Numerische Modelle zur Berechnung der

Hahn-Meitner-Institut
Berlin GmbH
Numerische Modelle
zur Berechnung
der Schadstoffausbreitung
in der Atmosphäre
Silke Marie Leder
Angelika Biesemann-Krüger
Silk«-Karl« Lader u. Angelika Biesemann-Kruger
NUMERISCHE MOOEJXE ZUR BERECHNUNG DER SCHADSTOFFACSBREITUNG
IN OCR ATMOSPHÄRE
Silke-Mario Leder u. Angelika Bieseaann-Kruger
Bahn-Heltner-Xnstitut für Kernforschung Berlin GmbH
Berijcht Hr. HMI-B432, April. 1995
Bahn-Meltner-Institut für Kernforschung Berlin GmbH
Bericht Nr. BHI-9 4 3 2 , April 1985
Der Vorliegende Bericht beschreibt verschiedene Modelle,
d i e rur Berechnung von Konzentrationsverteilungen emit­
t i e r t e r S t o f f e i n der unteren Atmosphäre herangezogen
werden. Ein an der U n i v e r s i t ä t Hamburg e n t w i c k e l t e s i n s t a t i o n l r e * Auabreitungiaodell wird gtnauer untersucht
und numerisch nach zwei Methoden behandelt. Darüber
hinaus werden KonvergenzUntersuchungen für d i e verwen­
deten Differenzenverfahren durchgeführt und d i e Ergeb­
n i s s e von Vergleichsrechnungen zu einigen im KernforschungszentruB Karlsruhe durchgeführten Ausbreitungsexperlmanten d a r g e s t e l l t .
Der vorliegende Bericht beschreibt verschiedene Modelle,
d i e zur Berechnung von Konzentratlonsvertellungan emit­
t i e r t e r S t o f f e i n der unteren Atmosphäre herangezogen
werden. Ein an der U n i v e r s i t ä t Usaburg entwickeltes Ifis t a t i o n S r e s Ausbreitungsmodell wird genauer untersucht
und numerisch nach zwei Methoden behandelt. Darüber
hinaus werden Konvergenzuntersuchungen fur dl« verwen­
deten Differenzenverfahren durchgeführt und dl« Brgebn i s s e von Vergleichsrechnungen zu e i n i g e n 1* Kernforschungszentrum Karlsruhe durchgeführten Ausbreitung seitperlmenten d a r g e s t e l l t .
Silke-Marie Leder u. Angelika Bieseaann-Kruger
Silke-Marie Leder u. Angelika Bieseaann-Kruger
NUMERICAL MODELS FOR THE COMPUTATION OP POLLUTANT-DISPERS ION
IN TUE ATMOSPHERE
NUMERICAL MODELS FOR THE COMPUTATION OF POLLUTANT-DISFERSXON
IN THE ATMOSPHERE
l U h n - K e i t n e r - I n s t i t u t für Kernforschung B e r l i n GmbH
Report He. HHI-B4 3 2 , April 1985
Hahn-Meitner-lnstitut für Kernforschung Berlin GmbH
Report No. HMI-B 4 3 2 , April 19Q5
The report d e s c r i b e s some Models which are used t o compute
the concentration of emitted p o l l u t a n t s in the lower atmos­
phere. A d i s p e r s i o n model, developed at the University of
Hamburg, i s considered in more d e t a i l and t r e a t e d with two
d i f f e r e n t numerical methods. The convergence of the methods
i s i n v e s t i g a t e d and a comparison of numerical r e s u l t s and
d i s p e r s i o n experiments carried out at the nuclear research
c e n t e r Karlsruhe i s given.
The report describes name models which are used t o compute
the concentration of emitted p o l l u t a n t s in the lower AUsoapnere. A dispersion model« developed e t the University c f
Hamburg, i s considered in more d e t a i l and t r e a t e d with two
d i f f e r e n t numerical methods. The convergence of the matftoda
i s i n v e s t i g a t e d and a comparison of numerical r e s u l t « and
d i s p e r s i o n experiments carried out a t the nuclear » M a r c h
c e n t e r Karlsruhe i s g i v e n .
NUMERISCHE MODELLE ZUR BERECHNUNG DER SCHAÜSTQrTAUSbRflllJUÜ
IN DER ATMOSPHÄRE
IIAIIN-HCITNCR-INSUTUT
BERLIN
GMBH
üoreich Datpnvnrarbpitunrj unci Elektronik
D/M
HUE - B 432
April
NUMERISCHE
MODELLE
ZUR BERECHNUNG DER SCHADSTOFEAUSHREI TUNK
IN DER
Silke Marie LEDER
ATMOSPHÄRE
und Angelika
Arbeitsoruppe:
BIESEMANN-KRÜGER
Anwender-Software
1985
Die vorliegende Arbeit stellt die Gruppendiplomarbeit
der Verfasserinnen am Fachbereich Mathematik der
Freien Universität Berlin dar.
Betreuer: Prof. Dr. Rudolf Gorenflo (FU)
Dipl.-Math. Friedrich Mädler (HMI)
Unser herzlicher Dank gilt Herrn Prof. Dr. Rudolf Gorenflo
für die theoretische Betreuung und das Verständnis für die
speziellen Probleme dieser Arbeit,
Herrn Dipl.-Math. Friedrich Mädler und Herrn Dr. Günter
Wiesner vom Hahn-Meitner-Institut für die Unterstützung
sowohl in fachlicher Hinsicht als auch für die Bereitstel­
lung aller erforderlichen Hilfsmittel,
Herrn Dr. Karsten Hir.rlchsen vom Meteorologischen Institut
Hamburg, auf dessen Veröffentlichung eines der Verfahren
beruht, für seine zahlreichen Hinweise.
I N H A L T S V E R Z E I C H N I S
1•
Einleitung
AtmosphaerIsche Dl-f-fusion
2.1
3.
4.
Herleitung der Transportglelchung
Verschiedene Modelle
lO
3.1
Gaussmodell
12
3.2
Instationaere Modelle
17
Das ausgewaehlte Modell
33
4.1. Beschreibung
33
4.2. Di-f fusionskoe-f-f izient
37
3.
An-f angsrandwer tau-Fgabe
40
6.
Numerische Realisierung des Modell«
43
6.1
Das Euler - Verfahren
46
6.1.1.
Dlskretisierung
47
6.1.2.
Konvergenz
53
6.2
Gemischtes Euler - Lagrange Verfahren
6.2.1.
6.2.2.
7.
B.
72
Das •Hinrlchsen* - Ver­
fahren
74
Konvergenz
78
Fallstudien
94
7.1
Konstante Koefflzlenten
9B
7.2
Variable Koeffizienten
10S
Verifizierung des Modells
114
8.1
Experiment IS.2 und 15.3
120
8.2
Experiment 18.3
124
B.3. Experiment 23.3
127
Zusammenfassung
131
10. Literaturverzeichnis
132
9.
11. Anhang
Die Kapitel 3 und 6.1 sind von Angelika Biesemann - Krueger
und die Kapitel 2 und 6.2 von Silke - Marie Leder
erarbeitet worden. Die uebrigen Kapitel sind gemeinsam
erstellt norden.
Kapitel 1
1.
Seite l
EINLEITUNG.
»le Ausbreitung von Schadstoffen In der Atmosphaere 1st ein
In der heutigen Zelt lamer akuter werdende» Thema,
»le vorliegend* Arbeit «reift aus diesen grossen Gebiet
einen Teil heraus und versucht, Problem Ortungen fuer die
'Kurzzeitausbreitung* vorzustellen.
2ur Beschreibung der atmosphaerisehen Diffusion existieren
verschiedene Theorien. Eine Moeglichkelt ist die K-Theorie.
Kapitel 1
Seite 2
Hierbei beschreibt man die Schadstoffausbreltung mit
einer
Diffusions* Advektlonsglelehung oder Transportgleichung
au
7"£- + w grud U
«
div(K
V u ) •* 0
mit der speziellen Eigenschaft der Divergenzfreihelt
* x
8y
Diese Differentialgleichung wird in Kapitel 2 hergeleitet.
Basierend
auf
der K-Theorie werden
einige
Kurzzeitausbneltungsmodelle vorgestellt, wie sie z.B.
fuer
die
Risikoanalyse einet Kernkraftwerkes benutzt werden koc;men.
Hierbei
soll
der Versuch
unternommen
werden,
elnsn
Ueberblick ueber die auftretende Problematik
zu geben,
sowie Loesungsmethoden aufzuzeigen.
Ein
besonders
geeignet
erscheinendes
Modell
wurde
ausgewaehlt. Es ist von Dr. Karsten Hlnrichsen
von der
Universitaet Hamburg veroeffent1icht worden.
Kapitel 1
Seite 3
Die Modellgleichung wird sowohl mit dem von
Karsten
Hlnrichsen selbst entwickeltem Lagrangeverfahren als auch
mit dem U " in - Verfahren numerisch geloest.
Zuerst erfolgt
eine
mathematische
Beschreibung
V/erfahren,
wobei
versucht
wird,
auch
fuer
Hinrichsen-Verfahren das Fehlerverhalten mit Methoden
numerischen Mathematik ru beschreiben.
der
das
der
In Kapitel 7 werden beide Verfahren mittels Vorgabe einer
exakten Loesung getestet und miteinander verglichen. Danach
erfolgt eine Verifizierung an
Experimenten,
die
am
Kern-forschungszentrum Karlsruhe ausgefuehrt wurden.
Kapitel 2
Seite 4
2. A T M 0 S P H A E R 1 E C H E
D I F F U S I O N
Da* Verhalten von Gasen und Partikeln in einer turbulenten
Stroemung wird
als
atmosphaerische
oder
turbulente
Diffusion bezeichnet. Die molekulare Diffusion wird hierbei
nicht beruecksichtlgt.
Die Ausbreitung vnn Schadstoften in der Atmosphaere
mit Hilfe der turbulenten Diffusion beschrieben.
exakte Berechnung ist Jedoch leider nicht moeglich.
wird
Eine
Es existieren zwei grundsaetzlich verschiedene Vorgehens
weisen zur Beschreibung der atmosphaerisehen Diffusion:
i)
11)
-
Methode von Euler
Methode von Lagrange
Bei der Euler - Methode interessiert man sich nicht fuer
da» Verhalten einzelner Partikel in einem
bestimmten
Gebiet, da man annimmt, dass sich alle Teilchen nicht Dder
nur kaum voneinander unterscheiden. Man betrachtet daher
das Stroemungsverhalten aller in dem Gebiet
enthaltenen
Teilchen. Die Berechnung geht davon aus, dass ein festes
Koordinatensystem vorliegt. In dem die Dlffusionsvorgaenge
der gesamten Beimengung betrachtet
werden, d.h.
die
Fragestellung reduziert sich darauf, weicher Stroemungs
zuctand herrscht zu einem Zeitpunkt t in einem Punkt des
Koordinatensystems x,y,z.
Im Gegensatz dazu wird bei der Lagrange-Methode
ein
bewegliches Koordinatensystem betrachtet, das sich
in
Richtung der Hauptstroemung mit fortbewegt. In diesem
Koordinatensystem befindet sich nur ein Partikel, dessen
Diffu5ionsverhalten waehrend des 'Transports
untersucht
wird; d.h. es interessiert die Frage, was geschieht mit
jedem einzelnen Teilchen im Laufe der Zeit t, an welchem
Ort befindet es sich, wie ist seine Geschwindigkeit usw.
1
Kapitel 2
Seite 3
Fuer
die Numerik
ist die Euler-Methode einfacher
zu
handhaben. Es treten hier jedoch bei
der
numerischen
Berechnung
zusaetzliehe
Fehler
auf
durch
die
Pseudodi+fuslon.
Diese entstehen dadurch,
dass bei
der
Dlslcetlslerung des Advetctionsterms durch die
Entwicklung
nach Taylor ein zusaetzlIcher
Dlffusiorsterm
hinzukommt,
der aber physikalisch nicht vorhanden ist. Hierdurch werden
die Ergebnisse verfaelscht.
Bei
der Lagrange-Methode
wird
dieses vermieden.
Ihre
Verwirklichung 1st Jedoch weitaus schwieriger und erfordert
im
diskreten
Fall
nach
jedem
Rechenschr1tt
eine
Ruecktransformat 1 Dn auf das -feste Koordinatensystem.
Des weiteren sei hier noch angemerkt, dajs im Verlauf
der
Arbeit
der Begriff
der
'Konvektion'
durch
den
der
•Advektion' ersetzt werden soll, da mit Konvektion
in der
Meteorologie die vertikalen
und
mit
Advektion
die
horizontalen Stroemungen bezeichnet werden. Der
vertikale
Luftaustausch wird jedoch in dem hier
gewaehlten
Modell
vernachlaessigt.
Grundsaetzlich existieren drei
Modellbeschrelbung:
1)
11)
iii)
verschiedene
Theorien
zur
Gradienten oder K-Theorle
'Statistic Theory'
'Similarity Theory'
Eine ausfuerliche
sich in (36).
Beschreibung
dieser
Die Herleitung der Differentialgleichung
erfolgt auf den neechsten Selten.
Theorien
befindet
nach der K-TheDrie
Kapitel 2
2.1
Seite 6
H E R L E I T U N G
»ER
T R A N S P O R T
G L E I C H U N G
Wie schon vorher kurz erwaehnt, gi<-t es verschiedene
Möglichkeiten, die die Ausbreitung vo.i Schadstoff en in der
Atmosphaere beschreibende Differentialgleichung herzulei­
ten. Hier soll die makroskopische Betrachtungsweise vorge­
stellt werden) d.h. nicht die Bewegung eines einzelnen
Teilchens wird betrachtet, sondern der gesamte Massenfluss.
Im weiteren Verlauf beschreibe V ein Volumen, dessen
stueckwelse glatter Rand sei SV, t als
unabhaengig»
Variable sei die Zeit und M die Masse einer Substanz in V.
M(V,t)
=
/ u(x,y,2,t) dxdydz
V
wobei u die Dichte von M 1st
Q(V.t)
=
l qU.yiZ.t) dxdydz
. V
mit S als Suellrate und q als Quelldichte
S(SV,t)
"
Abflussrate ueber den Rand
von V.
Kapitel 2
Seit» 7
Folgende Bilanzgleichung laesst sieh dann aufstellen:
d H
^'°
- O(V.t) - S(»V,t)
Die zeitliche Aenderung der Konzentration ergibt
Suellrate auf dem Gesamtvolumen
abzuegllch des
ueber den Rand.
ylch
als
Abflusses
Hierbei Mird die Abflussrate folgendermassen erl<laert:
S(9V,t)
«
/ <i,n> dr
»V
mit
n
•
Normalenvektor
(nach aussen gerichtet)
i
-
vektorielle Stromdichte
< , > •=
dy
*
euklidisches Skalarprodukt
Oberflaechenelement
Kapitel 2
Sett* •
Nach dem Gcuan'schcn Integr.ilB.-.!.= e r g i b t mich f u e r S:
S(av.t)
«
/ <i,n>
»V
d-r
=•
/
V
c!lv 1 dxdydz
Die Bilanzglelchung lautet nun:
—r"
I u dxdydz
V
at
bzw.
r
-^st
«
+ div i - qj
/ «j dxdydz - / div i dxdydz
V
V
dxdydz
»
0
da das Volumen V beliebig gewachlt werden kann,
+
div 1
Kapital 2
Halt« •
Dia Stromal cht a l wird nun in
ttonvektiven Antail au+geapalten:
1
u
konv
ihren
«Mtuslven
und
w
•1t H - KDnvaktlonapaachHlndipkaJt
1
"•
d l f
*
• K grad u
mit K - Dlffuslonakoefflzient
Hlarbal gibt -grad u dia ataerkate
KonzantratIon an.
Aenderung(Abnahme)
dar
Dia allgemeine Tranaportglalchung lautet
3u
-rr— «
div < K grad u - w u ) • q
unter der Annahme, dnss div w • 0 gilt,
Gleichung +olgendermassen schreiben:
laesst
Eich dit
8 u
3u + H ^ + w .'u
•ä^
- ^'+ w»u
, ^
^«M^W^^TT^ät'
+*
Kapitel 3
3.
