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Teil 2: Grundlagen
Inhaltsübersicht Einführung Grundlagen und Hilfsmittel des Entwurfs Design-Flow Synthese Analyse Modellierung VHDL-AMS SystemC, ... Systemtheorie Übertragungsfunktionen Regelkreise Stabilität Abgetastete Systeme Bauelemente MOS-Transistor Struktureller Entwurf auf Transistorebene Verstärkerstufen Stromspiegel Operationsverstärker Ein-, Ausgangs-, Zwischenstufe OTA Lineare Systeme Aktive Filter gmC-Schaltungen Nichtlineare Systeme Multiplizierer, ADC, DAC Oszillatoren,VCO,PLL Sensoren, Aktoren Licht, Akustik, Temperatur MEMS … Systemarchitekturen Kommunikationssysteme Mikrokontroller … Cyber-Physical Systems He · EHS · K2 Nr.:1 Hierarchie einer analogen Schaltung S4711 AM-Empfänger S4711.ZFV Oszillator Mischer HF-Vorstufe ZF-Verstärker Demodulator Tiefpaß Vorverstärker S4711.ZFV.DIF Differenzverstärker Stromquelle Impedanzwandler S4711.ZFV .DIF.T43 Widerstand Kondensator Transistor He · EHS · K2 Nr.:2 Y-Diagramm für digitale Schaltungen SystemFunktionelle Sicht Strukturelle Sicht AlgorithmischeRegister-Transfer Leistungsanforderungen Module Gatter- Algorithmen Blöcke Schalter- Datenfluss Register/ALUs ElektrischeEbene Boole'sche Gleichungen Diskrete Gleichungen Differentialgleichungen Gatter/Flip-Flops Schalter Transistoren Polygone Symbole Basiszellen Makrozellen Blockzellen Modulzellen Physikalische Sicht He · EHS · K2 Nr.:3 Y-Diagramm für analoge Schaltungen Systemebene Algorithmische Ebene Funktionelle Sicht Blockebene Strukturelle Sicht Spezifikationen Blöcke Makroebene Algorithm en Blöcke Ü bertragungsfunktionen Blöcke Elektrische Algebraische G leichungen M akros Ebene D ifferentialgleichungen Bauelem ente Polygone/Kreise Basiszellen Zellen Zellen Zellen Physikalische Sicht He · EHS · K2 Nr.:4 Abstraktionsebenen Ebene: Beispiele: Systemebene Algorithmische Ebene Blockebene Makroebene Elektrische Ebene Radio, Filter, Addierer, Differenz- Transistoren, Empfänger ADC, DAC Integrierer, verstärker, Dioden Tiefpass, StromOP spiegel He · EHS · K2 Nr.:5 Sichten eines OPs Funktionelle Strukturelle Physikalische Sicht U + U- UA = A *(U+ - U- ) UA He · EHS · K2 Nr.:6 Design-Flow mit Stationen im Y-Diagramm Funktionelle Sicht Synthese Strukturelle Sicht Analyse Physikalische Sicht He · EHS · K2 Nr.:7 Design-Flow Analyse Synthese Bibliotheken Spezifikation VerhaltensmodellSynthese SystemSimulation Verhaltensmodell auf algorithmischer Ebene Synthese Simulation Schaltung auf elektrischer Ebene Extrahierte Schaltung LayoutSynthese Extraktion Layout auf elektrischer Ebene SchaltungsBibliothek ZellBibliothek Fertigung Chip He · EHS · K2 Nr.:8 Top-Down-Design-Flow Funktionelle Sicht Strukturelle Sicht Physikalische Sicht He · EHS · K2 Nr.:9 Meet-in-the-Middle