Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I
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Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I
Musterlösung zur Klausur Lineare Algebra I Aufgabe 1, Version A (5 Punkte): Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 0,5 Punkte, für jede falsche 0 Punkte. Eine Begründung ist nicht erforderlich. wahr falsch X ¤ ¤ X ¤ X X ¤ ¤ X Eine Abbildung f : M → M ist genau dann surjektiv, wenn f ◦ f surjektiv ist. X ¤ Es gibt einen R-Vektorraum mit genau 13 Elementen. ¤ X Für alle Matrizen M, M ′ ∈ R2×2 gilt M · M′ = M′ · M. ¤ X Es existiert ein R-Untervektorraum U von R2 , so dass U ⊕ ⟨(1, 0)⟩ = R2 und U ⊕ ⟨(0, 1)⟩ = R2 gilt. X ¤ Sei U ein R-Untervektorraum eines R-Vektorraums V . Dann gilt dimR (V /U ) = dimR (V )/ dimR (U ). ¤ X ( 1 2 ) ( , 2 3 ) ( , 3 4 ) ist ein Erzeugendensystem des R-Vektorraums R2 . ( 1 i ) ( , −i 1 ) ist eine Basis des C-Vektorraums C2 . In jedem Körper gilt 1 + 1 ̸= 0. Die Relation auf Z x ∼ y :⇐⇒ x + y ist gerade (x, y ∈ Z) ist eine Äquivalenzrelation. Die Abbildung Q2 → R, (q1 , q2 ) 7→ q1 + q2 · ist nicht injektiv. √ 2 Aufgabe 1, Version B (5 Punkte): Welche der folgenden Aussagen sind wahr bzw. falsch? Setzen Sie in jeder Zeile genau ein Kreuz. Für jede korrekte Antwort erhalten Sie 0,5 Punkte, für jede falsche 0 Punkte. Eine Begründung ist nicht erforderlich. wahr falsch X ¤ X ¤ X ¤ ¤ X X ¤ Eine Abbildung f : M → M ist genau dann surjektiv, wenn f ◦ f surjektiv ist. X ¤ Es gibt keinen R-Vektorraum mit genau 13 Elementen. X ¤ Es gibt Matrizen M, M ′ ∈ R2×2 mit M · M ′ ̸= M ′ · M . X ¤ Es existiert ein R-Untervektorraum U von R2 , so dass U ⊕ ⟨(1, 0)⟩ = R2 und U ⊕ ⟨(0, 1)⟩ = R2 gilt. X ¤ Sei U ein R-Untervektorraum eines R-Vektorraums V . Dann gilt dimR (V /U ) = dimR (V )/ dimR (U ). ¤ X ( 1 2 ) ( , 2 3 ) ( , 3 4 ) ist ein Erzeugendensystem des R-Vektorraums R2 . ( 1 i ) ( , −i 1 ) ist keine Basis des C-Vektorraums C2 . Es gibt einen Körper, in dem 1 + 1 = 0 gilt. Die Relation auf Z x ∼ y :⇐⇒ x + y ist gerade (x, y ∈ Z) ist keine Äquivalenzrelation. Die Abbildung Q2 → R, (q1 , q2 ) 7→ q1 + q2 · ist injektiv. √ 2 Aufgabe 2, Version A (5 Punkte): Geben Sie das richtige Ergebnis an. Eine Begründung ist nicht erforderlich. a) Bestimmen 1 2 Rang( 1 2 Sie den Rang folgender reeller Matrix. 1 0 1 3 1 2 ) = 3 2 3 4 (1 P.) 2 4 8 b) Bestimmen Sie die inverse Matrix in R2×2 . ( )−1 ( ) 2 3 2 −3 = 1 2 −1 2 (1 P.) c) Geben Sie einen Vektor b ∈ R3 an, für den das Gleichungssystem 2 3 1 3 −2 −2 · x = b 5 1 −1 (x ∈ R3 ) 1 b= 0 0 keine Lösung besitzt. (1 P.) (Korrekte Lösungen sind die Vektoren (b1 , b2 , b3 ) mit b1 + b2 ̸= b3 .) d) Bestimmen Sie das Signum folgender Permutation. ( ) 1 2 3 4 5 sgn = −1 4 5 2 1 3 e) Berechnen Sie das Produkt folgender reeller Matrizen. ( ) 1 2 5 2 1 1 0 1 = 4 1 2 2 1 · 2 1 0 1 1 3 1 1 f) dimR (R4×5 ) = 20 (1 P.) (0,5 P.) (0,5 P.) Aufgabe 2, Version B (5 Punkte): Geben Sie das richtige Ergebnis an. Eine Begründung ist nicht erforderlich. a) Bestimmen 1 2 Rang( 1 2 Sie den Rang folgender reeller Matrix. 