (∆(KG)∗ ⊗ (KG)∗ )
X
pg ⊗ pg−1 h
g∈G
=
XX
pk ⊗ pk−1 g ⊗ pg−1 h
g∈G k∈G
=
X
pk ⊗
=
pk−1 g ⊗ pg−1 kk−1 h
g∈G
k∈G
X
X
pk ⊗ ∆(KG)∗ (pk−1 h )
k∈G
= ((KG)∗ ⊗ ∆(KG)∗ ) ◦ ∆(KG)∗ (ph )
e
((KG)∗ ⊗ ε(KG)∗ ) ◦ ∆(KG)∗ (ph ) = ((KG)∗ ⊗ ε(KG)∗ )
X
pg ⊗ pg−1 h
g∈G
=
X
pg ⊗ ε(KG)∗ (pg−1 h )
g∈G
= ph ⊗ 1
Temos o resultado análogo à esquerda. Portanto (KG)∗ é coálgebra.
Claramente ε(KG)∗ é morfismo de álgebras. Vejamos que ∆(KG)∗ é morfismo de álgebras.
De fato:
∆(KG)∗ (pg ph ) = δg,h ∆(KG)∗ (pg )
X
= δg,h
pk ⊗ pk−1 g
k∈G
1. Preliminares
44
e
X
∆(KG)∗ (pg )∆(KG)∗ (ph ) =
pk ⊗ pk−1 g
X
s∈G
k∈G
=
ps ⊗ ps−1 h
XX
pk ps ⊗ pk−1 g ps−1 h
k∈G s∈G
=
X
pk ⊗ pk−1 g pk−1 h
k∈G
= δg,h
X
pk ⊗ pk−1 g
k∈G
Portanto (KG)∗ é uma biálgebra.
Vejamos que S(KG)∗ é a antı́poda. Para cada h ∈ G temos:
(S(KG)∗ ∗ (KG)∗ )(ph ) =
X
S(KG)∗ (pg )pg−1 h
=
X
pg−1 pg−1 h
((KG)∗ ∗ S(KG)∗ )(ph ) =
X
pg S(KG)∗ (pg−1 h )
=
X
pg ph−1 g
e
Logo, temos que:
• se h 6= 1, então pg−1 pg−1 h = 0 = pg ph−1 g , ∀g ∈ G. Ou seja:
(S(KG)∗ ∗ (KG)∗ )(ph ) = 0 = ε(ph )
X
pg = ((KG)∗ ∗ S(KG)∗ )(ph )
• se h = 1, então pg−1 pg−1 h = p−1
g e pg ph−1 g = pg , ∀g ∈ G. Ou seja:
(S(KG)∗ ∗ (KG)∗ )(ph ) =
X
pg = ε(ph )
X
pg = ((KG)∗ ∗ S(KG)∗ )(ph )
Portanto S(KG)∗ é a antı́poda de (KG)∗ .
1.6 Extensões Galois
Nesta seção apresentaremos alguns resultados de Teoria de Galois para corpos, a fim de
relacionar esta teoria com a definição de extensões Galois sobre álgebras de Hopf: Seja H
uma álgebra de Hopf e A um H-comódulo álgebra à direita com coação ρ : A → A ⊗ H.
Dizemos que A é uma H-extensão Galois de Aco H se a função:
κr : A ⊗ A −→ A ⊗ H
Aco H
a ⊗ b 7−→ aρ(b)
é bijetora.
Teorema 1.61. (Dedekind). Se g1 , ..., gn são automorfismos de E distintos dois a dois, então
são linearmente independentes sobre E como funções de E em E.
Lembrando que:
1. Preliminares
45
• o corpo E é uma extensão do corpo F, denotado por E/F, se F é um subcorpo de E.
Denotamos por [E : F] a dimensão de E sobre F. Quando [E : F] < ∞, dizemos que a
extensão é finita;
• se E/F é uma extensão, denotaremos por Gal(E/F) o subgrupo de automorfismos de E
que fixam F, ou seja:
Gal(E/F) := {f ∈ Aut(E); f (a) = a, ∀a ∈ F}
• se G é um subgrupo de Aut(E), denotaremos por EG o corpo fixado por G, ou seja:
EG := {a ∈ E; g(a) = a, ∀g ∈ G}
• se E/F é uma extensão finita, diremos que a extensão é Galois se F = EGal(E/F) .
Teorema 1.62. Seja E/F uma extensão finita. Então a extensão é Galois se, e somente se,
|Gal(E/F)| = [E : F].
Demonstração. A demonstração completa pode ser encontrada em [11]. Mostraremos apenas
que:
|Gal(E/F)| ≤ [E : F]
Suponha por absurdo que:
m = |Gal(E/F)| > [E : F] = n
Sejam {e1 , ..., en } uma base de E/F e G = {g1 , ..., gm }. Então o sistema abaixo possui
solução não trivial:


g1 (e1 ) · · · g1 (en )


..
..
..
x1 · · · xm 
=0
.
.
.
gm (e1 ) · · ·
gm (en )
Ou seja, existem b1 , ..., bn não todos nulos tais que, para todo i:
X
bj gj (ei ) = 0
o que implica que:
X
bj gj = 0
Absurdo, pois pelo teorema 1.61, temos que G = {g1 , ..., gn } é um conjunto linearmente
independente. Portanto:
|Gal(E/F)| ≤ [E : F]
Definição 1.63. Sejam A um conjunto e K um corpo. Denotaremos por F(A, K) o K-espaço
vetorial das funções de A para K, com:
(f + λg)(a) = f (a) + λg(a), ∀f, g ∈ F(A, K), ∀λ ∈ K, ∀a ∈ A
Teorema 1.64. Sejam E/F uma extensão finita e G = Gal(E/F). Então E/F é Galois se, e
somente se, a função:
φ : E ⊗ E −→ F(G, E)
F
a ⊗ b 7−→ g 7→ ag(b)
é bijetora.
1. Preliminares
46
Demonstração. (⇒) Se E/F é Galois, então [E : F] = |G|. Além disso, temos que:
dimE (E ⊗ E) = [E : F]
F
e
dimE (F(G, E)) = |G|
Logo, temos que:
dimE (E ⊗ E) = dimE (F(G, E))
F
Vejamos que φ é injetora. De fato,Psejam {e1 , ..., en } uma base de E/F e G = {g1 , ..., gn }.
Suponha por absurdo que existe 0 6= ai ⊗ ei ∈ ker φ. Então para cada gj ∈ G, temos:
X
ai gj (ei ) = 0
Equivalentemente, temos que o sistema abaixo tem solução não trivial:



g1 (e1 ) · · · g1 (en )
x1

  .. 
..
..
..

 .  = 0
.
.
.
gn (e1 ) · · · gn (en )
xn
Portanto a matriz:

g1 (e1 ) · · ·

..
..

.
.
gn (e1 ) · · ·

g1 (en )

..

.
gn (en )
é singular. Logo o sistema abaixo possui uma solução não trivial:


g1 (e1 ) · · · g1 (en )


