III Bienal da SBM Uma Grosa de Problemas de Matemática

III Bienal da SBM
Goiânia - 06 a 10 de novembro de 2006
Uma Grosa de Problemas de Matemática
Ricardo Misturini
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Rogério Ricardo Steffenon
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UNISINOS - Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Avenida Unisinos, 950, São Leopoldo-RS
CEP 93.022-000 - Brasil
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Aluno do Curso de Licenciatura em Matemática da UNISINOS
Doutor em Matemática - UFRGS. Professor da UNISINOS. e-mail: [email protected]
Apresentação
Neste mini-curso apresentamos uma grosa(doze dúzias) de belos problemas de matemática, cuja
resolução utiliza argumentos elementares e relativamente simples. Acreditamos que a resolução
de problemas de entretenimento, problemas lógicos e desafios matemáticos são excelentes alternativas de ensino e estı́mulo para os alunos estudarem Matemática. Neles aparecem vários
assuntos interessantes da matemática como, por exemplo: médias(aritmética, geométrica e
harmônica), aritmética (indução matemática, sistemas de numeração, mdc, mmc, equações diofantinas), probabilidade, seqüência de Fibonacci, grafos e lógica. Os problemas não estão separados por assunto, pois achamos que o aluno deve procurar resolver o problema sem se preocupar
se o mesmo envolve probabilidade ou progressão geométrica, por exemplo. Claro que, em alguns
casos, o enunciado deixa claro qual é o tema que aparece no problema. Além disso, os problemas não estão colocados em ordem crescente de grau de dificuldade, podendo ser encontrados
problemas mais difı́ceis entre aqueles do inı́cio, assim como mais fáceis no final. Esses problemas
foram obtidos de diversas fontes: livros, internet, revistas de olimpı́adas, etc. Muitos foram
adaptados, outros foram propostos por alunos e professores. Para quem tem interesse em problemas de matemática, sugerimos o site da Olimpı́ada Brasileira de Matemática(www.obm.org.br),
onde encontramos links para as diversas olimpı́adas de matemática realizadas pelo Brasil e pelo
mundo. Além disso, sugerimos fortemente a consulta à revista Eureka, disponı́vel nesse site.
Finalmente gostarı́amos de indicar alguns ótimos livros, que podem ser consultados:
1. A Matemática do Ensino Médio, Volume 2, de Elon Lages Lima et al.
2. Divertimentos Matemáticos, de Martin Gardner.
3. É divertido resolver problemas, de Josimar Silva e Luı́s Lopes.
4. Moscow Puzzles, de Boris A. Kordemsky.
5. O Enigma de Sherazade, de Raymond Smullyan.
6. O homem que calculava, de Julio Cesar de Mello e Souza.
7. Olimpı́adas de Matemática do Estado do Rio de Janeiro, de Antonio Luiz Santos et al.
8. Problemas Selecionados de Matemática, de Antonio Luiz Santos.
Problema 1.
Em um programa de televisão, um candidato deve responder 15 perguntas. A primeira pergunta
vale 1 ponto, a segunda vale 2 pontos, a terceira vale 4 pontos, e, assim, sucessivamente, dobrando sempre. O candidato responde a todas as perguntas e ganha os pontos correspondentes
às respostas que acertou, mesmo que erre algumas.
(a) Qual o número de pontos que o candidato fará se acertar todas as perguntas?
(b) Quantas e quais as perguntas o candidato acertou se o número de pontos obtidos for igual
a 20736?
Problema 2.
Diofanto foi uma criança feliz durante 1/6 de sua vida. Após mais 1/12 começou a cultivar uma
barba. Passados mais 1/7(de sua vida) casou-se e somente no quinto ano após o seu casamento
nasceu-lhe um filho, que morreu quatro anos antes que o pai e que viveu apenas a metade do
que viveu o pai. Quantos anos viveu Diofanto?
Problema 3.
Ricardo gosta de meditar numa pequena capela no alto de uma montanha. Num certo dia ele
subiu o monte a uma velocidade de 2km/h e desceu a montanha a uma velocidade de 6 km/h.
Qual foi a velocidade média imprimida durante o percurso(ida e volta)?
Problema 4.
Num torneio de tênis individual há 1024 participantes. Sabendo que a disputa é do tipo
mata-mata* , quantos jogos são realizados para se definir o vencedor?
*Os jogadores são divididos em grupos de 2, ao acaso, e jogadores de um mesmo grupo jogam
entre si. Os perdedores são eliminados e os vencedores são divididos novamente em grupos de
2 e assim por diante até restar um jogador, que é proclamado campeão.
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Problema 5.
Este problema é inspirado num programa de TV americano conhecido como Let’s make a deal
(Vamos fazer um negócio). Nesse show, dá-se ao concorrente finalista a chance de escolher
uma entre três portas. Atrás de exatamente uma das portas, está um prêmio interessante (um
carro, por exemplo); as outras duas portas ocultam prêmios de valor bem inferior (um bode
atrás de cada porta, por exemplo). Pede-se ao concorrente que escolha uma porta. A esta
altura, o apresentador do show, Monty Hall, que sabe o que tem atrás de cada porta, mostra
ao concorrente um dos prêmios de menor valor atrás de uma das portas não escolhidas. Além
disso, oferece ao concorrente a oportunidade de optar pela outra porta fechada. A questão é a
seguinte: é vantajoso optar pela outra porta ou tanto faz?
Problema 6.
Comprei na feira um queijo que pesou 5 quilos numa balança de dois pratos. Desconfiei da
pesagem e o vendedor propôs, como compensação, vender-me um queijo igual, desta vez pesado
no outro prato da balança. O peso foi de 3,2 quilos. Ganhei ou perdi na transação? Qual é o
verdadeiro peso do queijo?
Problema 7.
Dois ladrões roubaram um barril totalmente cheio com 8 litros de vinho. Para dividir o
produto do roubo, só tinham 2 garrafas com 3 e 5 litros de capacidade, respectivamente. Como
foi possı́vel fazer a divisão em partes iguais de 4 litros, sabendo que nenhum dos 3 recipientes
tem qualquer graduação?
Problema 8.
Precisamos cozinhar um ovo por 15 minutos. Dispomos de duas ampulhetas, uma que marca
7 minutos e outra 11 minutos. Existem duas maneiras diferentes de resolver o problema. Uma
leva mais tempo, mas tem menos movimentos que a outra. Você sabe dizer quais são elas?
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Problema 9.
Suponha que você possua 81 moedas de um real, uma das quais é falsa e pesa mais do que
uma verdadeira. Você tem uma balança de dois pratos mas não tem pesos. A única forma de
pesagem consiste em pôr algumas moedas em cada prato e verificar se a balança está equilibrada.
Mostre que 4 pesagens são suficientes para achar a moeda adulterada. Caso tenha dificuldade,
tente resolver o problema com 3 moedas, fazendo apenas uma pesagem.
Problema 10.
Suponha que você possua 12 moedas de um real, uma das quais é falsa e tem peso diferente
de uma verdadeira(não sabemos se a falsa pesa mais ou menos que uma verdadeira). Você tem
uma balança de dois pratos mas não tem pesos. A única forma de pesagem consiste em pôr
algumas moedas em cada prato e verificar se a balança está equilibrada.
(a) Mostre que 3 pesagens são suficientes para achar a moeda adulterada.
(b) Consegues resolver o mesmo problema com 13 moedas? E com 14 moedas?
Problema 11.
(a) São dadas quatro moedas de duas massas distintas, 2 de cada tipo. Como obter duas moedas de massas distintas fazendo apenas uma pesagem em uma balança com dois pratos,
sem pesos auxiliares?
(b) São dadas oito moedas de duas massas distintas, 4 de cada tipo. Como obter duas moedas
de massas distintas fazendo não mais de duas pesagens em uma balança com dois pratos,
sem pesos auxiliares?
(c) São dadas 128 moedas de duas massas distintas, 64 de cada tipo. Como obter duas moedas
de massas distintas fazendo não mais de 7 pesagens um uma balança com dois pratos, sem
pesos auxiliares?
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Problema 12.
Imagine que um prédio de quatro andares deva ser pintado usando-se uma cor para cada
andar. Sabendo que as cores utilizadas podem ser verde e amarelo e que andares consecutivos
não poderão ser pintados de amarelo, de quantas maneiras é possı́vel fazer a pintura deste
prédio? E se o prédio tiver 12 andares?
Problema 13.
Existem dois tipos de anos bissextos: aqueles que são múltiplos de 4 mas não são de 100 e
aqueles que são múltiplos de 400. Por exemplo, serão anos bissextos 2008, 2056 e 2400; não
serão anos bissextos 2039 e 2100.
(a) O matemático Harold Scott MacDonald Coxeter nasceu no ano de 1907 e faleceu em 2003.
Durante a vida desse grande geômetra, quantos anos foram bissextos?
(b) Sabendo que 1o de janeiro de 2007 será numa segunda-feira, qual o primeiro ano após 2007
em que 1o de janeiro será novamente numa segunda-feira?
(c) Escolhido um ano ao acaso, qual a probabilidade dele ser bissexto?
Problema 14.
Em 1991, Eduardo começou a colecionar calendários. Anos mais tarde ele verificou que o
calendário de 1999 seria igual ao de 1993.
(a) Quantos calendários diferentes existem?
(b) Em que ano Eduardo terá todos os diferentes tipos de calendários?
Problema 15.
Numa escola há 6 salas de aula. Uma funcionária possui as seis chaves que abrem essas salas,
mas ela não sabe a que porta corresponde cada uma das chaves. No máximo quantas tentativas
serão necessárias para que ela saiba com certeza qual é a chave que abre cada uma das portas?
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Problema 16.
