Gleichstrom

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Übungen zu Elektrotechnik I
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1 Gleichstromkreise
1.1 Kirchhoff’sche Gesetze
Die Berechnung von verzweigten Stromkreisen erfolgt im einfachsten Fall durch Anwendung
der beiden Kirchhoff’schen Gesetze. Für die Erläuterung der beiden Gesetze betrachten wir
folgendes beispielhafte Schaltbild.
U1
I1
R1
I2
UB
U2
R2
(1)
I3
R3
I4
R4
Abb. 1.1
1.1.1
1. Kirchhoff´sches Gesetz (Knotenregel)
∑ Ii = 0
(1.1)
Die Summe aller an einem Stromverzweigungspunkt („Knotenpunkt“) zufließenden
und aller wegfließenden Ströme ist gleich Null.
Hierbei werden zur Festlegung einer Bezugsrichtung die zufließenden Ströme mit positivem
Vorzeichen („+“), und die wegfließenden Ströme mit negativem Vorzeichen
(“-“) eingesetzt.
Für den in Abb. 1.1 dargestellten Knoten (1) gilt folgende Gleichung:
Seite 1.1 (von 22)
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I1 − I2 − I3 − I 4 = 0
1.1.2
(1.2)
2. Kirchhoff´sches Gesetz (Maschenregel)
Für dieses Gesetz werden die Maschen eines elektrischen Netzwerkes betrachtet, womit ein
beliebiger, über die Zweige des Netzwerkes geschlossener Weg bezeichnet wird.
∑ Ui = 0
(1.3)
Die Summe aller in einer Masche wirkenden Spannungen ist gleich Null.
Vorgehen bei der Festlegung einer Zählpfeilrichtung:
1. Alle Spannungsquellen der betreffenden Masche erhalten einen vom positiven Anschluss
(+) zum negativen Anschluss (-) weisenden Spannungszählpfeil.
2. Die Ströme in den einzelnen Zweigen der Masche erhalten willkürlich gewählte Zählpfeile.
3. Alle passiven Verbraucher erhalten Spannungszählpfeile in der selben Richtung wie der
durch den betreffenden Verbraucher fließende Strom („Verbraucher-Zählpfeilsystem“).
4. Es wird ein beliebiger Umlaufsinn als positive Umlaufrichtung festgelegt.
5. Gemäß obiger Maschenregel wird nun die Summe aller Spannungen dieser Masche
gebildet, wobei alle Spannungen in Richtung der gewählten Umlaufrichtung positiv, und
alle entgegengesetzt gerichteten Spannungen negativ einzusetzen sind.
Für die in Abb. 1.1 strichliert eingezeichnete Masche gilt folgende Gleichung:
− UB + U 2 + U1 = 0
(1.4)
Wenn sich aufgrund der rechnerischen Auswertung der Kirchhoff´schen Gesetze eines
Netzwerkes negative Werte für Ströme oder Spannungen ergeben, bedeutet dies nicht
zwangsläufig einen Rechenfehler, sondern lediglich, dass die betreffende Zählpfeilrichtung
eben in „falscher“ Richtung angenommen wurde, und daher die tatsächliche Richtung
entgegen der angenommenen ist.
1.2 Ohm’sches Gesetz
I=
U
R
(1.5)
Der durch einen Verbraucherwiderstand R fließende Strom I ist umso größer, je
größer die treibende Spannung U und je kleiner der - den Stromfluss bremsende Widerstand R eines Verbrauchers ist.
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1.3 Serienschaltung von Widerständen
I
UB
R1
R2
R3
U1
U2
U3
Abb. 1.2
Ausgehend von Gleichung (1.3) folgt als Maschengleichung für Abb.1.2:
− UB + U 2 + U1 + U 3 = 0
(1.6)
UB = (I ⋅ R 1 ) + (I ⋅ R 2 ) + (I ⋅ R 3 )
(1.7)
Mit UB = I ⋅ R Ges folgt:
I ⋅ R Ges = (I ⋅ R 1 ) + (I ⋅ R 2 ) + (I ⋅ R 3 )
Die Division durch I liefert den Gesamtwiderstand der Serienschaltung:
R Ges = R1 + R 2 + R 3
(1.8)
Spannungsteiler - Regel
Es ist offensichtlich, dass bei einer Serienschaltung von Elementen durch jedes Element
derselbe Strom I fließt.
