Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik

Transcrição

Gruppentheorie
Prof. Dr. Burkhard Külshammer
Semester: SS 2009
Vorwort
Dieses Dokument wurde als Skript für die auf der Titelseite genannte Vorlesung erstellt
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danken:
• Jens Kubieziel <jens@ kubieziel. de> (2009)
• Stilianos Louca <stilianos. louca@ uni-jena. de> (2009)
3
Inhaltsverzeichnis
1. Einführung
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.
Zahlbereiche . . . . . . . . . . .
Lineare Algebra . . . . . . . . . .
Kombinatorik . . . . . . . . . . .
Geometrie . . . . . . . . . . . . .
Algebra . . . . . . . . . . . . . .
Topologie . . . . . . . . . . . . .
Zahlentheorie . . . . . . . . . . .
Beliebige mathematische Theorie
10
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2. Halbgruppen
13
3. Gruppen
17
4. Nebenklassen
23
5. Normalteiler und Faktorgruppen
28
6. Normalreihen
35
7. Direkte Zerlegungen
38
8. Abelsche Gruppen
46
9. Auflösbare Gruppen
51
10. Nilpotente Gruppen
57
11. Gruppenoperationen
62
12. Sylowgruppen
70
13. Symmetrische Gruppen
77
14. Hallgruppen
82
15. Lineare Gruppen
89
4
Inhaltsverzeichnis
16. Die Verlagerung
94
A. Übungsaufgaben
99
A.1. Übungsblatt 1 . . .
A.1.1. Aufgabe 1 .
A.1.2. Aufgabe 2 .
A.1.3. Aufgabe 3 .
A.1.4. Aufgabe 4 .
A.2.1. Aufgabe 5 .
A.2.2. Aufgabe 6 .
A.2.3. Aufgabe 7 .
A.2.4. Aufgabe 8 .
A.2.5. Aufgabe 9 .
A.3.1. Aufgabe 10
A.3.2. Aufgabe 11
A.3.3. Aufgabe 12
A.3.4. Aufgabe 13
A.4.1. Aufgabe 14
A.4.2. Aufgabe 15
A.4.3. Aufgabe 16
A.4.4. Aufgabe 17
A.5. Blatt 5 . . . . . . .
A.5.1. Aufgabe 18
A.5.2. Aufgabe 19
A.5.3. Aufgabe 20
A.5.4. Aufgabe 21
A.6. Blatt 6 . . . . . . .
A.6.1. Aufgabe 22
A.6.2. Aufgabe 23
A.6.3. Aufgabe 24
A.6.4. Aufgabe 25
A.7. Blatt 7 . . . . . . .
A.7.1. Aufgabe 26
A.7.2. Aufgabe 27
A.7.3. Aufgabe 28
A.7.4. Aufgabe 29
A.8. Blatt 8 . . . . . . .
A.8.1. Aufgabe 30
A.8.2. Aufgabe 31
A.8.3. Aufgabe 32
A.8.4. Aufgabe 33
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110
110
5
Inhaltsverzeichnis
A.9. Blatt 9 . . . . . . .
A.9.1. Aufgabe 34
A.9.2. Aufgabe 35
A.9.3. Aufgabe 36
A.9.4. Aufgabe 37
A.9.5. Aufgabe 38
A.10.Blatt 10 . . . . . .
A.10.1.Aufgabe 39
A.10.2.Aufgabe 40
A.10.3.Aufgabe 41
A.10.4.Aufgabe 42
A.11.Blatt 11 . . . . . .
A.11.1.Aufgabe 43
A.11.2.Aufgabe 44
A.11.3.Aufgabe 45
A.11.4.Aufgabe 46
A.12.Blatt 12 . . . . . .
A.12.1.Aufgabe 47
A.12.2.Aufgabe 48
A.12.3.Aufgabe 49
A.12.4.Aufgabe 50
A.13.Blatt 13 . . . . . .
A.13.1.Aufgabe 51
A.13.2.Aufgabe 52
A.13.3.Aufgabe 53
A.13.4.Aufgabe 54
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B. Artikel zum begleitendem Lesen
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113
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113
113
113
113
113
114
114
114
114
114
115
Auflistung der Theoreme
Sätze
Satz 4.2. Satz von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Satz 4.4. Satz von F ERMAT oder E ULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Satz 5.2. Homomorphiesatz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Satz 5.3. 1. Isomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
31
31
Satz 6.1. Verfeinerungssatz von S CHREIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
Satz 6.2. Satz von J ORDAN-H ÖLDER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Satz 6.4. S CHURs Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Satz 7.4. Satz von F ITTING . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Satz 7.9. Eindeutigkeitssatz von K RULL-R EMAK-S CHMIDT . . . . . . . . . . . . .
43
Satz 8.9. Hauptsatz über endlich erzeugte Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Satz 11.3.Satz von C AYLEY
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
Satz 11.6. F RATTINI-Argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Satz 11.7.Lemma von B URNSIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Satz 12.1.Satz von L ANDAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Satz 12.4.Satz von S YLOW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Satz 12.5.Satz von C AUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Satz 12.6.Argument von F RATTINI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Satz 14.3.Satz von S CHUR-Z ASSENHAUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
Satz 14.4.Satz von H ALL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
Satz 14.5.Satz von O. S CHMIDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
7
Inhaltsverzeichnis
Satz 14.6.Satz von W IELANDT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Satz 14.7.Satz von G ALOIS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Satz 14.8. H ALL-H IGMANN-Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Satz 15.1.Lemma von I WASAWA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Satz 16.6.Satz von B URNSIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
Definitionen und Festlegungen
Definition 2.1. Monade, Magma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Definition 2.2. rechts-, linksneutral, neutral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Definition 2.3. Vertauschbarkeit, Kommutativität . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Definition 2.4. Halbgruppe, Monoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Definition 2.5. Invertierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Definition 2.6. Potenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Definition 2.7. Homomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Definition 2.8. isomorph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Definition 3.1. Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
Definition 3.2. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Definition 3.3. Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Definition 3.5. erzeugte Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Definition 4.1. Linkskongruenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
Definition 4.3. Doppelnebenklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Definition 5.1. normale Untergruppe, Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Definition 5.2. Faktorgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Definition 5.4. Ω-Gruppe, Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Definition 5.5. Ω-Untergruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Definition 6.1. Subnormalreihe, Länge, Faktor, Normalreihe . . . . . . . . . . . .
35
Definition 6.3. Kompositionsreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Definition 6.4. (charakteristisch) einfache Ω-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . .
36
8
Inhaltsverzeichnis
Definition 6.5. Normaler Endomorphismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Definition 7.1. Direkte Summe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Definition 7.2. Minimale, maximale Untergruppe/Normalteiler . . . . . . . . . .
39
Definition 7.3. Minimal-/Maximalbedingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
Definition 7.4. Unzerlegbare Ω-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
Definition 7.5. Addierbare Endomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Definition 8.1. Torsionsgruppe, torsionsfrei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Definition 8.2. linear (un)abhängig, Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Definition 8.3. Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Definition 9.1. Kommutator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Definition 9.2. rechtsnormierter höherer Kommutator . . . . . . . . . . . . . . .
51
Definition 9.3. Kommutator zweier Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Definition 9.5. Kommutatorgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Definition 9.7. Auflösbare Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Definition 10.2.Aufsteigende Zentralfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Definition 10.3.Nilpotente Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Definition 10.4.Zentralreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Definition 11.1.Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Definition 11.3.Stabilisator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Definition 11.4.Transitive Operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Definition 11.5.Fixpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
Definition 12.2.p-Sylowgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
Definition 13.1.Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
Definition 13.2.Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Definition 13.3.Vorzeichen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Definition 14.2.Komplement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
Definition 16.1.Verlagerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Definition 16.2.Fokalgruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
Definition 16.3.Hyperfokale Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
9
1. Einführung
Im folgenden sind einige Beispiele für Gruppen genannt. Die Beispiele erstrecken sich
über verschiedene Gebiete der Mathematik. Denn die Gruppenstruktur ist immer wieder
anzutreffen.
1.1. Zahlbereiche
(i) (Z, +), (Q, +)
(ii) (Q \ {0}, ·)
(iii) Z/nZ der Restklassenring bzw. die Restklassengruppe modulo n mit der Addition.
(iv) (Z/nZ )× = { a + nZ | ggT(a, n) = 1 } prime Restklassengruppe modulo n mit der
Multiplikation
1.2. Lineare Algebra
Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum. Dann haben wir:
(i) GL(n, K) = A ∈ Kn×n |A| 6= 0 mit der Matrixmultiplikation. Dies ist die allgemeine lineare Gruppe des Grades n über K.
(ii) GL(V) = { f : V → V | f linear und bijektiv }.
(iii) SL(n, K) = A ∈ Kn×n |A| = 1 die spezielle lineare Gruppe des Grades n über
K.
Sei V ein euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt
(i) O(V) = { f : V → V | f Isometrie } ist die orthogonale Gruppe von V. Dabei bedeutet
Isometrie, dass f linear ist und für alle x, y aus V gilt: hf(x), f(y)i = hx, yi.
(ii) O(n) = O(n, R) = A ∈ Rn×n AT A = 1n orthogonale Gruppe des Grades n.
Sei V ein unitärer Vektorraum mit dem Skalarprodukt
(i) U(V) = { f : V → V | f Isometrie } unitäre Gruppe von V
10
1.3. Kombinatorik
(ii) U(n) = U(n, C) =
T
A ∈ Cn×n A A = 1n
1.3. Kombinatorik
Sei Ω eine Menge.
(i) Sym(Ω) = { f : Ω → Ω | f bijektiv } symmetrische Gruppe auf Ω
(ii) Alt(Ω) = { f ∈ Sym(Ω) | f gerade } alternierende Gruppe auf Ω. Dabei muss Ω
endlich sein.
1.4. Geometrie
(i) AO(Rn ) = { f : Rn → Rn | kf(x) − f(y)k = kx − yk∀x, y ∈ Rn } Bewegungsgruppe.
(ii) Die Symmetriegruppe
des regelmäßigen
n-Ecks Pn wird als Diedergruppe mit
G = f ∈ AO(R2 ) f(Pn ) = Pn bezeichnet.. Die Gruppe hat 2n Elemente.
Bild der P6 -Gruppe
(iii) Friesgruppen: Symmetriegruppen von Friesen.
(iv) kristallografische Gruppen in der Ebene oder im Raum:
(v) Symmetriegruppen von Tetraeder, Würfel, Ikosaeder und ähnlichen Objekten.
1.5. Algebra
Sei L|K eine Körpererweiterung. Diese besitzt eine G ALOISgruppe
F(L|K) = { f : L → L | f Automorphismus von L, f|K = idK }
1.6. Topologie
(i) Fundamentalgruppen, Homologiegruppen, . . .,
11
1. Einführung
1.7. Zahlentheorie
Sei K ein algebraischer Zahlkörper und OK der Ganzheitsring.
1
(i) Einheitengruppe: O×
K = { a ∈ OK \ {0} | /a ∈ OK }
(ii) Klassengruppe
1.8. Beliebige mathematische Theorie
Sei M ein Objekt dieser Theorie. Dann hat man mindestens eine Gruppe, die Automorphismengruppe Aut(M) von M. Beispiele sind Lie-Algebren, Codierungstheorie, B A NACH räume etc.
12
2. Halbgruppen
Definition 2.1 (Monade, Magma)
Sei M eine Menge. Darauf legen wir eine Verknüpfung M × M → M mit (a, b) 7→ a × b
fest.1 Dann bezeichnet man (M, ×) als Monade oder Magma.
Beispiel 2.1
(i) Die Addition, Subtraktion und Multiplikation auf den natürlichen, reellen und
komplexen Zahlen.
(ii) Der Durchschnitt oder die Vereinigung auf der Potenzmenge P(X).
(iii) Der größte gemeinsame Teiler oder das kleinste gemeinsame Vielfache auf N.
(iv) Die Verknüpfung von Abbildungen ◦ auf der Menge aller Abbildungen Abb(X) =
{ f : X → X | f Abbildung }
Bemerkung 2.1
Wenn M klein ist, kann man eine Verknüpfungstafel aufstellen. Ein Beispiel sind die
Wahrheitswerte.
∧
w
f
w
w
f
f
f
f
Tabelle 2.1.: Wahrheitswerte für die UND-Verknüpfung
Definition 2.2 (rechts-, linksneutral, neutral)
Sei M eine Monade und e ∈ M. Das Element e ist genau dann rechtsneutral (oder
linksneutral), wenn für alle a ∈ M gilt: ae = a (oder ea = a). Man nennt e genau dann
neutral, wenn es rechts- und linksneutral ist.
Bemerkung 2.2
Sei e ∈ M linksneutral und f ∈ M rechtsneutral. Dann folgt, e = ef = f. Insbesondere
existiert in M höchstens ein neutrales Element.
Beispiel 2.2
Die 0 ist neutral in (Z, +) und die 1 ist neutral in (Z, ·).
1
alternativ auch a + b, a · b oder ab
13
2. Halbgruppen
Definition 2.3 (Vertauschbarkeit, Kommutativität)
Sei M eine Monade und a, b ∈ M. Die Elemente a und b heißen vertauschbar, wenn
gilt: ab = ba. Die Menge M heißt kommutativ oder abelsch, wenn alle Elemente
vertauschbar sind.
Definition 2.4 (Halbgruppe, Monoid)
Die Menge M heißt genau dann Halbgruppe, wenn (xy)z = x(yz) gilt und Monoid,
wenn M eine Halbgruppe mit neutralem Element ist.
Beispiel 2.3
(i) (N, +) Halbgruppe, (N0 , +) Monoid
(ii) Sei X eine Menge. Dann ist Abb(X) ein Monoid mit der identischen Abbildung
idX : X → X, x 7→ x als neutrales Element.
(iii) Sei A 6= ∅ eine Menge (Alphabet). Die Elemente von A heißen Buchstaben. Ein
Wort über A ist die endliche Folge w = (a1 , . . . , am ) = : a1 · . . . · am . Die freie
Halbgruppe über A ist definiert als W := { w | w Wort über A }. Das leere Wort
ist ε = () ∈
/ W. Dann können wir das freie Monoid über A mit W0 := W ∪ {ε}
definieren. Die zugehörige Abbildung ist definiert als (a1 , . . . , am ) ◦ (b1 , . . . , bm ) :
= (a1 , . . . , am , b1 , . . . , bm ).
Bemerkung 2.3
Die neutralen Elemente werden oft mit 1 bezeichnet. Falls + die Verknüpfung bezeichnet,
verwendet man auch 0 als neutrales Element.
Definition 2.5 (Invertierbarkeit)
Sei M ein Monoid und a ∈ M. Das Element a heißt genau dann rechtsinvertierbar
(oder linksinvertierbar), wenn ein Element b ∈ M mit ab = 1 (oder ba = 1) existiert.
Man bezeichnet b als das Rechtsinverse oder Linksinverse zu a.
Bemerkung 2.4
Sei b ∈ M rechtsinvers und c ∈ M linksinvers zu a ∈ M. Dann folgt, b = 1b = (ca)b =
c(ab) = c1 = c. Das Element a heißt dann invertierbar und b Inverses zu a. Wir
schreiben b = : a−1 oder bei der Addition b = : − a. Es gilt: a−1 a = 1 = aa−1 . Damit
ist auch a−1 invertierbar und wir haben (a−1 )−1 = a. Wenn zwei Elemente x, y ∈ M
invertierbar sind, dann ist xy invertierbar und (xy)−1 = y−1 x−1 . Denn xyy−1 x−1 =
x1x−1 = 1.
Beispiel 2.4
Sei K ein Körper und n eine natürliche Zahl. Dann folgt für das Monoid bezüglich der
Matrixmultiplikation Kn×n mit der Einheitsmatrix als neutrales Element, dass eine Matrix
A ∈ Kn×n invertierbar ist, wenn A eine reguläre Matrix ist, d. h. die Determinante von
A ist ungleich 0. In der linearen Algebra impliziert die Linksinvertierbarkeit auch die
Rechtsinvertierbarkeit.
Definition 2.6 (Potenz)
Sei H eine Halbgruppe und a ∈ H, n ∈ N. Die n-te Potenz von a ist definiert als
an := a · . . . · a mit n Faktoren. Wenn H ein Monoid ist, gilt: a0 := 1. Sollte a invertierbar
sein, dann können wir negative Potenzen festlegen: a−n = (a−1 )n .
14
Bemerkung 2.5
Rechenregel: an am = an+m , (an )m = anm , wenn a, b vertauschbar sind, gilt auch:
(ab)n = an bn . Ist + die Verknüpfung, so schreibt man: na statt an . Dann sehen die
Rechenregeln so aus: (m + n)a = ma + na, m(na) = (mn)a, wenn a, b vertauschbar
sind, so gilt noch: n(a + b) = na + nb.
Definition 2.7 (Homomorphismus)
Seien M, N zwei Monaden und wir betrachten die Abbildung f : M → N.
(i) Die Abbildung f heißt genau dann Homomorphismus, wenn für alle a, b ∈ M gilt:
f(ab) = f(a)f(b).
(ii) f Monomorphismus ⇔ f injektiver Homomorphismus
(iii) f Epimorphismus ⇔ f surjektiver Homomorphismus
(iv) f Isomorphismus ⇔ f bijektiver Homomorphismus
(v) f Endomorphismus ⇔ f Homomorphismus und M = N
(vi) f Automorphismus ⇔ f bijektiver Endomorphismus
Wir setzen Hom(M, N) := { f : M → N | f Homomorphismus } , End(M) := Hom(M, M)
und Aut(M) := { f ∈ End(M) | f bijektiv }.
Beispiel 2.5
(i) Sei K ein Körper und n eine natürliche Zahl. Dann ist det : (Kn×n , ·) → (K, ·) ein
Homomorphismus.
(ii) Die Exponentialfunktion von (R, +) auf (R, ·).
(iii) Sei W die freie Halbgruppe über einem Alphabet A und w ∈ W mit w = a1 , . . . , an
und a1 , . . . , an ∈ A. Die Funktion l(w) := n ist die Länge des Wortes. Dann ist
l : W → (N, +) ein Homomorphismus.
Bemerkung 2.6
(i) Seien L, M, N Monaden und f ∈ Hom(L, M), g ∈ Hom(M, N). Dann ist g ◦ f ∈
Hom(L, N) ein Homomorphismus. Denn (g ◦ f)(ab) = g(f(ab)) = g(f(a) · f(b)) =
g(f(a)) · g(f(b)) = (g ◦ f)(a) · (g ◦ f)(b) für a, b ∈ L.
(ii) Sei f ein Isomorphismus. Dann ist f−1 ebenfalls ein Isomorphismus. Denn f−1 (xy) =
f−1 (f(f−1 (x)) · f(f−1 (y))) = f−1 (f(f−1 (x) · f−1 (y))) = f−1 (x)f−1 (y).
Definition 2.8 (isomorph)
∼ N), falls ein Isomorphismus f : M → N
Die Monaden M, N heißen isomorph (M =
existiert.
Beispiel 2.6
∼ ({0, 1}, ·). Zum Nachweis kann man die Verknüpfungstafel prüfen.
Es gilt: ({w, f}, ∨) =
15
2. Halbgruppen
Satz 2.1
Die Isomorphie ist eine Äquivalenzrelation, d. h. es gilt:
∼ M (Reflexivität)
(i) M =
∼ M (Symmetrie)
∼ N⇒N=
(ii) M =
∼ N (Transitivität)
∼ N⇒L=
∼ M∧M=
(iii) L =
16
3. Gruppen
Definition 3.1 (Gruppe)
Eine Gruppe ist eine Halbgruppe G mit einem linksneutralen Element e, in der zu jedem
Element g ∈ G ein weiteres h ∈ G mit hg = e existiert.
Satz 3.1
Eine Gruppe ist ein Monoid, in dem jedes Element invertierbar ist.
B EWEIS :
Seien G, e, g, h wie oben. Zu dem Element h existiert ein k ∈ G mit kh = e. Dann
ist ke = khg = eg = g und weiter ge = kee = ke = g. Folglich ist e neutral. Für
den Nachweis der Rechtsinvertierbarkeit sei g = ke = k, d. h. gh = e. Somit ist g
invertierbar.
Beispiel 3.1
(i) (Z, +), (Q, +), (R, +) sind abelsch. Dagegen ist (N, +) keine Gruppe.
(ii) (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·), (C \ {0}, ·). Aber (Z \ {0}, ·) ist keine Gruppe.
(iii) Sei M ein Monoid und U(M) := { a ∈ M | a invertierbar }. Dann heißt U(M) Einheitengruppe von M.
(iv) Sei X eine Menge und die Einheiten aller Abbildungen von X in sich: U(Abb(X)) =
{ f : X → X | f bijektiv }. Dies wird als symmetrische Gruppe Sym(X) auf X bezeichnet. Die Elemente der Gruppe heißen Permutationen auf X. Für X = {1, . . . , n}
schreibt man Sym(n) := Sym(X). Die Elemente heißen dann Permutationen des
Grades n. Schreibweise:
1
2
...
n
f=
f(1) f(2) . . . f(n)
Dann ist
f(1) f(2) . . .
f=
1
2
...
f(n)
n
(v) Sei K ein Körper undn ∈ N. Dann ergibt sichdie Einheitengruppe von (Kn×n , ·)
durch U(Kn×n , ·) = A ∈ Kn×n det A 6= 0 = : GL(n, K).
(vi) Für jede
Q nichtleere Familie (Gi )i∈I von Gruppen Gi . Dann ist auch das direkte Produkt i∈I Gi =
G = { (gi )i∈I | gi ∈ Gi ∀i ∈ I } eine Gruppe mit (gi )(hi ) :
i∈I i
Q
n
= (gi hi ). Im Fall I = {1, . . . , n} schreibt man n
= G1 × . . . × Gn .
i=1 Gi =
i=1
×
×
17
3. Gruppen
Definition 3.2 (Ordnung)
Die Ordnung |G| einer Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente.
Satz 3.2
(i) Sei n ∈ N. Dann ist |Sym(n)| = n!.
(ii) Sei K ein Körper und |K| = q < ∞. Dann ist |GL(n, K)| = (qn − 1)(qn − q) · . . . ·
(qn − qn−1 ).
B EWEIS :
(i) Sei f ∈ Sym(n) ⇒ f(1) ∈ {1, . . . , n}, f(2) ∈ {1, . . . , n} \ {f(1)}, f(3) ∈ {1, . . . , n} \
{f(1), f(2)}, . . . .
(ii) Sei A = (aij ) ∈ GL(n, K) ⇒ a1 := (a11 , . . . , a1n ) ∈ Kn \{0}, a2 := (a21 , . . . , a2n ) ∈
Kn \ span(a1 ), a3 := (a31 , . . . , a3n ) ∈ Kn \ span(a1 , a2 ), . . . .
Satz 3.3
Sei f : G → H ein Gruppenhomomorphismus. Dann ist f(1G ) = 1H und f(g−1 ) = f(g)−1
für g ∈ G.
B EWEIS :
Es gilt: f(1G ) = f(1G )1H = f(1G )f(1G )f(1G )−1 = f(1G · 1G )f(1G )−1 = 1H und weiter:
f(g−1 ) = f(g−1 )1H = f(g−1 )f(g)f(g)−1 = f(g−1 g)f(g)−1 = f(1G )f(g)−1 = 1H f(g)−1 =
f(g)−1 .
Beispiel 3.2
Sei K ein Körper und n eine natürliche Zahl. Dann ist det : GL(n, K) → K \ {0} ein
Homomorphismus. Somit folgt, det(1n ) = 1 und det(a−1 ) = det(a)−1 .
Definition 3.3 (Untergruppe)
Eine Teilmenge U einer Gruppe G heißt Untergruppe von G, wenn gilt:
(i) 1G ∈ U
(ii) a, b ∈ U ⇒ ab, a−1 ∈ U
Bemerkung 3.1
Gegebenenfalls ist U mit der entsprechend eingeschränkten Verknüpfung selbst eine
Gruppe. Wir schreiben dann U 6 G oder U < G, wenn U 6= G ist. Man bezeichnet U
dann als echte Untergruppe.
Beispiel 3.3
(i) (Z, +) < (Q, +) < (R, +) < (C, +).
(ii) In jeder beliebigen Gruppe G sind G selbst und die triviale Untergruppe {1G } = 1
Untergruppen.
18
(iii) Für jede nichtleere Familie (Gi )i∈I von Gruppen bilden die Elemente (giQ
)i∈I aus
dem direkten Produkt mit |{ i ∈ I | gi 6= 1 }| < ∞ eine Untergruppe von i∈I Gi .
Diese heißt direktes
von (G
` eingeschränktes Produkt
`
Qi )i∈I . Hierfür nutzen wir
die Schreibweise: i∈I Gi . Für |I| < ∞ ist i∈I Gi = i∈I Gi .
(iv) Für jede Monade M ist die Automorphismengruppe Aut(M) eine Untergruppe von
Sym(M).
Satz 3.4
Eine nichtleere Teilmenge U einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe von G,
wenn gilt: a, b ∈ U ⇒ ab−1 ∈ U.
B EWEIS :
Wir brauchen nur die Rückrichtung zu zeigen. Die andere Richtung ist klar. Sei dazu
U eine nichtleere Teilmenge von G und die obige Bedingung erfüllt. Dann existiert ein
x ∈ U. Folglich 1G = xx−1 ∈ U. Also x−1 = 1G x−1 ∈ U. Andererseits gilt für y ∈ U:
x(y−1 )−1 ∈ U.
Definition 3.4
−1
Für
Teilmengen
−1
X, Y einer Gruppe G setzt man: XY := { xy | x ∈ X, y ∈ Y } und X :=
x x∈X .
Bemerkung 3.2
Dann ist (X−1 )−1 = X, (XY)−1 = Y −1 X−1 , (XY)Z = X(YZ) für X, Y, Z ⊆ G. Der Satz 3.4
besagt: X 6 G ⇔ X 6= ∅ ∧ XX−1 ⊆ X.
Satz 3.5
Für Untergruppen U, V, W einer Gruppe G gilt stets:
(i) U ∪ V 6 G ⇔ U ⊆ V ∨ V ⊆ U
(ii) UV 6 G ⇔ UV = VU
(iii) U ⊆ W ⇒ UV ∩ W = U(V ∩ W) (D EDEKINDsche Identität)
B EWEIS :
(i) „⇒“: Sei U ∪ V 6 G und U * V. Dann gibt es ein Element u ∈ U \ V. Für v ∈ V
ist uv ∈ U ∪ V. Im Fall uv ∈ V wäre u = uvv−1 ∈ V. Also muss uv ∈ U sein und
v = u−1 uv ∈ U. Daher ist V ⊆ U.
„⇐“ ist trivial.
(ii) Sei UV 6 G. Dann ist (UV) = (UV)−1 = V −1 U−1 = VU und für UV = VU
folgt: (UV)(UV)−1 = UVV −1 U−1 ⊆ UVU nach Bemerkung 3.2 und wegen der
Kommutativität gilt: UVU = UUV = UV. Somit ist UV eine Untergruppe.
(iii) Sei U ⊆ W und w ∈ UV ∩ W. Wir schreiben w = uv mit u ∈ U und v ∈ V. Dann
ist v = u−1 w ∈ W, d. h. w = uv ∈ U(V ∩ W). Umgekehrt ist U(V ∩ W) ⊆ UV und
U(V ∩ W) ⊆ WW ⊆ W, d. h. U(V ∩ W) ⊆ UV ∩ W.
19
3. Gruppen
Definition 3.5 (erzeugte Untergruppe)
Für jede nichtleere Familie (Ui )i∈I von Untergruppen Ui einer Gruppe G gilt stets:
\
Ui 6 G
i∈I
Insbesondere ist für X ⊆ G der Durchschnitt D aller Untergruppen U 6 G mit X ⊆ U
eine Untergruppe von G. Man nennt D = : hXi die von X erzeugte Untergruppe von G.
Für X = {a1 , . . . , an } schreibt man ha1 , . . . , an i.
Satz 3.6
Sei G eine Gruppe und X ⊆ G. Dann besteht hXi aus den Elementen der Form xε1 1 · . . . · xεnn
mit n ∈ N0 , x1 , . . . , xn ∈ X, ε1 , . . . , εn ∈ {±1}. Im Fall n = 0 interpretiert man das Produkt
als 1.
B EWEIS :
Die Menge A der angegebenen Elemente ist eine Untergruppe von G, die X enthält. Nach
Definition 3.5 ist also hXi ⊆ A. Ist umgekehrt U eine Untergruppe von G, die X enthält,
so enthält U auch A. Nach Definition 3.5 ist A ⊆ hXi.
Beispiel 3.4
Ist X = {x}, so heißt hxi = hXi = { xn | n ∈ Z } die von x erzeugte zyklische Untergruppe
von G. Allgemein heißt jede Menge E mit hEi = G ein Erzeugendensystem von G. Hat
die Gruppe G ein endliches Erzeugendensystem, so heißt G endlich erzeugte Gruppe.
