Stochastik in der Grundschule

Universität Augsburg
Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Prof. Dr. Volker Ulm
Stochastik in der Grundschule
Tagung der Regionalkoordinatoren von
„SINUS an Grundschulen“
in Augsburg am 11. Mai 2010
Gliederung
1. Einführung: Stochastik im Lehrplan und den Bildungsstandards
2. Kombinatorik: Systematisches Abzählen
3. Wahrscheinlichkeit: Entwicklung von Grundvorstellungen
4. Statistik: Daten erheben und darstellen
5. Unterrichtsmethodik für Stochastik
6. Warum Stochastik in der Grundschule?
7. Literatur
8. Zwei komplexere Lernumgebungen
1.
Einführung: Stochastik im Lehrplan und den
Bildungsstandards
Bei manchen Erwachsenen entstehen beim Wort „Stochastik“ negative Gefühle und unangenehme Erinnerungen an die eigene Schulzeit. Dieser Beitrag möchte Anstöße geben, um solche bedrohlichen Gefühle abzubauen bzw. gar nicht erst entstehen zu lassen. Er zeigt, dass
Stochastik in der Grundschule Schülern wie Lehrkräften Spaß machen kann und dass dabei
gleichzeitig substanzielles mathematisches Lernen stattfindet.
1.1
Stochastik – ein Oberbegriff
„Stochastik“ (von griech. stochasmos: „Vermutung“) ist ein Oberbegriff. Die Inhalte gliedern
sich in drei Teilbereiche:
Stochastik
Kombinatorik
Statistik
Wahrscheinlichkeit
Der Teilbereich „Kombinatorik“ befasst sich mit der Frage: Wie viele Möglichkeiten
gibt es eigentlich, …? Es geht um systematisches Zählen von Möglichkeiten.
Der Bereich „Wahrscheinlichkeit“ befasst sich mit dem Zufall. Es wird versucht, den
Zufall sprachlich und mit Zahlen zu beschreiben – z. B. beim Würfeln.
In der „Statistik“ geht es in der Grundschule um die Erhebung, Darstellung und Interpretation von Daten. Das Arbeiten mit Diagrammen ordnet sich hier ein.
Im Folgenden wird an zahlreichen Beispielen gezeigt, wie diese drei Gebiete der Stochastik
den Mathematikunterricht in der Grundschule bereichern können.
2
1.2
Stochastik im bayerischen Lehrplan der Grundschule
Der aktuelle Grundschullehrplan sieht bereits für die 2., 3. und 4. Jahrgangsstufe Grunderfahrungen mit Phänomenen der Stochastik in allen drei Teilbereichen vor.
Kombinatorik
2.4.2: - Aufgaben zur Kombinatorik
z. B. verschieden farbige Häuserfronten und Dächer kombinieren
leistungsschwächere Schüler: einige Möglichkeiten durch Probieren finden
(Handeln, Zeichnen)
leistungsstärkere Schüler: alle Möglichkeiten durch Probieren finden (Handeln,
Zeichnen); eine systematische Vorgehensweise entwickeln; den gefundenen
Möglichkeiten eine Multiplikationsaufgabe zuordnen
3.4.2: - Aufgaben zur Kombinatorik
z. B. Kombinationsmöglichkeiten von Zahlenschlössern
Wahrscheinlichkeit
3.4.2: - Aufgaben zur Wahrscheinlichkeit
z. B. ein Würfel mit Farbflächen in unterschiedlicher Häufigkeit; Glücksräder
mit unterschiedlich großen Feldern
Statistik
2.4.2: - Informationen aus einfachen Tabellen und einfachen Schaubildern entnehmen und
versprachlichen
- Tabellen anlegen
Daten von Sachsituationen in eine Tabelle eintragen und versprachlichen
4.4.2: - Informationen aus komplexen Tabellen, Schaubildern und Diagrammen entnehmen
und versprachlichen
statistische Aufgaben, z. B.: Wie viele Kinder werden mit dem Auto in die
Schule gebracht? Welche Strecke wird dabei täglich insgesamt zurückgelegt?
In den Lehrplänen für die Hauptschule, die Realschule und das Gymnasium wird der Themenstrang „Stochastik“ aufgegriffen und ausgebaut.