I = IR1 = IR 2 = IR 3
Daraus folgt unmittelbar
„Spannungsteiler-Regel“:
(1.9)
die
Aufteilung
der
Gesamtspannung
Seite 1.3 (von 22)
gemäß
folgender
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U
UB
U
U
= 1 = 2 = 3
R ges R 1 R 2 R 3
(1.10)
„Gesamtspannung durch Gesamtwiderstand ist gleich der Teilspannung durch den
Teilwiderstand“.
Daraus erhält man z.B. für die Teilspannung U 2 :
U2 =
•
R2
⋅ UB
R Ges
(1.11)
Unbelasteter Spannungsteiler:
Die Abb. 1.3 zeigt nochmals das Schaltbild eines unbelasteten Spannungsteilers und die
zugehörige Formel zur Berechnung der Ausgangsspannung U2 des Spannungsteilers (z.B.
die Teilspannung am Widerstand R2).
R1
U1
R2
U2
Abb. 1.3
U2 =
•
R2
R2
⋅ UB =
⋅ UB
R ges
R1 + R 2
(1.12)
Belasteter Spannungsteiler:
In Abb. 1.4 ist an den Anschlüssen der Ausgangsspannung U2 eine Last (in diesem Beispiel
ein Ohm’scher Widerstand R3) angeschlossen. Nun gilt nicht mehr die oben angeführte,
einfache Formel des unbelasteten Spannungsteilers, vielmehr muss auch der
Ausgangsstrom I2 durch den Widerstand R3 berücksichtigt werden.
In dem in Abb. 1.4 gezeigten Beispiel ist folglich für die Teilspannung U2 der Teilwiderstand
R23 bestehend aus der Parallelschaltung von R2 und R3 zu berücksichtigen, wodurch sich die
Gleichung (1.13) ergibt.
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R1
I2
R2
U1
R3
U2
Abb. 1.4
U2 =
R 23
R ges
R2 ⋅ R3
R 23
R2 + R3
⋅ UB =
⋅ UB =
⋅ UB
R2 ⋅ R3
R 23 + R 1
+ R1
R2 + R3
(1.13)
1.4 Parallelschaltung von Widerständen
Iges
Iges
UB
I1
U1
I2
U2
R1
I3
UB
U3
R2
R3
Abb. 1.5
I1
U1
I2
U2
R1
I3
U3
R2
R3
Abb. 1.6
Die Schaltung in Abb. 1.6 ist identisch zur Schaltung in Abb. 1.5, lediglich mit einer
veränderten Zeichnungsweise für die Knoten, um die später angeführte Knoten-gleichung
klar zu erkennen.
Ausgangspunkt sind die drei Maschengleichungen:
UB - U1 = 0 à UB = U1
UB - U2 = 0 à UB = U2
UB - U3 = 0 à UB = U3
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Seite 1.5 (von 22)
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Mit dem Ohmschen Gesetz folgt:
U1 = I1 ⋅ R 1
UB
R1
U
I2 = B
R2
U
I3 = B
R3
U
IGes = B
R Ges
I1 =
U 2 = I2 ⋅ R 2
U3 = I3 ⋅ R 3
UB = IGes ⋅ R Ges
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
Durch Einsetzen in die Knotengleichung
IGes = I1 + I2 + I3
(1.21)
folgt:
UB
U
U
U
= B + B + B
R Ges R 1 R 2 R 3
(1.22)
è Gesamtwiderstand der Parallelschaltung:
R Ges =
1
R Ges
=
1
1
1
+
+
R1 R 2 R 3
1
1
1
1
+
+
R1 R 2 R 3
(1.23)
Vereinfachung für zwei parallele Widerstände:
R Ges =
R1 ⋅ R 2
R1 + R 2
(1.24)
Daraus ergibt sich bei Parallelschaltung von Widerständen ein Gesamtwiderstand
RGes, welcher kleiner ist als der kleinste der parallel geschaltenen Einzelwiderstände.
Beispiel:
Parallelschaltung von zwei gleichen Widerständen (R1 = R2 = R)
R
RGes =
2
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Stromteiler - Regel
Aus Abb. 1.5 ist ersichtlich, dass bei einer Parallelschaltung von Elementen an jedem
Element dieselbe Spannung U anliegt.
UB = UR1 = UR 2 = UR3
(1.25)
Daraus folgt unmittelbar die Aufteilung des Gesamtstromes gemäß folgender „StromteilerRegel“:
IGes ⋅ R Ges = I1 ⋅ R 1 = I2 ⋅ R 2 = I3 ⋅ R 3
(1.26)
„Gesamtstrom mal Gesamtwiderstand ist gleich dem Teilstrom mal Teilwiderstand“.