Seite 10
V E R S C H I E D E N E
M O D E L L E
Zur Loesung der Differentialgleichung
verschiedene Wege beschreiben.
lassen
sich
zwei
Einmal versucht man eine Loesung analytisch zu bestimmen.
Hierbei Hlrd angenommen, dass sich die Konzentration eines
Stoffes sowohl seitlich als auch vertikal entsprechend
einer Gaussverteilung ausbreitet und am Boden vollstaendlg
reflektiert Hird. (Gaussmodel1(32))
Alle anderen bekannten Verfahren sind numerische Verfahren,
die mit unterschiedlichen Loesungsmethoden die Trans
portgleichung approximieren.
Hierbei kann man grundsaetzlich zwischen stationaeren,
d.h.zeitlich unabhaengig und instationaeren Modellen unter­
scheiden, sie werden sowohl in zwei als auch in drei Raum dlmensionen berechnet. Wesentliche Unterschiede bestehen
ausser in den Verfahren, in der Behandlung der Randbedin­
gungen, der DlffusionskDeffizienten und der Berueckslchtigung weiterer physikalischer Einflussfaktoren. Je genauer
diese erfasst werden koennen, umso realistischer 4*t die
Modellierung. In der Hauptsache
sind dieses^- folgende
Groessen:
1.
Windrichtung und Geschwindigkeit in
Abhaengigkeit von Hoehe und Zelt.
2.
Temperatur, abhaengig von Hoehe und Zeit.
3.
allgemeine Wetterlagen (Inversion, stabile
oder labile Luftschichtungen)
A.
Quelle (Groesse, Lage, AusstDSsmenge)
3.
Depositionen (Ablagerungen)
Kapitel 3
Seite 11
6.
Orographic (Berge, Tarier, uiwl
7.
chemische Reaktionen
B.
Rauhigkeit des Gelaendes (Wiese, Schnee,
Baeume, usw)
Weiter unterscheidet man bei der Berechnung zwischen einem
•PLUME' und einem 'PUFF'.
Der Unterschied liegt in der
zeitlichen
Dauer
des
Schatlstof f ausstosses.
PLUME: AusstDss ueber einen laengeren Zeit­
raum; mehrere Stunden vor und
waehrend des Berechnungszeitraums.
Die Due 11 rate kann hierbei variieren.
2.
PUFF:
Einmaliger Ausstoss von Schadstoff zu
Beginn des Berechnungszeitraumes.
Das analytische GaussmDdeSl kann nur zur Berechnung des
ersten Falls herangezogen werden. Numerische Modelle sind
hingegen in beiden Faellen anwendbar.
Im Folgenden soll ein kurzer Ueberblick ueber einige der
vorhandenen Modelle gegeben werden, der keineswegs einen
Anspruch auf VolIstaendigkelt erhebt.
Kapitel 3
3.1
Seite 12
G A U S S M O D C L L
Bei diesem Modell ansätz geht man davon aus, dass nach einer
genuegend langen Ausstosszelt ein stationaerer Zustand
erreicht 1st, bei dem sich die Konzentration seitlich wie
vertikal entsprechend einer Gaussverteilung ausgebreitet
hat.
Das folgende Bild verdeutlicht diesen Sachverhalt.
Bild 2:
Konzentrationsverteilung einer kontinuierlichen
Punktquelle (e-f-f el<ti ve Hoehe H = Schornsteinhoehe h + Anstieg der Ab 1 u-f t-f ahne £ H) .
Quelle: J.H. Seinfeld (36)
Kapitel 3
Seit* 13
Um eine Loesung der folgenden Di*-f erent i«l gleichung angeben
zu koeitnen, sind
einige
wesentliche
Vereinfachungen
notwendig.
su
au
au
au
)
(,t
T=^-H>*-fetS-if *T5 »-iT>*'>
Folgende Voraussetzungen werden gemacht:
1.
V» • V» m 0
2.
w, • k o n s t .
daher wird g e s e t z t
i x '*x ax
;
Kapitel 3
Seite 14
Ersetzt man die Diffusionskoeffizienten Ky und Kz durch dli
Ausbreitungsparameter e
und o
,
dann
lautet
dli
Loesung,
*
wenn u-fc - 0 vorausgesetzt wird:
s
2»o
y
o w,
z
Uaehlt man y « z " 0 und B ™ 1 . so erhaelt nan dl«
bodenr.ahe Konzentration bezogen auf die Quellstaerke 0.
Sie Gleichung nimmt dann folgende Gestalt an:
h*
^
e o
y
*
(« :• Kurzzeitausbreitungsparameter)
Sie wird'' fuer Genehmigungsverfahren bei Kernkraftwerken
verwendet,
wobei
mit
der
Jeweiligen
Quellstaerke
multipliziert wird.
Kapitel 3
Seite 15
Die Ausbreitungsparameter tf und d sind abhaengig von der
Quelldistanz, der Quellhoehe und der Ausbreitungskiaase:
y
y
°y
"
*
°z
"
*x *
y
t
*
b
z
iiobei dy und d durch Experimente bestimmt werden. Hierbei
werden Di'f-fuaionavorgaenge bei verschiedenen Wetterklasstn
in mehrere Ausbreitungsklassen
(31,35) gepresst. Diese
Einteilungen sind alle subjektiver Art und nicht unbedingt
narh physikalisch relevanten Gesichtspunkten getroffen. So
kann zum Beispiel bei Nebel oder bei umlaufendem Wind keine
Auabreitungsklasse bestimmt werden. Da
die
Parameter
ai, bi experimentell bestimmt werden. Bind aie eigentlich
auch nur an dem Ort gueltig, an dem aia geates&en wurden. Da
aber nur sehr wenige Parametersaetze existieren und diese
fuer den angestrebten Zweck modifiziert werden, ergeben
sich hieraus grosse Ungenauigkeiten.
r
Weitere Nachtelle
konstanten Windes:
entstehen
durch
die
Annahme
eine«
1.
Aendern sich Windrichtung und Geschwindig­
keit, wird der errechnete, statlonaere End­
zustand nii-ht erreicht, d.h. die Konzentra­
tion wird ueberschaetzt.
2.
Keine einheitliche Vorschrift zur Berechnung
der mittleren Wi ndgeschwindiglsei t.
Kapitel 3
Seite 16
3.
Aenderung von Windrichtung und Geschwindig­
keit mit zunehmender Hoehe wird nicht erfasst.
Sie Konzentrationsaenderung durch morgend­
liches Abheben und abendliche« Absenken von
Inversionen kann nicht simuliert werden.
Depcsitlonen werden nicht erfuit.
Bei Schwachwindlagen (unter 1 m/s) sind
Di-f+usions- und Windgeschwindigkeit von
gleicher Groessenordnung. Da die Diffusion
in x - Richtung nicht beruecksichtigt wird,
versagt das Gaussmodel1.
Gaussmodelle genuegen
Anforderungen.
daher
nur
in
Spezialfaellen
den
Fuer stabile Wetterlagen, mit
einer
kontinuierlichen
Freisetzung ueber einen laengeren Zeitraum, geben sie eine
recht gute Annaeherung an den tatsaechllchen
Vorgang
wieder.
Kapitel 3
3.2
s
I N S T A T I O N A E R E
*lte
17
M O D E L L E
Um die vom Gaussmodell T U H Teil fehlerhaft
beschriebenen
Konzentrationsvertellungen genauer beschreiben zu
koennen,
werden
fuer die Diffusions - Advektions
Glelchuny
verschiedene numerische Modelle entwickelt.
Sie
sind
besonders zur Behandlung
instationaerer
und
zeitlich
variabler meteorologischer Bedingungen geeignet.
Darueber
hinaus
lassen sich mit diesem Modell
besonders
gut
Inversionswetterlagen und besondere Ausbreitungssituationen
wie z.B. Schwachwind lagen simulieren.
Ausserdem machen sie die Bestimmung von Ausbreitungsklassen
ueberfluesslg,
da sie zeitlich und raeumlich
variable
Koeffizienten verwenden. Diese Koeffizienten haengen
stark
von der Stabilitaet der Luftsehichtung, sowie der Baden
Rauhigkeit und dem Uindfeld ab.
Der
in dieser Arbelt verwendete
Diffusionskoeffizient,
sowie das zur Berechnung herangezogene Windprofil
werden
spaeter noch genauer beschrieben.
Generell erfordert die Rechnung mit variablen Koeffizienten
die Bereitstellung folgender Daten:
a)
Temperatur
b)
Windge5chwlndigkeitsvektoren
die Jeweils als diskrete Messwerte in Abhaengigkeit von der
HDehe vorliegen muessent
Kowie:
c)
Bodenrauhigkeitsparameter.
Auf
den
nachfolgenden
Seiten
werden
einige
stichpunktartig vorgestellt und kommentiert.
Modelle
Kapitel 3
Seite 18
1. MODELL
Vom RIS0 NATIONAL LABORATORY in Daenemark (43) wurde zur
Berechnung der Diffusion* - Advektlons - Gleichung ein Pro­
grammpaket entwickelt, dass speziell fuer den 'Long - Range
- Transport' gedacht ist. Es laesst sich Jedoch auch fuer
Kurzzcltausbreitungsrechnung verwenden, da die Wahl der
Kneffizlenten nicht besehraenkt ist.
Als Loesungsmethode wird ein FFT- Verfahren (Fast-Fourier Transformation) angewendet, d.h. mit Hilfe der Fourier Transformation wird die Differentialgleichung diskre tlslert.
Es koennen wahlweise ein-, zwei- und dreidimensionale
Probleme behandelt werden. Auch ist man in der Wahl der
Randbedingungen
sowie
der
Stuetzstellen
(nicht
aequidistant in Zeit und Raum ) frei.
Das Programm ist so ausgelegt, dass es auch auf linin
Vektorrechner benutzt werden kann. Untersuchungen wurden
auf beide Arten durchgefuehrt.
Bild 3!
Konzentratlonsvertellung von
(5 ueber Deutschland (33)
S
Kapitel 3
Seite 19
MODELL
Das Modell TRANSLOC (a?> wurde am Battel!« Institut In
Frankfurt von S.Hartwig und G.Schnatz entwickelt. Als Aus gangsglelchung wird dl* dreidimensionale
instationaere
Diffusions - Advektions - Gleichung verwendet:
3u
Ju
au
' ix
at
« Jy
+ Q(x,y,z,t) - S(x,y,z,t)
Zur numerischen Berechnung wird die Gleichung mittels der
Zwlschenschrittmethode von Janenko (12) in fuenf ein
dimenslonale Differentialgleichungen aufgespalten.
a)
Di? Diffusion wird mit einem Crank - Nicolson
Verfahren approximiert.
b)
Zur Loesung der Advektion wird das Carlson Schema verwendet.Hierbei werden abhaengig von
der Transportgeschwindigkeit entweder das explizite
fit < fix
u
n+1
u
i
n
i
(fix - wfit) + u
n
i
_ w fit
1
Kapitel 3
Seite 20
oder das formal implizite Differenzenverfahren verwendet
(denn die Auflnesung eines Glelchungssystem ist nicht
erforderlich).
ot > fix
n+1
" " j . ! ax/w + u
n+1
i
_ (At-ax/w)
1
fit
t
,
Charakteristik a:
explizit
j
1
•> / It
*•
Charakteristik b:
implizit
l.l
f-**j »t —
*
• • *a
Weiterhin bietet das verfahren den Vorteil, dass neben der
Berücksichtigung eines Quelltermi auch ein Senkenterm mit
berechnet wird. Dieser dient zum Beispiel der Erfassung von
Depositions- und SedImentatlonsvorgaengen sowie von rain out, wash - out und radioaktiven Zerfall.
Es wird jedoch keine Aussage darueber gemacht, wie dieses
mathematisch und physikalisch realisiert werden soll.
Kapitel 3
Seit» 21
Am Rand werden -folgende Bedingungen angegeben:
)u
ix
für
au
für y
fUr
x
• • x., x
-
y,, y
e
2
für
cc,$,y
sind hierbei Ref lexiDnsf aktoren an den
senkrechten
Waenden
sowie am Boden
und
am
oberen
Rand
(z.B.
InversionsSchicht)
fuer
n « B = Y - 0
Andere Werte fuer o,8 , T
Re-f lex Ion
modellieren den Abfluss.
Die raeumlichen und zeitlichen Gitterweiten
sind
variabel
und kDennen dem Jeweiligen Problem angepasat werden.
Zur
Verifizierung
wurde das Modell
an Daten
tut
den
Hanfordfield
- Experimenten Bowle den
Ausbreitungsversuchen des Kernforschungszentrums Karlsruhe getestet.
Als Eingangsdaten
werden
VertikalprofiIe
der
Windge­
schwind i9«eiten sowie Profile
des vertikalen
DiffusiDnBkoef4izienten benDetigt.
Kapitel 3
Seite 22
Dieses wurde nach einem Ansatz berechnet,
(12> zuruectcgeht:
der
au-f
s.
Uu
«.(..« . « - ^ C - ^ , ' - -§--»-,* <-^_f. -'
T • mittlere Temperatur der betrachteten
Hoehenschlcht.
g • Erdbeschleunigung
O « potentielle Temperatur
* » von Karman - Konstante
*• • Mischungsweglaenge
—S
2 00m
-fuer
30m
-fuer
12,5m
-fuer
< 0
^
Q
< _LL_
<IQ~
»•
4
.4
"Fi-
»10
Fuer
die
horizontalen
Di-f * usiDnskoef tlzienten
folgender Ansatz verwendet:
wurde
Kx « Ky « 2 Kz
mit Kz - absolutes Maximum
innerhalb der Grenzschicht.
des
Di + * usiDnskoe-f * izienten
Kacritel 3
Seite 23
3. MODELL
Das von G. Tangermann (3?} ßm Meteorologischen Institut der
Universltaet Mainz entwickelte Modell loest ebenfalls die
dreidimensionale Diffusions - Advektions Gleichung,
Jedoch unter der vereinfachten Annahme, das* die Si-f+usion
in x - Richtung vernachlaessigbar ist. Folgende Aus
gangsglelchung ergibt sich dann:
-iü_ „. ,
st *
i u
w
W l
ix
a
, »
' ^T
+
w
+ w
a
„
" ^I
f K
-
l K
»u > .
-iz~> *
K
K
2
Zur numerischen Loesung wird die Gleichung
Zwischenschr1ttmethode zerlegt.
auch
y
»*u
Tyr
nach
der
Der Di*-fusionstei 1 wird mit dem Crank - Nicoleon
Verfahren berechnet und der Advektionstel 1 mit einem von
Rune» und Sardel (siehe MODELL 4) entwickelten Lagrange
Verfahren.
Senken und Depositionen -finden keine Beruecksichtigung.
Fuer t > 0 311t in der Quellebene, WDbei eine Linienquelle
entlang der y - Achse modelliert wird:
U(0.y,z)
- 7 7
mit
|W (z) | Ä z i y -
Q • Ouellstaerke
h " ßuellhoehe
e(z-h) 5(y) dzdy
Kapitel 3
Seite 24
Die Raender des Modells werden so gewaehlt,
9«lt:
Am Boden und an
reflektiert:
K
oberen
x
( z )
Rand
wird
-IT- "
°
der
dass folgen-»«
Schadstoff
t ü r
z
total
" '«•• *
e
An den seitlichen Raendern wird
u (x,y,z,t)
- 0
fuei- x ^ +•
fuer y • *•
gesetzt.
Als Eingangsdaten werden Profile des Horizontalwindes sowie
des vertikalen Diffusionskoefflzienten verwendet. Letzterer
berechnet sich aus einem GrenzschichtnDdel1, wozu folgende
Parameter benoetigt werden:
geostrophlscher Wind
Rauh igtteitsl aenge
Koriolisparameter
Stabilitaetsparameter
Fuer den horizontalen Oiffusionskoeffizienten
gleiche Ansatz wie in MODELL 2 verwendet:
K
y
•
2
K
m a x
2
wird
der
Kapitel 3
Seite 25
4. MODELL
Das von Eli Runca und F. Sardei (34) entwickelte Modell
loeet eine zweidimensionale lnstatlonaer« Diffusions
Advektlohsgleichung. Hierbei wird die horizontale Diffusion
vernachlaessigt und eine Linienquelle in y - Richtung mit
konstanter Quellrate vorausgesetzt. Die x - Richtung wird
in Windrichtung gesetzt.
