Raciocínio Lógico Rodrigo Dias

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Raciocínio Lógico Rodrigo Dias
Material em construção
Raciocínio Lógico
Prof. Rodrigo Dias
Curso Básico: Resumo da
Teoria
e
Cespe/UnB,
Questões
Esaf,
Consulplan e AOCP
da
FCC,
O Autor
Rodrigo Carvalho Dias é professor de matemática do IFTO – Campus Palmas (2009 – atual), Licenciado
em matemática pela UNIDERP (Campo Grande - MS), Pós-Graduado em matemática para o ensino
Fundamental e Médio pela UNIDERP, Mestre em matemática pela Universidade Federal do Tocantins e
atualmente faz Doutorado em Educação Matemática pela UNIBAN (2014 – 2017).
Contato: [email protected]
Site: www.professorrodrigo.com
SUMÁRIO
Capítulo 1 .................................................................................................................................................................... 5
Lógica Proposicional .................................................................................................................................................. 5
1.1
Definição e exemplos ................................................................................................................................ 5
1.2 Proposição simples e proposição composta ............................................................................................... 5
1.3 Princípios Fundamentais da Lógica.............................................................................................................. 6
1.4 Tabela verdade ................................................................................................................................................ 6
1.5 Negação de uma proposição simples .......................................................................................................... 7
1.6 Operadores lógicos (e, ou, se...então, ...se e somente se...) ................................................................... 7
1.7 Condição Suficiente. Condição Necessária. Condição Necessária e Suficiente ................................ 13
1.8 Tautologia e Contradição ............................................................................................................................. 14
1.9 Questões de complementares ..................................................................................................................... 15
Capítulo 2 ................................................................................................................................................................. 19
Quantificadores: lógica de primeira ordem .......................................................................................................... 19
2.1 Sentenças abertas......................................................................................................................................... 19
2.2 O quantificador universal (  ) ...................................................................................................................... 19
2.3 O quantificador existencial (  ) .................................................................................................................... 19
2.4 Negação do quantificador universal ........................................................................................................... 20
2.5 Negação do quantificador existencial ......................................................................................................... 20
2.6 Silogismo: TODO, ALGUM, NENHUM ....................................................................................................... 20
2.7 Questões de concurso .................................................................................................................................. 21
Capítulo 3 ................................................................................................................................................................. 25
Equivalência Lógica ................................................................................................................................................. 25
3.1 Conceito inicial ............................................................................................................................................... 25
3.2 Principais casos de equivalência ................................................................................................................ 25
3.3 Questões de concurso .................................................................................................................................. 26
Capítulo 4 ................................................................................................................................................................ 28
Problemas de correlação ou associação lógica .................................................................................................. 28
4.1 Questões de concurso .................................................................................................................................. 28
Capítulo 5 ................................................................................................................................................................. 30
Análise Combinatória............................................................................................................................................... 30
5.1 Princípio Fundamental de Contagem (PFC) ............................................................................................. 30
5.2 Fatorial............................................................................................................................................................. 31
5.3 Permutações Simples ................................................................................................................................... 31
5.5 Permutações de elementos repetidos ........................................................................................................ 32
5.6 Questões de concurso .................................................................................................................................. 34
Capítulo 6 ................................................................................................................................................................. 36
Probabilidade ............................................................................................................................................................ 36
6.1 Conceitos básicos ........................................................................................................................................ 36
6.2 Propriedades .................................................................................................................................................. 36
6.3 Regra do “ou” e a Regra do “e” ................................................................................................................... 36
6.4 Probabilidade condicional ............................................................................................................................ 37
6.5 Questões de concurso .................................................................................................................................. 37
Gabarito .......................................................................................................................................................................... 39
Gabarito .......................................................................................................................................................................... 39
Bibliografia ...................................................................................................................................................................... 40
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
Capítulo 1
Lógica Proposicional
“Existem duas coisas infinitas: o Universo e a tolice dos homens”
(Einstein)
1.1 Definição e exemplos
Uma definição apresentada em uma questão da CESPE-UnB diz: “Uma proposição é uma
declaração que pode ser julgada como verdadeira (V) , ou falsa (F), mas não como V e F
simultaneamente. As proposições são, frequentemente, simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C, D
etc.”
A: Palmas é a capital do Maranhão.
K: O Brasil sediará a próxima copa do mundo.
Q: Paulo é atleta.
Bom dia!
(Uma saudação não representa uma proposição. Em geral, frases que terminam com
exclamação não são proposições.)
Qual é o seu nome? (Uma pergunta não representa uma proposição. Em geral, frases que
terminam com ponto de interrogação não são proposições.)
X+5 = 8. (Esse exemplo representa uma sentença matemática aberta, portanto não é uma
proposição). Para transformar uma sentença matemática aberta em uma proposição, precisamos
acrescentar um quantificador lógico. Quantificador lógico é um assunto que será tratado no capítulo
2.
1.2 Proposição simples e proposição composta
Proposição simples: é uma proposição única, isolada.
Se uma pessoa declarar que “Palmas é a capital do Tocantins” com certeza você julgará essa
afirmação como verdadeira. Portanto, se chamarmos de P a proposição “Palmas é a capital do
Tocantins”, então podemos afirmar que a proposição P é verdadeira.
Simbolicamente podemos representar como:
P: Palmas é a capital do Tocantins (V)
Proposição composta: é formada de duas ou mais proposições simples, ligadas entre si por conectivos
(e, ou, se...então, ...se e somente se...).
Na declaração: “O shopping Palmas fica na região norte e o espaço cultural fica na região sul”, temos
um exemplo típico de proposição composta. Podemos considerar “O shopping Palmas fica na região
norte” uma proposição simples e “o espaço cultural fica na região sul” como outra proposição simples.
As duas proposições formam uma única proposição e estão conectadas pelo e.
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1.3 Princípios Fundamentais da Lógica
I. Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente
II. Princípio do terceiro excluído: uma proposição ou é verdadeira ou é falsa; não existe um terceiro
valor lógico.
Aparentemente os dois princípios são parecidos e um tanto óbvio. Entretanto muitas pessoas erram
exercícios básicos de raciocínio lógico por esquecê-los. Digo mais, muitas pessoas no dia a dia tomam
decisões erradas porque esquecem que quem declarara algo, ou declara algo verdadeiro ou declara
algo falso.
Tome nota!
Quem se contradiz, ou seja, ora declara algo como sendo verdadeiro e ora declara a mesma coisa
como sendo falso, fere o primeiro princípio fundamental da lógica. Portanto fica a dica: um discurso
contraditório é sempre falso.
1.4 Tabela verdade
É onde representamos cada proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos
possíveis. Observe que a primeira tabela verdade possui 3 linhas. A primeira linha é o local onde
representamos a proposição simples, nesse caso representado pela letra P. As outras duas linhas
representam todas as possibilidades de “julgamento”, ou seja, uma proposição ou será verdadeira (V)
ou será falsa (F), conforme visto no item 1.3. Quando a proposição for composta, esse julgamento fica
mais complexo. Observe as demais tabelas e as possibilidades.