Natürlich ist jede endliche Gruppe endlich erzeugt.
Satz 3.7
Für jeden Gruppenhomomorphismus f : G → H gilt:
(i) Wenn U 6 G, dann ist f(U) = { f(u) | u ∈ U } 6 H. Insbesondere ist Bld(f) :=
f(G) 6 H.
(ii) V 6 H ⇒ f−1 (V) = { g ∈ G | f(g) ∈ V } 6 G. Insbesondere ist der Kern von f,
definiert durch ker(f) := f−1 ({1H }), eine Untergruppe von G.
(iii) U 6 G ⇒ f−1 (f(U)) = U(ker f) = (ker f)U oder V 6 H ⇒ f(f−1 (V)) = V ∩ Bld f.
(iv) Wir haben zueinander inverse Bijektionen U = { U 6 G | ker f 6 U } V :=
{ V 6 H | V 6 Bld f }. Es ist U 7→ f(U) und V 7→ f−1 (V).
B EWEIS :
(i) Sei U 6 G. Da U 6= ∅, ist auch f(U) 6= ∅. Ferner ist f(U)f(U)−1 = f(U)f(U−1 ) =
f(UU−1 ) ⊆ f(U).
(ii) Sei V 6 H. Weil f(1G ) = 1H ∈ V ist 1G ∈ f−1 (V), d. h. f−1 (V) 6= ∅. Seien
a, b ∈ f−1 (V), d. h. f(a), f(b) ∈ V. Dann gilt: f(ab−1 ) = f(a)f(b)−1 ∈ V, d. h.
a, b−1 ∈ V.
20
(iii) Zunächst sei U 6 G. Für x ∈ f−1 (f(U)) ist f(x) ∈ f(U). Also ist f(x) = f(u) für
u ∈ U. Dann ist f(x)f(u)−1 = 1 = f(xu−1 ), d. h. xu−1 ∈ ker f und x = xu−1 u ∈
(ker f)U. Daher gilt f−1 (f(U)) ⊆ (ker f)U. Andererseits ist für a ∈ ker f, b ∈ U:
f(ab) = f(a)f(b) = 1H f(b) = f(b) ∈ f(U), d. h. ab ∈ f−1 (f(U)). Also haben wir
f−1 (f(U)) = (ker f)U. Nach den obigen beiden Punkten ist (ker f)U = f−1 (f(U)) 6
G. Mit Satz 3.5 (ii) folgt: (ker f)U = U(ker f).
Sei nun V 6 H und x ∈ f(f−1 (V)). Dann ist x = f(a) für ein a ∈ f−1 (V). Folglich ist
x = f(a) ∈ V ∩Bld f. Daher folgt, f(f−1 (V)) ⊆ V ∩Bld f. Sei umgekehrt v ∈ V ∩Bld f
und g ∈ G mit v = f(g). Dann ist g ∈ f−1 (V) und v = f(g) ∈ f(f−1 (V)). Daher sind
beide Mengen gleich.
(iv) Sei U ∈ U, d. h. ker f ⊆ U. Dann ist auf jeden Fall f(U) ⊆ Bld f, d. h. f(U) ∈ V und
f−1 (f(U)) = U(ker f) ⊆ UU ⊆ U ⊆ f−1 (f(U)). Also ist f−1 (f(U)) = U.
Sei jetzt V ∈ V, d. h. V ⊆ Bld f. Dann wissen wir: ker f = f−1 ({1H }) ⊆ f−1 (V). Dies
bedeutet nun: f−1 (V) ∈ U und f(f−1 (V)) = V ∩ Bld f = V.
Bemerkung 3.3 (Bild, Urbild, Kern)
Man bezeichnet f(U) als das Bild von U unter f, f−1 (V) als das Urbild von V unter f,
Bld f als das Bild von f und ker f als den Kern von f.
Beispiel 3.5
(i) Sei K ein Körper und n eine natürliche Zahl. Dann ist die spezielle lineare Gruppe
SL(n, K) = { A ∈ GL(n, K) | det A = 1 } = ker(det : GL(n, K) → K \ {0}).
(ii) Für jedes Element a einer Gruppe G ist ada : G → G mit x 7→ axa−1 ein Homomorphismus. Denn für x, y ∈ G gilt: ada (x) ada (y) = axa−1 aya−1 = ada (xy).
Außerdem ist (ada ◦ ada−1 )(x) = a(a−1 x(a−1 )−1 )a−1 = x. Daher ist ada ◦ ada−1
die Identität auf G . Analoges gilt auch umgekehrt. Somit ist ada ∈ Aut G. Man
nennt ada den von a induzierten inneren Automorphismus von G.
Die Abbildung ad : G → Aut G mit a 7→ ada ist ein Homomorphismus. Denn für
a, b, x ∈ G ist (ada ◦ adb )(x) = a(bxb−1 )a−1 = (ab)x(ab)−1 = adab x. Nach
Satz 3.7 ist Bld(ad) = { ada | a ∈ G } 6 Aut G. Man nennt Inn(G) := Bld(ad) die innere
Automorphismengruppe
von G. Analog ist ker(ad) = { a ∈ G | ad = idG } =
a ∈ G axa−1 = x ∀x ∈ G = { a ∈ G | xa = ax ∀x ∈ G } = : Z(G) 6 G. Man
nennt Z(G) das Zentrum von G.
Satz 3.8
Für jeden Gruppenhomomorphismus f : G → H gilt, dass f genau dann injektiv ist, wenn
der Kern von f nur aus dem trivialen Element besteht.
B EWEIS :
„⇒“ Sei f injektiv. Wegen f(1) = 1 liegt das Einselement im Kern von f. Sei umgekehrt
x ∈ ker f. Dann ist f(x) = 1 = f(1). Also ist x = 1, da f injektiv.
21
3. Gruppen
„⇐“ Sei jetzt ker f = {1G }. Sind x, y ∈ G mit f(x) = f(y), so ist f(x)f(y)−1 = 1 =
f(xy−1 ). Also ist xy−1 ∈ ker f = {1G }. Also xy−1 = 1, d. h. x = y.
22
4. Nebenklassen
Definition 4.1 (Linkskongruenz)
Sei G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G sowie a, b ∈ G mit a−1 b ∈ H. Dann
heißt a linkskongruent zu b modulo H. Man schreibt a ≡l b (mod H).
Satz 4.1
Die Linkskongruenz modulo H ist eine Äquivalenzrelation auf G.
B EWEIS :
(i) a−1 a = 1G ∈ H
(ii) a−1 b ∈ H ⇒ (a−1 b)−1 = b−1 (a−1 )−1 = b−1 a ∈ H
(iii) a−1 b, b−1 c ∈ H ⇒ a−1 bb−1 c = a−1 c ∈ H
Bemerkung 4.1 (Linksnebenklasse)
Für Elemente a, b ∈ G gilt: a ≡l b (mod H) ⇔ a−1 b ∈ H ⇔ b ∈ aH := { ah | h ∈ H }.
Daher ist die Äquivalenzklasse von einem Element a ∈ G bezüglich ≡l (mod H) die
Linksnebenklasse von a modulo H. Wir setzen G/H := { aH | a ∈ G }. Für a ∈ G ist
H → aH mit a 7→ ah bijektiv. Die Surjektivität ist klar und wegen ah = ah 0 folgt,
h = a−1 ah 0 = a−1 ah 0 = h 0 . Insbesondere ist |aH| = |H|.
Bemerkung 4.2 (Rechtskongruenz, Rechtsnebenklasse, Index)
Seien G eine Gruppe und H eine Untergruppe von G sowie a, b ∈ G mit ab−1 ∈ H. Dann
heißt a rechtskongruent zu b modulo H. Man schreibt a ≡r b (mod H). Es gilt ein zu
Satz 4.1 analoges Ergebnis. Die Äquivalenzklasse von a bezüglich ≡r (mod H) ist die
Rechtsnebenklasse Ha von a nach H. Wir setzen H \ G := { Ha | a ∈ G }. Für a ∈ G ist
wieder |Ha| = |H|.
Für R = Ha ∈ H \ G ist R−1 = a−1 H−1 = a−1 H ∈ G/H. Analog ist L−1 ∈ H \ G für
L ∈ G/H. So erhält man eine Bijektion G/H → H\G. Man nennt |G : H| := |G/H| = |H\G|
den Index von H in G.
Satz 4.2 (Satz von Lagrange)
Für jede Untergruppe H einer Gruppe G gilt:
|G| = |G : H| · |H|
Insbesondere sind |H| und |G : H| in endlichen Gruppen Teiler von |G|.
23
4. Nebenklassen
B EWEIS :
Die Gruppe G ist die disjunkte Vereinigung aller Linksnebenklassen nach H. Es gibt |G : H|
Linksnebenklassen. Jede enthält |H| Elemente.
Beispiel 4.1
Gruppen der Ordnung 24 können keine Untergruppen der Ordnung 7 enthalten.
Bemerkung 4.3
Wir setzen P := { p ∈ N | p Primzahl } und schreiben m | n, falls m ein Teiler von n ist.
Satz 4.3
Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch.
B EWEIS :
Sei G eine Gruppe, |G| = p ∈ P und 1 6= g ∈ G. Nach dem Satz von L AGRANGE
1 6= |hgi| | |G| = p. Also |hpi| = p, d. h. G = hpi zyklisch.
Definition 4.2
Für jedes Element a in einer Gruppe G heißt die Anzahl der Elemente in der von a
erzeugten Gruppe |hai| die Ordnung von a.
Bemerkung 4.4
Nach dem Beispiel 3.4 ist hai = { an | n ∈ Z }.
1. Fall Alle an sind verschieden. Dann ist |hai| = ∞.
2. Fall Es existieren ganze Zahlen m und n mit m < n und am = an . Dann ist n −
m ∈ N mit an−m = an (am )−1 = 1. Sei k ∈ N minimal mit ak = 1. Dann
sind a0 = 1, a1 = a, a2 , . . . , ak−1 paarweise verschieden. Denn wären ai = aj
mit 0 6 i 6 j 6 k − 1, so ist 1 = aj−i und j − i = 0 nach der Wahl von
k. Somit ist i = j. Für beliebige i, j ∈ {0, . . . , k − 1} ist ai aj = ai+j . Dabei ist
ai+j = ai+j−k , falls i + j 6 k. Daher ist ai aj ∈ U := {a0 , . . . , ak−1 }. Ferner
ist (ai )−1 = a−1 = ak−i ∈ U. Daher ist hai 6 U 6 hai. Also ist hai = U.
Insbesondere ist |hai| = k.
In beiden Fällen ist also |hai| = inf k ∈ N ak = 1 .
Satz 4.4 (Satz von F ERMAT oder E ULER)
Für jedes Element a einer endlichen Gruppe G gilt: a|G| = 1.
B EWEIS :
Nach Satz 4.2 gilt: |G| = |G : hai| · |hai|. Nach der vorigen Bemerkung haben wir: ak = 1.
| {z } |{z}
=: l
Also a|G| = akl = (ak )l = 1l = 1.
=: k
Satz 4.5
Für U 6 Z existiert eine natürliche Zahl n mit U = { nz | z ∈ Z } = : nZ.
24
B EWEIS :
Für n ∈ N0 ist nZ das Bild des Homomorphismus Z → Z mit z 7→ nz. Daher ist nZ 6 Z.
Sei U 6 Z und Œ1 ist U 6= {0} = 0Z. Für a ∈ U \ {0} ist auch −a ∈ U. Daher U ∩ N 6= ∅.
Wie jede nichtleere Teilmenge von N enthält auch der Durchschnitt ein kleinstes Element
n. Dann ist 2n = n + n ∈ U, 3n ∈ U usw., d. h. kn ∈ U für k ∈ N. Folglich auch −kn ∈ U
und 0 ∈ U. Also ist nZ ⊆ U.
Ist b ∈ U beliebig. Dann liefert die Division mit Rest einen Quotienten q ∈ Z und einen
Rest mit r ∈ Z. Dabei gilt: b = qn + r. Wegen nZ ⊆ U ist r = b − qn ∈ U. Nach der Wahl
des n muss r = 0 gelten. Folglich: b = qn ∈ nZ. Dann ist gezeigt: U = nZ.
Bemerkung 4.5
Es ist |Z : nZ| = n für n ∈ N. Denn für z ∈ Z existieren Quotient und Rest aus Z mit
z = qn + r für 0 6 r < n. Daher ist z ∈ r + nZ. Folglich hat man: Z = (0 + nZ) ∪ (1 +
nZ) ∪ · · · ∪ (n − 1 + nZ). Da 0,1, . . . , n − 1 in paarweise verschiedenen Linksnebenklassen
nach nZ liegen, folgt die Behauptung. Daher besitzt Z für jede natürliche Zahl n genau
eine Untergruppe vom Index n.
Satz 4.6
Jede Untergruppe V einer zyklischen Gruppe G = hgi ist wieder zyklisch.
B EWEIS :
Sei f ein Homomorphismus (Epimorphismus) von (Z, +) nach (G, ·) mit n 7→ gn . Nach
dem Satz 3.7 (Punkt iv) gilt: V = f(f−1 (V)) mit f−1 (V) 6 Z und nach Satz 4.5 ist
f−1 (V) = nZ für ein n ∈ N0 . Daher V = f(nZ) = hgn i zyklisch.
Definition 4.3 (Doppelnebenklassen)
Sei G eine Gruppe und H und K zwei Untergruppen. Weiterhin seien a und b zwei
Elemente aus G. Wir schreiben a ≡ b (mod H, K), falls h ∈ H, k ∈ K mit b = hak
existieren.
Satz 4.7
Die Kongruenz modulo H und K ist eine Äquivalenzrelation auf G.
B EWEIS :
(i) Für a ∈ G folgt: a = 1a1 mit 1 ∈ H, 1 ∈ K. Also ist a ≡ a (mod H, K).
(ii) Sei a ≡ b (mod H, K) ⇒ ∃h ∈ H, k ∈ K : b = hak ⇒ a = h−1 bk−1 mit h−1 ∈
H, k−1 ∈ K ⇒ b ≡ a (mod H, K).
(iii) a ≡ b (mod H, K) und b ≡ c (mod H, K) ⇒ ∃h, h 0 ∈ H, k, k 0 ∈ K : b = hak, c =
h 0 bk 0 ⇒ c = h 0 hbkk 0 . Also ist a ≡ c (mod H, K).
Bemerkung 4.6
Für jedes Element a ∈ G ist die Äquivalenzklasse von a bezüglich der Äquivalenzrelation
die Doppelnebenklasse HaK := { hak | h ∈ H, k ∈ K } von a nach H und K. Man setzt:
H \ G/K := { HaK | a ∈ G }. Es gilt, H \ G = H \ G/1 und G/K = 1 \ G/K. Im Allgemeinen
ist die Anzahl der Elemente einer Doppelnebenklasse kein Teiler der Gruppenordnung.
1
Herr Külshammer nutzt dieses als Zeichen für o. B. d. A.
25
4. Nebenklassen
Beispiel 4.2
1 2 3
1 2 3
Sei G := Sym(3), H := hbi, K := hci, a := 1 mit b :=
, c :=
. Dann
2 1 3
3 2 1
besteht H aus {1, b} und K aus {1, c}. Es ist HaK = {1, b, c, bc}. Also |HaK| = 4 - 6 = |G|.
Satz 4.8
Seien G eine Gruppe, H, K 6 G und a ∈ G. Dann enthält HaK genau |H : H ∩ aKa−1 |
Linksnebenklassen nach K und genau |K : a−1 Ha ∩ K| Rechtsnebenklassen nach H. Insbesondere ist |HaK| = |H : H ∩ aKa−1 | · |K| = |K : a−1 Ha ∩ K| · |H|.
B EWEIS :
Es reicht, den Beweis
für eine Seite zu führen. Der Rest folgt aus Symmetriegründen.
S
Es ist HaK = h∈H f(h) mit f : H → G/K mit h 7→ haK. Dabei gilt für Elemente
h, h 0 ∈ H: f(h) = f(h 0 ) ⇔ haK = h 0 aK ⇔ a−1 h−1 h 0 a ∈ K ⇔ h−1 h 0 ∈ aKa−1 ∩ H ⇔
h(aKa−1 ∩ H) = h 0 (aKa−1 ∩ H).
Bemerkung 4.7
Nach dem Satz 3.7(i) ist aKa−1 = ada (K) 6 G und analog a−1 Ha 6 G.
Beispiel 4.3
Für a = 1 ist HaK = HK. Im Allgemeinen ist HK K. Nach dem Satz 4.8 enthält HK
genau |H : H ∩ K| Linksnebenklassen nach K und genau |K : K ∩ H| Rechtsnebenklassen
nach H. Insbesondere gilt:
(i) |HK| = |H : H ∩ K| · |K| = |K : H ∩ K| · |H|
(ii) |H : H ∩ K| 6 |G : K|
(iii) |H : H ∩ K| = |G : K| < ∞ ⇒ G = HK = KH
Bemerkung 4.8
Den Satz von L AGRANGE (Satz 4.2) kann man folgendermaßen verallgemeinern: Ist G
eine Gruppe und K 6 H 6 G, so gilt: |G : K| = |G : H| · |H : K|. Denn ist das G = ∪· i∈I gi H
und H = ∪· j∈J hj K, so ist G = ∪· i∈I gi hj K.
j∈J
Satz 4.9
Für Untergruppen H und K einer Gruppe G gilt stets:
(i) |G : H ∩ K| 6 |G : H| · |G : K|
(ii) |G : H ∩ K| = |G : H| · |G : K| < ∞ ⇒ G = HK = KH
(iii) Seien |G : H|, |G : K| endlich und teilerfremd. Dann ist |G : H ∩ K| = |G : H| · |G : K|
und G = HK = KH.
B EWEIS :
(i) |G : H ∩ K| = |G : H| · |H : H ∩ K| 6 |G : H| · |G : K| (letzter Schritt nach Satz 4.8(ii))
(ii) Sei |G : H ∩ K| = |G : H| · |G : K| < ∞. Dann zeigt der Beweis des ersten Teiles dass
|G : K| = |H : H ∩ K|. Aus Satz 4.8(iii) folgt dann: G = HK = KH.
26
(iii) Seien |G : H|, |G : K| endlich und teilerfremd. Die obige Bemerkung zeigt, dass
|G : H| | |G : H∩K| und |G : K| | |G : H : K|. Daher ist |G : H|·|G : K| | |G : H∩K|. Mit dem
ersten Punkt folgt, dass |G : H ∩ K| = |G : H| · |G : K| und (ii) liefert G = HK = KH.
27
Satz 5.1
Für eine Untergruppe N einer Gruppe G sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(1) gNg−1 ⊆ N für alle g ∈ G
(2) gNg−1 = N für alle g ∈ G
(3) gN = Ng für alle g ∈ G
(4) G/N ist eine Gruppe mit (gN)(hN) := ghN für alle g, h ∈ G
(5) Es existiert eine Gruppe H und ein Homomorphismus f : G → H mit N = ker f.
B EWEIS :
(1)⇒(2) Ist die erste Aussage erfüllt, so ist N = g g−1 N(g−1 )−1 g−1 ⊆ gNg−1 .
|
{z
}
⊆N
(2)⇒(3) Multiplizieren mit g von rechts.
(3)⇒(4) Sei die dritte Bedingung erfüllt. Für g, h, k ∈ G ist dann (gN)(hN) = gNhN =
ghNN = ghN, d. h. die Multiplikation in G/N ist wohldefiniert. Ferner ist mit
(gN · hN)(kN) = ghN · kN = (gh)kN = g(hk)N = gN(hkN) = gN(hNkN) das
Assoziativgesetz erfüllt. Daher ist G/N eine Halbgruppe. Außerdem ist 1N · gN =
1gN = gN und (g−1 N)(gN) = g−1 gN = 1N.
(4)⇒(5) Sei H := G/N und f(g) := gN für alle g ∈ G. Dann ist f(g)f(h) = (gN)(hN) =
ghN = f(gh) für g, h ∈ G, d. h. f ist ein Homomorphismus. Insbesondere 1G/N =
f(1G ) = 1N. Für x ∈ G gilt ferner: x ∈ ker f ⇔ f(x) = 1G/N . Nach der obigen
Aussage ist f(x) = xN und 1G/N = 1N. Somit ist f(x) = xN = 1N = 1G/N ⇔
1−1 x = x ∈ N. Also ker f = N.
(5)⇒(1) Zuletzt sei (5) erfüllt und weiter x ∈ N = ker f, g ∈ G. Dann f(gxg−1 ) =
f(g)f(x)f(g−1 ) = f(g)1f(g−1 ) = f(g)f(g−1 ) = f(gg−1 ) = f(1) = 1, d. h. gxg−1 ∈
ker f = N.
Definition 5.1 (normale Untergruppe, Normalteiler)
Gegebenenfalls heißt das N normal oder Normalteiler in G. Man schreibt N E G
Definition 5.2 (Faktorgruppe)
Die Gruppe G/N heißt Faktorgruppe von G nach N.
28
Bemerkung 5.1
Für N E G ist f : G → G/N mit g 7→ gn ein Epimorphismus. Dieser heißt kanonischer
Epimorphismus von G auf G/N. Es gilt: a ≡l b (mod N) ⇔ aN = bN ⇔ Na = Nb ⇔
a ≡r b (mod N). Daher schreibt man kurz a ≡ b (mod N) und sagt, „a ist kongruent zu
b modulo N“.
Beispiel 5.1
(i) In jeder Gruppe G sind {1} und G normal. Sind dies die einzigen Normalteiler und
ist G 6= 1, dann heißt die Gruppe einfach. Nach dem Satz 4.2 (Satz von L AGRANGE)
sind Gruppen von Primzahlordnung stets einfach. Später werden wir weitere einfache Gruppen kennen lernen (Siehe Kapitel 6). Eine nichteinfache Gruppe G 6= 1
stellt man sich aus Normalteiler N und Faktorgruppe G/N zusammengesetzt vor:
G/N
N
Auf diese Weise werden einfache Gruppen zu Bausteinen für
beliebige Gruppen. Die Bestimmung aller endlichen einfachen Gruppen war eines
der größten Projekte der Mathematik überhaupt. Beteiligt daran waren ca. 50 bis
100 Mathematiker. Die entsprechenden Veröffentlichungen haben einen Umfang
von etwa 10 000 Seiten. Das Projekt wurde 19801 erfolgreich abgeschlossen. Das
Buch [11] erzählt einen Teil der Geschichte.
(ii) In jeder Gruppe G ist jede Untergruppe U vom Zentrum von G normal. Denn für
g ∈ G und u ∈ U ist gug−1 = ugg−1 = u ∈ U. Insbesondere ist das Zentrum einer
Gruppe ein Normalteiler der Gruppe. Ferner gilt, dass G genau dann abelsch ist,
wenn G = Z(G). Daher ist in einer abelschen Gruppe jede Untergruppe normal.
(iii) Seien G eine Gruppe und H eine Untergruppe mit |H : G| = 2. Dann ist H E G.
Denn 1H = H = H1 und G \ H sind die einzigen Linksnebenklassen nach H.
(iv) Sei n eine natürliche Zahl und K ein Körper. Dann ist SL(n, K) = ker(det) E
GL(n, K).
(v) Für jeden Gruppenhomomorphismus f : G → H und N E H ist f−1 (N) E G. Denn
für g ∈ G und x ∈ f−1 (N) ist f(gxg−1 ) = f(g)f(x)f(g−1 ) = f(x)f(g)f(g−1 ) =
f(x)f(gg−1 ) = f(x) ∈ N, d. h. gxg−1 ∈ f−1 (N).
(vi) Für jeden Gruppenhomomorphismus f : G → H und jeden Normalteiler M E G ist
f(M) E f(G). Denn für g ∈ G und m ∈ M ist f(g)f(m)f(g−1 ) = f(gmg−1 ) ∈ f(M).
Dagegen ist im Allgemeinen f(M) 5 H. (siehe Übung)
T
(vii) Für jede Familie (NiS
)i∈I von Normalteilern Ni einer Gruppe G sind auch i∈I Ni
und hNi : i ∈ Ii := h i∈I Ni i normal in G.
1
Manche meinen auch 2000 oder 2005.
29
(viii) Für jede Gruppe G, jeden Automorphismus α ∈ Aut(G) und a, x ∈ G gilt: (α ◦
ada ◦α−1 )(x) = α(aα−1 (x)a−1 ) = α(a)α(α−1 (x))α(a)−1 = adα(a) (x), d. h.
α ◦ ada ◦α−1 = adα(a) ∈ Inn(G)
Daher Inn(G) E Aut(G) und es heißt Out(G) := Aut(G)/ Inn(G) die äußere Automorphismengruppe von G.
(ix) Aus H E G und K E H folgt im Allgemeinen nicht, dass K E G. Die Relation E ist
nicht transitiv. (Beispiel siehe Übungen)
Satz 5.2 (Homomorphiesatz)
Für jeden Gruppenhomomorphismus f : G → H ist F : G/ ker f → Bld(f) mit g ker f 7→ f(g)
wohldefiniert und ein Isomorphismus von Gruppen. Insbesondere ist
∼ Bld f
G/ ker f =
B EWEIS :
Für a, b ∈ G gilt: f(a) = f(b) ⇔ 1 = f(a)−1 f(b) = f(a−1 b) ⇔ a−1 b ∈ ker f ⇔ a ker f =
b ker f. Daher ist F wohldefiniert und injektiv. Die Surjektivität von F ist klar. Für g, h ∈ G
gilt: F(g ker f)F(h ker f) = f(g)f(h) = f(gh) = F(gh ker f) = F(g ker(f)h ker(f)).
Beispiel 5.2
(i) Sei H = hhi zyklisch. Dann ist f : Z → H mit z 7→ hz ein Epimorphismus. Nach dem
∼ Z/nZ. Jede zyklische Gruppe
Satz 4.5 ist ker f = nZ für ein n ∈ N0 . Daher ist H =
ist also zu (Z/nZ, +) für ein n ∈ N0 isomorph.
(ii) Für jede Gruppe G ist ad : G → Aut(G) mit a 7→ ada ein Homomorphismus mit
dem Kern Z(G) und dem Bild Inn(G). Also folgt:
∼ Inn(G)
G/Z(G) =
(iii) Für n ∈ N und jeden Körper K ist det : GL(n, K) → K \ {0} ein Epimorphismus mit
∼ K \ {0}. Insbesondere ist die
dem Kern SL(n, K). Daher ist GL(n, K)/ SL(n, K) =
Faktorgruppe GL(n, K)/ SL(n, K) abelsch.
Satz 5.3 (1. Isomorphiesatz)
Seien G eine Gruppe, H eine Untergruppe und N ein Normalteiler in G. Dann ist HN 6
G, N E HN, H ∩ N E H und
∼ HN/N
H/(H ∩ N) =
30
B EWEIS :
Der kanonische Epimorphismus f : G → G/N mit a 7→ aN hat den Kern N. Nach
Satz 3.7 ist also HN = f−1 (f(H)) eine Untergruppe von G. Wegen N E G ist sicher
N E NH. Die Einschränkung g : H → H/N von f ist ein Homomorphismus mit dem Kern
∼
H ∩ ker f = H ∩ N. Daher ist H ∩ N E H. Aus dem Satz 5.2 folgt: H/(H ∩ N) = H/ ker g =
Bld g = { aN | a ∈ H } = { anN | a ∈ H, n ∈ N } = HN/N.
Bemerkung 5.2
Im Fall H E G ist auch HN E G. Denn aHNa−1 = aHa−1 aNa−1 ⊆ HN für alle a ∈ G.
Seien G eine Gruppe, N ein Normalteiler in G und N 6 H 6 G. Dann gilt: H/N E
G/N ⇔ H E G. Gegebenenfalls ist:
∼ G/H
(G/N)/(H/N) =
B EWEIS :
Sei f : G → G/N mit a 7→ aN kanonisch. Für H E G ist H/N = f(H) E f(G) = G/N. Sei
umgekehrt H/N E G/N und g : G/N → (G/N)(H/N) kanonisch. Für a ∈ G gilt dann:
a ∈ ker(g ◦ f) ⇔ g(f(a)) = 1 ⇔ f(a) ∈ ker g = H/N ⇔ a ∈ f−1 (H/N) = f−1 (f(H)) = H
(letzte Aussage nach dem Satz 3.7).
∼
Daher ist H = ker(g ◦ f) E G. Der Homomorphiesatz liefert: G/H = G/ ker(g ◦ f) =
Bld(g ◦ f) = (G/N)/(H/N).
Seien G eine Gruppe, U0 E U 6 G und V0 E V 6 G. Dann gilt: (U ∩ V0 )U0 E
(U ∩ V)U0 , (V ∩ U0 )V0 E (V ∩ U)V0 , (U0 ∩ V)(V0 ∩ U) E U ∩ V und
∼ (V ∩ U)V0 /(V ∩ U0 )V0 =
∼ (U ∩ V)/(U0 ∩ V)(V0 ∩ U)
(U ∩ V)U0 /(U ∩ V0 )U0 =
B EWEIS :
Sei f : U → U/U0 mit u 7→ uU0 kanonisch. Wegen V0 E V ist (U ∩ V) ∩ V0 E U ∩ V nach
Satz 5.3. Aus dem Beispiel Beispiel 5.1 (vi) folgt: f(U ∩ V0 ) E f(U ∩ V) . Daher gilt
| {z }
| {z }
(U∩V0 )U0 /U0
(U∩V)U0 /U0
nach dem Satz 5.4: (U∩V0 )U0 E (U∩V)U0 . Ferner ist F : U∩V → (U∩V)U0 /(U∩V0 )U0
mit x 7→ x(U ∩ V0 )U0 ein Epimorphismus mit dem Kern (U ∩ V) ∩ (U ∩ V0 )U0 . Dies kann
man durch Anwendung der D EDEKIND-Identität vereinfachen: (U ∩ V) ∩ (U ∩ V0 )U0 =
(U ∩ V0 )(U ∩ V ∩ U0 ) = (U ∩ V0 )(V ∩ U0 ). Daher ist (U ∩ V0 )(V ∩ U0 ) E U ∩ V. Der
∼ (U ∩ V)U0 /(U ∩ V0 )U0 . Die
Satz 5.2 liefert: U ∩ V/(U ∩ V0 )(U0 ∩ V) = U ∩ V/ ker F =
anderen Aussagen folgen aus Symmetriegründen.
Bemerkung 5.3
Der Satz 5.5 wird manchmal auch als Satz von Z ASSENHAUS bezeichnet.
31
Bemerkung 5.4
Q
Für jede Familie (Ni )i∈I von Normalteilern Ni einer Gruppe
T G ist G → i∈I G/Ni mit
g 7→ (gNi )i∈I ein Homomorphismus
mit dem Kern N := i∈I Ni . Nach dem HomomorQ
phiesatz ist also G/N → i∈I G/Ni mit gN 7→ (gNi )i∈I ein Monom.
Satz 5.6
Seien G eine Gruppe und M, N E G mit M ∩ N = 1. Dann ist mn = nm für alle
m ∈ M, n ∈ N.
B EWEIS :
m(nm−1 n−1 ) = (mnm−1 )n−1 ∈ M ∩ N = 1 ⇒ mnm−1 n−1 = 1 ⇒ mn = nm
Definition 5.3
Eine Untergruppe U einer Gruppe G mit f(U) ⊆ U für alle f ∈ Aut(G) bzw. für alle
f ∈ End(G) heißt charakteristisch bzw. vollinvariant in G.
Bemerkung 5.5
(i) Für U 6 G gilt: U E G ⇔ f(U) ⊆ U für alle f ∈ Inn(G).
(ii) Daher folgt aus vollinvariant die Eigenschaft charakteristisch und daraus die Eigenschaft normal.
(iii) Für jede charakteristische Untergruppe U 6 G und alle f ∈ Aut G ist U =
f(f−1 (U)) ⊆ f(U), d. h. f(U) = U.
Beispiel 5.3
(i) Für jede Gruppe G ist das Zentrum von G charakteristisch in G. Denn für z ∈
Z(G), g ∈ G und f ∈ Aut G gilt: f(z)f(g) = f(zg) = f(gz) = f(g)f(z), d. h. f(z) ∈
Z(G) wegen f(G) = G. Im Allgemeinen ist Z(G) nicht vollinvariant in G (siehe
Übung).
(ii) Für jede Gruppe G ist U = hg2 : g ∈ Gi vollinvariant in G. Denn für g ∈ G und
f ∈ End G ist f(g2 ) = f(g)2 ∈ U.
Satz 5.7
Für jede Gruppe G und K 6 H 6 G gilt:
(i) Wenn K charakteristisch in H und H charakteristisch in G, dann ist auch K charakteristisch in G.
(ii) Wenn K vollinvariant in H und H vollinvariant in G, dann ist K vollinvariant in G.
(iii) Wenn K charakteristisch in H und H Normalteiler in G, dann ist K Normalteiler in
G.
B EWEIS :
(i) Sei die Voraussetzung erfüllt. Für f ∈ Aut G liegt die Einschränkung g von f auf H
nach Bemerkung 5.5(iii) in Aut H. Daher ist f(K) = g(K) ⊆ K.
(ii) Sei die Voraussetzung erfüllt. Für f ∈ End G liegt die Einschränkung g von f auf H
in End H. Daher ist f(K) = g(K) ⊆ K.
32
(iii) Sei die Voraussetzung erfüllt. Für g ∈ G ist f : H → H mit x 7→ gxg−1 ein Automorphismus von H. Daher ist gKg−1 = f(K) ⊆ K.
Definition 5.4 (Ω-Gruppe, Operatoren)
Sei Ω eine Menge. Eine Ω-Gruppe ist ein Paar, das aus einer Gruppe G und einer
Abbildung Ω × G → G mit (ω, g) 7→ ωg mit ω(gh) = (ωg)(ωh) für alle ω ∈ Ω, g, h ∈ G
besteht. Die Elemente in Ω heißen Operatoren.
Bemerkung 5.6
Für ω ∈ Ω gehört die Abbildung G → G mit g 7→ ωg zu End G. Dabei können verschiedene Elemente in Ω den gleichen Endomorphismus von G liefern.
Beispiel 5.4
(i) Jeder Vektorraum V über einem Körper Ω lässt sich als Ω-Gruppe auffassen: ωv :=
ωv für ω ∈ Ω, v ∈ V.
(ii) Sei G beliebig, Ω = {End G, Aut G, Inn G} und ωg := ω(g) für ω ∈ Ω und g ∈ G.
(iii) Sei G eine beliebige Gruppe und Ω ⊆ G. Wir definieren ωg = ωgω−1
Q
(iv) Für jede Familie (Gi )i∈I von Ω-Gruppen Gi ist auch i∈I Gi eine Ω-Gruppe mit
ω(g )
ω
i i∈I := ( gi )i∈I für ω ∈ Ω.
Definition 5.5 (Ω-Untergruppe)
Seien Ω eine Menge und G eine Ω-Gruppe. Eine Untergruppe H 6 G mit ωh ∈ H für alle
ω ∈ Ω und h ∈ H heißt Ω-Untergruppe von G. Ist H E G, so heißt H Ω-Normalteiler.
Bemerkung 5.7
(i) Jede Ω-Untergruppe kann man wieder als Ω-Gruppe auffassen.
(ii) Für jeden Ω-Normalteiler N E G wird die Faktorgruppe G/N zu einer Ω-Gruppe
mit ω(gN) := (ωg)N für g ∈ G und ω ∈ Ω. Dies rechnet man leicht nach.
Beispiel 5.5
• Ist G beliebig und Ω = End G, so sind die Ω-Untergruppen von G genau die
vollinvarianten Untergruppen von G.
• Ist G beliebig und Ω = Aut G, so sind die Ω-Untergruppen von G genau die
charakteristischen Untergruppen von G.
• Ist G beliebig und Ω = Inn G, so sind die Ω-Untergruppen von G genau die
normalen Untergruppen von G.
Definition 5.6
Sei Ω eine Menge sowie G, H zwei Ω-Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus f : G → H
mit f(ωg) = ωf(g) heißt Ω-Homomorphismus. Wir üblich hat man auch die anderen Ty∼ Ω , HomΩ (G, H), EndΩ (H)
pen von Morphismen und den Begriff Ω-isomorph. Die Notationen sind =
und AutΩ (G).
33
Beispiel 5.6
Seien G, Ω beliebig. Für jede Ω-Untergruppe H 6 G ist die Inklusionsabbildung H → G
mit h 7→ h ein Ω-Monom. Für jeden Ω-Normalteiler N E G ist die kanonische Abbildung
G → G/N mit g 7→ gN ein Ω-Epimorphismus.
Bemerkung 5.8
Viele Aussagen über Gruppen, Untergruppen, Homomorphismen übertragen sich problemlos auf Ω-Gruppen, Ω-Untergruppen und Ω-Homomorphismen. Beispielsweise sind Bild
und Kern von Ω-Homomorphismen stets Ω-Untergruppen und jeder Ω-Homomorphismus
f : G → H induziert einen Ω-Isomorphismus G/ ker f → Bld f mit g ker f 7→ f(g). Den
„Homomorphiesatz für Ω-Gruppen“ rechnet man schnell nach. Analog übertragen sich
auch die anderen Isomorphiesätze auf Ω-Gruppen. Wir werden diese im folgenden ohne