1 0 1 3 1 2 ) = 4 2 3 4 (1 P.) 2 4 9 b) Bestimmen Sie die inverse Matrix in R2×2 . ( )−1 ( ) 3 2 −1 2 = 2 1 2 −3 (1 P.) c) Geben Sie einen Vektor b ∈ R3 an, für den das Gleichungssystem 3 2 1 −2 3 −2 · x = b 1 5 −1 (x ∈ R3 ) 1 b= 0 0 keine Lösung besitzt. (1 P.) (Korrekte Lösungen sind die Vektoren (b1 , b2 , b3 ) mit b1 + b2 ̸= b3 .) d) Bestimmen Sie das Signum folgender Permutation. ( ) 1 2 3 4 5 sgn = −1 5 4 2 3 1 e) Berechnen Sie das Produkt folgender reeller Matrizen. ( ) 1 1 3 1 1 1 0 1 = 4 1 2 2 1 · 2 1 0 1 2 5 2 1 f) dimR (R5×3 ) = 15 (1 P.) (0,5 P.) (0,5 P.) Aufgabe 3 (3,5 Punkte): Für a ∈ R definieren wir die Abbildung fa : R2 → R2 , (x, y) 7→ (ax + y, x + ay). a) Zeigen Sie, dass die Abbildungen fa (a ∈ R) R-linear sind. (1 P.) b) Bestimmen Sie det(fa ) in Abhängigkeit von a. Für welche a ∈ R gilt det(fa ) = 0? (1 P.) c) Erläutern Sie kurz, warum mit der vorherigen Teilaufgabe Bild(fa ) = R2 für alle a ∈ R \ {±1} folgt. (0,5 P.) d) Bestimmen Sie jeweils eine Basis für Bild(f1 ) und Bild(f−1 ). (1 P.) Lösung: a) Die Abbildung fa ist R-linear, da für alle x1 , x2 , y1 , y2 , r ∈ R gilt: ( ) fa (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = fa (x1 + x2 , y1 + y2 ) = ( ) a(x1 + x2 ) + (y1 + y2 ), (x1 + x2 ) + a(y1 + y2 ) = (ax1 + y1 , x1 + ay1 ) + (ax2 + y2 , x2 + ay2 ) = fa (x1 , y1 ) + fa (x2 , y2 ) (0,5 P.) ( ) fa r(x1 , y1 ) = fa (rx1 , ry1 ) = (arx1 + ry1 , rx1 + ary1 ) = r(ax1 + y1 , x1 + ay1 ) = rfa (x1 , y1 ) (0,5 P.) ( ) a 1 b) det(fa ) = det( ) = a2 − 1 (0,5 P.) 1 a det(fa ) = 0 ⇐⇒ a ∈ {±1} (0,5 P.) c) a ∈ R \ {±1} =⇒ det(fa ) ̸= 0 =⇒ fa bijektiv =⇒ fa surjektiv, d.h. Bild(fa ) = R2 (0,5 P.) ¯ ¯ { } { } d) Bild(f1 ) = (x + y, x + y) ¯ x, y ∈ R = (z, z) ¯ z ∈ R Basis für Bild(f1 ): (1, 1) (0,5 P.) (Korrekte Lösungen sind auch alle anderen Vektoren (z, z) mit z ̸= 0.) ¯ ¯ { } { } Bild(f−1 ) = (−x + y, x − y) ¯ x, y ∈ R = (z, −z) ¯ z ∈ R Basis für Bild(f−1 ): (1, −1) (0,5 P.) (Korrekte Lösungen sind auch alle anderen Vektoren (z, −z) mit z ̸= 0.) Aufgabe 4 (3 Punkte): Auf der Menge G := {(x1 , x2 , x3 ) ∈ Q3 | x1 ̸= 0 und x3 ̸= 0} ist die Multiplikation (x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) := (x1 y1 , x1 y2 + x2 y3 , x3 y3 ) definiert. a) Zeigen Sie, dass G bezüglich dieser Multiplikation eine Gruppe ist. (Tipp: Prüfen Sie zunächst, ob (1, 0, 1) das neutrale Element ist.) (1,5 P.) b) Geben Sie ein x ∈ G mit x · (1, 1, 1) ̸= (1, 1, 1) · x an. (0,5 P.) c) Beweisen oder widerlegen Sie: Es gibt unendlich viele Elemente x ∈ G mit x · x = (1, 0, 1). (1 P.) Lösung: a) (1, 0, 1) ist das neutrale Element, denn für alle (x1 , x2 , x3 ) ∈ G gilt (x1 , x2 , x3 ) · (1, 0, 1) = (x1 · 1, x1 · 0 + x2 · 1, x3 · 1) = (x1 , x2 , x3 ) und (1, 0, 1) · (x1 , x2 , x3 ) = (1 · x1 , 1 · x2 + 0 · x3 , 1 · x3 ) = (x1 , x2 , x3 ). (0,5 −1 −1 −1 Das inverse Element von (x1 , x2 , x3 ) ∈ G ist (x1 , −x1 x2 x3 , x3 −1 ), denn (x1 , x2 , x3 ) · (x1 −1 , −x1 −1 x2 x3 −1 , x3 −1 ) = (x1 x1 −1 , −x1 x1 −1 x2 x3 −1 + x2 x3 −1 , x3 x3 −1 ) = (1, 0, 1) und (x1 −1 , −x1 −1 x2 x3 −1 , x3 −1 ) · (x1 , x2 , x3 ) = (x1 −1 x1 , x1 −1 x2 − x1 −1 x2 x3 −1 x3 , x3 −1 x3 ) = (1, 0, 1). (0,5 Assoziativität: Für alle (x1 , x2 , x3 ), (y1 , y2 , y3 ), (z1 , z2 , z3 ) ∈ G gilt ( ) (x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) · (z1 , z2 , z3 ) = (x y , x y + x2 y3 , x3 y3 ) · (z1 , z2 , z3 ) = ( 1 1 1 2 ) x1 y1 z1 , x1 y1 z2 + (x1 y2 + x2 y3 )z3 , x3 y3 z3 = ( ) x1 y1 z1 , x1 (y1 z2 + y2 z3 ) + x2 y3 z3 , x3 y3 z3 = (x1 , x2 , x3 ) · (y1 z1 , y1 z2 + y2 z3 , y3 z3 ) = ( ) (x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) · (z1 , z2 , z3 ) . (0,5 (Es wurde nicht erwartet, dass die Abgeschlossenheit der Menge G bzgl. Multiplikation nachgeprüft wird.) P.) P.) P.) der b) Für x := (1, 1, 2) gilt x · (1, 1, 1) = (1, 2, 2) ̸= (1, 3, 2) = (1, 1, 1) · x. (0,5 P.) (Korrekte Lösungen sind auch alle anderen (x1 , x2 , x3 ) ∈ G mit x1 ̸= x3 .) c) Es gibt unendlich viele x ∈ G mit x · x = (1, 0, 1), denn für alle r ∈ Q gilt (1, r, −1) · (1, r, −1) = (1, 0, 1). (Es gibt noch weitere Elemente x ∈ G mit x · x = (1, 0, 1).) (0,5 P.) (0,5 P.) Aufgabe 5 (2,5 Punkte): Sei f : R2 → R2 eine R-lineare Abbildung. Wir definieren ¯ { } Uf := (x, y) ∈ R2 ¯ f (x, y) = (y, x) . a) Zeigen Sie, dass Uf ein R-Untervektorraum von R2 ist. b) Beweisen Sie: Uf ∩ Kern(f ) = {(0, 0)} (1,5 P.) (1 P.) Lösung: a) Wegen f (0, 0) = (0, 0) gilt (0, 0) ∈ Uf und somit Uf ̸= ∅. (0,5 P.) Für (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ Uf gilt f (x1 , y1 ) = (y1 , x1 ) und f (x2 , y2 ) = (y2 , x2 ). Wegen der Linearität von f folgt f (x1 + x2 , y1 + y2 ) = f (x1 , y1 ) + f (x2 , y2 ) = (y1 , x1 ) + (y2 , x2 ) = (y1 + y2 , x1 + x2 ) und somit (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 ) ∈ Uf . (0,5 P.) Für r ∈ R und (x, y) ∈ Uf gilt (wegen der Linearität von f ) f (rx, ry) = rf (x, y) = r(y, x) = (ry, rx) und daher r(x, y) = (rx, ry) ∈ Uf . (0,5 P.) b) “⊆”: Sei (x, y) ∈ Uf ∩ Kern(f ). Dann folgt (y, x) = f (x, y) = (0, 0) und somit (x, y) = (0, 0). (0,5 P.) “⊇”: Da Uf , Kern(f ) ⊆ R2 Untervektorräume sind, gilt (0, 0) ∈ Uf und (0, 0) ∈ Kern(f ). Es folgt (0, 0) ∈ Uf ∩ Kern(f ). (0,5 P.) Benotung der Klausur: Die Klausur ist bestanden, falls insgesamt mindestens 7,5 Punkte und bei den Aufgaben 3 bis 5 zusammen mindestens 3 Punkte erreicht wurden. Bei bestandener Klausur wird die Note gemäß folgender Tabelle festgelegt: Punkte 18,5 - 19 17,5 - 18 16,5 - 17 15,5 - 16 14,5 - 15 13,5 - 14 12,5 - 13 11,5 - 12 10,5 - 11 7,5 - 10 Note 1,0 (sehr gut) 1,3 (sehr gut –) 1,7 (gut +) 2,0 (gut) 2,3 (gut –) 2,7 (befriedigend +) 3,0 (befriedigend) 3,3 (befriedigend –) 3,7 (ausreichend +) 4,0 (ausreichend) Die Klausur ist nicht bestanden, falls insgesamt weniger als 7,5 Punkte oder bei den Aufgaben 3 bis 5 zusammen weniger als 3 Punkte erreicht wurden. In diesem Fall wird die Klausur mit 5,0 (nicht ausreichend) benotet.