Numerische Modellierung von Fluid-Struktur
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Numerische Modellierung von Fluid-Struktur
9 783862 195459 Berichte des Instituts für Mechanik (Bericht 2/2014) Numerische Modellierung von Fluid-Struktur-Wechselwirkungen an wellenbeaufschlagten Strukturen Vilmar Fuchs ISBN 978-3-86219-545-9 Institut für Mechanik Vilmar Fuchs Numerische Modellierung von Fluid-Struktur-Wechselwirkungen an wellenbeaufschlagten Strukturen kassel university press Berichte des Instituts für Mechanik Bericht 2/2014 Vilmar Fuchs Numerische Modellierung von Fluid-Struktur-Wechselwirkungen an wellenbeaufschlagten Strukturen kassel university press Die vorliegende Arbeit wurde vom Fachbereich Maschinenbau der Universität Kassel als Dissertation zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Ingenieurwissenschaften (Dr.-Ing.) angenommen. Erster Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Olaf Wünsch, Universität Kassel Zweiter Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Detlef Kuhl, Universität Kassel Tag der mündlichen Prüfung: Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar Zugl.: Kassel, Univ., Diss. 2013 ISBN 978-3-86219-545-9 © 2014, kassel university press GmbH, Kassel www.upress.uni-kassel.de Umschlaggestaltung: Helena Friesen Druck und Verarbeitung: Print Management Logistics Solutions, Kassel Printed in Germany 17. Dezember 2013 Vorwort Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Strömungsmechanik am Institut für Mechanik der Universität Kassel. An dieser Stelle möchte ich allen voran Herrn Prof. Dr.-Ing. Olaf Wünsch, der Betreuer und Referent dieser Arbeit ist, für die umfangreiche fachliche Unterstützung und das vermittelte Wissen im Bereich der Strömungsmechanik während des gesamten Zeitraums am Institut für Mechanik meinen Dank aussprechen. Auch für die Möglichkeit, meine Ideen während der Erstellungsphase dieser Arbeit umzusetzen, danke ich ihm recht herzlich. Mein besonderer Dank richtet sich auch an Herrn Prof. Dr.-Ing. Detlef Kuhl für sein Interesse an meinem Forschungsthema und für das Begutachten dieser Dissertation. Gleichfalls bedanke ich mich bei der Prüfungskommission, bestehend aus Herrn Prof. Dr.-Ing. Martin Lawerenz und Herrn Dr.-Ing. Markus Rütten. Meinen Kollegen und Freunden am Institut für Mechanik, Martin Lübke, Ammar Al-Baldawi, Roman Gelmann und Ramdane Boukellif, danke ich für die schöne Zeit, die wir gemeinsam in Kassel erlebt haben. Unserer Fachgebietssekretärin Sandra Schiminski danke ich ebenso recht herzlich für die großartige Hilfsbereitschaft bei der Organisation von Lehr- und Reiseplanungen. Weiterhin bedanke ich mich bei all denjenigen, die bei mir eine Studien- oder Diplomarbeit geschrieben haben. Sie haben einen wesentlichen Teil zur Gestaltung dieser Arbeit beigetragen. Mein Dank geht an die Liebe meines Lebens, Olga Fuchs und an meinen Sohn, Arian Vilen Fuchs, ohne deren vielseitige Unterstützung diese Arbeit nicht möglich gewesen wäre. Mein aufrichtiger Dank gilt meiner Mutter Tatjana und meinem Vater Samuel Fuchs, deren Liebe und Erziehung ich immer schätzen werde. Zusammenfassung Die vorliegende Arbeit behandelt die numerische Modellierung von Fluid-Struktur-Wechselwirkung (FSI) an wellenbeaufschlagten Strukturen mittels eines partitionierten Block-GaußSeidel-Lösungsverfahrens. Die Berechnung der Teilpartitionen der multiregionalen bzw. multiphysikalischen Berechnungsfelder basiert dabei auf der numerischen Finite-Volumen-Methode (FVM). Das Hauptaugenmerk der Arbeit liegt auf der Entwicklung eines Fluid-StrukturWechselwirkungs-Algorithmus zur Untersuchung von dämpfungsbegünstigten Eigenschaften viskoser newtonscher und strukturviskoser nichtnewtonscher Flüssigkeiten. Die numerischen Untersuchungen erfolgen am Beispiel eines Offshore-Dämpfungselement-Prototypen, bei dem es sich um eine an die monopilen Offshore-Windkraftanlagen-Turmpfeiler integrierte Komponente handelt. Diese besteht im Wesentlichen aus einer dünnwandigen flexiblen Hülle, die um die Offshore-Struktur in der Höhe des Wellengangs befestigt ist. In der Kammer zwischen der flexiblen und starren monopilen Wand befindet sich eine viskose Dämpfungsflüssigkeit, die die impulsartigen Belastungen infolge der Einwirkung extremer Wellenaufschläge auf den Turmpfeiler dämpfen soll. Das für die Untersuchung generierte multiregionale FSISimulationsmodell des Dämpfungselementprototyps besteht dabei aus insgesamt drei Teilpartitionen, die implizit über einen Block-Gauß-Seidel-Kopplungsalgorithmus miteinander in Wechselwirkung stehen. Die erste Teilpartition stellt, als äußere hydrodynamische Belastung auf das Dämpfungselement, ein zweiphasiges Strömungsmodell einer brechenden Welle dar. Das Offshore-Dämpfungselement selbst besteht aus der zweiten und dritten Teilpartition. Diese beiden Teilpartitionen bilden die äußere flexible Strukturhülle und die viskose Dämpfungsflüssigkeit. Anhand von experimentellen Voruntersuchungen in einem Wasserkanal, einem Fluidoszillator und einem schwingenden elastischen Balken aus Kunststoff wird zunächst die Leistungsfähigkeit der drei Teilpartitionen des FSI-Löser getestet und validiert. Die Validierung des multiregionalen FSI-Lösers erfolgte am Beispiel eines in der Literatur bekannten Benchmarks eines brechenden Damms. Die Berechnung des Offshore-DämpfungselementPrototyps wird anschließend jeweils mit drei Parametersätzen hochviskoser newtonscher und strukturviskoser nichtnewtonscher Flüssigkeiten vorgenommen. Schließlich werden die unterschiedlichen Wirkungsweisen der Dämpfungsflüssigkeiten anhand zeitlicher Entwicklung der Druckverläufe und der Dissipationsleistung, die als das Volumenintegral über die Dissipationsfunktion definiert ist, analysiert und bewertet. Summary This work deals with the numerical modelling of multi-regional fluid-structure interaction (FSI) on wave-impacted offshore structures using a partitioned block Gauss-Seidel solution method. The partial partitions of the multi-regional or multi-physics computational fields are solved with the numerical finite volume method (FVM). The main focus of the work is on the development of a fluid-structure interaction algorithm for the investigation of damping properties of high viscose Newtonian and non-Newtonian fluids. The numerical investigations were done on the example of an offshore damping element prototype, which is a component integrated on the mono-pile offshore wind turbine tower pillars. This mainly consists of a thin-walled, flexible cover, which is fastened around the mono-pile offshore structure at wave level. The chamber between the flexible and rigid mono-pile wall is filled with a viscous damping fluid, which should damp the pulse-type loading caused by the effect of extreme wave impacts on the tower pillars. The multi-regional FSI simulation model of the damping element prototype generated for the investigation on damping features of fluids consists of a total of three computational regions, which interact with each other implicitly via a block Gauss-Seidel coupling algorithm. The first computational region represents a two-phase flow model of a breaking wave, as an external hydrodynamic load on the damping element. The offshore damping element itself consists of the second and third partial partition. These two partial partitions form the exterior flexible structure cover and the viscous damping liquid. Based on experimental preliminary tests in a water channel, a fluidic oscillator and an oscillating elastic beam made of rubber, the capability of the three partial partitions of the FSI solver are first tested and validated. The validation of the multi-regional FSI solver is done in the example of a benchmark of a breaking dam well known in literature. The calculation of the offshore damping element prototype is then carried out with each of three parameter sets of high viscosity Newtonian and shear thinning non-Newtonian fluids. Finally the various interactions of the damping liquids were analysed and assessed, based on the chronological development of the pressure curves and the dissipation energy, which is defined as the volume integral over the dissipation function. VIII Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Symbolverzeichnis XI Abkürzungsverzeichnis XV Abbildungsverzeichnis XVI Tabellenverzeichnis XIX 1. Einleitung und Problemstellung 1 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 6 2.1. Klassische Kinematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1. Beschreibungen der materiellen Punktbewegung . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2. Deformations- und Verschiebungsgradient . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.3. Deformationsgeschwindigkeitsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2. Kinetik und Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.1. Globale Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.2. Lokale Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. Materialgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1. Newtonsche Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.2. Nichtnewtonsche Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3.3. Kirchhoffsches Strukturmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4. Lagrange-Euler-Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4.1. Klassische Formulierungen und die ALE-Methode . . . . . . . . . . . 21 2.4.2. Transformationsgradienten und Relativgeschwindigkeiten . . . . . . . 21 2.4.3. ALE Bilanzgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5. Strömung der nicht mischbaren Fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3. Numerische Methoden 28 3.1. Fluid-Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.1. Diskretisierung der konvektiven Flüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1.2. Approximation der Massenflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.3. Approximation der Transportgröße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Inhaltsverzeichnis IX 3.1.4. Approximation der Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.5. Diskretisierung der diffusiven Flüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.6. Approximation des Extraterms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.7. Diskretisierung des Gitterflusses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.8. Fluidgitterbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.9. Zeitliche Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2. Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4. Fluidberechnungs-Prozedur 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Struktur-Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.6. Strukturberechnungs-Prozedur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 49 4.1. Experimentelle Untersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.1. Versuchsstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.2. Messsensorik 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Messmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.4. Messergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2. Numerisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.2.1. Modellbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.2.2. Simulationsergebnisse und Validierung . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.2.3. Berechnung der Dämpfungsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2.4. Kraftübertragung durch newtonsche Flüssigkeiten . . . . . . . . . . . 71 4.2.5. Kraftübertragung durch nichtnewtonsche Flüssigkeiten . . . . . . . . 73 4.2.6. Betrachtung der Dissipationsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4.2.7. Erhöhung der Scherentzähung und unregelmäßige Strömung . . . . . 78 4.2.8. Vergleich von scherentzähenden mit scherverzähenden Flüssigkeiten . 83 4.3. Erzeugung Gaußscher Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3.1. Gaußsche Wellenpakete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.3.2. Numerische Implementierung Gaußscher Wellenpakete 90 . . . . . . . . 4.3.3. Validierung des Gaußschen Wellenpakets . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.3.4. Numerische Simulation eines Wellenaufschlag 99 . . . . . . . . . . . . . 4.4. Simulation eines oszillierenden elastischen Balkens . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.1. Experimentelle Modellbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.4.2. Numerische Modellbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.4.3. Simulationsergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 112 5.1. Physikalische Problembeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 X Inhaltsverzeichnis 5.2. Numerische Lösungsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.2.1. Partitionierte Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.2.2. Multiregionaler FSI-Kopplungsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . 119 5.3. Validierung des FSI-Lösers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3.1. Problembeschreibung Dammbruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.3.2. Numerisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.3.3. Ergebnisse der Validierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6. Multiregionale FSI-Modellierung 129 6.1. Analytische Betrachtung des Wellenaufschlags . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 6.1.1. Ansätze zur Modellierung der Stoßkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.1.2. Analytische Berechnung des Wellenaufschlags . . . . . . . . . . . . . 133 6.2. Numerische Simulation eines Druckschlages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.1. Numerisches Modell und Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.2.2. Ergebnisse und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3. FSI-Simulationsmodell des Dämpfungselements . . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.3.1. Numerisches Modell und Diskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.3.2. Ergebnisse und Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7. Zusammenfassung und Ausblick 168 Literaturverzeichnis 173 A. Anhang 182 B. Anhang 183 Inhaltsverzeichnis XI Symbolverzeichnis Griechische Buchstaben α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Phasenindikator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-] αi . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konturterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] αs . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kompression der Phasengrenzfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] βi . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beta Faktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kopplungsrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-] γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diffusionskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] γ̇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Scherrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s] δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abklingkonstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] δt . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeitschrittweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s] δu . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inkrementeller Verschiebungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] δx . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gitterweite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abbruchkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] ζ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenauslenkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a s] ηb . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wassererhebung am Konturrand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] ηg . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Viskosität der gasförmigen Phase . . . . . . . . . . . . . . . [P a s] ηl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Viskosität der flüssigen Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a s] ηv . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumenviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a s3 ] η0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Nullviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a s] η∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dynamische Grenzviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a s] κ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oberflächenkrümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] Λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Logarithmisches Dekrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erste Lamé -Konstante / Wellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] / [m] μ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweite Lamé -Konstante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] XII Inhaltsverzeichnis μk . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aitken-Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinematische Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 /s] ν0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinematische Nullviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[m2 /s] ν∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kinematische Grenzviskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 /s] ν∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Querkontraktionszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druckverhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[kg/m3 ] ρg . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dichte der gasförmigen Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg/m3 ] ρl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dichte der flüssigen Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg/m3 ] ρw . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dichte des Wassers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg/m3 ] σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Oberflächenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N/m] Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beliebige physikalische Größe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [...] φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektor der Unbekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Materielle Koordinaten im Bezug auf die Gitterbewegung . . . . . . [m] Ψf . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teilbereich der Fluidpartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] Ωs . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teilbereich der Strukturpartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s] ω k . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaxationsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] Lateinische Buchstaben A . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] AD . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonalkomponenten der Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] AN . . . . . . . . . . . . . . . . . Nebendiagonalkomponenten der Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fläche eines Kontinuums in der Momentankonfiguration . . . . . . . [m2 ] a0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenamplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Linker Cauchy-Green Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-] Bt . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuum in der Momentankonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] Bt0 . . . . . . . . . . . . . . . . . Kontinuum in der Referenzkonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-] b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektor der Bekannten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−] C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rechter Cauchy-Green Tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-] Co . . . . . . . . . . . . . . . . . . Courant-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relative Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] Inhaltsverzeichnis XIII c0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenfortschrittsgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] ċ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeit der Wasserfront . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] D . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verzerrungsgeschwindigkeitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s] D . . . . . . . . . . . . . . . . . . Durchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wassertiefe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Green’scher Verzerrungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elastizitätsmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a] F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Deformationsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] F−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . Räumlicher Deformationsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] F d . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[N] Fg . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gesamtkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N] F r . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reibungskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [N] f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumenkraftdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[kg/m2 s2 ] g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erdbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s2 ] H . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verschiebungsgradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-] H . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakteristische Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einheitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[Ns] K . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konsistenzparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[s] k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wellenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] k0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zentrale Wellenzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeitsgradiententensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s] L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Charakteristische Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[m] m . . . . . . . . . . . . . . . . . . Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg] ṁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Massenstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [kg/s] n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalenvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . Normalenvektor der freien Oberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fließindex/Zeitschritt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[-]/[s] P . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zweiter Piola-Kirchhoffscher Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . [N/m2 ] Pi . . . . . . . . . . . . . . . . . . Materielle Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] Pirr . . . . . . . . . . . . . . . . . Dissipationsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [W ] p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a] R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . äußerer Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[m] XIV Inhaltsverzeichnis Re . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reynold-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . innerer Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy’scher Spannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a] Sf . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächenvektor einer KV-Zelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m2 ] s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reibungsspannungstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a] T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Periode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s] t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cauchy’scher Spannungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [P a] t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s] t0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anfangsbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [s] Ur . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ursell-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [-] u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verschiebungsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] u̇Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeit am Kopplungsrand von Ωs . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen des Kontinuums in der Referenzkonfiguration . . . . . . . . [m3 ] v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] v̂ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gittergeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] v Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeit am Kopplungsrand von Ψf . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen des Kontinuums in der Momentankonfiguration . . . . . . [m3 ] vn . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeit der Wassererhebung am Konturrand . . . . . . . . [m/s] W . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drehgeschwindigkeitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [1/s] w . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gitterbewegung in ALE-Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m/s] X . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortsvektor in der Referenzkonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortsvektor in der Momentankonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [m] Inhaltsverzeichnis XV Abkürzungsverzeichnis Abkürzung Bezeichnung ALE Abb. CDS CFD CG CPS CSS DIC ICCG div FD FEM FOAM FSI FVM Gl. grad HRS ISS OF PBiCG PCG PISO S. sp Tab. UDS vgl. VOF WKA WWEA Arbitrary-Lagrangian-Eulerian Abbildung Central Differencing Scheme Computational Fluid Dynamics Conjugate-Gradient Method Conventional Parallel Staggered Conventional Serial Staggered Diagonal-Incomplete-Cholesky Incomplete-Cholesky-Preconditioned-CG Divergenz Finite-Difference Finite-Element Methode Fields Operation And Manipulation Fluid-Struktur Interaktion Finite-Volume Methode Gleichung Gradient High Resolution Scheme Iterative Serial Staggered OpenFOAM Preconditioned-Bi-Conjugate-Gradient Preconditioned Conjugated Gradients Pressure Implicit with Splitting of Operators Seite Spur Tabelle Upwind Differencing Scheme vergleiche Volume-of-Fluid Methode Windkraftanlage World Wind Energy Association XVI Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 1.1. Installierte Gesamtleistung aus Windenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Prototyp des Dämpfungselements unter Wellenbelastung . . . . . . . . . . . 2 2.1. Anfangs und Momentankonfiguration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. Geschwindigkeiten zweier Teilchen in der Momentankonfiguration . . . . . . 11 2.3. Auf einen materiellen Körper einwirkende Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4. Typische scherentzähende und -entzähendes Stoffverhalten. . . . . . . . . . . 18 2.5. Klassische Formulierungen nach Euler und Lagrange, nach [42] . . . . . . . . 22 2.6. ALE Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.7. Zusammenhang zwischen den Transformationsgradienten . . . . . . . . . . . 23 3.1. Hexaederförmiges Kontrollvolumen mit der üblichen Kompassnotation. . . . 29 3.2. Interpolationsverfahren zur Approximation der Massenflüsse. . . . . . . . . . 31 3.3. Konfiguration der Berechnungspunkte für das Van Leer Schema. . . . . . . . 32 3.4. Darstellung des Gitterflusses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.5. Die zeroGradient Randbedingung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6. Flussdiagramm des zweiphasigen Strömungslösers. . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.7. Flussdiagramm des Strukturlösers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1. Prinzipieller Aufbau des Fluidoszillators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2. Versuchsaufbau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.3. Funktionsprinzip der Piezosensoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.4. Messzylinder mit Sensorik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.5. Schematische Darstellung des Messstandes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.6. Wegmessung mit Ultraschall. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.7. Kinematischer Bewegungsablauf des Fluidoszillators. . . . . . . . . . . . . . 55 4.8. Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für für ν = 1 mm2 /s. . . . . . . . . 56 4.9. Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für für ν = 102 mm2 /s. . . . . . . . 56 4.10. Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für für ν = 103 mm2 /s. . . . . . . . 57 4 2 4.11. Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für für ν = 10 mm /s. . . . . . . . 58 4.12. Experimentelle Druckwerte im Vergleich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.13. Numerisches Modell des Fluidoszillators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Abbildungsverzeichnis XVII 4.14. Parametersätze strukturviskoser Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.15. Gitterbewegung des numerischen F luidoszillator-Modells. . . . . . . . . . . 62 4.16. Numerische und experimentelle Ergebnisse im Vergleich für ν = 1mm2 /s. . . 64 4.17. Numerische und experimentelle Ergebnisse im Vergleich für ν = 102 mm2 /s. . 64 4.18. Numerische und experimentelle Ergebnisse im Vergleich für ν = 103 mm2 /s. . 65 4 2 4.19. Numerische und experimentelle Ergebnisse im Vergleich für ν = 10 mm /s. . 65 4.20. Numerische und experimentelle Druckwerte im Vergleich. . . . . . . . . . . . 66 4.21. Berechnetes Druckfeld für ν = 1 mm2 /s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.22. Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 1 mm2 /s. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.23. Berechnetes Druckfeld für ν = 102 mm2 /s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2 4.24. Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 1 mm /s. . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.25. Berechnetes Druckfeld für ν = 103 mm2 /s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.26. Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 103 mm2 /s. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.27. Berechnetes Druckfeld für ν = 104 mm2 /s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.28. Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 104 mm2 /s. . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.29. Quellcodeabschnitt zur Berechnung von Pirr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.30. Kraftverläufe an Γ1 u. Γ2 für unterschiedliche newtonsche Flüssigkeiten. . . . 72 4.31. Bereiche der Scherentzähung während der numerischen Simulation . . . . . . 73 4.32. Bereiche der Scherentzähung während der numerischen Simulation . . . . . . 73 4.33. Bereiche der Scherentzähung während der numerischen Simulation . . . . . . 74 4.34. Maximalwerte von Fg in Abhängigkeit von der Viskosität. . . . . . . . . . . 75 4.35. Kraftverläufe an Γ1 u. Γ2 fürd die Berechnungsreihe A. . . . . . . . . . . . . 76 4.36. Kraftverläufe an Γ1 u. Γ2 für die Berechnungsreihe B. . . . . . . . . . . . . . 77 4.37. Dissipationsleistung für unterschiedliche Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . 79 4.38. Parametersatz C der strukturviskosen Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . 80 4.39. Erhöhung des Zeitparameters K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.40. Zeitliche Entwicklung des Geschwindigkeitsfeld bis zur Verzerrung. . . . . . . 81 4.41. Parametersatz D der strukturviskosen Flüssigkeiten. 82 . . . . . . . . . . . . . 4.42. Stabilität in Abhängigkeit von K und ν für n = 3. . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.43. Parametersätze der scherent- und -verzähenden Flüssigkeiten. . . . . . . . . 83 4.44. Dissipationsleistung unterschiedlicher Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . 84 4.45. Kraftverläufe dilatanter, scherentzähender und newtonscher Flüssigkeiten. . . 85 4.46. Kraftverläufe dilatanter, scherentzähender und newtonscher Flüssigkeiten. . . 86 4.47. Betrag der maximalen Kraftwerte über Dissipationsleistung. . . . . . . . . . 87 4.48. Charakteristische Wellenparameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.49. Numerisches Modell des Wellenkanals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.50. Algorithmus zur Gitterbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 4.51. Numerische und experimentelle Ergebnisse des Gaußschen Wellenpakets. . . 94 4.52. Konvergenzverhalten des Druckfeldes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 XVIII Abbildungsverzeichnis 4.53. Konvergenzverhalten des Geschwindigkeitsfeld in Fortschrittsrichtung. . . . . 97 4.54. Numerische Simulation einer Sturzbrecherwelle. . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.55. Auslenkung der frei Oberfläche über der Zeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.56. Querschnittsansicht des CFD-Berechnungsmodells. . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.57. Strukturiertes Berechnungsgitter in der Draufsicht. . . . . . . . . . . . . . . 101 4.58. Wellenaufschlag auf Zylinderstruktur und Position der Messpunkte. . . . . . 101 4.59. Vergleich experimenteller und numerischer Druckverläufe am Zylinder. . . . . 102 4.60. Maximalwerte des hydrodynamischen Drucks und des Gesamtdrucks. . . . . 103 4.61. 3-D Ansicht des Wellenaufschlags auf eine zylindrische Struktur. . . . . . . . 104 4.62. Modellbeschreibung des oszillierenden Balkens. . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.63. Berechnungsgitter im Initialzustand bei t = 0s. . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.64. Zeitlicher Verlauf der Verschiebung in z Richtung (t = 0 s bis t = 2 s). . . . . 107 4.65. Zeitlicher Verlauf der Verschiebung in z-Richtung t = 0 s bis t = 20 s. . . . . 107 4.66. Experiment und Simulation im etablierten Ruhezustand. . . . . . . . . . . . 108 4.67. Vergleich des abklingenden Schwingungsverlaufs. . . . . . . . . . . . . . . . . 109 4.68. Momentanaufnahmen aus der Amplitudenausschläge. . . . . . . . . . . . . . 110 5.1. Skizze eines FSI-Problems. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.2. Gliederung der Lösungsverfahren zur FSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.3. Einfach gestaffelte FSI-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.4. Subcycling und iterative FSI-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.5. Block-SOR-Verfahren für multiregionale Fluid-Struktur-Wechselwirkungen . 120 5.6. Anfangskonfiguration des Dammbruch Modells. . . . . . . . . . . . . . . . . 123 5.7. Berechnungsgitter des Dammbruch Modells. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.8. Horizontale Verschiebung am Auswertungspunkt. . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.9. Visueller experimenteller und numerischer Vergleich. . . . . . . . . . . . . . . 127 5.10. Visueller Vergleich der numerischen Simulationen. . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.1. Schematische Darstellung des von Kármán Modells. . . . . . . . . . . . . . . 131 6.2. Schematische Darstellung des Wagner Modells. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.3. 2D Schnittfläche zur Druckschlagberechnung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 6.4. Modell zur Berechnung des Druckschlags. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.5. Vergleich der exakten und approximativen Kreisgleichung. . . . . . . . . . . 135 6.6. Relative Abweichung der Kreisgleichung (6.10) zur Gl. (6.11). . . . . . . . . 136 6.7. Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 0◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 6.8. Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 15◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.9. Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 30◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 6.10. Vergleich der c(t)-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 6.11. Abweichung von der c(t)-Funktion über der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . 140 6.12. Vergleich der Linienkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Abbildungsverzeichnis XIX 6.13. Abweichung der Linienkraft über der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 6.14. Zweidimensionales Berechnungsmodell des Druckschlags. . . . . . . . . . . . 142 6.15. Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 0◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.16. Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 15◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.17. Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 30◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 6.18. Wellenfront trifft Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.19. Vergleich der c(t)-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.20. Vergleich der Linienkräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 6.21. Prototyp des Dämpfungselements unter Wellenbelastung . . . . . . . . . . . 148 6.22. Zweidimensionales Berechnungsmodell des Dämpfungselements. . . . . . . . 149 6.23. Parametersätze strukturviskoser Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.24. Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur. . . . . . . 156 6.25. Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.26. Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur. . . . . . . 158 6.27. Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 6.28. Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur. . . . . . . 160 6.29. Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.30. Zeitliche Entwicklung der Dissipationsleistung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.31. Verschiebungen der flexiblen Hülle am Staupunkt . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.32. Wellenfront trifft Struktur. Darstellung des Druckfelds. . . . . . . . . . . . . 164 6.33. Wellenfront trifft Struktur. Darstellung des Druckfelds. . . . . . . . . . . . . 165 6.34. Visualisierung der Viskositätsverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.35. Visualisierung des Geschwindigkeitsfelds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 B.1. Charakteristische Wellenparameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 B.2. Aufbau des Wellengenerators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 B.3. Versuchsaufbau Wellengenerator im Wasserkanal. . . . . . . . . . . . . . . . 185 XX Tabellenverzeichnis Tabellenverzeichnis 3.1. Basis-Typen zur Definition der Randbedingungen. . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2. Definition der verwendeten Randbedingungstypen in OpenFOAM. . . . . . . 40 4.1. Funktionskomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2. Reynoldszahlen für niedrig- und hochviskoser Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . 51 4.3. Ergebnisse aus der Druckwertmessung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4. Randbedingungen am dreidimensionalen CFD-Modell des Fluidoszillators. . 60 4.5. Materialparameter der untersuchten Fluide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.6. Berechnungsgitter mit Zellenanzahl n. 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Ergebnisse aus numerischen Druckauswertung. . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.8. Relative Abweichung der berechneten gegenüber gemessenen Werten. . . . . 63 4.9. Verhältnisse der Maximalwerte von Pirr unterschiedlicher Parametersätze. . . 83 4.10. Materialparameter verschiedener Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.11. Parameter zur Erzeugung des Gaußschen Wellenpakets. . . . . . . . . . . . . 92 4.12. Berechnungsnetz mit n als Anzahl der Zellen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.13. Fluideigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.14. Randbedingungen des zweiphasigen Simulationsmodells. . . . . . . . . . . . 93 4.15. Rechenzeit auf systematisch verfeinerten Gittern . . . . . . . . . . . . . . . . 95 4.16. Randbedingungen des CFD-Modells mit Welleneinschlag. . . . . . . . . . . . 100 4.17. Physikalische Stoffeigenschaften der elastischen Struktur. . . . . . . . . . . . 105 4.18. Berechnungsnetze mit n als Anzahl der KV-Zellen. . . . . . . . . . . . . . . 106 4.19. Vergleich der statischen Ruhelage aus dem Experiment mit Numerik. . . . . 108 4.20. Experiment und Simulation abklingende Schwingung im Zeitbereich. . . . . . 109 4.21. Rechenzeit auf systematisch verfeinerten Gittern. . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.1. Verwendeten Materialpameter für die Simulation des Dammbruchs. . . . . . 124 5.2. Randbedingungen am Dammbruch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.3. Vergleich der maximalen Verschiebungen am Auswertepunkt. . . . . . . . . . 126 6.1. Randbedingungen für die numerische Berechnung. . . . . . . . . . . . . . . . 142 6.2. Fluideigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.3. Vergleich der maximalen Druckwerte pmax zur Referenzlösungen. . . . . . . . 145 Tabellenverzeichnis XXI 6.4. Vergleich der Eintauchzeitpunkte te zur Referenzlösungen. . . . . . . . . . . 146 6.5. KV-Zellenanzahl des multiregionalen Berechnungsgitters. . . . . . . . . . . . 150 6.6. Materialparameter der untersuchten Fluide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.7. Randbedingungen am Teilgebiet Ψf 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.8. Randbedingungen am Teilgebiet Ψf 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.9. Randbedingungen am Teilgebiet Ωs1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.10. Bewertung der Dämpfungseigenschaften für Flüssigkeiten. . . . . . . . . . . . 154 B.1. Bestimmung des Erzeugungsmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 B.2. Funktionskomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 1. Einleitung und Problemstellung 1 1. Einleitung und Problemstellung Die Gewinnung von Energie aus natürlichen Ressourcen wie Wind ist, angetrieben durch den Klimawandel, hohe Ölpreise und die jüngste Atomkatastrophe in Japan, zunehmend ins öffentliche Interesse gerückt. Dies spiegelt sich in der zunehmenden Kommerzialisierung der erneuerbaren Energien wider. In den letzten zehn Jahren hat sich die Energiekapazität aus Windkraft um etwa 30% jährlich erhöht und die World Wind Energy Association (WWEA) [109] prognostiziert weiterhin einen enormen Anstieg (s. Abb.1.1). 1.6 WWEA-Trendkurve [109] Leistung in T W 1.4 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 2000 2005 2010 2015 2020 Jahr Abbildung 1.1.: Installierte Gesamtleistung aus Windenergie vom 2000 bis 2020 in T W . Entwicklung und Prognostizierung nach [109]. In den zurückliegenden Jahren haben Windkraftanlagen (WKA) bei der Bereitstellung elektrischer Energie an Bedeutung gewonnen und die Wasserkraft, die bisher in Deutschland die Bereitstellung regenerativer Energien angeführt hat, überholt. Neben der wachsenden Anlagenzahl sind kontinuierliche Steigerungen der Einheitsleistung für diesen Trend maßgebend (vgl. [105]). Daher werden neue Standorte mit günstigen Windverhältnissen erschlossen, z.B. vor der niedersächsischen Nordseeküste in der Deutschen Bucht mit dem Offshore-Windpark alpha ventus1 . Die zukünftige Entwicklung im Sektor der erneuerbaren Energie tendiert zunehmend zur 1 Der erste deutsche Offshore-Windpark s. [2]. 