Kommentar verwenden.
34
6. Normalreihen
Definition 6.1 (Subnormalreihe, Länge, Faktor, Normalreihe)
Eine endliche Folge von Untergruppen
(6.1)
G = G0 D G1 D . . . D Gl = 1
einer Gruppe G heißt Subnormalreihe von G der Länge l mit Faktoren G0 /G1 bis
Gl−1 /Gl . Ist Gi E G für alle i, dann heißt Gleichung 6.1 Normalreihe. Ist Gi−1 6= Gi
für alle i, dann heißt Gleichung 6.1 eine (Sub)normalreihe ohne Wiederholung. Eine
Verfeinerung von Gleichung 6.1 ist eine (Sub)Normalreihe
(6.2)
G = H0 D H1 D . . . D Hm = 1
derart, dass eine Injektion f : {1, . . . , l} → {1, . . . , m} mit Gi = Hf(i) für alle i existiert. Im
Fall m > l heißt die Verfeinerung echt.
Beispiel 6.1
i 0
0 1
Seien a :=
, b :=
∈ GL(2, C) und G := ha, bi. Dann ist |G| = 8 und
0 −i
1 0
G D ha2 , bi D hbi D 1 ist eine Subnormalreihe, aber hbi 5 G keine Normalreihe.
Dagegen ist G D ha2 , bi D ha2 i D 1 eine Normalreihe.
Definition 6.2
Subnormalreihen
(6.3)
G = G0 D G1 D . . . D Gl = 1
und
(6.4)
G = H0 D H1 D . . . D Hm = 1
∼
einer Gruppe G heißen isomorph, wenn l = m ist und ein f ∈ Sym(l) mit Gi−1 /Gi =
Hf(i)−1 /Hf(i) für alle i existieren. Dies bedeutet, Gleichung 6.3 und Gleichung 6.4 haben
die gleiche Länge und ihre Faktoren sind bis auf die Reihenfolge isomorph.
Beispiel 6.2
Z/6Z hat isomorphe Normalreihen Z/6Z D 2Z/6Z D 6Z/6Z oder Z/6Z D 3Z/6Z D
6Z/6Z.
Satz 6.1 (Verfeinerungssatz von S CHREIER)
Je zwei Subnormalreihen einer Gruppe G haben isomorphe Verfeinerungen.
35
6. Normalreihen
B EWEIS :
Seien Gleichung 6.3 und Gleichung 6.4 zwei Subnormalreihen von G. Setze Gik :=
Gi (Gi−1 ∩ Hk ) und Hik := Hk (Hk−1 ∩ Gi ) für i = 0, . . . , l und k = 0, . . . , m.1 Dabei sei
G−1 := G = : H−1 . Dann ist jeweils Gi0 = Gi−1 und Gim = Gi sowie Gik E Gi,k−1 nach
dem 3. Isomorphiesatz (Satz 5.5). Daher ist G D G00 D G01 D . . . D G0m = G10 D G11 D
. . . D G1m = G20 D . . . D Gl0 D . . . D Glm = 1 eine Subnormalreihe, die Gleichung 6.3
verfeinert. Analog ist H = H00 D H10 D . . . D Hl0 = H01 D H11 D . . . D Hl1 D . . . D
H0m D . . . D Hlm = 1 eine Subnormalreihe, die Gleichung 6.4 verfeinert. Dabei gilt
∼ Hi−1,k /Hi nach dem Satz 5.5.
jeweils: Gi,k−1 /Gik =
Definition 6.3 (Kompositionsreihe)
Eine Kompositionsreihe einer Gruppe G ist eine Subnormalreihe von G ohne Wiederholungen, die keine echte Verfeinerung ohne Wiederholungen hat.
Beispiel 6.3
(i) Die Subnormalreihen von Z/6Z (siehe oben) sind Kompositionsreihen.
(ii) Z selbst hat keine Kompositionsreihe. Denn jede Subnormalreihe Z.n1 Z.. . ..nl Z.0
kann man zu Z . n1 Z . . . . . nl Z . 2nl Z . 0 verfeinern.
(iii) Jede endliche Gruppe hat eine Kompositionsreihe.
Satz 6.2 (Satz von J ORDAN-H ÖLDER)
Je zwei Kompositionsreihen einer Gruppe G sind isomorph.
B EWEIS :
Nach dem Verfeinerungssatz von S CHREIER (Satz 5.6) haben je zwei Kompositionsreihen
von G isomorphe Verfeinerungen. Da man Wiederholungen streichen kann, kann man
annehmen, dass die Verfeinerungen keine Wiederholungen haben. Andererseits haben
Kompositionsreihen keine echten Verfeinerungen ohne Wiederholungen. Daher sind
bereits die ursprünglichen Kompositionsreihen isomorph.
Bemerkung 6.1
Nach dem zweiten Isomorphiesatz (Satz 5.4) ist eine Subnormalreihe genau dann eine Kompositionsreihe, wenn ihre Faktoren einfache Gruppen sind. Diese heißen dann
Kompositionsfaktoren von G und die Länge einer Kompositionsreihe heißt Kompositionslänge von der Gruppe G.
Definition 6.4 ((charakteristisch) einfache Ω-Gruppe)
Sei Ω eine Menge. Eine Ω-Gruppe G 6= 1 heißt einfach, wenn 1 und G die einzigen
Ω-Normalteiler von G sind. Im Fall Ω = Aut G heißt G charakteristisch einfach.
Bemerkung 6.2
Die Definition von Ω-(Sub-)Normalreihen und Ω-Kompositionsreihen ist klar. Die Sätze von S CHREIER und J ORDAN-H ÖLDER übertragen sich. Im Fall Ω = Inn G heißen
Ω-Kompositionsreihen Hauptreihen. Die Faktoren heißen Hauptfaktoren und ihre Länge Hauptlänge. Nach Satz 5.7 (iii) ist jeder Hauptfaktor charakteristisch einfach.
1
Bemerke: Gi ⊂ Gik ⊂ Gi−1 und Hk ⊂ Hik ⊂ Hi,k−1 .
36
Satz 6.3
Sei Ω eine Menge und G eine Ω-Gruppe mit Ω-Subnormalreihe G = G0 D G1 D . . . D
Gl = 1.
(i) Für jede Ω-Untergruppe H 6 G ist H = H ∩ G0 D H ∩ G1 D . . . D H ∩ Gl = 1 eine
∼ Ω (H ∩ Gi−1 )Gi /Gi 6 Gi−1 /Gi .
Ω-Subnormalreihe von H mit H ∩ Gi−1 /H ∩ Gi =
(ii) Für jeden Ω-Normalteiler N E G ist G/N = G0 N/N D G1 N/N D . . . D Gl N/N =
∼ Ω Gi−1 N/Gi N =
∼Ω
1 eine Ω-Subnormalreihe von G/N mit (Gi−1 N/N)/Gi N/N =
∼ Ω (Gi−1 /Gi )/(Gi−1 ) ∩ Gi N/Gi für alle i.
Gi−1 /Gi−1 ∩ Gi N =
B EWEIS :
(i) Jeweils gilt: H ∩ Gi = (H ∩ Gi−1 ) ∩ Gi E H ∩ Gi−1 nach dem ersten Isomorphiesatz
(Satz 5.3). Der Rest des Satzes lässt sich mit dem gleichen Satz beweisen.
(ii) Wegen Gi E Gi−1 ist Gi N/N E Gi−1 N/N durch die Anwendung des Homomor∼Ω
phismus nach Beispiel 5.1 (vi). Ferner ist Gi−1 N/Gi N = Gi−1 (Gi N)/Gi N =
Gi−1 /Gi−1 ∩ Gi N nach Satz 5.3.
Definition 6.5 (Normaler Endomorphismus)
Ein Endomorphismus α einer Gruppe G mit α(xyx−1 ) = xα(y)x−1 für alle x, y ∈ G heißt
normal.
Bemerkung 6.3
Mit Ω := Inn G sind die normalen Endomorphismen von G die Ω-Endomorphismen von G.
Ferner ist ein α ∈ End G genau dann normal, wenn gilt: x−1 α(x)α(y) = α(y)x−1 α(x) für
alle x, y ∈ G, d. h. wenn x−1 α(x) für alle x ∈ G mit jedem Element in α(G) vertauschbar
ist. Insbesondere ist ein α ∈ Aut G genau dann normal, wenn x−1 α(x) für alle x ∈ G im
Zentrum von G ist.
Beispiel 6.4
Die Identitätsabbildung ιG : G → G mit g 7→ g und die Nullabbildung 0G : G → G mit
g 7→ 1 sind stets normal.
Satz 6.4 (S CHURs Lemma)
Für jede Menge Ω, jede einfache Ω-Gruppe G und jeden normalen Ω-Endomorphismus
0 6= α ∈ EndΩ G gilt: α ∈ AutΩ G.
B EWEIS :
Sicher ist das α(G) ein Ω-Normalteiler von G. Wegen α 6= 0 ist α(G) 6= 1. Also ist
α(G) = G. Analog ist der Kern von α ein Ω-Normalteiler mit ker α 6= G (wegen α 6= 0).
Daher ist der Kern von α gleich 1, d. h. α ist injektiv.
37
Definition 7.1 (Direkte Summe)
Sei (Gi )i∈I eine nichtleere Familie von Normalteilern Gi einer Gruppe G mit den folgenden Eigenschaften:
(i) G = hGi : i ∈ Ii
(ii) i ∈ I ⇒ Gi ∩ hGj : i 6= j ∈ Ii = 1
Dann heißt G die direkte Summe von (Gi )i∈I . Man schreibt G =
{1, . . . , n} für ein n ∈ N auch G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn .
L
i∈I Gi .
Falls I =
Bemerkung 7.1
(i) Für verschiedene Indizes i, j ∈ I ist dann Gi ∩ Gj = 1. Nach dem Satz 5.6 ist
also jedes xi ∈ Gi mit jedem xj ∈ Gj vertauschbar. Zu jedem g ∈ G existieren
ferner i1 , . . . , in ∈ I, gi1 ∈ Gi1 , . . . , gin ∈ Gin mit g = gi1 · . . . · gin und Œ haben
wir i1 , . . . , in paarweise verschieden. Auf die Reihenfolge der Faktoren kommt
es dabei
Q nicht an. Wir setzen gi = 1 für i ∈ I \ {i1 , . . . , in } und schreiben auch
g = i∈I gi . Hat man eine weitere
Q Familie (hi )i∈I von Elementen hi ∈ Gi mit
|{ i ∈ I | h1 6= 1 }| < ∞ und g = i∈I hQ
i , so ist gi = hi für alle i. Denn im Fall
gi 6= hi für ein i ∈ I wäre 1 6= g−1
h
=
gj h−1
i
i6=j∈IQ
i
j ∈ Gi ∩ hGj : i 6= j ∈ Ii = 1 Jedes Element in G lässt also in der Form g = i∈I gi mit eindeutig bestimmten
Elementen gi ∈ Gi schreiben,
` von denen nur endlich viele
Q von 1 verschieden sind.
Daraus folgt leicht, dass i∈I Gi →LG mit (gi )i∈I
→
7
i∈I gi ein Isomorphismus
`
ist. Man identifiziert daher oft G = i∈I Gi mit i∈I Gi und schreibt z. B. im Fall
I = {1, . . . , n} auch G1 × . . . × Gn statt G1 ⊕ . . . ⊕ Gn .
`
(ii) Sei umgekehrt (Gi )i∈I eine Familie beliebiger Gruppen. Wir setzen G := i∈I Gi
cj := (gi )i∈I ∈ ` Gi gi = 1∀j 6= i ∈ I . Dann folgt leicht, dass G =
und G
i∈I
L
c
c ∼
c
i∈I Gj und Gj = Gj für alle j ∈ I. Auch hier identifiziert man oft Gj mit Gj und
fasst so Gj als Untergruppe von G auf.
Satz 7.1
Seien G1 , . . . , Gn Normalteiler einer Gruppe G mit G = G1 ·. . .·Gn und Gi ∩G1 ·. . .·Gi−1 =
1 für i = 2, . . . , n. Dann ist G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn .
B EWEIS :
Sei i ∈ {1, . . . , n} und 1 6= g ∈ Gi ∩ hG1 , . . . , Gi−1 , Gi+1 , . . . , Gn i = Gi ∩ G1 · . . . ·
Gi−1 · Gi+1 · . . . · Gn . Dann existieren Elemente g1 ∈ G1 , . . . , gi−1 ∈ Gi−1 , gi+1 ∈
Gi+1 , . . . , gn ∈ Gn mit g = g1 · . . . · gi−1 · gi+1 · . . . · gn . Für verschiedene j, h ∈ {1, . . . , n}
38
ist Gj ∩ Gk = 1, d. h. jedes xj ∈ Gj ist mit jedem xk ∈ Gk vertauschbar. Daher haben wir
1 = g1 · . . . · gi−1 · gi · gi+1 · . . . · gn mit gi := g−1 . Sei j ∈ {1, . . . , n} maximal mit gj 6= 1.
Dann 1 6= g−1
j = g1 · . . . · gj−1 ∈ Gj ∩ G1 · . . . · Gj−1 = 1 Beispiel 7.1
Sind G1 , G2 Normalteiler einer Gruppe G mit G = G1 · G2 und G1 ∩ G2 = 1. Dann ist
G = G1 ⊕ G2 .
Satz 7.2
Seien G1 , . . . , Gn Normalteiler einer endlichen Gruppe G mit |G| = |G1 | · . . . · |Gn | und
ggT(|Gi |, |Gj |) = 1 für i 6= j. Dann ist G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn .
B EWEIS :
Der Beweis erfolgt durch Induktion nach i: Gi ∩ G1 · . . . · Gi−1 = 1 und |G1 · . . . · Gi | =
|G1 | · . . . · |Gi−1 |. Für i = 2 ist |G2 ∩ G1 | | ggT(|G2 |, |G1 |) = 1. Also G2 ∩ G1 = 1 und
|G1 G2 | = |G1 | · |G2 |(·|G1 ∩ G2 |) = |G1 | · |G2 |. Sei die Aussage für i schon bewiesen. Dann
|Gi+1 ∩ G1 · . . . · Gi | | ggT(|Gi+1 |, |G1 · . . . · Gi |) = ggT(|Gi+1 |, |G1 | · . . . · |Gi |) = 1. Also
Gi+1 ∩G1 ·. . .·Gi = 1 und |G1 ·. . .·Gi ·Gi+1 | = |G1 ·. . .·Gi |·|Gi+1 | = |G1 |·. . .·|Gi |·|Gi+1 |.
Am Ende hat man |G| = |G1 | · . . . · |Gn | = |G1 · . . . · Gn |. Also G = G1 · . . . · Gn . Aus dem
Satz 7.1 folgt die Behauptung.
Definition 7.2 (Minimale, maximale Untergruppe/Normalteiler)
Eine minimale bzw. maximale Untergruppe einer Gruppe G ist eine Untergruppe U 6= 1
bzw. U 6= G von G derart, dass keine Untergruppe V 6 G existiert mit 1 < V < U bzw.
U < V < G. Analog definiert man minimale bzw. maximale Normalteiler
Satz 7.3
(i) Sind G1 , . . . , Gn nichtabelsche einfache Normalteiler einer Gruppe G mit G =
G1 ⊕ . . . ⊕ Gn , so sind die Teilsummen Gi1 ⊕ . . . ⊕ Gik die einzigen Normalteiler von
Gi . Insbesondere existiert zu jedem Normalteiler N G ein M G mit G = N ⊕ M.
(ii) Direkte Produkte von endlich vielen isomorphen einfachen Gruppen sind stets
charakteristisch einfach.
(iii) Jede endliche charakteristisch einfache Gruppe G ist eine direkte Summe endlich
vieler isomorpher einfacher Gruppen.
B EWEIS :
(i) Sei die Voraussetzung erfüllt und g ∈ N G. Wir schreiben g = g1 · . . . · gn mit
g1 ∈ G1 , . . . , gn ∈ Gn . Dann genügt zu zeigen:
(7.1)
Ist 1 6 i 6 n mit gi 6= 1 ⇒ Gi ⊆ N
Sei 1 6 i 6 n mit gi 6= 1. Da Gi einfach und nichtabelsch, ist Z(Gi ) = 1. Also
liegt gi nicht im Zentrum von G. Also gibt es ein Element h ∈ Gi mit hgi 6= gi h,
−1 −1 ∈ G ∩ N. Folglich gilt: G G ∩ N 6= 1 ist ein
d. h. 1 6= hgi h−1 g−1
i
i
i
i = hgh g
Normalteiler in Gi . Da aber Gi einfach ist, ist Gi = Gi ∩ N 6 N.
39
(ii) Sei H eine einfache Gruppe und G = H × . . . × H mit n Faktoren.
1. Fall Sei H nichtabelsch. Dann ist G = H1 ⊕ . . . ⊕ Hn mit Hi := 1 × . . . × 1 ×
H × 1 × . . . × 1, d. h. an der i-ten Stelle steht das H. Jede charakteristische
Untergruppe 1 6= N 6 G enthält nach dem Teil (i) des Satzes ein Hi .
Für f ∈ Sym(n) ist α : G → G mit (g1 , . . . , gn ) 7→ (gf(1) , . . . , gf(n) ) ein
Automorphismus. Also gilt: α(Hi ) ⊆ N. So erhält man: Hj ⊆ N für alle
j = 1, . . . , n, d. h. N = G.
2. Fall Sei H abelsch. Für 1 6= a ∈ H ist dann hai = H. Daher ist die Abbildung
∼ Z/ ker f nach
f : Z → H mit k 7→ ak ein Epimorphismus. Folglich gilt H =
dem Satz 5.2. Nach dem Satz 4.5 ist ker f = lZ für ein l ∈ N0 . Dabei ist l 6= 0.
∼ Z. Aber Z ist nicht einfach. Ferner ist l = p
Denn andernfalls wäre Z/{0} =
eine Primzahl. Denn andernfalls gilt für d | l: 0 6= dZ/lZZ/lZ. Daher sei Œ
G = (Z/pZ)n . Bekanntlich ist Z/pZ ein Körper und (Z/pZ)n kann man als
Z/pZ-Vektorraum auffassen. Jeder Automorphismus dieses Vektorraums ist
auch ein Gruppenhomomorphismus oder besser Gruppenautomorphismus.
Wie man in der Vorlesung zur linearen Algebra zeigt, existiert zu je zwei
Elementen x, y ∈ (Z/pZ)n ein Vektorraum-Automorphismus α von (Z/pZ)n
mit α(x) = y. Folglich ist G charakteristisch einfach.
(iii) Sei G endlich und charakteristisch einfach. Weiterhin sei N ein minimaler Normalteiler von G. Für α ∈ Aut G ist dann auch α(N) wieder ein minimaler Normalteiler von
G. Wir wählen eine möglichst große Untergruppe M 6 G, die direkte Summe einiger α(N) ist. Offenbar ist MG. Wir nehmen nun an, dass es einen Automorphismus
β ∈ Aut G mit β(N) * M gibt. Dann gilt: M∩β(N)G und M∩β(N) < β(N). Also
ist M∩β(N) = 1 wegen der Minimalität von β(N). Folglich ist Mβ(N) = M⊕β(N)
im Widerspruch zur Wahl des N. Daher ist M = hβ(N) : β ∈ Aut Gi. Insbesondere
ist M charakteristisch in G. Also ist M = G. Folglich existieren α1 , . . . , αn ∈ Aut G
mit G = α1 (N) ⊕ . . . ⊕ αn (N).
Für i 6= j ist jedes x ∈ αi (N) mit jedem y ∈ αj (N) vertauschbar. Für i = 1, . . . , n ist
jeder Normalteiler K von αi (N) auch ein Normalteiler von G. Also K ∈ {1, αi (N)}.
Daher sind α1 (N), . . . , αn (N) isomorphe einfache Gruppen.
Definition 7.3 (Minimal-/Maximalbedingung)
Sei Ω eine Menge. Eine Ω-Gruppe G erfüllt die Minimalbedingung bzw. Maximalbedingung für Ω-Untergruppen, falls jede nichtleere Menge M von Ω-Untergruppen von
G ein minimales bzw. maximales Element M enthält. Das heißt, es existiert kein H ∈ M
mit H < M bzw. M < H.
Satz 7.4 (Satz von F ITTING)
Sei Ω eine Menge und G eine Ω-Gruppe mit Minimal- und Maximalbedingung für
Ω-Untergruppen. Zu jedem normalen Endomorphismus α ∈ EndΩ G existiert dann eine
natürliche Zahl k mit:
40
(i) G > α(G) > α2 (G) > · · · αk (G) = αk+1 (G) = · · ·
(ii) 1 6 ker(α) 6 ker(α2 ) 6 · · · 6 ker(αk ) = ker(αk+1 ) = · · ·
Für jedes k ist
G = ker(αk ) ⊕ αk (G)
B EWEIS :
Die Punkte (i) und (ii) folgen aus der Minimal- bzw. Maximalbedingung. Offenbar sind
ker(αk ) und αk (G) Normalteiler von G. Für g ∈ ker(αk ) ∩ αk (G) existiert ein Element
h ∈ G mit g = αk (h) und 1 = αk (g) = α2k (h). Also ist h ∈ ker(α2k ) = ker(αk ). Damit
ist g = αk (h) = 1. Wir haben also gezeigt, dass der Durchschnitt der beiden Mengen
gleich 1 ist.
Für g ∈ G ist andererseits αk (g) ∈ αk (G) = α2k (G). Also αk (g) = α2k (h) für h ∈ G.
Daher ist 1 = αk (g)α2k (h)−1 = αk (gα2k (h)−1 ). Also ist gαk (h−1 ) ∈ ker(αk ) und
g = gαk (h) · αk (h−1 ) ∈ ker(αk ) · αk (G). Damit ist G = ker αk · αk (G). Die Behauptung
folgt aus Beispiel 7.1. .
Bemerkung 7.2
Im Fall ker(αk ) = 1 ist also G = αk (G), d. h. αk und α sind bijektiv. Im Fall ker(αk ) = G
ist αk = 0 und α heißt dann nilpotent.
Definition 7.4 (Unzerlegbare Ω-Gruppe)
Sei Ω eine Menge. Eine Ω-Gruppe G 6= 1 heißt unzerlegbar, wenn keine echten
Ω-Normalteiler M, N G mit G = M ⊕ N existieren.
Bemerkung 7.3
Jeder normale Ω-Endomorphismus einer unzerlegbaren Ω-Gruppe mit Minimal- und
Maximalbedingung für Ω-Untergruppen ist nach Satz 7.4 nilpotent oder bijektiv.
Satz 7.5
Sei Ω eine Menge und G eine Ω-Gruppe mit Minimalbedingung für Ω-Untergruppen.
Dann existieren endlich viele unzerlegbare Ω-Normalteiler G1 , . . . , Gn G mit G =
G1 ⊕ . . . ⊕ Gn .
B EWEIS :
Andernfalls ist die Menge M aller Ω-Untergruppen von G, die sich nicht als direkte
Summe von endlich vielen unzerlegbaren Ω-Untergruppen von G schreiben lassen,
nichtleer. Daher existiert ein minimales Element M ∈ M. Dann ist M 6= 1 und M
ist selbst keine unzerlegbare Ω-Untergruppe von G. Somit existieren Ω-Untergruppen
M1 , M2 < M mit M = M1 ⊕ M2 . Nach der Wahl von M sind M1 und M2 direkte
Summen von endlich vielen unzerlegbaren Ω-Untergruppen von G, also auch von M. 41
Beispiel 7.2
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2
(i) Seien a =
,b =
,c =
2 3 1 4 5
2 1 3 4 5
1 2
∼
Sym(5) und G := ha, b, ci. Dann: G = G1 ⊕ G2 mit G1 := ha, bi =
∼ Sym(2). Aber auch G = H1 ⊕ H2 mit H1 := ha, bci =
∼
G2 := hci =
H2 := hci.
3 4 5
∈
3 5 4
Sym(3) und
Sym(3) und
(ii) Ein Ω-Vektorraum V über einen Körper Ω ist genau dann unzerlegbar, wenn gilt:
dim V = 1.
Definition 7.5 (Addierbare Endomorphismen)
Zwei Endomorphismen α, β einer Gruppe G heißen addierbar, falls α + β : G → G mit
g 7→ α(g)β(g) ein Endomorphismus von G ist.
Satz 7.6
Zwei Endomorphismen α, β einer Gruppe G sind genau dann addierbar, wenn jedes
x ∈ α(G) mit jedem y ∈ α(G) vertauschbar ist. Gegebenenfalls gilt: α + β = β + α.
B EWEIS :
„⇒“ Sind α, β addierbar, so gilt für alle g, h ∈ G: α(g)β(g)α(h)β(h) = (α + β)(g)(α +
β)(h) = (α + β)(gh) = α(gh)β(gh) = α(g)α(h)β(g)β(h), d. h. β(g)α(h) =
α(h)β(g).
„⇐“ Sind g, h ∈ G mit β(g)α(h) = α(h)β(g), so gilt: (α + β)(gh) = α(gh)β(gh) =
α(g)α(h)β(g)β(h) = α(g)β(g)α(h)β(h) = (α + β)(g)(α + β)(h).
Bemerkung 7.4
(i) Sind α, β zwei addierbare Endomorphismen von G, so auch α ◦ γ, β ◦ γ oder auch
γ◦α, γ◦β für γ ∈ End(G) und es gilt: (α+β)◦γ = α◦γ+β◦γ und γ◦(α+β) = γ◦
α+γ◦β. Denn: ((α+β)◦γ)(g) = (α+β)(γ(g)) = α(γ(g))β(γ(g)) = (α◦γ+β◦γ)(g)
und (γ ◦ (α + β))(g) = γ(α(g)β(g)) = γ(α(g))γ(β(g)) = (γ ◦ α + γ ◦ β)(g) für
g ∈ G.
(ii) Seien Ω eine Menge, G eine Ω-Gruppe und α, β ∈ EndΩ (G) addierbar. Dann ist
α + β ∈ EndΩ (G). Denn für ω ∈ Ω und g ∈ G gilt: ω((α + β)(g)) = ω(α(g)β(g)) =
ωα(g)ωβ(g) = α(ωg)β(ωg) = (α + β)(ωg).
(iii) Es heißen α1 , . . . , αn ∈ End G paarweise addierbar, falls die αi , αj für alle i 6= j
addierbar sind. Gegebenenfalls ist α1 + · · · + αn : G → G mit g 7→ α1 (g), . . . , αn (g)
ein Endomorphismus von G und für i = 1, . . . , n − q gilt: α1 , . . . , αn = (α1 + · · · +
αm ) + (αm+1 + · · · + αn ). Dabei sind die Summen rechts addierbar.
Satz 7.7
Seien Ω eine Menge und G1 , . . . , Gn alles Ω-Normalteiler einer Gruppe G mit der
Eigenschaft G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gn . Für i = 1, . . . , n sei die Abbildung εi : G → G definiert
durch εi (g1 ·. . .·gn ) := gi für g1 ∈ G1 , . . . , gn ∈ Gn . Dann sind die ε1 , . . . , εn ∈ EndΩ (G),
normal und paarweise addierbar mit ε2i = εi für alle i, εi ◦ εj = 0 für i 6= j und
ε1 + · · · + εn = idG .
42
B EWEIS :
Für i = 1, . . . , n ist εi nach der Definition der direkten Summe wohldefiniert. Es ist auch
ein Homomorphismus. Denn für g1 , h1 ∈ G1 , . . . , gn , hn ∈ Gn und ω ∈ Ω gilt: εi (g1 ·
. . . gn · h1 · . . . · hn ) = εi (g1 h1 · . . . · gn hn ) = gi hi = εi (g1 · . . . · gn )εi (h1 · . . . · hn ). Weiter
ist die Verträglichkeit mit ω zu prüfen: εi (ω(g1 · . . . · gn )) = εi (ωg1 · . . . · ωgn ) = ωgi =
ωε (g · . . . · g ). Weiter haben wir: ε (g(g · . . . · g )g−1 ) = ε (gg g−1 · . . . · gg g−1 ) =
n
n
n
1
1
i 1
i
i
ggi g−1 = gεi (g1 · . . . · gn )g−1 . Für i 6= j sind εi , εj wegen εi (G) = Gi , εj (G) = Gj
addierbar. Der Rest des Beweises ist klar.
Satz 7.8
Seien Ω eine Menge, G eine unzerlegbare Ω-Gruppe mit Minimal- und Maximalbedingung
für Ω-Untergruppen und α, β ∈ EndΩ (G) normal sowie addierbar mit α + β ∈ AutΩ (G).
Dann ist α ∈ AutΩ (G) oder β ∈ AutΩ (G).
B EWEIS :
Nach der Bemerkung 7.4 sind α 0 := (α + β)−1 ◦ α, β 0 := (α + β)−1 := β ∈ EndΩ (G)
normal und addierbar mit α 0 + β 0 = (α + β)−1 ◦ (α + β) = idG .
Für g ∈ G gilt also:
α 0 (β 0 (g)) = α 0 (α 0 (g−1 )α 0 (g)β 0 (g)) = α 0 (α 0 (g−1 )(α 0 + β 0 )(g))
= α 0 (α 0 (g−1 )g) = α 0 (α 0 (g−1 ))α 0 (g) = α 0 (α 0 (g−1 ))(α 0 + β 0 )(α 0 (g))
= α 0 (α 0 (g−1 ))α 0 (α 0 (g))β 0 (α 0 (g)) = β 0 (α 0 (g))
Falls beide Summanden keine Automorphismen sind, dann wären α 0 , β 0 nilpotent nach
der Bemerkung 7.3. Das heißt (α 0 )n = 0 = (β 0 )n fürP
ein n ∈ N.
Dann wäre die Identität
2n 2n
0
0
0
0
n
0
0
2n
auf G: idG = (α +β ) = (α +β ) = (α +β ) = j=0 j (α 0 )j ◦(β 0 )2n−j = 0. Dies
würde nur gut gehen, wenn G = 1. Das ist aber im Widerspruch zur Voraussetzung. Daher
ist α 0 ∈ AutΩ (G) oder β 0 ∈ AutΩ (G), also auch α ∈ AutΩ (G) oder β ∈ AutΩ (G).
Satz 7.9 (Eindeutigkeitssatz von K RULL-R EMAK-S CHMIDT)
Seien Ω eine Menge und G eine Ω-Gruppe mit Minimal- und Maximalbedingung für
Ω-Untergruppen. Ferner sei G = G1 ⊕ . . . ⊕ Gr = H1 ⊕ . . . ⊕ Hs mit unzerlegbaren
Ω-Normalteilern G1 , . . . , Gr , H1 , . . . , Hs . Dann ist r = s, nach geeigneter Umnummerierung der H1 , . . . , Hs ist G = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi−1 ⊕ Gi ⊕ . . . ⊕ Gr für i = 1, . . . , r und es
existiert ein normaler Ω-Automorphismus α von G mit α(Gi ) = Hi für i = 1, . . . , r.
B EWEIS :
Wir konstruieren für i = 1, . . . , r + 1 einen normalen Ω-Automorphismus αi von G
mit αi (G1 ) = H1 , . . . , αi (Gi−1 ) = Hi−1 , αi (Gi ) = Gi , . . . , αi (Gr ) = Gr (bei passender
Umnummerierung).
Zunächst sei α1 := idG . Damit ist der Induktionsanfang klar. Sei nun αi für ein i ∈
{1, . . . , r} schon definiert. Dann: G = αi (G) = αi (G1 ⊕ . . . ⊕ Gr ) = αi (G1 ) ⊕ . . . ⊕
αi (Gr ) = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi−1 ⊕ Gi ⊕ . . . ⊕ Gr . Dazu gehören normale Endomorphismen
ε1 , . . . , εr ∈ EndΩ (G) wie in Satz 7.7 und analog hat man normalePη1 , . . . , ηs P
∈ EndΩ (G)
zur Zerlegung G = H1 ⊕ . . . ⊕ Hs . Dabei gilt: εi = εi ◦ idG = εi ◦ sj=1 ηj = sj=1 εi ◦ ηj
43
mit ηj (G) = Hj für j = 1, . . . , s. Also
Ps ist εj ◦ ηj = ηj für j 6 i − 1 und εi ◦ ηj = 0
für j = 1, . . . , i − 1. Daher ist εi = j=i εi ◦ ηj . Dabei sind die einzelnen Summanden
paarweise addierbar mit εi ◦ηi , . . . , εi ◦ηs ∈ EndΩ (G). Für β ∈ EndΩ (G)P
mit β(Gi ) ⊆ Gi
sei β : Gi → Gi die entsprechende Einschränkung. Dann: idGi = εi = sj=i εi ◦ ηj . Da
Gi unzerlegbar ist, ist unter εi ◦ ηi , . . . , εi ◦ ηs ein Automorphismus von Gi nach Satz 7.8.
Nach Umnummerierung von Hi , . . . , Hs kann man εi ◦ ηi ∈ AutΩ (Gi ) annehmen.
Nun behaupten wir: Hi = ηi (Gi ) ⊕ (ker(εi ) ∩ Hi ). Da εi und ηi Ω-Endomorphismen
und normal sind, sind ηi (Gi ) und ker(εi ) ∩ Hi beide Ω-Normalteiler von G. Ist g ∈ Gi
mit der Eigenschaft 1 = εi (ηi (g)) = εi ◦ ηi (g) = g, also auch ηi (g) = 1. Daher ist
ηi (Gi ) ∩ ker(εi ) ∩ Hi = 1. Für h ∈ Hi ist εi (h) ∈ Gi = εi (ηi (Gi )). Also εi (h) = εi (ηi (k))
für ein k ∈ Gi . Daher: 1 = εi (ηi (k−1 ))εi (h) = εi (ηi (k−1 )h), d. h. ηi (k−1 ) ∈ ker(εi ) ∩ Hi
und h = ηi (k)ηi (k−1 )h ∈ ηi (Gi ) · ker(εi ) ∩ Hi . Damit ist die Behauptung gezeigt.
Da Hi unzerlegbar und ηi (Gi ) 6= 1 ist, folgt, dass ker(εi ) ∩ Hi = 1 und Hi = ηi (Gi ) =
ηi (εi (G)). Für j = 1, . . . , i − 1 ist εj (G) = Hj und für j = i + 1, . . . , r ist εj (G) = Gj .
−1
Ferner ist ηi (gi ) = ηi (gj gi g−1
j ) = gj ηi (gi )gj für gi ∈ Gi = εi (G), gj ∈ Gj mit i 6= j.
Daher sind ε1 , . . . , εi−1 , ηi ◦ εi , εi+1 , . . . , εr paarweise addierbar. Folglich ist
δ := ε1 + · · · + εi−1 + (ηi ◦ εi ) + εi+1 + · · · + εr ∈ EndΩ (G)
normal mit
δ(Hj ) = εj (Hj ) = Hj für j = 1, . . . , i − 1
δ(Gi ) = ηi (εi (Gi )) = Hi
δ(Gj ) = εj (Gj ) = Gj für j = i + 1, . . . , r
Daher: δ(G) = δ(H1 · . . . · Hi−1 · Gi · Gi+1 · . . . · Gr ) = H1 · . . . · Hi−1 · Gi · Gi+1 · . . . · Gr mit
H1 · . . . · Hi−1 · Gi+1 · . . . · Gr = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi−1 ⊕ Hi ⊕ Gi+1 ⊕ . . . ⊕ Gr . Hat man h1 ∈
H1 , . . . , hi−1 ∈ Hi−1 , gi ∈ Gi , . . . , gr ∈ Gr mit 1 = δ(h1 · . . . · hi−1 gi · . . . · gr ) = h1 · . . . ·
hi−1 ηi (gi )gi+1 ·. . .·gr , so folgt, 1 = h1 = · · · = hi−1 = ηi (gi ) = gi+1 = · · · = gr . Wegen
εi ◦ ηi ∈ AutΩ (Gi ) ist dann auch gi = 1. Daher ist δ injektiv. Nach der Bemerkung 7.2 ist
also δ ∈ AutΩ (G). Insbesondere ist G = δ(G) = H1 ⊕ . . . ⊕ Hi ⊕ Gi+1 ⊕ . . . ⊕ Gr . Folglich
ist αi+1 := δ ◦ αi ∈ AutΩ (G) normal mit den gewünschten Eigenschaften. Am Schluss ist
αr+1 ∈ AutΩ (G) normal mit αr+1 (G1 ) = H1 , . . . , αr+1 (Gr ) = Hr . Daher ist r = s.
Bemerkung 7.5
Dies ist analog zum Austauschsatz von S TEINITZ aus der linearen Algebra.
Beispiel 7.3
· k . Dann ist G := Sym(Ω1 )⊕. . .⊕Sym(Ωk ) 6
(i) Sei Ω eine Menge mit Ω = Ω1 ∪· . . . ∪Ω
Sym(Ω) die Y OUNG-Untergruppe.
(ii) Sei K ein Körper und n := n1 + · · · + nk natürliche Zahlen. Die L EVI-Untergruppe
44
ist dann:

 GL(n1 , K)

..
G := 
.

0
0
GL(n1 , K)



 6 GL(n, K)

45
8. Abelsche Gruppen
Bemerkung 8.1
In diesem Kapitel schreiben wir die abelschen Gruppen stets additiv.
Satz 8.1
In jeder abelschen Gruppe A bilden die Elemente endlicher Ordnung eine Untergruppe
T (A).
B EWEIS :
Da 0 die Ordnung 1 hat, ist 0 ∈ T (A). Seien nun x, y ∈ A. Dann sind die Ordnungen m
von x und n von y endlich. Wegen nm(x − y) = mnx − mny = 0 − 0 = 0 hat auch x − y
endliche Ordnung, d. h. x − y ∈ A.
Definition 8.1 (Torsionsgruppe, torsionsfrei)
Man bezeichnet T (A) als Torsionsgruppe von A. Falls T (A) = A heißt A selbst Torsionsgruppe und falls T (A) = 0 heißt A torsionsfrei.
Beispiel 8.1
A = C \ {0} ⇒ T (A) = e2πik/n k, n ∈ N
Satz 8.2
Sei A eine abelsche Gruppe. Dann ist T (A) die Torsionsgruppe und A/T (A) torsionsfrei.
B EWEIS :
Die erste Aussage ist trivial. Zum Beweis der zweiten Aussage habe a + T (A) ∈ A/T (A)
die Ordnung n < ∞. Dann ist 0 = n(a + T (A)) = na + T (A), d. h. na ∈ T (A). Folglich
ist m := |hnai| < ∞. Daher mna = 0, d. h. a ∈ T (A) und a + T (A) = 0.
Bemerkung 8.2
Das Studium abelscher Gruppen teilt sich also in Torsionsgruppen und torsionsfreie
Gruppen auf.
Definition 8.2 (linear (un)abhängig, Basis)
In einer abelschen Gruppe A heißen die Elemente a1 , . . . , an linear unabhängig, falls aus
0 = z1 a1 +· · ·+zn an mit z1 , . . . , zn ∈ Z stets z1 = · · · = zn = 0 folgt. Andernfalls heißen
a1 , . . . , an linear abhängig. Sind a1 , . . . , an linear unabhängig mit ha1 , . . . , an i = A, so
nennt man a1 , . . . , an eine Basis von A. Abelsche Gruppen, die eine Basis haben, heißen
freie abelsche Gruppen.
46
Bemerkung 8.3
(i) Sei A eine freie abelsche Gruppe mit der Basis a1 , . . . , an . Dann ist A torsionsfrei.
Denn ist x = z1 a1 + · · · + zn an ∈ A mit k := |hxi| < ∞, so ist 0 = kx = kz1 a1 +
· · · + kzn an , also 0 = kz1 = · · · = kzn und damit ist z1 = · · · = zn = 0, d. h. x = 0.
(ii) Es ist (Q, +) torsionsfrei, aber nicht frei. Denn sind x ∈ Q und k ∈ N mit kx = 0, so
ist x = 0. Ferner ist (Q, +) nicht zyklisch und für n > 2 sind beliebige x1 , . . . , xn ∈ Q
stets linear abhängig. Schreibt man nämlich xi = pi/qi mit pi , qi ∈ Z und qi 6= 0,
so ist 0 = p2 q1 x1 − p1 q2 x2 + 0x3 + · · · + 0xn .
(iii) Für jede freie abelsche Gruppe A mit einer Basis a1 , . . . , an ist die Abbildung
f : Zn → A mit (z1 , . . . , zn ) 7→ z1 a1 + · · · + zn an ein Isomorphismus. Umgekehrt
ist Zn für ein n ∈ N frei mit der Basis
e1 = (1, 0, . . . , 0)
..
.
en = (0, . . . , 0, 1)
Satz 8.3
Seien A eine freie abelsche Gruppe, B eine beliebige abelsche Gruppe und f : B → A ein
∼ B/ ker f =
∼ A.
Epimorphismus. Dann ist B = U ⊕ ker f für ein U 6 B. Insbesondere ist U =
B EWEIS :
Sei a1 , . . . , an eine Basis von A und b1 , . . . , bn ∈ B mit f(b1 ) = a1 , . . . , f(bn ) = an sowie
b ∈ B. Dann existieren z1 , . . . , zn ∈ Z mit f(b) = z1 a1 + · · · + zn an = z1 f(b1 ) + · · · +
zn f(bn ) = f(z1 b1 + · · · + zn bn ) = : f(n). Also ist u ∈ U := hb1 , . . . , bn i mit f(b − u) = 0.
Folglich: b − u ∈ ker f und b = u + (b − u) ∈ U + ker f. Damit ist gezeigt: B = U + ker f.
Sei andererseits y ∈ U ∩ ker f und y = y1 b1 + · · · + yn bn . Dann ist 0 = f(y) =
y1 f(b1 ) + · · · + yn f(bn ) = y1 a1 + · · · + yn an . Da a1 , . . . , an linear unabhängig sind,
folgt, y1 = · · · = yn = 0 und y = 0. Also gilt auch: U ∩ ker f = ∅.
Satz 8.4
Jede torsionsfreie endlich erzeugte abelsche Gruppe A ist frei.
B EWEIS :
Seien A = ha1 , . . . , ak i, a1 6= 0, ak 6= 0 und B = A/hak i, T (B) = C/hak i mit hak i 6
∼ B/T (B) endlich erzeugt und torsionsfrei.
C 6 A. Dann: ha1 + C, . . . , ak−1 + Ci = A/C =
Nun führen wir eine Induktion nach k durch. Der Fall k = 1 wurde oben schon erledigt.
Also betrachten wir k > 1. Nach Induktion ist A/C frei, d. h. A/C ist isomorph zu
Zt für ein t ∈ N0 . Nach dem Satz 8.3 ist A = D ⊕ C für eine Untergruppe D 6 A.
∼ Zt . Daher genügt zu zeigen, dass das C frei ist.
Insbesondere ist D isomorph A/C =
∼ A/D = ha1 + D, . . . , ak + Di ist C endlich erzeugt. Sei etwa C erzeugt von
Wegen C =
hc1 , . . . , cl i. Für c ∈ C ist c + hak i ∈ C/hak i = T (B). Daher existiert ein r ∈ N mit der
Eigenschaft 0 = r·(c+hak i) = rc+hak i, d. h. r ∈ hak i, etwa rc = sak mit s ∈ Z. Sind auch
r 0 ∈ N und s ∈ Z mit r 0 c = s 0 ak , so ist (r 0 s−rs 0 )ak = r 0 sak −rs 0 ak = r 0 rc−rr 0 c = 0. Da
47
8. Abelsche Gruppen
Übungen korrekt referenzieren
A torsionsfrei ist, folgt, dass r 0 s = rs 0 , d. h. s/r = s 0/r 0 in Q. Durch f(c) := s/r erhalten wir
eine wohldefinierte Abbildung f : C → Q. Seien c̃ ∈ C, r̃ ∈ N, s̃ ∈ Z mit r̃c̃ = s̃ak . Dann
haben wir: (rs̃ + r̃s)ak = rs̃ak + r̃sak = rr̃c̃ + r̃rc = rr̃(c + c̃) d. h. f(c + c̃) = rs̃+r̃s
=
rr̃
s/r + s̃/r̃ = f(c) + f(c̃). Somit ist f ein Homomorphismus. Ist f(c) = 0, so ist s/r = 0,
also s = 0 oder rc = sak = 0. Somit muss c = 0 sein. Denn A ist torsionsfrei. Folglich
ist das f ein Monomorphismus, da der Kern 0 ist. Wegen C =⊆ c1 , . . . , cl i ist f(C) =
hf(c1 ), . . . , f(cl )i 6 (Q, +). Es ist f(C) zyklisch (siehe Übungsaufgabe Abschnitt A.3.2),
∼ Z. Insbesondere ist f(C) frei und damit auch C frei. Insgesamt
d. h. f(C) = 0 oder f(C) =
ist A = D ⊕ C frei.
Bemerkung 8.4
Der Beweis zeigt genauer, dass man im Fall A = ha1 , . . . , ak i eine Basis b1 , . . . , bt von A
mit t 6 k wählen kann. Dies funktioniert wie bei Vektorräumen in der linearen Algebra.
Hingegen kann man im Allgemeinen b1 , . . . , bt nicht aus {a1 , . . . , ak } wählen. Denn
Z = h2, 3i, aber nicht nur von 2 oder 3 erzeugt.
Satz 8.5
Sei A eine freie abelsche Gruppe mit Basen a1 , . . . , ak und b1 , . . . , bl . Dann ist k gleich l.
B EWEIS :
Offenbar ist 2A := { 2a | a ∈ A } 6 A und A/2A wird zu einem Vektorraum über dem
Körper K := Z/2Z mit (z + 2Z)(a + 2a) := za + 2A mit z ∈ Z und a ∈ A. Diese Definition
ist wohldefiniert, wie man schnell nachrechnet. Wir behaupten, dass a1 + 2A, . . . , ak + 2A
eine K-Basis von A/2A bilden. Sicher wird A/2A von a1 + 2A, . . . , ak + 2A aufgespannt.
Seien z1 , . . . , zk ∈ Z mit 0 = (z1 + 2Z)(a1 + 2A) + · · · + (zk + 2Z)(ak + 2A) = z1 a1 +
· · · + zk ak + 2A. Dann ist x := z1 a1 + · · · + zk ak ∈ 2A, d. h. x = 2y für ein y ∈ A.
Schreibe y = y1 a1 + · · · + yk ak mit y1 , . . . , yk ∈ Z. Dann ist 0 = x − 2y = (x1 − 2y1 )a1 +
· · · + (zk − 2yk )ak , also zi = 2yi . Somit ist zi + 2Z = 0 für i = 1, . . . , n. Damit ist
gezeigt, dass a1 + 2A, . . . , ak + 2A eine K-Basis von A/2A bilden. Analog bilden auch
b1 +2A, . . . , bl +2A eine K-Basis von A/2A. Nach den Aussagen aus der linearen Algebra
ist dann k = l.
Definition 8.3 (Rang)
Es heißt k = rg(A) der Rang von A.
Satz 8.6
Sei A eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. Dann ist T (A) endlich und A = T (A) ⊕ F
mit einer freien abelschen Untergruppe F 6 A.
B EWEIS :
Da A/T (A) endlich erzeugt und torsionsfrei ist, ist A/T (A) nach Satz 8.4 eine freie
abelsche Gruppe. Nach dem Satz 8.3 ist A = T (A) ⊕ F für ein F 6 A. Insbesondere ist
∼ A/T (A) freie abelsche Gruppe. Außerdem ist T (A) =
∼ A/F endlich erzeugt, etwa
F=
T (A) = ht1 , . . . , tl i. Mit ki := |hti i| < ∞ ist also T (A) = { z1 t1 + · · · + zl tl | 0 6 zi < ki }
endlich.
48
Bemerkung 8.5
∼ A/T (A) ist F durch A bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Insbesondere
Wegen F =
ist der Rang von F durch A eindeutig bestimmt. Dagegen ist F selbst i. A. nicht eindeutig
bestimmt.
Satz 8.7
1
r
Sei A eine abelsche Gruppe der Ordnung n < ∞ und n = pk
· . . . · pk
r die Primfaktor
1
i
zerlegung von n. Dann ist A = A1 ⊕ . . . ⊕ Ar mit Ai := a ∈ A pk
a
=
0
6 A für
i
i = 1, . . . , r.
B EWEIS :
Für a ∈ A gilt: m := |hai| | n. Daher existiert eine Primfaktorzerlegung m = pl11 · . . . · plrr
mit l1 6 k1 , . . . , lr 6 kr . Für i = 1, . . . , r sei mi := m/plii . Dann ist |hmi ai| = plii .
Nach L AGRANGE ist die Ordnung der Untergruppe hm1 a, . . . , mr ai von hai teilbar durch
p1l1 , . . . , plrr , also auch durch m. Folglich ist a ∈ hah= hm1 a, . . . , mr ai ∈ A1 + · · · + Ar .
Damit ist gezeigt, dass A = A1 + · · · + Ar .
Sei x1 ∈ A1 ∩(A1 +· · ·+Ar ). Wir schreiben x1 = x2 +· · ·+xr mit x2 ∈ A2 , . . . , xr ∈ Ar . Für
k2
kr
i
i = 1, . . . , r ist pk
i xi = 0 und es folgt mit n1 := p2 · . . . · pr : n1 x1 = n1 x2 + · · · + n1 xr =
0 = p1 k1 x1 . Daher ist die Ordnung von hx1 i ein Teiler des größten gemeinsamen Teilers
1
von n1 und pk
1 . Dieser ist aber 1, d. h. x1 = 0. Also A1 ∩ (A2 + · · · + Ar ) = 0. Aus
Symmetriegründen folgt somit A = A1 ⊕ . . . ⊕ Ar .
Satz 8.8
Seien p ∈ P, k ∈ N und A eine endliche abelsche Gruppe mit pk a = 0 für alle a ∈ A. Dann
∼ (Z/pt1 Z) × . . . × (Z/pts Z).
existieren endlich viele natürliche Zahlen t1 , . . . , ts mit A =
B EWEIS :
Aus der Voraussetzung folgt leicht, dass für alle a ∈ A gilt: |hai| | pk . Sei a1 ∈ A derart,
dass pt1 = |ha1 i| maximal ist. Dann erfüllt B := A/ha1 i die gleichen Voraussetzungen
wie A. Aber |B| < |A|. Wir verwenden jetzt eine Induktion nach der Gruppenordnung.
∼ (Z/pt2 Z) × . . . × (Z/pts Z) mit t2 , . . . , ts ∈ N.
Daher können wir annehmen, dass B =
Also existieren Elemente b2 = b2 /ha1 i, . . . , bs = bs /ha1 i ∈ B = A/ha1 i der Ordnungen
pt2 , . . . , pts mit B = hb2 i ⊕ . . . ⊕ hbs i. Für i = 2, . . . , s ist 0 = pti bi = pti bi + ha1 i,
d. h. pti bi mit in der Gruppe ha1 i liegen. Wir schreiben pti bi = zi a1 mit zi ∈ Z. Wegen
pt1 bi = pt1 bi + ha1 i = 0 ist ti 6 t1 und 0 = pt1 bi = pt1 −ti pti bi = pt1 −ti zi a1 . Daher
ist zi durch pti teilbar, etwa zi = pti yi . Also: 0 = pti bi − pti yi a1 = pti (bi − yi a1 ) und
| {z }
ai + ha1 i = bi + ha1 i. Ferner gilt: |hai i| = pti .
= : ai
Wegen A/ha1 i = hb2 , . . . , bs i = ha2 + ha1 i, . . . , as + ha1 ii ist A = ha1 , a2 , . . . , as i. Die
Abbildung f : Z/pt1 Z×. . . Z/pts Z → A mit (x1 +pt1 Z, . . . , xs +pts Z) 7→ x1 a1 +· · ·+xs as
ist wohldefiniert und ein surjektiver Homomorphismus (Epimorphismus). Dabei gilt:
|A| = |A/ha1 i| · |ha1 i| = pt2 · . . . · pts pt1 = |Z/pt1 Z × . . . × Z/pts Z|. Also ist f bijektiv, d. h.
ein Isomorphismus.
49
8. Abelsche Gruppen
Bemerkung 8.6
Für t ∈ N sind Z/pt Z, pZ/pt Z, p2 Z/pt Z, . . . , pt Z/pt Z = 0 die einzigen Untergruppen
von Z/pt Z. Es existieren also keine echten Untergruppen H1 , H2 mit Z/pt Z = H1 ⊕
H2 , d. h. Z/pt Z ist unzerlegbar. Nach dem Satz von K RULL-R EMAK-S CHMIDT sind also
Z/pt1 Z, . . . , Z/pts Z in Satz 8.8 bis auf Isomorphie eindeutig. Daher sind t1 , . . . , ts durch
A eindeutig bestimmt.
Beispiel 8.2
Bis auf Isomorphie existiert genau eine abelsche Gruppe der Ordnung 2, nämlich Z/2Z,
genau zwei abelsche Gruppen der Ordnung 4, nämlich Z/4Z und Z/2Z×Z/2Z, genau drei
abelsche Gruppen der Ordnung 8, nämlich Z/8Z, Z/4Z × Z/2Z und Z/2Z × Z/2Z × Z/2Z
sowie genau fünf Gruppen der Ordnung 16 usw.
Satz 8.9 (Hauptsatz über endlich erzeugte Gruppen)
Jede endlich erzeugte Gruppe ist zu einem direkten Produkt endlich vieler zyklischer
Gruppen isomorph, die entweder endlich sind oder Primzahlpotenzordnung haben. Die
dabei auftretenden Faktoren sind bis auf Isomorphie und Reihenfolge eindeutig bestimmt.
B EWEIS :
Es folgt aus den vorigen Aussagen in Satz 8.6, Satz 8.7 und Satz 8.8.
50
Definition 9.1 (Kommutator)
Für Elemente x und y einer Gruppe G heißt [x, y] := xyx−1 y−1 Kommutator von x und
y.
Bemerkung 9.1
(i) In manchen Büchern definiert man [x, y] als x−1 y−1 xy.
(ii) Wegen [x, y] = 1 ⇔ xy = yx misst der Kommutator in gewisser Weise die Abweichung von der Vertauschbarkeit. Ferner gilt: xy = [x, y]yx und [x, y]−1 = [y, x].
(iii) Für jeden Gruppenhomomorphismus f : G → H gilt: f([x, y]) = [f(x), f(y)] für alle
x, y ∈ G.
(iv) Für x, y, z ∈ G gilt ein schwacher Ersatz für die Bilinearität aus der linearen
Algebra: [xy, z] = xyzy−1 x−1 z−1 = x[y, z]zx−1 z−1 = x[y, z]x−1 [x, z] und [x, yz] =
xyzx−1 z−1 y−1 = xyx−1 [x, z]y−1 = [x, y]y[x, z]y−1 .
Definition 9.2 (rechtsnormierter höherer Kommutator)
Für Elemente x1 , . . . , xn einer Gruppe G definiert man induktiv den (rechtsnormierten)
höheren Kommutator [x1 , . . . , xn ] := [x1 , [x2 , . . . , xn ]].
Bemerkung 9.2
(i) Manche Bücher bevorzugen linksnormierte Kommutatoren.
(ii) Für x, y, z ∈ G gilt dann: [xy, z] = [x, y, z][y, z][x, z] und [x, yz] = [x, y][y, x, z][x, z].
(iii) Die folgende Aussage hat Ähnlichkeit mit der JACOBI-Identität für Lie-Algebren.
Satz 9.1
Für Elemente x, y, z ∈ G gilt stets die W ITT-Identität:
(y[x, y−1 , z]y−1 )(z[y, z−1 , x]z−1 )(x[z, x−1 , y]x−1 ) = 1
B EWEIS :
Wegen
y[x, y−1 , z]y−1 = yx[y−1 , z]x−1 [z, y−1 ]y−1 = yxy−1 zyz−1 x−1 zy−1 z−1 yy−1
z[y, z−1 , x]z−1 = zy[z−1 , x]y−1 [x, z−1 ]z−1 = zyz−1 xzx−1 y−1 xz−1 x−1 zz−1
x[z, x−1 , y]x−1 = xz[x−1 , y]z−1 [y, x−1 ]x−1 = xzx−1 yxy−1 z−1 yx−1 y−1 xx−1
51
gilt, dass sich die linke Seite der Gleichung durch folgendes zusammensetzt:
(yxy−1 zyz−1 x−1 zy−1 z−1 ) · (zyz−1 xzx−1 y−1 xz−1 x−1 ) · (xzx−1 yxy−1 z−1 yx−1 y−1 )
Wie man leicht nachprüft, entspricht das Produkt dem gewünschten Ergebnis.
Definition 9.3 (Kommutator zweier Teilmengen)
Für jede Gruppe G und Teilmengen A, B ⊆ G sei [A, B] := h[a, b] : a ∈ A, b ∈ Bi der
Kommutator zweier Teilmengen.
Bemerkung 9.3
(i) [A, B] = [B, A]
(ii) Für jeden Gruppenhomomorphismus f : G → H ist f([A, B]) = [f(A), f(B)]. Sind A
und B normale oder charakteristische Untergruppen von G, so ist der Kommutator
eine normale oder charakteristische Untergruppe von G.
(iii) [A, B] = 1 ⇔ ∀a ∈ A ∀b ∈ B : ab = ba
Satz 9.2
Für Untergruppen A und B einer Gruppe G gilt stets:
(i) [A, B] hA, Bi.
(ii) [A, B] 6 A ⇔ ∀b ∈ B : bAb−1 ⊆ A. Man sagt hierzu, dass das A von B normalisiert
wird.
B EWEIS :
(i) Für beliebige a, a 0 ∈ A, b ∈ B gilt nach Bemerkung 9.1 (iv):
a[a 0 , b]a−1 = aa 0 b(a 0 )−1 b−1 a−1 = aa 0 b(a 0 )−1 a−1 b−1 bab−1 a−1
= [aa 0 , b][a, b]−1 ∈ [A, B]
Also gilt auch: a[A, B]a−1 ⊆ [A, B]. Analog ist b[A, B]b−1 ⊆ [A, B].
(ii) [A, B] 6 A ⇒ ∀a ∈ A ∀b ∈ B : aba−1 b−1 ∈ A ⇔ ∀a ∈ A ∀b ∈ B : ba−1 b−1 ∈ A ⇔
∀b ∈ B : bAb−1 ⊆ A.
Definition 9.4
Für jede Gruppe G und beliebige Teilmengen X1 , . . . , Xn ⊆ G definiert man induktiv:
[X1 , . . . , Xn ] := [X1 , [X2 , . . . , Xn ]]
Bemerkung 9.4
(i) [X1 , . . . , Xn ] enthält alle Elemente der Form [x1 , . . . , xn ] mit x1 ∈ X1 , . . . , xn ∈ Xn .
Aber es wird nicht unbedingt von diesen erzeugt.
(ii) Für jeden Gruppenhomomorphismus f : G → H haben wir die Gleichheit von
f([X1 , . . . , Xn ]) und [f(X1 ), . . . , f(Xn )].
52
Satz 9.3
Für Untergruppen A, B, C einer Gruppe G gilt stets:
(i) [A, B] 6 A ∧ [C, B] 6 C ⇒ [A, BC] = [A, B][B, C].
(ii) [A, B, C] = 1 = [B, C, A] ⇒ [C, A, B] = 1. Dies wird auch als 3-UntergruppenLemma bezeichnet.
B EWEIS :
(i) Aus der Voraussetzung folgt, dass BC = CB nach dem Satz 9.2 (ii), d. h. BC 6
G. Ferner ist [A, C] hA, Ci. Insbesondere bedeutet das: x[A, C]x−1 = [A, C]
für x ∈ [A, B] 6 A. Daher [A, B][A, C] = [A, C][A, B] 6 G. Ferner: [a, bc] =
−1
−1
[a, b]b[a, c]b−1 = [a, b][bab
| {z }, bcb
| {z }] ∈ [A, B][A, C] für a ∈ A, b ∈ B und c ∈ C.
∈A
∈C
Folglich gilt: [A, BC] ⊆ [A, B][A, C].
Umgekehrt: [A, B] ⊆ [A, BC] und [A, C] ⊆ [A, BC], also auch [A, B][A, C] ⊆ [A, BC].
(ii) Aus der Voraussetzung folgt wegen der W ITT-Identität: [c, [a, b]] = 1 für a ∈ A, b ∈
B, c ∈ C. Folglich ist jedes c ∈ C mit jedem x ∈ [A, B] vertauschbar. Daher gilt:
[C, [A, B]] = 1.
Definition 9.5 (Kommutatorgruppe)
Für jede Gruppe G heißt G 0 := [G, G] = h[g, h] : g, h ∈ Gi die Kommutatorgruppe von
G. Ist G 0 = G, dann heißt die Gruppe perfekt.
Bemerkung 9.5
Für jeden Gruppenhomomorphismus f : G → H ist f(G 0 ) = f(G) 0 6 H 0 . Insbesondere ist
G 0 ⊆ G vollinvariant und damit auch charakteristisch und normal.
Satz 9.4
Für jede Untergruppe H von G sind äquivalent: (1) G 0 ⊆ H sowie (2) H G und G/H
abelsch.
B EWEIS :
Wir betrachten zunächst die Richtung von (1) nach (2): Sei G 0 ⊆ H. Dann folgt: ghg−1 =
[g, h] h ∈ H. Folglich: H G. Für x, y ∈ G ist ferner 1 = [x, y]H = [xH, yH], d. h.
| {z }
∈G 0
(xH)(yH) = (yH)(xH).
Sei nun die Bedingung (2) erfüllt: Für x, y ∈ G ist dann: [x, y]H = [xH, yH] = 1, d. h.
[x, y] ∈ H. Folglich ist G 0 ⊆ H.
Beispiel 9.1
Wir werden später zeigen, dass „meist“ GL(n, K) 0 = SL(n, K) gilt.
Definition 9.6
Die höheren Kommutatorgruppen einer Gruppe G definiert man induktiv:
G(0) := G, G(1) := G 0 , G(2) := (G 0 ) 0 = G 00 = [G 0 , G 0 ], . . . , G(i+1) := [G(i) , G(i) ]
53
Bemerkung 9.6
(i) Für jeden Gruppenhomomorphismus f : G → H und jede natürliche Zahl i ist
f(G(i) ) = f(G)(i) 6 H(i) . Insbesondere ist G(i) 6 G vollinvariant.
(ii) Für U 6 G und i ∈ N0 folgt, U(i) 6 G(i) .
(iii) Offenbar ist G = G(0) > G(1) > G(2) > · · · . Wir setzen G(∞) :=
(i)
i∈N G .
T
Definition 9.7 (Auflösbare Gruppe)
Eine Gruppe G mit G(n) = 1 für ein n ∈ N0 heißt auflösbar. Gegebenenfalls heißt das
kleinste s ∈ N0 mit G(s) = 1 die Auflösbarkeitsstufe von G.
Bemerkung 9.7
(i) Folgende Äquivalenzen gelten:
s=0⇔G=1
s 6 1 ⇔ G 0 = 1 ⇔ G abelsch
s 6 2 ⇔ G 00 = 2 ⇔ G metaabelsch
(ii) Untergruppen und Faktorgruppen von auflösbaren Gruppen sind auflösbar.
(iii) Für auflösbare Gruppen G, H ist auch G×H auflösbar. Denn (G×H)(i) = G(i) ×H(i)
für i ∈ N0 .
(iv) Sind M, N G und G/M, G/N auflösbar, so ist auch G/M ∩ N auflösbar. Denn nach
der Bemerkung 5.4 ist G/M ∩ N zu einer Untergruppe von G/M × G/N isomorph.
(v) Ist G auflösbar der Stufe s, so ist G = G(0) G(1) . . . G(s) = 1 eine Normalreihe
mit abelschen Faktoren.
Satz 9.5
Für jede Gruppe G sind äquivalent:
(i) G auflösbar.
(ii) G hat eine Normalreihe mit abelschen Faktoren.
(iii) G hat eine Subnormalreihe G = G0 G1 . . . Gt = 1 mit abelschen Faktoren.
B EWEIS :
Die Richtung von Aussage 1 zu Aussage 2 folgt nach der obigen Bemerkung. Die von
2 nach 3 ist trivial. So bleibt nur noch die Richtung von 3 zu 1 zu zeigen: Wir nehmen
an, dass die Voraussetzung erfüllt ist. Dann zeigen wir induktiv: G(i) 6 Gi für i ∈ N0 .
Die Aussage ist für i = 0 klar. Sei also i > 0 und G(i−1) 6 Gi−1 . Da Gi Gi−1 und
0
Gi−1 /Gi abelsch ist, folgt aus Satz 9.4: G(i) = (G(i−1) ) 0 6 Gi−1
6 Gi . Am Schluss ist
(t)
also G 6 Gt = 1.
54
Beispiel 9.2
Für n ∈ N und jeden Körper K ist die Gruppe B(n, K) aller oberen Dreiecksmatrizen in
GL(n, K) auflösbar.


∗ ... ∗

.
..

. .. 


∗
0
Satz 9.6
Für jede Gruppe G und NG gilt: G ist genau dann auflösbar, wenn N und G/N auflösbar
sind.
B EWEIS :
Wir müssen nur die Rückrichtung zeigen. Denn die andere Richtung wurde bereits in
Bemerkung 9.7 (ii) gezeigt. Seien N und G/N auflösbar. Dann existieren s, t ∈ N0 mit
N(i) = 1 und 1 = (G/N)(t) = G(t) N/N. Folglich: G(t) 6 N und G(t+s) 6 N(s) = 1. Bemerkung 9.8
Für auflösbare Normalteiler M, N einer Gruppe G ist auch MN ein auflösbarer Normaltei∼ M/M ∩ N. Ist G endlich, so ist also
ler von G. Dies folgt aus dem Satz wegen MN/N =
das Produkt aller auflösbaren Normalteiler ein auflösbarer Normalteiler von G. Dieser
heißt auflösbares Radikal von G.
Satz 9.7
Für jede endliche Gruppe G sind äquivalent:
(i) G ist auflösbar.
(ii) Jeder Kompositionsfaktor von G ist zu Z/pZ für ein p ∈ P isomorph.
(iii) Jeder Hauptfaktor von G ist zu (Z/pZ)n für geeignete p ∈ P und natürliche n
isomorph.
B EWEIS :
Die Richtungen (ii)⇒(i) und (iii)⇒(i) folgen nach Satz 9.5. Also zeigen wir zuerst
(i)⇒(ii): Sei G auflösbar mit der Kompositionsreihe G = G0 G1 . . . Gl = 1. Für
i = 1, . . . , l ist dann Si := Gi−1 /Gi auflösbar und einfach. Daher Si0 Si 1 , also Si0 = 1,
d. h. Si abelsch. Sei 1 6= x ∈ Si . Dann ist 1 6= hxi Si , also Si = hxi zyklisch. Da Si
∼ Z/pi Z.
einfach ist, folgt, pi := |Si | ∈ P. Folglich: Si =
Nun bleibt noch die Richtung (i)⇒(iii): Sei dazu G auflösbar mit Hauptreihe G = G0 G1 . . . Gl = 1. Für i = 1, . . . , l ist dann Ti := Gi−1 /Gi auflösbar und charakteristisch
∼ Sni für eine auflösbar einfache Gruppe Si und ein
einfach. Nach Satz 7.3 ist Ti =
i
∼ Z/pi Z für eine Primzahl pi .
natürliches ni . Wie oben ist Si =
Bemerkung 9.9
Man hat die folgenden Auflösbarkeitskriterien:
1
Sonst wäre Si00 = Si0 = Si usw.
55
(i) B URNSIDEs pa qb -Satz von 1904: Für p, q ∈ P und a, b ∈ N0 ist jede Gruppe der
Ordnung pa qb auflösbar.
(ii) Satz von F EIT-T HOMPSON von 1963: Gruppen ungerader Ordnung sind stets auflösbar. Der Beweis des Satzes umfasst etwa 250 Seiten.
56
Definition 10.1
Für n ∈ N und jede Gruppe G definiert man induktiv:
G1 := G
G2 := [G, G]
Gn+1 := [G, Gn ]
Bemerkung 10.1
(i) n ∈ N ⇒ Gn = [G, . . . , G]
(ii) n ∈ N ∧ U 6 G ⇒ Un 6 Gn
(iii) n ∈ N ∧ f : G → H Gruppenhomomorphismus ⇒ f(Gn ) = f(G)n 6 Hn . Insbesondere ist Gn vollinvariant in G.
(iv) Nach dem obigen Punkt ist jeweils Gn G, also Gn+1 6 Gn nach dem Satz 9.2.
Wir erhalten so eine Folge vollinvarianter Untergruppen G = G1 > G2 > G3 > · · · .
Diese
wird als absteigende Zentralfolge von G bezeichnet. Wir setzen G∞ :=
T
i
i∈N G .
(v) n ∈ N ⇒ [G/Gn+1 , Gn /Gn+1 ] = [G, Gn ]Gn+1 /Gn+1 = Gn+1 /Gn+1 = 1 ⇒
Gn /Gn+1 6 Z(G/Gn+1 ). Dies erklärt den Begriff „Zentralfolge“.
Satz 10.1
Für 1 6= n ∈ N und jede Gruppe G gilt:
Gn = h[g1 , . . . , gn ] : g1 , . . . , gn ∈ Gi
B EWEIS :
Wir führen Induktion nach n durch. Für die Fälle n = 1 und n = 2 ist alles klar und
nichts zu tun. Daher sei Œ n > 3. Offenbar ist N := h[g1 , . . . , gn ] : g1 , . . . , gn ∈ Gi G
und N 6 Gn . Nach Induktion dürfen wir Gn−1 = h[g2 , . . . , gn ] : g2 , . . . , gn ∈ Gi voraussetzen. Dann ist Gn−1 /N = h[g2 , . . . , gn ]N : g2 , . . . , gn ∈ Gi und für g1 , . . . , gn ∈ G gilt:
[g1 N, [g2 , . . . , gn ]N] = [g1 , [g2 , . . . , gn ]N] = [g1 , g2 , . . . , gn N] = 1. Folglich: Gn−1 /N 6
Z(G/N) und Gn /N = [G, Gn−1 ]/N = [G/N, Gn−1 /N] = 1, d. h. Gn = N.
Satz 10.2
Für m, n ∈ N und jede Gruppe G gilt:
(i) [Gm , Gn ] ⊆ Gm+n
57
n
(ii) G(n) ⊆ G2
B EWEIS :
(i) Wir führen Induktion nach n durch: Für n = 1 ist [Gm , G] = [G, Gm ] = Gm+1 . Sei
also n > 2 und die Aussage für n − 1 bereits bewiesen. Mit H := G/Gm+n gilt
dann:
[Gm , Gn ]Gm+n /Gm+n = [Gm /Gm+n , Gn /Gm+n ] = [Hm , Hn ]
= [Hm , [H, Hn−1 ]] = 1
wegen
[H, [Hn−1 , Hm ]] = [H, [Hm , Hn−1 ]] ⊆ [H, Hm+n−1 ] = Hm+n
= Gm+n /Gm+n = 1
und
[Hn−1 , [Hm , H]] = [[Hm , H], Hn−1 ] = [[H, Hm ], Hn−1 ]
= [Hm+1 , Hn−1 ] ⊆ Hm+n = 1
nach dem 3-Untergruppen-Lemma. Also ist [Gm , Gn ] ⊆ Gm+n .
(ii) Auch hier wird der Beweis per Induktion nach n geführt. Offenbar ist G(0) = G =
0
G1 = G2 . Sei also n eine natürliche Zahl und bereits gezeigt, dass G(n−1) ⊆
n−1
G2
gilt. Dann folgt aus der obigen Aussage, dass G(n) = [G(n−1 , G(n−1) ] ⊆
n−1
n−1
n
2
[G
, G2 ] ⊆ G2 .
Definition 10.2 (Aufsteigende Zentralfolge)
Für jede Gruppe G definiert man die aufsteigende Zentralfolge induktiv durch:
Z0 (G) := 1
Z1 (G) := Z2 (G)
Zi /Zi−1 (G) := Z(G/Zi−1 (G))
Bemerkung 10.2
(i) Für i ∈ N0 ist Zi (G) ⊆ G charakteristisch. Dies ist für i = 0 und i = 1 klar. Ist
Zi−1 (G) ⊆ G charakteristisch für ein i ∈ N0 , so induziert jedes α ∈ Aut(G) ein α ∈
Aut(G/Zi−1 (G)) mit α(gZi−1 (G)) := α(g)Zi−1 (G) für g ∈ G. Da Z(G/Zi−1 (G)) ⊆
G/Zi−1 (G) charakteristisch ist, folgt: α(Zi (G)/Zi−1 (G)) = Zi (G)/Zi−1 (G). Folglich: α(g) ∈ Zi (G) für g ∈ Zi (g).
S
(ii) 1 = Z0 (G) 6 Z1 (G) 6 Z2 (G) 6 · · · und Z∞ := i∈N Zi (G) heißt Hyperzentrum
von G. Dann ist Z∞ (G) 6 G eine charakteristische Untergruppe.
Definition 10.3 (Nilpotente Gruppe)
Eine Gruppe G mit Zc (G) = G für ein c ∈ N0 heißt nilpotent. Gegebenenfalls heißt das
kleinste c ∈ N0 mit Zc (G) = G die Nilpotenzklasse von G.
58
Bemerkung 10.3
c = 0 ⇔ G = 1 und c 6 1 ⇔ G abelsch.
Definition 10.4 (Zentralreihe)
Eine Normalreihe G = G0 G1 . . . Gr = 1 einer Gruppe G mit Gi−1 /Gi ⊆ Z(G/Gi )
für alle i heißt Zentralreihe.
Beispiel 10.1
Ist G nilpotent der Klasse c, so ist G = Zc (G) Zc−1 (G) . . . Z1 (G) Z0 (G) = 1 eine
Zentralreihe, die obere oder aufsteigende Zentralreihe von G.
Satz 10.3
Für Untergruppen G0 , . . . , Gr einer Gruppe G mit G = G0 ⊇ G1 ⊇ . . . ⊇ Gr = 1 sind
folgenden Aussagen äquivalent:
(1) G = G0 G1 . . . Gr = 1 ist eine Zentralreihe.
(2) [G, Gi−1 ] ⊆ Gi für i = 1, . . . , r.
B EWEIS :
(1)⇒(2) Ist die erste Aussage erfüllt, so gilt für alle i:
[G, Gi−1 ]Gi /Gi = [G/Gi , Gi−1 /Gi ] = 1, d. h. [G, Gi−1 ] ⊆ Gi
(2)⇒(1) Für i = 1, . . . , r sei [G, Gi−1 ] ⊆ Gi ⊆ Gi−1 . Nach dem Satz 9.2 (ii) ist
dann Gi−1 G, d. h. wir haben eine Normalreihe. Ferner ist [G/Gi , Gi−1 /Gi ] =
[G, Gi−1 ]Gi /Gi = 1, d. h. Gi−1 /Gi ⊆ Z(G/Gi ).
Bemerkung 10.4
Wegen der obigen zweiten Aussage ist jede Verfeinerung einer Zentralreihe wieder eine
Zentralreihe.
Satz 10.4
Sei G = G0 G1 . . . Gr = 1 eine Zentralreihe einer Gruppe G. Für i = 0, . . . , r ist
dann Gr−i ⊆ Zi (G) und Gi+1 ⊆ Gi . Insbesondere ist Zr (G) = G und Gr+1 = 1, d. h. G
ist nilpotent und die Klasse von G ist höchstens r.
B EWEIS :
Der Beweis wird per Induktion nach i geführt. Offenbar ist Gr = 1 = Z0 (G) und
G1 = G = G0 . Sei also i > 0 und bereits Gr−i+1 ⊆ Zi−1 (G) sowie Gi ⊆ Gi−1 bewiesen.
Dann haben wir:
[G/Zi−1 (G), Gr−i Zi−1 (G)/Zi−1 (G)] = [G, Gr−i ]Zi−1 (G)/Zi−1 (G)
⊆ Gr−i+1 Zi−1 (G)/Zi−1 (G) = 1
Also ist
Gr−i Zi−1 (G)/Zi−1 (G) ⊆ Z(G/Zi−1 (G)) = Zi (G)/Zi (G)
59
Folglich
Gr−i ⊆ Zi (G)
Gi+1 = [G, Gi ] ⊆ [G, Gi−1 ] ⊆ Gi
Bemerkung 10.5
(i) Nach Satz 10.3 und Satz 10.4 ist eine Gruppe G genau dann nilpotent, wenn sie
eine Zentralreihe hat. Gegebenenfalls ist die Klasse von G durch die Länge einer
Zentralreihe beschränkt.
(ii) Für jede nilpotente Gruppe G der Klasse c Gc+1 = 1. Daher ist G = G1 G2 . . . Gc+1 = 1 eine Zentralreihe. Sie wird als untere oder absteigende Zentralreihe
von G. Nach der ersten Bemerkung ist ferner Gc 6= 1.
(iii) Eine Gruppe ist also genau dann nilpotent, wenn Gs = 1 für ein s ∈ N gilt.
(iv) Untergruppen und Faktorgruppen einer nilpotenten Gruppe G sind wieder nilpotent.
Ihre Klasse ist durch die Klasse von G beschränkt.
(v) Jede nilpotente Gruppe ist auflösbar.
(vi) Die Hauptfaktoren einer endlichen nilpotenten Gruppe G haben Primzahlordnung.
Durch Verfeinerung der oberen Zentralreihe erhält man nämlich eine Kompositionsreihe, die gleichzeitig Zentralreihe ist. Diese ist also insbesondere eine Normalreihe
und damit eine Hauptreihe von G. Da G auflösbar ist, haben ihre Faktoren Primzahlordnung.
Beispiel 10.2
(i) Sym(3) ist auflösbar, aber wegen Z(Sym(3)) = 1 nicht nilpotent.
(ii) Eine typische nilpotente Gruppe ist die Untergruppe von GL(n, K), die aus allen
Matrizen der Form:


1
∗


..


.