Design-Flow Funktionelle Sicht Strukturelle Sicht Physikalische Sicht He · EHS · K2 Nr.:10 Spezifikation Schaltungstyp CMOS-OP (operational amplifier) Verstärkung 1000 Verstärkungs-Bandbreite-Produkt 200000 Hz Phasenreserve 60° Anstiegsgeschwindigkeit 0,1 V/μs Maximales weißes Rauschen 0,1 ⋅ 10 − 7 V Hz Maximales rosa Rauschen 0, 5 ⋅ 10 − 7 V Hz Gleichtaktunterdrückung 60 dB Kapazitive Last 5 pF He · EHS · K2 Nr.:11 Verhaltensmodell entity opamp is -- Deklaration eines -- Operationsverstärkers ... port (terminal inplus, inminus, output: electrical); -- ...mit 3 Anschlüßen. end opamp; U + U- Uout= f(U+,U-,Uout) Uout architecture two of opamp is quantity voltage_input across inplus to inminus; quantity voltage_output across current_output through output to ground; begin voltage_output == 100000.0*voltage_input –10.0*current_output; -- Verstärkung 100000 -- Ausgangswiderstand 10 Ohm end two; He · EHS · K2 Nr.:12 Gegenüberstellung von Bipolar- und CMOS-Transistoreigenschaften Eigenschaft Eingangsruhestrom der Bipolar IC Transistoren Matching der β Gut CMOS 0 10*schlechter Eingangsspannungen UBE/GS für gleichen Ausgangsstrom IC/DS von zwei Transistoren Sättigungsspannung, ab der der wenige kT/q i DS AP μC'OX Transistor sich näherungsweise wie eine Stromquelle verhält W L , d.h. in der Regel größer als beim Bipolartransistor Steilheit des Transistors pro Immer: kT/q, Strom durch den Transistor: hoch gm/IC/DS In Sättigung: 2 WL μC'OX , i DS AP niedrig. Im Subthresholdbereich kT/q, hoch Transitfrequenz fT (Grenze bei ca. Bei großen Bei kleinen Strömen höher 10-100μA) Strömen höher Stromaussteuerbereich 5 Dekaden 2 Dekaden Rauschen Geringer bei Geringer bei hochohmigen niederohmige Signalquellen Signalquellen Beeinflussbare Design-Parameter iCE W, L, iDS He · EHS · K2 Nr.:13 Architekturauswahl + gm - RC Switched Capacitor gmC He · EHS · K2 Nr.:14 Vergleich Schaltungsarchitektur Eigenschaft Aktiv-RC gm/C Switched cap. hohe Frequenzen + + - Linearität - -- + Aliasing + + -- - ++ Genauigkeit Low Power - Flächenbedarf Benötigte Elemente genaue Weitere Elemente benötigte R, C OP + ++ + OTA, C C, Schalter OP He · EHS · K2 Nr.:15 EDA-Werkzeuge Customer’s Need MEDEA Design and Test Flow Specifications Virtual Silicon Architectural Design Analog HLDesign Level- Topology Selection Building Block Fault Simulation (IP) Top System Down Behav. RTL Models Virtual Test HW/SW Partitioning Build. Block Selection/ Generation Sizing DFM Layout Generation Gate Switch Circuit RF Design Constraints Multi- Verification and Floorplanning Test Bench Bottom up DRC, LVS, Parasitics IP Reuse System Integration Multi- RTL Design Level- Full custom Synthesis Models Place & Route Analog Models Analog Testing Software Design DRC, LVS, Parasitics Place & Route Test Progr. Opt. System to RTL Hardware Design DRC, LVS, Parasitics Mask Generation Fabrication Silicon Test Packaging Digital Models Test Bench Test Vectors Fault Simulation Test Program Preparation Digital Testing Quelle: MEDEA DA Roadmap 2000 (Draft) He · EHS · K2 Nr.:16 Schematic & Simulation He · EHS · K2 Nr.:17 Analyse Digitale Synthese Synthese Bibliotheken Spezifikation VerhaltensmodellSynthese Ab Registertransfer-Ebene vollautomatisch • Entwurfsprache - VHDL - Verilog SystemSimulation Synthese BlockSimulation Vollautomatische HighlevelSynthese wird entwickelt • Entwurfssprache - SystemC - SystemVerilog Highlevel-Modell auf algorithmischer Ebene Modell auf Registertransfer-Ebene Synthese Simulation Netzliste auf GatterEbene Extrahierte Schaltung Place & Route Extraktion Layout auf elektrischer Ebene Block/MakroBibliothek ZellBibliothek Fertigung Chip He · EHS · K2 Nr.:18 Digitale Synthese: Logiksynthese Eingabe: VHDL-Beschreibung (Verhalten) Ausgabe: Gatternetzliste (Struktur) Algorithmen: • Ersetzen von mathematischen Funktionen durch Makros - “+” -> Carry-lookahead-Addierer • Optimierung von boolescher Logik • Technology Mapping Push-Button He · EHS · K2 Nr.:19 Digitale Synthese: Logiksynthese He · EHS · K2 Nr.:20 Synthese: Place & Route & & 1 & & 1 ≥1 He · EHS · K2 Nr.:21 Analoge Synthese Unterteilung in • Struktursynthese - Überweigend manuell - Forschungsgegenstand • Dimensionierung / Parametersynthese - Seit 5 Jahren automatisch - Kommerziell verfügbar - Trotzdem überwiegend manuell He · EHS · K2 Nr.:22 Analoge Synthese: Wo ist das Problem? Stark heterogene Prozesstechnologien • 180nm, 90nm, 45nm, 32nm, 20nm FinFET, Carbon Tubes, …etc… • Unterschiede zwischen Technologien: - Versorgungsspannungen - Prozessvariationen - Transistortypen - Elektrische Eigenschaften - “2nd Order Effects” Berechnungskomplexität • Kontinuierlicher Diskreter Wertebereich • “Probiere alle möglichen Schaltungen aus?” He · EHS · K2 Nr.:23 Analoge Synthese: Struktursynthese Übersicht Spezifikation Schaltungsklasse? Technologie? Gain, SlewRate, PhaseMargin, Power, Kosten-Fläche Utopie: Utopie Finde alle funktionierenden Schaltungen für eine gegebene Spezifikation! Wieso nicht? • Implizite Spezifikationen - nicht maschinen-lesbare Spezifikation • “Die schwarze Magie” des Analogentwurfs • Anforderungen nicht klar formuliert • Zu viele! Struktursynthese Dimensionierung “beste Schaltung(en)” He · EHS · K2 Nr.:24 Analoge Synthese: manueller Entwurfsprozess Automatisierung kaum vorhanden Viele Iterationen zwischen Designer und System Ingenieur Beste Schaltung: • Erste funktionierende? • Lieblingsschaltung des Designers? Spezifikation Technologie Testbench Fraglich: • • • • Kostenoptimal? Optimale Performance? Zuverlässig? Robust? Performanzen