Mathematik Anders Machen

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Mathematik Anders Machen
Mathematik Anders Machen
Eine Initiative zur Lehrerfortbildung
Materialien zum Kurs
Realitätsbezüge im Analysisunterricht - Teil 1
Referenten
Dr. Jens Weitendorf
Projektleiter: Prof. Dr. Günter Törner
Fachbereich Mathematik
Universität Duisburg-Essen
Projektleiter: Prof. Dr. Jürg Kramer
Institut für Mathematik
Humboldt Universität zu Berlin
V6 @ Von der mittleren zur lokalen Änderung
Übersicht
Aufgaben in dieser Handreichung
Wer S in die agile Welt der Formeln und Strukturen entlassen S den Rückweg in die farbige Fülle der realen Bedeutungen nicht mehr findet, verliert die menschliche Dimension im mathematischen Tun und gewinnt kein glückliches Verhältnis zu Qualität und Quantität.
P ETER G ALLIN [3], Band 1, S. 134.
Aufgabe
Inhalt
Bemerkungen
1
S. 4
Einfacher Bewegungsablauf
Lokale Änderungsrate bei linearer Bewegung
Einfache Einführungsaufgabe, aber ungewöhnliche
Darstellung der Bewegung
2
S. 5
Einkommensteuertarif
Lokale Änderungsrate auch bei ganzrationalen
Funktionen: Eingangssteuersatz, Grenzsteuer
Aufgreifen einer Aufgabe aus V1, falls dieser Aspet
dort nicht berücksichtigt.
Excel-Arbeitsblatt: V6-02A.xls und V6-02.xls (mit
Lösungsvorschlägen)
3
S. 6
Bewegungsablauf: Fahrtenschreiber
Deutung der lokalen Änderungsrate der Geschwindigkeit als Beschleunigung
Beschreiben der vorgegebenen GeschwindigkeitsAufzeichnung
4
S. 7
W inkelbestimmung (näherungsweise)
mithilfe der Sekantensteigung (Tangentensteigung)
Differenzenquotient für kleinen Abstand
Derive-Datei: V6-04.dfw
Geonext-Seite mit Applet
5
S. 8
Analyse eines (selbst erfundenen) Bewegungsvorgangs
Einführung ins graphische Ableiten
6
S. 10f
Einführung der Ableitungsfunktion
Entdecken einfacher Ableitungsregeln
Derive-Datei: V6-06.dfw (auch für Schülerinnen
und Schüler geeignet)
Geonext-Seiten mit Applets
7
S. 12
Ableitungsregeln
Zusammenfassung mit Beweisansatz
8
S. 13
Zusammenhänge zwischen den Graphen der
Funktion und ihrer 1. und 2. Ableitung anhand
einer Aufgabe aus V1 (Extremwertaufgabe)
Die zugehörigen Geonext-Seiten können Schülerinnen und Schülern helfen, wenigstens einige der Zusammenhänge selbst zu finden.
9
S. 14
Deutung von Funktion und Ableitungsfunktion
(verschiedene Grundvorstellungen)
Ausfüllen einer Tabelle
10
S. 15
Trassierungsproblem mit Hinführung zum
„Krümmungsruck“
Für Aufgabenteil c) Derive-Datei: V6-10.dfw
11
S. 16
Kostenfunktion
Ungewöhnliche Extremwertaufgabe mit dem
Aspekt Tangentensteigung
Derive-Datei: V6-11.dfw
Rückblick
S. 17
Überblick zu V6, Vernetzungen mit früheren
Themen
Es bietet sich auch ein Rückblick auf die gesamte
Vorstufe an
Zusätzlicher Inhalt der Geonext-Seiten:
Ergänzung zu Aufgabe 8: Bedeutung der verschiedenen Ableitungen für bestimmte Punkte der Ausgangsfunktion, realisiert mit „xFunctions“, ein eigenes Java-Programm, das noch vieles mehr kann.
Quelle: http://math.hws.edu/xFunctions/
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Handreichungen
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Didaktische Hinweise
Bevor die Ableitung eingeführt wird, sollten im Unterricht zunächst Beispiele besprochen werden,
welche die Bedeutung der Ableitung klar machen und besonders auf die Grundvorstellungen lokale
Änderungsrate und Tangentensteigung eingehen.
Die mathematische Definition des Ableitungsbegriffes Schülerinnen und Schülern verständlich zu
machen ist schwierig, wie das Ergebnis zu der TIMSS-Aufgabe Analysis K4 zeigt, in der man den
richtigen Wert von
ankreuzen sollte. Dieser Aufgabe wurde ein hohes Fähigkeits-
niveau zugeordnet. In Deutschland lösten 14% der Schülerinnen und Schüler diese Aufgabe richtig,
international 29%. ( [I], S. 88)
Da der Quotient für die Schülerinnen und Schüler ziemlich abstrakt ist, wird normalerweise versucht, den Prozess des Übergangs vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten mithilfe
des Übergangs von der Sekanten- zur Tangentensteigung zu veranschaulichen. Aber auch dieses ist
problematisch, da Schülerinnen und Schüler aus der Sekundarstufe I bezüglich der Tangenten die
Grundvorstellung haben, dass diese Gerade die entsprechende Kurve nur einmal berührt. Dabei
handelt es sich um eine eher statische Vorstellung (nach [2] Stützgerade), die nun durch eine eher
dynamische ersetzt werden soll (Vorstellung von einer Geraden, die sich lokal dem Graphen „optimal anpasst“ [2], S. 941). Vor allem werden Funktionsgraphen im allgemeinen von einer Tangente
noch zusätzlich an einer anderen Stelle geschnitten. BLUM / TÖRNER beschreiben in [2] die verschiedenen Vorstellungen bezüglich der Tangente als Stütz- bzw. Schmiegegerade.
Die folgenden Aufgabenbeispiele sind so zu verstehen, dass der Unterricht mehr darauf angelegt
wird, dass das Begriffsumfeld von den Schülerinnen und Schülern verstanden wird und der innermathematische Begriffszugang eher dem Leistungskurs vorbehalten bleibt.
Auf die Kurvendiskussion im herkömmlichen Sinn wird verzichtet; trotzdem kann und sollte natürlich nicht auf die Zusammenhänge zwischen erster Ableitung und Extrema und zweiter Ableitung
und Wendepunkten verzichtet werden. Dieses können Schülerinnen und Schüler selbsttätig herausfinden, wenn man sie mit den Graphen der Funktionen mit Hilfe eines CAS experimentieren lässt
und nach besonderen Punkten fragt. Bei der Behandlung von Kurvendiskussionen kann es nicht um
das Einüben von Schemata gehen, bei dem sich die Problematik im wesentlichen aus der Kompliziertheit der Terme ergibt, sondern um eine Reflexion mit dem Ziel, Zusammenhänge zwischen
Funktionsgleichungen auf der einen und den dazugehörenden Graphen auf der anderen zu erkennen.
Um dieses Ziel zu erreichen sollte auf ein graphisches Differenzieren (darunter versteht man, dass
nur der Graph einer Funktion vorgegeben wird und nach dem Graphen der Ableitung gefragt wird)
nicht verzichtet werden (siehe Aufgabe 5, aber auch Aufgabe 8).
Die Beispielaufgaben beanspruchen unterschiedlich viel Zeit, sie zielen auf einen oder auch mehrere
Aspekte des Themas, sodass je nach Unterrichtssituation eine geeignete Auswahl getroffen werden
muss. Einige Aufgaben eignen sich zur Eigenarbeit der Lernenden, die ihre Erkenntnisse dann in
einem Lerntagebuch nieder schreiben könnten.
Die Dateien zu den Aufgaben sind, falls nicht anders vermerkt, für Lehrerinnen und Lehrer gedacht. Die HTML-Seiten mit Geonext (und xFunctions) sind als Hilfe für die Schülerinnen und
Schüler gedacht. Technische Hinweise zu diesen Seiten sind in der Datei V6-Lehrerhinweise.html.
1
Eine solche Gerade nennen BLUM /TÖRNER in [2] „Schmiegegerade“. Sie verweisen auf das
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methodische Hilfsmittel, die „lokale Glättung“ durch mehrfaches Zoomen mit einem Funktionsplotter zu verdeutlichen.
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Vernetzungen
Die folgende Vernetzungsübersicht ist eine mögliche Sicht. Dieser Themenbereich V6 steht am
Ende der Vorstufe, sodass ein Rückblick und auch ein Ausblick durchaus angebracht ist. Den Rückblick könnten die Lernenden z.B. in einem mathematischen Aufsatz auch selbst verfassen, ein
Vergleich dieser kleinen Aufsätze wäre sicher für den ganzen Kurs interessant.
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Handreichungen
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Vorschläge für den Unterricht
1.
Grundlage (Änderungsraten, Sekantensteigungen)
Aufgabe 1 (Paradigmatisches Beispiel, einfacher Bewegungsablauf)
Nebenstehende Abbildung zeigt die Entfernung einer Yacht von Start/Ziel während eines Rennens über einen dreiecksförmigen Kurs. Die x-Achse entspricht Start/Ziel, die Punkte A und B
kennzeichnen die Wendemarken. Der
beiden Wendemarken sind 14,5 km
voneinander entfernt.
a) Beschreiben Sie den Kurs der
Yacht in diesem Rennen.
b) Berechnen Sie die Geschwindigkeit in jedem der drei Abschnitte.
Wieso muss die Geschwindigkeit
in jedem Abschnitt nach nebenstehendem Graphen konstant
sein?
c) Skizzieren Sie das Rennen der
Yacht in einem Koordinatensystem, bei dem auf der y-Achse der
zurückgelegte Weg eingetragen
wird (x-Achse: Zeit).
Geben Sie den zugehörigen Funktionsterm an.
Hinweise zur Lösung:
Diese Aufgabe ist ein einfaches, nicht so ganz realistisches Beispiel für lokale Änderungsrate, die
bei Weg/Zeit-Zusammenhängen die Geschwindigkeit beschreibt. Zugleich wird das Lesen und Interpretieren des Graphen geübt.
a)
Die Yacht steuert einen 20 km vom Start/Ziel entfernten Punkt A an,
dann einen Punkt B, der von A 14,5 km und vom Start/Ziel 12,5 km
entfernt ist, und schließlich wieder den Start-/Zielpunkt. Dieser Kurs
könnte z.B. so wie in der Abbildung aussehen.
b)
Geschwindigkeit in Abschnitt 1: 20/1,5 km/h . 13,3 km/h,
in Abschnitt 3: 12,5/1,5 km/h . 8,3 km/h. In Abschnitt 2 legt die
Yacht 14,5 km in 2 Stunden zurück, also 7,25 km/h.