Nicolas, Guilherme, Vanessa, Natália e Sandra estão formando uma roda e se divertindo com
o seguinte jogo. Um deles escolhe um número(maior que 50 e menor que 100) e o diz em voz
alta, a pessoa que estiver à sua esquerda o divide pelo seu maior divisor primo e diz o resultado
em voz alta e assim sucessivamente. Ganha a pessoa que disser em voz alta o número 1, e o
jogo termina. Nicolas deve começar o jogo. Se ele quiser vencer, qual número poderá escolher?
Problema 17.
Um prisioneiro ficará em liberdade se alcançar o topo de uma escada de 99 degraus. Porém
não pode fazê-lo ao seu modo, uma vez que ele é obrigado a subir somente 1 degrau a cada
dia dos meses ı́mpares e descer 1 degrau a cada dia dos meses pares.
(a) Começando no dia 1o de janeiro de 2007, em que dia alcançará a liberdade?
(b) E se a escada tivesse 100 degraus, em que dia alcançaria a liberdade?
Problema 18.
Dois homens caminhavam no deserto. Um deles possuia 5 litros de água e 5 cinco pães e o
outro trazia 3 litros de água e 3 pães. No momento em que se preparavam para descansar,
avistaram um homem que estava bastante exausto e com sede. Resolveram repartir a água e
os pães igualmente entre os três. Dois dias depois chegaram a um oásis. Ao se despedir, em
sinal de agradecimento, o homem deu 8 moedas de ouro para os dois que tinham salvo a sua
vida. Se a divisão foi feita de forma justa, com quantas moedas cada um deles ficou?
Problema 19.
Frederico tinha uma coleção de bolinhas de gude. Na última contagem ele verificou que a
quantidade de bolinhas era um número de quatro algarismos e múltiplo de 99. Ele sempre anotava a quantidade de bolinhas num papel. Só que seu irmão Joãozinho apagou dois algarismos,
trocando por duas letras. Com isso ficou escrito 3Y X2. Você é capaz de descobrir quantas são
as bolinhas de Frederico?
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Problema 20.
Pedro e João se encontraram após vários anos. João contou que era casado e que tinha três
filhos cujo produto das idades era igual a 72 e que a soma das idades era igual ao número do
apartamento em que morava com a famı́lia. Mas Pedro ainda não tinha como saber qual era a
idade dos filhos de João. Então João disse que o mais novo adora beber suco de laranja. Agora
Pedro já sabia quantos anos tinha cada um dos filhos de João. Você saberia a resposta?
Problema 21.
Carla possui algumas moedas, mas, por mais que ela tente, não consegue combiná-las para
formar exatamente dois reais. Como no Brasil as moedas são de R$ 0,01, R$ 0,05, R$ 0,10,
R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00, qual é a maior quantia que ela pode possuir?
Problema 22.
Um fazendeiro que dispõe de R$ 60.000,00 pretende gastar essa importância na compra de
cavalos e bois. Sabendo cada cavalo custa R$ 350,00 e cada boi R$ 450,00, obtenha uma
equação diofantina que modele este problema.
(a) Quantas e quais são as soluções desse problema?
(b) Qual o número de bois e cavalos que ele deve comprar se quiser comprar a maior quantidade
de animais?
Problema 23.
Patrı́cia levou consigo R$ 1.200,00 para comprar um presente para o seu filho que havia ingressado na universidade. Ao regressar para casa, o seu marido perguntou quanto havia custado o
presente. Ela respondeu da seguinte forma:
- “Não te direi quanto custou, só posso te dizer que o preço do presente, quando lido ao
contrário, é igual a 9 vezes o valor do presente”.
Quanto custou o presente?
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Problema 24.
Você está assistindo um jogo de futebol e lá pelas tantas surge a seguinte questão:
- “Qual é a probabilidade de que pelo menos dois dos 22 jogadores em campo façam aniversário
no mesmo dia(dia e mês)?” (*)
* É muito provável que você nunca tenha pensado nisso durante uma partida de futebol...
Problema 25.
Perguntado sobre quantos alunos ele tinha naquele ano, um professor escreveu no quadro:
- “440 alunos, dos quais 153 são guris e 276 são gurias”.
Inicialmente a resposta nos pareceu estranha, mas logo compreendemos que o professor não
empregou o sistema decimal. Qual sistema ele usou?
Problema 26.
Adriano costuma cortar o cabelo de 25 em 25 dias e Beto de 30 em 30 dias. Numa certa
quarta-feira ambos cortaram o cabelo. Daı́ a quantos dias vai haver nova coincidência? Em
que dia da semana será isso?
Problema 27.
Um homem entra numa loja e decide comprar o DVD Os grandes golpes do século XX. O DVD
custa R$ 30,00 e ele paga com uma nota de R$ 50,00. Sem troco, a atendente vai até a farmácia
ao lado e troca a nota de R$ 50,00 por duas notas de R$ 20,00 e uma nota de R$ 10,00. O
homem leva o DVD e uma nota de R$ 20,00. No dia seguinte, entra o dono da farmácia dizendo
que a nota de R$ 50,00 era falsa. A dona da loja então troca a nota falsa por outra verdadeira.
Sem o dinheiro do troco, sem o DVD e sem a nota que deu ao dono da farmácia, qual foi afinal,
o prejuı́zo da dona da loja?
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Problema 28.
Três canibais e três missionários estão viajando juntos e chegam à margem de um rio. Eles
desejam atravessar para a outra margem para, desta forma, continuar a viagem. O único
meio de transporte disponı́vel é um barco que comporta no máximo duas pessoas. Há uma
outra dificuldade: em nenhum momento o número de canibais pode ser superior ao número de
missionários pois desta forma os missionários estariam em grande perigo de vida. Como deve
ser feita a travessia, sem que haja risco de vida para os missionários?
Problema 29.
Anteontem Roberta tinha 25 anos. No ano que vem, ela vai fazer 28 anos. Explique como isso
é possı́vel.
Problema 30.
Na Krugerrândia, uma passagem aérea para Kruskalândia custa menos de Kr$200 e lá existem
moedas de Kr$1, Kr$3, Kr$9, Kr$27 e Kr$81. A compra de uma passagem aérea pode ser feita
apenas em máquinas de venda do aeroporto, e essas máquinas aceitam apenas moedas e não
devolvem troco.
Bruno vai para a Kruskalândia de avião para visitar seu amigo Bernardo.
(a) Qual é a menor quantidade de moedas que precisa carregar consigo para assegurar-se de
que terá o valor exato da passagem?
(b) Caso ele chegue ao aeroporto e descubra que o valor da passagem aumentou, quais os
valores acima de Kr$ 199 que ele conseguirá pagar com as moedas do item (a)?
Problema 31.
Armindo comprou várias galinhas campeãs em pôr ovos. Ao testar a eficiência das galinhas, ele
observou que, a partir das 7 horas,de minuto em minuto o número de ovos na cesta duplicava.
Às 9 horas a cesta estava cheia. A que horas a cesta estava pela metade?
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Problema 32.
Francisco coleciona figurinhas de bandeiras de paı́ses e de jogadores de futebol. Ele guarda
essas figurinhas em envelopes, colocando apenas figurinhas do mesmo tipo em cada envelope.
Os envelopes dele continham 9, 15, 16, 17, 26 e 34 figurinhas. No sábado passado Francisco
deu um envelope de presente para seu irmão Henrique. Com isso, Henrique constatou que o
número de figurinhas de jogadores de futebol agora é igual ao dobro do número de figurinhas
de bandeiras de paı́ses.
(a) Quantas figurinhas havia no envelope que ele deu para o irmão?
(b) Qual o tipo de figurinha há em cada um dos envelopes que ele ficou?
Problema 33.
Danilo encontros três amigos e disse que havia trocado de carro. Então ele propôs uma brincadeira:
- “Bem amigos, vamos fazer um exercı́cio de lógica. Eu digo que a cor do meu carro novo é
vermelha ou azul ou preta. Cada um de vocês tenta adivinhar e, quando as informações forem suficientes, eu comentarei os palpites e veremos se conseguem descobrir qual é a cor do
carro”.
- “O meu palpite é que ele não é azul”, falou o primeiro.
- “Eu digo que ele é vermelho ou preto”, disse o segundo.
- “Creio que ele seja vermelho”, opinou o terceiro.
Nesse momento Danilo interveio e disse:
- “Vocês podem parar de dar palpites. Afirmo que pelo menos um de vocês acertou e pelo
menos um errou”.
Qual é a cor do carro dele?
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Problema 34.
Rafael, Rodrigo e Josué se encontram depois de muito tempo. Josué diz que tem quatro filhos.
Rafael e Rodrigo resolvem fazer uma aposta: Rafael aposta que ele tem três filhos de um mesmo
sexo e um filho do outro; Rodrigo afirma que ele tem duas meninas e dois meninos. Qual é a
probabilidade de acerto de cada um deles nessa aposta?
Problema 35.
Uma jarra tem 600ml de uma mistura de água e suco de limão, na qual 20% é de suco de limão.
Quanto de água devemos acrescentar para que a mistura passe a ter 5% de suco de limão?
Problema 36.
Numa biblioteca há dez estantes com muitos livros em cada uma delas. Além disso, dispomos
de uma balança eletrônica(como as que existem em farmácias). Resolva cada uma das situações
abaixo:
(a) Sabemos que, em nove delas, cada livro pesa 1 kg e que, em uma delas, cada livro pesa
1,01 kg. Como descobrir, com uma pesagem apenas, qual a estante dos livros de 1,01 kg e,
em conseqüência, quais são as estantes com os livros de 1kg?
(b) Sabemos que, em algumas estantes, cada livro pesa 1 kg e nas outras, cada livro pesa
1,01 kg, podendo inclusive haver apenas livros de um dos tipos. Como descobrir, com uma
pesagem apenas, quais as estantes dos livros de 1kg?