3
1.3 Stochastik in den Bildungsstandards Mathematik für die
Primarstufe
Die von der Kultusministerkonferenz 2004 beschlossenen Bildungsstandards für die Primarstufe legen fest, welche Kompetenzen Schüler am Ende der 4. Jahrgangsstufe im Fach Mathematik erworben haben sollen. Die Kompetenzen sind gegliedert in:
Allgemeine mathematische Kompetenzen
Probleme mathematisch lösen
Kommunizieren
Mathematisch argumentieren
Mathematisch modellieren
Mathematische Darstellungen verwenden
Nutzen mathematischer Hilfsmittel und
Arbeitsweisen
Inhaltliche mathematische Kompetenzen,
gegliedert nach den Leitideen
Zahl und Operationen
Form und Veränderung
Muster und Strukturen
Größen und Messen
Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen werden von Schülerinnen und Schülern in der
Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben.
Die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind nach Leitideen geordnet. Leitideen
vereinigen Inhalte verschiedener Jahrgangsstufen und durchziehen ein mathematisches Curriculum spiralförmig. Sie stellen „rote Fäden“ der Schulmathematik dar.
Die Bildungsstandards haben den Einzug der Stochastik in der Primarstufe unterstützt, denn
sie fordern in den Inhaltsbereichen „Zahl und Operation“ sowie „Daten, Häufigkeit und
Wahrscheinlichkeit“ u. a. folgende Kompetenzen:
Kombinatorik
einfache kombinatorische Aufgaben (z. B. Knobelaufgaben) durch Probieren bzw.
systematisches Vorgehen lösen
Wahrscheinlichkeit
Grundbegriffe kennen (z. B. sicher, unmöglich, wahrscheinlich)
Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten (z. B. bei Würfelspielen) einschätzen
Statistik
in Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln,
strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstellen
aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informationen entnehmen
aus Grundschulbüchern:
4
1.4 Stochastik in den Bildungsstandards Mathematik für den
Mittleren Schulabschluss
Die von der Kultusministerkonferenz 2003 beschlossenen Bildungsstandards für den
Mittleren Bildungsabschluss legen fest, welche Kompetenzen Schüler am Ende der
Sekundarstufe I im Fach Mathematik erworben haben sollen. Die Kompetenzen sind
gegliedert in:
Allgemeine mathematische Kompetenzen
Probleme mathematisch lösen
kommunizieren
mathematisch argumentieren
mathematisch modellieren
mathematische Darstellungen verwenden
mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen
Inhaltliche mathematische Kompetenzen,
gegliedert nach den Leitideen
Zahl
Messen
Raum und Form
Funktionaler Zusammenhang
Daten und Zufall.
Wie in der Primarstufe gilt auch hier: Die allgemeinen mathematischen Kompetenzen werden
von Schülerinnen und Schülern in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben.
Die inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sind nach Leitideen geordnet. Leitideen
vereinigen Inhalte verschiedener Jahrgangsstufen und durchziehen ein mathematisches Curriculum spiralförmig. Sie stellen „rote Fäden“ der Schulmathematik dar.
Unter der Leitidee „Daten und Zufall“ ist in den Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss aufgeführt:
(L 5) Leitidee Daten und Zufall
Die Schülerinnen und Schüler
werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus,
planen statistische Erhebungen,
sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar,
auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software),
interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen,
reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren,
beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen,
bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten.
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2.
Kombinatorik: Systematisches Abzählen
In der Grundschule bieten sich im Rahmen des Rechnens mit natürlichen Zahlen bzw. des
Arbeitens an Sachsituationen auch kombinatorische Fragestellungen an. Die Kombinatorik
befasst sich mit Problemen der Art „Wie viele Möglichkeiten gibt es eigentlich, ...?“. Dabei
geht es um systematisches Abzählen von Möglichkeiten.
Ein zentrales Ziel des Mathematikunterrichts zur Stochastik ist es hier, bei den Schülern ein
tiefes Verständnis für das Zählprinzip allmählich anzubahnen und zu erzeugen.
2.1
Ein Zugang über Aufgaben
Wir betrachten zunächst eine Reihe von Aufgaben und arbeiten anschließend das gemeinsame
mathematische Muster, die gemeinsame Struktur heraus.
Auf wie viele Arten können sich drei Schüler für ein Foto nebeneinander stellen?
In der Klasse bieten sich verschiedene Zugänge an:
Drei Schüler versuchen, möglichst alle Aufstellungen vorzuführen.
Alternativ stellt man Stofftiere nebeneinander.
Um die gefundenen Möglichkeiten festzuhalten, werden Strichmännchen gezeichnet.
Statt der Strichmännchen könnte man auch die Anfangsbuchstaben dreier Schüler nebeneinander schreiben.
