Der Quanten-Hall-Effekt - Institut für Theoretische Physik der

Der Quanten-Hall-Effekt
von Kai Frye im Rahmen des Seminars „Probleme der Quantenmechanik“ bei Prof. G. Wolschin
Im Jahr 1980 beobachtete Klaus von Klitzing beim HallEffekt das Verschwinden des Längswiderstandes und das
Einstellen von Plateaus beim Hall-Widerstand (Abbildung
1). Er verwendete dazu starke Magnetfelder (15T) und
tiefe Temperaturen (1,5K). Für diese Entdeckung wurde
Klitzing bereits 1985 mit dem Nobelpreis ausgezeichnet.
Der klassische Hall-Effekt
In einem Hall-Plättchen fließe der Strom in Querrichtung.
Von außen wird ein Magnetfeld B angelegt. Die
Ladungsträger, hier die Elektronen, werden durch die
Lorentz Kraft nach unten abgelenkt. Durch die Änderung
der Ladungsträgerdichte am unteren Ende entsteht
zwischen der oberen und unteren Seite ein
Abbildung 1: Beobachtungen der Längsspannung
Potentialgefälle, was wir dann als Hall-Spannung UH U und der Gatespannung U in einem MOSFET
pp
G
messen. Die Bewegungsgleichung der Elektronen, unter (oben rechts).
Berücksichtigung von Streuung und Störfeldern im Kristall,
⃗
⃗
⃗
⃗
mit der Zyklotronfrequenz
, der effektiven Masse
wird im statischen Grenzfall (F=0) durch
(
)
(
⁄
⁄
)(
gelöst (Die 3. Komponente
)
⃗
(1)
und der Relaxationszeit
)
(2)
vernachlässigen). Mit der spezifischen Leitfähigkeit
〈 〉
und der Stromdichte
umgeschrieben werden:
(
⃗
(
kann Gleichung (2) in die Form des ohmschen Gesetzes
)( )
Man erhält damit für den spezifischen Widerstand
(3)
in Längs- und in Querrichtung
(4)
mit der Hall-Konstanten
. Nun kann man
verstehen, warum Abbildung 2 so verwunderlich ist.
2. 2-dimensionale Elektronengase
Um den QHE beobachten zu können, braucht man
ein sog. 2-dimensionales Elektronengas (2DEG). Man
sperrt die Elektronen in einen „Potentialtopf“, der in
x- und y-Richtung unbeschränkt ist und nur in zRichtung Potentialwände hat, so dass nur eine Mode
für die Elektronen erlaubt ist. Von Klitzing benutzte
zur Erzeugung dieses 2DEG sog. MOSFETs (Abbildung Abbildung 2: Eine typische Messung mit AlGaAs/GaAs. Der
4). Heutzutage verwendet man aber sog. spezifische Hall-Widerstand pxy (blaue Kurve) bildet für
Heterostrukturen, z.B. n-dotiertes AlGaAs und GaAs große Magnetfelder Plateaus aus .und der Längswiderstand
pxx (rote Kurve) oszilliert erst und dann verschwindet er für
bestimmte Magnetfeldstärken.
Abbildung 3: n-dotierte AlGaAs/GaAs-Heterostruktur. Durch
das Verschieben von Donatorelektronen entsteht ein
Dreieckspotential, in dem sich ein 2DEG ausbilden kann.
Abbildung 4: MOSFET-Schaltung
(Abbildung 3), die aufgrund ihrer sehr reinen Kristallstruktur eine höhere Elektronen-Beweglichkeit
liefern.
Im Metal-Oxide-Semiconducter-Fieldeffect-Transistor oder auch MOSFET existiert ein 2DEG im n-Kanal.
In das p-dotierte Silizium-Halbleiter-Plättchen („Bulk”) werden an zwei Stellen n-dotierte Gebiete mit
hoher Leitfähigkeit erzeugt. Sie werden Source (Quelle) und Drain (Senke) genannt und dienen als
Stromkontakte. Gate-(Isolator)-Bulk bilden einen Kondensator. Legt man eine Gate-Spannung UG
zwischen Gate und Bulk an, so werden Elektronen in die n-Kanal bezeichnete Grenzfläche zwischen
Isolator und Bulk influenziert. Es gilt:
. Der Strom zwischen Source und Drain lässt sich über die
Gate-Spannung steuern und bei geeigneter Spannung UG ist der n-Kanal so klein, dass sich ein 2DEG
bildet.
