Clifford-Algebren - Fakultät für Mathematik und Informatik

Transcrição

Clifford-Algebren
Konrad Schöbel
Mathematisches Institut, Friedrich-Schiller-Universität Jena
Sommersemester 2013
Gliederung
1
Motivation
2
Grundlagen
3
Definition und Eigenschaften
4
Klassifikation
5
Darstellungen
6
Anwendungen
7
Pin- und Spin-Gruppen
Literatur
H. Blaine Lawson & Marie-Louise Michelsohn: „Spin Geometry“
Princeton University Press, 1989.
Pertti Lounesto: „Clifford Algebras and Spinors“
London Mathematical Society Lecture Note Series 239,
Cambridge University Press, 1997.
Ian R. Porteous: „Clifford Algebras and Classical Groups“
Cambridge studies in advanced mathematics 50,
Cambridge University Press, 1995.
Quelle: Porteous: „Clifford Algebras and Classical Groups“
Motivation
Gliederung
1
Motivation
Motivation für Mathematiker
Motivation für Informatiker
Motivation für Physiker
Motivation
1.1. Motivation für Mathematiker
Motivation
Wie der Mensch das Zählen lernte . . .
(Quelle: Wikipedia)
Motivation
Der Aufbau der Zahlenbereiche
N
Konstruktion
unlösbar
gleichmächtige Mengen
a+x =b
A ∼ B :⇔ A ' B
Z
differenzengleiche Paare natürlicher Zahlen
a·x =b
(m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) :⇔ m1 + n2 = m2 + n1
Q
produktgleiche Paare ganzer Zahlen
Grenzwerte
(m1 , n1 ) ∼ (m2 , n2 ) :⇔ m1 · n2 = m2 · n1
R
äquivalente Cauchyfolgen
x2 = a
(an ) ∼ (bn ) :⇔ an − bn → 0
C
Paare reeller Zahlen
nichts!
Motivation
Or
dn
Ad
d
un
gsr
ela
itio
tio
n
n
kom
mu
tat
ass
iv
ozi
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v
Mu
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n
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N
X
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Z
X
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X
X
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X
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-
Q
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
-
R
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
(X)
C
-
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Motivation
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C⊂? ⊂ ?
Mathematiker: Wie weiter?
Nicht-Mathematiker: Warum weiter?
...
?
Motivation
Die komplexen Zahlen
Konstruktion
Definition 1.1 (komplexe Zahlen)
C := R2
1
Addition: (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) := (a1 + a2 , b1 + b2 )
2
Multiplikation: (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) := (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 )
Fakt 1.2
(C, +, ·) ist ein Körper, d. h.
1
(C, +) ist kommutative Gruppe
2
(C∗ , ·) ist kommutative Gruppe
3
Die Operationen „+“ und „·“ sind kompatibel:
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(Distributivität)
Motivation
Eigenschaften
Fakt 1.3
1
(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0)
2
(a, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1)
Schreibweise 1.4
1
i := (0, 1) „imaginäre Einheit“
i 2 = −1
2
a für (a, 0)
(a, b) = a + bi
Motivation
Norm
Definition 1.5
1
a + bi := a − bi
2
kzk2 := zz̄ = a2 + b 2 > 0 für z = a + bi
Fakt 1.6
k·k : C → R ist eine Norm, d. h.
1
kλzk = |λ|kzk für λ ∈ R
2
kz1 + z2 k 6 kz1 k + kz2 k (Dreiecksungleichung)
3
kzk = 0 ⇔ z = 0
Außerdem gilt:
1
kz̄k = kzk
2
kz1 · z2 k = kz1 k·kz2 k
3
1/z = z̄/kzk2
Motivation
Die Quaternionen
Konstruktion
Idee 1.7
So wie wir komplexe Zahlen als Paare reeller Zahlen definiert haben,
definieren wir Quaternionen als Paare komplexer Zahlen.
Definition 1.8 (Quaternionen)
H := C2
1
2
Multiplikation: (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) := (a1 a2 − b1 b̄2 , a1 b2 + b1 ā2 )
Motivation
Die Quaternionen
Schiefkörper
Fakt 1.9
(H, +, ·) ist ein Schiefkörper, d. h.
1
(H, +) ist kommutative Gruppe
2
(H∗ , ·) ist eine nicht-kommutative Gruppe
3
Die Operationen „+“ und „·“ sind kompatibel:
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
(Linksdistributivität)
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(Rechtsdistributivität)
Fakt 1.10
(a + bi, c + di) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(i, 0) + (c, 0)(0, 1) + (d, 0)(0, i)
Motivation
Die Quaternionen
Eigenschaften
Schreibweise 1.11
1
„imaginäre Einheiten“:
i := (i, 0)
2
j := (0, 1)
k := (0, i)
a für (a, 0)
(a + bi, c + di) = a + bi + cj + dk
Fakt 1.12
1
i 2 = j 2 = k 2 = −1
2
ijk = −1
3
ij = k = −ji
4
∀a ∈ R: ∀q ∈ H: aq = qa
jk = i = −kj
ki = j = −ik
Motivation
Die Quaternionentafel
an der Brougham (Broom) Bridge in Dublin
(Quelle: Wikipedia)
Motivation
Die Quaternionen
Kanonische Antivertauschungsregeln
Bemerkung 1.13
Setzen wir
e1 := i
e2 := j
e3 := k,
so erfüllen die Quaternionen die sogenannten
Kanonischen Antivertauschungsregeln:
ei ej + ej ei = −2δij
(CAR)
Motivation
Die Quaternionen
Norm
Definition 1.14
1
a + bi + cj + dk := a − bi − cj − dk
2
kqk2 := qq̄ = a2 + b 2 + c 2 + d 2 > 0 für q = a + bi + cj + dk
Fakt 1.15
k·k : H → R ist eine Norm, d. h.
1
kλqk = |λ|kqk für λ ∈ R
2
kq1 + q2 k 6 kq1 k + kq2 k (Dreiecksungleichung)
3
kqk = 0 ⇔ q = 0
Außerdem gilt:
1
kq̄k = kqk
2
kq1 · q2 k = kq1 k·kq2 k
3
1/q = q̄/kqk2
Motivation
Die Oktonionen
Konstruktion
Idee 1.16
Und weil es so gut funktioniert, versuchen wir es gleich noch mal . . .
Definition 1.17 (Oktonionen)
O := H2
1
2
Multiplikation: (a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) := (a1 a2 − b̄2 b1 , b2 a1 + b1 ā2 )
Fakt 1.18
Die Oktonionen erfüllen alle Axiome eines Schiefkörpers
bis auf die Assoziativität der Multiplikation.
Motivation
Die Oktonionen
imaginäre Einheiten
Schreibweise 1.19
a für (a, 0)
e0 := (1, 0)
e1 := (i, 0)
e2 := (j, 0)
e3 := (k, 0)
e4 := (0, 1)
e5 := (0, i)
e6 := (0, j)
e7 := (0, k)
Fakt 1.20
1
∀a ∈ R: ∀x ∈ O: ax = xa
2
(x0 + x1 i + x2 j + x3 k, x4 + x5 i + x6 j + x7 k) = x0 e0 + x1 e1 + · · · + x7 e7
3
ei2 = −1
4
ei ej = −ej ei für i 6= j
5
Multiplikationstafel für Oktonionen
Motivation
Das Oktonionen-Einmaleins
e5
e3
e2
e4
e6
e1
e7
Motivation
Die Oktonionen
Bemerkung 1.21
Auch in den Oktonionen gelten die Kanonischen Antivertauschungsregeln:
ei ej + ej ei = −2δij
(CAR)
Motivation
Die Oktonionen
Norm
Definition 1.22
1
x0 e0 + x1 e1 + · · · + x7 e7 := x0 e0 − x1 e1 − · · · − x7 e7
2
kx k2 := x x̄ = x12 + · · · + x72 > 0 für x = x0 e0 + x1 e1 + · · · + x7 e7
Fakt 1.23
k·k : O → R ist eine Norm.
Außerdem gilt:
1
kx̄ k = kx k
2
kx · y k = kx k·ky k
3
1/x = x̄ /kx k2
Motivation
O
rd
n
· k ung
om sre
· a mu latio
ss tat n
o
+ zia iv
ko tiv
+ mm
as uta
s
D ozi tiv
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N
X
X
X
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X
X
-
-
-
Z
X
X
X
X
X
X
X
-
-
Q
X
X
X
X
X
X
X
X
-
R
X
X
X
X
X
X
X
X
(X)
C
-
X
X
X
X
X
X
X
X
H
-
-
X
X
X
X
X
X
X
O
-
-
-
X
X
X
X
X
X
N⊂Z⊂Q⊂R⊂C⊂H⊂O⊂ ?
...
?
Motivation
Divisionsalgebren
Definition
Definition 1.24
A Divisionsalgebra über K :⇔
1
A ist (nichttrivialer) K-Vektorraum
2
A besitzt eine bilineare Multiplikation · : A × A −→ A
3
In A sind die folgenden Gleichungen eindeutig lösbar:
a·x =b
x ·a =b
Eine Divisionsalgebra heißt
assoziativ, falls · assoziativ ist
mit Eins, falls · ein neutrales Element besitzt
normiert, falls A ein normierter Vektorraum ist und
∀x , y ∈ A : kx · y k = kx k · ky k.
a 6= 0.
Motivation
Divisionsalgebren
Beispiele
Beispiele 1.25
normiert, assoziativ: R, C, H
normiert, nicht assoziativ: O
ohne Eins:
·
e1
e2
e1
+e1
−e2
e2
−e2
−e1
Bemerkung 1.26
Noch einmal funktionert die „Verdopplung“ nicht.
Motivation
Divisionsalgebren
Klassifikation
Satz 1.27 (von Hurwitz)
Jede endlichdimensionale normierte reelle Divisionsalgebra mit Eins ist
isomorph zu R, C, H oder O.
Beweis
. . . mit Clifford-Algebren!
Satz 1.28 (von Frobenius)
Jede endlichdimensionale assoziative reelle Divisionsalgebra ist isomorph zu
R, C oder H.
Bemerkung 1.29
Wir fordern also zu viel. Für Clifford-Algebren fordert man nur noch die
Kanonischen Antivertauschungsregeln.
Motivation
1.2. Motivation für Informatiker
Motivation
Die Euler-Winkel
Fakt 1.30
Jede Rotation im R3 ist die Hintereinanderausführung von
1
einer Drehung um die z-Achse
2
einer Drehung um die gedrehte x -Achse
3
einer Drehung um die gedrehte z-Achse.
Die entsprechenden Winkel heißen die Euler-Winkel.
Bemerkung 1.31
Die Euler-Winkel sind für praktische Belange unhandlich:
Die Euler-Winkel sind nicht in allen Fällen eindeutig.
Jede Drehung im R3 ist durch Drehachse und Drehwinkel bestimmt.
Der Zusammenhang ist sehr kompliziert:
Drehwinkel & Drehachse ←→ Euler-Winkel
Motivation
Euler-Winkel
(Quelle: Wikipedia)
Motivation
Quaternionen
Skalar- & Vektoranteil
Schreibweise 1.32
q = q0 + ~q für q = q0 + q1 i + q2 j + q3 k, wobei ~q = (q1 , q2 , q3 )
Fakt 1.33
~ ) = (v0 w0 − h~v , w
~ i) + (v0 w
~ + w0~v + ~v × w
~)
(v0 + ~v )(w0 + w
Definition 1.34
rein imaginäre Quaternionen:
ImH := {q ∈ H : q̄ = −q} = {q1 i + q2 j + q3 k : b, c, d ∈ R} ∼
= R3
Wir identifizieren die rein imaginären Quaternionen mit R3 .
Motivation
Raumdrehungen mit Quaternionen
Fakt 1.35
Sei
q = cos Θ + sin Θ~n mit Θ ∈ [0, 2π[ und k~nk = 1
∼ R3
~v ∈ ImH =
Dann ist auch
~v 0 := q~v q −1 ∈ ImH
und geht aus ~v durch eine Drehung hervor mit
Drehachse ~n
Drehwinkel 2Θ (sic!).
Motivation
Quaternionen
Anwendungen
Computergrafik
Computersehen
Robotik
Kontrolltheorie
Signalverarbeitung
Moleküldynamik
Raumfahrt
Motivation
Geometrische Algebra
Bemerkung 1.36
Man könnte mit Quaternionen nicht nur Drehungen, sondern auch
andere geometrische Objekte beschreiben:
Vektoren (rein imaginäre Quaternionen)
Ebenen (Normalenvektor und Abstand zum Ursprung)
Kugeln (Mittelpunkt und Radius)
Tatsächlich bieten Clifford-Algebren eine einheitliche Beschreibungsweise
für all diese Objekte sowie die Berechnung ihrer Schnitte – die sogenannte
Geometrische Algebra.
Motivation
1.3. Motivation für Physiker
Motivation
Die Einheitssphäre
in den Quaternionen
Definition 1.37
Einheitssphäre in H:
S 3 := {q ∈ H : kqk = 1} = {cos Θ + sin Θ~n : knk = 1, θ ∈ [0, 2π]}
Fakt 1.38
S 3 ist eine Gruppe bezüglich der Quaternionenmultiplikation.
Motivation
Raumdrehungen mit Quaternionen
Fakt 1.39
1
Folgende Abbildung ist wohldefiniert und ein
Gruppenhomomorphismus:
R : S 3 −→ SO(3)
q
7→
R(q) : R3 7→ R3
~v
2
3
4
7→ q~v q −1
R ist surjektiv.
R ist nicht injektiv: ker R = {−1, +1} ∼
= Z2
3
∼
S =
6 SO(3) × Z2
Definition 1.40
Man sagt, S 3 → SO(3) ist eine (nichtttriviale) zweiblättrige Überlagerung.
Motivation
Der Spin
Wieso beschreibt q = cos Θ + sin Θ~n eine Drehung um 2Θ?
Einer vollständigen Rotation „unten“ in SO(3) entspricht eine
nichttrivial Rotation „oben“ in der zweiblättrigen Überlagerung.
Erst einer zweifachen Rotation „unten“ entspricht eine triviale
Rotation „oben“.
Manche Teilchen transformieren sich unter S 3 und nicht unter SO(3).
Diese muss man zweimal drehen, damit sie wieder gleich aussehen!
Dieses Phänomen heisst „Spin“.
S 3 ist die sogenannte Spingruppe Spin(3).
Spin(n) → SO(n) wird über Clifford-Algebren konstruiert.
Auch in unserer makroskopischen Welt taucht dieses Phänomen auf:
Dirac’s Gürteltrick.
Motivation
Die Dirac-Gleichung
in der Quantenfeldtheorie
Idee 1.41
Wellengleichung:
Ψ = 0
=−
∂2
∂2
∂2
∂2
+
+
+
∂x02 ∂x12 ∂x22 ∂x32
Ziel:
1 Differenzialgleichung
2 Differenzialgleichungen
2. Ordnung
1. Ordnung
Gesucht: „Wurzel“ aus der Wellengleichung, d. h. D so dass D 2 = .
Motivation
Ansatz 1.42
D = γ0
⇒
∂
∂
∂
∂
+ γ1
+ γ2
+ γ3
∂x4
∂x1
∂x2
∂x3
i j
j i
γ γ +γ γ =