(c) Sabemos que, em algumas estantes, cada livro pesa 1 kg, em outras cada livro pesa 1,01 kg
e nas outras cada livro pesa 1,02 kg, podendo inclusive haver apenas livros de um dos tipos.
Como descobrir, com uma pesagem, quais as estantes dos livros de 1kg, de 1,01 kg ?
Problema 37.
Caio gastou todo o dinheiro que tinha no bolso em quatro lojas. Em cada uma gastou um real
a mais do que a metade do que tinha ao entrar na loja. Quanto dinheiro Caio tinha ao entrar
na primeira loja?
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Problema 38.
Numa sala estão 200 pessoas, das quais 99% são homens. Quantos homens devem deixar a sala
para que a percentagem de homens na sala passe a ser de 98%?
Problema 39.
Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8 pulos. Porém,
2 pulos de cachorro equivalem a 5 pulos de lebre. Sendo a distância entre os dois igual a 36
pulos de cachorro, qual deve ser o número de pulos que o cachorro deve dar para alcançar a
lebre?
Problema 40.
Um rei estava bastante velho e já não enxergava mais muito bem. Certo dia comprou cinco
escravos. Dois deles, que diziam sempre a verdade, tinham olhos castanhos, e os outros três,
de olhos azuis, sempre mentiam. Os cinco forma organizados em fila. O rei deveria, assim,
adivinhar em que ordem eles estavam dispostos, fazendo apenas duas perguntas, uma para
cada escravo diferente.
Ele se dirigiu ao segundo escravo da fila e perguntou:
- “Se eu perguntasse para o primeiro da fila qual é a cor dos olhos dele, o que ele responderia?”
O segundo escravo falou:
- “Ele diria: os meus olhos são azuis”.
O terceiro escravo, localizado no centro da fila, foi questionado da seguinte forma:
- “De que cor são os olhos desse jovem que acabo de interrogar?”
O terceiro escravo respondeu:
- “Ele tem olhos azuis”.
Agora o rei já sabe qual é a cor dos olhos de cada um dos escravos. Qual é a resposta?
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Problema 41.
(a) Marcelo tem dois filhos. Sabendo que não são duas meninas, qual a probabilidade de serem
dois meninos?
(b) José Pedro tem dois filhos. O mais velho é um menino. Qual é a probabilidade de serem
ambos meninos?
Problema 42.
Um pai tem 40 anos e a soma das idades dos seus três filhos é 22 anos. Dentro de quantos anos
a idade do pai será a soma das idades dos filhos?
Problema 43.
Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade. Quando tu tiveres a
minha idade, a soma das nossas idades será de 45 anos. Quais são as nossas idades?
Problema 44.
Josaine é uma menina muito esperta. Um dia alguém lhe perguntou qual era a sua idade. Ela
respondeu:
- “Daqui a quatro anos terei o triplo da idade que tinha quatro anos atrás”.
Qual é a idade de Josaine?
Problema 45.
Virgı́nia viajou de carro para a serra no final de semana. Ela percorreu um certo trecho da estrada a uma velocidade constante. Num certo momento ela passa por uma placa que indica a
quilometragem na via. Uma hora depois, passa por outra placa, contendo os mesmos dois algaalgarismos, mas em ordem inversa. Quinze minutos depois, passa por uma terceira placa, contendo os mesmos algarismos, na ordem que os viu na primeira placa, mas separados por um
zero. Com que velocidade Virgı́nia viajou nesse trecho?
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Problema 46.
As idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11; agora estão na razão de 4
para 5. Qual é a idade de cada uma delas atualmente?
Problema 47.
Numa cesta há cinco maçãs. Como podemos dividir essas frutas entre cinco meninas, deixando
uma maçã na cesta?
Problema 48.
Na famı́lia de Jairo há uma grande coincidência, pois ele, a esposa, os três filhos e os pais dele
fazem aniversário em datas muito próximas. Essas datas são 3 de agosto, 5 de agosto, 12 de
agosto, 16 de agosto, 20 de agosto, 31 de agosto e 6 de setembro. Jairo pretende fazer uma
festa para comemorar todos esses aniversários no dia em que a soma das diferenças entre a data
escolhida e a data de cada aniversário, em valor absoluto, seja mı́nima. Em que dia deve ser
feita a comemoração desses aniversários?
Problema 49.
Um carro percorreu uma rodovia a três velocidades diferentes, cada uma delas no mesmo tempo.
Sabendo que as velocidades foram de 40 km/h, 70 km/h e 100 km/h, qual foi a velocidade média
do carro nesse percurso?
Problema 50.
Na cidade de Itapipoca alguns animais são realmente esquisitos. Dez por cento dos cães pensam
que são gatos e dez por cento dos gatos pensam que são cães. Todos os outros animais são
perfeitamente normais. Certo dia todos os cães e gatos de Itapipoca foram testados por um
psicólogo, verificando-se então que 20% deles pensavam que eram gatos. Que porcentagem dos
animais eram realmente cães?
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Problema 51.
Um carro andou numa rodovia a três velocidades diferentes, sendo que em cada uma das etapas
ele percorreu a mesma distância. Sabendo que as velocidades foram de 40 km/h, 70 km/h e
100 km/h, qual foi a velocidade média do carro nesse percurso?
Problema 52.
Um carro sai de A para B e outro sai de B para A, simultaneamente, em linha reta, com
velocidades constantes e se cruzam em um ponto situado a 720m do ponto de partida mais
próximo. Completada a viagem, cada um deles pára 10 minutos e regressa, com a mesma
velocidade da ida. Na volta cruzam-se em um ponto situado a 400m do outro ponto de partida.
Qual a distância de A até B?
Problema 53.
Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem três túneis.
O primeiro túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o segundo, em 3 horas; o terceiro leva ao
ponto de partida em 6 horas. Em média, quanto tempo os prisioneiros que descobrem os túneis
levam para escapar da prisão?
Problema 54.
Suponha que, no problema anterior, os prisioneiros que entram pelo terceiro túnel, quando
voltam ao ponto de partida, não se lembram de qual foi o túnel em que entraram e, portanto,
escolhem para a próxima tentativa um entre os três túneis.
Problema 55.
(a) Um dado perfeito tem as faces marcadas com 1,1,2,2,3,3. O dado vai ser lançado duas
vezes. Qual a probabilidade de que a soma dos resultados seja par?
(b) E se o dado for lançado n vezes e n começar a crescer, o que acontece com esta probabilidade?
Sugestão: começar a calcular a probabilidade nos casos n = 3, 4, 5 e fazer uma conjectura.
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Problema 56.
Berenice e Márcia caminhavam sobre uma estrada de ferro e entraram num túnel bastante
estreito, no qual havia apenas espaço para o trem. Quando completavam 2/5 do percurso do
túnel, ouviram o trem se aproximar por trás delas. Berenice começou a correr de encontro ao
trem e conseguiu sair do túnel praticamente no instante em que o trem entrava nele. Márcia
correu no sentido oposto a Berenice, conseguindo sair do túnel praticamente no instante em
que o trem saı́a dele. Sabendo que ambas correram a uma velocidade de 13 km/h, qual era a
velocidade do trem?
Problema 57.
Se 6 meninos comem 6 sanduı́ches em 6 minutos, em quantos minutos 100 meninos comerão
100 sanduı́ches?
Problema 58.
Maria Helena acaba de comprar um carro novo. O gerente da revenda orientou que ela fizesse
um revezamento nos pneus para que tenha aproveitamento máximo dos memos. Ele disse para
ela que um pneu novo dura 40 000 km, quando usado numa roda dianteira, e dura 60 000 km,
quando usado na traseira.
(a) Com 4 pneus novos e fazendo um rodı́zio adequado entre eles, quantos quilômetros um
carro pode rodar? Explique como fazê-lo.
(b) Quantos quilômetros ela poderia rodar se colocasse o estepe(pneu reserva)novo no rodı́zio?
Como fazer nesse caso?
Problema 59.
Dois jogadores apostaram R$ 10,00 cada em um jogo de cara-e-coroa, combinando que o
primeiro a conseguir 6 vitórias ficaria com o dinheiro da aposta. O jogo, no entanto, precisava
ser interrompido quando um dos jogadores tem 5 vitórias e o outro tem 3. Qual é a divisão
justa da quantia apostada?
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Problema 60.
Numa rua há cinco casas de 5 diferentes cores: amarela, azul, branca, verde, vermelha. Em
cada casa mora um homem de uma diferente nacionalidade: argentino, chileno, paraguaio,
brasileiro, uruguaio. Esses 5 homens bebem diferentes bebidas: água, café, cerveja, chá, vinho.
Eles têm cinco profissões diferentes: professor, médico, dentista, engenheiro, advogado. Além
disso, possuem diferentes animais de estimação: um cão, um cavalo, um gato, um pássaro, um
peixe. Nenhum deles tem o mesmo animal, nem a mesma profissão e nem bebem a mesma
bebida. Também temos as seguintes informações:
1. O paraguaio mora na casa vermelha.
2. O uruguaio tem um cão como animal de estimação.
3. O chileno bebe chá.
4. A casa verde fica ao lado esquerdo da casa branca.
5. O homem que mora na casa verde bebe café.
6. O engenheiro tem um pássaro.
7. O dentista mora na casa amarela.
8. O homem que mora na casa do centro bebe vinho.
9. O brasileiro mora na primeira casa.
10. O professor mora ao lado do que tem um gato.
11. O homem que tem o cavalo mora ao lado do dentista.
12. O médico bebe cerveja.
13. O argentino é advogado.
14. O brasileiro mora ao lado da casa azul.
15. O professor é vizinho do que bebe água.
Com essas informações, você é capaz de dizer quem é quem?
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Problema 61.