2 1. Einleitung und Problemstellung Erweiterung von Offshore-Windparks. Doch mit diesem Trend entstehen neue technologische Probleme, denn die Windkraftanlagen auf See (Offshore-WKA) unterliegen extremen Witterungsbelastungen, die neue Herausforderungen mit sich bringen. Im Gegensatz zu den Windkraftanlagen auf dem Land müssen Offshore-WKA nicht nur höheren Windlasten standhalten, sondern sind zusätzlich auch den Belastungen durch Meeresströmungen ausgesetzt, wie z.B. wechselnden Meeresspiegelhöhen durch Gezeiten, dem Abtragen des Meeresbodens durch Wasserströmungen oder Belastungen durch brechende und nicht brechende Wellen. Insbesondere stellen die Erforschung der hydrodynamischen Belastungen an Offshore-Konstruktionen, die durch freak waves 2 oder Riesenwellen hervorgerufen werden, ein im Küsten- und Schiffsingenieurwesen weit bekanntes Problem dar. In Anbetracht dieser Tatsachen ist es wichtig, neue aktive Komponenten, welche die Küstenund Offshore-Konstruktionen sicherer und effizienter machen, zu konzipieren und technologisch weiter zu entwickeln. In dieser Arbeit wird eine Möglichkeit zur Dämpfung von wellenbeaufschlagten, zylindrischen Turmstrukturen, wie die einer Offshore-WKA, gezeigt. Dazu wurde ein Prototyp eines Dämpfungselements (s. Abb. 1.2) konzipiert und mittels numerischer Wellen-Struktur-Interaktions-Modellierung untersucht. Welle Turmpfeiler Offshore-WKA Dämpfungsfluid flexible Hülle Abbildung 1.2.: Prototyp des Dämpfungselements unter der Last einer brechenden Welle [35]. Der Dämpfungselement-Prototyp - wie in Abbildung 1.2 zu sehen - besteht im Wesentlichen aus einer dünnwandigen und elastischen Außenhülle, die an einer Offshorestruktur3 in der 2 Der erste wissenschaftliche Nachweis über die Existenz von freak waves wurde 1995 während eines Sturms in der Nordsee an der norwegischen Ölbohrplattform Draupner-E mittels einer automatischen Wellenmessanlage erbracht (vgl. [44]). 3 einen WKA-Turmpfeiler in Form eines Zylinders. 1. Einleitung und Problemstellung 3 Höhe des Wellengangs befestigt ist. Die Kammer zwischen der elastischen Hülle und der Turmstruktur ist mit einer viskosen Flüssigkeit gefüllt. Die Flüssigkeit im Inneren soll die impulsartigen Belastungen, die infolge von extremen Wellenaufschlägen auf den Turmpfeiler einwirken, dämpfen. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt darin, eine Analyse von Dämpfungseigenschaften unterschiedlich hochviskoser newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten mittels eines numerischen Wellen-Struktur-Interaktions-Modells4 zu untersuchen. Die Untersuchungen sollen einen Einblick in einen multiregionalen Wechselwirkungsprozess geben, um so das Dämpfungsverhalten von newtonschen und nichtnewtonschen Flüssigkeiten besser zu verstehen. Die ersten wichtigen Grundlagen auf dem Gebiet der Wellen-Struktur-Interaktion wurden im vergangenen Jahrhundert durch HAVERLOCK [45], LAMB [64] und VON KÁRMÁN [98] erforscht. Ihre Untersuchungen zeigen, wie Integraltransformationen und Integralgleichungen verwendet werden können, um die Beanspruchungen durch Wasserwellen mittels potenzialtheoretischer Ansätze von Fluidumströmungen einfacher, starrer, geometrischer Grundformen zu beschreiben. Basierend auf diesen Ansätzen entwickelte WAGNER [99] eine Theorie der Stoß- und Gleitvorgänge an Oberflächen von Flüssigkeiten, um die beim Landen eines Flugzeugs auf Wasser entstehenden Lasten zu ermitteln. FABULA [29] und COINTE ET AL. [4] erweiterten die Theorie von WAGNER durch analytische Ansätze mit zusätzlichen instationären Termen. Die Untersuchungen von MORISON [71] lieferten Ansätze zur Bestimmung quasistatischer Belastungen, die durch einen regulären Wellengang auf zylindrischen Strukturen verursacht werden. Die aktuellen und ausführlichen theoretischen sowie experimentellen Analysen auf diesem Gebiet wurden von WIENKE [108] durchgeführt. Diese beinhalten einen Überblick der Verfahren zur Analyse brechender Wellenlasten auf zylindrische Strukturen im großskaligen Maßstab. WIENKE’s Arbeit war die Grundlage für die numerischen Simulationen von PEIL und CORTE [76], die einen hybriden Ansatz zur Untersuchung dreidimensionaler brechender Wellen auf Monopile-Strukturen vorgeschlagen haben. CORTE und GRILLI [16] nutzen das Brechkriterium einer Flachwasserwelle, die den Brechvorgang ab einem Verhältnis von Wellenhöhe zu Wassertiefe ungefähr gleich eins einleitet. Hierfür benutzten sie die Oberflächenauslenkung und die Verteilung des Geschwindigkeitspotentials einer von TANAKA [91] untersuchten solitären Welle als Anfangsbedingung für die Simulation mittels einer Rand-Element-Methode (BEM). Diese Welle bewegt sich durch einen Wasserkanal, dessen Tiefe kontinuierlich abnimmt, so dass die Flachwasserwelle zu brechen beginnt. Um den Welleneinschlag auf eine zylindrische Struktur zu simulieren, wird anschließend das ermittelte Geschwindigkeitsfeld der Wasserwelle mit einem Navier-StokesLöser gelöst. Weitere numerische Untersuchungen in diesem Bereich wurden von MA ET AL. [65] durchgeführt. MA ET AL. generierten ein CFD Modell, das die Wellen-StrukturInteraktion auf der Basis der Finite-Elemente-Methode (FEM) berechnet. Damit werden die 4 welches eine Wechselwirkung von mehreren physikalischen Teilgebieten berücksichtigt. 4 1. Einleitung und Problemstellung Erzeugung eines dreidimensionalen und nichtlinearen Wellenzugs sowie die Interaktion der erzeugten Welle mit starren zylindrischen Strukturen beschrieben. Eine Analyse der Anwendung von Hybrid-Finite-Elemente- und Finite-Volumen-Verfahren wurde von STÜCK [90] durchgeführt, um die Auswirkungen von transienten Wellengruppen zu untersuchen. Bei den zuvor genannten Untersuchungen wurden allerdings keine Verformungen der Struktur infolge eines Wellenaufschlags behandelt, da diese in den Modellen unberücksichtigt blieben. Aus diesem Grund bedarf es einiger Erweiterungen der numerischen Wellen-StrukturInteraktions-Modelle, die eine Strukturverformung mitberücksichtigen und somit eine weitreichende Untersuchung des impulsartigen Wellenaufschlags auf elastische Strukturen ermöglichen. Basierend darauf wird in dieser Arbeit ein mögliches Konzept eines multiregionalen Schutzmechanismus in Form eines Dämpfungselements zur Verringerung von kontinuierlichen Wellenlasten auf Offshorestrukturen vorgestellt und untersucht. Eine experimentelle Voruntersuchung des Dämpfungselement-Prototyps wurde im Labormaßstab mit einem neu konzipierten und aufgebauten Messsystem an einem Versuchsstand im Wasserkanal getestet. Die hydrodynamischen Lasten wurden dabei mittels Piezodrucksensoren an einer zylindrischen Konstruktion gemessen. Das Messsystem wurde durch verschiedene Wellenbeaufschlagungen getestet und mit dreidimensionalen numerischen Berechnungen validiert. Die Validierung des Wellenaufschlags ist in den eigenen Arbeiten [35, 36, 37] und [38] dokumentiert und wird hier nicht weiter behandelt. Darin sind ein analytisches und ein numerisches Modell zur Analyse impulsartiger Wellenlasten auf starre, zylindrische Strukturen und ein vereinfachtes zweidimensionales Fluid-Struktur-Interaktions-Modell des Dämpferelements mit unterschiedlichen teilgefüllten Viskositäten auf deren dämpfende Wirkung unter Wellenlast beschrieben. Das Ziel der vorliegenden Dissertationsschrift liegt in der Entwicklung eines multiregionalen bzw. multiphysikalischen Fluid-Struktur-Wechselwirkungs-Algorithmus zur Untersuchung von dämpfungsbegünstigten Eigenschaften viskoser newtonscher und strukturviskoser nichtnewtonscher Flüssigkeiten. Im Folgenden wird die Gliederung der Arbeit in sechs weitere Hauptkapitel vorgestellt. Das zweite Hauptkapitel beinhaltet zunächst die für diese Arbeit wichtigsten kontinuumsmechanischen Grundlagen der Strömungs- und Festkörpermechanik. Dabei werden neben den Erhaltungsgleichungen in differenzieller und integraler Form auch die verwendeten Materialgesetze vorgestellt. Des Weiteren werden die Grundgleichungen zur mehrphasigen Strömung in der Arbitrary-Lagrangian-Eulerian-Formulierung (ALE) aufgezeigt. In Kapitel 3 werden die numerischen Methoden zur programmiertechnischen Umsetzung der kontinuumsmechanischen Problematik in einer rechnerbasierenden Umgebung beschrieben. Für die Implementierung und Berechnung der strömungs- und festkörpermechanischen Feldprobleme findet der von WELLER ET AL. [104] entwickelten Open Source Code OpenFOAM 1. Einleitung und Problemstellung 5 (OF) Verwendung. In Kapitel 4 wird zunächst eine numerische Voruntersuchung zur Analyse von Dämpfungseigenschaften unterschiedlich hochviskoser newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten in einem F luidoszillator durchgeführt. Der Fluidoszillator stellt in seinem wesentlichen Aufbau einen Prototyp des Offshore-Dämpfungselements dar. Ferner wird experimentell und numerisch eine Möglichkeit zur Generierung von Oberflächenwellen mittels Gaußscher Wellenpakete gezeigt. Das Kapitel schließt mit der numerischen Validierung des Strukturlösers am Beispiel eines freischwingenden Balkens ab. Im Kapitel 5 werden die grundsätzlichen Lösungsprinzipien der breitspektrigen Problematik zur Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) erläutert. Basierend darauf wird ein multiregionaler Wellen-Struktur-Interaktions-Algorithmus in OpenFOAM implementiert und anhand eines in der FSI-Literatur bekannten Benchmarks eines brechenden Damms validiert. Im Kapitel 6 wird ein multiregionales FSI-Konzept zur Modellierung eines wellenbeaufschlagten Dämpfungselements vorgestellt. Dazu wird zunächst ein analytisches Modell des Wellenaufschlags auf eine starre, zylindrische Turmstruktur, welche eine wichtige Referenz für die Simulation des FSI-Modells darstellt, betrachtet. Die Ergebnisse aus der FSI-Berechnungsreihe von newtonschen und scherentzähenden nichtnewtonschen Dämpfungsflüssigkeiten werden anschließend auf ihre dämpfende Wirkung bewertet und diskutiert. Zudem werden die in den vorherigen Kapiteln gewonnen Erkenntnisse genutzt und zum Vergleich mit den FSIErgebnissen herangezogen. Kapitel 7 fasst die wichtigsten Ergebnisse dieser Arbeit zusammen und gibt einen Ausblick auf zukünftige Forschungsrichtungen. 6 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen Der folgende Abschnitt stellt die wesentlichen Grundlagen der klassischen Kontinuumsmechanik vor. In diesem Zusammenhang sind fundierte kontinuumsmechanische Grundkenntnisse für die Programmierung numerischer Berechnungen von Festkörpern, Strömungen und deren Interaktionsprozessen1 unbedingt erforderlich. Das Kapitel beginnt mit der kinematischen Beschreibung von Punktbewegungen und endet mit den Erhaltungsgleichungen für Masse und Impuls in Lagrange-Euler (ALE) Formulierung. Für das Erstellen dieses Kapitels dienen insbesondere die Werke von HAUPT [43], TRUESDELL [92] und BÖHME [12] als essentielle Grundlagen, welche in der Arbeit2 von GUNDLACH [42] zusammengetragen wurden. 2.1. Klassische Kinematik 2.1.1. Beschreibungen der materiellen Punktbewegung Die Kontinuumsmechanik3 befasst sich mit der Ursache und Wirkung von Deformationen auf materielle Körper. Dabei wird angenommen, dass ein materieller Körper eine kontinuierlich verteilte Menge an materiellen Teilchen P 4 auf einem bestimmten Gebiet B abbildet. Die aktuelle Position eines einzelnen Teilchens in einem Koordinatensystem wird dabei durch die Lage des Ortsvektors definiert: x = x(P, t). (2.1) Jedes materielle Teilchen wird durch den Ortsvektor x(P, t0 ) = X, (2.2) zur Zeit t0 gekennzeichnet. Dadurch, dass die Koordinate von x mit der Zeit t sich im Raum ändert, wird diese auch Ortskoordinate genannt. Anderseits kennzeichnet X die Lage der 1 Dazu mehr im Kapitel 5. Dies ist eine vom Autor wissenschaftlich angeleitete Diplomarbeit. 3 s. [43] u. [92]. 4 Ein Parameter, der alle Partikel kennzeichnet. 2 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 7 materiellen Punkte zur Zeit t = t0 und wird deshalb auch als materielle Koordinate definiert. Wenn ein Körper verformt wird, verändern sich seine Form und seine Lage im Raum. Folglich wechseln die materiellen Teilchen ihre Position, so dass die neue Konfiguration den materiellen Punkten P bzw. X ihre aktuelle Position im Raum mit einen Ortsvektor zu einem bestimmten Teilchen zuordnet: x(X, t) ⇔ X(x, t). (2.3) Wie aus der Gl. (2.3) ersichtlich, ist die Position der materiellen Punkte von der Zeit abhängig. Für jeden Zeitschritt gibt es einen Konfigurations-Satz mit Konfigurationen für jedes einzelne Partikel. Die Verformung eines materiellen Körpers bedeutet, dass dieser mindestens einen oder mehrere Konfigurations-Sätze im Gebiet B durch verschiedene Formen erfährt. Zwei von diesen Konfigurationen sind exemplarisch in der Abbildung 2.1 dargestellt. Dieses zeigt eine Referenz- oder Anfangskonfiguration des materiellen Körpers Bt0 zum Zeitpunkt t0 = 0, sowie eine Momentankonfiguration das Kontinuums Bt zur Zeit t > 0 im verformten Zustand. Referenzkonfiguration dX Momentankonfiguration P2 Bahnlinie P1 dx P1 u(x, t) Bt0 P2 X = x(X, t0 ) e2 x(X, t) Bt e1 e3 Abbildung 2.1.: Klassische Konfigurationen. P1 bewegt sich mit der Verschiebung u(x, t) von der Anfangs zur Momentankonfiguration P2 , nach [43] . Immer, wenn ein physikalisches Phänomen5 beschrieben wird, sind ebenfalls die verschiedenen physikalischen Größen für unterschiedliche materielle Punkte von B beschrieben. Im Folgenden steht Φ = Φ(P, t) (2.4) für eine beliebige physikalische Größe, definiert als Tensor beliebiger Ordnung. Dabei kann P in zwei unterschiedlichen Betrachtungsweisen und in entsprechend geeigneten Koordinaten beschrieben werden. Eine Möglichkeit ist, P in materieller bzw. substantieller Betrachtungsweise bzw. Koordinaten X auszudrücken: Φ = Φ(X, t). 5 z.B. Strömung eines Fluids. (2.5) 8 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen Die Gleichung (2.5) bedeutet, dass die Änderung einer Feldgröße6 für jeden materiellen Punkt verfolgt wird. Diese Art der Formulierung ist auch als Lagrangesche Betrachtungsweise bekannt. Die zweite Möglichkeit ist die Betrachtung im räumlichen Koordinatensystem: Φ = Φ(x, t). (2.6) Die Gleichung (2.6) besagt, dass die Änderungen einer Feldgröße Φ an jedem Ort verfolgt wird. Diese Formulierung wird auch als Eulersche Betrachtungsweise bezeichnet. Die Eulersche und Lagrangesche Betrachtungsweisen sind durch die Zuordnung (s. Gl. (2.3)) mit Φ(X, t) = Φ(X(x, t), t) = Φ(x, t) (2.7) gleichwertig. Ein Verformungsprozess einer Fluidströmung lässt sich für die unterschiedliche physikalische Größe durch einen zeitlich veränderlichen bzw. instationären Vorgang in einer Bilanzgleichung beschreiben. Die Formulierung der zeitlichen Änderung der physikalischen Größe Φ(P, t) bezüglich des Punktes P, muss dabei sinngemäß formuliert werden. Diese zeitliche Änderung wird auch als materielle Zeitableitung D/Dt bezeichnet7 . Die Berechnung erfordert die Anwendung der Produkt- und Kettenregel, so dass sich daraus ein lokaler und konvektiver Anteil der zeitlichen Ableitung erzeugen lässt. In der Lagrangeschen Beschreibung wird die Zeitableitung durch8 : ∂Φ(X, t) DΦ(X, t) ∂Φ(X, t) ∂X + = · Dt ∂t ∂X ∂t X X lokaler Anteil (2.8) konvektiver Anteil definiert. Da X unabhängig von der Zeit ist, verschwindet der konvektive Anteil, so dass die lokale Zeitableitung der Lagrangeschen Beschreibung entspricht DΦ(X, t) ∂Φ(X, t) . = Dt ∂t X (2.9) Im Gegenteil dazu erhält man für die Eulersche-Beschreibung: DΦ(x, t) ∂Φ(x, t) ∂x ∂Φ(x, t) + . = · Dt ∂t x ∂x ∂t X lokaler Antel (2.10) konvektiver Anteil Der erste Faktor des konvektiven Terms wird dabei als der Gradient einer physikalischen Größe identifiziert, während der zweite Faktor die räumliche Geschwindigkeit eines materiellen Partikels darstellt 6 7 8 ∂Φ(x, t) = ∇x Φ, ∂x tensorielle Feldgröße. In der Literatur wird die materielle Zeitableitung oft mit D/Dt anstelle von d/dt gekennzeichnet. (...)|X bedeutet: Halte X während der Differenzierung fest. (2.11) 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 9 ∂x = v(X, t). ∂t X (2.12) Schließlich, unter Berücksichtigung von v(X, t) = v(X(x, t), t) = v(x, t) (2.13) wird die materielle Zeitableitung aus räumlicher Betrachtungsweise wie folgt eingeführt: DΦ(x, t) ∂Φ(x, t) + ∇x Φ(x, t) · v(x, t). = Dt ∂t x (2.14) Diese Zeitableitung wird in den Bilanzgleichungen für kinematisch raumfeste Kontinua verwendet. 2.1.2. Deformations- und Verschiebungsgradient Um die Änderung der Länge zwischen zwei bestimmten infinitesimal nah aneinander liegender Partikeln P1 und P2 zu beschreiben, muss ihre vektorielle Verknüpfung (Abb. 2.1) betrachtet bzw. analysiert werden. Für t > t0 ist dx eine Funktion von X und t dx = dx(X, t). (2.15) Die Gleichung (2.15) wird durch das totale Differential wie folgt dargestellt: dx = ∂x(X, t) ∂x(X, t) dX + dt = ∇X x dX + v dt. ∂X ∂t t X (2.16) Für eine feste Zeit t wird der Ausdruck v dt, der für die Translationsbewegung des Teilchens steht, vernachlässigt und der Deformationsgradient kann als: F = ∇X x = dx dX (2.17) definiert werden. F ist ein Tensor zweiter Stufe9 und vermittelt die Transformation von Linien-, Flächen- und Volumenelementen10 von der Referenzkonfiguration in die Momentankonfiguration. Diese Transformation ist invertierbar für alle t. Das heißt, es gibt eine inverse F−1 , die auch als räumliches Deformationsgradient bezeichnet wird. Diese rührt aus der Differenzierung im Bezug auf den Ortsvektor x in der Momentankonfiguration: F−1 = ∇x X = 9 dX . dx Dieser wird auch als materieller Deformationsgradient bezeichnet. Transformationsformeln für Oberflächen-und Volumenelemente siehe [43] S. 28. 10 (2.18) 10 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen Ein weiterer wichtiger kinematischer Tensor ist der Verschiebungsgradient H. Diesen erhält man aus der totalen Differenzierung des Verschiebungsvektors u = x − X (s. Abb. (2.1)) H = ∇X u = du . dX (2.19) Die Beziehung zu F ist gegeben durch F = I + H. (2.20) Die vorgestellten Verformungsgradienten sind jedoch kein gutes Maß zur Beschreibung von Dehnungen. Erstens sind die Tensoren nicht symmetrisch und zweitens bilden diese bei reiner Translationsbewegung eine Einheitsmatrix. Eine Möglichkeit aus einem nicht symmetrischen einen symmetrischen Tensor zu erhalten, ist die Multiplikation des transponierten Tensors mit sich selbst. Mit dem materiellen Deformationsgradient führt dies zu dem sogenannten rechten und linken Cauchy-Green Tensor C = FT F, B = FFT . (2.21) Somit kann daraus durch die Subtraktion der Einheitmatrix und Division des daraus entstandenen Ergebnisses durch 1/2, der allgemein bekannte Green-Lagrangescher Verzerrungstensor gebildet werden: 1 1 E = (FT F − I) = (H + HT + HT H). 2 2 (2.22) Dieser ist im Zusammenhang mit den Stoffgesetzen für Festkörper unerlässlich. Für die weitere Analyse (s. Kap. 2.3) ist es sinnvoll, den Green-Lagrangeschen Verzerrungstensor mit dem Verschiebungsgradienten in Zusammenhang zu bringen. 2.1.3. Deformationsgeschwindigkeitsgradient Bisher sind keine Aussagen über die Deformationsgeschwindigkeit formuliert worden. Diese sind jedoch besonders für die Stoffeigenschaften von Flüssigkeiten und Festkörpern wichtig, womit sich der Zusammenhang von den Deformationen mit den Spannungen beschreiben lässt. Hierzu wird die relative Geschwindigkeit zwischen zwei infinitesimal benachbarten Teilchen P1 , P2 , wie in der Abbildung 2.2 ersichtlich ist, analysiert11 . Eine Taylorreihenentwicklung um P1 liefert: v(x + dx, t) = v(x, t) + 11 dv(x, t) dx + (...). dx (2.23) Die folgende Vorgehensweise ist geometrisch motiviert. Die Ableitung des Geschwindigkeitsgradienten kann auch durch das totale Differential erfolgen (s. Gl. (2.16)). 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 11 P2 v(x + dx, t) e2 X x( )+ ,t dx P2 ∗ dx v(x, t) P1 x(X, t) dx∗ P1 ∗ Bt e1 e3 Abbildung 2.2.: Geschwindigkeiten zweier Teilchen in der Momentankonfiguration: Der Verbindungsvektor dx ist transformiert in dx∗ . Variablen mit ()∗ gehören zum darauffolgenden infinitesimalen Zeitschritt, nach [12]. Durch das Vernachlässigen der Terme höherer Ordnung in (2.23) und mit dv = v(x+dx, t)− v(x, t) erhält man dv = Ldx, (2.24) wobei dv(x, t) (2.25) dx den räumlichen Geschwindigkeitsgradient beschreibt. Der Tensor zweiter Ordnung L gibt L = ∇x v = Auskunft über die räumliche Änderung des Geschwindigkeitsfeldes. In der Abbildung 2.2 ist die Änderung der Verschiebung zwischen den beiden Teilchen P1 und P2 ersichtlich, so dass dadurch der Verbindungsvektor dx∗ , der sich nach einem Zeitintervall von Δt ergibt, betrachtet werden kann. Hierzu liefert die Taylorreihenentwicklung nach der Zeit: dx∗ = dx + (v(x + dx, t) − v(x, t))Δt + (...). (2.26) Mit den Gleichungen (2.23) und (2.25) kann die Geschwindigkeitsdifferenz wie folgt beschrieben werden: v(x + dx, t) − v(x, t) = Ldx. (2.27) Fügt man die obige Beziehung in (2.26) ein und dividiert diese durch Δt, so erhält man den Differentialquotienten D(dx) = Ldx. (2.28) Dt Die linke Seite der Gleichung (2.28) zeigt, wie der Geschwindigkeitsgradiententensor L auf dx operierend diesen in die materielle Zeitableitung12 transformiert. Der Geschwindigkeitsgradient setzt sich aus den zwei Komponenten der Deformation- und Drehgeschwindigkeit zusammen. Beide Geschwindigkeiten können durch eine additive Zerlegung13 in einen sym12 13 s. [12] S.32 ff. Die additive Zerlegung kann durch polare Zerlegung von F in Teile der Dehnung und Drehung und anschließende Differenzierung abgeleitet werden. Siehe [92] S.52 ff. 12 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen metrischen und asymmetrischen Tensor gewonnen werden: L= 1 1 L + LT + L − LT = D + W. 2 2 (2.29) Den asymmetrischen Teil W nennt man Dreh- oder Wirbeltensor, da seine Komponenten die Drehgeschwindigkeit von materiellen Linien-, Flächen-, bzw. Volumenelementen beschreiben werden können. Der symmetrische Anteil D kennzeichnet den Verzerrungsgeschwindigkeitstensor. Darin beschreiben die Diagonalkomponenten von D die Dehngeschwindigkeiten der Linien-, Flächen, bzw. Volumenelemente. Die Komponenten der Nebendiagonale hingegen sind die Schergeschwindigkeiten mit denen die Linien-, Flächen, bzw. Volumenelemente geschert werden. Die Summe der Diagonalkomponenten spD zeigt dabei eine wichtige Eigenschaft von Flüssigkeiten. Im Falle einer inkompressiblen Flüssigkeit, gilt der Ausdruck: sp D = ∇x · v = 0. (2.30) 2.2. Kinetik und Bilanzgleichungen Im vorherigen Abschnitt wurde mittels der Kinematik die geometrischen Bewegungen und Deformationen der materiellen Punkte und Körper, ohne die Ursache deren Bewegung zu kennen, beschrieben. In diesen Abschnitt verknüpft die Kinetik die Bewegung mit den Einflüssen, die von außen auf den materiellen Körper B einwirken, um somit die Gleichgewichtsbedingung zu formulieren. 2.2.1. Globale Formulierung Alle Gleichgewichtsbedingungen können in einer globalen und einer lokalen Form ausgedrückt werden, wobei beide Formen gleichwertig sind. Die globale Formulierung basiert auf der Integration über ein Kontrollvolumen: V (Bt0 ) = dV (2.31) dv. (2.32) V und in der Momentankonfiguration v(Bt , t) = v Abhängig von der Art und Weise eines physikalischen Problems ist die Betrachtung der Bilanzgleichungen für Masse, Impuls, Drehimpuls, Energie und Entropie erforderlich. Die physikalischen Problemstellungen dieser Arbeit werden hierbei als isotherm betrachtet. Aufgrund dieser Modellannahme kann die Bewegung von Fluiden und Festkörpern durch das 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 13 Gleichgewicht von Masse und Impuls beschrieben werden. Im Folgenden wird zwischen der Referenz- und Momentankonfiguration unterschieden. Von hier ab werden die Bilanzgleichungen eines Körper Bt in der Momentankonfiguration mit dem zeitabhängigen Volumen v = v(t) eingeführt. Dadurch lässt sich die Darstellung für Flüssigkeiten bequemer ausdrücken. Massenbilanz Die Masse ist als Volumenintegral über die Massendichte ρ(x, t) definiert: m(Bt , t) = ρ(x, t)dv. (2.33) v Für einen materiellen Körper ist diese zeitlich konstant: Dm(Bt , t) = 0. Dt Damit ergibt sich für die Massenbilanz in globaler Formulierung D ρ(x, t)dv = 0, Dt v (2.34) (2.35) wobei die materielle Zeitableitung des Volumenintegrals in Gleichung (2.33) zu Null14 wird. Impulsbilanz Die Impulsbilanz rührt aus dem zweiten newtonschen Axiom (lex sekunda)15 . Dieses besagt, dass eine Kraft F (Bt , t), die auf einen materielle Körper ausgeübt wird, der zeitlichen Änderung des Impulses I(Bt , t) entspricht. Der körpereigene Impuls wird durch seine Geschwindigkeit und Massendichte bestimmt: I(Bt , t) = ρ(x, t)v(x, t)dv. (2.36) v Die Kräfte, die auf einen materiellen Körper einwirken, sind in Abbildung 2.3 dargestellt. Somit ergibt sich das Kräftegleichgewicht auf ein beliebiges Kontrollvolumen F (Bt , t) = t(x, t)da + f (x, t)dv. (2.37) v ∂v Dieser besteht aus dem Oberflächenintegral mit dem Cauchyschen Spannungsvektor t als Integrand sowie über das gesamte Kontrollvolumen integrierte Volumenkraftdichte f . Der Spannungsvektor t=S·n 14 (2.38) Dies bezieht sich nur auf die Gesamtmasse eines Volumens. Wenn B aus mehreren Phasen besteht, dann können einzelne Massenbilanzen für die unterschiedlichen Phasen betrachtet werden. 15 Isaac Newtons Grundgesetze der Bewegung Axiomata, sive leges motus. 14 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen tda n dv da f dm v Abbildung 2.3.: Auf einen materiellen Körper einwirkende Kräfte: Die resultierende Kraft ist die Summe aus Volumen- und Oberflächekräften, nach [12]. ergibt sich aus der skalaren Multiplikation des Cauchyschen Spannungstensors S mit dem Normalenvektor n. Dieser steht, wie in Abbildung 2.3 dargestellt, senkrecht auf einer beliebigen Schnittfläche eines Körpers und ist nach außen hin gerichteten. Für die meisten technischen Stoffe ist S symmetrisch und besteht aus sechs unabhängigen Komponenten. Diese sind ausreichend, um den Spannungszustand für jede Schnittebene da in einem materiellen Punkt vollständig zu beschreiben. Damit lässt sich, unter Berücksichtigung der Gleichungen (2.36) bis (2.38), die Bilanzgleichung für die Impulserhaltung wie folgt formulieren: D Dt ρvdv = v S · nda + f dv. (2.39) v ∂v Reynoldssche Transporttheorem Die vorgestellten Bilanzgleichungen gelten für ein Kontrollvolumen, das aus gleichen materiellen Partikeln besteht. Entsprechend der thermodynamischen Aspekte gilt das Kontrollvolumen als ein geschlossenes System. Jedoch wird in der Fluiddynamik meistens ein physikalischer Prozess betrachtet, in dem der Austausch von Materie in einem offenen, raumfesten Kontrollvolumen stattfindet. Für diese Art von Betrachtung müssen die Bilanzgleichungen in eine andere Form umgeschrieben werden. Dies kann mit dem sogenannte Reynoldsschen Transporttheorem16 in folgende Rechnungsvorschrift für die materielle Zeitableitung eines Raumintegrals umgeschrieben werden: D Dt Φ(x, t)dv = v v ∂Φ dv + ∂t Φv · nda. (2.40) ∂v Wie sich daraus kennen lässt, ist die zeitliche Änderung des Integranden in einen lokalen und einen konvektiven Anteil aufteilen. Die lokale Änderung wird über das Volumenintegral der partiellen Zeitableitung von Φ beschrieben, wobei der konvektive Anteil die Änderung des Flußes von Φ über die Oberflächen des Kontrollvolumens ∂v beschreibt. Eine Transformation 16 Beweis s. HAUPT [43] S.133. 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 15 der Gleichungen (2.35) und (2.39) mit dem Reynoldsschen Transporttheorem führt schließlich zu den Bilanzgleichungen von Masse und Impuls in raumfesten Kontinua: ∂ρ dv = − ∂t v und v ∂(ρv) dv = − ∂t ρv · nda (2.41) ∂v vρ(v · n)da + ∂v S · nda + ∂v f dv. (2.42) v Diese Beziehungen sind der Ausgangspunkt der Finite-Volumen-Methoden (FVM), die insbesondere in der Strömungsmechanik zur Lösung vieler Probleme angewendet wird. 2.2.2. Lokale Formulierung Die lokale Formulierung der Erhaltungsätze ist ebenfalls für die Analyse von Strömungen wichtig. Damit lassen sich die unterschiedlichen physikalische Größen lokal betrachten. Die Überführung von globalen in die lokalen Form lässt sich realisieren, indem die betrachtete Größe Φ als kontinuierlich in Bezug auf die räumliche Koordinate x angenommen wird17 . Dies ermöglicht ein Gleichgewicht für beliebige Teilvolumina von v zu formulieren, die im Grenzfall v → 0 zu der lokalen Form führt. Vor der Grenzwertberechnung müssen noch die Oberflächenintegrale der globalen Form in Volumenintegrale durch den Gaußschen Integralsatz überführt werden: Φ · nda = ∇x · Φdv. (2.43) v ∂v Mittels des Gaußschen Integralsatzes erhält man für die Massenbilanz ∂ρ + ∇x · (ρv) = 0, ∂t (2.44) ∇x · (ρv) = (∇x ρ) · v + ρ∇x · v (2.45) woraufhin zu Dρ = −ρ∇x · v (2.46) Dt führt. Diese Differentialgleichung wird auch als Kontinuitätsgleichung bezeichnet. Für die Impulserhaltung erhält man dementsprechend den folgenden Ausdruck: ρ 17 s. [43] S.77. Dv = ∇x · S + f . Dt (2.47) 16 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 2.3. Materialgesetze Die obigen hergeleiteten Bilanzgleichungen gelten allgemein für jede Art von Material- bzw. Stoffgesetz. Die Stoffgesetze sind für die Lösbarkeit des Anfangs- und Randwertproblems der Bilanzgleichungen erforderlich. Diese werden benötigt, um die kinematischen und kinetischen Größen in einen Zusammenhang zu bringen. Die Materialgesetze sind mathematische Modelle und sollen das tatsächliche bzw. reale Materialverhalten nachbilden.18 2.3.1. Newtonsche Fluide Für Fluide lässt sich der Spannungstensor S in einen kugelsymmetrischen Druckanteil und einen Restspannungsanteil unterteilen: S = −pI + T. (2.48) Der Tensor T wird als Reibspannungstensor bezeichnet und wird auf verschiedene Weise in Abhängigkeit von den Fluideigenschaften modelliert. Darin heißen die diagonalen Komponenten Normalspannungen und die nicht diagonalen Komponenten Schubspannungen. Das am häufigsten verwendete Modell für Fluide ist das Modell der linearen-Viskosität, auch als newtonsches Flüssigkeitsmodell bekannt. Dieses berücksichtigt die innere Reibung bzw. die Dissipation im Reibspannungstensor: T = 2ηD + ηv (sp D)I. (2.49) Wie man sehen kann, ist der Reibspannungstensor und der Dehngeschwindigkeitstensor D miteinander durch zwei konstante Materialparameter linear verbunden. Der Parameter η ist als Viskosität oder Scherviskosität bekannt und ηv bezeichnet die Volumenviskosität. Für inkompressible Fluide wird der Ausdruck spD, wie in Gleichung (2.30) zu sehen, Null und man erhält: T = 2ηD. (2.50) Damit können Stoffgesetze für Flüssigkeiten wie Wasser, Alkohole, Mineralöle und andere niedermolekulare Flüssigkeiten ausreichend beschrieben werden. Die Beziehung (2.50), eingesetzt in Gleichungen (2.48), (2.47) und (2.46), ergibt die sogenannten Navier-Stokes Gleichungen für inkompressible Fluide. Sie sind ein System von vier partiellen Differentialgleichungen zur Bestimmung der drei Geschwindigkeitskomponenten v und dem Druck p: 18 vgl. [43] S.177. 1 ∂v + ∇x · (vv) = − ∇x p − η ∇2x v − f , ∂t ρ ∇x · v = 0. (2.51) (2.52) 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 17 Mit diesen Gleichungen und entsprechenden Rand- und Anfangsbedingungen kann ein geschlossenes Anfangs-Randwertproblem (neben einigen einfachen Spezialfällen) nur numerisch gelöst werden. Die Anfangsbedingungen können dabei durch die Vorgabe der Geschwindigkeit bzw. des Drucks im definierten Berechnungsgebiet zum Zeitpunkt t = 0 vorgegeben werden. Wobei die Randbedingungen grundsätzlich vom kinematischen (Dirichletsche Randbedingung), dynamisch (Neumannsche Randbedingung) oder gemischten Typ sein können. 2.3.2. Nichtnewtonsche Fluide Das Verhalten der Scherviskosität ist ein wichtiges Kriterium für die Unterscheidung zwischen newtonschen und nichtnewtonschen Flüssigkeiten. Laut BARNES ET AL. [5] werden Flüssigkeiten als nichtnewtonsch bezeichnet, wenn diese vom newtonschen Verhalten abweichen. Sie werden mit folgenden Merkmalen definiert: (i) Die einzige Spannung, die eine einfache Scherströmung erzeugt, ist die Schubspannung, wobei die Normalspannungen Null sind. (ii) Die Scherviskosität variiert nicht mit der Schergeschwindigkeit. (iii) Die Viskosität der Flüssigkeit bleibt während der gesamten Scherzeit konstant und die Spannungen im Fluid fallen sofort auf Null, wenn die Scherung einhält. In jeder nachfolgenden Scherung, unabhängig davon wie lange der zeitliche Abstand zwischen den Messungen beträgt, wird stets der gleiche Viskositätswert gemessen. (iv) Die Viskositäten, gemessen auf unterschiedliche Art und Weise der Verformung, stehen immer in einer einfachen Proportion zueinander. So ist z.B. die Viskosität, die in einer einachsigen Dehnströmung gemessen wird, immer drei mal so groß wie der Wert, der in einer einfachen Scherströmung ermittelt wird. Diese Definition erlaubt eine vielfältige Deutung der nichtnewtonschen Flüssigkeiten, die sich hauptsächlich als Gegensatz von den oben definierten Materialverhalten herauskristallisieren. Deren mathematische Modellierung ist ein wichtiges Handlungsgebiet in der Strömungsmechanik. Das Hauptaugenmerk dieser Arbeit liegt auf der Art von Flüssigkeiten, die eine niedrige bzw. höhere Viskosität für höhere Schergeschwindigkeiten zeigen. Diese werden als scherverdünnende (strukturviskose) bzw. -verzähende (dilatante) Flüssigkeiten bezeichnet. Diese Eigenschaften können in einigen Flüssigkeiten, wie z. B. Silikonöle bei hohen Schergeschwindigkeiten wieder gefunden werden. Wie in Abbildung 2.4 zu sehen ist die Viskosität der scherverdünnende bzw. dilatante Flüssigkeiten η(γ̇) eine Funktion der Schergeschwindigkeit γ̇. Die Verläufe bzw. Fließgraphen bestimmter Flüssigkeiten werden in der Regel experimentell ermittelt und mittels geeigneter Funktionen approximiert. In Abbildung 2.4 wird die Viskosität einer scherentzähenden bzw. -verzähenden Flüssigkeit, die bei niedrigen 18 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen Scherraten bzw. Schergeschwindigkeiten konstant bleibt, als Nullviskosität η0 bezeichnet. Nach diesem Plateau und mit steigender Scherrate nimmt die Viskosität ab. Im doppellogarithmischen Diagramm ist die Viskosität über der Schergeschwindigkeit aufgetragen. Hier ist die Abnahme für scherentzähende bzw. Zunahme scherverzähende Fluidviskositäten durch die lineare Steigung gekennzeichnet. Diese geht, bis die unterste bzw. oberste Grenzviskosität η∞ erreicht ist und bleibt dort auf diesem Plateau konstant. Beide Viskositäten η0 sowie η∞ werden häufig als unterer und oberer newtonscher Bereich bezeichnet. Der lineare gekennzeichnete Bereich in der Abbildung 2.4 ist dabei für ein Potenzgesetz bzw. Power-Law19 charakteristisch. Um ein scherverdünnendes oder dilatantes Verhalten von Flüssigkeiten zu η dilatant newtonsch η0 strukturviskos η∞ γ̇ Abbildung 2.4.: Typische scherentzähende und -entzähendes Stoffverhalten. beschreiben, wurden verschiedener Modelle in den Literatur vorgeschlagen. Einige Modelle für die nichtnewtonschen Stoffgesetze können im Bereich großer Schergeschwindigkeiten mit dem Potenzgesetz durch: η(γ̇) = K γ̇ (n−1) , (2.53) approximiert werden20 , wobei K der Konsistenzparameter und n den Fließindex kennzeichnen. Für den Fließindex 0 < n < 1, liegt ein strukturviskoses und für n > 1 ein dilatantes Stoffverhalten vor. Ein Power-Law-Modell, welches für die Untersuchungen in dieser Arbeit verwendet wird, ist das sogenannte Cross-Modell: η(γ̇) = η0 − η∞ + η∞ . 1 + (K γ̇)n (2.54) Dieses Modell enthält vier Parameter. Der Zeitparameter K steuert, wann die Scherentzähung bzw. -verzähung beginnt, n bestimmt die Steigung und die oben erwähnten Viskositäten definieren die Grenzen von η. Üblicherweise werden alle Parameter aus experimentellen Fließgraphen bestimmt, um anschließend die Funktionsverläufe beispielsweise mittels der 19 20 vgl. [75] S.78. s. [83]. 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 19 Methode der kleinsten Quadrate21 zu approximieren. 2.3.3. Kirchhoffsches Strukturmodell In vielen technischen Anwendungen treten kleine Verzerrungen und große Verschiebungen bzw. Verformungen auf, wie z.B. bei der Verlegung bzw. Verformung einer OffshorPipeline oder flexiblen Steigleitungen einer Ölplattform. Diese Anforderung entspricht einem geometrisch nichtlinearen aber physikalisch linearen Modellansatz, welches aus dem Zusammenhang zwischen dem zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor P und dem GreenLagrangeschen Verzerrungstensor E aus Gleichung (2.22) modelliert wird P = 2μE + λ (spE) I. (2.55) Dieses wird auch Saint-Venant-Kirchhoff, oder kurz Kirchhoff Materialmodell genannt. Das Kirchhoffsche Materialmodell ist eine Erweiterung des linear-elastischen Materialmodells22 , welches die Terme höherer Ordnung im Green-Lagrangeschen Verzerrungstensor mit berücksichtigt. Die Konstanten λ= Eν∗ (1 + ν∗ )(1 − 2ν∗ ) (2.56) E 2(1 + ν∗ ) (2.57) und μ= kennzeichnen die Lamé-Koeffizienten. E ist der Elastizitätsmodul und ν∗ kennzeichnet hierbei die Querkontraktionszahl. Der erste Summand in Gleichung (2.55) ist analog zum newtonschen Fluid der Reibspannungstensor. Der zweite Summand in Gleichung (2.55) ist ein Skalarprodukt, gebildet aus dem Einheitstensor I und der Spur von E. Dieser entspricht analog einem Kugeltensor. Zusammengefasst bewirkt der zweite Summand eine Volumenänderung, wobei der Koeffizient λ die Kompressibilität des modellierten Festkörpers nachahmt. An dieser Stelle werden die hergeleiteten Gleichungen genutzt, um im Rahmen des AnfangRandwert-Problems zu lösende Erhaltungsgleichung zu formulieren. Die Erhaltungsgleichung wird dabei in der Update-Lagrange-Formulierung23 ausgedrückt, da dieses später analog für die numerische Implementierung verwendet wird. Ausgehend von der Ausgangskonfiguration24 im undeformierten Zustand 0 wird die Erhaltungsgleichung in Form ρ0 21 D2u = ∇X0 · P FT + ρ0 f Dt2 (2.58) s. dazu [18]. auch Hoocksches Materialmodell genannt. 23 In Anlehnung an [93]. 24 Hierbei kennzeichnet der Indizes 0 die Ausgangskonfiguration, wobei für die Momentankonfiguration keine Indizierung vergeben wird. 22 20 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen beschrieben. In Update-Lagrange-Formulierung überführt, wo die Identität F=I (2.59) gilt, kann die Gleichung (2.58) in der inkrementellen Form wie folgt umgeschrieben werden: ρ D2 δu = ∇X · FδP + PδFT + δPδFT + ρδf . 2 Dt (2.60) Und entsprechend in integraler Form: ρ v D2 δu dv = n · FδP + PδFT + δPδFT da + ρδf dv. 2 Dt v (2.61) ∂v Die inkrementelle Formulierung des zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensors sowie des Green-Lagrangeschen Verzerrungstensors können dabei analog zu den Gleichungen (2.55) und (2.22) als und δE = δP = 2μδE + λsp (δE) I. (2.62) 1 δH + (δH)T + δH · (δH)T 2 (2.63) formuliert werden. Dabei ist δH = ∇X δu (2.64) die inkrementelle Darstellung des Verschiebungsgradienten aus Gleichung (2.19). Die Gleichungen (2.62) bis (2.64) zeigen den Zusammenhang zwischen den inkrementellen Spannungsbzw. Verzerrungstensoren und der inkrementellen Verschiebung. Durch das Einsetzen der Gleichngen (2.62) zusammen mit (2.63) in Gleichung (2.60) ergibt sich ein System von drei partiellen Differentialgleichungen25 zur Bestimmung der Komponenten des inkrementellen Verschiebungsvektors δu. Bei der Berechnung mit der Update-Lagrange-Methode erfährt die Struktur eine stets inkrementellen Verschiebung δu von der Anfangs- in die Momentankonfiguration. Dieses gilt auch für den zweite Piola-Kirchhoff-Spannungstensor und GreenLagrangescher Verzerrungstensor, die sich aus dem obigen Zusammenhang mit δu ergeben. Die Transformation des zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensors von der Anfangs- in die Momentankonfiguration erfolgt dabei über den Cauchyschen Spannungstensor S= 1 FPFT , detF (2.65) bei dem der Spannungstensor S nach jedem Update aus der Momentankonfiguration wieder zu einem zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor als eine neue Anfangskonfiguration gesetzt wird. 25 welche mit entsprechenden Rand- und Anfangsbedingungen gelöst werden können. 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 21 2.4. Lagrange-Euler-Formulierung Die Beschreibung der Erhaltungsgleichungen (2.51) und (2.93) für Fluide sind für ein Kontinuum in einem raumfesten Bezugssystem (Euler) formuliert. Die Erhaltungsgleichung (2.58) für den Festkörper ist für ein Kontinuum in einem mitbewegten Bezugssystem (Lagrange) beschrieben. Beide Betrachtungsweisen können in einer Mischform miteinander kombiniert werden. Diese Methode wird auch die Lagrange-Euler-Formulierung (ALE)26 genannt. Anwendung findet diese Formulierung bei der Finiten-Volumen-Methode (FVM) zur Gitterbewegung. Dabei ist das Kontrollvolumen (KV) nicht mehr raumfest und bewegt sich in gewisser Maßen mit der Fluidströmung. Im folgenden Abschnitt werden die Grundlagen der ALE-Kinematik erläutert und die dazu gehörigen Bilanzgleichungen formuliert. 2.4.1. Klassische Formulierungen und die ALE-Methode Die Euler-Formulierung wird meist für die Beschreibung von Fluidströmungen verwendet. Hiermit kann das nicht endliche Verformungsverhalten der Flüssigkeiten, die z.B. infolge einer zeitlich konstanten Scherkraft aufgebaut wird, beschrieben werden. Dabei bleibt das Berechnungsgitter, wie in der Abbildung 2.5(a) gezeigt, raumfest und die materiellen Punkte bewegen sich durch die Netzgeometrie. Die Lagrangesche Formulierung dagegen wird zur Beschreibung von Festkörpern verwendet. Hier folgt jeder Knoten des Berechnungsgitters, wie in der Abbildung 2.5(b) dargestellt, einem materiellen Punkt während der Netzbewegung. Sowohl die Euler- als auch die Lagrange-Methode haben je nach Anwendungsgebiet Vor- und Nachteile. Mit der Euler-Methode können beispielsweise keine Ränder oder Grenzflächen bewegt werden, wobei die Lagrangesche Methode sich nicht für die Beschreibung von großen Verzerrungen eignet, ohne dass eine Änderung der Netztopologie stattfindet. Die Entwicklung der ALE-Methode27 verbindet dabei die Vorteile der klassischen Betrachtungsweisen durch eine Kombination beider Formulierungen. In der ALE-Beschreibung bewegen sich die Gitterpunkte relativ zum Kontinuum im bestimmten28 Rechengebiet, um somit die Vorteile der Lagrange- und Euler-Methoden zu erreichen. 2.4.2. Transformationsgradienten und Relativgeschwindigkeiten Bei der ALE-Methode muss sowohl die Gitterbewegung als auch die materielle Punktbewegung entsprechend in einer bestimmten Weise beschrieben werden. Dies erfordert die Einführung einer dritten Konfiguration, worin die referentielle bzw. ALE-Koordinate χ die Position 26 27 28 engl. Arbitrary Lagrangian-Eulerian Method. s. Literatur von BELYTSCHKO und KENNEDY [28] und [89]. vom Programmierer eigens definiertes bzw. ausgewähltes Rechengebiet mit der Gitterbewegung. 