Im Graphen ist der Weg/Zeit-Zusammenhang linear dargestellt, die
Änderungsrate ist also für jeden Abschnitt konstant, nämlich die
Steigung der Geraden. Letzteres gilt nur für den Abschnitt 1. In Abschnitt 2 nähert sich die Yacht 7,5 km dem Start/Ziel, legt dabei aber
14,5 km zurück. Und nur diese Zahl ist für die Geschwindigkeit maßgebend.
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In Abschnitt 3 ist die Geradensteigung negativ, da die Yacht ja zurück segelt, daher ist die
Geschwindigkeit hier der Betrag der Steigung.
c)
Dieser Graph lässt die Interpretation der Geradensteigung
als Geschwindigkeit für alle
Abschnitte zu. Kleiner Nachteil
dieser Darstellung ist jedoch,
dass sie die Rückkehr der
Yacht zum Ausgangspunkt
nicht so gut verdeutlicht.
Der Funktionsterm besteht aus
drei zusammengesetzten Geradenteilen:
(Und die Geschwindigkeit ist
jeweils die Geradensteigung.)
An diesem Graphen könnte man noch interpretieren, was die „Knicke“ an den Punkten A
und B bedeuten.
Den Weg von der Geraden zu einer gekrümmten Kurve kann man jetzt z.B. mit der Steuerfunktion
aus V1 machen. Der Spitzensteuersatz schließt direkt an obiges Beispiel an, da die Steuerfunktion
für hohe Einkommen ja eine Gerade ist. Der Eingangssteuersatz bezieht sich jedoch schon auf eine
gekrümmte Kurve, ein Polynom 2. Grades. Und wenn man diese Betrachtung auf die ganze Steuerfunktion ausdehnt, gelangt man zur Grenzsteuer.
Aufgabe 2
Ihnen liegt eine Tabelle und der Graph des Einkommensteuertarifs vor.
a)
Geben Sie den Spitzensteuersatz an, wenn der Tarif von 52.152 Euro an 0,45x ! 8.845
lautet, und ermitteln Sie den Eingangssteuersatz.
b)
Berechnen Sie mit Ihren Daten die Grenzsteuer und erstellen Sie den Graphen der Grenzsteuer.
Als Grenzsteuer bezeichnet man die Steuer, die bei einer kleinen Gehaltserhöhung zusätzlich anfällt.
Hinweise zur Lösung:
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a)
Spitzensteuersatz = 0,45 = 45% (Steigung der Geraden).
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Handreichungen
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Eingangssteuersatz = 10,93%, wenn man den Abstand der Tabelle (500) verwendet und
daher den Quotienten
Steuer bei 8000 i / 500
berechnen lässt.
Alternativ kann man den Abstand verringern und auch erst mit einem Betrag beginnen, für
den Steuern anfallen. Das führt zu etwa 16% (siehe Excel-Datei V6-02.xls).
b)
Die Grenzsteuer berechnet sich analog für alle Zellen.
Hier kann der Graph der Einkommensteuer selbst auch noch einmal kurz betrachtet werden. Es
lässt sich erahnen, dass er an den Übergangsstellen stetig differenzierbar zusammengesetzt ist,
wenn man einmal von der ersten Stelle absieht. Dies sollte mit den Schülerinnen und Schülern
inhaltlich diskutiert werden. Der Begriffe „stetig“ wird präformal verwendet, „differenzierbar“
etwa als „knickfrei“.
Aufgabe 3 (Paradigmatisches Beispiel, kompliziertere Bewegung)
Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt einer von
einem Fahrtenschreiber erzeugten Scheibe, wie
sie z.B. für LKW üblich sind. Automatisch wird
vom Fahrtenschreiber in Abhängigkeit von der
Uhrzeit (siehe Randbeschriftung) die Geschwindigkeit des Fahrzeugs aufgezeichnet,
sodass z.B. auch vorgeschriebene Ruhezeiten
dokumentiert bzw. überprüft werden können.
a)
Beschreiben Sie den Fahrtverlauf für
den abgebildeten Ausschnitt oder erfinden Sie eine Geschichte passend zum Fahrtverlauf.
b)
Welche Bedeutung hat die Beschleunigung in einem Weg/Geschwindigkeit-Graphen?
Hinweise zur Lösung:
a)
Kurze Fahrt um 3:25 Uhr, maximal 25 km/h, dann 3:35 Uhr Fahrt mit wechselndem Tempo
bis kurz vor 4 Uhr, dann relativ konstante Geschwindigkeit von ca. 90 km/h, zwischen 5:15
und 6:20 Uhr wechselt die Geschwindigkeit sehr stark. Dann folgen mehrere Stops, Geschwindigkeit dazwischen um die 60 km/h, gegen 6:30 Uhr noch einmal für wenige Minuten
90 km/h, 6:35 Uhr Halt, unterbrochen von kurzer langsamer Fahrt gegen 6:47 Uhr.
Geschichte z.B. LKW fährt um 3:25 Uhr auf dem Betriebshof zur Tanksäule und tankt. Er
fährt danach gegen 3:35 Uhr auf einer z.T. engen Strecke zur Autobahn, die er gegen 3:55
Uhr erreicht. Gegen 5:15 Uhr verlässt er die Autobahn und fährt weiter auf einer gut ausgebauten Landstraße, die aber an vielen Stellen Steigungen und auch starke Kurven aufweist.
Gegen 5:50 Uhr erreicht er wieder ebeneres Gelände und fährt über die Schnellstraße in die
Stadt, die er gegen 6:20 Uhr erreicht. Er verlässt sie gegen 6:30 Uhr und erreicht wenig
später sein Ziel, wo er nach 10 Minuten schließlich zur Laderampe vorfahren kann.
b)
Das Beschleunigen (oder Bremsen) ist die lokale Änderungsrate der Geschwindigkeit.
(Das ist die lokale Änderungsrate der lokalen Änderungsrate des zurückgelegten Weges.) Mathematik Anders Machen
Handreichungen
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Bewegungsvorgänge im weiteren Sinn können aus V1 aufgegriffen werden: Das Luftvolumen in der
Lunge (Aufgabe 9) und die Vasen-Füllung (Aufgabe 13).
Aufgabe 4
An zwei Masten, die 50m voneinander entfernt stehen, ist ein
Kabel aufgehängt.
Bestimmen Sie den Winkel zwischen Mast und Kabel, wenn
das Kabel in der Mitte 8m durchhängt.
Als Modell für das Kabel ist eine Parabel geeignet.
Wenn Sie das Koordinatensystem günstig legen, vereinfacht sich das Problem erheblich.
Hinweise zur Lösung:
Die Parabel kann beispielsweise so ins Koordinatensystem gelegt werden, dass der Scheitelpunkt im Nullpunkt liegt. Dann
stehen die Masten bei x = !25 und bei x = 25, also 50 Einheiten
auseinander.
Als Parabel muss dann eine gestauchte Normalparabel p gewählt werden mit p(x) = a Ax2, sodass p(25) = 8 gilt, also a =
8/252 = 0,0128.
Damit hat die Funktion p die Gleichung p(x) = 0,0128 x2.
Zur Bestimmung des Winkels benötigt man bei x = 25 die Steigung der Tangente bzw. einer Sekante mit ganz nahe bei einander liegenden Schnittpunkten, der eine bei x = 25, also z.B.
für x = 25 und h = 1/100. Der Quotient ergibt näherungsweise 0,639872 und die
Steigung ist ja der Tangens des Winkels, den die betreffende Gerade mit der x-Achse einschließt,
hier etwa 32,6/. Der Winkel zwischen Seil und Mast ist dann 90/ ! 32,6/ = 57,2/.
Ein durchhängendes Kabel wird zwar im allgemeinen durch die Kettenfunktion beschrieben, allerdings ist der Fehler, den man bei einer Modellierung mit Parabeln macht, gering.
Dieses Beispiel lässt sich noch variieren: Man betrachtet eine Oberleitung, die an einem Hang
hinauf führt. Man kann nun die Frage diskutieren, wie der minimale Abstand zwischen Kabel und
Hang zu bestimmen ist und wie dieser Abstand von den Winkeln zwischen Mast und Kabel abhängt.
Bei der Bestimmung des minimalen Abstandes zeigt es sich, dass für den x-Wert, für den der Abstand minimal ist, die Steigungen von „Oberleitung“ und „Erde“ gleich sind.
Es kann auch noch einmal auf Extremwertaufgaben aus V1 eingegangen werden, z.B. Aufgabe 11.
Man kann sich leicht überlegen, dass Extrempunkte wagerechte Tangenten aufweisen. Bei solchen
Aufgaben interessiert also nicht der Winkel, sondern der zahlenmäßige Wert der Steigung. Mathematik Anders Machen
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Aufgabe 5 (Analyse eines Bewegungsvorgangs)
a)
Beschreiben Sie sich einen Bewegungsvorgang, bei dem auch Geschwindigkeit und Beschleunigung sinnvoll untersucht werden können, und beschreiben Sie diesen Bewegungsvorgang.
b)
Skizzieren Sie den Bewegungsvorgang im Weg-Zeit-Diagramm.
Beschriften Sie die x-Achse (Zeit) und die y-Achse (Weg) geeignet.
c)
Skizzieren Sie im darunter liegenden Koordinatensystem die Geschwindigkeit.
Beschriften Sie die y-Achse (Weg/Zeit) geeignet.
d)
Skizzieren Sie im darunter liegenden Koordinatensystem die Beschleunigung.
Beschriften Sie die y-Achse (Weg/Zeit2) geeignet.
Hinweise zur Lösung:
Es geht in dieser Aufgabe darum, Zusammenhänge zwischen den jeweiligen lokalen Änderungen zu erkennen und die Grundvorstellungen
Geschwindigkeit bzw. Beschleunigung zu festigen.
Falls einigen Schülerinnen und Schülern nun gar nichts einfällt, kann
auch ein geeigneter Graph vorgegeben werden wie etwa nebenstehendes Beispiel, sodass in a) nur noch eine Beschreibung der Bewegungsvorgangs nötig ist, in b) eine Beschriftung der Achsen und c) und d)
normal bearbeitet werden können.
Die drei „leeren“ Koordinatensysteme sind im Schülerarbeitsheft.
Zugleich kann diese Aufgabe eine Vorstufe zur selbst erlebten Bewegungsänderung mit einem Ultraschallmesser sein, im Idealfall kann
sogar eines der gelieferten Diagramme nachgegangen werden.