−2
0


+2
i =j =0
i 6= j
i =j =
6 0
(CAR)
Folgerung 1.43
pessimistisch: (CAR) nicht erfüllbar.
optimistisch: Wir suchen algebraische Objekte, für die (CAR) gilt.
Motivation
Dirac-Matrizen

+1

0
0
0
+1
0
0

0
−1
0
0
0
0

0
0
0

0

γ =
0

0
+i
0

+i
0
0
0
0


 0

γ =
 0

0

2
−i


−1
−i
0
0

 0

γ =
 0

0
+1
0

−1
0
0
0
0

0
0
+1
0
0
0
−1

0
0
+1
0
0

1
−1


0

 0

γ =
−1

3
0
+1

0


0






0
Grundlagen
Gliederung
2
Grundlagen
„Schieflineare“ Algebra
Lineare Algebra
Das Tensorprodukt
Die äußere Potenz
Algebren
Die Tensoralgebra
Die äußere Algebra
Quadratische Räume
Komplexifizierung
Grundlagen
2.1. „Schieflineare“ Algebra
Grundlagen
Ein Problemchen
H ist kein Körper, sondern nur ein Schiefkörper.
Deshalb gibt es keine Vektorräume über H im klassischen Sinne.
Es gibt nur ein Vektorraumaxiom,
in dem die Multiplikation im Körper auftaucht:
∀λ1 , λ2 ∈ K : ∀v ∈ V : λ1 (λ2~v ) = (λ1 λ2 )~v
Wenn wir vorsichtig zwischen links und rechts unterscheiden,
können wir die lineare Algebra auf Schiefkörper verallgemeinern.
(*)
Grundlagen
Linke H-Vektorräume
∀λ1 , λ2 ∈ K : ∀v ∈ V : λ1 (λ2~v ) = (λ1 λ2 )~v
(*)
Definition 2.1
Ein linker quaternionischer Vektorraum (linker H-Vektrorraum) ist eine
kommutative Gruppe (V , +), ausgestattet mit einer Skalarmultiplikation
„von links“,
H × V −→ V
(λ , ~v ) 7→ λ~v ,
welche die Vektorraumaxiome in der üblichen Form erfüllt, insbesondere
(*).
Grundlagen
Rechte H-Vektorräume
∀λ1 , λ2 ∈ K : ∀v ∈ V : λ1 (λ2~v ) = (λ1 λ2 )~v
(*)
Definition 2.2
Ein rechter quaternionischer Vektorraum (rechter H-Vektrorraum) ist eine
kommutative Gruppe (V , +), ausgestattet mit einer Skalarmultiplikation
„von rechts“,
V × H −→ V
(~v , λ)
7→
~v λ,
welche die üblichen Vektorraumaxiome bis auf (*) erfüllt, welches durch
∀λ1 , λ2 ∈ K : ∀v ∈ V : (~v λ2 )λ1 = ~v (λ2 λ1 )
ersetzt wird.
Grundlagen
Beispiel 2.3
Hn (und insbesondere H selbst) kann sowohl mit einer linken als auch
einer rechten H-Vektorraumstruktur versehen werden, je nachdem ob wir
die Vektorkomponenten von links oder rechts mit Skalaren multiplizieren.
Bemerkung 2.4
Folgende Begriffe aus der linearen Algebra übertragen sich auf die
H-lineare Algebra:
Untervektorraum
direkte Summe zweier linker bzw. zweier rechter H-Vektorräume
Basis, Dimension
Grundlagen
Links- und rechtslineare Abbildungen
Definition 2.5
Eine Abbildung f : V → W zwischen zwei
1
linken H-Vektorräumen ist (links-)linear, falls
f (λ1~v1 + λ2~v2 ) = λ1 f (~v1 ) + λ2 f (~v2 )
2
rechten H-Vektorräumen ist (rechts-)linear, falls
f (~v1 λ1 + ~v2 λ2 ) = f (~v1 )λ1 + f (~v2 )λ2
Die Menge der (links- bzw. rechts-)linearen Abbildungen zwischen zwei
(linken bzw. rechten) H-Vektorräumen wird mit L(V , W ) bezeichnet.
Bemerkung 2.6
Rechts ist da wo der Daumen links ist und umgekehrt.
Grundlagen
Der Raum der „schieflinearen“ Abbildungen
Bemerkung 2.7
Im Gegensatz zur linearen Algebra ist L(V1 , V2 ) im Allgemeinen weder ein
linker noch ein rechter H-Vektorraum:
k(f (v )) = (kf )(v ) = (ijf )(v ) = i((jf )(v )) = (jf )(iv )
= j(f (iv )) = f (jiv ) = f (−kv ) = −k(f (v ))
Normalerweise wird L(V1 , V2 ) deshalb als R-Vektorraum betrachtet.
Grundlagen
Quaternionische Matrizen
Schreibweise 2.8
Vektoren in Hn als rechtem H-Vektorraum werden als
Spaltenvektoren mit Einträgen aus H geschrieben.
Rechtslineare Abbildungen f : Hn → Hm werden wie üblich als
(m × n)-Matrizen mit Einträgen aus H dargestellt, die von links auf
Spaltenvektoren wirken.
Vektoren in H als linkem H-Vektorraum werden dagegen als
Zeilenvektoren geschrieben und linkslineare Abbildungen f : Hn → Hm
als (n × m)-Matrizen (sic!), die von rechts auf Zeilenvektoren wirken.
Bemerkung 2.9
Damit Matrizen wie üblich von links auf Vektoren angewendet werden,
versteht man unter einem „H-Vektorraum“ für gewöhnlich einen rechten
H-Vektorraum.
Grundlagen
Lineare Algebra
2.2. Lineare Algebra
Grundlagen
Lineare Algebra
Raum der linearen Abbildungen
Fakt 2.10
Die Menge L(V , W ) der linearen Abbildungen f : V → W von einem
K-Vektorraum V in einen K-Vektorraum W wird mit folgenden
Operationen ein K-Vektorraum:
1
Addition: (f1 + f2 )(v ) := f1 (v ) + f2 (v )
2
Skalarmultiplikation: (λf )(v ) := f (λv )
Bemerkung 2.11
Ist dim V = m < ∞ und dim W = n < ∞, so ist V ∼
= Kn
= Km und W ∼
sowie
L(V , W ) ∼
= L(Km , Kn ) ∼
= MatK (m × n)
Grundlagen
Lineare Algebra
Dualraum
Definition 2.12 (Spezialfall)
V ∗ := L(V , K) Dualraum von V
Fakt 2.13
{v1 , . . . , vn } eine Basis von V ⇒ {v 1 , . . . , v n } Basis in V ∗ , wobei
(
i
v (vj ) :=
δji
:=
0 i 6= j
1 i =j
Insbesondere:
dim V ∗ = dim V
Definition 2.14
{v 1 , . . . , v n } duale Basis zu {v1 , . . . , vn }.
Grundlagen
Lineare Algebra
Direkte Summe
Definition
Fakt 2.15
Das kartesische Produkt V × W zweier K-Vektorräume V und W wird
mit folgenden Operationen ein K-Vektorraum:
1
Addition: (v1 , w1 ) + (v2 , w2 ) := (v1 + v2 , w1 + w2 )
2
Skalarmultiplikation: λ(v , w ) := (λv , λw )
Außerdem sind folgende Abbildungen linear und injektiv:
ιV : V
v
−→
V ×W
ιW : W
7→
(v , 0)
w
−→ V × W
7→
(0 , w )
Definition 2.16
1
V ⊕ W := (V × W , +, ·) direkte Summe von V und W
2
ιV : V ,→ V ⊕ W , ιW : W ,→ V ⊕ W kanonische Inklusionen
Grundlagen
Lineare Algebra
Direkte Summe
Eigenschaften
Fakt 2.17 (Übungsaufgabe)
1
2
3
V ⊕0∼
=V
∼W ⊕V
V ⊕W =
(U ⊕ V ) ⊕ W ∼
= U ⊕ (V ⊕ W )
Schreibweise 2.18
U ⊕ V ⊕ W für (U ⊕ V ) ⊕ W ∼
= U ⊕ (V ⊕ W )
Grundlagen
Lineare Algebra
Direkte Summe
Basis
Fakt 2.19
{vi : i ∈ I} Basis von V
{wj : j ∈ J} Basis von W
⇒ {(vi , 0) : i ∈ I} ∪ {(0, wj ) : j ∈ J} Basis von V ⊕ W
Insbesondere:
dim V ⊕ W = dim V + dim W
Schreibweise 2.20
1
v für (v , 0), w für (0, w )
2
v + w für (v , w ) (manchmal auch v ⊕ w )
Grundlagen
Lineare Algebra
Direkte Summe
unendlich vieler Vektorräume
Definition 2.21
Die direkte Summe unendlich vieler Vektorräume Vi , i ∈ I, wird definiert
als die Menge von Folgen (vi )i∈I mit vi ∈ Vi und nur endlich vielen von 0
verschiedenen Gliedern:
M
n
Vi := (vi )i∈I : vi ∈ Vi , ∃n ∈ N : ∀i > n : vi = 0
o
i∈I
Fakt 2.22
1
2
Die kanonischen Inklusionen ιi : Vi ,→
{vij : j ∈ Ji } Basis von Vi
⇒
n
ιi (vij ) : i ∈ I, j ∈ Ji
L
Vi sind linear und injektiv.
i∈I
o
Basis von
M
i∈I
Vi
Grundlagen
Lineare Algebra
Äquivalenzrelation
Definition
Definition 2.23
R ⊆ X × X Äquivalenzrelation auf einer Menge X :⇔
1
Reflexivität: (x , x ) ∈ R
2
Symmetrie: (x , y ) ∈ R ⇒ (y , x ) ∈ R
3
Transitivität: (x , y ) ∈ R ∧ (y , z) ∈ R ⇒ (x , z) ∈ R
Für eine Äquivalenzrelation definiert man
1
[x ] := {y ∈ X : xRy } Äquivalenzklasse von x
2
X /R := {[x ] : x ∈ X } Menge der Äquivalenzklassen
Schreibweise 2.24
xRy für (x , y ) ∈ R
Grundlagen
Lineare Algebra
Äquivalenzrelation
Beispiel
Fakt 2.25
Ein Untervektorraum U ⊆ V definiert folgende Äquivalenzrelation auf V ,
v1 ∼ v2
:⇔
v2 − v1 ∈ U,
mit den Äquivalenzklassen
[v ] = {w ∈ V : w − v ∈ U} = {v + u : u ∈ U} =: v + U
Definition 2.26
V /U := V /∼ = {v + U : v ∈ V }
Bemerkung 2.27
V /U ist die Menge aller zu U parallelen affinen Unterräume ∼
=U
Grundlagen
Lineare Algebra
Quotientenraum
Fakt 2.28
V /U wird mit folgenden Operationen zu einem Vektorraum:
1
Addition: [v ] + [w ] := [v + w ]
2
Skalarmultiplikation: λ[v ] := [λv ]