..
..
..
x1 · · · xn 
=0
.
.
.
gn (e1 ) · · · gn (en )
Ou seja, existem b1 , ..., bn não todos nulos tais que, para todo i:
X
bj gj (ei ) = 0
o que implica que:
X
bj gj = 0
Absurdo, pois pelo teorema 1.61, temos que G = {g1 , ..., gn } é um conjunto linearmente
independente. Portanto ker φ = 0 e φ é injetora. Como:
dimE (E ⊗ E) = dimE (F(G, E))
F
temos que φ é bijetora.
(⇐) Se φ é bijetora, então:
[E : F] = dimE (E ⊗ E)
F
= dimE (F(G, E))
= |G|
= E : EG
G EG : F .
Como F ⊂ EG , temos
que
[E
:
F]
=
E
:
E
Portanto EG : F = 1 e F = EG , ou seja, E/F é Galois.
1. Preliminares
47
Proposição 1.65. Sejam E/F uma extensão finita, G ⊂ Gal(E/F) e K um subcorpo de F.
Então a função:
ϕ : F(G, E) −→ E ⊗ (KG)∗
K
X
f 7−→
f (g) ⊗ pg
g∈G
é bijetora, onde {pg }g∈G é base de (KG)∗ sobre K.
Demonstração. Temos que:
dimE (F(G, E)) = |G|
= dimE (E ⊗ (KG)∗ )
Logo, para verificar que ϕ é bijetora, é suficiente verificar que é injetora. Seja f ∈ ker ϕ.
Então:
X
f (g) ⊗ pg = 0
g∈G
Pela independência linear de {pg } em (KG)∗ , temos que {1 ⊗ pg } é linearmente independente em E ⊗ (KG)∗ sobre E, o que implica que ∀g ∈ G:
f (g) = 0
Portanto f ≡ 0 e ϕ é injetora.
A partir dos dois últimos resultados, temos o seguinte teorema:
Teorema 1.66. Sejam E/F uma extensão finita, G = Gal(E/F) e K um subcorpo de F. Então
a extensão é Galois se, e somente se, a função:
κr : E ⊗ E −→ E ⊗ (KG)∗
F
K
X
a ⊗ b 7−→
a g(b) ⊗ pg
é bijetora.
A partir da estrutura acima, podemos definir:
ρ : E −→ E ⊗ (KG)∗
X
b 7−→
g(b) ⊗ pg
∗
Proposição 1.67. O espaço E é (KG)∗ -comódulo com ρ dado acima, e EG = Eco (KG) .
Demonstração. Precisamos verificar que os seguintes diagramas comutam:
ρ
/ E ⊗ (KG)∗
E
ρ
E⊗∆(KG)∗
E ⊗ (KG)∗
ρ
"
ρ⊗(KG)∗
/ E ⊗ (KG)∗ ⊗ (KG)∗
/ E ⊗ (KG)∗
E
∼
=
x
E⊗K
E⊗ε(KG)∗
1. Preliminares
48
De fato, para cada b ∈ E, temos:
X
(ρ ⊗ (KG)∗ ) ◦ ρ(b) = (ρ ⊗ (KG)∗ )
g(b) ⊗ pg
X
=
h(g(b)) ⊗ ph ⊗ pg
X
X
=
k(b) ⊗
pg ⊗ pg−1 k
X
= (E ⊗ ∆(KG)∗ )
k(b) ⊗ pk
= (E ⊗ ∆(KG)∗ ) ◦ ρ(b)
e
X
(E ⊗ ε(KG)∗ ) ◦ ρ(b) = (E ⊗ ε(KG)∗ )
g(b) ⊗ pg
X
=
g(b) ⊗ ε(KG)∗ (pg )
= 1(b) ⊗ 1
=b⊗1
Portanto E é (KG)∗ -comódulo.
∗
Vejamos que EG = Eco (KG) . De fato, temos que:
b ∈ EG ⇐⇒ g(b) = b, ∀g ∈ G
Como {1 ⊗ pg } é base de E ⊗ (KG)∗ , temos que:
X
X
X g(b) = b, ∀g ∈ G ⇐⇒
g(b) ⊗ pg =
b ⊗ pg = b ⊗
pg
Como
P
pg = 1 em (KG)∗ , temos que:
X X
∗
pg ⇐⇒ b ∈ Eco (KG)
g(b) ⊗ pg = b ⊗
Portanto:
∗
b ∈ EG ⇐⇒ b ∈ Eco (KG)
1.7 Extensões Galois sobre Álgebras de Hopf
Nesta seção apresentaremos as extensões Galois sobre álgebras de Hopf, bem como uma caracterização dos objetos H-Galois através de funtores monoidais e explicaremos como o produto
cotensorial dá uma estrutura de grupo para a classe dos objetos H-biGalois fielmente K-planos.
Definição 1.68. Sejam H uma álgebra de Hopf e B ⊂ A álgebras. Diremos que A é uma
H-extensão à direita (à esquerda) de B se A é um H-comódulo álgebra à direita (à esquerda)
e B = Aco H .
A partir deste ponto, quando não houver menção dos termos ”à direita”ou ”à esquerda”,
assumiremos a estrutura à direita. Todos os resultados apresentados possuem o seu análogo
à esquerda.
Definição 1.69. Sejam A1 e A2 duas H-extensões de B. Diremos que uma função:
T : A1 −→ A2
é um morfismo de H-extensões de B se T é morfismo de H-comódulo álgebras e T (b) = b,
∀b ∈ B.
1. Preliminares
49
Definição 1.70. Sejam H uma álgebra de Hopf e A uma H-extensão B. Dizemos que A é
uma H-extensão Galois de B se a função A-linear à esquerda e H-colinear à direita:
κr : A ⊗ A −→ A ⊗ H
B
a ⊗ b 7−→ aρA (b) =
X
ab(0) ⊗ b(1)
é um isomorfismo. Chamaremos κr de função canônica de A.
Quando B ∼
= K, dizemos que A é um objeto H-Galois à direita.
Nos resultados a seguir, usaremos a definição de categoria monoidal e funtor monoidal
dadas por Saunders Mac Lane em [12] e descritas no Apêndice D.
Lembrando que, na notação de Sweedler, temos:
• Se C é uma coálgebra, então para cada c ∈ C denotaremos:
X
∆C (c) =
c1 ⊗ c2
• Se (M, βM ) é um C-comódulo à esquerda, então para cada m ∈ M denotaremos:
X
ρM (m) =
m(−1) ⊗ m(0)
Como temos que (C ⊗ βM ) ◦ βM = (∆C ⊗ M ) ◦ βM , podemos estender esta notação da
seguinte forma:
X
X
X
m(−2) ⊗m(−1) ⊗m(0) :=
m(−1) ⊗m(0),(−1) ⊗m(0),(0) =
m(−1),1 ⊗m(−1),2 ⊗m(0)
Proposição 1.71. Seja H uma biálgebra. A categoria dos H-comódulos à esquerda é uma
categoria monoidal com:
⊗ : HM × HM −→ HM
M × N 7−→ M ⊗ N
onde M ⊗ N é H-comódulo com estrutura dada por:
X
βM ⊗N (m ⊗ n) =
m(−1) n(−1) ⊗ m(0) ⊗ n(0)
e isomorfismos naturais para cada M, N, S ∈ HM dados por:
$ : M ⊗ (N ⊗ S) −→ (M ⊗ N ) ⊗ S
m ⊗ n ⊗ s 7−→ m ⊗ n ⊗ s
l
ωM
: K ⊗ M −→ M
λ ⊗ m 7−→ λm
e
r
ωM
: M ⊗ K −→ M
m ⊗ λ 7−→ λm
1. Preliminares
50
Demonstração. Precisamos verificar que os seguintes diagramas comutam:
βM ⊗N
M ⊗N
βM ⊗N
H ⊗M ⊗N
/H ⊗M ⊗N
∆H ⊗M ⊗N
/H ⊗H ⊗M ⊗N
βM ⊗N
M ⊗N
∼
=
'
H⊗βM ⊗N
/H ⊗M ⊗N
v
εH ⊗M ⊗N
K⊗M ⊗N
De fato, ∀m ∈ M e n ∈ N temos:
X
(H ⊗ βM ⊗N ) ◦ βM ⊗N (m ⊗ n) = (H ⊗ βM ⊗N )
m(−1) n(−1) ⊗ m(0) ⊗ n(0)
X
=
m(−1) n(−1) ⊗ m(0),(−1) n(0),(−1) ⊗ m(0),(0) ⊗ n(0),(0)
X
=
m(−1),1 n(−1),1 ⊗ m(−1),2 n(−1),2 ⊗ m(0) ⊗ n(0)
= (∆H ⊗ M ⊗ N )(m(−1) n(−1) ⊗ m(0) ⊗ n(0) )
= (∆H ⊗ M ⊗ N ) ◦ βM ⊗N (m ⊗ n)
e
X
(εH ⊗ M ⊗ N ) ◦ βM ⊗N (m ⊗ n) = (εH ⊗ M ⊗ N )
m(−1) n(−1) ⊗ m(0) ⊗ n(0)
X
=
εH (m(−1) n(−1) ) ⊗ m(0) ⊗ n(0)
X
=
εH (m(−1) )εH (n(−1) ) ⊗ m(0) ⊗ n(0)
X
=
1 ⊗ εH (m(−1) )m(0) ⊗ εH (n(−1) )n(0)
=1⊗m⊗n
Portanto M ⊗ N é H-comódulo à esquerda.
Claramente, usando elementos, os diagramas para categoria monoidal comutam.
Definição 1.72. Seja F : MK → MK um funtor. Diremos que F é fielmente exato se a
sequência:
/V
0
é exata se, e somente se, a sequência:
0
f
/W
g
/Z
/0
/ F(V ) F (f ) / F(W ) F (g) / F(Z)
/0
é exata.
Proposição 1.73. Sejam H uma biálgebra e A ∈ MH . Se (A, ρA ) é H-comódulo álgebra,
então:
ξ : (A V ) ⊗ (A W ) −→ A (V ⊗ W )
H
H
H
(x ⊗ v) ⊗ (y ⊗ w) 7−→ xy ⊗ v ⊗ w
e
ξ0 : K −→ A K
H
α 7−→ 1 ⊗ α
definem uma estrutura de funtor monoidal fraco para (A ) : HM → MK .
H
1. Preliminares
51
O H-comódulo álgebra A é (fielmente) H-coplano se, e somente se, o funtor é (fielmente)
exato.
Todo funtor exato monoidal fraco HM → MK tem a estrutura acima para um único
H-comódulo álgebra à direita A.
Demonstração. Pela Proposição 1.39, temos que (A ) é um funtor.
H
Considere o morfismo:
ξ 0 : (A V ) ⊗ (A W ) −→ A ⊗ (V ⊗ W )
H
H
(x ⊗ v) ⊗ (y ⊗ w) 7−→ xy ⊗ v ⊗ w
Então temos:
(ρA ⊗ V ⊗ W )ξ 0 (x ⊗ v ⊗ y ⊗ w) = (ρA ⊗ V ⊗ W )(xy ⊗ v ⊗ w)
= ρA (xy) ⊗ v ⊗ w
X
=
(xy)(0) ⊗ (xy)(1) ⊗ v ⊗ w
X
=
x(0) ⊗ x(1) ⊗ v ⊗ 1 y(0) ⊗ y(1) ⊗ 1 ⊗ w
X
=
x ⊗ v(−1) ⊗ v(0) ⊗ 1 y ⊗ w(−1) ⊗ 1 ⊗ w(0)
X
=
xy ⊗ v(−1) w(−1) ⊗ v(0) ⊗ w(0)
= (A ⊗ βV ⊗W )(xy ⊗ v ⊗ w)
= (A ⊗ βV ⊗W )ξ 0 (x ⊗ v ⊗ y ⊗ w)
Pela definição de equalizador, ξ 0 (A V ) ⊗ (A W ) ⊂ A (V ⊗ W ). Tome:
H
H
H
ξ : (A V ) ⊗ (A W ) −→ A (V ⊗ W )
H
H
H
0
x ⊗ v ⊗ y ⊗ w 7−→ ξ (x ⊗ v ⊗ y ⊗ w)
ξ00 : K −→ A ⊗ K
α 7−→ 1 ⊗ α
Então temos:
(ρA ⊗ K)ξ00 (α) = α(ρA ⊗ K)ξ00 (1)
= α(ρA ⊗ K)(1 ⊗ 1)
= α(ρA (1) ⊗ 1)
= α(1 ⊗ 1 ⊗ 1)
= α(A ⊗ βK )(1 ⊗ 1)
= α(A ⊗ βK )ξ00 (1)
= (A ⊗ βK )ξ00 (α)
Pela definição de equalizador, ξ00 (K) ⊂ A K. Tome:
H
ξ0 : K −→ A K
H
α 7−→ ξ00 (α)
1. Preliminares
52
Claramente, por elementos, os seguintes diagramas comutam:
$ /
A V ⊗ (A W ⊗ A Z)
(A V ⊗ A W ) ⊗ A Z
H
H
H
H
H
AV ⊗ξ
H
H
A V ⊗ A (W ⊗ Z)
H
H
ξ⊗AZ
A (V ⊗ W ) ⊗ A Z
H
H
H
ξ
ξ
A$
H
A (V ⊗ (W ⊗ Z))
H
/ A ((V ⊗ W ) ⊗ Z)
H
ωl
K ⊗ AV
ωr
AV
H
/ AV
H
O
H
H
AK ⊗ AV
H
ξ
H
/ A (K ⊗ V )
H
r
AωV
AV ⊗ξ0
H
/ AV
H
O
H
l
AωV
ξ0 ⊗AV
AV
H
AV ⊗ K
H
ξ
AV ⊗ AK
H
H
H
/ A (V ⊗ K)
H
Portanto (A ) é funtor monoidal fraco.
H
Pela definição de H-coplano, A é (fielmente) H-coplano se, e somente se, (A ) é (fielH
mente) exato.
Reciprocamente, seja F : HM → MK um funtor exato monoidal fraco. Pelo Teorema 1.43,
F∼
= (A ) para algum H-comódulo H-coplano A. Seja a estrutura de funtor monoidal fraco
H
dada por:
ξ : (A V ) ⊗ (A W ) −→ A (V ⊗ W )
H
H
H
e
ξ0 : K −→ A K
H
e m : H ⊗ H → H a multiplicação de H. Pela Proposição 1.37, ρA : A → A H é isomorfismo.
H
Defina a multiplicação de A pela composição:
ρ ⊗ρ
Am
ξ
ρ−1
H
A
A ⊗ A A−→A (A H) ⊗ (A H) −→ A (H ⊗ H) −→ A H −→
A
H
H
H
H
Vejamos que a multiplicação é associativa. Considere o isomorfismo:
$ : V ⊗ (W ⊗ Z) −→ (V ⊗ W ) ⊗ Z
v ⊗ w ⊗ z 7−→ v ⊗ w ⊗ z
Identificando A com A H pelo isomorfismo f , basta mostrar que o seguinte diagrama
H
comuta:
A H ⊗ (A H ⊗ A H)
H
H
$
H
/ (A H ⊗ A H) ⊗ A H
H
H
H
ξ⊗A H
H
/ A (H ⊗ H) ⊗ A H
H
H
A m⊗A H
H
H
/ AH ⊗ AH
H
H
A H⊗ξ
ξ
H
A H ⊗ A (H ⊗ H)
H
A (H ⊗ H)
H
H
A H⊗A m
H
A m
H
H
AH ⊗ AH
H
H
ξ
/ A (H ⊗ H)
H
A m
H
/ AH
H
Equivalentemente, basta mostrar que cada um dos seguintes subdiagramas comutam:
1. Preliminares
A H ⊗ (A H ⊗ A H)
H
H
$
H
/ (A H ⊗ A H) ⊗ A H
H
H
ξ⊗A H
H
H
53
/ A (H ⊗ H) ⊗ A H
H
H
/ AH ⊗ AH
H
H
ξ
H
H
A $
/ A (H ⊗ (H ⊗ H))
ξ
A H ⊗ A (H ⊗ H)
/ A ((H ⊗ H) ⊗ H)
H
H
A H⊗A m
H
H
H
A H⊗ξ
H
A m⊗A H
H
ξ
A m⊗H
H
/ A (H ⊗ H)
H
A H⊗m
H
H
A m
/ A (H ⊗ H)
ξ
AH ⊗ AH
H
A m
H
H
H
H
/ AH
H
Como ξ dá estrutura de funtor monoidal fraco, temos:
(A $) ◦ ξ ◦ (A H ⊗ ξ) = ξ ◦ (ξ ⊗ A H) ◦ $
H
H
H
Claramente, usando elementos, temos o seguinte:
(A m) ◦ (A m ⊗ H) ◦ (A $) = (A m) ◦ (A H ⊗ m)
H
H
H
H
H
Além disso, ξ é transformação natural, o que implica que:
(A H ⊗ m) ◦ ξ = ξ ◦ (A H ⊗ A m)
H
H
H
e
(A m ⊗ H) ◦ ξ = ξ ◦ (A m ⊗ A H)
H
H
H
Portanto A é uma álgebra.
Não provaremos, mas é possı́vel verificar que:
ρA (ab) = ρA (a)ρA (b)
ρA (1) = 1
Para a descrição dos objetos H-Galois fielmente K-planos, precisamos de um resultado
sobre a inversa da função canônica κr .
Observação 1.74. Seja A uma H-extensão Galois de B. Como κr é isomorfismo, denotaremos a inversa de κr por:
κ−1
r : A ⊗ H −→ A ⊗ A
B
X
a ⊗ h 7−→
ah[1] ⊗ h[2]
que também é A-linear à esquerda.
Lema 1.75. Seja A uma H-extensão Galois de B. Então para cada a ∈ A temos:
X
[1]
[2]
a(0) a(1) ⊗ a(1) = 1 ⊗ a
em A ⊗ A.
B
Demonstração. Aplicando κr , temos:
X
X
[1]
[2]
κr (
a(0) a(1) ⊗ a(1) ) = κr ◦ κ−1
a(0) ⊗ a(1) )
r (
X
=
a(0) ⊗ a(1)
= κr (1 ⊗ a)
Como κr é isomorfismo, temos que
X
[1]
[2]
a(0) a(1) ⊗ a(1) = 1 ⊗ a
1. Preliminares
54
Lema 1.76. Sejam H uma álgebra de Hopf e A um objeto H-Galois à direita. Então A é
fielmente K-plano se, e somente se, é fielmente H-coplano.
Demonstração. (⇒) Como A é fielmente K-plano, temos que a sequência:
f
g
/U
/V
/W
0
H
em M é exata se, e somente se, a seguinte sequência:
/0
/ A ⊗ U A⊗f / A ⊗ V A⊗g / A ⊗ W
0
/0
em MK é exata.
Pela Proposição 1.37, temos que βU : U → H U , βV : V → H V e βW : W → H W são
H
H
H
isomorfismos. Como f e g são morfismos de H-comódulos, os seguintes diagramas comutam:
f
U
βU
/V
βV
H⊗f
g
V
βV
/W
H⊗g
βW
/H ⊗V
/H ⊗W
H ⊗U
H ⊗V
Além disso, A é um objeto H-Galois. Logo a função canônica κ : A ⊗ A → A ⊗ H é um
isomorfismo. Considere a sua inversa κ−1 : A ⊗ H → A ⊗ A. Temos que o seguinte diagrama
comuta:
A⊗f
A⊗g
/A⊗U
/A⊗V
/A⊗W
/0
0
A⊗βU
/ A ⊗ H U
0
A⊗Hf
H
H
κ−1 U
/ A ⊗ AV
H
H
/0
H
κ−1 W
H
A⊗Af
A⊗βW
/ A ⊗ H W
κ−1 V
/ A ⊗ AU
0
A⊗Hg
/ A ⊗ H V
H
H
H
A⊗βV
A⊗Ag
H
H
H
/ A ⊗ AW
/0
H
Como temos isomorfismos nas colunas, a primeira linha é exata se, e somente se, a última
linha é exata.
Mas A é fielmente K-plano, o que implica que a sequência:
0
/ A ⊗ AU
A⊗Af
H
H
/ A ⊗ AV
A⊗Ag
H
H
/ A ⊗ AW
H
/0
é exata se, e somente se, a sequência:
0
/ AU
Af
H
H
/ AV
Ag
H
H
/ AW
H
/0
é exata.
Portanto, pelas três condições acima, A é fielmente H-coplano.
(⇐) Provaremos apenas que se A é H-coplano, então A é K-plano. Peter Schauenburg
afirma em [3] que A fielmente H-coplano implica A fielmente K-plano quando Aco H ∼
= K.
Considere a seguinte sequência exata em MK :
g
/U f /V
/W
/0
0
Temos que H é K-plano. Logo, temos a seguinte sequência exata:
H⊗f
H⊗g
/H ⊗U
/H ⊗V
/H ⊗W
/0
0
Note que H ⊗ U é H-comódulo à esquerda com coação dada por ∆H ⊗ U . Analogamente,
temos que H ⊗ V e H ⊗ W são H-comódulos à esquerda. Como A é H-coplano, temos a
seguinte sequência exata:
A(H⊗f )
0
/ A (H ⊗ U ) H
H
A(H⊗g)
/ A (H ⊗ V ) H
H
/ A (H ⊗ W )
Pelo Lema 1.41, temos o seguinte diagrama comutativo:
H
/0
1. Preliminares
A(H⊗f )
0
/ A (H ⊗ U ) H
A(H⊗g)
/ A (H ⊗ V ) H
H
/ A (H ⊗ W )
H
∼
=
H
∼
=
/ (A H) ⊗ U
H
H
/0
∼
=
/ (A H) ⊗ V
(AH)⊗f
0
55
/ (A H) ⊗ W
(AH)⊗g
H
H
H
/0
Mas pela Proposição 1.37, temos que A ∼
= A H. Logo a seguinte sequência é exata:
H
A⊗f
/A⊗U
0
Portanto A é K-plano.
/ A ⊗ V A⊗g / A ⊗ W
/0
Teorema 1.77. Seja H uma álgebra de Hopf. Então a Proposição 1.73 estabelece uma correpondência bijetora entre funtores monoidais exatos que comutam com somas diretas arbitrárias
HM → M e objetos H-Galois fielmente K-planos.
K
Demonstração. Seja F : HM → MK um funtor monoidal exato que comuta com somas diretas
arbitrárias. Pelo Teorema 1.43, existe um H-comódulo álgebra à direita A, que é H-coplano,
tal que F(V ) ∼
= A V , ∀V ∈ HM. Como o funtor é monoidal, os morfismos ξ e ξ0 são
H
isomorfismos. Logo K ∼
= AK ∼
= Aco H .
H
Considere f o morfismo dado pela seguinte composição:
A⊗A
ρA ⊗ρA
ξ
/ AH ⊗ AH
H
H
∼
=
/ A (H ⊗ H)
H
/ (A H) ⊗ H
H
ρ−1
A ⊗H
/A⊗H
Como cada um dos morfismos é um isomorfismo, temos que f é isomorfismo. Aplicando
em elementos, temos:
f (a ⊗ b) = (ρ−1
A ⊗ H) ◦ ξ ◦ (ρA ⊗ ρA )(a ⊗ b)
X
a(0) ⊗ a(1) ⊗ b(0) ⊗ b(1) )
= (ρ−1
A ⊗ H) ◦ ξ(
X
a(0) b(0) ⊗ a(1) ⊗ b(1) )
= (ρ−1
A ⊗ H)(
X
=
ε(a(1) )a(0) b(0) ⊗ b(1)
X
=
ab(0) ⊗ b(1)
Portanto f é a aplicação canônica de A e A é objeto H-Galois H-coplano. Pelo Lema 1.76,
temos que A é objeto H-Galois fielmente K-plano.
Reciprocamente, seja A um objeto H-Galois fielmente K-plano. Temos que os morfismos:
ξ : (A V ) ⊗ (A W ) −→ A (V ⊗ W )
H
H
H
(x ⊗ v) ⊗ (y ⊗ w) 7−→ xy ⊗ v ⊗ w
e
ξ0 : K −→ A K
H
α 7−→ 1 ⊗ α
definem uma estrutura de funtor monoidal fraco para (A ) : HM → MK , que comuta com
H
somas diretas arbitrárias. Como A é um objeto H-Galois, temos que K ∼
= Aco H . Além disso,
co
H
∼
AK = A
e ξ0 é monomorfismo, o que implica que ξ0 é isomorfismo.
H
g : A (V ⊗ W ) −→ (A V ) ⊗ (A W )
H
H
H
X
[1]
[2]
a ⊗ v ⊗ w 7−→
a(0) a(1) ⊗ v ⊗ a(1) ⊗ w
1. Preliminares
56
Então temos:
X
[1]
[2]
ξ ◦ g(a ⊗ v ⊗ w) = ξ(
a(0) a(1) ⊗ v ⊗ a(1) ⊗ w)
X
[1] [2]
=
a(0) a(1) a(1) ⊗ v ⊗ w
Lema 1.75
=
a⊗v⊗w
e
g ◦ ξ(a ⊗ v ⊗ b ⊗ w) = g(ab ⊗ v ⊗ w)
X
[1]
[2]
=
ab(0) b(1) ⊗ v ⊗ b(1) ⊗ w
Lema 1.75
=
a⊗v⊗b⊗w
Portanto g é a inversa de ξ, o que implica que ξ é isomorfismo e (A ) é funtor monoidal.
H
Como A é fielmente K-plano, pelo Lema 1.76, A é H-coplano e o funtor (A ) é exato.
H
Definição 1.78. Sejam L e H álgebras de Hopf. Diremos que uma álgebra A é um objeto LH-biGalois se: A é L-H-bicomódulo álgebra, é objeto L-Galois à esquerda e é objeto H-Galois
à direita.
Corolário 1.79. Sejam H e R álgebras de Hopf, A um objeto H-Galois à direita e B um
objeto H-R-biGalois fielmente K-planos. Então A B é um objeto R-Galois à direita fielmente
H
K-plano. Além disso, se L é uma álgebra de Hopf e A é um objeto L-H-biGalois fielmente
K-plano, então A B é um objeto L-R-biGalois fielmente K-plano.
H
Demonstração. Pelo Teorema 1.77, os funtores (A ) e (B ) são monoidais, fielmente exaH
R
tos e comutam com somas diretas arbitrárias. Logo, o funtor ((A B) ) ∼
= (A (B )) é
H
R
H
R
monoidal, fielmente exato e comuta com somas diretas arbitrárias. Pelo Teorema 1.77, temos
que A B é um objeto R-Galois à direita fielmente K-plano.
H
Pelo resultado análogo à esquerda, temos que A B é um objeto L-Galois à esquerda
H
fielmente K-plano. Como a estrutura de L-comódulo à esquerda é dada por βA ⊗ B e a
estrutura de R-comódulo à direita é dada por A ⊗ ρB , temos que A B é um objeto L-RH
biGalois.
O seguinte resultado é parte do Teorema 3.2.2 de [3] e não será demonstrado neste trabalho:
Proposição 1.80. Para cada objeto L-H-biGalois K-plano A, existe um objeto H-L-biGalois
K-plano A−1 tal que A A−1 ∼
= L como L-L-bicomódulo álgebras e A−1 A ∼
= H como H-HH
L
bicomódulo álgebras.
Definição 1.81. Seja H uma álgebra de Hopf. Definimos:
1) Gal(H) como o conjunto das classes de equivalência por isomorfismo dos objetos HGalois à direita fielmente K-planos;
2) BiGal(H) como o conjunto das classes de equivalência por isomorfismo dos objetos HbiGalois fielmente K-planos.
Corolário 1.82. O conjunto BiGal(H) é um grupo com o produto cotensorial.
1. Preliminares
57
Demonstração. O Corolário 1.79 garante que o produto está bem definido.
Pelo Lema 1.41, temos que o produto é associativo.
Pela Proposição 1.37, temos que o elemento neutro é a álgebra de Hopf H.
Pela Proposição 1.80, temos a existência da inversa. Portanto BiGal(H) é um grupo com
o produto cotensorial.
No Teorema 3.5 de [2], Schauenburg demonstra o seguinte resultado:
Teorema 1.83. Sejam H uma álgebra de Hopf e A um objeto H-Galois à direita fielmente
K-plano. Então existe uma álgebra de Hopf L := L(A, H) tal que A é um objeto L-H-biGalois.
Seja β a estrutura de L-comódulo em A. Para qualquer biálgebra B e estrutura de B-comódulo
β 0 em A que faz A ser um objeto B-H-biGalois, existe um único isomorfismo f : L → B de
biálgebras tal que β 0 = (f ⊗ A) ◦ β.
Proposição 1.84. Sejam H1 e H2 duas álgebras de Hopf. Se existe um objeto H1 -H2 -biGalois
fielmente K-plano, então temos uma bijeção:
Gal(H1 ) ∼
= Gal(H2 )
e um isomorfismo de grupos:
BiGal(H1 ) ∼
= BiGal(H2 )
Demonstração. Seja A um objeto H1 -H2 -biGalois fielmente K-plano. Pela Proposição 1.80,
existe um objeto H2 -H1 -biGalois A−1 tal que A A−1 ∼
= H1 como H1 -H1 -bicomódulo álgebras
H2
e A−1 A ∼
= H2 como H2 -H2 -bicomódulo álgebras.
H1
Como A é fielmente K-plano, pelo Lema 1.76, temos que o funtor (A ) é fielmente
H2
exato. Além disso, temos que (A (A−1 )) ∼
= (H1 ) que, pela Proposição 1.37, é um
H2
H1
H1
funtor fielmente exato. Mas isto implica que o funtor (A−1 ) é fielmente exato. Pelo
H1
Lema 1.76, temos que A−1 é fielmente K-plano.
Defina as seguintes funções:
Ψ : Gal(H1 ) −→ Gal(H2 )
B 7−→ B A
H1
e
Φ : Gal(H2 ) −→ Gal(H1 )
C 7−→ C A−1
H2
Temos que:
Ψ ◦ Φ(C) = Ψ(C A−1 )
H2
−1
=C A
H2
A
H1
= C H2
H2
=C
Analogamente, temos que Φ ◦ Ψ(B) = B. Portanto Ψ é uma bijeção com inversa dada por
Φ.
1. Preliminares
58
Para os grupos BiGal(H1 ) e BiGal(H2 ), definimos:
Ψ0 : BiGal(H1 ) −→ BiGal(H2 )
B 7−→ A−1 B A
H1
H1
e
Φ0 : BiGal(H2 ) −→ BiGal(H1 )
C 7−→ A C A−1
H2
H2
Temos que:
Ψ0 (B1 B2 ) = A−1 B1 B2 A
H1
H1
=A
=
=
H1
H1
−1
B1 H1 B2 A
H1
H1
H1
H1
−1
−1
A B1 A A B2 A
H1
H1 H2
H1
H1
Ψ0 (B1 ) Ψ0 (B2 )
H2
Portanto Ψ0 é morfismo de grupos. Analogamente, temos que Φ0 é morfismo de grupos.
Ψ0 ◦ Φ0 (C) = Ψ0 (A C A−1 )
H2
=A
−1
H2
AC A
H1 H2 H2
−1
A
H1
= H2 C H2
H2
H2
=C
Analogamente, temos que Φ0 ◦ Ψ0 (B) = B. Portanto Ψ0 é um isomorfismo de grupos, com
inversa dada por Φ0 .
1.8 Produtos Cruzados
Nesta seção mostraremos a relação entre extensões fendidas e H-extensões Galois, com o
objetivo de demonstrar o seguinte resultado: Sejam A1 e A2 H-extensões Galois de B e
T : A1 → A2 um morfismo de H-extensões Galois. Se A1 é fendido, então A2 é fendido e T é
isomorfismo.
Definição 1.85. Seja A uma H-extensão de B. Diremos que a extensão é fendida se existe
um morfismo de H-comódulos γ : H → A invertı́vel por convolução.
Observação 1.86. Note que podemos assumir que γ(1) = 1, pois caso γ(1) 6= 1, podemos
trocar γ por γ 0 = γ(1)−1 γ, que também é invertı́vel por convolução.
Definição 1.87. Sejam H uma álgebra de Hopf e A uma álgebra. Diremos que H mede A
se existe um morfismo K-linear, que denotaremos por:
H ⊗ A −→ A
h ⊗ a 7−→ h · a
tal que ∀h ∈ H e ∀a, b ∈ A:
1. Preliminares
1) h · (ab) =
59
P
(h1 · a)(h2 · b)
2) h · 1 = εH (h)1
Definição 1.88. Sejam H uma álgebra de Hopf e A uma álgebra. Diremos que A é um
H-módulo álgebra se:
1) H mede A;
2) tomando ϑA : H ⊗ A → A dado por ϑA (h ⊗ a) = h · a, então (A, ϑA ) é um H-módulo.
Neste caso, chamaremos ϑA de uma ação de H sobre A.
Definição 1.89. Sejam H uma álgebra de Hopf, A uma álgebra e σ : H ⊗H → A um morfismo
K-linear invertı́vel por convolução. Se H mede A, definimos o produto cruzado A#H por:
σ
• A#H = A ⊗ H como K-módulos e denotamos por a#h o elemento a ⊗ h em A#H.
σ
σ
• A multiplicação em A#H é dada por:
σ
(a#h)(b#k) =
X
a(h1 · b)σh2 , k1 #h3 k2
Lema 1.90. O produto cruzado A#H é uma álgebra associativa com identidade 1#1 se, e
σ
somente se, valem as seguinte condições:
1) Para todo a ∈ A e h, k ∈ H temos:
1·a=a
e
h · (k · a) =
X
σ(h1 , k1 ) (h2 k2 ) · a σ −1 (h3 , k3 )
2) O morfismo σ é um cociclo de H, ou seja, para todo h, k, l ∈ H temos:
σ(h, 1) = εH (h)1 = σ(1, h)
e
X
(h1 · σ(k1 , l1 ))σ(h2 , k2 l2 ) =
X
σ(h1 , k1 )σ(h2 k2 , l)
Lema 1.91. Seja A uma H-extensão fendida de B, com γ : H → A invertı́vel por convolução
e γ(1) = 1. Então H mede B com:
X
h·b=
γ(h1 )bγ −1 (h2 )
e temos que σ : H ⊗ H → B dada por:
σ(h, k) =
X
γ(h1 )γ(k1 )γ −1 (h2 k2 )
é invertı́vel por convolução.
Além disso, B#H ∼
= A como H-comódulo álgebras à direita e B-módulos à esquerda por:
σ
φ : B#H −→ A
σ
b#h 7−→ bγ(h)
1. Preliminares
60
Demonstração. Precisamos verificar que, se b ∈ B = Aco H , então h · b ∈ B, ou seja, que
ρA (h · b) = (h · b) ⊗ 1. De fato, como γ é morfismo de H-comódulos, temos que:
ρA ◦ γ = (γ ⊗ H) ◦ ∆H
Além disso, como ρA é morfismo de álgebras, temos que:
ρ ◦ (γ −1 ) = (ρ ◦ γ)−1
Além disso, tomando θ a função:
θ : H −→ A ⊗ H
h 7−→ γ −1 (h2 ) ⊗ S(h1 )
temos que:
((ρA ◦ γ) ∗ θ)(h) =
X
(γ(h1 ) ⊗ h2 )(γ −1 (h4 ) ⊗ S(h3 ))
=
X
γ(h1 )γ −1 (h4 ) ⊗ h2 S(h3 )
=
X
γ(h1 )γ −1 (h3 ) ⊗ εH (h2 )1
=
X
γ(εH (h2 )h1 )γ −1 (h3 ) ⊗ 1
=
X
γ(h1 )γ −1 (h2 ) ⊗ 1
= εH (h)(1 ⊗ 1)
ou seja, θ é a inversa por convolução pela direita de ρA ◦ γ. Pela unicidade da inversa, temos
que:
ρ ◦ (γ −1 ) = θ
Logo:
X
ρA (h · b) = ρA
γ(h1 )bγ −1 (h2 )
X
=
ρA (γ(h1 ))ρA (b)ρA (γ −1 (h2 ))
X
=
ρA (γ(h1 ))ρA (b)θ(h2 )
X
=
(γ(h1 ) ⊗ h2 )(b ⊗ 1)(γ −1 (h4 ) ⊗ S(h3 ))
X
=
(γ(h1 )bγ −1 (h4 )) ⊗ h2 S(h3 )
X
=
(γ(h1 )bγ −1 (h3 )) ⊗ εH (h2 )1
X
=
(γ(εH (h2 )h1 )bγ −1 (h3 )) ⊗ 1
X
=
(γ(h1 )bγ −1 (h2 )) ⊗ 1
= (h · b) ⊗ 1
Portanto h · b ∈ Aco H = B.
Veremos que as duas condições para H medir B são satisfeitas:
1) Para cada h ∈ H e a, b ∈ B temos:
X
h · (ab) =
γ(h1 )abγ −1 (h2 )
X
=
γ(h1 )abγ −1 (εH (h2 )h3 )
X
=
γ(h1 )a(εH (h2 )1)bγ −1 (h3 )
X
=
γ(h1 )a(γ −1 (h2 )γ(h3 ))bγ −1 (h4 )
= (h1 · a)(h2 · b)
1. Preliminares
61
2) Para cada h ∈ H temos:
h·1=
X
γ(h1 )1γ −1 (h2 )
= (γ ∗ γ −1 )(h)
= εH (h)1
Portanto H mede B com a estrutura dada.
Precisamos verificar que σ(h, k) ∈ B, ∀h, k ∈ H. De fato, temos:
X
ρA (σ(h, k)) = ρA
γ(h1 )γ(k1 )γ −1 (h2 k2 )
X
=
ρA (γ(h1 ))ρA (γ(k1 ))ρA (γ −1 (h2 k2 ))
X
=
(γ(h1,1 ) ⊗ h1,2 )(γ(k1,1 ) ⊗ k1,2 )(γ −1 (h2,2 k2,2 ) ⊗ S(h2,1 k2,1 ))
X
=
(γ(h1,1 )γ(k1,1 )γ −1 (h2,2 k2,2 )) ⊗ h1,2 k1,2 S(h2,1 k2,1 )
X
=
(γ(h1,1 )γ(k1,1 )γ −1 (h2,2 k2,2 )) ⊗ h1,2 k1,2 S(k2,1 )S(h2,1 )
X
=
(γ(h1 )γ(k1 )γ −1 (h4 k4 )) ⊗ h2 k2 S(k3 )S(h3 )
X
=
(γ(h1 )γ(k1 )γ −1 (h3 k3 )) ⊗ εH (h2 )εH (k2 )1
X
=
(γ(εH (h2 )h1 )γ(εH (k2 )k1 )γ −1 (h3 k3 )) ⊗ 1
X
=
(γ(h1 )γ(k1 )γ −1 (h2 k2 )) ⊗ 1
= σ(h, k) ⊗ 1
Portanto σ(h, k) ∈ Aco H = B.
P
Vejamos que σ é invertı́vel por convolução. Tome τ (h, k) =
γ(h1 k1 )γ −1 (k2 )γ −1 (h2 ).
Então:
X
(σ ∗ τ )(h, k) =
σ(h1 , k1 )τ (h2 , k2 )
X
=
γ(h1,1 )γ(k1,1 )γ −1 (h1,2 k1,2 )γ(h2,1 k2,1 )γ −1 (k2,2 )γ −1 (h2,2 )
X
=
γ(h1,1 )γ(k1,1 )γ −1 (h1,2 k1,2 )γ(h2,1 k2,1 )γ −1 (k2,2 )γ −1 (h2,2 )
X
=
γ(h1 )γ(k1 )εH (h2 k2 )γ −1 (k3 )γ −1 (h3 )
X
=
γ(h1 )γ(k1 )εH (h2 )εH (k2 )γ −1 (k3 )γ −1 (h3 )
X
=
γ(εH (h2 )h1 )γ(εH (k2 )k1 )γ −1 (k3 )γ −1 (h3 )
X
=
γ(h1 )γ(k1 )γ −1 (k2 )γ −1 (h2 )
X
= εH (k)
γ(h1 )γ −1 (h2 )
= εH (h)εH (k)1
1. Preliminares
62
e
(τ ∗ σ)(h, k) =
X
τ (h1 , k1 )σ(h2 , k2 )
=
X
γ(h1,1 k1,1 )γ −1 (k1,2 )γ −1 (h1,2 )γ(h2,1 )γ(k2,1 )γ −1 (h2,2 k2,2 )
=
X
γ(h1 k1 )γ −1 (k2 )γ −1 (h2,1 )γ(h2,2 )γ(k3 )γ −1 (h3 k4 )
=
X
γ(h1 k1 )γ −1 (k2 )(εH (h2 )1)γ(k3 )γ −1 (h3 k4 )
=
X
γ(εH (h2 )h1 k1 )γ −1 (k2,1 )γ(k2,2 )γ −1 (h3 k3 )
=
X
γ(h1 k1 )(εH (k2 )1)γ −1 (h2 k3 )
=
X
γ(εH (k2 )h1 k1 )γ −1 (h2 k3 )
=
X
γ(h1 k1 )γ −1 (h2 k2 )
= εH (hk)1
= εH (h)εH (k)1
ou seja, τ é a inversa por convolução de σ.
Considere as funções:
φ : B#H −→ A
σ
b#h 7−→ bγ(h)
e
ϕ : A −→ B#H
σ
X
a 7−→
a(0) γ −1 (a(1) )#a(2)
P
Precisamos verificar que
a(0) γ −1 (a(1) ) ∈ B. De fato:
X
X
ρA (
a(0) γ −1 (a(1) )) =
ρA (a(0) )ρA (γ −1 (a(1) ))
X
=
(a(0,0) ⊗ a(0,1) )(γ −1 (a(1)2 ) ⊗ S(a(1)1 ))
X
=
a(0) γ −1 (a(3) ) ⊗ a(1) S(a(2) )
X
=
a(0) γ −1 (a(2) ) ⊗ εH (a(1) )1
X
=
a(0) γ −1 (εH (a(1) )a(2) ) ⊗ 1
X
=
a(0) γ −1 (a(1) ) ⊗ 1
Claramente φ é B-linear à esquerda. Vejamos que ϕ também é B-linear. De fato, se b ∈ B
e a ∈ A, então:
X
ϕ(ba) =
(ba)(0) γ −1 ((ba)(1) )#(ba)(2)
X
=
b(0) a(0) γ −1 (b(1) a(1) )#b(2) a(2)
X
=
ba(0) γ −1 (a(1) )#a(2)
= bϕ(a)
Como B#H é H-comódulo à direita com ρ(b#h) =
σ
que as funções são morfismos de H-comódulos.
P
b#h1 ⊗ h2 , também é fácil verificar
1. Preliminares
63
Vejamos que ϕ é a inversa de φ:
X
φ ◦ ϕ(a) = φ
a(0) γ −1 (a(1) )#a(2)
X
=
a(0) γ −1 (a(1) )γ(a(2) )
X
=
a(0) εH (a(1) )
=a
e como ρA ◦ γ = (γ ⊗ H) ◦ ∆H , temos que (A ⊗ ∆H ) ◦ ρA ◦ γ = (γ ⊗ ∆H ) ◦ ∆H , ou seja:
X
X
γ(h)(0) ⊗ γ(h)(1) ⊗ γ(h)(2) =
γ(h1 ) ⊗ h2 ⊗ h3
Logo:
ϕ ◦ φ(b#h) = ϕ(bγ(h))
= bϕ(γ(h))
X
=b
γ(h)(0) γ −1 (γ(h)(1) )#γ(h)(2)
X
=b
γ(h1 )γ −1 (h2 )#h3
X
εH (h1 )1#h2
=b
X
=b
1#εH (h1 )h2
= b#h
Portanto φ e ϕ são isomorfismos.
Lema 1.92. Seja A#H um produto cruzado. Tomando:
σ
γ : H −→ A#H
σ
h 7−→ 1#h
então γ é morfismo de H-comódulos invertı́vel por convolução, com inversa dada por:
X
γ −1 (h) =
σ −1 (S(h2 ), h3 )#S(h1 )
Em particular, A ,→ A#H é uma H-extensão fendida.
σ
Demonstração. Vejamos que γ é morfismo de H-comódulos. Precisamos que o seguinte diagrama comute:
γ
/ A#H
H
σ
ρA#H
ρH
σ
H ⊗H
γ⊗H
/ A#H ⊗ H
σ
De fato, para cada h ∈ H temos:
ρA#H ◦ γ(h) = ρA#H (1#h)
σ
σ
X
=
1#h1 ⊗ h2
X
= (γ ⊗ H)(
h1 ⊗ h2 )
= (γ ⊗ H) ◦ ∆H (h)
= (γ ⊗ H) ◦ ρH (h)
1. Preliminares
64
Portanto γ é morfismo de H-comódulos. P
Tomando µ : H → A#H dado por µ(h) = σ −1 (S(h2 ), h3 )#S(h1 ), temos que para cada
σ
h ∈ H:
(µ ∗ γ)(h) =
X
µ(h1 )γ(h2 )
=
X
(σ −1 (S(h1,2 ), h1,3 )#S(h1,1 ))(1#h2 )
=
X
σ −1 (S(h1,2 ), h1,3 )(S(h1,1 )1 · 1)σ(S(h1,1 )2 , h2,1 )#S(h1,1 )3 h2,2
=
X
σ −1 (S(h1,2 ), h1,3 )(εH (S(h1,1 )1 ))σ(S(h1,1 )2 , h2,1 )#S(h1,1 )3 h2,2
=
X
σ −1 (S(h1,2 ), h1,3 )σ(εH (S(h1,1 )1 )S(h1,1 )2 , h2,1 )#S(h1,1 )3 h2,2
=
X
σ −1 (S(h1,2 ), h1,3 )σ(S(h1,1 )1 , h2,1 )#S(h1,1 )2 h2,2
=
X
σ −1 (S(h1,2 ), h1,3 )σ(S(h1,1,2 ), h2,1 )#S(h1,1,1 )h2,2
=
X
σ −1 (S(h3 ), h4 )σ(S(h2 ), h5 )#S(h1 )h6
=
X
σ −1 (S(h2,2 ), h3,1 )σ(S(h2,1 ), h3,2 )#S(h1 )h4
=
X
σ −1 (S(h2 )1 , h3,1 )σ(S(h2 )2 , h3,2 )#S(h1 )h4
X
(σ −1 ∗ σ)(S(h2 ), h3 )#S(h1 )h4
X
=
εH (S(h2 ))εH (h3 )#S(h1 )h4
X
=
1#εH (S(h1 )1 )S(h1 )2 εH (h2 )h3
X
=
1#S(h1 )h2
=
= εH (h)1#1
e
(γ ∗ µ)(h) =
X
γ(h1 )µ(h2 )
=
X
(1#h1 )(σ −1 (S(h2,2 ), h2,3 )#S(h2,1 ))
=
X
(h1,1 · σ −1 (S(h2,2 ), h2,3 ))σ(h1,2 , S(h2,1 )1 )#h1,3 S(h2,1 )2
=
X
(h1,1 · σ −1 (S(h2,2 ), h2,3 ))σ(h1,2 , S(h2,1,2 ))#h1,3 S(h2,1,1 )
=
X
(h1,1 · σ −1 (S(h2,2 ), h2,3 ))σ(h1,2 , S(h2,1 ))#h1,3,1 S(h1,3,2 )
=
X
(h1,1 · σ −1 (S(h2,2 ), h2,3 ))σ(h1,2 , S(h2,1 ))#εH (h1,3 )1
=
X
(h1,1 · σ −1 (S(h2,2 ), h2,3 ))σ(εH (h1,3 )h1,2 , S(h2,1 ))#1
=
X
(h1,1 · σ −1 (S(h2,2 ), h2,3 ))σ(h1,2 , S(h2,1 ))#1
=
X
(h1 · σ −1 (S(h4 ), h5 ))σ(h2 , S(h3 ))#1
Logo, precisamos apenas verificar que
X
(h1 · σ −1 (S(h4 ), h5 ))σ(h2 , S(h3 )) = εH (h)1, ∀h ∈ H
1. Preliminares
65
Note que:
X
X
(h1 · σ(k1 , l1 ))(h2 · σ −1 (k2 , l2 )) = h ·
σ(k1 , l1 )σ −1 (k2 , l2 )
= h · ((σ ∗ σ −1 )(k, l))
= h · (εH (k)εH (l)1)
= εH (k)εH (l)(h · 1)
= εH (h)εH (k)εH (l)1
e
X
(h1 · σ −1 (k1 , l1 ))(h2 · σ(k2 , l2 )) = h ·
X
σ −1 (k1 , l1 )σ(k2 , l2 )
= h · ((σ −1 ∗ σ)(k, l))
= h · (εH (k)εH (l)1)
= εH (k)εH (l)(h · 1)
= εH (h)εH (k)εH (l)1
ou seja, a função:
H ⊗ H ⊗ H −→ B
h ⊗ k ⊗ l 7−→ h · σ −1 (k, l)
é a inversa por convolução da função:
H ⊗ H ⊗ H −→ B
h ⊗ k ⊗ l 7−→ h · σ(k, l)
Por outro lado, temos que:
X
X
(h1 · σ(k1 , l1 ))σ(h2 , k2 l2 ) =
σ(h1 , k1 )σ(h2 k2 , l)
o que implica que:
h · σ(k, l) =
X
σ(h1 , k1 )σ(h2 k2 , l1 )σ −1 (h3 , k3 l2 )
e claramente a função:
H ⊗ H ⊗ H −→ B
X
h ⊗ k ⊗ l 7−→
σ(h1 , k1 l1 )σ −1 (h2 k2 , l2 )σ −1 (h3 , k3 )
é a inversa por convolução da função:
H ⊗ H ⊗ H −→ B
X
h ⊗ k ⊗ l 7−→
σ(h1 , k1 )σ(h2 k2 , l1 )σ −1 (h3 , k3 l2 )
Assim temos que:
h · σ −1 (k, l) =
X
σ −1 (h1 , k1 l1 )σ −1 (h2 k2 , l2 )σ(h3 , k3 )
1. Preliminares
66
Logo:
X
(h1 · σ −1 (S(h4 ), h5 ))σ(h2 , S(h3 ))
X
=
σ(h1,1 , S(h4 )1 h5,1 )σ −1 (h1,2 S(h4 )2 , h5,2 )σ −1 (h1,3 , S(h4 )3 )σ(h2 , S(h3 ))
X
=
σ(h1,1 , S(h4,3 )h5,1 )σ −1 (h1,2 S(h4,2 ), h5,2 )σ −1 (h1,3 , S(h4,1 ))σ(h2 , S(h3 ))
X
=
σ(h1,1 , S(h4,3 )h5,1 )σ −1 (h1,2 S(h4,2 ), h5,2 )σ −1 (h1,3 , S(h4,1 ))σ(h2 , S(h3 ))
X
=
σ(h1 , S(h8 )h9 )σ −1 (h2 S(h7 ), h10 )σ −1 (h3 , S(h6 ))σ(h4 , S(h5 ))
X
=
σ(h1 , S(h6 )h7 )σ −1 (h2 S(h5 ), h8 )σ −1 (h3,1 , S(h4,2 ))σ(h3,2 , S(h4,1 ))
X
=
σ(h1 , S(h6 )h7 )σ −1 (h2 S(h5 ), h8 )σ −1 (h3,1 , S(h4 )1 )σ(h3,2 , S(h4 )2 )
X
=
σ(h1 , S(h6 )h7 )σ −1 (h2 S(h5 ), h8 ) εH (h3 )εH (S(h4 ))1
X
=
σ(h1 , S(h6 )h7 )σ −1 (εH (h3 )εH (S(h4 ))h2 S(h5 ), h8 )
X
=
σ(h1 , S(h4 )h5 )σ −1 (h2 S(h3 ), h6 )
X
=
σ(h1 , εH (h3 )1)σ −1 (εH (h2 )1, h4 )
X
=
εH (h3 )εH (h2 )σ(h1 , 1)σ −1 (1, h4 )
X
=
σ(εH (h2 )h1 , 1)σ −1 (1, εH (h3 )h4 )
X
=
σ(h1 , 1)σ −1 (1, h2 )
X
=
εH (h1 )εH (h2 )1
= εH (h)1
Portanto γ é invertı́vel por convolução com inversa dada por:
X
γ −1 (h) =
σ −1 (S(h2 ), h3 )#S(h1 )
A partir dos dois últimos resultados, temos a seguinte proposição.
Proposição 1.93. Seja A uma H-extensão Galois de B. Então a extensão é fendida se, e
somente se, A = B#H.
σ
Agora apresentamos o resultado principal desta seção.
Teorema 1.94. [5, Lema 8.5] Sejam A1 e A2 H-extensões Galois de B e T : A1 → A2 um
morfismo de H-extensões. Se A1 é fendido, então A2 é fendido e T é isomorfismo.
Demonstração. Seja γ : H → A1 um morfismo de H-comódulos invertı́vel por convolução.
Pela Lema 1.91, temos que H mede B com:
X
h·b=
γ(h1 )bγ −1 (h2 )
γ
temos que σγ : H ⊗ H → B dada por:
σγ (h, k) =
X
γ(h1 )γ(k1 )γ −1 (h2 k2 )
1. Preliminares
67
é invertı́vel por convolução e a função:
φ1 : B#H −→ A1
σγ
b#h 7−→ bγ(h)
é isomorfismo.
Como γ e T são morfismos de H-comódulos, temos que o seguinte diagrama comuta:
γ
T
/ A1
/ A2
H
∆H
H ⊗H
γ⊗H
ρA1
/ A1 ⊗ H
T ⊗H
ρA2
/ A2 ⊗ H
Logo T ◦ γ : H → A2 é morfismo de H-comódulos. Como T é morfismo de álgebras, temos
que:
((T ◦ γ) ∗ (T ◦ γ −1 )) = T (γ ∗ γ −1 )
= T (uA1 εH )
= uA2 εH
ou seja, T ◦ γ −1 é a inversa por convolução à direita de T ◦ γ. De forma análoga temos que
T ◦ γ −1 é a inversa por convolução à esquerda de T ◦ γ.
Portanto T ◦ γ é invertı́vel por convolução e A2 é fendido.
Pela Lema 1.91, temos que H mede B com:
X
h · b=
(T ◦ γ)(h1 )b(T ◦ γ)−1 (h2 )
Tγ
temos que σT γ : H ⊗ H → B dada por:
X
σT γ (h, k) =
(T ◦ γ(h1 ))(T ◦ γ)(k1 )(T ◦ γ)−1 (h2 k2 )
é invertı́vel por convolução e a função:
φ2 : B # H −→ A2
σT γ
b#h 7−→ b(T ◦ γ)(h)
é isomorfismo.
Como T (b) = b, ∀b ∈ B, (T ◦ γ)−1 = T ◦ γ −1 e h · b ∈ B, temos que, ∀h ∈ H e b ∈ B:
γ
h · b=
X
Tγ
(T ◦ γ)(h1 )b(T ◦ γ)−1 (h2 )
X
(T ◦ γ)(h1 )T (b)(T ◦ γ −1 )(h2 )
X
=T
γ(h1 )bγ −1 (h2 )
=
= T (h · b)
γ
=h·b
γ
e como σγ (h, k) ∈ B, temos que, ∀h, k ∈ H:
X
σT γ (h, k) =
(T ◦ γ(h1 ))(T ◦ γ)(k1 )(T ◦ γ)−1 (h2 k2 )
X
=
(T ◦ γ(h1 ))(T ◦ γ)(k1 )(T ◦ γ −1 )(h2 k2 )
X
=T
γ(h1 )γ(k1 )γ −1 (h2 k2 )
= T (σγ (h, k))
= σγ (h, k)
1. Preliminares
68
Portanto B#H = B # H. Além disso, temos:
σγ
σT γ
T ◦ φ1 (b#h) = T (bγ(h))
= T (b)T (γ(h))
= b(T ◦ γ)(h)
= φ2 (b#h)
ou seja, o seguinte diagrama comuta:
A1 a
/ A2
=
T
φ1
φ2
B#H
σγ
Como φ1 e φ2 são isomorfismos, temos que T é isomorfismo.
Observação 1.95. Sejam H uma álgebra de Hopf e σ : H ⊗ H → K um morfismo K-linear
invertı́vel por convolução. Denotaremos o produto cruzado K#H por σ H.
σ
Teorema 1.96. [9, Proposição 2.4] Seja H uma álgebra de Hopf. Então se H tem dimensão
finita, todo objeto H-Galois é fendido.
Este teorema é essencial para o estudo dos objetos H-Galois que será feito nos Capı́tulos
2 e 3.
1.9 Cohomologia de Grupos
Nesta seção apresentaremos os grupos Z 2 (G, K∗ ) e B 2 (G, K∗ ), a fim de utilizarmos o quociente
H 2 (G, K∗ ) = Z 2 (G, K∗ )/B 2 (G, K∗ ), com a notação apresentada por Gregory Karpilovsky em
[8].
Definição 1.97. Seja G um grupo. Definimos Z 2 (G, K∗ ) como o grupo:
Z 2 (G, K∗ ) = {σ : G × G → K∗ ; σ(h, 1) = 1 = σ(1, h) e σ(h, k)σ(hk, l) = σ(h, kl)σ(k, l)}
Um elemento σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) será chamado de um cociclo de G.
Definição 1.98. Seja G um grupo. Definimos a função bordo como:
∂ : Hom(G, K∗ ) −→ Hom(G × G, K∗ )
f 7−→ (g × h 7→ f (g)f (h)f (gh)−1 )
e tomamos B 2 (G, K∗ ) como o grupo:
B 2 (G, K∗ ) = {∂(f ); f : G → K∗ tal que f (1) = 1}
Proposição 1.99. Seja G um grupo. Então B 2 (G, K∗ ) ⊂ Z 2 (G, K∗ ).
Demonstração. Seja f : G → K∗ tal que f (1) = 1. Então para cada h, h, l ∈ G temos:
∂(f )(h, k)∂(f )(hk, l) = f (h)f (k)f (hk)−1 f (hk)f (l)f (hkl)−1
= f (h)f (k)f (l)f (hkl)−1
= f (k)f (l)f (kl)−1 f (h)f (kl)f (hkl)−1
= ∂(f )(k, l)∂(f )(h, kl)
1. Preliminares
69
e
∂(f )(h, 1) = f (h)f (1)f (h1)−1
= f (h)f (h)−1
=1
= f (h)f (h)−1
= f (1)f (h)f (1h)−1
= ∂(f )(1, h)
Portanto ∂(f ) ∈ Z 2 (G, K∗ ).
Definição 1.100. Seja G um grupo. Definimos H 2 (G, K∗ ) como:
H 2 (G, K∗ ) = Z 2 (G, K∗ )/B 2 (G, K∗ )
Proposição 1.101. Seja G um grupo e σ : KG ⊗ KG → K um cociclo tal que σ KG é uma
álgebra associativa. Então σ restrito à G × G pertence à Z 2 (G, K∗ ).
Demonstração. Segue direto do Lema 1.90, pois em KG temos ∆(h) = h ⊗ h e ε(h) = 1,
∀h ∈ G.
Proposição 1.102. Seja G um grupo e σ, σ 0 : KG ⊗ KG → K cociclos tais que σ KG e σ0 KG
são álgebras associativas. Então σ KG ∼
= σ0 KG como KG-comódulo álgebras à direita se, e
somente se, σσ 0−1 restrito à G × G pertence à B 2 (G, K∗ ).
Demonstração. (⇒) Sejam ρ e ρ0 as estruturas de KG-comódulo de σ KG e σ0 KG respectivamente e seja f : σ KG → σ0 KG um isomorfismo de KG-comódulo álgebras à direita. Então:
ρ0 ◦ f = (f ⊗ KG) ◦ ρ
Para cada h ∈ G, temos:
ρ0 ◦ f (h) = ρ0
X
αg g
g∈G
=
X
αg g ⊗ g
g∈G
e
(f ⊗ KG) ◦ ρ(h) = (f ⊗ KG)(h ⊗ h)
= f (h) ⊗ h
Daı́ temos que αg = 0 se g 6= h. Logo f (h) = αh h, ∀h ∈ G.
Defina a função:
u : G −→ K∗
h 7−→ αh
Como f é morfismo de álgebras, temos que:
f (h · g) = f (h) ·0 f (g)
σ
σ
Por um lado, temos:
f (h · g) = f (σ(h, g)hg)
σ
= σ(h, g)u(hg)hg
1. Preliminares
70
Por outro lado, temos:
f (h) ·0 f (g) = (u(h)h) ·0 (u(g)g)
σ
σ
= u(h)u(g)h ·0 g
σ
= u(h)u(g)σ 0 (h, g)hg
Como hg 6= 0, temos:
σ(h, g)u(hg) = u(h)u(g)σ 0 (h, g)
ou seja:
σ(h, g)σ 0 (h, g)−1 = u(h)u(g)u(hg)−1 = ∂(u)(h, g)
Portanto σσ 0−1 restrito à G × G pertence à B 2 (G, K∗ ).
(⇐) Como σσ 0−1 ∈ B 2 (G, K∗ ), existe u : G → K∗ tal que σσ 0−1 = ∂(u). Defina a função:
f : σ KG −→ σ0 KG
h 7−→ u(h)h
Claramente f é isomorfismo, pois possui inversa dada por:
f −1 :
σ 0 KG
−→ σ KG
h 7−→ u(h)−1 h
Vejamos que f é um morfismo de KG-comódulos à direita. Para cada h ∈ G temos:
ρ0 ◦ f (h) = ρ0 (u(h)h)
= u(h)(h ⊗ h)
e
(f ⊗ KG) ◦ ρ(h) = (f ⊗ KG)(h ⊗ h)
= f (h) ⊗ h
= u(h)h ⊗ h
Portanto f é morfismo de KG-comódulos.
Vejamos que f é morfismo de álgebras. Para cada h, g ∈ G, temos:
f (h · g) = f (σ(h, g)hg)
σ
= σ(h, g)u(hg)hg
e
f (h) ·0 f (g) = (u(h)h) ·0 (u(g)g)
σ
σ
= u(h)u(g)(h ·0 g)
σ
= u(h)u(g)σ 0 (h, g)hg
Como σ(h, g)u(hg) = u(h)u(g)σ 0 (h, g), temos que f é morfismo de álgebras.
Portanto σ KG e σ0 KG são isomorfos como KG-comódulo álgebras.
2. DESCRIÇÃO DOS OBJETOS A(G)-GALOIS
2.1 A álgebra de Hopf A(G)
Nesta seção descreveremos a álgebra de Hopf A(G), o principal objeto de estudo deste trabalho. Chen, Huang, Ye e Zhang mostram, em [7], que toda álgebra de Hopf monomial não
semi-simples tem esta forma.
Definição 2.1. Um conjunto de dados de grupo é uma quádrupla G = (G, g, χ, µ), onde G
é um grupo finito, g ∈ G é um elemento central, χ : G → K∗ é um morfismo de grupos com
χ(g) 6= 1 e um elemento µ ∈ K tal que se o(χ(g)) = o(g), então µ = 0 e se µ 6= 0, então
χo(χ(g)) = 1.
Denotaremos por d a ordem de χ(g), ou seja d = o(χ(g)). Quando µ = 0, escrevemos
apenas G = (G, g, χ).
Definição 2.2. Sejam G = (G, g, χ, µ) e G0 = (G0 , g 0 , χ0 , µ0 ) dois conjuntos de dados de grupo.
Dizemos que G é isomorfo a G0 se existe uma constante η 6= 0 tal que µ = η d µ0 e existe um
isomorfismo u : G → G0 tal que u(g) = g 0 e χ0 ◦ u = χ.
S
Definição 2.3. Sejam V0 (G) o K-módulo com base B,onde B = {y} {wh ; h ∈ G} e L0 (G)
a álgebra tensorial sobre V0 (G). Definimos I0 (G) como o ideal bilateral de L0 (G) gerado por:
wh1 wh2 − wh1 h2
w1 − 1
ywh − χ(h)wh y
y d − µ (1 − wgd )
Chamaremos de A(G) a álgebra quociente L0 (G)/I0 (G). Note que o produto das classes
de wh em A(G) é compatı́vel com o produto do grupo G. Denotaremos a classe lateral de y
por x e a classe lateral de wh por h em A(G), ∀h ∈ G.
Proposição 2.4. O K-módulo V0 (G) é uma coálgebra com:
∆V0 (G) : V0 (G) −→ V0 (G) ⊗ V0 (G)
y 7−→ 1 ⊗ y + y ⊗ wg
wh 7−→ wh ⊗ wh
εV0 (G) : V0 (G) −→ K
y 7−→ 0
wh 7−→ 1
Demonstração. Vejamos que os seguintes diagramas comutam:
V0 (G)
∆V0 (G)
V0 (G) ⊗ V0 (G)
∆V0 (G)
∆V0 (G) ⊗V0 (G)
/ V0 (G) ⊗ V0 (G)
V0 (G)⊗∆V0 (G)
/ V0 (G) ⊗ V0 (G) ⊗ V0 (G)
2. Descrição dos objetos A(G)-Galois
V0 (G)
∼
=
∼
=
v
(
K ⊗ V0 (G)
V0 (G) ⊗ K
∆V0 (G)
h
εV0 (G) ⊗V0 (G)
6
V0 (G)⊗εV0 (G)
V0 (G) ⊗ V0 (G)
De fato:
(∆V0 (G) ⊗ V0 (G)) ◦ ∆V0 (G) (y) = (∆V0 (G) ⊗ V0 (G))(1 ⊗ y + y ⊗ wg )
= 1 ⊗ 1 ⊗ y + (1 ⊗ y + y ⊗ wg ) ⊗ wg
= 1 ⊗ 1 ⊗ y + 1 ⊗ y ⊗ wg + y ⊗ wg ⊗ wg
= 1 ⊗ (1 ⊗ y + y ⊗ wg ) + y ⊗ wg ⊗ wg
= (V0 (G) ⊗ ∆V0 (G) )(1 ⊗ y + y ⊗ wg )
= (V0 (G) ⊗ ∆V0 (G) ) ◦ ∆V0 (G) (y)
e para cada h ∈ G:
(∆V0 (G) ⊗ V0 (G)) ◦ ∆V0 (G) (wh ) = (∆V0 (G) ⊗ V0 (G))(wh ⊗ wh )
= wh ⊗ wh ⊗ wh
= (V0 (G) ⊗ ∆V0 (G) )(wh ⊗ wh )
= (V0 (G) ⊗ ∆V0 (G) ) ◦ ∆V0 (G) (wh )
(V0 (G) ⊗ εV0 (G) ) ◦ ∆V0 (G) (y) = (V0 (G) ⊗ εV0 (G) )(1 ⊗ y + y ⊗ wg )
=y⊗1
= τV0 (G) (y)
(V0 (G) ⊗ εV0 (G) ) ◦ ∆V0 (G) (wh ) = (V0 (G) ⊗ εV0 (G) )(wh ⊗ wh )
= wh ⊗ 1
= τV0 (G) (wh )
À esquerda temos um resultado análogo. Portanto V0 (G) é coálgebra.
Pela Proposição 1.46, temos o seguinte resultado: A álgebra L0 (G) é biálgebra com:
∆L0 (G) : L0 (G) −→ L0 (G) ⊗ L0 (G)
y 7−→ 1 ⊗ y + y ⊗ wg
wh 7−→ wh ⊗ wh
εL0 (G) : L0 (G) −→ K
y 7−→ 0
wh 7−→ 1
72
73
Proposição 2.5. A álgebra A(G) é uma biálgebra com:
∆A(G) : A(G) −→ A(G) ⊗ A(G)
x 7−→ 1 ⊗ x + x ⊗ g
h 7−→ h ⊗ h
εA(G) : A(G) −→ K
x 7−→ 0
h 7−→ 1
e {hxi ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é base de A(G) como K-espaço vetorial.
Demonstração. Temos que I0 (G) é um ideal de L0 (G). Logo A(G) é álgebra e a projeção:
πI0 (G) : L0 (G) −→ A(G)
é morfismo de álgebras. Vejamos que I0 (G) é um coideal. Utilizaremos o seguinte fato:
Como ker πI0 (G) = I0 (G), então ker (πI0 (G) ⊗ πI0 (G) ) = I0 (G) ⊗ L0 (G) + L0 (G) ⊗ I0 (G). Nos
geradores de I0 (G), temos:
(πI0 (G) ⊗ πI0 (G) ) ◦ ∆L(G) (wh1 wh2 − wh1 h2 )
= (πI0 (G) ⊗ πI0 (G) ) (wh1 ⊗ wh1 )(wh2 ⊗ wh2 ) − wh1 h2 ⊗ wh1 h2
= (πI0 (G) ⊗ πI0 (G) ) wh1 wh2 ⊗ wh1 wh2 − wh1 h2 ⊗ wh1 h2
= h1 h2 ⊗ h1 h2 − h1 h2 ⊗ h1 h2
=0
(πI0 (G) ⊗ πI0 (G) ) ◦ ∆L(G) (w1 − 1)
= (πI0 (G) ⊗ πI0 (G) )(w1 ⊗ w1 − 1 ⊗ 1)
=1⊗1−1⊗1
=0
(πI0 (G) ⊗ πI0 (G) ) ◦ ∆L0 (G) (ywh − χ(h)wh y)
= (πI0 (G) ⊗ πI0 (G) ) (1 ⊗ y + y ⊗ wg )(wh ⊗ wh ) − χ(h)(wh ⊗ wh )(1 ⊗ y + y ⊗ wg )
= (πI0 (G) ⊗ πI0 (G) ) wh ⊗ ywh + ywh ⊗ wg wh − χ(h)wh ⊗ wh y − χ(h)wh y ⊗ wh wg
= h ⊗ xh + xh ⊗ gh − χ(h)h ⊗ hx − χ(h)hx ⊗ hg
= h ⊗ (xh − χ(h)hx) + (xh − χ(h)hx) ⊗ gh
= h ⊗ 0 + 0 ⊗ gh
=0
Note que na álgebra A(G) temos que:
(x ⊗ g)(1 ⊗ x) = x ⊗ gx
= x ⊗ (χ(g)−1 xg)
= χ(g)−1 (1 ⊗ x)(x ⊗ g)
Tomando q = χ(g)−1 e lembrando que d = o(χ(g)), temos que q é uma d-ésima raı́z
primitiva da unidade em K e podemos usar os resultados de q-cálculo (ver Apêndice A) para
(x ⊗ g) e (1 ⊗ x).
74
Temos:
(πI0 (G) ⊗ πI0 (G) ) ◦ ∆L0 (G) (y d − µ(1 − wgd ))
= (πI0 (G) ⊗ πI0 (G) ) (1 ⊗ y + y ⊗ wg )d − µ(1 ⊗ 1 − wgd ⊗ wgd )
= (1 ⊗ x + x ⊗ g)d − µ(1 ⊗ 1 − g d ⊗ g d )
Corolário A.8
=
(1 ⊗ x)d + (x ⊗ g)d − µ1 ⊗ 1 + µg d ⊗ g d
= 1 ⊗ xd + xd ⊗ g d − µ1 ⊗ 1 + µg d ⊗ g d
= 1 ⊗ (µ(1 − g d )) + (µ(1 − g d )) ⊗ g d − µ1 ⊗ 1 + µg d ⊗ g d
= µ1 ⊗ 1 − µ1 ⊗ g d + µ1 ⊗ g d − µg d ⊗ g d − µ1 ⊗ 1 + µg d ⊗ g d
=0
Portanto ∆L0 (G) (I0 (G)) ⊂ ker (π ⊗ π) = I0 (G) ⊗ L0 (G) + L0 (G) ⊗ I0 (G).
Pela Proposição 1.48, temos que A(G) é biálgebra e o morfismo projeção:
πI0 (G) : L0 (G) → A(G)
é morfismo de biálgebras.
Vejamos que o conjunto {hxi ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é base de A(G). Para isso, usaremos
Lema do Diamante (ver Apêndice C). Os monômios da forma hxi são os irredutı́veis. Basta
mostrar que todas as ambiguidades são resolúveis. São elas:
• (xh1 h2 ): Neste caso, podemos utilizar primeiro a igualdade xh1 = χ(h1 )h1 x, obtendo:
xh1 h2 = χ(h1 )h1 xh2
= χ(h1 )χ(h2 )h1 h2 x
ou podemos considerar h1 h2 como um elemento de G, obtendo:
x(h1 h2 ) = χ(h1 h2 )h1 h2 x
Como χ é morfismo de grupos, temos que χ(h1 )χ(h2 ) = χ(h1 h2 ). Portanto esta ambiguidade é resolúvel.
• (xd h): Neste caso, podemos utilizar primeiro a igualdade xh = χ(h)hx, obtendo:
xd h = xd−1 xh
= χ(h)xd−1 hx
..
.
= χ(h)d hxd
= χ(h)d µh(1 − g d )
ou podemos utilizar primeiro a igualdade xd = µ(1 − g d ), obtendo:
xd h = µ(1 − g d )h
Como g é central em G, temos que (1 − g d )h = h(1 − g d ), ∀h ∈ G. Pelas propriedades
de conjunto de dados de grupo, se µ 6= 0, então χd = 1. Portanto esta ambiguidade é
resolúvel.
75
• (xd+1 ): Como d = o(χ(g)), temos:
x xd = µx(1 − g d )
= µ(x − xg d )
= µ(x − (χ(g d )g d x)
e
xd x = µ(1 − g d )x
= µ(x − g d x)
Como d = o(χ(g)) e χ é morfismo de grupos, temos que χ(g d ) = 1. Portanto esta
ambiguidade é resolúvel.
Portanto todas as ambiguidades são resolúveis.
Pelo Lema do Diamante, {hxi ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é base de A(G).
Proposição 2.6. A biálgebra A(G) é uma álgebra de Hopf com antı́poda:
S : A(G) −→ A(G)
x 7−→ −xg −1
h 7−→ h−1
Demonstração. Usaremos a demonstração proposta por Taft para o caso das álgebras de
mesmo nome em [10]. Considere a função K-linear:
f : V0 (G) −→ A(G)op
y 7−→ −xg −1
wh 7−→ h−1
Pela definição de álgebra tensorial, temos o morfismo de álgebras:
f 0 : L0 (G) −→ A(G)op
y 7−→ −xg −1
wh 7−→ h−1
Se I0 (G) ⊂ ker f 0 , então pela Proposição B.7, existe um único morfismo de álgebras S que
faz o seguinte diagrama comutar:
f0
L0 (G)
πI0 (G)
&
/ A(G)op
7
S
L0 (G)/I0 (G)
De fato, nos geradores de I0 (G), temos:
f 0 (wh1 wh2 − wh1 h2 ) = f 0 (wh1 wh2 ) − f 0 (wh1 h2 )
= mA(G)op (f 0 (wh1 ) ⊗ f 0 (wh2 )) − (h1 h2 )−1
−1
−1 −1
= h−1
2 h1 − h2 h1
=0
76
f 0 (w1 − 1) = f 0 (w1 ) − f 0 (1)
= 1−1 − 1
=1−1
=0
f 0 (ywh − χ(h)wh y) = f 0 (ywh ) − χ(h)f 0 (wh y)
= mA(G)op (f 0 (y) ⊗ f 0 (wh )) − χ(h)mA(G)op (f 0 (wh ) ⊗ f 0 (y))
= h−1 (−xg −1 ) − χ(h)(−xg −1 )h−1
= −χ(g −1 )h−1 g −1 x + χ(g −1 h−1 )χ(h)g −1 h−1 x
= −χ(g −1 )h−1 g −1 x + χ(g −1 h−1 h)g −1 h−1 x
=0
f 0 (y d − µ(1 − wgd )) = f 0 (y)d − µf 0 (1 − wgd )
= (−xg −1 )d − µ(1 − g −d )
d-vezes
}|
{
z
= (−1)d (xg −1 ) · · · (xg −1 ) −µ(1 − g −d )
= (−1)d χ(g −1 )1+2+···+d g −d xd − µ(1 − g −d )
= (−1)d χ(g −1 )d(d+1)/2 µg −d (1 − g d ) − µ(1 − g −d )
= (−1)d χ(g −1 )d(d+1)/2 µ(g −d − 1) − µ(1 − g −d )
= (−1)d+1 χ(g −1 )d(d+1)/2 µ(1 − g −d ) − µ(1 − g −d )
Daı́ temos que:
• se d é ı́mpar, então (d + 1)/2 é inteiro e temos que:
χ(g −1 )d(d+1)/2 = (χ(g)d )−(d+1)/2 = 1
e (−1)d = −1.
Logo:
f 0 (y d − µ(1 − wgd )) = 0
• se d é par, então d/2 é inteiro e temos que:
χ(g −1 )d(d+1)/2 = (χ(g)d+1 )−d/2 = (χ(g)d χ(g))−d/2 = χ(g)−d/2
e (−1)d = 1.
Como (χ(g)−d/2 )2 = χ(g)−d = 1, então χ(g)−d/2 = ±1. Mas se χ(g)−d/2 = 1, então
o(χ(g)) < d, o que é absurdo. Logo:
χ(g)−d/2 = −1
e
f 0 (y d − µ(1 − wgd )) = 0
77
Portanto S é morfismo de álgebras entre A(G) e A(G)op . Pelo Corolário 1.58, precisamos
mostrar que A(G)S = A(G). Pela Proposição 1.52, temos que A(G)S é subálgebra de A(G).
Como ∆A(G) (x) = 1 ⊗ x + x ⊗ g, temos:
S(1)x + S(x)g = 1x + (−xg −1 )g
=x−x
=0
= εA(G) (x)1
e
1S(x) + xS(g) = 1(−xg −1 ) + xg −1
=0
= εA(G) (x)1
Logo x ∈ A(G)S .
Para cada h ∈ G temos:
S(h)h = h−1 h
=1
= εA(G) (h)1
e
hS(h) = hh−1
=1
= εA(G) (h)1
Logo h ∈ A(G)S , ∀h ∈ G.
Portanto, como {x} ∪ {h; h ∈ G} gera A(G) como álgebra, temos que A(G) é subálgebra
de A(G)S , o que implica que A(G) é álgebra de Hopf com antı́poda S.
Chamaremos A(G) de álgebra de Hopf associada à G. A prova de que toda álgebra de
Hopf monomial não semi simples tem a forma de A(G) é feita em [7]. Para verificar que A(G)
é não semi simples, basta tomar o ideal à esquerda A(G)x. Se A(G) = A(G)x
P ⊕ I para algum
ideal à esquerda I, então um elemento não nulo em I deve ser da forma
αh h + mx, onde
m é um elemento qualquer de A(G) e αh 6= 0 para algum h ∈ G. Mas, ao multiplicar por
x, teremos um elemento não nulo que deve pertencer à A(G)x e I. Absurdo. Portanto A(G)
não pode ser escrito como soma direta de ideais à esquerda sendo um deles A(G)x, ou seja,
A(G) não é semi simples.
Lema 2.7. Seja A(G) uma álgebra de Hopf associada à G = (G, g, χ, µ) e 0 6= s ∈ A(G) um
elemento qualquer. Então:
1) se ∆A(G) (s) = s ⊗ s, então s ∈ G;
2) se ∆A(G) (s) = 1 ⊗ s + s ⊗ w com w ∈ G, então s = r1 x + r2 (g − 1) com r1 , r2 ∈ K se
w = g e s = r(w − 1) com r ∈ K∗ se w 6= g.
Demonstração. Pela Proposição 2.5, temos que {hxi ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é base de A(G).
Logo:
d−1
XX
s=
αh,i hxi
h∈G i=0
78
com αh,i ∈ K, ∀h ∈ G, i = 0, ..., d − 1. Além disso, tomando q = χ(g)−1 , temos que:
(x ⊗ g)(1 ⊗ x) = x ⊗ gx
= x ⊗ χ(g)−1 xg
= χ(g)−1 (1 ⊗ x)(x ⊗ g)
e podemos usar q-cálculo para (1 ⊗ x) e (x ⊗ g). Temos:
∆A(G) (s) =
d−1
XX
αh,i ∆A(G) (h)∆A(G) (x)i
h∈G i=0
=
d−1
XX
αh,i (h ⊗ h)(x ⊗ g + 1 ⊗ x)i
h∈G i=0
d−1
XX
X
i i
i−t
t
=
αh,i (h ⊗ h)
(x ⊗ g) (1 ⊗ x)
t q
t=0
h∈G i=0
d−1 X
i XX
i
=
αh,i hxi−t ⊗ hg i−t xt
t q
Proposição A.7
h∈G i=0 t=0
1) Se ∆A(G) (s) = s ⊗ s, então:
d−1 X
i XX
i
h∈G i=0 t=0
t
αh,i hxi−t ⊗ hg i−t xt =
q
d−1
X X
αk,m αl,n kxm ⊗ lxn
k,l∈G m,n=0
Pela independência linear de {hxi } em A(G), temos que, ∀h ∈ G, i = 0, ..., d − 1 e
t = 0, ..., i:
i
αh,i hxi−t ⊗ hg i−t xt = αh,i−t αhgi−t ,t hxi−t ⊗ hg i−t xt
t q
Logo, para todo h ∈ G e i = 0, ..., d − 1, tomando t = i, temos:
αh,i = αh,0 αh,i
Se αh,0 = 0, ∀h ∈ G, então αh,i = 0, ∀h ∈ G e i = 0, ..., d − 1. Absurdo, pois s 6= 0.
Seja h0 ∈ G tal que αh0 ,0 6= 0. Então tomando i = t = 0, temos:
αh0 ,0 = αh0 ,0 αh0 ,0
Portanto αh0 ,0 = 1.
Pela independência linear de {hxi } em A(G), como para qualquer h 6= h0 , o coeficiente
do termo h0 ⊗ h em ∆A(G) (s) é 0 mas em s ⊗ s é αh0 ,0 αh,0 , temos que αh,0 = 0, ∀h 6= h0 .
Mas como:
αh,i = αh,0 αh,i
então αh,i = 0, ∀h 6= h0 e i = 0, ..., d − 1.
Como para qualquer 0 < i ≤ d − 1, o coeficiente de h0 xi ⊗ h0 em ∆A(G) (s) é 0 (pois x do
lado esquerdo tem a mesma potência que g do lado direito) mas em s ⊗ s é αh0 ,i αh0 ,0 ,
temos que αh0 ,i = 0, ∀i = 1, ..., d − 1.
Portanto s = h0 ∈ G.
79
2) se ∆A(G) (s) = 1 ⊗ s + s ⊗ w, então:
d−1 X
i XX
i
h∈G i=0 t=0
t
αh,i hxi−t ⊗ hg i−t xt =
q
d−1
XX
αk,j (1 ⊗ kxj + kxj ⊗ w)
k∈G j=0
Se i ≥ 2, para qualquer
h ∈ G, podemos tomar t = 1 e o coeficiente
de hxi−1 ⊗ hg i−1 x
i
i
em ∆A(G) (s) é 1 q αh,i mas em 1 ⊗ s + s ⊗ w é 0. Como 1 q 6= 0, temos que αh,i = 0,
∀h ∈ G e i ≥ 2.
Logo, temos:
X
X
αh,0 h⊗h+αh,1 (hx⊗hg +h⊗hx) =
αk,0 (1⊗k +k ⊗w)+αk,1 (1⊗kx+kx⊗w)
h∈G
k∈G
Pela independência linear de {hxi } em A(G), podemos comparar os termos a ⊗ b com
a = 1 ou b = w, da seguinte forma:
• com x0 :
α1,0 1 ⊗ 1 + αw,0 w ⊗ w = α1,0 (1 ⊗ 1 + 1 ⊗ w) + αw,0 (1 ⊗ w + w ⊗ w)
Neste caso, como o coeficiente de 1 ⊗ w do lado direito é α1,0 + αw,0 e do lado
esquerdo é 0, temos que α1,0 = −αw,0 .
• com x1 :
α1,1 (1 ⊗ x + x ⊗ g) = α1,1 (1 ⊗ x + x ⊗ w)
Neste caso, se w = g, então α1,1 pode ser qualquer elemento de K, mas se w 6= g,
então α1,1 = 0.
Portanto:
• se w = g, temos que s = α1,1 x + αg,0 (g − 1);
• se w 6= g, temos que s = αw,0 (w − 1).
Proposição 2.8. Sejam G, G0 dois conjuntos de dados de grupo e A(G), A(G0 ) suas respectivas
álgebras de Hopf. Então A(G) ∼
= A(G0 ) se, e somente se, G ∼
= G0 .
Demonstração. (⇒) Seja T : A(G) → A(G0 ) um isomorfismo de álgebras de Hopf. Como T
é morfismo de coálgebras, temos que ∆A(G0 ) ◦ T = (T ⊗ T ) ◦ ∆A(G) . Logo, para cada h ∈ G
temos:
∆A(G0 ) ◦ T (h) = (T ⊗ T ) ◦ ∆A(G) (h)
= (T ⊗ T )(h ⊗ h)
= T (h) ⊗ T (h)
Pelo Lema 2.7, temos que T (h) ∈ G0 , ∀h ∈ G. Como T é isomorfismo, temos que sua
restrição à G é um monomorfismo de G à G0 . Analogamente, se T −1 é a inversa de T , temos
que T −1 restrito à G0 é um monomorfismo de G0 à G. Logo, T restrito à G é um isomorfismo
de grupos entre G e G0 .
80
Em x, temos:
∆A(G0 ) ◦ T (x) = (T ⊗ T ) ◦ ∆A(G) (x)
= (T ⊗ T )(1 ⊗ x + x ⊗ g)
= 1 ⊗ T (x) + T (x) ⊗ T (g)
Pelo Lema 2.7, se T (g) 6= g 0 , terı́amos que T (x) = r(T (g) − 1) com r ∈ K∗ .
Mas T (r(g − 1)) = r(T (g) − 1) e r(g − 1) 6= x. Absurdo, pois T é monomorfismo.
Portanto T (g) = g 0 e T (x) = r1 x + r2 (g 0 − 1) com r1 , r2 ∈ K.
Como T é morfismo de álgebras, temos que:
T (xg) = T (x)T (g)
= (r1 x + r2 (g 0 − 1))g 0
= r1 xg 0 + r2 (g 0 − 1)g 0
= r1 χ0 (g 0 )g 0 x + r2 (g 0 − 1)g 0
e
T (χ(g)gx) = χ(g)T (g)T (x)
= χ(g)g 0 (r1 x + r2 (g 0 − 1))
= r1 χ(g)g 0 x + r2 χ(g)(g 0 − 1)g 0
Como T (xg) = T (χ(g)gx) e χ(g) 6= 1 (pois 1 < d = o(χ(g))), temos que r2 = 0, o que
implica r1 6= 0.
Para cada h ∈ G, temos:
T (xh) = T (x)T (h)
= r1 xT (h)
= r1 χ0 (T (h))T (h)x
e
T (χ(h)hx) = χ(h)T (h)T (x)
= r1 χ(h)T (h)x
Como T (xh) = T (χ(h)hx), temos que χ0 ◦ T = χ.
T (xd ) = T (x)d
= (r1 x)d
= r1d xd
= r1d µ0 (1 − g 0d )
e
T (µ(1 − g d )) = µT ((1 − g d ))
= µ(1 − g 0d )
Como T (xd ) = T (µ(1 − g d )), temos que µ = r1d µ0 .
Tomando u como a restrição de T à G e w = r1 , temos que G e G0 são isomorfos.
81
∼ G0 , existem η ∈ K∗ tal que µ = η d µ0 e u : G → G0 isomorfismo tal que
(⇐) Se G =
u(g) = g 0 e χ0 ◦ u = χ. Considere a função K-linear:
f : A(G) −→ A(G0 )
hxi 7−→ η i u(h)xi
Vejamos que f é morfismo de álgebras. De fato, como para todo h ∈ G, χ0 (u(h)) = χ(h),
temos:
f (h1 xi h2 xj ) = f (χ(h2 )i h1 h2 xi+j )
= χ(h2 )i η i+j u(h1 h2 )xi+j
= χ0 (u(h2 ))i η i η j u(h1 )u(h2 )xi xj
= η i η j u(h1 )xi u(h2 )xj
= f (h1 xi )f (h2 xj )
e como u(1) = 1:
f (1) = u(1)
=1
Portanto f é morfismo de álgebras.
Vejamos que f é morfismo de coálgebras. De fato, como f , ∆A(G0 ) e ∆A(G) são morfismos
de álgebras, temos:
∆A(G0 ) ◦ f (hxi ) = ∆A(G0 ) (η i u(h)xi )
= η i (u(h) ⊗ u(h))(1 ⊗ x + x ⊗ g)i
= (u(h) ⊗ u(h))(1 ⊗ ηx + ηx ⊗ g)i
= (f (h) ⊗ f (h))(f (1) ⊗ f (x) + f (x) ⊗ f (g))i
= (f ⊗ f )((h ⊗ h)(1 ⊗ x + x ⊗ g)i )
= (f ⊗ f ) ◦ ∆A(G) (hxi )
e
εA(G0 ) ◦ f (hxi ) = εA(G0 ) (η i u(h)xi )
= η i εA(G0 ) (u(h))εA(G0 ) (x)i
Assim temos que:
• se i 6= 0, como εA(G0 ) (x) = 0, temos que εA(G0 ) ◦ f (hxi ) = 0 = εA(G) (hxi );
• se i = 0, então εA(G0 ) ◦ f (hxi ) = εA(G0 ) (u(h)) = 1 = εA(G) (hxi ).
Portanto f é morfismo de biálgebras. Como η 6= 0 e u : G → G0 é isomorfismo, claramente
temos que a função:
f 0 : A(G0 ) −→ A(G)
hxi 7−→ η −i u−1 (h)xi
é a inversa de f . Portanto f é isomorfismo.
Agora apresentamos uma classificação dos conjuntos de dados de grupo, feita por Julien
Bichon, [1]:
82
• Tipo I: Temos que µ = 0, d = o(χ(g)) = o(g) e χd = 1.
• Tipo II: Temos que µ = 0, d = o(χ(g)) = o(g) e χd 6= 1.
• Tipo III: Temos que µ = 0, d = o(χ(g)) < o(g) e χd = 1.
• Tipo IV: Temos que µ = 0, d = o(χ(g)) < o(g), χd 6= 1 e não existe σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) tal
que χ(h)d σ(h, g d ) = σ(g d , h), ∀h ∈ G.
• Tipo V: Temos que µ = 0, d = o(χ(g)) < o(g), χd 6= 1 e existe σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) tal que
χ(h)d σ(h, g d ) = σ(g d , h), ∀h ∈ G.
• Tipo VI: Temos que µ 6= 0 (e consequentemente d = o(χ(g)) < o(g) e χo(χ(g)) = 1).
Nos Teoremas 2.11 e 3.1, precisamos desta classificação, pois para cada tipo, existe uma
abordagem apropriada para a descrição do conjunto dos objetos A(G)-Galois e do grupo dos
objetos A(G)-biGalois.
Proposição 2.9. Sejam G ∼
= G0 . Então G e G0 são do mesmo tipo.
Demonstração. Sejam η ∈ K∗ tal que µ = η d µ0 e u : G → G0 tal que u(g) = g 0 e χ0 ◦ u = χ.
Logo, temos que µ = 0 se, e somente se, µ0 = 0.
Como u(g) = g 0 e χ0 ◦ u = χ, temos que:
d0 = o(χ0 (g 0 )) = o(χ0 (u(g))) = o(χ(g)) = d
Como u é isomorfismo, temos que:
o(g) = o(u(g)) = o(g 0 )
Além disso, temos que χ(h)d = 1, ∀h ∈ G se, e somente se, χ0 (u(h))d = 1, ∀h ∈ G. Mas
0
como u é isomorfismo e d = d0 , temos que χ0 (u(h))d = 1, ∀h ∈ G se, e somente se, χ0 (h0 )d = 1,
0
∀h0 ∈ G0 . Ou seja, χd = 1 se, e somente se, χ0d = 1.
Se existe σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) tal que:
χ(h)d σ(h, g d ) = σ(g d , h), ∀h ∈ G
tome σ 0 = σ ◦ (u−1 ⊗ u−1 ) ∈ Z 2 (G0 , K∗ ). Então para todo h0 ∈ G0 :
0
0
0
0
χ0 (h0 )d σ 0 (h0 , g 0d ) = χ0 (u(u−1 (h0 )))d σ(u−1 (h0 ), u−1 (g 0d ))
= χ(u−1 (h0 ))d σ(u−1 (h0 ), g d )
= σ(g d , u−1 (h0 ))
0
= σ(u−1 (g 0d ), u−1 (h0 ))
0
= σ 0 (g 0d , h0 )
Se existe σ 0 ∈ Z 2 (G0 , K∗ ) tal que:
0
0
0
χ0 (h0 )d σ(h0 , g 0d ) = σ 0 (g 0d , h0 ), ∀h0 ∈ G0
tome σ = σ 0 ◦ (u ⊗ u) ∈ Z 2 (G, K∗ ). Então para todo h ∈ G:
χ(h)d σ(h, g d ) = χ(u−1 (u(h)))d σ 0 (u(h0 ), u(g d ))
0
0
= χ0 (u(h))d σ 0 (u(h), g 0d )
0
= σ 0 (g 0d , u(h))
= σ 0 (u(g d ), u(h))
= σ(g d , h)
Portanto G e G0 são do mesmo tipo.
83
Como consequência, temos a seguinte descrição para os automorfismos da álgebra de Hopf
A(G):
Proposição 2.10. Seja A(G) uma álgebra de Hopf associada a um conjunto de dados de
grupo G. Então se G é do tipo I ao V, temos uma correspondência bijetora:
AutHopf (A(G)) ∼
= Autg,χ (G) × K∗
e se G é do tipo VI, temos uma correspondência bijetora:
AutHopf (A(G)) ∼
= Autg,χ (G) × Ωd
onde Autg,χ (G) = {u ∈ Autg (G); χ ◦ u = χ} e Ωd é o grupo as d-ésimas raı́zes da unidade em
K.
Nas seções seguintes apresentaremos alguns resultados necessários para a demonstração
do seguinte teorema:
Teorema 2.11. Seja G = (G, g, χ, µ) um conjunto de dados
de grupo. Então de acordo com
o tipo de G, temos a seguinte descrição para Gal A(G) :
• Tipo I: Gal A(G) ∼
= H 2 (G, K∗ ) × K
• Tipo II e IV: Gal A(G) ∼
= H 2 (G, K∗ )
`
• Tipo III, V e VI: Gal A(G) ∼
= H 2 (G, K∗ ) Hg2d ,gd (G, K∗ )
`
No teorema,
refere-se a união disjunta.
A demonstração para conjuntos de dados do tipo VI será feita no capı́tulo seguinte e segue
um caminho totalmente diferente dos demais.
Nas seções seguintes deste capı́tulo, assuma G = (G, g, χ) um conjunto de dados de grupo
(µ = 0), d = o(χ(g)) > 1 e q = χ(g)−1 .
2.2 Os objetos A(G)-Galois Aσ,a,Ψ (G)
Nesta seção apresentaremos a álgebra Aσ,a,Ψ (G), um tipo especial de objeto A(G)-Galois, e
sua relação com os demais objetos A(G)-Galois.
S
Definição 2.12. Sejam V(G) o espaço vetorial com base B,onde B = {Y } {Wh ; h ∈ G} e
L(G) a álgebra tensorial sobre V(G). Para σ ∈ Z 2 (G, K∗ ), a ∈ K e uma função Ψ : G → K,
definimos Iσ,a,Ψ (G) como o ideal bilateral de L(G) gerado por:
Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 h1 ,h2 ∈G
W1 − 1
Y Wh − χ(h)Wh Y − Ψ(h)Wgh
h∈G
Y d − aWgd
Chamaremos de Aσ,a,Ψ (G) a álgebra quociente L(G)/Iσ,a,Ψ (G), X a classe lateral de Y e
Th a classe lateral de Wh em Aσ,a,Ψ (G).
No caso Ψ ≡ 0, denotaremos Iσ,a,Ψ (G) por Iσ,a (G) e Aσ,a,Ψ (G) por Aσ,a (G).
Lema 2.13. O espaço vetorial V(G) é A(G)-comódulo com estrutura dada por:
ρV(G) : V(G) −→ V(G) ⊗ A(G)
Y 7−→ 1 ⊗ x + Y ⊗ g
Wh 7−→ Wh ⊗ h
84
Demonstração. Vejamos que ρV(G) satisfaz os seguintes diagramas comutativos:
ρV(G)
V(G)
ρV(G)
V(G) ⊗ A(G)
ρV(G) ⊗A(G)
V(G)⊗∆A(G)
/ V(G) ⊗ A(G) ⊗ A(G)
ρV(G)
/ V(G) ⊗ A(G)
V(G)
∼
=
/ V(G) ⊗ A(G)
%
w
V(G)⊗εA(G)
V(G) ⊗ K
Pela linearidade de ρV(G) , basta verificar nos elementos da base de V(G). Temos que:
ρV(G) ⊗ A(G) ◦ ρV(G) (Y ) = ρV(G) ⊗ A(G) (1 ⊗ x + Y ⊗ g)
= ρV(G) (1) ⊗ x + ρV(G) (Y ) ⊗ g
=1⊗1⊗x+1⊗x⊗g+Y ⊗g⊗g
= 1 ⊗ (1 ⊗ x + x ⊗ g) + Y ⊗ g ⊗ g
= 1 ⊗ ∆A(G) (x) + Y ⊗ ∆A(G) (g)
= V(G) ⊗ ∆A(G) (1 ⊗ x + Y ⊗ g)
= V(G) ⊗ ∆A(G) ◦ ρV(G) (Y )
V(G) ⊗ εA(G) ◦ ρV(G) (Y ) = V(G) ⊗ εA(G) (1 ⊗ x + Y ⊗ g)
= 1 ⊗ εA(G) (x) + Y ⊗ εA(G) (g)
=Y ⊗1
ρV(G) ⊗ A(G) ◦ ρV(G) (Wh ) = ρV(G) ⊗ A(G) (Wh ⊗ h)
= ρV(G) (Wh ) ⊗ h
= Wh ⊗ h ⊗ h
= Wh ⊗ ∆A(G) (h)
= V(G) ⊗ ∆A(G) (Wh ⊗ h)
= V(G) ⊗ ∆A(G) ◦ ρV(G) (Wh )
V(G) ⊗ εA(G) ◦ ρV(G) (Wh ) = V(G) ⊗ εA(G) (Wh ⊗ h)
= Wh ⊗ εA(G) (h)
= Wh ⊗ 1
Como as duas últimas equações não dependem de h, verificamos para todos os elementos
da base de V(G). Portanto V(G) é A(G)-comódulo.
Pela Teorema 1.10, temos o seguinte resultado: A álgebra L(G) é A(G)-comódulo álgebra
com coação dada por:
ρL(G) : L(G) −→ L(G) ⊗ A(G)
Y 7−→ 1 ⊗ x + Y ⊗ g
Wh 7−→ Wh ⊗ h
Lema 2.14. O conjunto {Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} gera Aσ,a,Ψ (G).
85
Demonstração. Um elemento α ∈ Aσ,a,Ψ
é da forma α = β + Iσ,a,Ψ (G), onde β ∈ L(G).
P(G)
n
Este β porSsua vez é da forma β =
j=0 λj Qj,1 Qj,2 · · · Qj,mj , com λj ∈ K, n, mj ∈ N e
Qk,l ∈ {Y } {Wh |h ∈ G}.
Se, para algum k e algum l tivermos Qk,l = Wh1 e Qk,l+1 = Wh2 , podemos substituir
Qk,l Qk,l+1 por σ(h1 , h2 )Wh1 h2 no produtório permanecendo na classe de equivalência α, pois
Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 ∈ Iσ,a,Ψ (G).
Usando este argumento recursivamente, podemos substituir o representante de α por um
elemento de L(G) que possui apenas monômios da forma Y n1 Wh1 Y n2 Wh2 · · · Y ns Whs Y ns+1 ,
ou seja, que é produto de potências de Y e algum Wh , alternadamente.
Se, para algum k e algum l tivermos Qk,l = Y e Qk,l+1 = Wh , podemos substituir
Qk,l Qk,l+1 por χ(h)Wh Y + Ψ(h)Tgh no produtório permanecendo na classe de equivalência α,
pois Y Wh − χ(h)Wh Y − Ψ(h)Wgh ∈ Iσ,a,Ψ (G).
Usando este argumento recursivamente juntamente com o argumento anterior, podemos
substituir o representante de α por um elemento de L(G) que possui apenas monômios da
forma Wh Y n .
Se em algum monômio tivermos Y n , com n ≥ d, podemos substituir cada Y d por aWgd
no produtório permanecendo na classe de equivalência α, pois Y d − aW g d ∈ Iσ,a,Ψ (G).
Portanto, podemos escolher um representante de α que possui apenas monômios da forma
Wh Y i , com h ∈ G e 0 ≤ i ≤ d − 1. Ou seja, podemos escrever α como combinação linear de
elementos da forma Th X i , com h ∈ G e 0 ≤ i ≤ d − 1.
Proposição 2.15. A álgebra Aσ,a,Ψ (G) tem estrutura de A(G)-comódulo álgebra à direita
com coação ρ : Aσ,a,Ψ (G) → Aσ,a,Ψ (G) ⊗ A(G) definida por:
ρ(X) = 1 ⊗ x + X ⊗ g,
ρ(Th ) = Th ⊗ h,
∀h ∈ G.
Além disso, as seguintes afirmações são equivalentes:
1) Aσ,a,Ψ (G) é objeto A(G)-Galois à direita.
2) dim Aσ,a,Ψ (G) = |G|d e o conjunto {Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d−1} é uma base de Aσ,a,Ψ (G)
sobre K.
3) Aσ,a,Ψ (G) é uma álgebra não nula.
Demonstração. Vejamos que ρL(G) (Iσ,a,Ψ (G)) ⊂ Iσ,a,Ψ (G) ⊗ A(G).
De fato, nos geradores de Iσ,a,Ψ (G) temos que:
ρL(G) (Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 ) = (Wh1 ⊗ h1 ) (Wh2 ⊗ h2 ) − σ(h1 , h2 ) (Wh1 h2 ⊗ h1 h2 )
= Wh1 Wh2 ⊗ h1 h2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 ⊗ h1 h2
= (Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 ) ⊗ h1 h2
ρL(G) (W1 − 1) = W1 ⊗ 1 − 1 ⊗ 1
= (W1 − 1) ⊗ 1
ρL(G) (Y Wh − χ(h)Wh Y − Ψ(h)Wgh ) = (1 ⊗ x + Y ⊗ g) (Wh ⊗ h)
− χ(h) (Wh ⊗ h) (1 ⊗ x + Y ⊗ g) − Ψ(h) (Wgh ⊗ gh)
= Wh ⊗ xh + Y Wh ⊗ gh − χ(h)Wh ⊗ hx
− χ(h)Wh Y ⊗ hg − Ψ(h)Wgh ⊗ gh
= (Y Wh − χ(h)Wh Y − Ψ(h)Wgh ) ⊗ gh
+ Wh ⊗ (xh − χ(h)hx)
= (Y Wh − χ(h)Wh Y − Ψ(h)Wgh ) ⊗ gh
86
Para o elemento Y d − aWgd , a fim de simplificar a verificação, podemos utilizar o seguinte fato: Seja π : L(G) → Aσ,a,Ψ (G) o morfismo projeção. Como ker π = Iσ,a,Ψ (G), então
ker (π ⊗ A(G)) = Iσ,a,Ψ (G) ⊗ A(G).
Note que na álgebra Aσ,a,Ψ (G) temos que:
(X ⊗ g)(1 ⊗ x) = X ⊗ gx
= X ⊗ (χ(g)−1 xg)
= χ(g)−1 (1 ⊗ x)(X ⊗ g)
Tomando q = χ(g)−1 , que é uma d-ésima raı́z primitiva da unidade em K, podemos usar
os resultados de q-cálculo para (X ⊗ g) e (1 ⊗ x).
Temos:
(π ⊗ A(G)) ◦ ρL(G) Y d − aWgd = (π ⊗ A(G)) (1 ⊗ x + Y ⊗ g)d − aWgd ⊗ g d
= (1 ⊗ x + X ⊗ g)d − aTgd ⊗ g d
Corolário A.8
=
(1 ⊗ x)d + (X ⊗ g)d − aTgd ⊗ g d
= 1 ⊗ xd + X d ⊗ g d − aTgd ⊗ g d
= X d − aTgd ⊗ g d
=0
Portanto ρL(G) Y d − aWgd ∈ ker (π ⊗ A(G)) = Iσ,a,Ψ (G) ⊗ A(G).
Pelo Corolário 1.14, Aσ,a,Ψ (G) é A(G)-comódulo álgebra com coação ρ dada por:
ρ(X) = 1 ⊗ x + X ⊗ g,
ρ(Th ) = Th ⊗ h,
∀h ∈ G.
• 1)⇒ 2) Como dim A(G) < ∞, temos que Aσ,a,Ψ (G) é fendido. Logo, existe um 2-cociclo
τ tal que Aσ,a,Ψ (G) ∼
= τ A(G). Assim, temos que dim Aσ,a,Ψ (G) = dim τ A(G) = |G|d.
Pelo Lema 2.14, temos que {Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é gerador e portanto é base.
• 2)⇒ 3) Como dim Aσ,a,Ψ (G) 6= 0, temos que Aσ,a,Ψ (G) é álgebra não nula.
• 3)⇒ 1) Vejamos que Aσ,a,Ψ (G) é objeto A(G)-Galois, ou seja, que a função κr é sobrejetora. Para isso, vamos usar indução sobre o ı́ndice i nos elementos hxi da base de A(G)
e o fato de κr ser Aσ,a,Ψ (G)-linear à esquerda.
κr (1 ⊗ Th ) = 1ρ (Th )
= (Th ⊗ h)
e pela Aσ,a,Ψ (G)-linearidade à esquerda temos:
κr σ(h−1 , h)−1 Th−1 ⊗ Th = σ(h−1 , h)−1 Th−1 κr (1 ⊗ Th )
= σ(h−1 , h)−1 Th−1 (Th ⊗ h)
= σ(h−1 , h)−1 σ(h−1 , h)Th−1 h ⊗ h
=1⊗h
A fim de melhorar a notação nas equações seguintes, denotaremos por ξh o elemento
σ(h−1 , h)−1 Th−1 ⊗ Th ∈ Aσ,a,Ψ (G) ⊗ Aσ,a,Ψ (G), ∀h ∈ G.
87
Assim, para todo h ∈ G e 1 ≤ i ≤ d temos que:
κr ξh X i = κr σ(h−1 , h)−1 Th−1 ⊗ Th X i
= σ(h−1 , h)−1 Th−1 ρ Th X i
= σ(h−1 , h)−1 Th−1 ρ (Th ) ρ (X)i
= σ(h−1 , h)−1 Th−1 (Th ⊗ h) (X ⊗ g + 1 ⊗ x)i
= (1 ⊗ h) (X ⊗ g + 1 ⊗ x)i
!
i X
i
Proposição A.7
i−t
t
=
(1 ⊗ h)
(X ⊗ g) (1 ⊗ x)
t q
t=0
i X
i
=
X i−t ⊗ hg i−t xt
t q
t=0
Observação 2.16. Note que poderı́amos ter utilizado q = χ(g) e (1 ⊗ x + X ⊗ g)i sem
afetar o resultado final, pois a soma é comutativa, mas desta forma, após utilizar a
Proposição A.7, aparecerı́am termos da forma hxi−t g t do lado direito do produto direto,
que não estão na forma reduzida.
Vejamos que 1 ⊗ hx está na imagem de κr para todo h ∈ G:
κr (ξh X − Xξhg ) = κr (ξh X) − Xκr (ξhg )
= 1 ⊗ hx + X ⊗ hg − X ⊗ hg
= 1 ⊗ hx
Assuma que 1 ⊗ hxt está na imagem de κr , ∀h ∈ G e 0 ≤ t ≤ i − 1.
Seja ηh,t ∈ Aσ,a,Ψ (G) ⊗ Aσ,a,Ψ (G) tal que κr (ηh,t ) = 1 ⊗ hxt . Então:
!
i−1 i−1 X
X
i
i
i
i−t
i
X i−t κr ηhgi−t ,t
X ηhgi−t ,t = κr ξh X −
κr ξh X −
t q
t q
t=0
t=0
i
X
i
=
X i−t ⊗ hg i−t xt
t q
t=0
i−1 X
i
X i−t 1 ⊗ hg i−t xt
−
t q
t=0
= 1 ⊗ hxi
Logo, todos os elementos da forma 1 ⊗ hxi estão na imagem de κr .
Como κr é Aσ,a,Ψ (G)-linear à esquerda, temos que κr é sobrejetora.
Assim, temos que:
(dim Aσ,a,Ψ (G))(dim Aσ,a,Ψ (G)) = dim Aσ,a,Ψ (G) ⊗ Aσ,a,Ψ (G)
≥ dim Aσ,a,Ψ (G) ⊗ A(G)
= (dim Aσ,a,Ψ (G))(dim A(G))
Como Aσ,a,Ψ (G) é algebra não-nula, dim Aσ,a,Ψ (G) 6= 0. Portanto:
dim Aσ,a,Ψ (G) ≥ dim A(G) = |G|d
88
Pelo Lema 2.14, temos que dim Aσ,a,Ψ (G) ≤ |G|d. Portanto:
dim Aσ,a,Ψ (G) = |G|d = dim A(G)
e
dim Aσ,a,Ψ (G) ⊗ Aσ,a,Ψ (G) = dim Aσ,a,Ψ (G) ⊗ A(G)
Logo a função κr é isomorfismo, o que implica que Aσ,a,Ψ (G) é objeto A(G)-Galois.
Lema 2.17. Sejam G = (G, g, χ, µ) um conjunto de dados de grupo, A(G) a álgebra de Hopf
associada a G, σ um 2-cociclo sobre A(G) e ρ : σ A(G) → σ A(G) ⊗ A(G) a coação de A(G)
sobre σ A(G). Se ρ(s) = s ⊗ η com η ∈ G, então s = λη para algum λ ∈ K.
Demonstração. Como espaços vetoriais, temos que σ A(G) = A(G).
Logo, {hxi ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é base de σ A(G) e temos que:
d−1
XX
s=
αh,i hxi
h∈G i=0
com αh,i ∈ K, ∀h ∈ G e 0 ≤ i ≤ d − 1.
Por um lado estamos supondo que:
ρ(s) = s ⊗ η
=
d−1
XX
αh,i hxi ⊗ η
h∈G i=0
Por outro lado, temos que:
d−1
X X