Paradigmatisches Beispiel
(zurückgelegter Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung)
Sowohl die Firma Casio als auch die Firma Texas Instruments liefern
zu ihren CAS-fähigen Taschenrechnern einen Ultraschallbewegungsmesser. Mit Hilfe einer solchen Geräteeinheit lassen sich Bewegungen
mathematisch auswerten. Fast noch interessanter ist der umgekehrte
Vorgang. Der Graph einer Bewegung wird vorgegeben, und es ist die
Aufgabe der Schülerinnen und Schüler, diesen Graphen „nachzugehen“. Texas Instruments liefert zum Ranger sogar ein Programm, das
mögliche Graphen vorgibt. Allerdings ist die Auswahl der Graphen
eher bescheiden. Es handelt sich dabei nur um drei aneinander gesetzte gerade Abschnitte (s. Abb.).
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Mit dem Casio ClassPad ist dieses „Nachgehen“ zur Zeit nicht möglich.
Handreichungen
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Die nebenstehende Abbildung zeigt einen nicht besonders
erfolgreichen Versuch (Punkte), einen vorgegebenen Graphen (durchgezogene Linie) nachzugehen.
Will man auch andere Graphen nachgehen lassen, hilft die
folgende Idee weiter. Man stelle sich selber entsprechende
Graphen auf einer kleinen Folie her und projiziere diese zusammen mit dem Bildschirm des TI 92. Unter den Graphen
sollten Parabeln und Graphen nicht stetiger Funktionen sein.
Bildschirm des TI 92
Die Schülerinnen und Schüler erfahren beim Nachgehen körperlich, die Bedeutung der Weg-ZeitGraphen (Vor- und Zurückgehen), der Steigungen (langsamer und schneller gehen) und dass es
keine unstetigen Funktionsgraphen geben kann, die Bewegungen beschreiben. Die Tatsache, dass
die Steigung des Graphen die Geschwindigkeit angibt, ist für die Schülerinnen und Schüler sofort
einsichtig und bedarf keiner weiteren Erklärung.
Es besteht auch die Möglichkeit, anstatt eines Weg-Zeit-Graphen einen Geschwindigkeits-ZeitGraphen vorzugeben. Dieses ist für die Schülerinnen und Schüler sehr viel schwieriger, weil sie die
Bewegung zunächst sehr genau analysieren müssen, um erfolgreich zu sein. Beim ersten Experiment ist eine Korrektur im Laufe des Experimentes noch möglich, beim zweiten kaum.
Bevor die Ableitungsfunktion eingeführt wird, fassen wir zusammen, was alles schon bekannt ist.
Das Sammeln kann man ganz den Schülerinnen und Schülern überlassen oder auch gezielte Fragen
stellen:
Zusammenfassung
In den vorangegangenen Aufgaben haben Sie sich mit Änderungsraten beschäftigt.
1.
Manchmal kann man lokale Änderung sehen, oft aber ist eine Berechnung wünschenswert: die momentane (lokale) Änderungsrate kann als Grenzlage von bestimmten Sekantensteigungen berechnet werden.
lokale Änderungsrate ←→ Steigung der Tangente
2.
Bei einigen Aufgaben zeigte sich, dass lokale Änderungsraten nur ermittelt werden können, wenn der zur Funktion gehörende Graph weder Sprünge noch einen Knick aufweist.
Gelegentlich haben Sie nach maximalen (oder minimalen) Werten gesucht. An diesen
Stellen ist die Steigung der Tangente 0.
Erläutern Sie die Punkte 1. und 2. an konkreten Beispielen (vorangegangene Aufgaben oder neu
überlegt).
Der Grenzwert wird nur präformal verwendet, ebenso der Begriff stetig (z.B. „keine Sprünge“).
Zum Grenzwert des Differenzenquotienten gibt es eine Geonextseite, die dies an einem Beispiel
darstellt.
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Die im Punkt 2 genannten Eigenschaften werden nach Einführung der Ableitungsfunktion wieder
aufgegriffen.
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2.
Handreichungen
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Ableitungsfunktion
Im Folgenden werden drei Möglichkeiten vorgestellt, wie Schülerinnen und Schüler Ableitungsfunktionen in einfachen Fällen selbst ermitteln: am Computer mithilfe von DERIVE, Geonext und
mit dem ClassPad.
Aufgabe 6 (Einführung der Ableitungsfunktion mit DERIVE)
Mithilfe von CAS (konkret hier mit DERIVE durchgeführt) lassen sich Ableitungsfunktionen auf diese Art erzeugen (Datei V6-06.dfw):
•
Zunächst wird eine Funktion f definiert, z.B. f(x):= x2.
•
Danach wird eine Formel für die Sekantensteigung an der Stelle a in Abhängigkeit vom Abstand h der Schnittpunkte angegeben.
•
Die letzte Zeile erzeugt eine Punktfolge von Sekantensteigungen, bei denen h so klein gewählt ist (0,000001), dass sich Sekanten- und Tangentensteigung nur noch geringfügig unterscheiden (also fast Ableitungswerte
darstellen).
Diese Punktfolge wird in nebenstehender Abbildung grafisch dargestellt zusammen mit der Ausgangsfunktion f und kann jetzt interpretiert werden.
Der Gewinn der Steigung aus Sekanten, deren beiden Kurvenpunkte ganz nahe
beieinander liegen, wird hier sehr schön deutlich.
Leider ist dieses Vorgehen nicht so einfach dynamisch zu gestalten. Die Eingabe
eines anderen Funktionsterms erfordert jedes Mal neue Berechnungen und auch
eine neue Graphik.
Aufgabe 6 (Einführung der Ableitungsfunktion mit Geonext)
In gewisser Weise ist dies bei dem entsprechenden
Geonext-Arbeitsblatt anders.
Hier können mittels Schieberegler Funktionen aus
der Klasse f(x) = aAxn gewählt werden (a , IR beliebig, n = 1, 2, 3, 4 und 5). Beim Bewegen des
Punktes P auf dem Graphen zu f ist die Tangente
mit dem Steigungsdreieck sichtbar, es wird dazu
oben rechts der Wert der Steigung und der zugehörige Winkel angegeben und es wandert ein Punkt
PA mit, dessen x-Koordinate der von P entspricht,
die y-Koordinate jedoch der Wert der Steigung der
Tangente im Punkt P ist.
Mit einem Handgriff kann zusätzlich die Spurkurve
zu PA erzeugt werden, die sich dynamisch mit verändert.
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Handreichungen
V6 @ Von der mittleren zur lokalen Änderung
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So können die Schülerinnen und Schüler die Potenz- und die Faktorregel selber entdecken. Die Tangente als Grenzlage einer Sekante
wird hier in einem zweiten Arbeitsblatt thematisiert (siehe Abbildung, die einen Ausschnitt der Seite zeigt. Schiebt man h nach
oben, so bewegt sich P2 auf P zu, die Sekante wird zuletzt zur Tangente).
Aufgabe 6 (Einführung der Ableitungsfunktion mit dem ClassPad)
Entsprechendes lässt sich auch mit dem
ClassPad machen. Die folgende Abbildung
zeigt das Lehrgebiete des Rechners (Verborgen sind die Bereiche: Programm,
Kommunikation, System und Spreadsheet).
In DERIVE werden die Ableitungswerte
durch den Differenzenquotienten erzeugt, in Geonext bleibt der Vorgang
verborgen. Bei der Bearbeitung mit dem Casio-Rechner geschieht dies
grafisch, wie die folgende Schilderung des Ablaufes zeigt.
Was den Rechner gegenüber anderen auszeichnet ist der eActivity-Bereich, der hier benutzt wird, um Ableitungen grafisch zu bestimmen und
zu visualisieren. In diesem Bereich ist es möglich die Gebiete des ClassPad miteinander zu verknüpfen. Auch dies wird am Beispiel deutlich:
Man geht in den eActivity-Bereich hinein und öffnet ein Geometrie-Fenster. Hier lassen sich auch
Graphen von Funktionen mit Koordinatensystemen zeichnen. Ist der Graph zum Beispiel für
f(x) = x3 erzeugt, lässt sich an einem beliebigen Punkt die Tangente einzeichnen. Mit Hilfe einer
Animation kann man den Punkt, an dem die Tangente konstruiert wurde,
auf dem Graphen wandern lassen. Neben diesem grafischen Wandern
werden gleichzeitig numerisch Werte für die Tangentensteigungen erzeugt. Diese lassen sich dann wiederum darstellen, wie die Abbildung
zeigt. Zu sehen ist der Graph der Funktion f mit f(x) = x3 und der Graph
der „Ableitung“ (numerisch). Es fällt auf, dass der Graph der „Ableitungsfunktion“ an der Stelle x = 0 nicht dem von x2 entspricht. Dies
zeigt, dass die „Ableitung“ numerisch erzeugt worden ist. Durch Interpolation ergibt sich die „Gerade“ um 0. Der Graph lässt sich „verbessern“, wenn man bei der Animation mehr Schritte durchführt. Auf der
anderen Seite erfährt man so etwas über die Arbeitsweise des Gerätes.
Genau wie bei DERIVE und Geonext muss auch jetzt noch von den
Schülerinnen und Schülern eine Funktionsgleichung für den Graphen
gefunden werden.
Die Schülerinnen und Schüler haben so die Möglichkeit, die Ableitungsregeln, wie zum Beispiel die
Potenzregel, selbst zu finden.
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Handreichungen
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Aufgabe 7 (Ableitungsregeln)
Sie haben zu einer gegebenen einfachen Funktion f die Funktion der Steigungen von f hergestellt. Diese Funktion heißt Ableitungsfunktion von f, der zugehörige Term heißt Ableitung von f
und wird mit fN bezeichnet.
a)
Notieren Sie die Ableitung von f(x) = xn (für n , IN). Diese Regel heißt Potenzregel.
Notieren Sie auch die Ableitung von a A f(x) (für konstantes a). Diese Regel heißt auch
Faktorregel.
b)
Die Regeln scheinen aufgrund von Graphen, die ein Computer erzeugt hat, korrekt.
Weisen Sie aber dennoch für f(x) = x2 nach, dass fN(x) = 2Ax ist, indem Sie den Differenzenquotienten geeignet umformen. Dieser gibt die Steigung einer Sekante zu f an.
Warum kann aus dieser Beweisidee einfach gefolgert werden, dass ein konstanter Faktor
bei der Ableitung erhalten bleibt (Faktorregel)?
c)
Polynome bestehen zwar aus den Bauteilen a Axn, doch die sind zumeist Summanden.
Zeigen Sie wieder über den Differenzenquotienten, dass (f(x) + g(x))N = fN(x) + gN(x) gilt,
also die Summanden einzeln abgeleitet und dann addiert werden. Diese Regel heißt Summenregel.
Hinweise zur Lösung:
b)
Differenzenquotient:
.
Strebt h gegen 0, so wird der Quotient zu 2x.