0
1
besteht.
Bemerkung 10.6
Für jede Teilmenge X einer Gruppe G ist der Normalisator
NG (X) := g ∈ G gXg−1 = X
eine Untergruppe von G. Dies rechnet man leicht nach. Ist X 6 G, so ist X NG (X).
Satz 10.5
Für jede echte Untergruppe U einer nilpotenten Gruppe G ist U < NG (U).
60
B EWEIS :
Da G nilpotent ist, existiert eine natürliche Zahl n mit Gn = 1 ⊆ U. Sei m ∈ N minimal
mit Gm ⊆ U. Wegen G1 = G * U ist m > 2. Wegen [U, Gm−1 ] ⊆ [G, Gm−1 ] = Gm ⊆ U
ist Gm−1 ⊆ NG (U) nach dem Satz 9.2 (ii), aber Gm−1 * U.
Satz 10.6
Für jeden Normalteiler N 6= 1 einer nilpotenten Gruppe G ist [G, N] < N und Z(G) ∩ N 6=
1. Insbesondere liegt jeder minimale Normalteiler einer nilpotenten Gruppe im Zentrum.
B EWEIS :
Wir definieren N1 := N und Ni+1 := [G, Ni ] für i ∈ N. Dann ist Ni G, Ni 6 N
und Ni ⊆ Gi . Da G nilpotent ist, existiert ein m ∈ N mit 1 = Gm = Nm . Dann:
N2 = [G, N] < N. Denn im Fall N2 = N wäre auch N3 = [G, N2 ] = [G, N] = N2 = N etc.
Sei n eine natürliche Zahl mit Nn = 1 6= Nn−1 . Dann ist [G, Nn−1 ] = Nn = 1, also
Nn−1 ⊆ Z(G) ∩ N.
Satz 10.7
Für nilpotente Normalteiler A und B einer Gruppe G ist auch AB ein nilpotenter Normalteiler von G. Hat A die Klasse a und B die Klasse b, so hat AB höchstens die Klasse a + b.
B EWEIS :
Nach Satz 9.3 (i) gelten für L, M, N G die Aussagen [L, MN] = [L, M][L, N] und
[LM, N] = [L, N][M, N]. Daraus folgt, dass (AB)a+b+1 ein Produkt von Gruppen der
Form [H0 , . . . , Ha+b ] mit H0 , . . . , Ha+b ∈ {A, B} ist. Wegen der Bemerkung 10.5 (i)
genügt es zu zeigen, dass jede dieser Gruppen trivial ist. Sei also m := |{ i | Hi = A }| und
n := |{ i | Hi = B }|. Dann ist a + b + 1 = m + n, also m > a oder n > b. Sei Œ m > a.
Dann ist [H0 , . . . , Ha+b ] ⊆ Am ⊆ Aa+1 = 1.
Bemerkung 10.7
Im Allgemeinen ist eine Gruppe G, die einen nilpotenten Normalteiler N mit einer
nilpotenten Faktorgruppe G/N hat, selbst nicht nilpotent.
Beispiel 10.3
1 2 3
G = Sym(3), N = h
i
2 3 1
61
Definition 11.1 (Operation)
Eine Linksoperation einer Gruppe G auf einer Menge Ω ist eine Abbildung G × Ω → Ω
mit (g, ω) 7→ gω mit folgenden Eigenschaften:
• 1ω = ω
• a(bω) = abω für alle a, b ∈ G, ω ∈ Ω. Man sagt auch, G operiert auf Ω oder Ω ist
eine G-Menge.
Bemerkung 11.1
(i) Rechtsoperationen definiert man analog als Abbildungen G × Ω → Ω mit (ω, g) 7→
ωg .
(ii) Man beachte die Analogie zur Multiplikation von Vektoren eines Vektorraums mit
Skalaren eines Körpers.
Beispiel 11.1
(i) Für jede Menge Ω operiert Sym(Ω) auf Ω durch gω := g(ω). Dabei ist g ∈ Sym(Ω)
und ω ∈ Ω.
(ii) Für jeden Körper K und jeden K-Vektorraum V operiert
GL(V) = { f : V → V | f linear und bijektiv }
auf V durch gv := g(v) mit g ∈ GL(V) und v ∈ V.
(iii) Für eine natürliche Zahl n und jeden Körper K operiert GL(n, K) auf Kn×n durch
AB := ABA−1 .
(iv) Für m, n ∈ N und jeden Körper K operiert GL(m, K) × GL(n, K) auf Km×n durch
(A,B)C := ACB−1 für A ∈ GL(n, K), B ∈ GL(n, K) und C ∈ Km×n .
(v) Für eine natürliche Zahl n operiert die orthogonale Gruppe
O(n, R) =
A ∈ Rn×n AAT = 1n
des Grades n über R auf der Menge S aller reellen symmetrischen n × n-Matrizen
durch AB := ABAT .
62
(vi) Analog operiert die unitäre Gruppe
T
U(n, C) = A ∈ Cn×n AA = 1n
T
des Grades n über C auf der Menge H aller hermiteschen n × n-Matrizen B = B
T
durch AB := ABA .
Satz 11.1
Für jede Gruppe G, jede G-Menge Ω und g ∈ G ist τg : Ω → Ω mit ω 7→ gω bijektiv, d. h.
τg ∈ Sym(Ω). Außerdem ist τ : G → Sym(G) mit g 7→ τg ein Homomorphismus.
B EWEIS :
Für a, b ∈ G, ω ∈ Ω ist (τa ◦ τb )(ω) = a(bω) = abω = τab (ω) und τ1 (ω) = 1ω = ω.
Daher gilt: τa ◦ τb = τab und τ1 = idΩ . Insbesondere τa ◦ τa−1 = τaa−1 = τ1 = idΩ und
analog τa−1 ◦ τa = idΩ . Folglich ist τa bijektiv. Ferner ist τ ein Homomorphismus.
Bemerkung 11.2
Nach Satz 11.1 induziert jede Operation einer Gruppe G einen Homomorphismus G →
Sym(G). Wir zeigen jetzt umgekehrt, dass jeder Homomorphismus G → Sym(G) eine
Operation von G auf Ω induziert. Man sieht sofort, dass beide Prozesse zueinander invers
sind.
Satz 11.2
Seien G eine Gruppe, Ω eine Menge und und τ : G → Sym(G) ein Homomorphismus.
dann erhält man durch gω := (τ(g))(ω) eine Operation von G auf Ω. Dabei sind g ∈ G
und ω ∈ Ω.
B EWEIS :
Da τ ein Homomorphismus ist, ist τ(1) = 1Sym(Ω) = idΩ . Daher ist 1ω = (τ(1))(ω) =
idΩ (ω) = ω und a(bω) = (τ(a))((τ(b))(ω)) = (τ(a) ◦ τ(b))(ω) = (τ(ab))(ω) = abω
für ω ∈ Ω und a, b ∈ G.
Definition 11.2
Seien G eine Gruppe, Ω eine G-Menge und τ : G → Sym(G) der entsprechende Homomorphismus. Dann heißt
ker(τ) := { g ∈ G | τg = idΩ } = { g ∈ G | gω = ω für ω ∈ Ω }
der Kern der Operation. Ist ker τ = G, d. h. gω = ω für alle g ∈ G, ω ∈ Ω, so heißt
die Operation trivial. Ist ker τ = 1, d. h. τ ist injektiv, so heißt die Operation treu.
∼ τ(G) 6 Sym(Ω).
Gegebenenfalls gilt: G =
Satz 11.3 (Satz von C AYLEY)
Jede Gruppe G ist zu einer Untergruppe einer symmetrischen Gruppe isomorph.
B EWEIS :
Durch gω := gω wird G zu einer G-Menge für g, ω ∈ G. Diese ist treu. Denn aus gω = ω
∼ τ(G) 6 Sym(Ω). für alle g ∈ G folgt g = 1. Mit den obigen Bezeichnungen ist: G =
63
Satz 11.4
Seien G eine Gruppe und Ω eine G-Menge. Für α, β ∈ Ω schreiben wir α ∼ β, falls ein
g ∈ G mit gα = β existiert. Dann ist ∼ eine Äquivalenzrelation auf Ω.
B EWEIS :
Die Reflexivität α ∼ α erhalten wir durch 1α = α. Für die Symmetrie sei g ∈ G. Dann
−1
−1
−1
ist auch g−1 ∈ G mit g β = g (gα) = g gα = α. Schließlich seien g, h ∈ G mit gα = β
und hβ = γ. Dann ist hg ∈ G mit hgα = h(gα) = hβ = γ. Somit haben wir auch die
Transitivität.
Bemerkung 11.3
Für α ∈ Ω ist die Bahn OrbG (α) := { gα | g ∈ G } die Äquivalenzklasse von α bezüglich
∼. Man bezeichnet mit |OrbG (α)| die Länge der Bahn von α. Aus allgemeinen Tatsachen
über Äquivalenzrelationen folgt, dass Ω die disjunkte Vereinigung der verschiedenen
Bahnen von G auf Ω ist. Für jedes Repräsentantensystem R dieser Bahnen gilt also die
Bahnengleichung:
X
Ω = ∪· α∈R OrbG (α)
|Ω| =
|OrbG (α)|
α∈R
Beispiel 11.2
(i) Für eine natürliche Zahl n und jeden Körper K liegen zwei Matrizen aus Kn×n
genau dann in der gleichen Bahn unter der Operation von GL(n, K) auf Kn×n
durch AB := ABA−1 mit A ∈ GL(n, K), B ∈ Kn×n , wenn sie ähnlich im Sinne der
linearen Algebra sind.
(ii) Für m, n ∈ N und jeden Körper K liegen zwei Matrizen aus Km×n genau dann
in der gleichen Bahn unter der Operation von GL(m, K) × GL(n, K) auf Km×n
durch (A,B)C = ACB−1 mit A ∈ GL(m, K), B ∈ GL(n, K) und C ∈ Km×n , wenn sie
äquivalent im Sinne der linearen Algebra sind.
Definition 11.3 (Stabilisator)
Für jede Gruppe G, jede G-Menge Ω und ω ∈ Ω ist der Stabilisator von ω in G gegeben
durch StbG (ω) := Gω := { g ∈ G | gω = ω }.
Satz 11.5
In dieser Situation gilt:
(i) StbG (ω) 6 G
(ii) x ∈ G ⇒ StbG (xω) = x StbG (ω)x−1
(iii) Die Abbildung f : G/ StbG (ω) → OrbG (ω) mit g StbG (ω) 7→ gω ist bijektiv. Insbesondere ist |OrbG (ω)| = |G : StbG (ω)|. Im Fall |G| < ∞ ist also jede Bahnlänge ein
Teiler von |G|.
B EWEIS :
(i) Wegen 1ω = ω ist 1 ∈ StbG (ω) und für a, b ∈ StbG (ω) ist ab−1 ∈ StbG (ω).
−1
−1
Schließlich gilt: ab ω = ab (bω) = aω = ω.
64
(ii) g ∈ StbG (ω)(xω) ⇔
x StbG (ω)x−1 .
gxω
= xω ⇔
(iii) Für g, h ∈ G gilt: gω = hω ⇔
h StbG (ω).
x−1 gxω
g−1 hω
= ω ⇔ x−1 gx ∈ StbG (ω) ⇔ g ∈
= ω ⇔ g−1 h ∈ StbG (ω) ⇔ g StbG (ω) =
Definition 11.4 (Transitive Operation)
Seien G eine Gruppe und Ω 6= ∅ eine G-Menge mit einer einzigen Bahn. Dann heißt die
Operation transitiv.
Beispiel 11.3
Für jede Gruppe G und h 6 G operiert G transitiv auf G/H durch x(gH) := xgH mit
x, g ∈ G. Dabei gilt:
xgH = gH ⇔ g−1 xgH = H ⇔ g−1 xg ∈ H ⇔ x ∈ gHg−1
Daher: StbG (gH) =TgHg−1 . Insbesondere
T ist StbG (H) = H und der Kern der Operation
von G auf G/H ist g∈G StbG (gH) = g∈G gHg−1 . Man bezeichnet das auch als den
Kern von H in G. Offenbar ist dies der größte Normalteiler N G mit N ⊆ H. Weiter ist
G faktorisiert nach dem Kern von H zu einer Untergruppe von Sym(G/H) isomorph. So
kann man oft nichttriviale Normalteiler von G konstruieren.
Bemerkung 11.4
Eine G-Menge Ω 6= ∅ ist genau dann transitiv, wenn zu je zwei α, β ∈ Ω ein g ∈ G mit
gα = β existiert. Gegebenenfalls ist |Ω| = |G : Stb (ω)| für ω ∈ Ω. Existieren zu je zwei
G
α, β ∈ Ω genau ein g ∈ G mit gα = β, so heißt die Operation regulär: Gegebenenfalls ist
|Ω| = |G|.
Satz 11.6 (F RATTINI-Argument)
Seien G eine Gruppe, H 6 G und Ω 6= ∅ eine G-Menge. Operiert H transitiv auf Ω, so ist
G = StbG (ω)H für ω ∈ Ω.
B EWEIS :
Seien ω ∈ Ω und g ∈ G. Da H transitiv operiert, existiert ein h ∈ H mit h(gω) = ω.
Folglich ist hg ∈ StbG (ω) und g = h−1 hg ∈ H StbG (ω). Daher G = H StbG (ω) =
StbG (ω)H.
Definition 11.5 (Fixpunkt)
Seien G eine Gruppe, Ω eine G-Menge, x ∈ G und Y ⊆ G. Dann heißen die Elemente in
FixΩ (x) := { ω ∈ Ω | xω = ω }
FixΩ (Y) := { ω ∈ Ω | yω = ω, y ∈ Y }
Fixpunkte von x bzw. Y.
Satz 11.7 (Lemma von B URNSIDE)
Seien G eine endliche Gruppe und Ω eine endliche G-Menge.
65
(i) Für die Anzahl n der Bahnen von G auf Ω gilt dann:
n=
1 X
|FixΩ (g)|
|G|
g∈G
(ii) Ist die Operation transitiv und ω ∈ Ω, so gilt für die Anzahl m der Bahnen von
StbG (ω) auf Ω:
m=
1 X
|FixΩ (g)|2
|G|
g∈G
B EWEIS :
P
P
(i) Offenbar ist g∈G |FixΩ (g)| = |{ (g, ω) ∈ G × ω | gω = ω }| =
ω∈Ω |StbG (ω)|.
Auf jeder Bahn ist |StbG (ω)| konstant nach Satz 11.5 (ii) und die Bahn von ω ∈ Ω
enthält
genau |G : StbG (ω)| Elemente. Mit dem Satz von L AGRANGE ergibt sich:
P
ω∈Ω |StbG (ω)| = n · |G|.
(ii) Offenbar gilt:
X
|FixΩ (g)|2 = |{ (g, α, β) ∈ G × Ω × Ω | gα = α, gβ = β }|
g∈G
=
X
|{ (g, α) ∈ StbG (β) × Ω | gα = α }|
β∈Ω
Für β, β 0 ∈ Ω existiert wegen der Transposition ein x ∈ G mit β 0 = xβ. Man rechnet
leicht nach, dass dann die Abbildung:
{ (g, α) ∈ StbG (β) × Ω | gα = α } → (g, α) ∈ StbG (β 0 ) × Ω gα = α
(g, α) 7→ (xgx−1 , xα)
bijektiv ist. Daher gilt wie in (i):
X
|FixΩ (g)|2 = |Ω| · |{ (g, α) ∈ StbG (ω) × Ω | gα = α }|
g∈G
= |Ω| · m|StbG (ω)| = |G|m
Definition 11.6
Seien G eine Gruppe, Ω eine G-Menge und |Ω| > n ∈ N. Die Operation heißt n-transitiv,
wenn zu je zwei n-Tupeln (α1 , . . . , αn ), (β1 , . . . , βn ) paarweise verschiedener Elemente
in Ω ein g ∈ G existiert mit gα1 = β1 , . . . , gαn = βn .
Satz 11.8
In dieser Situation gilt:
(i) Ist das n > 2, G ist n-transitiv auf Ω und ω ∈ Ω, so operiert StbG (ω) (n −
1)-transitiv auf Ω \ {ω}.
66
(ii) Ist das n > 2, ω ∈ Ω und G transitiv auf Ω sowie StbG (ω) noch (n − 1)-transitiv
auf Ω \ {ω}, so operiert G insgesamt n-transitiv auf Ω.
(iii) Ist G transitiv auf Ω, ω ∈ Ω und H := StbG (ω), dann gilt: G operiert genau dann
2-transitiv auf Ω, wenn |H \ G/H| = 2.
(iv) Sind Ω und G endlich und operiert
G transitiv auf Ω, dann gilt, G operiert genau
1 P
dann 2-transitiv auf Ω, wenn |G| g∈G |FixΩ (g)|2 = 2.
B EWEIS :
(i) Seien (α1 , . . . , αn−1 ), (β1 , . . . , βn−1 ) zwei (n − 1)-Tupel paarweise verschiedener
Elemente in Ω \ {ω}. Dann sind (α1 , . . . , αn−1 , ω), (β1 , . . . , βn−1 ), ω) zwei n-Tupel
paarweise verschiedener Elemente in Ω. Daher existiert ein g ∈ G mit gα1 =
β1 , . . . , gαn−1 = βn−1 , gω = ω. Insbesondere ist g ∈ StbG (ω).
(ii) Seien (α1 , . . . , αn ), (β1 , . . . , βn ) zwei n-Tupel paarweise verschiedener Elemente
in Ω. Da G transitiv auf Ω ist, existieren zwei Elemente x, y ∈ G mit xαn = ω =
y
yα . Dann sind (xα , . . . , xα
y
n
1
n−1 ), ( α1 , . . . , αn−1 ) zwei (n − 1)-Tupel paarweise
verschiedener Elemente in Ω \ {ω}. Nach der Voraussetzung existiert ein Element
g ∈ StbG (ω) mit gxα1 = yβ1 , . . . , gxαn−1 = yβn−1 . Dann ist y−1 gx ∈ G und
y−1 gxα
y−1 gxα = y−1 gω = y−1ω = β .
n
n
n−1 = βn−1 ,
(iii) Wir zeigen zunächst die Richtung „⇒“: Dazu sei G zweitransitiv auf Ω und x, y ∈
G \ H. Dann ist xω 6= ω 6= yω. Da H nach (i) transitiv auf Ω \ {ω} operiert, existiert
−1
ein h ∈ H mit hxω = yω. Folglich haben wir y hxω = ω, d. h. y−1 hx liegt im
·
Stabilisator von ω und x ∈ h−1 yH ⊆ HyH. Damit ist gezeigt, G = H∪HyH.
Für die Richtung „⇐“ sei |H \ G/H| = 2 und α, β ∈ Ω \ {ω}. Wegen der Transitivität
von G existieren zwei Elemente x, y ∈ G mit xω = α, yω = β. Dabei hat man
x, y ∈
/ H. Andernfalls wäre xω = ω. Daher existieren h, h 0 ∈ H mit y = hxh 0 .
0
Folglich: β = hxh ω = hxω = hα. Dies zeigt, H ist transitiv auf Ω \ {ω}. Also
operiert G zweitransitiv auf Ω.
(iv) Aus den bisherigen Resultaten folgt: G operiert genau dann zweitransitiv auf
Ω, wenn StbG (ω) transitiv auf Ω \ {ω} operiert. Dies ist genau dann, wenn der
Stabilisator von
ω genau 2 Bahnen auf Ω hat. Schließlich ist das genau dann der
2
1 P
Fall, wenn |G|
g∈G |FixΩ (g)| = 2.
Satz 11.9
Für jede Gruppe G und jede transitive G-Menge Ω mit mindestens zwei Elementen sind
äquivalent:
(1) Es existiert eine echte Teilmenge ∆ ( Ω derart, dass |∆| > 1 und für g ∈ G entweder
(g∆) ∩ ∆ = ∅ oder g∆ = ∆ gilt.
(2) Es existiert eine Zerlegung Ω = ∪· Λ∈L Λ,wobei Λ ( Ω, |Λ| > 1 und gΛ ∈ L für
g ∈ G, Λ ∈ L ist.
67
Das dotcup ist
groß
B EWEIS :
(1)⇒(2) Sei die erste Aussage erfüllt und L := { g∆ | g ∈ G }Sund δ ∈ ∆. Für ein ω ∈ Ω
existiert dann ein g ∈ G mit ω = gδ ∈ g∆. Also ist Ω = Λ∈L Λ. Sind g, h ∈ G mit
Tg
T
−1
−1
g∆
∆ 6= ∅, so ist ∅ =
6 h (g∆ h∆) = h g∆ ∩ ∆. Nach der Voraussetzung ist der
Durchschnitt gleich der gesamten Menge ∆ und die Zerlegung ist somit disjunkt.
Für g ∈ G ist g∆ ( Ω, |g∆| > 1 und h(g∆) = hg∆ ∈ L für h ∈ G.
(2)⇒(1) Wähle ∆ ∈ L beliebig.
Bemerkung 11.5
In der obigen Situation operiert G auch transitiv auf der Menge L. Sind nämlich Λ, ∆ ∈ L,
dann wähle man zwei Elemente α ∈ Λ, β ∈ ∆ und g ∈ G mit gα = β. Dann ist gΛ ∩ ∆ 6= ∅,
also ist gΛ = ∆. Für Λ ∈ L ist |L| = |G : StbG (Λ)| und |Ω| = |Λ| · |L| = |Λ| · |G : StbG (Λ)|.
Für λ ∈ Λ ist ferner StbG (λ) ⊆ StbG (Λ). Denn xλ = λ ⇒ xΛ ∩ Λ 6= ∅ ⇒ xΛ = Λ.
Definition 11.7
Sind (1) und (2) erfüllt, dann heißt die Operation imprimitiv, sonst primitiv.
Beispiel 11.4
Ist |Ω| ∈ P, dann ist jede transitive Operation auf Ω primitiv. Denn die Bedingungen oben
widersprechen sich.
Satz 11.10
Für jede Gruppe G und jede transitive G-Menge Ω mit mehr als zwei Elementen sind
äquivalent:
(1) Ω ist primitiv.
(2) StbG (ω) ist für jedes ω ∈ Ω eine maximale Untergruppe von G.
(3) StbG (ω) ist für ein ω ∈ Ω eine maximale Untergruppe von G.
(1)⇒(2) Sei (1) erfüllt und ω ∈ Ω beliebig. Nach dem Satz 11.5 ist G/ StbG (ω) → Ω
mit g StbG (ω) 7→ gω bijektiv. Insbesondere haben wir: |G : StbG (ω)| = |Ω| >
2, d. h. ist G 6= StbG (ω). Wir nehmen an, dass ein H mit StbG (ω) < H < G
existiert. Dann ist analog H/ StbG (ω) → ∆ := OrbH (ω), h StbG (ω) 7→ hω bijektiv.
Insbesondere ist |∆| = |H : StbG (ω)| 6= 1. Wegen H 6= G ist auch ∆ ( Ω. Sei g ∈ G
0
mit g∆ ∩ ∆ 6= ∅. Dann existieren zwei Elemente h, h 0 ∈ H mit hω = gh ω, also
h−1 gh 0 ∈ StbG (ω) ⊆ H und damit g ∈ H. Folglich ist g∆ = ∆. Insgesamt zeigt dies,
dass G imprimitiv auf der Menge Ω ist. zur Annahme.
(2)⇒(3) ist trivial.
(3)⇒(1) Sei (3) erfüllt. Wir nehmen an: Ω imprimitiv. Dann existiert eine Zerlegung Ω =
∪· Λ∈L Λ wie in obigen Satz. Sei Λ ∈ L mit ω ∈ Λ. Dann StbG (ω) 6 StbG (Λ) 6 G.
Ferner sind die Abbildungen G/ StbG (ω) → Ω, g StbG (ω) 7→ gω; G/ StbG (Λ) →
Λ, g StbG (Λ) 7→ gΛ bijektiv. Insbesondere |G StbG (Λ)| = |L| 6= 1, d. h. G 6= StbG (Λ).
Wegen (3) folgt, StbG (Λ) = StbG (ω). Sei λ ∈ Λ \ {ω}. Dann existiert ein g ∈ G mit
gω = λ, d. h. g ∈
/ StbG (ω) = StbG (Λ). Also λ = gω ∈ gΛ 6= Λ. 68
Satz 11.11
Seien G eine Gruppe, N G und Ω eine primitive G-Menge. Dann operiert N transitiv
oder trivial auf Ω.
B EWEIS :
Sei N intransitiv auf Ω und ∆ eine Bahn von N auf Ω, also ∆ ( Ω. Für g ∈ G ist dann
g∆ eine Bahn von gN−1 g=N, also g∆ = ∆ oder g∆ ∩ ∆ = ∅. Aus der Primitivität folgt also
|∆| = 1. Daher operiert N trivial auf Ω.
Satz 11.12
Jede zweitransitive Operation einer Gruppe G auf eine Menge Ω ist primitiv.
B EWEIS :
Wir nehmen an, dass eine Teilmenge ∆ ( Ω existiert derart, dass |∆| > 1 und für
g ∈ G entweder g∆ = ∆ oder g∆ ∩ ∆ = ∅ gilt. Wähle paarweise verschiedene Elemente
α, β ∈ ∆, γ ∈ Ω \ ∆. Nach Voraussetzung existiert eine g ∈ G mit gα = α, gβ = γ. Dann
ist g∆ ∩ ∆ 6= ∅ und g∆ 6= ∆. 69
12. Sylowgruppen
Bemerkung 12.1
Jede Gruppe G operiert auf sich selbst
durch
Konjugation: gx = gxg−1 für alle g, x ∈ G.
Dabei heißt OrbG (x) = gxg−1 g ∈ G Konjugationsklasse von x in G. Liegen zwei
Elemente x, y ∈ G in der gleichen Konjugationsklasse, d. h. existiert ein g ∈ G mit
y = gxg−1 , dann heißen x und y konjugiert in G. Wir schreiben
x ∼g y
hierfür
−1
oder x ∼ y. Für x ∈ G heißt der Stabilisator StbG (x) = g ∈ G gxg = x =
{ g ∈ G | gx = xg } = : CG (x) der Zentralisator von x in G. Nach dem Satz 11.5 enthält
die Konjugationsklasse von x in G genau |G : CG (x)| Elemente. Ist R ein Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen, so erhält die Bahnengleichung die Form:
X
(12.1)
|G| =
|G : CG (x)|
x∈R
Die wird auch als Klassengleichung bezeichnet.
Die Anzahl aller Klassen |R| heißt manchmal Klassenzahl von G. Dies muss kein Teiler
der Gruppenordnung sein. Die Konjugationsklasse von einem Element x in G ist genau
dann einelementig, wenn |G : CG (x)| = 1 gilt, d. h. G = CG (x). Dies ist äquivalent zu
x ∈ Z(G).
Satz 12.1 (Satz von L ANDAU)
k−1
Für jede endliche Gruppe G mit Klassenzahl k gilt: |G| 6 k2 .
B EWEIS :
Seien x1 , x2 , . . . , xk = 1 Repräsentanten für die Konjugationsklassen, ni := |C(G) (xi )|
für i = 1, . . . , k. Œ gilt n1 6 n2 6 · · · 6 nk = |G|. Wegen Gleichung 12.1 ist: nk1 >
1
1
1
1
k
1
1
1
1
n1 + n2 + · · · + nk = 1, d. h. n1 6 k. Daher: n2 6 n2 + · · · + nk = 1 − n1 > n1 > k , d. h.
n2 6 k2 . Daher: nk3 > n13 + · · · + n1k = 1 − n11 − n12 > n11n2 > k13 , d. h. n3 6 k4 . Weiter
folgt, dass n4 6 k8 . Induktiv erhält man ni 6 k2
i−1
k−1
, insbesondere gilt |G| = nk 6 k2
.
Beispiel 12.1
Sei k = 1. Dann ist |G| = 1. Für k = 2 ist n11 + n12 = 1 und es gibt nur die Lösung
n1 = n2 = 2. Also ist |G| = 2. Schließlich betrachten wir k = 3. Aus n11 + n12 + n13 = 1
folgt n1 ∈ {2, 3}.
1. Fall Sei n1 = 2. Dann ist n12 + n13 = 21 und n2 ist entweder 3 oder 4. Für n2 = 3 folgt
n3 = 6, d. h. |G| = 6 und für n2 = 4 ist n3 = 4. Hierzu passt keine Gruppe. Denn
Gruppen der Ordnung 4 sind kommutativ.
70
2. Fall Sei n1 = 3. Dann ist
1
n2
+
1
n3
=
2
3
und n2 = 3 = n3 . Also |G| = 3.
Definition 12.1
Sei p ∈ P. Eine endliche Gruppe, deren Ordnung eine p-Potenz ist, heißt Primgruppe oder
p-Gruppe. Ein Gruppenelement, dessen Ordnung eine p-Potenz ist, heißt p-Element.
Satz 12.2
Für p ∈ P ist jede endliche p-Gruppe nilpotent.
B EWEIS :
Sei |G| = pn und Œ |G| 6= 1. In der Klassengleichung (Gleichung 12.1) pn = |G| =
|G : CG (x1 )| + · · · + |G : CG (xk )| ist jeder Summand eine p-Potenz. Wegen G = CG (1)
ist mindestens ein Summand gleich 1. Daher existiert mindestens ein xi 6= 1 mit der
Eigenschaft |G : CG (xi )| = 1, d. h. 1 6= xi ∈ Z(G). Also Z(G) 6= 1.
Im Fall Z(G) = G ist G abelsch und damit nilpotent. Sei nun Z(G) 6= G. Dann ist
G/Z(G) 6= 1 eine p-Gruppe. Daher ist analog 1 6= Z(G/Z(G)) = Z2 (G)/Z(G). Im Fall
Z2 (G) = G ist G nilpotent. Andernfalls ist G/Z3 (G) 6= 1 eine p-Gruppe. So fährt man fort
und erhält 1 < Z(G) < Z2 (G) < Z3 (G) < · · · . Wegen |G| < ∞ bricht das Verfahren ab. Satz 12.3
Für jede Primzahl p und jede endliche p-Gruppe gilt:
(i) |G : Z(G)| 6= p
(ii) Aus |G| = p2 folgt, dass G abelsch ist.
B EWEIS :
(i) Annahme: |G : Z(G)| = p. Dann ist G/Z(G) zyklisch. Nach einer der Übungsaufgaben ist G abelsch, d. h. G/Z(G) = 1.
(ii) Sei |G| = p2 . Nach Satz 12.2 ist Z(G) 6= 1. Nach dem ersten Teil des Satzes ist
|Z(G)| 6= 1. Daher |Z(G)| =2 , d. h. G abelsch.
Bemerkung 12.2 (Konjugation(sklasse), Normalisator)
gX :=
Jede Gruppe
G operiert
auf
P(G) (Potenzmenge von G) durch
Konjugation:
gXg−1 = gxg−1 x ∈ X . Dabei heißt die Bahn OrbG (X) = gXg−1 g ∈ G Konjugationsklasse von X in G. Liegen zwei Teilmengen X, Y ∈ P(G) in der gleichen
Konjugationsklasse, d. h. existiert ein g ∈ G mit Y = gXg−1 , so heißen die X, Y in G
konjugiert. Dies
wird ebenso als X ∼g Y oder X ∼ Y geschrieben. Für ein X ∈ P(G)
ist StbG (X) = g ∈ G gXg−1 = X = { g ∈ G | gX = Xg } = NG (X) der Normalisator.
Die Konjugationsklasse von X enthält genau |G : NG (X)| Elemente.
Definition 12.2 (p-Sylowgruppe)
Seien G eine endliche Gruppe, p eine Primzahl und |G| = pa m mit p - m ∈ N. Dann
heißen die Untergruppen der Ordnung pa von G die p-Sylowgruppen von G. Die Menge
aller p-Sylowgruppen von G sei Sylp (G).
71
12. Sylowgruppen
Satz 12.4 (Satz von S YLOW)
Seien G eine endliche Gruppe, p eine Primzahl und |G| = n = pa m mit p - m ∈ N. Dann
gilt:
(i) Für n ∈ N0 mit b 6 a enthält G garantiert eine Untergruppe der Ordnung pb .
Genauer gilt für die Anzahl ZG (pb ) dieser Untergruppen:
ZG (pb ) ≡ 1
(mod p)
Das heißt, p | ZG (pb ) − 1.
(ii) Jede Untergruppe U der Ordnung pb von G ist in einer p-Sylowgruppe von G
enthalten.
(iii) Je zwei p-Sylowgruppen von G sind in G konjugiert. Insbesondere gilt für P ∈
Sylp (G):
|G : NG (P)| = |Sylp (G)| = ZG (pa ) ≡ 1 (mod p)
Ist das P richtig?
B EWEIS :
(i) Die Gruppe G operiert auf Ω := M ∈ P(G) |M| = pb durch gM = gM für
g ∈ G, M ∈ Ω. Sei R ein Repräsentantensystem für die Bahnen. Dann hat man die
Bahnengleichung:
X
n
=
|Ω|
=
|G : StbG (M)|
pb
M∈R
Dabei ist jeweils StbG (M) = { g ∈ G | gM = M }, also StbG (M)M = M. Für jedes
x ∈ M ist also StbG (M)x ∈ M, d. h. M ist die Vereinigung von Rechtsnebenklassen
nach StbG (M). Insbesondere ist |StbG (M)| | |M| = pb . Im Fall |StbG (M)| = pb ist
M eine einzige Rechtsnebenklasse StbG (M)x und OrbG (M) enthält auch x−1 M =
x−1 StbG (M)x 6 G. Umgekehrt hat eine Bahn, die eine Untergruppe U enthält, die
Form { gU | g ∈ G } = G/U. Insbesondere ist U die einzige Untergruppe in dieser
Bahn und |OrbG (U)| = |G : U| = pa−b m.
Als Fazit lässt sich feststellen, dass Bahnen, die keine Untergruppen enthalten,
haben eine durch pa−b+1 m teilbare Länge. Bahnen, die eine Untergruppe enthalten,
haben die Länge pa−b m und enthalten genau eine Untergruppe. Also:
n
(12.2)
= |Ω| (mod pa−n+1 m)
pb
≡ ZG (pb ) · pa−b m
Sei H eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Dann gilt analog:
n
(12.3)
= ZH (pb )pa−b (mod pa−b+1 )
pb
72
nfügen
Bekanntlich enthält H genau eine Untergruppe der Ordnung pb (siehe Übungsaufgabe), d. h. ZH (pb ) = 1. Aus den obigen Gleichungen (Gleichung 12.2, Gleichung 12.3) folgt, ZG (pb )pa−b m = pa−b m (mod pa−b+1 m), d. h. ZG (pb ) ≡ 1
(mod p). Insbesondere ist ZG (pb ) 6= 0.
(ii) Sei P ∈ Sylp (G) und R ein Repräsentantensystem für U\G/P. Dann ist G =
P
a+1 - |G| existiert ein x ∈ G mit
∪· x∈R UxP, d. h. |G| =
x∈R |UxP|. Wegen p
pa+1 - |UxP| = |U : U ∩ xPx−1 | · |P|. Der erste Ausdruck ist eine Potenz von P und
|P| = pa . Also |U : U ∩ xPx−1 | = 1, d. h. U = U ∩ xPx−1 ⊆ xPx−1 ∈ Sylp (G).
(iii) Ist U ∈ Sylp (G), so folgt weiter U = xPx−1 . Außerdem operiert G durch Konjugation auf Sylp (G) mit gP = gPg−1 für g ∈ G, P ∈ Sylp (G). Nach der ersten Aussage
ist die Operation transitiv. Also |Sylp (G)| = |G : StbG (P)| = |G : NG (P)|.
Beispiel 12.2
Sei p eine Primzahl, q eine Potenz von p, K ein Körper mit |K| = q, n ∈ N und G :=
GL(n, K). Dann gilt, |G| = (qn − 1)(qn − q) · . . . · (qn − qn−1 ) = q1+2+···+(n−1) (qn −
n
1)(qn−1 − 1) · . . . · (q − 1) = q( 2 ) (qn − 1)(qn−1 − 1) · . . . · (q − 1). Daher hat jede
n
p-Sylowgruppe von G die Ordnung q( 2 ) . Andererseits ist die Menge aller Matrizen der
Form


1
∗


..


.


0
1
n
eine Untergruppe P 6 G mit |P| = qq2 · . . . · qn−1 = q( 2 ) , d. h. P ∈ Sylp (G). Mann kann
sich überlegen, dass NG (P) aus allen Matrizen der folgenden Form besteht:

∗
x
..



0




.
x
n
Insbesondere ist |NG (P)| = q( 2 ) (q − 1)n . Daher gilt, |Sylp (G)| = |G : NG (P)| = (qn−1 +
· · · + q + 1)(qn−2 + · · · + q + 1) · . . . · (q + 1) ≡ 1 (mod q).
Offenbar ist auch die Menge Q aller Matrizen der folgenden Form eine p-Sylowgruppe
von G:


1
0


..


.


*
1
73
Großes dotcup
12. Sylowgruppen
Bekanntlich gilt:
−1
 

0
1
0
1


..
..
.. 
.. 

 

.
.
.
.

P
Q=




. ..
. ..
.
.