P
P
Q
V
V
V
F
V
F
F
V
F
F
P
Q
K
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
Dica: o número de linhas (em relação ao julgamento) de uma tabela verdade por ser obtido por meio da fórmula
n
2 , onde n representa o número de proposições simples.
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1.5 Negação de uma proposição simples
Definição: uma proposição P é a negação de uma proposição Q todas as vezes que: se P for verdadeiro, Q
será necessariamente falso e se P for falso, Q será necessariamente verdadeiro.
Como assim?
Seja P a proposição “Paulo está de blusa verde” e Q a proposição “Paulo está de blusa rosa”. Se “Paulo está
de blusa verde” for V, então a proposição “Paulo está de blusa rosa” será falso. Entretanto se “Paulo está de
blusa verde” for falso, então “Paulo está de blusa rosa” não será necessariamente V. Paulo pode estar com
uma blusa amarela por exemplo. Conclusão: A proposição Q não é a negação de P.
Qual seria a forma correta de negarmos então?
Em geral poderíamos fazer essa negação de “Paulo está de blusa verde” de 3 formas diferentes. São elas:
“Paulo não está de blusa verde” ou “Não é verdade que Paulo está de blusa verde” ou “É falso que Paulo
está de blusa verde”.
Outros exemplos:
Símbolo: ~ ou ¬
P: Carmem não é cunhada de Carol
~P: Carmem é cunhada de Carol
K: Artur não gosta de Lógica
~K: Artur gosta de Lógica
J: O professor adiará a prova
~J: O professor não adiará a prova
1.6 Operadores lógicos (e, ou, se...então, ...se e somente se...)
I. Conjunção (e)
Símbolo: ^
Exemplo: Na véspera das eleições um candidato a vereador faz a seguinte promessa aos moradores
da uma quadra em Palmas:
“[...] asfaltarei esta quadra e vou construir uma unidade de pronto atendimento aqui.”
Vamos usar a tabela verdade para representar todas as possibilidades (valores lógicos) em torno
dessa “promessa” (proposição composta). Em cada linha da tabela verdade queremos julgar as
proposições compostas para sabermos se ela é V ou F.
Chamando de
P: asfaltarei esta quadra
Q: vou construir uma unidade de pronto atendimento aqui
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Temos:
P Q P^Q
V V
V
V F
F V
F
F
F
F
F
Tome nota!
Uma proposição composta de uma conjunção assume valor lógico VERDADEIRO somente quando as
proposições simples envolvidas forem verdadeiras. Nos demais caso a proposição (declaração) será falsa.
Isso é fácil perceber porque a declaração feita pelo político no exemplo anterior será verdadeira somente
se ele cumprir com as duas promessas, ou seja, se asfaltar a quadra e construir a UPA.
Negação(~) da conjunção (e)
Representação: ~(P ^ Q) = ~P v ~Q
Exemplo:
K: João é pobre e Márcio é jogador de futebol
~K: João não é pobre ou Márcio não é jogador de futebol
Questões básicas de concurso público
1. (AOCP/Analista Administrativo/2011) A negação de o cachorro late e o gato mia é
a)
b)
c)
d)
e)
O cachorro não late e o gato não mia.
O cachorro late ou o gato mia.
O cachorro não late ou o gato não mia.
O cachorro e o gato não latem e nem miam.
O cachorro mia e o gato late.
2. (AOCP/Agente de Fiscalização/2012) Dizer que não é verdade a seguinte sentença “João é
moreno e Juca é rico” é equivalente a dizer que
a)
b)
c)
d)
e)
João não é moreno e Juca não é rico.
João não é moreno ou Juca não é rico.
João é moreno ou Juca não é rico.
Se João não é moreno, então Juca é rico.
Se João não é moreno, então Juca não é rico.
3. (AOCP/Assistente Social/2012) A negação da sentença “O carro é branco e a casa é amarela” é
a) O carro é branco ou a casa não é amarela.
b) O carro não é branco ou a casa é amarela.
c) O carro não é branco e a casa é amarela.
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d) O carro não é branco e a casa não é amarela.
e) O carro não é branco ou a casa não é amarela.
4. (ESAF) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a
dizer que é verdade que:
a)
b)
c)
d)
e)
Pedro não é pobre ou Alberto não é alto;
Pedro não é pobre e Alberto não é alto;
Pedro é pobre ou Alberto não é alto;
Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto;
Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
II. Disjunção (ou)
Símbolo: v
Exemplo: Na véspera de seu aniversário seu pai faz a seguinte promessa:
“[...] comprarei uma bicicleta ou comprarei um vídeo game.”
Vamos usar a tabela verdade para representar todas as possibilidades (valores lógicos) em torno dessa
“promessa” (proposição composta). Em cada linha da tabela verdade queremos julgar a proposição
composta para sabermos se ela é V ou F.
Chamando de
P: comprarei uma bicicleta
Q: comprarei um vídeo game.
Temos:
P Q PvQ
V V
V F
F
V
F
F
Tome nota!
Uma proposição composta de uma disjunção assume valor lógico FALSO somente quando as proposições
simples envolvidas forem falsas. Nos demais caso a proposição (declaração) será verdadeira. Isso é fácil
perceber porque a declaração feita pelo pai no exemplo anterior será falsa somente se ele não cumprir
com as duas promessas, ou seja, se ele não comprar a bicicleta e não comprar o vídeo game.
Negação(~) da disjunção (ou)
Representação: ~(P v Q) = ~P ^ ~Q
Exemplo:
K: Ana gosta de maçã ou Beatriz gosta de matemática
~K: Ana não gosta de maçã e Beatriz não gosta de matemática
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Questões básicas de concurso público
5. (AOCP/Analista Administrativo/2011) Sendo p a proposição: “João é médico” e q a proposição:
“José é engenheiro” então a proposição pvq corresponde a
a)
b)
c)
d)
e)
João é médico ou José é engenheiro.
João é médico e José é engenheiro.
João não é médico e José é engenheiro.
João é médico ou José não é engenheiro.
João não é médico ou João não é engenheiro.
6. (AOCP/Assistente Social/2009) A negação da proposição “O contador prepara o imposto de renda
da firma ou conclui a planilha de custos” é
a)
b)
c)
d)
e)
O contador não prepara o imposto de renda da firma ou não conclui a planilha de custos.
O contador não prepara o imposto de renda da firma e não conclui a planilha de custos.
O contador não prepara o imposto de renda da firma ou conclui a planilha de custos.
O contador não prepara o imposto de renda da firma e conclui a planilha de custos.
O contador prepara o imposto de renda da firma e não conclui a planilha de custos.
III. Condicional (“Se…então…”)
O condicional é o operador mais importante e cobrado em questões de concurso público.
Símbolo:
Exemplo: Uma pessoa dá a seguinte declaração:
“Se amanhecer chovendo então eu usarei capa de chuva.”
Vamos usar a tabela verdade para representar todas as possibilidades (valores lógicos) em torno dessa
declaração (proposição composta). Em cada linha da tabela verdade queremos julgar a proposição
composta para sabermos se ela é V ou F.
