Berechnung des Volumens der n

Berechnung des Volumens der n-dimensionalen Kugel
Berechnung des Volumens der n-dimensionalen Kugel
Das Gauß-Integral
Z
∞
−x2
e
−∞
2 Z ∞
Z ∞
ZZ ∞
2
2
−x2
−y 2
dx =
e
dx
e
dy =
e−x −y dxdy
−∞
−∞
−∞
∞
Z 2π Z ∞
1 2
2
e−r r drdϕ = 2π − e−r
=
=π
2
0
0
0
Z
∞
2
e−x dx =
⇒
√
π
(1)
tx−1 e−t dt
(2)
−∞
Eigenschaften der Gamma-Funktion
Z
Γ(x) =
∞
0
Z
∞
x −t
t e
Γ(x + 1) =
0
∞
dt = −tx e−t 0 −
Z
∞
−xtx−1 e−t dt
0
= 0 + Γ(x)x
⇒ Γ(x + 1) = Γ(x)x
(3)
Allgemeine n-dimensionale Kugelkoordinaten
x1 = r cos ϕ1
x2 = r sin ϕ1 cos ϕ2
..
.
xn−1 = r sin ϕ1 . . . sin ϕn−2 cos ϕn−1
xn = r sin ϕ1 . . . sin ϕn−2 sin ϕn−1
Zugehörige Funktionaldeterminante













fn−1,1 (ϕ1 , ..., ϕn−1 ) rfn−1,2 (ϕ1 , ..., ϕn−1 ) rfn−1,3 (ϕ1 , ..., ϕn−1 ) . . . rfn−1,n (ϕ1 , ..., ϕn−1 ) 
fn,1 (ϕ1 , ..., ϕn−1 )
rfn,2 (ϕ1 , ..., ϕn−1 )
rfn,3 (ϕ1 , ..., ϕn−1 )
. . . rfn,n (ϕ1 , ..., ϕn−1 )
f1,1 (ϕ1 )
f2,1 (ϕ1 , ϕ2 )
..
.
rf1,2 (ϕ1 )
rf2,2 (ϕ1 , ϕ2 )
..
.
0
rf2,3 (ϕ1 , ϕ2 )
..
.
... 0
... 0
.
. . . ..
Berechnet man die Determinante durch Entwicklung nach der 1. Spalte, so fällt bei der Bestimmung der zugehörigen Adjunkten auf, dass alle Zeilen der (n − 1 × n − 1)-Teilmatrizen
Vielfache von r sind. Mit den Rechenregeln für Determinanten folgt, dass es sich bei den
Adjunkten um Produkte der Form rn−1 g(ϕ1 , ..., ϕn−1 ) handelt. Somit ist auch die gesuchte
Funktionaldeterminante ein Ausdruck der Art
rn−1 F (ϕ1 , ..., ϕn−1 )
(4)
Berechnung des Volumens der n-dimensionalen Kugel
Bestimmung des Volumenelements
∞
ZZZ
−
e
Pn
2
i=1 xi
Z
∞
dx1 . . . dxn =
−∞
(4)
e
Z Z−∞
Z
−x2
∞
n
dx
(1)
=
√
π
n
2
e−r rn−1 F (ϕ1 , ..., ϕn−1 ) drdϕ1 . . . dϕn−1
ZZ 0
Z ∞
2
=
F (ϕ1 , ..., ϕn−1 )dϕ1 . . . dϕn−1
e−r rn−1 dr
=
0
2
= (Substitution: t = r , dt = 2r dr)
ZZ
Z
1 ∞ −t n −1
=
F (ϕ1 , ..., ϕn−1 )dϕ1 . . . dϕn−1
e t 2 dt
2 0
n ZZ
(2) 1
= Γ
F (ϕ1 , ..., ϕn−1 )dϕ1 . . . dϕn−1
2
2
√ n
ZZ
2 π
⇒
F (ϕ1 , ..., ϕn−1 )dϕ1 . . . dϕn−1 =
Γ n2
(5)
Berechnung des Kugelvolumens
R
ZZ Z
1r
n−1
ZZ
Z
F (ϕ1 , ..., ϕn−1 ) drdϕ1 . . . dϕn−1 =
0
F (ϕ1 , ..., ϕn−1 )dϕ1 . . . dϕn−1
√ n
√ n
π
(5) 2 π 1 n
R = n n Rn
=
n
Γ 2 n
Γ 2
2
√ n
π
(3)
Rn
=
n
Γ 2 +1
R
rn−1 dr
0
Ergebnis
√ n
π
Rn
Sn (R) =
n
Γ 2 +1
Marcus Bugner
Dresden, 06.01.2011