3. Der integrierte QHE
Wirkt nun senkrecht zur Kanaloberfläche ein Magnetfeld, so kann an den orthogonal zum Magnetfeld
angebrachten Elektroden eine Hall-Spannung UH gemessen werden. Da
müsste eigentlich
folgen, dass
gilt, was Abbildung 1 aber nicht zeigt. Der durch
definierte Hall-Leitwert
nimmt unabhängig von der Geometrie des 2DEGs und unabhängig vom Wert des B-Feldes PlateauWerte im immer selben Abstand an:
(5)
Man nennt die Zahl l auch Füllfaktor. Im spinentarteten Fall ist der Füllfaktor allerdings
. Da der
Längswiderstand an genau diesen Plateaus Null wird, folgt anhand der elektrischen Leitfähigkeit
, dass die mittlere Stoßzeit
unendlich wird. D.h., dass gar keine Streuungen mehr
auftreten und das Elektronengas dann wechselwirkungsfrei ist.
Die Idee zur Erklärung dieses Effektes ist, dass die Elektronen auf Kreisbahnen gezwungen werden. Das
Magnetfeld muss so groß sein, dass Streuungen die Kreisbahnen nicht wesentlich stören. Die
Schrödingergleichung für Elektronen im elektromagnetischen Feld
(
)
liefert mit dem Ansatz nach Landau
(
(6)
die Energiezustände
)
(
)
(7)
wobei u(x) eine Schwingung in x-Richtung eines harmonischen Oszillators mit der Kreisfrequenz
an einem beliebigen Zentrum der Oszillation
entspricht. u(x) sind also die HermitePolynome. Die Zustandsdichte entspricht dann also Delta-Funktionen im Abstand von
.
Das 2DEG befindet sich in der x-y-Ebene, das Magnetfeld zeigt in positive z-Richtung und die HallElektroden sind auf der y-Achse angebracht. Das System ist entartet, weil die -Funktion zwar von ky
abhängt, aber die Energie der Landau-Niveaus nicht. Lx, bzw. Ly sind die Abmessungen des Kanals in x-,
bzw. in y-Richtung. Für ky sind die möglichen Werte ganzzahlige Vielfache von
. Wir wollen die
Anzahl aller möglichen Schwingungen. Dafür wählen wir den größten Abstand für die
Zentrumskoordinaten x0 aus, welcher
ist. Man erhält dann
.
Damit ergibt sich die maximal mögliche Anzahl von Elektronen in einem Landau-Niveau, also der
Entartungsgrad:
(8)
Man kann durch die Verwendung von starken Magnetfeldern und niedrigen Temperatur erreichen, dass
die Elektronen die Energetische Lücke zwischen zwei benachbarten Landau-Niveaus nicht mehr
überwinden können. Die Landau-Niveaus werden dann sukzessive von den niedrigsten Energiewerten
an mit Elektronen besetzt. D.h., dass das oberste besetzte Landau-Niveau die Fermi-Energie EF des
2DEGs ist. Sind alle Niveaus bis zum l-ten vollständig besetzt, dann erhält man die Elektronendichte
(9)
Damit erhalten wir mit
den Hall-Leitwert:
(10)
Bei kleineren Magnetfeldern, <6 Tesla, beobachtet man immer die doppelte Anzahl an Elektronen pro
Fläche, weil die Spin-Niveaus nicht aufgelöst werden können. Wir haben es also mit einer Spin-Entartung
zu tun.
Am Ladungstransport nehmen nur Elektronen nahe der Fermi-Kante teil. Daraus könnte man schließen,
dass der Widerstand am kleinsten ist, wenn die Fermi-Energie in ein Landau-Niveau fällt. Beim QHE
beobachtet man aber das genaue Gegenteil (Abbildung 1 und 2).