Chamando de
P: amanhecer chovendo
Q: eu usarei capa de chuva
Temos:
P Q P→Q
V V
V F
F
F
V
F
Sempre que discuto esse exemplo com os alunos surge o seguinte questionamento: porque F com V dá
verdadeiro? Para responder esse questionamento devemos entender que a proposição: “Se amanhecer
chovendo então eu usarei capa de chuva.” tem um sentido diferente da proposição “Só se amanhecer
chovendo eu usarei capa de chuva.” No primeiro caso, não há informações em relação a não chover. No
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segundo caso temos uma espécie de bicondicional. Para entender melhor em que situação se aplica o
segundo caso, veja o item IV.
Negação do condicional:
Representação: ~(P
Q) = P ^ ~Q
Exemplo:
P: Se João beber Então João não poderá dirigir
~P: João bebeu e dirigiu
Questões básicas de concurso público
7. (AOCP/Analista de Projetos/Agrônomo/2011) Se não chove, então o cachorro late. Se chove, então
o papagaio não fala. Entretanto, o papagaio está falando. Logo,
a)
b)
c)
d)
e)
Chove e o cachorro late.
Chove e o cachorro não late.
Não chove e o cachorro late.
Não chove e o cachorro não late.
Se o papagaio fala, então o cachorro não late.
8. (AOCP/Quadro Geral do Tocantins/Superior/2012) Sendo p a proposição “Juliana gosta de
Matemática” e q a proposição “Nayara gosta de Física”, assinale a alternativa que corresponde à
seguinte proposição em linguagem simbólica: “Se Nayara gosta de Física, então Juliana gosta de
Matemática”
a)
b)
c)
d)
e)
p^q
(~p)vq
q→p
(~p)^(~q)
q↔q
9.
(ESAF/Analista de Planejamento e Orçamento – MPOG/2003) Ana é artista ou Carlos é carioca.
Se Jorge é juiz, então Breno não é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. Ora, Jorge é
juiz. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Jorge é juiz e Breno é bonito;
Carlos é carioca ou Breno é bonito;
Breno é bonito e Ana é artista;
Ana não é artista e Carlos é carioca;
Ana é artista e Carlos não é carioca.
10. (FCC/ASSEMBLEIA LEGISLATIVA – SP/2010) Paloma fez as seguintes declarações:
− “Sou inteligente e não trabalho.”
− “Se não tiro férias, então trabalho.”
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Supondo que as duas declarações sejam verdadeiras, é FALSO concluir que Paloma
a)
b)
c)
d)
e)
é inteligente.
tira férias.
trabalha.
não trabalha e tira férias.
trabalha ou é inteligente.
IV. Bicondicional (“…se e somente se…”):
Símbolo:
Exemplo: Às vésperas do natal, um pai faz a seguinte promessa ao filho:
“[...] comprarei um vídeo game se e somente se você passar de ano.”
Vamos usar novamente a tabela verdade para representar todas as possibilidades em torno dessa
“promessa”. Em cada linha da tabela verdade queremos julgar as proposições compostas para
sabermos se ela é V ou F.
Chamando de
P: comprarei um vídeo game
Q: você passar de ano
Temos:
Representação na tabela verdade
P Q P Q
V V
V F
F V
F
F
Observe que na tabela verdade do bicondicional o resultado obtido em F com V foi falso, diferente do que
ocorreu no condicional. No bicondicional o operador se e somente se é “mais forte”. Matematicamente o
que ocorre é que o bicondicional para ser verdadeiro é preciso analisar duas condicionais. Como assim?
Na proposição: Comprarei um vídeo game se e somente se você passar de ano
Devem-se analisar duas condicionais:
1ª) Se você passar de ano então comprarei um vídeo game
e
2ª) Se eu comprei um vídeo game então você passou de ano (recíproca da 1ª)
Portanto, no caso de F com V (terceira linha da tabela verdade) o resultado seria verdadeiro se
julgássemos apenas a 2ª, mas o resultado será falso no caso da 1ª. Como o bicondicional deve satisfazer
a 1ª e a 2ª condicional, então o resultado final é de fato falso.
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Negação do bicondicional
Representação: ~(P
Q) = ou P ou Q
Exemplo:
P: Juquinha vai ganhar um vídeo se, e somente se, tirar boas notas
~P: Ou Juquinha ganha um vídeo game ou Juquinha tira boas notas
Questões básicas de concurso público
11. (Esaf/Sefaz-SP – APOFP/2009) Assinale a opção verdadeira.
a)
b)
c)
d)
e)
3=4 ou 3+4=9;
Se 3=3, então 3+4=9;
3=4 e 3+4=9;
Se 3=4, então 3+4=9;
3=3 se e somente se 3+4=9.
Tome nota!
A tabela a seguir apresenta um resumo dos quatro operadores lógicos estudados no capítulo 1.
PROPOSIÇÃO
Conjunção
Disjunção
Condicional
P
Q
Bicondicional
P
Q
P^Q
PvQ
P
Q
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
V
1.7 Condição Suficiente. Condição Necessária. Condição Necessária e Suficiente
Observe exemplo:
Condição necessária
Se Rodrigo é Palmense, então Rodrigo é Tocantinense.
Condição suficiente
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Raciocínio Lógico
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Questões básicas de concurso público
12. (ESAF/Técnico Administrativo/ANEEL/2006) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para
Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é
condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta,
a)
b)
c)
d)
e)
Beto não bebe ou Ana não chora.
Denise dança e Beto não chora.
Denise não dança ou Ana não chora.
Nem Beto bebe nem Denise dança.
Beto bebe e Ana chora.
13. (Cetro/ANVISA – Técnico em regulação e vigilância sanitária/2013) Considere as proposições
abaixo
P1. Sandro ir dormir é condição necessária para Silvia ir à praia e condição suficiente para Laura
correr.
P2. José conversar com Paula é condição necessária e suficiente para Valdo pular e condição
necessária para Lauro correr.
P3. Valdo não pulou.
Com base nas proposições acima, é correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
e)
Laura correu ou José conversou com Paula.
Se Silvia não foi à praia, então José conversou com Paula.
Sandro não dormiu e José não conversou com Paula.
Sandro dormiu e Laura não correu.
Silvia foi à praia e Sandro não dormiu.
1.8 Tautologia e Contradição
Definição 1: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições simples (p, q, s, ...) será
dita tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições (p, q,
s, ...) que a compõem. (CARVALHO, 2010, p. 48)
Exemplo: (P ^ Q)
(P v Q)
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14. (AOCP/Assistente Social/2012) Considere a proposição “A seleção brasileira de futebol ganhará ou
não a próxima Copa do mundo em 2014”. A proposição
a)
b)
c)
d)
e)
É uma implicação.
Assume valor lógico verdadeiro.
Assume valor lógico falso.
É uma equivalência lógica.
É uma bi-implicação.