.
.
.
.
1
0
1
0
Satz 12.5 (Satz von C AUCHY)
Seien G eine endliche Gruppe und p ∈ P mit p | |G|. Dann enthält G ein Element der
Ordnung p.
B EWEIS :
Nach Satz 12.4 enthält G eine Untergruppe U der Ordnung p und U enthält p−1 Elemente
der Ordnung p.
Satz 12.6 (Argument von F RATTINI)
Seien p ∈ P, G eine endliche Gruppe, K G und Q ∈ Sylp (K). Dann ist G = K · NG (Q).
B EWEIS :
Die Gruppe G operiert auf Sylp (K) durch Konjugation. Nach dem Satz von S YLOW
(Satz 12.4) operiert K transitiv auf Sylp (K). Aus dem Satz 11.6 folgt also, G = K ·
StbG (Q) = K · NG (Q).
Satz 12.7
Für p ∈ P, jede endliche Gruppe G und P ∈ Sylp (G) gilt:
(i) N G ⇒ P ∩ N ∈ Sylp (N) und PN/N ∈ Sylp (G/N)
(ii) NG (P) 6 H 6 G ⇒ NG (H) = H. Insbesondere ist NG (NG (P)) = NG (P).
(i) Wegen |P ∩ N| | |P| ist |P ∩ N| eine p-Potenz und wegen |N : P ∩ N| = |NP : P| | |G : P|
ist p - |N : P ∩ N|. Somit haben wir P ∩ N ∈ Sylp (N). Wegen |PN/N| = |P/P ∩ N| | |P|
ist |PN/N| ebenfalls eine p-Potenz. Wegen |G/N : PN/N| = |G : PN| | |G : P| ist
p - |G/N : PN/N| und daher PN/N ∈ Sylp (G/N).
(ii) Wegen P 6 NG (P) 6 H NG (H) 6 G und P ∈ Sylp (NG (H)) folgt aus dem
Satz 12.6:
NG (H) = H · NNG (P) 6 HNG (P) ⊆ H ⊆ NG (H)
Satz 12.8
an
1
Sei G eine endliche Gruppe. Die Primfaktorzerlegung von n := |G| sei n := pa
1 · . . . · pn .
Für i = 1, . . . , r sei Pi ∈ Sylpi (G). Dann sind äquivalent:
(1) Die Gruppe G ist nilpotent.
(2) Pi G für i = 1, . . . , r.
(3) G = P1 ⊕ . . . ⊕ Pr .
74
B EWEIS :
(1)⇒(2) Sei G nilpotent und i ∈ {1, . . . , r}. Nach dem Satz 12.7 ist NG (NG (Pi )) =
NG (Pi ). Aus Satz 10.5 folgt, NG (Pi ) = G, d. h. Pi G.
(2)⇒(3) Wegen Satz 7.2
(3)⇒(1) Nach dem Satz 12.2 ist jedes Pi nilpotent, also auch G nach dem Satz 10.7.
Satz 12.9
Für p, q, r ∈ P und jede endliche Gruppe G gilt:
(i) Sei |G| = pa q für ein a ∈ N0 . Dann ist G auflösbar.
(ii) Sei |G| = p2 q2 . Dann ist G auflösbar.
(iii) Sei |G| = pqr. Dann ist G auflösbar.
B EWEIS :
(i) Sei G ein Gegenbeispiel minimaler Ordnung. Es existiert ein Normalteiler 1 6= N 6=
G, so erfüllen N und G/N die Voraussetzungen von (i) oder von Satz 12.2. Also
sind sie nach der Wahl von G auflösbar. Dann ist aber auch G auflösbar.
Daher ist G einfach und p 6= q nach dem Satz 12.2. Für P ∈ Sylp (G) ist |G : NG (P)| |
q.
Im Fall |G : NG (P)| = 1 wäre P G. Dies stellt einen Widerspruch zur Einfachheit
von G dar. Also ist q = |G : NG (P)| = |Sylp (G)|. Ist P1 ∩ P2 = 1 für je zwei
verschiedene P1 , P2 ∈ Sylp (G), so enthalten die p-Sylowgruppen von G insgesamt
q(pa − 1) = |G| − q Elemente ungleich 1. Daher ist nur noch Platz für eine einzige
p-Sylowgruppen Q. Also ist Q G zur Einfachheit.
Also existieren verschiedene P1 , P2 ∈ Sylp (G) mit D := P1 ∩ P2 6= 1. Wir wählen
P1 und P2 so, dass D möglichst groß wird. Für i = 1, 2 ist Pi nach dem Satz 12.2
nilpotent, also D < NPi (D) = : Qi 6 Pi nach dem Satz 10.5. Daher ist D hQ1 , Q2 i = : H. Ist |H| eine p-Potenz, so existiert ein P3 ∈ Sylp (G) mit H ⊆ P3 .
Damit Pi ∩ P3 > Qi > D = P1 ∩ P2 . Nach der Wahl von P1 und P3 ist dann Pi = P3 .
Somit hat man den Widerspruch P1 = P2 . Also ist |H| keine p-Potenz, d. h. |H| = pb q
für ein b ∈ N0 .
Folglich ist pa = |P1 | | |P1 H| und q | |H| | |P1 H|, d. h. G = P1 H. Zu jedem g ∈ G
existiert also ein h ∈ H, x ∈ P1 mit g = xh. Dann ist gDg−1 = xhDh−1 x−1 =
xDx−1 6 P1 , denn die letzte Gleichheit ergibt sich aus H 6 NG (D). Also ist
1 6= K := hgDg−1 : g ∈ Gi G und K 6 P1 im Widerspruch zur Einfachheit von G.
(ii) Œ sei p > q. Existiert ein Normalteiler 1 6= N 6= G, dann sind N, G/N nach
dem ersten Teil auflösbar. Also ist auch G auflösbar. Daher sei G einfach. Für
P ∈ Sylp (G) ist |Sylp (G)| = |G : NG (P)| ≡ 1 (mod p) und |G : NG (P)| | q2 . Die
Fälle |G : NG (P)| ∈ {1, q} sind unmöglich. Daher ist |G : NG (P)| = q2 . Ist P1 ∩ P2 = 1
für je zwei verschiedene P1 , P2 ∈ Sylp (G), so folgt aus der Übungsaufgabe 42:
75
6 oder ⊆
12. Sylowgruppen
q2 = |Sylp (G)| ≡ 1 (mod p2 ). Somit existieren P1 , P2 ∈ Sylp (G) mit 1 < D :
= P1 ∩ P2 < P1 . Für i = 1, 2 ist |Pi | = p2 , d. h. Pi ist nach Satz 12.3 abelsch.
Insbesondere ist D Pi und Pi < NG (D) < G. Somit muss |NG (D)| = p2 q gelten.
Nach der Aufgabe 38 ist NG (D) G. da G einfach.
(iii) Œ sei p > q > r, sonst kommen die obigen Fälle ins Spiel und weiter sei G einfach.
Für P ∈ Sylp (G) ist dann |Sylp (G)| = |G : NG (P)| ≡ 1 (mod p) und |G : NG (P)| | qr,
also |Sylp (G)| = qr. Analog haben wir |Sylq (G)| > p, |Sylr (G)| > q. Da sich je zwei
Sylowgruppen trivial schneiden, enthält G genau (p−1)qr Elemente der Ordnung p,
mindestens p(q−1) Elemente der Ordnung q und mindestens q(r−1) Elemente der
Ordnung r. Also pqr = |G| > 1+qr(p−1)+p(q−1)+q(r−1) = pqr+(p−1)(q−1)
Beispiel 12.3
Es folgt aus den Überlegungen leicht, dass Gruppen der Ordnungen 1 bis 59 auflösbar. Es
ist 60 die kleinste Ordnung einer nichtauflösbaren Gruppe.
76
Bemerkung 13.1
Sei n ∈ N. Elemente in der symmetrischen Gruppe des Grades n schreibt man in der Form
1
2
...
n
g=
. Existieren paarweise verschiedene x1 , . . . , xk ∈ {1, . . . , n}
g(1) g(2) . . . g(n)
mit g(x1 ) = x2 , g(x2 ) = x3 , . . . , g(xk−1 ) = xk , g(xk ) = 1 und g(y) = y, so heißt g ein
k-Zyklus oder Zyklus der Länge k. Man schreibt g = (x1 , . . . , xk ) = (x2 , . . . , xk , x1 ) =
(xk , x1 , . . . , xk−1 ).
Zyklen (x1 , . . . , xk ), (y1 , . . . , yl ) mit {x1 , . . . , xk } ∩ {y1 , . . . , yl } = ∅ heißen disjunkt. Gegebenenfalls sind sie vertauschbar. Offenbar kann man jede Permutation a ∈ Sym(n) als
Produkt disjunkter Zyklen schreiben:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
8 4 9 5 2 6 3 1 10 7 12 11
= (1, 8)(2, 4, 5)(3, 9, 10, 7)(6)(11, 12)
Dabei liefern die auftretenden Zyklen die Bahnen von der zyklischen Gruppe, die von
a erzeugt wird (hai) auf {1, . . . , n}. Bis auf die Reihenfolge der Zyklen und Zyklen der
Länge 1 ist die Zyklenschreibweise eindeutig. Wir ordnen in der Regel die auftretenden
Zyklenlängen k1 , . . . , kl der Größe nach. Dann gilt: k1 + · · · + kl = n und (k1 , . . . , kl )
heißt Typ von a. Offenbar ist |hai| = kgV(k1 , . . . , kl ).
Satz 13.1
Zwei Elemente in Sym(n) sind genau dann konjugiert, wenn sie den gleichen Typ haben.
B EWEIS :
Zunächst betrachten wir die Richtung von links nach rechts („⇒“). Dazu sei a ∈ Sym(n)
mit der Zyklenschreibweise a = (x1 , . . . , xk )(y1 , . . . , yl ) . . . und für g ∈ Sym(n) ist
dann gag−1 = (g(x1 ), g(x2 ), . . . , g(xk )) · (g(y1 ), . . . , g(yl )). Denn beispielsweise ist
(gag−1 )(g(x1 )) = (ga)(x1 ) = g(x2 ).
Die Rückrichtung erhalten wir durch a, a 0 ∈ Sym(n) mit Zyklenschreibweise: a =
(x1 , . . . , xk )(y1 , . . . , yl ) . . . und a 0 =(x10 , . . . , xk0 )(y10 , . . . , yl0 ) . . . . Dann ist gag−1 = a 0
x1 . . . xk y1 . . . yl . . .
mit
.
x10 . . . xk0 y10 . . . yl0 . . .
Definition 13.1 (Partition)
Sei n eine natürliche Zahl. Eine Partition von n ist eine endliche Folge (k1 , . . . , kl ) ∈ Nl
mit k1 > k2 > · · · > kl und k1 + · · · + kl = n.
77
Bemerkung 13.2
Der Satz 13.1 liefert eine Bijektion zwischen der Menge der Konjugationsklassen von
Sym(n) und der Menge der Partitionen von n.
Beispiel 13.1
5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1. Daher hat
Sym(5) die Klassenzahl 7.
Satz 13.2
Sei k1 , . . . , kl eine Partition von n und mi := |{ j | kj = i }| für i = 1, . . . , n. Unter den Zahlen k1 , . . . , kl treten also m1 Einsen, m2 Zweien usw. auf. Dann hat die Konjugationsklasse
der Elemente vom Typ (k1 , . . . , kl ) in Sym(n) die Länge:
m1
!1m1 m
2
n!
· . . . · mn !nmn
!2m2
B EWEIS :
Jedes Element vom Typ k1 , . . . , kl hat die Form: m1 Einszyklen, m2 Zweizyklen usw. Es
gibt n! Möglichkeiten, die Zahlen 1, . . . , n auf die Positionen zu verteilen. Dabei liefern
jeweils m1 !1m1 m2 !2m2 . . . Verteilungen die gleiche Permutation.
Bemerkung 13.3
Offenbar wird Sym(n) von allen Zyklen erzeugt. Die Gruppe Sym(n) wird wegen der
Beziehung (x1 , . . . , xk ) = (x1 , xk )(x1 , xk−1 ) . . . (x1 , x2 ) von den 2-Zyklen (oder Transpositionen) erzeugt. Wegen (i, j) = (1, i)(1, j)(1, i) genügen sogar die Transpositionen
(1, 2), (1, 3), . . . , (1, n). Wegen (1, i) = (i − 1, i) . . . (2, 3)(1, 2)(2, 3) . . . (i − 1, i) genügen
analog auch die so genannten Basistranspositionen (1, 2), (2, 3), . . . , (n − 1, n). Wegen
(i, i + 1) = (1, 2, . . . , n)(i − 1, i)(1, 2, . . . , n)−1 gilt auch Sym(n) = h(1, 2), (1, 2, . . . , n)i.
Definition 13.2 (Inversion)
Sei g ∈ Sym(n). Dann heißt ein Paar (i, j) ∈ N × N mit 1 6 i < j 6 n und g(i) > g(j)
Inversion oder Fehlstand von g. Die Anzahl l(g) aller Inversionen von g heißt Länge
von g.
Satz 13.3
Jedes g ∈ Sym(n) kann man als Produkt von l(g) Basistranspositionen, aber nicht als
Produkt von weniger als l(g) Basistranspositionen schreiben.
B EWEIS :
1 2 3 4
Wir geben hier nur ein Beispiel an: Sei g =
⇒ l(g) = 2. Es ist (1, 2)g =
2 3 1 4
1 2 3 4
1 2 3 4
⇒ l((1, 2)g) = 1. Für (2, 3)(1, 2)g =
= 1 ⇒ g =
1 3 2 4
1 2 3 4
(1, 2)(2, 3).
Allgemein erhöht/erniedrigt sich die Multiplikation mit einer Basistransposition die
Anzahl der Inversionen um 1.
78
Definition 13.3 (Vorzeichen) Q
Für g ∈ Sym(n) heißt sgn g := 16i<j6n
g(j)−g(i)
j−i
das Vorzeichen von g.
Bemerkung 13.4
Offenbar kommen in Zähler und Nenner bis auf das Vorzeichen die gleichen Zahlen vor.
Daher ist sgn g = (−1)l(g) ∈ {−1, 1}
Satz 13.4
sgn : Sym(n) → {1, −1} ist ein Homomorphismus.
B EWEIS :
Für g ∈ Sym(n) und i = 1, . . . , n − 1 ist l((i, i + 1)g) = l(g) ± 1. Also ist sgn((i, i +
1)g) = (−1)l(g)±1 = −(−1)l(g) = sgn(i, i + 1) sgn(g). Für beliebige Basistranspositionen
b1 , . . . , bk und f := b1 · . . . · bk gilt also sgn(fg) = sgn(b1 · . . . · bk g) = sgn(b1 · . . . ·
bk ) sgn(g) = · · · = sgn(b1 ) . . . sgn(bk ) sgn(g) = sgn(f) sgn(g).
Beispiel 13.2
Für g, h ∈ Sym(n) ist sgn(ghg−1 ) = sgn(g) sgn(h) sgn(g−1 ) = sgn(h). Daher haben
konjugierte Permutationen das gleiche Vorzeichen. Insbesondere hat jede Transposition
das Vorzeichen −1.
Bemerkung 13.5
Für n ∈ N heißt Alt(n) := ker(sgn : Sym(n) → {−1, 1}) alternierende Gruppe des Grade
n. Dann ist Alt(n)Sym(n), |Sym(n) : Alt(n)| = 2 für n > 2 nach dem Homomorphiesatz.
Jedes Element in Alt(n) ist Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen. Dabei ist
(i, j)(j, k) = (i, j, k) und (i, j)(k, l) = (i, l, k)(i, j, k) für paarweise verschiedene i, j, k, l ∈
{1, . . . , n}. Daher wird Alt(j) von allen Dreizyklen erzeugt.
Satz 13.5
Für x ∈ Alt(n) ⇒ A ist die Konjugationsklasse von x in S := Sym(n) entweder eine
Konjugationsklasse in A oder die Vereinigung von zwei gleich großen Konjugationsklassen
von A. Der letzte Fall liegt dann vor, wenn CS (x) ⊆ A.
B EWEIS :
·
Für y = (1, 2) gilt: S = A∪Ay.
Jedes zu x in S konjugierte Element ist also in A zu x oder
zu yxy−1 konjugiert. Wegen CA (yxy−1 ) = yCA (x)y−1 haben die Konjugationsklassen
von x und yxy−1 in A die gleiche Länge und zwar |A : CA (x)| = |A : A ∩ CS (x)| =
|ACS (x) : CS (x)|. Es ergibt sich für CS (x) * A der Index |S : CS (x)| oder |S : CS (x)|/2 in
allen sonstigen Fällen.
Beispiel 13.3
Sei n = 5. Dann enthält A Elemente der Typen (1, 1, 1, 1, 1), (2, 2, 1), (3, 1, 1), (5). Wegen
(1, 2) ∈ CS ((12)(34)) \ A stimmen die Konjugationsklassen von (1, 2)(3, 4) in S und A
5!
120
überein. Sie enthalten also 2!2
2 = 8 = 15 Elemente.
Wegen (4, 5) ∈ CS ((123)) \ A stimmen die Konjugationsklassen von (1, 2, 3) in S und A
überein und enthalten 2!125!1!31 = 20 Elemente.
79
5!
Die Konjugationsklasse von (1, 2, 3, 4, 5) in S enthält 1!5
1 = 24 Elemente. Daher ist
|CS ((1, 2, 3, 4, 5))| = 5 und CS ((1, 2, 3, 4, 5)) = h(1, 2, 3, 4, 5)i ⊆ A. Also zerfällt die
Konjugationsklasse von (1, 2, 3, 4, 5) in S in zwei Konjugationsklassen der Länge 12 in A.
Zur Probe: 1 + 15 + 20 + 12 + 12 = 60 Elemente.
Jeder Normalteiler 1 6= N A ist die Vereinigung von Konjugationsklassen von A. Daher
ist 13 6 N | 60, d. h. |N| ∈ {15, 20, 30, 60}. Keine der Elemente außer der 60 kann als
Summe der Zahlen 1, 12, 15, 20 dargestellt werden. Damit ist |N| = 60. Also ist Alt(5)
eine einfache Gruppe.
Bemerkung 13.6
Für n > 3 operiert Alt(n) mehrfach oder genauer (n − 2)-transitiv auf {1, . . . , n},
denn
für paarweise verschiedeneElemente
a1 , . . . , an ∈ {1, . . . , n} gehört entweder
1 2 ... n − 2 n − 1 n
1 2 ... n − 2 n − 1 n
oder
zu Alt(n).
a1 a2 . . . an−2 an−1 an
a1 a2 . . . an−2
an
an1
Natürlich operiert Sym(n) sogar n-transitiv auf {1, . . . , n}.
Satz 13.6
Für n > 5 ist Alt(n) immer einfach.
B EWEIS :
Der Beweis wird durch Induktion über n geführt. Für n = 5 wurde die Behauptung im
obigen Beispiel nachgerechnet. Daher nehmen wir n > 6 an. Da A := Alt(n) mindestens
4-transitiv operiert und damit nach Satz 11.12 primitiv auf Ω := {1, . . . , n} operiert,
operiert auch jeder Normalteiler 1 6= N A nach Satz 11.11 transitiv auf Ω. Daher A =
N·StbA (n) wegen des F RATTINI-Argument (Satz 11.6). Außerdem N∩StbA (n)StbA (n).
∼ Alt(n − 1) einfach ist, folgt: N ∩ StbA (n) ∈ {1, StbA (n)}.
Da StbA (n) =
Im Fall StbA (n) = StbA (n) ∩ N ⊆ N ist A = N · StbA (n) = N, d. h. wir sind fertig.
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Andernfalls sei N ∩ StbA (n) = 1. Dann operiert der Normalteiler N regulär auf Ω.
Insbesondere ist |N| = n. Für i = 1, . . . , n existiert genau ein Element xi ∈ N mit
xi (n) = i und die Abbildung Ω → N mit i 7→ xi ist bijektiv. Für g ∈ StbA (n) ist
gxi g−1 ∈ N mit (gxi g−1 )(n) = (gxi )(n) = g(i), also gxi g−1 = xg(i) . Daher operiert
StbA (n) auf N durch Konjugation genauso wie auf Ω und auf Ω \ {n} genauso wie auf
N \ {1}, nämlich (n − 3)-transitiv. Wegen n > 6 folgt aus der Aufgabe 41, dass n − 3 6 3,
d. h. n = 6. Dann ist einerseits n − 3 = 3 und andererseits n = |N| = 4. Beispiel 13.4
Wegen |Alt(3)| = 3 ist auch Alt(3) einfach. Dagegen ist Alt(4) nicht einfach. Denn
V4 = {(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} Alt(4). Genauer hat Alt(4) die folgenden Konjugationsklassen (1) mit Länge 1, (12)(34) mit Länge 3, (123) mit Länge 4 und (132) mit
Länge 4. Daher sind 1, V4 und Alt(4) die einzigen Normalteiler von Alt(4).
Satz 13.7
Es ist Sym(n) 0 = Alt(n) für n ∈ N.
80
B EWEIS :
Œ sei n > 3 und S := Sym(n), A := Alt(n). Wegen |S/A| = 2 ist S/A abelsch, insbesondere ist S 0 ⊆ A und damit S 0 A. Für n 6= 4 ist A einfach. Daher ist S 0 ∈ {1, A}.
Falls S 0 = 1 wäre S abelsch. Daher ist S 0 = A für n 6= 4.
Sei n = 4. Dann müssen wir nur noch die Möglichkeit, dass S 0 = V4 ausschließen. Dies
folgt aber wegen S 0 > Sym(3) 0 = Alt(3) und Alt(3) * V4 .
Satz 13.8
∼ Alt(5).
Sei G einfach, |G| = 60 ⇒ G =
B EWEIS :
Wir nehmen vorerst an, dass es eine Untergruppe H < G mit |G : H| = : n 6 4. Dann
induziert
T die G-Menge G/H einen Homomorphismus f : G → Sym(n) mit der Kern
K := g∈G gHg−1 6 H < G. Da G einfach, folgt K = 1, also ist f injektiv. Dies steht im
Widerspruch wegen |G| > |Sym(n)|.
Nun nehmen wir an |G : H| > 6 für alle H < G. Sei P ∈ Syl2 (G), also |P| = 4 und
P 6 NG (P) < G. Wegen |G : NP (G)| > 6 folgt NG (P) = P. Folglich ist die Anzahl der
2-Sylowgruppe von G: |Syl2 (G)| = |G : NG (P)| = 15 6≡ 1 (mod 4). Nach der Aufgabe
42existieren P, P∗ ∈ Syl2 (G) mit 1 < D := P ∩ P∗ < P. Also P < hP, P∗ i ⊆ NG (D) < G.
Widerspruch wegen |G : NG (D)| > 6.
Also enthält G eine Untergruppe H vom Index 5. DieTG-Menge G/H liefert einen
Homomorphismus f : G → Sym(5) mit ker f = : K = g∈G gHg−1 6 H < G. Somit folgt, dass K = 1. Nach dem Homomorphiesatz ist B := Bld(f) 6 Sym(5) und
|B| = 60. Weil |Sym(5) : B| = 2 ist B Sym(5) und Sym(5)/B ist abelsch. Daher enthält
∼ G.
B ⊇ Sym(5) 0 = Alt(5), d. h. Alt(5) = B =
81
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14. Hallgruppen
Es geht um Verallgemeinerungen des Satzes von S YLOW.
Definition 14.1
Sei π ⊆ P und π 0 := P \ π. Eine endliche Gruppe G heißt π-Gruppe, falls jeder Primteiler der Gruppenordnung in π liegt. Ein Gruppenelement g heißt π-Element, falls hgi
eine π-Gruppe ist. Eine π-Untergruppe H einer beliebigen endlichen Gruppe G heißt
π-H ALL-Gruppe von G, falls jeder Primteiler vom Index |G : H| zu π 0 gehört. Sei Hallπ (G)
die Menge aller π-Hallgruppen von G.
Bemerkung 14.1
(i) Für p ∈ P und π := {p} sind die π-Gruppen genau die p-Gruppen, die π-Elemente
genau die p-Elemente und die π-Hallgruppen genau die p-Sylowgruppen. Statt π 0
schreibt man dann auch p 0 .
(ii) Im Allgemeinen ist Hallπ (g) = ∅. Beispielsweise enthält die alternierende Gruppe
vom Grad 5 Alt(5) keine {2, 5}-Hallgruppe H. Denn wegen |Alt(5)| = 60 = 22 · 3 · 5
wäre die Ordnung von H = 20 und der Index 3. Dies würde einen nichttrivialen
Homomorphismus f : Alt(5) → Sym(3) liefern und das steht im Widerspruch zur
Einfachheit von Alt(5).
(iii) Im Allgemeinen sind nicht alle π-Hallgruppen einer endlichen Gruppe konjugiert,
z. B. existiert in der Gruppe GL(3, F2 ) der Ordnung (23 − 1)(23 − 2)(23 − 22 ) =
168 = 23 · 3 · 7 nichtkonjugierte Hallgruppen der Ordnung 24 (siehe Übung).
Satz 14.1
Seien G eine endliche Gruppe, π ⊆ P und H ∈ Hallπ (G). Dann gilt:
(i) N G ⇒ H ∩ N ∈ Hallπ (N) und HN/N ∈ Hallπ (G/N)
(ii) NG (NG (H)) = NG (H)
B EWEIS :
(i) Einerseits ist H ∩ N eine π-Gruppe wegen |H ∩ N| | |H| und wegen |N : H ∩ N| =
|NH : H| | |G : H| gehört jeder Primteiler vom Index |N : H ∩ N| zu π 0 . Also ist
H ∩ N ∈ Hallπ (N).
Wegen |HN/N| = |H/H ∩ N| | |H| ist HN/N eine π-Gruppe. Wegen |G/N : HN/N| =
|G : HN| | |G : H| gehört jeder Primteiler von |G/N : HN/N| zu π 0 . Daher ist HN/N
eine π-Hallgruppe von G/N.
82
(ii) Sicher ist H NG (H) H ∈ Hallπ (NG (H)). Für x ∈ NG (NG (H)) ist xHx−1 xNG (H)x−1 = NG (H). Wegen |H(xHx−1 ) : H| = |xHx−1 : xHx−1 ∩ H| | |xHx−1 | =
|H| und |H(xHx−1 ) : H| | |G : H| gehört jeder Primteiler von |H(xHx−1 ) : H| zu π ∩
π 0 = ∅. Daher muss der Index gleich 1 sein. Das heißt, H = H(xHx−1 ) > xHx−1 .
Wegen |H| = |xHx−1 | folgt, H = xHx−1 , d. h. x ∈ NG (H). Damit ist gezeigt,
NG (NG (H)) ⊆ NG (H) ⊆ NG (NG (H)).
Satz 14.2
Seien G eine endliche Gruppe, π ⊆ P und A ∈ Hallπ (G) normal und abelsch. Dann ist
Hallπ 0 (G) 6= ∅ und es gilt H1 ∼G H2 für alle H1 , H2 ∈ Hallπ 0 (G).
B EWEIS :
Der Beweis geht auf W IELANDT zurück. Die Nebenklassen nach dem Normalteiler A seien
von 1 bis n = |G : A| nummeriert. Für jedes Repräsentantensystem R für die Nebenklassen
G/A und i = 1, . . . , n sei ri ∈ R das Element in der i-ten Nebenklasse. Außerdem
sei R die
Qn
Menge aller Repräsentantensysteme. Für R, S ∈ R setzt man R ∼ S : ⇔ i=1 ri s−1
i = 1.
Es ist immer ri s−1
∈
A.
Da
A
abelsch
ist,
ist
die
Relation
ein
Äquivalenzrelation.
Die
i
Menge der Äquivalenzklassen [R] sei R/∼ . Es operiert G auf R durch Linksmultiplikation.
Für g ∈ G und R, S ∈ R mit R ∼ S gilt gR ∼ gS. Daher operiert G auf R/∼ durch
g[R] := [gR]. Insbesondere operiert A auf R/∼ . Wir behaupten, dass A regulär auf R/∼
operiert.
Q
−1
Zum Beweis der Regularität seien R, S ∈ R. Dann: n
= : a ∈ A. Wegen der
i=1 ri si
Eigenschaft, dass ggT(n, |A|) = 1 ist die Abbildung A → A mit bQ7→ bn injektiv, also auch
−1
bijektiv. Folglich existiert ein x ∈ A mit xn = a−1 . Daher ist n
= xn a = 1,
i=1 xri si
d. h. xR ∼ S. Also ist x[R] = [xR] = [S]. Dies zeigt, A ist transitiv auf R/∼ .
Seien R ∈ R und x ∈ A mit [R] = x[R] = [xR], d. h. xR ∼ R. Dann haben wir 1 =
Q
n
−1
n
i=1 xri ri = x . Also x = 1. Somit operiert A regulär auf R/∼ .
Insbesondere ist |R/∼ | = |A| und G operiert transitiv auf R/∼ . Für H := StbG ([R]) gilt
also: |A| = |R/∼ | = |G : H| und |H| = |G : A|. Daher ist H ∈ Hallπ 0 (G).
Sei K ∈ Hallπ 0 (G) beliebig. Dann ist |K| = |G : A| = n und K ∩ A = 1, denn eines ist eine
π-Gruppe und das andere ein π 0 -Gruppe. Dies bedeutet, |KA| = |K| · |A| = |G : A| · |A| = |G|.
Insbesondere ist K ∈ R. Da G transitiv auf der Menge R/∼ operiert, ist |G : StbG ([K])| =
|R/∼ | = |A| = |G : K|. Wegen K ⊆ StbG ([K]) folgt, K = StbG ([K]). Da G transitiv auf R/∼
operiert, sind H = StbG ([R]) und K StbG ([K]) in G konjugiert.
Satz 14.3 (Satz von S CHUR-Z ASSENHAUS)
Seien G eine endliche Gruppe, π ⊆ P und N ∈ Hallπ (G) normal. Dann ist Hallπ 0 (G) 6= ∅.
Ist N oder G/N auflösbar, so gilt, H1 ∼ H2 für H1 , H2 ∈ Hallπ 0 (G).
B EWEIS :
Zur Existenz: Man macht eine Induktion nach der Gruppenordnung. Œ sei N 6= 1.
Denn andernfalls ist G eine π 0 -Hallgruppe. Weiter sei π ∈ P mit p | |N| und P ∈
Sylp (N). Nach dem F RATTINI-Argument gilt dann G = N · NG (P), also |NG (P) : NG (P) ∩
83
14. Hallgruppen
N| = |NG (P)N/N| = |G : N|. Daher ist NG (P) ∩ N ∈ Hallπ (NG (P)) normal und jede
π-Hallgruppe von NG (P) ist auch eine von G. Daher sei Œ G = NG (P), d. h. P G.
Wegen p 6= 1 ist 1 6= Z(P) G und N/Z(P) ∈ Hallπ (G/Z(P)) normal. Nach Induktion
existiert eine Untergruppe U/Z(P) ∈ Hallπ 0 (G/Z(P)). Dann ist das Zentrum von P eine
normale und abelsche π-Hallgruppe von U. Nach Satz 14.2 existiert ein H ∈ Hallπ 0 (U).
Wegen |H| = |U : Z(P)| = |G/Z(P) : N/Z(P)| = |G : N| ist H ∈ Hallπ 0 (G).
Nun müssen wir uns Gedanken zur Eindeutigkeit machen. Hierzu führen wir eine Induktion über die Gruppenordnung durch. Seien H, H∗ ∈ Hallπ 0 (G). Insbesondere ist
|G| = |G : N| = |H∗ |. Nun sei Œ N 6= 1. Zunächst nehmen wir an, dass N auflösbar ist und
n ∈ N0 mit N(n) 6= 1 = N(n+1) ist. Dann ist N(n) G und N/N(n) ∈ Hallπ (G/N(n) )
normal. Ferner: HN(n) /N(n) , H∗ N(n) /N(n) ∈ Hallπ 0 (G/N(n) ). Nach Induktion existiert
ein gN(n) ∈ G/N(n) mit
H∗ N(n) /N(n) = (gN(n) )(HN(n) /N(n) )(gN(n) )−1 = (gHg−1 )N(n) /N(n)
Das heißt, H∗ N(n) = (gHg−1 )N(n) . Daher ist H∗ , gHg−1 ∈ Hallπ 0 (H∗ N(n) ). Nach dem
Satz 14.2 sind H∗ , gHg−1 in H∗ N(n) konjugiert und wir sind in diesem Fall fertig.
Sei nun also G/N auflösbar und Œ G/N 6= 1. Sei M/N ein minimaler Normalteiler von
G/N. Dann ist M/N charakteristisch einfach, also abelsche p-Gruppe für ein p ∈ π 0 .
Ferner: H ∩ M ∈ Hallπ 0 (M) und (H ∩ M)N/N ∈ Hallπ 0 (M/N). Da M/N eine π 0 -Gruppe
∼ H∩
ist, folgt, (H ∩ M)N/N = M/N und (H ∩ M)N = M. Insbesondere H ∩ M =
∼
M/H ∩ M ∩ N = (H ∩ M)N/N = M/N, d. h. H ∩ M ∈ Sylp (M) abelsch. Analog:
H∗ ∩ M ∈ Sylp (M). Nach dem Satz von S YLOW (Satz 12.4) existiert ein m ∈ M mit
H ∩ M = m(H∗ ∩ M)m−1 = mH∗ m−1 ∩ M. Daher ist H, H∗∗ := mH∗ m−1 ∈ Hallπ 0 (U)
für U := NG (H ∩ M). Außerdem haben wir |U : U ∩ N| = |UN/N| | |G : N|, d. h. U ∩ N ∈
Hallπ (U) normal. Im Fall U < G gilt nach Induktion: H ∼U H∗∗ und wir sind fertig.
Sei daher U = G, d. h. P := H ∩ M G. Dann NP/P ∈ Hallπ (G/P) normal und
H/P, H∗∗ /P ∈ Hallπ 0 (G/P). Nach Induktion ist H/P ∼G/P H∗∗ /P, also auch H ∼G H∗∗ .
Damit gilt auch H ∼G H∗ .
Bemerkung 14.2
Wegen ggT(|N|, |G/N|) = 1 hat N oder G/N ungerade Ordnung. Nach dem Satz von
F EIT-T HOMPSON ist N oder G/N auflösbar. Das heißt, die Auflösbarkeitsvoraussetzung ist
also in Wirklichkeit überflüssig. Der Beweis der Tatsache ohne Verwendung des Satzes
von F EIT-T HOMPSON ist bis heute unbekannt.
Satz 14.4 (Satz von H ALL)
Für jede auflösbare endliche Gruppe G und alle π ⊆ P gilt:
(i) G hat ein π-Hallgruppe.
(ii) Je zwei π-Hallgruppen von G sind konjugiert.
(iii) Jede π-Untergruppe von G ist in einer π-Hallgruppe von G enthalten.
84
B EWEIS :
Der Beweis wird wie schon in den obigen Aussagen per Induktion nach der Gruppenordnung durchgeführt. Œ sei G 6= 1 und N ein minimaler Normalteiler von G. Dann ist N
eine abelsche p-Gruppe für ein p ∈ P.
(i) Da G/N auflösbar ist, existiert nach Induktion ein H/N ∈ Hallπ (G/N). Im Fall
p ∈ π ist H ∈ Hallπ (G). Sei also p ∈
/ π. Dann: N ∈ Sylp (H) normal. Nach
dem Satz von S CHUR-Z ASSENHAUS (Satz 14.3) existiert ein K ∈ Hallπ 0 (N). Dann:
K ∈ Hallπ (H) und K ∈ Hallπ (G).
(ii) Hier ist gleich der Beweis der dritten Aussage mit eingeschlossen. Seien U eine π-Untergruppe von G und H ∈ Hallπ (G). Wir zeigen, dass ein g ∈ G mit
∼ U/U ∩ N eine π-Untergruppe von
U ⊆ gHg−1 existiert. Offenbar ist UN/N =
G/N und HN/N ∈ Hallπ (G/N). Nach Induktion existiert ein xN ∈ G/N mit
UN/N ⊆ (xN)(HN/N)(xN)−1 = (xHx−1 )N/N, d. h. U ⊆ UN ⊆ (xHx−1 )N. Offenbar ist U eine π-Untergruppe von (xHx−1 )N und xHx−1 ∈ Hallπ ((xHx−1 )N).
Im Fall (xHx−1 )N < G existiert also nach Induktion ein y ∈ (xHx−1 )N mit
U ⊆ yxHx−1 y−1 und wir sind fertig.
Sei also G = (xHx−1 )N = xHNx−1 , also auch G = HN. Im Fall p ∈ π ist G eine
π-Gruppe, also G = H und die Behauptung ist trivial. Daher sei p ∈ π 0 . Dann:
N ∈ Sylp (NU) normal und U ∈ Hallπ 0 (NU). Andererseits ist |NU ∩ H| = |NU||H|
|NUH| =
|N||U||H|
|G|
= |U|, d. h. NU∩H ∈ Hallπ 0 (NU). Nach dem Satz von S CHUR-Z ASSENHAUS
existiert ein g ∈ NU mit U = g(NU ∩ H)g−1 ⊆ gHg−1 .
(iii) Siehe Beweis zum oben stehenden Punkt.
Bemerkung 14.3
P. H ALL hat auch bewiesen, dass umgekehrt jede endliche Gruppe G mit Hallπ (G) 6= ∅
für alle π ⊆ P auflösbar ist. Der Beweis verwendet den pa qb -Satz von B URNSIDE.
Satz 14.5 (Satz von O. S CHMIDT)
Für jede endliche nichtnilpotente Gruppe G, in der jede echte Untergruppe nilpotent ist,
gilt:
(i) G ist auflösbar.
(ii) Es existieren p, q ∈ P derart, dass G eine {p, q}-Gruppe mit einer zyklischen
p-Sylowgruppe und einer normalen q-Sylowgruppe ist.
B EWEIS :
(i) Seien G ein Gegenbeispiel minimaler Ordnung und N ein minimaler Normalteiler von G. Dann ist jede echte Untergruppe von G/N nilpotent. Da G/N kein
Gegenbeispiel ist, ist G/N auflösbar. Im Fall N < G ist N nilpotent, also ist G
auflösbar.
Sei also N = G. Dann ist G einfach. Seien M1 , M2 verschiedene maximale Untergruppen von G derart, dass D := M1 ∩ M2 möglichst groß ist.
85
14. Hallgruppen
Ist D 6= 1, so folgt für i = 1, 2 aus der Nilpotenz von Mi und der Einfachheit von G:
D < NMi (D) 6 NG (D) < G. Daher existiert eine maximale Untergruppe M3 6 G
mit NG (D) ⊆ M3 . Dann ist D < NMi (D) 6 Mi ∩ M3 , also Mi = M3 nach der
Wahl von M1 und M2 . Daher sind M1 und M2 gleich. Das ist aber ein Widerspruch
zur Voraussetzung.
Folglich ist M ∩ M∗ = 1 für je zwei verschiedene maximale Untergruppen M, M∗ 6
G. Da G einfach ist, ist NG (M) = M. Insbesondere hat M genau |G : M| Konjugationen in G. Seien M1 , . . . , Ms Repräsentanten für die Konjugationsklassen maximaler
Untergruppen von G. Dann:
|G| = 10
s
s
X
X
(|Mi | − 1)|G : Mi | = 1 + s|G| −
|G : Mi |
| {z }
i=1
> 1 + s|G| − s
i=1
6|G|/2
|G|
|G|
=1+s
2
2
ar
1
(ii) Sei |G| = pa
1 · . . . · pr die Primfaktorzerlegung von |G| und H ein maximaler
Normalteiler von G. Nach dem obigen Punkt ist |G : H| ∈ P. Œ setzen wir |G : H| =
p1 . Nach der Voraussetzung ist H nilpotent, hat also für i = 2, . . . , r genau eine
pi -Sylow-Gruppe Pi . Dann ist Pi charakteristisch in H, also Pi G und Pi ∈ Sylpi (G).
Ferner sei P1 ∈ Sylp (G).
Wir nehmen an, dass r > 3 ist. Für i = 2, . . . , r ist dann P1 Pi < G, d. h. P1 Pi
ist nilpotent. Insbesondere ist Pi ⊆ NG (P1 ). Wegen P1 ⊆ NG (P1 ) ist also |G| =
ar
1
pa
1 · . . . · pr | |NG (P1 )|. Folglich ist P1 G. Nach dem Satz 12.8 ist G nilpotent. Also ist r = 2.
Nun nehmen wir weiter an, dass P1 nicht zyklisch ist. Für x ∈ P1 ist dann hxiP2 < G,
also hxiP2 nilpotent. Insbesondere P2 ⊆ CG (P1 ) ⊆ NG (P1 ), also wieder P1 G Satz 14.6 (Satz von W IELANDT)
Seien G eine endliche Gruppe, π ⊆ P und H ∈ Hallπ (G) nilpotent. Dann existiert zu jeder
π-Untergruppe U 6 G ein g ∈ G mit U 6 gHg−1 .
B EWEIS :
Der Beweis wird per Induktion nach |U| durchgeführt. Sei Œ U 6= 1. Nach Induktion
∼H
existiert zu jeder Untergruppe V < U ein g ∈ G mit V ⊆ gHg−1 . Dann sind gHg−1 =
und V nilpotent.
Ist U nicht nilpotent, so existiert nach Satz 14.5 ein q ∈ P und Q ∈ Sylq (U) mit 1 6= QU
und U/Q ist eine endliche p-Gruppe für ein p ∈ P \ {q}.
Ist U nilpotent und p ∈ P mit p | |U| sowie P ∈ Sylp (U), so existiert ein Q U mit
U = P ⊕ Q.
86
In beiden Fällen ist Q U. Mit ρ := π \ {p} ist Q eine ρ-Untergruppe von G. Da H
nilpotent ist, existiert eine Zerlegung H = H1 ⊕ H2 mit H1 ∈ Sylp (H). Dann ist H2 ∈
Hallρ (H) ⊆ Hallρ (G). Nach Induktion existiert ein x ∈ G mit Q ⊆ xH2 x−1 . Insbesondere
NG (Q) > hxH1 x−1 , Ui. Offenbar: xH1 x−1 ∈ Sylp (G) und xH1 x−1 ∈ Sylp (NG (Q)). Zu
der p-Untergruppe P 6 NG (Q) existiert also ein y ∈ NG (Q) mit P ⊆ y(xH1 x−1 )y−1 .
Wegen Q = yQy−1 ⊆ yxH2 x−1 y−1 ist U = P ⊕ Q ⊆ yxH1 x−1 y−1 · yxH2 x−1 y−1 ⊆
yxH1 H2 x−1 y−1 = yxHx−1 y−1 .
Definition 14.2 (Komplement)
Seien H und K Untergruppen einer Gruppe G mit H ∩ K = 1 und HK = G. Dann heißt K
Komplement von H in G.
Bemerkung 14.4
Gegebenenfalls ist |G| = |H| · |K|.
Satz 14.7 (Satz von G ALOIS)
Jeder minimale Normalteiler M einer endlichen auflösbaren Gruppe G mit M = CG (M)
hat ein Komplement in G und je zwei Komplemente von M in G sind in G konjugiert.
B EWEIS :
Sei Œ M 6= G. Da M charakteristisch einfach ist, ist M eine abelsche p-Gruppe für ein
p ∈ P. Sei N/M ein minimaler Normalteiler von G/M.
G
N
qy
M
px
1
Dann ist N/M eine abelsche q-Gruppe für ein q ∈ P. Im Fall p = q wäre N eine p-Gruppe,
also nilpotent. Folglich wäre 1 6= Z(N) ∩ M G, also M = Z(N) ∩ M ⊆ Z(N) nach der
Wahl von M. Dann ist N ⊆ CG (M) und steht somit im Widerspruch zu CG (M) = M.
Somit ist p 6= q. Für Q ∈ Sylq (N) ist N = QM und G = NG (Q)N = NG (Q)QM =
NG (Q)M nach dem Argument von F RATTINI. Offenbar ist NG (Q) ∩ M NG (Q) und
NG (Q) ∩ M M, da M abelsch ist. Somit gilt:
(14.1)
NG (Q) ∩ M NG (Q)M = G
Wegen der Minimalität von M ist NG (Q)∩M ∈ {1, M}. Im Fall M = NG (Q)∩M ⊆ NG (Q)
wäre G = NG (Q) wegen Gleichung 14.1, d. h. Q G. Wegen M ∩ Q = 1 wäre also
Q ⊆ CG (M) = M. Also haben wir NG (Q) ∩ M = 1, d. h. NG (Q) ist Komplement von M
in G.
87
14. Hallgruppen
Sei H ein beliebiges Komplement von M in G. Dann ist R := H ∩ N H und N =
G ∩ N = MH ∩ N = M(H ∩ N) = MR. Die vorletzte Gleichheit resultiert aus der
D EDEKINDschen Identität. Weiterhin haben wir auch M ∩ R ⊆ M ∩ H = 1. Folglich:
|R| = |N : M| = |Q|, d. h. R ∈ Sylq (N). Daher existiert ein g ∈ N mit R = gQg−1
(nach S YLOW). Daher: H ⊆ NG (R) = NG (gQg−1 ) = gNG (Q)g−1 . Andererseits ist
|H| = |G : M| = |NG (Q)| = |gNG (Q)g−1 |, d. h. H = gNG (Q)g−1 .
Bemerkung 14.5
Seien G eine endliche Gruppe und π ⊆ P. Für die π-Normalteiler M, N G ist auch
MN G ein π-Normalteiler. Daher ist das Produkt aller π-Normalteiler von G ein
π-Normalteiler, Oπ (G), der π-Kern von G heißt. Für jeden π-Normalteiler N G ist
Oπ (G/N) = Oπ (G)/N, insbesondere ist Oπ (G/Oπ (G)) = Oπ (G)/Oπ (G) = 1. Für p ∈ P
und π := {p} setzt man Op (G) := Oπ (G).
Satz 14.8 (H ALL-H IGMANN-Lemma)
Für jede auflösbare endliche Gruppe G und für alle π ⊆ P mit Oπ 0 (G) = 1 ist CG (Oπ (G)) ⊆
Oπ (G).
B EWEIS :
Wegen Oπ (G) G ist C := CG (Oπ (G)) G, d. h. der Zentralisator eines Normalteilers
ist wieder ein Normalteiler. Weiterhin ist Oπ (G) G, d. h. Oπ (C) ⊆ Oπ (G) Im Fall
C = Oπ (C) sind wir fertig.
Sei also Oπ (C) < C und N G möglichst klein mit Oπ (C) < N 6 C. Dann ist
N/Oπ (C) charakteristisch einfach, also eine abelsche p-Gruppe für ein p ∈ P. Wegen
Oπ (C/Oπ (C)) = 1 ist p ∈
/ π. Für P ∈ Sylp (N) ist
(14.2)
N = Oπ (C)P
und Oπ (C) ∩ P = 1. Außerdem: P ⊆ N ⊆ G = CG (Oπ (G)) ⊆ CG (Oπ (C)), d. h. mit
Gleichung 14.2 ist P N. Also: Sylp (N) = {P}. Insbesondere ist P charakteristisch in N.
Also: P G und 1 6= P ⊆ Oπ 0 (G) = 1.
88
15. Lineare Gruppen
Satz 15.1 (Lemma von I WASAWA)
Sei G eine perfekte Gruppe, Ω eine treue, primitive G-Menge, α ∈ Ω und A ein auflösbarer Normalteiler von H := StbG (α) mit G = hgAg−1 : g ∈ Gi. Dann ist G einfach.
B EWEIS :
Sei 1 N G. Da G treu und primitiv auf Ω operiert, ist N transitiv auf Ω. Nach
dem Argument von F RATTINI ist also G = NH. Wegen A H ist H ⊆ NG (NA). Wegen
NA ⊆ NG (NA) ist G = NH ⊆ NG (NA) ⊆ G, d. h. NA G. Daher:
G = hgAg−1 : g ∈ Gi = hgNAg−1 : g ∈ Gi = NA
∼ A(A∩N) auflösbar. Andererseits ist (G/N) 0 = G 0 N/N = G/N.
Folglich: G/N = AN/N =
Insgesamt haben wir G/N = 1, d. h. N = G.
Bemerkung 15.1
(i) Seien K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. Dann gilt:
Z := { α idV | α ∈ K∗ } 6 Z(GL(V))
Denn für g ∈ GL(V), α ∈ K∗ , v ∈ V gilt: (g(α idV )g−1 )(v) = g(αg−1 (v)) =
αg(g−1 (v)) = (α idV )(v). Man nennt PGL(V) := GL(V)/Z projektive allgemeine lineare Gruppe von V.
(ii) Aus (i) folgt: Z ∩ SL(V) = α idV α ∈ K, αdim V = 1 6 Z(SL(V)). Man nennt
∼ SL(V)Z/Z 6 PGL(V) die projektive spezielle
PSL(V) := SL(V)/(SL(V) ∩ Z) =
lineare Gruppe von V.
(iii) Für eine natürliche Zahl n ist also Z := { α1n | α ∈ K∗ } 6 Z(GL(n, K)) und
GL(n, K)/Z = : PGL(n, K) heißt projektive allgemeine lineare Gruppe des Grades n über K.
(iv) Daher ist Z ∩ SL(n, K) = { α1n | α ∈ K, αn = 1 } 6 Z(SL(n, K)) und PSL(n, K) :
= SL(n, K)/ SL(n, K) ∩ Z heißt projektive spezielle lineare Gruppe de Grades n
über K.
(v) Für jeden K-Vektorraum V der Dimension n < ∞ gilt:
∼ GL(n, K)
GL(V) =
∼ PGL(n, K)
PGL(V) =
∼ SL(n, K)
SL(V) =
∼ PSL(n, K)
PSL(V) =
89
15. Lineare Gruppen
Bemerkung 15.2
Für jeden Körper K und jeden K-Vektorraum V mit 1 < dim V < ∞ operiert GL(V) auf
der Menge Ω aller eindimensionalen Untervektorräume U ⊆ V:
g
U := g(U)
g ∈ GL(U), U ∈ Ω
Dabei operiert Z = { α idV | α ∈ K∗ } trivial auf Ω. Daher operiert auch PGL(V) =
GL(V)/Z und PSL(V) = SL(V)/ SL(V) ∩ Z auf Ω:
g
U := gU := g(U)
g
g
U := U := g(U)
g ∈ GL(V), g := gZ, U ∈ Ω
g ∈ SL(V), g := g(SL(V) ∩ Z), U ∈ Ω
Satz 15.2
Die Operation von PSL(V) ist treu und 2-transitiv.
B EWEIS :
Seien U1 := Ku1 , U2 := Ku2 ∈ Ω verschieden. Dann sind u1 und u2 linear unabhängig
und lassen sich zu einer Basis u1 , . . . , un ergänzen. Sind auch W1 = Kw1 , W2 = Kw2 ∈
Ω verschieden, so erhält man analog eine Basis w1 , . . . , wn von V.
Dann existiert genau ein g ∈ GL(V) mit g(Ui ) = Wi . Sei δi = det(g) für i = 1, . . . , n.
Dann existiert genau ein h ∈ GL(V) mit h(Ui ) = δ−1 w und h(Ui ) = wi für i = 2, . . . , n.
Dabei ist det(h) = 1, d. h. h ∈ SL(V). Dann hU1 = W1 , hU2 = W2 .
Da Z sowieso trivial auf Ω operiert, operiert PSL(V) zweitransitiv auf V. Sei g ∈ SL(V)
im Kern der Operation. Für 1 = 1, . . . , n existiert dann ein αi ∈ K mit g(Ui ) = αi ui .
Für verschiedene i, j ∈ {1, . . . , n} existiert auch ein bij ∈ K mit g(ui + uj ) = bij (ui +
uj ). Dann: bij ui + bij uj = g(ui + uj ) = g(ui ) + g(uj ) = αi ui + αj uj . Wegen der
Basiseigenschaft folgt damit αi = bij = αj . Also ist g = α1 idV ∈ Z und daher ist
Z ∩ SL(V) der Kern der Operation von SL(V) auf Ω und PSL(V) operiert treu auf Ω. Bemerkung 15.3
Seien K ein Körper und n eine natürliche Zahl. Wir bezeichnen die Standardbasis von
Kn×n mit eij für i, j = {1, . . . , n}. Beispielsweise für n = 2:
1 0
0 1
e11 =
e12 =
0 0
0 0
0 0
0 0
e21 =
e22 =
1 0
0 1
Für α ∈ K und verschiedene i, j ∈ {1, . . . , n} setzen wir
uij (α) := 1n + αeij ∈ SL(n, K)
Satz 15.3
Für jeden Körper K und 1 < n ∈ N gilt:
SL(n, K) = huij (α) : i, j = 1, . . . , n, i 6= j, α ∈ K∗ i
90
B EWEIS :
Für alle i, j, α und beliebige a ∈ SL(n, K) ist uij (α)a die Matrix, die aus a durch Addition
des α-fachen der j-ten Zeile zur i-ten entsteht. Die erste Spalte von a ist nicht 0. Falls
nötig, multiplizieren wir a mit einem geeigneten uij (α) so, dass der Eintrag an der
Position (1, 1) gleich 1 ist. Analog kann man erreichen, dass die weiteren Einträge in der
ersten Spalte von a verschwinden.
In Spalte 2 von a können nicht alle Einträge an den Positionen (2, 2), . . . , (n, 2) verschwinden. Durch Multiplikation mit einem geeigneten uij (α) kann man erreichen, dass der
Eintrag an der Position (2, 2) gleich 1 ist. Weiter kann man erreichen, dass alle anderen
Einträge in der ersten Spalte verschwinden. So fährt man fort. Am Ende hat man eine
Matrix der Form