22 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen t + Δt t t t + Δt (a) Eulersche Formulierung: Das Gitter ist (b) Lagrangesche Formulierung: Jeder Knoten des raumfest und die materiellen Punkte bewegen sich durch die Netzgeometrie. Rechengitters folgt einem materiellen Partikel während der Gitterbewegung. Abbildung 2.5.: Klassische Formulierungen nach Euler und Lagrange, nach [42] der Gitterpunkte definiert. Des Weiteren ist es sinnvoll, entsprechende Transformationsregeln einzuführen, so dass zwischen den verschiedenen Konfigurationen, nach Euler oder Lagrange, transformiert werden kann: Fx = dx , dχ (2.66) FX = dX . dχ (2.67) Der Gradient Fx transformiert von den referentiellen zu räumlichen Koordinaten. Dieser ist als die Bewegung der Gitterpunkte in räumlichen Koordinaten zu verstehen. Der zweite Gradient FX transformiert die referentiellen in die materiellen Koordinaten. Die Inverse von FX −1 ist als die Bewegung von materiellen Punkten in referentielle Koordinaten zu verstehen. In der nachfolgenden Abbildung ist der Zusammenhang zwischen den Gradienten und den unterschiedlichen Koordinaten gezeigt. F ist bereits als der Deformationsgradient aus der Gleichung (2.17) bekannt. Neben den beiden Gradienten gibt es auch zwei wichtige Relativgeschwindigkeiten, die wie folgt definiert sind: v̂(χ, t) = ∂x , ∂t χ w(X, t) = ∂χ . ∂t X (2.68) (2.69) Die Geschwindigkeit v̂ aus Gleichung (2.68) beschreibt die zeitliche Änderung der räumlichen Koordinaten x mit der festgesetzten ALE-Koordinate χ. Dieser Term wird auch als die Netz- bzw. Gittergeschwindigkeit bezeichnet. Die Geschwindigkeit w aus Gleichung (2.69) beschreibt die zeitliche Veränderung von referentiellen Koordinaten χ mit den festgelegten 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 23 t + Δt t Abbildung 2.6.: ALE Formulierung: Die Gitterpunkte bewegen sich relativ zum Kontinuum in einer willkürlichen Art und Weise, um die Vorteile beider klassischen Beschreibungsmethoden zu erreichen, nach [42]. F materielle Koordinaten X räumliche Koordinaten x FX Fx ALE Koordinaten χ Abbildung 2.7.: Zusammenhang zwischen den Transformationsgradienten: Gradientenanordnung zwischen den unterschiedlichen Koordinaten. Die Bewegung der ALE-Koordinaten, die in Verbindung mit dem Rechengitter stehen, sind unabhängig von der Bewegung materieller Punkte. materiellen Koordinaten X. Aus diesem Grund kann w als Geschwindigkeit der materiellen Punkte im Bezug auf das Rechengitter interpretiert werden. Diese Definitionen veranschaulichen, dass die Geschwindigkeit eines materiellen Partikels in den räumlichen Koordinaten (2.12) vollständig unabhängig von der Netzgeschwindigkeit ist. Der Zusammenhang zwischen den neu eingeführten Gradienten und den Deformationsgradienten sowie den Geschwindigkeiten aus Gleichung (2.68),(2.69) und v sind von großer Bedeutung für die Definition der ALE-Methodik. Für die Gradienten wird diese Beziehung wie folgt aufgefasst: F = Fx FX −1 , (2.70) 24 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen wobei die Verknüpfung zwischen den Geschwindigkeiten durch29 : v = v̂ + dx w = v̂ + Fx w dχ (2.71) definiert ist. Schließlich ergibt sich mit dieser Gleichung der Ausdruck für die konvektive Geschwindigkeit c = v − v̂ = Fx w. (2.72) Diese beschreibt die relative Bewegung zwischen den materiellen Partikeln und dem Rechengitter. Das Hauptaugenmerk liegt dabei auf dem Unterschied zwischen den Geschwindigkeiten w und c30 . Im Anschluss an die wichtigsten kinetischen Variablen sollen noch die drei speziellen Fälle der konvektiven Geschwindigkeit aufgeführt werden: • Fx = I: c = w, (2.73) ausgehend von der Gleichung (2.72) ist daraus zu schließen, dass das Rechengitter nur translatorische Bewegungen ohne Verzerrungen oder Drehungen ausführen kann. • FX = I und X = χ: c = 0, (2.74) ergibt sich mit v = v̂ aus den Gleichungen (2.12),(2.68) und (2.72). Damit ist die Gittergeschwindigkeit und die Geschwindigkeit der materiellen Partikel identisch und es liegt eine reine Beschreibung nach Lagrange vor. • Fx = I und x = χ: c = v, (2.75) dies ergibt sich (aus Gleichung (2.68)) wenn v̂ = 0 . Damit liegt eine reine Beschreibung nach Euler vor. Aus diesen Beispielen wird ersichtlich, dass die zwei klassischen Beschreibungen nach der Euler- und Lagrange-Methode ebenfalls mittels der ALE-Methodik formuliert werden können. 2.4.3. ALE Bilanzgleichungen In der ALE-Methodik ist der Zusammenhang zwischen materieller Zeitableitung von physikalischen Feldgrößen in den materiellen, räumlichen und referentiellen Koordinaten für die 29 30 Beweis s. [28]. w wird dabei aus den ALE-Koordinaten betrachtet, wobei c aus den räumlichen Koordinaten betrachtet wird. 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 25 Formulierung der ALE-Bilanzgleichungen unerlässlich. Zusammen mit den Gleichungen (2.5) und (2.6) ergibt sich eine dritte Darstellung einer physikalischen Feldgröße in ALE-Form: Φ = Φ(χ, t) (2.76) Φ(X, t) = Φ(X(χ, t), t) = Φ(χ, t). (2.77) bzw. Die materielle Zeitableitung in den ALE-Koordinaten kann entsprechend den Gleichungen (2.8) und (2.10) wie folgt ausgedrückt werden: ∂Φ(χ, t) ∂χ ∂Φ(χ, t) DΦ(χ, t) + . = · Dt ∂t χ ∂χ ∂t X (2.78) konvektiver Anteil lokaler Anteil Dadurch, dass der konvektive Anteil sich aus der Relativgeschwindigkeit (s. (2.69)) zusammensetzt, kann die materielle Zeitableitung wie folgt geschrieben werden: ∂Φ(χ(X(x, t), t), t) DΦ(χ, t) ∂Φ(χ, t) + = ·w Dt ∂t χ ∂χ Gl.(2.72) = ∂Φ(χ, t) ∂Φ(χ, t) + ·c ∂t χ ∂x = ∂Φ(χ, t) + ∇x Φ(χ, t) · c. ∂t χ (2.79) Aufgrund der Äquivalenz der unterschiedlichen Darstellungen der materiellen Zeitableitung kann eine zusammenhängende Verknüpfung der materiellen Zeitableitung in Form von einer lokalen referentiellen Zeitableitung und den räumlichen Gradienten gebildet werden: ∂Φ DΦ = + ∇x Φ · c. Dt X ∂t χ (2.80) Die obige Gleichung zeigt, dass die materielle Zeitableitung von Φ die Summe aus einem lokalen Anteil mit festgelegtem Koordinatensystem χ und einem konvektiven Term infolge der relativen Geschwindigkeit c bildet. Die Gleichung (2.80) ist auch als die fundamentale ALE-Gleichung bekannt, die in Anlehnung an Gleichung (2.14) jedoch in den referentiellen Koordinaten (χ, t) gebildet wird. Um die ALE-Form der eingeführten Bilanzgleichungen aus (2.46) und (2.47) zu erhalten, muss nur noch die materielle Zeitableitung ersetzt werden. Die rechte Seite bleibt mit der räumlichen Formulierung identisch. Daraus resultiert die Massenbilanz und die Impulsbilanz ∂ρ + (∇x ρ) · c = −ρ∇x · v ∂t χ ⎛ ρ⎝ (2.81) ⎞ ∂v + (∇x v) · c⎠ = ∇x · S + f . ∂t χ (2.82) 26 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen Schließlich erhält man mittels dem Reynoldsschen Transporttheorem die integralen Formen als Ausgangspunkt für ein Diskretisierungsschema mit: vχ vχ ∂ρ dvχ = − ρc · ndaχ , ∂t χ (2.83) ∂vχ ∂(ρv) dvχ = − ρv(c · n)daχ + S · ndaχ + f dvχ . ∂t χ v ∂vχ ∂vχ (2.84) χ In diesem Fall kennzeichnet vχ das ALE-Kontrollvolumen und aχ die Ränder, die mit der Gittergeschwindigkeit v̂ bewegt werden. Aus den obigen Gleichungen können auch optional die Formulierungen nach Lagrange (v̂ = v (c = 0)) oder Euler v̂ = 0 (c = v) gewählt werden. Die Grundvoraussetzung für die Nutzung der ALE-Technik ist die Definition einer zusätzlichen Bilanzgleichung. Diese wird auch als Raumerhaltungsgleichung31 bezeichnet und schreibt sich wie folgt: vχ ∂ dvχ = v̂ · ndaχ . ∂t χ (2.85) ∂vχ Diese Gleichung verlangt, dass die zeitliche Änderung des Volumens gleich den während der Gitterbewegung überstrichenen Randflächen entspricht. Dabei darf gemäß der obigen Definition kein Volumen verloren gehen. Damit lässt sich die zunächst unbekannte Gittergeschwindigkeit v̂ nun bestimmen. 2.5. Strömung der nicht mischbaren Fluide In dieser Arbeit wird die so genannte Volume-of-Fluid Methode (VOF)32 zur Beschreibung der nicht mischbaren, zweiphasigen und inkompressiblen Fluide33 verwendet. Diese basiert auf der Behandlung des gesamten Strömungsgebiets mit einem Satz von Erhaltungsgleichungen, wobei an der Grenzfläche zwischen den zwei Phasen eine nicht kontinuierliche Verteilung der jeweiligen Materialeigenschaften vorherrscht. Die Grenzfläche zwischen den zwei Phasen wird hier gesondert behandelt. Dabei wird für das zweiphasige Strömungsgebiet ein Fluidanteil bzw. eine Transportgröße als Indikatorfunktion α vorgeschrieben. Hierfür gilt: ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ 1, ⎪ ⎪ ⎨ Fluid a α = ⎪0 < α < 1, Grenzfläche zwischen Fluid a und b ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩0, 31 32 33 Fluid b. Im engl. auch Geometric Conservation Law (GCL). Erstmals in der Arbeit von HIRT und NICHOLS [49] vorgestellte numerische Methode. z.B. Wasser und Luft zur Modellierung von Oberflächenwellen. (2.86) 2. Kontinuumsmechanische Grundlagen 27 Das mathematische Modell zur Berechnung nicht mischbarer Fluide in der ALE-Formulierung kann analog zu den Gleichungen (2.83), (2.84) und zusammen mit der Transportgleichung für α wie folgt geschrieben werden: vχ vχ ∂(ρv) dvχ + ∂t χ vχ ∂ρ dvχ + ∂t χ ∂α dvχ + ∂t χ ρv(c · n)daχ = ∂vχ ρc · ndaχ = 0, (2.87) αc · ndaχ = 0, (2.88) ∂vχ ∂vχ S · ndaχ + ∂vχ vχ f dvχ . + fs dvχ . (2.89) vχ Unter Verwendung der Transportgröße der Phasen α, errechnet sich die Dichte aus der Wichtung beider Fluiddichten a und b zu ρ = αρa + (1 − α)ρb (2.90) und für die Viskosität erhält man in analoger Weise η = αηa + (1 − α)ηb . (2.91) In der Gleichung (2.89) beschreibt der neu dazugekommene Term fs die Kräfte, die infolge der Oberflächenspannung hervorgerufen werden. Dieser Term berechnet sich mit fs = σκns , (2.92) worin σ der Oberflächenspannungskoeffizient ist und κ die Oberflächenkrümmung, die sich mit κ = ∇x · ns (2.93) errechnet. Desweiteren ist ns der Normalenvektor der freien Oberfläche. Dieser lässt sich mit ns = berechnen. ∇x α |∇x α| (2.94) 28 3. Numerische Methoden 3. Numerische Methoden In dieser Arbeit findet die programmiertechnische Umsetzung zur Lösung der kontinuumsmechanischen Bilanzgleichungen aus Kapitel 2 auf Basis der freien Software OpenFOAM [104, 56, 73] statt. Die angewendete numerische Methode zur Berechnung der strömungsund festkörpermechanischen Feldprobleme basiert dabei auf der Finite Volumen Methode (FVM) [3, 34, 96]. Diese wird nachfolgend für die zweiphasige Strömung nicht mischbarer Flüssigkeiten in der integralen ALE-Betrachtungsweise formuliert. 3.1. Fluid-Diskretisierung Zur Erhaltung der diskreten Bilanzgleichungen aus den integralen Gleichungen (2.83,2.84,2.85) und (2.88) muss das Berechnungsgebiet räumlich in eine endliche Anzahl finiter Volumen und eine zeitlich beliebigen Anzahl von Zeitschritten zerlegt werden. Zur Veranschaulichung der räumlichen Diskretisierung ist im Bild 3.1 ein hexaederförmiges Kontrollvolumen (KV) bzw. KV-Zelle in kartesischen Koordinaten dargestellt. Für die Kennzeichnung der Flächen und Punkte innerhalb des Kontrollvolumens wird die für die FVM übliche Kompassnotation verwendet. Dabei bezeichnet P den Berechnungspunkt im Massenschwerpunkt1 der KV-Zelle, die Seitenflächen werden mit Kleinbuchstaben t (top), b (bottom), n (north), s (south), w (west) und e (east) gekennzeichnet, die Großbuchstaben T, B, N, S, W und E kennzeichnen die Berechnungspunkte der benachbarten Kontrollvolumen. Ferner, zur Veranschaulichung des Strömungsvorgangs zwischen zwei Kontrollvolumen, werden die KV-Flächen mit f = n, e, s, w, t, b und die Berechnungspunkte der benachbarten Kontrollvolumen mit N gekennzeichnet. Damit kann S f als Flächenvektor an jeder KV-Zellenfläche definiert werden. Dieser befindet sich im Zentrum der KV-Fläche und steht senkrecht auf der Zellenfläche nach außen gerichtet. Die Länge des Vektors S f ist durch den Betrag der KV-Seiten bestimmt. Die Berechnungsprozedur der Strömungsgrößen (z.B. Druck und Geschwindigkeit) im Zelleninneren erfolgt zunächst durch eine geeignete Diskretisierung der Bilanzgleichungen. Die Bilanzgleichungen für zweiphasige inkompressible Fluide lassen sich schließlich für 1 Die diskreten Berechnungspunkte werden in dieser Arbeit in der zellenorientierter Variablenanordnung betrachtet. 3. Numerische Methoden 29 jede einzelne KV-Zelle analog zu den oben genannten Erhaltungsgleichungen in der halbdiskretisierten Form wie folgt ausdrücken: nf f vχ f ∂α dvχ + ∂t χ f vχ f ∂(ρv) dvχ = − ∂t χ f n zeitliche Änderung (3.1) αc · ndaχ = 0, n v̂ · ndaχ , (3.3) ∂vχ ρv(c · n)daχ + ∂vχ (3.2) ∂vχ f ∂ dvχ = ∂t χ f vχ n ρc · ndaχ = 0, ∂vχ nf f ∂vχ Konvektionsterm S · ndaχ + Diffusionsterm vχ f̃ dvχ . (3.4) Extraterm Die obigen Gleichungen sind immer noch exakt und diskretisieren nur das geometrische Rechengebiet. Anhand der Gleichung (3.4) werden im Folgenden die wichtigsten Terme zur örtlichen und zeitlichen Diskretisierung beschrieben. T St N t P W Sw w s S y x e Se E b Ss z n Sn Sb B Abbildung 3.1.: Hexaederförmiges Kontrollvolumen mit der üblichen Kompassnotation. Der erste Term kennzeichnet dabei die zeitliche Änderung der Strömungsgröße2 Φ, die als Feldvariable im Zellzentrum eines Kontrollvolumens zu bestimmen ist. Der Konvektionsterm repräsentiert hierbei den Transport von Φ infolge der Strömungsgeschwindigkeit, während der Diffusionsterm den molekularen Transport bzw. die innere Reibung repräsentiert. Der Extraterm beschreibt in diesen Fall die auf ein Kontrollvolumen einwirkenden Volumenkräfte. Als nächstes erfolgt die Diskretisierung der konvektiven- und diffusiven Terme in zwei Schritten: 2 In Gl.(3.4) ist Φ = vρ. 30 3. Numerische Methoden 1. Die Diskretisierung der Oberflächenintegrale erfolgt zunächst mittels der Gauß-Quadratur. 2. Die Gauß-Quadratur erfordert weiterhin mindestens einen Wert des Integranden an der Fläche des KV. Die Werte auf den KV-Flächen werden durch Interpolation zwischen den Werten der benachbarten KV-Zentren ermittelt. Die numerische Integration für den ersten Punkt erfolgt in dieser Arbeit stets mittels der Mittelpunktsregel. Die Behandlung des zweiten Punktes erfolgt entsprechend mit geeigneten Diskretisierungsverfahren für die konvektiven und diffusiven Flüsse. Die hier verwendeten Diskretisierungsmethoden werden im nächsten Abschnitt zusammen mit der Approximation des Extraterms und der zeitlichen Änderung näher erläutert. 3.1.1. Diskretisierung der konvektiven Flüsse Die Kontinuitätsgleichung (3.1), die nur aus einem Konvektionsterm besteht, kann in der diskretisierten Form wie folgt geschrieben werden nf f ρc · ndaχ ≈ nf Φc = 0 (3.5) f ∂vχ mit Φc = (Φf − Φg ). (3.6) Φf = S f · v f (3.7) In Gleichung (3.6) beschreibt den Fluss über die KV-Flächen. Somit setzt sich laut Gleichung (3.6) der Gesamtdurchfluss an den KV-Flächen aus der Differenz zweier Flüsse zusammen. In der Literatur [34] werden diese auch als Massenfluss und Gitterfluss bezeichnet. Anschaulich bewirkt die Bewegung des Fluids, die durch Φf charakterisiert wird, den Massenfluss, während die Bewegung des Gitters, durch Φg beschrieben, den Gitterfluss verursacht. Weitere konvektive Terme aus der zweiphasigen Transportgleichung (3.2) und der Impulsgleichung (3.4) können analog in diskreter Form mit nf f und ρv(c · n)daχ ≈ f ∂vχ Φc v f (3.8) f ∂vχ nf nf αc · ndaχ ≈ nf Φc αf (3.9) f =1 dargestellt werden. Für die Interpolation der Berechnungspunkte zu den Flächenzentren f gibt es verschiedene 3. Numerische Methoden 31 Methoden in der Literatur [48, 85, 34]. Die in dieser Arbeit verwendeten Interpolationstechniken werden im nachfolgenden Abschnitt zusammengefasst und erläutert. 3.1.2. Approximation der Massenflüsse Eine weit verbreitete Interpolationsmethode zur Approximation der Massenflüsse ist das Upwind-Differenzen-Verfahren (UDS). In der Abbildung 3.2 a) ist prinzipiell die Funktion dieser Methode anhand von zwei benachbarten KV-Berechnungspunkte N und P gezeigt. Bei diesen Verfahren nimmt der Wert der Transportvariable Φf an der Oberfläche entweΦN ΦN Φf ṁf > 0 a) ṁf < 0 Φf Φf b) ΦP N f Sf δx N f δx P linkes KV z ΦP Sf P linkes KV rechtes KV rechtes KV y x Abbildung 3.2.: Interpolationsverfahren zur Approximation der Massenflüsse: a) UDS und b) CDS. der den Wert an der Stelle N oder an der Stelle P in Abhängigkeit von der Richtung des Massenstroms ṁf . Somit gilt: Φf = ⎧ ⎪ ⎨ΦN , für ṁf = S f · (ρv)f > 0, ⎪ ⎩Φ für ṁf = S f · (ρv)f < 0. P, (3.10) Das UDS besitzt eine Genauigkeit erster Ordnung, welche dadurch zwar uneingeschränkt stabil ist, jedoch aufgrund des Approximationsfehlers erster Ordnung diffusiv ist. Ein weiteres Interpolationsschema, welches zur Approximierung der Massenflüsse verwendet wird, ist das Zentraldifferenzen-Verfahren (CDS) (s. Abb.3.2 b). Das Zentraldifferenzen-Verfahren stellt eine lineare Interpolation zwischen den Werten der Transportvariablen in den Massenmittelpunkten N und P dar, wobei beachtet werden muss, dass bei nicht orthogonalen Gittern die Verbindungslinie δx = xP − xN nicht durch die Oberflächenmittelpunkte f geht, sondern je nach Anordnung der Kontrollvolumen versetzt und mit f˜ gekennzeichnet ist. Daraus ergibt sich für die Interpolation Φf ≈ |xf˜ − xN | |xP − xf˜| ΦN + ΦP . |δx| |δx| (3.11) Bei der Verwendung der aufgeführten Notation steht xN für den Massenmittelpunkt des betrachteten Kontrollvolumens und xP wechselt bei der Summation zwischen den Mittelpunkten der jeweils betrachteten Nachbarkontrollvolumen. Das CDS ist ein Verfahren zweiter 32 3. Numerische Methoden Ordnung, mit dem sich eine genauere Approximation erreichen lässt, jedoch bei zu großen Abständen der benachbarten KV-Zellen können Instabilitäten in der Lösung auftreten. 3.1.3. Approximation der Transportgröße Bei der Diskretisierung des konvektiven Terms aus der zweiphasigen Transportgleichung (3.9) wird das sogenannte High Resolution Scheme (HRS) nach Van Leer verwendet. Die Vorgehensweise bei der Interpolation der Transportgröße αf zur Berechnung der zweiphasigen Fluidströmungen ist hierfür unerlässlich und wird anhand Abbildung 3.3 veranschaulicht. v benachbartes KV NN N zentrales KV f P Abbildung 3.3.: Konfiguration der Berechnungspunkte für das Van Leer Schema. In Bezug auf ein HRS berechnet sich der Wert an der KV-Seite nach WATERSON ET AL.[103] mit 1 (3.12) αf = αN + B(r)(αN − αN N ). 2 Darin können mit der sogenannten Begrenzungsfunktion B(r) unterschiedliche Interpolationsschemata definiert werden. Die Variable r wird als Gradienten-Verhältnis bezeichnet und lässt sich definieren als αP − αN . αN − αN N Darüberhinaus ist die Begrenzungsfunktion r= B(r) = r + |r| . r+1 (3.13) (3.14) Für den Fall B(r) = 0 ist das HRS gleich dem UDS-Verfahren. Im Falle des Van Leer Schemas wird jedoch ein nichtlinearer Ansatz verwendet. Dies erfolgt nur dann, wenn die Werte für α nicht in der nachfolgenden Reihenfolge angeordnet sind αP > αN > αN N . (3.15) Wenn jedoch die Größenordnung den α-Werten aus Gleichung (3.15) entspricht, dann ergibt sich für den Flächenwert αf = αN + (αP − αN )(αN − αN N ) . αN − αN N (3.16) Die Genauigkeit des Verfahrens laut [103] hängt von der lokalen Lösung der Transportgrößen ab und variiert lokal zwischen erster und zweiter Ordnung. 3. Numerische Methoden 33 3.1.4. Approximation der Gradienten Die Approximierung der Gradiententerme in den Erhaltungsgleichungen findet in dieser Arbeit zum Einen über die Gaußintegration und zum Anderen über das ZentraldifferenzenVerfahren (CDS) für den Gradient in Richtung der Flächennormalen statt. Die Gaußintegration liefert dabei den Gradienten im KV-Zentren der Variablen Φ. Die Diskretisierung erfolgt unter direkter Anwendung des Gaußschen-Satzes auf das Volumenintegral, wobei die Diskretisierungsform (∇Φ)P VP = nf S f Φf (3.17) f gleichwertig ist. Bei der Approximation des Gradienten in Richtung der Flächennormalen wird die Zentraldifferenzen-Methode verwendet n · ∇f Φ = ∇⊥ fΦ = ΦP − ΦN . δx (3.18) Dabei kennzeichnet der Operator ∇f den Gradienten auf den Flächen. Die Diskretisierung erzeugt einen Fehler zweiter Ordnung für orthogonale Gitter. Im Falle von nicht orthogonalem Gitter reduziert sich die Ordnung, wie bei allen vorangegangenen Verfahren. 3.1.5. Diskretisierung der diffusiven Flüsse Die Diskretisierung des diffusiven Terms aus Gleichung (3.4) ist von der Vorgehensweise ähnlich wie beim konvektiven Term. Somit folgt durch die Approximation des Flächenintegrals mittels der Mittelpunktsregel nf f ∂vχ S · ndaχ ≈ nf f ηf S f · (∇ v)f + [(∇ v)P · (∇ η)P ]VP − Term 2 Term 1 nf f =1 |S f | ∇⊥ f pd . (3.19) Term 3 Diese approximierte Gleichung (3.19) besteht dabei aus drei Termen. Die ersten beiden Terme rühren aus der Divergenz des Reibspannungstensors (vgl. Gl.(2.50)) und beschreiben damit den Stofftransport von zweiphasigen Fluiden. Hierbei ist zu beachten, dass der zweite Term zu Null wird, wenn es sich dabei um eine einphasige, newtonsche Fluidströmung handelt. Dies ist der Fall, wenn die Viskosität anders als bei der zweiphasigen Strömung konstant angenommen wird. Der dritte Term in Gleichung (3.19) ist der approximierte, kugelsymmetrische Druckanteil (vgl. dazu Gl.(2.48)). Dieser wird bei der Lösung von zweiphasigen Strömungen für die numerische Implementierung in einer modifizierten Form in Analogie zu RUSCHE [81] wie folgt definiert: pd = p − ρ g · x. (3.20) Demnach ergibt sich pd aus der Subtraktion des physikalischen Drucks p von dem hydrostatischen Druck ρ g · x und kann unter Anwendung des Nabla-Operators zusammen mit der 34 3. Numerische Methoden Kettenregel auf die Gleichung (3.20) wie folgt umgeschrieben werden ∇pd = ∇p − ρ g − g · x ∇ρ. (3.21) Die letzten beiden Terme auf der rechten Gleichungseite kennzeichnen dabei die Volumenkräfte infolge der Erdbeschleunigung g. Die diskretisierte Darstellung der Gleichung (3.21) kann nun wie bereits in Gleichung (3.19) gesehen vorgenommen werden. 3.1.6. Approximation des Extraterms Der Extraterm in Gleichung (3.4) beschreibt die infolge der Oberflächenspannung auf der Grenzfläche wirkenden Kräfte zwischen der flüssigen und gasförmigen Phase. Die Berechnung des Extraterms lehnt sich hier an die von BRACKBILL ET AL. [9] entwickelte ContinuousSurface-Force Methode an. Die diskretisierte Form des Extraterms als eine kontinuierlich wirkende Kraft im Übergangsbereich zwischen den beiden Phasen lässt sich demnach mit f̃ dvχ ≈ nf (σκ)f |S f | ∇⊥ fα (3.22) f =1 vχ approximieren. Ferner wird die Oberflächenspannung σ als konstant angenommen. Die Oberflächenkrümmung κ wird hierfür gemäß nach Gleichung (2.93) bestimmt. 3.1.7. Diskretisierung des Gitterflusses Wie bereits erwähnt, werden im Falle des Gitterflusses Φg nicht die Gittergeschwindigkeiten, sondern die eingeführten Gitterströme berechnet. Zum Einen müssen die Gittergeschwindigkeiten nur an den Oberflächen und nicht im Kontrollvolumen-Mittelpunkt bekannt sein, zum Anderen ist durch die Berechnung der Gittergeschwindigkeiten das Volumenerhaltungsgesetzes zu gewährleisten. f t+δt ft z y x Abbildung 3.4.: Darstellung des Gitterflusses. Abbildung 3.4 zeigt, dass der Gitterfluss der zeitlichen Änderung des Volumens proportional 3. Numerische Methoden 35 ist. An dieser Stelle wird Φg durch die Oberfläche f zwischen den benachbarten Kontrollvolumen beschrieben. Nach DEMIRDŽIĆ und PERIĆ [23] berechnet sich der Gitterfluss Φg als das Volumen, das eine Fläche f in einem Zeitschritts δt überstreicht. Dabei ist die zeitliche Änderung des Volumens geeignet zu approximieren. Die dafür verfügbare Methoden werden nachfolgend im Rahmen der Diskretisierung des instationären Terms erläutert. Durch ein solches Vorgehen ist es möglich, den Gitterfluss unabhängig vom restlichen Gleichungssystem zu berechnen und die Volumenerhaltung zu gewährleisten. Somit folgt für die Diskretisierung von Φg für ein Kontrollvolumen vχ f ∂ dvχ = ∂t χ f n ∂vχ v̂ · ndaχ ≈ nf f =1 Φg = VPt+δt − VPt . δt (3.23) 3.1.8. Fluidgitterbewegung Die Bewegung des Fluidgitters wird im Zusammenhang mit der partitionierten Fluid-StrukturWechselwirkung3 als das dritte Feld bezeichnet. Die Ansätze und Berechnungsmethoden in Anlehnung an dieses Thema wurden bereits von mehreren Arbeitsgruppen erforscht [32, 87, 88]. Das Hauptaugenmerk bei der Lösung eines FSI-Problems auf Basis einer ALEFormulierung ist die Erhaltung einer guten Flexibilitätseigenschaft des Fluidnetzes. Das Fluidgitter muss dabei die Bewegung der Struktur infolge der Strukturverschiebung an der Interaktionsfläche mitverfolgen und dabei seine guten Qualitätseigenschaften beibehalten. Im Allgemeinen gibt es drei Strategien, die zur Berechnung von Gitterbewegungen eingesetzt werden. Diese sind ausführlich von JASAK und TUKOVIĆ in [54] beschrieben. Dabei basiert der erste Ansatz auf der ursprünglich von BLOM [8] entwickelten spring analogy Methode. Hierbei werden alle Gitterpunktverbindungen durch Federn ersetzt. Leider hat es sich erwiesen, dass dieser Ansatz nicht robust genug ist, um auf unterschiedliche Probleme mit Gitterbewegung angewendet werden zu können, so dass hier zusätzliche Modifikationen aus [20, 31] an dem grundlegenden Ansatz unternommen wurden, um die Flexibilität zu verbessern und gleichzeitig den Rechenaufwand zu verringern. Der zweite Ansatz wird nach [82] als pseudo solid bezeichnet. Hierbei wird das Fluidgitter als ein künstliches elastisches Kontinuum repräsentiert. Bei dieser Methode wird das räumliche nichtlineare Problem auf ein lineares Problemen reduziert, so dass die Fluidgitterbewegung nur für kleine Deformationen anwendbar ist. Der dritte Ansatz beschreibt die Gitterbewegung mit einer Laplace-Gleichung in Form von ∇ · (γ∇v̂) = 0. (3.24) Dieser Ansatz wurde von JASAK und TUKOVIĆ [54] zur Lösung der Fluidgitterbewegung in OpenFOAM umgesetzt. Bei diesem Ansatz werden die am Rand des Berechnungsgebiets 3 mehr dazu s. Kapitel 5 36 3. Numerische Methoden vorgeschriebenen Bewegungsbedingungen mittels der Lösung der Laplace-Gleichung (3.24) in das Innere des Berechnungsgitters übertragen. Die Bewegung der Gitterpunkte erfolgt sinngemäß zur Gleichung (3.23) durch xt+δt = xt + v̂δt. (3.25) Dabei kennzeichnen xt und xt+δt die alte und die neue Position der Fluidgitterpunkte. In der Gleichung (3.24) steht γ für den Diffusionskoeffizienten. Dieser kann in OpenFOAM optional entweder konstant oder variabel eingestellt werden (s. dazu mehr in [54]). In dieser Arbeit hat sich die variable Einstellung des Diffusionskoeffizienten umgekehrt proportional zum Abstand vom bewegten Rand als sinnvoll erwiesen. 3.1.9. Zeitliche Diskretisierung Alle numerischen Modelle dieser Arbeit weisen instationäres bzw. transientes Verhalten auf. Dieses erfordert eine geeignete Näherungslösung der zeitlichen Ableitung des instationären Terms. Eine Möglichkeit für die Näherung der zeitlichen Ableitung ist die Verwendung des Differentialquotienten mit einer Genauigkeit erster Ordnung. Diese Methode ist nach Euler4 benannt und kann entsprechend explizit oder implizit erfolgen ⎧ ⎪ ∂Φ Φt+δt − Φt ⎨F (Φt , Φt−δt , ..) ≈ = ⎪ ∂t δt ⎩F (Φt+δt , Φt , Φt−δt , ..) explizit (3.26) implizit. Darin kennzeichnet der Ausdruck t den aktuellen Zeitschritt. Auf der rechten Seite der Gleichungen (3.26) stehen die örtlich- diskretisierten Terme, die für unterschiedliche Zeitschritte berechnet werden. Die explizite Formulierung ermöglicht eine direkte Berechnung von Φt+δt aus den Werten der aktuellen und vergangenen Zeit t − δt, während die implizite Form mit den Werten für den neuen Zeitschritt t + δt auf beiden Seiten der Gleichung über ein Gleichungssystem mit den bekannten Werten vom Rand gelöst werden muss. Daraus ergibt sich die Möglichkeit, größere Zeitschritweite zu wählen, so dass sich ein wesentlich geringerer Berechnungsaufwand im Vergleich zum expliziten Verfahren ergibt. Die explizite Methode wird instabil, wenn die Courant-Zahl Co > 1 ist. Diese ist definiert als Co = vf δt. δx (3.27) Sie stellt das Verhältnis von der Zeitschrittweite δt zur Konvektionszeit δx/vf dar, die benötigt wird, um eine Strömung über die Distanz zwischen den Berechnungspunkten δx durch Konvektion zu transportieren. Wegen dieses Nachteils bietet sich die Verwendung von impliziten oder Hybrid5 -Methoden an. Die implizite Methode wird fast ausschließlich in allen 4 5 Leonhard Euler z.B. Crank-Nicolson Verfahren, zweiter Ordnung 3. Numerische Methoden 37 Berechnungen dieser Arbeit angewendet, da diese im Vergleich zu den expliziten Verfahren nicht an die Corant-Zahl gebunden ist. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die zeitlichen Diskretisierungsordnung des instationären Terms nicht von der gleichen Diskretisierungsordnung der räumlichen Konvektions-, Diffusions- oder anderen Quelltermen entsprechen muss. Jeder Gleichungsterm kann unterschiedlich diskretisiert werden. Mit der Anwendung der räumlichen Diskretisierungsverfahren und des impliziten Euler-Verfahrens auf Gleichung (3.4) ergibt sich schließlich die vollständig diskretisierte Form zu n n f f (ρvV )t+δt P + Φc v t+δt − ηf S f · (∇ v)t+δt = f f δt f =1 f =1 n f (ρvV )tP + [(∇ v)tP · (∇ η)P + f˜P ]VPt − |S f | ∇⊥ f pd . δt f =1 (3.28) Dabei kennzeichnet die linke Seite die impliziten Terme und die rechte Seite die expliziten Terme der diskretisierten Impulsgleichung. Die zeitliche und räumliche Diskretisierung aller Bilanzgleichungen eines numerischen Modells führt schließlich zu einem großen linearen algebraischen Gleichungssystem. Die iterative Lösung dieses Systems ist in dieser Arbeit ausschließlich mit Mehrgitterverfahren oder dem Verfahren der konjugierten Gradienten realisiert. 3.2. Lösungsverfahren Die Diskretisierung und Linearisierung der Bilanzgleichungen führen zu einem linear algebraischen Gleichungssystem für das gesamte Kontrollvolumen. Die genaue Form dieser algebraischen Gleichungen hängt von der mathematischen Modellierung der Bilanzgleichung und den verwendeten Diskretisierungsverfahren ab. Die gesuchten Größen ΦP im KontrollvolumenMittelpunkt hängen dabei von den Nachbarzellenwerten ΦN und den Quelltermen bP ab. Für alle Kontrollvolumen des Bilanzraums i = 1, ..., n folgt daraus ein Gleichungssystem aiP ΦiP − aiN ΦiN = biP für i = 1, ..., n. (3.29) N Damit stehen n Gleichungen zur Bestimmung von n unbekannten KV-Werten. Diese algebraischen Gleichungen können in der Matrix-Form wie folgt ausgedrückt werden: A · φ = b. (3.30) Hierbei kennzeichnet A in der Regel eine dünn besetzte quadratische Matrix mit den aP als Koeffizienten auf der Hauptdiagonale und aN als die Koeffizienten der Nebendiagonalen. φ ist der Vektor der Unbekannten und auf der rechten Seite kennzeichnet b die bekannten Größen, die beispielsweise aus den Randbedingungen herrühren. Die Matrix der Koeffizienten 38 3. Numerische Methoden A kann des Weiteren in zwei Matrixkomponenten zerlegt werden. In eine Diagonalkomponente AD und eine Nebendiagonalkomponente AN , so dass sich aus der Addition der beiden Komponenten A = AD + AN (3.31) ergibt. Das algebraische Gleichungssystem (3.30) wird mit Hilfe eines geeigneten numerischen Lösungsverfahrens zur Bestimmung des Vektors der Unbekannten φ gelöst. Die verschiedenen Techniken zur Lösung der algebraischen Gleichungssysteme können zusammengefasst aus [69, 41] entnommen werden. Im Wesentlichen teilen sich die Lösungsalgorithmen in zwei Hauptkategorien: direkte und iterative Verfahren. Direkte Verfahren liefern im Fall linearer Systeme immer, abgesehen von numerischen Rundungsfehlern, die exakte Lösung des Gleichungssystems nach einmaligem Durchlaufen der gesamten Rechenvorschrift. Bei iterativen Verfahren wird eine Lösung abgeschätzt und im Laufe des Verfahrens durch wiederholtes Ausführen der Berechnungsvorschrift an die exakte Lösung angenähert. Für die direkten Verfahren muss die Anzahl der Operationen, die notwendig sind, um eine Lösung von φ zu erhalten, etwa mit der dritten Potenz der Anzahl der Gleichungen pro Unbekannten gerechnet werden. Diese Verfahren stellen somit einen enorm hohen Aufwand zur Lösung von großen Gleichungssystemen [85]. Bei der Behandlung von diagonaldominanten, schwach besetzten und oft symmetrischen Matrizen, welche aus der Diskretisierung der Finite-VolumenMethode resultiert, zeigt das direkte Verfahren Nachteile. Zudem ist der Diskretisierungsfehler zumeist viel höher als die Rechengenauigkeit der direkten Verfahren, womit der Rechenaufwand unnötig hoch ist. Die aus der Diskretisierung entstandenen Eigenschaften der Matrix machen die Verwendung von iterativen Gleichungslösern möglich und die Conjugate Gradient (CG)-Methode, die ursprünglich von HESTENES und STIEFEL [47] entwickelt wurde, wird hierbei des öfteren verwendet. Das originale CG-Verfahren gewährleistet, dass die exakte Lösung des Gleichungssystems erreicht wird, wenn die Anzahl der durchlaufenen Iterationen kleiner oder gleich der Anzahl von Gleichungen pro Unbekannte entspricht. Die Konvergenzrate des Solvers hängt von der Verteilung der Eigenwerte der Matrix ab und kann durch Vor- bzw. Präkonditionierung verbessert werden. Durch die in dieser Arbeit verwendete Softwareumgebung OpenFOAM stehen gleich mehrere Verfahren zur Lösung der Gleichungssysteme zur Verfügung, welche jeweils auf eine Vielzahl von Lösungsverfahren zur Vorkonditionierung oder Glättung zurückgreifen. Auf die einzelnen Verfahren wird nachfolgend nicht im Detail eingegangen und entsprechend auf die Referenzen [69, 34] verwiesen. So wird zur Lösung der symmetrischen Matrizen das Preconditioned-Conjugate-Gradient (PCG) Verfahren, zusammen mit dem Diagonal-Incomplete-Cholesky (DIC) Präkonditionierer, verwendet. Diese Kombination ist auch unter der Bezeichnung Incomplete-CholeskyPreconditioned-Conjugate-Gradient (ICCG) Verfahren bekannt und wurde von MEIJERINK und VAN DER VORST [95] entwickelt sowie im Detail von JACOBS [52] beschrieben. Zur Lösung der asymmetrischen Matrizen wird das Preconditioned-Bi-Conjugate-Gradient 3. Numerische Methoden 39 (PBiCG) Verfahren mit Diagonal-Incomplete-LU (DILU) als Präkonditionierer verwendet (s. dazu [95]). Das auf den Mehrgitterverfahren basierende Geometric-Algebraic-Multi-Grid (GAMG) [57] Verfahren wird in dieser Arbeit zur Lösung der symmetrischen als auch asymmetrischen Systemmatrizen verwendet. Die Idee der Mehrgitterverfahren beruht auf der Tatsache, dass ein iteratives Lösungsverfahren gerade die Fehlerkomponente einer approximierten Lösung sehr effizient eliminiert, deren Wellenlänge der Gitterweite entsprechen. Dadurch steigt einerseits die Konvergenz des eingesetzten Verfahrens, andererseits sinkt die Rechenzeit. Im Rahmen algebraischer Mehrgittermethoden werden Systemmatrizen für gröbere Gitter einzig durch algebraische Modifikationen des Gleichungssystems erstellt - ohne das Netz tatsächlich anders definieren zu müssen. Des Weiteren erfordern die Mehrgitterverfahren eine Glättung des Fehlers, die hier betrachtete GAMG-Methode verwendet als Glätter die Gauß-Seidel- sowie die DIC-Verfahren für symmetrische und DILU für asysmmetrische Systemmatrizen, die entsprechend gute Glättungseigenschaften aufweisen6 . 3.3. Randbedingungen Randbedingungen, die ein Berechnungsgebiet abgrenzen, müssen für jedes numerische Modell durch eine Vorgabe bekannter Strömungsgrößen vorgeschrieben werden. Diese werden für alle Strömungsgrößen, die in den Bilanzgleichungen stehen, entsprechend der physikalischen Problembeschreibung, definiert. Für den Fall der zweiphasigen Strömungssimulation sind in der OpenFOAM-Berechnungsumgebung folgende Strömungsgrößen vorzugeben: • α, für die Transportvariable • p, Druck • v, Geschwindigkeitsvektor • v̂, Gitterbewegung. OpenFOAM beinhaltet eine große Auswahl an gemischten Randbedingungen. Fast alle lassen sich dabei aus zwei grundlegenden Basis-Typen herleiten. Dabei ist fixedValue vom Typ der dirichletschen Randbedingung und zeroGradient vom Typ der neumannschen Randbedingung. Diese sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst und erläutert 6 vgl. dazu [34], S. 129 40 3. Numerische Methoden ∂Φ ∂n =0 Tabelle 3.1.: Basis-Typen zur Definition der Randbedingungen. Typ Beschreibung im Bezug auf Φ fixedValue zeroGradient Φ wird direkt vorgeschrieben =0 Der Gradient ∂Φ ∂n (s. Abb. 3.5) ergibt sich z.B. aus der Summe der Basis-Typen Φgem = Φ + ∂Φ ∂n gemischte Randbedingung Abbildung 3.5.: Die Randbedingung zeroGradient bedeutet, dass sich keine Änderung von Φ in normaler Richtung zwischen den Berechnungspunkten unmittelbar am KV-Rand und den Werten am Rand einstellt. Tabelle 3.2.: Definition der verwendeten Randbedingungstypen in OpenFOAM. Definition des Typ Bedeutung der Randbedingung slip Diese Randbedingung kann nur im Zusammenhang mit v und v̂ definiert werden. Dabei entspricht die Normalkomponente von vn bzw. v̂n der fixedValueBedingung mit dem Wert 0, die Tangentialkomponente vt bzw. v̂t entspricht der zeroGradient-Bedingung. movingWallVelocity Wird nur für v definiert und beschreibt die Geschwindigkeit v m der Wand, wobei der Fluss durch den Rand Null ist. inletOutlet Schaltet die Variablenwerte Φ zwischen zeroGradient und fixedValue in Abhängigkeit von der Richtung des Geschwindigkeitsvektors. Für die Geschwindigkeit v wird ein fest vorgegebener Einlasswert definiert, auf den zugegriffen wird, wenn es einen Rückfluss ins Strömungsgebiet gibt. pressureInletOutletVelocity Ist nur anwendbar auf v. Schaltet ebenfalls zwischen Ein- und Auslasswert. Wenn die Geschwindigkeit aus dem Strömungsgebiet fließt gilt zeroGradient, ansonsten passt sich der Druck der Anströmungsgeschwindigkeit an. oscillatingFixedValue Φ oszilliert mit Φ(t) = a · cos(ωt). Hierfür kann eine vektorielle Amplitude a und die Frequenz f = ω/2π entsprechend beliebig definiert werden. Unter bestimmten physikalischen Voraussetzungen ist die Anwendung der oben genannten Randbedingungen für jede Variable denkbar. Die Anwendung der Randbedingungen wird für jede Berechnung vorgeschrieben, somit ist eine detaillierte physikalische Erklärung dieser für die numerische Modellbildung unbedingt erforderlich. Die verwendeten Randbedingungstypen aus OpenFOAM sind in der Tabelle 3.2 aufgelistet und beschrieben. Einige dieser Randbedingungstypen werden als intelligent7 bezeichnet, da sie in der Lage sind, ihr Verhalten den bestimmten charakteristischen Verläufen eines Strömungsfeldes anzupassen. Die Wahl eines bestimmten Typs für jedes numerische Modell stellt einen entscheidender Faktor dar. Dieser entscheidet schließlich, ob die Berechnung physikalisch plausible und damit brauchbare Ergebnisse liefert. 7 s. dazu [74]. 3. Numerische Methoden 41 3.4. Fluidberechnungs-Prozedur Die in OpenFOAM implementierte Lösungsmethode zur Berechnung einer zweiphasigen, inkompressiblen und nicht mischbaren Fluidströmung basiert auf einer von WELLER8 entwickelten Interface-Capturing-Methode. WELLER definiert dabei die Kompression der Grenzfläche zwischen den zwei Fluidphasen9 durch eine Erweiterung der Indikatorfunktionsgleichung (3.2) derart, dass die ursprüngliche Transportgleichung, die von HIRT und NICHOLS [49] vorgeschlagen wurde, nicht in ihrer Substanz verändert wird10 . Die diskretisierte Transportgleichung für die Indikatorfunktion lautet somit f f t+δt (αV )t+δt (αV )tP P Φc (αf )t+δt + Φr αf (1 − α)f = + . δt δt f =1 f =1 n n (3.32) Dabei kennzeichnet Φr eine Art relativen Fluss. Dieser wird durch das Multiplizieren von Φs mit dem Normalenvektor ns auf der Grenzfläche aus Gleichung (2.94) wie folgt berechnet Φr = Φs ns . (3.33) Wobei Φs eine Art Phasengrenzfluss kennzeichnet und im Phasengrenzbereich durch ein Minimum der zwei Funktionen von Φc definiert ist Φs = min αs |Φc | |Φc | , max |S f | |S f | . (3.34) Darin kennzeichnet αs einen Koeffizienten, der die Kompression der Phasengrenzfläche beschreibt. In dieser Arbeit ist αs mit einem Wert von 1.2 eingestellt, dieser Wert liefert erfahrungsgemäß gute Ergebnisse bei der Berechnung von freien Oberflächenwellen [35]. Im Folgenden wird die Vorgehensweise zur Berechnung der zweiphasigen Fluidströmung erläutert. In der Annahme einer inkompressiblen Strömung stellt die Berechnung des Druckfeldes ein besonderes Problem dar. Dadurch, dass der Druck nur in der Impulsgleichung vorkommt, entsteht ein Schließungsproblem aufgrund des fehlenden Drucks in der Kontinuitätsgleichung. Für die Handhabung dieses Problems gibt es verschiedene Methoden. Das in dieser Arbeit durchgehend verwendete Verfahren zur Druck-Geschwindigkeits-Kopplung ist das PISO- (Pressure Implicit with Splitting of Operators) Verfahren nach [51]. Dabei wird in einem iterativen Lösungsprozess zunächst ein geschätztes Geschwindigkeitsfeld aus der Impulsgleichung ohne den Druckgradient berechnet. Das Geschwindigkeitsfeld wird im Weiteren zusammen mit dem Druck über eine Druckkorrektur korrigiert. Die Korrektur wird solange durchgeführt, bis die Kontinuitäts- sowie die Impulsgleichung näherungsweise erfüllt sind. 8 9 s. [81] S.342 u.a. [94]. anders als die alternativ bekannten Verfahren z.B. [86]. s. hierzu Herleitung im Anhang A. 10 42 3. Numerische Methoden Während der Berechnungsprozedur wird zuerst eine Systemmatrix A, die aus der diskretisierten Impulsgleichung ohne Druckanteil und Quellterme resultiert, erstellt A := nf nf 1 1 (ρv)t+δt P + Φc v t+δt − ηf S f · (∇ v)t+δt −q f f δt VP f =1 VP f =1 (3.35) mit (ρv)tP (3.36) + (∇ v)tP · (∇ η)P . δt An diesem Punkt wird das charakteristische Merkmal des PISO-Algorithmus, das iterative q= Splittingverfahren nach Jacobi, eingeführt. Dieses Verfahren stellt eine einfache Möglichkeit dar, sich eine Näherungslösung aus einem algebraischen Gleichungssystem durch eine Iterationsvorschrift zu berechnen. Durch das Extrahieren der Systemmatrix A in die Diagonalund Nebendiagonalkomponenten lässt sich die Gleichung (3.35) in Form von nf AD v P = AN v N + q − (∇pd )P (3.37) N =1 umschreiben11 . Hiermit folgt schließlich aus Gleichung (3.37) die Geschwindigkeitskorrektur und Druckgleichung in Form von vP = AH AD mit AH = nf − P ∇pd AD (3.38) P AN v N + q. (3.39) N =1 Die Gleichung (3.38) zusammen mit den Termen aus Gleichung (3.28) kann schließlich in Form von vf = AH AD − f ∇pd AD − f 1 AD f (f · x)f |S f | ∇⊥ fρ+ 1 AD f (σκ)f |S f | ∇⊥ fα (3.40) umgeschrieben werden. Daraus lässt sich die Prädiktor-Korrekturgleichung für den Fluss durch die Interpolation der Gleichung (3.40)12 wie folgt Φ = Φ∗ − 1 AD f |S f | ∇⊥ f pd (3.41) ausdrücken. Φ∗ kennzeichnet dabei den geschätzten Volumenstrom. Dieser ergibt sich aus Φ∗ = 11 12 AH AD · Sf − f 1 AD f (f · x)f |S f | ∇⊥ fρ+ 1 AD f (σκ)f |S f | ∇⊥ f α. (3.42) Der Index für die zeitliche Diskretisierung wird im Weiteren weggelassen, da dieser für das Verständnis keine Bedeutung hat. Die Berechnung der Flüsse erfolgt durch Multiplikation der interpolierten Geschwindigkeit an den Kontrollvolumenfläche mit den KV-Flächen. 3. Numerische Methoden 43 Anschließend wird mit der Gleichung (3.41) und einem geschätzten Druckwert iterativ versucht die Bedingung für die Inkompressibilität bzw. Divergenzfreiheit zu erfüllen, so dass man daraus die Druckkorrekturgleichung aus der Kontinuitätsgleichung erhält nf f =1 1 AD f |S f | ∇⊥ f pd = nf Φ∗ . (3.43) f =1 Der daraus resultierende Algorithmus zur Berechnung der zweiphasigen Strömung lässt Initialisierung p = 0, v = 0 Berechnung des relativen Flusses Φc = Φf − Φg Gitterbewegung nach Laplace-Gl. Löse Transportgleichung Löse Impulsgleichung PISO Korrektur k<n Ja Nein Zeitschritt erhöhen bis t < tend Nein Ende Addiere den hydrostatischen Druckanteil Ja Schätze den Fluss ab Löse Druckgleichung Erneuere Geschwindigkeitsfeld und aktualisiere Randbedingungen Korrigiere den Fluss Abbildung 3.6.: Schematische Darstellung der Berechnungsprozedur des zweiphasigen Strömungslösers anhand eines Flussdiagramms. sich, analog zur schematischen Darstellung in einem Flussdiagramm der Abbildung 3.6, in folgenden Schritten unterteilen: 1. Beginne mit einem neuen Zeitschritt 2. Aktualisiere Gitterbewegung nach Gl. (3.24) 3. Berechne den relativen Fluss nach Gl. (3.6) 4. Löse die Transportgleichung für zweiphasige Strömung (3.32) 5. Erstelle die Systemmatrix, Gleichung (3.35) 6. Löse die Impulsgleichung (3.38) mit geschätztem Druckwert 7. Beginne mit der PISO-Schleife 8. Schätze den Fluss mit der Gleichung (3.42) ab 44 3. Numerische Methoden 9. Erstelle und löse die Druckgleichung (3.43) 10. Korrigiere den Fluss mit Gleichung (3.41) 11. Erneuere das Geschwindigkeitsfeld und aktualisiere die Randbedingungen13 12. Ende PISO-Schleife 13. Berechne den Gesamtdruck Die Reihenfolge des aufgeführten Lösungsalgorithmus wird nachfolgend zusammengefasst. Zu Beginn eines jeden Zeitschrittes (Schritt 1) wird die Transportgleichung für die zweiphasige Strömung gelöst (Schritt 2). Im dritten Schritt wird die Systemmatrix A erstellt sowie die Impulsgleichung gelöst (Schritt 4). Des Weiteren wird der PISO-Algorithmus in Schritt 5 bis 10 in einer Korrekturschleife, in der die Druckgleichung und die GeschwindigkeitsKorrekturgleichung auf der Basis der Druckänderung gelöst wird, solange durchgeführt, bis die Kontinuitätsgleichung näherungsweise erfüllt wird. Anschließend wird im Schritt 11 der physikalische Gesamtdruck mit p = pd + ρ (g · x) (3.44) berechnet, indem der hydrostatische Druckanteil dazu addiert wird. 3.5. Struktur-Diskretisierung In Analogie zur Fluidströmung basiert die numerische Diskretisierung der Impulserhaltungsgleichung (2.61) aus Abschnitt 2 für den Festkörper ebenfalls auf der Finite-Volumen-Methode. Die Lösungsprozedur ist in ähnlicher Weise wie in DEMIRDŽIĆ und MUZAFERIJA [21] zu finden und in Anlehnung an TUKOVIĆ und JASAK [93], die eine Lösungsmethode für elastische Festkörper mit großen Deformationen in der Update- Lagrangeschen-Formulierung auf Basis der FVM entwickelt haben, umgesetzt. Demnach kann die Impulserhaltungsgleichung in der diskretisierten Form wie folgt dargestellt werden n ρP VP nf f δut+δt P − (2μf + λf ) S f · (∇ δu)t+δt = f 2 δt f =1 n S f · qt+δt + ρP VP f f =1 f δutP + ρP VP δf t+δt . δt2 f =1 (3.45) In Gleichung (3.45) kennzeichnet q einen Tensor zweiter Stufe, der aus nichtlinearen Termen besteht. Dieser lässt sich durch das Einsetzen der Gleichung (2.63) in (2.62) wie folgt 13 z.B. zeroGradient in Gleichung (3.35). 