Definição 2: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições simples (p, q, s, ...) será
dita contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições (p, q, s,
...) que a compõem. (CARVALHO, 2010, p. 50)
Exemplo: (P
~Q) ^ (P ^ Q)
15. (AOCP/Quadro Geral – TO/2012) Considere as assertivas a seguir, sendo p e q proposições, e
assinale alternativa que aponta a(s) correta(s).
I. p v ~p assume o valor lógico verdadeiro, quaisquer que sejam os valores lógicos das variáveis
sentenciais.
II. q ^ ~q assume o valor lógico falso, quaisquer que sejam os valores lógicos das variáveis
sentenciais.
III. p→p v q, quaisquer que sejam as variáveis sentenciais.
a)
b)
c)
d)
e)
Apenas I.
Apenas II.
Apenas III.
Apenas I e II.
I, II e III.
1.9 Questões de complementares
16. (Esaf/Gestor Fazendário – MG/2005) Considere a afirmação P:
P: A ou B
Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:
A: “Carlos é dentista.”
B: “Se Ênio é economista, então Juca é arquiteto.”
Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:
15
Raciocínio Lógico
a)
b)
c)
d)
e)
Rodrigo Dias
Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.
Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.
Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.
17. (ESAF) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não é cunhada
de Carol. Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo:
a)
b)
c)
d)
e)
Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol;
Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem;
Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol;
Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol;
Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem.
18. (ESAF) Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil,
então lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de lógica, então:
a)
b)
c)
d)
e)
Se geografia é difícil, então lógica é difícil;
Lógica é fácil e geografia é difícil;
Lógica é fácil e geografia é fácil;
Lógica é difícil e geografia é difícil;
Lógica é difícil ou geografia é fácil.
19. (FCC/TRT-SP/2008) Considere que são verdadeiras as seguintes premissas:
“Se o professor adiar a prova, Lulu irá ao cinema.”
“Se o professor não adiar a prova, Leline irá à Biblioteca.”
Considerando que, com certeza, o professor adiará a prova, é correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
Lulu e Leline não irão à Biblioteca;
Lulu e Leline não irão ao cinema;
Lulu irá ao cinema;
Leline irá à Biblioteca;
Lulu irá ao cinema e Leline não irá à Biblioteca.
20. (FCC/TRF/2006) Se todos os nossos atos têm causa, então não há atos livres. Se não há atos
livres, então todos os nossos atos têm causa. Logo,
a)
b)
c)
d)
e)
Alguns atos não têm causa se não há atos livres.
Todos os nossos atos têm causa se e somente se há atos livres.
Todos os nossos atos têm causa se e somente se não há atos livres.
Todos os nossos atos não têm causa se e somente se não há atos livres.
Alguns atos são livres se e somente se todos os nossos atos têm causa.
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Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
21. (FCC/Tribunal de Contas-SP/2012) Se a tinta é de boa qualidade então a pintura melhora a
aparência do ambiente. Se o pintor é um bom pintor até usando tinta ruim a aparência do ambiente
melhora. O ambiente foi pintado. A aparência do ambiente melhorou. Então, a partir dessas
afirmações, é verdade que:
a)
b)
c)
d)
e)
O pintor era um bom pintor ou a tinta era de boa qualidade.
O pintor era um bom pintor e a tinta era ruim.
A tinta não era de boa qualidade.
A tinta era de boa qualidade e o pintor não era bom pintor.
Bons pintores não usam tinta ruim.
“Argumento é uma sequência de duas ou mais proposições, na qual uma das proposições,
denominadas conclusão, é afirmada como consequência das demais proposições,
denominadas premissas. Desta forma, todo argumento é composto de ao menos uma premissa
e uma conclusão.” (BARROS, 2010, p.10).
Critério de validade de um argumento
“Um argumento P1, P2, ..., Pn
Q é válido se e somente se a condicional:
(P1 ^ P2 ^...^ Pn) → Q é tautológica” (FILHO, 2002, p. 88).
17
Raciocínio Lógico
22. (CESPE/UnB/ Agente da Polícia Federal/2009)
Rodrigo Dias
22. (CESPE/UnB/Agente da Polícia Federal/2004)
23. (CESPE/UnB/ Agente da Polícia Federal/2004)
18
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
Capítulo 2
Quantificadores: lógica de primeira ordem
“Os números governam o mundo.” (Platão)
2.1 Sentenças abertas
“Sentença aberta é toda frase declarativa que possui um pensamento completo, mas não pode ser
classificada como V ou F” (VILLAR. 2011, p.90).
Exemplos:
a)
b)
Utilizam-se os quantificadores lógicos para transformar uma sentença aberta em uma
proposição lógica.
2.2 O quantificador universal (  )
Proposições que apresentam expressões como: “todo…”, “para todo…”, “qualquer que seja…”,
“ninguém…”, expressam a ideia de generalizar/universalizar alguma afirmação. Precisamos ter o cuidado
ao utilizarmos esses quantificadores no nosso dia-a-dia para não generalizarmos algo que, em muitas
situações, trata-se apenas de um caso particular.
Exemplos:
a)
b)
c)
2.3 O quantificador existencial (  )
Em geral, utilizamos expressões como: “Pelo menos um…”, “Existe…”, “Algum…”, quando queremos
garantir a existência de algum fato em análise.
Exemplos:
a)
b)
c)
19
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
2.4 Negação do quantificador universal
Esquema prático:
~ x P( x)  x ~ P( x)
Exemplos:
a)
b)
2.5 Negação do quantificador existencial
Esquema prático:
~ x P( x)  x ~ P( x)
Exemplos:
a)
b)
2.6 Silogismo: TODO, ALGUM, NENHUM
Silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo em que, partindo-se de certas informações, infere-se
uma determinada conclusão.
Os problemas de silogismo apresentam expressões como “todos”, “alguns”, “pelo menos um”.
I) Todo A é B: se um elemento pertence ao conjunto A, então pertence também a B
Diagrama de Venn
II) Algum A é B (ou pelo menos um A é B): existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B.
Diagrama de Venn
20
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
III) Nenhum A é B: Não existe nenhum elemento comum aos conjuntos A e B.
Diagrama de Venn
IV) Algum A não é B: existe pelo menos um elemento que pertence a A, então não pertence a B, e viceversa.
Diagrama de Venn
Falácia é um falso raciocínio lógico com aparência de verdadeiro. Algumas falácias são cometidas
involuntariamente e, neste caso, são denominadas paralogismo; outras, elaboradas com o objetivo de
confundir, são denominadas sofismas. As falácias podem ser elaboradas com base em premissas falsas
ou premissas verdadeiras que, por representar casos específicos (e não gerais), não podem ser
generalizadas.
2.7 Questões de concurso
24. (FCC/TRT-PR/2004) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos.
Admitindo-se verdadeira a frase “Todos os corruptos são desonestos”, é correto concluir que:
a)
b)
c)
d)
e)
Quem não é corrupto é honesto;
Existem corruptos honestos;
Alguns honestos podem ser corruptos;
Existem mais corruptos do que desonestos;
Existem desonestos que são corruptos.