Unter diesen Annahmen ergibt sich folgende Gleichung
,
+ w(z) - , —
t
* -»-#
—rz-
«
(K(z)
,, )
8JC
Die Loesung erfolgt fuer Diffusion und
getrennten Schritten:
AdvektiDn
in
zwei
Im ersten Schritt wird der Advektionsterm
SU
St
/ »
x
JU
»X
in der y - z Ebene fuer den gesamten Zeitschritt
loest.
Als Anfangsbedingung wird die
vorbesetzt und als Randbedingung
ein:
»CO.x.t)
=
4t
ge
Konzentration mit
Null
geht folgende Beziehung
- ^ 1
0
fuer t>0 und h - Quellhoehe und Q " Quellstaerke.
Kapitel 3
Seite 24
Zur Vermeidung der Pseudodlffusion wird .dieser
einem Lagrange - Verfahren diskretisiert.
Die Loesung der ABvektlonsglelehung
au(C.z.t)
at
m
o
mit £ -
Term
x - wt
erhaelt man durch eine Koordinatentran«*orraatIon. Sie kann
bei einer konstanten Windgeschwindigkeit auch numerisch
realisiert werden, indem man
AX
.
W(t
waehlt.
Bei variablen Ulnd ergeben sich Schwierigkeiten bei der
Ruecktransformation auf das
feste
Gitter
fuer
die
Eulerdlskretislerung der Diffusion.
Deshalb waehlt man auch hier einen konstanten tx - Abstand,
der den Dlskretlsierungsfehler moeglichst klein haelt.
ix wird nun wie folgt gewaehlt:
At
Die
diskreten
Windwerte w^
werden
durch
eine
zweidimensionale Treppenfunktion ^fcj ermittelt. Wmax ist
dann der groesste Wert von W^j und q 1st eine g a m e Zahl,
die so gewaehlt wird, dass eine befriedigende Approximation
der Windgeschwindigkeit im gesamten W< d+eld gesichert ist.
Seite 27
Kapitel 3
Im zweiten Schritt wird die D1 +-fusionsgleichung
St
K
- T T - < <*> -S->
fuer das gleiche 2eitInterval 1 geloest.
Als
Anfangsbedingung
wird
hier
wieder
Konzentrationsfeld vom Zeitpunkt vorher verwendet und
Randbedingung -folgende Beziehung:
K(z) -»»<*.M>
.
0
Die Diskretisierung erfolgt mit einem
Senken und Cepositionen werden bei
beruecksieht igt.
Ausserdem kann nur eine konstante
werden.
f U r
Euler
diesem
-
2
Verfahren,
MDdell
Quellrate
das
als
nicht
betrachtet
Ueber die Berechnung des Di-f-f usionskDe-f -f izienten sowie die
benoetlgten Eingangsdaten werden keine Aussagen gemacht.
Kapitel 3
Seite 2«
5. MODELL
Das Modell von Reynolds, Roth und Sein-feld 137» 1st das
um*assenste, da es neben einem Quell- und Senkenterm SOHIS
chemischen Reaktionen auch die vertikale Komponente dei
Windes mit berueckslchtigt.
Sie Ausgangsgleichung lautet nun wie -folgt:
!u.
3
1
au,
9
8
3
ä
3u.
R
i
( u
i
, T
^
+
s
3u.
x
z
t
i( «y» . 5
mit R, « chemische Reaktionen der Stoffe 1-1,...,n in
Abhaengigkeit von der Temperatur
und S
" Quell- b:H Senkenterm, abhaenglg von Ort und Zeit
Depositionen werden Jedoch nicht mit beruecksichtlgt.
Als Anfangsbedingung zum Zeitpunkt
Anfangskonzentrations-feld vorgegeben:
Uj/x.y.z.tJ
=
t
f^U.y.z)
-
t„
wird
ein
Kapitel 3
Seite 29
Fuer die Randbedingungen gilt:
Am Punkt l • z • 1st das Produkt aus Di**usionskDe** liicntcn
und Konzentrat 1onsgradlenten gleich der Quellstacrke
in
diesem Punkt:
Qj/x.y.z)
-KV ( u n )
i t
h
mit dem Di*+usionstensor
0
0
K
0
0
H
0
n
und h " Einheitsvektor, der senkrecht
in Richtung der Atmosphaere zeigt.
Die von aussen ueber die Raender
transportierte
Konzentration
beruecksichtlgt.:
<*!.«!- K *
U i
)n
h
=
(w,
gl
w, e
(
zur
K„
ErdDber*laeehe
In das
wird
(x,y, ,t)) n
B
Modellgebiet
eben+alls
h
-»> " h
mit
w,
*•
wj e
a
+
(wi
&
•)
e,
Kapitel 3
Seite 3o
und
(wj u
- K
±
u ) n
< w
für
=
±
mit
* n>
^
w,
(w
g^x.y.z.t)) n
s
o
«
Wi ei +
wi ei
n
Hierbei sind ft und n die senkrecht nach
Raendern stehenden Einheitsvektoren.
aussen
auf
den
Findet keine AdvektiDn von aussen statt, d.h.
<
w
l
n>
»
h
0
bzw
<w
s
n>
>
0
dann lauten die Randbedingungen Mle folgt:
-K
vu
i
n
h
«
0
bzw
-K
»u
±
n
=
0
Um die dreidimensionale Diffusions - Advektlons - Gleichung
zu loesen wird zuerst
eine
Koordinatentransformatlon
durchgefuehrt:
(x.y.Z.t)
mit
C
•>
.
(C.n.C.T)
z
"
h
Hlx.y.t) - Mx,y)
Die
transformierte
Gleichung
wird
zweidimensionale Gleichungen zerlegt:
AH
dann
in
drei
Kapitel 3
Seite 31
a(u AH)
±
aCv^AHl^)
S
3u
(K
rr
3(u iH)
i
a(u
t
AH)
äfv^AHu^)
3
3 n
an
H
A H
TTT>
au
(K A H
— )
"
an
a(w u )
±
(K
U
±- )
/ AH
at
)i
R l
AH + S AH
±
mit
w, - w, ( 8h
3h
SAH
— ) - w.C-y
Jede dieser drei Gleichungen wird nun
Zeltschritt geloest.
einzeln
1)
Advektlon und Di-f-fusion in x - Richtung
2)
Advektlon und Diffusion in y - Richtung
+ E
3 AH
in
fuer
SAH
einen
3) Advektlon und Diffusion in z - Richtung sowie chemische
Reaktionen und Quellen.
Kapitel 3
Seite 32
Die ersten beiden Gleichungen werden mit eine« expliziten
und die letzte Gleichung
mit eine« Impliziten Euler'achen
Dif+erenzenverfahren geloeat.
Ala Elngangadaten werden dl» Windkomponenten
Messungen bestimmt.
Wi, Wi, Wj aua
Der vertikale Dl-f + uslonskoe-f-fizlent wird nach
von Eschenroeder und WartInes (25) berechnet.
der
Formel
[2.5 q(C,n,T) - 77.3)c
für
0
£ C < o
+ 30.9
K
V
*
A
für 0.4 *
«>CC,n,T)
c < o
[30.9 - q(C.n.T)Je
für o.e * C < 1
+ 5 q(C,n,T) - 123.6
mit
Q(t,i.')
O.B5(w* , + w* ,)*•*•
Der horizontale Dl+tüalonskoe*flzlent
angenommen mit folgendem Wert.
K„
«
2980 m* /min
232
vlrd
konstant
Kapitel
4
Seite 33
» A S
A U S S E U A E H L T E
M O D E L L
Das
In dieser Arbeit naeher untersuchte
Modell
zur
Berechnung von Schadstoffausbiei tungen In der Attnosphaere
wurde am meteorologischen Institut der Unlversitaet Hamburg
von Karsten
Hinrichten
<2B 29)
entwickelt
und
an
Experimenten verifiziert.
1.1
B E S C H R E I B U N G
Die Loesung
der Differentialgleichung
erfolgt
In einem
Quader mit kartesi&chen Koordinaten, wobei die x- Achse von
Westen nach Osten zeigt.
3U
• + «>-nr
K
K
+
w
»U
'-ry-
» U 4.. Kv ' » U * _ i _' ,'K>v
*
v
'..t s
y' T^Tiz*.
"z
,
a x'
,'
* vy a» v'
U
U
K
+
K
8
U
J2
Hierbei
sind
w,(z,t)
und « i U , t )
die
horizontalen
Komponenten des Uindvektor», die zeitlich und mit der Hoehe
var1 leren.
Der vertikale Diffusionskoeffizient
K:(z,t) wird nach
dem
Ansatz
von s. Wu
(12) berechnet,
wofuer
Daten
des
vertikalen Temperatur— und
Windprofils
benoetlgt
werden.
Eine nnehere Beschreibung des Koeffizienten
befindet
sich
In Kapitel 4.2.
Kapitel 4
Seite 34
Zur Berechnung der horizontalen Diffusionskoef * lzlenten
liegen bislang noch keine Naeherungsformeln vor, sie werden
in diesem Modell aus dem vertikalen gewonnen, und zwar
K
K
x" y
a K.
wobei a unterschiedliche Werte hat fuer
Uetterklassen.
die
verschiedenen
Sie Bestimmung der Vertikalprofile von Wind und Turbulenz
beschreibenden Parametern, kann ueber Grenzschichtmodelle
(22) erfolgen Dder einfach durch Messungen.
Die
Zufuhr
von
Schadstoffen
waehrend
des
Be
rechnungszeitraumes wird durch einen Quellterm erfasst, der
abhaengig ist vom Ort und von der Zeit. Sie Simulation
sowohl eines Puffs als auch eines Plumes ist moeglich.
Das Gebiet, In dem die Differentialgleichung geloest werden
soil, wird ED gross gewaehlt, dass die seitlichen
Randbedingungen keinen Einfluss auf die
Ausbreitungsvorgasnge haben.
Am oberen und unteren Rand wird Totalreflexion angenommen,
d.h.
keine
Aufnahme
von
Schadstoffen
durch
die
Erdoberflaeche
sowie eine Inversionsschicht am oberen
Rand.
•ODO
•oo©
•00
•DO
\
\
•OD
•DO
«OD
\
«00-
»oo
aoo •
/
0
3
4
Bild 4:
*
IX 0
7
*
t
~n
Vertikaler Temperaturverlauf bei
einer Bodeninversion (a) und e-iner Hoeheni nversion (b) . (3D
i'.apltel 1
S e i t e 35
Fuer d i e h o r i z o n t a l e n Randbedingungen wird d i e Windrichtung
mit b e r u e c k s i c h t l g t ,
d.h.
am
Zu-flussrand
1st
die
Konzentration g l e i c h N u l l , da der Ulnd d i e T e i l c h e n In d u
zu berechnende Gebiet t i l n e i n b l a e s t und d i e
horizontale
Dl'f'fusion v e r n a c h l a e s s i g b a r k l e i n i s t
im V e r g l e i c h zum
Wind.
Am Abflussrand
l i n e a r e r Rate.
verlassen
die
Teilchen
das
Gebiet
mit
Am Boden und am Dberen Rand wird R e f l e x i o n angenommen:
-iH-.o
Bild 5:
Aufbau der Gitterbox für das Hinriehsen - Mortui 1 unter Einbeziehung der
Randbedingungen bei einer slid - westlichen Windrichtung
Kapitel A
Seite 36
Zum Zeitpunkt der Berechnung wird davon ausgegangen,
sich noch kein Schadstoff in dem Gebiet befindet.
dasa
u<x,y,z,0) - 0
3u(x,y,z,t)
az
für z„ = 0 und z
a\i(x,y,z,t)
8x'
am Ausflußrand von x und y
(linearer Abfluß von Schad­
a\i(x,y,z,t)
stoff)
ay'
u(x,y,z,t)
am Zuflußrand von x und y
(keine Verlagerung von
Schadstoffen zu diesem
Rand)
Kapitel 4
1.2
D E R
Seite 37
D I F F U S I O N S K O E F F I Z I E N T
Hie bei vielen anderen Modellen auch, wird
hier
davon
ausgegangen, das* die Atmosphaer* ein isotropes Medium 1st,
was Im bodennahen Bereich Immer erfuellt 1st« so dass der
Tensor der turbulenten Diffusion folgende einfache
Gestalt
annimmt!
K,
0
0
K
0
y
0
wobei Kx, Ky und Kl die turbulenten Dif fusionsknef f lzlenten
in Richtung der Koordinatenachsen bedeuten.
Als Ansatz fuer den vertikalen Diffusionskoeffizienten wird
die Formel von S. Wu (421 verwendet:
(•>
K
z
(z.t)
'Vi
3 Z
36
3 w»
i Z
az
Hierbei ist
l,-[l - exp(-
z+d
1,
))
Groessenordnung der effektivsten Turbulenzelemente.
Kapitel 4
Seit* 3B
1
ist eine Funktion der Lu*tstablIltaet
«
von Karman - Konstante - 0 . 4
z
Hoehe ueber dem Erdboden
d
Verdraengungsdicke In der Groessenordnung
der Bodenhindernisse
g
Erdbeschleunigung
T
mittlere Temperatur
B
potentielle Temperatur <T umgerechnet au-f
einen Lu-ftdruck von 1000 mbar)
Der Parameter 1 beschreibt
atmosphaerIschen Turbulenz:
einige
Charakteristika, der
Imax « 1
fuer kleine l (stabile Luftschichtung) wird
lmax in geringerer Hoehe angenommen als fuer
grosse 1 (instabile Lu-ftschichtung)
0
g
der Elnfluss von d beschraenkt sich mat boden­
nahe Hoehen und nimmt mit d zu.
3.
fuer kleine 1 nimmt der Einfluss von d
schneller mit der Hoehe ab als fuar grosse 1 .
0
0
Kapitel 4
Seite 39
Die Gleicrung i#) unteraehaetzt die Groeaae von Kz(z,t> bei
stark konvektiven Faellen. Ist der Radikand negativ, so
wird er gleich 10""^ geaetzt.
Im allgemeinen gibt der Koeffizient Jedoch eine recht gute
Naeherung der vertikalen
Turbulenz
in
den
unteren
Luftschichten an.
Die Vernachlaesslgung der molekularen Diffusion
turbulenten Stroemungen stets gerechtfertigt.
ist
bei
Fuer die horizontalen Dif+usiDnskoef+izienten sind noch
keine entsprechenden Ansaetze bekannt. In diesem Modell
wird folgende Beziehung verwendet:
K
x
-
K
y
-
a K (z,t)
z
wobei a
eine
Funktion
der
Standardabweichung
Horizontalwindes vom 10- min Mittel ist.
des
Kapitel 5
Seit» 40
A N F A N G S R A N D U E R T A U F G A B E
Wir werden im folgenden den linearen Operator L im Vektor­
raum IR" behandeln. Mit I | bezeichnen Hir die Max 1mumnorml
( bezieht sich au-f die natuerllche Halbordnung des Raumes.
L :
G
[0,1]
X [0,1] X [ 0 , 1 ]
X
[0,T]
r.
[0,1]
x
[0,1]
x
<<B )
r,
<0 5
X [0,1] X [ 0 , 1 ]
X
[0,T]
r»
{1 }
x
[O.lJ
x
[0,T]
r,
[0,1]
x
{0}
x
[0,1]
x
[0,T]
r.
[0,1]
X
<1J
x
[0,1]
x
[0.T]
r,
[0,1]
x
[0,1] x
(0)
x
[0.T]
r«
[0,1]
x
[0,1] x
{1}
x
[0,T]
1 1 2 1
[0,1] x
[0,1] x
X :=
C
z :=
c(G) x c ( r . ) x c ( r , ) x c ( r , ) x
C ( r . ) x C(r„) x c ( r . ) x C ( r . )
TR
Wi, Wj, K ,
x
(G)
mit
K ,
y
K
z
Der hier verwendete Elnheltsi-iuerf el
anderen Abmessungen nicht aus.
schliesst
Quader
mit
Kapitel S
S e i t » 41
Zu gegebenen g » I Q , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , O l <Y werde u s X
so d e » g i l t
gesucht,
Lu
^
3t
i ..a
a
x
i..