3. Numerische Methoden 45 schreiben q = μ (∇ δu)T + λsp (∇ δu) I− (μ + λ) ∇ δu + μ (∇ δu) · (∇ δu)T + 1 λ (∇ δu) · (∇ δu)T I + PδFT + δPδFT . 2 (3.46) An dieser Stelle sei angemerkt, dass Gleichung (3.45) eine modifizierte Form der ursprünglichen Impulsbilanzgleichung darstellt. Die linke Seite dieser Gleichung zeigt den impliziten und die rechte Seite den expliziten Anteil der Diskretisierung auf. Um die Stabilität und die Effizienz der numerischen Lösung zu verbessern, wird von JASAK und WELLER [55] die Erweiterung des diffusiven Anteils um einen expliziten und einen impliziten Teil vorgeschlagen. Dabei wird die ursprüngliche Erhaltungsgleichung (2.61) nicht in ihrer wesentlichen Substanz verändert, sondern nur mittels der Subtraktion des impliziten Anteils von der linken Seite die Konditionierung der Koeffizientenmatrix verbessert. Bei der Approximation des Gradienten in Richtung der Flächennormalen wird die Zentraldifferenzen-Methode analog zum Abschnitt 3.1.4 verwendet. In diskretisierter Form lässt sich diese entsprechend nach [55] wie folgt ausdrücken: S f · (∇ δu)f = |S f | δuP − δuN . δx (3.47) In dieser vereinfacht dargestellten Form gilt die Diskretisierung des Gradienten nur für den Fall eines orthogonalen Gitters. Liegt jedoch eine Nicht-Orthogonalität in der örtlichen Diskretisierung vor, dann müssen nicht orthogonale Korrekturtherme berücksichtigt werden. Für weitere Details zur Behandlung verschiedener Nicht-Orthogonalitäten wird an dieser Stelle auf die Referenz [53] verwiesen14 . Des Weiteren wird die Methode der kleinsten Quadrate nach [22] zur Berechnung des inkrementellen Verschiebungsgradienten für die Zellzentren im Tensor q und der nicht orthogonalen Korrekturterme verwendet. Das Verfahren stellt für die Approximation des Gradienten eine Genauigkeit zweiter Ordnung dar und ist unabhängig von der Gitterqualität [54]. Die zeitliche Diskretisierung wird entsprechend nach Abschnitt (3.1.9) mittels dem impliziten Eulerverfahren durchgeführt. Obwohl die Verfahren zweiter Ordnung etwas genauer als Eulerverfahren sind, gewährleisten diese dennoch nicht die Erhaltung der differentiellen Form und können in der Anwendung zu unphysikalischen Ergebnissen oder sogar zur Instabilität der Lösung führen [55]. Durch das Einsetzen der Gleichung (3.47) in Gleichung (3.45) kann die vollständig diskretisierte Formulierung der linearen Impulserhaltung in Form von algebraischen Gleichungen für jede einzelne KV-Zelle wie folgt dargestellt werden − aP δut+δt P aN δut+δt = bP . N (3.48) N 14 Dabei wird in [53] die orthogonale Diskretisierung implizit und die nicht orthogonale Korrektur explizit behandelt. 46 3. Numerische Methoden Darin sind die Koeffizienten auf der Hauptdiagonalen mit n aP = f ρP VP − (2μf + λf ) |S f | 2 δt f =1 (3.49) und die Koeffizienten auf der Nebendiagonalen mit aN = nf (2μf + λf ) |S f | (3.50) f =1 definiert. Die Quellterme auf der rechten Seite der Gleichung (3.48) können schließlich mit15 n bP = ρP VP n f f δutP t+δt + S · q + ρP VP δf t+δt f f δt2 f =1 f =1 (3.51) ausgedrückt werden. 3.6. Strukturberechnungs-Prozedur Aus der Gleichung (3.48) lässt sich für jede einzelne Zelle des Berechnungsgitters ein System von algebraischen Gleichungen in Form von Au = b (3.52) zusammenstellen. Wobei A die aus den impliziten Koeffizienten zusammengesetzte Matrix darstellt16 , u ist der Verschiebungsvektor für die drei Raumrichtungen eines kartesischen Koordinatensystems und b der Quellterm auf der rechten Seite des Gleichungssystems. Der Algorithmus zur Berechnung von elastischen Festkörperstrukturen mit großen Deformationen in der Update-Lagrangeschen-Formulierung lässt sich in folgende Schritte zusammenfassen: 1. Beginne mit einem neuen Zeitschritt 2. Berechne den Quellterm b auf der rechten Seite der diskretisierten Impulsgleichung (3.48) mit dem zuletzt berechneten inkrementellen Verschiebungsvektor δut 3. Löse iterativ die Impulsgleichung und bestimme den neuen inkrementellen Verschiebungsvektor δut+δt 15 Zu den expliziten Quelltermen kommen noch in der Regel zusätzliche nicht orthogonale Korrekturterme, die an dieser Stelle einfachheitshalber weggelassen sind. 16 Diese ist in der Regel symmetrisch und diagonaldominant. 3. Numerische Methoden 47 4. Ist die Lösung auskonvergiert, dann summiere den neu berechneten inkrementellen Verschiebungsvektor und den inkrementellen zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor zum aktuellen Gesamtverschiebungsvektor ut+δt = ut + δut+δt , (3.53) und den gesamten zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor Pt+δt = Pt + δPt+δt , (3.54) 5. Bewege die Punkte das Berechnungsgitter entsprechend der inkrementellen Verschiebung des aktuellen Zeitschritts 6. Nach der Gitterbewegung wird der zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor für die Momentankonfiguration nach Gleichung (2.65) zum Cauchy-Spannungstensor überführt, wobei dieser für die Berechnung eines neuen Zeitschritts wieder als zweiter PiolaKirchhoff-Spannungstensor verwendet wird. Die Reihenfolge des aufgeführten Lösungsalgorithmus (dessen schematische Darstellung als Flussdiagram in Abbildung 3.7 veranschaulicht ist) wird nachfolgend kurz erläutert. Zu BeInitialisierung Zeitschritt erhöhen bis t < tend Nein Ende Ja Berechne den Vektor b aus Impulsgl. mit δut Aktualisiere Pt+δt Löse Impulsgleichung Aktualisiere Gitterbewegung Nein GAMG-Gleichungslöser Konvergenz ? Ja ut+δt = ut + δut+δt Pt+δt = Pt + δPt+δt Abbildung 3.7.: Darstellung der Strukturberechnungsprozedur in einem Flussdiagramm. ginn eines jeden Zeitschrittes - im Schritt 1 - erfolgt zunächst eine iterative Berechnung der diskretisierten Impulsgleichung (3.48) in den Schritten 2 und 3. Die iterative Berechnung der Impulsgleichung erfolgt aufgrund der im Quellterm b, wie in Gleichung (3.51) gezeigt, 48 3. Numerische Methoden beinhalteten nichtlinearen und gekoppelten Terme17 . Dabei wird im Schritt 2 zunächst der Quellterm b - auf der rechten Seite der Impulsgleichung - mit einem aus dem vorherigen Zeitschritt ermittelten δut berechnet. In Schritt 3 erfolgt dann die Lösung der Impulsgleichung, bei der jeweils einzeln nacheinander die drei inkrementellen Verschiebungsvektorkomponenten des neuen Zeitschritts berechnet werden. Die Lösung des Gleichungssystems (3.52) erfolgt mit einem GAMG-Gleichungslöser18 . In Schritt 4 wird das gesamte Verschiebungsfeld zusammen mit dem gesamten zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor aufsummiert. Die Gitterbewegung erfolgt im Schritt 5, dabei werden die Gitterpunkte entsprechend der inkrementellen Verschiebung δut+δt des aktuellen Zeitschritts bewegt. Anschließend erfolgt der Update bzw. die Aktualisierung des zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor, wobei dieser zunächst in der Momentankonfiguration zum Cauchy-Spannungstensor transformiert wird, bevor er - zur Berechnung einer neuen Konfiguration als Anfangskonfiguration - wieder in den zweiten Piola-Kirchhoff-Spannungstensor überführt wird. 17 18 die wiederum von einem neuen bzw. unbekannten Zeitschritt abhängen. s. Abschnitt 3.2. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 49 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Im ersten Abschnitt dieses Kapitels wird, neben der numerischen Validierung der einzelnen FSI-Teilpartitionen der Fluid- und Strukturlöser, eine umfangreiche experimentelle und numerische Voruntersuchung zur Ermittlung der dissipativen Eigenschaften newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten in einem Fluidoszillator durchgeführt. Der Fluidoszillator stellt in seinem wesentlichen Aufbau und seiner Funktionsweise einen Prototyp des OffshoreDämpfungselements1 unter Wellenbelastung dar. Dieser besteht - wie in Abbildung 4.1 zu sehen - aus zwei koaxial ineinander stehenden Hohlzylindern. Die Kammer zwischen den beiden zylindrischen Wänden wird für die Untersuchungszwecke mit verschiedenen Flüssigkeiten unterschiedlicher Viskosität gefüllt. Die Strömung der Flüssigkeit im Kammerinneren wird durch eine oszillierende Bewegung der äußeren starren Zylinderwand vorgeschrieben. Dadurch lässt sich ein auf das Dämpfungselement einwirkender Wellengang simulieren, der die Flüssigkeit im Inneren in Schwingung versetzt, um so die am Fluidoszillator hervorgerufenen inneren Reibungs- und Druckkräfte zu ermitteln. 4.1. Experimentelle Untersuchung von dissipativen Eigenschaften hochviskoser Flüssigkeiten Die Abbildung 4.1 zeigt den prinzipiellen Aufbau des F luidoszillator in einer vertikalen und horizontalen Ansicht. Dieser besteht im Wesentlichen aus einem beweglichen Hohlzylinder (Pos.1), der mit einer Platte (Pos.2) am oberen Ende befestigt und auf zwei Gleitschienen (Pos.3) führend gelagert ist. Einem äußeren Hohlzylindergehäuse (Pos.4), das die innere Flüssigkeiten zusammenhält und einem inneren Messzylinder (Pos.5), an dem Piezomesssensoren (Pos.6) zur Druckaufnahme appliziert sind. Die Kammer zwischen den beiden zylindrischen Wänden wird für die Untersuchungszwecke mit Flüssigkeiten unterschiedlicher Viskosität ν gefüllt. Ziel der experimentellen Untersuchungen ist die messtechnische Ermittlung des lokalen Drucks an verschiedenen Stellen zu verschiedenen Zeiten. Diese Messwerte werden am 1 Beschreibung s. Kapitel 1. 50 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung feststehenden Messzylinder erfasst. Die für das Experiment festgelegten Abmaße in Abbildung 4.1 sind der innere Radius des oszillierenden Zylinders R = 0.04 m, der Außenradius des Messzylinders r = 0.5R und die Füllhöhe der Flüssigkeiten H = 7.5R. Die Erfassung der hydrodynamischen Druckverläufe erfolgt mittels eines Piezofolien Array, welches an der Staulinie des Messzylinders platziert ist. Die Druckmessungen werden zur Validierung der numerischen Rechenergebnisse des zweiphasigen Lösers aus Kapitel 3 herangezogen. Im Folgenden werden der Versuchsstand und die Messeinrichtungen beschrieben. 2 3 5 ν ν 4 H 6 a) 1 b) r R Abbildung 4.1.: Prinzipieller Aufbau des Fluidoszillators in vertikaler a) und horizontaler b) Schnittansicht. 4.1.1. Versuchsstand Der Versuchsstand des F luidoszillators ist in der Abbildung 4.2 dargestellt. Die Funktionskomponenten der Anlage aus Abbildung 4.2 sind in der Tabelle 4.1 eingetragen. Im Folgenden wird die Funktionsweise des Versuchsstands erläutert. Der F luidoszillator wird von einem 0.55 kW starken Elektromotor (Pos.1) angetrieben, der von einem Frequenzumrichter (Pos.2) mit einer Frequenz f = 1 Hz angesteuert wird. Eine sinusförmige Bewegung des an der oberen Platte befestigten mittleren Zylinders (Pos.5) lässt sich über eine an der Motorabtriebswelle befestigten Exzenterscheibe (Pos.3) mit einer drehbar gelagerten Pleuelstange (Pos.4) generieren. Die Versuche werden mit vier unterschiedlich viskosen Flüssigkeiten durchgeführt. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 51 Tabelle 4.1.: Funktionskomponenten 8 5 4 3 7 6 1 2 Position Bauteileinheit Pos.1 Pos.2 Pos.3 Pos.4 Pos.5 Pos.6 Pos.7 Pos.8 Elektromotor Frequenzumrichter Exzenterscheibe Pleuelstange Fluidoszillator Ultraschallsensor Messeinrichtung Messrechner Abbildung 4.2.: Versuchsaufbau. Die Bewegungsfunktion des F luidoszillators wird entsprechend einer Sinusfunktion x̂(t) = a · sin(ωt) (4.1) vorgeschrieben. Diese wird mit einer Amplitude a = 0.01 m und einer Kreisfrequenz ω = 2πf festgelegt. Somit kann in Zusammenhang mit der kinematischen Viskosität ν der Testflüssigkeiten und den geometrischen Gegebenheiten L = R − r die Strömungsform im F luidoszillator über die Reynoldszahl Re = ˙ ·L x̂(t) ν (4.2) abgeschätzt werden. In der Tabelle 4.2 sind die maximalen Reynoldszahlen für niedrig- und hochviskose Flüssigkeiten verzeichnet. Unter diesen Bedingungen bleibt die Strömung immer laminar. Tabelle 4.2.: Reynoldszahlen für niedrig- und hochviskoser Flüssigkeiten. Viskosität ν [mm2 /s] max. Geschwindigkeit x̂˙ max [m/s] Reynoldszahl Re [-] 1 2π/10−2 1260 102 2π/10−2 12.6 103 2π/10−2 1.26 104 2π/10−2 0.126 Das erste Experiment wird zur Referenzerfassung und Sensorkalibrierung mit einer Viskosität2 ν = 1 mm2 /s durchgeführt. Die drei weiteren Experimente werden mit Silikonölen 2 Wasser bei Raumtemperatur von 20◦ C. 52 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung (vgl. Tab. 4.2) durchgeführt, dessen Viskositäten deutlich höher liegen. Die Flüssigkeiten werden in die Kammer zwischen dem Messzylinder und dem Oszillationszylinder gefüllt. Die Füllhöhe H (vgl. Abb. 4.1) beträgt für alle Versuche 0.3 m. Zur Prüfung der Bewegungsfunktion wird ein SONY JOKER Präzisions-Ultraschallmesssystem der Fa. Format Messtechnik GmbH verwendet. Das Messgerät ermittelt nach dem Puls-Echoverfahren Abstände zu schallreflektierenden Objekten. Die Abstandsmessung erfolgt an einer Aluminiumplatte, die an der oberen Platte des F luidoszillators befestigt ist und in einem Abstand von 0.3 m zum Ultraschallsensor (Pos.6) angebracht wird. Die messtechnische Erfassung und Auswertung der Messergebnisse wird im nachstehenden Abschnitt erläutert. 4.1.2. Messsensorik Zur Messung der hydrodynamischen Druckkräfte wird ein in Zusammenarbeit mit der Fa. Mirow Systemtechnik GmbH konzipiertes piezoelektrisches Foliensensorsystem entwickelt und zu Validierungszwecken eingesetzt. Die Piezoelementfolie besteht im Wesentlichen aus einem polarisierten teilkristallinen thermoplastischen Polyolefin-Kunststoff Polypropylen (PP). Diese Piezoelementfolie ist ein dünnschichtiger (65 μm), aktiver elektromechanischer Wandler zur Umwandlung von mechanischem Druck in elektrische Spannung. Infolge der mechanischen Belastung resultiert im Inneren der Elementarzellen eine mikroskopische Verschiebung der positiv bzw. negativ geladenen Ladungsschwerpunkte. Dadurch entsteht eine Änderung der Polarisation, die zu einer makroskopisch messbaren elektrischen Spannung an den beiden Metalloberflächen-Elektroden führt (s. Abb. 4.3). mech. Belastung Metalloberflächen Elektrode PP−Folie + + + + + + + + + + + + + + + + − − − − − − − − −− − − − − − − − aktiver Sensorbereich Abbildung 4.3.: Funktionsprinzip der Piezosensoren. Die Piezosensoren erlauben den Einsatz in einem enormen Dynamik- und Frequenzbereich, in Dickenrichtung beispielsweise von 10−8 bis 210 N/mm2 und bei Frequenzen im Bereich von 0.001 Hz bis zu mehreren GHz. Mit angepassten Miniaturverstärkern wird ein entsprechendes Multi-Sensorsystem erstellt. Damit lässt sich an gekrümmten Flächen, wie die des zylindrischen Testobjekts, eine bestens geeignete Sensormesstechnik zur Messung des hydrodynamischen Drucks an viskosen Flüssigkeiten applizieren. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 53 4.1.3. Messmethode Zur Erfassung des elektrischen Messsignals infolge hydrodynamischer Druckbelastung werden an einem V2A Zylinderrohrstück mit einem Durchmesser von 40 mm und einer Länge von 414 mm ein Piezofolien-Sensor Array mit 16 aktiven Messbereichen und integriertem Verstärkermodul appliziert (s. Abb. 4.4). Dieser ist mit insgesamt 16 Mal 10x10 mm großen Messbereichen im Abstand von je 5 mm in einer Reihe entlang der Zylinder-Staulinie positioniert. Als Signalgeber wird die im Abschnitt 4.1.2 beschriebene piezoelektrisch aufgeladene Piezofolie mit Sensorfläche 10x10 mm. Miniatur-Verstärkermodul Zylinder-Staulinie 235 mm Abbildung 4.4.: Messzylinder mit Sensorik. Polypropylen-Folie verwendet, um dynamische Druckschwankungen mit hoher zeitlicher Auflösung in einer Abtastfrequenz von 2000 Hz zu erfassen. Die Konstruktion des Sensor-Arrays besteht aus zwei 40 μm dünnen flexiblen Platinen, welche alle Kontakte von den Verstärkern zu den Messflächen herstellen. In ihrer Mitte ist die eigentliche PP Piezo-Sensorfolie eingebettet. Die Sensor-Verstärkerplatine ist an die Krümmung der Zylinderwand angepasst, die bei minimaler Konturverfälschung oberflächenbündig verklebt und gegen Flüssigkeitseintritt abgedichtet ist. Pro Messfläche ist eine getrennte Miniatur-Verstärkerstufe integriert, welche zu einem Verstärkermodul zusammengefasst und oberhalb des zu messenden Flüssigkeitsbereiches positioniert ist, so dass alle Anschlussverbindungen zur Datenerfassung nach oben hin abgedichtet herausgeführt werden können. Die Signalausgänge sind über ein Flachbandkabel aus der Versuchsanlage herausgeführt und mit einem Spannungsadaptermodul und BNCKabelsplitter mit dem Datenaufzeichnungssystem Ni- USB 6229 verbunden. Für die Stromversorgung wird ein Adaptermodul mit +/-5 V , GND, 50 mA verwendet, welches direkt aus der + 5 V Versorgung der Datenerfassungskarte gespeist werden kann. Diese wird entsprechend auf gleiche Weise wie die Flachbandkabelung zugeführt. Die maximale Aufdickung des Zylinderrohres beträgt dabei ca. 0.15 mm im Bereich der Sensorflächen, sowie max. 2.5 mm am Verstärkermodul. Das gesamte Sensormodul ist mit einer 25 μm Kapton-Klebeschicht, die Übergänge und Anschlussstellen zusätzlich durch Silikonmasse, abgedichtet. Die gemessenen Spannungsschwankungssignale werden als ASCII-Datensätze gespeichert und einer quasistatischen Korrekturrechnung zur grafischen Darstellung der zeitlichen Druckkraftverläufe sowie der Kurzzeit-RMS-Werte unterzogen. Zum Entwurf der Sensoren wurde ein entsprechendes Simulationsprogramm mit der Entwicklungsumgebung LabView 9.0 zur Erfassung und Aufbereitung von gemessenen Datensätzen entwickelt. In Abbildung 4.5 ist die oben beschriebene Messkette in einer schematischen Darstellung einmal für die Druckmessung (vom 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 1 0 RMS RMS RMS RMS RMS POWER RMS RMS RMS RMS RMS RMS RMS RMS RMS RMS RMS RMS RMS RMS 1 0 POWER RMS RMS Datenerfassungskarte RMS Spannungsversorger RMS Verstaerkermodul RMS 54 Steuergeraet DIGITAL OUTPUT SERIAL I/O POWER SENSOR2 SENSOR1 Spannungsversorger Ultraschalsensor Fluidoszilator OUTPUT + POWER 1 0 Piezofolien Sensor−Array − Messrechner Abbildung 4.5.: Schematische Darstellung des Messstandes. Messzylinder bis hin zum Messrechner) und einmal für die Messung der Oszillationsbewegung (vom Ultraschallsensor bis zum Messrechner) dargestellt. 4.1.4. Messergebnisse Die Wegmessung wird für alle Versuche mittels eines Präzisions-Ultraschallmessgerät parallel zur Druckmessung durchgeführt. Damit wird die Genauigkeit der Wiedergabe des Eingangssignals überprüft. In Abbildung 4.6 ist eine exemplarisch erfasste oszillierende Bewegung des mittleren Zylinders dargestellt. Die Bewegung kommt einer exakten Sinusfunktion sehr nahe Position in [10−3m] und wird in der Amplitudenwertigkeit und Frequenz korrekt wiedergegeben. Die Druckwer15 Experiment Sinusfunktion 10 5 0 -5 -10 -15 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 Abbildung 4.6.: Wegmessung mit Ultraschall. terfassung am Messzylinder erfolgt an einem lokalen Messbereich der Piezofolie. Dieser ist mittig zur Füllhöhe bei H/2 (vgl. Abb.4.1) positioniert. Damit werden Messsignalstörungen, 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 55 die infolge von Spaltströmung am unteren Ende sowie durch Schwappen der freien Oberfläche am oberen Ende des Messzylinders entstehen, vermieden. In Abbildung 4.7 ist der −δx +δx a) b) c) Abbildung 4.7.: Kinematischer Bewegungsablauf des Fluidoszillators. a) Anfangsposition, b) äußerer Zylinder in der maximalen Auslenkung der Vorwärtsbewegung und c) äußerer Zylinder in der maximalen Auslenkung der Rückwärtsbewegung. kinematische Bewegungsablauf des F luidoszillators anhand einer Querschnittsansicht dargestellt. Darin stellt die Abbildung 4.7 a) die Null-Position, die der oszillierende Zylinder zu den Zeitpunkten 0, 0.5 und 1 s in einer Periode durchläuft, dar. Die Abbildungen 4.7 b) und c) stellen die maximale und minimale ±δx = ±0.01m Auslenkungspositionen zu den Zeiten 0.25 s und 0.75 s dar (vgl. zu Abb. 4.6). Die Bewegungsfunktion des oszillierenden Zylinders zusammen mit den Messergebnissen des Druckverlaufs für die unterschiedlich viskosen Flüssigkeiten sind in den Abbildungen 4.8 bis 4.11 veranschaulicht. In allen Bilddiagrammen sind die Druckverläufe links und die Bewegungsfunktionen rechts skaliert. Beide Verläufe sind in drei Abschnitte einer Periode unterteilt. Der erste Abschnitt repräsentiert die Vorwärtsbewegung aus der Null-Position bis zur maximalen Auslenkung +δx. Die Bewegung des zweiten Abschnitts repräsentiert eine Rückwärtsbewegung, die aus der Position der maximalen Auslenkung über die Null-Position bis hin zur minimalen Auslenkung −δx durchlaufen wird. Der dritte Abschnitt stellt eine Vorwärtsbewegung von −δx bis zur Null-Position dar. Das Meßergebnis für die Flüssigkeit mit der Viskosität ν = 1 mm2 /s (vgl. Abb. 4.8) zeigt im ersten Abschnitt einen Druckabfall. Dies ist damit zu begründen, dass infolge des kleiner werdenden Spaltquerschnitts zwischen dem äußeren und inneren Zylinder die Strömung im Messbereich beschleunigt wird. Das Druckminimum wird dabei am Ende des ersten Bewegungsabschnitts bei der maximalen Auslenkung erreicht. Der minimale Druckwert an dieser Position, bezogen auf die Referenz von 0 P a, beträgt ca. -29 P a. Ab diesen Zeitpunkt steigt der Druckverlauf wieder an, so dass von hier aus die zweite Bewegungsphase (Rückwärtsbewegung) des oszillierenden Zylinders beginnt. In der Rückwärtsbewegung weitet sich der Spaltquerschnitt auf, die Strömung in diesen Bereich wird dadurch verlangsamt, so dass daraus ein Anstieg des Druckverlaufs resultiert. Im Bereich zwischen der Null-Position bei 0.5 s und der minimalen Auslenkung bei 0.75 s fällt der Druckverlauf leicht ab. Dieser leichte Druckabfall, resultiert aufgrund einer Wirbelströmung, wie später im Abschnitt 4.2.2 zu sehen, im Bereich der Druckmessstelle, welche sich infolge der Rückwärtsbewegung des äußeren 56 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 60 1 2 3 20 0.01 0 0 -20 Position in [m] Druck in [P a] 40 Druckverlauf Sinusbewegung -0.01 -40 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 Abbildung 4.8.: Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für ν = 1 mm2 /s (Wasser). Zylinders ergibt. Im dritten Bewegungsabschnitt, ab dem Zeitpunkt von 0.75 s, kommt es zu einer Reorientierung des äußeren Zylinders in der Oszillationsbewegung und damit zu einer Verlangsamung in der Strömung. Dadurch steigt der Druckverlauf an, bis der maximale Druckwert von ungefähr 24 P a bei ca. 0.85 s erfasst wird. Die Messergebnisse für die 60 1 2 Druckverlauf Sinusbewegung 3 20 0.01 0 0 -20 Position in [m] Druck in [P a] 40 -0.01 -40 -60 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 Abbildung 4.9.: Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für ν = 102 mm2 /s (Silikonöl). Flüssigkeit mit der Viskosität ν = 102 mm2 /s in Abbildung 4.9 weisen im Hinblick auf die zeitliche Entwicklung der Druckverläufe charakteristisch ähnliche Merkmale auf wie die aus Abbildung 4.8. Der Unterschied zu der höherviskosen Flüssigkeit äußert sich in der Druckwertigkeit. Der minimale Druckwert im ersten Bewegungsabschnitt liegt in diesem Fall bei 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 57 ca. -45 P a und ist damit leicht niedriger als bei der niedrigviskosen Flüssigkeit von ν = 1 mm2 /s. Der maximale Druckwert befindet sich ebenfalls wie im niedrigviskosen Fall am Ende des dritten Bewegungsabschnitts, ist jedoch leicht größer und beträgt ca. 26 P a. Betrachtet man die gesamte Druckamplitude vom Maximum bis zum Minimum der beiden Flüssigkeiten mit pν1 = 53 P a und pν102 = 70 P a, so deutet sich eine Tendenz an, bei der der Druck mit höher werdender Viskosität der Flüssigkeit und einem gleichbleibenden Bewegungsablauf ansteigt. Dieser Sachverhalt bestätigt sich bei der Betrachtung der Messergebnisse in Bilddiagramm 4.10 und 4.11. Die Druckwerte mit zunehmender Viskosität werden deutlich höher. Die maximalen und minimalen Druckwerte sowie die gesamten Druckamplituden mit 300 Druckverlauf Sinusbewegung Druck in [P a] 2 3 100 0.01 0 0 -0.01 -100 -200 Position in [m] 1 200 0 0.5 1.5 1 2 Zeit in [s] Abbildung 4.10.: Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für ν = 103 mm2 /s (Silikonöl). den dazu gehörigen Viskositäten sind in der Tabelle 4.3 verzeichnet. Tabelle 4.3.: Ergebnisse aus der Druckwertmessung. Viskosität ν [mm2 /s] max. Druckwert pmin [P a] min. Druckwert pmin [P a] ges. Amplitude pν [P a] 1 24 −29 53 102 26 −45 70 103 154 −137 291 104 1507 −1485 2992 In Abbildung 4.12 sind die Druckwertamplituden über Viskosität der einzelnen Flüssigkeiten in einem logarithmischen Diagramm dargestellt. Dieses veranschaulicht den Druckanstieg mit höher werdender Viskosität bei gleichbleibendem Bewegungsablauf. Die Messergebnisse werden im folgenden Abschnitt zur Validierung mit numerischen CFD-Modellen auf der Berechnungsbasis des im Kapitel 3.4 beschriebenen CFD-Lösers herangezogen. 58 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 3000 1 2 3 0.01 1000 0 0 -0.01 -1000 -2000 0 Position in [m] Druck in [P a] 2000 Druckverlauf Sinusbewegung 0.5 1 1.5 2 Zeit in [s] Abbildung 4.11.: Druckmessung an der Zylinder-Staulinie für ν = 104 mm2 /s (Silikonöl). Druckamplitude in [P a] 10 4 Experiment 10 3 10 2 10 1 0 10 10 1 10 2 10 3 2 Viskosität in [mm /s] 10 4 Abbildung 4.12.: Experimentelle Druckwerte im Vergleich. 4.2. Numerisches Modell Die Untersuchung der dissipative Eigenschaften unterschiedlich viskoser, newtonscher und nichtnewtonscher Fluid-Parametersätze erfolgt anhand eines dreidimensionalen numerischen F luidoszillator-Modells. Die numerischen Berechnungen werden mittels dem in Kapitel 3.4 beschriebenen zweiphasigen Strömungslöser durchgeführt. Dadurch lassen sich die Ergebnisse aus der experimentellen Untersuchung im F luidoszillator validieren, wobei zur Konvergenzprüfung des numerischen Modells eine Gitterunabhängigkeitsstudie mit jeweils drei 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 59 systematisch verfeinerten Gittern herangezogen wird. 4.2.1. Modellbeschreibung In Abbildung 4.13 sind zwei Ansichten des CFD-Simulationsmodells dargestellt. Die geometrischen Abmaße des Modells basieren dabei ebenfalls auf der Konstruktion des experimentellen Aufbaus. Das Modell berücksichtigt alleine nur das Strömungsgebiet und die Abgrenzungen durch starre und translatorisch bewegte Wände. Demnach resultieren keine Deformationen infolge der gegenseitigen Wechselwirkung zwischen der oszillierenden Flüssigkeit und den zylindrischen Wänden. Die Randbedingungen zum Simulationsmodell (vgl. dazu Abb. 4.13) sind in der Tabelle 6.1 zusammengefasst. Die Randbedingung am Oszillationszylinder Γ2 wird durch die Gitterbewegung v̂(t) vorgeschrieben. Die Gitterbewegung ist mit v̂(t) = aω · cos(ωt) (4.3) definiert. Die Bewegungsamplitude a wird entsprechend dem Experiment auf 0.01 m und die Kreisfrequenz ω = 2π/s gesetzt. Für den dreidimensionalen Fall wird ein Flüssigkeitsstand von H = 0.3 m initialisiert. Für die Untersuchung der Dämpfungseigenschaften hochviskoser Γ3 v̂ = aω · sin(ωt) νg Γ2 νf Γ1 y Γ2 Γ1 x H d D z Γ4 Abbildung 4.13.: Modell des Fluidoszillators mit Rand- und Anfangsbedingungen. Flüssigkeiten werden zwei Berechnungsreihen durchgeführt. In der ersten Berechnungsreihe werden nur newtonsche Flüssigkeiten analysiert. In diesen Simulationen ist die kinematische Viskosität ν die einzige Stoffeigenschaft, die verändert wird. Die zweite Reihe umfasst die Berechnung von nichtnewtonscher Flüssigkeiten. Bei den nichtnewtonschen handelt es sich um scherentzähende Flüssigkeiten. Für deren Simulation wird das vierparametriges CrossModell (Gl. 2.54) verwendet. Im Rahmen der numerischen Studie wird die Viskosität der Flüssigkeit in Größenordnungen von ν = 10−6 m2 /s bis ν = 10−2 m2 /s verändert. Für den 60 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Tabelle 4.4.: Randbedingungen am dreidimensionalen CFD-Modell des Fluidoszillators. Rand α v in m/s v̂ in m/s p in N/m2 Γ1 ∂α ∂n =0 v=0 v̂ = 0 ∂p ∂n =0 Γ2 ∂α ∂n =0 vm v̂ = aω · cos(ωt) ∂p ∂n =0 Γ3 α=0 ∂v ∂n Γ4 ∂α ∂n v=0 =0 =0 v̂n = ∂ v̂t ∂n =0 p=0 ∂p ∂n v̂ = 0 =0 nichtnewtonschen Fall entspricht dies der kinematischen Nullviskosität ν0 . Untersucht werden neben den variierenden Nullviskositäten zwei weitere Cross-Modell-Parameter. Diese sind der Zeitparameter K und der Fließindex n. Die Wahl der Parameter und deren Auswirkung auf die Beziehung zwischen Schergeschwindigkeit und Viskosität werden in den Abbildungen 4.14(a) und 4.14(b) dargestellt. Die entsprechenden Materialparameter sind in den Tabelle 4.5 zusammengefasst. Tabelle 4.5.: Parametersätze der scherentzähenden Flüssigkeiten A und B. Partition Nullviskosität Grenzviskosität Zeitparameter Fließindex Fließindex Parametersatz A Parametersatz B ν0 [m2 /s] ν∞ [m2 /s] K [s] n [-] n [-] Fluid 1 10−2 10−8 0.05 2 3 Fluid 2 10−3 10−8 0.05 2 3 Fluid 3 10−4 10−8 0.05 2 3 Fluid 4 10−5 10−8 0.05 2 3 Die Parameter wurden so gewählt, dass das nichtlineare Materialverhalten der nichtnewtonschen Flüssigkeit durch kleine Scherratenänderungen deutlich zum Vorschein kommt. Anhand des scherentzähenden Effekts kann schließlich die Druckkraftübertragung an scherverdünnten Flüssigkeiten im F luidoszillator analysiert werden. Um eine konvergente und gitterunabhängige numerische Lösung zu erhalten, werden drei systematisch verfeinerte strukturierte Gitter erzeugt und berechnet. In der Tabelle 4.6 sind diese mit entsprechenden Feinheitsstufen in grob, mittel und fein verzeichnet. Die örtliche Auflösung erfolgt in der Reihenfolge Radius x Umfang x Länge. Tabelle 4.6.: Berechnungsgitter mit Zellenanzahl n. n Grobes Gitter Mittleres Gitter Feines Gitter 5x40x50 10x80x100 20x160x200 In Abbildung 4.15 a) ist eine exemplarische Darstellung des mittelfeinen Gitters in der NullPosition zum Zeitpunkt 0 s veranschaulicht. Die Abbildungen 4.15 b) und c) zeigen das Gitter 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 61 −1 10 ν0 ν0 ν0 ν0 −2 10 ν(γ̇) in [m2/s] −3 10 = 10−2 = 10−3 = 10−4 = 10−5 m2/s m2/s m22/s m /s −4 10 −5 10 −6 10 10−7 −8 10 10−9 −1 10 10 0 10 1 10 2 10 3 γ̇ in [1/s] 10 4 10 5 10 6 (a) Parametersatz A: n = 2 −1 10 ν0 ν0 ν0 ν0 −2 ν(γ̇) in [m2/s] 10 10−3 = 10−2 = 10−3 = 10−4 = 10−5 m2/s m2/s m2/s m2/s −4 10 −5 10 −6 10 10−7 10−8 10−9 −1 10 10 0 10 1 10 2 10 3 γ̇ in [1/s] 10 4 10 5 10 6 (b) Parametersatz B: n = 3 Abbildung 4.14.: Parametersätze strukturviskoser Flüssigkeiten nach Tabelle 4.5. Die Grenzviskosität wird mit ν∞ = 10−8 m2 /s und der Zeitparameter K = 0.05 s gesetzt. Die Verläufe unterscheiden sich nur durch den Fließindex n (vgl. Gleichung 2.54). Der Parametersatz B zeigt ein intensiveres strukturviskoses Verhalten. in Vor- und Rückwärtsbewegung zu den Zeitpunkten 0.25 s und 0.75 s. Die Zeitschrittweite δt wird von einer globalen Courant-Zahl von Co < 0.2 gesteuert und rangiert während der Simulation am feinen Gitter zwischen 10−4 s bis 10−3 s. Alle Berechnungen werden auf einem 2.67 GHz Intel(R) Core(TM) i5 Rechner durchgeführt. 4.2.2. Simulationsergebnisse und Validierung Zur Auswertung der numerischen Simulationsergebnisse werden hydrodynamische Druckverläufe gegenüber den experimentellen Messwerten herangezogen. Die Auswertung des Druckverlaufs erfolgt ebenfalls, wie im experimentellen Versuch, bei H/2. In den Abbildungen 4.16 62 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung a) t = 0 s b) t = 0.25 s c) t = 0.75 s Abbildung 4.15.: Gitterbewegung des numerischen F luidoszillator-Modells. Zeitlicher Bewegungsablauf in drei Konfigurationen zu den Zeitpunkten 0 s, 0.25 s und 0.75 s. bis 4.19 sind die ausgewerteten numerischen gegenüber den experimentellen Ergebnissen in einem Druck-Zeitverlauf dargestellt. Die numerischen Berechnungen zeigen eine gute Übereinstimmung mit den experimentell ermittelten Verläufen. Diese korrelieren im Vergleich zu den experimentellen Ergebnissen für alle drei Gitter (s. Tab. 4.6) in der Wertigkeit, Form und Phasenfrequenz. Die Verläufe unterscheiden sich nur geringfügig in der Form. Eine Abweichung bzw. Versetzung der Verläufe in Richtung der Druckachse stellt sich im ungefähren Zeitintervall von 0.4 s bis 0.8 s ein. Der Grund hierfür könnten geringfügige systematische Fehler des Sensorkonzepts sein. In diesem Zeitintervall befinden sich der äußere Zylinder in der vollen Rückwärtsbewegung, so dass die Piezodrucksensoren durch das Strömungsfeld nicht mehr auf Druck sondern auf Zug belastet werden. Dieser Sachverhalt kann im Weiteren durch eine verbesserte Messmethode des Piezodrucksensorkonzepts sowie einen verbesserten Experimentellenaufbau genauer analysiert werden. Die numerische Lösung für die systematisch verfeinerten Gitter3 zeigt, dass eine gitterunabhängige und konvergente Lösung bereits am mittelfeinen Gitter erzeugt wird. Um eine konvergente Lösung für steigende Viskositäten zu gewährleisten, müssen die PISOKorrekturen4 erhöht werden. Die Erhöhung der PISO-Korrekturen ist für die Berechnung essentiell - werden diese nicht erhöht, so treten während der Berechnung unphysikalische Druckverläufe mit starken Oszillationen auf. Die Folge dieser Oszillationen im Druckfeld führt bei höher werdender Viskosität zur Divergenz. Die numerischen Ergebnisse für die maximalen und minimalen Druckwerte sowie die gesamten Druckamplituden zu den jeweiligen Viskositäten sind in der Tabelle 4.7 zusammengefasst. Die relative Abweichung zu den berechneten und gemessenen Werten werden nach Gleichung pmess − pnum Δrel = pmess 3 (4.4) Die Gitterstudie für alle drei Feinheitsstufen wird, um unnötigen Berechnungsaufwand zu vermeiden, nur für die Flüssigkeiten mit ν = 1mm2 /s und ν = 104 mm2 /s durchgeführt. Damit sollte tendenziell das Konvergenzverhalten von niedrig- bis hochviskos veranschaulicht werden. 4 In der Simulation sind diese auf den Wert 7 gesetzt. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 63 berechnet und prozentual in der Tabelle 4.8 gegenübergestellt. Tabelle 4.7.: Ergebnisse aus numerischen Druckauswertung. Viskosität ν [mm2 /s] max. Druckwerte pmax [P a] min. Druckwerte pmin [P a] 1 17 −31 48 102 23 −45.5 68.5 ges. Amplitude pν [P a] 103 123 −156 279 104 1363 −1392 2755 Tabelle 4.8.: Relative Abweichung der berechneten gegenüber gemessenen Werten. Viskosität ν [mm2 /s] max. Druckabw. Δpmax [%] min. Druckabw. Δpmin [%] Abw. ges. Ampl. Δpν [%] 1 29.1 −6.9 9.4 102 11.5 −1.1 2.2 103 20.1 −13.8 4.1 104 9.55 6.3 7.9 In den Abbildungen 4.21 bis 4.28 sind die Druck- und Geschwindigkeitsvektorfelder der zwei Berechnungsreihen visualisiert. Diese veranschaulichen sequenziell die Entwicklung des Strömungsfeldes zu vier verschiedenen Zeitpunkten von 0.25 s bis 1 s. Im Weiteren ist anhand der dargestellten Isobaren-Konturplots die Korrelation der in den Abbildungen 4.16 bis 4.19 gezeigten Druckverläufe an der Auswerteposition ersichtlich. Demnach fällt der Druck in der Vorwärtsbewegung des oszillierenden Zylinders ab (vgl. das Druckfeld zum Zeitpunkt t = 0.25 s). Dieses lässt sich durch die Beschleunigung der Strömung infolge der Querschnittsverengung begründen. In der Rückwärtsbewegung dagegen weitet sich der Spaltquerschnitt auf (vgl. das Druckfeld zum Zeitpunkt t = 0.75 s). Die Strömung in diesem Bereich wird dadurch verlangsamt, so dass daraus ein Anstieg des Druckverlaufs resultiert. Zur Betrachtung der Geschwindigkeitsvektorfelder werden die Vektorpfeile zur besseren Darstellung gleich lang dargestellt. Durch die oszillierende Bewegung des äußeren Zylinders liegt in der vertikalen Ebene eine Hauptströmung in radiale Richtung vor. Eine Sekundärströmung entwickelt sich in der horizontalen Ebene durch die Umströmung der sich periodisch veränderlichen zylinderförmigen Geometrie. Die Sekundärströmung in der horizontalen Ebene zu den Zeitpunkten 0.25 s und 0.75 s besteht aus zwei Wirbeln. Insbesondere sind die Wirbel für die Strömung mit der Re = 1260 im Vergleich zur Strömung mit niedrigeren Reynoldszahlen von Re = 12.6 bis Re = 0.126 deutlich mehr ausgebildet. In Abbildung 4.20 sind sowohl die numerischen als auch experimentellen Druckwertamplituden über die Viskosität der Flüssigkeiten in einem logarithmischen Diagramm dargestellt. Dieses veranschaulicht, dass bei gleich bleibender Bewegung des äußeren Zylinders sich der Druck mit steigender Viskosität erhöht. 64 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 40 5 x 40 x 50 10 x 80 x 100 20 x 160 x 200 Experiment 30 Druck in [P a] 20 10 0 -10 -20 -30 -40 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 Abbildung 4.16.: Numerische und experimentelle Ergebnisse an der Stelle H/2 im Vergleich für ν = 1mm2 /s. 40 5 x 40 x 50 10 x 80 x 100 Experiment Druck in [P a] 20 0 -20 -40 -60 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 Abbildung 4.17.: Numerische und experimentelle Ergebnisse an der Stelle H/2 im Vergleich für ν = 102 mm2 /s. Abschließend zu diesem Abschnitt kann gesagt werden, dass die experimentell ermittelten und numerisch berechneten Ergebnisse, trotz geringer Abweichungen, gut übereinstimmen. Die Berechnungen können demnach in Hinblick auf eine gute Übereinstimmung der Druckverläufe, bezogen auf ihre Form, Wertigkeit und Phasenfrequenz als validiert betrachtet werden. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 200 65 5 x 40 x 50 10 x 80 x 100 Experiment 150 Druck in [P a] 100 50 0 -50 -100 -150 -200 0.5 0 1 Zeit in [s] 1.5 2 Abbildung 4.18.: Numerische und experimentelle Ergebnisse an der Stelle H/2 im Vergleich für ν = 103 mm2 /s. 2000 5 x 40 x 50 10 x 80 x 100 20 x 160 x 200 Experiment 1500 Druck in [P a] 1000 500 0 -500 -1000 -1500 -2000 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 Abbildung 4.19.: Numerische und experimentelle Ergebnisse an der Stelle H/2 im Vergleich für ν = 104 mm2 /s. 66 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Druckamplitude in [P a] 10 4 Experiment Numerik 10 3 10 2 10 1 0 10 10 1 10 2 10 3 Viskosität in [mm2/s] 10 4 Abbildung 4.20.: Numerische und experimentelle Druckwerte im Vergleich. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 67 p in [Pa] 20 0 t = 0.25 s t = 0.5 s t = 0.75 s t=1s −30 Abbildung 4.21.: Berechnetes Druckfeld für ν = 1mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s. v in [ ms ] 0.15 t = 0.25 s t = 0.5 s t = 0.75 s t=1s 0 Abbildung 4.22.: Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 1mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s. p in [Pa] 25 0 t = 0.25 s t = 0.5 s t = 0.75 s t=1s −45 Abbildung 4.23.: Berechnetes Druckfeld für ν = 102 mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s. v in [ ms ] 0.15 t = 0.25 s t = 0.5 s t = 0.75 s t=1s 0 Abbildung 4.24.: Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 102 mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s. 68 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung p in [Pa] 155 0 t = 0.25 s t = 0.5 s t = 0.75 s t=1s −155 Abbildung 4.25.: Berechnetes Druckfeld für ν = 103 mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s. v in [ ms ] 0.15 t = 0.25 s t = 0.5 s t = 0.75 s t=1s 0 Abbildung 4.26.: Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 103 mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s. p in [Pa] 1400 0 t = 0.25 s t = 0.5 s t = 0.75 s t=1s −1400 Abbildung 4.27.: Berechnetes Druckfeld für ν = 104 mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s. v in [ ms ] 0.15 t = 0.25 s t = 0.5 s t = 0.75 s t=1s 0 Abbildung 4.28.: Geschwindigkeitsvektorfeld für ν = 104 mm2 /s zu den Zeitpunkten ab 0.25 s bis 1 s. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 69 4.2.3. Berechnung der Dämpfungsmaße Die Analyse der Dämpfungseigenschaften viskoser Flüssigkeiten wird in dieser Arbeit durch zwei Untersuchungsgrößen bestimmt. Sowohl die Übertragung von Druck- und Reibungskräften am Fluidoszillator, als auch die Dissipationsleistung infolge der inneren Reibung im Fluid werden für die Untersuchungen herangezogen. Definition der Kräfte Die Kraftübertragung ist im Hinblick auf die Dämpfungseigenschaften ein wesentliches charakteristisches Kriterium. Die über den gesamten Strömungsprozess wirkenden Druck- und viskosen Reibungskräfte resultieren dabei aus: Fd = p · ndA (4.5) T · ndA. (4.6) A und Fr = A Dabei kennzeichnet p den Druck und T kennzeichnet gemäß Gleichung (2.29) den Reibspannungstensor. Die gesamte resultierende Kraft ergibt sich aus der Summe der beiden Kräfte zu: F g = F d + F r. (4.7) Definition der Dissipationsleistung Die Dissipationsleistung Pirr wird durch das Volumenintegral über die Dissipationsfunktion sp(T · D) wie folgt beschrieben (s. [12]): Pirr = V sp(T · D)dV = sp(2ηD2 )dV, (4.8) V wobei 1 (4.9) D = [∇v + (∇v)T ] 2 gemäß Gleichung (2.50) den Verzerrungsgeschwindigkeitstensor kennzeichnet. Die Dissipationsfunktion gibt die durch inneren Reibung im Fluid irreversibel dissipierte Leistungsdichte (volumenbezogen) an5 . Gleichung (4.8) beschreibt die Dissipationsleistung eines inkompressiblen und isothermen Fluids. Diese Gleichung wird zur Bestimmung der gesamten Verlustleistung im Kontrollvolumen der Dämpfungsflüssigkeit verwendet. Dadurch lässt sich die mechanische Energie, die infolge der oszillierenden Bewegung des äußeren Zylinders an die 5 s. BÖHME [12] S. 105. 70 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Flüssigkeit übertragen wird, bilanzieren. Für scherent- bzw. scherverzähende Flüssigkeiten gilt der Zusammenhang gemäß der Definition in Gleichung (2.53). Damit hängt die Viskosität der obigen Gleichung (4.8) von der Scherrate γ̇ ab. Der Ausdruck für die Scherrate wird in OpenFOAM (OF) wie folgt definiert6 : γ̇ = 2spD2 = √ 2D : D. (4.10) Die Berechnung der Dissipationsleistung Pirr wird in OF zusätzlich in den zweiphasigen Strömungslöser implementiert. In Abbildung 4.29 ist ein Quellcodeabschnitt zur Berechnung von Pirr dargestellt. Die einzelnen Berechnungsschritte werden nachfolgend erläutert. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 const v o l T e n s o r F i e l d L ( f v c : : grad (U ) ) ; const v o l S c a l a r F i e l d nu = t w o P h a s e P r o p e r t i e s . nu ( ) ; volSymmTensorField D = symm (L ) ; s c a l a r en er g y =0; f o r A l l (D, i ) { ene r gy += t r (2 ∗ rho [ i ] ∗ nu [ i ] ∗ (D[ i ] & D[ i ] ) ) ∗ mesh .V ( ) [ i ] ; } d a t e i << runTime . timeName ( ) << tab << en er g y << e n d l ; Abbildung 4.29.: Quellcodeabschnitt zur Berechnung von Pirr . In Zeile 1 erfolgt die Berechnung des Geschwindigkeitsgradienten L, welcher mit dem entsprechenden Objekt volTensorField - dieser steht für die Initialisierung eines Tensorfelds definiert wird. In Zeile 3 erfolgt die Initialisierung der Viskosität für die zweiphasige Strömung. Basierend auf der Definition in Zeile 1 wird in der Zeile 5 eine Funktion zur Berechnung des Verzerrungsgeschwindigkeitstensors D erzeugt. In der Zeile 7 wird das Objekt energy mit dem Wert Null initialisiert. Von der Zeile 9 bis 12 wird eine OF spezifische for-Schleife verwendet, welche die Dissipationsleistung für die einzelnen Zellpunkte i in den zuvor initialisierten energy aufsummiert. Im Einzelnen werden die Anteile der Dissipationsleistung in jeder Zelle über die entsprechenden Zellvolumen (mesh.V()[i]) gewichtet und aufsummiert, so dass daraus die Dissipationsleistung für das gesamte Berechnungsgebiet resultiert. Anschließend wird in Zeile 14 der Wert von energy in einer Datei gespeichert. Die obige Berechnung muss schließlich in jedem Zeitschritt einmal berechnet werden. Um das zu realisieren, wird der Quellcodeabschnitt innerhalb der Zeitintegrationsschleife des Strömungslösers implementiert. 