Funktionen mit mehreren Variablen / Aufgaben zu Kap 1 und Kap 2

Funktionen mit mehreren Variablen / Aufgaben zu Kap 1 und Kap 2
1. a) Skizzieren Sie zu der Funktion u(x,y) = 9 − x 2 − 2 y 2
die zugehörige u-Fläche.
b) Berechnen und skizzieren Sie die Höhenlinien und die Konturlinien
zur Höhe 1 und -1
c) Berechnen Sie die partiellen Funktionen von u in (1,1)
entlang x und entlang y . Skizzieren Sie die zugehörigen Kurven.
2. Machen sie sich durch Anlegen eines Bleistifts an eine gekrümmte Fäche (z.B.
PKW-Karosserie) anschaulich klar, dass eine gekrümmte glatte Fläche in jedem
Punkt unendlich viele Tangenten besitzt. Beispielsweise hat die u-Fläche der
Funktion u = 1 + x 2 + y 2 im Variablenpunkt (0,5 / 0,5) beliebig viele Tangenten.
Es gibt darunter ganau zwei Tangenten, die tangential an den partiellen
Funktionskurven anliegen.
Skizzieren Sie die partielle Funktion u ar (x ) in diesem Punkt in einem u-xKoordinatensystem, Berechnen Sie die Geradengleichung u= Ax + C der
Tangente an diese Kurve im Arbeitspunkt.
3. Definieren den Begriff „Partielle Ableitung“ und geben sie ein eigenes Beipiel für
partielle Ableitungen in einer physikalischen oder technischen Anwendung.
4. Geben sie drei Beispiele für Funktionen mehrerer Variablen aus der Physik oder
Technik an. Welche Bedeutung haben anschaulich die partiellen Ableitungen in
Ihren Beispielen? Wie lautet die Regel zur rechnerischen Bestimmung der
partiellen Ableitungen?Rechnen Sie alle partiellen Ableitungen Ihrer Beispiele
aus.
5. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von
a) u=2x1•sin(x2• x3)
b) u=exp(x1• x2)
c) u=ln(sinx1• x2)
6. 6) Das Gesetz idealer Gase lautet pV=nRT. Zeigen Sie, daß für konstante
∂p ∂V ∂T
Teilchenzahl gilt:
⋅
⋅
= −1
∂V ∂T ∂p
7. Leiten Sie die folgenden Funktionen nach allen Variablen partiell ab.
xy
z=
x+ y
z = 3x 2 + 4 xy − 2 y 2
z = 1+ x2 + y 2
u = x1 tan( x2 ⋅ x3 )
u = x 2 + z ⋅ e y + sin( x ⋅ y)
α = βγδ ,
α = α ( β ,γ , δ )
Mathematik2
Funktionen mit mehreren Variablen / Übungen Nr2
8. Beschreiben Sie mit Skizzen und Worten einen Algorithmus zur numerischen
Suche von lokalen Maxima einer Funktion u(x,y) mit Hilfe ihres Gradienten.
9. Sei
u = 1 + x 2 + y 2 . Berechnen Sie für den Arbeitspunkt (½, ½ ) den
Gradienten und die Richtungsableitungen für die Richtungs-vektoren
 1
0 
 1
  ,  
und
  . Bestimmen Sie auch das dortige vollständige
 0
1 
 1
Differential.
10. Was bedeutet anschaulich das Vollständige Differential du einer Funktion u?
 1
 
11. Berechnen Sie das vollständige Diffrerential der folgenden Funktion bei  1  :
π 
 
u = x 2 + yx + (sin(xyz ))2
12. Stellen Sie die vollständigen Differentiale der folgenden Funktionen auf und
beschreiben Sie in Worten ihre technische Bedeutung.
T
p = nP
V
1
T=
⋅V ⋅ p
nR
R ⋅R
Rges = 1 2
R1 + R2
13. Die Gleichung idealer Gase ist p=nRT/V. Die Ausgangsbedingung sei festgelegt
durch 273,0K, 10,00m3 und 1,00* 103mol. Um wieviel verändert sich in linearer
Näherung der Druck wenn die Temperatur um +3,0K steigt und das Volumen um
–0,1m3 sinkt? Lös: 0,04764bar, exakte Änderung 0,04812bar
14. Bestimmen Sie die Differentiale der Funktionen
w = 3 x 2 + 4 xy − 2 y 2
w = 1 + x2 + y2
w = x tan( xy )
15. Approximieren Sie bei den folgenden Funktionen mit Hilfe des Differentials die
Funktionsänderung ∆u = u (B ) − u ( A)
u ( x, y ) =
x2 + y 2 ,
A( 3 , 4 ), B( 2,97 , 4,04 )
u(x, y, z) = x ⋅ y ⋅ z , A(1,3,3), B(0,9 , 2,9 , 3,1)
16. Sei u eine Funktion der drei Variablen x,y und z und sei (a,b,c) ein Arbeitspunkt.
Für welche Kombinationen von Variablenänderungen dx, dy und dz, d.h. für
 dx 
 
