docTheorie II. Ordnung - Universität Siegen
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Theorie II. Ordnung - Universität Siegen
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK, UNIVERSITÄT SIEGEN 2. Stabilitätsprobleme und Theorie II. Ordnung 2.1 Einführung Arten Arten der der Gleichgewichtslagen Gleichgewichtslagen Ein Ein Tragwerk Tragwerk muss muss in in stabiler stabiler GleichgeGleichgewichtslage wichtslage sein. sein. Viele Viele Tragwerke Tragwerke versagen versagen wegen wegen struktureller struktureller Instabilität, Instabilität, nicht nicht aber aber wegen wegen Materialversagen. Materialversagen. Arten Arten der der Gleichgewichtslagen Gleichgewichtslagen stabil Nach einer kleinen Störung kehrt es in seine Anfangslage zurück! instabil Nach einer kleinen Störung kehrt es nicht in seine Anfangslage zurück! indifferent Ausgelenkte Lage ist ebenfalls eine Gleichgewichtslage! Wann Wann kommt kommt ein ein Stabilitätsproblem Stabilitätsproblem vor? vor? Stab unter Zug Last-Verformungskurve eindeutig Kein Stabilitätsproblem ! Stab unter Druck Last-Verformungskurve nicht mehr eindeutig Stabilitätsproblem ! Stabilitätsprobleme Stabilitätsprobleme Typen Typen der der Stabilitätsprobleme: Stabilitätsprobleme: •• Durchschlagprobleme Durchschlagprobleme •• Verzweigungsprobleme Verzweigungsprobleme Durchschlagprobleme Durchschlagprobleme Bei Bei einem einem Durchschlagproblem Durchschlagproblem schlägt schlägt ein ein System System bei bei Lastkontrolle Lastkontrolle schlagartig schlagartig in in eine eine GleichgewichtsGleichgewichtslage lage durch. durch. Durchschlagproblem Durchschlagproblem F a b c Flacher Bogen F Durchschlagpunkt Last-Durchbiegungs-Linie a Lastkontrolle b c Verschiebungskontrolle w Verzweigungsprobleme Verzweigungsprobleme Bei Bei einem einem Verzweigungsproblem Verzweigungsproblem ist ist das das Gleichgewicht Gleichgewicht mehrdeutig. mehrdeutig. Das Das System System verlässt verlässt den den primären primären Pfad Pfad und und geht geht in in einen einen sekundären sekundären Ast Ast über. über. Bei Bei horizontaler horizontaler oder oder abnehmender abnehmender Verzweigung Verzweigung ist ist das das System System unter unter Lastkontrolle Lastkontrolle instabil. instabil. Verzweigungsproblem Verzweigungsproblem F a Steiler Bogen b F c Verzweigungspunkt Durchschlag a c b Last-Durchbiegungs-Linie w Stabilitätspunkte Stabilitätspunkte Durchschlagpunkt Durchschlagpunkt und und VerzweigungsVerzweigungspunkt punkt werden werden häufig häufig als als StabilitätsStabilitätspunkte punkte bezeichnet, bezeichnet, obwohl obwohl diese diese Punkte Punkte nicht nicht unbedingt unbedingt zur zur Instabilität Instabilität führen. führen. Bsp.: Bsp.: Ein Ein System System kann kann durch durch VerschiebungsVerschiebungskontrolle kontrolle oder oder bei bei aufgehender aufgehender Verzweigung Verzweigung stabil stabil bleiben, bleiben, obwohl obwohl ein ein Durchschlagpunkt Durchschlagpunkt oder oder Verzweigungspunkt Verzweigungspunkt erreicht erreicht wird. wird. Verzweigungsprobleme Verzweigungsprobleme Knicken: Ebene Stabtragwerke Kippen: Biegebalken Drillknicken: Torsionsstäbe Biegedrillknicken: Räumliche Stabtragwerke Beulen: Flächentragwerke (Platten, Schalen) Warum Warum ist ist Knicken Knicken gefährlich gefährlich ?? Stab unter Zug: Versagen mit Vorankündigung ! Risse ! Stab unter Druck (Knicken): Versagen ohne Vorankündigung ! Viel gefährlicher! Beispiel: Knicken Systemskizze Eigenform 1 (Drillknicken) Eigenform 2 (Knicken um die z-Achse) Beispiel: Knicken Eigenform 3 (Knicken um die y-Achse) Eigenform 4 (Knicken um die z-Achse, 2. Eigenform) Geometrische Geometrische Nichtlinearität Nichtlinearität Um Um die die Stabilität Stabilität eines eines Systems Systems zu zu analysieren, analysieren, muss muss die die geometrische geometrische Nichtlinearität Nichtlinearität berücksichtigt berücksichtigt werden. werden. Dies Dies bedeutet: bedeutet: •• Endliche Endliche oder oder große große Verformungen. Verformungen. •• Nichtlinearer Nichtlinearer Zusammenhang Zusammenhang zwischen zwischen Dehnungen/Verzerrungen Dehnungen/Verzerrungen und und Verschiebungen. Verschiebungen. •• Gleichgewicht Gleichgewicht am am verformten verformten System. System. Gegenüberstellung Gegenüberstellungvon vonStabwerkstheorien Stabwerkstheorienverschiedener verschiedenerOrdnungen Ordnungen Theorie Theorie I.I. Ordnung Ordnung und und Theorie Theorie II. II. Ordnung Ordnung Vergleich: Theorie I. Ordnung und Theorie II. Ordnung Th. I. Ordnung Th. II. Ordnung F Gleichgewicht am unverformten System ! M I = 0! w F Gleichgewicht am verformten System ! M II = F ⋅ w ! Th. II. Ordnung führt zu einer Vergrößerung des Biegemomentes ! Bemerkungen Bemerkungen zur zur Theorie Theorie II. II. Ordnung Ordnung Th. II. Ordnung ist nur eine Näherungstheorie der Theorie großer Verformungen. Theorie großer Verformungen wird manchmal auch als Th. III. Ordnung bezeichnet. Unter Druckkraft führt Th. II. Ordnung zu einer Vergrößerung des Biegemomentes, d.h., MI < MII. Unter Zugkraft wird das Biegemoment nach Th. II. Ordnung reduziert, d.h., MII < MI. Hierbei führt Th. II. Ordnung zu einer wirtschaftlicheren Bemessung.
