Cramersche Regel

Cramersche Regel
Für ein quadratisches lineares Gleichungssystem Ax = b ist
xi det A = det(a1 , . . . , ai−1 , b, ai+1 , . . . , an ) ,
wobei aj die Spalten der Koeffizientenmatrix A bezeichnen.
Cramersche Regel
1-1
Cramersche Regel
Für ein quadratisches lineares Gleichungssystem Ax = b ist
xi det A = det(a1 , . . . , ai−1 , b, ai+1 , . . . , an ) ,
wobei aj die Spalten der Koeffizientenmatrix A bezeichnen.
Ist det A 6= 0, so existiert eine eindeutige Lösung x = A−1 b für beliebiges b
und die Inverse C = A−1 kann durch
ci,j =
det(a1 , . . . , ai−1 , ej , ai+1 , . . . , an )
det A
bestimmt werden, wobei ej der j-te Einheitsvektor ist.
Cramersche Regel
1-2
Beweis:
Multilinearität und Antisymmetrie der Determinante
det(a1 , . . . , ai−1 , b, ai+1 , . . . , an ) = det(a1 , . . . , ai−1 ,
=⇒
n
X
aj xj , ai+1 , .., an )
j=1
=
n
X
xj det(a1 , . . . , ai−1 , aj , ai+1 , .., an )
j=1
= xi det(a1 , . . . , ai−1 , ai , ai+1 , . . . , an )
Cramersche Regel
2-1
Beweis:
Multilinearität und Antisymmetrie der Determinante
det(a1 , . . . , ai−1 , b, ai+1 , . . . , an ) = det(a1 , . . . , ai−1 ,
=⇒
n
X
aj xj , ai+1 , .., an )
j=1
=
n
X
xj det(a1 , . . . , ai−1 , aj , ai+1 , .., an )
j=1
= xi det(a1 , . . . , ai−1 , ai , ai+1 , . . . , an )
b = ej
j-te Spalte x = (ci,j , . . . , cn,j )t der Inversen, denn
AC = E = (e1 , . . . , en )
=⇒
Ax = ej
Cramersche Regel
2-2
Beispiel:
Berechnung der Inversen C der (2 × 2)-Matrix
a b
A=
c d
Cramersche Regel
1 b
0 d
c1,1 =
det A
=
d
,
det A
Cramersche Regel
3-1
Beispiel:
Berechnung der Inversen C der (2 × 2)-Matrix
a b
A=
c d
Cramersche Regel
1 b
0 d
c1,1 =
det A
=
d
,
det A
c1,2 =
0 b
1 d
det A
Cramersche Regel
=
−b
,
det A
3-2
Beispiel:
Berechnung der Inversen C der (2 × 2)-Matrix
a b
A=
c d
Cramersche Regel
1 b
0 d
c1,1 =
det A
a 1
c 0
c2,1 =
det A
=
d
,
det A
=
−c
,
det A
c1,2 =
0 b
1 d
det A
Cramersche Regel
=
−b
,
det A
3-3
Beispiel:
Berechnung der Inversen C der (2 × 2)-Matrix
a b
A=
c d
Cramersche Regel
1 b
0 d
c1,1 =
det A
a 1
c 0
c2,1 =
det A
=
=
d
,
det A
−c
,
det A
c1,2 =
c2,2 =
0 b
1 d
det A
a 0
c 1
det A
Cramersche Regel
=
−b
,
det A
=
a
,
det A
3-4
Beispiel:
Berechnung der Inversen C der (2 × 2)-Matrix
a b
A=
c d
Cramersche Regel
1 b 0 d d
c1,1 =
=
,
det A
det A
a 1 c 0 −c
=
,
c2,1 =
det A
det A
bzw. mit det A = ad − cb
A−1 =
1
ad − cb
c1,2 =
c2,2 =
d −b
−c a
0 b
1 d
det A
a 0
c 1
det A
=
−b
,
det A
=
a
,
det A
Cramersche Regel
3-5
Beispiel:
lineares Gleichungssystem

   
4 −1 −1
x1
8
−3 −4 4  x2  =  5 
−2 2 −1
x3
−7
Cramersche Regel
4-1
Beispiel:
lineares Gleichungssystem

   
4 −1 −1
x1
8
−3 −4 4  x2  =  5 
−2 2 −1
x3
−7
eindeutige Lösung, da
−4
4 −3
4
det A = 4 +
2 −1
−2 −1
= −16 + 11 + 14 = 9 6= 0
−3 −4 −
−2
2 Cramersche Regel
4-2
Cramersche Regel
=1
x1 =
8 −1 −1
1 5 −4
4
9 −7
2 −1
x2 =
4
8 −1 1 −3
5
4 = −3
9 −2 −7 −1 x2 =
4 −1
8
1 −3 −4
5
9 −2
2 −7
= −1
Cramersche Regel
4-3