Außerdem ist folgende Abbildung linear und surjektiv:
π: V
v
−→ V /U
7→
[v ]
Definition 2.29
1
V /U Quotientenraum oder Faktorraum
2
π : V V /U kanonische Projektion
Grundlagen
Lineare Algebra
Quotientenraum
Lineare Abbildungen
Fakt 2.30
U ⊆ V Untervektorraum
fˆ : V → W linear
∀u ∈ U : f (u) = 0
⇒ ∃!f : V /U → W linear: fˆ = f ◦ π
V
π
fˆ
f
V /U
Bemerkung 2.31
Man sagt, fˆ „steigt von V auf V /U ab“.
/W
<
Grundlagen
Lineare Algebra
Quotientenraum
Basis
Fakt 2.32
{vi : i ∈ I} Basis von V
{vi : i ∈ J} Basis von U, J ⊆ I
⇒ {vi + U : i ∈ I \ J} Basis von V /U
Insbesondere:
dim V /U = dim V − dim U
Grundlagen
Das Tensorprodukt
2.3. Das Tensorprodukt
Grundlagen
Das Tensorprodukt
Tensorprodukt
pragmatische Definition
„Definition“
Das Tensorprodukt V ⊗ W ist ein Vektorraum, dessen Elemente endliche
Linearkombinationen von Vektoren der Form v ⊗ w sind, d. h. sie lassen
sich schreiben als
λ1 (v1 ⊗ w1 ) + · · · + λn (vn ⊗ wn )
für ein n ∈ N mit λi ∈ K, vi ∈ V und wi ∈ W .
Diese Darstellung ist nicht eindeutig, sondern unterliegt den folgenden
Relationen:
v1 ⊗ w + v2 ⊗ w = (v1 + v2 ) ⊗ w
(λv ) ⊗ w = λ(v ⊗ w )
v ⊗ w1 + v ⊗ w2 = v ⊗ (w1 + w2 )
v ⊗ (λw ) = λ(v ⊗ w ).
Grundlagen
Das Tensorprodukt
Freie Vektorräume
Gewöhnlich ist ein K-Vektorraum gegeben und man sucht eine Basis.
Wir wollen den umgekehrten Weg gehen und einen K-Vektorraum
über einer vorgegebenen Basismenge definieren.
Man könnte formale (endliche) Linearkombinationen von Elementen
dieser Menge betrachten.
Jeder Vektor ist eine eindeutige Linearkombination der Basisvektoren.
Daher läßt sich ein Vektor mit der Folge seiner Koordinaten
identifizieren.
Diese können wir als Abbildung von der Basismenge nach K ansehen.
Jeder Vektor ist eine endliche Linearkombination von Basiselementen.
Die Folge hat also nur endlich viele von Null verschiedene Werte.
Ein „freier Vektorraum“ ist nichts anderes als ein Vektorraum über
einer vorgegebenen Basismenge.
Grundlagen
Das Tensorprodukt
Freie Vektorräume
Definition 2.33
Der freie K-Vektorraum über einer Menge I ist der Vektorraum der Folgen
(λi )i∈I ⊆ K mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Gliedern:
n
o
F (I) := (λi )i∈I ⊆ K : #{i ∈ I : λi 6= 0} < ∞
Addition: (λi )i∈I + (µi )i∈I := (λi + µi )i∈I
Skalarmultiplikation: λ(µi )i∈I := (λµi )i∈I
Bemerkung 2.34
Basis: {ei : i ∈ I}, wobei ej = (δij )i∈I
Wir können I mit der Basis {ei : i ∈ I} identifizieren.
Jeder Vektorraum ist isomorph zu einem freien Vektorraum.
(Falls man das Auswahlaxiom akzeptiert.)
Grundlagen
Das Tensorprodukt
Tensorprodukt
zweier Vektorräume
Definition 2.35 (formale Definition)
V , W K-Vektorräume
F (V × W ) freier K-Vektorraum über V × W
R ⊆ F (V × W ) der von folgenden Vektoren aufgespannte Unterraum
e(v1 ,w ) + e(v2 ,w ) − e(v1 +v2 ,w )
e(λv ,w ) − λe(v ,w )
e(v ,w1 ) + e(v ,w2 ) − e(v ,w1 +w2 )
e(v ,λw ) − λe(v ,w )
Das Tensorprodukt von V und W ist der K-Vektorraum
V ⊗K W := F (V × W )/R
Schreibweise 2.36
v ⊗ w für [e(v ,w ) ] = ev ,w + R
Grundlagen
Das Tensorprodukt
Tensorprodukt
Folgerung 2.37
In V ⊗ W gelten die Relationen
v1 ⊗ w + v2 ⊗ w = (v1 + v2 ) ⊗ w
(λv ) ⊗ w = λ(v ⊗ w )
v ⊗ w1 + v ⊗ w2 = v ⊗ (w1 + w2 )
v ⊗ (λw ) = λ(v ⊗ w ).
Mit anderen Worten, wir haben eine bilineare Abbildung
⊗:
V ×W
(v , w )
−→ V ⊗ W
7→
v ⊗ w.
Dies rechtfertigt unsere „pragmatische Definition“!
Definition 2.38
v ⊗ w ∈ V ⊗ W Tensorprodukt der Vektoren v und w .
Grundlagen
Das Tensorprodukt
Universalitätseigenschaft
des Tensorprodukts
Fakt 2.39
Zu jeder bilinearen Abbildung b : V × W → U existiert eine eindeutig
bestimmte lineare Abbildung f : V ⊗ W → U mit b = f ◦ ⊗:
V ×W
⊗
b
/V ⊗W
& f
U
Das Tensorprodukt ist (bis auf Isomorphie) eindeutig durch diese
Universalitätseigenschaft bestimmt.
Bemerkung 2.40
V × W → V ⊗ W ist die „allgemeinste“ bilineare Abbildung auf V × W .
Grundlagen
Das Tensorprodukt
Tensorprodukte
Eigenschaften
Fakt 2.41
1
2
3
4
0⊗V =0
K ⊗K V ∼
=V
V ⊗W ∼
=W ⊗V
(U ⊗ V ) ⊗ W ∼
= U ⊗ (V ⊗ W )
Schreibweise 2.42
1
2
U ⊗ V ⊗ W für (U ⊗ V ) ⊗ W ∼
= U ⊗ (V ⊗ W )
⊗p
V
für V
⊗V ⊗
· · · ⊗ V}
{z
|
p Faktoren
Grundlagen
Das Tensorprodukt
Basis
des Tensorprodukts
Fakt 2.43
{vi : i ∈ I} Basis in V
{wj : j ∈ J} Basis in W
⇒ {vi ⊗ wj : i ∈ I, j ∈ J} Basis in V ⊗ W
Insbesondere:
dim(V ⊗ W ) = (dim V ) · (dim W )
Folgerung 2.44
v ⊗w =0 ⇔ v =0 ∨ w =0
Grundlagen
Das Tensorprodukt
Tensorprodukte
Beispiel
Beispiel 2.45 (zwei Spin- 21 -Teilchen)
{|↑i, |↓i} C-Basis in V (ein Spin- 12 -Teilchen)
Elemente in V ⊗ V (zwei gekoppelte Spin- 12 -Teilchen):
λ↑↑ |↑i ⊗ |↑i + λ↑↓ |↑i ⊗ |↓i + λ↓↑ |↓i ⊗ |↑i + λ↓↓ |↓i ⊗ |↓i
λ· ∈ C
„reine Zustände“:
v ⊗ w = α↑ |↑i + α↓ |↓i ⊗ β↑ |↑i + β↓ |↓i
λ↑↑ λ↓↓ = λ↑↓ λ↓↑
„gemischte Zustände“, z. B.
1
1
√ |↑↑i + √ |↓↓i =
6 v ⊗w
2
2
λ↑↑ λ↓↓ 6= λ↑↓ λ↓↑
Grundlagen
Das Tensorprodukt
Morphismen von Tensorprodukten
Fakt 2.46
Zwei lineare Abbildungen f : V1 → V2 und g : W1 → W2 definieren eine
lineare Abbildung
f ⊗ g : V1 ⊗ W1 −→
v ⊗w
7→
V2 ⊗ W2
f (v ) ⊗ g(w ) =: (f ⊗ g)(v ⊗ w )
Fakt 2.47
A = (aij ) Matrix von f
B = (bkl ) Matrix von g
⇒ A ⊗ B = (aij bkl ) Matrix von f ⊗ g
Definition 2.48
f ⊗ g Kronecker-Produkt von f und g
Grundlagen
Die äußere Potenz
2.4. Die äußere Potenz
Grundlagen
Die äußere Potenz
Äußeres Produkt
von Vektoren
Definition 2.49
Sei V Vektorraum über K = R oder K = C.
Äußeres Produkt der Vektoren v1 , . . . , vp ∈ V :
v1 ∧ · · · ∧ vp :=
1 X
sgn(π)vπ(1) ⊗ · · · ⊗ vπ(p) ∈ V ⊗p
p! π∈S
p
Beispiel 2.50
1
u ∧ v ∧ w = (u ⊗ v ⊗ w − u ⊗ w ⊗ v + w ⊗ u ⊗ v
6
−w ⊗ v ⊗ u + v ⊗ w ⊗ u − v ⊗ u ⊗ w )
Grundlagen
Die äußere Potenz
Äußeres Produkt
Eigenschaften
Fakt 2.51
1
vπ(1) ∧ · · · ∧ vπ(p) = sgn(π)v1 ∧ · · · ∧ vp
2
v1 ∧ · · · ∧ vp = 0 falls zwei der vi gleich
3
v1 ∧ · · · ∧ vp = 0 falls v1 , . . . , vp linear abhängig
Grundlagen
Die äußere Potenz
Äußere Potenz
eines Vektorraumes
Definition 2.52
Die p-te äußere Potenz eines Vektorraums V ist der Unterraum
Λp V := hv1 ∧ · · · ∧ vp : v1 , . . . , vp ∈ V i ⊆ V ⊗p
Beispiele 2.53
2
Λ0 V ∼
=K
1
Λ V ∼
=V
3
Λp V = 0 für p > dim V
1
Grundlagen
Die äußere Potenz
Äußere Potenz
Beispiel
Beispiel 2.54
{|↑i, |↓i} C-Basis in V
Elemente in V ⊗ V :
λ↑↑ |↑i ⊗ |↑i + λ↑↓ |↑i ⊗ |↓i + λ↓↑ |↓i ⊗ |↑i + λ↓↓ |↓i ⊗ |↓i
äußere Produkte:
|↑i ∧ |↑i = |↓i ∧ |↓i = 0
|↑i ∧ |↓i = 12 (|↑i ⊗ |↓i − |↓i ⊗ |↑i) = −|↓i ∧ |↑i
Elemente in Λ2 V ⊂ V ⊗ V :
λ(|↑i ⊗ |↓i − |↓i ⊗ |↑i)
λ∈C
λ· ∈ C
Grundlagen
Die äußere Potenz
Äußere Potenz
Basis
Fakt 2.55
{v1 , . . . , vn } Basis von V
⇒
{vi1 ∧ · · · ∧ vip : 1 6 i1 < · · · < ip 6 n} Basis in Λp V
Insbesondere:
dim Λp V =
n
p
!
Grundlagen
Algebren
2.5. Algebren
Grundlagen
Algebren
Algebren
Definition
Definition 2.56
Eine Algebra über einem Körper K (K-Algebra) ist ein K-Vektorraum A
mit einer bilinearen Multiplikation · : A × A → A. Das heißt
1
(a + b) · c = (a · c) + (b · c)
(Linksdistributivität)
2
a · (b + c) = (a · b) + (a · c)
(Rechtsdistributivität)
3
(λa) · b = λ(a · b) = a · (λb)
(Homogenität)
A heißt
1
unitär, falls · ein neutrales Element 1 ∈ A besitzt: 1 · a = a · 1 = a
2
assoziativ, falls · assoziativ: a · (b · c) = (a · b) · c
3
kommutativ, falls · kommutativ: a · b = b · a
Grundlagen
Algebren
Algebren