ρ(s) = ρ
αh,i hxi
h∈G i=0
=
d−1
XX
αh,i ρ(h)ρ(x)i
h∈G i=0
=
d−1
XX
αh,i (h ⊗ h)(1 ⊗ x + x ⊗ g)i
h∈G i=0
Proposição A.7
=
d−1 X
i XX
i
h∈G i=0 t=0
t
αh,i (h ⊗ h)(x ⊗ g)i−t (1 ⊗ x)t
q
i−t-vezes
d−1 X
i XX
}|
{
z
i
=
αh,i h ·σ x ·σ x ·σ · · · ·σ x ⊗hg i−t xt
t q
h∈G i=0 t=0
Assim temos:
d−1
XX
l∈G j=0
j
αl,j hlx ⊗ η =
d−1 X
i XX
i
h∈G i=0 t=0
t
i−t-vezes
z
}|
{
αh,i h ·σ x ·σ x ·σ · · · ·σ x ⊗hg i−t xt
q
Sabemos que {hxi ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é base de A(G) e de σ A(G). Vamos estudar os
termos que possuem a mesma potência de x do lado direito.
89
A potência xd−1 aparece apenas para i = t = d − 1. Temos:
X d − 1
0=
αh,d−1 h ⊗ hxd−1 , ∀h ∈ G
d−1 q
h∈G
Logo αh,d−1 = 0, ∀h ∈ G.
Suponha que para algum 1 < j ≤ d − 1 temos que αh,i = 0, ∀i ≥ j, ∀h ∈ G. A potência
j−1
x
aparece apenas para i = t = j − 1. Temos:
X j − 1
0=
αh,j−1 h ⊗ hxj−1 , ∀h ∈ G
j−1 q
h∈G
Logo αh,j−1 = 0, ∀h ∈ G.
Assim temos que:
1) se i > 0, então αh,i = 0, ∀h ∈ G;
2) se i = 0, então αh,0 = 0 para h 6= η.
Portanto, s = αη,0 η.
Lema 2.18. Seja T um objeto A(G)-Galois à direita. Então existem σ ∈ Z 2 (G, K∗ ), a ∈ K
e Ψ : G → K tais que T ∼
= Aσ,a,Ψ (G) como A(G)-comódulo álgebras à direita.
Demonstração. Como dim A(G) < ∞, pelo Teorema 1.96, temos que T é fendido. Logo,
existe um 2-cociclo σ e ϕ : σ A(G) → T isomorfismo de A(G)-comódulo álgebras.
Considere o morfismo f : V(G) → σ A(G) dado por f (Y ) = x e f (Wh ) = h, ∀h ∈ G.
Vejamos que f é morfismo de A(G)-comódulos:
ρσ A(G) ◦ f (Y ) = ρσ A(G) (x)
=1⊗x+x⊗g
= (f ⊗ σ A(G)) (1 ⊗ x + Y ⊗ g)
= (f ⊗ σ A(G)) ◦ ρV(G) (Y )
e para todo h ∈ G:
ρσ A(G) ◦ f (Wh ) = ρσ A(G) (h)
=h⊗h
= (f ⊗ σ A(G)) (Wh ⊗ h)
= (f ⊗ σ A(G)) ◦ ρV(G) (Wh )
Portanto f é morfismo de A(G)-comódulos à direita. Seja f 0 : L(G) → σ A(G) o morfismo
de A(G)-comódulo álgebras dada pelo Corolário 1.11. Vejamos que existem a ∈ K e Ψ : G → K
tais que Iσ0 ,a,Ψ (G) ⊂ ker f 0 , onde σ 0 é a restrição de σ à G.
Para qualquer a ∈ K e Ψ : G → K, temos para h1 , h2 ∈ G:
f 0 (Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 ) = h1 ·σ h2 − σ(h1 , h2 )h1 h2
= σ(h1 , h2 )h1 h2 − σ(h1 , h2 )h1 h2
=0
e
f 0 (W1 − 1) = 1 − 1
=0
90
Logo, precisamos apenas verificar que existem a e Ψ tais que Y Wh − χ(h)Wh Y − Ψ(h)Wgh ,
Y − aWgd ∈ ker f 0 . Como f 0 é morfismo de A(G)-comódulo álgebras, temos que, para cada
h ∈ G:
d
ρσ A(G) ◦ f 0 (Y Wh − χ(h)Wh Y ) = (f 0 ⊗ A(G)) ◦ ρL(G) (Y Wh − χ(h)Wh Y )
= (f 0 ⊗ A(G)) (1 ⊗ x + Y ⊗ g)(Wh ⊗ h)
− χ(h)(Wh ⊗ h)(1 ⊗ x + Y ⊗ g)
= (1 ⊗ x + x ⊗ g)(h ⊗ h) − χ(h)(h ⊗ h)(1 ⊗ x + x ⊗ g)
= h ⊗ xh + x ·σ h ⊗ gh − χ(h)h ⊗ hx − χ(h)h ·σ x ⊗ hg
= (x ·σ h − χ(h)h ·σ x) ⊗ gh
= f 0 (Y Wh − χ(h)Wh Y ) ⊗ gh
Pela Lema 2.17, temos que f 0 (Y Wh − χ(h)Wh Y ) = λh gh, para algum λh ∈ K. Mas
0
h Wgh ) = λh gh. Logo, pela linearidade de f , temos que:
f 0 (λ
f 0 (Y Wh − χ(h)Wh Y − λh Wgh ) = 0
Tome a função Ψ : G → K dada por Ψ(h) = λh , ∀h ∈ G.
ρσ A(G) ◦ f 0 (Y d ) = (f 0 ⊗ A(G)) ◦ ρL(G) (Y d )
= (f 0 ⊗ A(G)) (1 ⊗ x + Y ⊗ g)d
Corolário A.8
=
(f 0 ⊗ A(G)) 1 ⊗ xd + Y d ⊗ g d
= f 0 (1) ⊗ xd + f 0 (Y d ) ⊗ g d
= 1 ⊗ xd + f 0 (Y d ) ⊗ g d
Como estamos assumindo µ = 0, temos que xd = 0 em A(G). Logo, temos que:
ρσ A(G) ◦ f 0 (Y d ) = f 0 (Y d ) ⊗ g d
Pela Lema 2.17, temos que f 0 (Y d ) = ag d , para algum a ∈ K. Mas f 0 (aWgd ) = ag d . Logo,
pela linearidade de f 0 , temos que:
f 0 (Y d − aWgd ) = 0
Portanto, encontramos uma constante a ∈ K e uma função Ψ : G → K tais que:
Iσ0 ,a,Ψ (G) ⊂ ker f 0
Tome o morfismo f¯: Aσ0 ,a,Ψ (G) → σ A(G) dado pelo Corolário 1.15. Como f¯(X) = x e
f¯(Th ) = h, ∀h ∈ G, temos que f¯ é sobrejetor. Como dim σ A(G) = |G|d 6= 0, temos que
Aσ0 ,a,Ψ (G) é álgebra não nula.
A composição ϕ ◦ f¯: Aσ0 ,a,Ψ (G) → T é morfismo de A(G)-comódulo álgebras. Pela Proposição 2.15, Aσ0 ,a,Ψ (G) é objeto A(G)-Galois o que implica que ϕ ◦ f¯ é isomorfismo.
2.3 Os objetos A(G)-Galois Aσ,a (G)
Nesta seção mostraremos que o Ψ é dispensável, ou seja, que todo objeto A(G)-Galois é
isomorfo à uma álgebra do tipo Aσ,a (G).
Lema 2.19. Se Aσ,a,Ψ (G) é objeto A(G)-Galois à direita, então ∀h ∈ G temos:
Ψ(h) = Ψ(g) (σ(g, h) − χ(h)σ(h, g)) σ(g, g)−1 (1 − χ(g))−1
91
Demonstração. Como Aσ,a,Ψ (G) é objeto A(G)-Galois, pela Proposição 2.15, temos que o
conjunto {Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é base linear de Aσ,a,Ψ (G). Então para todo h1 , h2 ∈ G
temos:
Ψ(h1 h2 )Th1 h2 g = XTh1 h2 − χ(h1 h2 )Th1 h2 X
= σ(h1 , h2 )−1 XTh1 Th2 − χ(h1 h2 )Th1 h2 X
= σ(h1 , h2 )−1 (χ(h1 )Th1 X + Ψ(h1 )Th1 g ) Th2 − χ(h1 h2 )Th1 h2 X
= σ(h1 , h2 )−1 (χ(h1 )Th1 (χ(h2 )Th2 X + Ψ(h2 )Th2 g ) + Ψ(h1 )Th1 g Th2 )
− χ(h1 h2 )Th1 h2 X
= σ(h1 , h2 )−1 χ(h1 )χ(h2 )Th1 Th2 X + σ(h1 , h2 )−1 χ(h1 )Ψ(h2 )Th1 Th2 g
+ σ(h1 , h2 )−1 Ψ(h1 )σ(h1 g, h2 )Th1 h2 g − χ(h1 h2 )Th1 h2 X
= σ(h1 , h2 )−1 (χ(h1 )Ψ(h2 )σ(h1 , h2 g) + Ψ(h1 )σ(h1 g, h2 )) Th1 h2 g
o que implica que:
Ψ(h1 h2 ) = σ(h1 , h2 )−1 (χ(h1 )Ψ(h2 )σ(h1 , h2 g) + Ψ(h1 )σ(h1 g, h2 ))
Então, para cada h ∈ G temos:
Ψ(hg) = σ(h, g)−1 χ(h)Ψ(g)σ(h, g 2 ) + Ψ(h)σ(hg, g)
e
Ψ(gh) = σ(g, h)−1 χ(g)Ψ(h)σ(g, hg) + Ψ(g)σ(g 2 , h)
Como g é central, temos que Ψ(hg) = Ψ(gh). Logo:
σ(h, g)−1 χ(h)Ψ(g)σ(h, g 2 ) + Ψ(h)σ(hg, g) = σ(g, h)−1 χ(g)Ψ(h)σ(g, hg) + Ψ(g)σ(g 2 , h)
Além disso, σ é 2-cociclo, o que implica que:
σ(h, g)−1 σ(h, g 2 ) = σ(hg, g)σ(g, g)−1
σ(g, h)−1 σ(g 2 , h) = σ(g, gh)σ(g, g)−1
σ(h, g)−1 σ(gh, g) = σ(g, hg)σ(g, h)−1
Logo:
Ψ(h)σ(h, g)−1 σ(gh, h) (1 − χ(g)) = Ψ(g) (σ(g, gh) − χ(h)σ(hg, g)) σ(g, g)−1
Isolando Ψ(h), temos:
Ψ(h) = Ψ(g) (σ(g, h) − χ(h)σ(h, g)) σ(g, g)−1 (1 − χ(g))−1
Lema 2.20. Seja σ ∈ Z 2 (G, K∗ ), a ∈ K e Ψ : G → K tais que Aσ,a,Ψ (G) é objeto A(G)-Galois
à direita. Então existe a0 ∈ K tal que Aσ,a,Ψ (G) ∼
= Aσ,a0 (G) como A(G)-comódulo álgebras à
direita.
Demonstração. Pela Proposição 2.15, para qualquer a0 ∈ K, Aσ,a0 (G), ρ é A(G)-comódulo.
Para qualquer λ ∈ K, a função:
f : V(G) −→ Aσ,a0 (G)
Y 7−→ X + λTg
Wh 7−→ Th
92
é morfismo de A(G)-comódulos. De fato, temos:
ρ ◦ f (Y ) = ρ(X + λTg )
= 1 ⊗ x + X ⊗ g + λTg ⊗ g
= 1 ⊗ x + (X + λTg ) ⊗ g
= (f ⊗ A(G))(1 ⊗ x) + (f ⊗ A(G))(Y ⊗ g)
= (f ⊗ A(G)) ◦ ρV(G) (Y )
ρ ◦ f (Wh ) = ρ(Th )
= Th ⊗ h
= (f ⊗ A(G))(Wh ⊗ h)
= (f ⊗ A(G)) ◦ ρV(G) (Wh )
Então f é morfismo de A(G)-comódulos.
Considere o morfismo de A(G)-comódulo álgebras f 0 : L(G) → Aσ,a0 (G) dado pelo Corolário 1.11. Para h1 , h2 , h ∈ G, temos:
f 0 (Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 ) = Th1 Th2 − σ(h1 , h2 )Th1 h2
=0
f 0 (W1 − 1) = T1 − 1
=0
f 0 Y Wh − χ(h)Wh Y − Ψ(h)Wgh = (X + λTg )Th − χ(h)Th (X + λTg ) − Ψ(h)Tgh
= XTh + λTg Th − χ(h)Th X − χ(h)λTh Tg − Ψ(h)Tgh
= XTh − χ(h)Th X + λσ(g, h) − χ(h)λσ(h, g) − Ψ(h) Tgh
= λσ(g, h) − χ(h)λσ(h, g) − Ψ(h) Tgh
f 0 Y d − aWgd = (X + λTg )d − aTgd
Corolário A.8
=
X d + λd (Tg )d − aTgd
= a0 + λd σ(g, g) · · · σ(g, g d−1 ) − a Tgd
Para que Iσ,a,Ψ (G) ⊂ ker f 0 , precisamos de:
λσ(g, h) − χ(h)λσ(h, g) − Ψ(h) = 0,
∀h ∈ G
e
a0 + λd σ(g, g) · · · σ(g, g d−1 ) − a = 0
Mas para cada h ∈ G temos:
−1
λ = Ψ(h) σ(g, h) − χ(h)σ(h, g)
Lema 2.19
=
−1
Ψ(g) σ(g, h) − χ(h)σ(h, g) σ(g, g)−1 (1 − χ(g))−1 σ(g, h) − χ(h)σ(h, g)
= Ψ(g)σ(g, g)−1 (1 − χ(g))−1
Portanto existem λ, a0 ∈ K tais que Iσ,a,Ψ (G) ⊂ ker f 0 . Pelo Corolário 1.15, temos que
existe f¯: Aσ,a,Ψ (G) → Aσ,a0 (G) morfismo de A(G)-comódulo álgebras. Mas, como Aσ,a,Ψ (G)
e Aσ,a0 (G) são objetos A(G)-Galois, segue que f¯ é isomorfismo.
93
Teorema 2.21. Seja T um objeto A(G)-Galois à direita. Então existem σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e
a ∈ K tais que T ∼
= Aσ,a (G) como A(G)-comódulo álgebras à direita.
Demonstração. Pelo Lema 2.18, temos que existem σ ∈ Z 2 (G, K∗ ), b ∈ K e Ψ : G → K tais
que T ∼
= Aσ,b,Ψ (G).
Pelo Lema 2.20, temos que existe a ∈ K tal que Aσ,b,Ψ (G) ∼
= Aσ,a (G).
∼
Portanto temos que T = Aσ,a (G).
2.4 Caracterização dos objetos A(G)-Galois
Nesta seção, na Proposição 2.23, mostraremos como verificar se dois objetos A(G)-Galois são
isomorfos e, na Proposição 2.24, apresentaremos uma equação que verifica se uma álgebra
Aσ,a (G) é objeto A(G)-Galois.
Lema 2.22. Sejam Aσ,a (G) um objeto A(G)-Galois e s ∈ Aσ,a (G) um elemento qualquer.
Temos que:
1) se para algum η ∈ G temos ρ(s) = s ⊗ η, então existe λ ∈ K tal que s = λ η;
2) se ρ(s) = 1 ⊗ x + s ⊗ g, então existe λ ∈ K tal que s = X + λTg .
Demonstração. Como Aσ,a (G) é um objeto A(G)-Galois, pela Proposição 2.15, temos que
{Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é base de Aσ,a (G). Logo:
s=
d−1
XX
αh,i Th X i
h∈G i=0
com αh,i ∈ K, ∀h ∈ G, i = 0, ..., d − 1. Além disso, tomando q = χ(g)−1 , temos que:
ρ(s) =
d−1
XX
αh,i ρ(Th )ρ(X)i
h∈G i=0
=
d−1
XX
αh,i (Th ⊗ h)(X ⊗ g + 1 ⊗ x)i
h∈G i=0
X
i i
i−t
t
=
(X ⊗ g) (1 ⊗ x)
αh,i (Th ⊗ h)
t q
t=0
h∈G i=0
d−1 X
i XX
i
=
αh,i Th X i−t ⊗ hg i−t xt
t q
Proposição A.7
d−1
XX
h∈G i=0 t=0
1) Se para algum η ∈ G temos ρ(s) = s ⊗ η, então:
d−1
XX
l∈G j=0
j
αl,j Tl X ⊗ η =
d−1 X
i XX
i
h∈G i=0 t=0
t
q
Temos que {Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é base de Aσ,a (G) e {hxi ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1}
é base de A(G). Vamos estudar os termos da soma que possuem a mesma potência de
x à direita do produto tensorial. Como η ∈ G, potências diferentes de x0 não aparecem
do lado esquerdo da equação.
94
X d − 1
0=
αh,d−1 Th ⊗ hxd−1
d−1 q
h∈G
Pela independência linear de {Th }h∈G em Aσ,a (G) e {hxi } em A(G), temos que:
αh,d−1 = 0, ∀h ∈ G
xj−1 aparece apenas para i = t = j − 1. Temos:
X j − 1
0=
αh,j−1 Th ⊗ hxj−1
j−1 q
h∈G
Pela independência linear de {Th }h∈G em Aσ,a (G) e {hxi } em A(G), temos que:
αh,j−1 = 0, ∀h ∈ G
Assim temos que, se i > 0, então αh,i = 0, ∀h ∈ G. Logo ficamos com a seguinte
equação:
X
X 0
αl,0 Tl ⊗ η =
αh,0 Th ⊗ h
0 q
l∈G
h∈G
Portanto, se h 6= η, então αh,0 = 0.Logo:
s = αη,0 η
2) se ρ(s) = 1 ⊗ x + s ⊗ g, então:
1⊗x+
d−1
XX
j
αl,j Tl X ⊗ g =
d−1 X
i XX
i
h∈G i=0 t=0
l∈G j=0
t
q
Temos que {Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é base de Aσ,a (G) e {hxi ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1}
é base de A(G). Vamos estudar os termos da soma que possuem a mesma potência de
x à direita do produto tensorial. Potências diferentes de x0 e x1 não aparecem do lado
esquerdo da equação.
X d − 1
0=
αh,d−1 Th ⊗ hxd−1
d−1 q
h∈G
Logo αh,d−1 = 0, ∀h ∈ G.
xj−1 aparece apenas para i = t = j − 1. Temos:
X j − 1
0=
αh,j−1 Th ⊗ hxj−1
j−1 q
h∈G
Logo αh,j−1 = 0, ∀h ∈ G.
95
Assim temos que, se i > 1, então αh,i = 0, ∀h ∈ G. Logo, ficamos com a seguinte
equação:
X
X
1
αh,0 Th ⊗ h +
αl,0 Tl ⊗ g + αl,1 Tl X ⊗ g =
αh,1 Th X ⊗ hg + αh,1 Th ⊗ hx
1⊗x+
0 q
h∈G
l∈G
Temos que, se h 6= 1 e h 6= g, então αh,0 = αh,1 = 0. Se h = 1, então αh,0 = 0. Se h = g,
então αh,1 = 0.
Portanto s = α1,1 X + αg,0 Tg .
Vejamos que α1,1 = 1. De fato, temos:
ρ(s) = α1,1 ρ(X) + αg,0 ρ(Tg )
= α1,1 (1 ⊗ x + X ⊗ g) + αg,0 (Tg ⊗ g)
= α1,1 ⊗ x + s ⊗ g
Portanto α1,1 = 1 e s = X + αg,0 Tg .
Proposição 2.23. Sejam σ, τ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e a, b ∈ K tais que Aσ,a (G) e Aτ,b (G) são objetos
A(G)-Galois. Então Aσ,a (G) e Aτ,b (G) são isomorfos como A(G)-comódulo álgebras se, e
somente se, existe θ : G → K∗ com θ(1) = 1 tal que:
σ = ∂(θ)τ e b = aθ(g d )
Demonstração. (⇒) Sejam f : Aσ,a (G) → Aτ,b (G) um isomorfismo de A(G)-comódulo álgebras,
ρa e ρb as coações de A(G) sobre Aσ,a (G) e Aτ,b (G) respectivamente. Temos que:
ρb ◦ f (X) = (f ⊗ A(G)) ◦ ρa (X)
= (f ⊗ A(G))(1 ⊗ x + X ⊗ g)
= 1 ⊗ x + f (X) ⊗ g
ρb ◦ f (Th ) = (f ⊗ A(G)) ◦ ρa (Th )
= (f ⊗ A(G))(Th ⊗ h)
= f (Th ) ⊗ h
Pelo Lema 2.22, temos que existem λ ∈ K e uma função θ : G → K∗ tais que:
f (X) = X + λTg e f (Th ) = θ(h)Th , ∀h ∈ G
Temos que 1 = f (1) = f (T1 ) = θ(1)T1 = θ(1). Além disso, dados h1 , h2 ∈ G, temos:
f (Th1 Th2 ) = f (Th1 )f (Th2 )
= θ(h1 )θ(h2 )Th1 Th2
= θ(h1 )θ(h2 )τ (h1 , h2 )Th1 h2
f (σ(h1 , h2 )Th1 h2 ) = σ(h1 , h2 )f (Th1 h2 )
= σ(h1 , h2 )θ(h1 h2 )Th1 h2
Logo, temos que:
θ(h1 )θ(h2 )τ (h1 , h2 ) = σ(h1 , h2 )θ(h1 h2 )
96
que implica:
σ(h1 , h2 )τ (h1 , h2 )−1 = θ(h1 )θ(h1 h2 )−1 θ(h2 )
Ou seja, σ = ∂(θ)τ . Vejamos que b = aθ(g d ). De fato:
f (XTg ) = f (X)f (Tg )
= (X + λTg )(θ(g)Tg )
= θ(g)XTg + λθ(g)Tg Tg
= θ(g)XTg + λθ(g)τ (g, g)Tg2
e
f (χ(g)Tg X) = χ(g)f (Tg )f (X)
= χ(g)(θ(g)Tg )(X + λTg )
= χ(g)θ(g)Tg X + χ(g)λθ(g)Tg Tg
= χ(g)θ(g)Tg X + χ(g)λθ(g)τ (g, g)Tg2
Como f (XTg ) = f (χ(g)Tg X) e 1 < d = 0(χ(g)), temos que χ(g) 6= 1 e λ = 0. Logo temos:
bTgd = X d = f (X)d = f (X d ) = f (aTgd ) = aθ(g d )Tgd
Portanto b = aθ(g d ).
(⇐) Considere o morfismo de A(G)-comódulos f : V(G) → Aτ,b (G) dado por:
f (Y ) = X e f (Wh ) = θ(h)Th , ∀h ∈ G
e f 0 : L(G) → Aτ,b (G) o morfismo de A(G)-comódulo álgebras dado pelo Corolário 1.11.
Vejamos que σ = ∂(θ)τ e b = aθ(g d ) implicam que Iσ,a (G) ⊂ ker f 0 . De fato, temos:
f 0 (Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 ) = f 0 (Wh1 )f 0 (Wh2 ) − σ(h1 , h2 )f 0 (Wh1 h2 )
= θ(h1 )θ(h2 )Th1 Th2 − σ(h1 , h2 )θ(h1 h2 )Th1 h2
= θ(h1 )θ(h2 )τ (h1 , h2 ) − σ(h1 , h2 )θ(h1 h2 ) Th1 h2
=0
f 0 (W1 − 1) = f 0 (W1 ) − g(1)
= θ(1)T1 − 1
= T1 − 1
=0
f 0 (Y Wh − χ(h)Wh Y ) = f 0 (Y )f 0 (Wh ) − χ(h)f 0 (Wh )f 0 (Y )
= θ(h)XTh − χ(h)θ(h)Th X
= θ(h) XTh − χ(h)Th X
=0
f 0 (Y d − aWgd ) = f 0 (Y )d − af 0 (Wgd )
= X d − aθ(g d )Tgd
= b − aθ(g d ) Tgd
=0
Portanto Iσ,a (G) ⊂ ker f 0 . Pelo Corolário 1.15, existe um morfismo de A(G)-comódulo
álgebras entre Aσ,a (G) e Aτ,b (G). Como ambos são objetos A(G)-Galois, segue que são isomorfos.
97
Proposição 2.24. A álgebra Aσ,a (G) é objeto A(G)-Galois se, e somente se, vale a equação:
aσ(g d , h) = aχ(h)d σ(h, g d ),
∀h ∈ G
(2.4.1)
Demonstração. (⇒) Pela Proposição 2.15, o conjunto {Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é uma
base de Aσ,a (G) sobre K. Para cada h ∈ G temos:
aσ(g d , h)Tgd h = aTgd Th
= X d Th
= χ(h)d Th X d
= aχ(h)d Th Tgd
= aχ(h)d σ(h, g d )Thgd
e como g é central em G, temos que aσ(g d , h) = aχ(h)d σ(h, g d ).
(⇐) Pela Proposição 2.15, a álgebra Aσ,a (G) é objeto A(G)-Galois se o conjunto:
{Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1}
é uma base sobre K. Para provar este fato, utilizaremos o Teorema C.1 (Lema do Diamante),
apresentado no Apêndice C.
Os monômios da forma Th X i são exatamente os elementos irredutı́veis. Vejamos que com
a equação (2.4.1), todas as ambiguidades são resolúveis. São elas:
• (Th1 Th2 Th3 ): Neste caso, podemos utilizar primeiro a igualdade Th1 Th2 = σ(h1 , h2 )Th1 h2 ,
obtendo:
(Th1 Th2 )Th3 = σ(h1 , h2 )Th1 h2 Th3
= σ(h1 , h2 )σ(h1 h2 , h3 )Th1 h2 h3
ou podemos utilizar primeiro a igualdade Th2 Th3 = σ(h2 , h3 )Th2 h3 , obtendo:
Th1 (Th2 Th3 ) = σ(h2 , h3 )Th1 Th2 h3
= σ(h2 , h3 )σ(h1 , h2 h3 )Th1 h2 h3
Como σ ∈ Z 2 (G, K∗ ), temos que:
σ(h1 , h2 )σ(h1 h2 , h3 ) = σ(h2 , h3 )σ(h1 , h2 h3 )
e portanto a ambiguidade é resolúvel.
• (T1 Th ):
T1 Th = σ(1, h)T1h
= ε(h)Th
T1 Th = 1Th
= Th
Como ε(h) = 1, ∀h ∈ G, temos:
ε(h)Th = Th
• (Th T1 ):
Th T1 = σ(h, 1)Th1
= ε(h)Th
Th T1 = Th 1
= Th
Como ε(h) = 1, ∀h ∈ G, temos:
ε(h)Th = Th
• (XTh1 Th2 ):
(XTh1 )Th2 = χ(h1 )Th1 XTh2
= χ(h1 )χ(h2 )Th1 Th2 X
= χ(h1 )χ(h2 )σ(h1 , h2 )Th1 h2 X
X(Th1 Th2 ) = σ(h1 , h2 )XTh1 h2
= χ(h1 h2 )σ(h1 , h2 )Th1 h2 X
Como χ : G → K∗ é morfismo de grupos, temos:
χ(h1 )χ(h2 )σ(h1 , h2 )Th1 h2 X = χ(h1 h2 )σ(h1 , h2 )Th1 h2 X
• (XT1 ):
XT1 = χ(1)T1 X
XT1 = X1
=X
Como χ(1) = 1 e T1 = 1, temos:
χ(1)T1 X = X
• (X d Th ):
(X d )Th = aTgd Th
= aσ(g d , h)Tgd h
X d Th = χ(h)d Th X d
= aχ(h)d Th Tgd
= aχ(h)d σ(h, g d )Thgd
Como g ∈ G é central e aσ(g d , h) = aχ(h)d σ(h, g d ),
∀h ∈ G, temos:
aσ(g d , h)Tgd h = aχ(h)d σ(h, g d )Thgd
98
99
• (X d+1 ):
X X d = aXTgd
= aχ(g d )Tgd X
X d X = aTgd X
Como d = o(χ(g)) e χ é morfismo de grupos, temos:
aχ(g d )Tgd X = aχ(g)d Tgd X
= aTgd X
Portanto todas as ambiguidades são resolúveis.
Pelo Lema do Diamante, temos que {Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é base de Aσ,a (G). Pela
Proposição 2.15, Aσ,a (G) é objeto A(G)-Galois.
2.5 Descrição dos objetos A(G)-Galois com G do tipo I ao tipo V
Nesta seção demonstraremos o Teorema 2.11, exceto para conjunto de dados de grupo do tipo
VI, dividindo a demonstração em 5 proposições.
Proposição 2.25. Seja G = (G, g, χ) um conjunto de dados do tipo I. Então temos:
H 2 (G, K∗ ) × K ∼
= Gal A(G)
Demonstração. Para qualquer σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e a ∈ K a equação (2.4.1) é satisfeita. Pela
Proposição 2.24, Aσ,a (G) é objeto A(G)-Galois.
Considere a função:
Z 2 (G, K∗ ) × K −→ Gal A(G)
(σ, a) 7−→ [Aσ,a (G)]
Como g d = 1, pela Proposição 2.23, temos que:
[Aσ,a (G)] = [Aτ,b (G)] ⇐⇒ σ = ∂(θ)τ e b = a
para algum θ : G → K∗ com θ(1) = 1.
Logo a função acima induz uma função injetora:
H 2 (G, K∗ ) × K −→ Gal A(G)
(σ̄, a) 7−→ [Aσ,a (G)]
Pelo Teorema 2.21, a função acima é sobrejetora e portanto é bijetora.
Proposição 2.26. Seja G = (G, g, χ) um conjunto de dados do tipo II. Então temos:
H 2 (G, K∗ ) ∼
= Gal A(G)
Demonstração. Para qualquer σ ∈ Z 2 (G, K∗ ), tomando a = 0, a equação (2.4.1) é satisfeita.
Pela Proposição 2.24, Aσ,0 (G) é objeto A(G)-Galois.
Z 2 (G, K∗ ) −→ Gal A(G)
σ 7−→ [Aσ,0 (G)]
100
Pela Proposição 2.23, temos que:
[Aσ,0 (G)] = [Aτ,0 (G)] ⇐⇒ σ = ∂(θ)τ
H 2 (G, K∗ ) −→ Gal A(G)
σ̄ 7−→ [Aσ,0 (G)]
Pelo Teorema 2.21, dado T um objeto A(G)-Galois, existem σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e a ∈ K tais
que T ∼
= Aσ,a (G). Mas como χd 6= 1 e g d = 1, a equação (2.4.1) é satisfeita somente se a = 0.
Então a função acima é sobrejetora e portanto, bijetora.
Proposição 2.27. Seja G = (G, g, χ) um conjunto de dados do tipo III. Então temos:
a
H 2 (G, K∗ )
Hg2d ,gd (G, K∗ ) ∼
= Gal A(G)
Z 2 (G, K∗ ) −→ Gal A(G)
σ 7−→ [Aσ,0 (G)]
[Aσ,0 (G)] = [Aτ,b (G)] ⇐⇒ σ = ∂(θ)τ e b = 0
H 2 (G, K∗ ) −→ Gal A(G)
σ̄ 7−→ [Aσ,0 (G)]
Para a = 1, como χd = 1, tomando qualquer σ ∈ Zg2d (G, K∗ ), a equação (2.4.1) é satisfeita.
Zg2d (G, K∗ ) −→ Gal A(G)
σ 7−→ [Aσ,1 (G)]
[Aσ,1 (G)] = [Aτ,1 (G)] ⇐⇒ σ = ∂(θ)τ e θ(g d ) = 1
Hg2d ,gd (G, K∗ ) −→ Gal A(G)
σ̄ 7−→ [Aσ,1 (G)]
Pelo Teorema 2.21, dado T um objeto A(G)-Galois, existem σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e a ∈ K tais que
T ∼
= Aσ,a (G). Como χd = 1, se a 6= 0, a equação (2.4.1) é satisfeita somente se σ ∈ Zg2d (G, K∗ ).
101
Neste caso, tomando θ : G → K∗ com θ(1) = 1 e θ(g d ) = a, pela Proposição 2.23, temos que
[Aσ,a (G)] = [A∂(θ)σ,1 (G)]. Então a função:
a
H 2 (G, K∗ )
[Aσ,0 (G)] , se σ ∈ H 2 (G, K∗ )
σ̄ 7−→
[Aσ,1 (G)] , se σ ∈ Hg2d ,gd (G, K∗ )
é sobrejetora e portanto, bijetora.
Proposição 2.28. Seja G = (G, g, χ) um conjunto de dados do tipo IV. Então temos:
H 2 (G, K∗ ) ∼
= Gal A(G)
Z 2 (G, K∗ ) −→ Gal A(G)
σ 7−→ [Aσ,0 (G)]
[Aσ,0 (G)] = [Aτ,0 (G)] ⇐⇒ σ = ∂(θ)τ
H 2 (G, K∗ ) −→ Gal A(G)
σ̄ 7−→ [Aσ,0 (G)]
Pelo Teorema 2.21, dado T um objeto A(G)-Galois, existem σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e a ∈ K
tais que T ∼
= Aσ,a (G). Mas como χd 6= 1, g d 6= 1 e não existe σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) tal que
χd (h)σ(h, g d ) = σ(g d , h), a equação (2.4.1) é satisfeita somente se a = 0. Então a função
acima é sobrejetora e portanto, bijetora.
Proposição 2.29. Seja G = (G, g, χ) um conjunto de dados do tipo V. Então temos:
a
H 2 (G, K∗ )
Hg2d ,gd (G, K∗ ) ∼
= Gal A(G)
Z 2 (G, K∗ ) −→ Gal A(G)
σ 7−→ [Aσ,0 (G)]
[Aσ,0 (G)] = [Aτ,b (G)] ⇐⇒ σ = ∂(θ)τ e b = 0
H 2 (G, K∗ ) −→ Gal A(G)
σ̄ 7−→ [Aσ,0 (G)]
102
Seja ν ∈ Z 2 (G, K∗ ) tal que:
χd (h)ν(h, g d ) = ν(g d , h), ∀h ∈ G
Para a = 1, tomando qualquer σ ∈ Zg2d (G, K∗ ), temos que:
χd (h)ν(h, g d )σ(h, g d ) = ν(g d , h)σ(g d , h), ∀h ∈ G
Pela Proposição 2.24, Aνσ,1 (G) é objeto A(G)-Galois.
Zg2d (G, K∗ ) −→ Gal A(G)
σ 7−→ [Aνσ,1 (G)]
[Aνσ,1 (G)] = [Aντ,1 (G)] ⇐⇒ σ = ∂(θ)τ e θ(g d ) = 1
σ̄ 7−→ [Aνσ,1 (G)]
Pelo Teorema 2.21, dado T um objeto A(G)-Galois, existem σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e a ∈ K tais
que T ∼
6 0, a equação (2.4.1) é satisfeita somente se σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) é tal que:
= Aσ,a (G). Se a =
χd (h)σ(h, g d ) = σ(g d , h), ∀h ∈ G
Neste caso, ν −1 σ ∈ Zg2d (G, K∗ ) e tomando θ : G → K∗ com θ(1) = 1 e θ(g d ) = a, pela
Proposição 2.23, temos que [Aσ,a (G)] = [Aν∂(θ)ν −1 σ,1 (G)]. Então a função:
H 2 (G, K∗ )
a
[Aσ,0 (G)] , se σ ∈ H 2 (G, K∗ )
σ̄ 7−→
[Aνσ,1 (G)] , se σ ∈ Hg2d ,gd (G, K∗ )
é sobrejetora e portanto, bijetora.
3. DESCRIÇÃO DOS OBJETOS A(G)-BIGALOIS
No capı́tulo anterior, descrevemos os objetos A(G)-Galois para conjuntos de dados de grupo
do tipo I ao tipo V. A fim de demonstrar o Teorema 2.11 para conjuntos de dados de grupo do
tipo VI, precisamos estudar os objetos A(G)-biGalois. Neste capı́tulo apresentaremos alguns
resultados necessários para a demonstração do seguinte teorema:
Teorema 3.1. Seja G = (G, g, χ, µ) um conjunto de dados de grupo. Então de acordo com o
tipo de G, temos o seguinte isomorfismo de grupos para BiGal(A(G)):
• Tipo I: BiGal(A(G)) ∼
= Γ(G) n K