Uma máquina do tempo é controlada por um conjunto de chaves do tipo “liga-desliga” numeradas de 1 a 10(da esquerda para a direita) e dispostas lado a lado. A n-ésima chave posicionada
em liga viaja 2n−1 anos para o futuro se n é ı́mpar e 2n−1 anos para o passado se n é par e
se uma chave está na posição desliga ela não produz nenhum efeito. Sabendo que o efeito
provocado por várias chaves posicionadas em liga é igual à soma dos seus efeitos individuais,
se convencionarmos liga=1 e desliga=0, respondas às questões abaixo:
(a) Qual deverá ser a disposição das chaves se quisermos viajar 144 anos para o passado?
(b) E se quisermos viajar 144 anos para o futuro?
Problema 62.
Um bar vende suco e refresco de laranja. Ambos são fabricados diluindo-se em água um
concentrado de laranja. As proporções são de 1 parte de concentrado para 3 de água, no caso
do suco; e de 1 parte para 6 de água, no caso do refresco. Supondo que Cláudio tenha alguns
litros de suco já preparados e não tenha mais o concentrado, quanto de suco e quanto de água
ele deve usar para fazer 840 ml de refresco?
Problema 63.
Você tem uma balança de dois pratos, um peso de 100g e um peso de 400g. Fazendo três
pesagens, separe 18 quilos de feijão em uma porção de 4 quilos e outra de 14 quilos.
Problema 64.
Uma questão de múltipla escolha tem 5 alternativas. Dos alunos de uma turma, 50% sabem
resolver a questão, enquanto os demais “chutam” a resposta. Um aluno da turma é escolhido
ao acaso.
(a) Qual é a probabilidade de que ele tenha acertado a questão?
(b) Dado que o aluno acertou a questão, qual é a probabilidade de que ele tenha “chutado”?
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Problema 65.
Qual é a quantidade total de letras de todas as respostas incorretas desta questão?
(A) Quarenta e oito.
(B) Quarenta e nove.
(C) Cinqüenta.
(D) Cinqüenta e um.
(E) Cinqüenta e quatro.
Problema 66.
Um avião de 100 lugares foi fretado para uma excursão. A companhia exigiu de cada passageiro
R$ 800,00 mais R$ 10,00 por cada lugar vago. Para que número de passageiros a rentabilidade
da empresa é máxima?
Problema 67.
O tanque de um carro tem 22 litros de uma mistura de álcool e gasolina, sendo que o álcool
representa 25% da mistura. Vamos substituir certa quantidade de litros desta mistura por
igual quantidade de álcool, a fim de que a nova mistura apresente uma porcentagem de 50% de
álcool. Quantos litros devem ser substituı́dos?
Problema 68.
Um exame de laboratório tem eficiência de 95% para detectar uma doença quando ela de fato
existe. Além disso, o teste aponta um resultado falso positivo para 1% das pessoas sadias
testadas. Se 0,5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa,
escolhida ao acaso, tenha a doença, sabendo que o seu exame foi positivo?
Problema 69.
Luiz Eduardo percebeu que para numerar as páginas de um livro, consecutivamente, a partir da
página 1, foram usados 2007 algarismos. Qual é o número de páginas do livro de Luiz Eduardo?
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Problema 70.
Suponha que 16 seleções, entre as quais Brasil e Argentina, vão participar de um torneio. Serão
formados quatro grupos de quatro seleções, através de sorteio. Qual é a probabilidade de que
Brasil e Argentina fiquem no mesmo grupo?
Problema 71.
Quantas vezes, no mı́nimo, se deve lançar um dado para que a probabilidade de obter algum
6 seja superior a 90%?
Problema 72.
Rosane plantou três jabuticabeiras, formando um triângulo eqüilátero. Num certo dia ela
estava no interior desse “pomar” e mediu a distância até cada uma das árvores, constatando as
medidas de 5, 7 e 8 metros. Você é capaz de determinar o comprimento do lado desse triângulo?
Problema 73.
Imaginemos que temos à nossa frente dois recipientes, um com 2 litros de água e o outro com
5 litros de vinho. Um copo de 200ml desta água é transferido para o recipiente do vinho e
misturado bem. A seguir, transfere-se um copo de 200ml dessa mistura para o recipiente da
água. Há agora mais água no vinho do que vinho na água? Ou vice-versa?
Problema 74.
Numa escola há um corredor com 2007 armários numerados de 1 a 2007 , inicialmente todos
fechados. 2007 alunos numerados de 1 a 2007, passam pelo corredor. O aluno de número k
reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de k. Por exemplo, o aluno
de número 4 mexe nos armários de números 4, 8, 12,..., abrindo os que encontra fechados e
fechando os que encontra abertos. Ao final, depois da passagem do 2007o aluno, quais armários
ficarão abertos?
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Problema 75.
Dois trens de carga, na mesma linha férrea, seguem em rota de colisão. Um deles vai a 26km/h
e o outro a 34km/h. No instante em que eles se encontram a 150km um do outro, um pássaro
que voa a 40km/h, parte de um ponto entre os dois, até encontrar um deles e então volta para o
outro e continua nesse vai-e-vem até morrer esmagado no momento em que os trens se chocam.
Quantos quilômetros voou o pobre pássaro?
Problema 76.
Três lógicos Alberto, Bruno e Carlos são capazes de deduzir instantaneamente todas as conseqüências de qualquer conjunto de premissas. Além disso, cada um sabe que os outros dois são
lógicos infalı́veis. Mostraram-se a eles sete selos: dois vermelhos, dois amarelos e três verdes.
Em seguida, os três tiveram seus olhos vendados e um selo foi colado na testa de cada um; os
quatro selos restantes foram guardados em uma gaveta.
Quando as vendas foram retiradas, perguntaram para Alberto:
- “Você é capaz de dizer uma cor que definitivamente não é a sua?”
- “Não”, respondeu Alberto.
Perguntou-se então o mesmo para Bruno e a resposta foi:
- “Não”.
A partir dessas informações é possı́vel deduzir a cor do selo de algum deles?
Problema 77.
Um pesquisador se vê perdido em uma ilha. Os nativos que o capturaram são devotos a 2
Deuses: O Deus da Verdade e o Deus da Mentira. Eles dão ao pesquisador a chance de decidir
para qual Deus ele será sacrificado. Essa escolha é feita através de uma frase que o pesquisador
diz. Se essa frase for uma mentira ele será sacrificado para o Deus da Mentira, se essa frase for
uma verdade ele será sacrificado para o Deus da Verdade. O pesquisador diz uma frase e não
pode ser sacrificado para nenhum dos Deuses. Que frase ele disse?
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Problema 78.
Maria Cecilia comprou um livro por dezessete reais, vendeu-o por dezoito reais, recomprou-o
por dezenove e, afinal, vendeu-o por vinte reais. Qual foi seu lucro?
Problema 79.
Em uma ilha deserta havia três homens e um macaco. Durante o dia os homens colheram cocos
e deixaram a partilha para o dia seguinte. Durante a noite, um dos homens acordou e resolveu
pegar a sua parte. Dividiu a pilha de cocos em três partes iguais, observou que sobrava um
coco, deu este coco para o macaco, retirou e guardou sua parte. Mais tarde, o segundo homem
acordou e fez a mesma coisa que o primeiro, dando também um coco para o macaco. Uma
hora depois, o terceiro homem acordou e repetiu o que os outros dois haviam feito, dando um
coco para o macaco. Na manhã seguinte os três homens repartiram os cocos restantes em três
partes iguais, observaram que sobrou um coco, deram-no para o macaco e cada um pegou a
sua parte. Qual é o menor número de cocos que a pilha inicial poderia ter?
Problema 80.
Ao morrer uma pessoa chega numa sala com duas portas, uma que leva para o céu e outra que
leva para o inferno. Não é possı́vel identificar qual porta leva a qual lugar, porém a frente de
cada uma delas tem um guardião. A pessoa sabe que um dos guardiões só diz a verdade e o
outro só diz mentiras e que ela tem direito a fazer uma única pergunta para apenas um deles.
Qual deve ser a pergunta para que a pessoas saiba com certeza qual porta levará para o céu?
Problema 81.
Suponha-se que temos três caixinhas. Uma contém 20 bolas pretas, outra contém 20 bolas
brancas e a terceira contém 10 pretas e 10 brancas. As caixas tinham suas etiquetas correspondentes: PP, BB e PB. Entretanto alguém as trocou de modo a estarem todas na tampa errada.
Tirando apenas uma bola por vez de qualquer uma das caixas, qual é o menor número de bolas
que devemos tirar para determinar o conteúdo de cada uma das três caixas?
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Problema 82.
Em uma prisão haviam 3 presos. O dono da prisão resolve conceder a liberdade a um deles, e
propõe o seguinte:
- “Tenho aqui 5 bonés: 3 azuis e 2 amarelos. Inicialmente, quero que vocês fiquem os 3 alinhados, um na frente do outro, de forma que o último de trás pode ver os da frente; o do
meio pode ver somente o da sua frente e o da frente não pode ver nenhum dos outros dois.
Em seguida, vou colocar um boné, aleatoriamente, na cabeça de cada um de vocês, sem que
vocês vejam. Aquele que adivinhar a cor do boné que está usando será libertado!”
Após os 3 serem colocados um na frente do outro, os dois de trás até riram do coitado que
ficara na frente, pois ele não conseguia ver o boné de ninguém, e conseqüentemente não teria a
mı́nima chance!!! Em seguida, foi feita a pergunta para o último da fila:
- “Qual a cor do seu boné?”
- “Embora esteja vendo os bonés dos meus 2 companheiros, minha resposta infelizmente é: Não
sei!”
Foi feita então a pergunta para o do meio:
- “Qual a cor do seu boné? ”
- “Não sei! ”
Foi feita então a pergunta para o da frente, que não estava vendo nada:
- “Qual a cor do seu boné? ”
- “Eu sei! E serei libertado! ”
Qual a cor do boné do felizardo que foi libertado?
Problema 83.
