Beispiel 4.7. Die Funktion ist f ur alle x ∈ R di erenzierbar mit der

2. Umkehrfunktionen und ihre Ableitung, Hyperbelfunktionen
2.1. Höhere Ableitungen. Die Ableitung der Ableitung von f bezeichnet man,
2
falls sie existiert, mit f 00 (x) oder f (2) (x) oder dxd dxd f (x) oder dxd 2 f (x) bzw. allgemein
n
fur die n-te Ableitung f (n) (x) oder dxd f (n−1) (x) oder dxd n f (x).
Man sagt, dass f n-mal dierenzierbar bzw. stetig dierenzierbar ist, wenn die n-te
Ableitung existiert bzw. existiert und stetig ist.
Man beachte, dass eine dierenzierbare Funktion nicht notwendig zweimal dierenzierbar sein muss.
Beispiel
4.7. Die Funktion
(
f (x) = x|x| =
ist fur alle
fur
fur
x2 ,
−x2 ,
x ≥ 0,
x < 0,
dierenzierbar mit der Ableitung
0
f (x) = 2|x| ist aber f
ur x = 0 nicht dierenzierbar.
x∈R
f 0 (x) = 2|x|.
Die Funktion
2.2. Umkehrfunktionen.
4.5. Hauptsatz uber Umkehrfunktionen
(1) Existenz
Satz
Jede strikt monotone Funktion f : D → R ist umkehrbar.
Jede uber einem Intervall I stetig dierenzierbare Funktion
f mit f 0 (x) 6= 0 f
ur alle x ∈ I ist (uber I ) umkehrbar.
(2) Ableitung Die Umkehrfunktion g : f (I) → R einer uber dem
Intervall I ⊆ R umkehrbaren Funktion f ist in allen x ∈ f (I) mit
f 0 (g(x)) 6= 0 dierenzierbar und es gilt
•
•
g 0 (x) =
1
f 0 (g(x))
.
Beweis: (des Satzes) zu (1a): Ist f auf D strikt monoton, dann folgt aus x1 < x2
sofort f (x1 ) < f (x2 ) oder f (x1 ) > f (x2 ). Deshalb gibt es zu jedem y ∈ f (D) genau
ein mit y = f (x).
zu (1b): Die Ableitung f 0 (x) ist auf I stets positiv oder stets negativ, da sie sonst nach
dem Zwischenwertsatz (Satz 3.11) eine Nullstelle besitzen musste. Wegen Lemma ??
ist f strikt monoton und somit umkehrbar.
zu (2): Aus y = f (x) und x = g(y) folgt y = f (x) = f (g(y)) und mit Hilfe der
Kettenregel ergibt sich
(y)0 = 1 = f 0 (g(y)) · g 0 (y) ⇐⇒ g 0 (y) =
39
1
f 0 (g(y))
.#
40
hat uberall eine positive
Ableitung: f (x) = 5x + 1 > 0 und ist deshalb umkehrbar. Auch wenn wir die
Funktion g(y) nicht explizit angeben konnen, so wissen wir doch, dass gilt
Beispiel
4.8. Die Funktion f (x) = x5 + x,
0
x ∈ R,
4
g 0 (y) =
1
f 0 (g(y))
=
1
.
5g(y)4 + 1
In der Regel schreibt man g aber wieder als Funktion von x, d.h.
g 0 (x) =
1
.
5g(x)4 + 1
2.2.1. Wurzelfunktionen.
√
1
Mit f (x) = xn und g(x) = n x = x n erhalt man fur die Ableitung
d 1
1
xn = 0
=
dx
f (g(x))
1
n−1 =
1
n xn
1 1 −1
xn
n
und mit Hilfe der Kettenregel ergibt sich nun
1 m−1 1 1
1 m−1 d 1
d m
d 1 m
n
n
n
n
x =
x
x n −1 =
=m x
· x = m xn
dx
dx
dx
n
m m
x n −1 .
n
2.2.2. Arcussinus, Arcuscosinus, Arcustangens.
Fur die Ableitung gilt:
1
d
arcsin x = √
,
dx
1 − x2
−1 < x < 1.
Beweis der Ableitung: Nach der Formel fur die Ableitung der Umkehrfunktion gilt
1
d
arcsin x =
.
dx
(cos(arcsin x))
Wir berechnen cos(arcsin x)). Es ist
cos2 (arcsin x)) + sin2 (arcsin x)) = cos2 (arcsin x)) + (sin arcsin x)2 = cos2 (arcsin x)) + x2 = 1
√
⇐⇒ cos2 (arcsin x) = 1 − x2 ⇐⇒ cos arcsin x = 1 − x2 .#
Fur die Ableitung des Arcuskosinus gilt:
d
−1
arccos x = √
,
dx
1 − x2
−1 < x < 1.
Fur die Ableitung des Arcustangens gilt:
d
1
arctan x =
,
dx
1 + x2
x ∈ R.
Fur die Ableitung des Kotangens gilt:
−1
d
arccot x =
,
dx
1 + x2
x ∈ R.
2. UMKEHRFUNKTIONEN UND IHRE ABLEITUNG, HYPERBELFUNKTIONEN
41
2.2.3. Exponential- und Logarithmusfunktion.
Wie wir bereit gesehen hatten ist
ex := exp(x) := lim
n→∞
1+
x n
, x ∈∈ R.
n
4.6. Eigenschaften der e-Funktion
(1) Positivität: e0 = 1, ex > 0 fur alle x ∈ R.