21
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
25. (FCC/TRT-PE/2006) As afirmações seguintes são resultados de uma pesquisa feita entre os
funcionários de certa empresa.
Todo indivíduo que fuma tem bronquite.
Todo indivíduo que tem bronquite costuma faltar ao trabalho.
Relativamente a esses resultados, é correto concluir que:
a)
b)
c)
d)
e)
Existem funcionários fumantes que não faltam ao trabalho.
Todo funcionário que tem bronquite é fumante.
Todo funcionário fumante costuma faltar ao trabalho.
É possível que exista algum funcionário que tenha bronquite e não falte habitualmente ao trabalho.
É possível que exista algum funcionário que seja fumante e não tenha bronquite.
26. (ESAF/Aneel - Analista/2006) Das premissas: Nenhum A é B. Alguns C são B, segue,
necessariamente, que:
a)
b)
c)
d)
e)
Nenhum C é A;
Alguns A são C;
Alguns C são A;
Alguns C não são A;
Nenhum C é A.
27. (AOCP/Assistente Social/2012) Considerando a proposição “Todo carro faz parada em algum posto
ao longo do percurso”, tal proposição pode ser escrita em termos de dois quantificadores, se
considerarmos A o universo dos carros e B o universo dos postos do percurso e P(x,y): x faz
parada em y, com x em A e y em B. Qual alternativa descreve corretamente a proposição?
a) (x)(y)( P( x, y))
b) (x)(y)( P( x, y))
c) (x)(y)( P( x, y))
d) (y)(x)( P( x, y))
e) (A)(B)( P( x, y))
28. (AOCP/Assistente Social/2012) No universo dos números inteiros, qual das proposições abaixo é
verdadeira?
a) (x)(y)(3x  y  30)
b) (x)( x 2  0)
c) (y)(x)(2 x  y  30)
d) (x)(y)(2 x  y  30)
e) (x)(y)(2 x  y  30)
22
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
29. (AOCP/Assistente Social/2012) A proposição “Todas as pessoas têm emprego”é escrita como
(x)( p( x)) . Qual das seguintes proposições é equivalente à sua negação?
a)
b)
c)
d)
e)
Todas as pessoas não têm emprego.
Algumas pessoas têm emprego.
Ninguém tem emprego.
Algumas pessoas não têm emprego.
Todas as pessoas são desempregadas.
30. (AOCP/Quadro Geral/TO/Superior/2012) Seja p(x) uma proposição com uma variável x em um
universo de discurso. Qual dos itens a seguir define a negação dos quantificadores?
I.
~[( (x)( p( x)) ]  (x)(~ p( x))
II.
~[( (x)( p( x)) ]  (x)(~ p( x))
III.
~[( (x)( p( x)) ]  (x)(~ p( x))
a)
b)
c)
d)
e)
Apenas I.
Apenas I e III.
Apenas III.
Apenas II.
Apenas II e III.
31. (ESAF) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto vista lógico,
equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:
a) pelo menos um economista não é médico;
b) nenhum economista é médico;
c) nenhum médico é economista;
d) pelo menos um médico não é economista;
e) todos os não médicos são não economistas.
32. (FCC/TRF/2006) Algum X é Y. Todo X é Z. Logo,
a) Algum Z é Y.
b) Algum X é Z.
c) Todo Z é X.
d) Todo Z é Y
e) Algum X é Y.
33. (FCC/Tribunal de Contas-SP/2012)
Todos os jogadores são rápidos.
Jorge é rápido.
Jorge é estudante.
Nenhum jogador é estudante.
Supondo as frases verdadeiras pode-se afirmar que
23
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
a) a intersecção entre o conjunto dos jogadores e o conjunto dos rápidos é vazia.
b) a intersecção entre o conjunto dos estudantes e o conjunto dos jogadores não é vazia.
c) Jorge pertence ao conjunto dos jogadores e dos rápidos.
d) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos estudantes e o conjunto dos rápidos.
e) Jorge não pertence à intersecção entre os conjuntos dos jogadores e o conjunto dos rápidos.
34. (Consulplan/Agente Administrativo/2012) Num grupo de pessoas, aquelas que usam óculos são
altas e as que usam relógio não. Logo, pode-se concluir que, nesse grupo,
a) nenhuma pessoa alta usa óculos.
b) alguma pessoa alta usa relógio.
c) alguma pessoa que usa óculos usa relógio.
d) nenhuma pessoa que usa óculos é alta.
e) nenhuma pessoa que usa óculos usa relógio.
24
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
Capítulo 3
Equivalência Lógica
“Imaginação é mais importante que conhecimento.” (Albert Einstein)
3.1 Conceito inicial
De acordo com a definição retirada do dicionário Aurélio, equivalente significa “de igual valor”. No caso
das proposições equivalentes, o conceito é um pouco mais amplo, ou seja, duas proposições são
equivalentes quando os resultados obtidos em suas tabelas-verdades são os mesmos.
Obs.: Ao substituir uma proposição por outra proposição equivalente a ela, na prática estaremos apenas
mudando a maneira de dizê-la.
3.2 Principais casos de equivalência
Proposição do tipo
Representação simbólica
Proposição equivalente
Representação simbólica
“Se p, então q.”
p→q
“Se não q, então não p.”
~q→~p
“Se p, então q.”
p→q
“não p ou q.”
~p ou q
“p ou q.”
pvq
“Se não p, então q.”
“Não gosto ninguém”
~(~p)
“Gosto de alguém”
~p→q
P
Exemplos:
a)
b)
c)
25
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
3.3 Questões de concurso
35. (ESAF) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo
que dizer que:
a)
b)
c)
d)
e)
Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista;
Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro;
Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista;
Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista;
Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.
36. (FCC/TRT/2004) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: “Se os juros
bancários são altos, então a inflação é baixa”. Uma proposição logicamente equivalente à do
economista é:
a)
b)
c)
d)
e)
Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos;
Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos;
Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa;
Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa;
Ou os juros bancários, ou a inflação é baixa.
37. (Ipad/Delegado – Polícia Civil/2006) A sentença “penso, logo existo” é logicamente equivalente a:
a)
b)
c)
d)
e)
Penso e existo;
Nem penso, nem existo;
Não penso ou existo;
Penso ou não existo;
Existo, logo penso.
38. (CESPE/UnB/Serpro/2004) A tabela verdade de p→q é igual à tabela verdade de
( p   q)   p
39. (CESPE/UnB/Papiloscopista/2004) As proposições (P v Q)→S e (P→S) v (Q→S) possuem tabelas
de valorações iguais.
40. (AOCP/Quadro Geral/TO/2012) Considere a sentença “Se João é vendedor de roupas, então
Maurício é vendedor de jóias.” Considere também, as informações a seguir:
I.
II.
III.
Se Maurício não é vendedor de jóias, então João não é vendedor de roupas.
João não é vendedor de roupas ou Maurício é vendedor de jóias.
Se Maurício é vendedor de jóias, então João é vendedor de roupas.
A(s) afirmação(ões) à sentença inicial é(são):
a)
b)
c)
d)
e)
Apenas I.