Designer Redesign He · EHS · K2 Nr.:25 (fast) Struktursynthese: Generator-basiert Bis heute ohne Erfolge • OASYS: A Framework for Analog Circuit Synthesis (1989) • Barcelona, Generator (2002) - Wähle Schaltungsklasse - Wähle Topologie - Wähle Spezifikation • Diverse andere… Bibliotheksansatz Problematisch da keine “echte Synthese” He · EHS · K2 Nr.:26 Struktursynthese: Ein-Transistor-Synthese Klumperink (2001) Versuch einer Ein-Transistor Synthese Bei 2 Transistoren (gesteuerten Stromquellen) bereits rund 150 verschiedene Topologien Explosion der Komplexität bei 3 oder mehr Transistoren He · EHS · K2 Nr.:27 Struktursynthese: Genetische Algorithmen Chromosome: • Schaltungstopologie • Parametersatz Evolution / Mutation: • Parametersynthese • Topologiesynthese Probleme: • Nicht-Determinismus • Zu viele nutzlose Schaltungen • Genetischer Algo (“Brute-Force-Raten”) Zufällige Startpopulation Wähle je 2 Eltern Reproduktion Mutation Selektion (Fitness) He · EHS · K2 Nr.:28 Struktursynthese: Block-basierte Synthese I Grundidee: • Weniger Berechnungskomplexität durch (sinnvolle) Basis – Blöcke - Stromspiegel, Differenzpaare, Stromquellen etc… • Zusammensetzen der Basis – Blöcke durch Regeln • Hierarchische Betrachtung der Schaltung He · EHS · K2 Nr.:29 Struktursynthese: Block-basierte Synthese II Deterministischer Ablauf Generiere Schaltung aus • • • • Spezifikationen Basis-Blöcken Verschiedenen Klassen von Regeln “Schaltungstemplate” Selektiere durch symbolische Analyse Dimensioniere mit kommerziellem Werkezeug He · EHS · K2 Nr.:30 Struktursynthese: Block-basierte Synthese III Block-basiertes zusammensetzen ermöglicht: • Bewältigbare Anzahl an Schaltungen • Weniger total sinnlose Schaltungen • Eingrenzen der Größe durch maximale Blockanzahl • Schnelle generierung durch Graphen-basierten Ansatz U+ U- I i I i I Diff.paar I He · EHS · K2 Nr.:31 Struktursynthese: Operationsverstärker Beispiele He · EHS · K2 Nr.:32 Struktursynthese: weitere Ansätze Geometrische Programmierung Speziallisierte Generatoren …? He · EHS · K2 Nr.:33 Analoge Synthese: Dimensionierung / Parametersynthese Übersicht Das Problem: • Bestimme alle freien Parameter so, dass diese eine gegebene Spezifikation (über)erfüllen! • In der Praxis meist: - Kanallänge - Kanalweite - Kondensatorkapazitäten - Ohmsche Werte an für Widerstände • Kontinuierlicher Wertebereich! He · EHS · K2 Nr.:34 Dimensionierung: manuelle Vorgehensweise In-the-Loop • Erstelle Schematic, Schaltungsstruktur • Dimensioniere Transistoren (Weiten,Längen) nach - Systematischen Regeln - Daumen Regeln, teilweise berechenbar - Erfahrungswerten - “Gefühl” / “Intuition” • Spezifikationen erfüllt? - Ja? Sehr gut, Ziel erfüllt… - Nein? Schlecht Ö Wiederhole bis Spezifikation erfüllt… He · EHS · K2 Nr.:35 Dimensionierung: Synthese und Analyse als Vorgänge im Eigenschaftsraum Eigenschaftsraum Parameterraum C4 V Analyse Synthese (Dimensionierung) E g ie sc h n ftsr m a u P a e te rm m u ra C V 4 A yse ln a e e th yn S s m i e (D e o is ru n ) g n GBW R1 He · EHS · K2 Nr.:36 Dimensionierung: Nominaldimensionierung und Akzeptanzgebiete Parameterraum Eigenschaftsraum V C4 Analyse der N.