Multiplikationen
Bemerkung 2.57
In einer Algebra haben wir drei Multiplikationen, die alle mit dem selben
(bzw. gar keinem) Symbol bezeichnet werden:
1
Multiplikation von Körperelementen: · : K × K → K
2
Skalarmultiplikation von Vektoren: · : K × A → A
3
Multiplikation von Vektoren: · : A × A → A
Welche man meint, ist stets aus dem Kontext klar.
Grundlagen
Algebren
Algebren
Beispiele
Beispiele 2.58
1
0 = {0} triviale Algebra
2
K ist kommutative unitäre assoziative K-Algebra (z.B. K = R, C).
3
H ist nicht-kommutative unitäre assoziative R- oder C-Algebra.
4
O ist nicht-kommutative unitäre nicht-assoziative R-Algebra
5
6
7
(R3 , +, ×) nicht-kommutative nicht-unitäre nicht-assoziative
R-Algebra
Polynomalgebra K[X ]: kommutative unitäre assoziative K-Algebra
Matrixalgebren:
I
I
I
K(n) := L(Kn , Kn ) ∼
= MatK (n × n)
assoziative, unitäre, nicht kommutative K-Algebra
C(n) ist sowohl eine R-Algebra, als auch eine C-Algebra.
H(n) := L(Hn , Hn ) ∼
= MatH (n × n)
assoziative, unitäre, nicht kommutative R-Algebra
Grundlagen
Algebren
Morphismen von K-Algebren
Definition
Definition 2.59
Ein K-Algebren-Homomorphismus ist eine lineare Abbildung f : A → B
zwischen zwei K-Algebren, die mit der Algebren-Multiplikation verträglich
ist:
f (a · b) = f (a) · f (b)
f heißt
unitär, falls A und B unitär und f (1) = 1
K-Algebren-Isomorphismus, falls f bijektiv.
K-Algebren-Endomorphismus, falls B = A.
K-Algebren-Automorphismus, falls B = A und f bijektiv.
Bemerkung 2.60
„Homomorphismus“ zwischen unitären Algebren meint meist „unitär“.
Grundlagen
Algebren
Morphismen von K-Algebren
Beispiel
Definition 2.61
Ist A unitär, so heißt x ∈ A invertierbar :⇔ ∃a−1 ∈ A : aa−1 = 1 = a−1 a
Fakt 2.62
Für eine assoziative, unitäre K-Algebra A und b ∈ A invertierbar ist die
Abbildung
A −→ A
a
7→
bab −1
ein K-Algebren-Automorphismus.
Definition 2.63
Automorphismen von diesem Typ heißen innere Automorphismen,
alle anderen äußere Automorphismen.
Grundlagen
Algebren
Direkte Summe
von Algebren
Fakt 2.64
Die direkte Summe A ⊕ B zweier K-Algebren A und B wird mit folgender
Multiplikation zu einer K-Algebra:
(a1 ⊕ b1 ) · (a2 ⊕ b2 ) := (a1 · a2 ) ⊕ (b1 · b2 )
Die kanonischen Inklusionen sind K-Algebren-Homomorphismen:
ιA : A ,→ A ⊕ B
a 7→
a ⊕ 0
ιB : B ,→ A ⊕ B
b
7→
0 ⊕ b
Grundlagen
Algebren
Unteralgebren
Definition 2.65
U ⊆ A Unteralgebra :⇔
1
U ⊆ A Untervektorraum
2
∀u1 , u2 ∈ U: u1 · u2 ∈ U.
Bemerkung 2.66
Eine Unteralgebra ist eine bezüglich Addition, Skalarmultiplikation und
Multiplikation abgeschlossene Teilmenge.
Beispiele 2.67
1
0 ⊆ A, A ⊆ A triviale Unteralgebren
2
R ⊂ C ⊂ H ⊂ O als R-Algebren
3
R(n) ⊂ C(n) ⊂ H(n) als R-Algebren
Grundlagen
Algebren
Das Zentrum
als Unteralgebra
Definition 2.68
Z (A) := {z ∈ A : ∀a ∈ A : az = za} Zentrum von A
Beispiel 2.69
1
Z (R3 , +, ×) = {~0}
2
Z (H) = R
3
Z (O) = R
4
5
6
Z (R(n)) = R Id ∼
=R
Z (C(n)) = C Id ∼
=C
Z (H(n)) = R Id ∼
=R
Fakt 2.70
Z (A) ist eine kommutative Unteralgebra.
Grundlagen
Algebren
Unteralgebren
Bemerkung 2.71
Der Quotientenraum A/U bezüglich einer Unteralgebra U ⊂ A ist im
Allgemeinen keine Algebra, da
[a] · [b] := [a · b]
nicht wohldefiniert ist:
[a0 b 0 ] = [(a + u)(b + v )] = [ab + av + ub + uv ] = [ab + av + ub]
i.A.
6= [ab]
u, v ∈ U
Für u, v ∈ U müßte auch av + ub in U liegen.
Quotienten kann man also nur bezüglich bestimmter Unteralgebren bilden.
Grundlagen
Algebren
Quotientenalgebra
Definition
Definition 2.72
I ⊆ A Linksideal (bzw. Rechtsideal) :⇔
1
I ⊆ A Untervektorraum
2
∀a ∈ A : ∀u ∈ I: au ∈ I (bzw. ua ∈ I)
I ⊆ A (zweiseitiges) Ideal :⇔ I Links- & Rechtsideal
Fakt 2.73
Der Quotientenraum A/I einer K-Algebra A bezüglich eines (zweiseitigen)
Ideals I ⊆ A wird mit folgender Multiplikation zu einer K-Algebra:
[a] · [b] := [a · b]
Die kanonische Projektion A A/I ist ein
K-Algebren-Homomorphismus.
Grundlagen
Algebren
Ideale
Beispiele
Beispiele 2.74
1
0 ⊂ A, A ⊂ A triviale Ideale
2
durch X 2 + 1 teilbare Polynome in K[X ]
3
Matrizen in K(n) mit 0 in der letzten Spalte bilden linkes Ideal
4
Matrizen in K(n) mit 0 in der letzten Zeile bilden rechtes Ideal
Definition 2.75
A einfach :⇔ A besitzt nur die trivialen Ideale 0, A ⊆ A.
Fakt 2.76
K(n) ist einfach.
Grundlagen
Algebren
Erzeugendensystem
eines Ideals
Fakt 2.77
Der Schnitt beliebig vieler Ideale ist wieder ein Ideal.
Definition 2.78
Das von einer Teilmenge R ⊆ A erzeugte Ideal hRi ist der Schnitt aller R
enthaltenden Ideale I:
\
hRi :=
I
I Ideal, R ⊆ I
Fakt 2.79
Das von R ⊆ A erzeugte (zweiseitige) Ideal in einer unitären Algebra A
hat die Gestalt
hRi = {a1 r1 b1 + · · · an rn bn : n ∈ N, ri ∈ R, ai , bi ∈ A}
Grundlagen
Algebren
Tensorprodukt
von Algebren
Fakt 2.80
Das Tensorprodukt zweier K-Algebren A und B wird mit folgender
Multiplikation zu einer K-Algebra:
(a1 ⊗ b1 ) · (a2 ⊗ b2 ) := (a1 · a2 ) ⊗ (b1 · b2 )
Sind A und B unitär, so sind folgende Abbildungen injektive
K-Algebren-Homomorphismen:
ιA : A −→ A ⊗ B
a
7→
a⊗1
ιB : B −→ A ⊗ B
b
7→
1⊗b
Grundlagen
Algebren
Tensorprodukt von Algebren
Beispiele
Fakt 2.81
1
2
3
4
5
6
K(n) ⊗K K(m) ∼
= K(nm)
R(n) ⊗R C ∼
= C(n)
R(n) ⊗R H ∼
= H(n)
∼
C ⊗R C = C ⊕ C
C ⊗R H ∼
= C(2)
H ⊗R H ∼
= R(4)
Grundlagen
Algebren
Gradierung
einer Algebra
Definition 2.82
Eine Gradierung auf einer Algebra A ist eine Zerlegung
A=
∞
M
Ap
mit
Ai · Aj ⊆ Ai+j
p=0
Eine Algebra mit einer Gradierung heißt gradiert.
Die Elemente in Ap heißen homogen vom Grad p.
Beispiel 2.83
K[X ] =
∞
L
p=0
K[X ]p Zerlegung in homogene Polynome vom Grad p
Grundlagen
Die Tensoralgebra
2.6. Die Tensoralgebra
Grundlagen
Die Tensoralgebra
Die Tensoralgebra
Definition
Definition 2.84
Die Tensoralgebra (oder freie Algebra) über dem K-Vektorraum V ist der
K-Vektorraum
T (V ) :=
∞
M
V ⊗p = K ⊕ V ⊕ (V ⊗ V ) ⊕ (V ⊗ V ⊗ V ) ⊕ · · ·
p=0
versehen mit der Multiplikation
⊗:
V ⊗p × V ⊗q
(v1 ⊗ · · · ⊗ vp , vp+1 ⊗ · · · ⊗ vp+q )
−→ V ⊗(p+q)
7→
v1 ⊗ · · · ⊗ vp+q
Grundlagen
Die Tensoralgebra
Die Tensoralgebra
Eigenschaften
Bemerkungen 2.85
Die Elemente in T (V ) sind endliche Linearkombinationen von
Elementen der Form
λ ⊕ v11 ⊕ (v21 ⊗ v22 ) ⊕ (v31 ⊗ v32 ⊗ v33 ) ⊕ · · ·
λ ∈ K, v· ∈ V ,
wobei nur endlich viele Summanden von Null verschieden sind.
Wir haben die kanonischen Inklusionen
K ,→ T (V )
λ 7→ λ ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · ·
ι: V
v
,→ T (V )
7→ 0 ⊕ v ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · · .
Fakt 2.86
T (V ) ist eine gradierte nicht-kommutative unitäre assoziative K-Algebra.
Grundlagen
Die Tensoralgebra
Die Tensoralgebra
Beispiel
Schreibweise 2.87
λ für λ ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · ·
v
für 0 ⊕ v ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · ·
dann: λ ⊕ v11 ⊕ (v21 ⊗ v22 ) ⊕ · · · = λ + v11 + v21 ⊗ v22 + . . .
Beispiel 2.88
λ + v11 + v21 ⊗ v22 ⊗ µ + w11 + w21 ⊗ w22
= λµ + (λw11 + µv11 ) + (λw21 ⊗ w22 + v11 ⊗ w11 + µv21 ⊗ v22 )
+ (v11 ⊗ w21 ⊗ w22 + v21 ⊗ v22 ⊗ w11 )
+ v21 ⊗ v22 ⊗ w21 ⊗ w22
Grundlagen
Die Tensoralgebra
Die Tensoralgebra
Fakt 2.89
Zu jeder linearen Abbildung f : V → A von V in eine unitäre assoziative
K-Algebra A existiert ein eindeutig bestimmter K-AlgebrenHomomorphismus fˆ : T (V ) → A mit f = fˆ ◦ ι:

V ι
/ T (V )
f
" fˆ
A
Die Tensoralgebra ist (bis auf Isomorphie) eindeutig durch diese
Universalitätseigenschaft bestimmt.
Bemerkung 2.90
T (V ) ist die „allgemeinste“ unitäre assoziative K-Algebra, die V enthält.
Grundlagen
Die Tensoralgebra
Morphismen von Tensoralgbren
induziert von Vektorraummorphismen
Fakt 2.91
Jede lineare Abbildung f : V1 → V2 induziert einen eindeutig bestimmten
K-Algebra-Homomorphismus fˆ : T (V1 ) → T (V2 ) mit fˆ ◦ ι1 = ι2 ◦ f :
T (V1 )
fˆ
O
ι1
?
V1
/ T (V2 )
O
?
f
ι2
/ V2
Insbesondere induziert jeder Endo- bzw. Automorphismus von V einen
Endo- bzw. Automorphismus von T (V ).
Grundlagen
2.7. Die äußere Algebra
Grundlagen
Definition
Definition 2.92
Die äußere Algebra über dem K-Vektorraum V ist der K-Vektorraum
Λ(V ) :=
dim
MV
Λp V = K ⊕ V ⊕ Λ2 V ⊕ · · · ⊕ Λdim V V
p=0
versehen mit der Multiplikation
Λp V × Λq V
(v1 ∧ · · · ∧ vp , vp+1 ∧ · · · ∧ vp+q )
Bemerkung 2.93
dim Λ(V ) = 2dim V
−→ Λp+q V
7→
v1 ∧ · · · ∧ vp+q
Grundlagen
Eigenschaften
Bemerkungen 2.94
Die Elemente in Λ(V ) sind endliche Linearkombinationen von
Elementen der Form
λ ⊕ v11 ⊕ (v21 ∧ v22 ) ⊕ · · · ⊕ (vn1 ∧ · · · ∧ vnn ) λ ∈ K, v· ∈ V
Wir haben die kanonischen Inklusionen
K ,→ Λ(V )
λ 7→ λ ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · ·
ι: V
v
,→ Λ(V )
7→ 0 ⊕ v ⊕ 0 ⊕ 0 ⊕ · · · .
sowie Λ(V ) ,→ T (V ).
Fakt 2.95
Λ(V ) ist eine gradierte nicht-kommutative unitäre assoziative K-Algebra.
Grundlagen
Äußere Algebra
Beispiel
Schreibweise 2.96
λ + v11 + v21 ∧ v22 + · · ·
für λ ⊕ v11 ⊕ (v21 ∧ v22 ) ⊕ · · ·
Beispiel 2.97
{|↑i, |↓i} C-Basis in V
Elemente in Λ(V ) = C ⊕ V ⊕ Λ2 V :
λ0 + λ1 |↑i + λ2 |↓i + λ3 |↑i ∧ |↓i
λi ∈ C
äußeres Produkt:
λ0 + λ1 |↑i + λ2 |↓i + λ3 |↑i ∧ |↓i · µ0 + µ1 |↑i + µ2 |↓i + µ3 |↑i ∧ |↓i
= (λ0 µ0 ) + (λ0 µ1 + λ1 µ0 )|↑i + (λ0 µ2 + λ2 µ0 )|↓i
+ (λ0 µ3 + λ1 µ2 − λ2 µ1 + λ3 µ0 )|↑i ∧ |↓i
Grundlagen
Quadratische Räume
2.8. Quadratische Räume
Grundlagen
Quadratische Räume
Symmetrische Bilinearformen
Definition
Definition 2.98
Eine symmetrische Bilinearform auf einem K-Vektorraum V ist eine
Abbildung b : V × V −→ K mit
1
b(λ1 v1 + λ2 v2 , w ) = λ1 b(v1 , w ) + λ2 b(v2 , w )
2
b(v , λ1 w1 + λ2 w2 ) = λ1 b(v , w1 ) + λ2 b(v , w2 )
3
b(w , v ) = b(v , w )
Sie heißt:
1
nicht ausgeartet :⇔ b(v , v ) = 0 ⇒ v = 0
2
positiv definit :⇔ v 6= 0 ⇒ b(v , v ) > 0 (falls K = R)
Beispiel 2.99
br ,s,t (v , w ) = v1 w1 + . . . + vr wr − vr +1 wr +1 − . . . − vr +s wr +s
r +s +t = n
Grundlagen
Quadratische Räume
Quadratische Formen
Definition
Definition 2.100
Eine quadratische Form auf einem K-Vektorraum V ist eine Abbildung
q : V × V −→ K mit
1
Homogenität: q(λv ) = λ2 q(v )
2
Parallelogrammidentität: q(v + w ) + q(v − w ) = 2(q(v ) + q(w ))
Sie heißt:
1
nicht ausgeartet :⇔ q(v ) = 0 ⇒ v = 0
2
positiv definit :⇔ v 6= 0 ⇒ q(v ) > 0 (falls K = R)
Beispiel 2.101
qr ,s,t (v ) = v12 + . . . + vr2 − vr2+1 − . . . − vr2+s
r +s +t =n
Grundlagen
Quadratische Räume
Polarisation
Fakt 2.102
Es sei V ein Vektorraum über K = R oder K = C.
1
Jede symmetrische Bilinearform b auf V definiert eine (stetige)
quadratische Form
q(v ) := b(v , v ).
2
Umgekehrt definiert jede stetige quadratische Form q auf V eine
symmetrische Bilinearform
b(v , w ) :=
3
1
4
q(v + w ) − q(v − w )
Beide Konstruktionen sind invers zueinander.
Bemerkung 2.103
Daher verwenden wir die Begriffe „symmetrische Bilinearform“ und
„quadratische Form“ synonym.
Grundlagen
Quadratische Räume
Standardformen
Beispiel 2.104
quadratische Standardformen:
qr ,s,t (v ) = v12 + . . . + vr2 − vr2+1 − . . . − vr2+s = v T Bv
B = diag{+1, . . . , +1, −1, . . . , −1, 0, . . . , 0}
|
{z
r
} |
{z
s
} | {z }
t
Standardbilinearformen:
br ,s,t (v , w ) = v1 w1 + . . . + vr wr − vr +1 wr +1 − . . . − vr +s wr +s
= v T Bw
br ,s,t und qr ,s,t sind äquivalent.
Grundlagen
Quadratische Räume
Quadratische Räume
Definition 2.105
1
Ein quadratischer Raum (V , q) ist ein Vektorraum V versehen mit
einer quadratischen Form q.
2
Ein Homomorphismus zwischen zwei quadratischen Räumen (V1 , q1 )
und (V2 , q2 ) ist eine lineare Abbildung f : V1 → V2 , die mit den
quadratischen Formen q1 und q2 kompatibel ist, d. h.
f
V1 −−−−→ V2

