b r r Formelsammlung (1) Ebene Figuren (A: Flächeninhalt u

Formelsammlung (1)
Ebene Figuren (A: Flächeninhalt u: Umfang)
Quadrat
Rechteck
A = a2
a
u=4·a
u=2·a+2·b
a
Dreieck
A=
g ⋅h
2
b
A=a·b
Satz des Pythagoras
b
a
h
Im rechtwinkligen
Dreieck gilt:
g=c
u=a+b+c
Höhen- und Kathetensatz
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
Parallelogramm
h2 = p · q
b
a2 = c · q
b2 = c · p
p
b
a
c
a2 + b2 = c2
A=g·h
a
h
h
u=2·a+2·b
q
b
g=a
c
c
Trapez
a+c
A=
⋅h
2
u=a+b+c+d
a
d
b
h
Kreis
d=2·r
A = π⋅r = π⋅
2
a
Kreissektor und Kreisbogen
π ⋅ r 2⋅α
A=
r
3600
α b
π⋅r ⋅α
r
b=
1800
r
d
2
d
4
u = 2⋅π⋅r = π⋅d
Kreisring
A = π ⋅ ra2 − π ⋅ ri 2
ra
ri
Zentrische Streckung und Ähnlichkeitsbeziehungen
Wird das Original Δ(ABC) bei einer
zentrischen Streckung mit dem
Streckungszentrum Z und dem
Streckungsfaktor k (k ≠ 0) auf das Bild
Δ(A´B´C´) abgebildet, dann sind beide
Dreiecke zueinander ähnlich.
Das bedeutet:
Æ die Winkelgrößen bleiben erhalten
Æ die Streckenverhältnisse sind konstant
Beispiel:
AB A´B´
=
usw.
AC A´C´
außerdem gilt: Z
ZA AB
=
usw.
ZA´ A´B´
C´
k≠0
C
B
B´
A
A´
Formelsammlung (2)
Körper (V: Volumen O: Oberfläche G: Grundfläche M: Mantelfläche)
Würfel
Quader
V = a3
c
a
O = 6 · a2
a
a
V=a·b·c
Prisma
G
h
V=G·h
h
M
G
O=2·G+M
G
Zylinder
Quadratische Pyramide
V = π · r2 · h
h
r
O = 2 · π · r2 + 2 · π · r · h
a2 ⋅ h
V=
3
h
Kegel
hs
a
O = a2 + 2 · a · hs
V=
b
a
O=2·a·b+2·a·c+2·b·c
a
Kugel
π ⋅ r2 ⋅ h
3
s
h
V=
r
2
4 ⋅ π ⋅ r3
3
r
O = 4 · π · r2
O =π· r +π· r · s
Maßeinheiten
Länge
1 km
Fläche
=1000 m
1m
1 m²
=10 dm =100 cm
1 dm =10 cm
1 cm
=1000 mm
=100 mm
=10 mm
Volumen
1 m³
=1000 dm³
1 dm³
1 Liter = 1l = 1 dm3
=100 dm²
1 dm²
=100 cm²
1 cm²
1 a = 100 m²
=100 mm²
1 ha = 10000 m²
Masse
1t
=1000 cm³
1 cm³ =1000 mm³
1 Milliliter = 1 ml = 1 cm3
=1000 kg
1 kg
=1000 g
1g
=1000 mg
Formelsammlung (3)
Prozentrechnung
G: Grundwert
W: Prozentwert
p%: Prozentsatz
W=
G⋅ p
100
Zinseszinsen (exponentielles Wachstum)
K0:
Kn:
n:
p%:
Kapital am Anfang
Kapital nach n Jahren
Zeit in Jahren
Zinssatz in Prozent
Zinsfaktor: q =
100 + p
100
Kn = K0 · q n
Binomische Formeln
(a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2
(a – b)2 = a2 – 2·a·b + b2
(a + b)·(a – b) = a2 – b2
Potenzgesetze
Für m, n∈\ bei positiven reellen Basen bzw. für m, n∈] bei Basen aus \ \ {0}
am · an = am+n
am : an = am–n
an · bn = (a · b)n
an : bn = (a : b)n
m n
a0 = 1
a − n = a1n
m·n
(a ) = a
Wurzelgesetze (… für a, b ≥ 0)
n
n
a ⋅ n b = n a ⋅b
n
a na
=
(b > 0)
b
b
n m
( a)
a = m n a = m⋅ n a
n
m
= n am
Quadratische Gleichungen
Normalform:
Lösung:
x2 + px + q = 0
x1/ 2 = − 2p ± ( 2p )2 − q ; wenn ( 2p )2 − q ≥ 0, sonst x ∈∅
Lineare Funktionen: y = m · x + n
Quadratische Funktionen:
m: Steigung der Geraden g durch die
Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2)
y −y
m = 2 1 ( x2 ≠ x1 )
x2 − x1
n: Schnittpunkt mit der y-Achse
Allgemeine Form: y = ax2 + bx + c (a≠0)
Normalform:
y = x2 + px + q
b
c
und q = )
(aus der allg. Form durch p =
a
a
y
.
.
P1
x2 – x1
P2
y2 – y1
Scheitelform: y = (x – d)2 + e Æ S (d | e)
y
x
x
g
S (d | e)
Formelsammlung (4)
Trigonometrie (im rechtwinkligen Dreieck)
a Gegenkathete
sin α = =
c Hypotenuse
Im rechtwinkligen Dreieck gilt:
b Ankathete
cos α = =
c Hypotenuse
a
b
α
c
β
a Gegenkathete
tan α = =
b
Ankathete
Beschreibende Statistik / Stochastik
Arithmetisches Mittel (Mittelwert x )
x=
x1 + x2 + ... + xn
n
Median (Zentralwert)
In einer Stichprobe, deren Werte nach der Größe geordnet sind, stehen links und rechts vom
Median gleich viele Werte. Der Median ist also die Mitte der Liste. Bei einer geraden Anzahl
von Werten ist der Median deswegen nicht eindeutig bestimmt (man nimmt dann z.B. das
arithmetische Mittel der in der Mitte stehenden Werte oder einen dieser beiden Werte).
Laplace - Versuch
Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (z. B. Münzwurf).
Die Wahrscheinlichkeit P für das Eintreten eines Ereignisses E berechnet man wie folgt:
Anzahl der günstigen Ergebnisse
P (E) =
Anzahl der möglichen Ergebnisse
Mehrstufige Zufallsversuche lassen sich in einem Baumdiagramm darstellen. Dabei kann ein
Ergebnis als Pfad veranschaulicht werden. Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich mithilfe von
Pfad- und Summenregel berechnen.
1. Pfadregel (Produktregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses
ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.
...
p1
p2
P(E) = p1 · p2
...
...
E
2. Pfadregel (Summenregel)
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist
gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten.
p2
p
1
P(E) = P(E1) + P(E2)
= p1 · p2 + q1 · q2
E1
E
E2
q
1
q2