Um diesen genauer Effekt zu verstehen müssen wir die endliche Ausdehnung der Probe in der
Schrödinger-Gleichung berücksichtigen. Man addiert dazu ein Kastenpotential U(x) in die SchrödingerGleichung (6). Um diese Gleichung zu lösen, benutzt man Störungsrechnung bis zur ersten Ordnung:
(
)
⟨
⟩
(11)
⟩ sind die Wellenfunktionen um das Zentrum
Die Zustände
. Wir nehmen an, dass U(x) entlang
der Ausdehnung der Zustände annährend konstant ist, da die Radien der Kreisbewegungen sehr klein
sind:
(
)
(12)
Damit sind die Landau-Niveaus nicht mehr konstant,
sondern werden an den Rändern nach oben
gebogen. Am Rand entstehen dann kontinuierliche
Zustände, die die Fermi-Energie kreuzen und Strom
leiten.
Man kann nun die Gruppengeschwindigkeit der
Elektronen aufstellen:
Abbildung 5: Links: Potentialterm. Rechts: Die Energie der LandauNiveaus schneidet die Fermi-Energie.
(13)
Da die Ableitung nur am Rand nicht verschwindet, findet der Stromtransport nur hier statt. Die
Stromkanäle sind räumlich voneinander getrennt und wenn die Fermi-Energie zwischen zwei LandauNiveaus liegt, dann können keine Elektronen von der einen Seite zur anderen Seite streuen. Wenn keine
Streuung mehr Auftritt, dann sinkt natürlich der Widerstand auf 0.
Landauer-Büttiker-Formalismus
Verschiedene Kontakte liegen auf unterschiedlichen chemischen Potentialen µ. Der Strom werde durch
Randkanäle getragen. Die Transmissionswahrscheinlichkeit sei Tml (vom
Kontakt l in Kontakt m) und die Reflexionswahrscheinlichkeit sei Rmm.
Wir gehen wieder von idealen Bedingungen aus.
Für die Zustandsdichte in 1-dim. Leitern gilt:
( )
(14)
Abbildung 6: Hall-Kreuz im
Landauer-Büttiker-Formalismus
gs: Spinentartungsgrad (Hier =2), v(E): Gruppengeschwindigkeit der Elektronen.
Für den Strom zwischen den Kontakten 1 und 4 erhalten wir dann:
∫
(∫
)
∫
(15)
Für den Fall von i Randkanälen können wir dann allgemein für Im schreiben:
( )
(
)(
)
(16)
Nun legt man eine Spannung zwischen µ1 und µ3 an und schaltet ein Magnetfeld ein, so dass man eine
Hall-Spannung an µ2 und µ4 messen kann. Es gibt aber beim Messen der Hall-Spannung keine
Stromsenke oder Stromquelle, so dass
gilt. Daraus folgt dann aus dem Gleichungssystem:
(17)
Außerdem findet man leicht:
(18)
Damit erhält man für den Hall-Widerstand
(19)
i kann zwar ungradzahlig sein, aber für kleine Felder beobachtet
man nur den spinentarteten Fall und deswegen beobachtet man
nur jedes zweite Landau-Niveau.
Mit dem gleichen Formalismus kann man das Verschwinden des
Längswiderstandes erklären. Es wird eine Spannung zwischen den
Kontakten 1 und 4 angelegt und zwischen den Kontakten 2 und 4
abgegriffen. Daher gilt
und man erhält durch Abbildung 7: Messung des
Längswiderstandes
Auswerten des Gleichungssystems
(20)
D.h. also, dass die Elektronen die aus Kontakt 1 kommen keinen Widerstand spüren, weil an Kontakt 2
und 3 keine Spannung abfällt. Der Längswiderstand verschwindet also, wenn die Fermi-Energie zwischen
zwei Landau-Niveaus liegt. Dies war gerade die Voraussetzung, dass sich Randkanäle bilden können.