q1 
y
K
3

q
y 2
q1 = q2 ◦ f
K
Er ist ein Isomorphismus quadratischer Räume, falls er bijektiv ist.
Schreibweise 2.106
f : (V1 , q1 ) → (V2 , q2 ) bzw. (V1 , q1 ) ∼
= (V2 , q2 )
Grundlagen
Quadratische Räume
Sylvesterscher Trägheitssatz
für reelle symmetrische Bilinearformen
Fakt 2.107
1
Zu jedem n-dimensionalen reellen quadratischen Raum (V , q) gibt es
ein Tripel (r , s, t) ∈ N3 , sodass
(V , q) ∼
= (Rn , qr ,s,t )
2
r +s +t =n
Das Tripel (r , s, t) ∈ N3 ist eindeutig durch q bestimmt.
Definition 2.108
(r , s, t) (oder auch nur (r , s)) heißt Signatur der quadratischen Form q.
Fakt 2.109
1
q nicht ausgeartet ⇔ t = 0 bzw. r + s = n
2
q positiv definit ⇔ s = t = 0 bzw. r = n
Grundlagen
Quadratische Räume
Konstruktion quadratischer Räume
Fakt 2.110
Sind (V , bV ) und (W , bW ) quadratische Räume, so werden auch folgende
Räume, versehen mit einer entsprechenden symmetrischen Bilinearform, zu
einem quadratischen Raum:
1
direkte Summe (V ⊕ W , bV ⊕ bW )
(bV ⊕ bW )(v1 ⊕ w1 , v2 ⊕ w2 ) := bV (v1 , v2 ) + bW (w1 , w2 )
2
Tensorprodukt (V ⊗ W , bV ⊗ bW )
(bV ⊗ bW )(v1 ⊗ w1 , v2 ⊗ w2 ) := bV (v1 , v2 )bW (w1 , w2 )
Grundlagen
Komplexifizierung
2.9. Komplexifizierung
Grundlagen
Komplexifizierung
Komplexifizierung
von Vektorräumen
Fakt 2.111
Ist V ein R-Vektorraum, so wird VC := C ⊗R V mit folgender
Skalarmultiplikation zu einem C-Vektorraum:
λ(z ⊗ v ) := (λz) ⊗ v
Definition 2.112
VC heißt Komplexifizierung von V
Fakt 2.113
{v1 , . . . , vn } R-Basis von V
⇒ {1 ⊗ v1 , . . . , 1 ⊗ vn } C-Basis von VC
Insbesondere:
dimC VC = dimR V
Grundlagen
Komplexifizierung
Komplexifizierung
von Abbildungen und symmetrischen Bilinearformen
Fakt 2.114
1
Jede reell lineare Abbildung f : V → W induziert eine komplex lineare
Abbildung
VC → WC
fC :
z ⊗v
2
7→ fC (z ⊗ v ) := z ⊗ f (v )
Jede reelle symmetrische Bilinearform b : V × V → R induziert eine
komplexe symmetrische Bilinearform
bC :
VC × VC
→ C
(z1 ⊗ v1 , z2 ⊗ v2 ) 7→ bC (z1 ⊗ v1 , z2 ⊗ v2 ) := z1 z2 b(v1 , v2 )
3
Dies definiert die Komplexifizierung qC einer reellen quadratischen
Form q.
Grundlagen
Komplexifizierung
Komplexifizierung
quadratischer Räume
Definition 2.115
(V , q)C := (VC , qC ) Komplexifizierung des quadratischen Raumes (V , q)
Fakt 2.116
(Rn , qr ,s,t )C ∼
= (Rn , qr +s,0,t )C
Bemerkung 2.117
Jeder n-dimensionale komplexe quadratische Raum mit nicht-ausgearteter
quadratischer Form ist isomorph zu (Cn , q), wobei
q(v ) = v12 + · · · + vn2 .
Gliederung
3
Definition
Beziehung zur äußeren Algebra
Basis und Dimension
Quadratische Form
Reelle Clifford-Algebren
Komplexe Clifford-Algebren
Definition
3.1. Definition
Definition
Definition
Definition 3.1
Es seien:
(V , q) ein quadratischer Raum über dem Körper K
T (V ) =
∞
L
V ⊗p die Tensoralgebra von V
p=0
J (V , q) = hv ⊗ v + q(v )1 : v ∈ V i Ideal in T (V )
Dann ist die Clifford-Algebra über (V , q) folgende K-Algebra:
Cl(V , q) := T (V )/J (V , q)
mit der kanonischen Einbettung
ι : V ,→ T (V ) Cl(V , q)
Definition
Elemente
Bemerkung 3.2
Wir zeigen später, dass ι : V ,→ Cl(V , q) tatsächlich injektiv ist.
Schreibweise 3.3
v für ι(v )
„·“ für die Multiplikation in Cl(V , q)
Bemerkung 3.4
Die Elemente in Cl(V , q) sind von der Form
λ + v11 + v21 · v22 + v31 · v32 · v33 + · · ·
λ ∈ K, v· ∈ V ,
wobei nur endlich viele Summanden von Null verschieden sind.
Wir zeigen später, dass dim Cl(V , q) < ∞.
Definition
Fakt 3.5
1
In Cl(V , q) gelten die folgenden beiden äquivalenten Relationen
(für K = R oder C):
v 2 = −q(v )
v · w + w · v = −2b(v , w )
2
Cl(V , q) ist eine unitäre assoziative K-Algebra.
Bemerkung 3.6
Die Gradierung auf der Tensoralgebra T (V ) steigt nicht auf den
Quotienten Cl(V , q) ab.
3.2. Universalitätseigenschaft
Fakt 3.7
Jede lineare Abbildung f : V → A eines Vektorraums V in eine unitäre
assoziative K-Algebra A mit der Eigenschaft
f (v ) · f (v ) = −q(v )1
läßt sich zu einem K-Algebren-Homomorphismus fˆ : Cl(V , q) → A
fortsetzen:
ι /
Cl(V , q)
V
f = fˆ ◦ ι
f
# fˆ
A
Diese Eigenschaft bestimmt Cl(V , q) bis auf Isomorphie eindeutig.
Morphismen
Folgerung 3.8
1
Jeder Homomorphismus f : (V1 , q1 ) → (V2 , q2 ) läßt sich eindeutig zu
einem K-Algebren-Homomorphismus fˆ : Cl(V1 , q1 ) → Cl(V2 , q2 )
fortsetzen:
Cl(V1 , q1 )
fˆ
O
ι1
?
(V1 , q1 )
2
/ Cl(V2 , q2 )
O
?
f
fˆ ◦ ι1 = ι2 ◦ f
ι2
/ (V2 , q2 )
Insbesondere lassen sich Endo- bzw. Automorphismen von (V , q)
eindeutig zu K-Algebren-Endo- bzw. -Automorphismen von Cl(V , q)
fortsetzen.
Gradinvolution
Beispiel 3.9
Die lineare Abbildung −Id : V → V : v 7→ −v setzt sich zu einem
K-Algebren-Morphismus fort:
d : Cl(V , q) −→ Cl(V , q)
α := −Id
v1 · · · vp
7→
α(v1 · · · vp ) = (−1)p v1 · · · vp
Definition 3.10
1
α : Cl(V , q) → Cl(V , q) heißt Gradinvolution
2
Cl0 (V , q) := {x ∈ Cl(V , q) : α(x ) = +x } gerade Unteralgebra
3
Cl1 (V , q) := {x ∈ Cl(V , q) : α(x ) = −x } ungerader Teil
Transposition
Fakt 3.11
Das Ideal J (V , q) ist invariant unter der linearen Abbildung
( )t :
T (V ) −→ T (V )
v1 ⊗ · · · ⊗ vr
7→
(v1 ⊗ · · · ⊗ vr )t := vr ⊗ · · · ⊗ v1 .
Dies definiert einen K-Algebren-Antiautomorphismus
( )t : Cl(V , q) −→ Cl(V , q)
v1 · · · vr
7→
(v1 · · · vr )t := vr · · · v1 ,
d. h. eine lineare Abbildung mit (xy )t = y t x t .
Definition 3.12
( )t : Cl(V , q) → Cl(V , q) heißt Transposition.
3.3. Beziehung zur äußeren Algebra
Einbettung der Clifford-Algebra
in die Endomorphismen der äußeren Algebra
Definition 3.13
Wir definieren zwei lineare Abbildungen ε, j : V → End(Λ(V )) durch
ε(v )(v1 ∧ · · · ∧ vp ) := v ∧ v1 ∧ · · · ∧ vp
j(v )(v1 ∧ · · · ∧ vp ) :=
p
X
(−1)i b(v , vi )v1 ∧ · · · ∧ vbi ∧ · · · ∧ vp
i=1
Satz 3.14
Die lineare Abbildung f := ε + j : V → End(Λ(V )) setzt sich zu einem
K-Algebren-Homomorphismus
fˆ : Cl(V , q) → End(Λ(V ))
fort.
Clifford-Algebra und äußere Algebra
Satz 3.15
Es existiert ein kanonischer Vektorraumisomorphismus
Φ : Cl(V , q) −→ Λ(V )
mit
Φ(ei1 · · · eip ) = ei1 ∧ . . . ∧ eip
i1 , . . . , ip paarweise verschieden
für jede q-Orthogonalbasis {e1 , . . . , en }.
Bemerkung 3.16
Obiger Isomorphismus ist kein K-Algebren-Homomorphismus, da die
beiden Multiplikationen x · y und x ∧ y (für q = 0) verschieden sind.
Folgerung 3.17
Cl(V , 0) ∼
= Λ(V ) als K-Algebren
Basis und Dimension
3.4. Basis und Dimension
Basis und Dimension
Basis und Dimension
Folgerung 3.18
Die kanonische Einbettung ι : V → Cl(V , q) ist injektiv.
Folgerung 3.19
{e1 , . . . , en } q-Orthogonalbasis in V
⇒ {ei1 · · · eip : 1 6 i1 < · · · < ip 6 n, p = 0, . . . , n} Basis in Cl(V , q)
Insbesondere:
dim Cl(V , q) = 2dim V
Basis und Dimension
Clifford-Multiplikation
Beispiel 3.20
in Cl(R2 , q1,1 ):
e12 = −1
e22 = +1
e2 · e1 = −e1 · e2
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e1 · e2 · µ1 e1 + µ2 e2 + µ3 e1 · e2
= λ1 µ1 e12 + λ1 µ2 e1 e2 + λ2 µ1 e2 e1 + λ2 µ2 e22
+ λ1 µ3 e12 e2 + λ2 µ3 e2 e1 e2 + λ3 µ1 e1 e2 e1 + λ3 µ2 e1 e22
+ λ3 µ3 e1 e2 e1 e2
= (−λ1 µ1 + λ2 µ2 ) + (λ1 µ2 − λ2 µ1 )e1 e2
− λ1 µ3 e2 − λ2 µ3 e1 e22 − λ3 µ1 e12 e2 + λ3 µ2 e1 − λ3 µ3 e12 e22
= (−λ1 µ1 + λ2 µ2 + λ3 µ3 ) + (−λ2 µ3 + λ3 µ2 )e1 + (−λ1 µ3 + λ3 µ1 )e2
+ (λ1 µ2 − λ2 µ1 )e1 e2
Quadratische Form
3.5. Quadratische Form
Quadratische Form
Filtrierung
Definition 3.21
Die Gradierung
Λ(V ) =
dim
MV
Λp (V )
p=0
definiert eine Zerlegung
Cl(V , q) =
dim
MV
Cl(V , q)p
p=0
unter dem Isomorphismus Cl(V , q) ∼
= Λ(V ).
Bemerkung 3.22
Dies ist keine Gradierung von Cl(V , q)!
Quadratische Form
Clifford-Konjugation
Definition 3.23
x̄ := α(x t ) Clifford-Konjugation
Fakt 3.24
2
α(x t ) = α(x )t
x̄¯ = x
3
x · y = ȳ · x̄
4
(x̄ )0 = (x )0
5
(x̄ )1 = −(x )1
1
Quadratische Form
Natürliche quadratische Form
auf einer Clifford-Algebra
Fakt 3.25
1
Cl(V , q) wird durch folgende symmetrische Bilinearform zu einem
quadratischen Raum:
b̂(x , y ) := (x̄ y )0
2
Die kanonische Einbettung ist ein Homomorphismus quadratischer
Räume:
ι : (V , q) −→ Cl(V , q), q̂
Quadratische Form
Eigenschaften der quadratischen Form
Fakt 3.26
1
Die quadratische Form q̂ hat die Eigenschaft
q̂(v1 · · · vp ) = q(v1 ) · · · q(vp )
2
v1 , . . . , vp ∈ V
Die symmetrische Bilinearform b̂ hat die Eigenschaft
b̂(x , a · y ) = b̂(ā · x , y )
b̂(x · a, y ) = b̂(x , y · ā)
3
b̂ nicht-ausgeartet ⇔ b nicht-ausgeartet.
4
b̂ positiv definit ⇔ b positiv definit.
3.6. Reelle Clifford-Algebren
Definition
Bemerkung 3.27 (Erinnerung)
Jeder n-dimensionale quadratische Raum (V , q) mit nicht ausgearteter
quadratischer Form q der Signatur (r , s) ist isomorph zu (Rn , qr ,s ), wobei
qr ,s (v ) = v12 + · · · + vr2 − vr2+1 − · · · − vr2+s .
Definition 3.28
1
Clr ,s := Cl(Rr +s , qr ,s )
2
Cln := Cln,0
Erzeugende Relationen
Fakt 3.29
Clr ,s wird von folgenden Relationen erzeugt:
ei ej + ej ei =