Daraus erhält man z.B. für den Teilstrom I2:
I2 =
R ges
R2
⋅ Iges
(1.27)
Rechnung mit Leitwerten
Der Leitwert G eines ohmschen Elements ist der Kehrwert des Widerstandes R:
G=
1 I
=
R U
... Einheit: Siemens [S] = [Ω-1]
(1.28)
Je kleiner der Widerstand ist, desto größer ist dessen Leitwert, bzw. Strom-Leitfähigkeit und
der Strom durch diesen Widerstand (bei gegebener Spannung).
è Gesamtleitwert der Parallelschaltung:
G Ges = G1 + G 2 + G 3 =
1
(1.29)
R Ges
Bei Parallelschaltung von Widerständen addieren sich die Leitwerte.
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1.5 Spannungsquellen
Eine ideale Spannungsquelle stellt eine konstante, vom fließenden Laststrom unabhängige
Spannung Uq zur Verfügung.
Ri
I
k
URi
Uq
l
Ukl
RL
Abb. 1.8
Jede reale Spannungsquelle (z.B. Batterie) weist jedoch durch ihren nicht idealen inneren
Aufbau einen Innenwiderstand Ri auf, welcher als Serienwiderstand dargestellt wird (siehe
Abb. 1.8). Die von der Spannungsquelle an ihren Anschlüssen („Klemmen“) dem
Lastwiderstand RL (z.B. Glühbirne) zur Verfügung gestellte „Klemmenspannung“ Ukl ist also
um den Spannungsabfall URi, welcher durch den Strom I an Ri hervorgerufen wird, kleiner
als die nominelle „Quellenspannung“ Uq der Spannungsquelle.
Ukl = U q − URi
(1.30)
Die Größe dieser - die abgegebene Klemmenspannung Ukl vermindernden - Spannung URi
ist über das ohmsche Gesetz
UR i = I ⋅ R i
(1.31)
direkt proportional zum fließenden Laststrom I.
Ukl = Uq − I ⋅ R i
(1.32)
Je größer der vom Verbraucher RL aufgenommene Strom I ist, desto kleiner wird die von der
Spannungsquelle abgegebene Klemmenspannung Ukl an ihren äußeren Klemmen k und l
(„die Spannung geht bei Belastung in die Knie“).
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1.6 Schaltvorgänge
1.6.1
Allgemeines
Schaltvorgänge sind Einschwingvorgänge beim Ein- oder Ausschalten von Verbrauchern an
einer Gleichspannungsquelle. Es muss hier mit - zeitabhängigen - Differenzialgleichungen
gerechnet werden, da die komplexe Wechselstromrechnung nur für sinusförmige Vorgänge
angewendet werden kann (siehe Kap. 2.1).
Die Anzahl der unabhängigen Speicherelemente (L, C) in der Schaltung entspricht der
Ordnung der entstehenden Differenzialgleichung - in unseren Fällen handelt es sich um ein
Element (L oder C), so dass sich Differenzialgleichungen 1. Ordnung ergeben.
Regeln für das Aufstellen der Differenzialgleichungen
Bei Schaltvorgängen an Induktivitäten wird die Differenzialgleichung für den Strom i(t) durch
die Schaltung aufgestellt, da bei Induktivitäten der Strom i(t) keine Unstetigkeiten aufweist
(siehe Abb. 1.12 zum Umschaltzeitpunkt t1). Dadurch ergeben sich definierte
Randbedingungen (Anfangs- und Endbedingungen) zur Lösung der Differenzialgleichung
(siehe Kap. 1.6.2).
Bei Schaltvorgängen an Kapazitäten wird die Differenzialgleichung für die Spannung uC(t) an
der Kapazität aufgestellt, da bei Kapazitäten die Spannung uC(t) keine Unstetigkeiten
aufweist (siehe Abb. 1.16 zum Umschaltzeitpunkt t1). Dadurch ergeben sich definierte
Randbedingungen (Anfangs- und Endbedingungen) zur Lösung der Differenzialgleichung
(siehe Kap.).
Die nachfolgend beschriebenen Schaltvorgänge stellen den allgemeinen Fall von
unterschiedlichen Widerständen (R1, R2) und somit unterschiedlichen Zeitkonstanten (τ1, τ2)
im Lade- und im Entladekreis dar.