Ganzrationale Funktionen sind immer differenzierbar, vielleicht kann an dieser Stelle darauf hingewiesen und der Begriff erläutert werden.
bedeutet, dass (a A f(x))N = a A fN(x) gilt.
c)
Durch Umformung des Bruchs
:
Umsortieren des Zählers führt zu
Brüche
und das Aufspalten in zwei
liefert die Behauptung.
Beispiele für die Summenregel sind Laufbänder etwa in Flughäfen, wo die Geschwindigkeit
des Bandes zur eigenen addiert wird, die Bewegung eines Schiffes mit der Strömung, aber
auch gegen Sie (Addition einer negativen Geschwindigkeit) usw.
In der folgenden Aufgabe sollen die Ableitung ausprobiert und Kriterien für Extremstellen entwickelt werden. Dazu verwenden wir die Aufgabe 11 von V1.
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Aufgabe 8
Für die Gesamtkosten eines Betriebes liegen folgende Kenntnisse vor:
Stückzahl in 1.000
Kosten in 1.000 i
1
7,5
2
10,0
3
11,3
4
12,0
5
12,7
6
14,0
8
20,8
10
37,2
In Aufgabe 11 aus V1 haben Sie bereits die Kostenfunktion K daraus hergeleitet mit
K(x) = 0,1 x3 ! 1,2 x2 + 5,4 x + 3,2 (x ist Stückzahl in 1000).
Falls noch nicht geschehen berechnen Sie aus K und der Erlösfunktion E mit E(x) = 2x + 5 die
Gewinnfunktion G durch G(x) = E(x) ! K(x).
Ermitteln Sie mithilfe der Ableitung, bei welcher Stückzahl der Gewinn maximal ist und berechnen Sie diesen maximalen Gewinn.
Hinweise:
Überlegen Sie, wie Sie aus der Sicht der Ableitung das Maximum charakterisieren könnten.
Zeichnen Sie dazu G und GN in ein Koordinatensystem.
Leiten Sie GN noch einmal ab (das nennt man 2. Ableitung von G und schreibt dafür GO) und
zeichnen Sie auch noch den Graphen von GO ein.
Die Zeichnung steht auch als Geonext-Seite zur Verfügung, siehe Abbildung unten.
Zusatzfrage: Welche Bedeutung für G hat die Stelle x = 4?
Hinweise zur Lösung:
G(x) = 2x + 5 ! 0,1x3 + 1,2 x2 !5,4 x !3,2 = !0,1 x3 + 1,2 x2 ! 3,4 x + 1,8
GN(x) = !0,3 x2 + 2,4 x ! 3,4
und
GO(x) = !0,6 x + 2,4
Der Zusammenhang zwischen
der Extremstellen und den Nullstellen der 1. Ableitung sollte
schnell auffallen, dass das Vorzeichen der 2. Ableitung ein Indiz
für die Art der Extremstelle ist,
möglicherweise nicht so schnell.
Es ist aber auch möglich, dass
die Art der Extremstelle ohne die
2. Ableitung beschrieben wird.
GN(xE) = 0 ergibt xE1 . 6,16 und
xE2 . 1,84.
Man erkennt am Graphen, dass
bei E1 ein lokales Maximum vorliegt, bei E2 entsprechend ein
Minimum, was auch aus der
Kenntnis von Graphen ganzrationaler Funktionen 3. Grades
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mit negativem Leitkoeffizienten
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folgt oder aus den Werten der 2. Ableitung. Bei der Produktion einer Stückzahl von etwa 6160 ist
der Gewinn mit etwa 3.016 i maximal.
Bedeutung der Stelle x = 4 für G: Man sieht sofort, dass GO(4) = 0 ist und GN daher an dieser Stelle
ein Maximum aufweist. Die Änderungsrate des Gewinns G ist also an dieser Stelle am größten, aus
Zunahme des Gewinns wird ab hier Abnahme, das Verhalten der Tangentensteigung ändert (wendet) sich hier, vor x = 4 drehte sie sich nach links, danach nach rechts...
Die hier besprochenen Sachverhalte können Schülerinnen und Schüler üben z.B. mit „mathe online“:
•
graphische Aspekte
(Gallerie, Differenzieren 1) Ableitungs-Puzzle 1, Erste und zweite Ableitung und auch noch
einmal Die Ableitung als Grenzwert
•
rechnerisch
(Interaktive Testes) Polynome differenzieren.
Aufgabe 9
Füllen Sie nachfolgende Tabelle aus:
Bedeutet f(x)
dann bedeutet fN(x)
die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x.
die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x,
die Einkommensteuer bei zu versteuerndem
Einkommen x,
die vom Anfangspunkt bis zur Wegstelle x verrichtete Arbeit,
der Umfang des Kreises mit dem Radius x.
das Volumen der Kugel vom Radius x,
der Querschnitt des Körpers mit der Höhe x.
Hier werden Grundvorstellungen für die Ableitung geübt.
In der Tabelle ist nur eine Auswahl verzeichnet, die natürlich abgeändert werden kann.
Die folgende Aufgabe weist auf eine Problemstellung hin, die sich gut für V6 eignet und zu der es
Mathematik Anders Machen
eine Fülle von Material gibt: Trassierungen.
Handreichungen
V6 @ Von der mittleren zur lokalen Änderung
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Aufgabe 10
a)
In Ihrem Schulhof wird mit Kreide eine insgesamt
100m lange Spur aufgezeichnet, deren Form die Abbildung verdeutlicht: Zuerst ist der Übergang von einer
Rechts- in eine Linkskurve durch Aneinandersetzen
zweier Kreisbögen realisiert, danach der Übergang einer
Linkskurve in ein gerades Stück durch Ansetzen der
Kreistangente.
Können Sie mit dem Fahrrad genau diese Spur fahren?
Überlegen Sie dazu, wie Sie in den einzelnen Kurvenstücken das Lenkrad halten müssten.
b)
Überlegen Sie jetzt allgemein: Eine Straße oder
Bahnlinie soll zwei Kurventeile enthalten, die im
Punkt P zu verbinden sind. Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und denken Sie sich die Kurventeile links und rechts von P als Graphen zweier
Funktionen f und g in diesem Koordinatensystem.
Welche Forderungen sind an f und g zu stellen, damit ein vernünftiger, krümmungsruckfreier Übergang in P gewährleistet ist?
c)
Ein Bauingenieur steht vor folgender Aufgabe:
Die beiden parallelen, geradlinigen Straßenstücke
sollen geeignet miteinander verbunden werden.
Entwerfen Sie eine Lösung, indem Sie die gesuchte
Verbindung als Teil des Graphen einer gesuchten
Funktion sehen.
Hinweise zur Lösung:
a)
macht der „Krümmungsruck“ deutlich, der sich in unterschiedlichen Werten für die 2. Ableitung an der jeweiligen Übergangsstellen mathematisch niederschlägt.
b)
Forderungen: (i)
(ii)
(iii)
c)
Als Skalierung wählt man praktisch 1 Einheit = 100m. Eine geeignete Lage des Koordinatensystems ist genau der „Mittelpunkt“: die linke Straße endet bei (!0,5*0,5), die rechte bei
(0,5*!0,5). Dann ist zu erfüllen
(i)
f(!0,5) = 0,5
(ii)
f(0,5) = !0,5 (stetig)
(iii) fN(!0,5) = 0
(iv)
fN(0,5) = 0
(Übergang differenzierbar)
(v)
fO(!0,5) = 0
(vi)
fO(0,5) = 0
(kein Krümmungsruck)
6 Bedingungen führen auf ein Polynom 5. Grades, das aber symmetrisch zum Ursprung ist
Mathematik Anders Machen
(Lösung mit CAS): p(x) = !6x5 + 5x3 ! 1,875.
f(xP) = g(xP)
fN(xP) = gN(xP)
fO(xP) = gO(xP)
kein „Sprung“ (stetig)
kein „Knick“ (differenzierbar)
kein Krümmungsruck
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Handreichungen
V6 @ Von der mittleren zur lokalen Änderung
Es folgt noch eine ungewöhnliche Extremwertaufgabe, die auf die Grundvorstellung Tangentensteigung aufbaut und die Ableitung nur indirekt zur Ermittlung des Minimums verwendet:
Aufgabe 11
Gegeben ist eine Kostenfunktion K durch folgende Gleichung
K(x) = 0,03 x3 ! 1,2 x2 + 142 x + 8000
(x: produzierte Menge in ME) .
Ermitteln Sie den minimalen Preis, bei dem verlustfrei produziert werden kann, unter der Voraussetzung, dass der Preis unabhängig von der abgesetzten Menge ist.
Hinweise:
Der Erlös ergibt sich aus Preis mal abgesetzte Menge: E(x) = p A x, und Gewinn
macht die Firma nur, wenn die Kosten geringer sind als die Einnahmen:
G(x) = E(x) ! K(x).
Hinweise zur Lösung:
Eine Skizze der Situation ist auf jeden Fall hilfreich (siehe Abbildung). Diese Aufgabe stellt ein
Beispiel für ein Problem dar, bei dem eine Argumentation auf drei Ebenen möglich ist:
(i)
Geometrisch betrachtet geht es darum, eine Tangente durch den Ursprung an den
Graphen zu finden.
(ii)
Algebraisch wird dieses durch K(x) = pAx
und KN(x) = p gelöst. Das sind 2 Gleichungen mit den beiden Variablen p und x, die
man zu einer Gleichung umformen kann:
K(x) = KN(x) A x
0,03 x3 ! 1,2 x2 + 142 x + 8000 =
(0,09 x2 ! 2,4 x + 142) A x
] 0,06 x3 !1,2 x2 ! 8000 = 0
Da der Lösungsansatz auf eine Gleichung
dritten Grades führt, lässt sich obiges nicht
allein mit algebraischen Mitteln lösen.
Unter Hinzunahme eines CAS, das man an dieser Stelle getrost als „Black Box“ benutzen
kann, findet man leicht die Lösung
Lösung mit Mathcad
(x . 311,2 GE siehe V6-11.dfw).
Ein sehr wichtiger Aspekt dieses Beispiels
ist, dass nicht alle Probleme darauf hinauslaufen, eine quadratische Gleichung zu lösen.
(iii)
Inhaltlich kann man aber auch argumentieren, dass offenbar genau dann weder Verluste noch Gewinne gemacht werden, wenn
Grenzkosten und Preis identisch sind.
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Handreichungen
V6 @ Von der mittleren zur lokalen Änderung
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Abschließende Aufgabe
Blicken Sie auf den Themenbereich „Von der mittleren zur lokalen Änderung“ zurück und verschaffen Sie sich einen Überblick.
Welche Verbindungen sehen Sie zu früheren Themenbereichen?