Apenas II.
Apenas I e II.
Apenas I e III.
Apenas II e III.
26
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
41. (AOCP/Quadro Geral do Tocantins/Superior/2012) Considere a sentença: “Se Ana é professora,
então Camila é médica.” A proposição equivalente a esta sentença é
a)
b)
c)
d)
e)
Ana não é professora ou Camila é médica.
Se Ana é médica, então Camila é professora.
Se Camila é médica, então Ana é professora.
Se Ana é professora, então Camila não é médica.
Se Ana não é professora, então Camila não é médica.
42. (FCC/Agente Penitenciário/2010) Uma afirmação equivalente à afirmação “Se bebo, então não
dirijo” é
a)
b)
c)
d)
e)
Se não bebo, então não dirijo.
Se não dirijo, então não bebo.
Se não dirijo, então bebo.
Se não bebo, então dirijo.
Se dirijo, então não bebo.
43. (ESAF/ATA – MF/2009) A negação de “Ana ou Pedro vão ao cinema e Maria fica em casa” é:
a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa;
b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa;
c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em casa;
d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica em casa;
e) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em casa.
44. (ESAF/AFRFB/2009) Considere a seguinte proposição: “Se chove ou neva, então o chão fica
molhado”. Sendo assim, pode-se afirmar que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou;
b) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou;
c) Se o chão está molhado, então choveu e nevou;
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou;
e) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
27
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
Capítulo 4
Problemas de correlação ou associação lógica
“A busca da verdade é mais preciosa que a sua posse” (Albert Einstein)
4.1 Questões de concurso
40. (ESAF/2006) Ana tem três irmãs: uma gremista, uma corintiana e outra fluminense. Uma das irmãs é
loira, a outra morena, e a outra ruiva. Sabe-se que: 1) ou a gremista é loira, ou a fluminense é loira; 2) ou a
gremista é morena, ou a corintiana é ruiva; 3) ou a fluminense é ruiva, ou a corintiana é ruiva; 4) ou a
corintiana é morena, ou a fluminense é morena. Portanto, a gremista, a corintiana e a fluminense, são,
respectivamente,
a)
b)
c)
d)
e)
Loira, ruiva, morena;
Ruiva, morena, loira;
Ruiva, loira, morena,
Loira, morena, ruiva;
Morena, loira, ruiva.
41. (AOCP/Quadro Geral – TO/2012) Lucas, Vitor e Gustavo saíram juntos. Uma deles vestia uma
camiseta branca, outro vestia uma camiseta azul e o outro vermelha. Sabendo que:



Ou Lucas está de branco ou Vitor está de branco;
Ou Lucas está de azul ou Gustavo está de branco;
Ou Vitor está de vermelho, ou Gustavo está de vermelho.
Indique quais são as cores das camisetas de Lucas, Vitor e Gustavo, respectivamente.
a)
b)
c)
d)
e)
Azul, branca e vermelha.
Branca, azul e vermelha.
Azul, vermelha e branca.
Vermelha, branca e azul.
Vermelha, azul e branca.
45. (AOCP/Quadro Geral – TO/2012) Gabriela, Denise e Dani foram às compras. Uma delas comprou
um vestido, outra comprou um sapato e outra comprou uma bolsa. Sabe-se que:



Ou Denise comprou o vestido, ou Gabriela comprou o vestido;
Ou Dani comprou a bolsa, ou Denise comprou a bolsa;
Ou Gabriela comprou a bolsa, ou Dani comprou o sapato.
Então, Gabriela, Denise e Dani compraram, respectivamente,
a)
b)
c)
d)
e)
Vestido, bolsa e sapato.
Bolsa, sapato e vestido.
Vestido, sapato e bolsa.
Sapato, vestido e bolsa.
Sapato, bolsa e vestido.
28
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
46. (Cespe-UnB/PRF/2008) Em um posto de fiscalização da PRF, os veículos A,B e C foram
abordados, e os seus condutores, Pedro, Jorge e Mario, foram autuados pelas seguintes infrações:
(i) uma deles estava dirigindo alcoolizado; (ii) outro apresentou a CNH vencida; (iii) a CNH
apresentada pelo terceiro motorista era de categoria inferior à exigida para conduzir o veículo que
ele dirigia. Sabe-se que Pedro era o condutor do veículo C; o motorista que apresentou a CNH
vencida conduzia o veículo B; Mário erra quem estava dirigindo alcoolizado.
Com relação a essa situação hipotética, julgue os itens que se seguem.
I.
II.
III.
IV.
V.
A CNH do motorista do veículo A era de categoria inferior à exigida.
Mário não era o condutor do veículo A.
Jorge era o condutor do veículo B.
A CNH de Pedro estava vencida.
A proposição “Se Pedro apresentou CNH vencida, então Mário é o condutor do
veículo B” é verdadeira.
Estão certos apenas os itens
a)
b)
c)
d)
e)
I e II
I e IV.
II e III.
III e V.
IV e V.
47. (Consulplan/Assistente Administrativo/2012) Três amigos – Antônio, João e José – são casados,
suas esposas são irmãs e se chamam Ana, Maria e Rita, não necessariamente nessa ordem.
Sabe-se que João é casado com a mais nova das irmãs e que Antônio não é casado com Maria. A
mais velha das irmãs não é casada com José. Maria não é a mais nova e Ana não é a esposa de
João. A irmã caçula, a do meio e a primogênita são, respectivamente,
a) Maria, Rita e Ana.
b) Rita, Ana e Maria.
c) Ana, Maria e Rita.
d) Rita, Maria e Ana.
e) Maria, Ana e Rita.
29
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
Capítulo 5
Análise Combinatória
“Não se preocupem com suas dificuldades em Matemática, posso assegurar-lhes que as minhas são bem maiores” (Albert
Einstein)
5.1 Princípio Fundamental de Contagem (PFC)
Numa sala há 3 homens e 4 mulheres. De quantos modos é possível selecionar um casal homemmulher?
Solução
O exemplo acima ilustra o PFC, o qual diz:
“Se uma decisão d 1 pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a decisão d 1 , a decisão
d 2 puder ser tomada de y maneiras então o número de maneiras de se tomarem as decisões d 1 e
d 2 é xy.” (A.C.Morgado, J.b.Pitombeira, P.C.P.Carvalho e P.Fernandez, ano, página)
Exemplos 1: Uma bandeira é formada por quatro listras, que devem ser coloridas usando-se apenas
as cores amarelo, branco e cinza, não devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De quantos modos
pode ser colorida a bandeira?
Solução: A primeira listra pode ser colorida de 3 modos, a segunda de 2 modos (não podemos usar a
cor empregada na primeira listra), a terceira de 2 modos (não podemos usar a cor empregada na
segunda listra) e a quarta de 2 modos (não podemos usar a cor empregada na terceira listra). A
resposta é 3x2x2x2=24. (A.C.Morgado, J.b.Pitombeira, P.C.P.Carvalho e P.Fernandez, ano, página)
Exemplo 2: Quantos números naturais de três algarismos distintos (na base 10) existem?