3x
u(x,y,z,0)
u(0,y,z,t)
u(l,y,z,t)
3 x<
u(x,0,z,t)
u(x,l,z,t)
9y
J
K -gF" u(x,y,0,t)
z
K -^2
u(x,y,l,t)
'y a y
3y
3z
8z
Kapitel S
Seite 42
E» mucs noch angemerkt werden, dass der Vektor g e Z nicht
notwendig In Y liegt. Der Raum Y «teilt an die Kanten und
Ecken von G zusaetzliehe Anforderungen,
sogenannte
Kompatibi1ltaetsbedingungen. Biese werden Jedoch nicht
weiter
betrachtet, sondern als erfuellt vorausgesetzt.
Die Anfangsrandwertaufgäbe
gestellt, wenn gilt:
Lu
•
g
heisst
korrekt
1)
fuer Jedes g K Y existiert eine Loesung u c X
2!
fuer Jedes g c Y existiert hoeehstens eine
Loesung u e X
3)
die Loesung u haengt stetig von g ab
Ein Nachwels soll hier nicht erbracht werden, doch wird
im
weiteren davon ausgegangen,
dass die obigen
Bedingungen
erfuellt sind.
Ferner
muessen
die Koeffizienten
der
ARWA
bestimmte
Slattheltsbedingungen erfuellen, damit die Aufgabe
korrekt
gestellt ist.
Kapite! 2
6.
Seite 43
N U M E R I S C H E
R E A L I S I E R U N G
D E S
M O D E L L S
Wie schon in Kapitel
2 erwaehnt, gibt »
verichitdeni
Woe-gl ichUei ten, Transportvorgaenge zu beschreiben:
a)
Euler'sche Darstellung
Legrange'sche Darste1 lung
Bei de Met hauen haben auch in die ftumer i k Ei ngang gef unden,
wobei die Euler - Methode wohl die gel aeuf igere ist. ( z.B.
Zentrale Di fferenrenquDt i enten )
Das von uns auegewaehlte Modell
von Karsten
Hinrichsen
wurde auf beide Arten numerisch realisiert, wobei
einmul
ein speziell f uer grosse Zel1
- Reynoldszahlen
konstru­
iert es Euler - Verfahren (IL* IN - Verfahren 7,10) und
zum
anderen ein s/an K. Hinrichsen entworfenes Lagrange
Verfahren angewendet worden ist.
Bei
beiden
Methoden
wurde
die
dreidimensionale
Differentialgleichung mit Hilfe der
Zwischensehrittmethod«
von Janenko (12)
in Einze1g1 eichungen
aufgespalten*
die
dann nacheinander geloeßt werden.
Ein Vergleich beider Verfahren bezueglich
Genauigkei t
Rechenaufwand, beziehungsweise
ihre Uebereinstimmung
gemessenen Er.per i men ten wurde durchgef uehrt •
und
mit
Kapitel 5
Seite 44
Zur numerischen Loesung der An-fangsrandwertau-f gäbe wird der
De* initionsbereieh der Dl-f-f erent ialgleichung mit
einem
Raumgitter G>, endlich vieler Punkte ueberzogen.
Die Schrittweite sei in x - Richtung
Ax
in y - Richtung
ty
in z - Richtung
az,
i n t - Richtung
Ä
t
Diese vier Schrittweiten werden in den VektDr
"
(4x, Ay,ÄZ, it)
zusammenge-fasst. h ist
gerichteten Menge Z, die mit der Relation
4
1st.
h
Element der
halbgeordnet
Fuer h -^ 0 CkompDnentenweise ) werden die Gitter G
d.h. die Anzahl der Gitterpunkte wird groesser.
n
-feiner,
Zu der Aufgabe Lu « g wird jetzt das Ersatzprob lern
L
h^
"
\
betrachtet.
Aus-f uehrl ich dargestellt wird die numerische Behandlung
partieller Differentialgleichungen in (4,5,14,16,17,19,20)
M l t
(
y
i1k
y
w i r d
z
,t
d i
*i' ,3' ic n
bezei chnet.
)
*
Naeherungsloesung U, an der Stelle
•
(iix.Jiy.kiz.nit)
Kapitel 3
Seite 43
P
Der Veittor y '
y
v
a i e h t +olgenderma*aen aus
l
mit
y
lll
y
'••
IEll'
y
y
121
*•* I E J E l
"^IEJEKE *
I E , J E . KE t IN
(IE - 1)
iX
(JE - l )
Ay
(KE - 1!
4Z
-
1
« 1
-
1
Mit diesen Bezeichnungen ist
bei
einem
einstufigen
Di+*erenzenver+ahren fuer die An+angsrandwertaufgäbe Lu - g
-fuer jede Zeitsehicht (n + 1) ein Gleichungssystem der Form
A
+1
y<" >
.
B
y<">
«.
C
g
(fl,B,C reelle (IE JE KE)*(IE JE KE) - Matrizen)
zu loesen, wobei Konvergenz und Stabilitaet
Eigenschaften der Matrizen A, B, C abhaengen.
von
den
Kapitel 6
6.1
S e i t e 46
E U L E R - V E R F A H R E N
Um das sehr aufwendige Gleichungssystem
A y
( n + 1 )
-
B y
( n )
+ Cg
zu vereinfachen, gibt es nach der Zwischenschrittmethode
von Janenko (12) die Moeglichkeit. diese Gleichung in meh­
rere einfacher
zu loesende Gleichungen
naeherungsMeise
Aufzuspalten. Hier wird die Gleichung
(A,
+ A,
+ A.) y
( n + 1 )
-
(B, .+ B,
+ B.) y
( n )
+ C g
ersetzt durch die drei Gleichungen;
1.
x - Richtung:
2.
y - Richtung:
A
j
y
3.
z - Richtung:
A
|
y
Fuer Jeden
Zeitschritt
Gleichungen geloest.
A. y
(
n
(n
(
n
+
+
werden
+
+ >
«
* )
.
1 )
_
B
B
§
,
y
y
^
nacheinander
(n)
(n
y
(
n
+
+ )
+ t J
die
+
c
drei
g
Kapitel 6
6.1.1.
Seit« 47
D I S K R E T I S I E R U N G
Di» Zeitableitung
wird
Dl-f-f erenzenquDt ienten
durch
n + 1
v
X
der Stelle
Zeitschicht
t • n • 1
Zeitschicht
t - n
x
, y
^ i
IJk
Z
j * k'*"n+l
den
_
ruecl<wa*rt»g«nommenen
n
yv
ljk
approximiert.
Kapitel 6
Seite IB
Die Ortsableitungsn in x- und yRichtung werden durch da«
II"In - Verfahren (7,10) approximiert.
Hierbei
harden
die
Dl**erenzenquütienten und
und K,„ durch den Ausdruck
K
K
r
x "
o o t h
x
r
y
'. y
ersetzt,
wobei
r
bezeichnet werden:
Ableitungen
durch
zentrale
die Di* * usi onskoet* izlenten
K
x
r
=
"
x
c o t h
r
=
y
und
r
x
als
^y
Zell
-
Reynoldszah1en
*
w.
K
Ay
r,y
K
2
y
Da in x- und y- Richtung dieselbe Diskretisierung verwendet
wird, reicht es, die Diskret is i erungsmatr i zen -fuer eine
Koordinatenachse naeher zu beschreiben.
Hierzu betrachten wir die Gleichung 1. aus Kapitel
A. y <
n +
+>
.
B. y
( n
>
6.1
Kapitel 6
Seit* 49
Die Matrizen AI und Bl haben folgende Gestalt:
H
A.
-
(i -=>4i?- «
Bi
-
(I + 4 l T ~
e
mit
6
H
'
)
)
e [0,l]
1 - 6
Einheitsmatrix
Werden DIriChi et'sehe Randbedingungen betrachtet, besteht
die Hauptdiagonale der Matrix Hl aus den Elementen ß , und
die beiden Mebendlagonalen aus den E lernen ten ,0 bzw y .
mit
a
=
K
r
(coth r
2 K
K
x
r
x
x
r
x
+ 1)
coth r
(coth r
x
x
- 1)
Die Ortsableitung in r- Richtung wird durch
den
zentralen
Kapitel 6
Belt* SO
01+*erenzenquottenten
ersetzt.
Pie Matrizen A3 und B3 sehen wie -folgt aus:
=
A j
(i - e _ ^ -
H,
)
A 2'
B,
=
( 1 + 7 -Ü--H, )
Az
2
wobei
die Matrix
H3 dieselbe
Gestalt
hat
wie die Matrix
Hl
mit
K
°z
e
=
z
. -2 K
T
=
z
„
K
z
z
,
z
Die Matrix mit der Inhomogenitaet
C =
l/(ÄXÄyAz)
lautet:
I
Fuer das n i chtau-f gespal tene dreidimensionale
das Gleichungssystem folgendes Aussehen:
y
(n+D
=
By
( n )
+
C g
Problem
hat
Kapitel 6
wobei die Matrizen A und B eine etwas
annehmenl
Seite 31
kompliziertere
Form
A, B
Sie Dimension der Matrizen ist:
tKE JE IE) * <KE JE IE)
Sie bestehen aus KE-KE Bloekmatrizen, die Jeweils wieder
aus JE.JE Blockmatrizen der Dimension IE-IE enthalten.
(IE - Anzahl der Stuetzstellen in x- Richtung
JE - Anzahl der Stuetzstellen In y- Richtung
KE • Anzahl der Stuetzstellen in z- Richtung)
Kapitel 6
Seite 32
mit E als Diagonalmatrix (JE IE) * (JE IE). D besteht
der Hauptdiagonalen aus IE Trldlagonalmatrizen und hat
der Nebendiagonalen Elntraege aus Diagonalmatrizen.
At
Uz)
in
in
Elemente der
1
Z
Matrix B
4t
Uz)'
Elemente der
z
Matrix A
Seite S3
Kapitel 6
6.1.2.
K O N V E R G E N Z
Zum Nachweis der Konvergenz
von
Differenzenverfahren
existieren verschiedene Theorien, die ausfuehrllch in der
Literatur behandelt werden (4,3,6,14,16), daher werden die
Definitionen als bekannt vorausgesetzt und die Saetze ahne
Beweis wiedergegeben.
LAX
-
RICHTMYER:
KONVERGENZSATZ FUER DIFFERENZENVERFAHREN:
m
Gegeben sei ein korrekt gestelltes Problem Lu
g und ein
zu L konsistentes Dif f ererizenverf ahren, dann gilt:
Wenn das Verfahren stabil 1st, dann
konvergent.
a) Konsistenz
1st
es
auch
diskret
des Verfahrens:
Als erstes soll gezeigt werden, dass der Fehler, der durch
die Anwendung der Zwischenschrittmethode entsteht
von
gleicher Ordnung 1st,
wie
der
Fehler,
der
durch
Vernachlaessigung hoeherer Terme beim Diskretisleren durch
die Taylorentwicklung entsteht.
Kapitel 6
Seite 54
Wir beschränken unc aut den expliziten Fall. Bedingt durch
die Au-f Spaltung, koennen
dann
auch
hier
groesaere
Schrittweiten tuer i t
gewaehlt werden.
Wir erhalten folgende drei Gleichungen.
i-
y
(n-ff)
*
(n)
M
* -rh »>*
(n+i)
2.
3.
<n+5->
y
(n+l )
Di* Gleichungen 1,
eingesetzt:
,(n+l)
y
und
(n)
_*t
y
v
r
2.
+ity
+
(n f)
+
werden
Ä
«
*t
+
in
die
„
(n+i)
«»y
H i y
(n +)
3.
+
Gleichung
(n)|_^. _^ _^ ,J
Hi+
+ At* y
H,H,
t y* 4 z'
, 1
,i
+ «t• y (n)[
[ ix* Äy
y
y
t
i
HiHiH»
Hi+
H
Kapitel 6
Seite SS
Ber Fehler 1st:
y U )
L t
H
H
+
r
H
H
+
[-^V- ' ' -7?7z - ' ' -Iy^?-"»H,
+
Es reicht also zu zeigen, das»
,<"•*>
=
y
M ^
t
y
M ^ H , +
-^H,
bzw. das dreidimensionale Di-f-ferenzenver-Fahnen
^"n
zu der 111 + *erent 1 alglelchung konsistent 1st.
+
-±,H
3)
Kapitel 6
Seite 56
L
t
u
h -
L
x
I
»
u
h -
1
y
I
6
u
|
l
-
L
z
I
e
u
h
u (x,y,z,0)
h
u (0,y,z,t)
h
L
2
i
"h^-y» ^^
u (x,0,z,t)
h
Lj u ^ x . l . z . t )
\
u (x,y,0,t)
\
Uj^x.y.l.t)
h
g
h
«=
(Q/axayaz.O, 0, 0, 0, 0, 0, 0 )
T
Kapitel 6
Seite 57
dabei werden die Operatoren - I„. L , L , L . L
definiert:
*
t
T
e
Ajk
„
T
L
t
L
x
L
n + 1
y
ijk
n
V
y
ijk
:
-
• Ajk
+
?
-,
'
y
y
•«
•"
y i+uk"
ljk
A
n _ 1
y
wie folgt
ijk
ijk
t
2 y
ijk+
—7^
y
i-uk
q
x
A X
y"
7
lM-ljk
- y
y
n
1-1 Jk
w
2 4 x
r
y
n
..
Aj+lk ~
y
2 y
lj+lk
1
y
"ljk * "ij-lk
y
ij-lk •
2oy
T
*-»
„
y
n
ijk
-
-
y
—
ljk+1 ~
2
y
ijk
—r>
*
y
ljk-1
K
Seite 5a
Kapitel 6
Wir werden durch TaylorentHicklung die Koniistmi
Operatoren zu dem Dlf+erentialoperator L zeigen:
dieser
1.)
T
t
L
,,
u
n
+
1
ijk
"
1
TT
"
TT
u
(
c,.n+l
ijk "
U
(u
+
ljk
4
t
n «
ijk>
u
u
u
t " ijk
+
a
|
t
u
+
' tt
0 < A f )>
p- 0 ( 4 t )
t
2.1
+K
K r r ((ooth
o « n rr
x
-SIT
K
r
x x
- | -x'
x
(
c
o
t
r
+
x
1
)
(
u
n
t i 1 1 V
i + 1 J k
Ijk-
a
x
u
)
Ä 5 C
x4
u
' xx
0(-x«)) - - T ^ . K r coth r 2 u
+
x
+
-SIT x x
K
+
§ *' xxx
A
h
-- 1)
x; u
u
x
r
u
u
w
u
u
w
U
( c o t h
+
0
(
ix
x
^""ijlc+^x
i
X
' »
q
x x x - x x - ' l x xxx
w
q
x xx - x x" °
( 4 x
x
'>
u
+ 0 ( 4 x l
>
+
I
4 x
i
J
u
k
' *
Kapitel
Seit»
6
59
3.»
L
u
y "ijk
=
0
Vyy" V y "
(
i
y
,
)
4. )
L
U
Z
_1
Ln
"ijk
2u'
ijk+l
u
AZ'
+
A z
-6-
+
ijk
u
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U
A Z
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•6
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u
2
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u
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u
+
+
z
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K
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u
' z z z z * °<"'>
L u
- Lu - L u - L u - L u
u
+ O(at) -
u
x x <-*
y y
(-q
O(az')
+
K
u
t
x
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y
+ K > + 0(A y« )
y
u
- Ote*)
- Lu
t
4 2
°< '> i
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A 2 u
zzz
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V
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2u i j k
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K
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zz
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ijk
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y
Kapitel
Seite
6
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X
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45 [ K
x 0 ( 4 X*
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-
" "U
1
3
x
f V,
ÄX 1»
2
L«x
J
" ]• •••>]
)
0 ( 4 t + 4 x ' + Äy* + Äz* )
^
60
Kapitel 6
Seite 61
DI. Operatoren LI und UJ «n den Ausflussraendern
oberen und unteren Rand sind wie folgt de-finiert:
u n d
v
n
11
y
L
i
IEjk
AEJIC
v
n
y
i-.y"
d * IJEk
y
- 2v
iJE-lk
,
y
a x
n
n
v ijl - yij2
y
L
k Aji
n
- 2V
+ v
' IE-lJk
IE-2jk
n
iJEk
L k
y
Az
n
+ v
iJE-2k
y
Kapital A
S a l t » 62
n
L
i
u
i+ljk
u
L
j
u
xx
0 ( Ä X
'>
"iJ lk
+
*
U
y y + 0(Ay' )
K
k
+
*J**1
z
1
~
K
^J** "
u
z z
+
U1
JK
0 ( A z )
An dan Aus-flucsraandarh liagt Konsistenz dar Ordnung 2 vor,
am oberen und untaran Rand dla Konsistenzordnung 1. Sie
reicht vollkommen aus , da
die
Fehler
durch
die
Modellierung bedeutend groesser sind.