Numa certa povoação africana vivem 800 mulheres. De todas elas, 3% usam apenas um brinco.
Dos outros 97%, metade usam sempre dois brincos e a outra metade nenhum. Qual o número
total de brincos usados por todas as mulheres?
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Problema 84.
Durante uma etapa de um campeonato de surf choveu 5 vezes. A chuva caia pela manhã ou
à tarde, nunca o dia todo. Houve 6 manhãs e 3 tardes sem chuva. Quantos dias durou esta
etapa?
Problema 85.
Numa certa manhã de primavera, Fernando e Cecilia começam a correr, no mesmo horário,
cada um com velocidade constante. Fernando corre de A para B e Cecilia corre de B para
A. Eles se cruzam às 9 da manhã e continuam correndo. Fernando alcança B às 11 horas da
manhã e Cecilia alcança A às 13 horas e 30 minutos. Qual foi a hora em que eles começaram
a correr?
Problema 86.
Clodoaldo cria peixes dourados. Certo dia ele decide vender todos os seus peixes. Fez isso em
cinco etapas:
1. Vende metade dos seus peixes mais meio peixe.
2. Vende um terço do que sobra mais um terço de um peixe.
3. Vende um quarto do que sobra mais um quarto de um peixe.
4. Vende um quinto do que sobra mais um quinto de um peixe.
5. Sobram 11 peixes dourados.
Claro que nenhum peixe é dividido nem de modo algum maltratado. Com quantos ele começou?
Problema 87.
Na população de uma espécie rara de 1000 aves da floresta amazônica, 98% tinham cauda de
cor verde. Após uma misteriosa epidemia que matou parte das aves com cauda verde, esta
percentagem caiu para 95%. Quantas aves foram eliminadas com a epidemia?
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Problema 88.
Você precisa comprar arame para cercar um terreno na forma de um triângulo pitagórico (os
lados são números inteiros), com a condição de que a medida do cateto menor seja 40 metros.
Qual deverá ser a medida do cateto maior e o comprimento do arame, a fim de que a área seja:
(a) máxima?
(b) mı́nima?
Problema 89.
Você precisa comprar arame para cercar um terreno na forma de um triângulo pitagórico (os
lados são números inteiros), com a condição de que a medida do cateto maior seja 40 metros.
Qual deverá ser a medida do cateto maior e o comprimento do arame, a fim de que a área seja:
(a) máxima?
(b) mı́nima?
Problema 90.
Num certo aeroporto, Nelly caminhava calmamente à razão de um metro por segundo; ao
tomar uma esteira rolante de 210 metros, Nelly continuou andando no mesmo passo e notou
ter levado um minuto para chegar ao fim da esteira. Se Gugu ficar parado nesta esteira, quanto
tempo levará para ser transportado?
Problema 91.
Beatriz, Isabele e Nicole estão disputando um jogo fazendo lançamentos sucessivos com uma
moeda. Beatriz ganha se, em dois lançamentos consecutivos, o primeiro resultar cara e o
segundo coroa. Isabele ganha se forem obtidas duas coroas em dois lançamentos consecutivos,
e Nicole ganha se forem obtidas duas caras em dois lançamentos consecutivos. Elas fazem os
lançamentos até que uma das jogadoras seja vencedora. Qual é probabilidade de vitória de
cada uma delas?
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Problema 92.
Mustafá comprou um tapete. O vendedor mediu o tapete com uma régua que supostamente
media um metro. Como o resultado foi que o tapete tinha 30 metros de largura e 20 metros
de comprimento, o vendedor cobrou 120000 rupias. Quando Mustafá chegou a sua casa mediu
novamente o tapete e percebeu que o vendedor tinha cobrado 9408 rupias a mais. Quantos
centı́metros mede a régua usada pelo vendedor?
Problema 93.
Em cada um dos 10 degraus de uma escada existe uma rã. Cada rã pode, de um pulo, colocarse em outro degrau, mas quando uma rã faz isso, ao mesmo tempo, uma outra rã pulará a
mesma quantidade de degraus em sentido contrário: uma sobe e outra desce. Conseguirão as
rãs colocar-se todas juntas num mesmo degrau?
Problema 94.
Dois operários trabalhando separadamente levam 6 e 8 horas para montar um certo número
de máquinas de calcular. Trabalhando juntos, são tão eficientes que o rendimento conjunto
aumenta em 5 máquinas por hora e por causa disso terminam todo serviço em 2 horas. Qual é
o número de máquinas montado por eles?
Problema 95.
Éderson, Fabrı́cio e Geraldo fizeram uma corrida. Éderson venceu, com 24 metros à frente de
Fabrı́cio e 34 metros à frente de Geraldo. Além disso, Fabrı́cio venceu Geraldo com 12 metros
à frente. Qual é a distância da corrida?
Problema 96.
Volume do Tanque Cilı́ndrico. Considere o cilindro “deitado” de raio r e comprimento L. Seja
h a altura do lı́quido no interior do cilindro. Determine o volume do lı́quido no cilindro em
função de r, L e h.
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Problema 97.
O preço em reais de 32 jabuticabas é igual ao número de jabuticabas que podemos comprar
com dois reais. Quantas jabuticabas podemos comprar com 36 reais?
Problema 98.
De um reservatório cheio de água, retira-se a metade do seu conteúdo. A seguir, retira-se um
terço do que restou e continua-se com esse processo: restira-se um quarto do que restou, na
quarta retirada retira-se um quinto do que restou, etc. Após quantas retiradas ficamos com
exatamente um décimo da quantidade original de água?
Problema 99.
Na sua festa de aniversário, o jovem Guilherme resolveu fazer a seguinte brincadeira com os
seus 5 amigos mais chegados: ele daria sua coleção de bolinhas de gude a quem adivinhasse de
que cores eram duas bolas que ele havia escondido numa caixa. Ele explicou que as duas bolas
tinham cores diferentes, dentre as 6 cores a seguir: verde, amarela, azul, branca, vermelha e
preta. Seus amigos deram os seguintes palpites, respectivamente: verde e branca; amarela e
branca; amarela e vermelha; azul e vermelha; branca e preta. Guilherme, chateado, comunicou
a seus amigos que um deles havia errado as duas cores e os outros tinham acertado uma mas
errado a outra. De repente, teve uma idéia luminosa: daria sua coleção a quem, a partir das suas
informações, descobrisse as cores das bolas. Carlos Gustavo, que não era bom de adivinhação,
mas gostava de quebra-cabeças, deu logo a resposta certa. Mostre como ele descobriu as cores
das bolas na caixa.
Problema 100.
Duas máquinas A e B produzem 3000 peças em um dia. A máquina A produz 1000 peças, das
quais 3% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 2000, das quais 1% são defeituosas.
Da produção total de um dia, uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que
ela é defeituosa. Qual é a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela máquina A?
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Problema 101.
Daniel reparte certa quantidade de dinheiro igualmente entre seus filhos e sobrinhos. Se não
tivesse incluı́do seus três sobrinhos na divisão, cada filho teria recebido R$ 50,00 a mais. Por
outro lado, se tivesse incluı́do sua neta no rateio, cada filho e sobrinho teria recebido R$ 10,00
a menos.
(a) Quantos filhos tem Daniel?
(b) Quanto dinheiro ele repartiu?
Problema 102.
A professora Cláudia aplicou uma prova de recuperação para cinco alunos. Depois de corrigi-las,
digitou as notas em uma planilha eletrônica que calcula automaticamente a média aritmética
das notas à medida que elas são digitadas. Ela notou que após digitar cada nota a média
calculada pela planilha era um número inteiro. Se as notas dos alunos são, em ordem crescente,
71, 76, 80, 82 e 91:
(a) Qual foi a última nota que Cláudia digitou?
(b) Quais são as possı́veis ordens em que ela digitou essas notas?
Problema 103.
O tesouro de um faraó é protegido por uma porta que se abre com uma senha numérica. Nas
paredes da tumba, arqueólogos decifraram as seguintes mensagens:
1. A senha é o produto de três números.
2. A soma dos três números é 128.
3. O primeiro menos o segundo é igual ao terceiro.
4. O segundo número é igual a um terço do terceiro.
Determine a senha que abre a porta do tesouro.
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Problema 104.
Num relógio digital, as horas são exibidas por meio de quatro algarismos. Por exemplo, ao
mostrar 00:00 sabemos que é meia-noite e ao mostrar 23:59 sabemos que falta um minuto para
meia-noite.
(a) Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos ı́mpares?
(b) Quantas vezes por dia os quatro algarismos mostrados são todos pares?
Problema 105.
Uma garrafa com 1 litro de vinho está suspensa sobre outra, de igual capacidade, cheia de
água. Por um orifı́cio no fundo de cada, o vinho escorre para a garrafa de água e a mistura se
esvai na mesma velocidade. Quando a garrafa de vinho estiver vazia, qual é o volume de vinho
na garrafa debaixo?
Problema 106.
Três amigos Arnaldo, Bernardo e Carlos, foram ao mercado com suas mulheres: Denise, Estela
e Fernanda. Não sabemos quem é casado com quem. Isto pode ser descoberto a partir das
seguintes informações: cada uma das seis pessoas pagou para cada objeto comprado, tantos
reais quantos objetos comprou. Cada marido gastou 48 reais a mais do que sua esposa. Além
disso, Arnaldo comprou 9 objetos a mais que Estela e Bernardo 7 objetos a mais que Denise.
Com base nesses dados diga quem é casado com quem?
Problema 107.
Em um torneio de xadrez cada jogador disputou uma partida com cada um dos demais participantes. A cada partida, havendo o empate, cada jogador ganhou 1/2 ponto; caso contrário,
o vencedor ganhou 1 ponto e o perdedor 0 pontos. Participaram homens e mulheres e cada
participante conquistou o mesmo número de pontos contra homens que contra mulheres. Mostre
que o número total de participantes é um quadrado perfeito.