• Tipo II, III, IV, V e VI: BiGal(A(G)) ∼
= Γ(G)
2 (G, K∗ ) que será construı́do ao longo
No teorema, Γ(G) é um subgrupo de Autg (G) n H1,g
deste capı́tulo.
Comecemos fazendo a seguinte observação:
Observação 3.2. Sejam G um conjunto de dados de grupo, que pode ser do tipo I ao tipo V,
σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e a ∈ K tais que Aσ,a (G) é objeto A(G)-Galois à direita. Então a estrutura
análoga à coação à direita de A(G) sobre Aσ,a (G) dada por:
β : Aσ,a (G) −→ A(G) ⊗ Aσ,a (G)
X 7−→ 1 ⊗ X + x ⊗ Tg
Th 7−→ h ⊗ Th , ∀h ∈ G
pode não dar estrutura de A(G)-A(G)-bicomódulo álgebra para Aσ,a (G).
De fato, precisamos que β(XTh ) = β(χ(h)Th X), ∀h ∈ G. Mas:
β(XTh ) = (1 ⊗ X + x ⊗ Tg )(h ⊗ Th )
= h ⊗ XTh + xh ⊗ Tg Th
= χ(h) h ⊗ Th X + σ(g, h)hx ⊗ Tgh
β(χ(h)Th X) = χ(h) (h ⊗ Th )(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )
= χ(h) h ⊗ Th X + hx ⊗ Th Tg
= χ(h) h ⊗ Th X + σ(h, g)hx ⊗ Tgh
e nada garante que σ(g, h) = σ(h, g), ∀h ∈ G.
Existem pelo menos duas formas de resolver este problema:
1) Trocar a estrutura de A(G)-comódulo à esquerda por:
βu : Aσ,a (G) −→ A(G) ⊗ Aσ,a (G)
X 7−→ 1 ⊗ X + x ⊗ Tg
Th 7−→ u(h) ⊗ Th , ∀h ∈ G
para algum u : G → G apropriado.
3. Descrição dos objetos A(G)-biGalois
104
2) Escolher um segundo conjunto de dados de grupo G0 = (G, g, χ0 , µ), de modo que Aσ,a (G)
seja A(G0 )-A(G)-bicomódulo álgebra com coação à esquerda dada por:
β : Aσ,a (G) −→ A(G0 ) ⊗ Aσ,a (G)
X 7−→ 1 ⊗ X + x ⊗ Tg
Th 7−→ h ⊗ Th , ∀h ∈ G
Estudando apenas o primeiro caso é possı́vel resolver o Teorema 3.1 para conjuntos de
dados do tipo I e II. Para os demais, é necessário estudar ambos os casos, como veremos a
seguir.
3.1 Os objetos A(G)-biGalois Auσ,a (G)
Nesta seção apresentaremos a álgebra Auσ,a (G) e como ela está relacionada com a estrutura
de grupo de BiGal(A(G)).
Proposição 3.3. Sejam G = (G, g, χ) um conjunto de dados de grupo, σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e
a ∈ K tal que a = 0 se G não é do tipo I. Então Aσ,a (G) é um objeto A(G)-Galois à direita
e, temos que Aσ,a (G) é objeto A(G)-biGalois com coação à esquerda dada por:
βu : Aσ,a (G) −→ A(G) ⊗ Aσ,a (G)
X 7−→ 1 ⊗ X + x ⊗ Tg
Th 7−→ u(h) ⊗ Th , ∀h ∈ G
com u : G → G se, e somente se, u ∈ Autg (G) e:
χ ◦ u(h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h), ∀h ∈ G
Denotaremos este objeto A(G)-biGalois por Auσ,a (G).
Demonstração. (⇒) Como βu está bem definido, temos que βu (Th1 Th2 ) = βu (σ(h1 , h2 )Th1 h2 ),
∀h1 , h2 ∈ G. Mas:
βu (Th1 Th2 ) = (u(h1 ) ⊗ Th1 )(u(h2 ) ⊗ Th2 )
= u(h1 )u(h2 ) ⊗ Th1 Th2
= σ(h1 , h2 )u(h1 )u(h2 ) ⊗ Th1 h2
βu (σ(h1 , h2 )Th1 h2 ) = σ(h1 , h2 )βu (Th1 h2 )
= σ(h1 , h2 )u(h1 h2 ) ⊗ Th1 h2
Além disso, temos que βu (T1 ) = βu (1). Mas:
βu (T1 ) = u(1) ⊗ T1
βu (1) = 1 ⊗ 1
= 1 ⊗ T1
Logo u(h1 h2 ) = u(h1 )u(h2 ), ∀h1 , h2 ∈ G e u(1) = 1. Portanto u é morfismo de grupos.
Como βu é coação, temos que (A(G) ⊗ βu ) ◦ βu = (∆A(G) ⊗ Aσ,a (G)) ◦ βu . Calculando em
X, temos:
(A(G) ⊗ βu ) ◦ βu (X) = (A(G) ⊗ βu )(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )
= 1 ⊗ (1 ⊗ X + x ⊗ Tg ) + x ⊗ u(g) ⊗ Tg )
= 1 ⊗ 1 ⊗ X + 1 ⊗ x ⊗ Tg + x ⊗ u(g) ⊗ Tg
105
(∆A(G) ⊗ Aσ,a (G)) ◦ βu (X) = (∆ ⊗ Aσ,a (G))(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )
= 1 ⊗ 1 ⊗ X + (1 ⊗ x + x ⊗ g) ⊗ Tg
= 1 ⊗ 1 ⊗ X + 1 ⊗ x ⊗ Tg + x ⊗ g ⊗ Tg
Portanto u(g) = g.
Como κl é isomorfismo e para cada h ∈ G vale que:
κl (σ(h, h−1 )−1 Th ⊗ Th−1 ) = σ(h, h−1 )βu (Th )Th−1
= σ(h, h−1 )u(h) ⊗ Th Th−1
= u(h) ⊗ 1
temos que u é monomorfismo. Como G é finito, segue que u ∈ Autg (G).
βu (XTh ) = (1 ⊗ X + x ⊗ Tg )(u(h) ⊗ Th )
= u(h) ⊗ XTh + xu(h) ⊗ Tg Th
= χ(h)u(h) ⊗ Th X + χ(u(h))σ(g, h)u(h)x ⊗ Tgh
βu (χ(h)Th X) = χ(h) (u(h) ⊗ Th )(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )
= χ(h) u(h) ⊗ Th X + hx ⊗ Th Tg
= χ(h) u(h) ⊗ Th X + σ(h, g)u(h)x ⊗ Tgh
= χ(h)u(h) ⊗ Th X + χ(h)σ(h, g)u(h)x ⊗ Tgh
Portanto χ(u(h))σ(g, h) = χ(h)σ(h, g), ∀h ∈ G.
(⇐) Vejamos que V(G) é A(G)-comódulo à esquerda com:
f : V(G) −→ A(G) ⊗ V(G)
Y 7−→ 1 ⊗ Y + x ⊗ Wg
Wh 7−→ u(h) ⊗ Wh , ∀h ∈ G
De fato, temos:
(A(G) ⊗ f ) ◦ f (Y ) = (A(G) ⊗ f )(1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )
= 1 ⊗ (1 ⊗ Y + x ⊗ Wg ) + x ⊗ u(g) ⊗ Wg
= 1 ⊗ 1 ⊗ Y + 1 ⊗ x ⊗ Wg + x ⊗ g ⊗ Wg
= (∆A(G) ⊗ V(G))(1 ⊗ Y ) + (∆A(G) ⊗ V(G))(x ⊗ Wg )
= (∆A(G) ⊗ V(G)) ◦ f (Y )
e para cada h ∈ G temos:
(A(G) ⊗ f ) ◦ f (Wh ) = (A(G) ⊗ f )(u(h) ⊗ Wh )
= u(h) ⊗ u(h) ⊗ Wh
= (∆ ⊗ V(G))(u(h) ⊗ Wh )
= (∆A(G) ⊗ V(G)) ◦ f (Wh )
Além disso, como εA(G) (h) = 1, ∀h ∈ G e εA(G) (x) = 0, temos:
(εA(G) ⊗ V(G)) ◦ f (Y ) = (εA(G) ⊗ V(G))(1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )
= εA(G) (1) ⊗ Y + εA(G) (x) ⊗ Wg
=1⊗Y
106
(εA(G) ⊗ V(G)) ◦ f (Wh ) = (εA(G) ⊗ V(G))(u(h) ⊗ Wh )
= εA(G) (u(h)) ⊗ Wh
= 1 ⊗ Wh
Portanto V(G) é A(G)-comódulo com a estrutura acima.
Pela Teorema 1.10, L(G) é A(G)-comódulo álgebra com coação dada por:
f 0 : L(G) −→ A(G) ⊗ L(G)
Y 7−→ 1 ⊗ Y + x ⊗ Wg
Wh 7−→ u(h) ⊗ Wh , ∀h ∈ G
Vejamos que f 0 (Iσ,a (G)) ⊂ A(G) ⊗ Iσ,a (G). De fato, nos geradores de Iσ,a (G), como
u ∈ Autg (G), temos:
f 0 (Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 ) = u(h1 )u(h2 ) ⊗ Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )u(h1 h2 ) ⊗ Wh1 h2
= u(h1 h2 ) ⊗ Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )u(h1 h2 ) ⊗ Wh1 h2
= u(h1 h2 ) ⊗ (Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 )
e
f 0 (W1 − 1) = u(1) ⊗ W1 − 1 ⊗ 1
= 1 ⊗ W1 − 1 ⊗ 1
= 1 ⊗ (W1 − 1)
Como χ ◦ u(h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h), então:
f 0 (Y Wh − χ(h)Wh Y ) = (1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )(u(h) ⊗ Wh ) − χ(h)(u(h) ⊗ Wh )(1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )
= u(h) ⊗ Y Wh + xu(h) ⊗ Wg Wh − χ(h)u(h) ⊗ Wh Y
− χ(h)u(h)x ⊗ Wh Wg
= u(h) ⊗ (Y Wh − χ(h)Wh Y ) + χ(u(h))xu(h) ⊗ Wg Wh
= u(h) ⊗ (Y Wh − χ(h)Wh Y ) + σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)xu(h) ⊗ Wg Wh
= u(h) ⊗ (Y Wh − χ(h)Wh Y ) + σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)xu(h) ⊗ Wg Wh
− σ(h, g)χ(h)xu(h) ⊗ Wgh + σ(h, g)χ(h)xu(h) ⊗ Wgh
= u(h) ⊗ (Y Wh − χ(h)Wh Y )
+ σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)xu(h) ⊗ (Wg Wh − σ(g, h)Wgh )
− χ(h)u(h)x ⊗ (Wh Wg − σ(h, g)Wgh )
Como a = 0 se G não é do tipo I, g d = 1 quando G é do tipo I, π : L(G) → Aσ,a (G) é
morfismo de álgebras e ker π = Iσ,a (G), temos que:
(A(G) ⊗ π) ◦ f 0 (Y d − aWgd ) = (A(G) ⊗ π) (1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )d − au(g d ) ⊗ Wgd
= (1 ⊗ X + x ⊗ Tg )d − ag d ⊗ Tgd
Corolário A.8
=
1 ⊗ X d + xd ⊗ (Tg )d − ag d ⊗ Tgd
= a1 ⊗ Tgd − ag d ⊗ Tgd
= a(1 − g d ) ⊗ Tgd
=0
107
implica f 0 (Y d − aWgd ) ∈ A(G) ⊗ Iσ,a (G).
Pelo Corolário 1.14, Aσ,a (G) é A(G)-comódulo álgebra com coação dada por:
βu : Aσ,a (G) −→ A(G) ⊗ Aσ,a (G)
X 7−→ 1 ⊗ X + x ⊗ Tg
Th 7−→ u(h) ⊗ Th , ∀h ∈ G
Vejamos que Aσ,a (G) é A(G)-bicomódulo. De fato, como {Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é
base linear de Aσ,a (G), precisamos verificar apenas para os elementos da base. Sejam h ∈ G
e 0 ≤ i ≤ d − 1. Como ρ e β são morfismos de álgebras, temos:
(A(G) ⊗ ρ) ◦ βu (Th X i ) = (A(G) ⊗ ρ) (u(h) ⊗ Th )(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )i
= (u(h) ⊗ Th ⊗ h)(1 ⊗ (1 ⊗ x + X ⊗ g) + x ⊗ Tg ⊗ g)i
= (u(h) ⊗ Th ⊗ h)(1 ⊗ 1 ⊗ x + 1 ⊗ X ⊗ g + x ⊗ Tg ⊗ g)i
= (βu ⊗ A(G)) (Th ⊗ h)(1 ⊗ x + X ⊗ g)i
= (βu ⊗ A(G)) ◦ ρ(Th X i )
Portanto Aσ,a (G) é A(G)-bicomódulo.
Vejamos Aσ,a (G) é objeto A(G)-Balois, ou seja, que a função:
κl : Aσ,a (G) ⊗ Aσ,a (G) → A(G) ⊗ Aσ,a (G)
é bijetora. De fato, para cada h ∈ G, tomando k ∈ G tal que u(k) = h, temos:
κl (Tk ⊗ 1) = βu (Tk )1
= u(k) ⊗ Tk
= h ⊗ Tk
e pela Aσ,a (G)-linearidade à direita temos:
κl (σ(k, k −1 )−1 Tk ⊗ Tk−1 ) = σ(k, k −1 )−1 κl (Tk ⊗ 1)Tk−1
= σ(k, k −1 )−1 (h ⊗ Tk )Tk−1
= σ(k, k −1 )−1 σ(k, k −1 )h ⊗ Tkk−1
=h⊗1
Assuma que hxt ⊗ 1 está na imagem de κl , ∀h ∈ G e 0 ≤ t ≤ i − 1.
108
Seja ηh,t ∈ Aσ,a (G) ⊗ Aσ,a (G) um elemento tal que κl (ηh,t ) = hxt ⊗ 1. Então:
κl (X i ηh,0 ) = κl (σ(k, k −1 )−1 X i Tk ⊗ Tk−1 )
= σ(k, k −1 )−1 βu (X i )βu (Tk )Tk−1
= σ(k, k −1 )−1 (1 ⊗ X + x ⊗ Tg )i (u(k) ⊗ Tk )Tk−1
= (1 ⊗ X + x ⊗ Tg )i (h ⊗ 1)
i Proposição A.7 X i
=
(x ⊗ Tg )i−t (1 ⊗ X)t (h ⊗ 1)
t q
t=0
i
X i
=
xi−t h ⊗ (Tg )i−t X t
t q
t=0
i X
i
=
χ(h)i−t hxi−t ⊗ (Tg )i−t X t
t q
t=0
i X
i
i
i
i
= χ(h) hx ⊗ (Tg ) +
t q
t=1
i X
i
i
i
i
= χ(h) hx ⊗ (Tg ) +
χ(h)i−t κl (ηh,i−t )(Tg )i−t X t
t q
t=1
Portanto temos que:
i X
i
−i
i
i−t
i−t t
−i
= hxi ⊗ 1
X ηh,0 −
χ(h) ηh,i−t (Tg ) X (Tg )
κl χ(h)
t q
t=1
Logo, todos os elementos da forma hxi ⊗1 estão na imagem de κl . Como κl é Aσ,a (G)-linear
à direita, temos que κl é sobrejetora.
Assim, temos que dim Aσ,a (G) ⊗ Aσ,a (G) ≥ dim A(G) ⊗ Aσ,a (G). Como Aσ,a (G) é algebra
não-nula, dim Aσ,a (G) 6= 0. Portanto dim Aσ,a (G) ≥ dim A(G).
Pelo Lema 2.14, temos que dim Aσ,a (G) ≤ |G|d e sabemos que dim A(G) = |G|d. Logo
dim Aσ,a (G) ⊗ Aσ,a (G) = dim A(G) ⊗ Aσ,a (G) e κl é isomorfismo, o que implica que Aσ,a (G)
é objeto A(G)-Galois.
Proposição 3.4. Sejam σ, τ ∈ Z 2 (G, K∗ ), a, b ∈ K e u, v ∈ Autg (G) tais que Auσ,a (G) e
Avτ,b (G) são objetos A(G)-biGalois.
Então Auσ,a (G) e Avτ,b (G) são isomorfos como A(G)-bicomódulo álgebras se, e somente se,
u = v e existe θ : G → K∗ com θ(1) = θ(g) = 1 tal que:
σ = ∂(θ)τ e b = aθ(g d )
Demonstração. (⇒) Como Auσ,a (G) e Avτ,b (G) são isomorfos como A(G)-bicomódulo álgebras,
em particular são isomorfos como A(G)-comódulo álgebras à direita e, pela Proposição 2.23,
existe θ : G → K∗ com θ(1) = 1, σ = ∂(θ)τ e b = aθ(g d ). Durante a demonstração da
Proposição 2.23, vemos que o isomorfismo deve ser dado por:
f : Auσ,a (G) −→ Avτ,b (G)
X 7−→ X
Th 7−→ θ(h)Th , ∀h ∈ G
109
Temos que (A(G) ⊗ f ) ◦ βu = βv ◦ f . Mas para cada h ∈ G temos:
(A(G) ⊗ f ) ◦ βu (Th ) = (A(G) ⊗ f )(u(h) ⊗ Th )
= θ(h)u(h) ⊗ Th
βv ◦ f (Th ) = βv (θ(h)Th )
= θ(h)v(h) ⊗ Th
Como θ(h) 6= 0, ∀h ∈ G, temos que u(h) = v(h), ∀h ∈ G. Além disso, temos:
(A(G) ⊗ f ) ◦ βu (X) = (A(G) ⊗ f )(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )
= 1 ⊗ X + θ(g)x ⊗ Tg
βv ◦ f (X) = βv (X)
= 1 ⊗ X + x ⊗ Tg
Portanto θ(g) = 1.
(⇐) Pela Proposição 2.23, como existe θ : G → K∗ com θ(1) = 1, σ = ∂(θ)τ e b = aθ(g d ),
temos que Auσ,a (G) e Avτ,b (G) são isomorfos como A(G)-comódulo álgebras à direita, com
isomorfismo dado por:
f : Auσ,a (G) −→ Avτ,b (G)
X 7−→ X
Th 7−→ θ(h)Th , ∀h ∈ G
Precisamos verificar que (A(G) ⊗ f ) ◦ βu = βv ◦ f . Como {Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é
base linear de Auσ,a (G), podemos verificar apenas para os elementos da base. Para cada h ∈ G
e 0 ≤ i ≤ d − 1 temos:
(A(G) ⊗ f ) ◦ βu (Th X i ) = (A(G) ⊗ f ) (u(h) ⊗ Th )(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )i
= (θ(h)u(h) ⊗ Th )(1 ⊗ X + θ(g)x ⊗ Tg )i
βv ◦ f (Th X i ) = βv (θ(h)Th X i )
= θ(h)(v(h) ⊗ Th )(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )i
Como u = v e θ(g) = 1, temos que (A(G) ⊗ f ) ◦ βu = βv ◦ f e f é isomorfismo de
A(G)-bicomódulo álgebras.
Proposição 3.5. Sejam σ, τ ∈ Z 2 (G, K∗ ), a, b ∈ K com a = b = 0 se G não é do tipo I e
u, v ∈ Autg (G) tais que Auσ,a (G) e Avτ,b (G) são objetos A(G)-biGalois. Tome ω = (σ◦(v×v))τ e
c = τ (g, g) · · · τ (g, g d−1 )a + b. Então Au◦v
ω,c (G) é objeto A(G)-biGalois e temos um isomorfismo
de A(G)-bicomódulo álgebras:
∼ u
Au◦v
ω,c (G) = Aσ,a (G)
v
Aτ,b (G)
A(G)
Demonstração. Como Auσ,a (G) e Avτ,b (G) são objetos A(G)-biGalois, em particular são objetos
A(G)-Galois à direita e, pela Proposição 2.24, temos que para todo h ∈ G:
aσ(g d , h) = aχ(h)d σ(h, g d )
bτ (g d , h) = bχ(h)d τ (h, g d )
Se G não é do tipo I, temos que a = b = 0, o que implica que c = 0 e, pela Proposição 2.24,
Aω,c (G) é objeto A(G)-Galois à direita.
110
Se G é do tipo I, basta verificar que ω ∈ Z 2 (G, K∗ ) que a equação (2.4.1) será satisfeita
(pois g d = 1 e χd = 1) e pela Proposição 2.24, Aω,c (G) é objeto A(G)-Galois à direita. De
fato, dados h1 , h2 , h3 ∈ G:
ω(h1 , h2 )ω(h1 h2 , h3 ) = (σ ◦ (v × v))τ (h1 , h2 ) (σ ◦ (v × v))τ (h1 h2 , h3 )
= σ(v(h1 ), v(h2 ))τ (h1 , h2 )σ(v(h1 h2 ), v(h3 ))τ (h1 h2 , h3 )
= σ(v(h1 ), v(h2 ))σ(v(h1 )v(h2 ), v(h3 ))τ (h1 , h2 )τ (h1 h2 , h3 )
= σ(v(h2 ), v(h3 ))σ(v(h1 ), v(h2 )v(h3 ))τ (h2 , h3 )τ (h1 , h2 h3 )
= σ(v(h2 ), v(h3 ))σ(v(h1 ), v(h2 h3 ))τ (h2 , h3 )τ (h1 , h2 h3 )
= (σ ◦ (v × v))τ (h2 , h3 ) (σ ◦ (v × v))τ (h1 , h2 h3 )
= ω(h2 , h3 )ω(h1 , h2 h3 )
e ω ∈ Z 2 (G, K∗ ).
Vejamos que Au◦v
ω,c (G) é objeto A(G)-biGalois. De fato, como u, v ∈ Autg (G) com:
χ ◦ u(h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)
χ ◦ v(h) = τ (g, h)−1 τ (h, g)χ(h)
para todo h ∈ G, temos que u ◦ v ∈ Autg (G) e para todo h ∈ G:
χ ◦ (u ◦ v)(h) = χ ◦ u(v(h))
= σ(g, v(h))−1 σ(v(h), g)χ(v(h))
= σ(v(g), v(h))−1 σ(v(h), v(g))τ (g, h)−1 τ (h, g)χ(h)
= ω(g, h)−1 ω(h, g)χ(h)
Pela Proposição 3.3, temos que Au◦v
ω,c (G) é objeto A(G)-biGalois.
Pelo Proposição 3.5, temos que Auσ,a (G) Avτ,b (G) é objeto A(G)-biGalois.
A(G)
(ρ ⊗ Avτ,b (G))(1 ⊗ X + X ⊗ Tg ) = 1 ⊗ 1 ⊗ X + 1 ⊗ x ⊗ Tg + X ⊗ g ⊗ Tg
= 1 ⊗ 1 ⊗ X + 1 ⊗ x ⊗ Tg + X ⊗ v(g) ⊗ Tg
= (Auσ,a (G) ⊗ βv )(1 ⊗ X + X ⊗ Tg )
(ρ ⊗ Avτ,b (G))(Tv(h) ⊗ Th ) = Tv(h) ⊗ v(h) ⊗ Th
= (Auσ,a (G) ⊗ βv )(Tv(h) ⊗ Th )
Logo, 1 ⊗ X + X ⊗ Tg e Tv(h) ⊗ Th pertencem à Auσ,a (G)
Av
τ,b (G).
A(G)
f : V(G) −→ Auσ,a (G)
v
Aτ,b (G)
A(G)
Y 7−→ 1 ⊗ X + X ⊗ Tg
Wh 7−→ Tv(h) ⊗ Th
onde V(G) é A(G)-bicomódulo com estrutura à direita dada por:
ρV(G) : V(G) −→ V(G) ⊗ A(G)
Y 7−→ 1 ⊗ x + Y ⊗ g
Wh 7−→ Wh ⊗ h
111
e estrutura à esquerda dada por:
βV(G) : V(G) −→ A(G) ⊗ V(G)
Y 7−→ 1 ⊗ Y + x ⊗ Tg
Wh 7−→ u ◦ v(h) ⊗ Wh
Vejamos que f é morfismo de A(G)-comódulos à direita:
(Auσ,a (G) ⊗ ρv ) ◦ f (Y ) = (Auσ,a (G) ⊗ ρv )(1 ⊗ X + X ⊗ Tg )
= 1 ⊗ 1 ⊗ x + 1 ⊗ X ⊗ g + X ⊗ Tg ⊗ g
= (f ⊗ A(G))(1 ⊗ x + Y ⊗ g)
= (f ⊗ A(G)) ◦ ρV(G) (Y )
(Auσ,a (G) ⊗ ρv ) ◦ f (Wh ) = (Auσ,a (G) ⊗ ρv )(Tv(h) ⊗ Th )
= Tv(h) ⊗ Th ⊗ h
= (f ⊗ A(G))(Wh ⊗ h)
= (f ⊗ A(G)) ◦ ρV(G) (Wh )
Vejamos que f é morfismo de A(G)-comódulos à esquerda:
(βu ⊗ Avτ,b (G)) ◦ f (Y ) = (βu ⊗ Avτ,b (G))(1 ⊗ X + X ⊗ Tg )
= 1 ⊗ 1 ⊗ X + 1 ⊗ X ⊗ Tg + x ⊗ Tg ⊗ Tg
= 1 ⊗ 1 ⊗ X + 1 ⊗ X ⊗ Tg + x ⊗ Tv(g) ⊗ Tg
= (A(G) ⊗ f )(1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )
= (A(G) ⊗ f ) ◦ βV(G) (Y )
(βu ⊗ Avτ,b (G)) ◦ f (Wh ) = (βu ⊗ Avτ,b (G))(Tv(h) ⊗ Th )
= u(v(h)) ⊗ Tv(h) ⊗ Th
= (A(G) ⊗ f )(u(v(h)) ⊗ Wh )
= (A(G) ⊗ f ) ◦ βV(G) (Wh )
Portanto f é morfismo de A(G)-bicomódulos.
Pela Proposição 1.19, temos um morfismo de A(G)-bicomódulo álgebras:
f 0 : L(G) −→ Auσ,a (G)
v
Aτ,b (G)
A(G)
Y 7−→ 1 ⊗ X + X ⊗ Tg
Wh 7−→ Tv(h) ⊗ Th
Durante a demonstração da Proposição 2.15, mostramos que Iω,c (G) é A(G)-subcomódulo
à direita de L(G).
Durante a demonstração da Proposição 3.3, mostramos que, se u ◦ v ∈ Autg (G) satisfaz a
condição:
χ ◦ (u ◦ v)(h) = ω(g, h)−1 ω(h, g)χ(h), ∀h ∈ G
então Iω,c (G) é A(G)-subcomódulo à esquerda de L(G).
112
Pelo Corolário 1.21, temos um morfismo de A(G)-bicomódulo álgebras:
u
F : Au◦v
ω,c (G) −→ Aσ,a (G)
v
Aτ,b (G)
A(G)
X 7−→ 1 ⊗ X + X ⊗ Tg
Th 7−→ Tv(h) ⊗ Th
u
Como Au◦v
ω,c (G) e Aσ,a (G)
Av
τ,b (G)
A(G)
são objetos A(G)-biGalois, segue que F é isomor-
fismo.
3.2 O grupo Γ(G)
2 (G, K∗ ) dada por:
Observação 3.6. O conjunto Autg (G) tem uma ação à esquerda sobre H1,g
2
2
Autg (G) × H1,g
(G, K∗ ) −→ H1,g
(G, K∗ )
u × σ 7−→ σ ◦ (u × u)
2 (G, K∗ ), que é grupo com multiplicação
Logo, temos o produto semi-direto Autg (G) n H1,g
dada por:
(u, σ)(v, τ ) = (u, (v · σ)τ )
= (u ◦ v, (σ ◦ (v × v))τ )
Definição 3.7. Seja G = (G, g, χ, µ) um conjunto de dados de grupo. Definimos o conjunto
Γ(G) por:
2
Γ(G) = (u, σ) ∈ Autg (G) n H1,g
(G, K∗ ); χ ◦ u(h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h), ∀h ∈ G
2 (G, K∗ ).
Proposição 3.8. O conjunto Γ(G) é subgrupo de Autg (G) n H1,g
Demonstração. Sejam (u, σ), (v, τ ) ∈ Γ(G). Vejamos que (u ◦ v, (v · σ)τ ) ∈ Γ(G). De fato,
temos que:
χ ◦ u ◦ v(h) = σ(g, v(h))−1 σ(v(h), g)χ(v(h))
= σ(v(g), v(h))−1 σ(v(h), v(g))τ (g, h)−1 τ (h, g)χ(h)
= ((v · σ)τ )(g, h)−1 ((v · σ)τ )(h, g)χ(h)
2 (G, K∗ ) é (1 , 1), onde 1 é o morfismo identidade
O elemento neutro de Autg (G) n H1,g
G
G
de G e 1 : G × G → K∗ é o morfismo constante 1(g, h) = 1. Temos que:
χ ◦ 1G (h) = χ(h)
= 1(g, h)−1 1(h, g)χ(h)
Portanto (1G , 1) ∈ Γ(G).
2 (G, K∗ )
Seja (u, σ) ∈ Γ(G) um elemento qualquer. A inversa de (u, σ) em Autg (G) n H1,g
é dada por (u−1 , (σ ◦ (u−1 × u−1 ))−1 ), pois pela direita, temos:
(u, σ)(u−1 , (σ ◦ (u−1 × u−1 ))−1 ) = (u ◦ u−1 , (u−1 · σ)(σ ◦ (u−1 × u−1 ))−1 )
= (u ◦ u−1 , (σ ◦ (u−1 × u−1 ))(σ ◦ (u−1 × u−1 ))−1 )
= (1G , 1)
e se a inversa existe, então a inversa pela direita é igual à inversa pela esquerda.
113
Note que:
χ(h) = χ ◦ u ◦ u−1 (h)
= σ(g, u−1 (h))−1 σ(u−1 (h), g)χ ◦ u−1 (h)
Logo, temos que:
χ ◦ u−1 (h) = σ(u−1 (h), g)−1 σ(g, u−1 (h))χ(h)
= σ(u−1 (h), u−1 (g))−1 σ(u−1 (g), u−1 (h))χ(h)
= (σ ◦ (u−1 × u−1 ))−1 (g, h)−1 (σ ◦ (u−1 × u−1 ))−1 (h, g)χ(h)
e (u−1 , (σ ◦ (u−1 × u−1 ))−1 ) ∈ Γ(G).
2 (G, K∗ ).
Portanto Γ(G) é subgrupo de Autg (G) n H1,g
3.3 Descrição dos objetos A(G)-biGalois com G do tipo I e II
Proposição 3.9. Sejam G = (G, g, χ) um conjunto de dados de grupo do tipo I ou II e
σ ∈ Z 2 (G, K∗ ). Então existe u ∈ Autg (G) tal que (u, σ) ∈ Γ(G).
Demonstração. Como d = o(χ(g)) = o(g), a função χ induz um isomorfismo de grupos entre
hgi e o grupo das d-ésimas raı́zes da unidade em K, que denotaremos por Ωd . Seja s : Ωd → hgi
a inversa da restrição de χ à hgi.
Como para todo i, temos que:
i
σ(g, h)−1 σ(h, g) = σ(g i , h)−1 σ(h, g i )
considere a função:
f : G −→ Ωd
h 7−→ σ(g, h)−1 σ(h, g)
Como σ ∈ Z 2 (G, K∗ ), temos que:
f (h1 h2 ) = σ(g, h1 h2 )−1 σ(h1 h2 , g)
= σ(h1 , h2 )σ(gh1 , h2 )−1 σ(g, h1 )−1 σ(h1 , h2 )−1 σ(h1 , h2 g)σ(h2 , g)
= σ(g, h1 )−1 σ(h1 g, h2 )−1 σ(h1 , gh2 )σ(h2 , g)
= σ(g, h1 )−1 σ(h1 , g)σ(h1 , gh2 )−1 σ(g, h2 )−1 σ(h1 , gh2 )σ(h2 , g)
= σ(g, h1 )−1 σ(h1 , g)σ(g, h2 )−1 σ(h2 , g)
= f (h1 )f (h2 )
Portanto f é morfismo de grupos. Note que f (g) = 1.
Defina a função u : G → G por:
u(h) = s(f (h))h, ∀h ∈ G
Como s e f são morfismos de grupos e g é central, temos que para h1 , h2 ∈ G:
u(h1 h2 ) = s(f (h1 h2 ))h1 h2
= s(f (h1 ))s(f (h2 ))h1 h2
= s(f (h1 ))h1 s(f (h2 ))h2
= u(h1 )u(h2 )
114
Portanto u é morfismo de grupos. Temos que u(g) = s(f (g))g = s(1)g = g. Logo
u (s(f (h)))−1 = s(f (h))−1 , ∀h ∈ G, o que implica que:
u (s(f (h)))−1 h = u((s(f (h)))−1 )u(h)
= (s(f (h)))−1 s(f (h))h
=h
e u é sobrejetor. Como G é finito, temos que u ∈ Autg (G).
χ ◦ u(h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h), ∀h ∈ G
2 (G, K∗ ) tem uma ação sobre K dada por:
Observação 3.10. O conjunto H1,g
2
H1,g
(G, K∗ ) ⊗ K −→ K
σ ⊗ a 7−→ σ(g, g) · · · σ(g, g d−1 )a
Podemos estender esta ação naturalmente para Γ(G).
Proposição 3.11. Seja G = (G, g, χ) um conjunto de dados de grupo do tipo I. Então temos
um isomorfismo de grupos:
BiGal(A(G)) ∼
= Γ(G) n K
Demonstração. Considere a seguinte função:
Ψ : Γ(G) n K −→ BiGal(A(G))
(u, σ, a) 7−→ Auσ,a (G)
Pela Proposição 3.3, temos que Auσ,a (G) é objeto A(G)-biGalois para todo (u, σ) ∈ Γ(G) e
a ∈ K. Logo, a função Ψ está bem definida.
Pela Proposição 3.4, a função Ψ é injetora.
Pela Proposição 3.5, a função Ψ é morfismo de grupos.
Precisamos verificar que Ψ é sobrejetora. Seja Z um objeto A(G)-biGalois. Em particular,
Z é um objeto A(G)-Galois à direita e, pela Proposição 2.25, existem σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e a ∈ K
tais que Z = Aσ,a (G) como A(G)-comódulo álgebras à direita. Seja ρ a coação à direita de
A(G) sobre Z.
Pela Proposição 3.9, existe u ∈ Autg (G) tal que (u, σ) ∈ Γ(G). Pela Proposição 3.3, temos
que Auσ,a (G) é objeto A(G)-biGalois.
Pelo Teorema 1.83, existe f ∈ AutHopf (A(G)) tal que, se β é a coação à esquerda de Z e
βu é a coação à esquerda de Auσ,a (G), então β = (f ⊗ Z) ◦ βu . Diremos que Z = f Auσ,a (G).
Pela Proposição 2.10, existem v ∈ Autg,χ (G) e r ∈ K∗ tais que f (x) = rx e f (h) = v(h),
∀h ∈ G. Considere uma função θ : G → K∗ com θ(1) = 1 e θ(g) = r.
Como g é central, para cada i ≥ 0, temos que:
∂(θ)(g i , h) = θ(h)θ(g i h)−1 θ(g i )
= θ(g i )θ(hg i )−1 θ(h)
= ∂(θ)(h, g i )
115
Logo, como Aσ,a (G) é objeto A(G)-Galois, temos que:
a(∂(θ)σ)(g d , h) = aσ(g d , h)∂(θ)(g d , h)
= aχ(h)d σ(h, g d )∂(θ)(g d , h)
= aχ(h)d σ(h, g d )∂(θ)(h, g d )
= aχ(h)d (∂(θ)σ)(h, g d )
e A∂(θ)σ,a (G) é objeto A(G)-Galois.
Como u ∈ Autg (G) e v ∈ Autg,χ (G) ⊂ Autg (G), temos que v ◦ u ∈ Autg (G). Além disso,
temos que:
χ ◦ v ◦ u(h) = χ ◦ u(h)
= σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)
= σ(g, h)−1 ∂(θ)(g, h)−1 ∂(θ)(g, h)σ(h, g)χ(h)
= σ(g, h)−1 ∂(θ)(g, h)−1 ∂(θ)(h, g)σ(h, g)χ(h)
Logo, (v ◦ u, ∂(θ)σ) ∈ Γ(G) e Av◦u
∂(θ)σ,a (G) é objeto A(G)-biGalois.
φ : V(G) −→ f Auσ,a (G)
Y 7−→ X
Wh 7−→ θ(h)Th
ρV(G) : V(G) −→ V(G) ⊗ A(G)
Y 7−→ 1 ⊗ x + Y ⊗ g
Wh 7−→ Wh ⊗ h
βV(G) : V(G) −→ A(G) ⊗ V(G)
Y 7−→ 1 ⊗ Y + x ⊗ Tg
Wh 7−→ v ◦ u(h) ⊗ Wh
Vejamos que φ é morfismo de A(G)-comódulos à direita:
ρ ◦ φ(Y ) = ρ(X)
=1⊗x+X ⊗g
= (φ ⊗ A(G))(1 ⊗ x + Y ⊗ g)
= (φ ⊗ A(G)) ◦ ρV(G) (Y )