6 Diese stellt eine Definition der Scherrate für Materialmodelle in OF dar. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 71 4.2.4. Kraftübertragung durch newtonsche Flüssigkeiten In Abbildung 4.30 ist die Kraftübertragung der newtonschen Flüssigkeit an der äußeren Zylinderwand Γ2 (vgl. Abb. 4.13) zur inneren Zylinderwandung Γ1 für die verschiedenen Viskositäten aufgetragen. In diesen Bilddiagrammen sind die Verläufe der Druck- und viskosen Reibungskräfte sowie die resultierende Kräfte im Einzelnen veranschaulicht. An dieser Stelle sei angemerkt, dass im Weiteren einzig nur die Kraftkomponente in x-Richtung in Betracht gezogen wird, da die Kraftkomponenten in y- und z-Richtung im Vergleich zur Wertigkeit der x-Komponente vernachlässigbar klein sind. Um die Kräfte an den äußeren und inneren Zylinderwänden in einer Relation miteinander zu vergleichen, werden diese an der äußeren Wand durch einen Faktor von 2.0 dividiert. Dieser Faktor stellt ein Flächenverhältnis der Randflächen von Γ1 zu Γ2 dar. Für die niedrigviskose Flüssigkeit von ν = 10−5 m2 /s befindet sich der Maximalwert der resultierenden Kraft Fx,g für beide Randflächen ungefähr bei 0.25 s und 0.75 s. Die Reibungskräfte sind verschwindend gering, so dass die resultierende Kraft fast ausschließlich durch die Druckkraft dominiert wird. Die maximalen Amplituden von Fx,g an der inneren Wand sind insgesamt geringfügig niedriger im Vergleich zu der Äußeren. Dies ändert sich, sobald die Viskosität zu ν = 10−4 m2 /s erhöht wird. Mit steigender Viskosität beobachtet man einen Anstieg der resultierenden Kräfte. In der Relation betrachtet, wird es ersichtlich, dass die gesamten Kräfte im Inneren den äußeren Kräften überwiegen. Die Druckkraft Fx,d am äußeren Rand Γ2 wird niedriger als an der Randfläche von Γ1 , da der Reibungswiderstand mit zunehmender Viskosität ansteigt und durch eine Überlagerung mit dem Druckkraftanteil reduziert wird. Der Überlagerungseffekt wird noch stärker mit zunehmender Viskosität. Dieser Effekt äußert sich durch die Phasenverschiebung von Fx,r . Die Spitzen der Druckkraftverläufe flachen mit zunehmender Viskosität ab und verschieben sich allmählich mit der Zeit um t ≈ 0.5 s weiter. Die Maximalwerte von Fx,g steigen von ν = 10−4 m2 /s auf ν = 10−2 m2 /s deutlich an. Die Überlagerung der Reibungs- und Druckkräfte für die höchste Viskosität ν = 10−2 m2 /s äußert sich mit einer noch größeren resultierenden Kraft. Der Kraftanstieg mit zunehmender Viskosität korreliert demnach analog zu den experimentellen Untersuchungen. Während die Wertigkeit der Gesamtkraft zwischen den niedrigeren Viskositäten eher klein ist, ist diese von ν = 10−3 m2 /s auf ν = 10−2 m2 /s um eine Zehnerpotenz gewachsen (vgl. auch Abb. 4.34). Die Kraftübertragung durch newtonsche Flüssigkeiten stellt im Wesentlichen eine Referenzbasis zu den Untersuchungen mit scherent- und -verzähenden Flüssigkeiten unterschiedlicher Parametersätze dar. Die Ergebnisse dieser Untersuchungen werden im nachfolgenden Unterkapitel mit den hier vorliegenden Ergebnissen gegenübergestellt und diskutiert. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] 72 1.5 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 1 0.5 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -0.5 -1 0 0.5 1 Zeit in [s] 2 1.5 Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] (a) ν = 10−5 m2 /s 1.5 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 1 0.5 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -0.5 -1 0 0.5 2 1.5 1 Zeit in [s] Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] (b) ν = 10−4 m2 /s 6 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 4 2 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -2 -4 0.5 0 1 Zeit in [s] 2 1.5 Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] (c) ν = 10−3 m2 /s 60 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 40 20 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -20 -40 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 (d) ν = 10−2 m2 /s Abbildung 4.30.: Kraftverläufe an Γ1 und Γ2 für unterschiedliche newtonsche Flüssigkeiten. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 73 4.2.5. Kraftübertragung durch nichtnewtonsche Flüssigkeiten Im Bild 4.31 wird der Bereich der Scherentzähnung für die Berechnungsreihen A und B (vgl. Tab. 4.5) betrachtet. Der gesamte Viskositätsbereich, der durch die zwei unterschiedlichen Berechnungsreihen abgedeckt wird, ist in der logarithmischen Darstellung aufgetragen. Im Gegensatz zu den newtonschen Berechnungen erfolgt bei den nichtnewtonschen scherentzähenden Flüssigkeiten eine lokale Verringerung um gut 2 Zehnerpotenzen der Viskosität 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 Scherentzähung 10−5 10−4 10−3 10−2 Nullviskosität ν0 Viskosität ν(γ̇) in [m2 /s] Viskosität ν(γ̇) in [m2 /s] infolge der Abhängigkeit vom Geschwindigkeitsgradienten. 10−1 10−2 10−3 10−4 10−5 10−6 10−7 10−8 (a) Set A Scherentzähung 10−5 10−4 10−3 10−2 Nullviskosität ν0 (b) Set B Abbildung 4.31.: Bereiche der Scherentzähung während der numerischen Simulation. Wie erwartet, ist der Bereich der Scherentzähung für die Berechnungsreihe B größer abgedeckt als für A. Der Unterschied beträgt etwa eine Dekade der Nullviskosität. Betrachtet man die Abbildung 4.32, so ist ersichtlich, dass die niedrigeren Viskositäten unmittelbar an der Randfläche des inneren Zylinders (Γ1 ) auftreten. ν in [m2 /s] 10−3 10−4 10−5 Parametersatz A Parametersatz B Abbildung 4.32.: Bereiche der Scherentzähung während der numerischen Simulation. Das ist auch die Stelle, an der sich der maximale Geschwindigkeitsgradient befindet. Die Geschwindigkeitsfelder und folglich die Größe der Verzerrungsgeschwindigkeiten (vgl. auch 74 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung die Abb. 4.33) in den beiden Fällen sind in etwa gleich, obwohl sich die Fluide in ihren Eigenschaften deutlich unterscheiden. Die Änderung der Viskosität, wie in der Abbildung 4.32 dargestellt, ist für den Zwischenraum einer Dekade nur durch eine optische Vergrößerung in der unmittelbaren Nähe von Γ1 sichtbar. Vergleich zwischen den Cross-Modellen (A und B) mit newtonscher Flüssigkeit Trotz der ungefähr gleichen Geschwindigkeitsfelder bei steigender Viskosität in beiden Berechnungsfällen, unterscheiden sich die Kräfteverläufe an den Randflächen voneinander. Die Bilddiagramme 4.35 und 4.36 zeigen die Kraftverläufe an den Randflächen von Γ1 und Γ2 für unterschiedliche Parametersätze des Cross-Modells. Wie schon bei der Auswertung im oberen Unterabschnitt werden auch hier die Kraftverläufe am Γ2 in der Relation der beiden Randflächenverhältnisse betrachtet. Der Unterschied zwischen den beiden Berechnungsreihen lässt sich anhand der größeren Reibungskräfte des Parametersatzes B gegenüber dem Parametersatz A (vgl. Abb. 4.35 und 4.36) feststellen. Unabhängig davon, dass die Viskosität geringer ist, steigen die Kräfte des Parametersatzes B an. Die einzige Erklärung hierzu liegt in der Betrachtung unterschiedlicher Verzerrungsgeschwindigkeiten D. In Abbildung 4.33 sind exemplarisch zwei Berechnungen der Verzerrungsgeschwindigkeit für die Nullviskosität ν = 10−3 m2 /s veranschaulicht. |D| in [1/s] 70 35 0 Parametersatz A Parametersatz B Abbildung 4.33.: Bereiche der Scherentzähung während der numerischen Simulation. Betrachtet man dazu die Gleichung (4.6) bzw. (2.29), so wird deutlich, dass der Reibspannungstensor T grundsätzlich mit steigender Verzerrungsgeschwindigkeit D größer wird. Daraus resultiert ein Anstieg der Reibungskräfte wie in den Abbildungen 4.35 und 4.36 zu sehen ist. Die Kraftverläufe newtonscher im Vergleich zu scherentzähenden Flüssigkeiten unterscheiden sich wie folgt: Für die niedrigste Viskosität von ν0 = 10−5 m2 /s gibt es keine 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 75 signifikante Abweichung zur newtonschen Flüssigkeit. Bei steigender Nullviskosität jedoch wird der Einfluss der Reibungskräfte deutlich sichtbar. An den Randflächen Γ1 steigt die Gesamtkraft aufgrund der höher werdenden Reibungskräfte an. Im Gegensatz dazu sinkt Fx,g an den Randflächen der äußeren Zylinderwand Γ2 ab. Der Druckkraftanteil Fx,d , der bei den newtonschen Flüssigkeiten überwiegt, verliert demnach an Relevanz, wenn dazu die Gesamtkraft in Betracht gezogen wird, die aus den scherentzähenden Fluiden aufgrund des höheren Reibungskraftanteils resultiert. Die Form der Druckkraftverläufe unterscheidet sich zu den newtonschen Flüssigkeiten bei höheren Nullviskositäten. Diese flachen ab und ähneln je nach Belastungsrichtung einem Rechteck. Der oben beschriebene Überlagerungseffekt tritt erneut infolge der Phasenverschiebung von Fx,r auf. Die Phasenverschiebung resultiert dabei aus dem zunehmenden Reibungswiderstand. Insgesamt führt dies bei steigender Viskosität zu einem viel kleineren Maximalwert von Fx,g am Γ2 und einem etwas höheren Gesamtkraftniveau am Γ1 im Vergleich zu den newtonschen Berechnungen. Die Maximalwerte aus der oben beschriebenen Entwicklung der Kraftübertragung sind in einem logarithmischen Bilddiagramm 4.34 zusammengestellt. Für eine newtonsche Flüssigkeit mit einer Nullviskosität von ν0 = 10−2 m2 /s ist die resultierende Kraft an der inneren Randfläche Γ1 in etwa doppelt so groß wie die an der äußeren7 . Für die nichtnewtonschen Flüssigkeiten beider Parametersätze A und B gleicher Nullviskosität resultiert sogar eine achtmal so große Gesamtkraft an der inneren Randfläche Γ1 als die an der äußeren von Γ2 . 102 Fx,g an Γ1 Fx,g an Γ2 101 Fx,g in [N ] Fx,g in [N ] 101 100 10−1 102 Fx,g an Γ1 Fx,g an Γ2 10−5 10−4 10−2 10−3 Viskosität in [m2/s] 100 10−1 Fx,g an Γ1 Fx,g an Γ2 101 Fx,g in [N ] 102 10−5 10−4 10−2 10−3 Viskosität in [m2/s] 100 10−1 10−5 10−4 10−2 10−3 Viskosität in [m2/s] Abbildung 4.34.: Maximalwerte von Fg aufgetragen über die Viskosität der newtonschen und nichtnewtonschen Flüssigkeiten. 7 Der äußere Rand Γ2 wird weiterhin mit einem Flächenverhältniss von 2.0 skaliert. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] 76 1.5 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 1 0.5 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -0.5 -1 0 0.5 1 Zeit in [s] 2 1.5 Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] (a) ν0 = 10−5 1.5 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 1 0.5 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -0.5 -1 0 0.5 1 Zeit in [s] 2 1.5 Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] (b) ν0 = 10−4 6 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 4 2 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -2 -4 0.5 0 1 Zeit in [s] 2 1.5 Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] (c) ν0 = 10−3 60 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 40 20 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -20 -40 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 (d) ν0 = 10−2 Abbildung 4.35.: Kraftverläufe an den Randflächen Γ1 u. Γ2 für unterschiedliche Nullviskositäten der scherentzähenden Flüssigkeiten der Berechnungsreihe A. Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 1.5 77 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 1 0.5 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -0.5 -1 0 0.5 1 Zeit in [s] 2 1.5 Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] (a) ν0 = 10−5 1.5 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 1 0.5 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -0.5 -1 0 0.5 1 Zeit in [s] 2 1.5 Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] (b) ν0 = 10−4 6 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 4 2 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -2 -4 0.5 0 1 Zeit in [s] 2 1.5 Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] (c) ν0 = 10−3 60 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 40 20 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -20 -40 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 (d) ν0 = 10−2 Abbildung 4.36.: Kraftverläufe an den Randflächen Γ1 u. Γ2 für unterschiedliche Nullviskositäten der scherentzähenden Flüssigkeiten der Berechnungsreihe B. 78 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 4.2.6. Betrachtung der Dissipationsenergie Die im Abschnitt 4.2.3 eingeführte Dissipationsleistung Pirr wird als ein weiteres Dämpfungsmaß für die Analyse von Dämpfungseigenschaften viskoser Fluide betrachtet. Die Berechnung von Pirr erfolgt dabei gemäß dem Programmcode in Abbildung 4.29. Die Ergebnisse der berechneten Dissipationsleistung über die Zeit sind in der Abbildung 4.37 veranschaulicht. Die Berechnungsergebnisse zeigen, dass eine Absenkung der Viskosität gleichermaßen zu einer Verringerung von Pirr führt. Das kann nur dann vorausgesetzt werden, wenn sich die Verzerrungsgeschwindigkeit D für jede Berechnungsreihe insgesamt nur geringfügig ändert. Für die nichtnewtonsche Flüssigkeiten befindet sich Pirr im Vergleich zu den newtonschen Flüssigkeiten auf einem niedrigeren Niveau, da sich die Viskosität lokal aufgrund der Scherverdünnung verkleinert. Die Maximalwerte des Pirr im Vergleich zwischen den Parametersätzen A zu B sind mit einem Faktor von ungefähr 1.12 eindeutig geringfügig im Gegensatz zur Dissipationsleistung der newtonschen Flüssigkeiten. Hierfür liegt der Faktor bei ungefähr 2.5. Das hängt mit der Scherentzähung zusammen, denn je scherentzähender die Flüssigkeit ist, desto geringer ist das Niveau von Pirr . 4.2.7. Erhöhung der Scherentzähung und unregelmäßige Strömung Im oberen Unterkapitel wurden verschiedene Parametersätze des Cross-Modells, darunter die Nullviskosität ν0 und der Fließindex von n = 2 und n = 3, untersucht. Hierbei stellte sich heraus, dass der Fließindex im Wesentlichen keine signifikanten Änderungen auf die Dissipationsleistung und resultierenden Kräfte ergab. Offenbar ist die Scherrate im F luidoszillator nicht ausreichend hoch, um niedrigere Viskositäten zu erreichen. Daher wird ein weiterer Parameter des Cross-Modells, dieser ist der Zeitparameter8 K, in eine Untersuchung mit einer festgelegten Nullviskosität von ν0 = 10−5 m2 /s in einen neuen Parametersatz C systematisch variiert. Damit soll der Einfluss von K auf Pirr analysiert werden. Die nachfolgende Abbildung 4.38 zeigt das scherentzähende Verhalten der Flüssigkeiten für verschiedene Zeitparameter K. Mit einer systematischen Erhöhung von K soll dementsprechend eine frühe Scherentzähung bei niedrigeren Scherraten bewirkt werden. Dadurch wird eine höhere Scherentzähung der Flüssigkeit gewährleistet. In der Abbildung 4.39 sind die Ergebnisse aus der Berechnung des Parametersatzes C gegenübergestellt. Anhand des Dissipationsverlaufs lässt sich eine unregelmäßige bzw. instabile Strömung zwischen K = 0.1 s und K = 0.2 s. feststellen. Das gesamte Strömungsfeld schwankt, was zu einer unausgewogenen und asymmetrischen Viskositätsverteilung führt. Das Problem dieser unregelmäßigen Strömung tritt nicht zu Beginn einer Berechnung auf, sondern im zeitlich fortgeschrittenen Simulationsverlauf. Während K = 0.1 s den bereits bekannten periodischen Dissipationsverlauf darstellt, zeigt 8 Mit dem Zeitparameter lässt sich der Beginn der Scherentzähung variieren. 79 Pirr in [W ] 1 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 10 2 10 1 10 0 ν ν ν ν = 10−2m2/s = 10−3m2/s = 10−4m2/s = 10−5m2/s -1 10 -2 10 -3 10 -4 10 -5 10 0 0.5 1 1.5 2 Zeit in [s] Pirr in [W ] (a) Newtonsch 10 2 10 1 10 0 ν0 ν0 ν0 ν0 = 10−2m2/s = 10−3m2/s = 10−4m2/s = 10−5m2/s -1 10 -2 10 -3 10 -4 10 -5 10 0 0.5 1 1.5 2 Zeit in [s] Pirr in [W ] (b) Cross A 10 2 10 1 10 0 ν0 ν0 ν0 ν0 = 10−2m2/s = 10−3m2/s = 10−4m2/s = 10−5m2/s -1 10 -2 10 -3 10 -4 10 -5 10 0 0.5 1 1.5 2 Zeit in [s] (c) Cross B Abbildung 4.37.: Dissipationsleistung für unterschiedliche hochviskosen Flüssigkeiten. die Berechnung mit K = 0.2 s einen Verlauf der allmählich abflacht und aperiodisch wird. Dies stellt sich für die Flüssigkeit mit dem Parameter K = 0.3 s noch intensiver und früher 80 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung −4 10 K K K K −5 ν(γ̇) in [m2/s] 10 = 0.05 s = 0.1 s = 0.2 s = 0.3 s −6 10 −7 10 −8 10 −9 10 −1 10 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 γ̇ in [1/s] Abbildung 4.38.: Parametersatz C . Der Zeitparameter K variiert zwischen 0.05 und 0.3. Die Nullviskosität beträgt ν0 = 10−5 m2 /s, die Grenzviskosität ist ν∞ = 10−8 m2 /s und der Fließindex ist auf n = 3 gesetzt. ein. Demnach lässt sich mit dem Zeitparameter ein stabiles und ein instabiles Strömungsfeld beeinflussen. Die Entstehung des instabilen Strömungsfelds ist nicht nur auf die nichtnewton- Pirr in [W ] 10−2 K K K K = 0.05 s = 0.1 s = 0.2 s = 0.3 s 10−3 10−4 10−5 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 Abbildung 4.39.: Dissipationsleistung Pirr nach Erhöhung des Zeitparameters K für ν = 10−5 . sche Simulationen begrenzt. Als Vergleichsrechnung wird hierzu eine newtonsche Flüssigkeit mit einer Viskosität von ν = 10−8 m2 /s durchgeführt. Dabei wird angenommen, dass sich während der Berechnung im Durchschnitt eine ungefähr ähnliche Viskositätsverteilung bei der scherentzähenden Flüssigkeit einstellt, wie der festgelegte Viskositätswert der newtonschen Flüssigkeit. In Abbildung 4.40 sind die Geschwindigkeitsfelder der strukturviskosen und newtonschen Flüssigkeiten gegenüber gestellt. Anfangs (bei t = 0.01 s) scheint das Geschwindigkeitsfeld immer noch stabil zu sein. Zu diesem Zeitpunkt nehmen die Dissipationsleistungsverläufe einen scheinbar periodischen Formverlauf an. Bereits eine Sekunde später 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung t = 0.01 s ν = 10−8 m2 /s t = 1.01 s 81 t = 2.01 s v in [m/s] 0.15 ν0 = 10−5 m2 /s K = 0.3 s 0 n=3 Abbildung 4.40.: Zeitliche Entwicklung des Geschwindigkeitsfeld bis zur Verzerrung. wird das Geschwindigkeitsfeld für beide Fluide verzerrt. Dieser Zustand entspricht dem Beginn der Abflachung der Dissipationsleistung, wie in Bilddiagramm 4.39 zu sehen ist. In den nächsten Zeitschritten (s. Abb. 4.40) ist eine Zunahme der Verzerrung beider Flüssigkeiten zu beobachten. Das unregelmäßige Strömungsfeld tritt demnach nicht nur bei nichtnewtonschen Flüssigkeiten auf, sondern auch, wie im newtonschen Fall, aufgrund der niedrigen Viskosität. Um den Zusammenhang zwischen der Instabilität des Strömungsfeldes und der Viskosität herauszufinden, wird eine zusätzliche Berechnungsreihe für nichtnewtonsche Flüssigkeiten mit den variierenden Nullviskositäten von ν0 = 10−4 m2 /s bis ν0 = 10−2 m2 /s und Zeitparametern von K = 0.05 s bis K = 0.3 durchgeführt. Diese Berechnungsreihe stellt in der Abbildung 4.41(a) den Parametersatz D dar. Das Ergebnis dieser Untersuchung ist im Bilddiagramm 4.42 zusammengefasst. Die in Abbildung 4.42 dargestellte Grafik zeigt eine Stabilitätsgrenze, die aus der Abhängigkeit von K und ν0 resultiert. Unterhalb dieser Grenze stellt sich ein stabiles Strömungsfeld ein, während oberhalb Unregelmäßigkeiten in der Strömung zu erwarten sind. An dieser Stelle sei angemerkt, dass die oben ausgewertete Stabilitätsgrenze nur für den Viskositätsbereich von 10−5 bis 10−2 m2 /s und einen festen Fließindex von n = 3 gilt. Die Ursache für die Unregelmäßigkeit im Strömungsfeld liegt demnach eindeutig bei niedrig werdenden Viskositäten, die infolge einer Erhöhung des Zeitparameters zu einer früher eintretenden Scherentzähung erfolgt. Denn mit sinkender Viskosität steigt die Reynoldszahl (vgl. Gl. 4.2) an, so dass sich dadurch eine turbulente Strömung innerhalb des F luidoszillators einstellt. Die charakteristische Reynoldszahl für eine strukturviskose Flüssigkeit mit einer Nullviskosität ν0 = 10−2 m2 /s beträgt Re = 12600 und liegt damit in einem turbulenten Bereich. Diese ist im Vergleich zu einer Rohrströmung, bei der sich bereits eine turbulente Strömungen ab Re = 2300 voll ausbildet, durchaus groß. Das Bilddiagramm 4.42 kann demnach auch als eine Grenze zwischen laminarer und turbulenter Strömung gedeutet 82 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung −1 10 K K K K −2 10 ν(γ̇) in [m2/s] −3 10 = 0.4 s = 0.2 s = 0.1 s = 0.05 s −4 10 −5 10 −6 10 −7 10 −8 10 10−9 −1 10 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 γ̇ in [1/s] (a) Parametersatz D: n = 3 Abbildung 4.41.: Der Zeitparameter K variiert zwischen 0.05 und 0.3. Die Nullviskosität beträgt ν = 10−5 , die Grenzviskosität ist ν∞ = 10−8 m2 /s und der Fließindex ist auf n = 3 gesetzt. Die Verläufe unterscheiden sich nur durch den Fließindex n. 0.5 Stabilitätsgrenze K in [s] 0.4 0.3 stabiler Bereich 0.2 instabiler Bereich 0.1 0 10−5 10−3 10−4 2 ν0 in [m /s] Abbildung 4.42.: Stabilität in Abhängigkeit von K und ν für n = 3. werden. 10−2 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 83 4.2.8. Vergleich von scherentzähenden mit scherverzähenden Flüssigkeiten In diesem Abschnitt wird vollständigkeitshalber zur Untersuchung der scherentzähenden Flüssigkeiten ein Parametersatz mit scherverzähenden bzw. dilatanten Flüssigkeiten untersucht. Damit wird der gesamte Bereich hochviskoser Flüssigkeiten abgedeckt und das Verhalten der scherentzähenden und newtonschen Fluide aus den vorherigen Abschnitten in einem Vergleich zu den dilatanten Fluiden gestellt. Dazu sind im Bilddiagramm 4.43 insgesamt vier Parametersätze des Cross-Modells für scherent- und -verzähende Fluide, sowie zwei newtonsche Flüssigkeiten aufgestellt (Parameter s. Tab. 4.10). Die Ergebnisse dieser Berech- 108 106 scherentzähend ν0 = 102−2 scherentzähend ν0 = 102 scherverzähend ν0 = 10−2 scherverzähend ν0 2= 10 newtonisch ν = 10−2 newtonisch ν = 10 ν(γ̇) in [m2/s] 104 102 100 10-2 10-4 10-6 10-8 0 10 102 101 103 104 105 γ̇ in [1/s] Abbildung 4.43.: Parametersätze der scherent- und -verzähenden Flüssigkeiten. nungsreihe sind in den Abbildungen 4.44 bis 4.47 dargestellt. In Bilddiagramm 4.44 sind die Dissipationsleistungsverläufe verschiedener Flüssigkeiten gegenübergestellt. Die Pirr -Verläufe des hochviskosen Parametersatzes mit der Nullviskosität von ν0 = 10 m2/s liegen deutlich über den Werten des Parametersatzes mit ν0 = 10−2 m2 /s. Die Verhältnisse der Maximalwerte von Pirr unterschiedlicher Parametersätze sind in der Tabelle 4.9 verzeichnet. Darin Tabelle 4.9.: Verhältnisse der Maximalwerte von Pirr unterschiedlicher Parametersätze. S /P D N /P D N D ΠND ΠSD −2 = max Pirr ΠND −2 = max Pirr ν=10 = max Pirr /Pirr irr irr D S ΠSD ν=10 = max Pirr /Pirr 0.37 ν=10 0.65 ν=10 0.28 0.59 sind die ins Verhältnis gesetzten Maximalwerte der scherentzähenden zur dilatanten Flüssig- 84 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung S D dargestellt. Das Verhältnis der newtonschen zu dilatanten keiten9 mit ΠSD = max Pirr /Pirr ν D N D definiert. Die gebilde= max Pirr /Pirr Flüssigkeiten wird dabei in analoger Weise mit ΠN ν ten Verhältnisse zeigen ein charakteristisches Merkmal der scherentzähenden Flüssigkeiten, welches sich in einer deutlich niedrigeren Dissipationsleistung gegenüber den beiden anderen Parametersätzen äußert. Im Gegensatz dazu äußert sich das Verhalten der scherverzähenden Flüssigkeit mit steigender Dissipationsleistung. Die Ergebnisse der Kräfteverläufe an den Tabelle 4.10.: Parametersätze der scherentzähenden und dilatanten Flüssigkeiten. Partition Nullviskosität Grenzviskosität Zeitparameter Fließindex ν0 [m2 /s] ν∞ [m2 /s] K [s] n [-] Scherentzähend 10−2 10−7 Scherentzähend 1010 10−7 Dilatant 10−2 109 10−3 3 Dilatant 1010 103 10−4 3 108 3 5· 10−2 3 Dilatant Scherentz. Newtonsch Dilatant Scherentz. Newtonsch 6 10 104 Pirr in [W ] 5· 10−2 ν = 10m2/s ν = 10m2/s ν = 10m2/s ν = 10−2m2/s ν = 10−2m2/s ν = 10−2m2/s 102 100 10-2 10-4 10-6 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 Abbildung 4.44.: Dissipationsleistung unterschiedlich hochviskoser Flüssigkeiten. Randflächen Γ1 und Γ2 sind in den Bilddiagrammen 4.45 und 4.46 dargestellt. Darin zeigen dilatante Flüssigkeiten im Vergleich zu den scherentzähenden und newtonschen Flüssigkeiten insgesamt höhere Werteverläufe auf. Diese resultieren infolge einer Scherverzähung der Flüssigkeiten, bei denen die Viskosität zunehmend ansteigt. Das Bilddiagramm 4.47 zeigt den Betrag der maximalen Druck- und Reibungskräfte über die Maximalwerte von Pirr . Der Anstieg der Kräfte an Randflächen von Γ1 ist im strukturviskosen Fall signifikant größer 9 Für die entsprechenden Viskositäten von ν von 10−2 bis 10 m2 /s 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 85 im Vergleich zu den dilatanten und newtonschen Flüssigkeiten. Dies ist auf die lokal hohen Geschwindigkeitsgradienten an der inneren Randfläche zurückzuführen (vgl. dazu Abschnitt 4.2.5). Hieraus resultiert eine hohe Verzerrungsgeschwindigkeit D und ein insgesamt größerer Reibungskraftanteil. Damit überwiegt hier der Reibungskraftanteil Fx,r gegenüber dem Druckkraftanteil Fx,d. Das Absinken der Kräfte an der Außenwand Γ2 im strukturviskosen Fall ist dagegen auf die hohen Scherraten bzw. relativ hohen Geschwindigkeit der Außenwand zurückzuführen. Das hat zur Folge, dass die Reibungskraft mit der Verringerung der Viskosität sinkt und der Druckkraftanteil dadurch im Verhältnis größer wird. Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] 60 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 40 20 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -20 -40 0 0.5 1 Zeit in [s] 2 1.5 (a) Dilatant ν0 = 10−2 m2 /s Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] 8.0e4 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 6.0e4 4.0e4 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 2.0e4 0 -2.0e4 -4.0e4 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 (b) Dilatant ν0 = 10 m2 /s Abbildung 4.45.: Kraftverläufe an Γ1 u. Γ2 dilatanter, scherentzähender und newtonscher Flüssigkeiten. 86 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] 8.0e4 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 6.0e4 4.0e4 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 2.0e4 0 -2.0e4 -4.0e4 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 (a) Newtonsch ν0 = 10 m2 /s Fx,g , Fx,d , Fx,r in [N ] 6.0e4 Fx,d Fx,r Fx,g Fx,d Fx,r Fx,g 4.0e4 2.0e4 an an an an an an Γ1 Γ1 Γ1 Γ2 Γ2 Γ2 0 -2.0e4 -4.0e4 0 0.5 1 Zeit in [s] 1.5 2 (b) Scherentzähend ν0 = 10 m2 /s Abbildung 4.46.: Kraftverläufe an Γ1 u. Γ2 dilatanter, scherentzähender und newtonscher Flüssigkeiten. max|Fx,d, Fx,r | in [N ] 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 2.5e4 2.0e4 87 max|Fx,d| an Γ1 max|Fx,r | an Γ1 max|Fx,d| an Γ2 max|Fx,r | an Γ2 1.5e4 1.0e4 5.0e3 0 1 10 102 max|Pirr | in [W ] 103 max|Fx,d, Fx,r | in [N ] (a) Dilatant 2.5e4 2.0e4 max|Fx,d| an Γ1 max|Fx,r | an Γ1 max|Fx,d| an Γ2 max|Fx,r | an Γ2 1.5e4 1.0e4 5.0e3 0 1 10 102 max|Pirr | in [W ] 103 max|Fx,d, Fx,r | in [N ] (b) Newtonsch 2.5e4 2.0e4 max|Fx,d| an Γ1 max|Fx,r | an Γ1 max|Fx,d| an Γ2 max|Fx,r | an Γ2 1.5e4 1.0e4 5.0e3 0 1 10 102 max|Pirr | in [W ] 103 (c) Scherentzähend Abbildung 4.47.: Betrag der maximalen Kraftwerte über die Maximalwerte der Dissipationsleistung. 88 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 4.3. Erzeugung Gaußscher Wellenpakete Für die Untersuchungen von Wellen-Struktur-Interaktionsprozessen an Offshore-Bauwerken werden Wasserkanäle mit Wellengeneratoren im Labormaßstab eingesetzt. Die Generierung bzw. Simulation eines natürlichen Seegangs, der auf Ozeanen durch Windfelder erzeugt wird, erfordert daher ein bestimmte Vorgehensweise. Laut BERGMANN [7], der die Gaußschen Wellenpakete erstmals in einer Analyse des Seegangverhaltens meerestechnischer Konstruktionen untersuchte, kann durch die Variation der Parameter eines Gaußschen Funktionsausdrucks eine Wellengruppen im Experiment gezielt erzeugt werden. Mit dem Gaußschen Wellenpaket lassen sich neben den nicht brechenden disspersive Wellen auch brechende Wellen infolge der Überlagerung von hoch- mit niederfrequenten Wellengruppen generieren. In diesem Abschnitt werden experimentelle und numerische Verfahren zur Generierung brechender Gaußscher Wellenpakete gezeigt, sowie deren Auswirkung auf eine zylindrische Struktur numerisch berechnet und experimentell validiert. 4.3.1. Gaußsche Wellenpakete Die Erzeugung eines Gaußschen Wellenpakets basiert auf den Erfahrungen aus den experimentellen Versuchen im Wasserkanal10 . Diese Art der Wellenerzeugung ist durch folgenden charakteristischen Merkmale motiviert: • Die Verwendung der reinen Sinus- bzw. Cosinus-Funktionen mit unterschiedlich hohen Frequenzen und Amplituden erfordert eine große Einlauflänge bei der Erzeugung von brechenden Wellen. Daraus resultiert eine vergleichsweise hoher Rechenaufwand mit längeren Erzeugungszeiten. • In Versuchen wurden die Auslenkung des Wellenblatts (s. Abb. 4.48) mittels einer Gaußschen Verteilungsfunktion reguliert. Im Zuge der Untersuchungen kann diese Art der Bewegung zur Erzeugung einer dispersive Welle, die zu einer Wellenbrechung infolge der Überlagerung von hoch- mit niederfrequenten Wellenpaketen zustande kommt, erzeugt werden. Darüber hinaus kann durch die Einstellung der Funktionsparameter eine nahezu genaue Position des Brechvorgangs entlang der Wellenausbreitungsrichtung bestimmt werden. Die allgemeine Definition des Oberflächenprofils eines Wellenpakets nach KINSMAN [58] wird durch den Ausdruck ∞ i kx−ωt a(k)e ζ(x, t) = dk (4.11) −∞ 10 Der experimentelle Aufbau zur Validierung der Gaußscher Wellenpakete befindet sich im Anhang B. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 89 beschrieben. Das Oberflächenprofil ζ(x, t) ist die Auslenkung des Ruhewasserspiegels an der Stelle x zur Zeit t. In dieser Gleichung (4.11) steht a(k) für das Amplitudenspektrum, k ist die Wellenzahl und ω die Frequenz des Wellenpakets. Nach COULSON [17] ergibt sich ein c Wellenblatt ζ(x, t) g z x λ= 2π k d Abbildung 4.48.: Charakteristische Parameter zur Definition einer Welle: Wellenzahl k, Länge λ = 2π k , Gruppengeschwindigkeit c und Tiefe d. Gaußsches Wellenpaket aus dem Ansatz bei dem das Amplitudenspektrum einer Gaußverteilung mit dem Ausdruck a0 −(k−k2 0 )2 e 2s a(k) = √ 2πs (4.12) folgt. Darin kennzeichnen a0 die maximale Amplitude, k0 die zentrale Wellenzahl und s die Standardabweichung der Gaußverteilung. Das Einsetzen der Gleichung (4.12) in Gleichung (4.11) führt zu einer Lösung, wenn die Frequenz ω von der Wellenzahl k abhängt11 . Mit anderen Worten, wenn die einzelnen Wellen des Wellenpakets unterschiedliche Fortschrittsgeschwindigkeiten bzw. Ausbreitungsgeschwindigkeiten haben, ist eine direkte Integration der Gleichung (4.11) nicht möglich. Eine Möglichkeit zur Näherungslösung des Integrals kann nach [17] mittels der Taylorentwicklung zweiter Ordnung der Frequenz um k0 mit ω(k) = ω(k = k0 ) + ω0 dω 1 d2 ω 2 ·δk + ·δk dk k0 2 dk 2 k0 A B (4.13) durchgeführt werden. Die Anwendung der eulerschen Relation und Integration führt zu einer komplexen Form12 Re Im 11 12 s2 1 −1 (x−At)2 · e 2 1+s4 B2 t2 1 + s4 B 2 t2 arctan(−s2 Bt) · cos sin k0 x − ω0 t + 2 1 s4 Bt 2 (x − At) . + 2 1 + s4 B 2 t2 {ζ(x, t)} = a0 4 dies wird durch die Dispersionsrelation ω = ω(k) in DINGEMANS [27] beschrieben. Eine detaillierte Herleitung siehe KINSMAN [58]. (4.14) 90 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Hier unterscheiden sich die reellen und imaginären Teile nur in der trigonometrischen Basisfunktion. Beide Teile dienen zur Beschreibung des dispersiven Gaußschen Wellenpakets. Für die Dispersionsrelation gilt: ω(k) = gk tanh(kd). (4.15) Die Parameter A und B in Gl. (4.13) lassen sich durch die Ableitung von ω nach k wie folgt angeben: 2k0 d c0 1+ , A= 2 sinh(2k0 d) 1 − 2k0 d coth(2k0 d) 1 B = c0 d − sinh(2k0 d) 2 sinh(2k0 d) sinh(2k0 d) 2k0 d 1 − − . 2sinh(2k0 d) 2k0 d sinh(2k0 d) Darin definiert c0 = (g/k0) tanh(k0 d) (4.16) (4.17) (4.18) die charakteristische Phasengeschwindigkeit des Wellenpakets, d kennzeichnet die Wassertiefe und g die Erdbeschleunigung. 4.3.2. Numerische Implementierung Gaußscher Wellenpakete Die numerischen Generierung des Gaußschen Wellenpakets erfolgt analog zum experimentellen Teil (s. Anhang B) über den reellen Funktionsausdruck der Gleichung (4.14). Der Funktionsausdruck zur Auslenkung der freien Oberfläche wird dabei über die Gitterpunktbewegung eines Randgebiets im Quellcode des zweiphasigen Strömungslösers implementiert. Bei diesem Ansatz wird die Anregung der freien Oberfläche nicht mit den Punkten direkt an der beweglichen Wandung vorgeschrieben, sondern auf einem vorher definierten Teilbereich. Dadurch können optional Gitterpunkte innerhalb einer bestimmten Bereichsgrenze xmb , wie in Abbildung 4.49 gezeigt, bewegt werden. Die Berechnung der Netzbewegung wird mit dem Ausdruck: xin+1 = xin + ζ̇ xmb − (xin − xn0 ) δt xmb (4.19) vorgeschrieben. Darin kennzeichnet n den Zeitschritt und i die Gitterpunkte des definierten Teilgebiets mit der Bereichsgrenze xmb . Mit der Gleichung (4.19) wird die Bewegung der randnahen Gitterpunkte Γ4 (xn0 ) über die Geschwindigkeitsfunktion13 ausgedrückt. Die Bereichsgrenze xmb darf dabei die maximalen Amplitudenauslenkung a0 nicht unterschreiten, da ansonsten die 13 Diese ergibt sich aus der zeitlichen Ableitung von Gleichung (4.14). 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 91 xin+1 Γ3 ρl , ν l Γ4 Γ2 ρw , ν w z x xmb Γ1 Abbildung 4.49.: Numerisches Modell des Wellenkanals. Bewegungsfunktion nicht richtig umgesetzt wird. Zwischen Γ4 und xmb wird die Gitterbewegung linear interpoliert. In Abbildung 4.50 ist der Algorithmus zur Gitterbewegung in einem Quellcodeabschnitt dargestellt. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 bool g a u s s W e l l e : : update ( ) { g a u s s w e l l e n p a k e t ( a0 , k0 , s , d , x , tend ) ; double v e l = w e l l e n p a k e t . c a l c u l a t e _ v e l ( time ( ) . v a l u e ( ) ) ; i n t ID = fvMesh : : boundaryMesh ( ) . f i n d P a tch ID ( " gamma4 " ) ; f v P a tch gamma4 = fvMesh : : boundaryMesh ( ) [ ID ] ; double x0 = gamma4 . C ( ) [ 0 ] . x ( ) ; p o i n t F i e l d newPoints = fvMesh : : p o i n t s ( ) ; f o r A l l ( newPoints , i ) { p o i n t& p = newPoints [ i ] ; i f ( p . x ( ) < xmb) { p . x ( ) += v e l ∗ (xmb − ( p . x() − x0 ) ) / xmb∗ time ( ) . delaT ( ) . v a l u e ( ) ; } } ... return f a l s e ; } Abbildung 4.50.: Algorithmus zur Gitterbewegung. 4.3.3. Validierung des Gaußschen Wellenpakets Für die numerische Validierung des oben beschriebenen Algorithmus werden zwei Konfigurationen eines Gaußschen Wellenpakets erzeugt (siehe Tab. 4.11). Die Parameter der erste Konfiguration stellen ein fortschreitendes Wellenpaket dar, das zunächst eine divergierende 92 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Form bildet. Durch die Überlagerung von hoch- mit niederfrequenten Wellengruppen bricht das Paket im Konzentrationspunkt14 . Anschließend bildet das Wellenpaket eine konvergierende Form. Als Brechkriterium wird dabei das von WIEGEL [106] aufgestellt Verhältnis ζb /Hb von der maximalen Wasserspiegelauslenkung ζb zu der Brecherhöhe Hb herangezogen. Dieses rangiert in einem Bereich von 0.5 bis 0.95. Im Gegensatz zur ersten Konfiguration erfolgt die Wellenbrechung der zweiten Konfiguration nicht durch Überlagerung einzelner Wellengruppen, sondern bedingt durch eine kurze Erzeugungszeit tend der Gaußfunktion (siehe Tabelle 4.11). Damit kann für nachfolgende Untersuchungen zur Wellen-Struktur-Interaktion eine brechende Welle an einem bestimmten Ort und zu einer bestimmten Zeit definiert werden und gleichzeitig ein hoher Rechenaufwand vermieden werden. Die Berechnungen erfolgen in einem zweidimensionalen Modell des numerischen Wasserkanals (siehe Abb. 4.49). Dieser ist von den Abmaßen her identisch mit dem experimentellen Versuchsstand15 . Die Annahme des zweidimensionalen Modells ist soweit gerechtfertigt, da das experimentell erzeugte Wellenpaket keine Reflexionen in die dritte Ebene aufweist und nur der Wellenfortschrittsrichtung folgt. Darüber hinaus werden Turbulenzeffekte vernachlässig. Die Berechnungen eines dispersiven Gaußsches Wellenpakets mit einem turbulenten Strömungsmodell sind in der Referenz [35] zu finden. Die Ergebnisse dieser Arbeit zeigen keine signifikanten Änderungen turbulenter und laminarer Strömung im Hinblick auf die Auslenkung der freien Oberfläche und des gesamten Strömungfelds. Um eine konvergente und gitterunabhängige numerische Lösung Tabelle 4.11.: Parameter zur Erzeugung des Gaußschen Wellenpakets. Parameter 1. Konfig. 2. Konfig. Einheit a0 x 0.12 -0.2 m 4.0 -1.5 m tend 7.0 1.5 s s 2.7 2.7 - k0 2.0940 1.3628 - xmb 0.6 0.6 m d 0.25 0.25 m zu erhalten, werden drei systematisch verfeinerte Netze entsprechend Tabelle 4.12 erzeugt. Die Zeitschrittweite δt wird von einer globalen Courant-Zahl von Co < 0.2 gesteuert und rangiert während der Simulation am feinen Gitter zwischen 10−4 s bis 10−3 s. Die Fluideigenschaften der zweiphasigen Strömung für Wasser und Luft können anhand der Tabelle 6.2 entnommen werden. Der Wert für die Gravitationsbeschleunigung wird mit 14 15 Das ist der Ort an dem das Wellenpaket die maximale Amplitude annimmt. s. experimenteller Aufbau im Anhang B. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 93 Tabelle 4.12.: Berechnungsnetz mit n als Anzahl der Zellen. Grobes Netz Mittleres Netz Feines Netz 22x200 45x400 90x800 n g = 9.81m/s2 festgelegt. Tabelle 4.13.: Fluideigenschaften. Wasser Dichte ρw = 103 νw = 10−6 Viskosität Luft Einheit ρl = 1 kg m3 νl = 1.5 · 10−5 m2 s Die Randbedingungen des zweiphasigen Simulationsmodells sind in der Tabelle 4.14 zusammengefasst. An dieser Stelle soll darauf hingewiesen werden, dass die Randbedingung für die Gitterbewegung v̂ undefiniert bleibt, da diese im Sinne des Bewegungs-Algorithmus aus dem obigen Abschnitt vorgeschrieben wird. Als Anfangsbedingung wird für die Feldgröße α = 1 (dies entspricht der Phase für das Wasser) ein Ruhewasserspiegelstand von d = 0.25 m über die ganze Kanallänge initialisiert. Die Berechnungen der Simulationsmodelle erfolgt auf einem Intel(R) Core(TM) i5 CPU, 2.67GHz Prozessor. Tabelle 4.14.: Randbedingungen des zweiphasigen Simulationsmodells. Rand α Γ1 ∂α ∂n Γ2 ∂α ∂n =0 =0 Γ3 α=0 Γ4 ∂α ∂n =0 v in m/s v̂ in m/s v=0 v̂ = 0 v=0 ∂v ∂n =0 vm v̂n = ∂ v̂t ∂n =0 v̂n = ∂ v̂t ∂n =0 v̂ = 0 p in N/m2 ∂p ∂n =0 ∂p ∂n =0 p=0 ∂p ∂n =0 In der Abbildung 4.51 sind die ausgewerteten numerischen und experimentellen Ergebnisse in einem Diagramm der freien Oberflächenauslenkung über der Zeit dargestellt. Die Messung der freien Oberflächenauslenkung im Versuch erfolgt mittels der Ultraschallsensoren (siehe Kap. 4.1.2). Das Wellenprofil wird dabei ausgehend von der Ausgangsposition des Wellenblatt an den Positionen 2 m, 3 m und 4 m in x−Richtung erfasst. Die numerischen Ergebnisse aller drei Gitter korrelieren im Vergleich mit den experimentellen Ergebnissen näherungsweise mit der Phasenfrequenz und den Werten der Wellenamplituden. Die Berechnung auf dem gröbste Gitter zeigt qualitativ gute Ergebnisse bei allen drei Positionen der Wellenauslenkung. 94 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 8 22x200 45x600 90x800 Experiment ζw [10−2 m] 6 2m 4 2 0 -2 -4 0 2 4 6 8 10 12 14 t [s] 8 22x200 45x600 90x800 Experiment ζw [10−2 m] 6 3m 4 2 0 -2 -4 0 2 4 6 8 10 12 14 t [s] 8 22x200 45x600 90x800 Experiment ζw [10−2 m] 6 4m 4 2 0 -2 -4 0 2 4 6 8 10 12 14 t [s] Abbildung 4.51.: Numerische und experimentelle Ergebnisse des Gaußschen Wellenpakets (1. Konf.). Das Wellenprofil wurde jeweils von der Ausgangsposition des Wellenblatt an den Positionen 2 m, 3 m und 4 m in x−Richtung erfasst. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 95 Ferner zeigen die Ergebnisse eine charakteristische Entwicklung des Gaußschen Wellenpakets. Zunächst bildet das Wellenpaket eine divergierende Form der Wellenauslenkung, die an der ausgewerteten Position 2m in Abbildung 4.51 zu sehen ist. Danach überholen die niederfrequenten Wellen die hochfrequenten. Infolge der Überlagerung steilt sich eine Wellenfront im Konzentrationspunkt auf und erreicht kurz vor der Wellenbrechung ihren maximalen Amplitudenwert bei ca. 3m. Im Konzentrationspunkt kommt es schließlich zur Wellenbrechung. Mit der Wellenbrechung entlädt sich die Wellenenergie des Pakets und das Profil der freien Oberfläche nimmt eine konvergierende Form an (vgl. Pos. 4m in Abb.4.51). Das Brechkriterium der Simulation liegt mit einem Wert von ζb /Hb ≈ 0.725 im Bereich der experimentellen Untersuchungen nach WIEGEL [106]. In Abbildung 4.52 und 4.53 ist das Konvergenzverhalten der Druck- und Geschwindigkeitsfelder dargestellt. Die Auswertung erfolgt über eine integrale Mittelwertbildung der Strömungsgrößen an den Querschnitten der Auswertepositionen 2 bis 4m. Die Querschnitte stellen dabei die Iso-Flächen der flüssigen Phase dar. Wie in Abbildung 4.52 zu sehen ist, stellt sich zu Beginn am groben Gitter, im Vergleich zu den mittleren und feinen Gittern, ein höher liegendes Druckniveau ein. Dies resultiert aufgrund der ungenauen Auflösung des Oberflächenprofils zwischen den beiden Phasen. Eine genauere Auflösung der freien Oberfläche wird am mittleren Gitter erreicht. Dieses zeigt im Vergleich zu dem feinen Gitter ein analoges Konvergenzverhalten. Im Gegensatz zum Druckfeld ergibt sich für das Geschwindigkeitsfeld, wie im Bilddiagramm 4.53 zu sehen, bereits am groben Gitter ein gutes Konvergenzverhalten. Die Berechnungszeiten der drei Gitter sind in der Tabelle 4.15 zusammengefasst. Anhand der Rechenzeiten wird deutlich, dass der Berechnungsaufwand mit einem systematisch verfeinerten Netz in etwa um eine Zehnerpotenz zunimmt. Tabelle 4.15.: Rechenzeit auf systematisch verfeinerten Gittern. Gitter Grob (22x200) Mittel (45x600) Fein (90x800) Rechenzeit 160 s 1500 s 13200 s 96 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 2.9 22x200 45x600 90x800 2.8 2m p [kP a] 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 0 2 4 6 8 10 12 14 t [s] 2.9 22x200 45x600 90x800 2.8 3m p [kP a] 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 0 2 4 6 8 10 12 14 t [s] 2.9 22x200 45x600 90x800 2.8 4m p [kP a] 2.7 2.6 2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 0 2 4 6 8 10 12 t [s] Abbildung 4.52.: Konvergenzverhalten des Druckfeldes. 14 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 0.4 97 22x200 45x600 90x800 0.3 2m v [m/s] 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 0 2 4 6 8 10 12 14 t [s] 0.4 22x200 45x600 90x800 0.3 3m v [m/s] 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 0 2 4 6 8 10 12 14 t [s] 0.4 22x200 45x600 90x800 0.3 4m v [m/s] 0.2 0.1 0 -0.1 -0.2 -0.3 0 2 4 6 8 10 12 14 t [s] Abbildung 4.53.: Konvergenzverhalten des Geschwindigkeitsfeld in Fortschrittsrichtung. 