1 0 0 ... 0
0 1 0 . . . 0 




g =  ... 0 . . . 0 ... 


0 0 . . . 1 0 
0 0 ...
0
γ
Da die Determinante der Matrix 1 ist, muss γ = 1 gelten, also ist g die Einheitsmatrix. Wir
haben also b1 , . . . , br ∈ SL(n, K) mit b1 · . . . · br a = 1n , wobei jedes bk ein geeignetes
−1
uij (α) ist. Wegen a = b−1
r · . . . b1 folgt die Behauptung.
Satz 15.4
Seien K ein Körper und 1 < n ∈ N. Dann ist SL(n, K) perfekt, außer im Fall (n, |K|) ∈
{(2, 2), (2, 3)}.
B EWEIS :
Nach Satz 15.3 genügt es zu zeigen, dass jedes uij (α) ein Kommutator ist. Für i 6= j ist
e2ij = 0, also (1 + αeij )(1 − αeij ) = 1. Folglich: uij (α)−1 = uij (−u).
Sei zunächst n > 3. Für paarweise verschiedene i, j, k ∈ {1, . . . , n} gilt dann [1 + eij , 1 +
αejk ] = 1 + αeik .
β
0
1 γ
Nun sei n = 2. Für β, γ ∈ K+ und b :=
, c :=
gilt dann
0 β−1
0 1
1 (β2 − 1)γ
[b, c] = · · · =
0
1
Im Fall |K| > 3 existiert ein β ∈ K+ mit 0 6= β2 − 1 = (β − 1)(β + 1). Daher existiert also
ein γ mit (β2 − 1)γ = α, d. h. [b, c] = u12 (α). Durch Transposition erhält man, dass auch
u21 (α) ein Kommutator ist. Der Rest folgt aus Satz 15.3.
Bemerkung 15.4
(i) In der obigen Situation ist auch PSL(n, K) = SL(n, K)/Z perfekt.
91
15. Lineare Gruppen
(ii) Wegen |GL(2, F2 )| = (22 −1)(22 −2) = 6 und |GL(2, F3 )| = (32 −1)(32 −3) = 48 sind
GL(2, F2 ) und GL(2, F3 ) auflösbar. Daher sind auch SL(2, F2 ), SL(2, F3 ), PSL(2, F2 )
und PSL(2, F3 ) auflösbar.
Satz 15.5
Sei K ein Körper und n > 1 eine natürliche Zahl. Dann: PSL(n, K) einfach außer im Fall
(n, K) ∈ {(2, 2), (2, 3)}.
B EWEIS :
∼ SL(V) zweitransitiv, also auch primitiv
Sei V := Kn . Dann operiert G := SL(n, K) =
auf der Menge Ω aller eindimensionalen Untervektorräume U ⊆ V. Seien e1 , . . . , en die
Standardbasis von V, j ∈ {1, . . . , n}, Uj := Kej ∈ Ω, Hj := StbG (Uj ). Beispielsweise ist


∗
∗






 0



H1 =  .


 ..


∗ 




0
Für h ∈ Hj ist h̃ : V/Uj → V/Uj mit v + Uj 7→ h(v) + Uj . Ferner ist fj : Hj → GL(V/Uj )
mit h 7→ h̃ ein Gruppenhomomorphismus. Sei Aj := ker(fj ). So ist beispielsweise


∗
1







 0 1

0


A1 =  .

..


 ..
.






0 0
1
Daher operiert jedes a ∈ Aj trivial auf Uj und auf V/Uj . Wegen

 


x
∗
y
∗
x+y
∗
 0
  0

 0

 


 .
= .

 .
.
.





 ..
1
1
1
.
.
n−1
0
n−1
0
x, y ∈ Kn−1
n−1
0
ist A1 abelsch und A1 H1 . Für i 6= j und α ∈ K+ ist Uij (α) ∈ Ai . Da G transitiv auf Ω
operiert, existiert für j = 1, . . . , n ein gj ∈ G mit Uj = gjU1 . Dann ist Hj = gj H1 g−1
j und
−1
−1
Aj = gj A1 gj . Folglich ist G = hUij (α) : i 6= j, α ∈ K+ i = hA1 , . . . , An i ⊆ hgA1 g : g ∈
Gi.
Sei Z := { α1n | α ∈ K, αn = 1 }, also Z G. Dann operiert G := G/Z = PSL(n, K) treu
und primitiv auf Ω sowie
Hi := StbG (U1 ) = StbG (U1 )/Z = H1 /Z
A1 := A1 Z/Z H1 abelsch mit
G = hgA1 g−1 : g ∈ Gi
Nach dem Lemma von I WASAWA (Satz 15.1) ist G einfach.
92
Bemerkung 15.5
(i) In der Algebra lernt man, dass K+ im Fall |K| = q < ∞ zyklisch ist. Daher hat
Z := { α1n | α ∈ K, αn = 1 } die Ordnung ggT(n, q − 1), da αq−1 = 1 für alle
α ∈ K+ . Also gilt, |PSL(n, K)| = |SL(n, K)|/ ggT(n, q − 1).
(ii) Ähnlich (mit „kleinen“ Ausnahmen) kann man die Einfachheit von anderen klassischen Gruppen beweisen (orthogonal, symplektisch, unitär).
93
16. Die Verlagerung
Bemerkung 16.1
Sei G eine endliche Gruppe und K H 6 G derart, dass H/K abelsch ist. Schließlich
sei R ein Repräsentantensystem für G/H, d. h. G = ∪· r∈R rH. Dann existieren für g ∈ G
und r ∈ R eindeutig bestimmte Elemente ρg (r) ∈ R, ηg (r) ∈ H mit gr = ρg (r)ηg (r). Wir
setzen als Verlagerung:
Y
G
VH/K
(g) :=
ηg (r)K ∈ H/K
r∈R
Da H/K abelsch ist, kommt es bei dem Produkt nicht auf die Reihenfolge an.
Satz 16.1
G
Die so definierte Abbildung VH/K
: G → H/K ist unabhängig von R und ein Homomorphismus.
B EWEIS :
Jedes weitere Repräsentantensystem für G/H hat die Form
R 0 = { rhr | r ∈ R }
Für g ∈ G, r ∈ R ist grhr = ρg (r)ηg (r)hr = ρg (r)hρg (r) hρ−1
ηg (r). Da H/K abelsch ist
|
{z
} | g (r)
{z
}
= : ρg0 (r)∈R 0
= : ηg0 (r)∈H
und R → R, r 7→ ρg (r) für g ∈ G eine bijektive Abbildung ist, gilt:
Y
Y
Y
ηg0 (rhr )K =
h−1
h
K
=
ηg (r)K
ηg (r) r
r∈R
r∈R
r∈R
Für f, g ∈ G, r ∈ R gilt ferner: ρfg (r) ηfg (r) = fgr = fρg (r)ηg (r) = ρf (ρg (r)) ηf (ηg (r)),
| {z } | {z }
| {z } | {z }
∈R
∈R
∈H
∈H
d. h. ηfg (r) = ηf (ρg (r))ηg (r). Daher gilt:
Y
Y
Y
G
VH/K
(fg) =
ηfg (r)K =
ηf (ρg (r))K
ηg (r)
=
r∈R
G
VH/K
(f)
=
r∈R
G
VH/K (g)
Definition 16.1 (Verlagerung)
G
Die Abbildung VH/K
heißt Verlagerung1 von G nach H/K.
1
vom englischen Wort „transfer“
94
r∈R
Beachte: In der Regel ist |H/K| < G. Daher ist die Verlagerung typischerweise nicht
injektiv. Aber G/G 0 ist stets abelsch.
Bemerkung 16.2
Sei G eine endliche Gruppe und K H 6 G derart, dass H/K abelsch ist. Weiterhin sei
G (g) wählen wir ein Repräsentantensystem für G/H, das
g ∈ G. Zur Berechnung von VH/K
von g abhängt.
Auf G/H operiert hgi durch Linksmultiplikation. Die Bahnen seien ∆1 , . . . , ∆s . Wähle
r1 H ∈ ∆1 , . . . , rs H ∈ ∆s . Ist i ∈ {1, . . . , s} und di := |∆i |, so ist di ein Teiler von |hgi| und
∆i = {ri H, gri H, g2 ri H, . . . , gdi −1 ri H}
gdi ri H = ri H
Folglich ist R := {r1 , gr1 , g2 r1 , . . . , gd1 −1Q
r1 , . . . , rs , grs , g2 rs , . . . , gds −1 rs } ein Repräsens
−1 di
G (g) =
tantensystem für G/H und VH/K
i=1 ri g ri K mit di + · · · + ds = |G : H| und
di
di −1 r auf. „Oft“ ist
r−1
i
i g ri ∈ H. In der Gleichung tauchen die einzigen Fehler bei g
d
−1
d
i
i
ri gi ri = g für i = 1, . . . , s, also
G
VH/K
(g) = g|G : H| K
Beispiel 16.1
G (g) = g|G : H| K.
(i) Sei g ∈ Z(G). Dann ist VH/K
(ii) Die Abbildung G → Z(G) mit g 7→ g|G : Z(G)| ist ein Homomorphismus, denn
|G : Z(G)| {1}. Tatsächlich ist auch g|G : Z(G)| ∈ Z(G) nach dem Satz
GG
Z(G)/{1} (g) = g
von L AGRANGE (Satz 4.2).
Definition 16.2 (Fokalgruppe)
Für jede Untergruppe H einer endlichen Gruppe G heißt
FocG (H) := h [g, h] : g ∈ G, h ∈ H, [g, h] ∈ Hi = hxy−1 : x, y ∈ H, x ∼G yi
| {z }
ghg−1 h−1
Fokalgruppe von H in G.
Bemerkung 16.3
Dann: H 0 ⊆ F := FocG (H) ⊆ H∩G 0 . Das bedeutet insbesondere FH und H/F abelsch.Für
alle g ∈ G, h ∈ H mit [g, h] ∈ H ist ferner ghg−1 F = ghg−1 h−1 Fh = [g, h]Fh = Fh = hF.
G (h) = h|G : H| F für alle h ∈ H.
Folglich VH/F
Satz 16.2
Seien G eine endliche Gruppe, H eine Untergruppe von G, F die Fokalgruppe, N :=
G ) und ggT(|G : H|, |H : F|) = 1. Dann gilt:
ker(VH
(i) F = H ∩ G 0 = H ∩ N
∼ H/F
(ii) HN = G und G/N =
95
16. Die Verlagerung
(iii) G/G 0 = HG 0 /G 0 ⊕ N/G 0
B EWEIS :
∼ Bld(V G ) 6 H/F ist G/N abelsch, d. h. G 0 ⊆ N und F ⊆ H ∩ G 0 ⊆
(i) Wegen G/N =
H/F
G (h) = h|G : H| F. Ferner haben wir
H ∩ N. Für h ∈ H ∩ N ist umgekehrt 1 = VH/F
h|H : F| = 1 nach F ERMAT. Nach Voraussetzung ist also hF = 1, d. h. h ∈ F.
(ii) Aus Teil (i) folgt: |G/N| > |HN/N| = |H/H ∩ N| = |H/F| > |G/N|. Daher folgt:
∼ H/F.
HN = G und Verlagerung ist surjektiv. Folglich ist G/N =
(iii) Nach Teil (ii) ist G/G 0 = (HG 0 /G 0 )(N/G 0 ). Nach Teil (i) ist N ∩ HG 0 = (N ∩ H)G 0
wegen der Dedekindschen Identität. Insgesamt ergibt sich weiter (N ∩ H)G 0 = G 0 ,
d. h. (N/G 0 ) ∩ (HG 0 /G 0 ) = 1.
G
H
∼
G
VH/F
N
/
F
Beispiel 16.2
Die oben geforderte Teilerfremdheit ist dann erfüllt, wenn H eine Hallgruppe von G ist.
Definition 16.3 (Hyperfokale Gruppe)
Sei H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G. Setze H1 := H, Hn+1 := FocG (Hn )
für alle natürlichen Zahlen n. Ist Hm = 1 für ein m ∈ N, so heißt die Fokalgruppe
hyperfokal.
Bemerkung 16.4
Gegebenenfalls ist jede Untergruppe K 6 H wieder hyperfokal in G wegen FocG (K) ⊆
FocG (H). Ferner ist H auch hyperfokal in jeder Untergruppe U 6 G mit H 6 U wegen
FocU (H) ⊆ FocG (H). Schließlich ist H nilpotent wegen Hn ⊆ Hn für alle natürlichen n.
Satz 16.3
Jede hyperfokale Hallgruppe H einer endlichen Gruppe G hat ein normales Komplement
in G.
B EWEIS :
Der Beweis wird per Induktion über die Gruppenordnung durchgeführt. Œ sei H 6= 1.
G ) G und G/N ∼ H/F 6= 1.
Dann F := FocG (H) < H. Nach Satz 16.2 ist N := ker(VH/F
=
Die Hallgruppe H ∩ N von N ist nach obiger Bemerkung hyperfokal in G und auch in N.
Wegen der Induktion hat H ∩ N ein normales Komplement K in N. Als Hallgruppe von
N ist K charakteristisch in N. Daher ist K G. Ferner HK = H(H ∩ N)K = HN = G und
H ∩ K = H ∩ N ∩ K = 1.
96
Satz 16.4
Sei H eine nilpotente Hallgruppe einer endlichen Gruppe G. Je zwei Elemente in H, die
in G konjugiert sind, seien auch in H konjugiert. Dann hat H ein normales Komplement
in G.
B EWEIS :
Setze H1 := H, Hn+1 := FocG (Hn ) für n ∈ N. Nach Satz 16.3 genügt es zu zeigen,
dass Hn ⊆ Hn für natürliche Zahlen n. Für n = 1 ist das klar. Sei also Hn ⊆ Hn
für n ∈ N. Für g ∈ G und h ∈ Hn mit ghg−1 h−1 ∈ Hn ist ghg−1 ∈ Hn . Nach
Voraussetzung existiert eine Element k ∈ H mit ghg−1 = khk−1 . Folglich: [g, h] =
ghg−1 h−1 = khk−1 h−1 = [k, h] ∈ [H, Hn ] ⊆ [H, Hn ] = Hn+1 . Dies zeigt, dass das
Hn+1 = h[g, h] : g ∈ G, h ∈ Hn , [g, h] ∈ Hn i ⊆ Hn+1 .
Satz 16.5
Sei H eine abelsche Hallgruppe einer endlichen Gruppe G. Dann sind je zwei Elemente
x, y ∈ H, die in G konjugiert sind, auch in NG (H) konjugiert.
B EWEIS :
Sei g ∈ G mit y = gxg−1 ∈ H ∩ gHg−1 . Dann sind H und gHg−1 Hallgruppen von CG (y).
Nach Satz 14.6 (Satz von W IELANDT) existiert ein c ∈ CG (y) mit H = cgHg−1 c−1 und
y = cyc−1 = cgxg−1 c−1 mit cg ∈ NG (H).
Satz 16.6 (Satz von B URNSIDE)
Jede Hallgruppe H einer endlichen Gruppe G mit NG (H) = CG (H) hat ein normales
Komplement in G.
B EWEIS :
Seien x, y ∈ H mit x ∼G y. Nach Satz 16.5 ist x ∼NG (H) y und wegen der Voraussetzung
x ∼CG (H) y ⇒ x = y, d. h. x ∼H y. Nun wenden wir Satz 16.4 an.
Bemerkung 16.5
Nach der Voraussetzung des obigen Satzes ist H auf jeden Fall abelsch.
Satz 16.7
Seien G eine endliche Gruppe, p der kleinste Primteiler von |G| und P ∈ Sylp (G) zyklisch.
Dann hat P ein normales Komplement in G.
B EWEIS :
Sei |P| = pn . Dann: |Aut(P)| = pn − pn−1 = pn−1 (p − 1). Da NG (P)/CG (P) zu einer
Untergruppe von Aut(P) isomorph ist, folgt, |NG (P)/CG (P)| | p − 1. Nach der Wahl von
p ist NG (P)/CG (P) = 1, d. h. NG (P) = CG (P). Nun wenden wir Satz 16.6 an.
Bemerkung 16.6
Hat G eine zyklische 2-Sylow-Gruppe P, so hat P ein normales Komplement K in G nach
dem Satz. Wegen 2 - |K| ist K auflösbar (wegen F EIT-T HOMPSON). Somit ist auch G
auflösbar.
Beispiel 16.3
Aus dem Satz folgt insbesondere, dass für ungerade n ∈ N jede Gruppe der Ordnung 2n
einen Normalteiler der Ordnung n enthält (vgl. Übung).
97
16. Die Verlagerung
Satz 16.8
Sind alle Sylow-Gruppen einer endlichen Gruppe G zyklisch, so ist G auflösbar.
B EWEIS :
Bemerkung 16.7
Speziell sind also Gruppen quadratfreier Ordnung n, d. h. n = p1 · . . . · pr mit paarweise
verschiedenen Primzahlen p1 , . . . , pr , stets auflösbar.
Beispiel 16.4
Jede Gruppe der Ordnung 210 = 2 · 3 · 5 · 7 ist auflösbar.
98
A. Übungsaufgaben
A.1. Übungsblatt 1
A.1.1. Aufgabe 1
(i) Sind (N, ggT) und (N, kgV) Halbgruppen (Monoide)?
(ii) Für n ∈ N sei f(n) die Anzahl der Primfaktoren von n. Ist f : (N, kgV) → (Z, +) ein
Homomorphismus?
A.1.2. Aufgabe 2
(i) Konstruieren Sie eine Halbgruppe mit unendlich vielen linksneutralen Elementen.
Hinweis: Versuchen Sie es mit einer geeigneten Menge von 2 × 2-Matrizen.
(ii) Geben Sie ein Monoid M und ein Element a ∈ M an, das unendlich viele Linksinverse hat.
A.1.3. Aufgabe 3
(i) Zeigen Sie, dass für jede Menge X die Abbildung f : (P(X), ∪) → (P(X), ∩) mit
A 7→ X \ A ein Isomorphismus ist.
(ii) Gegeben seien Mengen X, Y und eine Bijektion f : X → Y. Konstruieren Sie einen
Isomorphismus F : (Abb(X), ◦) → (Abb(Y), ◦).
A.1.4. Aufgabe 4
Beantworten Sie die folgenden Fragen mit GAP:
(i) Wie viele Untergruppen von Sym(9) haben die Ordnung 4?
99
A. Übungsaufgaben
G:=SymmetricGroup ( 9 ) ;
sum:= S i z e ( F i l t e r e d (G, x−>Order ( x )=4))/2; #z y k l i s c h e U n t e r g r u p p e n
F:= F i l t e r e d (G, x−>Order ( x )=2);
C:=0; # i n i t i a l i s i e r e n , n i c h t u n b e d i n g t n o e t i g
H:=0; # i n i t i a l i s i e r e n
f o r x i n F do
C:= I n t e r s e c t i o n ( C e n t r a l i z e r (G, x ) , F ) ;
H:= F i l t e r e d (C , y−>x * y i n C ) ;
sum:=sum+S i z e (H) / 2 ; #noch n i c h t g e z a e h l t e K l e i n s c h e V i e r e r g r u p p e
F:= D i f f e r e n c e ( F , [ x ] ) ;
od ;
P r i n t (sum , " \n " ) ; #L o e s u n g : 56007
(ii) Wie viele Untergruppen hat Z/12Z × Z/15Z?
% s k r i p t −check aus
LoadPackage ( " s o n a t a " ) ; #f u e r den B e f e h l " Subgroups "
% s k r i p t −check an
G:= D i r e c t P r o d u c t ( C y c l i c G r o u p ( 1 2 ) , C y c l i c G r o u p ( 1 5 ) ) ;
P r i n t ( S i z e ( Subgroups (G) ) , " \n " ) ; #L o e s u n g : 36
(iii) Gegeben seien die folgenden Permutationen von Ω := {0, 1, . . . , 9, 10} ∪ {∞}:
α : x 7→ x + 1
β : x 7→ 2x
γ : x 7→ x−1
Dabei rechnet man jeweils modulo 11 und das Rechnen mit ∞ wird geeignet
definiert. Welche Ordnung hat die von α, β, γ erzeugte Untergruppe von Sym(Ω)?
alpha : = ( 1 1 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 ) ; # e r s e t z e 0 durch 11 und u n e n d l i
beta :=(1 ,2 ,4 ,8 ,5 ,10 ,9 ,7 ,3 ,6);
gamma: = ( 1 , 1 0 ) ( 2 , 5 ) ( 3 , 7 ) ( 4 , 8 ) ( 6 , 9 ) ( 1 1 , 1 2 ) ;
P r i n t ( S i z e ( Group ( [ alpha , beta , gamma ] ) ) , " \n " ) ; #L o e s u n g : 1320
A.2. Übungsblatt 2
A.2.1. Aufgabe 5
(i) Wie viele Automorphismen hat Sym(3)?
Bekanntlich ist Sym(3) = h(12), (123)i. Also ist jeder Automorphismus durch die
Bilder von (12) und (123) eindeutig bestimmt. Weiter wissen wir, dass jeder Automorphismus die Ordnung der Elemente erhält. Daher ist ϕ((12)) ∈ {(12), (13), (23)}
und ϕ((123)) ∈ {(123), (132)} für ϕ ∈ Aut(Sym(3)). Dies zeigt, |Aut(Sym(3))| 6
6. Umgekehrt haben wir die Relation 6 = |Sym(3)| = |Sym(3)/Z(Sym(3))| =
100
A.2. Übungsblatt 2
|Inn(Sym(3))| 6 |Aut(Sym(3))|. Die erste Gleichheit folgt nach dem zweiten Teil der
Aufgabe.
1
n 6= 2
Es ist Z(Sym(n)) =
. Denn sei o. B. d. A. n > 3 und 1 6= σ ∈
Sym(2) n = 2
Sym(n). Dann gibt es ein Element k 6= σ(k) = : l mit k, l ∈ {1, . . . , n}. Für m ∈
{1, . . . , n} \ {k, l} ist dann ((m, l) ◦ σ)(k) = m und (σ ◦ (m, l))(k) = l. Aber es gilt:
k 6= l und σ ∈
/ Z(Sym(n)).
(ii) Bestimmen Sie Z(Sym(n)) und Z(GL(n, K)) für n ∈ N und jeden Körper K.
∼ Sym(3).
(iii) Zeigen Sie: GL(2, F2 ) =
A.2.2. Aufgabe 6
Für alle Elemente a in dem Monoid M sei a2 = 1. Zeigen Sie, dass M eine abelsche
Gruppe ist.
Wegen a2 = 1 ist a invers zu a für alle a ∈ M. Also ist M eine Gruppe. Aus ab =
a−1 b−1 = (ba)−1 = ba folgt, dass M abelsch ist.
A.2.3. Aufgabe 7
Zeigen Sie, dass eine nichtleere endliche Teilmenge H einer Gruppe G genau dann eine
Untergruppe von G ist, wenn ab ∈ H für alle a, b ∈ H gilt.
„⇒“ klar
„⇐“ Sei x ∈ H mit H 6= ∅. Dann ist xn ∈ H für alle n ∈ N. Wegen |H| < ∞ existieren
n, m ∈ N mit n < m und xn = xm . Also ist 1 = xm−n ∈ H und x−1 = xm−n−1 ∈ H.
Da x beliebig war, hat jedes Element in H ein Inverses in H und H 6 G folgt.
A.2.4. Aufgabe 8
Zeigen Sie, dass für Untergruppen H, K einer Gruppe G mit G = HK folgende Aussagen
gelten:
(i) Für x, y ∈ G ist G = (xHx−1 )(yKy−1 ).
(ii) Sind H, K abelsch, so ist Z(G) = (Z(G) ∩ H)(Z(G) ∩ K).
101
A. Übungsaufgaben
A.2.5. Aufgabe 9
Sei G := ha, bi mit a :=
i 0
0 1
, b :=
∈ GL(2, C).
0 −1
1 0
(i) Zeigen Sie: |G| = 8 und |Z(G)| = 2.
i :=E ( 4 ) ; #( e r s t e ) p r i m i t i v e 4− t e E i n h e i t s w u r z e l
a :=[[ i , 0 ] , [ 0 , − i ] ] ;
b:=[[0 ,1] ,[1 ,0]];
G:=Group ( [ a , b ] ) ;
P r i n t ( S i z e (G) , " \n " ) ; #Formel : |G|=|<a , b>|=|<a><b>|=|<a>||<b>|/|<
P r i n t ( S i z e ( C e n t e r (G) ) , " \n " ) ;
(ii) Bestimmen sie alle Elemente in G und deren Ordnungen.
P r i n t ( Elements (G) , " \n " ) ;
P r i n t ( L i s t (G, Order ) , " \n " ) ;
(iii) Bestimmen Sie die Untergruppen und Normalteiler von G und deren Ordnungen.
% s k r i p t −check aus
LoadPackage ( " s o n a t a " ) ;
% s k r i p t −check an
P r i n t ( Subgroups (G) , " \n " ) ;
P r i n t ( L i s t ( Subgroups (G) , S i z e ) , " \n " ) ;
P r i n t ( NormalSubgroups (G) , " \n " ) ;
P r i n t ( L i s t ( NormalSubgroups (G) , S i z e ) , " \n " ) ;
(iv) Finden Sie die Untergruppen A, B von G mit A E B E G, aber A 5 G.
A:=Subgroup (G , [ b ] ) ;
B:=Subgroup (G , [ b , a^2]);
P r i n t ( IsNormal (B , A ) , " \n " ) ; #normal , da I n d e x=2
P r i n t ( IsNormal (G, B ) , " \n " ) ; #normal , da I n d e x=2
P r i n t ( IsNormal (G, A ) , " \n " ) ; #n i c h t normal , da n i c h t i n NormalSubgr
Bei dieser Aufgabe können Sie GAP verwenden.
A.3. Übungsblatt 3
A.3.1. Aufgabe 10
Seien K ein Körper und n eine natürliche Zahl.
102
A.3. Übungsblatt 3
(i) Zeigen Sie, dass die Abbildung f : Sym(n) → GL(n, K), σ 7→ (δiσ(j) )n
i,j=1 ein Monomorphismus ist. Die Elemente in S := Bld(f) heißen Permutationsmatrizen.
(ii) Zeigen Sie, dass die regulären oberen Dreiecksmatrizen eine Untergruppe B von
GL(n, K) bilden.
(iii) Bestimmen Sie |B| im Fall q := |K| < ∞.
(iv) Zeigen Sie: GL(n, K) = hB, Si.
A.3.2. Aufgabe 11
Zeigen Sie, dass jede endlich erzeugte Untergruppe von (Q, +) zyklisch ist.
Sei H := hx1/y1 , . . . , xn/yn i eine Untergruppe von (Q, +) mit x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ∈ Z
und k := kgV(y1 , . . . , yn ). Für jedes i ∈ {1, . . . , n} lässt sich dann der Bruch xi/yi zu
zi/k mit zi ∈ Z erweitern. Also ist xi/yi = zi/k ∈ h1/ki für alle i ∈ {1, . . . , n} und
es folgt, H 6 h1/ki. Als Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist dann auch H zyklisch.
A.3.3. Aufgabe 12
S
Beweisen Sie, dass G 6= g∈G gHg−1 für jede echte Untergruppe H einer endlichen
Gruppe gilt.
S
Im Fall H G ist g∈H gGg−1 = H < G nach Voraussetzung. Sei also H 5 G. Für
x, y ∈ G gilt:
xH = yH ⇒ Hx−1 = (xH)−1 = (yH)−1 = Hy−1 ⇒ xHx−1 = yHx−1 = yHy−1
wobei (xH)−1 := a−1 a ∈ xH die Menge der Inversen von xH sei (nicht etwa
das Inverse von xH in der nicht vorhandenen Faktorgruppe G/H). Diese Rechnung
zeigt:
| gHg−1 g ∈ G | 6 |G : H|
Sei nun g ∈ G mit H 6= gHg−1 (Erinnerung: H 5 G). Dann ist 1 ∈ H ∩ gHg−1 . Insbesondere sind H und gHg−1 nicht disjunkt. Da gHg−1 das Bild von H unter einem inneren
Automorphismus ist, gilt |H| = |gHg−1 | für alle g ∈ G. Also ist
[
−1 gHg
< |G : H||H| = |G|
g∈G
nach L AGRANGE (Satz 4.2).
103
A. Übungsaufgaben
A.3.4. Aufgabe 13
(i) Geben Sie einen Homomorphismus von Gruppen f : G → H und einen Normalteiler
M E G mit f(M) 5 H an.
Setze G := M := h(12)i und H := Sym(3). Dann ist f : G → H, x 7→ x ein Homomorphismus mit f(M) = M. Wegen (123)(12)(123)−1 = (23) ∈
/ M ist M 5 H.
(ii) Zeigen Sie, dass in Sym(4) die Normalteiler-Relation nicht transitiv ist.
A:=Subgroup (G, [ ( 1 , 2 ) ( 3 , 4 ) ] ) ;
B:=Subgroup (G, [ ( 1 , 2 ) ( 3 , 4 ) , ( 1 , 3 ) ( 2 , 4 ) ] ) ;
P r i n t ( IsNormal (B , A ) , " ‘ \ n " ’ ) ;
P r i n t ( IsNormal (G, B ) , " ‘ \ n " ’ ) ;
P r i n t ( IsNormal (G, A ) , " ‘ \ n " ’ ) ;
(iii) Finden Sie eine Gruppe, in der das Zentrum nicht vollinvariant ist.
LoadPackage ( " ‘ s o n a t a " ’ ) ;
f o r i i n [ 1 . . 1 2 ] do
P r i n t ( F i l t e r e d ( A l l S m a l l G r o u p s ( i ) ,G−>not
I s F u l l i n v a r i a n t (G, C e n t e r (G) ) ) , " ‘ \ n " ’ ) ;
od ;
(iv) Zeigen Sie, dass G := Sym(6) von zwei Elementen erzeugt wird, aber eine Untergruppe H hat, die sich nicht durch zwei Elemente erzeugen lässt.
P r i n t ( F i l t e r e d ( Subgroups (G) ,H−>S i z e ( GeneratorsOfGroup (H))>2 and
I s S o l v a b l e (H) and S i z e ( M i n i m a l G e n e r a t i n g S e t (H)) >2) , " ‘ \ n " ’ ) ;
#M i n i m a l G e n e r a t i n g S e t i s t b i s h e r nur f u e r a u f l o e s b a r e Gruppen i m p
Bei dieser Aufgabe können Sie wieder GAP verwenden.
A.4. Übungsblatt 4
A.4.1. Aufgabe 14
Gegeben seien Gruppen K, H und ein Homomorphismus ϕ : H → Aut(K), h 7→ ϕh . Auf
G := H × K wird eine Multiplikation durch (k, h)(k 0 , h 0 ) := (kϕh (k 0 ), hh 0 ) für h, h 0 ∈ H
und k, k 0 ∈ K definiert. Zeigen Sie, dass G eine Gruppe ist, die eine zu H isomorphe
Untergruppe H̃ und einen zu K isomorphen Normalteiler K̃ mit G = K̃H̃ und K̃ ∩ H̃ = 1
besitzt. (Man nennt G das semidirekte Produkt von K und H bezüglich ϕ und schreibt
G = K o H oder genauer G = K oϕ H).
104
A.4. Übungsblatt 4
A.4.2. Aufgabe 15
(i) Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung 4 gibt.
(ii) Beweisen Sie, dass für jede Gruppe G mit Z(G) = 1 gilt: Z(Aut(G)) = 1.
A.4.3. Aufgabe 16
Seien K ein Körper, n eine natürliche Zahl und G die Untergruppe von GL(n, K), die aus
allen Matrizen der folgenden Form besteht:

1
∗
..
.

0

 .. . .
.
.

.
 ..

.
 ..
0 ...
...
..
.
..
.
..
.
...
..
.
..
.
..
...
.
...
...
..
.
..
.
0

∗
.. 
.

.. 
.

.. 
.


∗
1
Bestimmen Sie Z(G).
A.4.4. Aufgabe 17
Sei n ∈ N \ {4}. Zeigen Sie, dass zu jedem σ ∈ Sym(n) \ {1} ein τ ∈ Sym(n) mit
Sym(n) = hσ, τi existiert. Zeigen Sie weiter, dass diese Aussage für n = 4 falsch ist.
Sei n ∈ N \ {4} und σ ∈ Sym(n) \ {1}. Da man σ durch eine beliebige Potenz ersetzen kann,
können wir annehmen, dass σ Primzahlordnung p hat (Erinnerung: Wegen hσk , τi ⊆
hσ, τi für alle k ∈ N genügt es hσk , τi = Sym(n) für ein k ∈ N zu zeigen.) Dann ist σ ein
Produkt von disjunkten Zyklen (Erinnerung: Die Ordnung eines Elements ist das kgV
der Zyklenlängen.). Œ können wir annehmen, dass σ die Form σ = (12 . . . p) . . . hat. Ist
σ = (12) oder σ = (12 . . . n), so können wir bekanntlich τ = (12 . . . n) bzw. τ = (12)
wählen. Andernfalls werden wir τ als ein disjunktes Produkt einer Transposition (x, y)
und eines r-Zyklus’ wählen, wobei r = n−2 (bzw. r = n−3) für ungerades (bzw. gerades)
n gilt. Insbesondere ist r stets ungerade. Folglich ist τr = (x, y) und der r-Zyklus eine
Potenz von τ2 . Wir werden dann zeigen, dass (i, k) ∈ hσ, τi für ein festes k ∈ {1, . . . , n}
und alle i ∈ {1, . . . , n} gilt. Somit folgt die Behauptung.
1. Fall Sei σ = (12 . . . p) für 2 < p < n. Wähle
(1, n)(23 . . . n − 1)
τ=
(1, n)(34 . . . n − 1)
n ungerade
n gerade
105
A. Übungsaufgaben
Konjugiert man nun (1, n) mit den Potenzen von σ und τ2 , so erhält man (i, n) ∈
hσ, τi für alle i ∈ {1, . . . , n} (Zur Erinnerung: Für k ∈ N ist σ(a1 , a2 , . . . , ak )σ−1 =
(σ(a1 ), σ(a2 ), . . . , σ(ak ))).
2. Fall Sei σ = (12 . . . p)(p + 1 . . . 2p) . . . das Produkt von mindestens zwei p-Zyklen und
p ungerade. Wähle
(12)(34 . . . n)
n ungerade
τ=
(12)(34 . . . p, p + 2 . . . n) n gerade
Konjugiert man nun (12) mit σ, so erhält man (23) ∈ hσ, τi. Konjugiert man
(23) weiter mit den Potenzen von τ2 , so erhält man (2, i) ∈ hσ, τi für alle i ∈
{1, . . . , p, p + 2, . . . , n}. Konjugiert man (2, p + 2) mit σ−1 , so erhält man (1, p +
1) ∈ hσ, τi. Konjugiert man weiter mit (12), so erhält man schließlich auch
(2, p + 1) ∈ hσ, τi.
3. Fall Sei σ = (12)(34) . . . das Produkt von mindestens zwei Transpositionen. Insbesondere ist in diesem Fall n > 4 (wegen n 6= 4). Wähle
(13)(245 . . . n) n ungerade
τ=
(13)(45 . . . n)
n gerade
Konjugiert man (13) mit σ, so erhält man (24) ∈ hσ, τi. Konjugiert man (24) mit
den Potenzen von τ2 , so erhält man Sym(2, 4, 5, . . . , n) ⊆ hσ, τi. Insbesondere ist
(n, i) ∈ hσ, τi für i ∈ {2, 4, 5, . . . , n}. Konjugiert man nun (n, 2) und (n, 4) mit σ,
so erhält man entweder (n, 1), (n, 3) ∈ hσ, τi oder (n + 1, 1), (n + 1, 3) ∈ hσ, τi.
Im zweiten Fall konjugiert man zusätzlich mit (n, n − 1).
Sei nun n = 4 und σ = (12)(34). Wir nehmen indirekt Sym(4) = hσ, τi für ein
τ ∈ Sym(4) an. Dann ist
Sym(4)/h(12)(34), (13)(24)i = hτih(12)(34), (13)(24)i/h(12)(34), (13)(24)i
∼ hτi/hτi ∩ h(12)(34), (13)(24)i
=
zyklisch. Da Sym(4) aber kein Element der Ordnung größer gleich 6 besitzt,
erhalten wir einen Widerspruch.
A.5. Blatt 5
A.5.1. Aufgabe 18
Seien g, h Elemente einer Gruppe G der endlichen Ordnungen m, n. Zeigen Sie die
untenstehenden Aussagen:
(i) Ist k ∈ Z mit gk = 1, so gilt m | k.
106
A.6. Blatt 6
(ii) Für k ∈ Z hat gk die Ordnung
m
ggT(m,k) .
(iii) Gilt gh = hg und ggT(m, n) = 1, so hat gh die Ordnung mn.
A.5.2. Aufgabe 19
Seien G eine Gruppe, n ∈ N und H 6 Sym(n). Zeigen Sie, dass
G o H := {(g1 , . . . , gn ; h) : g1 , . . . , gn ∈ G, h ∈ H}
mit der folgenden Multiplikation zu einer Gruppe wird:
0
(g1 , . . . , gn ; h)(g10 , . . . , gn
; h) := (g1 gh0 −1 (1) , . . . , gn gh0 −1 (n) ; hh 0 )
Man nennt G o H das Kranzprodukt von G und H. Beweisen Sie, dass G o H einen
∼ G × . . . × G (n Faktoren) und eine Untergruppe U mit U =
∼
Normalteiler N mit N =
H, G o H = NU und N ∩ U = 1 hat.
A.5.3. Aufgabe 20
Zeigen Sie, dass für jede einfache nichtabelsche Gruppe G gilt:
(i) Inn(G) ist eine charakteristische Untergruppe von Aut(G).
(ii) Aut(Aut(G)) = Inn(Aut(G)).
A.5.4. Aufgabe 21
(i) Geben Sie eine Kompositionsreihe und eine Hauptreihe von SL(2, Z/3Z) an.
(ii) Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung 6 gibt.
A.6. Blatt 6
A.6.1. Aufgabe 22
Zeigen Sie, dass jede endliche Gruppe G, die eine einfache End(G)-Gruppe ist, charakteristisch einfach ist. (Hinweis: Zeigen Sie, dass für jeden echten Normalteiler N in G
∼ G/N
möglichst großer Ordnung der Durchschnitt aller Normalteiler M von G mit G/M =
eine vollinvariante Untergruppe von G ist.)
107
A. Übungsaufgaben
A.6.2. Aufgabe 23
Geben Sie Beispiele für Gruppen an, die die folgenden Bedingungen für Untergruppen
erfüllen (bzw. nicht erfüllen):
(i) Minimal-/Maximalbedingung
(ii) Minimal- und nicht Maximalbedingung
(iii) Maximal- und nicht Minimalbedingung
(iv) weder Minimal- noch Maximalbedingung
A.6.3. Aufgabe 24
Zeigen Sie, dass für jede Gruppe G gilt:
(i) Die Abbildung G → G, x 7→ x−1 ist genau dann ein Automorphismus, wenn G
abelsch ist.
(ii) Die Abbildung G → G, x 7→ x2 ist genau dann ein Endomorphismus, wenn G
abelsch ist.
(iii) Im Fall |G| < ∞ ist die Abbildung G → G, x 7→ x2 genau dann ein Automorphismus,
wenn G abelsch von ungerader Ordnung ist.
A.6.4. Aufgabe 25
(i) Zeigen Sie, dass die komplexen Matrizen
a=
i 0
0 −i
b=
0 1
−1 0
eine nichtabelsche Gruppe G der Ordnung 8 erzeugen.
(ii) Zeigen Sie, dass jede Untergruppe von G normal in G ist.
(iii) Ist G zu der Gruppe aus Aufgabe 9 (Abschnitt A.2.5) isomorph?
108
A.7. Blatt 7
A.7. Blatt 7
A.7.1. Aufgabe 26
∼ Z/8Z × Z/3Z × Z/5Z.
(i) Zeigen Sie: Z/120Z =
(ii) Bestimmen Sie die Anzahl der Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung
36.
(iii) Sei A := Z × (Z/2Z). Bestimmen Sie T (A) und geben Sie zwei verschiedene
Untergruppen F1 , F2 von A mit A = T (A) ⊕ F1 = T (A) ⊕ F2 an.
A.7.2. Aufgabe 27
∼ Sym(3) =
∼ G/N. Zeigen Sie, dass G zu
Sei N ein Normalteiler einer Gruppe G mit N =
Sym(3) × Sym(3) isomorph ist.
A.7.3. Aufgabe 28
Seien G1 , G2 Gruppen. Konstruieren Sie eine Bijektion zwischen der Menge aller Untergruppen von G1 × G2 und der Menge aller 5-Tupel (H1 , K1 , H2 , K2 , ϕ) mit den folgenden
Eigenschaften:
(i) K1 H1 6 G1 und K2 H2 6 G2 .
(ii) ϕ : H1 /K1 → H2 /K2 Isomorphismus.
A.7.4. Aufgabe 29
Finden Sie mit GAP eine endliche Gruppe G, in der nicht jedes Element aus G 0 ein
Kommutator ist.
A.8. Blatt 8
A.8.1. Aufgabe 30
Zeigen Sie, dass für Elemente a, b einer Gruppe G stets gilt:
(i) Ist [a, b] mit a vertauschbar, so ist [an , b] = [a, bn ] für n ∈ Z.
n
(ii) Ist [a, b] mit a und b vertauschbar, so ist (ab)n = an bn [b, a]( 2 ) für n ∈ N.
109
A. Übungsaufgaben
A.8.2. Aufgabe 31
Seien K ein Körper und n ∈ N.
(i) Zeigen Sie, dass die Untergruppe U von GL(n, K), die aus allen Matrizen der Form

1

0

 ..
.

.
 ..
∗
..
.
..
.
0 ...
...
..
.
..
.
..
.
...
...
..
.
..
.
0

∗
.. 
.

.. 
.


∗
1
besteht, nilpotent ist und bestimmen Sie die Nilpotenzklasse von U.
(ii) Zeigen sie, dass die Untergruppe B von GL(n, K), die aus allen Matrizen der Form
∗ ...

.
0 . .

 .. . .
.
.

.
 ..
0 ...

...
..
..
...
.
.
...
..
.
0

∗
.. 
.

.. 
.

.. 
.
∗
besteht, auflösbar ist.
A.8.3. Aufgabe 32
(i) Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau fünf Gruppen der Ordnung 8 gibt.
A.8.4. Aufgabe 33
Beweisen Sie, dass eine zyklische Gruppe der Ordnung n < ∞ zu jedem Teiler d von n
genau eine Untergruppe der Ordnung d enthält.
110
A.9. Blatt 9
A.9. Blatt 9
A.9.1. Aufgabe 34
Seien G eine endliche Gruppe und α ∈ Aut(G) mit { x ∈ G | α(x) = x } = {1}. (Automorphismen mit dieser Eigenschaft heißen fixpunktfrei.) Zeigen Sie:
(i) G = α(x)x−1 x ∈ G
(ii) Ist α2 = idG , so ist G abelsch von ungerader Ordnung.
A.9.2. Aufgabe 35
Sei K ein Körper mit |K| = 3. Zeigen Sie, dass GL(2, K)/Z(GL(2, K)) zu Sym(4) isomorph
ist.
A.9.3. Aufgabe 36
Beweisen Sie folgende Aussage: Sei G eine Gruppe. Wenn G/Z(G) zyklisch ist, so ist die
Gruppe G abelsch.
A.9.4. Aufgabe 37
Zeigen Sie, dass eine endlich erzeugte Gruppe für n ∈ N nur endlich viele Untergruppen
vom Index n enthält.
A.9.5. Aufgabe 38
Sei H eine Untergruppe einer endlichen Gruppe G, deren Index der kleinste Primfaktor
von |G| ist. Zeigen Sie: H G.
A.10. Blatt 10
A.10.1. Aufgabe 39
Wie viele verschiedene Armbänder aus insgesamt 10 Perlen lassen sich herstellen, wenn
Perlen in den Farben rot, gelb und blau zur Verfügung stehen?
111
A. Übungsaufgaben
A.10.2. Aufgabe 40
(i) Zeigen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung 9 gibt.
(ii) Bestimmen Sie bis auf Isomorphie alle endlichen Gruppen der Klassenzahl 4.
A.10.3. Aufgabe 41
Seien G 6= 1 eine endliche Gruppe und A 6 Aut(G). Wir betrachten die natürliche
Operation von A auf G \ {1}. Zeigen Sie:
(i) Ist die Operation transitiv, so ist G abelsch und es existiert ein p ∈ P mit xp = 1 für
alle x ∈ G.
(ii) Ist sie 2-transitiv, so ist p = 2 oder |G| = 3.
(iii) Ist sie 3-transitiv, so ist |G| = 4.
(iv) Sie ist nie 4-transitiv.
A.10.4. Aufgabe 42
Seien G eine endliche Gruppe, p ∈ P und S, T verschiedene p-Sylowgruppen von G derart,
dass |S ∩ T | möglichst groß. Zeigen Sie:
|Sylp (G)| ≡ 1
(mod |S : S ∩ T |)
A.11. Blatt 11
A.11.1. Aufgabe 43
Sei G eine Gruppe der Ordnung 2n, wobei n ∈ N ungerade ist. Zeigen Sie, dass G einen
Normalteiler H vom Index 2 enthält.
A.11.2. Aufgabe 44
Seien K ein Körper, n ∈ N und U die Untergruppe von G := GL(n, K), die aus allen
oberen Dreiecksmatrizen mit lauter Einsen auf der Hauptdiagonale besteht. Berechnen
Sie NG (U).
112
A.12. Blatt 12
A.11.3. Aufgabe 45
Sei g ∈ Alt(n) für ein n ∈ N. Wie kann man am Typ (k1 , . . . , kl ) von g erkennen, ob
CSym(n) (g) ⊆ Alt(n) ist?
A.11.4. Aufgabe 46
(i) Zeigen Sie, dass für p ∈ P und n ∈ N Gruppen der Ordnungen 4pn und 8pn stets
auflösbar sind.
(ii) Beweisen Sie, dass Gruppen der Ordnungen 61, . . . , 119 auflösbar sind.
(iii) Zeigen Sie, dass eine Gruppe der Ordnung 120 nicht einfach sein kann.
(iv) Sind Sym(5) und SL(2, F5 ) isomorph?
A.12. Blatt 12
A.12.1. Aufgabe 47
(i) Zeigen Sie, dass Alt(4) keine Untergruppe der Ordnung 6 enthält.
(ii) Ist Sym(4) zu SL(2, F3 ) isomorph?
(iii) Konstruieren Sie zwei nichtkonjugierte Untergruppen der Ordnung 24 in GL(3, F2 ).
A.12.2. Aufgabe 48
(i) Beweisen Sie, dass es bis auf Isomorphie genau fünf Gruppen der Ordnung 12 gibt.
(ii) Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung 15 zyklisch ist.
A.12.3. Aufgabe 49
wie viele verschiedene Färbungen der sechs Seiten eines Würfels mit höchstens 3 Farben
gibt es?
A.12.4. Aufgabe 50
Seien G eine endliche auflösbare Gruppe, π ⊆ P, H ∈ Hallπ (G) und NG (H) 6 u 6 G.
Zeigen Sie: NG (U) = U.
113
A. Übungsaufgaben
A.13. Blatt 13
A.13.1. Aufgabe 51
(i) Sei n ∈ N mit n > 3. Zeigen Sie, dass die Permutationen
a = (1, 2, . . . , n)
b = (1, n)(2, n − 1)(3, n − 2) . . .
eine Untergruppe der Ordnung 2n von Sym(n) erzeugen. Man nennt D2n := ha, bi
Diedergruppe der Ordnung 2n.
(ii) Beweisen Sie, dass D2n zur Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks isomorph
ist.
Bemerkung: Manchmal betrachtet man die K LEINsche Vierergruppe
V4 = {(1), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} 6 Sym(4)
als Diedergruppe der Ordnung 4.
A.13.2. Aufgabe 52
Sei G eine endliche Gruppe und seien x, y ∈ G zwei verschiedene Involutionen (d. h.
Elemente der Ordnung 2). Zeigen Sie, dass hx, yi zu einer Diedergruppe isomorph
ist.
A.13.3. Aufgabe 53
(i) Beweisen Sie, dass es für p ∈ P bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der
Ordnung 2p gibt.
A.13.4. Aufgabe 54
Seien G eine endliche Gruppe, p ∈ P, Q 6 G eine p-Untergruppe und N G ein
p 0 -Normalteiler. Zeigen Sie:
NG/N (QN/N) = NG (Q)N/H
114
CG/N (QN/N) = CG (Q)N/N
B. Artikel zum begleitendem Lesen
Herr Külshammer teilte zu Beginn der Vorlesung einen Ausschnitt aus einer Zeitschrift
aus. Das Dokument kann auf der Seite http://www.math.auckland.ac.nz/~obrien/
research/gnu.pdf nachgelesen werden.
115
Literaturverzeichnis
[1] A LPERIN -B ELL. Groups and representations.
[2] A SCHBACHER. Finite group theory.
[3] I SAACS. Finite group theory.
[4] KURZWEIL -S TELLMACHER. Theorie der endlichen Gruppen.
[5] R OBINSON. course in the theory of groups.
[6] R OTMAN. An introduction to the theory of groups.
[7] H UPPERT. Endliche Gruppen I.
[8] H UPPERT -B LACKBURN. Finite groups II–III.
[9] S UZUKI. Group theory I–II.
[10] G ORENSTEIN. Finite Groups.
[11] R ONAN. Symmetry and the monster.
116
Index
π Element, 82
Ω Gruppe, 33, 82
charakteristisch einfache, 36
einfache, 36
unzerlegbare, 41
π H ALL Gruppe, 82
Ω Homomorphismus, 33
π Kern, 88
Ω Normalteiler, 33
Ω Untergruppe, 33
3 Untergruppen=Lemma, 53
A
Abbildung
identische, 14
abelsch, 14
Alphabet, 14
auflösbar, 54
Auflösbarkeitsstufe, 54
Automorphismengruppe
innere, 21
äußere, 30
Automorphismus
fixpunktfreier, 111
innerer, 21
charakteristisch einfach, 36
D
Diedergruppe, 11, 114
disjunkt, 77
Doppelnebenklasse, 25
E
echt, 35
einfach, 29, 36
Einheitengruppe, 17
Endomorphismus
addierbarer, 42
normaler, 37
Epimorphismus
kanonischer, 29
Erzeugendensystem, 20
F
Faktor, 35
Faktorgruppe, 28
Fehlstand, 78
Fixpunkt, 65
fixpunktfrei, 111
Fokalgruppe, 95
freie abelsche Gruppen, 46
B
Bahn, 64
Bahnengleichung, 64
Basis, 46
Basistransposition, 78
Bild, 21
Buchstaben, 14
C
charakteristisch, 32
G
Grad
orthogonale Gruppe, 62
unitäre Gruppe, 63
Gruppe, 17
alternierende, 79
auflösbare, 54
einfache, 29
endlich erzeugte, 20
117
INDEX
freie abelsche, 46
hyperfokale, 96
nilpotente, 58
orthogonale, 62
perfekte, 53
projektive allgemeine lineare, 89
projektive allgemeine lineare Gruppe, 89
projektive spezielle lineare, 89
projektive spezielle lineare Gruppe,
89
symmetrische, 17
torsionsfreie, 46
unitäre, 63
H
Halbgruppe, 14
freie, 14
Hallgruppe, 82
Hauptfaktor, 36
Hauptlänge, 36
Hauptreihe, 36
höheren Kommutatorgruppen, 53
Homomorphismus, 15
hyperfokal, 96
Hyperzentrum, 58
I
Identität
D EDEKINDsche, 19
imprimitiv, 68
Index, 23
Inverses, 14
Inversion, 78
invertierbar, 14
isomorph, 15, 35
K
k Zyklus, 77
Kern, 21, 63, 65
Klassengleichung, 70
Klassenzahl, 70
kommutativ, 14
118
Kommutator, 51
höhere rechtsnormierte, 51
Kommutator zweier Teilmengen, 52
Kommutatorgruppe, 53
Komplement, 87
Kompositionsfaktoren, 36
Kompositionslänge, 36
Kompositionsreihe, 36
Konjugation, 70, 71
Konjugationsklasse, 70, 71
konjugiert, 70, 71
Kranzprodukt, 107
L
L EVI-Untergruppe, 44
linear abhängig, 46
linear unabhängig, 46
Linksinverse, 14
linksinvertierbar, 14
linkskongruent, 23
Linksnebenklasse, 23
linksneutral, 13
Linksoperation, 62
Länge, 35, 64, 77, 78
M
Magma, 13
Maximalbedingung, 40
Minimalbedingung, 40
Monade, 13
Monoid, 14
freies, 14
N
n transitiv, 66
neutral, 13
nilpotent, 41, 58
Nilpotenzklasse, 58
normal, 28
Normalisator, 60, 71
Normalreihe, 35
Normalteiler, 28
maximale, 39
INDEX
minimale, 39
Nullabbildung, 37
O
ähnlich, 64
äquivalent, 64
Operation, 62
imprimitive, 68
primitive, 68
reguläre, 65
transitive, 65
treue, 63
triviale, 63
Operatoren, 33
Ordnung, 18, 24
S
Stabilisator, 64
Subnormalreihe, 35
ohne Wiederholung, 35
Summe
direkte, 38
Sylowgruppe, 71
T
torsionsfrei, 46
Torsionsgruppe, 46
transitiv, 65, 66
Transposition, 78
treu, 63
trivial, 63
Typ, 77
P
U
p Element, 71
p Gruppe, 71
paarweise addierbar, 42
Partition, 77
perfekt, 53
Permutation, 17
Permutationsmatrizen, 103
Potenz, 14
Primgruppe, 71
primitiv, 68
Produkt
direktes, 17
direktes eingeschränktes, 19
semidirektes, 104
Untergruppe, 18
echte, 18
erzeugte, 20
maximale, 39
minimale, 39
normale, 28
triviale, 18
zyklische, 20
Urbild, 21
R
Radikal
auflösbares, 55
Rang, 48
Rechtsinverse, 14
rechtsinvertierbar, 14
rechtskongruent, 23
Rechtsnebenklasse, 23
rechtsneutral, 13
regulär, 65
V
Verfeinerung, 35
echte, 35
Verknüpfung, 13
Verlagerung, 94
vertauschbar, 14
vollinvariant, 32
Vorzeichen, 79
W
Wort, 14
leeres, 14
Y
Y OUNG-Untergruppe, 44
119
INDEX
Z
Zentralfolge, 57
absteigende, 57
aufsteigende, 58
Zentralisator, 70
Zentralreihe, 59
absteigende, 60
aufsteigende, 59
obere, 59
untere, 60
Zentrum, 21
Zyklenschreibweise, 77
Zyklus, 77
disjunkter, 77
120

Gruppentheorie - Vorlesungsskripte der Fakultät für Mathematik

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