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Problema 108.
Após passar por diversas etapas em um programa de auditório, Larissa foi convidada para
sortear o seu prêmio (um carro zero quilômetro). O sorteio é realizado com uma roleta circular,
dividida em 6 setores de mesma área: três estão marcados como Carro, dois como Perde e um
como Gire novamente. Para descobrir qual prêmio ganhará, Larissa deve girar a roleta. Se a
roleta parar em Carro, Larissa ganha o carro; se ela parar em Perde, Larissa volta para casa
sem nada; se a roleta parar em Gire novamente, ela deve girar a roleta outra vez (não há limite
no número de repetições permitidas). Qual é a probabilidade de Larissa ganhar o carro?
Problema 109.
O Clube VM tem dois tipos de membros: os que dizem sempre a verdade quando lhes é feita
uma pergunta e os que respondem sempre com uma mentira. Na minha primeira visita ao clube,
encontrei todos os seus membros sentados a almoçar à volta de uma grande mesa redonda. Não
havia maneira de distinguir os verdadeiros dos mentirosos a partir do seu aspecto exterior, pelo
que fui perguntando a cada um deles se eram uma coisa ou outra. De nada me serviu, pois,
como era de esperar, todos disseram que diziam sempre a verdade. Fiz uma nova tentativa, mas,
desta vez, perguntando a cada um se o seu vizinho da esquerda era verdadeiro ou mentiroso.
Para surpresa minha, todos responderam que a pessoa à sua esquerda era mentirosa.
Mais tarde, ao regressar a casa e datilografar os meus apontamentos sobre o almoço, descobri
que me tinha esquecido de tomar nota do número de pessoas sentadas à mesa. Telefonei então
ao presidente do clube, que me informou serem 37. Depois de desligar o telefone percebi que
não podia confiar neste número pois não sabia se o presidente era dos que diziam a verdade ou
dos que mentiam. Decidi, pois, telefonar ao secretário do clube.
- “Não. O nosso presidente, infelizmente, é um mentiroso empedernido. Éramos 40 à mesa”,
disse-me o secretário.
Em qual destes dois homens deveria eu acreditar?
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Problema 110.
Um pequeno caminhão pode carregar 50 sacos de areia ou 400 tijolos. Se foram colocados no
caminhão 32 sacos de areia, quantos tijolos pode ainda ele carregar?
Problema 111.
Quantas vezes num dia (24 horas) os ponteiros de um relógio formam ângulo reto?
Problema 112.
Uma ampulheta é formada por dois cones idênticos. Inicialmente, o cone superior está cheio
de areia e o cone inferior está vazio. A areia flui do cone superior para o inferior com vazão
constante. O cone superior se esvazia em exatamente uma hora e meia. Quanto tempo demora
até que a altura da areia no cone inferior seja metade da altura da areia no cone superior?
Problema 113.
Cláudio e Luciano correm em sentidos opostos em uma pista circular, começando em pontos
diametralmente opostos. O primeiro cruzamento entre eles ocorre depois de Cláudio ter percorrido 300 metros. O segundo cruzamento ocorre após Luciano ter percorrido 500 metros entre o
primeiro e o segundo ponto de encontro. As velocidades deles são constantes e distintas. Qual
é o tamanho da pista, em metros?
Problema 114.
Alberto, Beatriz e Carlos correm numa pista circular. Todos saem ao mesmo tempo e do
mesmo lugar, cada um desenvolvendo velocidade constante. Alberto e Beatriz correm no mesmo
sentido. Correndo no sentido oposto, Carlos encontra Alberto, pela primeira vez, 1 minuto e
meio após o inı́cio da corrida e encontra Beatriz exatamente 15 segundos depois. Quanto tempo
é necessário para que Alberto ultrapasse Beatriz pela primeira vez?
30
Problema 115.
Às 6 horas da manhã o relógio da igreja levou 30 segundos para dar as 6 badaladas. Ao
meio-dia, quanto tempo levará para dar as 12 badaladas?
Problema 116.
Em um aquário há peixes amarelos e vermelhos: 90% são amarelos e 10% são vermelhos.
Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a
doença foi controlada verificou-se que no aquário, 75% dos peixes vivos eram amarelos. Que
porcentagem dos peixes amarelos morreu?
Problema 117.
Quantos são os triângulos que possuem medidas dos seus lados expressas por números inteiros
e tais que a medida do maior lado seja igual a 11?
Problema 118.
No triminó marciano, as peças têm 3 números cada (diferente do dominó da Terra, onde cada
peça tem apenas 2 números). Os números no triminó marciano também variam de 0 a 6, e para
cada escolha de 3 números (não necessariamente distintos) existe uma e somente uma peça que
contém esses 3 números.
(a) Quantas peças possui esse jogo?
(b) Qual é a soma dos números de todas as peças do triminó marciano?
Problema 119.
Pedro distribuiu 127 moedas de 1 real em sete caixas e colocou em cada uma delas uma etiqueta
dizendo o número de moedas da caixa. Essa distribuição foi feita de forma que qualquer quantia
de R$1,00 a R$127,00 pudesse ser paga entregando-se apenas caixas fechadas. De que maneira
Pedro fez essa distribuição?
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Problema 120.
Jaqueline usou uma tampa circular para traçar um cı́rculo. Como ela pode determinar o centro
desse cı́rculo, tendo apenas um esquadro reto e um lápis?
Problema 121.
Quantos dados devem ser lançados ao mesmo tempo para maximizar a probabilidade de se
obter exatamente um 2?
Problema 122.
Letı́cia vendeu todos seus CDs de videogames para três amigos, que lhe pagaram, respectivamente, R$ 240,00, R$ 180,00 e R$ 320,00. Todos os CDs tinham o mesmo preço. Quantos CDs
tinha Letı́cia no mı́nimo?
Problema 123.
Uma empresa de telefonia celular oferece planos mensais de 60 minutos a um custo mensal
de R$ 52,00, ou seja, você pode falar durante 60 minutos no seu telefone celular e paga por
isso exatamente R$ 52,00. Para o excedente, é cobrada uma tarifa de R$ 1,20 cada minuto. A
mesma tarifa por minuto excedente é cobrada no plano de 100 minutos, oferecido a um custo
mensal de R$ 87,00. Um usuário optou pelo plano de 60 minutos e no primeiro mês falou
durante 140 minutos. Se ele tivesse optado pelo plano de 100 minutos, quantos reais ele teria
economizado?
Problema 124.
Sabrina mente às quartas, quintas e sextas-feiras, dizendo a verdade no resto da semana.
Jurandir mente aos domingos, segundas e terças-feiras, dizendo a verdade nos outros dias.
Certo dia ambos declaram:
- “ Amanhã é dia de mentir”.
Qual o dia em que foi feita essa declaração?
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Problema 125.
Um bancário costuma chegar diariamente à sua estação, precisamente às cinco horas. Sua
esposa costuma ir ao encontro do trem para levar o marido de automóvel para casa. Um dia
o viajante chega uma hora antes, e, como o tempo está bom, resolve ir andando pelo caminho
que costuma seguir, sem telefonar para a esposa. Encontra-a no caminho, sobe no carro e os
dois voltam para casa, chegando dez minutos mais cedo do que de costume. Suponha-se que a
mulher viaje a velocidade constante, e que saia de casa no tempo exato para encontrar o trem
das cinco, quanto tempo andou o marido antes de ser encontrado pela esposa?
Problema 126.
Suponha que se tem um tabuleiro de xadrez do qual dois cantos diagonalmente opostos são
retirados, restando portanto, no tabuleiro, sessenta e dois quadrados. Agora suponha que se
tem trinta e um dominós, cada qual cobrindo exatamente dois quadrados do tabuleiro.
A pergunta do problema é: Pode-se encontrar algum modo de arranjar estes trinta e um
dominós no tabuleiro de modo a cobrir todos os sessenta e dois quadrados? Se isto pode ser
feito, explicar como. Se não puder, prove porque.
Problema 127.
Joana estava passeando pela floresta e queria visitar a sua avó, quando chegou numa encruzilhada e tinha três caminhos possı́veis. Na entrada de cada um deles havia uma placa. Os
dizeres eram os seguintes:
No caminho I: “O caminho correto é este”.
No caminho II: “Este não é o caminho”.
No caminho III: “O caminho certo não é o I”.
Sabendo que somente uma das três placas diz a verdade, responda:
(a) Qual é a placa que diz a verdade?
(b) Qual é o caminho certo?
33
Problema 128.
A televisão de Ricardo consegue sintonizar os canais de 3 até 73. Se a TV de Ricardo estiver
sintonizada no canal 21 e ele apertar o botão que avança o canal 2007 vezes, em que canal
estará sintonizada ao parar?
Problema 129.
Se uma garrafa e um copo equilibram um jarro; uma garrafa equilibra um copo e uma taça;
Dois jarros equilibram três taças, quantos copos equilibram uma garrafa ?
Problema 130.
Dois atletas brincam com seus números de inscrição em uma competição:
- “O meu número é formado por quatro algarismos diferentes; o segundo é o quadrado do
primeiro e o quarto é o quadrado do terceiro”.
O outro retruca:
- “O meu também. Porém minha inscrição na competição foi depois da sua”.
Qual o número de inscrição de cada um ?
Problema 131.
A decisão do campenato municipal de futebol de Açucarlândia será decidida na cobrança de
pênaltis entre os times Zucker e Zucchero. Três jogadores de cada time serão destacados para
esta difı́cil tarefa. Antes da decisão os jogadores de ambas as equipes treinaram exaustivamente
a cobrança de pênaltis. Os três jogadores do Zucker tiveram um aproveitamento de 80%, 85%
e 90%, respectivamente; e os jogadores do Zucchero tiveram um aproveitamento de 75%, 85%
e 95%, respectivamente. Baseado nessas informações, qual time tem maior probabilidade de
converter as três penalidades? E se o terceiro batedor do Zucchero tivesse um aproveitamento
de 96% ao invés de 95%, quem teria maior probabilidade de acertar os três pênaltis?