98 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Neben der ersten Konfiguration, die auf dem Überlagerungsprinzip mehrerer Wellen beruht, wird mit der zweiten Konfiguration nach Tabelle 4.11 eine Möglichkeit gezeigt eine solitäre brechende Welle, die aufgrund einer Gegenströmung hervorgerufen wird, zu erzeugen. Diese bewirkt eine Aufsteilung der Wellenfront, die zum Überschreiten des Brechkriteriums (ζb /Hb ) und schließlich zur Wellenbrechung führt. Die Berechnung der zweiten Konfiguration erfolgt mit den gleichen Rand- und Anfangsbedingungen analog zur ersten Konfiguration, jedoch in einem insgesamt kürzeren Wasserkanal. Die Kanallänge des numerischen Modells wird auf L = 1.4 m und eine Höhe von H = 0.4 m festgelegt. Das gesamte Berechnungsgebiet wird mit einer Gitterauflösung von HxL = 40x150 Kontrollvolumenzellen diskretisiert. Die Entstehung der freien Oberflächenwelle, als Ergebnis aus der numerischen Simulation, ist in der Abbildung 4.54 visualisiert. t = 1s t = 1.8s t = 1.3s t = 1.85s t = 1.5s t = 1.9s t = 1.7s t = 1.95s t = 1.75s t = 2s Abbildung 4.54.: Numerische Simulation einer Sturzbrecherwelle zu den Zeitpunkten t = 1s bis t = 2s. In einer zeitlichen Ablaufsequenz von t = 1s - 2s wird der Brechungsprozess veranschaulicht. Die erzeugte Wellenform ist nach BRINKMANN [10] als eine Sturzbrecherwelle zu klassifizieren. Eine klassische Sturzbrecherwelle bildet laut [10] eine Brecherzunge, die in das Wellental stürzt, wobei Luft zwischen den Wassermassen eingeschlossen wird. Dieser Vorgang ist ab dem Beginn der Brecherzungenbildung zum Zeitpunkt t = 1.7s bis hin zu den Lufteinschlüssen im Brechungsprozess t = 2s in der Abbildung 4.54 verdeutlich. Die Validierung der numerischen Ergebnisse erfolgt mit einer Ultraschallaufnahme des Wellenprofils, ausgehend von der Nullposition des Generator-Wellenblatts in Fortschrittsrichtung bei einer Position 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 99 von x = 0.65 m. Im Bilddiagramm 4.55 sind die numerischen und experimentellen Ergebnisse ζw [10−2 m] des Oberflächenprofils der erzeugten Sturzbrecherwelle über der Zeit gegenübergestellt. 12 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 Experiment Numerik 0 0.5 1 1.5 2 2.5 t [s] Abbildung 4.55.: Auslenkung der freien Oberfläche über die Zeit (numerische und experimentelle Ergebnisse). Die numerischen Ergebnisse korrelieren im Vergleich mit den experimentellen Ergebnissen und zeigen eine gute Übereinstimmung im Werteverlauf. Die Berechnungszeiten auf dem relativ feinem Gitter (mit HxL = 40x150 Kontrollvolumenzellen) beläuft sich auf 840s. Damit lässt sich im Gegensatz zur ersten Konfiguration, die eine längere Erzeugungszeit erfordert, ein relativ hoher Rechenaufwand vermeiden. Als Abschluss zur Validierung des zweiphasigen CFD-Solvers wird ein Aufschlag der Welle des zweiten Parametersatzes auf eine starre zylindrische Struktur simuliert. Die numerischen Ergebnisse werden anschließend mit den experimentell erfassten Druckverläufen zur Validierung herangezogen. 4.3.4. Numerische Simulation eines Wellenaufschlag auf eine starre zylindrische Struktur In diesem Abschnitt wird ein dreidimensionales numerisches Simulationsmodell eines Wellenaufschlags auf eine starre zylindrischen Struktur berechnet und mit experimentell ermittelten Druckwerten validiert. Die validierten Ergebnisse aus der CFD-Simulation dienen später als Referenz für die Berechnungen eines Fluid-Struktur-Wechselwirkungsprozesses mit einem Offshore-Dämpfungselementprototypen. Die Abbildung 4.56 zeigt das dreidimensionale Berechnungsmodell zur Wechselwirkung von Welle und Struktur in einer Querschnittsansicht. Der zylindrische Pfeiler steht, wie in der Abbildung gezeigt, in einem Wasserkanal und ist unmittelbar vor einer Sturzbrecherwelle plaziert. 100 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Γ3 ρLuf t Γ4 Γ5 Γ2 2/7 L ζw Γ6 RW S Γ7 ρW asser z Γ1 x 5/8 L R 3/14 L L Abbildung 4.56.: Querschnittsansicht des dreidimensionalen numerischen Berechnungsmodells. Die Gesamtlänge des Kanals wird auf L = 1.4 m festgelegt. Die Höhe und Breite HxB, bezogen auf die Kanallänge, betragen 2/7L x 3/14L. Die axiale Position des inneren Zylinders befindet sich bei 5/8L. Der Radius R der schlanken zylindrischen Struktur beträgt 1/70L und der Ruhewasserspiegel (RW S) bzw. die Wassertiefe des Kanals entspricht 1/5L. Die Randbedingungen des Modells für diese Berechnung können der Tabelle 4.16 entnommen werden. Tabelle 4.16.: Randbedingungen des CFD-Modells Welleneinschlag auf eine zylindrische Struktur. Rand α Γ1 ∂α ∂n Γ2 ∂α ∂n Γ3 =0 =0 α=0 v in m/s v̂ in m/s v=0 v̂ = 0 v=0 ∂v ∂n =0 v̂n = ∂ v̂t ∂n =0 v̂n = ∂ v̂t ∂n =0 p in N/m2 ∂p ∂n =0 ∂p ∂n =0 p=0 Γ4 ∂α ∂n =0 vm v̂ = 0 ∂p ∂n =0 Γ5 ∂α ∂n =0 v=0 v̂ = 0 ∂p ∂n =0 Γ6 ∂α ∂n =0 v=0 v̂ = 0 ∂p ∂n =0 Γ7 ∂α ∂n =0 v=0 v̂ = 0 ∂p ∂n =0 Das Rechengitter ist in Abbildung 4.57 dargestellt und besteht aus insgesamt aus 37440 KV-Zellen. Die Simulation der Sturzbrecherwelle erfolgt gemäß der zweiten Konfiguration nach Tabelle 4.11. Die experimentelle Validierung erfolgt in analoger Weise wie im Abschnitt 4.1. Dazu wird der Messzylinder mit der Piezosensorik entsprechend dem numerischen Modell bei 5/8L vom Rand der bewegten Wand plaziert. Die Auswertung der Druckverläufe erfolgt, wie in Abbildung 4.58 zu sehen ist, an drei Piezosensor-Elementen, die im Staupunkt des zylindrischen Testobjekts positioniert sind. Diese drei Sensoren sind im Intervall Δ(d/H) = 0.075 oberhalb des Ruhewasserspiegels von d/H = 0.625 angeordnet. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 101 Abbildung 4.57.: Strukturiertes Berechnungsgitter in der Draufsicht. (d/H)3 (d/H)2 ζ3 ζ2 ζ1 (d/H)1 z x Abbildung 4.58.: Wellenaufschlag auf Zylinderstruktur und Position der Messpunkte. In Abbildung 4.59 sind die Druck-Zeit-Verläufe der experimentell ermittelten gegenüber den numerisch berechneten Ergebnissen dargestellt. Der impulsartige Druckanstieg im Moment des Aufschlags ist ein charakteristisches Merkmal einer brechenden Welle auf eine Struktur. Ein ähnliches Aufprallverhalten des Wassers auf Hindernisse wird in den Untersuchungen von PEREGRINE [77], WIENKE [108], sowie KJELDSEN und MURHAUG [59] beobachtet und diskutiert. Der maximale Druck-Peak in Abbildung 4.59 wird in der unmittelbaren Nähe der Brecherzunge bei einer Höhe von (d/H)2 = 0.725 lokalisiert. Unterhalb der Brecherzunge an der Position (d/H)1 = 0.65 ist der Druckanstieg um 55 % geringer in Bezug auf den maximalen Druck-Peak bei (d/H)2 = 0.725. Oberhalb der Position (d/H)3 = 0.8 verringert sich der Druck um ungefähr 72 % im Bezug auf den maximalen Druck-Peak. Nachdem der Aufschlag erfolgt ist, fallen die Druckwerte aller drei Verläufe auf ein niedrigeres Niveau ab. Dieser Druckabfall erfolgt rasch nach dem die Welle am Hindernis vorbeiläuft und ihre Energie während des Brechprozesses entlädt. Die maximalen Druck-Peaks aus den numerischen Ergebnissen weichen in etwa 4 bis 9 % von experimentellen Werten ab. Die gute Übereinstimmungen der numerischen Ergebnisse gegenüber den experimentell erfassten Messwerten 102 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 1.8 Exp. Num. (d/H)1 1.6 1.4 p [kP a] 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 t [s] 4.0 1.9 1.95 Exp. Num. (d/H)2 3.5 3.0 p [kP a] 1.85 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0 -0.5 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 t [s] 1.2 1.85 1.9 1.95 Exp. Num. 1.0 (d/H)3 p [kP a] 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 t [s] 1.85 1.9 1.95 Abbildung 4.59.: Vergleich experimenteller und numerischer Druckverläufe am Zylinder. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 103 liefern damit ein relativ gutes dreidimensionales Berechnungsmodell des Wellenaufschlags. In der Abbildung 4.60 sind die maximalen hydrodynamische pdyn und die totalen Druckwerte ptot = pdyn + pstat aus dem Experiment und Numerik aufgetragen. Anhand der aufgetragenen Maximalwerte in Abbildung 4.58 ist zu erkennen, dass der hydrodynamische Druckanteil pdyn infolge eines kurzzeitig einwirkenden Impulsstoßes der Welle gegenüber dem hydrostatischen Druckanteil pstat deutlich überwiegt. Der hydrostatischen Druckanteil ergibt sich dabei aus pistat = ρgζi mit i = 1, 2, 3. (4.20) Darin kennzeichnen ζi die Wellenauslenkung in Bezug auf die drei Messpunkte (vgl. Abb. 4.58). Der hydrodynamische Druckanteil pdyn ist im Moment des Aufschlags in etwa zwölfmal größer als der hydrostatische Druck pstat . 1 Experiment pdyn experiment pd Experiment ptotps experiment Numerik pdyn pd numeric Numerik ptot ps numeric d/H [−] 0.9 0.8 0.7 0.6 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 [Pa]a] Druckp [kP Abbildung 4.60.: Maximalwerte des hydrodynamischen Drucks und des Gesamtdrucks aus der experimentellen und numerischen Untersuchung (vgl. Messstelle Abb. 4.58.). In der Abbildung 4.61 ist der Aufschlag in verschiedenen Zeitraffersequenzen A − F visualisiert. Die dargestellten Konturplots veranschaulichen dabei die signifikanten Stellen mit maximalen (rot) und minimalen (blau) Druckverteilung am Zylinder. In dieser Perspektive ist anhand der Zeitsequenz B (t ≈ 1.665s) deutlich die höchste Druckbelastung im Moment des Wellenaufpralls zu erkennen. Die Simulationszeit des dreidimensionalen numerischen Modells, auf einem Intel(R) Core(TM) i5 CPU, 2.67GHz Prozessor, beträgt ca. 4700 s für ein strukturiertes Rechengitter mit 37.440 Kontrollvolumen-Zellen (vgl. Abb. 4.57). Die validierten Ergebnisse des Wellenaufschlags auf eine monopile Struktur geben eine gute Referenzbasis für Untersuchungen mit einem Fluid-Struktur-Wechselwirkungsmodell eines Fluid-Dämpfungselements. 104 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung A D B E C F Druck in [Pa] Abbildung 4.61.: 3-D Ansicht des Wellenaufschlags auf eine zylindrische Struktur zu den Zeitpunkten A bis F kurz vor und während dem Brechvorgangs. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 105 4.4. Simulation eines oszillierenden elastischen Balkens Die Validierung der Festkörperstruktur erfolgt am Beispiel eines frei oszillierenden elastischen Balkens unter dem Einfluss der äußeren Volumenkraft aufgrund der Gravitationsbeschleunigung. Dazu wird ein zweidimensionales numerisches Modell erstellt und mittels dem in Kapitel 3.5 beschriebenen Finite-Volumen-Verfahrens zur Lösung instationärer Strukturverformung berechnet. Die Ergebnisse aus der numerischen Simulation werden mit den Ergebnissen aus einem experimentellen Versuch, einer frei oszillierenden elastischen Struktur mit gleichen geometrischen Abmaßen und physikalischen Stoffeigenschaften, gegenübergestellt und diskutiert. 4.4.1. Experimentelle Modellbeschreibung Für die experimentelle Untersuchung wird eine von der Fa. SIKA bereitgestellte elastische Struktur verwendet. Die geometrischen Abmaße der Probe sind durch die Länge L = 0.25m, Breite B = 0.024m und Höhe H = 0.01m festgelegt. Die physikalischen Stoffeigenschaften der elastischen Struktur sind in der Tabelle 4.17 zusammenfassend aufgeführt. Tabelle 4.17.: Physikalische Stoffeigenschaften der elastischen Struktur. EModul E in [106 P a] Querkontraktion νs in [−] Dichte ρs in [kg/m3 ] 2.5 0.45 1400 Das Modell des frei oszillierenden Balkens, wie in Abbildung 4.62 zu sehen ist in der waagerechten Position (Initialzustand) zur Zeit t = 0 s dargestellt. Der linke Rand des Balkens wird über eine Länge s = 0.01m an den oberen und unteren Randflächen eingespannt. Die Einspannung des Balkens wird im Versuch an einer Spannvorrichtung vorgenommen. z EA, ν, ρ g x s L Abbildung 4.62.: Modellbeschreibung des oszillierenden Balkens. Die Ausrichtung der SIKAFLEX-Probe mit Spannvorrichtung in den Initialzustand erfolgt mittels einer Wasserwaage. Dabei wird der Balken an der unteren Randfläche von einer Blechplatte in der waagrechten Ruhelage gehalten. Durch Entfernen der Blechplatte wird die elastische Struktur, infolge der einwirkenden Schwerkraft, in Schwingung versetzt. Die Auswertung der experimentellen Ergebnisse erfolgt anhand von sequentiellen Bildaufnahmen. 106 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Die Oszillationsbewegung und Verschiebungen der elastischen Probe werden für verschiedene Zeitpunkte auf einem Millimeterpapier ausgewertet. 4.4.2. Numerische Modellbeschreibung Das numerische Modell beschreibt einen nichtlinear-elastischen und instationär frei schwingenden Balken, dessen Oszillationsbewegung mit der Zeit, aufgrund der inneren Dämpfung, zum Stillstand kommt und am Ende eine statische Ruhelage einnimmt. Die geometrischen Abmaße, sowie physikalischen Stoffeigenschaften entsprechen analog dem experimentellen Modell (siehe obigen Abschnitt 4.4.1). Das Problem kann als ein zweidimensionales Modell angenähert werden. Die Annahmen hinsichtlich des Strukturverhaltens in der dritten Dimension erfolgt für den Fall des zweidimensionalen ebenen Dehnungszustands, bei dem die Dehnungskomponenten in die dritte Dimensionsrichtung y als vernachlässigbar angenommen werden. Der ebene Dehnungszustand wird angenommen, da die Breite B des Balkens in y-Richtung um den Faktor 2.4 größer als die Höhe H in z-Richtung ist. Das numerische Berechnungsgebiet des Modells besteht aus einem Block mit den Abmaßen des experimentellen Versuchs. Die räumlich Diskretisierung des Blocks erfolgt mit drei strukturierten und systematisch verfeinerten Berechnungsgittern (siehe Tabelle 4.18). Damit soll eine konvergente und gitterunabhängige Lösung erzielt werden. Tabelle 4.18.: Berechnungsnetze mit n als Anzahl der KV-Zellen. n Grobes Netz Mittleres Netz Feines Netz 4x80 8x160 16x320 In Abbildung 4.63 ist das Berechnungsgitter (4 x 80) im Initialzustand (bei t = 0s) mit den Randflächen dargestellt. An den Randflächen Γ1 und Γ2 gilt die Einspannbedingung u = 0. Für die anderen Randflächen Γ3 bis Γ6 wird als Randbedingung der Spannungsvektor t = 0 gesetzt. Γ3 Γ2 Γ6 Γ1 Γ4 Γ5 Abbildung 4.63.: Berechnungsgitter im Initialzustand bei t = 0s mit Randflächen. Die numerische Lösungsprozedur der instationären Festkörperstruktur ist bereits im Kapitel 3.5 ausführlich erläutert. Für die instationäre Simulation wird eine Zeitschrittweite δt auf 10−2 s festgelegt. Es werden 20 s des Berechnungsvorganges im Folgenden betrachtet. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 107 4.4.3. Simulationsergebnisse In den Bilddiagrammen 4.64 bis 4.65 sind die zeitlichen Verläufe der Verschiebung uz am freien Ende des Balkens in die negative z-Richtung (s. Koordinatensystem in Abb. 4.62) für die drei systematisch verfeinerten Gitter dargestellt. uz in [10−2 m] 0 (4x80 KV) (8x160 KV) (16x320 KV) -5 -10 -15 -20 -25 0 0.5 1 t in [s] 1.5 2 Abbildung 4.64.: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung in z Richtung bei Verwendung systematisch verfeinerter Gitter. Dargestellt für ein Zeitintervall von t = 0 s bis t = 2 s. uz in [10−2 m] 0 (4x80 KV) (8x160 KV) (16x320 KV) -5 -10 -15 -20 -25 0 5 10 t in [s] 15 20 Abbildung 4.65.: Zeitlicher Verlauf der Verschiebung in z-Richtung bei Verwendung systematisch verfeinerter Gitter. Dargestellt für ein Zeitintervall von t = 0 s bis t = 20 s. Die Auswertung des oszillierenden Verlaufs erfolgt im Bezug auf das kartesische Koordinatensystem in Abbildung 4.62 an der Position x = 0.25 m und z = 0.012 m. Die Ergebnisse aller drei Gitter zeigen zunächst ein ähnliches Schwingverhalten, bei dem die Amplitude des groben Gitters (4 x 80 KV) um etwa 20% im Vergleich zu dem mittleren und feinen Gitter abweicht. Im Bereich großer Amplitudenausschläge im Zeitintervall von t = 0 s bis t = 5 s 108 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung liefert das mittelfeine Berechnungsgitter (8 x 160 KV) im Vergleich zum feinsten Gitter (16 x 320 KV) eine sehr gute Näherung hinsichtlich der Amplitudenwerte und Phasenverschiebung. Durch die innere Dämpfung der Struktur werden die Oszillationsbewegungen ab dem Zeitpunkt von t = 5 s immer kleiner, bis sich eine stationäre bzw. statische Ruhelage ausbildet. Die statische Ruhelage kennzeichnet dabei das Ende des Schwingungsvorgangs. Diese Ruhelage kann bereits ab den Zeitpunkt von 15 s abgelesen werden. In Abbildung 4.66 ist die statische Ruhelage aus dem Experiment und dem feinen Berechnungsgitter (16 x 320 KV) visuell gegenübergestellt. Die farblich dargestellte Skala stellt den Betrag der gesamt Verschiebung |u| = |ux |2 + |uz |2 aus den beiden x und z-Verschiebungskomponenten dar. Das Ergebnis aus der numerischen Simulation, zum Zeitpunkt t = 20 s, zeigt eine sehr gute Übereinstimmung mit dem Experiment. In der Tabelle 4.19 wird die relative Abweichung der berechneten statischen Ruhelage in z-Richtung prozentuell im Vergleich zu den gemessenen Werten gegenübergestellt. Numerik Experiment |u| in [m] 0.3 0.2 0.1 0 Abbildung 4.66.: Experiment und Simulation im etablierten Ruhezustand. Tabelle 4.19.: Vergleich der statischen Ruhelage aus dem Experiment mit Numerik. Experiment grobes Netz mittleres Netz feines Netz stat. Ruhelage in [10−2 m] -17.5 -16.6 -16.7 -17.3 rel. Abweichung in [%] 0 5.15 4.6 1.15 Im Experiment kommt die SIKAFLEX-Probe bei einer optisch noch sichtbaren Oszillationsbewegung ungefähr bei t = 17 s zum Stillstand. Diese Beobachtung stimmt auch in einer guten Näherung mit den Ergebnissen aus der numerischen Simulation überein (vgl. Abb. 4.65). Im Folgenden wird das Schwingungsverhalten und die Schwingungsdauer der elastischen Struktur betrachtet. Dazu wird das logarithmische Dekrement Λ als Maß für das Dämpfungsverhalten aus der numerischen Simulation gegenüber dem experimentell ermittelten Wert gestellt. Das logarithmische Dekrement Λ = ln un un+1 = δT (4.21) errechnet sich dabei aus dem natürlichen Logarithmus des Verhältnisses der Amplituden un /un+1 zwei beliebig aufeinanderfolgender Ausschläge gleicher Richtung (vgl. [50] S.53). 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 109 Darüber hinaus kann das logarithmische Dekrement über das Produkt der Abklingkonstanten δ und der Periodendauer T ausgedrückt werden. In der Tabelle 4.20 sind die experimentellen und numerischen Werte von Λ der ersten zwei Auschläge zusammengefasst und anhand der relativen Abweichung in einem Vergleich gegenübergestellt. Die Ergebnisse zeiTabelle 4.20.: Experiment und Simulation abklingende Schwingung im Zeitbereich. Experiment grobes Netz mittleres Netz feines Netz log. Dekrement Λ 0.293 0.193 0.298 0.306 rel. Abweichung in [%] 0 34.08 -1.91 -4.47 gen insbesondere beim groben Gitter große Abweichungen im Vergleich zu dem mittleren und feinem Gittern. Dieser Sachverhalt äußert sich auch bei der Betrachtung bezüglich der relativen Abweichung der statischen Ruhelage (vgl. Tab. 4.19). Aus dem logarithmischen Dekrement - nach Gleichung 4.21 - lässt sich die abklingende Schwingung im Zeitbereich, u(t) = u0 exp (δT ) in [10−2 m] wie in der Abbildung 4.67 dargestellt, veranschaulichen. 0 (4x80 KV) (8x160 KV) (16x320 KV) Experiment -5 -10 -15 -20 0 5 10 t in [s] 15 20 Abbildung 4.67.: Vergleich des abklingenden Schwingungsverlaufs aus dem Experiment mit der Numerik. 110 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung Experiment Numerik |u| in [m] 0.3 0.2 0.1 0 (a) t = 0.3 s Numerik Experiment |u| in [m] 0.3 0.2 0.1 0 (b) t = 0.65 s Experiment Numerik |u| in [m] 0.3 0.2 0.1 0 (c) t = 0.95 s Numerik Experiment |u| in [m] 0.3 0.2 0.1 0 (d) t = 1.25 s Abbildung 4.68.: Momentanaufnahmen aus der instationären numerischen Simulation und dem Experiment für zwei aufeinanderfolgende Amplitudenausschläge. 4. Voruntersuchung und Numerische Validierung 111 Anhand des errechneten abklingenden Schwingungsverlaufs ist es ersichtlich, dass insbesondere die numerischen Ergebnisse des mittleren und feinen Gitters in einer gute Übereinstimmung mit dem experimentellen Verlauf sind. Die Berechnungsdauer für die drei systematisch verfeinerten Gitter, auf einem Intel(R) Core(TM) i5 CPU, 2.67GHz Prozessor, sind in der Tabelle 4.21 zusammengefasst. Die Tabelle verdeutlicht den Berechnungsaufwand des feinen Gitters. Dieser ist ungefähr 6 mal so hoch wie im Vergleich zum mittleren Gitter und fast 18 mal größer gegenüber dem groben Gitter. Tabelle 4.21.: Rechenzeit auf systematisch verfeinerten Gittern für einen Berechnungsvorgang von 20 s. Gitter Grob (4x80) Mittel (8x160) Fein (16x320) Rechenzeit 3724 s 11572 s 67973 s In den Abbildungen 4.68(a) bis 4.68(d) sind Momentanaufnahmen aus der instationären numerischen Simulation und dem Experiment für zwei aufeinanderfolgende Amplitudenausschläge visualisiert. Der erste Ausschlag im Zeitintervall von t = 0.3 s bis t = 0.65 s veranschaulicht die maximale Durchbiegung zum Zeitpunkt t = 0.3 s. Die Momentaufnahmen des Schwingvorgangs zeigt ein durchaus realistisches Verhalten des numerischen Strukturmodells. Damit können die Ergebnisse aus der numerischen Simulation als validiert betrachtet werden. Der Strukturlöser auf Basis der Finiten-Volumen Methode stellt somit eine geeignete Partition für einen Fluid-Struktur-Interaktionslöser (FSI-Löser) dar. Im nachfolgendem Kapitel werden numerische Fluid-Struktur-Interaktions-Verfahren erläutert und ein FSI-Löser zur Berechnung multiregionaler Wechselwirkungen zwischen ein- bzw. zweiphasiger Strömung und Festkörperstruktur auf Partitionsbasis der Finiten-Volumen-Methode vorgestellt. 112 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) Im Rahmen dieser Arbeit wird ein multiregionaler Fluid-Struktur-Interaktions-Löser auf der Basis der freien Berechnungssoftware OpenFOAM-1.6-ext erstellt. Dieser wird zur Untersuchung von dissipativen Eigenschaften hochviskoser Fluide am Beispiel eines am Institut konzipierten Dämpfungselement-Mechanismus durchgeführt. Das Dämpferelement ist eine an die monopilen Offshorebauwerke integrierte Komponente. Dieser Schutzmechanismus hat die Funktion, von den kontinuierlich einwirkenden Wellenlasten einen Teil der auftreffenden Wellenenergie zu dissipieren. Um diesen Sachverhalt untersuchen zu können, werden in diesem Kapitel die wesentlichen Grundlagen und theoretischen Kenntnisse zur FSI zusammengefasst und anschließend ein multiregionaler Kopplungsalgorithmus zur Analyse des FSI-Problems vorgestellt. Der Bereich FSI ist im Allgemeinen relativ breit gefächert und in spezieller Literatur entsprechend unterschiedlich mehr oder weniger ausführlich dokumentiert. Die nachfolgende Darstellung folgt der Arbeit von GUNDLACH [42], in der u.a. das Werk von FARHAT ET AL. [33] als eine Informationsgrundlage eingegangen ist. 5.1. Physikalische Problembeschreibung Grundsätzlich beschreibt die Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) den Austausch von Kräften oder Wärme zwischen mindestens einem Fluid (z. B. Wasser, Luft) und einer Struktur. Häufig spricht man in diesem Kontext von „flexiblen Strukturen“[80]. So erfolgt der Austausch von einwirkenden Kräften infolge z.B. eines strömenden Fluids und der daraus resultierenden Verformungen auf eine Struktur in kontinuierlich wechselwirkendem Kontakt miteinander. Im Bereich des Ingenieurwesens treten Fluid-Struktur-Interaktionen in zahlreichen Anwendungen auf. In vielen Fällen sind die durch gegenseitige Wechselwirkungen zwischen strömendem Fluid und umströmter Struktur auftretenden Effekte vernachlässigbar. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn sie im Verhältnis zum untersuchten Problem klein sind, oder wenn nur ein grober Überblick gewollt ist. Häufig können die Wechselwirkungen aber dermaßen stark sein, dass das Vernachlässigen dieser nicht mehr gerechtfertigt werden kann. Einige Beispiele aus dem technischen Bereich, in dem die Interaktion zwischen strömenden Fluiden und flexiblen Strukturen von großer Bedeutung ist, sind nachfolgend aufgeführt: 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 113 • Die Simulation der Tragflächen großer Verkehrsflugzeuge ist ein klassisches FSI-Problem. Um ein reales aerodynamisches Verhalten des Flugzeuges zu bestimmen, müssen die Verformungen, die durch Auftriebs- und Widerstandskräfte verursacht werden, mit berücksichtigt werden. • Der Blutfluss in Gefäßen oder im Herzen kann mittels FSI-Simulationen gründlicher analysiert werden. Blutgefäße sind sehr elastisch und für ein besseres Verständnis des Blutfließverhaltens darf deren Verformung nicht vernachlässigt werden. • Im Bereich des Bauwesens gibt es Problemstellungen, bei denen die FSI einen entscheidenden Einfluss auf die Auslegung eines Tragwerks hat. Beispiele hierfür sind das Schwappen in flüssigkeitsgefüllten Behältern unter dynamischer Anregung, etwa zur Schwingungsdämpfung von Hochhäusern bei Erdbeben oder windinduzierten Schwingungen von weit gespannten Brücken, Kühlturmschalen oder Membrandächern. Im gleichen Maße ist aber auch die Problematik bei durch Wellenaufschläge auftretenden Belastungen auf Offshore-Windkraftanlagen diesem Bereich zuzuordnen. Im Folgenden wird die mathematische Formulierung hinsichtlich dieser Art von Problemen mit den physikalischen Gebieten Ψf , Ωs (s. Abb. 5.1) erläutert. Ψf kennzeichnet dabei das physikalische Teilgebiet1 eines Fluids, darin gelten im Allgemeinen die Navier-StokesGleichungen. Im Teilgebiet Ωs , welches eine Strukturregion kennzeichnet, gilt entsprechend die Impulserhaltungsgleichung eines Festkörpers. Die gemeinsame Schnittstelle Γ = Ψf ∩ Ωs der physikalischen Gebiete ist die Interaktionsgrenze2 bzw. Kopplungsschnittstelle. In die- Ψf Γ Ωs Abbildung 5.1.: Skizze eines FSI-Problems. Darin sind die physikalischen Teilgebiete für das Fluid Ψf , den Festkörper Ωs und eine gemeinsame Interaktionsschnittgrenze Γ gekennzeichnet. ser Konfiguration können die Erhaltungssätze der verschiedenen Bereiche nicht getrennt voneinander gelöst werden, ohne dass der kontinuierliche Informationsfluss von Kräften und Verschiebungen an der Interaktionsgrenze stattfindet. Der Austausch des Informationsflusses erfolgt dabei durch zwei Kopplungsbedingungen am Interface. Die vorgegebenen Kopplungsbedingungen werden im Allgemeinen in kinematische und dynamische Kontinuitätsbedingungen unterteilt3 . Sie gewährleisten die Erhaltung der Kontinuität und Impulse (und ggf. auch Energie) über die Interaktionsgrenze hinaus: 1 2 3 Auch als Bereich oder Gebiet bezeichnet. In engl. auch Interface genannt. s. DONEA ET AL. [28]. 114 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) (i) Die dynamischen Kontinuitätsbedingungen geben Kopplungsbedingungen am Interface im Neumannschen Sinne vor. Demnach wird hier die Kontinuität des CauchySpannungsvektors auf der Interaktionsgrenze zu allen Zeiten gefordert, so dass nach [28] auch gelten muss: σ(u) · n = t(u) = −pI + T(∇x v) · n. (5.1) In diesen Zusammenhang steht der Ausdruck n für den Normalenvektor auf Γ. (ii) Bei den kinematischen Kontinuitätsbedingungen handelt es sich um die Vorgabe von Dirichletschen Randbedingungen. Diese müssen zu allen Zeiten gewährleisten, dass sich weder eine Aufklaffung, noch eine Überlappung zwischen den Gittern des Fluidgebiets und des Strukturgebiets ergibt. Es muss somit die Verschiebung und die Geschwindigkeit beider Gebiete übereinstimmen: u̇Γ = v Γ . (5.2) Mit den Bilanzgleichungen und den Kopplungsbedingungen der zusammen interagierenden physikalischen Gebiete, stellt sich somit eine kontinuierliche Formulierung eines gemeinsamen FSI-Problems dar. 5.2. Numerische Lösungsansätze In der technischen Literatur existiert eine Vielzahl von verschiedenen numerischen Lösungsverfahren zur Realisierung der FSI-Probleme. Da die Klassifizierung der Fluid-StrukturInteraktions-Fachbegriffe zu einem universell verwendbaren Verfahren weiterhin in der Entwicklung steht, lehnt sich diese Arbeit an die Fachbegriffe der Arbeiten von FARHAT ET AL. [33] und VON SCHEVEN [84] an. In diesem Unterkapitel soll ein Überblick über die gängigsten FSI-Lösungsverfahren gegeben werden. Dazu stellt die Abbildung 5.2 eine Gliederung über die im nachfolgenden einzeln erläuterten Verfahren dar. Wie anhand der Grafik ersichtlich, unterscheidet man zunächst zwischen monolithischen und partitionierten FSILösungsverfahren. Die mathematische Charakteristik der monolithischen Lösungsverfahren besteht in dem Aufbau eines einzigen Systems von nichtlinearen algebraischen Gleichungen, welches alle beteiligten Gebiete impliziert. Bei der Erzeugung dieses Gleichungssystems spricht man von einer „simultanen Diskretisierung“. Daraus ergeben sich einige Forderungen. Die physikalischen Felder der beteiligten, zu lösenden Gebiete müssen mit denselben Gleichungen beschreibbar bzw. modellierbar sein. Die Berücksichtigung der verschiedenen physikalischen Eigenschaften der einzelnen Gebiete erfolgt dabei in Form von unterschiedlichen, an das jeweilige Gebiet angepassten, Materialgesetzen. Das ganze System wird gleichzeitig im Ganzen diskretisiert und linearisiert, was zu einem einzigen Gleichungssystem führt. Die 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 115 FSI−Lösungsverfahren monolithische Verfahren partitionierte Verfahren einfach gestaffelte parallel gestaffelte iterativ gestaffelte sequenziell gestaffelte Block− Iteration− Verfahren Newton− Krylow− Verfahren Abbildung 5.2.: Gliederung der Lösungsverfahren zur FSI oben genannten dynamischen (5.1) und kinematischen (5.2) Kopplungsbedingungen werden dabei exakt erfüllt, da diese bereits in der Modellierungsprozedur des Gleichungssystems mit einbezogen werden. Dies ist ein Vorteil im Hinblick auf die Stabilität und Genauigkeit des Ansatzes. Unter implementierungstechnischen Aspekten betrachtet, bedürfen monolithische Verfahren eines äußerst eingeschränkten und spezialisierten Programmcodes. Diese haben den Nachteil, dass einzelne Fluid- und Struktur-Berechnungsgebiete nur sehr aufwendig an eine neue physikalische Problemstellung angepasst werden können4 . Zudem ist aufgrund des speziellen Codes auch eine Erweiterung und Übertragung auf ähnliche Problemstellungen nur mit großem Aufwand zu realisieren. Aufgrund dieser Tatsachen sind partitionierte Lösungsverfahren in komplexeren Fällen vorteilhafter. Anders als bei den monolithischen Lösungsverfahren werden bei den partitionierten Lösungsverfahren jeweils eigene Gleichungssysteme für die beteiligten Gebiete aufgestellt. Die Diskretisierung bei der Erzeugung ist nicht simultan, sondern modular. Demnach können bei der Diskretisierung die jeweiligen physikalischen Eigenschaften der Teilbereiche unabhängig voneinander berücksichtigt werden. Die Zeitschrittweite für die Diskretisierung müssen hierbei für unterschiedliche Gebiete nicht zwangsweise gleich gewählt sein, da die Diskretisierung völlig unabhängig erfolgt. Diese Verfahren eignen sich sehr gut für die Wiederverwendbarkeit von Programmcodes, da auf die jeweiligen physikalischen Gebiete durch den erstellten Solver 5 unabhängig voneinander Änderungen vorgenommen werden können. Die Kopplungsbedingungen an den Interaktionsgrenzen müssen jedoch stets erfüllt sein, so dass der Informationsfluss zur Lastübertragung vom Fluid auf die Struktur und zur Übertragung der Geschwindigkeit von der Struktur auf das Fluid jeweils gewährleistet wird. Dazu gibt es für partitionierte Lösungsverfahren unterschiedlich genutzte Variationen, die im nachfolgenden Unterkapitel näher erläutert werden. 4 5 s. dazu auch [84]. engl. Wort für ein FSI-Löser bzw. Berechnungsprogramm. 116 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 5.2.1. Partitionierte Lösungsverfahren Wie in Abbildung 5.2 gezeigt, wird bei den partitionierten Verfahren zwischen einfach gestaffelten und iterativ gestaffelten Verfahren6 unterschieden. In der ersten Instanz liegt der Fokus der Untersuchungen dieser Arbeit auf den sequenziell und iterativ gestaffelten Kopplungsalgorithmen. Diese werden je nach Problemstellung der Wechselwirkung zwischen einem oder mehreren physikalischen Teilgebieten in einem Solver zur Anwendung modifiziert. Zum Verständnis der nachfolgend aufgelisteten Ablaufdiagramme der Kopplungsalgorithmen, werden zwei symbolische Teilgebiete eingeführt: - Ψ: kennzeichnet die Approximation des flüssigen Teilgebiets. - Ω: kennzeichnet die Approximation des soliden Teilgebiets. Desweiteren wird zwischen zwei unterschiedlichen Staffelungsverfahren zur Berechnung des nächsten Zeitschritts unterschieden, diese werden auch parallel oder sequenziell7 gestaffelte Verfahren genannt. Ein gestaffeltes Verfahren wird als parallel bezeichnet, wenn die Berechnung der beiden Teilbereiche von Fluid und Struktur zur gleichen Zeit erfolgt. So wie in Abbildung 5.3(a) veranschaulicht, gilt folglich: Ψn+1 = Φf Ψn , Ω̇n |Γ Ωn+1 = Φs Ωn , f (Ψn )|Γ . (5.3) Hierbei kennzeichnet Φf /s die Funktionslösungen der entsprechenden flüssigen und festen Teilbereiche. Wie zu sehen ist, werden die Werte des neuen Zeitschritts ausschließlich mit den Werten des aktuellen Zeitschritts berechnet, so dass anschließend der Austausch von Informationen zu jedem Zeitschritt über die Kopplungsbedingungen erfolgt. Dieses Verfahren ist praktisch, wenn die Berechnungszeiten von Fluid und Festkörper ähnlich sind. In den meisten Fällen geht jedoch der größte Anteil der gesamten Berechnungsdauer vom flüssigen Teilgebiet aus. Den Vorteil bietet hierzu das sequenziell gestaffelte Verfahren (CSS) (s. Abb.5.3(b)). Beim CSS-Verfahren kann die Bewegung des Festkörpers aus dem Datensatz des neuen Zeitschritts der Fluidberechnung erfolgen, so dass die einzelnen Teilgebiete sequenziell bzw. nacheinander gelöst werden: Ψn+1 = Φf Ψn , Ω̇n |Γ Ωn+1 = Φs Ωn , f (Ψn+1)|Γ . (5.4) Das CSS-Verfahren ist das unter den partitionierten Verfahren zur Lösung eines FSI-Problems am häufigsten verwendete und bietet verschiedene Ansatzmöglichkeiten zur Umsetzung in 6 7 In [33] auch conventional staggered schemes (CSS) und iterativ staggered schemes (ISS) genannt. engl. Conventional Parallel Staggered (CPS) und Conventional Serial Staggered (CSS). 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 117 einem Programmcode. Eine modifizierte Variante des Grund-CSS-Algorithmus ist das CSSVerfahren mit subcycling8 (Abb.5.4(a)). Der Vorteil dieses Verfahrens besteht darin, den Aufwand für die Berechnungsdauer des Festkörperteilgebiets zu reduzieren, wobei die Zeitschrittweite zur Lösung des flüssigen Teilgebiets feiner aufgelöst werden kann. Ψn Φf Ψn , Ω̇n |Γ Ψn+1 Ψn Φf Ψn , Ω̇n |Γ 1 Ψn+1 1 un+1 4 tn+1 tn+1 1 Ωn un+1 2 2 3 Φs Ωn , f (Ψn )|Γ Ωn+1 Ωn Φs Ωn , f (Ψn+1 )|Γ Ωn+1 (b) CSS (a) CPS Abbildung 5.3.: Einfach gestaffelte parallele (CPS) oder sequenzielle (CSS) FSI-Algorithmen. Der CPSAnsatz wird in der Literatur auch als Jacobi-Verfahren und der CSS-Ansatz als GaußSeidel-Verfahren bezeichnet, nach [33]. Die oben eingeführten einfach gestaffelten Verfahren besitzen einen Nachteil. Diese können offensichtlich die Kopplungsbedingungen nicht korrekt erfüllen bzw. keine hinreichend genaue Konvergenz der Strukturverschiebung in einer Zeitschrittlösung gewährleisten. Dieser Sachverhalt ist am Beispiel der dynamischen Kopplungsbedingung ersichtlich σ(u) · n = −pI + T(∇x v n+1 ) · n, σ(un+1 ) · n = −pI + T(∇x v n+1 ) · n. (5.5) (5.6) Das CSS-Verfahren wird in diesem Zusammenhang nach KULAK [61] auch als eine schwache Kopplung bezeichnet. Laut [61] ist die Stärke der Kopplung durch den Konvergenzgrad der Teilgebiete zu jedem Zeitschritt während der Lösungsprozedur gekennzeichnet. In der FSILiteratur von MATTHIES und STEINDORF [66], [68] wird eine schwache Kopplung auch als explizit gekennzeichnet. Diese führt zu Instabilitäten aufgrund der Informationsflussverluste bzw. einer nicht korrekten Übergabe der in Wechselwirkung stehenden physikalischen Größen der Teilgebiete an den Kopplungsschnittstellen. Das Problem wird in WALL und MOK [102] und anderen [13], [79] [39] als Artificial-Added-Mass-Effect bezeichnet. Dieser ist am stärksten ausgeprägt, wenn die Flüssigkeits- und Strukturdichten in etwa gleich groß sind [72], [13]. Eine Abhilfe gegen das Phänomen Artificial-Added-Mass-Effect wird durch die Einführung einer Iterationsvorschrift, wie durch ABOURI ET AL. [1] und DEPARIS ET AL. [25] gezeigt, geschaffen. Dabei wird ein explizit gekoppelter Algorithmus zu einem implizit gekoppelten 8 engl. Word für unter Zeitschrittweite. 118 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) Verfahren überführt [67]. Diese Methode ist auch als iterativ gestaffeltes Verfahren ISS9 bekannt (s. Abb.5.4(b)). Ψn Φf Ψn , Ω̇n |Γ Δt/ns 2 Ψn+1 Φf Ψn , Ω̇n |Γ Ψn Ψ(1) Φf Ψn , Ω̇(1) |Γ Ψ(2) 1 un+1 tn+1 u(1) 4 u(2) t(1) t(2) 3 Ωn Φs Ωn , f (Ψn+1 )|Γ Ωn+1 Ωn Φs Ωn , f (Ψ(1) ) Γ (a) CSS with subcycling Ω(1) Φs Ωn , f (Ψ(2) ) Γ Ω(2) (b) ISS Abbildung 5.4.: Die einfach gestaffelten Verfahren können mit subcycling verbessert oder durch die Einführung von iterativen Prozessen weiter entwickelt werden, nach [33]. Die erforderliche Iteration für einen implizit gekoppelten Ansatz ist im Allgemeinen durch eine Fixpunktiteration [24],[67] formuliert. Das Ziel des ISS-Verfahrens ist die Erfüllung der Fixpunktgleichung Ω = Φs Ωn , f (Ψ)|Γ = Φs Ωn , f Φf (Ψn , Ω̇ |Γ ) (5.7) mit der folgenden Iterationsvorschrift: Ω(0) = Ωn , Ψ(0) = Ψn Ψ (k+1) (k+1) Ω = Φf (Ψn , Ω̇(k) |Γ ) = Φs Ωn , f (Ψ (k+1) (5.8) ) |Γ . Dabei werden für jeden Zeitschritt in den beteiligten Gebieten durch einen iterativen Prozess, innerhalb der Gebiete, die Kopplungsvariablen so lange verbessert, bis ein zuvor definiertes Residuum ||Ω(k+1) − Ω(k) || < ε (5.9) die Gleichung (5.7) hinreichend genau erfüllt. Ein Bezugswert zur Bildung des Residuums kann beispielsweise durch die monolithische Lösung vorgegeben werden, gegen welche bei kleiner werdendem Residuum die iterative Lösung konvergiert. Dadurch kann der Erhalt von Masse, Impuls und gegebenenfalls Energie an der Interface sichergestellt werden. Da die Vorgabe und die exakte Erfüllung eines beliebig kleinen Residuums der kinematischen und dynamischen Kopplungsbedingungen hierbei aufgrund einer starken algorithmischen Kopplung erreicht wird, spricht man in diesem Kontext häufig auch von einer starken 9 Iterative Serial Staggered Algorithmus. 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 119 Kopplung10 . Im Bereich der Fluid-Struktur-Interaktion von inkompressiblen Strömungen hat sich diese Verfahrensgruppe gegenüber den einfach Gestaffelten in der Praxis durchgesetzt. Diese ISS-Verfahren lassen sich grundsätzlich in • Block-Iterations-Verfahren Block-Gauß-Seidel-Verfahren, Richardson-Iteration, iteratives Dirichlet-Neumann-Substruktur-Verfahren • Newton-Krylow-Verfahren Newton-Verfahren, Quasi-Newton-Verfahren unterteilen. Auf die einzelnen ISS-Verfahren wird an dieser Stelle nicht näher eingegangen. Bei Bedarf sei der Leser auf die einschlägige Literatur [46],[26],[84] und [97] verwiesen. Nachfolgend soll lediglich auf das Block-Gauß-Seidel-Verfahren eingegangen werden. Dieses wird in dieser Arbeit zur Untersuchung von Dämpfungseigenschaften hochviskoser Flüssigkeiten mit einem multiregionalen Fluid-Struktur-Kopplungsalgorithmus umgesetzt. 5.2.2. Multiregionaler FSI-Kopplungsalgorithmus Wie bereits erwähnt, wird in dieser Arbeit ein iterativer Ansatz zur Berechnung multiregionaler Fluid-Struktur-Wechselwirkungen realisiert. Als Basis-Kopplungsalgorithmus wird das Block-Gauß-Seidel-Verfahren11 eingesetzt. Dieses hat sich im Bereich der Fluid-StrukturInteraktion in besonderem Maße bewährt12 . In Abbildung 5.5 ist das Block-SOR-Verfahren in einer etwas detaillierten Darstellung im Vergleich zu Abbildung 5.4(b) als Ablaufdiagramm dargestellt. Zu Verdeutlichungszwecken werden nachfolgend die in Abbildung 5.5 genutzte Ausdrücke und Ablaufschritte des Kopplungsprozesses zusammengefasst erläutert13 . Bei den in den Quadern dargestellten Ausdrücken handelt es sich um Operatoren. Diese Operatoren symbolisieren die jeweiligen Berechnungsalgorithmen der Fluid- und Strukturlöser. Die Ausdrücke in den Ovalen sind die jeweils zwischen den Operatoren übergebenen Feldgrößen. Der Operator Ψ̃i ukΓ , v kΓ symbolisiert den Strömungslöser mit Gitterbewegung. Dieser setzt sich hierbei 10 Diese Bezeichnung wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet. In der englischsprachigen Literatur auch „Block-SOR-Verfahren“. 12 s. dazu [11], [14], [24]. 13 Auf den Zeitschritt-Index sei an dieser Stelle verzichtet, da dieser keine große Bedeutung für das Verständnis hat. 11 120 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) n+1 ukΓ,n Gitter&Fluidlöser Ψ̃i v kΓ , ukΓ NEIN − ukΓ || < ε ||uk+1 Γ tk+1 Γ JA uk+1 Γ,n+1 uk+1 Γ Strukturlöser Relaxation ûk+1 Γ Ω̂i tk+1 Γ P̂ ûk+1 Γ Abbildung 5.5.: Block-SOR-Verfahren für multiregionale Fluid-Struktur-Wechselwirkungen aus zwei Teiloperatoren Ψ̂i ukF , vkΓ und Γ̂i ukΓ zusammen. Der Teiloperator Ψ̂i ukF , v kΓ = tk+1 Γ (5.10) berechnet aus dem Strömungsfeld die am Interface wirkenden Kopplungskräfte tk+1 Γ . Dabei kennzeichnet v kΓ die Geschwindigkeit am Interface und ukF die Bewegung des Fluidgitters. An dieser Stelle sei angemerkt, dass der Index i durchgehend für alle Operatoren eine optionale Anzahl von Fluid- und Strukturregionen steht, die jeweils für einen Zeitschritt im Algorithmus sequentiell gelöst werden. Die Bewegung des Fluidgitters ukF wird dabei in einem Zwischenschritt durch den Teiloperator Γ̂i ukΓ = ukF (5.11) aus der Interfaceverschiebung bestimmt, so dass auch Ψ̂i ukF , v kΓ = Ψ̂ Γ̂i (ukΓ ), vkΓ = Ψ̃i ukΓ , v kΓ = tk+1 Γ (5.12) geschrieben werden kann. Mit der Verschiebung des Fluid-Gebiets ukF , ist auch die Lage der neuen Gitterpunkte vorgegeben. bildet einerseits das Ergebnis des jeweiligen Die daraus resultierende Kopplungskraft tk+1 Γ Zeitschritts, andererseits wird diese auch als Initialwert für den nächsten Zeitschritt als Ar übergeben. gument an den Operator Ω̂ tk+1 Γ Die Lösung des Operators = ûk+1 Ω̂ tk+1 Γ Γ ist ein Verschiebungsvektor(-feld) ûk+1 Γ (5.13) vom Interface, welcher aus den zuvor übergebenen der selbigen ermittelt wird. Aus den Verschiebungen können direkt Kopplungskräften tk+1 Γ 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 121 auch die Geschwindigkeiten v k+1 vom Interface bestimmt werden. Γ Zu erläutern bleibt lediglich noch der Relaxationsoperator: = uk+1 P̂ ûk+1 Γ Γ . (5.14) wird das Aitken-Verfahren nach KÜTTLER und WALL [63] verZur Relaxation von ûk+1 Γ wendet. Die eingeführte Relaxation der Verschiebung an der Kopplungsgrenze dient dabei zur Konvergenzbeschleunigung einer FSI-Simulation [63]. Diese kann jedoch in wenigen Fällen sogar zwingendermaßen erforderlich sein, um überhaupt Konvergenz zu erhalten (vgl. [79], [39]). Die Relaxationsformel kann folgendermaßen ausgedrückt werden: = (1 − ω k+1) ukΓ + ω k+1 ûkΓ . ûk+1 Γ (5.15) Bei geeigneter Bestimmung des Parameters ω k+1 kann neben der Qualität der Ergebnisse auch die Rechenzeit günstig beeinflusst werden. Die Bestimmung des Relaxationsparameters ω k+1 muss für jeden Iterationsschritt neu erfolgen. Der Relaxationsparameter wird dabei aus dem Aitken-Faktor μk+1 mit ω k+1 = 1 − μk+1 (5.16) berechnet. Der Aitken-Faktor nach der Formulierung von IRONS und TUCK [70], [101] berechnet sich mittels folgender Formel μk+1 = μk + (μk − 1) k+1 T (ΔukΓ − Δuk+1 Γ ) ΔuΓ k+1 2 k (ΔuΓ − ΔuΓ ) (5.17) mit der korrigierten Interfaceverschiebung des aktuellen Zeitschritts Δuk+1 und der selbigen Γ des vorangehenden Zeitschritts ΔukΓ , wobei = ûkΓ − uk+1 Δuk+1 Γ Γ , ΔukΓ = ûk−1 − ukΓ . Γ (5.18) Zusammengefasst kann der Berechnungsablauf des Kopplungsalgorithmus aus Abbildung 5.5 wie folgt aufgeführt werden: Zu Beginn jedes neuen Zeitschritts n + 1 ist die Eingabe der Interface-Lage aus der vorhergehenden Iteration ukΓ erforderlich. Diese kann über einen Strukturprädiktor z.B. zweiter Ordnung, dieser wurde von PIPERNO und FARHAT [79] zur Steigerung der Genauigkeit einer FSI-Berechnung eingesetzt, durchgeführt werden. Weist in diesen Fall die Näherungslösung ein gutes Konvergenzverhalten auf, so wird die auskonvergierte Lösung des vorherigen Zeitschritts direkt an den Fluidlöser weitergegeben. Im nächsten Schritt berechnet an dem Interface. Diese Kräfte der Fluidlöser daraus die aktuellen Kopplungskräfte tk+1 Γ 122 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) führen bei der Struktur zu einer vorläufigen Verschiebung ûk+1 Γ , welche vom Strukturlöser berechnet wird. Im Anschluss daran wird bei der Relaxation mit dem Aitken-Verfahren aus dieser Verschiebung und der selbigen des vergangenen Zeitschritts (ukΓ ) die endgültige Verfür den aktuellen Iterationsschritt bestimmt. Diese wird im abschließenden schiebung uk+1 Γ Zeitschritt auf Konvergenz geprüft und bei Bedarf durch einen weiteren Iterationsschritt korrigiert. Anschließend daran erfolgt der letzte Schritt des Kopplungsalgorithmus, indem als Initialzustand an den nächsten Zeitschritt n + 1 übergeben wird, bei welchem die uk+1 Γ gesamte Prozedur des Informationsaustauschs erneut durchlaufen wird. 