Durch Experimentieren und anschließendes Ordnen der gefundenen Möglichkeiten, gewinnen
die Schüler Zugang zur mathematischen Struktur der Situation. Sie können so Strategien für
systematisches Abzählen entwickeln, z. B.: Die linke Position kann mit drei Personen besetzt
werden. Für jede dieser Wahlen gibt es zwei Möglichkeiten für die mittlere Position. Rechts
muss sich die übrig gebliebene Person hinstellen. Insgesamt sind damit alle Aufstellungen in
drei Zweierbündel strukturiert. Es gibt also 3 · 2 = 6 verschiedene Aufstellungen.
Verallgemeinerung
Auf wie viele Arten können sich vier Schüler für ein Foto nebeneinander stellen?
Welche der obigen Zugangswege sind hier noch zweckmäßig?
Wie viele Möglichkeiten gibt es bei fünf, sechs, ... Schülern?
Bearbeitung analoger Probleme
Du hast einen blauen, einen roten und einen gelben Legostein. Wie viele verschiedene Türme
aus drei Steinen kannst du damit bauen?
Du nimmst noch einen grünen Baustein dazu. Wie viele Türme aus vier Steinen gibt es damit?
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Laura möchte drei Bücher ins Regal stellen. Wie viele Möglichkeiten hat sie dazu?
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn sie noch ein viertes Buch dazustellt?
Durch das Bearbeiten gleichartiger Probleme zeigen sich die den Situationen gemeinsamen
mathematischen Strukturen.
Es geht dabei ausdrücklich nicht darum, systematisch Kombinatorik zu betreiben („mit/ohne
Wiederholungen“ bzw. „mit/ohne Berücksichtigung der Reihenfolge“).
Vielmehr ist das Ziel, das Zählprinzip (siehe unten) tief im Verständnis der Schüler zu verankern. Erwachsenen fallen selbst strukturell einfache kombinatorische Fragen schwer, wenn sie
nicht in ihrer Kindheit die nötige Einsicht in das Zählprinzip gewonnen haben.
Situation mit anderer Struktur
Häuser legen
Du hast je ein blaues, rotes und gelbes quadratisches Plättchen bzw. dreieckiges Plättchen.
Auf wie viele Arten kannst du damit ein einstöckiges Haus legen?
Jeder Schüler hat das Material vor sich auf dem Tisch und kann damit experimentieren. Allerdings verliert man dabei leicht den Überblick, denn man weiß nicht mehr, welche Häuser
man bereits gelegt hat. So entsteht die Notwendigkeit, die gefundenen Möglichkeiten grafisch
festzuhalten. Zudem stellt sich nach den freien Erkundungen die Frage, ob bereits alle Möglichkeiten entdeckt sind bzw. welche es noch geben könnte? Hierfür besteht der entscheidende
mathematische Gedanke darin, alle gefunden Möglichkeiten systematisch zu ordnen: Drei
Häuser haben ein blaues Erdgeschoss, drei Häuser haben ein rotes Erdgeschoss und drei Häuser ein gelbes.
Diese systematische Ordnung führt zu tief liegenden Einsichten: Jede der drei ErdgeschossFarben ist mit jeder der drei Dach-Farben kombinierbar. So entstehen insgesamt drei Dreierbündel. Wir sehen dadurch, dass alle Möglichkeiten gefunden sind und dass es insgesamt 3 · 3
= 9 verschiedene Häuserfronten gibt.
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Variationen
Nimm ein rotes Quadrat und/oder ein rotes Dreieck dazu.
Baue zweistöckige bzw. mehrstöckige Häuser.
Baue mehrstöckige Türme ohne Dach.
Bei all diesen Variationen gewinnt man Übersicht über die verschiedenen Möglichkeiten,
indem man diese systematisch bündelt. So ergibt sich die Zahl aller Möglichkeiten jeweils als
Produkt aus der Zahl der Bündel und der Größe jedes einzelnen Bündels.
Analoge Probleme
A
B
C
Wie viele Möglichkeiten gibt es, um auf
den gezeichneten Wegen vom Ort A zum
Ort C zu gelangen?
Zugangswege:
Wege auf den Boden zeichnen und selbst gehen
Zeichnungen anfertigen
Baumdiagramm
Du hast in deinem Kleiderschrank fünf Pullover und drei Hosen. Auf wie viele Arten kannst
du dich damit anziehen?
Speisekarte
Wie viele Möglichkeiten gibt es, mit der
nebenstehenden Speisekarte ein Menü aus
Suppe, Hauptgericht und Nachspeise zusammenzustellen?