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Problema 132.
Pedro e Paulo disputam um jogo de cara ou coroa em que Pedro deve pagar R$ 1,00 a Paulo
se der cara. Se sair coroa, a moeda deverá ser novamente jogada e desta vez, se der cara,
Pedro deve pagar R$ 2,00. Se der coroa, joga-se pela terceira vez, pagando R$ 4,00 se der cara.
Em resumo, o pagamento dobra com cada jogada e continua até que saia cara, quando Pedro
finalmente paga, e o jogo acaba. Qual a quantia justa que Paulo deverá pagar a Pedro, antes
de começar o jogo, para ter o privilégio de jogar esta partida?
Problema 133.
Um homem tem dois relógios analógicos. Um deles não anda e o outro atrasa uma hora por
dia. Qual deles mostrará mais freqüentemente a hora certa ?
Problema 134.
Existem cinco botes numa margem de um rio; seus nomes são um, três, seis, oito e doze, porque
essas são as quantidades de horas que cada um deles demora para cruzar o rio. Pode-se atar
um bote a outro, porém não mais de um, e então o tempo que demoram em cruzar é igual ao
do mais lento dos botes. Um só barqueiro deve levar todos os botes até a outra margem do rio.
Mostre como é possı́vel o barqueiro atravessar os cinco botes em 29 minutos.
Problema 135.
Carina possui uma máquina copiadora com a qual é possı́vel fazer reduções e aumentos do
tamanho de impressão. Nessa máquina é possı́vel fazer cópias iguais a 80%, 100% e 150% de
um original.
(a) É possı́vel fazermos uma cópia cujo tamanho seja 144% do original? Caso afirmativo,
explique como isso pode ser feito.
(b) É possı́vel fazermos uma cópia cujo tamanho seja 156% do original? Caso afirmativo,
explique como isso pode ser feito.
35
Problema 136.
De 1o de janeiro até 31 de outubro de 2006, uma pequena livraria de Goiânia, que abre todos
os dias, vendeu no mı́nimo um livro por dia e um total de 463 livros. Mostre que existiu um
perı́odo de dias consecutivos em que foram vendidos exatamente 144 livros.
Problema 137.
Imagine que você tenha que ligar três casas a três usinas, que fornecem gás, água e eletricidade.
É preciso ter três fios elétricos(da usina para cada uma das três casas), três canos de água(do
reservatório para cada casa) e três linhas de gás(da usina para cada uma das casas). As casas e
as usinas podem ser colocadasem qualquer lugar que queiramos, mas não pode haver cruzamento
de fio com fio, fio com cano, etc. É possı́vel fazer tais ligações?
Problema 138.
Um grupo amigos saiu para comer pizza. No restaurante em que foram, as pizzas são cortadas
em doze pedaços iguais. Maria observou que cada rapaz comeu 6 ou 7 pedaços e cada moça, 2
ou 3 pedaços. Eles pediram quatro pizzas que foram totalmente consumidas e depois pediram
mais uma, da qual sobraram alguns pedaços. Quantos rapazes e moças foram à pizzaria?
Problema 139.
Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João.
Interrogados, eles fazem as seguintes declarações:
- “Eduardo é o culpado”, disse André.
- “João é o culpado”, falou Eduardo.
- “Eu não sou culpado”, comentou Rafael.
- “Eduardo mente quando diz que eu sou culpado”, retrucou João.
Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, quem é o culpado?
36
Problema 140.
Dois jovens inexperientes foram acampar e deixaram descuidadamente os mantimentos no chão
durante a noite. Na manhã seguinte, descobriram que um cão havia devorado um terço das
refeições que haviam levado. Durante o dia consumiram 4 refeições e decidiram deixar a comida
restante pendurada numa árvore durante a noite. Quando acordaram, pela manhã, verificaram
que um gato havia roubado um terço das refeições deixadas na noite anterior. Nesse dia mais
uma vez comeram 4 refeições. Dessa vez colocaram as refeições que haviam sobrado no alto
de uma árvore, agora mais próxima do local onde eles dormiam. Mesmo assim, pela manhã
constataram que metade das refeições haviam sumido. Notaram que ainda sobravam 4 refeições.
Quantas refeições haviam levado de inı́cio para o acampamento?
Problema 141.
Imaginemos um corda muito boa, que não deforma de “jeito nenhum”. Uma de suas extremidades é amarrada no pescoço do monumento ao Laçador na entrada de Porto Alegre. A outra
extremidade é amarrada no primeiro pilar da Ponte Hercı́lio Luz, na entrada da Ilha de Florianópolis. São 480 km de extensão e a cidade de Sombrio fica na metade do caminho (não
fique pensando em morros e outros obstáculos. Seja criança “faça de conta”!). Uma segunda
corda, com 1m a mais de comprimento, é amarrado nos mesmos lugares do primeiro. Como
tem um metro a mais, não ficará esticada. Em sombrio afastamos verticalmente a segunda
corda da primeira até que fique esticada. A pergunta é: esticando a segunda laço, de quantos
metros ficará afastada da primeira?
Problema 142.
Suponha que com uma corda semelhante ao do problema anterior você queira circundar a esfera
terrestre, em uma de suas circunferências máximas (por exemplo, passando pelo equador),
novamente desconsidere oscilações do relevo. Primeiramente temos uma corda perfeitamente
esticada rente à superfı́cie. Se agora desejarmos usar uma outra corda de modo que ela fique a
uma distância constante de 1m da superfı́cie, quantos metros a mais deverá medir esta segunda
corda? E se estivéssemos “laçando” uma bola de basquete?
37
Problema 143.
Luiz Paulo é dono de uma imobiliária. Num determinado mês ele comprou duas casas por
um total de R$ 280.000,00. Ele revendeu uma delas com um lucro de 15% e a outra com um
prejuı́zo de 10%. No total lucrou R$ 5.000,00. Quanto ele pagou por cada uma das casas?
Problema 144.
Uma ilha das amazonas é habitada por amazonas e homens. As amazonas mandam em tudo,
são inteligentı́ssimas, ciumentı́ssimas e muito fofoqueiras. O que uma amazona mais gosta de
fazer é trair outra amazona com o marido desta. Consumada a traição, ela conta o seu feito a
todas as amazonas da ilha menos à amazona traı́da. As outras amazonas também não contam
nada à vı́tima da traição. Mas se uma amazona descobre que está sendo traı́da ela mata o seu
marido na próxima meia noite.
A rainha das amazonas, que é viúva, vê esta situação com desagrado. Ela vê que há traição na
ilha mas, como nunca ninguém descobre nada, nenhum marido morre. No inı́cio da tarde do
dia 1o de janeiro de 2007, então, contrariando a tradição, ela chama todas as amazonas para a
praça central e faz uma proclamação solene:
- “Há traição nesta ilha.”
Nenhuma amazona sonha em duvidar da palavra da rainha e todas as amazonas sabem disso.
Como já foi dito, todas são inteligentes e ciumentas: estes e os outros fatos mencionados neste
enunciado até aqui são conhecimento comum entre as amazonas. Supondo que haja 1000
amazonas na ilha e que 365 delas tenham sido traı́das, o que acontecerá?
38
Respostas
1. (a) 32767. (b) 3 perguntas: 9a , 13a e 15a .
2. 84
3. 3 km/h.
4. 1023.
5. Se ele trocar de porta, ele ganha o carro com probabilidade 2/3. Caso contrário, a probabilidade é de apenas 1/3.
6. O comprador foi prejudicado, pois o peso correto do queijo é 4 quilos.
7. Uma solução seria: 8 0 0, 3 5 0, 3 2 3, 6 2 0, 6 0 2, 1 5 2, 1 4 3, 4 4 0.
12. 8; 377.
9. e 10. Veja revista Eureka, no 6, páginas 42, 43, 44 e 45. (www.obm.org.br)
13. (a) 24. (b) 2018. (c) 0,2425.
14. (a) 14. (b) 2016.
17. (a) 31/07/2030. (b) 31/03/2031.
21. R$ 2,19. 23. R$ 1.089,00.
18. 7 e 1.
24. 0,4756953...
15. 15.
19. 3762.
25. base 9.
16. 72 e 80.
20. 2, 6 e 6.
26. 150 dias, num sábado.
22. (a) 19 soluções: b = −2 + 7t, c = 174 − 9t, t ∈ {1, . . . , 19}. (b) b = 131 e c = 3, onde b
indica a quantidade de bois e c a de cavalos.
27. R$ 50,00.
29. Hoje é 1o de janeiro, ela aniversariou ontem.
CC
C
31. 8h59.
CC
C
C
CC
MM
28. CCCM M M |... → CM M M |CC ← CCM M M |C → M M M |CCC ← M M M C|CC →
MC
MM
C
M C|CCM M ← M M CC|M C → CC|M M M C ← CCC|M M M → C|M M M CC ←
CC
CC|M M M C → ...|M M M CCC.
30. (a) 2 moedas de cada tipo.
(b) Kr$ 2,42.
32. (a) 15. (b) um envelope com 34 figurinhas de bandeiras de paı́ses; 4 envelopes com 9, 16,
17 e 26 figurinhas de jogadores de futebol.
33. Se o terceiro tiver acertado a cor, então os dois primeiros também teriam acertado, o que
não é possı́vel, pois pelo menos um deles errou. Logo o terceiro errou e um dos dois
primeiros acertou. Portanto a cor do carro é preta.
34. Probabilidade de acerto de Rafael(três de um sexo e um de outro): 1/2;
de Rodrigo acertar(dois de cada sexo): 3/8.
Probabilidade
35. 1800 ml.