Kapitel 6
b>
Seite 63
S T A 8 I L I T A E T
DES
DIF-
F E R E N Z E N V E R F A H R E N S
Der NachMels der stabilltaet dea Verfahrens kann auf
verschiedene Arten erfolgen. Fuer
das
nach
Janenko
aufgespaltene System werden wir die Fourier - Methode (von
Neumann - StabilItaet) verwenden,' das dreidimensionale
Differenzenverfahren wird mit der Methode von Gerschgorln
t£) untersucht«
STABILITAETSKRITERIUM VON I.V.NEUMANN
Die Idee dieser Methode besteht darin, die
Differenzenverfahrens, bei eingefrorenen
unter Vernachlaessigung der Randbedingungen
Anfangsvektoren der Gestalt
y uk
-
V^T
•
X (14x + jiy + kAz)
zu untersuchen. Fuer Jedes feste X versucht
der Differentialgleichung durch den Ansatz
n
y
Wirkung eines
Koeffizienten,
auf spezielle
man
J-Tx(i4x + JAy + k-»z)
Ijk
zu bestimmen.
*
e
Loesungen
ßU)nat
Kapitel 6
Seite «4
Jede Loesung dieser Gestalt bleibt genau
fuer n -», wenn fuer
G(X)
8
:-
|G(X)| *
dann
beachraenkt
4
e ^ *
i
für alle
* o
R gilt.
Das aufgespaltene Differenzenverfahren 1st stabil, wenn
fuer Jede einzelne Gleichung |G.|£1 erfuellt 1st und das
Produkt IG. auch kleiner gleich 1 ist (Janenko ) (1-1,2,3)
A. y "
+ i
|G,(X)|
-
E,y"
-
|l . ( q -|| . (sln-i|*_)') :
4
x
I
( 4.,, -£.(.!» -*{£->•)!
1+
Fuer 9 c [0,0.S) 1st die Bedingung erfuellt, wenn gilt:
4t
2(1 - 2«) q
x
Kapitel 6
Seite 655
A, y
n + f
|G.(»)I
n + i
=
B, y
•=
II - (%-.£- U m -*£*->»> :
(1 4eq -4| - ( n-i|y-)')|
+
£
Fuer B c £0,0.5)
A t
l s t
"
A, y.n+1
x
3
Sl
1
d
t
e
Bedingung erfuellt, wenn gilt:
A y* .
2(1 - 26) q
y
n +
B, y *
IG (X)
1 1
3
t
>C
1
1 +
K
" « z T ? - (aln-45-)') :
4 9 K
( s i n
z Ti»-
5
^l -)')'
Kapitel 6
Seite 66
0
Fuer e c L >°-3> ist die Bedingung er-fuellt, wenn gilt:
4t
IG ( M I
=
&
Äz
'
2(1 - 26) K
|G,(1) G,()l) G,(X)|
Die Bedingung 1st erfuellt, •fuer
m)
Sc
b)
8 c JÖJO.S) mit der Beschraenkung fuer At ,
A t
[p.5;l]
*
2(1 - 2 0 H"
q
K
, x
Sr
2
max { — — , — — , — —
ax* Äy* az'
5
Kapitel 6
Seite 67
BEWEIS:
.......
a <
z
u
.
2 e l g e n
|
fl
C 1
1
1 + 4M»«t
J
~
3 l
( j|
C
X
4 M t x»
i + 4M»at '
-
X + 4HB4t
J
x
&
+ J
&
l
-
0
1st (uer Jedes 4t erfuellt.
b.
zu zeigen:
M
l i
_
G (X)
i
* M 4t
1 + 4M64t '
^
y
_1
*
4 M 4t
1 4- 4MBAt
£
2
4M 4t
4
2 + 8M64t
2M4t - 4M«4t
«
1
1
•4t
2 M (1 - 2»)
für
e
c [0, -|)
Kapitel 6
2.
Seite 6B
STABILITAETSKRITERIUM NACH GERSCHGORIN
Literstur: Goren-flo.R.
lieber S. Gerschgorins Methode ..(&)
Ein gegebenes Di-f+erenzenver-fihren
Operstor U sei
(L. .M. .JC ).
^
Ti"VheH
a> ausgeglichen
b) konsistent zu L
c) invers-lsoton •
d)
es existiert ein u € X mit Lu * 1.
Sann
ist
das
Maxlraumsnorm.
Dit+erenrenver-f ahren
stabil
in
der
Wir werden hier nur die Invers - Isotonic des Verfahrens
A
y
*
+ 1
.
B y
n
• Cg
nachweisen.(Uebrige Beweise siehe Kutsche und Kiesner 13,15)
Kapitel *
Seite 69
E* lit zu zeigen, dams
1.)
A
«-Matrix ist
*' " a.
h
*
±i
0
f. 1 - J
2.) B,C isoton sind
d.h. .
^
_
C
iJ *
°
Beweist :u zeigen:
1.) a.
1 + 2 ite
4x'
- e
—
[ «*
fe
0
*
o
<
0
Ay*
i
K
*r ]
x
-g-fw-r]
B-üK
Az* •
Z
Kapitel 6
Seite 70
a. - d. sind richtig, da
e, r ,
x
r , K
y
x >
K , q ,
y
q ,
x
K
y
2
K
r
x x
K r
y
y
A ist M - Matrix ohne EinsctiraenKung
2.) zu zeigen: b I J i O
1 - 2
o
9
J
9
* | - ^
K
& -
T£~
-^z-
+
+
- ^ -
r
«*± x x
K
e
r
K i yy
0
Ä t
I tir~
Sie Bedingungen b. Oruenden wie la. - Id.
K
z
d.
sind
erfuellt
aus
denselben
Kapitel 6
S e i t e 71
Die Ungleichung 2a. i s t nur e r - f u e l l t , wenn fuer A t g l l t :
At
S
-f
q
q
x
y
K
•
2el—
*— +
A *— + —Ay*
*
Az
X
l
3.)
Cj,
:
«
o
r.
i - j = I/CAXAJTAZ)
f.
i
*
j
!•
•
3
.
isoton
S i e Beschraenkung fuer At i s t beim a u f g e s p a l t e n e n Verfahren
nicht so eng*
Kapitel 6
6.Z
Seite 72
G E M I S C H T E S
E U L E R - L A G R A N G E
V E R F A H R E N
6.2.1
DAS HINRICHSEN - VERFAHREN
Bei der von Karsten Hinrichsen entwickelten Methode handelt
es
sich
um
ein
sehr
einfaches
Lagrange
Di-f f erenzenverf ahren, welches
die
numerische
Pseudodiffusicn vermeidet..
Als Voraussetzung muss die Bedingung
w(t)
it
eingehalten werden.
Das Diskret lsierungsgi tter, au+ dem die Diffusion berechnet
wird, bleibt unveraendert, d.h.
die
Berechnung
der
Advektlon durch das Lagrange - Verfahren erfolgt
an
denselben Gitterpunkten. Um die Arbeltswelse des Verfahrens
zu er 1 acutem, betrachten wir nur den eindimensionalen Fall
einer hyperbolischen Gleichung
.»"
=
_ ( ) -LHw
t
mit w ( t ) A t
m
*
»x
Kapitel 6
Seite 73
Es wird angenommen, dass sich in Jedem Intervall der Laenge
Ax nur ein Partikel des Schadstoffes befindet und dass
alle Partikel sich zu einem
Zeltschritt
At
gleich
verhalten.
Jedes Teil wi.rd waehrend eines Zeitschrlttes .fitum die
Strecke w(t)&t auf der x- Koordinate Weitertransportiert.
Ist die zurueckgelegte Strecke kleiner oder gleich der
Haelfte des Intervalls AX so wird angenommen, dass keine
Bewegung stattgefunden hat, und der Wert der Konzentration
bleibt unveraendert. Ist
die
zurueckgelegte
Strecke
groesser als das halbe Intervall, so geht man davon aus,
dass die Konzentration den naechsten Gitterpunkt schon
erreicht hat und 'verschiebt' die Werte um ein o3C .
a
Die wirkliche
Position
des
Teilchens
wird
Jedoch
gespeichert und im naechsten Zeitschritt zur Berechnung des
neuen Standortes wieder abgerufen, so dass der Vorgang
wiederholt werden kann.
Das folgende Bild gibt eine
Verfahrens wieder.
schematische
',
~w£~*
I
•Pl
!Y ' r * i
/
r
11
A.
!
*
A
«
i
•
twMMk|«l|t« Sirtflta»
>
«JI|«M»
failtnin*
- • • I H M #*»
Darstellung
des
Kapitel 6
Seite 74
DIE DISKRETISIERUNG DER MODELLGLEICHUNG
Wie schon vorher erwaehnt, wird
die
dreidimensionale
Differentialgleichung mittels der Zwl schenschr i ttmethode In
fuenf Gleichungen aufgespalten, die nacheinander fuer Jeden
Zeitschritt
geloest werden.
a)
QUELLTERM
n
n+f
u
ijk
_
-
w
n
u
ljk
+
D
+
>
•
"~
A x
A t
z
IQJQKO
q
;
^ y
AX , Ay ,AZ
wobei
q
q
q
die den Schornstein
umgebende Gitterbox repraesentiert.
q
:
A
Z
in
-
q
Quellhoehe
Die Quellstaerke Q tg/s) wird in einer Zwischenschicht flt/2
berechnet, falls sie mit der Zeit variiert.
Eine derartige Unstetigkeitsstel le wird zwar nicht von
der
Theorie beruecksichtigt, dort wird eine hinreichend glatt»
Funktion vorausgesetzt, die Rechnung l<ann Jedoch
trotzdem
auf diese Art
erfolgen.
Bei der Interpretation der Ergebnisse muss beachtet werden,
dass in der direkten Umgebung der Quelle keine
Aussagen
ueber die Konzentration
gemacht
werden
koennen,
d»
angenommen wird, dass die den Schornstein
verlassenden
Schadstof -fpart ikel sofort die gesamte Gitterbox aus+uellen.
Kapitel
b)
6
Seite
73
HORIZONTALE DIFFUSION
,.n+t
ijk
u
ijk
u
n
+
+
fix'
T
u
- 2u
2
i±ljk
n + T
U
ijk
+
+ u
n + i
u
1-ljk
• i"
oy»
n +
u
»
u
n
_
ij+lk
2
u
a
u
+
'
+
ijk
+
u
u
n+t
ij-lk
Das «erfahren
1st
dag
uebliche
explizite
zentrale
Dl-f * erenzenschema mit der Ordnung OC^t + &x* + y * )
A
C)
VERTIKALE DIFFUSION'
Auch hier wird
ein zentrales explizites
D1+terenzenver•fahren angewendet. Es muss Jedoch beruecksichtigt
werden,
das die Koe-f i 1 zienten von z und t abhaengen.
n+t
n+f
=
Ijk
u
ijk
+
_6_t_
,
4 a
u
ijk+1
u
u
ijk-1
u
+ K
ijkj z - t
ijk
Kapitel &
d)
Seit« 76
ADUEKTION
Die Advektion in x- und yRichtung wird In den beiden
verbleibenden Schritten behandelt. Die Elskretislerung ist
•fuer beide Koordinatenachsen aehnlich.
x - Richtung:
1. Fall:
w,
fit
^ ' l *
*•
fi
x
-
^ ljk
2. Fall:
w, At
u
n +
\ ,„
ijk
Z
fax
=
u
u
n +
*
i-ljk
y - Richtung:
1.- Fall:
u
W, 4t
<
iJK
'
i
Ay
n + 1
U
ijk
Kapitel 6
Seite ff
2. Fall:
w, it
u
n + 1
fc
•£ &y
-
u
n + t
Um die exakte Position des Schadstoffteils in
Jedem
Zeltschritt angeben zu koennen, wird diese abgespeichert:
n
I w{i At) - p
AX
At
W gibt die Position zun n- ten Zeitschritt At
Innerhalb
der Interval 1 aenge AX an, wobei p- tnal dl* Siskretislerung
von Pali 2 verwendet worden 1st.
w wird fuer. Jede
abgespeichert.
Koordinate
getrennt
berechnet
und
Kapitel A
Seit« 78
6.2.2
K O N V E R S E N Z
Im folgenden werden die Stabilltaet und die Kanslst:»: fuer
das in Kapitel 6.2.1 beschriebene Differenzenverfahren
gezeigt.
STABILITAET
Wir setzen 'eingefrorene* Koeffizienten voraus und verwen­
den wieder das Stab! 11 taetakriterlum von J. Neumann.
Zuerst wird gezeigt, unter welchen Bedingungen
gespaltenen Gleichungen einzeln stabil sind.
y
n + ,
-
y
1G,U)|
&
1
+ t
"
y^
y
i
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Seite BO
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Kapitel 6
2.
Gleichung
~
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1
|G,{OI *
1
immer er-fuellt
1
. ,
und
fly
Kapitel 6
Seite B2
Das Di-f+erenzenver+ahren Im Bansen ist nun stabil, wenn das
Produkt de:- einzelnen Ampil*tkatlonsmatrizen kleiner gleich
ein» 1st.(Janenko)
l(X-4«t(&
f e6y) ) (l-44t feil
ix
a?
+
v
S i e Ungleichung i s t e r - f u e l l t , wenn <utr 4 t
4t
gilt:
*
2 « « ^ * a f i af»>
Der Beweis ver-laeu-ft analog dem Beweis in Kapitel
Hier wird nur der explizite Fall behandelt.
6.1.2.
Kapitel 6
b)
Seite 83
KONSISTENZ
Es wurde schon in Kapitel 6.1.2.1) gezeigt, dass der
durch
die Au-fspaltung entstandene Fehler zu vernaehlaessigen ist.
Es reicht
aus, dass nichtaufgespal tene
Verfahren
zu
betrachten. Wie allgemein bekannt,
1st die Konsistenz­
ordnung
der
zentralen
Differenzenquotienten
(Diskretlsierung der Diffusion
in x-,
yund
z-Richtung)
0{*X* • a y + A z )
und
die
der
rueckwaertsgenommenen
Differenzenquotienten
fuer die Zeit
Diskret isierung
f
,
1
0(aU
Die Konsistenzbetrachtung fuer das 'Hinrichsen - Verfahren'
laesst sich
leider
nicht
nach dem
uebllchen
Schema
durchfuehren.
Im folgenden wird die reine
dimensionalen betrachtet.
Advektionsgleichung
im
ein­
Die Motivation fuer dieses Verfahren laesst sich aus der
Charakteristiken
- Methode
(Caurant-Hllbert
(3))
fuer
hyperbolische
Differentialgleichungen
mit
konstanten
Koeffizienten ableiten.
Zu der
Differentialgleichung
•^c- u ( x . t )
.
_w - j L - u ( x , t )
erhielt man als Loesungsschar die Charakteristiken
C
m
X - W t
Kapitel 4
Seite 84
Unter der Annahme von konstanten KDeff liienten koennte der
Teil
unserer
Differentialgleichung,
der die
Advektion
behandelt, au-f diese Art d iskretislert werden. Man waehlt
C
•
X - w t
d.h. es wird ein bewegliches Koordinatensystem
das mit der Geschwindigkeit w verschoben wird.
betrachtet,
Sa in diesem betrachteten Fall die Koeffizienten w von der
Zeit abhaengen, laesst sich das Problem
nicht so einfach
loesen. Uuerde man einen reine Advektionsgleichung betrach­
ten, so koennte man durch variable Ortsschrittweiten,
die
sich Jeweils der Strecke w At anpassen, eine ebenso einfach
zu loesende Diskretisierung erhalten.