Wie ordnen Sie diesen Themenbereich in alle in der Vorstufe behandelten Themen ein?
Ausblick
Das Integral lässt sich mit Computerunterstützung vorbereiten, indem man
in mehreren Punkten die Tangente
zeichnen lässt. Das Bild zeigt, dass die
Tangenten den Graphen einhüllen. Dies
lässt erahnen, dass es auch möglich sein
müsste, aus der Kenntnis der Ableitung,
die Funktion zu rekonstruieren.
Mathematik Anders Machen
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Handreichungen
V6 @ Von der mittleren zur lokalen Änderung
Literatur
Quellen:
Aufgabe 1:
ROSS BRODIE / STEPHEN SWIFT A Qmaths 11b, S. 392f
Moreton Bay Publishing, Melburn 1999
Aufgabe 10:
[3], S. 76
Bücher:
[1]
BAUMERT , BOS, LEHMANN A TIMSS III, Bd.II
[2]
BLUM / TÖRNER A Didaktik der Analysis, 1983
[3]
URS RUF / PETER GALLIN A Dialogisches Lernen in Sprache und Mathematik
Kallmeyer, Seelze-Velber 1998
[4]
HANS-WOLFGANG HENN A Realitätsnaher Mathematikunterricht mit DERIVE
Dümmler, Bonn 1997 A leider vergriffen
hier findet man eine Fülle von Material, z.B. „Geschwindigkeit und Verkehrsfluss“
[5]
HANS-WOLFGANG HENN A Änderungsraten als Zugang zu den zentralen Begriffen und Resultaten der Analysis A in: ISTRON, Band 6, S. 1ff A Franzbecker, Hildesheim 2000
[6]
THOMAS JAHNKE / HANS WUTTKE A Mathematik, 11. Schuljahr (Blaue Reihe, für NRW)
Cornelsen, Berlin 2000
6. Differenzierbarkeit, S. 217ff und 7. Untersuchung ganzrationaler Funktionen, S. 248ff
[7]
HANS PIETZSCH A Ein Einstieg in die Differenzialrechnung über das Auswerten von Straßensteigungen A in: ISTRON, Band 8, S. 128ff A Franzbecker, Hildesheim 2003
[8]
JOHANNES SCHORNSTEIN A Simultane realitätsnahe Einführung der Differenzial- und Integralrechnung A in: ISTRON, Band 8, S. 129ff A Franzbecker, Hildesheim 2003
Internet-Adressen:
[9]
http://math.hws.edu/xFunctions/
Seite zu dem Java-Tool „xFunctions“
[10]
www.mathe-online.at
Viel Material zum Üben
Autoren: Jens Weitendorf A Winfried Euba
Zeitvorschlag: 20 Stunden (von 90)
Mathematik Anders Machen
Arbeitsblätter & Aufgaben
Übersicht
Arbeitsblätter
Arbeitsblatt 1 . . . . . . . . . . . . . Einführen des Integrals
Arbeitsblatt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hauptsatz
Kom petenzen
Arbeitsblatt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . Integrationsregeln
Arbeitsblatt 4 . . . . . . . . . . . . . Num erische Integration
(1) Sie erkennen, dass durch Aufsummation von lokalen Änderungsraten ein Gesamteffekt bestimmt werden kann, und interpretieren diesen Gesamteffekt
außermathematisch z.B. als zurückgelegter Weg, Gesamtkosten
usw., geometrisch als Fläche.
Sie wissen daher, dass sich mit
Hilfe der Differentialrechnung lokale und mit Hilfe der Integralrechnung globale Aussagen machen lassen
(2) Sie schließen aus der obigen Erkenntnis, dass die Integration die
Umkehrung der Differentiation ist,
kennen den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und
wissen um seine Bedeutung
(3) Sie können in einfachen Modellierungsaufgaben das Integral sachgerecht einsetzen und deuten,
bestimmen in einfachen Fällen
Integrale numerisch, berechnen
Integrale von ganzrationalen
Funktionen und sind in der Lage,
den ermittelten Zahlenwert im
Aufgabenkontext zu interpretieren.
Aufgaben
Aufgabenblatt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 1
1a) und b) einfache Modelle m it geradlinig begrenzten
Flächen (G eschwindigkeit ÷ W eg; Leistung ÷ E nergieverbrauch), in 1c) ist ein G raph als M odell gegeben
(lokale Änderung ÷ Bestand).
Aufgabenblatt 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 2
T achoscheibe: G eschwindigkeit ÷ W eg
Aufgabenblatt 3 . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben 3 und 4
Ä nderung des Flächenm aßes;
V eranschaulichung der A ufsumm ation von lokalen
Ä nderungsraten.
Aufgabenblatt 4 . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben 5 und 6
G raphisch integrieren (D ifferenzieren rückw ärts);
Lösen m it Zielangabe
Aufgabenblatt 5 . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben 7 und 8
R echnerische Lösung von A rbeitsblatt 1 (m it S tam m funktion);
Lorenz-K urve (Fläche zwischen zwei G raphen)
Aufgabenblatt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgabe 9
A ngebo ts- und N achfragek urve
Aufgabenblatt 7 . . . . . . . . . . . . . Aufgaben 10 und 11
H elikopter (u.a. Zusam m enhang D ifferential- und
Integralrechnung), Teile aus A ufgabe 14;
A ntik örper (A ufsumm ation lokaler Änderungsraten),
eignet sich für num erische Integration.
Aufgabenblatt 8 . . . . . . . . . . . . . Aufgaben 12 und 13
S chuhproduktion (Integral auch als D urchschnitt),
eignet sich für num erische Integration;
offene Modellierung (G renzsteuer ÷ S teuer).
Aufgabenblatt 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abituraufgabe
Autoren: W infried Euba
Jens W eitendorf
V ersion 1.0 vom 13.08.05
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G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Arbeitsblatt
1
Heißluftballon
Ein Heißluftballon ist eine längere Zeit in der Luft.
Zur Vereinfachung gelte die Annahm e, dass er sich dort nur in einer Richtung fortbewegt bzw. in entgegengesetzter Richtung, wenn der W ind dreht.
An Bord befindet sich ein Messgerät für die Geschwindigkeit, die der Ballon fährt.
Die Geschwindigkeit wird jetzt in Abhängigkeit von der vergangenen Zeit in ein Koordinatensystem eingetragen, Rückwärtsfahrt m it „negativer“ Geschwindigkeit gekennzeichnet. Es ergibt sich vom Start bis zur
Landung des Ballons dabei folgendes Schaubild:
a) Treffen Sie zur Beantwortung der folgenden Aufgabe geeignete Annahmen.
Beschreiben Sie die Fahrt auf der Grundlage des obigen Graphen.
W ie groß war der zurückgelegte W eg?
W ie weit ist der Ballon bei der Landung vom Ort des Starts entfernt?
b) Geben Sie eine Möglichkeit an, aus der Kenntnis des Verlaufs der Geschwindigkeit eines Objekts auf
dessen zurückgelegten W eg zu schließen.
Mathematik Anders Machen
G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Arbeitsblatt
2
Sie haben festgestellt, dass
•
zur Erm ittlung des zurückgelegten W eges die drei Flächenstücke zwischen der Kurve und der Zeit-Achse näherungsweise berechnet und addiert werden m üssen
Gesucht ist ein Produkt: Zeit A Geschwindigkeit (= Weg).
Geometrisch ergibt sich daher eine (Rechteck-) Fläche.
Die Fläche steht zumeist stellvertretend
für gesuchte Größen.
•
zur Erm ittlung der Entfernung zwischen Abfahrts- und
Aufprall-Ort das Maß der Fläche unterhalb der x-Achse als
negativ zählt, da der Ballon während dieses Zeitraum es
rückwärts fährt
Flächenteile unterhalb der x-Achse
ergeben negative Werte.
Daher wird zumeist über eine Nullstelle
der Funktion nicht hinweg gerechnet.
•
das Flächenm aß erm ittelt werden kann, indem m an die Fläche m it bekannten Flächen (Dreieck, Rechteck, Trapez, ...)
m öglichst gut auslegt und deren Flächenm aße addiert
Basis für numerisches Verfahren
•
statt dessen S sofern der Term des Graphen der Ballongeschwindigkeit bekannt ist S obige W erte direkt berechnet
werden können:
Der Term sei f(x). Gesucht ist dann der Funktionsterm F(x)
der zugehörigen W eg/Zeit-Funktion m it der Ableitung
FN(x) = f(x), denn die Geschwindigkeit ist die Ableitung der
W eg/Zeit-Funktion.
Der zurückgelegte W eg in den Etappen ergibt sich dann
durch F(x ZIEL) ! F(x START).
F mit FN(x) = f(x) heißt Stammfunktion von f.
Sie existiert für jedes Polynom.
Das Finden einer Stammfunktion ist also
rückwärts differenzieren
Das alles beinhaltet der
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
(1) Berechnung
Ist F eine Stam m funktion zu f ( also FN(x) = f(x)), so gilt
(2) Existenz (vorläufig)
Das Integral existiert für jedes Polynom .
•
Sprich: „Integral von a bis b f(x) dx“.
Der zu integrierende Term heißt Integrand. Das dx kennzeichnet das Ende des Integranden und gibt zugleich an,
welcher Buchstabe die Variable ist. Hier ist es x.
•
Die Integralrechnung basiert auf der Umkehrung der Differentialrechnung.
•
Der Zahlenwert, den das Integral ergibt, ist das Maß der
Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse in den Grenzen von a bis b („Begrenzungslinien“ parallel zur y-Achse). Flächenteile unterhalb der x-Achse
erhalten negative Zahlenwerte.
•
Die Fläche interessiert zumeist nicht selbst, denn das Flächenmaß steht stellvertretend für die gesuchte Größe.
•
Die Existenzaussage wird im Themenbereich G4 erweitert.
Hinweise zu (1)
Berechnung des Integrals
Mathematik Anders Machen
Hinweis zu (2)
Existenz: wann kann man das Integral (theoretisch) berechnen?
G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Arbeitsblatt
3
Beweisen Sie die beiden folgenden Integrationsregeln:
W ie lautet die Stam m funktion für ein
Polynom ?
Summenregel
Erm itteln Sie eine Stam m funktion für
•
f 1(x) = x n (n 0 IN)
•
f 2(x) = a A x n (a 0 IR, n 0 IN)
Notieren Sie sich ein spezielles Polynom und geben Sie dafür die Stam m funktion an.
Faktorregel
(c beliebige Konstante)
Eine Stam m funktion für f(x) = x 3 ist
aber auch
F 1(x) = ¼ x 4,
F 2(x) = ¼ x 4 + 2,
denn F 1N(x) = F 2N(x) = x 3.