Tomatensuppe
Lauchcremesuppe
*****
Schnitzel mit Pommes Frites
Hähnchen mit Reis
Spaghetti Bolognese
*****
Eis
Obstsalat
Kuchen
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2.2
Ein kurzer Ausflug in die Psychologie
Der amerikanische Psychologe Jerome Bruner unterscheidet drei Ebenen, auf denen der
Mensch seine Umwelt erschließen kann und die damit auch für Lernen in der Schule von fundamentaler Bedeutung sind:
Darstellungsebenen nach J. Bruner
enaktive Ebene
Sachverhalte werden durch Handlungen mit konkreten Objekten erfasst.
ikonische Ebene
Sachverhalte werden durch Bilder und Grafiken
erfasst.
symbolische Ebene
Sachverhalte werden durch Symbole (z. B. verbal
oder durch mathematische Zeichen) erfasst.
Beim Lernen kommt es darauf an, Inhalte auf möglichst allen Ebenen zu erschließen und dabei möglichst viele Übergänge zwischen den Darstellungsebenen zu pflegen.
Die Schüler können die bislang vorgestellten Aufgaben auf allen drei Niveaus erschließen:
enaktiv: durch Handeln mit Gegenständen,
ikonisch: durch Zeichnen von Bildern,
symbolisch: durch Arbeiten mit Zahlen.
Zunächst wird jeweils mit Gegenständen experimentiert, danach werden die gefundenen
Möglichkeiten zeichnerisch festgehalten, schließlich wird der Situation eine Multiplikation
zugeordnet. Auf diese Weise gewinnen die Schüler Verständnis für diese Art von Problemen.
2.3
Arbeiten auf symbolischer Ebene: Probleme in größeren
Zahlbereichen
Haben die Schüler mehrere repräsentative Beispiele intensiv erkundet, können sich insbesondere Leistungsstärkere allmählich von der enaktiven bzw. ikonischen Ebene lösen und Probleme mit größeren Zahlen bearbeiten. Hier stößt der enaktive bzw. ikonische Zugang an
Grenzen:
Harry Potter möchte für Hogwarts eine Fahne mit drei verschiedenfarbigen Streifen entwerfen. Er hat fünf Farben zur
Verfügung.
Wie viele verschiedene Fahnen könnte er gestalten?
Bei dieser Aufgabe hilft reines Handeln oder Zeichnen kaum weiter. Dies ist aber auch gerade
die Stärke der Mathematik.
Die Schüler sollten an einfachen Beispielen auf enaktiver und ikonischer Ebene grundlegendes Verständnis für das Zählprinzip gewonnen haben. Diese Einsichten können sie dann in
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Situationen mit größeren Zahlen auf symbolischer Ebene anwenden. Damit wird eine ganz
typische Arbeitsweise der Mathematik erfahren.
Wie viele Einstellmöglichkeiten gibt es bei einem Fahrradzahlenschloss mit drei drehbaren
Scheiben, die jeweils die Ziffern 0, 1, 2, …, 9 zeigen?
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn sich auf jeder Scheibe nur die Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5
befinden?
2.4
Das Zählprinzip als zu Grunde liegendes Muster
Führen wir uns den universellen Gedankengang aller bisherigen Beispiele am obigen Beispiel
„Fahne von Harry Potter“ nochmals vor Augen:
Für die Farbe des obersten Streifens dieser Flagge gibt es 5 Möglichkeiten.
Für jede dieser 5 Möglichkeiten gibt es für den mittleren Streifen 4 Möglichkeiten.
Die beiden oberen Streifen lassen sich also auf 5 ⋅ 4 = 20 Möglichkeiten färben.
Für jede dieser 20 Möglichkeiten kann der unterste Streifen noch auf 3 verschiedene
Arten gefärbt werden. Insgesamt gibt es für die Farbanordnung der Flagge also
5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 20 ⋅ 3 = 60 Möglichkeiten.
Dieser Gedankengang lässt sich auf alle bisherigen Aufgaben übertragen. Er bietet einen
Weg, zunächst unübersichtlich erscheinende Anzahlen systematisch zu ermitteln.
Woraus besteht bei allen bisherigen Aufgaben das gemeinsame mathematische Muster?
Zählprinzip
Es ist nach einer Anzahl von Möglichkeiten gefragt.
Es sind Positionen zu besetzen, die in einer festen Reihenfolge stehen.
Für die Besetzung jeder einzelnen Position gibt es eine feste Zahl von Möglichkeiten.
Die Zahlen der Möglichkeiten bei den einzelnen Positionen sind zu multiplizieren.
Diese Formulierung ist natürlich so nicht für Schüler gedacht, sondern als fachlicher Hintergrund für Lehrkräfte. In der Grundschule sollte durch die Bearbeitung von Beispielen vor
allem ein tiefes Grundverständnis der Schüler dafür erzeugt werden, dass den dargestellten
Problemen jeweils eine Multiplikation zu Grunde liegt.