Vorbemerkungen:
Der Zählpfeil für i(t) wurde für das Laden (siehe Abb. 1.10, bzw. Abb. 1.14) und für das
Entladen (siehe Abb. 1.11, bzw. Abb. 1.15) jeweils in der selben Richtung durch L, bzw. C
gewählt, so dass ein unmittelbarer Vergleich der Stromrichtung durch L, bzw. C vor und
nach dem Umschalten (Zeitpunkt t1) in der Darstellung des zeitlichen Verlaufs von i(t), bzw.
uC(t) in der Übersicht der Abb. 1.12 und Abb. 1.16 möglich ist.
Der Zählpfeil für uR2(t) im Entladekreis von L, bzw. C (siehe Abb. 1.11 und Abb.1.15) wurde
so gewählt, dass er in die selbe Richtung wie der durch R2 fließende Strom i(t) während des
Entladens zeigt (übliches Zählpfeilsystem für Verbraucher: gleiche Richtung von
Spannungszählpfeil und Stromzählpfeil).
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1.6.2
Schaltvorgänge an einer Induktivität („Spule“)
+
R1
1
uR1(t)
R2
0 2
S
UE
L
_
i(t)
uR2(t)
uL(t)
Abb. 1.9
+
R1
R2
i(t)
uR1(t)
UE
uL(t)
L
_
L
uR2(t)
uL(t)
i(t)
Abb. 1.10
Abb. 1.11
In Abb. 1.9 ist der komplette Schaltkreis für das Laden und Entladen der Induktivität L
gezeigt.
Der Schalter S wird zu Beginn des Ladens (Zeitpunkt t0) von der Ausgangsposition „0“ in
Position „1“ bewegt, wodurch sich der in Abb. 1.10 dargestellte Schaltkreis ergibt.
Bei Beginn des Entladens (Zeitpunkt t1) wird der Schalter S von Position „1“ unmittelbar in
Position „2“ bewegt, womit sich der Stromkreis gemäß Abb. 1.11 ergibt.
Einschalten einer Induktivität (Aufladen)
• Die Maschengleichung lautet:
uL ( t ) + u R1 ( t ) = UE
(1.33)
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mit dem Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an der Induktivität
uL ( t ) = L ⋅
di( t )
dt
(1.34)
und am Ohm’schen Widerstand
u R1 ( t ) = R 1 ⋅ i( t )
(1.35)
• Daraus ergibt sich für i(t) eine inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung:
L⋅
di( t )
+ R1 ⋅ i( t ) = UE
dt
(1.36)
mit der Randbedingung:
i( t = ∞ ) = I∞ =
U∞ UE
=
R1 R1
(1.37)
• Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ergibt:
U
i( t ) = E
R1
t

− 
τ1 

⋅ 1− e




(1.38)
wobei die Zeitkonstante mit
τ1 :=
L
R1
(1.39)
errechnet wird.
• Bestimmung der Spannung uL(t) an der Induktivität
U
di( t )
uL ( t ) = L ⋅
=L⋅ E
dt
R1
u L ( t ) = UE ⋅ e
−
t
t
−
  1  −
U R
⋅  −  −   ⋅ e τ1 = L ⋅ E ⋅ 1 ⋅ e τ1


R1 L
  τ1  
t
τ1
(1.40)
• Bestimmung der Spannung uR1(t) am Widerstand R1:
Seite 1.11 (von 22)
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t

− 
τ1 

uR1 ( t ) = R1 ⋅ i( t ) = UE ⋅ 1 − e




(1.41)
Probe: uL ( t ) + uR1 ( t ) = UE , bzw. uR1 ( t ) = UE − uL ( t )
... die Summe der Spannungen uR1(t) und uL(t) ergibt UE (konstant).
Ausschalten einer Induktivität (Entladen)
• Die Maschengleichung lautet:
uL ( t ) + uR 2 ( t ) = 0
(1.42)
mit Gleichung (1.34) sowie
u R 2 ( t ) = R 2 ⋅ i( t )
(1.43)
• Daraus ergibt sich für i(t) eine homogene Differenzialgleichung 1. Ordnung:
L⋅
di( t )
+ R 2 ⋅ i( t ) = 0
dt
(1.44)
Randbedingung: i( t = t 1 ) = I1 aktueller Strom durch L beim Beginn des Entladens.
• Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ergibt:
i( t ) = I1 ⋅ e
−
t
τ2
(1.45)
wobei die Zeitkonstante
τ 2 :=
L
R2
(1.46)
beträgt.