W arum spielt es keine Rolle, welche Stam m funktion für die Berechnung des Integrals nach dem Hauptsatz verwendet wird?
Differentialrechnung
(Ableitung)
Integralrechnung
(Aufleitung)
Geschwindigkeit
zurückgelegter W eg
Beschleunigung
Geschwindigkeit
W achstum
Bestand
Grenzsteuer
Steuer
Kraft
Arbeit
Oberfläche
Volum en
lokale Änderung
Sum m e
normalerweise wählt man die Stammfunktion
ohne konstanten Summanden
Grundvorstellungen
von Differential- und Integralrechnung
im Vergleich
aufleiten meint differenzieren rückwärts
von verallgemeinerten Produkten
Durchschnitt
Steigung
Flächenm aß
Mathematik Anders Machen
G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Arbeitsblatt
4
Numerische Integration
Die Existenzaussage beim Hauptsatz bedeutet lediglich, dass
das Integral m it der angegebenen Berechnungsm ethode theoretisch gelöst werden kann. Bei Polynom en gibt es da keine
Schwierigkeiten, denn zu jedem Polynom kann nach den Regeln eine Stam m funktion erm ittelt werden.
Funktionsklassen, für die das Integral nicht existiert, treten in
der Schule nicht auf. Aber Funktionen, für die m an keine
Stam m funktion findet, gibt es auch in der Schule. Die bekannteste ist wohl die Funktion
,
die in der Stochastik eine wichtige Rolle spielt: die Gauß-Funktion, deren Graph die Gaußsche Glockenkurve ist.
Da in der Stochastik Flächenteile unter dem Graphen von N berechnet werden m üssen, bleibt nur die Möglichkeit, dies näherungsweise numerisch zu tun.
Überlegen Sie sich zunächst für ein einfaches Polynom ein Lösungsverfahren, so dass Sie testen können, wie gut Ihr Näherungswert ist.
Das Verfahren sollte aber so allgem ein sein, dass
•
es auf beliebige Funktionen anwendbar ist
•
die Qualität des Näherungswertes ansatzweise erkennbar
ist
•
es leicht an Qualitätswünsche anpassbar ist.
Es liegt ein Algorithmus vor,
eine genaue Beschreibung des Verfahrens,
die auch in Worte gefasst sein kann.
Verfahren soll mit dem Computer
verwendet werden können.
Testen Sie Ihr Verfahren dann an obiger Funktion N.
DERIVE und andere vergleichbare Program m e berechnen das
Integral von N autom atisch m it einem num erischen Verfahren.
Die „Fläche“, deren Maß wir berechnen wollen, ist ja m eist ein
Modell für irgendein zu lösendes Problem .
Im dreidim ensionalen Fall handelt es sich bei den zu berechnenden Volum ina oft direkt um das Problem , hier liegt sogar
eine der W urzeln der Integration. Besonders bekannt ist die Berechnung der Volum ina von Fässern.
Historisches
Der griechische Mathem atiker H E R O N (Lebensdaten nicht genau
bekannt, wahrscheinlich ca. 100 n.Chr.) beschreibt im Buch II
seiner Verm essungslehre („Metrika“), wie m an Volum ina unregelm äßiger Körper feststellen kann:
„Transportable Körper soll m an (nach Archim edes) in eine
durchgängig rechtwinklinge, m it W asser gefüllte W anne tauchen, wieder herausziehen und den leer gewordenen Raum in
der W anne m essen.
Nichttransportable Körper soll m an m it W achs oder Lehm bestreichen, bis eine rechtwinklige Form herauskom m t, die zu
m essen ist; dann soll m an den Lehm abnehm en und wieder in
rechtwinklige Form kneten. Die Differenz der beiden Volum ina
ist das Volum en des Körpers.“
Mathematik Anders Machen
G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Aufgabenblatt
1
Aufgabe 1
a) Ein Vorortzug beschleunigt seine Geschwindigkeit von 0 auf
17m /s in 12 Sekunden, dann fährt er m it dieser Geschwindigkeit 1 Minute und 30 Sekunden und brem st dann ab, um
bei der nächsten Station zu halten. Die Fahrt zu dieser Station endet nach genau 2 Minuten.
Verwenden Sie eine Skizze, um die Entfernung zwischen
beiden Stationen zu finden.
b) Die Leistung eines W asserboilers bestim m t das Maß, m it
dem elektrische Energie in W ärm e-Energie um gewandelt
wird.
Für 2 Minuten arbeitet ein bestim m ter Boiler m it der m axim alen Leistung von 3600 W att (Joule/s). In der folgenden
Minute sinkt die Leistung kontinuierlich auf 1200 W att. Dann
schaltet sich das Gerät für 2 Minuten aus. Danach schaltet
sich das Gerät wieder ein und leistet 3 Minuten lang konstant 2400 W att.
Verwenden Sie eine Skizze, um den Energieverbrauch des
Boilers in Kilojoule zu berechnen.
c)
Durch ein Leck in einem Staudam m ström t W asser. Der
unten abgebildete Graph zeigt die W asser-Rate, die durch
dieses Leck fließt. Mit sinkendem W asserstand nim m t auch
die Durchflussrate ab.
Nach 6 Stunden gelingt es schließlich, das Leck zu schließen.
Erm itteln Sie, wie viel W asser in den ersten 4 Stunden annähernd ausgetreten ist.
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G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Aufgabenblatt
2
Aufgabe 2
Bei einer LKW -Kontrolle wird auch die Tachoscheibe des Fahrtenschreibers von der Polizei überprüft.
Dabei können z.B. die Ruhezeiten und die gefahrene Höchstgeschwindigkeit abgelesen werden.
Als zusätzliche Kontrollzahl ist in der Mitte der Scheibe der Stand des Kilom eterzählers beim Einlegen und
beim Entfernen der Scheibe eingetragen.
W elche Schlüsse ziehen Sie aus der abgebildeten Scheibe und warum ?
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G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Aufgabenblatt
3
Aufgabe 3
Diese Aufgabe kann am besten mit Hilfe des Computers und
einer geeigneten Software (z.B. DGS) gelöst werden.
Es geht um das Änderungsverhalten von Flächeninhalten.
Dazu zeichnet m an z.B., wie in der Abbildung zu sehen, ein
rechtwinkliges Dreieck so auf, dass der Eckpunkt C entlang der
einen Kathete verschoben werden kann (und das Dreieck rechtwinklig bleibt).
W ie ändert sich jetzt der Flächeninhalt in Abhängigkeit von der
x-Koordinate des Punktes C?
Um dies heraus zu finden, kann m an etwa einen Punkt definieren, dessen x-Koordinate jene von C ist und dessen y-Koordinate das Flächenm aß angibt. Dann bewegt sich dieser Punkt auf
einer Kurve, die m it dem Einschalten der Spur sichtbar wird.
Finden Sie (näherungsweise) den Term dieser Funktion.
Legt man das Dreieck so wie in der Abbildung mit der Hypotenuse auf die xAchse, ergibt sich ein recht einfacher Term.
W as beschreibt die gefundene Funktion?
Aufgabe 4
W enn Sie z.B. eine Orange schälen, entfernen Sie von der (näherungsweise) Kugel eine m ehr oder m inder dicke Oberflächenschicht.
Um gekehrt könnte m an eine Kugel herstellen, in dem m an auf
die vorhandene Oberfläche eine neue Oberfläche aufträgt und
dies so oft wiederholt, bis die Kugel die gewünschte Größe erreicht hat.
Das bedeutet aus der Sicht der Mathem atik, dass die Aufsummation lokaler Änderungsraten hierbei einen Gesamteffekt bestimmt.
Erläutern Sie dies m it Hilfe der Form eln für Volum en und Oberfläche einer Kugel.
V kugel (r) =
B r3
O kugel (r) = 4B r 2
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G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Aufgabenblatt
4
Aufgabe 5
Skizzieren Sie in das Koordinatensystem den Graphen einer
passenden Stam m funktion.
Beschreiben Sie, wie Sie dabei vorgegangen sind und aus welchen Gründen.
Es kommt dabei nicht auf das Beachten
möglichst korrekter y-Koordinaten an,
es geht vielmehr um’s Prinzip.
„graphisch“ Integrieren
Aufgabe 6
W ählen Sie die Grenzen a und b sowie eine Funktion f geeignet, dam it gilt
Vielleicht zuerst mit einer Funktion mit
sehr einfachem Term versuchen,
dann mit einem etwas komplizierterem....
.
Mathematik Anders Machen
G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Aufgabenblatt
5
Aufgabe 7
Die Funktion f m it
f(x) = !0,0029x 4 + 0,306x 3 ! 10,28x 2 + 109,1x
beschreibt näherungsweise die Ballonfahrt vom Arbeitsblatt 1, wenn m an folgende Einheiten und Größen wählt:
x-Achse:
y-Achse:
Zeit in Minuten, je Kasten 1 m in
Geschwindigkeit in Meter pro Minute, je
Kasten 25 m
Berechnen Sie jetzt
a) den zurückgelegten W eg
b) die Entfernung zwischen Start- und Landeplatz.
Aufgabe 8
Nicht alle Menschen verfügen über dasselbe Einkom m en. So
haben etwa die ärm sten 10% der Deutschen weniger als 2%
des Gesam teinkom m ens, während die reichsten 10% ungefähr
25% des Gesam teinkom m ens beziehen.
Die Einkom m ensverteilung kann m it einer Lorenz-Kurve gezeigt
werden: Auf der x-Achse wird der prozentuale Anteil der Bevölkerung eingetragen (zunächst jener m it geringem Einkom m en),
auf der y-Achse der zu dieser Gruppe gehörige Anteil am Einkom m en. Definitions- und W ertebereich der Kurve sind also
jeweils [0,1].
W ürde jeder Einwohner dasselbe Einkom m en haben, so wäre
die Lorenz-Kurve die W inkelhalbierende w(x) = x. Die Fläche
zwischen der Kurve f und der W inkelhalbierenden w ist offenbar
ein Maß für die Ungleichverteilung von Einkom m en einer Bevölkerung. Daher wird der Gini-Koeffizient (Koeffizient der Ungleichverteilung) verwendet, um die Einkom m ensverteilung zwischen verschiedenen Gesellschaften vergleichen zu können. Er
ist definiert als
benannt nach dem amerikanischen Mathematiker
MAX OTTO LORENZ (1876 S 1956)
benannt nach dem italienischen Mathematiker
CORRADO GINI (1884 ! 1965)
.