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2.5
Situationen mit anderer Struktur
Das Zählprinzip lässt sich natürlich nicht auf jede kombinatorische Situation anwenden, sondern nur, wenn obige Eigenschaften erfüllt sind. Um das Denken der Schüler flexibel zu gestalten, sollten auch Probleme mit anderer Struktur bearbeitet werden.
Du hast einen blauen und drei gelbe Legosteine. Wie viele verschiedene Türme aus vier Steinen kannst du damit bauen?
Wie viele Türme aus drei Steinen gibt es damit?
Die Schüler gewinnen wieder spielerisch Zugänge, indem sie Türme bauen und Zeichnungen
anfertigen. Durch Ordnen der gefundenen (vier) Möglichkeiten entwickeln die Schüler eine
systematische Zählstrategie für das Problemfeld.
Vielfältige Variationen bieten sich an:
Du hast einen blauen, einen gelben und zwei rote Legosteine. Wie viele verschieden Türme
aus vier Steinen kannst du damit bauen?
Wie viele Türme aus drei Steinen gibt es?
Auf wie viele Arten kannst du die vier Buchstaben OTTO der Reihe nach hinschreiben?
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3. Wahrscheinlichkeit: Entwicklung von
Grundvorstellungen
Die Bildungsstandards weisen explizit den Bereich „Wahrscheinlichkeit“ als Teil der Grundschulmathematik aus. Hierbei kann es nicht darum gehen, Wahrscheinlichkeiten zu berechnen
(denn dafür braucht man Brüche bzw. Prozentsätze). Vielmehr ist das Ziel, bei den Schülern
Grundverständnis für das Phänomen „Zufall“ zu erzeugen.
3.1
Zufall bewusst machen
Zunächst bietet es sich an, mit den Schülern über den Zufall zu reden und dabei Begriffe wie
„sicher“, „möglich“ und „unmöglich“ zu schärfen.
Dass es morgen regnet, ist das sicher, möglich oder unmöglich?
Dass morgen Weihnachten ist, ist das sicher, möglich oder unmöglich?
Dass morgen der Schulunterricht stattfindet, ist das sicher, möglich oder unmöglich?
Dass mich ein Schulbus heute nach Hause bringt, ist das sicher, möglich, unmöglich.
Dass ich mit einem Würfel 100 Mal hintereinander eine Sechs würfle, ist das sicher,
möglich oder unmöglich?
Was ist eigentlich im Leben vom Zufall abhängig?
Die Welt ist voller Zufälle. Darüber mit Schülern zu reden, ist ausgesprochen allgemeinbildend.
3.2
Wahrscheinlichkeiten vergleichen
Bei Diskussionen über Zufälle gelangt man in die Situation, dass man ausdrücken möchte:
Das eine Ereignis ist „zufälliger“ als das andere. Es geht also darum, Wahrscheinlichkeiten zu
vergleichen. Fragestellungen wie die folgenden können derartige Gespräche anregen:
Zwei Fußballmannschaften werfen eine Münze, um zu entscheiden, welche Mannschaft auf welcher Platzseite beginnt. Ist dieses Verfahren fair?
Treten beim Würfeln alle Zahlen gleich wahrscheinlich auf?
Was ist wahrscheinlicher, mit einem Würfel eine Eins oder mit einer Münze eine Zahl
zu werfen?
Was ist wahrscheinlicher, mit einem Würfel eine Sechs oder mit zwei Würfeln einen
Sechserpasch zu werfen?
Heidi hat beim Mensch-ärgere-dich-nicht bereits 20 Mal keine Sechs gewürfelt. Ist die
Wahrscheinlichkeit, dass sie beim nächsten Wurf eine Sechs erhält, nun größer als zu
Beginn des Spiels?
Stefan wirft mehrmals eine Münze und notiert, ob „Kopf“ oder „Zahl“ oben liegt.
Welcher Ausgang ist wahrscheinlicher: KKKKKKKKKK oder KZKKZZKZZK?
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Max und Laura vereinbaren ein Spiel: In einer Lostrommel befinden sich 49 Lose mit
Nummern 1 bis 49. Es wird ein Los gezogen. Max gewinnt, wenn eine gerade Zahl
gezogen wird, Laura bei einer ungeraden. Ist das Spiel fair?
Bereits auf dieser sprachlichen Ebene – ganz ohne Brüche und Prozente – können sehr grundlegende Vorstellungen zum Thema „Zufall“ bei Schülern aufgebaut werden.
3.3
Wahrscheinlichkeit mit Verhältnissen beschreiben
Im Mathematikunterricht der Sekundarstufe wird der Zufall mit Brüchen beschrieben und so
quantifiziert.
Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit, mit einer Münze „Zahl“ zu werfen, 1/2.
Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Würfel eine der Zahlen „5“ oder „6“ zu werfen, ist
2/6.
Im Allgemeinen ist Wahrscheinlichkeit als das Verhältnis der Zahl der günstigen Fälle zur
Zahl aller möglichen Fälle definiert.
Wahrscheinlichkeit =
Anzahl der günstigen Fälle
Anzahl der möglichen Fälle
Dabei darf keiner der möglichen Fälle gegenüber anderen bevorzugt sein.
Diese Begriffsbildung geht auf Pierre Laplace (1749-1827) zurück.
Die oben zusammengestellten Fragen zur Diskussion über Wahrscheinlichkeit in der Grundschule können diese Begriffsbildung der Sekundarstufe inhaltlich vorbereiten und das erforderliche Grundverständnis für den Zufall anbahnen.
Achtung
Schüler wie auch Erwachsene verwenden in manchen Fällen intuitiv auch einen anderen
Wahrscheinlichkeitsbegriff.
Auf die Frage nach der Chance, mit einer Münze „Zahl“ zu werfen, erhält man auch
die Antwort „Die Chance ist eins zu eins.“ bzw. „Fifty fifty“.
Entsprechend wird für das Auftreten einer Sechs beim Würfeln die Wahrscheinlichkeit
eins zu fünf angegeben.
Dahinter steht eine Vorstellung von der Wahrscheinlichkeit als das Verhältnis der Zahl der
günstigen Fälle zur Zahl der ungünstigen Fälle.
Letztlich wäre ein derartiger Wahrscheinlichkeitsbegriff ebenfalls tragfähig. Allerdings ist es
zur Kommunikation über mathematische Inhalte notwendig, die verwendeten Begriffe eindeutig festzulegen, und die oben eingerahmte Festlegung von Wahrscheinlichkeit ist eben die
historisch gewachsene und international übliche.
Dies sollte bereits bei Gesprächen über Wahrscheinlichkeit in der Grundschule bedacht werden, um keine Fehlvorstellungen anzubahnen. D. h. beispielsweise:
Die Wahrscheinlichkeit für eine „Sechs“ beim Würfeln ist „1 zu 6“ und nicht „1 zu 5“.
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4.
Statistik: Daten erheben und darstellen
Tagtäglich strömt eine Flut von Informationen in Form von Tabellen, Diagrammen oder Grafiken auf uns ein. Ein Ziel schulischer Bildung ist es, die Schüler in die Lage zu versetzen, mit
Diagrammen zu arbeiten. Sie sollen vorgegebene Diagramme lesen, verstehen und interpretieren können sowie selbst Daten in Form von Diagrammen übersichtlich darstellen können.
Doch mit welchen konkreten Fragestellungen kann man Schüler zu solchen Tätigkeiten anregen?
4.1
Statistiken aus Umfragen
Zum einen bieten Umfragen allerlei Anlässe, Daten zu sammeln, darzustellen und zu diskutieren, z. B.:
Wie alt sind die Kinder unserer Klasse?
Wie kommen wir zur Schule?
Wie weit ist unser Schulweg?
Was ist unsere Lieblingssportart?
Welche bzw. wie viele Haustiere haben wir zuhause?
An welchen Wochentagen haben alle Schüler unserer Klasse heuer Geburtstag?
Kommen alle Wochentage gleich oft vor?
Das Bedürfnis, die erhobenen Daten übersichtlich darzustellen, führt zu Stichlisten, Balkendiagrammen oder spontan erfundenen Grafiken. An solchen Beispielen lernen die Schüler,
wie Diagramme „funktionieren“, wie man sie zu lesen hat und wie man sie selbst erstellen
kann.
4.2
Statistiken aus Naturbeobachtungen
Zum anderen liefern Beobachtungen der Natur Daten, mit denen die Natur durch statistische
Analysen erforscht werden kann, z. B.:
Wie warm ist es im April um 8:00 Uhr vor unserem Fenster?
Wie schnell wächst eine Tomatenpflanze?
Zur Erforschung der zweiten Frage werden Tomatenkerne in die Erde gesteckt und regelmäßig gegossen. Wenn die Pflänzchen aus der Erde herausschauen, messen die Schüler jede
Woche, wie groß die Pflanzen sind. Diese Größe wird Woche für Woche in eine Tabelle und
in ein Diagramm eingetragen.
Das Diagramm macht so Informationen sichtbar, die man den Pflanzen direkt nicht ansieht,
nämlich die zeitliche Entwicklung der Pflanzen: Wann sind sie schnell, wann sind sie langsam
gewachsen?