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 123 5.3. Validierung des FSI-Lösers Zur Validierung des FSI-Lösers wird ein in der Literatur bekanntes und etabliertes Berechnungsbeispiel eines Dammbruchs auf eine elastische Struktur simuliert. Als Referenz zu den eigenen Simulationsergebnissen werden die Ergebnisse von KÖLKE ET AL. [62] und BAUDILLE [6] gegenübergestellt. Das Modell von [62] basiert dabei auf einem monolithischen FSI-Ansatz, bei dem die Modellgleichungen für die zweiphasige Fluidströmung und die Struktur mittels der Raum-Zeit-Finite-Element-Methode diskretisiert werden. Das Berechnungsmodell von BAUDILLE stammt dagegen aus einem hybriden Kopplungsansatz, bei dem ein implizites Lösungsverfahren zwischen einer auf Finiten-Elementen basierenden Methode (zur Lösung der Strukturpartition) und einer Finiten-Volumen-Methode (zur Lösung der Fluidpartition) verwendet wird. 5.3.1. Problembeschreibung Dammbruch Die Abbildung 5.6 zeigt gemäß [62] eine zweidimensionale Konfiguration des zweiphasigen Strömungs- und Struktur-Wechselwirkungsmodells (Dammbruch) zur Zeit t = 0 s. Die physikalischen Teilgebiete sind durch eine zweiphasige Fluidpartition Ψf und eine Strukturpartition Ωs definiert. Der Anfangszustand des Strömungsgebiets Ψf ist durch einen 0.292 m hohen und 0.146 m breiten Wasserblock (Dichte ρw und Viskosität νw ) initialisiert. Der 0.584 m Γ1 Γ2 Γ3 0.146 m 0.45 m ρl ρw 0.015 m 0.08 m 0.292 m Ψf 0.292 m Ωs , ρs Γ5 Γ4 Abbildung 5.6.: Anfangskonfiguration des zweiphasigen StrömungsWechselwirkungsmodells (Dammbruch) zur Zeit t = 0 s. und Struktur- Wasserblock wird von der Luft (Dichte ρl und Viskosität νl ) umgeben und unterliegt einer Gravitationsbeschleunigung g von 10 m/s2 . Fällt der Wasserblock infolge der auf ihn ausge- 124 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) übten Erdbeschleunigung nach unten, so kommt es zur Wechselwirkung zwischen dem in der Mitte des Berechnungsgebiets platzierten elastischen Hindernis Ωs (Dichte ρs , Poissonzahl νs und Elastizitätsmodul E) und der auflaufenden Wassermasse. An dieser Stelle sei angemerkt, dass das ursprüngliche Validierungsbeispiel des Dammbruchmodells (s. beispielsweise KOSHIZUKA [60]) rein auf Basis einer CFD-Analyse zur Abbildung einer zweiphasigen Oberflächenprofilströmung mit einem starren Hindernis betrachtet wurde. Das hier vorliegende Simulationsmodell (FSI-Modell) wird dagegen mit einer elastischen Struktur betrachtet, die infolge der hydrodynamischen Druck- und Reibungskräfte des fallenden Wasserblocks verformt wird. 5.3.2. Numerisches Modell Die Materialparameter des zweiphasigen newtonschen Fluids (Wasser und Luft) sind gemäß [62], zusammen mit dem Parameter der elastischen Struktur eines Sain-Venant-KirchhoffModells, in der Tabelle 5.1 eingetragen. Tabelle 5.1.: Verwendeten Parameter für die Simulation des Dammbruchs nach [62]. Parameter Wert Einheit ρw ρl ρs νw νl E νs 1000 1 1000 10−6 10−5 106 0.5 kg/m3 kg/m3 kg/m3 m2 /s m2 /s N/m2 - Für die räumliche Diskretisierung des physikalischen Teilgebiets Ψf wird, wie in Abbildung 5.7 dargestellt, ein blockstrukturiertes Gitter erzeugt. Das gesamte Berechnungsgebiet besteht dabei aus fünf Blöcken, die sich aus insgesamt 9735 KV-Zellen zusammensetzen. Das physikalische Teilgebiet Ωs der Struktur besteht dagegen aus einem Block, der über seine Breite und Höhe mit 7x30 KV Zellen aufgelöst wird. Dabei wird die Konzentration der KV-Zellen des Teilgebiets Ψf im Bereich der Struktur berücksichtigt, so dass auftretende Gradienten mit feiner werdenden Zellen besser abgebildet werden. Die Diskretisierung der Modellgleichungen und deren Lösungsverfahren für beide Teilpartitionen sind gemäß Kapitel 3 Abschnitt 3.1 bis 3.6 definiert. Die Randbedingungen für das Strömungsgebiet gemäß der Abbildung 5.6 können anhand der Tabelle 5.2 entnommen werden. Für die Kopplungsbedingungen am Interface Γ5 gelten entsprechend die Gleichungen (5.1) und (5.2). Als implizite Kopplung zwischen den Teilgebieten Ψf und Ωs wird der Block-SOR-Kopplungsalgorithmus aus Abschnitt 5.2.2 verwendet, bei dem der Relaxationsparameter in jedem Iterationsschritt nach dem Aitken-Verfahren berechnet wird. Der iterative Berechnungsvorgang beider Partitionen wird beendet, wenn das Abbruchskriterium nach Gleichung (5.9) mit ε ≤ 10−6 erreicht 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 125 Abbildung 5.7.: Blockstrukturiertes Berechnungsgitter des Dammbruch Modells. wird. Tabelle 5.2.: Randbedingungen am Dammbruch. α v in m/s =0 α=0 ∂α =0 ∂n ∂α =0 ∂n ∂α =0 ∂n v=0 ∂v =0 ∂n v=0 v=0 vm Rand Γ1 Γ2 Γ3 Γ4 Γ5 ∂α ∂n v̂ in m/s v̂ v̂ v̂ v̂ v̂ =0 =0 =0 =0 =0 p in N/m2 ∂p ∂n =0 p=0 =0 =0 =0 ∂p ∂n ∂p ∂n ∂p ∂n Die Ergebnisse aus der Simulationen werden im nachfolgenden Abschnitt zusammenfassend dargelegt. 5.3.3. Ergebnisse der Validierung In Bilddiagramm 5.8 sind die Ergebnisse der horizontalen Verschiebungen der flexiblen Struktur über die Zeit hinweg von verschiedenen Modellen aufgetragen. Die Auswertung der horizontalen Verschiebung über die Zeit erfolgt dabei am oberen Gitterpunkt an der Position 0.2995 m in x- und 0.08 m in y-Richtung (vgl. Abb. 5.6). Im Weiteren werden die einzelnen Verläufe miteinander verglichen und deren relative Abweichung bezüglich der maximalen Verschiebung ∆umax und des Zeitpunkts ∆tmax diskutiert. Dabei wird das eigene numerische Dammbruch-Modell (Linie mit schwarzen Kreisen in Abb. 5.8) mit den experimentellen Ergebnissen von [62] (Linie mit schwarzen Rechtecken) und den numerischen Ergebnissen von [6] (Linie mit weißen Rechtecken) gegenübergestellt. Die relativen Abweichungen zusammen mit den maximalen Verschiebungen umax am Auswertungspunkt und den dazugehörigen Zeitpunkten tmax einzelner Modelle sind in der Tabelle 5.3 zusammengefasst. 126 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) Verschiebung in [10−2 m] 35 Eig. numerische Lsg. Experiment Ref. [62] Numerische Lsg. Ref. [6] 30 25 20 15 10 5 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Zeit in [s] 0.6 0.5 Abbildung 5.8.: Horizontale Verschiebung am Auswertungspunkt an der Position 0.2995 m in x- und 0.08 m in y-Richtung (vgl. Abb. 5.6). Tabelle 5.3.: Vergleich der maximalen Verschiebungen umax am Auswertepunkt mit den dazugehörigen Zeitpunkten tmax aller Referenzmodelle mit den Ergebnissen des eigenen numerischen Modells. Eig. num. Lsg. Exp. Ref. [62] Num. Lsg. Ref. [6] umax in [10−2 m] 31.8 26.1 27.9 Δumax in [%] 0 17.9 12.3 tmax in [s] 0.22 0.26 0.22 Δtmax in [%] 0 -18.2 0 Im Wesentlichen zeigen beide numerischen Modelle eine charakteristisch ähnliche Form auf. Im Vergleich zum Experiment weisen die numerischen Ergebnisse einen etwas höher liegenden Maximalwert der Verschiebung umax auf. Die relative Abweichung der maximalen Verschiebung beträgt dabei ca. 12.3% des numerischen Referenzmodells bezogen auf das eigene numerische Simulationsmodell. Im Gegensatz zu der leicht abweichenden Verschiebung sind die Zeitpunkte tmax von umax ungefähr gleich. Darüber hinaus unterscheidet sich der experimentelle Verlauf gegenüber dem numerischen in einem insgesamt flacheren Verschiebungsanstieg, der im Zeitintervall von t ≈ 0.13 s bis t ≈ 0.26 s stattfindet. Dagegen ist der Anstieg beider numerischer Modelle in etwa gleich groß. Die möglichen Ursachen der leichten Abweichung könnten sein: • Unterschiedlich verwendete Materialmodelle bzw. Parameter der elastischen Probe. Dazu sind genauere experimentelle Analysen der Materialparameter notwendig. • Das Simulationsmodell umfasst nur zwei Dimensionen. Die dritte Richtung wird dabei 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) 127 nicht in der Simulation berücksichtigt. Für die Struktur heißt das die Annahme des ebenen Dehnungszustands. • Anwendung unterschiedlicher Diskretisierungsmethoden zur Berechnung der einzelnen Fluid- und Struktur-Partitionen. • Leichte Messgeräteabweichungen könnten ebenfalls zu ungenauen Ergebnissen führen. Trotz der geringfügigen Abweichungen zeigt das FSI-Modell eine gute Übereinstimmung der Strukturverschiebung über die Zeit im Vergleich zur numerischen Referenz- und dem experimentellen Modell. Dies äußert sich insbesondere in der visuellen Darstellung des FluidStruktur-Interaktionsprozesses wieder. Die nachfolgende Abbildung 5.9 zeigt den Wechselwirkungsprozess zwischen dem fallenden Wasserblock und der elastischen Struktur. Die Ergebnisse des eigenen numerischen Modells werden dabei in einer zeitlicher Bildsequenz zu den experimentellen und numerischen Ergebnissen von [62] gegenübergestellt. Für die Darstel- Num. Lsg. Exp. Ref. [62] t = 0.16 s t = 0.24 s t = 0.32 s Abbildung 5.9.: Visueller experimenteller und numerischer Vergleich. lung der flüssigen Phase (fallender Wasserblock) wird die berechnete Feldgröße α zusammen mit der Wasseroberfläche im Bereich zwischen 0.5 ≤ α ≤ 1 abgebildet. Die experimentellen Ergebnisse zeigen dabei eine relativ gute Übereinstimmung in Bezug auf die zeitliche Entwicklung des fallenden Wasserblocks und die Verformung der elastischen Struktur. Der Vergleich der numerischen Ergebnisse im Bild 5.10 zeigt ebenfalls eine gute Übereinstimmung in Bezug auf das transiente Fortschreiten des Wasserblocks und der Strukturverschiebung. In diesem Abschnitt wurde die Plausibilität des impliziten FSI-Solvers auf Basis der zweiphasigen Fluidströmungs- und elastischen Strukturberechnung überprüft. Die Simulationsergebnisse aus der Berechnung mit dem FSI-Löser am Beispiel eines Dammbruch-Modells 128 5. Fluid-Struktur-Interaktion (FSI) eig. Num. Lsg. Num. Ref. [62] Abbildung 5.10.: Visueller Vergleich der numerischen Simulationen. nach [62] und [6] zeigten eine durchaus plausible und realistische Abbildung dieses Wechselwirkungsprozesses. Damit kann der FSI-Solver als validiert betrachtet und für weitere Untersuchungen dieser Arbeit verwendet werden. 6. Multiregionale FSI-Modellierung 129 6. Multiregionale FSI-Modellierung: Wellenbeaufschlagtes Dämpfungselement Die ersten Untersuchungen auf dem Gebiet der Wellenbelastung von Offshore-Bauwerken liegen bereits mehrere Jahrzehnte zurück und werden mit Arbeiten von HAVELOCK [45], VON KÁRMÁN [98] und LAMB [64] in Verbindung gebracht. Einen wichtigen Beitrag in diesem Forschungsbereich nimmt heutzutage die Bestimmung der Strömungskräfte und Belastungen an zylindrischen Konstruktionen ein, die in zahlreichen wissenschaftlichen Arbeiten zu FluidStruktur-Wechselwirkungen ihre Anwendung finden (vgl. WIENKE und OUMERACI [108], PEIL und CORTE [76]). Um der dargestellten Problematik Rechnung zu tragen sowie zur aktuellen Diskussion in den Ingenieurwissenschaften einen Beitrag zu leisten, wurde am Institut für Mechanik der Universität Kassel ein Dämpfungselement-Prototyp zum Schutz von zylindrischen Bauwerkkomponenten, wie die einer monopilen Turmstruktur einer OffshoreWindkraftanlage, vor Wellenbelastung entwickelt. Der Schutzmechanismus sieht vor, dass die Turmstruktur von einer elastischen Außenhülle umgeben wird. In der Kammer zwischen der flexiblen Außenhülle und der starren, monopilen Turmwand befindet sich ein viskoses Dämpfungsfluid, welches infolge von kontinuierlich oszillierenden Wellengangbewegungen einen Teil der kinetischen Energie durch innere Reibung im Fluid in irreversibel dissipierte Energie umwandelt. Dadurch können die auf die Struktur einwirkende Wellenlasten gedämpft werden. Daher wird eine Arbeitshypothese aufgestellt, wonach die Wellenlasten auf solch einen geschützten Turmpfeiler geringer ausfallen müssen als auf einen Turmpfeiler ohne diesen Schutz. In diesen abschließenden Kapitel wird ein multiregionales Fluid-Struktur-Interaktions-Modell vorgestellt, mit dem oben beschriebenen Schutzmechanismus die Dämpfungseigenschaften unterschiedlich hochviskoser newtonscher, aber auch nichtnewtonscher Dämpfungsflüssigkeiten unter Wellenbelastung untersucht werden. Das FSI-Modell zur Simulation des wellenbeaufschlagten Dämpfungselements wird dabei auf ein zweidimensionales Problem reduziert. Die Annahme eines zweidimensionalen Simulationsmodells beruht dabei auf die von CORTE 130 6. Multiregionale FSI-Modellierung [15] durchgeführten Untersuchungen des Wellenaufschlags einer brechenden Welle auf eine starre zylindrische Struktur. Im Folgenden wird das zweidimensionale Druckschlagmodell1 analytisch und numerisch (in Anlehnung an die Arbeiten von WIENKE [107] und CORTE [15]) analysiert und für die Berechnungen mit einem FSI-Modell plausibilisiert. 6.1. Analytische Betrachtung des Wellenaufschlags Der Aufschlag einer brechenden Welle auf eine Struktur, wie oben beschrieben, führt abhängig von der Form des Festkörpers und der Wellenkinematik zu einer impulsartigen Druckbelastung der Strukturoberfläche. Im Fall von Offshore-Windkraftanlagen mit einer zylindrischen Tragstruktur tritt die impulsartige Druckbeaufschlagung dann auf, wenn ein Teilbereich des Zylinders nahezu gleichzeitig über eine endliche Höhe von einer Welle erfasst wird2 . Für den Fall eines regulären Seegangs, bei dem nur sehr kleine und nicht brechende Wellen auf die Turmstruktur einwirken, kann diese Belastung nicht als eine impulsartige Druckbeaufschlagung bewertet werden. Dazu liefert MORISON ET AL. [71] einen analytischen Berechnungsansatz, bei dem die horizontal auf eine zylindrische Struktur einwirkenden Kräfte ermittelt werden können. Bei der Morison-Gleichung wird eine sogenannte Morison-Kraft als Kraft pro Einheitslänge3 fM berechnet. Diese ergibt sich aus der Summe der Linienkräfte infolge der Trägheitskraft fT und der Strömungskraft fD : fM = fT + fD = ρ CT πD 2 ∂v 1 + ρ CW Dv(z) |v(z)| . 4 ∂t 2 (6.1) Durch Integration über die mit Wasser benetzte Höhe η lässt sich folglich auf die MorisonKraft schließen: η FM = FT + FD = −z πD 2 ∂v 1 dz + ρ CW Dv(z) |v(z)| dz. 4 ∂t 2 η ρ CT (6.2) −z Demnach ist die Trägheitskraft proportional zur Wasserpartikelbeschleunigung ∂v/∂t, während die Strömungskraft proportional zum Quadrat der Wasserpartikelgeschwindigkeit ist. CT und CW sind experimentell ermittelte, dimensionslose Kennzahlen, wobei CT = 1 + CW der Trägheitsbeiwert und CW der Widerstandsbeiwert ist. Für typische Turmstrukturmaße einer Windkraftanlage sind die Werte für CT ≈ 1.5 und für CW ≈ 0.5 konstant. Desweiteren kennzeichnet ρ in der Gleichung (6.2) die Dichte der Flüssigkeit und D den zylindrischen Durchmesser einer Turmstruktur. Die Morison-Gleichung hat allerdings den Nachteil, lediglich die Kraft, die mit der Wasserspiegelauslenkung zeitlich auf die Turmstruktur variiert, zu berechnen. Damit lässt sich noch keine dynamische Kraft, die bei einer brechenden Welle 1 2 3 als ein physikalisches Teilgebiet des multiregionalen FSI-Modells. s. CORTE [15]. auch als Linienkraft bezeichnet. 6. Multiregionale FSI-Modellierung 131 kurzzeitig als Stoß auftritt, ermitteln (vgl. Abb. 4.59 in Kapitel 4.3.4). Um diese zusätzliche Kraft zu berücksichtigen, wird die Gleichung (6.2) üblicherweise mit einem Sicherheitsfaktor von z.B. 2.5 multipliziert (siehe [98]). Da mit dieser Methode die zeitliche Charakteristik der Kraft unberücksichtigt bleibt, und die lokale Belastung unterbewertet wird, ist dieses Vorgehen nur unzureichend. Deshalb muss dieser dynamische Kraftanteil (Stoßkraft FI ) explizit berechnet und zur Morison-Kraft hinzuaddiert werden. Somit ergibt sich die Gesamtkraft: FG = FM + FI = FT + FD + FI . (6.3) Zur Berechnung des Druckschlages wird, wie bei den Wellentheorien, von einem potentialtheoretischen zweidimensionalen Ansatz ausgegangen. In den nachfolgenden Unterkapitel wird eine kurze historische Zusammenfassung der verschiedenen Ansätze zur Modellierung dieser Stoßkraft gegeben und eine Erweiterung des Berechnungsmodells vorgestellt und diskutiert. 6.1.1. Ansätze zur Modellierung der Stoßkraft Zum ersten Mal wurde die Stoßkraft in der Arbeit VON KÁRMÁNs 1929 [98] formuliert, um die Kräfte beim Landen eines Wasserflugzeuges zu ermitteln. VON KÁRMÁN beschrieb ein zweidimensionales gekieltes Profil eines Flugzeugteils, das mit einer Geschwindigkeit auf eine Wasseroberfläche aufsetzte. Das analytische Modell basierte dabei auf einem potentialtheoretischen Ansatz, bei dem als Potential die Umströmung einer ebenen Platte angenommen wurde. In Abbildung 6.1 ist eine schematische Darstellung des VON KÁRMÁN-Modells gezeigt. Die in das Wasser eingetauchte Fläche wird dabei zu jedem Zeitpunkt als eine ebene ebene Platte y h fI v c(t) v·t x Abbildung 6.1.: Schematische Darstellung des von Kármán-Modells, nach [107]. Platte c(t) approximiert. Dadurch ist es möglich, mit Hilfe der hydrodynamischen Masse und der Impulserhaltung, die Linienkraft fI des Stoßes in Abhängigkeit von der Breite des Auftriebskörpers h, der Dichte ρ und der Relativgeschwindigkeit v zwischen Wasser und dem eingetauchten Auftriebskörper folgendermaßen zu berechnen: fI = π d ρv (2vht) = πρhv 2 . 2 dt (6.4) 132 6. Multiregionale FSI-Modellierung Basierend auf diesem Ansatz approximierte WAGNER [99] 1932 ebenfalls die Druckschlagfläche als eine ebene Platte. Die resultierenden Drücke unterhalb der Platte berechnen sich dabei aus der instationären Bernoulli-Gleichung. Die auf die Platte wirkende Linienkraft wird aus der Integration der Drücke ermittelt. Dadurch ist es möglich, den Einfluss der Verformung der freien Oberfläche ηb in Wasserfortschrittsrichtung, die sogenannte Spritzwurzel, die aufgrund einer Aufstauung des Wassers entsteht, zu berücksichtigen (siehe Abb. 6.2). y h ”pile-up” fI Effekt c(t) ηb v·t x v Abbildung 6.2.: Schematische Darstellung des Wagner-Modells, nach [107]. Die Ausbildung der Spritzwurzel kann auch als ”pile-up”-Effekt (siehe [108]) bezeichnet werden. Die eingetauchte Breite der Platte kann durch die Eintauchtiefe ermittelt werden. Wendet man die Bernoulli-Gleichung an, so ergibt sich eine schnellere Eintauchgeschwindigkeit des Zylinders und eine doppelt so große resultierende Linienkraft infolge des ”pile-up”Effekts, wie der VON KÁRMÁNs. Daraus folgt: fI = 2πρhv 2 . (6.5) Aufbauend auf den Ansätzen von WAGNER entwickelte FABULA [29] 1957 eine Theorie zur Umströmung von Kreisprofilen, bei der die Eintauchfläche des Auftriebskörpers als eine Ellipse angenähert wird. Dieser Ansatz hat den Vorteil, dass keine Singularitäten am Rand des Zylinders auftreffen. Jedoch ergibt sich daraus ein erheblich größerer Rechenaufwand im Vergleich zu den theoretischen Betrachtungen von WAGNER [99]. Mit dieser Methode erhält man eine zeitlich abnehmende Linienkraft, anstatt einer zeitlich konstanten. GODA [40] erweiterte 1964 den Ansatz VON KÁRMÁNs, indem er die Linienkraftgleichung (6.4) um eine zusätzliche Zeitabhängigkeit erweiterte, in der Form von: fI = 2πρRv 2 1 − v t . R (6.6) Diese Gleichung verwendete GODA zur Beschreibung eines brechenden Wellenaufschlags auf zylindrische Strukturen. Ein weiterer Ansatz wurde 1986 von ARMAND und COINTE [4] vorgeschlagen. Bei diesen Ansatz wird mit Hilfe einer Potenzreihenentwicklung die Linienkraft ermittelt, wobei eine Parabelform für die Kontur approximiert wird. ARMAND und COINTE erhielten die 6. Multiregionale FSI-Modellierung 133 folgende Lösung für die Linienkraft: fI = ρRv 2 2π − ! v 10 v t + 2 log 2 − log t R 3 R . (6.7) Die neueste analytische Beschreibung des Druckschlages auf schlanke zylindrische Strukturen liefert WIENKE [107] 2001, der im Vergleich zu seinen experimentell ermittelten Ergebnissen eine gute Näherung bietet. In diesem Fall wird ebenfalls von der WAGNER-Theorie ausgegangen, der die Druckschlagfläche unter Berücksichtigung des ”pile-up”-Effekts an die Zylinderkontur durch eine Fit-Funktion approximierte. Die Stoßkraft wurde anschließend aus der Integration der Bernoulli-Gleichung über die Eintauchbreite hergeleitet. In Abbildung 6.3 ist in Anlehnung an WIENKEs Arbeit eine schematische Darstellung des WellenaufschlagModells auf eine zylindrische Struktur aus einem dreidimensionalen Problem auf ein zweidimensionales gezeigt. Das Übertragen eines komplexen dreidimensionalen Problems auf eine repräsentative zweidimensionale Ebene macht das Modell in erster Näherung besser zugänglich. z 2D-Schnitt zur Druckschlagberechnung y y v fI 3D R c(t) 2D ηb v · t x v Abbildung 6.3.: 2D Schnittfläche zur Druckschlagberechnung. Im Ansatz auf die Berechnungsmodelle von WAGNER und WIENKE wird im nächsten Abschnitt eine verbesserte Näherung im Hinblick auf die Approximation der Kontur des Auftriebskörpers und damit auch eine genauere Berechnung der Stoßkraft gezeigt. 6.1.2. Analytische Berechnung der Stoßkraft auf zylinderförmige Strukturen Der analytische Ansatz eines stoßartigen Wasseraufschlags auf eine Struktur wurde von WAGNER [99] entwickelt und von WIENKE [108] auf die in Abbildung 6.4 dargestellte Form erweitert. Dieses zweidimensionale Modell kann als Aufschlag einer brechenden Welle aufgefasst werden, da diese ebenfalls einen kurzzeitigen hydrodynamischen Impulsstoß auf Strukturen ausübt. Der analytische Ansatz basiert hierbei auf der Potentialtheorie mit der Vernachlässigung von 134 6. Multiregionale FSI-Modellierung y R c(t) vn v P30 30 ηb v · t 15 P15P0 x ρ Abbildung 6.4.: Modell zur Berechnung des Druckschlags mit den Auswertungspunkten P0 , P15 , P30 . Fluidreibung und Rotation im Strömungsfeld. Als Potential zur Umströmung der zylindrischen Kontur wird der Ansatz nach LAMB [64] (siehe [99]) (zur Umströmung einer ebenen Platte) angenommen. Demnach werden für diesen Ansatz folgende Größen definiert: • R sei der Radius des Querschnitts der zylindrischen Struktur. • v ist die konstante Geschwindigkeit der auflaufenden Wassermassen. • ηb beschreibt die Wassererhebung am Zylinderrand. • c = c(t) ist dabei die von der Zeit abhängige eingetauchte Breite entlang der Körperkontur. Diese steigt mit der Zeit bis zum Zeitpunkt t = tR an. Dabei gilt c(tR ) = R und zwar genau dann, wenn der Zylinder zur Hälfte von Wasser umschlossen ist. Die Geschwindigkeit der Wassererhebung am Konturrand wird folgendermaßen angesetzt4 : v vn = 1− c(t) 2 x . (6.8) Die Gleichung (6.8) beschreibt die Geschwindigkeit der Wasseroberfläche in die y-Richtung. Dabei wird vorausgesetzt, dass |x| > c(t) gilt. Durch Integration der Gleichung (6.8) nach der Zeit t und einer darauffolgenden Substitution von dt durch dt dc dc = dc dċ erhält man die Wassererhebung (”pile up”-Effekt) am Zylinderrand mit x ηb = 0 vn dc. ċ(t) (6.9) Um die Geschwindigkeit der auflaufenden Wasserfront ċ(t) zu bestimmen, wird ηb als Teil eines Kreises in einer Reihe entwickelt. Die dargestellte Halbkreisgeometrie, gemäß dem Koordinatensystem in Abbildung 6.4, kann folglich mit der Kreisgleichung φ(x) = R − 4 √ R2 − x2 In LAMB [64] beschriebener Ansatz zur Plattenumströmung. (6.10) 6. Multiregionale FSI-Modellierung 135 beschrieben werden. In approximierter Darstellung kann die Gleichung (6.10) um den Punkt x = x0 = 0 (entsprechend der Abb. 6.4) in eine Taylorreihe in Form von ηb = ∞ i=1 ∞ 1 (i) βi x2i φ (0) xi = i! i=1 (6.11) entwickelt werden. Als Abbruchskriterium für die Taylorreihenentwicklung wird ein Punkt auf der Kreiskontur bei x = 0.9R gewählt, so dass die exakte Kreiskontur φ(x) gegenüber der approximierten ηb an dieser Stelle einen relativ kleinen Fehler von ≤ 0.001% aufweist. Diese Bedingung führt zu einer Taylorreihe, welche nach dem fünfzigsten Summenglied abgebrochen wird. Dadurch ist eine hinreichend genaue Beschreibung der Druckverläufe an den interessanten Positionen der Kreiskontur gewährleistet. Von besonderem Interesse, da in folgenden Berechnungen als Auswertungspunkte gewählt, sind der Staupunkt P0 , ein gegenüber dem Staupunkt um 15◦ auf dem Kreisbogen verschobener Punkt P15 und ein gegenüber dem Staupunkt um 30◦ auf dem Kreisbogen verschobener Punkt P30 (siehe Abb. 6.4). Diese drei charakteristischen Punkte werden in diesem Kapitel durchweg als Auswertungspunkte verwendet. Der Verlauf der angenäherten Kreiskontur im Vergleich zur exakten ist in Abbildung 6.5 gegenübergestellt. Der Radius für die Berechnung wird dabei in Anlehnung an die ηb , φ(x) in [m] 0.35 0.30 Ηb 0.25 Φx 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 R in [m] Abbildung 6.5.: Vergleich der exakten und approximativen Kreisgleichung. Arbeit von WIENKE zu R = 0.35m gewählt. Um den relativen Fehler bzw. die Abweichung der Reihenentwicklung gegenüber dem exakten Ergebnis zu erhalten, wird die Differenz zwischen ηb und φ(x) gebildet und auf den Radius R bezogen. Damit ergibt sich für die relative Abweichung der nachstehende Ausdruck: Δ = ηb − φ(x) . R (6.12) Das Ergebnis des relativen Fehlers der exakten gegenüber der approximierten Kontur ist in Abbildung 6.6 graphisch dargestellt. Solange die Auswertungspunkte also nicht in den abweichenden Bereich gelegt werden, lässt sich mit der approximativen Lösung hinreichend genau rechnen. Die in Gleichung (6.11) stehenden Faktoren sind die β-Faktoren. Sie sind im Wesentlichen von der Größe des Kreisradius R abhängig und lassen sich aus der Taylorreihenentwicklung 136 6. Multiregionale FSI-Modellierung Δ in [%] 0.010 0.005 relative Abw. 0.000 0.005 0.010 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 R in [m] Abbildung 6.6.: Relative Abweichung der Kreisgleichung (6.10) zur approximierten Kreisgleichung (6.11). der Gleichung (6.10) bestimmen. Des Weiteren werden die α-Faktoren bzw. Kreiskonturterme eingeführt, deren Bestimmung sich aus der Lösung aus Gleichung βi x2i−1 = x αi c2i−1 1− 0 2 dc mit i = 1, 2, . . . (6.13) c x für x > 0 ergibt. Mit den α- und β-Faktoren lässt sich nun das Verhältnis der Geschwindigkeiten der anströmenden Wassermassen zur auflaufenden Wasserfront durch den Zusammenhang n w(c) = 2 v = αi βi c2i−1 ċ i=1 (6.14) ausdrücken. Die Reihe auf der rechten Seite der Gleichung (6.14) ergibt sich aus der Integration der Gleichung (6.8). Die Integration der Gleichung (6.14) liefert c t w(c)dc = 0 Daraus resultiert dann vdt . (6.15) 0 n 2 αi βi 2i c = vt . i=1 2i (6.16) Mit der Gleichung (6.16) ist eine eindeutige Bestimmungsgleichung für die Größe c = c(t) gegeben. Damit kann nun das Geschwindigkeitspotential, welches sich aus der Gleichung (6.8) bestimmen lässt, wie folgt berechnet werden: √ Φ = − c2 − x2 für |x| > c (t) . (6.17) Über den Zusammenhang der instationären Bernoulli-Gleichung5 p = −ρ 5 ∂Φ − ∇2 Φ, ∂t wobei der Gravitationseinfluss aufgrund der ebenen Betrachtung vernachlässigt wird. (6.18) 6. Multiregionale FSI-Modellierung 137 lässt sich damit der Druckverlauf an einem beliebigen Punkt auf der Kreiskontur wie folgt bestimmen: p(xa , t) = ρv 2 w(c) 1 − ( xca )2 − ρ 2 v 2 . 1 − ( xca )2 (6.19) Der Auswertungspunkt auf den die Gleichung angewendet wird, ist über das xa festgelegt. xa nimmt dabei jeweils die x-Koordinate in Abbildung 6.4 für die Auswertungspunkte an. Schließlich kann die Linienkraft in ähnlicher Weise wie in WIENKE [108] durch eine Integration der Drücke über die Eintauchtiefe c fI = p(xa , c)dx (6.20) 0 berechnet werden. Somit ergibt sich für die Stoßkraft: ⎡ fI = ρv 2 c(t) ⎣ ⎛ ⎞⎤ w(c) ⎠⎦ π . − arctanh ⎝ 1 − w(c) 2 (6.21) In den Abbildungen 6.7 bis 6.9 ist ein Vergleich der analytischen Ergebnisse für die Druckverläufe über die Zeit aus eigener Näherung gegenüber den Druckverläufen von WIENKE [108] dargestellt. 50 Eig. Näherung Ref. WIENKE [108] 40 p/ρ v 2 30 20 10 0 0 0.1 tv/R 0.2 0.3 Abbildung 6.7.: Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 0◦ . Für die analytische Berechnung wird die Wellengeschwindigkeit v = 6m/s, die Fluiddichte ρ = 103 kg/m3 und ein Strukturradius von R = 0.35m verwendet6 . Zum Auswerten der Druckverläufe werden drei Punkte entlang der zylindrischen Kontur bei 0◦ , 15◦ und 30◦ (siehe Abb.6.4) festgelegt. Die in Abbildung 6.7 dargestellten Druckverläufe weisen im Staupunkt eine Singularitätsstelle auf, die zur Zeit t = 0s bei x = 0m (P0 siehe Abb. 6.4) einen unendlich 6 entsprechend den Untersuchungen in [108]. 138 6. Multiregionale FSI-Modellierung 30 Eig. Näherung Ref. WIENKE [108] p/ρ v 2 20 10 0 0 0.1 0.2 tv/R 0.3 Abbildung 6.8.: Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 15◦ . 8 Eig. Näherung Ref. WIENKE [108] p/ρ v 2 6 4 2 0 0 0.1 tv/R 0.2 0.3 Abbildung 6.9.: Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 30◦ . großen Druckwert annimmt. Diese Singularität entsteht aufgrund des Lösungsansatzes in Gleichung (6.8) und wird von WIENKE [108] in Anlehnung an FALTINSEN [30] durch einen endlichen Wert am Staupunkt mit p(x = 0, t = 0) = ρ cw v (6.22) angesetzt. Der endliche Druckwert im Staupunkt ergibt sich durch die Berücksichtigung der Kompressibilität des Wassers. Dabei kennzeichnet cw die Schallgeschwindigkeit des Wassers. Die Gleichung (6.22) beschreibt demnach einen Zusammenhang des Druckwerts mit der Schallgeschwindigkeit des Wassers, bei der angenommen wird, dass die Flüssigkeit sich nicht schneller als mit der Schallgeschwindigkeit cw ausbreiten kann. 6. Multiregionale FSI-Modellierung 139 Im Weiteren zeigen die Druckverläufe von WIENKE eine signifikante Unstetigkeitsstelle ab einen Zeitpunkt von t = R/8v. Die Unstetigkeit in den Druckverläufen ist auf zwei unterschiedliche Approximationen von ηb zurückzuführen. Die erste Approximation liegt dabei im Zeitintervall von t ≤ R/8v und die zweite im t > R/8v. Bei der eigenen Näherungslösung sind dagegen keine Unstetigkeiten vorhanden, da ηb über die Kreiskonturterme (siehe Gl. (6.13)) weit über den betrachteten Auswertungsstellen (P0 , P15 und P30 ) exakt approximiert wird. Dadurch wird eine räumliche und zeitliche Diskontinuität der Druckverläufe vermieden. Im Weiteren kann zwischen den maximalen Druckwerten pmax sowie den Eintauchzeitpunkten te zu den jeweiligen Auswertungspunkten unterschieden werden. Als Eintauchzeitpunkte werden die Zeitpunkte bezeichnet, bei denen sich das Druckmaximum an einem Auswertepunkt ausbildet. Dazu wird die relative Abweichung der eigenen Näherungslösung gegenüber der Referenzlösung [108] betrachtet. An dieser Stelle sei angemerkt, dass aufgrund der gleichen Aufschlagszeit (bei t = 0 s) und Singularität im Staupunkt (im P0 bei 0◦ ) keine Aussage über die relativen Abweichungen in Bezug auf die maximalen Druckwerte und Eintauchzeitpunkte gegeben werden kann. Deshalb werden nur die zwei Stellen bei 15◦ und 30◦ gegenübergestellt. Am Auswertungspunkt bei 15◦ (siehe Abb. 6.8) ergibt sich für den maximalen Druck pmax 15◦ eine relative Abweichung von +6.5% gegenüber dem Referenzwert und -0.6% für die Eintauchzeit te 15◦ . Entsprechend für den Auswertungspunkt bei 30◦ (siehe Abb. 6.9) ist die relative Abweichung größer und liegt für den maximalen Druck pmax 30◦ bei +29.3%. Die Eintauchzeit te 30◦ an dieser Stelle verzögert sich dabei um -4.5%. Diese niedrigen Druckwerte und die zeitliche Verzögerung des Wasseraufschlag ergeben sich aufgrund der genaueren Approximation der beaufschlagten Kreiskontur. Dies spiegelt sich auch in der Funktion von c(t), die im Bilddiagramm 6.10 dargestellt ist, wieder. 1 Eig. Näherung Ref. WIENKE [108] c(t)/R 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 tv/R 0.2 0.3 Abbildung 6.10.: Vergleich der c(t)-Funktion aus eigener Näherungslösung zur Referenzlösung. Auch hier resultiert, abgesehen von den Diskontinuitäten an der Unstetigkeitsstelle, eine relativ gute Übereinstimmung im Verlauf der c(t)-Funktionen. Die relative Abweichung der 140 6. Multiregionale FSI-Modellierung 2 Δc in % 0 -2 -4 -6 -8 -10 0 0.1 tv/R rel. Abw. Δc 0.2 0.3 Abbildung 6.11.: Abweichung von der c(t)-Funktion über der Zeit. c(t)-Funktion über der Zeit ist in der Abbildung 6.11 dargestellt. An der Unstetigkeitsstelle ergibt sich ein relativer Fehler von ungefähr -8.5%. Im Bilddiagramm 6.12 ist die Stoßkraft über die Zeit, berechnet aus Gleichung (6.21), dargestellt. Zum Zeitpunkt t = 0 s weisen beide Verläufe einen Kraftwert von 2π ρv 2 auf. Der Kraftverlauf nach WIENKE für die erste Approximation im Zeitintervall von 0 ≤ t ≤ R/8v, liegt deutlich höher gegenüber dem Kraftverlauf der eigenen Lösung. Nachher, ab dem Zeitpunkt von R/8v liegt der WIENKE Kraftverlauf deutlich unterhalb der eigenen Näherungslösung. fI /ρ R v 2 2π Eig. Näherung Ref. WIENKE [108] π 0 0 0.15 tv/R 0.35 Abbildung 6.12.: Vergleich der Linienkräfte aus eigener Näherungslösung zur Referenzlösung. Die relative Abweichung des eigens berechneten Kraftverlaufs gegenüber der Referenzlösung ist in Bilddiagramm 6.11 über der Zeit dargestellt. Die Abweichungen rangieren dabei um ca. ±30% zwischen den Zeitintervallen von 0 ≤ t ≤ R/8v und t ≥ R/8v. 6. Multiregionale FSI-Modellierung 141 40 30 Δf in % 20 10 0 -10 -20 -30 0 0.05 0.1 0.15 tv/R 0.2 rel. Abw. Δf 0.25 0.3 0.35 Abbildung 6.13.: Abweichung der Linienkraft über der Zeit. 6.2. Numerische Simulation eines Druckschlages Das numerische Modell zur Berechnung des Druckschlags und der Stoßkraft wird in diesem Unterabschnitt auf Basis des numerischen Modells nach CORTE und GRILLI [16] erstellt und gegenüber dem eigenen Modell sowie den Ergebnissen der experimentellen Untersuchungen von WIENKE [108] verglichen. Dazu werden die Ergebnisse der zeitlichen Entwicklung der Druckverläufe und der Stoßkraft an der Zylinderkontur betrachtet. Damit soll das numerische Druckschlagmodell verifiziert und validiert werden. Das Modell wird anschließend als eine Teilpartition zur FSI-Simulation des Dämpfungselement-Modells im nachfolgenden Abschnitt verwendet. 6.2.1. Numerisches Modell und Diskretisierung Für die mathematische Modellbildung des Druckschlags werden die Navier-Stokes-Gleichungen zur Beschreibung der Strömung von nicht mischbaren Fluiden nach Kapitel 2.5 verwendet. Dazu wird ein zweidimensionales Simulationsmodell, entsprechend der analytischen Betrachtung aus dem Abschnitt 6.1, untersucht. Die zweidimensionale Simulation eines Wasseraufschlages auf einen Zylinder erfolgt in einem Berechnungsgebiet mit der Länge L = 2.1 m und der Breite B = 0.75 m (s. Abb. 6.14). Der Kreisradius beträgt R = 0.35 m. Der Mittelpunkt des Zylinders befindet sich im Ursprung des Koordinatensystems bei x = 0 m und y = 0 m. Das blockstrukturierte Berechnungsgitter, wie in Abbildung 6.14 dargestellt, besteht aus insgesamt sieben Blöcken. Im Gegensatz zum Berechnungsgebiet von [16] wird das Gitter an der Stelle y > 0 nicht berücksichtigt, da die Berechnungen mit diesem Teilgebiet die Berechnungsergebnisse an den Auswertungspunkten nicht beeinflusst werden und dadurch ein zusätzlicher Rechenaufwand vermieden wird. Des Weiteren wird das Berechnungsgebiet 142 6. Multiregionale FSI-Modellierung in vier Bereiche unterschiedlicher Gittergüten unterteilt. Um den Druckschlag auf den Zyliny Γ3 R x B Γ2 α=0 α=1 L y Γ5 x Γ4 ρl , ν l v ρw , ν w Γ6 Γ1 Abbildung 6.14.: Zweidimensionales Berechnungsmodell des Druckschlags. Das Berechnungsgitter ist mit einem Vergrößerungsfaktor von 1/5 dargestellt. der möglichst genau simulieren zu können, wird um den Zylinder ein quadratisches Gebiet (Kantenlänge a = 0.4 m) angelegt, in dem ein relativ feines Gitter generiert wird. In diesem Bereich werden rechteckige KV-Zellen in Umfangsrichtung des Zylinders zur Diskretisierung verwendet, wobei sich die KVs mit zunehmendem Abstand vom Zylinder vergrößern. Das kleinste KV, das sich an derselben Stelle direkt am Zylinder befindet, wo später die Druckmesspunkte gesetzt werden, besitzt eine Kantenlänge von δx = 0.0025 m. Insgesamt werden in diesem Gebiet nahe dem Zylinder 3200 KV verwendet. Das gesamte Berechnungsgitter für die Druckschlagsimulation besteht aus 15750 rechteckigen KV-Zellen. Die Randbedingungen zum Simulationsmodell (vgl. dazu Abb. 6.14) sind in der Tabelle 6.1 zusammengefasst. Tabelle 6.1.: Randbedingungen für die numerische Berechnung. Γ1 Γ2 Γ3 Γ4 Γ5 Γ6 p in N/m2 α v in m/s α=1 v T = [0, 6, 0] ∂p ∂n =0 v=0 ∂p ∂n =0 Rand ∂α ∂n =0 α=0 ∂α ∂n =0 α=0 ∂α ∂n =0 ∂v ∂n =0 v=0 ∂v ∂n =0 v=0 p=0 ∂p ∂n =0 p=0 ∂p ∂n =0 Die Zylinderkante Γ4 sowie die linke und rechte Bereichsgrenze Γ2 und Γ6 (s. Abb. 6.14) werden mit einer Wandrandbedingung (Normalgeschwindigkeit Null, keine Haftreibung in Tangentialrichtung) versehen. Am Wassereinlassrand Γ1 wird eine konstante Zuflussgeschwindigkeit v = 6 m/s in y-Richtung, die der Wellengeschwindigkeit der experimentellen Untersuchungen von WIENKE [108] entspricht, vorgegeben. An den Auslassrändern Γ3 und Γ5 wird eine Druckauslassrandbedingung mit einem konstanten Umgebungsdruck von p = 0 Pa eingestellt. Da der Anfangsabstand zwischen der Wasserfront und dem Zylinder beliebig gewählt werden kann, wird sich für einen Zeitpunkt kurz vor dem Aufprall entschieden, damit soll ebenfalls ein unnötiger Rechenaufwand vermieden werden. In Abbildung 6.14 ist der 6. Multiregionale FSI-Modellierung 143 Anfangszustand der zweiphasigen Konfiguration zum Zeitpunkt t = 0 s dargestellt, wobei die hellgraue Fläche das Wasser (initialisiert durch den Indikator α = 1) und die weiße Fläche die Luft (initialisiert durch den Indikator α = 0) symbolisieren. Als Anfangsabstand wird eine Entfernung von s = 0.005 m bestimmt. Dieser Abstand entspricht bei der beschriebenen Diskretisierung genau zwei KV-Zellen, so dass mit einer Courant-Zahl von Co = 0.25 im Moment des Aufschlags eine Zeitschrittweite von δt = 10−4 s den genauen Aufschlagzeitpunkt auflösen kann. Des Weiteren wird für den Phasenbereich α = 1 (Wasser) ebenfalls eine Einlassgeschwindigkeit in y-Richtung von v = 6 m/s als Anfangsbedingung des Geschwindigkeitsfelds vorgeschrieben. Um ein realistisches Verhalten des Wassers bei dem Aufprall auf den Zylinder zu gewährleisten wird die Oberflächenspannung des Wassers mitberücksichtigt. Als Grenzflächenspannung zwischen den beiden Phasen wird ein konstanter Wert von σ = 0.073 N/m angenommen, der in etwa der Oberflächenspannung von Wasser bei einer Temperatur von 20◦ C entspricht. Die Fluideigenschaften der zweiphasigen Strömung für Wasser und Luft können der Tabelle 6.2 entnommen werden. Die Berechnungsdauer des Tabelle 6.2.: Fluideigenschaften. Wasser Luft Einheit Dichte ρw = 103 ρl = 1 Viskosität νw = 10−6 νl = 1.5 · 10−5 kg m3 m2 s numerischen Modells, auf einem Intel(R) Core(TM) i5 CPU, 2.67GHz Prozessor, beträgt 347 s für eine Simulationszeit von insgesamt t = 0.025 s. 6.2.2. Ergebnisse und Auswertung In den Abbildungen 6.15 bis 6.17 sind die numerisch berechneten und gemessenen Druckverläufe zusammen mit den analytisch berechneten Druckverläufen aufgetragen. Die numerischen Referenzen stellen dabei die Ergebnisse von CORTE und GRILLI [16] dar. Die experimentell erfassten Druckverläufe über die Zeit stammen aus der Arbeit von WIENKE [108]. Die Druckverläufe entstehen dabei infolge der auftreffenden Wasserfront, die sich entlang der Zylinderkontur aufstaut und durch die Verformung der Wasserfront einen ”pileup”-Effekt7 verursacht. In Abbildung 6.18 ist die zeitliche Entwicklung des Druck- und Geschwindigkeitsfelds für die Wasserfront im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1 dargestellt. Hier lässt sich der ”pile-up”-Effekt erkennen, der sich mit der Zeit nach dem Aufprall in Form des verdrängten Wasservolumens um die zylindrische Struktur deutlich ausbildet. Da ab dem Wasseraufprall das verdrängte Volumen mit der eingetauchten Zylinderbreite kontinuierlich steigt, wird das Wasser in Strömungsrichtung (am Zylinder tangential) beschleunigt. Diese 7 Der die Verdrängung der freien Oberfläche aufgrund der Aufstauung des Wassers an der Kreiskontur in Wasserfortschrittsrichtung beschreibt. 144 6. Multiregionale FSI-Modellierung Beschleunigung wird in Abbildung 6.18 durch die Isotachen-Darstellung verdeutlicht. Laut dem Bernoulli-Gesetz nimmt der Absolutdruck mit steigender Geschwindigkeit ab, was auch in der Abbildung 6.18 deutlich zu sehen ist. Entsprechend der instationären Entwicklung des ”pile-up”-Effekts ergibt sich auf der Zylinderkontur eine zeitabhängige Entwicklung des Druckverlaufs. Im Gegensatz zu den analytischen Druckverläufen am Staupunkt an der Stelle P0 , bei der sich eine Drucksingularität zum Zeitpunkt t = 0 s ergibt, zeigen sowohl die numerischen als auch die experimentellen Ergebnisse einen endlichen Wert an. Die Drucksingularität ist laut CORTE [15] insofern nicht realistisch, da sowohl die Festkörperstruktur in der Realität etwas nachgiebig ist als auch im Grenzbereich zwischen den beiden Fluiden Wasser (α = 1) und Luft (α = 0) beim Aufschlag auf die Struktur eine transiente Grenzphasendurchmischung beider Medien vorherrscht. Dadurch findet eine zeitlich kontinuierliche Veränderung der mittleren Fluiddichte statt, die im Wesentlichen zu einer Dämpfung der Druckwirkung an der Strukturwandung beiträgt. Um die relative Abweichung aus der eigenen analytischen und numerischen Lösung gegenüber den Referenzverläufen zu ermitteln, wird eine Differenz gegenüber den Referenzergebnissen gebildet und auf die eigenen Verläufe bezogen. Die relativen Abweichungen werden nach Gleichung pEig. − pRer. · 100% pEig. berechnet und prozentual in den Tabellen 6.3 und 6.4 gegenübergestellt. Δrel = 50 Eig. Ref. Eig. Ref. Ref. p/ρ v 2 40 (6.23) analyt. Lsg. [108] analytisch numer. Lsg. [16] numerisch [108] exper. 30 20 10 0 0 0.1 tv/R 0.2 0.3 Abbildung 6.15.: Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 0◦ . Die Ergebnisse aus dem eigenen numerischen Modell zeigen dabei eine relativ gute Übereinstimmung zu den gemessenen und berechneten Druckverläufen aus der Referenzlösung. Im Staupunkt der Kreiskontur resultiert, wie bereits oben erläutert, ein endlicher Druckwert. Dieser weicht im Vergleich zu dem experimentell erfassten Maximalwert um etwa 15.5% ab und ist damit leicht niedriger gegenüber dem eigenen numerischen Modell. Die relative 6. Multiregionale FSI-Modellierung 145 30 Eig. Ref. Eig. Ref. Ref. analyt. Lsg. [108] analytisch numer. Lsg. [16] numerisch [108] exper. p/ρ v 2 20 10 0 0.1 0 tv/R 0.2 0.3 Abbildung 6.16.: Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 15◦ . 12 Eig. Ref. Eig. Ref. Ref. 10 analyt. Lsg. [108] analytisch numer. Lsg. [16] numerisch [108] exper. p/ρ v 2 8 6 4 2 0 0.1 0 tv/R 0.3 0.2 Abbildung 6.17.: Vergleich der Druckverläufe an der Stelle 30◦ . Tabelle 6.3.: Vergleich der maximalen Druckwerte pmax aus eigener analytischer und numerischer Lösung zu den Referenzlösungen. Auswertestelle Eig. num. Lsg. Ref. num. Lsg. [16] Eig. analyt. Lsg. Ref. analyt. Lsg. [108] P0 47.7 16.2 ∞ ∞ Ref. exp. Lsg. [108] 40.3 P15 15.4 9.7 27.6 29.4 24.6 P30 5.8 5.1 5.8 7.5 11.3 Δ0 0% 66% −% −% 15.5% Δ15 0% 37% -79% -91% -60% Δ30 0% 12% 0% -29% -95% Abweichung des numerischen Maximalwertes aus der Referenzlösung ist dagegen mit 66% deutlich niedriger gegenüber dem eigenen numerischen Modell. Die Unterschiede ergeben sich vermutlich aufgrund des im Detail unterschiedlichen Lösungsvorgehens der numerischen 146 6. Multiregionale FSI-Modellierung t = 0.001 s t = 0.001 s t = 0.005 s t = 0.005 s t = 0.01 s t = 0.01 s t = 0.015 s t = 0.015 s 0 2.5x104 5x104 7.5x104 105 0 2.5 5 7.5 10 v in [m/s] p in [P a] Abbildung 6.18.: Wellenfront trifft Struktur. Darstellung der zeitliche Entwicklung des Druck- und Geschwindigkeitsfelds für die Wasserfront im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1. Tabelle 6.4.: Vergleich der Eintauchzeitpunkte te aus eigener analytischer und numerischer Lösung zu den Referenzlösungen. Auswertestelle Eig. num. Lsg. Ref. num. Lsg. [16] Eig. analyt. Lsg. Ref. analyt. Lsg. [108] Ref. exp. Lsg. [108] P15 0.023 0.0123 0.017 0.0169 0.024 P30 0.074 0.066 0.067 0.066 0.068 Δ15 0% 46.5% 26% 26.5% -4% Δ30 0% 11% 9.5% 11% 8% Modelle. Dennoch weisen beide numerischen Ergebnisse an allen Auswertungspunkten eine ähnliche Form auf, die auch mit den analytischen und experimentellen Verläufen näherungsweise gut übereinstimmen. Die Wertigkeiten dagegen weichen bei allen Modellen mehr oder weniger voneinander ab. Diese Abweichung wird insbesondere am Punkt P15 ersichtlich. Hier zeigen sowohl die beiden numerischen Lösungen, als auch die experimentell erfassten Verläufe niedrigere Druckwerte im Vergleich zu den analytischen Lösungen. Eine sehr gute Übereinstimmung gegenüber der numerischen und analytischen Referenzlösung zeigen die 6. Multiregionale FSI-Modellierung 147 numerischen Ergebnisse am Auswertungspunkt P30 . An dieser Stelle kann das numerische Modell die Verlaufsform und Druckwertigkeit sehr gut nachbilden. Um das Fortschreiten der Wellenfront entlang der zylindrischen Kontur zu betrachten, wird die zeitliche Entwicklung der mit Wasser benetzten Konturbreite c(t) an diskreten Punkten, wie in Abbildung 6.19 dargestellt, erfasst. Auch hier lässt sich eine sehr gute Übereinstimmung feststellen. Die Abweichungen der eigenen numerischen Lösung gegenüber der Refe1 Eig. Ref. Eig. Ref. Ref. c(t)/R 0.8 analyt. Lsg. [108] analytisch numer. Lsg. [16] numerisch [108] exper. 