36. A quantidade de livros que devem ser retirados em cada estante e depois pesar:
(a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10
OU
(b) 1, 2, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 ;
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
(c) 1, 3, 32 , 33 , 34 , 35 , 36 , 37 , 38 , 39 .
39
37. Seja x a quantia que Caio tinha inicialmente. Ele saiu da 1a loja com
2a loja com
x
4
− 32 , saiu da 3a loja com
todo dinheiro segue que
38. 100.
42. 9.
39. 100.
x
16
−
15
8
x
8
− 74 , saiu da 4a loja com
x
16
− 1, saiu da
− 15
. Como ele gastou
8
= 0, ou seja x = 30.
40. Castanho, Azul, C, A, A. 41. (a) 1/3.
43. 20 e 15.
x
2
44. 8 anos.
45. 72 km/h.
(b) 1/2.
46. 24 e 30.
47. Dá uma maçã para quatro meninas e para a quinta dá a cesta com a maçã que sobrou.
48. 16 de agosto (mediana).
49. 70 km/h (média aritmética).
50. 87,5% são cães e 12, 5% são gatos.
52. 1760 m.
53. 4 horas.
56. 65 km/h.
57. 6.
51. 60,86956... km/h (média harmônica).
n 54. 5 horas.
55. (a) 59 . (b) 13 1 + − 13 .
58. (a) 48000km.
(b) 60000 km.
59. Se o jogo continuasse a probabilidade de vitória do jogador que tem três vitórias seria
igual a 18 . Portanto a divisão justa seria 18 20 = 2, 50 para o jogador com três vitórias e
7
20
8
60.
= 17, 50 para o jogador com cinco vitórias.
Nacionalidade
Cor da casa
Bebida
Profissão
Animal
Argentino
Verde
Café
Advogado
Peixe
Chileno
Azul
Chá
Professor
Cavalo
Brasileiro
Amarela
Água
Dentista
Gato
Paraguaio
Vermelha
Vinho
Engenheiro
Pássaro
Uruguaio
Branca
Cerveja
Médico
Cão
61. (a) Chaves ligadas: 5, 6 e 8. (b) Chaves ligadas: 5, 6 e 9.
62. 480 ml de suco e 360 ml de água.
63. Primeiro coloque 9 quilos de feijão em cada um dos pratos. Depois coloque 4,5 quilos em
cada um dos pratos, deixando 9 quilos de fora da pesagem. Na terceira pesagem coloque
4,5 quilos em um dos pratos e no outro coloque os dois pesos e mais feijão(4 quilos) até
equilibrar.
40
64. (a) 3/5.
69. 705.
(b) 1/6.
70. 1/5.
65. D.
71. 13.
68. 95/294 ≈ 0, 3231.
66. 90.
67. 22/3.
√
72.
129.
73. As quantidades de água no vinho e vinho na água são iguais.
75. 100.
74. 1, 4, 9,..., 1936, ou seja, as portas cujo número é um quadrado perfeito.
76. A cor do selo de Carlos é verde.
78. dois reais.
77. “Serei sacrificado para o Deus da Mentira.”
79. Seja x a quantidade de cocos que eles colheram.
1o Homem: dá um coco para o macaco, pega
2o Homem: dá um para o macaco, pega
3o Homem: dá um para o macaco, pega
De manhã há ainda
8
(x−1)− 10
27
9
x−1
3
2
(x−1)−1
3
3
4
(x−1)− 53
9
3
cocos para ele, sobrando 23 (x − 1) cocos.
cocos para ele e sobram 94 (x − 1) −
cocos para ele e sobram
8
(x
27
− 1) −
10
9
cocos.
8
(x − 1) − 10
27
9
cocos. Dando um coco para o macaco sobram
cocos e esse número deve ser múltiplo de 3, ou seja,
2
3
cocos.
8
(x−1)− 10
−1
27
9
− 1 = 3y. Com isso temos
a seguinte equação: 8x − 81y = 65. Resolvendo essa equação diofantina segue que x = 81t − 2
e y = 8t − 1. O menor valor de t que torna y positivo é t = 1. Para t = 1 temos x = 79.
80. “O guardião mentiroso está na porta do céu?”
81. UMA bola da caixa com a etiqueta PB.
82. Azul.
83. 800.
84. 7.
85. 6 horas da manhã.
88. (a) cateto maior = 399 m; comprimento do arame = 840 m.
86. 59.
87. 600.
(b) cateto maior = 42 m;
comprimento do arame = 140 m.
89. (a) cateto menor = 30 m; comprimento do arame = 120 m.
(b) cateto menor = 9 m;
comprimento do arame = 90 m.
90. 84 s.
91. Beatriz = 3/8;
Isabele = 3/8 e Nicole = 1/4.
92. 96.
93. No instante inicial a soma das posições das rãs é 1 + 2 + . . . + 10 = 55. Pelas regras do
jogo, essa soma se mantém invariante. Se as rãs conseguissem ficar num mesmo degrau
i, por exemplo, terı́amos que a soma das posições seria 10i = 55, o que dá uma contradição.
Logo não é possı́vel as 10 rãs ocuparem o mesmo degrau.
41
94. 24. 95. 144 m.
96.
97. 144. 98. 9.
99. As cores são branca e azul. 100. 3/5.
  L r2 arccos r−h − (r − h)√2hr − h2 , se h ≤ r
r
Volume do Cilindro =
.
 L πr2 − r2 arccos h−r − (h − r)√2hr − h2 , se h ≥ r
r
101. (a) 6.
(b) R$ 900,00.
103. 49152.
102. 76, 82, 91, 71 e 80
104. (a) 75. (b) 105.
OU 82, 76, 91, 71 e 80.
105. 1 − 1e .
106. Os casais são: Arnaldo e Fernanda; Bernardo e Estela; Carlos e Denise.
108. 3/5.
109. No secretário.
110. 144.
112. 1 hora, 3 minutos e 20 segundos.
116. 66,66...%.
117. 36.
111. 44.
113. 1100.
118. (a) 84;
114. 630 s.
115. 66 s.
(b) 756.
119. Quantidade de moedas em cada uma das caixas: 1, 2, 4, 8, 16, 32 e 64.
120. Lembre-se que se inscrevemos um triângulo retãngulo num cı́rculo, então a hipotenusa
será um diâmetro.
121. 5 ou 6.
122. 37.
123. 13.
124. 3a feira.
125. 55 minutos.
126. Não é possı́vel cobrir os 62 quadrados com as 31 peças. Os dois quadrados retirados
são de mesma cor(preta ou branca). Vamos supor que sejam retirados dois quadrados
brancos. Além disso, cada peça de dominó cobre sempre um quadrado branco e um
preto. Como restaram 30 quadrados brancos e 32 pretos não é possı́vel cobrir os 62
quadrados.
127. (a) III.
(b) II.
128. 40.
129. 5.
130. 2439 e 3924.
131. Probabilidade da equipe Zucker acertar as três penalidades = 0,612; probabilidade da
equipe Zucchero acertar as três penalidades = 0,605625. Se o terceiro batedor de
Zucchero tiver aproveitamento de 96%, então as probabilidades serão iguais a 0,612.
132. Este problema envolve o famoso paradoxo de St. Petersburg. Calculando a esperança
de ganho de Paulo é infinita. Se você fosse Paulo, quanto pagaria para participar desse
jogo?
42
133. O relógio parado estará certo duas vezes por dia e o relógio que atrasa uma hora por
dia estará certo de 12 em 12 dias.
1,3
8,12
3
1,6
1
134. 1, 3, 6, 8, 12 | ... → 6, 8, 12 | 1, 3 ← 3, 6, 8, 12 | 1 → 3, 6 | 1, 8, 12 ← 1, 3, 6 | 8, 12 →
1,3
1
3 | 1, 6, 8, 12 ← 1, 3 | 6, 8, 12 → ... | 1, 3, 6, 8, 12.
135. (a) É possı́vel, basta fazer duas reduções usando a opção 80% e depois duas ampliações,
usando a opção 150%.
(b) Não é possı́vel.
136. Seja ai a quantidade de livros vendidos até o dia i, para 1 ≤ i ≤ 304. Então
1 ≤ a1 < a2 < . . . < a304 = 463. Considere a seqüência bi = ai + 144. Assim segue
que 145 ≤ b1 < b2 < . . . < b304 = 607. Logo ai , bj ∈ {1, . . . , 607}, para todo
i, j ∈ {1, . . . , 304}. Pelo Princı́pio da Casa dos Pombos, existem i, j tais que ai = bj .
Portanto ai − aj = 144.
137. Não é possı́vel.
138. 8 rapazes e uma moça.
141. aproximadamente 489,89.
139. Rafael.
140. 33.
142. 2π metros em qualquer um dos casos.
143. R$ 132.000,00 e R$ 148.000,00.
144. Solução de Eduardo Fischer(Encantado - RS) na Revista Eureka, no 20.
Se houvesse somente uma traição, a traı́da não saberia de nada, e como havia pelo menos
uma traição que ela não soubesse, mataria o seu marido na primeira noite. Como na primeira
noite ninguém morreu, uma mulher que soubesse de uma única traição mataria seu marido na
segunda noite, pois, como não houve morte na primeira noite, havia algo que ela não sabia.
Assim, se houver exatamente duas traições, as traı́das matarão seus maridos na seguinte noite.
Supondo que na (n − 1)-ésima noite ninguém morreu, uma mulher que soubesse de apenas
n − 1 traições mataria seu marido na n-ésima noite, pois, como não houve morte na (n − 1)ésima noite, havia algo que ela não sabia. Mostramos assim, por indução em n, que, se houver
exatamente n traições (i.e., n maridos traidores) as traı́das matarão seus maridos na n-ésima
noite. Lembrando que cada traı́da sabe de 364 traições, cada uma mataria o seu marido depois
de uma ano, no 365◦ dia (isto é, no reveillon de 2008).
43