Lokalisierte Störzustände
Bisher sind wir immer davon ausgegangen, dass die Fermi-Energie zwischen zwei Zuständen liegt. In
einer idealen Probe ist dies allerdings nicht möglich, denn da liegt die Fermi-Energie immer auf dem
höchsten Landau-Niveau. Wenn man jetzt das Magnetfeld vergrößert, dann steigt auch die Energie der
einzelnen Landau-Niveaus und damit auch die Fermi-Energie. Aber gleichzeitig steigt auch der
Entartungsgrad an und mehr Elektronen können die untersten Energie-Niveaus bevölkern. Irgendwann
ist dann das oberste Energie-Niveau nicht mehr bevölkert und die Fermi-Energie sinkt sprungartig auf
das nächstniedrigere Niveau.
Für den oben betrachteten
Landauer-BüttikerFormalismus muss die FermiEnergie aber zwischen den
Landau-Niveaus sein. Da die
Fermi-Energie nicht durch die
wenigen
Randkanäle Abbildung 8: Links: Potentialterm mit Störungen. Rechts: Verbreiterung der Landau-Niveaus
stabilisiert werden kann, kann die Fermi-Energie nur durch Störpotentiale von Verunreinigungen in einer
realen Probe zwischen die Landau-Niveaus gelangen.
Es treten deutliche Fluktuationen im Potential auf. Dadurch verbreitern sich die -förmigen LandauNiveaus zu Glockenkurven. Die „ausgedehnten Zustände“ sind delokalisiert und können am
Ladungstransport teilnehmen. Aber es gibt noch andere Zustände an den Flanken der Glockenkurve, die
die Fermi-Energie stabilisieren und als Leitungskanäle fungieren. Diese Kanäle sind geschlossen, da die
Elektronen um die Äquipotentiallinien des elektrischen Feldes kreisen. Sie sind also lokalisiert und
liefern keinen Beitrag zum Ladungstransport, weswegen man in dem Bereich, in dem die lokalisierten
Zustände auf der Höhe der Fermi-Energie sind, keinen Längswiderstand und einen konstanten
Querwiderstand beobachten kann.
Betrachten wir Abbildung 9, bei der das
B-Feld von a) nach d) zunehme: Im Bild
(a) befindet sich die Fermi-Energie
zwischen dem 3. und dem 4. LandauNiveau, da man drei Randkanäle sieht.
Außerdem sieht man lokalisierte
Zustände, die hier noch nicht zum
Ladungstransport beitragen, da die Abbildung 9: Elektronenzustände an der Fermi-Energie bei zunehmendem B-Feld
Stromkanäle geschlossen sind. Man würde hier also die Minima der Shubnikov-de Haas-Oszillationen
und die Plateaus in der Hall-Spannung sehen. Im Bild (b) steigt das B-Feld weiter an und der innere Kanal
wandert zum Inneren der Probe, da die Landau-Niveaus zur Fermi-Energie hinwandern, so dass im Bild
(c) Streuung einsetzen kann. Im Bild (d) fällt nun die Fermi-Energie mit dem 3. Landau-Niveau
zusammen. Der innerste Randkanal ist in lokalisierte Zustände aufgebrochen. Über die ganze Probe
hinweg existieren kontinuierliche, erlaubte Zustände. Die Elektronen können also zwischen den
verbleibenden 2 Randkanälen gestreut werden und der Längswiderstand nimmt ein Maximum ein.
Außerdem wird dieser Widerstand umso größer, je weniger Randkanäle noch zum Transport übrig sind.
Wenn die Proben sehr niedrige Beweglichkeiten und viele Störstellen haben, dann kann man den QHE
nicht beobachten, weil sich keine Landau-Niveaus bilden können. Wenn die Beweglichkeiten aber zu
hoch sind und es wenig Störstellen gibt, dann können sich keine Plateaus bilden und der typische
Verlauf des QHE ist nicht ausgeprägt.
4. Der fraktionierte QHE
Tsui und Strömer beobachteten 1982 in AlGaAs/GaAs –Proben bei sehr tiefen Temperaturen (0,1K) und
sehr starke Magnetfelder (bis 30T) einen Quanten-Hall-Effekt bei gebrochenzahligen Füllfaktoren
⁄
(21)
Man nennt diesen Effekt anomaler oder fraktionierter QHE. Es gibt verschiedene Theorien zu diesem
Effekt:
Laughlin meinte, dass die Erklärung darauf beruhen müsste, dass man von der Einteilchennährung hin
zur Vielteilchenphysik müsse. Dabei entstehe eine inkompressible Quantenflüssigkeit, die superfluide
ist, wodurch das Verschwinden des Längswiderstandes erklärt werden kann. Laughlin machte einen
Ansatz für eine Wellenfunktion dieses Vielteilchenzustandes, der analytisch nicht lösbar ist, durch
Variationsprinzipien und erhielt die nach ihm benannte Laughlin-Funktion des Grundzustandes.