Für ein kleines Land sei die Lorenz-Kurve näherungsweise
f(x) = 0,2 x 4 + 0,4 x 3 + 0,4x 2.
a) Zeichnen Sie die Lorenz-Kurve in ein Koordinatensystem .
b) W ie viel Prozent des Gesam teinkom m ens haben die ärm sten 20%, wie viel die ärm eren 50% und wie viel die reicheren 20% der Bevölkerung?
c)
Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten zur oben genannten
Lorenz-Kurve.
d) Begründen Sie, warum das Flächenm aß zwischen zwei Kurven in einem Schritt als Integral über die Differenz der beiden Term e g(x) ! f(x) berechnet werden kann, wobei g den
oberen Graphen beschreibt, f den unteren. Dabei seien f(x)
und g(x) im betrachteten Intervall nicht negativ und haben
außer eventuell an den Randpunkten des Intervalls keine
gem einsam en Punkte.
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G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Aufgabenblatt
6
Aufgabe 9
Die Nachfragekurve für ein landwirtschaftliches Produkt bezogen auf Norddeutschland hat die Gleichung
n(x) = !0,071 x 2 + 0,065 x + 50,
die Angebotskurve für das gleiche Produkt
a(x) = 0,053x 2 + 0,53 x + 15.
Dabei ist x die nachgefragte bzw. angebotene Menge dieses
Produktes in 1.000 kg und n(x) bzw. a(x) der Preis pro Kilogram m .
Die Kurven zeigen, dass es Konsum enten gibt, die auch zu einem höheren als dem Marktpreis einkaufen würden, und Produzenten, die diese W are zu einem niedrigeren als dem Marktpreis anbieten würden.
Kaufen bzw. Verkaufen diese jetzt zum Marktpreis, sparen sie
Kosten ein bzw. erzielen höhere Einnahm en. Dieser Überschuss ist von Interesse, denn er wird eventuell für andere Zwecke ausgegeben.
Die Nachfragekurve zeigt, wie viel von einer Ware von
den Konsumenten in Norddeutschland zu einem bestimmten Preis gekauft würde, also z.B. 10.000 kg bei
einem Preis von 43 Cent pro kg, aber bei einem Preis von
20 Cent/kg würden die Verbraucher über 22.000 kg
kaufen.
Die Angebotskurve zeigt die Situation aus der Sicht der
Produzenten: unter 15 Cent/kg will niemand die Ware
anbieten, zu einem Preis von 20 Cent/kg würde etwa eine
Menge von 6.000 kg auf den Markt kommen.
Der Marktpreis pendelt sich (theoretisch) im Schnittpunkt
der beiden Kurven ein, hier wird also bei einem Preis von
35 Cent/kg 15.000 kg der Ware angeboten.
a) Begründen Sie, warum das Maß der m arkierten Fläche jeweils diesen Überschuss angibt und in welcher Einheit dies
geschieht.
b) Berechnen Sie nun den Verbraucher- und den AnbieterÜberschuss.
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G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Aufgabenblatt
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Aufgabe 10
In der nebenstehender Abbildung ist ein Ausschnitt des Graphen einer quadratischen Funktion zu sehen, der im Zeitintervall
von 0 bis 60 s die Geschwindigkeit eines Helikopters in senkrechter Richtung v senkrecht (also sein Steigen bzw. Sinken) beschreibt.
Die waagerechte Achse stellt dam it die Zeit t in s dar, die senkrechte Achse die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit in m /s.
a) Zeigen Sie anhand der Inform ationen aus dem gegebenen
Diagram m , dass der gezeigte Graph zur Funktion v senkrecht
m it
gehört.
Erläutern Sie das Flugverhalten in der Zeit von 0 s bis 60 s.
Gehen Sie dabei auf die Nullstellen und den Hochpunkt der
Funktion ein.
b) Begründen Sie, dass im gegebenen Diagram m die Fläche
zwischen der t-Achse und dem Graphen der Funktion die
Dim ension einer Länge darstellt.
Skizzieren Sie die Form eines zu diesem Steigvorgang passenden Höhe-Zeit-Diagram m s. Sie brauchen dabei die genaue Einteilung der senkrechten Achse (also der Höhe)
nicht durchzuführen.
In welchem m athem atischen Zusam m enhang stehen diese
von Ihnen eben skizzierte Funktion und v senkrecht?
c)
Das abgebildete Steiggeschwindigkeits-Zeit-Diagram m kann
zu vielen (aber „ähnlichen“) Flugm anövern gehören.
Beschreiben Sie Gem einsam keiten und Unterschiede der
Flugbahnen (also der Höhe-Zeit-Diagram m e).
Aufgabe 11
Bei einem gesunden Menschen werden nach einer Infektion
Antikörper produziert.
Dabei ist
die Anzahl der Antikörper, die pro Se-
kunde vom Körper produziert werden und zwar t Sekunden
nach Eintritt der Infektion.
a) Beschreiben Sie den zur Funktion A gehörenden Graphen
im Sachkontext der Aufgabe.
Ist das Modell sinnvoll?
b) Berechnen Sie die Gesam tzahl der Antikörper, die nach diesem Modell
•
innerhalb der ersten Minute
•
innerhalb der ersten Stunde
•
am ersten Tag
nach der Infektion produziert wird.
Eine Stammfunktion zu A hat den Term 500 A ln (t2 + 16).
Mathematik Anders Machen
G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Aufgabenblatt
8
Aufgabe 12
In einer kleinen Fabrik werden Schuhe in Handarbeit produziert.
Die Grenzkosten der Produktion sind gegeben durch
.
Dabei ist n die Anzahl der produzierten Paare und K(n) sind die
Kosten für das n-te Paar in Euro.
Die Fixkosten betragen 2.000 €.
a) Skizzieren Sie den Graphen zu K und interpretieren Sie ihn
im Sachkontext der Aufgaben.
Überprüfen des Modells
b) Berechnen Sie die durchschnittlichen Kosten bei einer Produktion von 20, 50, 145, 200 und 300 Paaren.
Eine Stammfunktion zu K hat den Term
c)
Berechnen Sie den Term für die Funktion der durchschnittlichen Kosten. Skizzieren Sie die Funktion im Koordinatensystem m it dem Graphen zu K.
Aufgabe 13
Im Rahm en einer Steuerreform soll der Eingangssteuersatz von
derzeit 16% auf 12% gesenkt und der Grundfreibetrag von
7664 € auf 8000 € erhöht werden.
Der Spitzensteuersatz soll von derzeit 45% auf 39% gesenkt
werden.
Spitzensteuersatz beginnt bisher bei
zu versteuernden Einkommen ab 52.152 €
Ein Alleinstehender hat ein zu versteuerndes Jahreseinkom m en
von 30.000 €.
Berechnen Sie die Höhe der Steuern für diese Person nach obigem Modell.
Das Modell ist unvollständig, Sie müssen erst geeignete Annahmen treffen, um überhaupt rechnen zu können.
Wie sieht es zwischen Eingangssteuersatz
und Spitzensteuersatz aus?
Mathematik Anders Machen
G1 A Von der Änderungsrate zum Bestand
Aufgabenblatt
9
14. Abituraufgabe Helikopter (enthält Aufgabe 10)
In der folgenden Abbildung ist ein Ausschnitt des Graphen einer quadratischen Funktion zu sehen, der im Zeitintervall von 0 bis 60 s
die Geschwindigkeit eines Helikopters in senkrechter Richtung vsenkrecht (also sein Steigen bzw. Sinken) beschreibt.
Die waagerechte Achse stellt damit die Zeit t in s dar, die senkrechte Achse die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit in m/s.
a) Zeigen Sie anhand der Inform ationen aus
dem gegebenen Diagram m , dass der gezeigte Graph zur Funktion v senkrecht m it
gehört.
Erläutern Sie das Flugverhalten in der Zeit
von 0 s bis 60 s. Gehen Sie dabei auf die
Nullstellen und den Hochpunkt von v senkrecht
ein.
b) Begründen Sie, dass im gegebenen Diagram m die Fläche zwischen der t-Achse und dem Graphen der Funktion die Dim ension einer Länge darstellt.
Skizzieren Sie die Form eines zu diesem Steigvorgang passenden Höhe-Zeit-Diagram m s. Sie brauchen dabei die genaue Einteilung der senkrechten Achse (also
der Höhe) nicht durchzuführen.
In welchem m athem atischen Zusam m enhang stehen diese von Ihnen eben skizzierte Funktion und v senkrecht?
c)
Das abgebildete Steiggeschwindigkeits-Zeit-Diagram m kann zu vielen (aber „ähnlichen“) Flugm anövern gehören. Beschreiben Sie Gem einsam keiten und Unterschiede der Flugbahnen (also der Höhe-Zeit-Diagram m e).
d) Berechnen Sie die durchschnittliche Steiggeschwindigkeit des Helikopters in der
Zeit von 0 s bis 60 s und den Gesam thöhenunterschied, den der Helikopter in dieser Zeit durchfliegt!
Nehmen Sie jetzt an, der Helikopter startet im Zeitpunkt t = 0 vom Flugfeld.
Ein kleines motorisiertes Flugobjekt (eine sogenannte Drohne), das eine Kamera trägt, steigt ebenfalls vom Flugfeld nach der
Funktionsgleichung
h v(t) = v A (t!30) + 120
auf, wobei wiederum t die Zeit in Sekunden beschreibt, hv (t) die Flughöhe in Metern angibt und die Steiggeschwindigkeit v verschiedene Werte (jeweils in m/s) annehmen kann. Diese Aufsteig-Funktion ist so gewählt, dass die Drohne bei t = 30 s eine Höhe
von 120 m erreicht; Drohne und Helikopter starten nicht unbedingt gleichzeitig.
e) Beschreiben Sie die m öglichen Flugbahnen der Drohne im Vergleich / im Unterschied zum Helikopter.
Erläutern Sie die Bedeutung des Param eters v.
Zeichnen Sie in Ihr Höhe-Zeit-Diagram m m indestens zwei m ögliche Höhe-ZeitFunktionen für die Drohne.
Zeigen Sie, dass Helikopter und Drohne sich unabhängig von v zum Zeitpunkt
t = 30 s auf gleicher Höhe befinden.
f)
Geben Sie die Steiggeschwindigkeit v der Drohne so an, dass Drohne und Helikopter zu genau einem Zeitpunkt die gleiche Steiggeschwindigkeit aufweisen.
Können die Flugobjekte auch an m ehreren Zeitpunkten die gleiche Steiggeschwindigkeit haben? Begründen Sie Ihre Antwort.
Alternative Teilaufgabe:
g) Eine Drohne soll ebenfalls auf dem Flugfeld starten und sich genau nach 15 Sekunden neben dem Helikopter befinden, um den Helikopter von der Seite zu photographieren.