ρ ◦ φ(Wh ) = ρ(θ(h)Th )
= θ(h)Th ⊗ h
= (φ ⊗ A(G))(Wh ⊗ h)
= (φ ⊗ A(G)) ◦ ρV(G) (Wh )
116
Vejamos que φ é morfismo de A(G)-comódulos à esquerda:
β ◦ φ(Y ) = (f ⊗ Z) ◦ βu (X)
= (f ⊗ Z)(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )
= f (1) ⊗ X + f (x) ⊗ Tg
= 1 ⊗ X + rx ⊗ Tg
= 1 ⊗ X + θ(g)x ⊗ Tg
= (A(G) ⊗ φ)(1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )
= (A(G) ⊗ φ) ◦ βV(G) (Y )
β ◦ φ(Wh ) = (f ⊗ Z) ◦ βu (θ(h)Th )
= (f ⊗ Z)(θ(h)u(h) ⊗ Th )
= θ(h)f (u(h)) ⊗ Th
= θ(h)v ◦ u(h) ⊗ Th
= (A(G) ⊗ φ)(v ◦ u(h) ⊗ Wh )
= (A(G) ⊗ φ) ◦ βV(G) (Wh )
Portanto φ é morfismo de A(G)-bicomódulos.
φ0 : L(G) −→ f Auσ,a (G)
Y 7−→ X
Wh 7−→ θ(h)Th
Durante a demonstração da Proposição 2.15, mostramos que I∂(θ)σ,a (G) é A(G)-subcomódulo
Durante a demonstração da Proposição 3.3, mostramos que, se v ◦ u ∈ Autg (G) satisfaz a
condição:
χ ◦ (v ◦ u)(h) = (∂(θ)σ)(g, h)−1 (∂(θ)σ)(h, g)χ(h), ∀h ∈ G
então I∂(θ)σ,a (G) é A(G)-subcomódulo à esquerda de L(G).
v◦u
F : A∂(θ)σ,a
(G) −→ f Auσ,a (G)
X 7−→ X
Th 7−→ θ(h)Th
Como Av◦u
(G) e f Auσ,a (G) são objetos A(G)-biGalois, segue que F é isomorfismo e
∂(θ)σ,a
h
i
Av◦u
∂(θ)σ,a (G) = [Z]. Portanto Ψ é sobrejetora.
Proposição 3.12. Seja G = (G, g, χ) um conjunto de dados de grupo do tipo II. Então temos
BiGal(A(G)) ∼
= Γ(G)
Demonstração. Considere a função:
Ψ : Γ(G) −→ BiGal(A(G))
(u, σ) 7−→ Auσ,0 (G)
117
Pela Proposição 3.3, temos que Auσ,0 (G) é objeto A(G)-biGalois para todo (u, σ) ∈ Γ(G).
Logo, a função Ψ está bem definida.
Z é um objeto A(G)-Galois à direita e, pela Proposição 2.26, existe σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) tal que
Z = Aσ,0 (G) como A(G)-comódulo álgebras à direita.
Pela Proposição 3.9, existe u ∈ Autg (G) tal que (u, σ) ∈ Γ(G). Pela Proposição 3.3, temos
que Auσ,0 (G) é objeto A(G)-biGalois.
βu é a coação à esquerda de Auσ,0 (G), então β = (f ⊗ Z) ◦ βu . Diremos que Z = f Auσ,0 (G).
Claramente A∂(θ)σ,0 (G) é objeto A(G)-Galois.
Como g é central, temos que:
∂(θ)(g, h) = θ(h)θ(gh)−1 θ(g)
= θ(g)θ(hg)−1 θ(h)
= ∂(θ)(h, g)
temos que:
χ ◦ v ◦ u(h) = χ ◦ u(h)
= σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)
= σ(g, h)−1 ∂(θ)(g, h)−1 ∂(θ)(g, h)σ(h, g)χ(h)
= σ(g, h)−1 ∂(θ)(g, h)−1 ∂(θ)(h, g)σ(h, g)χ(h)
∂(θ)σ,0 (G) é objeto A(G)-biGalois.
φ : V(G) −→ f Auσ,0 (G)
Y 7−→ X
Wh 7−→ θ(h)Th
ρV(G) : V(G) −→ V(G) ⊗ A(G)
Y 7−→ 1 ⊗ x + Y ⊗ g
Wh 7−→ Wh ⊗ h
βV(G) : V(G) −→ A(G) ⊗ V(G)
Y 7−→ 1 ⊗ Y + x ⊗ Tg
Wh 7−→ v ◦ u(h) ⊗ Wh
ρ ◦ φ(Y ) = ρ(X)
=1⊗x+X ⊗g
= (φ ⊗ A(G))(1 ⊗ x + Y ⊗ g)
= (φ ⊗ A(G)) ◦ ρV(G) (Y )
118
ρ ◦ φ(Wh ) = ρ(θ(h)Th )
= θ(h)Th ⊗ h
= (φ ⊗ A(G))(Wh ⊗ h)
= (φ ⊗ A(G)) ◦ ρV(G) (Wh )
β ◦ φ(Y ) = (f ⊗ Z) ◦ βu (X)
= (f ⊗ Z)(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )
= f (1) ⊗ X + f (x) ⊗ Tg
= 1 ⊗ X + rx ⊗ Tg
= 1 ⊗ X + θ(g)x ⊗ Tg
= (A(G) ⊗ φ)(1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )
= (A(G) ⊗ φ) ◦ βV(G) (Y )
β ◦ φ(Wh ) = (f ⊗ Z) ◦ βu (θ(h)Th )
= (f ⊗ Z)(θ(h)u(h) ⊗ Th )
= θ(h)f (u(h)) ⊗ Th
= θ(h)v ◦ u(h) ⊗ Th
= (A(G) ⊗ φ)(v ◦ u(h) ⊗ Wh )
= (A(G) ⊗ φ) ◦ βV(G) (Wh )
φ0 : L(G) −→ f Auσ,0 (G)
Y 7−→ X
Wh 7−→ θ(h)Th
Durante a demonstração da Proposição 2.15, mostramos que I∂(θ)σ,0 (G) é A(G)-subcomódulo
condição:
então I∂(θ)σ,0 (G) é A(G)-subcomódulo à esquerda de L(G).
v◦u
F : A∂(θ)σ,0
(G) −→ f Auσ,0 (G)
X 7−→ X
Th 7−→ θ(h)Th
Como Av◦u
(G) e f Auσ,0 (G) são objetos A(G)-biGalois, segue que F é isomorfismo e
h
i∂(θ)σ,0
Av◦u
∂(θ)σ,0 (G) = [Z]. Portanto Ψ é sobrejetora.
119
3.4 Os objetos A(G0 )-A(G)-biGalois
A existência de u ∈ Autg (G) tal que Auσ,a (G) é objeto A(G)-biGalois quando G é do tipo I ou
II é feito na Proposição 3.9, mas não há um resultado equivalente para os demais casos. Precisamos utilizar o segundo caso apresentado na Observação 3.2. Nesta seção apresentaremos
as condições sobre G0 para que Aσ,a (G) seja objeto A(G0 )-A(G)-biGalois. Esta estrutura é
essencial para resolvermos o Teorema 3.1 para conjuntos de dados de grupo do tipo III e IV.
Na proposição a seguir, tomamos g d 6= 1 pois quando g d = 1 temos que G é do tipo
I ou II e os casos I e II já foram resolvidos. Sem esta condição, não terı́amos a equação
µ = −aσ(g, g)−1 · · · σ(g, g d−1 )−1 .
Proposição 3.13. Sejam G = (G, g, χ) e G0 = (G, g, χ0 , µ) dois conjuntos de dados de grupo
com g d 6= 1, σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e a ∈ K tais que Aσ,a (G) é objeto A(G)-Galois. Então Aσ,a (G) é
objeto A(G0 )-A(G)-biGalois com coação à esquerda dada por:
β : Aσ,a (G) −→ A(G0 ) ⊗ Aσ,a (G)
X 7−→ 1 ⊗ X + x ⊗ Tg
Th 7−→ h ⊗ Th , ∀h ∈ G
se, e somente se:
χ0 (h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h), ∀h ∈ G
µ = −aσ(g, g)−1 · · · σ(g, g d−1 )−1
Demonstração. (⇒) Como β está bem definido, temos que β(XTh ) = β(χ(h)Th X), ∀h ∈ G.
Mas:
β(XTh ) = (1 ⊗ X + x ⊗ Tg )(h ⊗ Th )
= h ⊗ XTh + xh ⊗ Tg Th
= χ(h)h ⊗ Th X + χ0 (h)σ(g, h)hx ⊗ Tgh
e:
β(χ(h)Th X) = χ(h)(h ⊗ Th )(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )
= χ(h)h ⊗ Th X + χ(h)hx ⊗ Th Tg
= χ(h)h ⊗ Th X + χ(h)σ(h, g)hx ⊗ Tgh
Como o conjunto:
{h1 xi ⊗ Th2 X j ; h1 , h2 ∈ G, 0 ≤ i, j ≤ d − 1}
é base de A(G0 ) ⊗ Aσ,a (G), temos que χ0 (h)σ(g, h) = χ(h)σ(h, g), ∀h ∈ G.
Também temos que β(X d ) = β(aTgd ). Mas, por um lado, temos:
β(X d ) = (1 ⊗ X + x ⊗ Tg )d
Corolário A.8
=
1 ⊗ X d + xd ⊗ (Tg )d
= a1 ⊗ Tgd + µσ(g, g) · · · σ(g, g d−1 )(1 − g d ) ⊗ Tgd
= (a1 + µσ(g, g) · · · σ(g, g d−1 )(1 − g d )) ⊗ Tgd
e por outro lado:
β(aTgd ) = ag d ⊗ Tgd
Logo ag d = a1 + µσ(g, g) · · · σ(g, g d−1 )(1 − g d ). Simplificando, temos:
−a(1 − g d ) = µσ(g, g) · · · σ(g, g d−1 )(1 − g d )
Como g d 6= 1, temos que µ = −aσ(g, g)−1 · · · σ(g, g d−1 )−1 .
(⇐) Vejamos que V(G) é A(G)-comódulo à esquerda com:
f : V(G) −→ A(G) ⊗ V(G)
Y 7−→ 1 ⊗ Y + x ⊗ Wg
Wh 7−→ h ⊗ Wh , ∀h ∈ G
De fato, temos:
(A(G) ⊗ f ) ◦ f (Y ) = (A(G) ⊗ f )(1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )
= 1 ⊗ (1 ⊗ Y + x ⊗ Wg ) + x ⊗ g ⊗ Wg
= 1 ⊗ 1 ⊗ Y + 1 ⊗ x ⊗ Wg + x ⊗ g ⊗ Wg
= (∆A(G) ⊗ V(G))(1 ⊗ Y ) + (∆A(G) ⊗ V(G))(x ⊗ Wg )
= (∆A(G) ⊗ V(G)) ◦ f (Y )
(A(G) ⊗ f ) ◦ f (Wh ) = (A(G) ⊗ f )(h ⊗ Wh )
= h ⊗ h ⊗ Wh
= (∆ ⊗ V(G))(h ⊗ Wh )
= (∆A(G) ⊗ V(G)) ◦ f (Wh )
Além disso, como εA(G) (h) = 1, ∀h ∈ G e εA(G) (x) = 0, temos:
(εA(G) ⊗ V(G)) ◦ f (Y ) = (εA(G) ⊗ V(G))(1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )
= εA(G) (1) ⊗ Y + εA(G) (x) ⊗ Wg
=1⊗Y
(εA(G) ⊗ V(G)) ◦ f (Wh ) = (εA(G) ⊗ V(G))(h ⊗ Wh )
= εA(G) (h) ⊗ Wh
= 1 ⊗ Wh
Portanto V(G) é A(G)-comódulo com a estrutura acima.
Pela Teorema 1.10, L(G) é A(G)-comódulo álgebra com coação dada por:
f 0 : L(G) −→ A(G) ⊗ L(G)
Y 7−→ 1 ⊗ Y + x ⊗ Wg
Wh 7−→ h ⊗ Wh , ∀h ∈ G
Vejamos que f 0 (Iσ,a (G)) ⊂ A(G) ⊗ Iσ,a (G). De fato, nos geradores de Iσ,a (G), temos:
f 0 (Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 ) = h1 h2 ⊗ Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )h1 h2 ⊗ Wh1 h2
= h1 h2 ⊗ (Wh1 Wh2 − σ(h1 , h2 )Wh1 h2 )
f 0 (W1 − 1) = 1 ⊗ W1 − 1 ⊗ 1
= 1 ⊗ (W1 − 1)
120
121
Como χ0 (h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h), temos:
f 0 (Y Wh − χ(h)Wh Y ) = (1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )(h ⊗ Wh ) − χ(h)(h ⊗ Wh )(1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )
= h ⊗ Y Wh + xh ⊗ Wg Wh − χ(h)h ⊗ Wh Y − χ(h)hx ⊗ Wh Wg
= h ⊗ (Y Wh − χ(h)Wh Y ) + χ0 (h)hx ⊗ Wg Wh − χ(h)hx ⊗ Wh Wg
= h ⊗ (Y Wh − χ(h)Wh Y ) + χ0 (h)hx ⊗ Wg Wh − χ0 (h)σ(g, h)hx ⊗ Wgh
+ χ0 (h)σ(g, h)hx ⊗ Wgh − χ(h)hx ⊗ Wh Wg
= h ⊗ (Y Wh − χ(h)Wh Y ) + χ0 (h)hx ⊗ (Wg Wh − σ(g, h)Wgh )
+ χ(h)σ(h, g)hx ⊗ Wgh − χ(h)hx ⊗ Wh Wg
= h ⊗ (Y Wh − χ(h)Wh Y ) + χ0 (h)hx ⊗ (Wg Wh − σ(g, h)Wgh )
− χ(h)hx ⊗ (Wh Wg − σ(h, g)Wgh )
Como µ = −aσ(g, g)−1 · · · σ(g, g d−1 )−1 , π : L(G) → Aσ,a (G) é morfismo de álgebras e
ker π = Iσ,a (G), temos que:
(A(G) ⊗ π) ◦ f 0 (Y d − aWgd ) = (A(G) ⊗ π) (1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )d − ag d ⊗ Wgd
= (1 ⊗ X + x ⊗ Tg )d − ag d ⊗ Tgd
Corolário A.8
=
1 ⊗ X d + xd ⊗ (Tg )d − ag d ⊗ Tgd
= a1 ⊗ Tgd + µ(1 − g d ) ⊗ (Tg )d − ag d ⊗ Tgd
= a(1 − g d ) ⊗ Tgd + µσ(g, g) · · · σ(g, g d−1 )(1 − g d ) ⊗ Tgd
=0
implica f 0 (Y d − aWgd ) ∈ A(G) ⊗ Iσ,a (G).
Pelo Corolário 1.14, Aσ,a (G) é A(G)-comódulo álgebra com coação dada por:
β : Aσ,a (G) −→ A(G) ⊗ Aσ,a (G)
X 7−→ 1 ⊗ X + x ⊗ Tg
Th 7−→ h ⊗ Th , ∀h ∈ G
Vejamos que Aσ,a (G) é A(G)-bicomódulo. De fato, como {Th X i ; h ∈ G, 0 ≤ i ≤ d − 1} é
base linear de Aσ,a (G), precisamos verificar apenas para os elementos da base. Sejam h ∈ G
e 0 ≤ i ≤ d − 1. Como ρ e β são morfismos de álgebras, temos:
(A(G) ⊗ ρ) ◦ β(Th X i ) = (A(G) ⊗ ρ) (h ⊗ Th )(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )i
= (h ⊗ Th ⊗ h)(1 ⊗ (1 ⊗ x + X ⊗ g) + x ⊗ Tg ⊗ g)i
= (h ⊗ Th ⊗ h)(1 ⊗ 1 ⊗ x + 1 ⊗ X ⊗ g + x ⊗ Tg ⊗ g)i
= (β ⊗ A(G)) (Th ⊗ h)(1 ⊗ x + X ⊗ g)i
= (β ⊗ A(G)) ◦ ρ(Th X i )
Portanto Aσ,a (G) é A(G)-bicomódulo.
Vejamos agora que Aσ,a (G) é objeto A(G)-Galois à esquerda, ou seja, que:
κl : Aσ,a (G) ⊗ Aσ,a (G) → A(G) ⊗ Aσ,a (G)
é bijetor. De fato, para cada h ∈ G temos:
κl (Th ⊗ 1) = β(Th )1
= h ⊗ Th
122
e pela Aσ,a (G)-linearidade à direita temos:
κl (σ(h, h−1 )−1 Th ⊗ Th−1 ) = σ(h, h−1 )−1 κl (Th ⊗ 1)Th−1
= σ(h, h−1 )−1 (h ⊗ Th )Th−1
= σ(h, h−1 )−1 σ(h, h−1 )h ⊗ Thh−1
=h⊗1
Assuma que hxt ⊗ 1 está na imagem de κl , ∀h ∈ G e 0 ≤ t ≤ i − 1.
Seja ηh,t ∈ Aσ,a (G) ⊗ Aσ,a (G) um elemento tal que κl (ηh,t ) = hxt ⊗ 1. Então:
κl (X i ηh,0 ) = κl (σ(h, h−1 )−1 X i Th ⊗ Th−1 )
= σ(h, h−1 )−1 β(X i )β(Th )Th−1
= σ(h, h−1 )−1 (1 ⊗ X + x ⊗ Tg )i (h ⊗ Th )Th−1
= (1 ⊗ X + x ⊗ Tg )i (h ⊗ 1)
i Proposição A.7 X i
=
(x ⊗ Tg )i−t (1 ⊗ X)t (h ⊗ 1)
t q
t=0
i
X i
=
xi−t h ⊗ (Tg )i−t X t
t q
t=0
i X
i
=
t q
t=0
i X
i
i
i
i
= χ(h) hx ⊗ (Tg ) +
t q
t=1
i X
i
i
i
i
χ(h)i−t κl (ηh,i−t )(Tg )i−t X t
= χ(h) hx ⊗ (Tg ) +
t q
t=1
Portanto temos que:
i X
i
−i
i
i−t
i−t t
−i
= hxi ⊗ 1
X ηh,0 −
χ(h) ηh,i−t (Tg ) X (Tg )
κl χ(h)
t q
t=1
Logo, todos os elementos da forma hxi ⊗1 estão na imagem de κl . Como κl é Aσ,a (G)-linear
à direita, temos que κl é sobrejetora.
Assim, temos que dim Aσ,a (G) ⊗ Aσ,a (G) ≥ dim A(G) ⊗ Aσ,a (G). Como Aσ,a (G) é algebra
não-nula, dim Aσ,a (G) 6= 0. Portanto dim Aσ,a (G) ≥ dim A(G).
Pelo Lema 2.14, temos que dim Aσ,a (G) ≤ |G|d e sabemos que dim A(G) = |G|d. Logo
dim Aσ,a (G) ⊗ Aσ,a (G) = dim A(G) ⊗ Aσ,a (G) e κl é isomorfismo, o que implica que Aσ,a (G)
é objeto A(G)-Galois.
Lema 3.14. Sejam G = (G, g, χ) e G0 = (G, g, χ0 , µ) dois conjuntos de dados de grupo com
χ0 (h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h), ∀h ∈ G. As álgebras de Hopf A(G0 ) e A(G) são isomorfas se, e
somente se, µ = 0 e existe u ∈ Autg (G) tal que:
χ ◦ u(h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h), ∀h ∈ G
Demonstração. As álgebras de Hopf A(G0 ) e A(G) são isomorfas se, e somente se, G e G0
são isomorfos. Mas pela Definição 2.2, G e G0 são isomorfos se, e somente se, µ = 0 e existe
u ∈ Autg (G) tal que χ ◦ u = χ0 . A equação χ ◦ u = χ0 é equivalente a:
χ ◦ u(h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h), ∀h ∈ G
123
3.5 Descrição dos objetos A(G)-biGalois com G do tipo III e IV
Proposição 3.15. Seja G = (G, g, χ) um conjunto de dados de grupo do tipo III. Então
temos um isomorfismo de grupos:
BiGal(A(G)) ∼
= Γ(G)
(u, σ) 7−→ Auσ,0 (G)
Z é um objeto A(G)-Galois à direita e, pela Proposição 2.27, existem σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) e a ∈ K
tais que Z = Aσ,a (G) como A(G)-comódulo álgebras à direita.
Tome G0 = (G, g, χ0 , µ) com:
χ0 (h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h), ∀h ∈ G
µ = −aσ(g, g)−1 · · · σ(g, g d−1 )−1
Pela Proposição 3.13, temos que Aσ,a (G) é objeto A(G0 )-A(G)-biGalois. Como Z é objeto
A(G)-biGalois, pelo Teorema 1.83, temos que A(G0 ) ∼
= A(G). Se a 6= 0, terı́amos que G0 seria
um conjunto de dados de grupo do tipo VI, o que impossibilitaria o isomorfismo. Portanto
a = 0.
Pelo Lema 3.14, existe u ∈ Autg (G) tal que (u, σ) ∈ Γ(G). Pela Proposição 3.3, temos que
Auσ,0 (G) é objeto A(G)-biGalois.
βu é a coação à esquerda de Auσ,0 (G), então β = (f ⊗ Z) ◦ βu . Diremos que Z = f Auσ,0 (G).
Claramente A∂(θ)σ,0 (G) é objeto A(G)-Galois.
Como g é central, temos que:
∂(θ)(g, h) = θ(h)θ(gh)−1 θ(g)
= θ(g)θ(hg)−1 θ(h)
= ∂(θ)(h, g)
temos que:
χ ◦ v ◦ u(h) = χ ◦ u(h)
= σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)
= σ(g, h)−1 ∂(θ)(g, h)−1 ∂(θ)(g, h)σ(h, g)χ(h)
= σ(g, h)−1 ∂(θ)(g, h)−1 ∂(θ)(h, g)σ(h, g)χ(h)
∂(θ)σ,0 (G) é objeto A(G)-biGalois.
φ : V(G) −→ f Auσ,0 (G)
Y 7−→ X
Wh 7−→ θ(h)Th
ρV(G) : V(G) −→ V(G) ⊗ A(G)
Y 7−→ 1 ⊗ x + Y ⊗ g
Wh 7−→ Wh ⊗ h
βV(G) : V(G) −→ A(G) ⊗ V(G)
Y 7−→ 1 ⊗ Y + x ⊗ Tg
Wh 7−→ v ◦ u(h) ⊗ Wh
ρ ◦ φ(Y ) = ρ(X)
=1⊗x+X ⊗g
= (φ ⊗ A(G))(1 ⊗ x + Y ⊗ g)
= (φ ⊗ A(G)) ◦ ρV(G) (Y )
ρ ◦ φ(Wh ) = ρ(θ(h)Th )
= θ(h)Th ⊗ h
= (φ ⊗ A(G))(Wh ⊗ h)
= (φ ⊗ A(G)) ◦ ρV(G) (Wh )
β ◦ φ(Y ) = (f ⊗ Z) ◦ βu (X)
= (f ⊗ Z)(1 ⊗ X + x ⊗ Tg )
= f (1) ⊗ X + f (x) ⊗ Tg
= 1 ⊗ X + rx ⊗ Tg
= 1 ⊗ X + θ(g)x ⊗ Tg
= (A(G) ⊗ φ)(1 ⊗ Y + x ⊗ Wg )
= (A(G) ⊗ φ) ◦ βV(G) (Y )
β ◦ φ(Wh ) = (f ⊗ Z) ◦ βu (θ(h)Th )
= (f ⊗ Z)(θ(h)u(h) ⊗ Th )
= θ(h)f (u(h)) ⊗ Th
= θ(h)v ◦ u(h) ⊗ Th
= (A(G) ⊗ φ)(v ◦ u(h) ⊗ Wh )
= (A(G) ⊗ φ) ◦ βV(G) (Wh )
124
125
φ0 : L(G) −→ f Auσ,0 (G)
Y 7−→ X
Wh 7−→ θ(h)Th
Durante a demonstração da Proposição 2.15, mostramos que I∂(θ)σ,0 (G) é A(G)-subcomódulo
condição:
então I∂(θ)σ,0 (G) é A(G)-subcomódulo à esquerda de L(G).
v◦u
(G) −→ f Auσ,0 (G)
F : A∂(θ)σ,0
X 7−→ X
Th 7−→ θ(h)Th
h
Como Av◦u
(G) e f Auσ,0 (G) são objetos A(G)-biGalois, segue que F é isomorfismo e
i∂(θ)σ,0
Av◦u
∂(θ)σ,0 (G) = [Z]. Portanto Ψ é sobrejetora.
Proposição 3.16. Seja G = (G, g, χ) um conjunto de dados de grupo do tipo IV. Então
BiGal(A(G)) ∼
= Γ(G)
(u, σ) 7−→ Auσ,0 (G)
A verificação de que Ψ é sobrejetora é feita do mesmo modo que no tipo III, com a diferença
de que no tipo IV não há possibilidade de a 6= 0 pois, pela Proposição 2.28, quando G é do
tipo IV, os objetos A(G)-Galois à direita são da forma Aσ,0 (G).
3.6 Descrição dos objetos A(G)-biGalois com G do tipo V e VI
Proposição 3.17. Seja G = (G, g, χ) um conjunto de dados de grupo do tipo V. Então temos
BiGal(A(G)) ∼
= Γ(G)
Demonstração. Seja σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) tal que χ(h)d = σ(g d , h)σ(h, g d )−1 . Tome Gσ = (G, g, χσ )
onde χσ : G → K∗ é dado por χσ (h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h).
Como (σ(g, h)−1 σ(h, g))d = σ(g d , h)−1 σ(h, g d ), temos que χdσ (h) = 1 e Gσ é um conjunto
de dados de grupo do tipo III.
126
Considere agora σ −1 ∈ Z 2 (G, K∗ ). Temos que Aσ−1 ,0 (G) é um objeto A(Gσ )-Galois á
direita.
Tomando G0 = (G, g, χ0 ) com χ0 : G → K∗ dado por:
χ0 (h) = (σ −1 )(g, h)−1 (σ −1 )(h, g)χσ (h)
pela Proposição 3.13, temos que Aσ−1 ,0 (G) é um objeto A(G0 )-A(Gσ )-biGalois. Mas para
cada h ∈ G:
χ0 (h) = (σ −1 )(g, h)−1 (σ −1 )(h, g)χσ (h)
= (σ −1 )(g, h)−1 (σ −1 )(h, g)σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)
= χ(h)
Portanto G0 = G. Pela Proposição 1.84, temos um isomorfismo de grupos:
BiGal(A(G)) ∼
= BiGal(A(Gσ ))
Pela Proposição 3.15, temos um isomorfismo de grupos:
BiGal(A(Gσ ) ∼
= Γ(Gσ )
Observe que, se (u, τ ) ∈ Γ(Gσ ), então:
χσ ◦ u(h) = τ (g, h)−1 τ (h, g)χσ (h)
Esta equação nos permite calcular χ ◦ u(h):
χ ◦ u(h) = σ(g, u(h))σ(u(h), g)−1 χσ (u(h))
= (u · σ)(g, h)(u · σ)(h, g)−1 τ (g, h)−1 τ (h, g)χσ (h)
= (u · σ)(g, h)(u · σ)(h, g)−1 τ (g, h)−1 τ (h, g)σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)
= ((u · σ)(g, h)−1 )−1 (u · σ)(h, g)−1 τ (g, h)−1 τ (h, g)σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)
Logo (u, (u · σ)−1 στ ) ∈ Γ(G) e podemos considerar a seguinte função:
ϕ : Γ(Gσ ) −→ Γ(G)
(u, τ ) 7−→ (u, (u · σ)−1 στ )
Vejamos que ϕ é morfismo de grupos. De fato, dados (u1 , τ1 ), (u2 , τ2 ) ∈ Γ(Gσ ), temos:
ϕ (u1 , τ1 ) ϕ (u2 , τ2 ) = (u1 , (u1 · σ)−1 στ1 )(u2 , (u2 · σ)−1 στ2 )
= (u1 ◦ u2 , (u2 · ((u1 · σ)−1 στ1 ))((u2 · σ)−1 στ2 ))
= (u1 ◦ u2 , (u2 · (u1 · σ)−1 )(u2 · σ)(u2 · τ1 )(u2 · σ)−1 στ2 )
= (u1 ◦ u2 , ((u1 ◦ u2 ) · σ)−1 (u2 · τ1 )στ2 )
= ϕ (u1 ◦ u2 , (u2 · τ1 )τ2 )
= ϕ (u1 , τ1 )(u2 , τ2 )
Vejamos que ϕ é injetor. De fato, se (u1 , τ1 ), (u2 , τ2 ) ∈ Γ(Gσ ) são tais que:
ϕ (u1 , τ1 ) = ϕ (u2 , τ2 )
então:
(u1 , (u1 · σ)−1 στ1 ) = (u2 , (u2 · σ)−1 στ2 )
127
o que implica que u1 = u2 = u e existe θ ∈ B 2 (G, K∗ ) tal que:
(u · σ)−1 στ1 (u · σ)−1 στ2
−1
= ∂(θ)
Logo, temos que:
τ1 τ2−1 = ∂(θ)
ou seja, τ1 = τ2 e ϕ é injetor.
Vejamos que ϕ é sobrejetor. De fato, seja (u, τ ) ∈ Γ(G). Temos que:
χσ ◦ u(h) = σ(g, u(h))−1 σ(u(h), g)χ(u(h))
= (u · σ)(g, h)−1 (u · σ)(h, g)χ(u(h))
= (u · σ)(g, h)−1 (u · σ)(h, g)τ (g, h)−1 τ (h, g)χ(h)
= (u · σ)(g, h)−1 (u · σ)(h, g)τ (g, h)−1 τ (h, g)σ(g, h)σ(h, g)−1 χσ (h)
o que implica que (u, (u · σ)σ −1 τ ) ∈ Γ(Gσ ). Note que:
ϕ (u, (u · σ)σ −1 τ ) = (u, (u · σ)−1 σ(u · σ)σ −1 τ )
= (u, τ )
Portanto ϕ é um isomorfismo de grupos. Assim temos os seguintes isomorfismos de grupos:
BiGal(A(G)) ∼
= BiGal(A(Gσ )) ∼
= Γ(Gσ ) ∼
= Γ(G)
Logo, temos um isomorfismo de grupos:
BiGal(A(G)) ∼
= Γ(G)
Proposição 3.18. Seja G = (G, g, χ, µ) um conjunto de dados de grupo do tipo VI. Então
BiGal(A(G)) ∼
= Γ(G)
e
a
Gal A(G) ∼
Hg2d ,gd (G, K∗ )
= H 2 (G, K∗ )
Demonstração. Tome Gred = (G, g, χ). Como d = o(χ(g)) < o(g) e χd = 1, temos que Gred é
um conjunto de dados de grupo do tipo III.
Considere agora σ ∈ Z 2 (G, K∗ ) dado por σ(h1 , h2 ) = 1, ∀h1 , h2 ∈ G. Para qualquer
a ∈ K a equação (2.4.1) é satisfeita. Logo Aσ,−µ (Gred ) é um objeto A(Gred )-Galois á direita.
Tomando G0 = (G, g, χ0 , µ0 ) com χ0 : G → K∗ dado por:
χ0 (h) = σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h) = χ(h)
e µ0 ∈ K dado por:
µ0 = −(−µ)σ(g, g)−1 · · · σ(g, g d−1 )−1 = µ
pela Proposição 3.13, temos que Aσ,−µ (Gred ) é um objeto A(G0 )-A(Gred )-biGalois. Mas claramente G0 = G. Pela Proposição 1.84, temos uma bijeção:
Gal A(G) ∼
= Gal A(Gred )
128
e um isomorfismo de grupos:
BiGal(A(G)) ∼
= BiGal(A(Gred ))
Pela Proposição 2.27, temos uma bijeção:
a
Gal A(Gred ) ∼
Hg2d ,gd (G, K∗ )
= H 2 (G, K∗ )
Pela Proposição 3.15, temos um isomorfismo de grupos:
BiGal(A(Gred ) ∼
= Γ(Gred )
Observe que, se (u, τ ) ∈ Γ(Gred ), então:
χ ◦ u(h) = σ(g, u(h))σ(u(h), g)−1 χσ (u(h))
= (u · σ)(g, h)(u · σ)(h, g)−1 τ (g, h)−1 τ (h, g)χσ (h)
= (u · σ)(g, h)(u · σ)(h, g)−1 τ (g, h)−1 τ (h, g)σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)
= ((u · σ)(g, h)−1 )−1 (u · σ)(h, g)−1 τ (g, h)−1 τ (h, g)σ(g, h)−1 σ(h, g)χ(h)
Logo (u, (u · σ)−1 στ ) ∈ Γ(G) e podemos considerar a seguinte função:
ϕ : Γ(Gred ) −→ Γ(G)
(u, τ ) 7−→ (u, (u · σ)−1 στ )
Vejamos que ϕ é morfismo de grupos. De fato, dados (u1 , τ1 ), (u2 , τ2 ) ∈ Γ(Gred ), temos:
ϕ (u1 , τ1 ) ϕ (u2 , τ2 ) = (u1 , (u1 · σ)−1 στ1 )(u2 , (u2 · σ)−1 στ2 )
= (u1 ◦ u2 , (u2 · ((u1 · σ)−1 στ1 ))((u2 · σ)−1 στ2 ))
= (u1 ◦ u2 , (u2 · (u1 · σ)−1 )(u2 · σ)(u2 · τ1 )(u2 · σ)−1 στ2 )
= (u1 ◦ u2 , ((u1 ◦ u2 ) · σ)−1 (u2 · τ1 )στ2 )
= ϕ (u1 ◦ u2 , (u2 · τ1 )τ2 )
= ϕ (u1 , τ1 )(u2 , τ2 )
Vejamos que ϕ é injetor. De fato, se (u1 , τ1 ), (u2 , τ2 ) ∈ Γ(Gred ) são tais que:
ϕ (u1 , τ1 ) = ϕ (u2 , τ2 )
então:
(u1 , (u1 · σ)−1 στ1 ) = (u2 , (u2 · σ)−1 στ2 )
o que implica que u1 = u2 e
Vejamos que ϕ é sobrejetor. De fato, seja (u, τ ) ∈ Γ(G). Temos que:
χσ ◦ u(h) = σ(g, u(h))−1 σ(u(h), g)χ(u(h))
= (u · σ)(g, h)−1 (u · σ)(h, g)χ(u(h))
= (u · σ)(g, h)−1 (u · σ)(h, g)τ (g, h)−1 τ (h, g)χ(h)
= (u · σ)(g, h)−1 (u · σ)(h, g)τ (g, h)−1 τ (h, g)σ(g, h)σ(h, g)−1 χσ (h)
o que implica que (u, (u · σ)σ −1 τ ) ∈ Γ(Gred ). Note que:
ϕ (u, (u · σ)σ −1 τ ) = (u, (u · σ)−1 σ(u · σ)σ −1 τ )
= (u, τ )
129
Portanto ϕ é um isomorfismo de grupos. Assim temos os seguintes isomorfismos de grupos:
BiGal(A(G)) ∼
= BiGal(A(Gred )) ∼
= Γ(Gred ) ∼
= Γ(G)
Logo, temos um isomorfismo de grupos:
BiGal(A(G)) ∼
= Γ(G)
APÊNDICE
A. Q-CÁLCULO
Nesta seção apresentamos o Coeficiente Binomial Gaussiano, que é particularmente útil no
cálculo de potências da forma (a + b)i quando estamos em uma álgebra não comutativa. Estes
resultados se encontram em [13]. Fizemos uma pequena alteração na definição do coeficiente
a fim de generalizá-lo para potências que a definição usual não cobre.
Observação A.1. Seja n ∈ N. Para cada i ∈ N, chamaremos de si e ri os números naturais
tais que i = si n + ri com 0 ≤ ri < n.
Definição A.2. Seja q ∈ K. Definimos a função γ : N → K por γ (i) = 1 + q + · · · + q i−1 e
denotaremos por iq a imagem de i por γ.
Lema A.3. Se q ∈ K é uma n-ésima raı́z primitiva da unidade, então para i ∈ N temos:
iq = (ri )q
Demonstração. Como q é uma n-ésima raı́z primitiva da unidade, temos que 1 − q n = 0 e
1 − q 6= 0. Logo, nq = 1 + q + · · · + q n−1 = 0, pois 1 − q n = (1 − q) 1 + q + · · · + q n−1 .
Assim, temos que:
iq = 1 + q + · · · + q i−1
= 1 + q + · · · + q si n+ri −1
= 1 + q + · · · + q n−1 + q n 1 + q + · · · + q n−1 + · · · +
+ q (si −1)n 1 + q + · · · + q n−1 + q si n 1 + q + · · · + q ri −1
= (q n )si 1 + q + · · · + q ri −1
= (ri )q
Definição A.4. Seja q uma n-ésima raı́z primitiva da unidade em K. Para i, j ∈ N com
j ≤ i, definimos o coeficiente binomial Gaussiano como:

ri !q

i
, se ri ≥ rj
:=
(ri − rj )!q rj !q

j q
0
, se ri < rj
onde l!q := 1q · · · lq e 0!q := 1.
Note que 0i q = 1 = ii q , ∀i ∈ N.
Proposição A.5. A definição dada para o coeficiente binomial Gaussiano é equivalente à:
i!q
i
=
j q
(i − j)!q j!q
se assumirmos que
n!q
= 1.
n!q
A. q-Cálculo
Demonstração. A convenção de que
132
n!q
= 1 é necessária para eliminar as indeterminações do
n!q
0
.
0
Primeiramente note que i!q = (n!q )si ri !q , pois:
tipo
i!q = 1q · · · iq
= (1q · · · nq ) (n + 1)q · · · (2n)q · · · ((si − 1) n + 1)q · · · (si n)q (si n + 1)q · · · iq
si -vezes
Lema A.3
=
z
}|
{
(1q · · · nq ) (1q · · · nq ) · · · (1q · · · nq ) 1q · · · (ri )q
= (n!q )si ri !q
Se ri ≥ rj , temos:
(n!q )si ri !q
i!q
=
(i − j)!q j!q
(n!q )si −sj (ri − rj )!q (n!q )sj rj !q
n!q si
ri !q
=
n!q
(ri − rj )!q rj !q
i
=
j q
Se ri < rj , temos:
(n!q )si ri !q
i!q
=
(i − j)!q j!q
(n!q )si −sj −1 (n + ri − rj )!q (n!q )sj rj !q
ri !q
n!q si −1
= n!q
n!q
(n + ri − rj )!q rj !q
=0
i
=
j q
Portanto, temos que:
i!q
i
=
j q
(i − j)!q j!q
n!q
= 1 e partir de agora, sempre que usarmos o coeficiente binomial
n!q
Gaussiano, utilizaremos a expressão dada na proposição A.5.
Assumiremos que
Lema A.6. Seja q uma n-ésima raı́z primitiva da unidade em K. Então para i ≥ 2 e
1 ≤ j ≤ i − 1 temos:
i−1
i − 1 i−j
i
+
q
=
j q
j−1 q
j q
A. q-Cálculo
133
Demonstração. Temos que:
i−1
j
(i − 1)!q q i−j
(i − 1)!q
i − 1 i−j
+
+
q
=
(i − 1 − j)!q j!q
(i − j)!q (j − 1)!q
j−1 q
q
=
(i − 1)!q (i − j)q + (i − 1)!q jq q i−j
(i − j)!q j!q
=
(i − 1)!q (i − j)q + jq q i−j
(i − j)!q j!q
(i − 1)!q 1 + q + · · · + q i−j−1 + 1 + q + · · · + q j−1 q i−j
=
(i − j)!q j!q
(i − 1)!q 1 + q + · · · + q i−j−1 + q i−j + q i−j+1 + · · · + q i−1
=
(i − j)!q j!q
i!q
=
(i − j)!q j!q
i
=
j q
Proposição A.7. Sejam A uma álgebra, q uma n-ésima raiz primitiva da unidade e a, b ∈ A
tais que ba = qab. Então para 0 ≤ i ≤ n temos que:
i
(a + b) =
i X
i
j=0
j
ai−j bj
q
Demonstração. Faremos a demonstração por indução sobre a potência i. Para i = 1, temos
que:
1 0 1
1 1 0
a b
a b +
a+b=
1 q
0 q
i−1−j j
P
i−1
b . Então:
Suponha que (a + b)i−1 = i−1
j=0
j a
q
A. q-Cálculo
134


i−1 X
i − 1 i−1−j j 
(a + b)i = (a + b) 
a
b
j q
j=0

 

i−1 i−1 X
X
i − 1 i−j j  
i−1
=
a b +
bai−1−j bj 
j q
j q
j=0
j=0

 

i−1 i−1 X
X
i − 1 i−j j  
i − 1 i−1−j i−1−j j+1 
=
a b +
q
a
b
j q
j q
j=0
j=0


!
i−1 X
i−1 i 0 
i−1
i − 1 i−j
i−1 0 0 i
=
ab +
+
q
ai−j bj  +
q a b
0 q
j q
j−1 q
i−1 q
j=1


i−1
X
i
Lema A.6 i 0
=
a b +
ai−j bj  + a0 bi
j q
j=1
=
i X
i
j=0
j
ai−j bj
q
Corolário A.8. Sejam A uma álgebra, q uma n-ésima raiz primitiva da unidade e a, b ∈ A
tais que ba = qab. Então temos que:
(a + b)n = an + bn
Demonstração. Usando a proposição A.7, temos que:
n
(a + b) =
n X
n
j=0
Mas temos que
n
jq
j
an−j bj
q
= 0 para 1 ≤ j ≤ n − 1. Portanto:
(a + b)n = an + bn
B. ÁLGEBRAS E OUTROS RESULTADOS GERAIS
Definição B.1. Sejam A um K-módulo, mA : A⊗A → A e uA : K → A morfismos K-lineares.
Dizemos que a tripla (A, mA , uA ) é uma álgebra se os seguintes diagramas comutam:
A⊗A⊗A
mA ⊗A
A⊗mA
mA
A⊗A
A9 ⊗ Ae
uA ⊗A
/A⊗A
K⊗A
/A
A⊗uA
A⊗K
mA
∼
=
% y
mA
∼
=
A
Quando não houver ambiguidade, diremos apenas que A é álgebra.
Definição B.2. Sejam A e B álgebras e f : A → B um morfismo K-linear. Diremos que f é
um morfismo de álgebras se os seguintes diagramas comutam:
f ⊗f
A⊗A
mA
/B⊗B
f
A
A_
f
uA
mB
/B
/B
?
uB
K
Observação B.3. A definição acima é equivalente a definição usual de álgebra: (A, +, ·) é
um anel com unidade e u : K → A um morfismo de anéis com u(1) = 1A e u(K) ⊂ Z(A),
onde Z(A) é o centro de A.
De fato, se A é um anel com unidade e temos um morfismo de anéis u : K → A, então A
é um K-módulo por meio de:
λa = u(λ)a
e definindo:
mA : A ⊗ A −→ A
a ⊗ b 7−→ a · b
temos que (A, mA , u) é uma álgebra pela Definição B.1.
Reciprocamente, se (A, mA , uA ) é uma álgebra pela Definição B.1, então A é um anel por
meio de:
a · b = mA (a ⊗ b)
B. Álgebras e outros resultados gerais
136
1A = uA (1K )
e uA : K → A é o morfismo de anéis tal que uA (K) ⊂ Z(A).
Definição B.4. Seja M um K-módulo. Diremos que o par (L, ι : M → L) é uma álgebra
tensorial sobre M se L é uma álgebra, ι : M → L é um morfismo de K-módulos e para toda
álgebra A e todo morfismo de K-módulos f : M → A, existe um único morfismo de álgebras
f 0 : L → A tal que o seguinte diagrama comuta:
7L
ι
M
f
/A
f0
Teorema B.5. Para todo K-módulo M , existe uma única álgebra tensorial (L, ι : M → L)
sobre M , a menos de isomorfismo.
Demonstração. Se (L1 , ι1 ) e (L2 , ι2 ) são álgebras tensoriais sobre M , existem morfismos de
álgebras ϕ : L1 → L2 e φ : L2 → L1 tais que os seguintes diagramas comutam:
7 L1
7 L2
ι1
ι2
ϕ
/ L2
M
ι2
Logo, os seguintes diagramas comutam:
7 L1
ι1
M
ι1
φ
/ L1
7 L2
ι2
φ◦ϕ
ϕ◦φ
/ L1
/ L2
M
M
ι1
ι2
Como as identidades também satisfazem os diagramas acima, pela unicidade temos que
(φ ◦ ϕ) = L1 e (ϕ ◦ φ) = L2 , o que implica que L1 ∼
= L2 .
Portanto é suficiente provarmos a existência.
i-vezes
z
}|
{
Defina M0 = K, para cada i ≥ 1, Mi = M ⊗ · · · ⊗ M e seja L o K-módulo dado por:
L=
M
Mi
i≥0
Pela linearidade dos morfismos que usaremos, podemos realizar as verificações para os
geradores de Mi . Desta forma, apesar de um elemento geral de Mi ser combinação linear de
elementos da forma xi = (xi,1 ⊗ · · · ⊗ xi,i ), utilizaremos estes como os elementos de Mi .
Um elemento arbitrário de L é da forma:
X
x=
xi , onde xi ∈ Mi é nulo a menos de um número finito de ı́ndices i
i≥0
Note que x0 ∈ K e xi = (xi,1 ⊗ · · · ⊗ xi,i ) ∈ Mi para i ≥ 1.
Para cada i, j ≥ 0, defina µi,j : Mi × Mj → Mi+j por:
1) se i ≥ 1 e j ≥ 1:
µi,j (xi , yj ) = xi,1 ⊗ · · · ⊗ xi,i ⊗ yj,1 ⊗ · · · ⊗ yj,j
2) se i = 0 e j ≥ 1:
µ0,j (λ, yj ) = λyj = λyj,1 ⊗ · · · ⊗ yj,j
137
3) se i ≥ 1 e j = 0:
µi,0 (xi , λ) = λxi = λxi,1 ⊗ · · · ⊗ xi,i
Claramente temos que µi,j é K-bilinear, ∀i, j ≥ 0.
Além disso, se xi ∈ Mi , yj ∈ Mj e zk ∈ Mk , temos:
µi+j,k (µi,j (xi , yj ), zk ) = xi,1 ⊗ · · · ⊗ xi,i ⊗ yj,1 ⊗ · · · ⊗ yj,j ⊗ zk,1 ⊗ · · · ⊗ zk,k
= µi,j+k (xi , µj,k (yj , zk ))
Os morfismos mL : L ⊗ L → L e uL : K → L são definidos da seguinte forma:
mL (x ⊗ y) =
X
µi,j (xi , yj )
i,j≥0
uL (λ) = λ ∈ M0
Claramente uL é morfismo K-linear. Como µi,j é K-bilinear para todo i, j ≥ 0, temos que
mL é morfismo K-bilinear.
Vejamos que os seguintes diagramas comutam:
L⊗L⊗L
mL ⊗L
L⊗mL
mL
L⊗L
K⊗L
L⊗uL
L⊗K
mL
∼
=
mL
/L
L9 ⊗ Le
uL ⊗L
/L⊗L
∼
=
% y
L
Sejam x, y, z ∈ L e λ ∈ K. Então:
mL ◦ (mL ⊗ L)(x ⊗ y ⊗ z) = mL
X
µi,j (xi , yj ) ⊗ z
i,j≥0
=
X
µi+j,k (µi,j (xi , yj ), zk )
i,j,k≥0
=
X
µi,j+k (xi , µj,k (yj , zk ))
i,j,k≥0
X
= mL x,
µj,k (yj , zk )
j,k≥0
= mL ◦ (L ⊗ mL )(x ⊗ y ⊗ z)
mL ◦ (uL ⊗ L)(λ ⊗ x) = mL (λ ⊗ x)
X
=
µ0,i (λ, xi )
i≥0
=
X
λxi
i≥0
=λ
X
i≥0
= λx
xi
138
mL ◦ (L ⊗ uL )(x ⊗ λ) = mL (x ⊗ λ)
X
µi,0 (xi , λ)
=
i≥0
=
X
λxi
i≥0
=λ
X
xi
i≥0
= λx
Portanto L é uma álgebra. Definimos ι como:
ι : M −→ L
m 7−→ m ∈ M1
Seja A uma álgebra e f : M → A um morfismo K-linear. Definimos f 0 como:
f 0 : L −→ A
X
X
xi 7−→ uA (x0 ) +
f (xi,1 ) · · · f (xi,i )
i≥0
i≥1
Claramente f 0 é um morfismo K-linear, pois f e uA são morfismos K-lineares.
Vejamos que os seguintes diagramas comutam:
f 0 ⊗f 0
L⊗L
mL
L_
f0
uL
mA
/A
/A
?
uA
K
Sejam x, y ∈ L e λ ∈ K. Então:
X
f0
L
f 0 ◦ mL (x ⊗ y) = f 0
/A⊗A
µi,j (xi , yj )
i,j≥0
0
= f µ0,0 (x0 , y0 ) +
X
j≥1
= uA (x0 y0 ) +
X
j≥1
+
X
i,j≥1
µ0,j (x0 , yj ) +
X
µi,1 (xi , y0 ) +
i≥1
x0 f (yj,1 ) · · · f (yj,j ) +
X
i≥1
f (xi,1 ) · · · f (xi,i )f (yj,1 ) · · · f (yj,j )
X
µi,j (xi , yj )
i,j≥1
y0 f (xi,1 ) · · · f (xi,i )
139
mA ◦ (f 0 ⊗ f 0 )(x ⊗ y)
= f 0 (x)f 0 (y)
X
X
f (yj,1 ) · · · f (yj,j )
f (xi,1 ) · · · f (xi,i ) uA (y0 ) +
= uA (x0 ) +
j≥1
i≥1
= uA (x0 )uA (y0 ) + uA (x0 )
X
f (yj,1 ) · · · f (yj,j ) + uA (y0 )
X
f (xi,1 ) · · · f (xi,i )
i≥1
j≥1
+
X
f (xi,1 ) · · · f (xi,i )f (yj,1 ) · · · f (yj,j )
i,j≥1
= uA (x0 y0 ) +
X
uA (x0 )f (yj,1 ) · · · f (yj,j ) +
X
+
X
uA (y0 )f (xi,1 ) · · · f (xi,i )
i≥1
j≥1
f (xi,1 ) · · · f (xi,i )f (yj,1 ) · · · f (yj,j )
i,j≥1
= uA (x0 y0 ) +
X
x0 uA (1)f (yj,1 ) · · · f (yj,j ) +
+
y0 uA (1)f (xi,1 ) · · · f (xi,i )
i≥1
j≥1
X
X
f (xi,1 ) · · · f (xi,i )f (yj,1 ) · · · f (yj,j )
i,j≥1
f 0 ◦ uL (λ) = f 0 (λ)
= uA (λ)
Portanto f 0 é morfismo de álgebras. Além disso, como m =
mi = 0, ∀i 6= 1 em L, temos:
P
i≥0 mi
com m1 = m e
f 0 ◦ ι(m) = f 0 (m)
= f (m)
Seja g : L → A outro morfismo de álgebras satisfazendo:
7L
ι
M
/A
g
Cada elemento de L é da forma x =
i ≥ 1, podemos reescrever xi como:
P
i≥0 xi
f
=. Pela definição do produto em L, para
xi = xi,1 · · · xi,i
onde xy = mL (x ⊗ y) e cada xi,j ∈ M1 , para todo 1 ≤ j ≤ i. Além disso:
f (xi,j ) = g ◦ ι(xi,j ) = g(xi,j )
Como g é morfismos de álgebras, temos:
g(x0 ) = g ◦ uL (x0 )
= uA (x0 )
g(xi ) = g(xi,1 · · · xi,i )
= g(xi,1 ) · · · g(xi,i )
140
Logo:
f 0 (x) = uA (x0 ) +
X
f (xi,1 ) · · · f (xi,i )
i≥1
= g(x0 ) +
X
g(xi,1 ) · · · g(xi,i )
i≥1
=
X
g(xi )
i≥0
=g
X
xi
i≥0
= g(x)
Portanto f 0 = g e temos que (L, ι : M → L) é uma álgebra tensorial sobre M .
Pelo Teorema B.5, quando (L, ι : M → L) for a álgebra tensorial sobre M , podemos
assumir que M é um K-submódulo de L e que o morfismo ι : M → L é a inclusão. Assim,
diremos apenas que L é a álgebra tensorial sobre M , deixando implı́citas as propriedades
acima.
Definição B.6. Sejam A uma álgebra, M um K-módulo e ϑM : A ⊗ M → M um morfismo
K-linear. Diremos que (M, ϑM ) é um A-módulo se os seguintes diagramas comutam:
A⊗mM
A⊗M ⊗M
ϑM ⊗M
A⊗M
A ⊗ Me
/A⊗M
ϑM
ϑM
/A
ϑM
/A
<
∼
=
A⊗uM
A⊗K
Quando não houver ambiguidade, escreveremos apenas que M é um A-módulo.
Proposição B.7. Sejam A, B álgebras, I um ideal de A e f : A → B tal que I ⊂ ker f . Então
existe um único morfismo de álgebras f¯: A/I → B que faz o seguinte diagrama comutar:
f
A
πI
!
/B
=
f¯
A/I
onde πI : A → A/I é o morfismo projeção.
Demonstração. Pela propriedade universal de quociente de espaços, temos que existe um único
morfismo K-linear que faz o seguinte diagrama comutar:
f
A
πI
!
/B
=
f¯
A/I
¯
Vejamos que f é morfismo de álgebras. Sejam α, β ∈ A. Então:
f¯ ((α + I) (β + I)) = f¯ (αβ + I)
= f¯ ◦ π (αβ)
= f (αβ)
= f (α) f (β)
= f¯ ◦ π (α) f¯ ◦ π (β)
= f¯ (α + I) f¯ (β + I)
e
f¯ 1A/I = f¯ ◦ π (1A )
= f (1A )
= 1B
Portanto f¯ é morfismo de álgebras.
A unicidade segue da propriedade universal do quociente de espaços.
141
C. LEMA DO DIAMANTE
Nesta seção apresentaremos os conceitos básicos para entender o Lema do Diamante, com
a notação de George Bergman, [6], apenas com uma pequena mudança de notação para
ambiguidades. Temos:
• Seja K um anel comutativo com unidade, X um conjunto, hXi o semi grupo livre com
unidade sobre X e KhXi a K-álgebra livre associativa sobre X.
• Seja S um conjunto de pares da forma σ = (Wσ , fσ ) com Wσ ∈ hXi e fσ ∈ KhXi.
Chamaremos S de sistema de reduções.
• Para cada σ ∈ S e A, B ∈ hXi, definimos a redução rAσB como o endomorfismo de
KhXi tal que:
rAσB (AWσ B) = Afσ B
e rAσB (C) = C, ∀AWσ B 6= C ∈ hXi
• Dizemos que um elemento a ∈ KhXi é irredutı́vel (sobre S) se, para qualquer redução
r, temos que r(a) = a.
• O K-submódulo de KhXi formado pelos elementos irredutı́veis será chamado de KhXiirr .
• Uma sequência finita de reduções r1 , ..., rn é dita final em a ∈ KhXi se:
rn · · · r1 (a) ∈ KhXiirr
• Uma sequência de reduções r1 , r2 , ... é dita maximal em a ∈ KhXi se, para cada i:
ri (ri−1 · · · r1 (a)) 6= ri−1 · · · r1 (a)
e
· · · r2 r1 (a) ∈ KhXiirr
• Diremos que um elemento a ∈ KhXi é de redução finita se, para toda sequência infinta
de reduções r1 , r2 , ..., existe n > 0 tal que
ri (ri−1 · · · r1 (a)) = ri−1 · · · r1 (a), ∀i ≥ n
Note que, se a é de redução finita, toda sequência maximal em a é finita, portanto é
final.
• O conjunto de todos os elementos de redução finita forma um K-submódulo de KhXi.
• Diremos que um elemento a ∈ KhXi é de redução única se é de redução finita e toda
sequência final de reduções tem a mesma imagem.
• Sejam A, B, C ∈ hXi. Diremos que (ABC) é uma ambiguidade se:
C. Lema do Diamante
143
1) existem σ, τ ∈ S tais que AB = Wσ e BC = Wτ . Neste caso, a chamamos
de ambiguidade de sobreposição. Esta ambiguidade é dita resolúvel se existem
composições de reduções r e r0 tais que r(fσ C) = r0 (Afτ );
2) existem σ, τ ∈ S tais que ABC = Wσ e B = Wτ . Neste caso, a chamamos de
ambiguidade de inclusão. Esta ambiguidade é dita resolúvel se existem composições
de reduções r e r0 tais que r(fσ ) = r0 (Afτ C).
• Seja ≤ uma ordem parcial de semi grupo em hXi, ou seja:
B < B 0 ⇒ ABC < AB 0 C, ∀A, C ∈ hXi
Diremos que o sistema de reduções S é compatı́vel com ≤ se, para todo σ ∈ S, fσ é
combinação de elementos de hXi menores que Wσ .
• Seja I o ideal bilateral de KhXi gerado por {Wσ − fσ }σ∈S e, para cada A ∈ hXi, defina
IA como ideal bilateral de KhXi gerado pelos elementos da forma B(Wσ − fσ )C, onde
BWσ C < A.
• Uma ambiguidade (ABC) é resolúvel em relação à ≤ se:
1) (sobreposição): fσ C − Afτ ∈ IABC ;
2) (inclusão): fσ − Afτ C ∈ IABC .
Teorema C.1 (Lema do Diamante). [6, Teorema 1.2.] Seja S um sistema de redução para
uma álgebra livre associativa KhXi, e ≤ uma ordem parcial de semi grupo sobre hXi, compatı́vel com S, com a condição da cadeia descendente. Então são equivalentes:
1) Todas as ambiguidades de S são resolúveis;
2) Todas as ambiguidades de S são resolúveis em relação à ≤;
3) Todos os elementos de KhXi são de redução única;
4) O quociente R = KhXi/I é K-módulo com base dada pelos monômios irredutı́veis de
hXi sobre S.
D. CATEGORIAS MONOIDAIS
Definição D.1. Seja C uma categoria. Diremos que (C, ⊗, I, $, ω l , ω r ) é uma categoria monoidal se:
⊗ : C × C −→ C
é um bifuntor e I ∈ C é tal que, ∀A, B, C ∈ C, temos os seguintes isomorfismos naturais:
$ = $A,B,C : A ⊗ (B ⊗ C) −→ (A ⊗ B) ⊗ C
l
ωA
: I ⊗ A −→ A
r
ωA
: A ⊗ I −→ A
e os seguintes diagramas comutam, ∀A, B, C, D ∈ C:
$ /
A ⊗ (B ⊗ (C ⊗ D))
(A ⊗ B) ⊗ (C ⊗ D)
A⊗$
/ ((A ⊗ B) ⊗ C) ⊗ D
O
$
$⊗D
A ⊗ ((B ⊗ C) ⊗ D)
/ (I ⊗ B) ⊗ C
$
I ⊗ (B ⊗ C)
$
l
ωB⊗C
/ (A ⊗ (B ⊗ C)) ⊗ D
$
z
r
A⊗ωB
l ⊗C
ωB
/ (A ⊗ B) ⊗ I
$
A ⊗ (B ⊗ I)
$
B⊗C
r
ωA⊗B
z
A⊗B
Definição D.2. Sejam (C, ⊗, I, $, ω l , ω r ) e (C 0 , ⊗0 , I 0 , $0 , ω 0l , ω 0r ) categorias monoidais. Um
funtor monoidal fraco entre estas categorias:
T : (C, ⊗, I, $, ω l , ω r ) −→ (C 0 , ⊗0 , I 0 , $0 , ω 0l , ω 0r )
é um funtor T : C → C 0 tal que, ∀A, B, C ∈ C, existem morfismos:
ξ : T (A) ⊗0 T (B) −→ T (A ⊗ B)
e
ξ0 : I 0 −→ T (I)
que satisfazem os seguintes diagramas:
$0
T (A) ⊗0 (T (B) ⊗0 T (C))
T (A)⊗0 ξ
/ (T (A) ⊗0 T (B)) ⊗0 T (C)
T (A) ⊗0 T (B ⊗ C)
ξ
I0
⊗0
ξ0 ⊗0 T (A)
T (A)
T (I) ⊗0 T (A)
0l
ωT
(A)
T (A ⊗ B) ⊗0 T (C)
T ($)
T (A ⊗ (B ⊗ C))
/ T (A)
O
l )
T (ωA
ξ
/ T (I ⊗ A)
ξ⊗0 T (C)
ξ
/ T ((A ⊗ B) ⊗ C)
T (A)
⊗0
T (A)⊗0 ξ0
I0
T (A) ⊗0 T (I)
0r
ωT
(A)
/ T (A)
O
r)
T (ωA
ξ
/ T (A ⊗ I)
D. Categorias Monoidais
145
Exemplo D.3. A categoria dos K-módulos é uma categoria monoidal com o produto tensorial
e isomorfismos canônicos:
$ : M ⊗ (N ⊗ S) −→ (M ⊗ N ) ⊗ S
m ⊗ n ⊗ s 7−→ m ⊗ n ⊗ s
l
ωM
: K ⊗ M −→ M
λ ⊗ m 7−→ λm
e
r
ωM
: M ⊗ K −→ M
m ⊗ λ 7−→ λm
BIBLIOGRAFIA
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http://toknotes.mimuw.edu.pl/sem7/files/Maszczyk_gs.pdf. Acessado em 28 de
janeiro de 2014.

Descrição dos Objetos Galois Sobre uma Álgebra de Hopf

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