welchen Differentialvektor  dy  , wird der Betrag des dazugehörigen
 dz 
 
vollständigen Differentials maximal, und für welche wird er minimal. Wie groß
sind diese extremen Werte? Geben Sie präzise Begründungen für Ihre Aussagen.
17. Die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks soll durch Messung der Katheten
und anschließende Rechnung bestimmt werden. Die Fehlergrenze (maximale
Unsicherheit) der Längenmessung sei 2mm. Die Längenmeßwerte seien 1,51m
± 2mm und 3,72m ± 2mm. Wie groß ist die Fehlergrenze der Hypothenuse?
18. Die Menge (ein mol) eines idealen Gases sei so gut bekannt, dass ihre
Unsicherheit keine Rolle spielt. Das Volumen sei zu 102,3 liter bestimmt worden
u max
=1%. Mit einer
und zwar mit einer relativer Fehlergrenze von V
V
Temperaturmessung möchte man sich (durch Rechnung) Aufschluß über den
Druck verschaffen. Dabei möchte man eine relative Fehlergrenze von 3% für
den Druck erreichen. Wie gut muß dann die Temperaturmessung sein? D.h., wie
u max
groß darf ihre relative Fehlergrenze T
höchstens sein? ( Nehmen sie an, der
T
Wert der Temperatur sei 99,7K).
19. Berechnen Sie für die Funktion u = e − x − y an einem beliebigen „VariablenStandort“ (a , b) die Richtung mit Richtungsableitung Null. Welche Form haben
also die Ortskurven in der x,y-Ebene, deren Punkte einen konstanten
Funktionswert u aufweisen (Höhenlinien)?
2
2
20. Wo besitzen die folgenden Funktionen Stellen mit ausschließlich „waagerechten“
Tangenten im x,y,u-system? Was kann man über das vollständige Differential an
diesen Stellen aussagen?
u ( x , y) = x 2 + y 2
u ( x , y) = 3xy − x 3 − y 3
21. Aus einem Blech der Breite b=10 soll eine Rinne mit maximalem Querschnitt
geformt werden. Bestimmen Sie die Wandbreite x und den Aufkantungswinkel ß
durch einen Extremwertansatz ohne Nebenbedingungen.
x
ß
x
a= 10-2x
ß
Berechnen Sie x , a und ß auch mit nebenbedingung nach Lagrange.
22. Maximieren Sie P=x•y • z, wobei Sie x+y+z=10 als Nebenbedingung einhalten.
23. Durch
F(x,y) = 2x3 + 2y3 –9xy = 0
wird eine Kurve in der x,y-Ebene
beschrieben, die unter anderem durch den Punkt (1,2) geht. Bestimmen Sie die
Geradengleichung der Tangente durch diesen Punkt mit Hilfe des Gradienten von
F.
Lös: 4x-5y+6=0
24. N Punkte im n-dimensionalen Raum sei mit Zahlendaten für die
Koordinatenwerte (xi yi zi ) vorgegeben. Bestimmen Sie einen Punkt, für den die
Summe der Abstandsquadrate zur den Punkten der vorgegebenen Menge
 0  1  0  0 
minimal wird. Nehmen Sie z.B. zum Test die vier Punkte  0 ,  0 ,  1  , 0 
       
 0  0  0  1 
       
25. Lineare Regression zur Ermittlung einer Ausgleichsgerade: Sei eine Anzahl von
Meßpunkten ( xj , yi ) gegeben
( i=1,2,3, ... N). Ermitteln Sie eine
Gerade y=mx+b, für welche die Summe der quadrierten Abweichungen
(di)2 =[ yi - ( mxi +b ) ]² minimal ist. D.h., es werden Formeln für
Geradenparameter b und m gesucht, mit deren Hilfe die optimalen Werte dieser
Geradenparameter direkt aus den Werten der Meßpunkten folgen. Tip: Die
Messwerte sind einfach ein Haufen konstanter Werte.
Nutzen Sie unbedingt die Möglichkeit, komplizierte Kombinationen dieser
Konstanten durch ein paar neue Konstantensymbole (A, B, …) abzukürzen.
Sonst sieht man den Wald vor Bäumen nicht.
Testen Sie Ihr Ergebnis anhand einer Menge von zwei einfach gesetzten
Meßpunkten.