Da die Diffusion In drei
RaumdimensiDnen
ebenfalls
noch
berechnet werden muss und daher eine Umrechnung
auf
die
dort verwendeten Cltterpunkte notwendig
ist, wuerden
bei
variabler
Ortsschrittweite
nicht
zu
ueberwindende
Schwierigkeiten auftreten.
Das von K. Hinrichsen vorgeschlagene Verfahren macht
nun
zwei Fallunterscheidungen.(Betrachtung in Eindimensionalen)
Sie 1. Gleichung
y
y
n
+
1
l
D
-
y
•
y i
wird verwendet, wenn der Wind so gering 1st, dass
w
1
2
AX
fit
gilt, d.h. die DiskretIslerung nimmt w • o an.
Kapitel 6
Seite BS
Dl* 2. Gleichung
v
y
n + 1
i
-
n
y
y i-1
wird verwendet, wenn W
*
i-if"
ist. d.h. es wird *uer den Wind
W
At
angesetzt, wDbei w
die
Zeitpunkt n + 1 angibt,mit
Position
.n+1
des
I w(i 4t) - m
•
und m gibt an, wie ft die Z.Gleichung
Zeitpunkt verwendet worden 1st.
Teilchens
AX
4t
bis
zun
n
zun
Kapitel 6
Seite B6
A.Eindimensionale Advektlon mit konstantem Wind
Um die Ueberleitung auf variable Koeffizienten anschau­
licher zu gestalten, soll erst einmal davon ausgegangen
werden, dass ein konstanter Wind w vorhanden ist. Fuer
wAt • Ax wuerde man eine normale Koordinatentransformation
durchfuehren. Es wird dann nur die 2. Diskretisierung
verwendet
und
hierfuer
kann
die
uebliche
Konsistenzbetrachtung durchgefuehrt werden.
Nimmt man aber an, dass AX , it in gewaehlt sind, dass
u At 'x ist, so kann das Verhalten von der Verwendung
beider Gleichungen untersucht werden.
Fuer feste w,.-At, AX kann man immer zwei natuerliche Zahlen
s und p angeben, so dass gilt:
<
S W At
P Ax
s.p
d.h. nach s Zeitschritten At-, wird der P-te Gitterpunkt
getroffen. Zu diesem
Zeitschritt
macht
man
keinen
Diskreti*:erungsfehler.
Fuer die von K. Hinrichsen vorgenommene Fallunterscheidung
erqlbt sich nun eine Oszillation des Diskretislerungsfehlers und zwar mit der Wellenlaenge m AX und der Frequenz
1/nAt.Fuer n-m hat man wieder ein Charakteristikenverfahren
und Th ist gleich 0 bei Jedem Zeitschritt.
Ill« «i oatillttlm ««• liMraUtlifWitcrtfilan i w» I I « » lull« i ,
• I I Mr rnivMI j l i .
fe
Kapitel 6
Seite 67
Flier
die
Konsistenzbetraehtung
werden
die
beiden
Gleichungen getrennt nach Taylor entwickelt.
Daraus erhaelt man folgenden Diskretlsierungsfehler:
L u
«
V
- - x< - &
fi
-w u
u
+
x
w
0(it)
+
u
°<"> - x x ^
Hiermit hat man zwei Abachaetzungen erhalten, die Auskunft
darueber geben, wie groaa dar Abbruch*ehler bei Verwendung
eine« der beiden Verfahren bei einem Zeitachritt At iat.
Sa die Diskretislerungen In einem bestimmten
Zyklus,
abhaengig von Ax und wit , hintereinander
angewendet
werden, kann der Abbruch-fehler nach n - Zeltschritten wie
-folgt geschrieben werden:
-u (n w - m ||) + 0(at+ax)
x
m gibt hierbei an, wie oft die zweit* Diskretlslerung bei n
- Zeitschritten angewendet wurde.
Der Diskretislerungsfehler geht nur dann gegen Null, wenn
Ax/&t-»w streben wuerde, dann In diesem Fall strebt auch
m * n. 0
t t wieder der Idealfall
wit • ix
a s
s
Dieses Verhalten ist nicht
anders
zu
erwarten,
denn
la
Kapitel 6
Seite 88 .
ersten Pali wird die Differentialgleichung:
u
=
t
0
d i s k r e t i s l e r t und im zweiten Fall:
u„ + i x / i t u
Um weitere Aussagen ueber die Konsistenz und Konvergenz
machen xu koennen, fuehrten wir fuer die eindimensionale
Advektlonsglelchung Beispielrechnungen durch.
Die Ergebnisse werden hier nicht ausgedruckt, da sie sich
von denen In Kapitel 7 nicht wesentlich unterscheiden.
Durch die Beispiel rechnungen konnte gezeigt werden
das Hlnrlchsen - Verfahren linear konvergiert
Fuer die eindimensionale Advektlonsgl'elchung
der globale Fehler wie folgt schreiben:
UE - IL
-
n
(E i *t)
n
fc
-
laesst
0(4t +
BE'JEls:
1
F
1
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u n +
u l
V- V
- ^ - ( u ( x ( n + l ) 4 t ) - uCxj.not))
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n + 1
i-»
n
M
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'
•—• ( u U ^ C n + U i t ) - u{x^ - Ax.n^t))
tx)
sich
Kapitel 6
Seite 89
Addiert man die Diskretislerungs-fehler vom Zeltschritt
n « O auf, so erhielt man
n+1
1
T
=
h
.
-&V
(uCxj.tn+DÄt) - u(x -m4x,0))
i
da aber
u
n + 1
1 T
.
-
u(x
h
"
1
"ST
Daraus folgt,
laesst:
e
h
-
- mftx.O)
±
( U
/, n+1
"
dass
sich
-u (wot - 2
x
„n+1 »
h
'
u
_1_
4t
h
}
der
4 X
)
e
globale
Fehler
schreiben
o(At') + o(«x)
+
0(ot + ftx)
Die natuerllche Zahl m laesst
berechnen*
sich
fuer
konstanten
Es ist die natuerllche Zahl, die dem Ausdruck
(n+1) p
am naechst<.r> liegt.
Wind
Kapitel 6
Belt* vo
B. Eindimensionale Advektlon mit variablem Wind
Betrachtet nan die eindimensional* Advektlonsglelehung
variablem Ulnd,
4H_ w(t)-iH_
+
mit
. o
so lau-fen die Betrachtungen parallel.
Die Lofsung der Differentialgleichung 1st die Funktion:
t
u(x - J" w(s) ds)
mit der Koordinatentrans*ormation
t
x - J w(s) ds
Die Aussagen ueber Konsistenz
gleichen wie in Abschnitt A.
und
Konvergenz
sind
die
Die lineare Konvergenz wurde auch numerisch bestaetigt.
Die Zahl m, die angibt, Hleoft bis zu» n- ten Zeitsehritt
die zweite Dlskretisierung verwendet Morden ist. laesst
sich nicht mehr explizit angeben.
Kapital •
»•ite »i
C. Eindimensional» Diffusions - Advektlonsgleichune
Oeht man nun einen fehritt weiter und betrachtet
eindimensionale Diffusions - Advekttonsolelchuna
-yg- • Wlt; -J^J-
so erhaelt man fuer
Dlskretlslerungen:
1.Gleichung:
n +
u \
2.Gleichung:
U
+
"\
die
w(t) £t
-
-
K — r
Fat^Unterscheidung
<
"5
K
«it
A
die
beiden
x
n
A * -&- ^ i - i - ^ " i * A + i '
w(t) *t
^
w ax
- A - i * -1^ « A - «-"»-1 * A-i>
So erhaelt man folgende Siskretlsierungsfehler:
Kapitel A
T
h
-
Seite 92
\
4
t u
tt
+
u
x < T T T - wj
+
K AX U
+
X X X
U
^'«-T|- XXX--|^>-
u ( - | | - - w) + O(At) + 0{Ax)
x
T
h
-
" x k
»
-w u
w
u
+
tt - -TT »*" xxxx ••'
4 tu
K
u
l
x
+ 0(at) + 0(Ax )
d.h. fuer Ax/At*w(t) ergibt »Ich
von 0(4t + Ax)
eine
Kensistenxordnung
Kapitel •
«•It» »3
Leider Mar es uns nicht aoegllch, eine mathematisch exakte
Konvergenzbetrachtung fuer die Advektions - Diffusions
glelchung durchzufuehren, sondern nur fuer die
rein»
Advektlonsgleichung.
Sie bestehenden SchHleplgkeltcn sind schon vorher erwaehnt
Norden) beide fuer den Advektlonsterm verwendeten Olskre
-tisierungen approximieren zwei Differentialgleichungen,
die nicht mit der Ausgangsgleichung identisch sind (bzw.
nur unter bestimmten 2usatzVoraussetzungen)
Die lineare Konvergenz des Verfahrens zeigen Jedoch die In
Kapitel 7 durchgefuerten Fallstudien., sowohl fuer konstan ten wie auch fuer variablen Wind, recht gut.
Dies U » i t sich damit erklaeren, d i u beide Diskret;sie rungen abwechselnd benutzt werden
und
dadurch
eine
Mlnlmierung des Fehlers herbelgefuehrt wlru.
Kapitel 7
7.
Seite •*
F A L L S T U D I E N
Dl* beiden
zur Simulation
von
Ausbreitungsmodellen,
•rateilten Verfahren wurden an einer Siemenaanlage (BS
3000) in der Programmiersprache Fortran IV erstellt.
Zum Nachweis der theoretisch erarbeiteten Eigenschaften
wurden Testrechnungen durchgefuehrt.
Besonders interessant sind diese fuer das Verfahren von
Karsten Hinrlchsen, da die hicrfuer in der Theorie nur
andeutungsweise vorliegenden Fehlerbetrachtungen hier in
der praktischen Untersuchung welter ausgearbeitet werden
konnten.
f
In die Diffusions - Advektlons - Gleichung wird eine
ausgewaehlte Funktion eingesetzt und die Inhomogenltaet Q
so
ausgerechnet,
dass
die
Funktion
Loesung
der
Differentialgleichung ist.
Fuer die folgenden Beispiele lautet die Funktion:
u(x,y,z,t)
-
exp(-l/10K(x+y+z-2wt))
x.y.z
e
[0.1]
t
c
[0,0.1]
K
x -
Wi
•
K
y '
Wl
K
z "
»
const.
w
Dl* Windwerte w und die Dlffuslonskoeffizlenten K werden so
gewaehlt, dass drei verschiedene Wetterklassen (stabil,
labil, neutral) nachvellzogen werden. Die dazugehDerigen
Reynoldszahlen haben unterschiedliche Groessenordnungen.
Dl* drei Beispiele werden sowohl mit konstantem als auch
mit variablem Wind berechnet.
Kapitel 7
«•it» «3
Da die Werte w und K In den Richtungen gleich gross gesetzt
Herden, Hlrd auch de;- Oltterabstand In den. Ortsrichtungen
gleich geHaehlt.
4x
•
ny
»
4z
Als Schrlttweltenbeschraenkung -fuer At erhielt man dann die
folgenden Ungleichungen ISelteA6und Seite 631
HINRICHSEN:
1)
W *t
*
ÄX
2)
4
t
6
_i*L_
4K
IL'IN:
3>
4
*
4
u(x,y,z,0)
=
t
& X
'
2 m a x U r coth r. K)
ANFANQSFUNKTION:
exp(-l/10K(x+y+z))
Kapital 7
S*Jt» 96
RAENDER:
U(0,y,z,t) -
Ull,y,:,tl
- •xpl-l/10KU+y+z-2wt) >
U<x,0,z,t) •
U<x,l,z,t)
expt-l/10K(y*z-2wt>>
exp<-l/10K(x+z-2wt>>
• exp(-l/10KCx*l+z-2wt> J
U<x,y,0,t) -
exp«-l/10K(x+y-2wt)>
U(x,y,l,t>
»xpI-l/10K(x+y*l-2wt>>
•
INHOMOGEMITAET:
0
-
UE (-3/100K)
0
-
UE (-3/100K - t 2 w e /10K)
f u e r
_t
+ u e r
w
.
C D n l
» " "<*'
Kapitel 7
»•it» 97
Sie Verfahren Herden Mit Mehreren Sehrittwelten getestet.
Sie sind fuer Hlnrichsen und II'in verschieden! ua die
Konvergsnzordnung von i fuer Hlnrichsen und 2 fuer XI*In
nachweisen zu Icoennen. Ua die Sroessenordnung der Fehler
bei beiden Verfahren alteinander vergleichen zu Icoennen,
werden die Ergebnisse fuer Jede Schrittweitenfolge fuer
beide Verfahren ausgedruckt.
Fuer Hlnrichsen werden die Schrittweiten so gewaehlt, dass
sich nach s Zeitschritten die Konzentration
ua
die
Interval 1 aenge 6. x verschoben hat, d.h. s w At » A x . Dieses
1st nur bei konstanten Wind aoeglich.
Ausgedruckt wird Jeweils der maximale Fehler urbar
Zeltschritte wobei dieser sich wie folgt berechnet:
(
IE JE KE
I I 1 (UEU.J.k) - VL(l,J,k))/IE JE KE
3. 1 1
\
all*
Kapitel 7
7.1
S e i t » 98
K O N S T A N T E R
W I N D
1.Beispiel:
Neutrale Wetterlage
Wind -
14.0425 Km/STD
Kz
»0.1
Km2/STD
r
- 17.58 bis 2.2
fl
Schrlttweltenbesehraenkung -fuer t
*
*
j » j » j # j t j£_j#J»_«fjrjtJfcJ£
*
*
fix
*
*
*
HIN 1)
*
*
*
HIN 2)
*
*
«• IL* IN 3>
*
*
*
XIXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXKXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX»
*
*
*
0.2S
*
*
0.123
*
0.0625
*
0.008.
O.004
*
0,03123
*
#
*
0.13623
*
*
*
*
*
0.017
*
*
*
#
*
O.03906
*
* '
*
*
*
*
*
0.017
*
0.O0977
*
0.002
*
O.008
*
*
*
0.004
*
0.00244
#
*
*
*
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*
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Kapitel ?
Seit* 100
2.Beispiel:
Labile Wetterlage
Wind -
13.O Km/STD
Kz
-
0.623 Km2/STD
r
-
3.0 bis 0.373
Schrittweitenbeechraenkung fuer
At
*
* IL'IN 3)
*
*
*
» W t f i r i f i f t f w t f w w t* i* u •*
IT A A A A ft A JVH'H A * » * A H
*
*
*
0.O16
*
0.O0623
*
0.00829
*
0.0019623»
*
0.00039
*
»
*
*
0.003123 *
*
0.002083 *
*
*
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0.00078
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Kapitel 7
Seit» 102
3.Beispiel:
Stabila Wetterlage
Wind -
31.23 Kra/STD
Kl
-
0.0* K«i2/STB
r
»
97.7 bim 12.2
Sehr!ttweitenbeschraenkung *uer t t
1
1
X X i t it" TE-THCTC 'K 'X 'X X *• X i r X X X X TK
*
*
*
*
HIN 2 )
* IL'IN 3)
*
*
*
*
j*jr*i_j(JtjtJLJtJULJLJLJtJtJt
H A A A A A ATW Jff A A A H A 71
AAAJTRAAAAAAAAAA
Kapitel 7
5*tie IC3
Absolute Fehler -fuer Beispiel 3:
Fehlerquotienten fuer Hlnrlchcen - Verfahren:
*
*
l*
*
*
*
*
*
At
»0.25
*
*
*
*
#
#
0.125
0.0623
0.03125
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
a
*
*
*
*
* Fehl. HIN * Fehl.ILIN * Quot *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0.6«41E*3 *
*
0.6194E*3 *
*
0.3029E+3 *
*
O.1458E+3 *
*
*
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*
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*
D.9746E<-6 *
*
* 1.04 *
0.4079E+6 *
*
* 2.04 *
0.1377E+6 *
*
* 2.08 *
0.5620E+5 +
*
*
»
*
*
FehlerquDtlenten fuer II"in - Verfahren:
*
*
*
*
Ax
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
•
*
4t
*
0.25
*
*
«
* Fehl, HIN * Fehl.ILIN * Quot *
*
*
*
*
*
*
1
*
*
*
*
*
*
*
0.6441E+3 *
*
0.B407E + 5 *
*
0.5077E+5 *
*
0.3469E*5 *
*
*
*
*
*
0.125
*
*
0.0&23 *
*
0.03125 *
0.00B
*
*
0.002
*
*
O.OOOS *
*
0.000125*
*
*
*
s
2
4
B
*
*
0.9746E+6 #
*
* 6.03 *
0. 1616E+6 *
*
* 4.01 »
0.4027E+5 *
*
* 2.91 *
0.13B5E*5 *
*
*
*
Kspltel 7
s
*»te 104
Ergebnisse mit konstante» Wind:
Sie theoretischen Eigenschaften fuer das Hinrlchsen Verfahren konnten praktisch nachgewiesen
werden.
