Algebra II
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Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen — Blatt 12 (SS 2016)1 Abgabetermin: Freitag, 8. Juli http://www.math.uni-bielefeld.de/~rost/a2 Erinnerungen an die Vorlesung: Im Folgenden werden manchmal einige Definitionen und Bemerkungen aus der Vorlesung zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge auch in Büchern oder auf den auf der Homepage angegebenen Links nachlesen. Anmerkungen und Hinweise sind ausdrücklich erwünscht (per Email oder in der Vorlesung). Die Clifford-Algebra Im Folgenden sei K ein Körper mit char K 6= 2 (wie immer, wenn es um quadratische Formen geht). Bitte wiederholen Sie die grundlegenden Definitionen zu quadratischen Formen aus der LA II. Es sei V ein Vektorraum über K der Dimension n und q: V → K eine quadratische Form. Definition 1. Die Clifford-Algebra von q ist der Quotienten-Ring C(q) = T V /I der Tensoralgebra von V modulo dem zweiseitigen Ideal I erzeugt von den Elementen der Form v ⊗ v − q(v) (v ∈ V ) Etwas detaillierter: Die Tensoralgebra von V ist ∞ M • T V = TK V = V ⊗k k=0 ⊗0 =V ⊕ V ⊗1 ⊕ V ⊗2 ⊕ V ⊗3 ⊕ · · · = R ⊕ V ⊕ (V ⊗R V ) ⊕ (V ⊗R V ⊗R V ) ⊕ · · · 1 Fassung vom 3. Juli 2 Im Folgenden lasse ich das Tensorzeichen bei den Produkten von Elementen weg. Die Tensoralgebra wird erzeugt von den Elementen v ∈ V ohne weitere Rechenregeln neben den Regeln in jeder Algebra (Assoziativität etc.). Man betrachtet nun die Elemente (−q(v), v ⊗ v) ∈ V ⊗0 ⊕ V ⊗2 In der Clifford-Algebra rechnet man nun wie in der Tensoralgebra, aber modulo diesen Elementen. Die Clifford-Algebra wird also erzeugt von den Elementen v ∈ V (wie die Tensoralgebra) aber mit der zuätzlichen Rechenregel v 2 = q(v) Für die Nullform q = 0 (q(v) = 0 für alle v) erhält man C(0) = T V /hv ⊗ v, v ∈ V i Diese Algebra kennen wir schon, es ist die äußere Algebra Λ• V . Hier wurde das Produkt mit v ∧ w bezeichnet und es gelten v ∧ v = 0, w ∧ v = −v ∧ w Zur weiteren Untersuchung der Clifford-Algebra ist es praktisch, eine diagonalisierende Basis von V zu wählen (dies geht immer, siehe LA II). Es ist dann V = K n und q : Kn → K q(x1 , . . . , xn ) = a1 x21 + · · · + an x2n für gewisse ai ∈ K. Für solche Diagonalformen hat sich folgende Schreibweise eingebürgert: q = ha1 , . . . , an i Wie üblich sei e1 , . . . , en die Standard-Basis von K n . Satz 2. Es sei q = ha1 , . . . , an i Die Clifford-Algebra C(q) wird erzeugt von den Elementen e1 , . . . , en Es gelten die Rechenregeln e2i = ai ei ej = −ej ei Beweis. Siehe Vorlesung oder Aufgabe 1. (i 6= j) 3 Man beachte, daß man im Fall q = 0 (also ai = 0 für alle i) die Rechenregeln für die äußere Algebra C(0) = Λ• K n erhält. Wie bei der äußeren Algebra kann mittels der Vertauschungsregel ei ej = −ej ei Monome in den ei auf die Normalform ei1 · · · eik (1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n) bringen. Es gilt nun folgende Verallgemeinerung von Blatt 3, Proposition 13: Satz 3. Es sei q = ha1 , . . . , an i Eine Basis der Clifford-Algebra C(q) ist ei1 · · · eik wobei k ≥ 0 und 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n Beweis. Kein Beweis hier. Ich möchte lieber erst mehr Beispiele betrachten. Sie dürfen den Satz aber verwenden. Korollar 4. Es gilt dim C(q) = 2n Beispiele: dim(q) = 0, 1, 2 Für eine 0-dimensionale Form (V = 0) ist C(0) = T 0 = K Der 1-dimensionale Fall: C(hai) hat die Basis 1, e und es gilt e2 = a. Daher gilt C(hai) = K[t]/(t2 − a) Man erhält so insbesondere alle quadratichen Körpererweiterungen. Der 2-dimensionale Fall: C(ha1 , a2 i) hat die Basis 1, e1 , e2 , e1 e2 und es gilt e21 = a1 , e22 = a22 , e2 e1 = −e1 e2 Dies ist eine Quaternionen-Algebra C(ha1 , a2 i) = Q(a1 , a2 ) 4 Aufgabe 1. Es sei bq (v, w) = q(v + w) − q(v) − q(w) die zur quadratischen Form q gehörige Bilinearform. Man zeige, daß in der Clifford-Algebra C(q) folgende Rechenregel gilt: vw + wv = bq (v, w) Aufgabe 2. Es sei q : V → K eine quadratische Form. Es sei v ∈ V ein anisotroper Vektor (also q(v) 6= 0). Dann ist v als Element von C(q) invertierbar, denn wegen v 2 = q(v) hat man v v −1 = q(v) Man zeige unter Verwendung von Aufgabe 1: vwv = bq (v, w)v − wq(v) Welche geometrische Interpretation hat die Abbildung γv : V → V γv (w) = −vwv −1 Hinweis. Siehe LA II! Aufgabe 3. Es sei q = ha1 , . . . , an i und δ = e1 · · · en ∈ C(q) 2 (1) Man bestimme δ (ein Element von K). (2) Es sei n = 3 und ai 6= 0 (i = 1, 2, 3). Man zeige, daß 1, δ das Zentrum von C(q) erzeugen. Anmerkung. Allgemein gilt im Fall ai 6= 0 (i = 1, . . . , n) für das Zentrum der Clifford-Algebra: Z C(q) = K (n gerade) und Z C(q) = K ⊕ Kδ (n ungerade) Aufgabe 4. Es seien a, b ∈ K mit a 6= 0, b 6= 0, a + b 6= 0. Man zeige ha, bi ≃ h(a + b), (a + b)abi Anmerkung. Diese Beziehung wird Witt-Relation genannt.