-Dim. Nominaldimensionierung Akzeptanzgebiete GBW R1 He · EHS · K2 Nr.:37 Dimensionierung: Design-Centering Eigenschaftsraum Parameterraum C4 V Design-Centering GBW R1 He · EHS · K2 Nr.:38 Dimensionierung: Werkzeuge – Optimierer (für Schaltungen) Kommerziell • WiCkeD von munEDA • ADE (G)XL von Cadence (für Schaltungen) Frei • ASCO (http://asco.sourceforge.net) Allgemeine Optimierer • CVXOPT http://abel.ee.ucla.edu/cvxopt/ • OptiY (http://www.optiy.eu) • … He · EHS · K2 Nr.:39 Dimensionierung: MUNEDA WiCkeD He · EHS · K2 Nr.:40 Dimensionierung: Cadence ADE GXL He · EHS · K2 Nr.:41 Dimensionierung mit Toleranzen + + R vor Rq C k,ein A = Amin...Amax Pv= 0 ...Pv,max .. . R Arbeit C k,aus R Last u aus(t) u q(t) Topologie Spezifikation Rvor = ?...? RArbeit = ?...? .. . Parameter He · EHS · K2 Nr.:42 Transformation des Akzeptanzgebietes Pv Rvor außerhalb Akzeptanzgebiet Wie? Akzeptanzgebiet A Akzeptanzgebiet im Schaltungseigenschaftsraum AkzeptanzAkzeptanzgebiet gebiet? RArbeit Akzeptanzgebiet im Schaltungsparameterraum He · EHS · K2 Nr.:43 Dimensionierung des Verstärkers A ≥ 35 dB PV ≤ 25 mW Rvor / kΩ 2,0 1,4 143 ≤ Rarbeit / kΩ ≤ 167 1,04 ≤ Rvor / kΩ ≤ 1,19 1,0 0,6 100 200 300 RArbeit / kΩ Spezifikation Akzeptanzgebiet im Schaltungsparameterraum Dimensionierung He · EHS · K2 Nr.:44 Inhaltsübersicht Einführung Operationsverstärker Grundlagen und Hilfsmittel des Entwurfs Ein-, Ausgangs-, Zwischenstufe Design-Flow Synthese Analyse Modellierung VHDL-AMS SystemC, ... Systemtheorie Übertragungsfunktionen Regelkreise Stabilität Abgetastete Systeme Bauelemente MOS-Transistor Struktureller Entwurf auf Transistorebene Verstärkerstufen Stromspiegel OTA Lineare Systeme Aktive Filter gmC-Schaltungen Nichtlineare Systeme Multiplizierer, ADC, DAC Oszillatoren,VCO,PLL Sensoren, Aktoren Licht, Akustik, Temperatur MEMS … Systemarchitekturen Kommunikationssysteme Mikrokontroller … Cyber-Physical Systems He · EHS · K2 Nr.:45 Functional System Design Validiation System Design Validation SW- Val. Hardware Validation Functional Val. Timing Val. Physical Val. Simulation SW- Debug HW/SW-CoVerification High Level Simulation (C,Cossap) RT Level/Cycle Based Simulation Gate Level/Event Driven Simulation Emulation Accelerated Simulation In-Circuit Emulation Co-Simulation Rapid Prototyping Formal Verification He · EHS · K2 Nr.:46 Unterscheidung der Analyse nach