• Bestimmung der Spannung uL(t) an der Induktivität:
t
t
−
 1 −
R
di( t )
uL ( t ) = L ⋅
= L ⋅ I1 ⋅  −  ⋅ e τ2 = −L ⋅ I1 ⋅ 2 ⋅ e τ2
dt
L
 τ2 
uL ( t ) = − I1 ⋅ R 2 ⋅ e
−
t
τ2
= U1,n ⋅ e
−
t
τ2
(1.47)
Seite 1.12 (von 22)
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(Index: U1,n ... U1 unmittelbar nach dem Umschalten)
• Bestimmung der Spannung uR2(t) am Widerstand R2:
uR2 ( t ) = R 2 ⋅ i( t ) = I1 ⋅ R 2 ⋅ e
−
t
τ2
(1.48)
Probe: uL ( t ) + uR 2 ( t ) = 0 , bzw. uR 2 ( t ) = −uL ( t )
... die Summe der Spannungen uR2(t) und uL(t) ergibt Null.
uL(t), uR1(t), uR2(t)
Einschalten
Ausschalten
uR1(t)
UE
uR2(t)
U1,v
t1
t
τ1
τ2
uL(t)
U1,n=
= - (I1 x R2)
i(t)
UE/R1
i(t)
I1
t
τ1
t1
τ2
Abb. 1.12
Seite 1.13 (von 22)
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Prinzipiell sei darauf hingewiesen, dass auf Grund unterschiedlicher Widerstände im
Ladekreis (R1) und im Entladekreis (R2) die Lade-Zeitkonstante (τ1) im allgemeinen Fall
ungleich zu jener während des Entladens (τ2) ist.
Verlauf von uL(t):
Bei Induktivitäten zeigt der Verlauf von uL(t) beim Umschalten vom Aufladen zum Entladen
(= Zeitpunkt t1) eine Unstetigkeit. Die Spannung springt von dem unmittelbar vor dem
Umschalten vorhandenen Wert U1,v auf den negativen Wert U1,n unmittelbar nach dem
Umschalten.
Indizes 1,v, bzw. 1,n bedeuten: U1 unmittelbar vor, bzw. nach dem Umschalten.
Die Spannung uL(t) an der Induktivität startet also beim Beginn des Entladens von einem
negativen Startwert U1,n , welcher durch den Wert des zum Umschaltzeitpunkt fließenden
Stromes I1 und durch den im Entladekreis vorliegenden Widerstand R2 bestimmt wird (siehe
Gleichung 1.47).
Vorsicht beim Entladen mit offenem Entladekreis (R2 = ∞):
Das Entladen von Induktivitäten muss über einen Widerstand R2 < ∞ erfolgen, der die
Spannung uL(t) auf einen tolerierbaren Wert begrenzt. Beim Abschalten eines induktiven
Verbrauchers mit offenen Klemmen ohne parallelem R2 (R2 = ∞) entsteht kurzzeitig eine
unendlich hohe Spannung an der Induktivität ( u L ( t ) = −I ⋅ ∞ nach Gleichung (1.47)), welche
als Überschlag sichtbar sein und zur Beschädigung des Verbrauchers und der Schaltorgane
führen kann.
Erkennbar ist dies z.B. im Haushalt beim Ausschalten induktiver Verbraucher (Heizlüfter, ...)
durch kurzzeitige Funken am Schalter.
Ebenso kann durch Spannungsmessung an induktiven Verbrauchern mit digitalen
Messgeräten beim Ausschalten der induktiven Verbraucher ein Schaden des Messgerätes
oder ein Auslösen der internen Sicherung durch die kurzzeitig hohe Ausschaltspannung
verursacht werden.
Verlauf von uR1(t), uR2(t):
Die Spannung uR1(t) ist ja nur während des Ladens vorhanden, die Spannung uR2(t) nur
während des Entladens. Es muss jeweils immer die Bedingung der Maschengleichung erfüllt
sein, dass die Summe aus uL(t) und uR1(t) den konstanten Wert UE, bzw. die Summe aus
uL(t) und uR2(t) den Wert Null ergibt.
Verlauf von i(t):
Der Strom i(t) verläuft während des gesamten Umschaltvorganges stetig ohne Sprungstelle.
Darin zeigt sich die Begründung für die oben empfohlene Vorgangsweise, bei
Schaltvorgängen an Induktivitäten die Differenzialgleichung für i(t) zu lösen.