(2) Ableitung: Die e-Funktion ist uberall dierenzierbar und es gilt
Satz
d x
e = ex ,
dx
(3) Funktionalgleichung:
x ∈ R.
e−x =
ex+y = ex · ey ,
1
.
ex
Beweisidee: zu (1) Es ist e0 := limn→∞ 1 + n0 = 1. Aus der Denition folgt auerdem unmittelbar, dass ex ≥ 0 ist. Die strikte Positivitat folgt aus der Stetigkeit und
n
ex e−x = 1.
zu (2) Es ist naheliegend folgendermaen zu beweisen:
d x
x n
d
d x n
x n−1
e =
lim 1 +
1+
= lim
= lim 1 +
= ex .
x→∞
n→∞
n→∞
dx
dx
n
dx
n
n
Das ist zwar richtig, es muss aber begründet werden, dass im vorliegenden
d
vertauscht werden
Fall der Grenzübergang limn→∞ und die Differentation dx
dürfen. Wie verzichten auf diesen Nachweis und den Beweis von (3).
4.7. Eigenschaften der Logarithmusfunktion
(1) Ableitung: Die ln-Funktion ist uberall dierenzierbar; fur alle
Satz
x>0
gilt
d
1
ln x = .
dx
x
(2) Funktionalgleichung: der ln-Funktion
x
ln(xy) = ln x + ln y,
ln = ln x − ln y,
y
(x, y > 0).
Beweis: zu (1): Aus den Dierentationsregeln ergibt sich
d
1
1
1
ln x =
=
= .
0
dx
exp (ln x)
exp(ln x)
x
42
(2) ist eine Folgerung aus der Funktionalgleichung fur die e-Funktion (siehe Satz 4.6):
Fur x, y ∈ (0, ∞) sei u := ln x, v := ln y, dann gilt x = eu und y = ev sowie
ln(xy) = ln(eu ev ) = ln(eu+v ) = u + v = ln x + ln y.
Der Sonderfall x =
1
y
zeigt ln y1 = − ln y.
2.3. Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen.
Die Hyperbelfunktionen sind
sinh x :=
ex − e−x
,
2
cosh x :=
ex + e−x
,
2
tanh x :=
sinh x
,
cosh x
coth x :=
cosh x
.
sinh x
Zur Aussprache der Funktionennamen, z.B. sinh wird ausgesprochen Sinus hyper"
bolicus\, die ubrigen Namen analog.
2. UMKEHRFUNKTIONEN UND IHRE ABLEITUNG, HYPERBELFUNKTIONEN
43
Den Namen verdanken diese Funktionen dem folgenden Zusammenhang mit der
Hyperbel x2 − y 2 = 1 :
Hyperbel
2
2
x − y =1
Punkt auf der Hyperbel:
 x=cosh t  , y=sinht 
sinh t 
cosh t 
Flächenihalt t
Insbesondere gilt somit
cosh t 2−sinh t 2 =1
Beispiel
4.9. Anwendung: Ein homogenes, nur durch das Eigengewicht be-
lastetes Seil hat die Form einer Kettenlinie:
y(x) = a cosh
x−b
a
+c
mit Konstanten a, b, c ∈ R.
Aus der Darstellung der hyperbolischen Funktionen gewinnt man leicht die Formeln fur die Ableitungen, es ist
sinh0 x = cosh x,
cosh0 x = sinh x,
tanh0 x =
1
.
cosh2 x
Die Die Funktion sinh x ist fur alle x ∈ R umkehrbar, dagegen ist die Funktion cosh x
nur fur einen Zweig umkehrbar, in diesem Fall entscheidet man sich fur x ≥ 0 und
erhalt fur sinh x :
y = sinh x =
ex − e−x
e−x 2x
=
(e − 1) ⇐⇒ 2yex = e2x − 1 = (ex )2 − 1 ⇐⇒
2
2
Wir losen diese quadratische Gleichung fur ex und erhalten
ex = y ±
p
y2 + 1
44
Wegen ex > 0 fur alle x ∈ R entfallt die Losung mit dem Minus und wir haben
ex = y +
p
y2 + 1
Logarithmieren ergibt nun
x = ln(y +
p
y 2 + 1).
Schreibt in die Funktion nun in ublicher Form als Funktion von x so erhalt man als
Umkehrfunktionen:
arsinh x := ln(x +
√
x2 + 1),
x ∈ R.
Analog erhalt man fur cosh x als Umkehrfunktion
arcosh x := ln(x +
√
x2 − 1),
x ≥ 1.
Zur Aussprache: arsinh\ wird ausgesprochen als area sinus hyperbolicus\ (arcosh
"
"
analog.) Mit Hilfe der der Kettenregel berechnet man die Ableitungen der areaFunktionen:
√
d
1
1
1
√
arsinh x = ln(x + x2 − 1) =
· 1+ √
· 2x
dx
2 x2 + 1
(x + x2 + 1)
√
(x + x2 + 1)
1
√
= √
=√
.
( x2 + 1)(x + x2 + 1)
x2 + 1
Analog erhalt man die Ableitung von arcosh x.
Ableitungen:
d
1
arsinh x = √
2
dx
x +1
d
1
arcosh x = √
2
dx
x −1
x ∈ R,
x ≥ 1.