Sie
errechneten SchrlttMeltenbeschraenkungen stimmen mit den
praktischen uebereln(Siehe Beispiel 2 ) . Das
Verfahren
konvergiert linear. Fuer s«l sind die Ergebnisse, wie
erwartet sehr gut', denn es tritt nur' ein Fehler bei der
Blskretislerung des Diffusionsterms auf. Fuer S-2.4.B ist
Jeweils der groesste absolute Fehler au+gefuehrt. Wie in
Kapitel
beschrieben, oszilliert dieser Fehler jedoch von
Zeitschritt zu Zeitschritt. Nach dem s-ten Zeitsehritt ist
der Fehler am kleinsten.
Beim II* In Verfahren konnte die Konvergenzor-dnung von
gezeigt werden.
zwei
Im Vergleich der beiden Methoden schneidet <ias Hinrlchsen
Verfahren besser ab. Man erzielt schon gute Ergebnisse •fuer
grosse Schrittwelten Ax, At -fuer den Fall s-1. Die Fehler,
die bei der groessten Schrittweite entstehen, sind bei
II'in um den Faktor 1000 groesser. Auch fuer s-2 üind die
Ergebnisse bei Hinrlchsen besser als bei .'JMn, obwohl bei
letzterem quadratische Konvergenz vorliegt. Diese nacht
sich allerdings erst ab s-4 bemerkbar.
Die Schrittweltenbeschraenkung fuer grosse Reynoldszahlen
1st bei Hinrlchsen und Il'in gleich, denn es gilt fuer
grosse r ungefaehr coth r « 1
Beim ' Hinrlchsen
Verfahren
ist
fuer
kleine
DiffusionskDefflzlenten auf die Beschraenkung i t < AX
achten. Fuer grosse Dlffusionskoeffizienten (S.Beispiel 2)
ist die Einschränkung durch die Blskretislerung
der
Diffusion groesser.
I U
w
Kapital 7
7.2
S e i t e 103
V A R I A B L E R
WIND
Fuer
dies*
Beispiel«
wird
Loesungsfunkt ion verwendet:
u(x.y,z,t)
-
auch •
die
-folgende
exp(-l/10K(x+y+z-2w(t) t ) )
Die Inhomogenltaet lautet:
_t
UE(-3/l00K - t 2w e / 1 0 K )
Fuep den Windwert w
w
Mird
=
w exp(-t)
gesetzt. Das bedeutet, dass der Wind mit der Zelt abnimmt.
Da tc[o,0.l] verringert sich der Wind um 10%. 0 1 M »
entspricht auch unge+aehr den Uindschwankungen der Modelle.
Die Schrlttweitenbeschraenkungen koennen von
uebernommen werden.
Kapitel
7.1.
< X X X X X » X XX X X X X X X X * * * * * * X X X X X X
*
*
*
I****************************
*
*
* 0*3tr9Bl O * T-H6SS9-0 *
*6C-T*
*
*
*
* 0 + 3 S Z £ £ ' 0 * 0+381-01'O *
*
*
*
*
*
*
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*
*
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*
* T+31r£0Z'0 * 0 + 3 £ 9 f r 6 ' 0 *
*
*
*
*
*
*
*
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*
* 0+396;6'0 * 0+3Z9CC0 *
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Kapitel
7
Salt*
Fehlerquotlenten
1
-fucr I I In -
107
Verfahren:
XXXKXXXXXSXXKXXXXXXXEXXXXXXXEXXXXXXXKXXXXXXXXIUXXXXXXXEEXI
*
*
*
ax
*
*
*
*t
*
*
*
*
»
*
*
*
* Fehl. HIN * F e h l . I L I N * Quat *
*
*
*
*
XXXXXXTXXXXXXXXXXKXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXSKEXXKXXXXXXI
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0.2S
*
*
0.123
*
*
0.0623 *
*
0.03125 *
*
0.017
*
*
0.004
*
*
0.001
*
*
0.00027 *
*
1 * 0.9462E+0
*
2 * 0.2736E+0
*
4 * 0.2545E+0
»
B * 0.1401E+0
»
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0.2034E+1 *
*
* 4.S3 *
0.4471E+0 *
*
* 3.67 *
0.1217E+0 *
*
* 3.63 *
0.3349E-1 *
•
*
*
*
*
*
*
*
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
K
«P
l t e l
7
S.U.
103
2.Beispiel:
Labile Wetterlage
U
« 13.0*EXP(-t>
Kz
- 0.623 Km2/STD
r
« 3.0 bis 0.373
Absolute Fehler (uer Beispiel 2:
Fehlerquotienten -fuer Hinrichsen - Verfahren!
*<»i****M***************r*****f xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
*
*
*
AX
*
*
*
at
*
*
*
s
*
*
*
*
*
*
*
*
* Fehl. HIN * Fehl.ILIN * Snot *
1CW*"ft H HTW A ÄTPWiCX * Ä A. Jl * TT A X'* X A Ä A A A * X * W X » ft A IT R l w l l U r A H M f X i m X X T I t T T
»
*
*
* 0.23
*
* 0.123
* 0.016
*
* 0.00B3
*
#
*
*
*
#
*
1
* 0.4840E-2 * 0.9131E-1 *
*
*
*
* 1.97 *
* 0.243BE-2 * 0.4375E-1 *
*
*
*
*
* 0.0623 * 0.00416 *
*
*
*
1
* instabil
*
*
* instabil
*
*
*
* 0.03125 * 0.00208 *
1
* instabil
* instabil
*
*
*
*
*
*
*
*
1
*
.
A A A A "w"A
A A X A "A" 'A' 'A A A A "ft 'A 'JPW w •• A A A"A A K % Ä K A
A"K
*
*
*
*
*
Kapitel 7
s
» ' t e 109
Fehlerquotlenten -fuer 11" in - Vcr4«hr«n!
*
*
*
*x
*
*
*
*l
*
*
*
s
*
*
*
*
* Fehl. HIN * Fehl.ILIN * Quot *
*
*
*
*
KXX»XXXXXXXXXXIXX«XXXIIIXXXXXX»XXIXXXXXXXXXXIXXXXXXXIXXXXX
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0.25
*
*
0.125
*
*
0.0625 *
*
0.03123 *
*
*
*
0.014
*
*
0.00416 *
*
0.001042*
*
0.00026 *
*
*
*
*
*
1
* 0.4837E-2 * 0.9131E-1 *
*
*
*
* 4.08 *
2 * 0.1713E-1 * 0.2237E-1 *
*
*
*
* 4-02 *
4 * 0.1260E-1 * O.S5ä*E-2 *
*
*
*
«4.00*
8 * 0.7113E-2 * 0. 1391E-2 *
*
*
*
*
*
Kapitel 7
s
» « t » 1X0
S.Beispiel:
Stabil* Wetterlage
U
- 3X.2S * EXPt-t)
KZ
- 0.04 Km2/STD
r
- 97.7 bis 12.2
Absolute Fehler fuer Beispiel 3:
Fehlerquotienten + uer Hinrichsen - Verfahren:
xxxxxxxxxXX X X X X XxxxxX XXXXXXXXXXX X'XüHi
*
*
*
4x
*
*
*
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*
x Fehl.
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*
*
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*
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*
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X I X Jl A Jl Jl T T T TT V TL K K X A A A I t
*
*
*
*
*
* 0.2S
* 0.008
x
*
0.1139E+5 *
*
0.7571E+4 *
*
0.4076E+4 *
*
0.2940E+4 *
*
* 0.0623 * 0.002
*
*
* 0.03125 x 0.001
x
x
x
*
*
«•
x
*
*
*
*
*
*
*
*
* 0.123
* 0.004
*
*
*
*
*
JLJt. JtJt JtJt JtJtJtJt Jt
JI x A R H m r x A R T
0.1737E+& *
*
* X.SO *
0.7432E+3 *
*
* X.B6 *
0.26B6E+3 *
*
* X.39 *
0.XX33E+S *
*
*
*
K»?ttel 7
Seit*
m
Fehlerquotienten *uer II'in - Verfahren:
1
X X X~X X X X XXX XXX VX XX X XX X XX X XX X XX XXX XX X «"X X X X X K X X X X X X X X X X X X X X X X
*
*
*
*
Ax
*
*
*
it
*
*
*
*
*
*
*
* F e h l . HIN * F e h l . I L I N * Quot *
*
*
*
*
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXiCXXXXXXXXXXXXXXXX
*
*
«•
*
*
*
*
*
*
*
0.2S
*
*
*
0.125
*
*
0.0625 *
*
0.03125 *
0.00B
*
*
0.002
*
*
0.0005 *
*
0.00012-5*
*
*
1
2
4
8
*
*
*
*
*
*
*
*
*
0.1139E+5 *
*
0.1694E+5 *
*
0.1500E+5 *
*
0.7WSE+1 *
*
*
*
*
O.1737E+6 *
*
* 5.36 *
0.3238E+5 *
#
* 3.69 *
0.87B0E+4 *
*
*2.E0*
0.3138E+« *
*
*
*
Kapitel 7
Seite H 2
Ergebnisse mit variablem Wind:
Die errechnete Konvergenzcrdnung konnte Mieder
Verfahren praktisch gezeigt werden.
fuer
beide
Die Schrittweiten werden so gewaehlt, .lass:
gilt. d.h. '
«
w
Es werden also dieselben Schrittweiten wie fuer konstanten
Wind verwende"., um die verschiedenen Konvergenzordnungen
zeigen zu koennen.
n a x
Dadurch, dass der Wind nur sehr gering mit der Zeit
abnimmt, wird bei dem Hinrichsen - Verfahren fuer die
ersten Zeitschrltte immer die 2.Diskretisierungsgleichung
verwendet. Bei dem 1.Beispiel wird in dem Zeitintervai1
<O,0.1> fuer die erste Schrittweltenwahl nur die eine
Oleichung verwendet, trotzdem ist der Fehler halb so gross
wie bei der - Berechnung mit dem II*in - Verfahren mit
denselben Schrittweiten.
Der Fehler beim Hinrichsen - Verfahren ist am kleinsten,
wenn w&t * 'X gewaehlt wird. Dieses entspricht auch den
theoretischen Ueberlegungen.
Fuer
grosse
Schrittweiten
schneidet
Hlnrlchsen-Verfahren besser ab, so dass es fuer
•on-1Ine*-Berechnung
von
Schadstoffausbreitungen
II*in-Verfahren vorzuziehen 1st.
das
die
dem
Kapitel 7
S e i t e 113
Die -folgenden B i l d e r
zeigen
den
Fehlerverlau*
Hlnrichaen - Verfahrens In dem Punkt ( 0 . 5 , 0 . 5 , 0 . 3 ) und
Z e l t i n t e r v a l l ( 0 , 0 . 1 7 B ) am B e i s p i e l 1.
•
.
»t
»X
ebe. Fehler
o.oiT
0.25
B.7S
-u.. L __
-trrsf
des
dem
•+-•0.U7B
(Fehler)
O.OOB"
0.125
1.41
abs. Fehler
,'0.178
(Fehler)
-+-,
i-j
«X
«be. Fehler
1
1
•
-
0.004"
0.0625
0.G9
„--T
~M- / V
~S?*78
Kapitel B
8.
Seite 114
V E R I F I Z I E R U N G
DES
M O D E L L S
Vor der VerHliierung » • Modell* anhand von Experimenten
Hürde
Jeweils
ein
TestJau-f
mit
Jedem
Verfahren
durchgefuehrt, um sicherzustellen, dass Windrichtung*
aenderungen richtig umgesetzt werden.
Diese
Berechnungen
wurden
mit
ein»r
konstanten
Windgeschwindigkeit
von
1m/s
und
einem
konstanten
Di-f+uslonskoef-f iilenten
* y "
"
«*/s
durchg'e+uehrt. Der gesamte Berechnungszeltraum betrug 30
min.
K
K
x
-Ml
K
1
0
z
II»
Bild 8:
Isolinien fuer das Hinrichsen-Verfahren
Kapitel 8
Sslte i.-s
:
Isolinien fuer das II *in-Ver+ahren
Sie Windrichtung wurde alte 10 min. um 30 Grad gedreht,
dazwischen wurden die Uerte extra- bzw interpoliert. Die
An*angsrichtung betrug 180 Grad (Suedwlnd) und am Ende des
Berechnungszeltraums waren 270 Grad (Westwind) erreicht.
Wie die Zeichnungen zeigen, werden diese Aenderur.gen
beiden Verfahren gleich gut umgesetzt. Die Ergebnisse
II'1n-Verfahrens sind Jedoch etwas breiter 'gestreut',
die des Hlnrlehsen-Ver-f ahrens.
von
des
als
Kapital •
«•it» IIa
Am Kernforsehungszentrum Karlsruhe (40) wurdan varschladane
Feldversuche durchgefuehrt daran Datenmaterial zun Teat
dar baidan
Verfahren
und
zur
Ueberpruefung
ihrar
Irauchbarkait in dar Praxis bezuegllch Rechenaufwand und
Oenaulgkeit, herangezogen nurda.
f
Es axlstlaran leider nur sehr wenige dieser Datensaetze, da
Experimente dleaer Art zum einem nicht voellig gefahrlos
fuer die Umwelt sind und zum anderen eines sehr graaaan
Aufwandes beduerfen da MeastatlDnan in einem groesseren
Radius um die Quelle aufgestellt werden muecsen.
(
Das Gelaende des Kernforsehungszentrum
Karlsruhe
ist
hlerfuer Jadach sehr gut geeignet, da kaum ein* Bebauung in
den. interessierenden Barelch vorzufinden 1st und SB die
Masswartsammelstallan fast immer in
einem
sinnvollen
Umkreis aufgestellt werden konnten.
Sei diesen Experimenten wurdan zwei verschiededene Tracer:
a. tritierter Uasserdampf
b. halogenierter Kohlenwasserstoff
verwendet. Diese wurden in einer Quellhoehe von
freigesetzt, was der normalen Hoehe eines KraftwerkSchornsteines entspricht.
100
m
Die Kanzentrationsvertellung am Boden
wurde
von
25
SammelStationen gemessen! die entsprechend dar Wetterlage
um die Quelle angeordnet waren.
Insgesamt fanden 23 Experimente statt. Mit der Freisetzung
des Tracers wurde 20 - SO Minuten vor der ersten Messung
begonnen! um eine konstante Quel Irate zu garantieren. Fuer
Jedes Experiment
fanden
2 - 3
dreiesigmlnuetlge
Messperioden statt.
Kapital •
«alt» 117
Ala
netaopologlachea
Datenmaterial
atandan
10
Mitteluert* von Wind und Tenpepatup S U P Varfuaguna:
1.
Windgeschwindigkeit In 10 Maaahaahan
von 20-2001«
11.
Windrichtung In 6 Maaahaahan
von 40-200»!
ill.
Temperatur in 7 Messhoehen
von 2-ZOOra
Hitriui
konnten
dla
Wepte
zup
Berechnung
Di-ffuslanskocf-f Ixlenten abgeleitet wapdan.