Seite 1.14 (von 22)
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1.6.3
Schaltvorgänge an einer Kapazität („Kondensator“)
R1
+
1
R2
0 2
S
uR1(t)
C
UE
_
uR2(t)
uC(t)
i(t)
Abb. 1.13
+
R2
R1
i(t)
uR1(t)
uC(t)
UE
_
C
C
uR2(t)
uC(t)
i(t)
Abb. 1.14
Abb. 1.15
In Abb. 1.13 ist der komplette Schaltkreis für das Laden und Entladen der Induktivität L
gezeigt.
Der Schalter S wird zu Beginn des Ladens (Zeitpunkt t0) von der Ausgangsposition „0“ in
Position „1“ bewegt, wodurch sich der in Abb. 1.14 dargestellte Schaltkreis ergibt.
Bei Beginn des Entladens (Zeitpunkt t1) wird der Schalter S von Position „1“ unmittelbar in
Position „2“ bewegt, womit sich der Stromkreis gemäß Abb. 1.15 ergibt.
Einschalten einer Kapazität (Aufladen)
• Die Maschengleichung lautet:
u C ( t ) + uR1 ( t ) = UE
(1.49)
mit dem Zusammenhang zwischen Strom und Spannung an der Kapazität
Seite 1.15 (von 22)
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i( t ) = C ⋅
du C ( t )
dt
(1.50)
und am Ohm’schen Widerstand
uR1 ( t ) = R1 ⋅ i( t ) = R1 ⋅ C ⋅
du C ( t )
dt
(1.51)
• Daraus ergibt sich für uC(t) eine inhomogene Differenzialgleichung 1. Ordnung:
u C ( t ) + R1 ⋅ C ⋅
du C ( t )
= UE
dt
(1.52)
mit der Randbedingung: u C ( t = 0 ) = 0
• Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ergibt
t

− 
τ1 

u C ( t ) = UE ⋅ 1 − e




(1.53)
wobei die Zeitkonstante mit
τ1 := R 1 ⋅ C
(1.54)
• Bestimmung des Stromes i(t):
du ( t )
i( t ) = C ⋅ C
= C ⋅ UE
dt
t
  1  −
⋅  −  −   ⋅ e τ1 = C ⋅ UE
  τ1  
t
 1  − τ1
 ⋅ e
⋅ 
⋅
R
C
 1

t
−
U
i( t ) = E ⋅ e τ1
R1
(1.55)
• Bestimmung der Spannung uR1(t) am Widerstand R1:
uR1 ( t ) = R1 ⋅ i( t ) = UE ⋅ e
−
t
τ1
Probe: u C ( t ) + uR1 ( t ) = UE , bzw.
(1.56)
uR1( t ) = UE − uC ( t )
... die Summe der Spannungen uR1(t) und uC(t) ergibt UE (konstant).
Seite 1.16 (von 22)
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Ausschalten einer Kapazität (Entladen)
• Die Maschengleichung lautet:
u C ( t ) + uR 2 ( t ) = 0
(1.57)
mit Gleichung (1.50) und
uR2 ( t ) = R 2 ⋅ i( t ) = R 2 ⋅ C ⋅
du C ( t )
dt
(1.58)
• Daraus ergibt sich für uC(t) eine homogene Differenzialgleichung 1. Ordnung:
uC (t ) + R 2 ⋅ C ⋅
du C ( t )
=0
dt
(1.59)
Randbedingung.: u C ( t = t 1 ) = U1 aktuelle Spannung an C bei Beginn des Entladens
• Die allgemeine Lösung dieser Differenzialgleichung ergibt:
u C ( t ) = U1 ⋅ e
−
t
τ2
(1.60)
wobei die Zeitkonstante
τ2 = C ⋅ R2
(1.61)
beträgt.
• Bestimmung des Stromes i(t):
t
t
 1 −

du ( t )
1  − τ2
 ⋅ e
i( t ) = C ⋅ C = C ⋅ U1 ⋅  −  ⋅ e τ2 = C ⋅ U1 ⋅  −
dt
 τ2 
 R2 × C 
t
t
−
−
U
i( t ) = − 1 ⋅ e τ2 = I1,n ⋅ e τ2
R2
(1.62)
(Index: I1,n ... I1 unmittelbar nach dem Umschalten)
• Bestimmung der Spannung uR2(t) am Widerstand R2:
uR2 ( t ) = R 2 ⋅ i( t ) = − U0,1 ⋅ e
Probe: uR2 ( t ) + u C ( t ) = 0
−
t
τ2
(1.63)
uR2 ( t ) = −u C ( t )
... die Summe der Spannungen uR2(t) und uC(t) ergibt Null.