Solução: O primeiro algarismo pode ser escolhido de 9 modos (não podemos usar o zero!), o segundo
de 9 modos (não podemos usar o algarismo utilizado anteriormente) e o terceiro de 8 modos (não
podemos usar os dois algarismos já empregados anteriormente). A resposta é 9x9x8=648.
(A.C.Morgado, J.b.Pitombeira, P.C.P.Carvalho e P.Fernandez, ano, página)
Pequenas dificuldades adiadas costumam transformar-se em grandes dificuldades. Se alguma decisão
é mais complicada que as demais, ela deve ser tomada em primeiro lugar. (A.C.Morgado, J.b.Pitombeira,
P.C.P.Carvalho e P.Fernandez, ano, página)
I.
Quantos números naturais de 4 algarismos, que sejam menores que 5000 e divisíveis por 5,
podem ser formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5?
30
Raciocínio Lógico
II.
Rodrigo Dias
As placas dos automóveis são formadas por duas letras (K, Y e W inclusive) seguidas por quatro
algarismos. Quantas placas podem ser formadas?
III.
Quantos são os números naturais pares que se escrevem com três algarismos distintos?
IV.
Quantos são os números naturais de 4 dígitos que possuem pelo menos dois dígitos iguais?
V.
Quantos divisores inteiros e positivos possui o número 360? Quantos divisores são pares?
Quantos são ímpares? Quantos são quadrados perfeitos?
5.2 Fatorial
5.3 Permutações Simples
Dados n objetos distintos a 1 , a 2 ,. . . , a n de quantos modos é possível ordená-los?
Exemplo: De quantos modos podemos ordenar os objetos 1,2,3?
O número de modos de ordenar n objetos distintos é n. ( n−1 ) . ( n−2 )⋅¿⋅1=n!
Cada ordenação dos n objetos é chamada uma permutação simples de n objetos e o número de
permutações simples de n objetos distintos é representado por P n
Exemplo 2. Quantos são os anagramas da palavra PRÁTICO?
Solução: Cada anagrama de PRÁTICO nada mais é que uma ordenação das letras P, R, A. T, I, C, O.
Assim o número de anagramas de PRÁTICO é P 7=7!=5040 .
VI.
Quantos são os anagramas da palavra PRÁTICO que começam e terminam por consoantes?
VII.
Quantos são os anagramas da palavra CAPÍTULO:
a) que começam por consoante e terminam por vogal?
b) que têm as letras C, A, P juntas nessa ordem?
c) que têm as letras C, A, P juntas em qualquer ordem?
d) que têm as vogais e as consoantes intercaladas?
e) que têm a letra C no 1º lugar e a letra A no 2º lugar?
f) que têm a letra C no 1º lugar ou a letra a letra A no 2º lugar?
31
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
5.4 Combinação
De quantos modos podemos escolher 3 alunos distintos entre 5 alunos presentes na sala?
Em caso geral temos:
C n , p=
n!
p ! (n− p )!
VIII.
Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com exatamente 3 homens,
podem ser formadas?
IX.
Com 5 homens e 4 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas, com pelo menos 3 homens,
podem ser formadas?
X.
De quantos modos podemos escolher 6 pessoas, incluindo pelo menos duas mulheres, em um
grupo de 7 homens e 4 mulheres?
XI.
Tem-se 5 pontos sobre uma reta R e 8 pontos sobre uma reta R0 paralela a R. Quantos triângulos
e quantos quadriláteros convexos com vértices nesses pontos existem?
XII.
Para a seleção brasileira foram convocados 2 goleiros, 6 zagueiros, 7 meios de campo e 4
atacantes. De quantos modos é possível escalar a seleção com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios de
campo e 2 atacantes?
5.5 Permutações de elementos repetidos
Quantos anagramas possui a palavra “TÁRTARA”?
32
Raciocínio Lógico
P
n
a , b , . .. , c=
Rodrigo Dias
n!
a ! . b! . .. . c !
Exemplo 1. Quantos são os anagramas da palavra “MATEMÁTICA”?
Solução: Como temos 3 letras A, 2 letras M, 2 letras T, 1 letra C, 1 letra I e 1 letra E, a resposta é
P
XIII.
10
3,2,2,1,1,1 =
10!
=151200
3 ! 2! 2 ! 1! 1! 1!
A figura abaixo representa o mapa de uma cidade, na qual há 7 avenidas na direção norte-sul e 6
avenidas na direção leste-oeste.
a) Quantos são os trajetos de comprimento mínimo ligando o ponto A ao ponto B?
b) Quantos desses trajetos passam por C?
Gabarito (combinatória)
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
X.
XI.
XII.
XIII.
48
6.760.000
328
4464
24, 18, 6 e 4
1440
A) 11520, b) 720, c) 4320, d) 1152, e) 720, f) 9360
60
81
371
220 e 280
6300
462 e 210
33
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
5.6 Questões de concurso
(CESPE/UnB/Agente da Polícia Federal/2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso
de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe
apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de
Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinénia e
capturar o javali de Erimanto.
Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os doze
trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso,
considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis
listas que Hércules poderia preparar, julgue os itens subseqüentes.
43 O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10!.
44 O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira
posição é inferior a 240 x 990 x 56 x 30.
45 O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerenéia” na
primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 x 42 x 20 x 6.
46 O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar
o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! X 8!.
(CESPE/UnB/Agente da Polícia Federal/2009) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11
equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B, e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5
equipes, julgue os itens que se seguem.
47 A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a
400.
(CESPE/UnB/TRE-BA/2009) O jogo de dominó tradicional é jogado com 28 peças, igualmente divididas
entre 4 jogadores sentados face a face em torno de uma mesa retangular. As peças são retangulares e
possuem uma marcação que as dividi em duas metades iguais; em cada metade: ou não há nada
gravado, ou está gravado um determinado número de buracos que representam números. As metades
representam 7 números: 1, 2, 3, 4, 5, 6, e 0, sendo este último representado por uma metade sem
marcação. Cada número ocorre em 7 peças distintas. Em 7 peças, denominadas buchas, o número
aparece nas duas metades. Existe também uma variação de dominó conhecida como double nine, em que
as metades representam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em um total de 55 peças.
A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes.
48 Uma variação de dominó cujas metades representam os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 e
12 terá um total de 82 peças.
49 No dominó tradicional, os 4 jogadores podem se sentar à mesa de 6 maneiras distintas.
50 Considere que cada jogador, na sua vez, retire as 7 peças ao mesmo tempo. Nesse caso, as peças
de um dominó tradicional poderão ser divididas entre os 4 jogadores de 28!/(7!)^4 maneiras distintas.
34
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
51 Entre todas as possíveis divisões das peças de um dominó tradicional entre os 4 jogadores, em mais
de 100 milhões delas algum deles começará o jogo com todas as 7 buchas.