der Berücksichtigung von Zeit/Frequenz Analyseart Mathematische Beschreibung Domäne DCAnalyse Nichtlineares Gleichungssystem ACAnalyse Lineares, komplexwertiges, algebraisches Gleichungssystem Frequenz-b ereich TRAnalyse Nichtlineares Differentialgleichungssystem Zeitbereich algebraisches He · EHS · K2 Nr.:47 Schaltung und SPICE- Netzliste 1 Iq R1 100Ω 5V V1 2 C1 1μF V1 1 0 5 R1 1 2 100 C1 2 0 1E-6 He · EHS · K2 Nr.:48 Simulation der SPICE-Netzliste u1(t) |U1(f)|, |U2(f)| U1= 2,5V U2= 2,5V u2(t) 5V 5V 2V 1V 2V 1V 1 Iq = 0A f DC-Analyse 5kHz 50kHz AC-Analyse t t 10s 10s 5s 5s TR-Analyse für Uq=( sin(t)+2,5 )V He · EHS · K2 Nr.:49 Von der Netzliste zum Gleichungssystem U1 Iin Uin R U2 L U3 IL D C Zum Aufstellen des Gleichungssystems durch MNA (Modifizierte Knotenanalyse) werden benötigt: Die Kirchhoffsche Knotenregel ∑ I = 0 ⇒ Knotengleichungen Zweiggleichungen Strom- Spannungsbeziehungen an den Baulementen möglichst in I=f(U) Form U • Widerstand - Ohmsches Gesetz: I = R U • Diode: I = Is ⋅ (e D kT q − 1) Kirchhoffsche Maschenregel für • Spannungsquelle • Induktivität He · EHS · K2 Nr.:50 Von der Netzliste zum Gleichungssystem • Modifizierte Knotenanalyse (MNA,Modified Nodal Approach) U1 Iin R U2 L − U3 IL Uin D G G G G ⇒ f x(t),x(t),u(t) =0 ( ) U1 U2 + − iin = 0 R R U1 U2 − − iL = 0 R R C U3 ⎛ ⎞ kT ∂U3 −C + iL − Is ⋅ ⎜ e q − 1⎟ = 0 ⎜ ⎟ ∂t ⎝ ⎠ ∂iL U2 − U3 − L =0 ∂t U1 − Uin = 0 Nichtlineares Algebro-Differentialgleichungssystem (DAE, System of Differential Algebraic Equations) He · EHS · K2 Nr.:51 Cyber-Physical Systeme: Mobiler Roboter L yl v0 Θ y B x xl x,y: Position Θ: Drehwinkel xl,yLl: Position des Lichtsensors v0: (konstante) Geschwindigkeit He · EHS · K2 Nr.:52 DGL-System L yl Θ y B = v 0 ⋅ cos(Θ(t)) x(t) = v 0 ⋅ sin(Θ(t)) y(t) (t) = Drehrate Θ xl = L ⋅ cos(Θ) + x yl = L ⋅ sin(Θ) + y x xl Drehrate = f(Lichtsensor) ⎧ −0.1 wenn LS weiss Drehrate = ⎨ ⎩ +0.1 wenn LS grau He · EHS · K2 Nr.:53 Wie bewegt sich der Roboter? He · EHS · K2 Nr.:54 Simulation Hier: Lösen von Differentialgleichungssystemen Numerisches Lösen Je nach Typ unterschiedlich schwierig Zunächst: gewöhnliche DGL • Geschlossene Lösung für nichtlineare Gleichungen im allgemeinen nicht berechenbar ⇒ numerische Lösung ⇒ Diskretisieren in der Zeit He · EHS · K2 Nr.:55 Lösen eines Differentialgleichungssystems: Problemklasse: • Anfangswert-Problem (IVP, initial value problem) Gegeben: x(t0) : Anfangswert u(t) : Eingangswerte G G G G G f x(t),x(t),u(t) = 0 : DGL ( • Gesucht: ) x(t),y(t) : Systemgrößen He · EHS · K2 Nr.:56 Direkte Diskrete Lösung Wenn DGL-System in expliziter Form: G G G G x(t) = f ( x(t),u(t) ) Diskretisieren G G G xi+1(t i ) − xi (t i ) G G = f ( xi (t i ),ui (t i ) ) Δt ⇒ G G G G G xi+1(t i ) = Δt ⋅ f ( xi (ti ),ui (t i ) ) − xi (t i ) mit Zeitschritt Δt Anfangswert? He · EHS · K2 Nr.:57 Roboter Simulation x y Θ He · EHS · K2 Nr.:58 Andere Differenzenquotienten Differenzenquotient Mathematische Beschreibung Eigenschaft x(t) Backward Euler Forward Euler Trapez G G K x (t ) − xi (ti ) x i+1 = i+1 i Δt Stabil, dämpfend G G K xi+1(ti ) − xi (ti ) xi = Δt Instabil, entdämpfend G G K K xi+1(ti ) − xi (ti ) 1 K K = ( f(xi+1,ui+1) + f(x,u i i )) Δt 2 Genau xi xi+1 t xi xi+1 t xi xi+1 t x(t) x(t) Es gibt noch viele weitere: Gear, Runge-Kutta … He · EHS · K2 Nr.:59 Roboter Simulation Forward/Backward Euler x FE x BE He · EHS · K2 Nr.:60 DC-Analyse • Lösen eines nichtlinearen Gleichungssystems G G =0 • Gegeben: u(t) = const, t → ∞ ⇒ x(t) G G G f ( x,u ) = 0 G x Gesucht: • Newton Raphson-Iteration zur Rückführung auf Lösen eines linearen Gleichungssystems He · EHS · K2 Nr.:61 Algorithmus zur DC-Analyse DC Analyse GG x zu 0 Setze Ableitung x G Solange keine ri > ε des nichtlinearen Gls. G G G Berechne Residuum ri = f (x i ) G Berechne Jacobimatrix J(x i ) Löse lineare Gleichung z.B. mit LU-Zerlegung G G G J(x i ) ⋅ x i+1 = ri ⎡ ∂∂xf1 ⎢ ∂f 1 G ⎢ ∂x21 J(xi ) = ⎢ ⎢# ⎢ ∂∂xfn ⎣ 1 ∂f1 ∂x 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ % # ⎥ " ∂∂xfnn ⎥⎦ G xi " ∂f1 ∂xn He · EHS · K2 Nr.:62 Newton-Verfahren in einer Dimension f(x) K K K ri+1 = f (xi+1 ) xi f ( x ) = 0? t xi+2 xi+1 K J(xi ) Wenn Konvergenz, dann quadratische Konvergenz He · EHS · K2 Nr.:63 AC-Analyse • Linearisieren des nl. DGL-Systems. • Transformation in den Frequenzbereich G G x(t) → X(s) G G • Gegeben: X(s) = s ⋅ X(s), s = σ + jω,für ein festes ω = 2πf G G G s ⋅ C ⋅ X(s) + G ⋅ X(s) = q ⋅ u Gesucht: G X(s) • Lösen eines linearen komplexen Gleichungssystems • Numerisch durch Einsetzen einer bestimmten Frequenz f He · EHS · K2 Nr.:64 Lösen eines nichtlinearen AlgebroDifferentialgleichungssystems • Anfangswert-Problem (IVP) Gegeben: x(tn), Δtn, u(t) G G G G f x(t),x(t),u(t) = 0 ( Gesucht: ) x(tn+1) = x(tn + Δtn) • Numerische Integration z.B. Backward-Euler: G G G ⎛ x(t G G ) − x(t ) ⎞ n f ⎜ n+1 ,x(tn+1 ),u(tn+1 ) ⎟ = 0 Δt ⎝ ⎠ He · EHS · K2 Nr.:65 Lösungsvorgehen bei der Transientenanalyse G G G G f x(t),x(t),u(t) = 0 ( ) Nichtlineares AlgebroDifferentialgleichungssystem Backward Euler G G G ⎛ x(t G ) − x(t ⎞ G n) f ⎜ n+1 ,x(tn+1 ),u(t n+1 ) ⎟ = 0 Δt ⎝ ⎠ Nichtlineares Algebraisches Gleichungssystem Newton-Raphson G G A ⋅ xi (t n +1 ) = b Nichtlineares Algebraisches Gleichungssystem LU-Zerlegung G xi (t n +1 ) He · EHS · K2 Nr.:66 Algorithmus zur Transientenanalyse Transienten Analyse Für jeden Zeitschritt ti solange ti<tend Ersetze Differentialquotient durch Differenzenquotient (z.B. Backward Euler) G Solange keine ri > ε des nichtlinearen Gls. G G G Berechne Residuum ri = f (x i ) G Berechne