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uC(t), uR1(t), uR2(t)
Einschalten
Ausschalten
UE
U1
uR1(t)
uC(t)
t
t1
τ1
τ2
i(t)
UE/R1=
uR2(t)
=I0
i(t)
t1
I1,v
τ1
I1,n =
t
τ2
= - U1/R2
Abb. 1.16
Prinzipiell sei darauf hingewiesen, dass aufgrund unterschiedlicher Widerstände im
Ladekreis (R1) und im Entladekreis (R2) die Lade-Zeitkonstante (τ1) im allgemeinen Fall
ungleich zu jener während des Entladens (τ2) ist.
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Verlauf von i(t):
Bei Kapazitäten zeigt der Verlauf von i(t) beim Umschalten vom Aufladen zum Entladen (=
Zeitpunkt t1) eine Unstetigkeit. Der Strom springt von dem unmittelbar vor dem Umschalten
vorhandenen Wert I1,v auf den negativen Wert I1,n unmittelbar nach dem Umschalten.
Indizes 1,v, bzw. 1,n bedeuten: I1 unmittelbar vor, bzw. nach dem Umschalten.
Der Strom i(t) im Entladekreis startet also beim Beginn des Entladens mit einem negativen
Startwert I1,n , welcher durch den Wert der zum Umschaltzeitpunkt an der Kapazität
anliegenden Spannung U1 und durch den im Entladekreis vorliegenden Widerstand R2
bestimmt wird (siehe Gleichung 1.62).
Vorsicht beim Entladen mit kurzgeschlossenem Entladekreis (R2 = 0):
Das Entladen von Kapazitäten muss unbedingt über einen Widerstand R2 > 0 erfolgen, der
den Strom i(t) auf einen tolerierbaren Wert begrenzt. Beim Entladen eines Kondensators
über einen Kurzschluss (R2 =0) würde kurzzeitig ein unendlich hoher Strom im Entladekreis
entstehen ( i(t)= -U1/0, siehe Gleichung (1.56)), welcher zu Beschädigungen führen kann.
Vorsicht beim Berühren von kapazitiven Verbrauchern kurz nach dem Abschalten:
Weiters erkennt man, dass das Absinken der Spannung uC(t) am Kondensator bei einer
großen Zeitkonstante (abhängig von τ2 = C R2) entsprechend langsam - der e-Funktion
folgend - abläuft. Es kann also durchaus der Fall sein, dass ein Kondensator, der z.B. auf
eine Spannung von 230 V aufgeladen wurde, nach Abschalten der Versorgungsspannung
noch für einige Zeit (τ2 - abhängig) eine gefährlich hohe Spannung aufweist.
Nach Abschalten der Versorgungsspannung ist vor Berühren von Schaltungen, bzw.
Verbrauchern mit kapazitiven Elementen eine entsprechende Entladezeit abzuwarten, bzw.
ist eine Entlade-Einrichtung vorzusehen!
Verlauf von uC(t):
Die Spannung uC(t) verläuft während des gesamten Umschaltvorganges stetig ohne
Sprungstellen. Darin zeigt sich die Begründung für die oben empfohlene Vorgangsweise, bei
Schaltvorgängen an Kapazitäten die Differenzialgleichung für uC(t) zu lösen.
Verlauf von uR1(t), uR2(t):
Die Spannung uR1(t) ist ja nur während des Ladens vorhanden, die Spannung uR2(t) nur
während des Entladens. Es muss jeweils immer die Bedingung der Maschengleichung erfüllt
sein, dass die Summe aus uC(t) und uR1(t) den konstanten Wert UE, bzw. die Summe aus
uC(t) und uR2(t) Null ergibt.
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1.6.4
Allgemeine Erklärungen
Das Einschalten, bzw. das Ausschalten einer Gleichspannung entspricht unmittelbar nach
dem Schaltbeginn einer sehr steilen, hochfrequenten (da rechteckförmigen)
Spannungsänderung (f -> ∞). Diese Frequenz- Wirkung ist bei Überlegungen zum
frequenzabhängigen Impedanzverhalten von L und C zu berücksichtigen.