Futr di* vepi+lzierung wupdan
vlap
Experimente
untrpaehiadllehen Wettepiagan auagewaehlt:
Exp. IS.2
-.
y
Exp. 15.3 J
neutral
Exp. 18.3
labil
Exp. Z3.3
stabil
Zu den verschiedenen
Uetterklassen
«elan
hier
»tiehpunktartig dla wesentlichen Punkt* apwaehnt:
neutral:
die Temperatup nimmt mit der Hoehe um
1 Grad Celsius/100» ab.
atn
dap
bal
Kapitel 8
Seite u s
b.
labil:
die Temperatur nimmt um mehr als 1 Grad
Celslus/lOOm ab.
c.
stabil:
die Temperatur nimmt um weniger als
1 Grad Celslus/lOOm ab.
(Weitere Erlaeuterungen zu den Wetteric lassen finden sich in
(31,36) »
Mir
stabil
\i Ir^s3
unten neutral
oben stabil
labil
•
^
^
_Aneutral
unten stabil
oben neutral
Die abigen Zeichnungen geben die 'typischen'
bei verschiedenen Wetterlagen Hleder.
(Quelle: Seinfeld (34))
Abluft*ahnen
Kapitel 9
Seite 119
Um einen Ueberbllcic
ueber die bestehenden
Groessenordnungen des verwendeten
Datenmaterials zu geben, sind in der -feigenen Tabelle die
Werte -fuer Wind,
Temperatur
und den daraus berechneten
vertikalen Di-F* ualonskoef-f Izlenten -fuer Experiment 13.3
angegeben.
Die Ufndwerte unterhalb 10m Hürden mit dem
Wlndpro-fil
berechnet.
HIHS RICH
13.30 n . o o
'.
tropin»Tut
V I KDCKSC1IVIMDI CKtlT
nme
14.00 1 1 . i c I S . »
logarithmischen
11.1D l l . Z O 1 1 . 3 0 11.0O I S . 10 1 1 . «0 11.30
0
«i.»
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i i : 2 o ' J S . 30
S . l
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131
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1 . 3
f . *
11.•
Kapitel •
A.
Seite 120
EXPERIMENT IS.2 UMD 13.3
Ala Tracer wurde hier Trltlu»IH3> verwendet, daa »It
Quel Irate von 3.99 Ci/h freigesetzt wurde.
einer
Sie Windrichtung aendertc «Ich waehrend der Heaaperiode nur
wenig, ao daaa fuer fast alle Santmel Stationen nesswerte zur
Verfuegung standen.
Die
Bilder 10
und
11
zeigen
die
Konzentratlonswerte *m Baden fuer Exp. 15.2.
Bild 10:
berechneten
Bodenkonzentration fuer Exp. IS.2
(Hinriehsen-Verfahren)
•
•
berechnete Wertf
A
•
gemessene Werte
J^-
-
Quelle
Kapitel a
Bild 11".
Seite 121
BodenkDnzentrat Ion -fuer Exp. 15.2
(II"in-Verfahrenl
Die Isalinien wurden nach den errechneten Werten
Bodenkonzentration gezeichnet.
Sie Position der Quelle befindet sich im
Koord1natenachsen.
fuer
die
Schnittpunkt
der
Bei beiden Ver-fahren sind die berechneten Werte leicht
zum
unteren Bildrand verschoben und dl« maximale
Konzentration
wird ueberschaetzt. Doch geben die Isolinien insgesamt eine
gute Beschreibung der Bodenkonzentration wieder.
Seite 122
Kapitel •
Fuer
Experiment
15.3
ergeben
Bodenkonzentratlonaverteilungen:
• ich
Bild 12:
Bodenkonzentration fuer Exp. 15.3
(Hinr.lchsen-Ver-fahren)
Bild 13:
Bodsnkonzentration fuer Exp. IS.3
(II*in-Verfahren)
it*
tti
12*1
-folgende
Kapitel B
Seite t23
Ebenso Hie beim vorherigen Experiment mind die berechneten
Werte hier verschoben, JedDch diesmal zum oberen Bildrand
hin.
Das Hlnrlchsen-Verfahren ueberschaetzt d u Maximum leicht,
mehrend das 11 * ln-Ver+ahren das Maximum untersehaetzt.
Der qualitative. Verlauf entspricht aber ansonsten
beiden Verfahren dem gemessenen Datenmaterial.
bei
Das in Experiment IS verwendete Raumgitter hat
eine
vertikale Ausdehnung von 200m und eine horizontale von
2173m, nobel sich die Quelle 300m vom Rand entfernt in
einer Hoehe von 100m befindet.
Die horizontalen Gltiterabstaende (£x,Ay> betragen 75m, der
vertikale CAz) 20m Und die Zeitintegration (4t) erfolgt
alle 10 Sekunden.
Zur Berechnung der horizontalen Diffuslonskoeffizienten kx
und Ky wurde die Standardabweichung a des Winde« mit 2
ermittelt:
Kx « Ky « 2 * Kz
Kapitel B
EXPERIMENT
Seite 12^
IB.3
Sie bei diesem Experiment vorherrschende labile Wetterlage
aeussert
sich
besonders
durch
eine
starke
Windrichtungsaenderung vein 30 Grad in Suellhoehe
Sie Bilder 14 und 13 geben
Bodenbonzentratlonswerte nach
Verfahren an.
Bild 14:
Mieder
die
30
Minuten
berechneten
fuer
beide
Bodenkonzentration fuer Exp. 18.3
(Hinrichsen-Uerfahren)
Kapitel 6
Seite 12S
Bild 15:. Bodenkonzc.itration fuer Exp. 18.3
(II»ln-Uerfahren)
Bei beiden Verfahren sind die Konzentrationslinien
zum linken Bildrand verschoben.
leicht
fluch hier wird der maximale gemessene Wert nicht erreicht,
d.h. es tritt eine Unterschaetzung der Konzentration auf.
Da Jedoch alle anderen Werte von beiden Verfahren gut
simuliert werden und ihr qualitativer Verlauf dem der
Messwerte entspricht, kann man auch hier von einer guten
Annaeherung sprechen.
Das hierbei verwendete Raumgitter ist
Experiment IS.
Lediglich der Koordinatenursprung wurde
der Quelle)
dasselbe
wie
In
verlegt.(Position
Kapitel S
Seite 12«
Sie zeitliche Integration erfolgte
kleineren Abstand von S Sekunden.
Jedoch
in
einen
Als Tracer wurde CCI 4 verwendet mit einer Buellstaerke von
1.9t g/aec.
Die Standardabweichung a wurde aufgrund der groaaen Schwan­
kungen mit 8 ermittelt:
Kx • Ky • 8 * Kz
Kapitel 8
Seite 127
EXPERIMENT
23.3
Bei diesem Experiment lagen die Sammelpunkte leider zu nahe
an der Quelle, so dass das Konzentratic.->*maximum nicht
ertasst wurde.
^
Bild 16:
nf
iclä
«ii
»ib
Bodenkonzentration fuer Exp. 23.3
(Hinrichsen-Verfahren)
Kapitel 8
Bild 17:
Seite 123
Bodenkonzentratlon fuer Exp.
(II'in-Verfahren)
Leider 1st die Aussagekraft dieses Experimentes recht
gering da, Hie vorher schon erwaehnt, dl* Ortswahl dir
Sammelstationen Henlg geeignet war, einen Ueberbllck der
Konzentratlonsvertellung zu vermitteln.
(
Trotzdem laesst sich auch hier sagen, dass fuer beide
Verfahren der qualitative Verlauf gut wiedergegeben wurde.
Die Groe.sse des Raumgitters betraegt 9000m in x - Richtung,
3000m in y - Richtung und 200m in z - Richtung.
Die 4* und «y Abstaende sind gleich und betragen
Vertikal wurde ein Abstand 4z - 10m gcwaehlt.
200m.
Kapitel O
Seite 129
Die Zeitintegration erfolgte alle 10 sec.
Die Quelle befand sich 1000m vom ic ~ Hand und 600tn vom
- Rand ent-fernt in einer Hache? von 100m.
Die Ausstassmenge betrug 3.B8 Cl/h
Tritium verwendet.
und
als
Tracer
y
Hur i
u
Die horizontalen Dlffuaionskoe-Mlzlenten wurden in diesem
Experiment gleich dem vertikalen Di-f-fuslonskoef-flzlenten
getiaehlt.
Kapitel 8
Seite 130
Allgemein laesst sich sagen,
dass
beide numerischen
Verfahren eine gute Ueberelnstlmmung mit den Kf tsruher
Experimenten darstellen.
Welches der beiden Verfahren 'bessere' Ergebnisse liefert,
laesst sich nicht pauschal sagen, da je nach Experiment,
sowohl
Uebei—
als
auch
Unterschaetzungen
der
Bodenkonzentration auftraten.
Diese Unterschiede sind sehr gering. Auf den ersten Slick
scheinen die Ergebnisse beider Verfahren nahezu identisch,
so dass sie eine gute Simulation der Karlsruher Experimente
darstellen.
Das Gleiche zeigt eine Gegenueberstellung mit anderen
1nstatlonaeren Modellen, soHie dem Gaussmodel1, so dass van
einer guten Approximation gesprochen werden kann.
Kapitel 9
9.
Seite 131
Z U S A M M E N F A S S U N G
In dieser
Arbelt
wurde
der
Versuch
gemacht«
ein
praxisrelevantes Problem zu modellieren, bZH Mt.de! lansaetze
aufzuzeigen und mittels zweier
numerischer
Verfahren
xu
realisieren.
Hierbei war es wesentl ich, tnoegl lchst
'schnelle'
Verfahren
zu verwenden, die Innerhalb weniger Minuten eine Simulation
der
Kurzzeitausbreitung
ueber
mehrere
Stunden
zur
Verfuegung stellen.
Fuer das II* ln-Ver+ähren wurden hierbei auf bekannte
Weise
die Konvergenzbetrachtungen durchgefuehrt. Hier stimmen die
theoretischen Ergebnisse sehr gut mit
den
durchgefuehrten
Testrechnungen uebereln.
Sie
leider nur
teilweise
zur
Verfuegung
stehenden
Fehlerabschaetzungen fuer das Hlnrlchsen-Verfahren
sollten
vielleicht in weiteren Arbeiten
vervolIstaendigt
werden,
damit
die
sehr
guten
praktischen
Ergebnisse
auch
theoretisch untermauert werden koennen.
Beide Verfahren wurden sowohl an Testrechnungen
sowie an
Daten aus Experimenten des Kernforschungszentrums Karlsruhe
untersucht und die Ergebnisse wurden
gegenueber
gestellt.
Hierbei zeigte sich, dass beide Verfahren aehnlich
gute
Ergebnisse
liefern.
Diese
werden
allerdings
beim
Hlnrichsen-Verfahren
bei
wesentlich
groesseren
Zeitschrittweiten erreicht als beim Il'ln -Verfahren. Bei
gleicher Zeltschrittweite war das Hlnrlchsen-Verfahren
ca
23% schneller als das Il'in Verfahren.
Daher ist dem Hlnrlchsen-Verfahren
vielleicht
aus
diesem
Grunde der Vorzug zu geben, doch sollte das II' in-Verfahren
hinzugezogen
werden,
um
eine
Kontrollrechnung
durchzufuehren, da dies speziell bei on-line
eingespeisten
Daten eine bessere Absicherung der Ergebnisse verspricht.
Kapital 10
IC.
S a l t * 132
L I T E R A T U R V E R Z E I C H N I
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Ueber S. Gerschgorlns Methode der
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i
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Die Zwiachenschrittmethode zur Loa
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Differenzenverfahren fuer die
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Kornstaedt.H.-J. Vorlesungsskript Numerik III
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Invers-isatone Differenzenverfahren
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FU Berlin, Diplomarbeit, 1982
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keit von nichtgaussartigen Dispel—
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Dver rough terrain PART I, PART II
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Research Center
K-fK-Bericht 2285,2286 Juli 1976
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Darstellung und Anwendung eines
verbesserten, universell gueltlgen
Ausbrei tungskri ter i ums
Staub-Reinh. Luft 40, Nr.6
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A study o-f heat transfer coefficients
in the lowest 400 meters of the
Kapital 10
Bait» 138
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J. of Geophysical Research
Vol. 70, No 6, 1965
43. Zlatav,Z./
BerkOMiez,R./
Prahm, L.P.
Numerical Treatment of the
Advection-Diffusion Equation
PART V, VI, VII, October 1982
March 1983, Riso National Laboratory
Sk 4000 RDSkilde, Denmark
A N H A N G
=
=
at
ai
ir
FLUSSDIAGRAMM DES IN FORTRAN IV ERSTELLTEN PROGRAMMS
ILESDAT
riFKOZ
KLAPP
1
ABVX
|
ADVY
Hauptorogramm
hier erfolgt lediglich der' Aufruf von Loop
LOOP:
Behandlung der Zeltintegration, fuer jeden
Zeitachritt werden die einzelnen Unterpro­
gramme eufgerufen.
METDAT:
Die meterologlschen Daten aus LESDAT und
die berechneten Dlffusionskoeffizlenten aus
DIFKOE werden aufgerufen und zwischen den
Messzeitpunkten interpoliert.
LESDAT:
Leseroutine fuer die Wind- und Temperatur­
daten.
DIFKOE:
Berechnung der horizontalen und vertikalen
Dlffuslonskoeffizlenten.
VDIF:
Differenzenverfahren fuer die vertikale
Diffusion und den Suellterm.
BOCEN:
Berechnung der Konzentration am unteren und
oberen Rand.
Wahlweise kann vor dem Programmstart der
ILLI - Block (Berechnung mit dem II'in Verfahren) oder der HINI - Block (Berech­
nung mit dem Hlnrichsen - Verfahren) einge­
bunden werden.
ILLI:
Programm - Block mit dem II'in - Verfahren.
ILLX:
Differenzenverfahren nach II'in fuer Advektion
und Diffusion In x - Richtung.
ILLY:
Differenzenverfahren nach II'in fuer Advektion
und Diffusion in y - Richtung.
MINI:
Programmblock mit dem Hlnrlchsen-Verfahren.
HDIF:
Berechnung der horizontalen Diffueion in
x - und y - Richtung mit des zentralen
Di ++erenzenachema.
KLAPP:
Lagrange - Verfahren von K. Hinrlchaenl
Abfrage welche Gleichung benutzt werden »Dil.
ADVX:
'Umschaufeln' der Konzentrationswerte in
x- Richtung.
ADVY:
'Umschaufeln' der Konzentrationawerte in
y- Richtung.
SEITEN:
Berechnung der Konzentration an den seit­
lichen Raendern.
DRUCK:
Ausdrucken der Ergebniaae und Vorbereitung
der Daten fuer daa Unterprogramm ISO.
ISO:
Aufruf dea Programme ISOBAR. Zeichnen der
Tsol inien. (Zeichenroutine dea H M D .
HAUPtPROGAHN
inPLICII
M O D E L L
REAL«I6
IA-H.O-21
COrmOH / Z E I •«E,NHDD,NMESSA,NH£SSE,I51AB.FAKT0R
CALL CLOCK!11
U«ltE<6,Ul
n
I
FORHAIIIX,STARTZEIT:
AUFRUF DE« ZEIISCHuEIFE
16 CALL LOOPKAI
CALL
CLOCKIII
URHEI6.I2I I
12 F O R H A I M X , STOP:
STOP
END
,141
,111
SUBROUTINE LOOPUA)
IHPIICII
REAL'8
DIMENSION
DIHENSION
DIMENSION
(A-H.O-ZI
DDXl71l,DDTI71<,XAIIO>,OOHIMI
C5UHi]0,J0,MI
CAI30,JO,2ll,CNI30,30,2tl
COHHON/BHD/UGN&mi.UNDIZH.VNDUIl.TETANDIZII,
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COHHON/MH/H.Di; ,0> , D 2 , 0 f , I Q , J O , K 4 , 1 S , E K V I 2 I I . « « H U M
CO-.MON/KO/DxODt.RVHAX.RHHAX
CUHNON/DD/DIDXDr,DIDD22
COHMON/PA/AO.BD.BI.IZ.XKO.XKHAX.ZO.CIA.AFA.FKVH.XIO
COMMON /ZEI/NE.NMDD.NMESSA.HMESSE,ISTA6.FAKT0R
CQUH.ON /K6u/x^vau,un«,xnvrt
COMMON / k S I / ( I M 0 , N D E L f , D Z 0 D X , 0 2 Q D » , C E . D a t
DATA C A / U S O Q ' I . 0 - 5 0 / , C M / 1 B 9 0 0 « I . O - S 0 /
Data o D n / z i - o . o a ' . a D v / i i ' B . a o /
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100.00
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111 I Z S C H I I I = I F I X I O O H I I
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