−2
0


+2
i =j 6r
i 6= j
i = j > r.
Bemerkung 3.30
Dies sind die Kanonischen Antivertauschungsregeln!
Kleine reelle Clifford-Algebren
Fakt 3.31
1
2
3
4
5
6
Cl0,0 ∼
=R
Cl1,0 ∼
=C
Cl0,1 ∼
=R⊕R
Cl2,0 ∼
=H
Cl0,2 ∼
= R(2)
Cl1,1 ∼
= R(2)
3.7. Komplexe Clifford-Algebren
Definition
Fakt 3.32 (Erinnerung)
Jeder n-dimensionale komplexe quadratische Raum mit nicht-ausgearteter
quadratischer Form ist isomorph zu (Cn , q), wobei
q(v ) = v12 + · · · + vn2 .
Insbesondere:
(Rn , qn,0 )C ∼
= (Rn , qn−1,1 )C ∼
= ··· ∼
= (Rn , qr ,s )C ∼
= · · · (Rn , q0,n )C ∼
=
n
∼
r +s =n
= (C , q)
Definition 3.33
Cln := Cl(Cn , q)
Kleine komplexe Clifford-Algebren
Fakt 3.34
Cl(VC , qC ) ∼
= Cl(V , q) ⊗R C
Insbesondere:
Cln ∼
= Cl0,n ⊗R C
= ... ∼
= Cln,0 ⊗R C ∼
= Cln−1,1 ⊗R C ∼
Folgerung 3.35
1
2
3
Cl0 ∼
=C
Cl1 ∼
=C⊕C
Cl2 ∼
= C(2)
Klassifikation
Gliederung
4
Klassifikation
Klassifikation
4.1. Reelle Clifford-Algebren
Klassifikation
Leiter- und Periodizitätsisomorphismen
Satz 4.1
1
2
3
Cln+2,0 ∼
= Cl0,n ⊗ Cl2,0 wobei Cl2,0 ∼
=H
∼
∼
Cl0,n+2 = Cln,0 ⊗ Cl0,2 wobei Cl0,2 = R(2)
Clr +1,s+1 ∼
= Clr ,s ⊗ Cl1,1 wobei Cl1,1 ∼
= R(2)
Beispiel 4.2
Cl8,0 ∼
= Cl2,0 ⊗ Cl0,2 ⊗ Cl2,0 ⊗ Cl0,2 ∼
= R(16)
= Cl0,8 ∼
Folgerung 4.3
1
2
Cln+8,0 ∼
= Cln,0 ⊗ Cl8,0
Cl0,n+8 ∼
= Cl0,n ⊗ Cl0,8
Klassifikation
Klassifikation reeller Clifford-Algebren
Bemerkung 4.4
Es genügt, die Clifford-Algebren Clr ,s für 0 6 r , s 6 8 zu klassifizieren.
Satz 4.5
Klassifikation reeller Clifford-Algebren (siehe Tabelle)
Insbesondere ist jede reelle Clifford-Algebra isomorph zu einer
Matrix-Algebra K(2m ) oder der direkten Summe K(2m ) ⊕ K(2m ) zweier
identischer Matrix-Algebren über K = R, C oder H.
Bemerkung 4.6
Also sind Clifford-Algebren am Ende gar nichts neues?
Doch: Sie definieren neue, unerwartete Strukturen auf Matrix-Algebren!
Klassifikation
Diagonale Isomorphismen
Folgerung 4.7
1
2
Clr ,s ∼
= Clr −4,s+4
Clr ,s+1 ∼
= Cls,r +1
Klassifikation
4.2. Komplexe Clifford-Algebren
Klassifikation
Klassifikation komplexer Clifford-Algebren
Satz 4.8 (Periodizitätsisomorphismus)
Cln+2 ∼
= Cln ⊗C Cl2
Cl2 ∼
= C(2)
Folgerung 4.9
(
Cln ∼
=
C(2m )
n = 2m
C(2m ) ⊕ C(2m ) n = 2m + 1
Darstellungen
Gliederung
5
Darstellungen
Darstellungen von Algebren
Darstellungen von Clifford-Algebren
Darstellungen
5.1. Darstellungen von Algebren
Darstellungen
Definition
Definition 5.1
Eine K-Darstellung einer K-Algebra A auf einem K-Vektorraum W ist ein
K-Algebren-Homomorphismus
% : A −→ EndK (W )
a
7→
%(a) : W
w
W heißt auch A-Modul.
Schreibweise 5.2
1
a · w statt (%(a))(w )
2
W statt %
−→ W
7→
(%(a))(w )
Darstellungen
Beispiele
Beispiele 5.3
1
End(W ) auf W : Standarddarstellung % = Id : End(W ) → End(W )
2
Cl(V , q) auf Λ(V ) nach Fakt 3.14
3
A auf A durch Linksmultiplikation: % = · : A → End(A)
4
A auf jedem Linksideal L ⊆ A durch Linksmultiplikation
Darstellungen
Konstruktion
Fakt 5.4
Darstellungen %1 , %2 einer K-Algebra A auf W1 bzw. W2 definieren
Darstellungen
1
%1 ⊕ %2 auf W1 ⊕ W2 vermittels
a(w1 ⊕ w2 ) := (aw1 ) ⊕ (aw2 )
2
%1 ⊗ %2 auf W1 ⊗ W2 vermittels
a(w1 ⊗ w2 ) := (aw1 ) ⊗ (aw2 )
Darstellungen
Morphismen
von Darstellungen
Definition 5.5
%1 , %2 Darstellungen von A auf W1 bzw. W2
1
Ein Homomorphismus zwischen Darstellungen %1 und %2 ist eine
lineare Abbildung f : W1 → W2 , die mit den Darstellungen %1 und %2
kompatibel ist, d. h.
f
W1 −−−−→ W2