0.6 0.4 0.2 0 0.1 0 tv/R 0.2 0.3 Abbildung 6.19.: Vergleich der c(t)-Funktion aus eigener Näherungslösung zur Referenzlösung. renzlösung schwankt dabei ca. zwischen ±15%. In Abbildung 6.20 sind die Linienkraftverläufe über der Zeit dargestellt. Auch hier zeigen fI /ρ R v 2 3π Eig. Ref. Eig. Ref. Ref. analyt. Lsg. [108] analytisch numer. Lsg. [16] numerisch [108] exper. 2π π 0 0 0.15 tv/R 0.35 Abbildung 6.20.: Vergleich der Linienkräfte aus eigener Näherungslösung zur Referenzlösung. die Ergebnisse aus dem eigenen numerischen Modell eine gute Übereinstimmung der resultierenden Gesamtkraft gegenüber den Referenzlösungen. Insbesondere lässt sich eine gute Näherung der beiden numerischen Verläufe gegenüber der eigenen analytischen Lösung feststellen, aus dem ebenfalls ein stetiger Linienkraftverlauf resultiert. 148 6. Multiregionale FSI-Modellierung Ein Vergleich mit den analytischen, numerischen und experimentellen Referenzlösungen zeigt, dass das hier vorliegende numerische Modell zur Simulation eines Wellenaufschlags auf Strukturhindernisse sehr gut geeignet ist. Damit kann das Modell als verifiziert und validiert betrachtet werden und für weitere Berechnungen als eine Teilpartition zur Simulation eines FSI-Dämpfungselement-Modells eingesetzt werden. 6.3. FSI-Simulationsmodell des Dämpfungselements Das FSI-Modell zur Berechnung des Dämpfungselements wird in diesem Abschnitt auf Basis des in Kapitel 5.2.2 beschriebenen Block-SOR-Kopplungsalgorithmus zur Berechnung von insgesamt drei Teilpartitionen (zwei Fluidpartitionen und eine Strukturpartition) erstellt, simuliert und anhand der gewonnenen Erkenntnisse aus den vorherigen Kapiteln diskutiert. In Abbildung 6.21 ist eine exemplarische Darstellung des Dämpfungselement-Prototyps unter Wellenbeaufschlagung aus den Berechnungen eines dreidimensionalen FSI-Modells von FUCHS ET AL. [35] dargestellt. Diese Darstellung zeigt den extremen Fall eines brechenden Wellenaufschlags auf einen Turmpfeiler mit einem Schutzmechanismus. Die einzelnen Komponenten des Dämpfungselement-Prototyps sind: Eine dünnwandige flexible Hülle, die um den zylindrischen Turmpfeiler in der Höhe des Wellengangs befestigt ist und eine viskose Dämpfungsflüssigkeit, die in der Kammer zwischen der flexiblen und der starren Wandung gefüllt ist. Das Dämpfungsfluid im Inneren hat die Funktion, den kontinuierlich einwirkenden Wellenlasten einen Teil der auftreffenden Wellenenergie zu dissipieren. Turmpfeiler Dämpfungsfluid Welle flexible Hülle Abbildung 6.21.: Prototyp des Dämpfungselements unter der Last einer brechenden Welle [35]. Die Untersuchung von dissipativen Eigenschaften hochviskoser Fluide wird dabei anhand von zwei Parametersätzen mit jeweils drei unterschiedlichen Flüssigkeiten durchgeführt. Im 6. Multiregionale FSI-Modellierung 149 ν Weiteren wird, im Gegensatz zu den Untersuchungen in [35], ein zweidimensionales FSIModell des Dämpfungselements analysiert. Dieses Modell basiert auf der zweidimensionalen numerischen und analytischen Betrachtung sowie den experimentellen Untersuchungen des Druckaufschlags aus dem vorherigen Kapitel. Mittels der numerisch gewonnenen Ergebnisse kann eine globale Betrachtung der Strömungsgrößen in Hinblick auf die Belastung einer Offshore-Windkraftanlagen-Turmpfeiler durch Wellenaufschläge mit und ohne einem Dämpfungselement erschlossen werden. Die Bewertung der Dämpfungseigenschaften von unterschiedlich hochviskosen Flüssigkeiten erfolgt anhand der bereits in Kapitel 4.2.3 eingeführten Definition einer Dissipationsleistung Pirr , sowie der zeitlichen Entwicklung der Druck- und Reibungskräfte. 6.3.1. Numerisches Modell und Diskretisierung In Abbildung 6.22 ist das zweidimensionale FSI-Modell des Dämpfungselements zum Zeitpunkt t = 0 s dargestellt. Die geometrischen Abmaße des Berechnungsmodells lehnen sich dabei an die Untersuchungen des Dämpfungselement-Prototyps aus [35] an. R ra y Γ5 ri Γ3 Γ8 Γ4 Ωs1 Ψf 1 B Γ2 Γ7 x Γ6 Ψf 2 L v T = (0, v, 0) Γ1 Abbildung 6.22.: Zweidimensionales Berechnungsmodell des Dämpfungselements. Berechnungsgitter mit geometrischen Abmessungen (links) und Definition von Rand- und Anfangsbedingungen, sowie der Teilpartitionen einzelner physikalischer Gebiete (rechts). Die zwei physikalischen Strömungsgebiete werden demnach durch eine einphasige Fluidpartition Ψf 1 für das Dämpfungsfluid und durch eine zweiphasige Fluidpartition Ψf 2 , eine auflaufende Wellenfront bzw. das Druckschlagmodell aus Kapitel 6.3, repräsentiert. Die Strukturpartition Ωs1 stellt dabei eine flexible Hülle dar, die das Dämpfungsfluid zusammenhält. Die Abmessungen von Ψf 1 sind gemäß [35] mit einem Innenradius ri = 0.02 m und einem Außenradius von ra = 0.037 m definiert. Das zweite Strömungsgebiet Ψf 2 wird mit einer Länge L = 0.15 m, einer Breite B = 0.075 m und einem Radius R = 0.04 m festgelegt. Die Geometrie der elastischen Hülle ergibt sich folglich aus der Definition der beiden Radien ra und R. Das gesamte Berechnungsgebiet besteht dabei aus einem relativ feinem Gitter (vgl. 150 6. Multiregionale FSI-Modellierung Abb. 6.22), die Anzahl der KV-Zellen für die einzelnen Berechnungsgebiete kann der Tabelle 6.5 entnommen werden. Die Gittergröße bzw. Anzahl der KV-Zellen der einzelnen Berechnungsgebiete wurde dabei in Anlehnung an die Voruntersuchungen bzw. Validierungen in Kapitel 4 gewählt. Tabelle 6.5.: KV-Zellenanzahl des multiregionalen Berechnungsgitters. Partition Ψf 1 (Dämpfungsfluid) Ψf 2 (Wellenmodell) Ωs1 (flexible Hülle) KV-Zellen 600 4050 800 Zur Bestimmung der dissipativen Eigenschaften hochviskoser Fluide wird im Berechnungsgebiet Ψf 1 jeweils ein Satz mit drei unterschiedlichen viskosen newtonschen und nichtnewtonschen Flüssigkeiten simuliert. Bei den nichtnewtonschen Flüssigkeiten handelt es sich um die Cross-Modell-Flüssigkeiten. Der Parametersatz für die Untersuchungen mit der nichtnewtonschen Flüssigkeit entspricht analog dem Parametersatz A aus Kapitel 4.2. In der Abbildung 6.23 sind die Verläufe der untersuchten Cross-Modell-Flüssigkeiten mit variierenden Nullviskositäten ν0 über die Schergeschwindigkeit γ̇ dargestellt. Die entsprechenden Materialparameter sind in der Tabelle 6.6 zusammengefasst. Tabelle 6.6.: Materialparameter der untersuchten nichtnewtonschen Flüssigkeiten. Partition Nullviskosität Grenzviskosität Konsistenzparameter Fließindex Ψf 1 ν0 [m2 /s] ν∞ [m2 /s] K [s] n [-] Fluid 1 10−2 10−8 0.05 2 Fluid 2 10−4 10−8 0.05 2 Fluid 3 10−6 10−8 0.05 2 −1 10 ν0 = 10−2 m2/s ν0 = 10−4 m2/s ν0 = 10−6 m2/s −2 ν(γ̇) in [m2/s] 10 10−3 −4 10 −5 10 −6 10 −7 10 10−8 10−9 −1 10 10 0 10 1 10 2 10 3 γ̇ in [1/s] 10 4 10 5 10 6 Abbildung 6.23.: Parametersätze strukturviskoser Flüssigkeiten. Die Nullviskosität ν0 variiert zwischen 10−6 m2 /s und 10−2 m2 /s. Die Grenzviskosität wird mit ν∞ = 10−8 m2 /s, der Konsistenzparameter mit K = 0.05 s und der Fließindex mit n = 2 gesetzt. Die Verläufe des Cross-Modells berechnen sich gemäß Gleichung (2.54). 6. Multiregionale FSI-Modellierung 151 Die Materialparameter der flexiblen Struktur entsprechen analog den in Kapitel 4.4.1 verwendeten Stoffeigenschaften eines Sain-Venant-Kirchhoff-Materialmodells. Die Randbedingungen des FSI-Simulationsmodells (vgl. dazu Abb. 6.22) sind in den Tabellen 6.7 bis 6.9 zusammengefasst. Tabelle 6.7.: Randbedingungen am Teilgebiet Ψf 1 . Rand v in m/s α Γ3 α=1 ∂α ∂n Γ4 ∂α ∂n Γ8 ∂v ∂n v̂ = 0 =0 p=0 ∂p ∂n v̂ = 0 v̂ = 0 =0 vm =0 p in N/m2 v̂ in m/s v=0 =0 α=1 Γ5 ∂v ∂n =0 p=0 ∂p ∂n v̂ = 0 =0 Tabelle 6.8.: Randbedingungen am Teilgebiet Ψf 2 . Rand Γ1 Γ2 Γ3 Γ5 v in m/s α α=1 ∂α ∂n =0 vT v̂ in m/s v̂ = 0 = [0, 0.5, 0] v=0 α=0 ∂v ∂n =0 α=0 ∂v ∂n =0 Γ6 ∂α ∂n =0 v=0 Γ7 ∂α ∂n =0 vm v̂n = ∂ v̂t ∂n =0 v̂ = 0 ∂ v̂t ∂n v̂ = 0 ∂p ∂n =0 ∂p ∂n =0 p=0 v̂ = 0 v̂n = p in N/m2 p=0 =0 ∂p ∂n =0 ∂p ∂n =0 Tabelle 6.9.: Randbedingungen am Teilgebiet Ωs1 . Rand u in m Γ3 u=0 Γ5 u=0 Γ7 tΓ , uΓ Γ8 tΓ , uΓ Die Definition der Randbedingungen am Strömungsgebiet Ψf 2 ist in gleicher Weise wie im Abschnitt 6.2.1 definiert. Am Einlassrand Γ1 wird eine konstante Zuflussgeschwindigkeit von v = 0.5 m/s in y-Richtung vorgegeben. Diese Geschwindigkeit entspricht der mittleren Wellengeschwindigkeit aus den Untersuchungen von [35]. Die rechten und linken Bereichsgrenzen Γ2 und Γ6 sind mit einer Wandrandbedingung (Normalgeschwindigkeit Null, keine Haftreibung in Tangentialrichtung) versehen. Dadurch, dass die flexible Struktur Ωs1 während des Wellenaufschlags ihre Form ändert, wird für beide Fluidbereiche (Ψf 1 u. Ψf 2 ) eine ALEFormulierung im ganzen Berechnungsgebiet verwendet. Damit müssen am Berechnungsgitter ebenfalls Randbedingungen für die Geschwindigkeit der Gitterpunkte v̂ vorgeschrieben werden. Diese sind für die Ränder Γ2 und Γ6 als Gleitrandbedingungen definiert - damit können sich die Gitterpunkte an diesen Rändern verschieben, während an allen anderen Rändern die Gitterpunkte durch die Bedingung v̂ = 0 fixiert sind. An den Auslassrändern Γ3 und Γ5 152 6. Multiregionale FSI-Modellierung beider Strömungsgebiete wird eine Druckauslassrandbedingung mit einem konstanten Umgebungsdruck von p = 0 Pa vorgeschrieben. Für die flexible Struktur wird an diesem Rand die Verschiebungen auf null gesetzt. An der Interface Γ7 und Γ8 gelten die Kopplungsbedingungen - gemäß Kapitel 5.1 - mit den Gleichungen (5.1) und (5.2). Als implizite Kopplung zwischen den physikalischen Teilgebieten wird der Block-SOR-Kopplungsalgorithmus aus Abschnitt 5.2.2 verwendet, bei dem der Relaxationsparameter in jedem Iterationsschritt nach dem Aitken-Verfahren berechnet wird. Der iterative Wechselwirkungsprozess wird beendet, wenn das Abbruchkriterium nach Gleichung (5.9) ε ≤ 10−6 erreicht wird. Als Anfangsbedingung für Ψf 2 (vgl. Abb. 6.22 links) wird, wie schon im vorherigen Abschnitt, die hellgraue Bereichsfläche als Wellenfront mit einem Phasenindikator α = 1 und einer Feldgeschwindigkeit von v = 0.5 m/s in y-Richtung initialisiert. Die weiße Bereichsfläche von Ψf 2 wird als Luft mit α = 0 vorgegeben. Für die gesamte Bereichsfläche von Ψf 1 , welche das Dämpfungsfluid repräsentiert, wird der Phasenindikator α = 1 initialisiert. Damit stellt Ψf 1 im Simulationsmodell ein einphasiges Strömungsgebiet dar. Die einphasige Strömung wird dabei unter Vernachlässigung des zweiten Terms in Gleichung (3.19) mit dem in Kapitel 3.1.5 beschriebenen Fluidlöser berechnet. Dies gilt nur für den Fall einer einphasigen newtonschen Flüssigkeit. Im Falle einer einphasigen nichtnewtonschen Flüssigkeit muss der zweite Term, aufgrund der lokal variierenden Viskosität infolge der Scherratenabhängigkeit, mit berücksichtigt werden. 6.3.2. Ergebnisse und Diskussion In den Abbildungen 6.24 bis 6.29 sind die Ergebnisse der zeitlichen Druckverläufe aus einer numerischen CFD-Simulation ohne Dämpfungselement8 im Vergleich zu den Ergebnissen aus einer FSI-Simulationsreihe mit einem Dämpfungselement9 gegenübergestellt. Die Auswertungspunkte befinden sich, wie im Abschnitt 6.3, im Staupunkt bei 0◦ und entlang der zylindrischen Kontur (vgl. Abb. 6.4) bei 15◦ und 30◦ . Die Auswertung an den Punkten erfolgt dabei an der äußeren elastischen Hülle (Randfläche Γ7 vgl. Abb. 6.22) und der zylindrischen Turmstruktur (Randfläche Γ8 ). Bei der Betrachtung der in Abbildung 6.24 dargestellten zeitlichen Entwicklung der Druckverläufe an der äußeren elastischen Wand für newtonsche (mit der Viskosität ν = 10−6 m2 /s) und scherentzähende nichtnewtonsche Dämpfungsflüssigkeiten (mit der Nullviskosität ν0 = 10−6 m2 /s) ist eine deutliche Minderung des maximalen Druckpeaks gegenüber dem starren Zylinder ersichtlich. Dieser Sachverhalt äußert sich insbesondere durch eine stärkere Verformung der elastischen Struktur. In Abbildung 6.31 ist die zeitliche Entwicklung der vertikalen Verschiebungen der flexiblen Struktur für verschiedene Dämpfungselemente im Staupunkt aufgetragen. Diese zeigen, je stärker sich die Struktur 8 9 Berechnungsergebnisse an der starren Turmstruktur. gefüllt mit unterschiedlich hochviskosen newtonschen und nichtnewtonschen Dämpfungsflüssigkeiten. 6. Multiregionale FSI-Modellierung 153 im Moment des Wellenaufschlags verformt, desto geringer fallen die Druckspitzen-Werte an der zylindrischen Kontur aus. Das ist vor allem beim Vergleich der Druckverläufe in den Bilddiagrammen 6.24 und 6.26 mit dem Bilddiagramm 6.28 zu sehen. Ein wesentlicher Unterschied zwischen den Dämpfungsflüssigkeiten mit den niedrigeren Viskositäten (ν = 10−6 m2 /s und ν = 10−4 m2 /s) im Vergleich zu den Flüssigkeiten mit der höheren Viskosität (ν = 10−2 m2 /s), zeigt sich in den stärkeren Oszillationen der flexiblen Struktur und den oszillierenden Druckverläufe (vgl. Abb. 6.25(a) und 6.27(a) mit Abb. 6.29(a)). Diese Oszillationen entstehen infolge der Rückstellkräfte der elastischen Struktur, die im Fall der niedrigeren Viskositäten die Zähigkeitskräfte der Dämpfungsflüssigkeit überwiegen. Die Verläufe der newtonschen und der scherentzähenden nichtnewtonschen Flüssigkeit mit den Viskositäten von ν = 10−4 m2 /s bis ν = 10−4 m2 /s ähneln sich sowohl in ihrer Form als auch in ihren Werten. Das wurde in den experimentellen und numerischen Voruntersuchungen mit dem Fluidoszillator (s. Kap. 4.2.2) bestätigt. Die Übertragung des Wellenaufschlags von der äußeren Hülle über das Dämpfungsfluid bis hin zur inneren Turmstruktur zeigt wesentlich niedrigere Druckamplitudenwerte (s. Abb. 6.25, 6.27 und 6.29). Bei der Betrachtung der Abbildung 6.29 wird ersichtlich, dass die newtonsche Dämpfungsflüssigkeit mit der Viskosität ν = 10−2 m2 /s im Vergleich zu der nichtnewtonschen Flüssigkeit mit der Nullviskosität ν0 = 10−2 m2 /s einen höheren maximalen Druckwert aufweist. Maßgeblich hierfür ist die innere Dämpfungsflüssigkeit, die - wie Abbildung 6.29(a) zeigt - im scherentzähenden nichtnewtonschen Fall eine deutliche dämpfende Wirkung gegenüber dem newtonschen Fluid hat. Diese ergibt sich aufgrund der hohen Scherraten, die zum Zeitpunkt des Wellenaufschlags eine Scherentzähung der nichtnewtonschen Flüssigkeit bewirkt (vgl. Abb. 6.29(a)). Die dämpfende Wirkung resultiert demnach aus der Kombination von Scherentzähung und hoher Nullviskosität. Das ist insbesondere bei der Flüssigkeit mit der Nullviskosität von ν = 10−2 m2 /s erkennbar. Zum einen werden dadurch hohe Druckspitzen infolge der Scherentzähung reduziert und zum anderen werden Oszillationen aufgrund der höheren Nullviskosität wesentlich vermindert. Um die Dämpfungseigenschaften von newtonschen und nichtnewtonschen Dämpfungsflüssigkeiten zu bewerten, werden zwei Gleichungen gebildet. Diese Gleichungen stellen die Verhältnisse der maximalen Druckwerte an den Auswertungsstellen aus den numerischen Simulationen mit und ohne Dämpfungselement gegenüber. Im ersten Druckverhältnis werden die aus der CFD-Simulation ohne Dämpfungselement resultierenden maximalen Druckwerte max(ps ) und die maximalen Druckwerte max(pa ) an der äußeren elastischen Hülle des Dämpfungselements aufeinander bezogen: Πa = max(ps ) . max(pa ) (6.24) Analog dazu gibt die zweite Gleichung das Druckverhältnis zwischen den an den Auswertungspunkten erfassten maximalen Druckwerten max(ps ) und den maximalen Druckwerten 154 6. Multiregionale FSI-Modellierung max(pi ) im Inneren des Dämpfungselements an der Turmstruktur wieder: Πi = max(ps ) . max(pi ) (6.25) Anhand dieser zwei Verhältnisse kann eine Aussage über die druckdämpfende Wirkung unterschiedlicher Dämpfungselemente getroffen werden. Hier gilt: Je größer das Druckverhältnis ist, desto stärker ist die dämpfende Wirkung des inneren Fluids. Die Druckverhältnisse für unterschiedliche Dämpfungsflüssigkeiten sind in der Tabelle 6.10 dargestellt10 . Die Tabelle veranschaulicht anhand der steigenden Druckverhältniswerte an den Auswertungsstellen die zunehmende Dämpfung der Druckkräfte mit den sinkenden Viskositäten der untersuchten Flüssigkeiten. Aus der Tabelle gehen höhere Dämpfungswerte der nichtnewtonschen hochviskosen Flüssigkeiten im Vergleich zu den newtonschen hochviskosen Flüssigkeiten hervor. Was die niedrigviskosen Flüssigkeiten angeht, sind ihre Dämpfungswerte mit den Dämpfungswerten der hochviskosen nichtnewtonschen Flüssigkeit vergleichbar. Außerdem ist hier ein weiterer Dämpfungseffekt zu beobachten, der sich in der Verringerung der Druckoszillationen äußert. Diese ist wohl auf die hohe Nullviskosität von ν0 = 10−2 m2 /s zurückzuführen. Tabelle 6.10.: Bewertung von Dämpfungseigenschaften viskoser Flüssigkeiten anhand von Druckverhältnisse aus Gl. (6.24) bis (6.25). Auswertungspunkt bei 0◦ Auswertungspunkt bei 15◦ Auswertungspunkt bei 30◦ Πa 1.816 1.625 1.196 Πi 3.178 2.407 1.477 Πa 1.797 1.585 1.177 Πi 3.165 2.387 1.461 Πa 1.618 1.511 1.141 Πi 2.023 1.585 1.106 Πa 1.711 1.547 1.216 Πi 3.068 2.323 1.460 Druckverhältnis Viskosität ν = 10−6 m2 /s Viskosität ν = 10−4 m2 /s Viskosität ν = 10−2 m2 /s Viskosität ν0 = 10−2 m2 /s In der Abbildung 6.30 sind die Dissipationsleistungen Pirr (vgl. Gleichung 4.8) der Dämpfungsflüssigkeit während des Wellenaufschlagsprozesses dargestellt. Den zeitlichen Verläufen 10 In der Tabelle sind aufgrund des geringfügigen Unterschieds zu den newtonschen Flüssigkeiten keine Werte für scherentzähende Flüssigkeiten mit der Nullviskosität von ν0 = 10−6 m2 /s und ν0 = 10−4 m2 /s verzeichnet. 6. Multiregionale FSI-Modellierung 155 ist auch oszillierendes Verhalten von Pirr zu entnehmen, bei dem sich die maximalen Werte im Moment des Wellenaufschlags befinden. Der schwingende Dissipationsverlauf nimmt in Analogie zum Druckverlauf mit der Zeit ab, wenn die Oszillationen der elastischen Hülle abklingen. Für die nichtnewtonschen Flüssigkeiten befindet sich Pirr auf einem niedrigeren Wertigkeitsniveau im Vergleich zu den newtonschen Flüssigkeiten. Der Grund hierfür liegt, wie bereits im Kapitel zur Betrachtung der Dissipationsleistung 4.2.6 beschrieben, in der lokalen Änderung der Viskosität begründet, die aus der Scherentzähung der Flüssigkeit resultieren. Im Weiteren zeigen die Bilder 6.32 bis 6.35 einige interessante Simulationsergebnisse aus dem Wellen-Struktur-Interaktionsprozess. Diese Abbildungen stellen die zeitliche Entwicklung der Strömungsfelder für die Wasserfront im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1 dar. Dabei werden die Berechnungsergebnisse der Dämpfungsflüssigkeiten unterschiedlicher newtonscher und nichtnewtonscher Stoffeigenschaften gegenübergestellt und miteinander verglichen. Besonders interessant und erkenntnisreich ist der Vergleich zwischen den Darstellungen 6.32 und 6.33. Darin wird das instationäre Druckfeld der auflaufenden Wasserfront und der Dämpfungsflüssigkeit zu unterschiedlichen Zeitpunkten visualisiert. Hierbei sind die bereits diskutierten Druckwerte um den Staupunkt der flexiblen äußeren Hülle und der starren Turmstruktur veranschaulicht. 156 6. Multiregionale FSI-Modellierung 10 ν = 10−6m2/s ν0 = 10−6m2/s starrer Zylinder 8 p/ρ v 2 6 4 2 0 0 1 2 3 t v/ri (a) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur im Staupunkt bei P0 . 8 ν = 10−6m2/s ν0 = 10−6m2/s starrer Zylinder p/ρ v 2 6 4 2 0 1 2 3 t v/ri (b) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur am Auswertungspunkt bei P15 . 4 ν = 10−6m2/s ν0 = 10−6m2/s starrer Zylinder p/ρ v 2 3 2 1 0 0 2 1 3 t v/ri (c) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur am Auswertungspunkt bei P30 . Abbildung 6.24.: Vergleich der Druckverläufe für hochviskose newtonsche (ν = 10−6 m2 /s) und nichtnewtonsche (ν0 = 10−6 m2 /s) Dämpfungsflüssigkeiten. 6. Multiregionale FSI-Modellierung 157 4 ν = 10−6m2/s ν0 = 10−6m2/s 3 p/ρ v 2 2 1 0 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 t v/ri 5 6 7 8 (a) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler im Staupunkt bei P0 . 3 ν = 10−6m2/s ν0 = 10−6m2/s 2 p/ρ v 2 1 0 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 t v/ri 5 6 7 8 (b) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler am Auswertungspunkt bei P15 . 3 ν = 10−6m2/s ν0 = 10−6m2/s 2 p/ρ v 2 1 0 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 t v/ri 5 6 7 8 (c) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler am Auswertungspunkt bei P30 . Abbildung 6.25.: Vergleich der Druckverläufe für hochviskose newtonsche (ν = 10−6 m2 /s) und nichtnewtonsche (ν0 = 10−6 m2 /s) Dämpfungsflüssigkeiten. 158 6. Multiregionale FSI-Modellierung 10 ν = 10−4m2/s ν0 = 10−4m2/s starrer Zylinder 8 p/ρ v 2 6 4 2 0 0 1 2 3 t v/ri (a) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur im Staupunkt bei P0 . 8 ν = 10−4m2/s ν0 = 10−4m2/s starrer Zylinder p/ρ v 2 6 4 2 0 1 2 3 t v/ri (b) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur am Auswertungspunkt bei P15 . 4 ν = 10−4m2/s ν0 = 10−4m2/s starrer Zylinder p/ρ v 2 3 2 1 0 0 2 1 3 t v/ri (c) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur am Auswertungspunkt bei P30 . Abbildung 6.26.: Vergleich der Druckverläufe für hochviskose newtonsche (ν = 10−4 m2 /s) und nichtnewtonsche (ν0 = 10−4 m2 /s) Dämpfungsflüssigkeiten. 6. Multiregionale FSI-Modellierung 159 3 ν = 10−4m2/s ν0 = 10−4m2/s 2 p/ρ v 2 1 0 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 t v/ri 5 6 7 8 (a) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler im Staupunkt bei P0 . 3 ν = 10−4m2/s ν0 = 10−4m2/s 2 p/ρ v 2 1 0 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 t v/ri 5 6 7 8 (b) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler am Auswertungspunkt bei P15 . 3 ν = 10−4m2/s ν0 = 10−4m2/s 2 p/ρ v 2 1 0 -1 -2 -3 0 1 2 3 4 t v/ri 5 6 7 8 (c) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler am Auswertungspunkt bei P30 . Abbildung 6.27.: Vergleich der Druckverläufe für hochviskose newtonsche (ν = 10−4 m2 /s) und nichtnewtonsche (ν0 = 10−4 m2 /s) Dämpfungsflüssigkeiten. 160 6. Multiregionale FSI-Modellierung 10 ν = 10−2m2/s ν0 = 10−2m2/s starrer Zylinder 8 p/ρ v 2 6 4 2 0 0 1 2 3 t v/ri (a) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur im Staupunkt bei P0 . 8 ν = 10−2m2/s ν0 = 10−2m2/s starrer Zylinder p/ρ v 2 6 4 2 0 1 2 3 t v/ri (b) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur am Auswertungspunkt bei P15 . 4 ν = 10−2m2/s ν0 = 10−2m2/s starrer Zylinder p/ρ v 2 3 2 1 0 0 2 1 3 t v/ri (c) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs an der flexiblen Struktur am Auswertungspunkt bei P30 . Abbildung 6.28.: Vergleich der Druckverläufe für hochviskose newtonsche (ν = 10−2 m2 /s) und nichtnewtonsche (ν0 = 10−2 m2 /s) Dämpfungsflüssigkeiten. 6. Multiregionale FSI-Modellierung 161 5 ν = 10−2m2/s ν0 = 10−2m2/s 4 p/ρ v 2 3 2 1 0 -1 -2 0 1 2 3 4 t v/ri 5 6 7 8 (a) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler im Staupunkt bei P0 . 5 ν = 10−2m2/s ν0 = 10−2m2/s 4 p/ρ v 2 3 2 1 0 -1 -2 0 1 2 3 4 t v/ri 5 6 7 8 (b) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler am Auswertungspunkt bei P15 . 4 ν = 10−2m2/s ν0 = 10−2m2/s p/ρ v 2 3 2 1 0 -1 0 1 2 3 4 t v/ri 5 6 7 8 (c) Zeitliche Entwicklung des Druckverlaufs am zylindrischen Turmpfeiler am Auswertungspunkt bei P30 . Abbildung 6.29.: Vergleich der Druckverläufe für hochviskose newtonsche (ν = 10−2 m2 /s) und nichtnewtonsche (ν0 = 10−2 m2 /s) Dämpfungsflüssigkeiten. 162 6. Multiregionale FSI-Modellierung Pirr in [W/m] 10 -2 ν = 10−6m2/s ν0 = 10−6m2/s 10 -3 10 -4 10 -5 10 -6 10 -7 0 1 2 4 3 5 6 7 t v/ri (a) Zeitliche Entwicklung der Dissipationsleistung für Viskositäten ν = 10−6 m2 /s (newtonsch) und ν0 = 10−6 m2 /s (nichtnewtonsch). Pirr in [W/m] 10 0 ν = 10−4m2/s ν0 = 10−4m2/s 10 -1 10 -2 10 -3 10 -4 10 -5 0 1 2 4 3 5 6 7 t v/ri (b) Zeitliche Entwicklung der Dissipationsleistung für Viskositäten ν = 10−4 m2 /s (newtonsch) und ν0 = 10−4 m2 /s (nichtnewtonsch). 10 1 Pirr in [W/m] 10 ν = 10−2m2/s ν0 = 10−2m2/s 0 10 -1 10 -2 10 -3 10 -4 10 -5 10 -6 0 1 2 4 3 5 6 7 t v/ri (c) Zeitliche Entwicklung der Dissipationsleistung für Viskositäten ν = 10−2 m2 /s (newtonsch) und ν0 = 10−2 m2 /s (nichtnewtonsch). Abbildung 6.30.: Vergleich der Dissipationsleistung für unterschiedlich viskose newtonsche (ν 10−2 m2 /s) und scherentzähende nichtnewtonsche (ν0 = 10−2 m2 /s) Flüssigkeiten. = 6. Multiregionale FSI-Modellierung 163 0.3 ν = 10−2m2/s ν = 10−4m2/s ν = 10−6m2/s uy /ri 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 t v/ri (a) Newtonsches Dämpfungsflüssigkeit 0.3 ν0 = 10−2m2/s ν0 = 10−4m2/s ν0 = 10−6m2/s uy /ri 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 t v/ri (b) Nichtnewtonsche Dämpfungsflüssigkeit (Cross-Modell) 0.3 ν0 = 10−2m2/s ν0 = 10−4m2/s ν0 = 10−6m2/s ν = 10−2m2/s ν = 10−2m2/s ν = 10−4m2/s uy /ri 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 t v/ri (c) Vergleich newtonscher und nichtnewtonscher Dämpfungsflüssigkeiten. Abbildung 6.31.: Verschiebungen der flexiblen Hülle in y-Richtung am Staupunkt für newtonsche und nichtnewtonsche Dämpfungsfluide. 164 6. Multiregionale FSI-Modellierung a) a) b) b) c) c) d) d) e) e) nichtnewtonsch ν0 = 10−2 m2 /s newtonsch ν = 10−2 m2 /s 0 2.5 5 p/ρ v 2 Abbildung 6.32.: Wellenfront trifft Dämpfungselement. Darstellung der zeitliche Entwicklung des Druckfelds für die Wasserfront im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1 und für zwei Dämpfungsflüssigkeit. Darstellung links zeigt die Simulation mit newtonscher und rechts mit nichtnewtonscher Flüssigkeit. a) t = 0.01s, b) t = 0.015s, c) t = 0.02s, d) t = 0.035s, e) t = 0.05s. 6. Multiregionale FSI-Modellierung 165 a) a) b) b) c) c) d) d) e) e) newtonsch ν = 10−4 m2 /s 0 nichtnewtonsch ν0 = 10−4 m2 /s 2.5 5 p/ρ v 2 Abbildung 6.33.: Wellenfront trifft Dämpfungselement. Darstellung der zeitliche Entwicklung des Druckfelds für die Wasserfront im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1 und für zwei Dämpfungsflüssigkeit. Darstellung links zeigt die Simulation mit newtonscher und rechts mit nichtnewtonscher Flüssigkeit. a) t = 0.01s, b) t = 0.015s, c) t = 0.02s, d) t = 0.035s, e) t = 0.05s. 166 6. Multiregionale FSI-Modellierung a) a) b) b) c) c) d) d) e) e) 1e−4 6e−3 1e−2 ν0 in [m2 /s] 1e−6 6e−5 1e−4 ν0 in [m2 /s] Abbildung 6.34.: Visualisierung der Viskositätsverteilung in der zeitliche Entwicklung in nichtnewtonschen Dämpfungselementen. Darstellung links zeigt eine Simulation der Nullviskosität von ν0 = 10−2 m2 /s und rechts eine mit ν0 = 10−4 m2 /s. a) t = 0.01s, b) t = 0.015s, c) t = 0.02s, d) t = 0.035s, e) t = 0.05s. 6. Multiregionale FSI-Modellierung 167 a) a) b) b) c) c) d) d) e) e) nichtnewtonsch ν0 = 10−2 m2 /s 0 nichtnewtonsch ν0 = 10−4 m2 /s 0.5 1 v in [m/s] Abbildung 6.35.: Visualisierung der zeitliche Entwicklung des Geschwindigkeitsfelds für die Wasserfront im Bereich von 0.5 ≤ α ≤ 1 und der nichtnewtonschen Dämpfungsflüssigkeiten mit Nullviskositäten ν0 = 10−2 m2 /s und ν0 = 10−4 m2 /s. a) t = 0.01s bis e) t = 0.05s. 168 7. Zusammenfassung und Ausblick 7. Zusammenfassung und Ausblick Die vorliegende Arbeit befasst sich mit der Entwicklung eines multiregionalen Wellen-StrukturInteraktions-Algorithmus zur Untersuchung von Dämpfungseigenschaften unterschiedlich hochviskoser newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten. Zu diesem Zweck wurden experimentelle und numerische Untersuchungen an einem Prototyp eines Offshore-Dämpfungselements durchgeführt. Das Dämpfungselement ist eine an die monopilen Offshorebauwerke integrierte Komponente. Diese besteht im Wesentlichen aus einer dünnwandigen flexiblen Hülle, die um eine Offshorestruktur in der Höhe des Wellengangs befestigt ist (vgl. Abb. 1.2). Die Kammer zwischen der flexiblen und starren Wand ist mit einer viskosen Dämpfungsflüssigkeit gefüllt, mit der Funktion, im Inneren den kontinuierlich einwirkenden Wellenlasten einen Teil der auftreffenden Wellenenergie zu dissipieren. Zu Beginn der Arbeit wurde eine Einführung in die kontinuumsmechanischen Grundlagen gegeben. Nachfolgend wurden die numerischen Berechnungsmethoden auf Basis der FinitenVolumen-Methode (FVM) erläutert. Diese stellen mit den numerischen Lösungsverfahren für die zweiphasige Fluidströmung und die Festkörperstruktur die zwei Teilpartitionen zur Berechnung des Fluid-Struktur-Interaktions (FSI) Problems dar. Die numerische Implementierung des multiregionalen FSI-Kopplungsalgorithmus erfolgt dabei über die Schnittstelle der quelloffenen Berechnungssoftware OpenFOAM [104]. Daran anknüpfend erfolgte, neben der numerischen Validierung der einzelnen FSI-Teilpartitionen, eine umfangreiche Voruntersuchung der dämpfenden Wirkung von unterschiedlich newtonschen und nichtnewtonschen scherent- und verzähenden Flüssigkeiten in einem Fluidoszillator, wobei der Fluidoszillator in seinem wesentlichen Aufbau und seiner Funktionsweise einen Prototyp des Offshore-Dämpfungselements unter Wellenbelastung darstellt. Die Analyse der Dämpfungseigenschaften hochviskoser Flüssigkeiten erfolgte dabei anhand von zwei Untersuchungsgrößen: (1) Die Gesamtkraft an der inneren und äußeren Wand des Fluidoszillators, die infolge der oszillierenden Bewegung der Dämpfungsflüssigkeit hervorgerufen wird. Diese setzt sich dabei aus einem Druck- und einem viskosen Reibungskraftanteil zusammen. und 7. Zusammenfassung und Ausblick 169 (2) Die Dissipationsleistung, die als das Volumenintegral über die Dissipationsfunktion definiert ist, wird zur Bestimmung der gesamten Verlustleistung im Teilgebiet der Dämpfungsflüssigkeit verwendet. Dadurch lässt sich die mechanische Energie, die infolge der oszillierenden Bewegung der äußeren Wand an die Flüssigkeit übertragen wird, bilanzieren. Für die experimentelle Untersuchung verschiedener Flüssigkeiten wurde eine Messmethode entwickelt, die mittels Piezodrucksensorik eine genaue und zeitlich hoch aufgelöste Erfassung hydrodynamischer Kräfte ermöglicht. Die Piezosensoren wurden zur Messung von Druckkräften im Fluidoszillator eingesetzt und lieferten im Vergleich zu den Ergebnissen des numerischen Fluidoszillator-Modells eine gute Näherung. Die leichten Abweichungen der experimentell erfassten gegenüber den numerisch berechneten Verläufen lassen auf einen systematischen Fehler des Drucksensorkonzepts schließen. Dieser kann durch eine Verbesserung der Messmethode sowie einen verbesserten experimentellen Aufbau vermieden werden. Folgend werden nun die wichtigsten Ergebnisse aus der Voruntersuchung im Fluidoszillator zusammengefasst. (1) Einfluss der Viskositätsänderung auf Druck- und viskose Reibungskräfte. Eine Erhöhung der Viskosität bewirkt eine größere Gesamtkraft an allen Randflächen des Fluidoszillators, sowohl für die newtonschen, als auch für nichtnewtonschen scherent- und verzähenden Flüssigkeiten. Der Anstieg der viskosen Reibungskräfte an der äußeren Wand des Fluidoszillators ist im strukturviskosen Fall signifikant größer gegenüber den scherverzähenden und newtonschen Flüssigkeiten. Dieser Sachverhalt ist auf den lokal höheren Geschwindigkeitsgradienten im Strömungsfeld zurückzuführen. (2) Der Zusammenhang zwischen Dissipationsleistung und unterschiedlichen Stoffeigenschaften newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten. Mit steigender Viskosität erhöht sich die Dissipationsleistung der Dämpfungsflüssigkeit im Fluidoszillator. Die Dissipationsleistung steigt, sowohl für den newtonschen als auch für den nichtnewtonschen Fall, linear mit zäher werdender Viskosität an. Anknüpfend an die Untersuchungen der Flüssigkeiten im Fluidoszillator wurden experimentelle und numerische Simulation von freien Oberflächenwellen mittels Gaußscher Wellenpaketfunktion zur Validierung des zweiphasigen Strömungslösers umgesetzt. Damit lassen sich brechende Wellen zur Analyse von Stoßbelastungen auf Festkörperstrukturen erzeugen. Hierbei erweist sich eine Wellenbrechung, die durch eine Gegenströmung ausgelöst wird, im Vergleich zu den konventionellen Methoden (z.B. Brechung aufgrund von Überlagerung mehrerer Wellengruppen) als vorteilhaft. Bei dieser Wellengenerierung mittels einer Gaußschen Funktion wird eine Gegenströmung durch Zurückführen des Generatorpaddels hervorgerufen. Eine anschließende Vorwärtsbewegung des Generatorpaddels erzeugt eine Welle, die eine 170 7. Zusammenfassung und Ausblick steile Oberflächenerhebung mit den charakteristischen Merkmalen einer brechenden Welle aufweist. Das daraus resultierende Strömungsfeld wird zur Simulation eines dreidimensionalen Wellenaufschlagmodells auf eine zylindrische Struktur übertragen. Die Ergebnisse aus der dreidimensionalen Simulation des Wellenaufschlags korrelieren im Vergleich zu den experimentellen Ergebnissen und zeigen ein realistisches Verhalten im Hinblick auf die Auslenkung der freien Oberfläche und der zeitlichen Entwicklung der Druckverläufe an der zylindrischen Struktur. Im Anschluss an die Validierungen des zweiphasigen Fluidlösers erfolgte eine Validierung des Strukturlösers. Der Strukturlöser, basierend auf einer Update Lagrangeschen Berechnungsprozedur, konnte experimentell am Beispiel eines frei oszillierenden Balkens validiert sowie als Teilpartition des multiregionalen FSI-Lösers für weitere Untersuchungen dieser Arbeit verwendet werden. Die Validierung des multiregionalen FSI-Lösers erfolgte im Verlauf der Arbeit anhand experimenteller und numerischer Referenzdaten, aus einem in der FSI-Literatur bekannten Berechnungsbeispiel eines Dammbruchs, bei dem ein fallender Wasserblock auf eine flexible Struktur auftrifft. Die Ergebnisse der Validierung zeigen eine gute Übereinstimmung mit den referenziell erfassten experimentellen und numerisch berechneten Werten im Hinblick auf die freie Oberflächenauslenkung des fallenden Wasserblocks und die horizontale Verschiebung der flexiblen Struktur. Basierend auf den obigen Voruntersuchungen wurde ein multiregionales FSI-Modell des Dämpfungselements generiert. Damit konnte eine umfangreiche Berechnungsreihe zur Analyse dämpfender Wirkung hochviskoser newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten durchgeführt werden. Das FSI-Simulationsmodell besteht dabei aus insgesamt drei Teilpartitionen, die implizit über einen Block-SOR-Kopplungsalgorithmus miteinander in Wechselwirkung stehen, wobei jeder Iterationsschritt mit einem dynamischen Relaxationsparameter nach Aitken berechnet wird. Für die erste Teilpartition wurde zunächst, als äußere mechanische Belastung auf das Dämpfungselement, ein hydrodynamisches Modell einer brechenden Welle generiert. Die zweite und dritte Teilpartition stellt dabei das Offshore-Dämpfungselement dar. Diese beiden Teilpartitionen bilden eine äußere flexible Struktur und eine viskose Flüssigkeit, welche sich in der Kammer zwischen der flexiblen Struktur und dem Turmpfeiler befindet und die Funktion übernimmt einen Teil des Wellenaufschlags zu dämpfen. Das erzeugte numerische Simulationsmodell gibt im Weiteren Aufschlüsse über die dämpfende Wirkung hochviskoser newtonscher und nichtnewtonscher Flüssigkeiten in einem multiregionalen Wechselwirkungsprozess. Im Folgenden werden die wichtigsten Erkenntnisse aus dieser Arbeit zusammengefasst: 7. Zusammenfassung und Ausblick 171 Die Ergebnisse der zeitlichen Druckverläufe aus der FSI-Berechnungsreihe mit einem Dämpfungselement (gefüllt mit unterschiedlich hochviskosen newtonschen und nichtnewtonschen Flüssigkeiten) zeigen im Vergleich zu den Ergebnissen ohne Dämpfungselement (starren Turmstruktur) eine deutliche Minderung des maximalen Druckspitzen. Die Druckspitzen sind an der äußeren elastischen Hülle zwei Mal und im Inneren des Dämpfungselements drei Mal geringer im Vergleich zu einem Wellenaufschlag auf eine starre zylindrische Turmstruktur. Ein wesentlicher Unterschied zwischen den Dämpfungsflüssigkeiten mit den niedrigeren Viskositäten (ν = 10−6 m2 /s und ν = 10−4 m2 /s) und den Flüssigkeiten mit den höheren Viskositäten (ν = 10−2 m2 /s) zeigt sich in den stärkeren Oszillationen der flexiblen Struktur und den oszillierenden Druckverläufen. Diese Oszillationen entstehen infolge der Rückstellkräfte der elastischen Struktur, die im Fall der niedrigeren Viskosität die Zähigkeitskräfte der Dämpfungsflüssigkeit überwiegen. Im Vergleich zu den newtonschen haben die scherentzähenden nichtnewtonschen Flüssigkeiten eine deutlich höhere dämpfende Wirkung. Dies tritt aufgrund der hohen Scherraten auf, die zum Zeitpunkt des Wellenaufschlags eine Scherentzähung der nichtnewtonschen Flüssigkeit bewirken. Die dämpfende Wirkung resultiert demnach aus der Kombination von Scherentzähung und hoher Nullviskosität. Zum einen werden dadurch hohe Druckspitzen infolge der Scherentzähung reduziert und zum anderen werden Oszillationen aufgrund der höheren Nullviskosität wesentlich vermindert. Für die nichtnewtonschen Flüssigkeiten befindet sich die Dissipationsleistung auf einem niedrigeren Wertigkeitsniveau, im Vergleich zu den newtonschen Flüssigkeiten. Der Grund hierfür liegt in der lokalen Änderung der Viskosität begründet, die aus der Scherentzähung der Flüssigkeit resultiert. Demnach haben scherentzähende Flüssigkeiten die Eigenschaft, starke, impulsartige Druckspitzen, die infolge eines Welleneinschlags entstehen, zu verringern und Fluidoszillationen aufgrund hoher Zähigkeitskräfte zu dämpfen. Basierend auf den Ergebnissen dieser Arbeit und den Erkenntnissen aus der Diskussion der selbigen könnten einige künftige Forschungsrichtungen auf den Gebieten der multiregionalen Fluid-Struktur-Wechselwirkung und der Untersuchung von Dämpfungseigenschaften hochviskoser Flüssigkeiten vorgenommen werden. Ähnliche numerische und experimentelle Untersuchungen am Dämpfungselement sind notwendig, um einen tieferen Einblick in die Zusammenhänge von unterschiedlichen Fluiden, im Hinblick auf die energetische Effizienz der Dissipationsleistung, zu erhalten. Daher ist es zweckmäßig, nichtnewtonsche Fluide, alternativ scherentzähende oder verzähende viskoelastische Flüssigkeiten einzusetzen, um deren Einfluss auf Stoßbelastungen und das Schwingungsverhalten von verschiedenen elastischen Strukturen zu analysieren. Die Auswirkung von mehreren Wellen, die mit dem Dämpfungselement nacheinander interagieren und die daraus resultierenden Oszillationsbewegungen der elastischen Struktur könnten des Weiteren in einem dreidimensionalen FSI-Modell untersucht werden. Darüberhinaus 172 7. Zusammenfassung und Ausblick können numerische Methoden wie z.B. die Immersed Boundary [78] zur Modellierung multiregionaler Fluid-Struktur-Wechselwirkung eines Dämpfungselements eingesetzt werden, um im Hinblick auf die Effizienz bzw. den Rechenaufwand sowie die Genauigkeit der Ergebnisse zu vergleichen. Literaturverzeichnis 173 Literaturverzeichnis [1] ABOURI, D., PARRY, A., HAMDOUI, A., LONGATTE, E. A stable fluid-structure interaction algorithm: application to industrial problems. Journal of Pressure Vessel Technology, 128(4):516–524, 2006. [2] ALPHA VENTUS. http://www.alpha-ventus.de/. 27.11.2013. [3] ANDERSON, J.D. Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications. 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Anhang Experimentelle Erzeugung Gaußscher Wellenpakete Die experimentelle Erzeugung von Wellen im Labormaßstab erfordert einen Versuchstand, der im wesentlichen aus einem Wellenkanal mit einer mechanisch angetriebenen Wellenmaschine besteht. Nach DEANN und DALRYMPLE [19] kann eine bestimmte Wellenkategorie, nach Art und Weise der Wellenerzeugung in Abhängigkeit von der Ursell-Zahl Ur = λH 2 d3 (B.1) klassifiziert werden. Die Ursell-Zahl ist ein dimensionsloser Parameter zur Charakterisierung der Nichtlinearität einer Schwerewelle. Darin kennzeichnet H die Wellenhöhe, λ die Wellenlänge und d die Wassertiefe (siehe Abb. B.1). Diese lässt sich für eine Tiefwasserz g H x d λ Abbildung B.1.: Charakteristische Wellenparameter zur Definition der Höhe H, Länge L und Tiefe d. welle mit Ur > 400 und einer Flachwasserwelle mit Ur < 4 bestimmen. Im Intervall zwischen 400 ≥ Ur ≥ 4 liegt der Übergangsbereich zwischen Flach- und Tiefwasser erzeugten Wellen. Mit den in Tabelle B.1 eingetragenen Modellparameter des Wasserkanals und dem Wellenparameter lässt sich ein passender Erzeugermechanismus über die Ursell-Zahl bestimmen. Diese liegt mit einem Wert von ca. Ur ≈ 7 eindeutig in einem Übergangsbereich. Daraus kann nach [19] eine Wellenmaschine im P iston-T ypeModus1 eingesetzt werden. In Abbildung B.2 ist der Aufbau des Wellengenerators und ein Teil des Wasserkanals, der hier zur besseren Visualisierung durchsichtig dargestellt wird, gezeigt. Die wichtigsten Funktionskomponenten des Wellengenerator sind in der Tabelle B.2 zusammengefasst. 1 in diesen Modus wird eine Welle durch eine rein translatorische Bewegung des Wellenpaddels erzeugt. 184 B. Anhang Tabelle B.1.: Ursell-Zahl und Bestimmung des Erzeugungsmechanismus nach Deann und Dalrymple [19]. Parameter des Wasserkanals Wellenparameter Breite Bk = 0.3 m Höhe H = 0.1 − 0.15 m Länge Lk = 15 m Tiefe d = 0.25 m Höhe Hk = 15 m Periode T = 1 − 2s Ursell-Zahl Wellenkategorie Wellenmaschine 400 ≥ 7 ≥ 4 Übergangsbereich Piston Modus Tabelle B.2.: Funktionskomponenten 1 2 3 5 4 6 7 11 10 9 Position Bauteileinheit Pos.1 Pos.2 Pos.3 Pos.4 Pos.5 Pos.6 Pos.7 Pos.8 Pos.9 Pos.10 Pos.11 Antriebsmotor Festlager Kugelumlaufmutter Kugelrollenspindel Loslager Rahmen Wasserkanal Führungsschienen Wellenblatt Führungswagen Kupplung 8 Abbildung B.2.: Versuchsaufbau des Wellengenerators. Das Gerüst der gesamten mechanische Wellengeneratoreinheit bildet ein AluminiumprofilRahmen (Pos.6). Dieser wird, wie in Abbildung B.2 zu sehen, von oben auf dem Wasserkanal (Pos.7) aufgesetzt und befestigt. Den Antrieb stellt ein Drehstrom-Servomotor der Fa. KOLLMORGEN Baureihe AKM53K (Pos.1) dar. Dieser treibt eine Kugelrollenspindel (Pos.4), die über eine Zahnkranz-Kupplung (Pos.11) mit der Antriebswelle des Servomotors gekoppelt ist, an. Die Kugelrollenspindel wird dabei an einem Fest- und Loslager (Pos.2 u. Pos.5), die am Aluminiumrahmen befestigt sind, gelagert. Über eine Kugelumlaufmutter (Pos.3), die an einem Führungswagen (Pos.10) auf Schienen (Pos.8) befestigt ist, wird der rotatorische Bewegungsablauf in einen Translatorischen übersetzt. Der Drehstrom-Servomotor wird über einen Servoverstärker SERVOSTAR 346 angesteuert. Der Verstärker wandelt dabei das „schwache” Referenzsignal der Steuerung in ein leistungsstarkes Signal für den Servomotor um. Die mitgelieferte Software DriveGUI, über die der Motor angesteuert wird, ermöglicht dazu die Programmierung und Speicherung von bis zu 300 Fahraufträgen. Zur Generierung Gauß’scher Wellenpakete wird eine Software W aveGen als Schnittstel- B. Anhang 185 le zur DriveGUI mit Java entwickelt. Das Programm wird zusammen mit der Software W olf ram Mathematica verwendet. In der Mathematica-Umgebung wird dazu ein beliebiger Funktionsausdruck erstellt und in kleine Stützstellen diskretisiert. Als Funktionsausdruck zur experimentelle Erzeugung wird der Realteil aus Gleichung (4.14), analog zu den experimentellen Arbeiten von [7] und [108], als horizontale Anregung des Wellenblatts verwendet. Dabei werden die diskretisierten Stützstellen in einer externen Datei in Tabellenform abgespeichert und mit W aveGen in einen Fahrauftrag umgewandelt. Dieser wird mit DriveGUI geladen und an den Servoverstärker weiter gesendet, so dass der Fahrauftrag anschließend vom Servomotor ausgeführt werden kann. Abbildung B.3.: Versuchsaufbau Wellengenerator im Wasserkanal. 9 783862 195459 Berichte des Instituts für Mechanik (Bericht 2/2014) Numerische Modellierung von Fluid-Struktur-Wechselwirkungen an wellenbeaufschlagten Strukturen Vilmar Fuchs ISBN 978-3-86219-545-9 Institut für Mechanik Vilmar Fuchs Numerische Modellierung von Fluid-Struktur-Wechselwirkungen an wellenbeaufschlagten Strukturen kassel university press