Induktivität L
Die Impedanz einer Induktivität L ist proportional zur Frequenz f,
siehe komplexe Impedanz (bei Sinus-Spannung) Z L = j ⋅ ω ⋅ L = j ⋅ 2π ⋅ f ⋅ L
Dadurch wirkt L für den ersten - hochfrequenten - Schaltaugenblick als unendlich hohe
Impedanz, womit kein Strom fließt und die gesamte Spannung UE an L abfällt.
i(t=0) = 0
uL(t=0) = UE
uR(t=0) = 0
Mit zunehmender Zeitdauer verliert der Rechtecksprung immer mehr an Frequenz-Wirkung,
d.h. die Impedanzwirkung von L wird immer geringer, und für t = ∞ wirkt UE nur noch als
Gleichspannung (f=0), bei der die Impedanz von L gleich Null ist und die gesamte Spannung
UE an R1 abfällt, bzw. der Strom nur durch R1 begrenzt wird.
uL(t=∞) = 0
uR(t=∞) = UE
UE
R1
Die Zeitverläufe zwischen t=0 und t=∞ folgen einer e-Funktion gemäß der Lösung der
Differenzialgleichung.
i( t = ∞ ) =
Kapazität C
Die Impedanz einer Kapazität C ist umgekehrt proportional zur Frequenz f .
1
1
=
siehe komplexe Impedanz (bei Sinus-Spannung) Z C =
j ⋅ ω ⋅ C j ⋅ 2π ⋅ f ⋅ C
Dadurch wirkt C für den ersten - hochfrequenten - Schaltaugenblick als unendlich kleine
Impedanz, d.h. die Spannung UE fällt zur Gänze an R1 ab, bzw. der Strom wird nur noch
durch R1 begrenzt.
u C ( t = 0) = 0
uR ( t = 0) = UE
U
i( t = 0) = E
R1
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Mit zunehmender Zeitdauer verliert der Rechtecksprung immer mehr an Frequenz-Wirkung,
d.h. die Impedanzwirkung von C wird immer größer, und für t=∞ wirkt UE nur noch als
Gleichspannung (f=0), bei der die Impedanz von C unendlich hoch ist, wodurch kein Strom
fließt und die gesamte Spannung UE an C abfällt:
u C ( t = ∞ ) = UE
uR ( t = ∞) = 0
i( t = ∞ ) = 0
Die Zeitverläufe zwischen t=0 und t=∞ folgen einer e-Funktion gemäß der Lösung der
Differenzialgleichung.
Zeitkonstante
Die Zeitkonstante τ stellt eine Verkürzung der mathematischen Schreibweise dar, indem der
Nenner des e-Exponenten mit τ abgekürzt wird. Daraus ergeben sich die verschiedenen
Definitionen für τ bei Schaltvorgänge an L und an C.
Durch diese Definition erkennt man, dass τ die Zeitdauer angibt, nach welcher der
Zeitverlauf auf den e-ten Teil (= 36.8 %) des Startwertes abgesunken ist (bei fallender eFunktion), bzw. auf den e-ten Teil (63.2 %) des Endwertes angestiegen ist (bei steigender
e-Funktion).
Bei steigender e-Funktion:
1− e
−
t=τ
τ
= 1 − e −1 = 0.632 = 63.2 %
(1.64)
Bei fallender e-Funktion:
e
−
t =τ
τ
= e −1 = 0.368 = 36.8 %
(1.65)
Die Zeitkonstante τ kann auf folgende Weise graphisch ermittelt werden:
1. Tangente an den Zeitverlauf im Startzeitpunkt legen.
2. Den Schnittpunkt der Tangente mit dem Endwert bilden.
3. Dieser Schnittpunkt ergibt auf der Zeitachse die Zeitdauer τ.
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1.6.5
Mess - Schaltung
In Abb. 1.17 ist beispielsweise die Mess- Schaltung zur Darstellung des zeitlichen Verlaufs
der Kondensatorspannung uc(t) auf einem Oszilloskop gezeigt.
Ein Funktionsgenerator erzeugt einen rechteckförmigen Spannungsverlauf, welcher die
Serienschaltung aus R und C speist. Die Rechteckflanken entsprechen dabei dem
Einschalten einer Gleichspannung (bei der positiven Flanke) bzw. dem Ausschalten einer
Gleichspannung (bei der negativen Flanke). Dadurch erspart man sich den Aufwand eines
mechanischen Schalters, welcher in den vorangegangenen Abbildungen für das Ein- und
Ausschalten verwendet wurde, und der Verlauf der Ein- und Ausschaltvorgänge kann als
periodisches Signal dargestellt und die Zeitkonstante τ gemessen werden (siehe für die
Messpraxis mit Oszilloskope – Erdungsproblematik Kap. 4.4).
R
Koaxial-Kabel
FG
C
Ch1
uC(t)
Oszilloskop
FG ... Funktionsgenerator (Rechtecksignal)
Abb. 1.17
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