%
y 2

%1 
y
f ◦ %1 = %2 ◦ f
W1 −−−−→ W2
f
Man sagt auch, f ist äquivariant.
2
f ist ein Isomorphismus von Darstellungen, wenn f bijektiv ist.
Man sagt auch, %1 und %2 sind äquivalent.
Darstellungen
Reduzibilität
von Darstellungen
Definition 5.6
W 6= 0 eine A-Darstellung
1
Ein Untervektorraum W1 ⊆ W heißt A-invariant, falls
A · W1 ⊆ W1
d. h. a · w ∈ W1 für alle w ∈ W1 .
2
3
4
W heißt irreduzibel, falls nur die trivialen Untervektorräume
0, W ⊆ W A-invariant sind
W von A heißt reduzibel, falls W einen echten A-invarianten
Untervektorraum 0 ⊂ W1 ⊂ W besitzt.
W heißt vollständig reduzibel, falls W eine nichttriviale Zerlegung
W = W1 ⊕ W2 in invariante Untervektorräume W1 und W2 besitzt.
Darstellungen
Reduzibilität
Beispiele
Beispiel 5.7
Wir betrachten die Darstellung einer Algebra A auf sich selbst durch
Linksmultiplikation. Dann gilt:
1
Jedes Linksideal ist ein invarianter Unterraum und umgekehrt.
2
A ist irreduzibel, falls sie keine nichttrivialen Linksideale besitzt.
3
A ist vollständig reduzibel, falls sie nichttriviale Summe von
Linksidealen ist.
Beispiel 5.8
Für K = R, C, H ist Kn eine irreduzible Darstellung der R-Algebra K(n).
Darstellungen
Das Lemma von Schur
Lemma 5.9 (von Schur)
Eine äquivariante Abbildung f : W1 → W2 zwischen zwei irreduziblen
Darstellungen W1 und W2 ist entweder trivial (f ≡ 0) oder ein
Isomorphismus.
Darstellungen
5.2. Darstellungen von Clifford-Algebren
Darstellungen
Vollständige Reduzibilität
von Clifford-Algebren
Fakt 5.10
Jede endlichdimensionale reduzible Darstellung von Clr ,s ist vollständig
reduzibel.
Folgerung 5.11
1
Jede endlichdimensionale Darstellung von Clr ,s zerfällt in eine direkte
Summe irreduzibler Darstellungen.
2
Diese Zerlegung ist bis auf Isomorphie und Reihenfolge der
Summanden eindeutig.
Darstellungen
Irreduzible Darstellungen
von Matrixalgebren
Satz 5.12
K = R, C oder H, K(n) hier als R-Algebra
1
2
K(n) besitzt bis auf Isomorphie genau eine irreduzible reelle
Darstellung: Die Standard-Darstellung auf Kn .
K(n) ⊕ K(n) besitzt bis auf Isomorphie genau zwei irreduzible reelle
Darstellungen:
K(n) ⊕ K(n) −→ K(n)
a1 ⊕ a2
7→
a1
K(n) ⊕ K(n) −→ K(n)
a1 ⊕ a2
7→
a2
Darstellungen
Klassifikation
von Darstellungen der Clifford-Algebren
Folgerung 5.13
Anzahl irreduzibler reeller Darstellungen von Clr ,s bzw. Cln :
(
νr ,s =
(
r + 1 ≡ s mod 4
sonst
2
1
νnC
=
2
1
n ungerade
n gerade
Dimension der irreduziblen reellen Darstellungen von Cln bzw. Cln :
n
dn
b k2 c
dnC = 2
1
2
3
4
5
6
7
8
m + 8k
2
4
4
8
8
8
8
16
24k dm
1
2
2
4
4
8
8
16
C
24k dm
Anwendungen
Gliederung
6
Anwendungen
Vektorfelder auf Sphären
Der Satz von Hurwitz
Kreuzprodukte
Anwendungen
6.1. Vektorfelder auf Sphären
Anwendungen
Definition
Definition 6.1
1
2
3
Ein (stetiges) Vektorfeld auf der Einheitssphäre S n ⊂ Rn+1 ist eine
stetige Abbildung v : S n → Rn+1 : x 7→ vx mit hvx , x i = 0.
Die Vektorfelder v (1) , . . . , v (k) auf S n heißen linear unabhängig, falls
(1)
(k)
vx , . . . , vx linear unabhängig sind für alle x ∈ S n .
S n heißt parallelisierbar, falls sie n linear unabhängige Vektorfelder
erlaubt.
Beispiel 6.2
1
S 1 = {z ∈ C : kzk = 1} ⊂ C parallelisierbar: vz := iz
2
S 3 = {q ∈ H : kqk = 1} ⊂ H parallelisierbar:
vq(1) := iq
vq(2) := jq
vq(3) := kq
Anwendungen
Existenz
Problem
Wie viele linear unabhängige Vektorfelder existieren auf S n ?
Satz 6.3 („Hairy Ball Theorem“)
Es gibt keine nichtverschwindenden Vektorfelder auf S 2m .
Anwendungen
aus Clifford-Darstellungen
Satz 6.4
Jede (n + 1)-dimensionale Darstellung von Clk definiert k linear
unabhängige Vektorfelder v (1) , . . . , v (k) auf S n :
vx(i) := ei · x
i = 1, . . . , k
Folgerung 6.5
Auf S n existieren
> 8a + 2b − 1
linear unabhängige Vektorfelder, wobei 24a+b mit b ∈ {0, 1, 2, 3} die
größte Zweierpotenz ist, die n + 1 teilt.
Bemerkung 6.6 (Adams)
Es gilt sogar Gleichheit.
Anwendungen
6.2. Der Satz von Hurwitz
Anwendungen
Satz 6.7
Jede endlichdimensionale normierte reelle Divisionsalgebra mit Eins ist
isomorph zu R, C, H oder O.
Anwendungen
Kreuzprodukte
6.3. Kreuzprodukte
Anwendungen
Kreuzprodukte
Definition 6.8
Ein Kreuzprodukt auf einem Euklidischen Vektorraum (V , h·|·i) ist eine
bilineare Abbildung × : V × V → V mit
1
v × w ⊥ v, w
2
kv × w k2 = kv k2 kw k2 − hv |w i2
Beispiel 6.9
v × w := Im(v · w ) = 12 [v , w ] Kreuzprodukt auf ImO ∼
= R7
Satz 6.10
Kreuzprodukte existieren nur in den Dimensionen 3 und 7.
Gliederung
7
Pin- & Spin-Gruppen
Definition
Definition 7.1
Pin-Gruppen
1
Pin(V , q) := {v1 · · · vk ∈ Cl(V , q) : vi ∈ V , q(vi ) = ±1}
2
Pin(r , s) := Pin(Rr +s , qr ,s )
3
Pin(n) := Pin(n, 0)
Spin-Gruppen
1
Spin(V , q) := {v1 · · · v2k ∈ Cl(V , q) : vi ∈ V , q(vi ) = ±1}
2
Spin(r , s) := Spin(Rr +s , qr ,s )
3
Spin(n) := Spin(n, 0)
Beispiele
Beispiele 7.2
1
2
3
4
5
6
Pin(1) ∼
= Z4
Spin(1) ∼
= Z2
Pin(2) ∼
= U(1) o Z2
Spin(2) ∼
= U(1)
Spin(3) ∼
= SU(2)
Spin(4) ∼
= SU(2) × SU(2)
Beziehung zu orthogonalen Gruppen
Fakt 7.3
Sei q nicht entartet. Dann sind die Abbildungen
˜ : Pin(V , q) −→ O(V , q)
Ad
˜ : Spin(V , q) −→ SO(V , q)
Ad
˜
g 7→
Ad(g)
: V
v
−→ V
˜
7→ Ad(g)v
:= α(g)vg −1
wohldefinierte Gruppen-Homomorphismen und es gilt:
˜ ist surjektiv.
1 Ad
2
3
˜ = {±1}
Kern Ad
˜ ist nicht trivial,
Die zweifache Überlagerung Ad
falls n > 2 und (r , s) 6= (1, 1).
Irreduzible Darstellungen von Spin(V , q)
Fakt 7.4
Für Pin(n), Spin(n), O(n) und SO(n) sind alle endlichdimensionalen
reduziblen Darstellungen vollständig reduzibel.
Bemerkung 7.5
1
Jede irreduzible SO(V , q)-Darstellung % definiert eine irreduzible
˜
Spin(V , q)-Darstellung % ◦ Ad.
2
Nicht jede irreduzuible Darstellung von Spin(V , q) entsteht auf diese
Weise.
3
Gleiches gilt für O(V , q) bzw. Pin(V , q).
Spinordarstellungen
Fakt 7.6
Die Einschränkung ∆ = %|Spin(V ,q) einer irreduziblen Cln -Darstellung
% : Cln → End(S) auf
Spin(n) ⊂ Cl0n ⊂ Cln
hängt nicht von der Wahl der irreduziblen Darstellung % ab.
Definition 7.7
∆ : Spin(n) → Aut(S) heißt Spinordarstellung
Satz 7.8
1
2
3
n ≡ 3, 5, 6, 7(mod 8): ∆ irreduzibel
n ≡ 1, 2(mod 8): ∆ = ∆+ ⊕ ∆− mit ∆+ ∼
= ∆− irreduzibel
n ≡ 0(mod 4): ∆ = ∆+ ⊕ ∆− mit ∆+ 6∼
= ∆− beide irreduzibel