Integration von Differentialformen: Satz von Stokes

Integration von Differentialformen: Satz von Stokes
Sei ω eine k-Differentialform auf U ⊂ Rn .
Def. Ein eingebettetes Polytop σ ist ein Tripel (P, V , φ), wobei
◮
V ein k-dimensionaler affiner Raum mit einer fest gewählten
Orientierung,
◮
P ⊂ V ein Polytop (affine Hülle von endlich viel Punkten) und
◮
φ eine glatte Abbildung von P nach U ist.
Wir werden stets annehmen, dass das Polytop eigentlich ist, also dass die
affine Hülle von P gleich V ist.
Bsp. V = R2 (mit Standardorientierung),
P = {(x, y )|x ∈ [0, 2π], y ∈ [0, 1]}, φ(x, y ) = (y cos x, y sin x).
Def. Zwei eingebettete Polytope σ = (P, V , φ) und σ ′ = (P ′ , V ′ , φ′ ) sind
äquivalent, wenn es eine stetige Abbildung α : P → P ′ gibt, die die
Menge der inneren Punkte von P auf der Menge der inneren Punkte von
P ′ abbildet, und zwar in bijektiver, diffeomorpher und
orientierungserhaltender Weise so, dass auf der Menge der inneren
Punkte von P gilt: φ′ = φ ◦ α.
Integral einer k-Differentialform über einem eingebetteten
k-Polytop
Sei ω eine k-Differentialform auf U ⊂ Rn und σ = (P, V , φ) ein
eingebettetes k-Polytop.
Wir betrachten φ∗ ω auf P. Das ist eine k-Differentialform. Da P auch
k-dimensional ist, hat sie die Gestalt
φ∗ ω = f (x)dx1 ∧ ... ∧ dxk .
Wir nehmen an, dass in der Darstellung oben die Koordinaten x1 , ..., xk
auf V so gewählt sind, dass die Standardbasis in diesen Koordinaten
positiv orientiert ist.
Nun definiere
Z
ω=
σ
Z
...
Z
f (x)dx1 dx2 ...dxk .
P
Bemerkung. Ändern wir die Orientierung von V , so ändert sich das
Vorzeichen des Integrals.
Bemerkung. Integrale über äquivalenten eing. Polytopen sind gleich.
Bsp. Sei k = 1, n = 2. Dann ist σ im Wesentlichen eine Kurve
φ : [0, 1] → R2 . Für eine 1-Differentialform ω = a(x, y )dx + b(x, y )dy ist
dann
φ∗ ω = (a ◦ φ(t)φ′1 (t) + b ◦ φ(t)φ′2 (t)) dt
und deswegen
Z
ω=
σ
Z
1
(a ◦ φ(t)φ′1 (t) + b ◦ φ(t)φ′2 (t)) dt.
0
Das ist die aus Ana II bekannte Formel für das Kurvenintegral.
Ketten und Differentiale von Ketten
Def. Eine Kette ist eine formale (endliche) Linearkombination
X
K :=
λi σ i
i
von eingebetteten k-Polytopen σi . Die “+”-Operation ist kommutativ
und assoziativ. Die Operationen + und · erfüllen die Distributionsgesetze.
R
R
P
Wir definieren K ω := i λi σi ω.
Differential einer Kette
Sei σ = (P, V , φ) ein eingebettetes k-Polytop. Seien P1 , ..., Pm die Seiten
des Polytops. Wir betrachten die affinen Räume Vi := Aff (Pi ). Als
Orientierung auf Vi wählen wir die induzierte Orientierung: Eine Basis
b1 , ..., bk−1 in Vi ist g.d. positiv, wenn die Basis n, b1 , ..., bk−1 in V
positiv ist, wobei n die äußere Normale zu Pi ist. Die Einschränkung φ|Pi
nennen wir φi : Pi → U und setzen σi = (Pi , Vi , φi )
Def. Wir definieren
dσ =
X
σi .
i
(Das ist eine Kette, die Koeffizienten λi sind alle = 1.)
P
P
Def. Sei jetzt K = j λj σj eine Kette. Wir definieren dK = j λj dσj .
Einfache Übung.
ddK = 0.
Erklärung: Wegen der Linearität genügt es, die Aussage für einen
Simplex zu beweisen.
Satz von Stokes
Satz 20. (Satz von Stokes)
Z
dω =
K
Z
ω.
dK
Beweis wird auf der Tafel erklärt. Schritte des Beweises.
◮
Wegen der Linearität genügt es, die Aussage für ein eingebettetes
Polytop zu beweisen.
◮
Man kann oBdA annehmen, dass das Polytop ein Würfel ist.
◮
Da links und rechts im Satz von Stokes die Zahlen glatt von
Funktionswerten und ersten Ableitungen abhängen, genügt es, die
Aussage für eine (im C 1 -Sinne) dichte Menge von
k − 1-Differentuialformen zu beweisen, z.B. für Differentialformen
mit Polynomialkoefficienten. Für sie kann man das direkt
nachrechnen.
Standardanwendungen des Satzes von Stokes
Rb
f ′ (x)dx = f (b) − f (a).
◮
Satz von Newton:
◮
Divergenz und Rotation von Vektorfeldern im R3 .
a
Versprechen aus Vorlesung 5, Teil 1 (Bemerkung auf S. 7)
Lemma. Seien A,B : R2 → R Funktionen mit
∂A
∂x
=
∂B
∂y .
Dann existiert eine Funktion f sodass
∂f
∂x
= B und
∂f
∂y
Beweis wird auf der Tafel besprochen.
= A.