(CESPE/UnB/TRE-BA/2009) Os 100 empregados de uma empresa foram convocados para escolher, entre
5 opções, o novo logotipo da empresa. O empregado poderá escolher, no momento do voto, a cédula I ou
a cédula II. Caso ele escolha a cédula I, deverá listar as 5 opções de logotipo, na ordem de sua
preferência, que serão assim pontuadas: 1ª – 5 pontos; 2ª – 4 pontos; 3ª – 3 pontos; 4ª – 2 pontos; 5ª – 1
ponto. Se escolher a cédula II, deverá indicar 3 das 5 opções, e cada um receberá 3 pontos.
Acerca dessa escolha de logotipo, julgue os itens seguintes.
52 Considerando que não haverá votos brancos ou nulos, o número de votos distintos possíveis para
cada empregado é igual a 130.
53 Se apenas 35 empregados optarem pela cédula II, então qualquer das opções de logotipo receberá
pelo menos 170 pontos.
35
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
Capítulo 6
Probabilidade
“Tal como números perfeitos, homens perfeitos são muito raros” (René Descartes)
6.1 Conceitos básicos

Experimentos aleatórios: são experimentos que repetidas sob as mesmas condições produzem
geralmente resultados diferentes.

Espaço amostral (S): é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento
aleatório.

Eventos: são os subconjuntos de S. Diremos que um evento ocorre quando o resultado da
experiência pertence ao evento.

Uma probabilidade é uma função que associa a cada evento A um número P(A) de forma que:
i) Para todo evento A, 0≤P(a)≤1
ii) P(S) = 1
iii) Se A e B são eventos mutuamente excludente, isto é, evento que não podem ocorrer
simultaneamente ( A∩B=Ø) então P(AUB)=P(A) + P(B).
Exemplo 1. Lança-se uma moeda e observa-se a face que cai voltada para cima. O espaço
amostral é S= {cara, coroa} e há 4 eventos: Ø, A = {cara}, B={coroa}, S. Uma probabilidade que
pode ser definida é:
P(Ø)=0, P(A)=0,5, P(B)=0,5 e P(S)=1.
6.2 Propriedades

Se A e B são eventos, então:
i.
P(Ā) = 1 - P(A);
ii. P(Ø) = 0;
iii. P(A - B) = P(A) - P(A∩B);
iv. P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
6.3 Regra do “ou” e a Regra do “e”
36
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
6.4 Probabilidade condicional

Dados dois eventos A e B, com P(A)≠0, a probabilidade condicional de B na certeza de A é
P( A∩B )
o número P ( B/ A )= P ( A)
.

Na realidade, poucas vezes usaremos a fórmula acima para calcular uma probabilidade
condicional, Usá-la-emos, isto sim, para o cálculo de P(A∩B); P ( A∩B )=P ( A). P ( B/ A) .
I. Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem
reposição, duas bolas dessa urna. Determine a probabilidade de ambas serem brancas.
II. Uma urna contém 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Sacam-se, sucessivamente e sem
reposição, duas bolas dessa urna. Determine a probabilidade da primeira bola ser branca
sabendo que a segunda bola é branca.
III. Escolhe-se uma entre três moedas. Duas dessas moedas são não viciadas e a outra tem
duas caras. A moeda selecionada é lançada e é obtida uma cara. Qual é a probabilidade de
ter sido selecionada a moeda de duas caras?
6.5 Questões de concurso
54. (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar
vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão
estar vivo daqui a 5 anos é de:
a)
b)
c)
d)
e)
2/25
8/25
2/5
3/25
4/5
Extra. Qual a probabilidade de que apenas 1 deles esteja vivo? 44%
55. (ESAF) Em uma sala de aula estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são sorteadas para
construírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo
é:
a)
b)
c)
d)
e)
0,10
0,12
0,15
0,20
0,24
56. (ESAF/Analista – MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A
sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é
feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10%
das vezes, José o faz 5% das vezes e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer
37
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
Carlos pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que
essa sopa tenha sido feita por José é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
0,15
0,25
0,30
0,20
0,40
57. (ESAF/Técnico – MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as
informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7,
que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e
Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela
está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima
corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar em Paris é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
5/7
1/7
2/3
1/3
4/7
58. (ESAF/Analista de Finanças e Controle/2005) Uma grande empresa possui dois departamentos: um de
artigos femininos e outro de artigos masculinos. Para o corrente ano fiscal, o diretor da empresa estima
que as probabilidades de os departamentos de artigos femininos e masculinos obterem uma margem
de lucro de 10% são iguais a 30% e 20%, respectivamente. Além disso, ele estima em 5,1% a
probabilidade de ambos os departamentos obterem uma margem de lucro de 10%. No final do ano
fiscal, o diretor verificou que o departamento de artigos femininos obteve uma margem de lucro de 10%.
Desse modo, a probabilidade de o departamento de artigos masculinos ter atingido a margem de lucro
de 10% é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
17%
20%
25%
24%
30%
59. (ESAF/Gestor Fazendário/GEFAZ/2005) Em uma caixa há oito bolas brancas e duas azuis. Retira-se,
ao acaso, uma bola da caixa. Após, sem haver recolocado a primeira bola na caixa, retira-se, também
ao acaso, uma segunda bola. Verifica-se que essa segunda bola é azul. Dado que essa segunda bola é
azul, a probabilidade de que a primeira bola extraída seja também azul é:
a)
b)
c)
d)
e)
1/3
2/9
1/9
2/10
3/10
38
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
Gabarito
Gabarito
1. c
20.
37. c
2. b
21.
38. certo
3. e
22. (70 E, 71 E, 72 C, 73 E, 74
C)
39. errado
4. a
40. c
5. a
23. (39 E, 40 E, 41 C, 42 E, 43
C, 44 C, 45 C, 46 E)
41. a
6. b
24. e
42. e
7. c
25. c
43. b
8. c
26. d
44. b
9. e
27. c
45. a
10. c
28. d
46. d
11. d
29. d
47. d
12. e
30. b
48.
13. e
31. a
49. errado
14. b
32. a
50. certo
15. e
33. e
51. certo
16. b
34. e
52. certo
17. b
35. a
53. certo
18. b
36. a
19. c
39
Raciocínio Lógico
Rodrigo Dias
Bibliografia
Referências Bibliográficas / Indicações de compra e acesso na internet
[1] MORGADO, A.C., DE CARVALHO, J.B.P., CARVALHO, P.C.P. e FERNANDES, P. (2006). Análise
Combinatória e Probabilidade. Sociedade Brasileira de Matemática.
[2] ROCHA, H. (2007). Raciocínio Lógico 2ª edição – Séries Provas e Concursos. Editora Campus.
[3] FILHO, D.C.M. (2012). Um convite à Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática – SBM.
[4] CARVALHO, S., WEBER, C. (2010). Raciocínio Lógico Simplificado – Vol. I. Editora Campus.
[5] VILLAR, B. (2011). Raciocínio Lógico. Editora Método.
[6] BARROS, D.M. (2010). Lógica para as provas de raciocínio lógico. Editora MB.
[7] PCI concursos – www.pciconcursos.com.br
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