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Als Variation bietet sich etwa an,
Pflanzen auf das Fensterbrett oder in den Schrank zu stellen und zu vergleichen, welche Auswirkungen dies auf das Diagramm hat,
verschiedene Pflanzen zu untersuchen (Tomaten, Gurken, Bohnen, ...).
Damit betreibt man in bestem Maße fächerübergreifenden Mathematikunterricht.
4.3
Statistiken aus Zufallsexperimenten
Statistiken helfen, das Phänomen „Zufall“ zu erforschen. So entstehen Verbindungen zwischen den Bereichen Statistik und Wahrscheinlichkeit. Ein Beispiel:
Bleibt ein Reißnagel nach dem Werfen eher mit der Spitze nach unten oder der Spitze nach
oben liegen?
Bei dieser Frage hat man zunächst kaum eine Ahnung, wie die Antwort lauten könnte. Allerdings hilft ein Experiment, den Zufall zu erforschen. Jeder Schüler erhält einen Reißnagel,
wirft diesen 20 Mal und zählt, wie oft die Spitze nach unten bzw. oben zeigt. Wenn diese Resultate der einzelnen Schüler in der Klasse gesammelt und addiert werden, erhält man im
Handumdrehen Daten für 20, 40, 60, 80, ..., 400 Würfe (je nach Klassengröße). Die Ergebnisse werden in einer Tabelle und in einer Grafik – z. B. einem Balkendiagramm – dargestellt.
Zahl der Würfe
Spitze unten
Spitze oben
20
8
12
40
19
21
60
26
34
80
36
44
100
43
57
120
51
69
...
...
...
80
70
60
50
Spitze unten
40
Spitze oben
30
20
10
0
20
40
60
80
100
120
Ein Reißnagel hat gegenüber einer Münze oder einem Würfel den Vorteil, dass man von vornherein nicht weiß, was herauskommen wird. Man muss das Experiment wirklich durchführen,
um das Verhalten des Reißnagels zu erforschen. In einer ähnlichen Situation steht man, wenn
man z. B. mit Streichholzschachteln oder Bausteinen würfelt.
15
Weitere Experimente
1)
Wirf eine Münze 10, 20, 30, ..., 100 Mal und notiere jeweils, wie oft die Seite mit der Zahl oben liegt. Stelle deine Ergebnisse in einer Tabelle und in einem Diagramm dar. Beschreibe deine Beobachtungen.
2)
Wirf einen Spielwürfel 10, 20, 30, ..., 100 Mal und notiere jeweils, wie
oft die „Sechs“ erscheint. Stelle deine Ergebnisse in einer Tabelle und
in einem Diagramm dar. Beschreibe deine Beobachtungen.
3)
Beschrifte die sechs Seitenflächen einer Streichholzschachtel oder
eines Legosteins mit den Zahlen 1 bis 6. Würfle damit 10, 20, 30, ...,
100 Mal und notiere jeweils, welche Zahl oben liegt.
Stelle deine Ergebnisse in einer Tabelle und in einem Diagramm dar.
Beschreibe deine Beobachtungen.
5.
Unterrichtsmethodik für Stochastik
Der Schwerpunkt dieses Beitrags liegt auf Aufgaben und Inhalten für den Stochastikunterricht
in der Grundschule. Es bleibt die Frage: Wie gehen wir damit im Unterricht um? Wie organisieren wir den Unterricht methodisch?
Die Beispiele haben bereits durchblicken lassen: Im Stochastikunterricht geht es nicht um das
Automatisieren von Inhalten, sondern eher um das Beschäftigen mit Situationen, in denen
Mathematik steckt.
Wenn man dabei über Unterrichtsmethodik nachdenkt, kommt man automatisch zu aktuellen
Schlagworten wie:
selbstständiges, eigenverantwortliches, individuelles Lernen,
kooperatives Arbeiten,
Handlungsorientierung,
Binnendifferenzierung oder
forschendes, experimentell-entdeckendes Lernen.
Damit ist man aber bei den Programmen „SINUS“ und „Fibonacci“. Die Konzeption von Mathematikunterricht gemäß „SINUS“ und „Fibonacci“ ist so universell, dass sie auch genau auf
den Stochastikunterricht passt. Auf diesen Themenkreis soll hier aber nicht eingegangen werden. Es sollten nur die Querverbindung hergestellt und mögliche Anknüpfungspunkte aufgezeigt werden. Weiteres zu diesem Programmen findet man unter:
http://sinus-an-grundschulen.de
und
http://fibonacci-project.eu
16
6.
Warum Stochastik in der Grundschule?