Anregungen dieses speziellen Grundzustandes (Laughlin-Zustand) sind Quasiteilchen/Quasilöcher mit
⁄ und erklären damit die gebrochenen Füllfaktoren. Ein anderer
gebrochenzahliger Ladung
Ansatz ist das Model der „Composite Fermions“. Es verbinden sich Elektronen mit einer geraden Anzahl
von Quanten des magnetischen Feldes, um wiederum Quasi-Bosonen zu bilden die in einen
⁄ ist dabei die Verbindung von einem Elektron mit 2
Grundzustand kondensieren können.
Magnetfeldquanten.
Bis jetzt beschreiben beide Theorien noch den FQHE und es gibt noch keine experimentelle Möglichkeit
eine von den beiden Theorien, oder vielleicht beide Theorien, auszuschließen. Tsui, Strömer und
Laughlin erhielten 1998 den Nobelpreis. Noch ungeklärt ist das Auftreten des FQHE mit
.
5. Bedeutung des QHE
Prinzipiell hat der QHE natürlich eine große Bedeutung für die Erforschung neuer Festkörper.
Aufregendes Beispiel: Beweis der 2-Dimensionalität von Graphen.
Dieser Effekt ist besonders geeignet für die Metrologie, da der Abstand der Hall-Plateaus unabhängig
von Ladungsträgerbeweglichkeit, Probengeometrie, usw. ist. Es gibt sogar einige Beispiele, wo man
gezielt lokal-unterschiedliche Ladungsträgerdichten erzeugt hat oder die Probe durchgeschnitten hat.
Man hat immer wieder denselben Wert für den Hall-Widerstand gefunden.
Verschiedene Messungen an verschiedenen Orten auf der Welt mit verschiedenen Proben fanden alle,
dass zwischen l=2 und l=1 die Werte von Klitzings Widerstand mit einer Messgenauigkeit von
übereinstimmten
. Dies war eine damals
noch nie zuvor erreichte Genauigkeit für einen Widerstand. Deswegen definierte man 1.1.1990 die vonKlitzing-Konstante
als Widerstandnormal.
Für die Feinstrukturkonstante gilt folgende Relation:
(
)( )
(
)
(22)
Da c und µ0 beide Normgrößen sind, hat somit die Sommerfeld-Konstante die gleiche Messunsicherheit
wie die von-Klitzing-Konstante. Damit kann man Festkörperphysik und QED, die diese Größe α auch
vorhersagt, vergleichen. Sie stimmen innerhalb der Messgenauigkeit von 10^-7 überein und damit kann
man das als Beleg für die Konsistenz dieser beiden Theorien sehen.
Quellen:
 http://fss.plone.uni-giessen.de/fss/fbz/fb07/fachgebiete/physik/lehre/fprak/anleitungen/quantenhall/file/F-Praktikum-Quanten






Hall-Effekt.pdf
Siegfried Hunklinger, Festkörperphysik, Oldenbourg Verlag
Physical Review Letter, Volume 45, Page 494, K.v. Klitzing, G. Dorda, M. Pepper
http://www.fkp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/Praktikum/Anleitung_Praktikum/Anleitung_Quanten-Hall-Effekt.pdf
Horst Hänsel / Werner Neumann - Physik. Moleküle und Festkörper. 1996 Spektrum Akademischer Verlag GmbH
D.Yoshioka: The Quantum Hall Effekt, Springer 20024
Der Quanten Hall Effekt. Klitzing, sdw 1986, S46
Klaus von Klitzing, Rolf Gerhardts und Jürgen Weis: 25 Jahre Quanten-Hall-Effekt, Physik Journal (2005) Nr. 6, Seite 37-44