Jacobimatrix J(x i ) Löse lineare Gleichung z.B. mit LU-Zerlegung Newton-Raphson G G G J(x i ) ⋅ xi+1 = ri Berechne Größe des nächsten Zeitschritts t t i = t i + Δt He · EHS · K2 Nr.:67 Beispiel analoge Simulation AC DC-Transfer TR He · EHS · K2 Nr.:68 Beispiel digitale Simulation He · EHS · K2 Nr.:69 Simulation von Mechanik in MEMS: Finite Differenzen Methode (auch als FEM) Vorgehen: Ersetze auch die Ableitungen nach dem Ort durch Differenzenquotienten: y ∂z(t,x,y) 1 = ( z(t,x + Δr,y) − z(t,x,y)) ∂x Δr oder: 1 ∂z(t,x,y) = ( z(t,x + Δr,y) − z(t,x − Δr,y)) ∂x 2Δr Δr x y Δr x He · EHS · K2 Nr.:70 Finite Differenzen Methode II Häufig 2. Ableitungen • Direkte Angabe dann: ∂z 2 (t,x,y) 1 = 2 ( z(t,x + Δr,y) − 2 ⋅ z(t,x,y) + z(t,x − Δr,y) ) 2 ∂x Δr y z Δr x Δr x He · EHS · K2 Nr.:71 Beispiel: Wellengleichung 2 ∂ 2 z(t,x,y) ∂ 2 z(t,x,y) ⎞ 2 ⎛ ∂ z(t, x,y) − c .⎜ + ⎟ = u(t,x,y) 2 2 2 ∂t ∂x ∂y ⎝ ⎠ Erregung u(t,x,y). Differenzengl. ergeben: 1 z(t + Δt,x,y) − 2 ⋅ z(t,x,y) + z(t − Δr,x,y)) 2 ( Δt c2 − 2 ( z(t,x + Δr,y) − 2 ⋅ z(t,x,y) + z(t,x − Δr,y)) + Δr c2 z(t,x,y + Δr) − 2 ⋅ z(t, x,y) + z(t,x,y − Δr) ) = u(t,x,y) 2 ( Δr He · EHS · K2 Nr.:72 Lösung: He · EHS · K2 Nr.:73 Komplexeres Beispiel: Simulation eines Oeltanks Tank-Simulation.mpg He · EHS · K2 Nr.:74 Schaltungsparameter Bezeichnung Nominalanalyse Toleranzanalyse z.B. Monte-Carlo-Analyse Symbolische- Analyse Parameter R1 = 10 kΩ R1 = 10 kΩ ± 10% R1 = R1 He · EHS · K2 Nr.:75 Symbolische Analyse RL Rq Uq CK R1 M1 R2 Numerische AC-Analyse nicht genug Bauelement-Parameter ⇔ Eigenschaft im Bode-Diagramm • Hilft bei Dimensionierung • Hilft bei Fehlersuche und Schaltungsverständnis => Symbolische Analyse He · EHS · K2 Nr.:76 Ablauf der symbolischen Analyse linearer Schaltungen Netzliste Strukturelle Vereinfachungen Vereinfachung vor der Erzeugung Vereinfachte Netzliste Gleichungssystem aufstellen ⎡ sC1 sC2 ⎤ G ⎡ 0 ⎤ ⎢R + R R ⎥ ⋅ x = ⎢U ⎥ 3 1 ⎦ ⎣ 2 ⎣ q⎦ System-Matrix Gleichungssystem vereinfachen ⎡sC1 0 ⎤ G ⎡ 0 ⎤ ⎢R ⎥ ⋅ x = ⎢U ⎥ ⎣ 2 R1 ⎦ ⎣ q⎦ System-Matrix Matrix-Invertierung z.B. über Determinante H(s) = Vereinfachung während der Erzeugung am ⋅ sm + ... + a1 ⋅ s1 + a0 bn ⋅ sn + ... + b1 ⋅ s1 + b0 Übertragungsfunktion Vereinfachung H′(s) = Vereinfachung nach der Erzeugung ... + a1′ ⋅ s1 + a′0 bn′ ⋅ sn + ... + b1′ ⋅ s1 + b′0 Vereinfachte ÜTF He · EHS · K2 Nr.:77 Beispiel Sourceschaltung RL Rq Uq CK R1 M1 R2 Vereinfacht - Exakt H(s) = g m rDS R L H(s) = jωCGD rDS R L ( R q g m + 1) + R L + rDS = U a (s) U q (s) jωCGD R L − g m R L ⎛ ⎛ ⎛ R ⎞ ⎞ R ⎛ R ⎞⎞ −ω2 CGD CGS R q R L + jω ⎜ CGD ⎜ R q ⎜ 1 + L + L + R L g m ⎟ + R L ⎟ + CGS R q ⎜ 1 + L ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ rDS ⎠ ⎟⎠ ⎠ ⎝ ⎝ rDS R 1,2 ⎠ ⎝ ... + Rq RL RqRL + + +1 rDS R1,2 rDS R1,2 He · EHS · K2 Nr.:78 ...
