8.7 Séries de Taylor e Maclaurin

Séries – 7. Séries de Taylor e de Maclaurin
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Séries de Potência: Construção
Construindo uma série: Seja f uma função representada por uma série de
potências:
f (x) = c0 + c1(x − a) + c2(x − a)2 + c3(x − a)3 + · · · + cn(x − a)n + · · · (1)
Tomando x = a, obtemos:
f (a) = c0 + c1(a − a) + c2(a − a)2 + · · · + cn(a − a)n + · · ·
f (a) = c0
(2)
Diferenciável: Como a função (1) é diferenciável, seja:
f 0(x) = c1 + 2c2(x − a) + 3c3(x − a)2 + · · · + ncn(x − a)n−1 + · · · (3)
Tomando x = a, obtemos:
f 0(a) = c1 + 2c2(a − a) + 3c3(a − a)2 + · · · + ncn(a − a)n−1 + · · ·
f 0(a) = c1
(4)
Série de Taylor: mais derivadas ...
Diferenciação de 2a ordem: Derivando a equação (3):
f 00(x) = 2c2 +2·3c3(x−a)+3·4c4(x−a)2 +· · ·+n·(n−1)cn(x−a)n−2 +· · ·
(5)
Fazendo x = a em (5):
f 00(a) = 2c2
(6)
Diferenciação de 3a ordem: Derivando a equação (5):
f 000(x) = 2·3c3 +2·3·4c4(x−a)+· · ·+n·(n−1)·(n−2)cn(x−a)n−3 +· · · (7)
Fazendo x = a em (7):
f 000(a) = 2 · 3c3 = 3!c3
(8)
Série de Potência: Padrão nas derivadas!
n-ésima derivada: Se continuarmos a diferenciar e substituir x = a, otemos:
f (n) = 2 · 3 · 4 · · · · · ncn = n!cn
Resolvendo essa equação para o n-ésimo coeficiente, obtemos:
f (n)
cn =
n!
Como 0! = 1 e f (0) = f , esta fórmula é válida para n = 0.
Teorema: Se f tiver uma representação (expansão) em série de potências em
a:
∞
X
f (x) =
cn(x − a)n, |x − a| < R
n=0
então seus coeficientes são dados pela fórmula:
f (n)
cn =
n!
(9)
Séreis de Taylor e de Maclaurin: Definição
Definição: Substituindo o coeficiente cn, obtido por (9), na função f como em
(1), em a, temos:
f (x) =
∞
X
f (n)(a)
cn(x − a)n
n!
f 00(a)
f (n)(a)
f 0(a)
2
(x − a) +
(x − a) + · · · +
(x − a)n + · · ·
= f (a) +
1!
2!
n!
(10)
conhecida como série de Taylor da função f em x = a (ou ao redor
de a ou ainda, centrada em a). Para o caso especial a = 0 a série de
Taylor tem a forma:
n=0
f (x) =
∞
X
f (n)(0)
xn
n!
f 0(0)
f 00(0) 2
f (n)(0) n
= f (0) +
x+
x + ··· +
x + ···
1!
2!
n!
n=0
conhecida como série de Maclaurin.
(11)
Exemplo
Exemplo (1): Encontre a série de Maclaurin da função f (x) = ex e seu raio
de convergência.
Polinômio de Taylor
Idéia: A Linearização de uma função diferenciável em x = a é:
P1(x) = f (a) + f 0(a)(x − a)
Se a função f (x) for diferenciável em a para ordens superiores, então podemos ter aproximações de ordem mais elevada.
Definição: Seja f (x) uma função com derivada de ordem k para k =
1, 2, . . . , N , em algum intervalo contendo a. Então, para n ∈ [0, N ], o
Polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em x = a é o polinômio:
f 00(a)
f (n)(a)
2
Pn(x) = f (a) + f (a)(x − a) +
(x − a) + · · · +
(x − a)n
2
n!
0
Exemplo (2): Encontre o polinômio de Taylor para f (x) = sen x em a = 0.
Resto de um Polinômio de Taylor
Conceito: f (x) = Pn(x) − Rn(x), onde f (x) é o valor real, Pn(x) o valor
aproximado e Rn(x) é chamado de erro.
Teorema: Se f for derivável até a ordem n + 1 num intervalo I com a ∈ I,
então para cada x ∈ I, ∃c entre x e a tal que:
f (n)(a)
f 00(a)
2
(x − a) + · · · +
(x − a)n + Rn(x)
f (x) = f (a) + f (a)(x − a) +
2!
n!
0
onde:
f (n+1)(c)
Rn(x) =
(x − a)n+1
(n + 1)!
Teorema para estimativa de erro: Se existirem constantes positivas M e r
tais que:
|f (n+1)(t)| ≤ M rn+1, ∀t ∈ [a, x]
então
rn+1|x − a|n+1
|Rn(x)| ≤ M
(n + 1)!
Exemplos
Exemplo (3): Estime o erro do polinômio de Taylor para f (x) = sen x em
a = 0.
ex − 1 − x
Exemplo (4): Avalie lim
.
x→0
x2
Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas 72 à 74;
Exercı́cios: 1 à 56.