So „schön“ die vorgestellten Unterrichtsideen auch sein mögen, man sollte sich doch fragen:
Ist es überhaupt gerechtfertigt, Stochastik in die Grundschule aufzunehmen?
Stochastik ist Teil des Alltags. Unser Leben umfasst viele vom Zufall bestimmte Phänomene (z. B. Würfelspiele, Lotterien, Stichproben, Prognosen aufgrund statistischer
Daten, Konzeption von Versicherungen, ...). Zumindest in Spielsituationen haben die
Grundschüler bereits Erfahrungen mit dem Zufall gesammelt.
Damit leistet Stochastikunterricht einen Beitrag zur Allgemeinbildung. Der Mathematikdidaktiker H. Winter drückt dies treffend aus: „Wenn eine der Grundaufgaben allgemein bildender Schulen darin besteht, auf das Leben vorzubereiten und zur Erfassung der Wirklichkeit zu befähigen, dann kann man an dem Aspekt des ‚Zufalls im
Leben’ nicht vorbeigehen.“
Die Problemstellungen der Stochastik sind oft anschaulich vermittelbar und leicht zu
verstehen. Durch diese Anschaulichkeit und den spielerischen Charakter des Arbeitens
entsteht Motivation.
Stochastische Fragen bieten viele Möglichkeiten der Binnendifferenzierung. Leistungsschwächere finden einfache Einstiege, Leistungsstärkere stehen vor substanziellen Herausforderungen.
Mathematikunterricht wird experimentell: Die Schüler experimentieren mit realen Gegenständen und erforschen daran Mathematik.
Es zeigt sich, dass „verschiedenartigste“ Probleme die gleiche formale Struktur – das
gleiche „Muster“ – besitzen (vgl. z. B. Zählprinzip). Das Herausarbeiten von allgemeinen „Mustern“ aus Beispielen wird als typische Arbeitsweise der Mathematik erfahren.
Stochastikunterricht ist zumeist Problemlöseunterricht. Es geht nicht darum, Merksätze zu lernen oder Algorithmen zu trainieren. Die Schüler sollen exemplarisch mathematikhaltige Situationen bearbeiten und sich in der jeweiligen Situation Strategien
überlegen.
Schließlich bereichert Stochastik die Gesamtheit der im Mathematikunterricht vermittelten Kenntnisse und Denkfähigkeiten. Die Schule möchte ja das Denken der Kinder
entwickeln und fördern. Warum sollte man dabei stochastisches Denken ausklammern?
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Schlussgedanke
Warum fallen Erwachsenen selbst einfach strukturierte stochastische Fragen in der Regel
schwer? (Z. B.: „Auf wie viele Arten können sich drei Personen zu einem Foto nebeneinander
stellen?“)
Sie haben in ihrer eigenen Schulzeit nie ihr Denken in stochastischer Hinsicht geschult.
Oder:
Sie haben sich (gemäß den alten Lehrplänen) erstmals in der 12. Jahrgangsstufe des Gymnasiums mit stochastischen Themen befasst. Zu diesem Zeitpunkt war die Entwicklung ihres Denkens aber bereits so weit fortgeschritten, dass die Fähigkeit zu stochastischem
Denken nicht mehr tief verankert werden konnte.
Diesen Zustand gilt es für die kommenden Generationen zu ändern! Die aktuellen Lehrpläne
für die Primar- und die Sekundarstufe bieten hierfür eine geeignete Basis.
7.
Literatur
Dolenc-Petz, R. (Hg.): Daten, Häufigkeit, Wahrscheinlichkeit, Grundschulmagazin, Heft
2/2009
Eichler, A., Vogel, M.: Leitidee Daten und Zufall, Von konkreten Beispielen zur Didaktik der
Stochastik (Broschiert), Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009
Gasteiger, H.: Die Kunst des Mutmaßens – Aspekte von Zufall und Wahrscheinlichkeit, in:
lernchancen 55/2007, S. 22-27
Kütting, H., Sauer, M.: Elementare Stochastik, Mathematische Grundlagen und didaktische
Konzepte, Mathematik Primar- und Sekundarstufe, Spektrum Akademischer Verlag,
Heidelberg Berlin 2008
Martignon, L., Wassner, C.: Schulung frühen stochastischen Denkens von Kindern, in: Zeitschrift für Erziehungswissenschaft, 8. Jahrgang, Heft 2/2005, S. 202-222
Staatsinstitut für Schulqualität und Bildungsforschung: Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit, Vorschläge für einen handlungsorientierten Mathematikunterricht in der
Grundschule, München 2008 (http://www.isb.bayern.de Publikationen)
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