Bestim m en Sie die erforderliche Drohnen-Steiggeschwindigkeit v, den Zeitpunkt, zu
dem die Drohne starten m uss, sowie die Höhe, in der sich die Drohne neben dem
Helikopter befindet.
Begründen Sie: Kann diese Drohne auf ihrem Flug noch m ehr Bilder liefern, bei
denen sie genau neben dem Helikopter ist?
Mathematik Anders Machen
Aufgaben
Mathematik Anders Machen
Kompetenzen A GK
Kompetenzen A LK
Die Schülerinnen und Schüler
Die Schülerinnen und Schüler
(1) kennen die Ableitungsregeln und deren präform ale
Begründungen und die einfachen Integrationsregeln
(Sum m en-, Faktorregel)
(1) kennen die Ableitungsregeln und deren Begründungen und die Integrationsregeln (Sum m en-, Faktorregel, partielle Integration,
Integration durch Substitution)
(2) vertiefen ihr W issen um die
Bedeutung des Hauptsatzes der Differential- und
Integralrechnung
(3) setzen die Differential- und
Integralrechnung in einfachen m athem atischen und
realitätsnahen Problem stellungen sachgerecht ein,
begründen die Auswahl der
Funktionsklassen im Aufgabenkontext und deuten
den Einsatz der Differentialund Integralrechnung im
Modellierungsprozess (bezogen auf die Funktionsklassen: Potenzfunktionen
mit rationalen Exponenten,
Exponential- und Logarithmusfunktionen, Sinus, Cosinus und deren einfache
Verknüpfungen und Verkettungen).
Autoren:
(2) vertiefen ihr W issen um die
Bedeutung des Hauptsatzes der Differential- und
Integralrechnung
(3) unterscheiden zwischen
exponentiellem , beschränktem und logistischem
W achstum , beschreiben
Unterschiede und Gem einsam keiten und setzen die
zugehörigen Funktionalbzw. Differentialgleichungen
geeignet ein
(4) setzen die Differential- und
Integralrechnung in m athem atischen und realitätsnahen Problem stellungen
sachgerecht ein, begründen
die Auswahl der Funktionsklassen im Aufgabenkontext und deuten den Einsatz
der Differential- und Integralrechnung im Modellierungsprozess.
Jens W eitendorf
W infried Euba
Version 0.5 vom 13. Dezember 2005
Mathematik Anders Machen
G/L4 A Aufgaben
1
Aufgabe 1
W eiterführung von Aufgabe 17 zu G2:
Die Abbildung zeigt den durch Umzug bedingten Bevölkerungsaustausch zwischen drei Regionen A, B und C in Anteilen bzw.
W ahrscheinlichkeiten jeweils innerhalb eines Jahres. Eingetragen sind dazu die Einwohnerzahlen der Region in Tausend zu
Beginn der Modellierung.
a) Begründen Sie, warum die Summe der von einer Region
ausgehenden Anteile stets 1 ergeben muss.
b) Bestim m en Sie, wie viele Menschen nach 1, 2, 3, 4, 6 und 8
Jahren in den Regionen gem äß dem Modell jeweils leben.
Hinweis: Es ergeben sich folgende Werte:
A
B
C
0
1
2
3
4
6
8
100
50
50
65
45
90
53
49
98
50,6
49,8
99,6
50,12
49,96
99,92
50,0048
49,9984
99,9968
50,000192
49,999936
99,999872
Geben Sie für A und C die W achstum sart an. Bestim m en
Sie in beiden Fällen eine Funktionsgleichung.
c)
Geben Sie m it Begründung einen Kontext an, in dem Ihnen
obige Zahlen realistisch zu sein scheinen.
Geben Sie m it Begründung einen Kontext an, in dem Ihnen
obige W erte als zu hoch erscheinen. Diskutieren Sie Veränderungen am Modell, so dass m an realistischere W erte
erhält.
d) W ie viele Menschen m üssten jeweils in den Regionen leben, so dass die Änderung pro Jahr in jeder Region insgesam t höchstens 500 Menschen beträgt.
Aufgabe 2
Nebenstehende Abbildung wurde einem Artikel aus dem Spiegel entnom m en. In diesem Artikel wurde die These aufgestellt,
dass die Kosten für die Personalausgaben der öffentlichen Verwaltung von 1982 bis 1993 „galoppiert“ sind.
Nehm en Sie zu dieser These begründet Stellung.
Öffentliche Personalausgaben
(aus: Der Spiegel 1994, Nr. 39, S. 35)
Mathematik Anders Machen
G/L4 A Aufgaben
2
Aufgabe 3
Die folgende Tabelle gibt den W elterdölverbrauch in den Jahren
von 1880 bis 1925 in Millionen Barrel an.
Jahr
Ölverbr.
1880 1890 1900 1905 1910 1915 1920 1925
30
77
149
215
328
432
689
1069
a) Erstellen Sie zur obigen Tabelle einen Graphen.
Zeigen Sie, dass sich die obigen W erte durch eine Funktion
der Art f(t) = a A e b A t darstellen lassen und bestim m en Sie a
und b 0 IR.
b) Funktionen der Art f(t) = a A e b A t beschreiben exponentielles
W achstum .
W elches sind die Grundlagen für exponentielles W achstum ?
In wie weit treffen diese Grundlagen auf den Erdölverbrauch
zu?
c)
Geben Sie den gesam ten Verbrauch für die Jahre 1880 bis
1925 an.
W elcher Gesam tverbrauch ergibt sich bis zum Jahr 2000,
wenn m an den gleichen jährlichen Zuwachs wie in den Jahren von 1880 bis 1925 voraussetzt?
d) Der Verbrauch im Jahr 2000 betrug 3 Milliarden Tonnen
Erdöl. Die zu diesem Zeitpunkt verfügbaren und wirtschaftlich abbaubaren Vorräte wurden auf 145 Milliarden Tonnen
geschätzt.
•
W ie lange werden die Vorräte reichen, wenn m an von
einem jährlichen Mehrverbrauch von 3% ausgeht?
•
W ie groß m üsste der Zuwachs der wirtschaftlich abbaubaren Vorräte sein, dam it die Vorräte m indestens 50
Jahre halten? Geben Sie einen Ansatz an und schätzen
Sie den Zuwachs.
•
Die Erdölvorräte sind beschränkt; kann m an also von
beschränktem W achstum sprechen?
Mathematik Anders Machen
G/L4 A Aufgaben
3
Aufgabe 4
Für Fichten wurden folgende Durchschnittswerte für den Durchm esser des Stam m es gem essen:
Alter des Baumes in Jahren
Durchmesser in m
0
20
40
60
80
120 140 160
0,05 0,10 0,22 0,33 0,54 0,75 0,83 0,91
a) Die zeitliche Entwicklung der Dicke des Stam m es der Fichten kann durch die folgende Funktion näherungsweise beschrieben werden.
Skizzieren Sie den Graphen von d(t) und tragen Sie die obigen W erte ein.
Bestim m en Sie das Jahr, in welchem Jahr das W achstum
am größten ist. Um wie viel nim m t die Dicke in diesem Jahr
zu?
b) W achstum , das durch Funktionen wie in a) beschrieben
wird, nennt m an logistisches W achstum .
Für ein solches W achstum gilt die folgende Beziehung:
dN(t) = c A d(t) A [S – d(t)]. „S“ bedeutet dabei Sättigung.
Interpretieren Sie die obige Beziehung, indem Sie erklären,
warum m an m it einem solchen Ansatz logistisches W achstum beschreiben kann.
Bestim m en Sie S und zeigen Sie, dass die Beziehung für
d(t) aus a) richtig ist. Bestim m en Sie auch c.
c)
Für Forstleute stellt sich m eistens das um gekehrte Problem ,
näm lich, dass sie aus der Größe des Stam m es auf das Alter
der Fichte schließen wollen.
Dabei erweist es sich in der Regel als einfacher, den Um fang des Stam m es als seinen Durchm esser zu messen.
Geben Sie eine Funktion t(u) an, m it deren Hilfe sich das
Alter aus dem Um fang bestim m en lässt.
d) Die obigen W erte lassen sich unter Um ständen auch durch
einen anderen Funktionstyp approxim ieren.
Beschreiben Sie den Ansatz für eine ganzrationale Funktion. Sie brauchen nur den Grad und entsprechende Bedingungen anzugeben.
Für 0 # t # 80 lassen sich die W erte auch durch eine
e-Funktion approxim ieren. Geben Sie die Gleichung einer
solchen Funktion an.
Mathematik Anders Machen
G/L4 A Aufgaben
4
Aufgabe 5
Im Jahre 2000 wurde bei Pilzen aus der Gegend von Tschernobyl ein Cäsium -137-Strahlenwert von 120.000 Becquerel gem essen. Die Einheit Becquerel gibt die Zerfälle pro Sekunde an.
W ie lange dauert es, bis die Aktivität auf den EU-Grenzwert von
600 Becquerel gesunken ist?
Die Halbwertszeit für Cäsium -137 beträgt 30 Jahre. Die Halbwertszeit gibt an, wie lange es dauert, bis die Hälfte des radioaktiven Materials zerfallen ist.
(Nach: J AH N KE /W UTTKE 2002, S. 156)
Aufgabe 6
Änderung zu Aufgabe 12 aus V1-neu:
Vorgabe der Änderungsrate:
a) Bestim m en Sie den Funktionsterm , der das Luftvolum en in
der Lunge angibt. W arum ist dieser Term nicht eindeutig
bestim m t? W elche zusätzliche Angabe ist erforderlich um
diesen Term eindeutig zu bestim m en?
b) Zu welchem Zeitpunkt ist die pro Zeiteinheit eingeatm ete
bzw. ausgeatm ete Luft am größten?
c)
W ie viel Luft wird beim Einatm en im Durchschnitt pro Sekunde eingeatm et?
Aufgabe 7
Nebenstehendes Bild zeigt einen Elektronenstrahl, der von einem Plattenkondensator abgelenkt wird. Im dargestellten Fall ist
die obere Platte positiv und die untere negativ geladen. Da Elektronen negativ sind, werden sie von der oberen Platte angezogen und daher nach oben abgelenkt.
Als nächstes wird an die Platten eine W echselspannung der
Form U(t) = A A sin(bt) bzw. U(t) = A A cos(bt) angelegt. In einem
elektrischen Feld ist die Feldstärke und dam it auch die Kraft, die
auf die Elektronen wirkt, proportional zur Spannung.
Aus der Grundgleichung der Mechanik F = m A a folgt, dass
auch die Beschleunigung proportional zur Kraft ist, das heißt, es
gilt a(t) = â A sin(b At) bzw. a(t) = â A cos(b At).
Der Koeffizient b sei so gewählt, dass während der Zeit, in der
sich das Elektron zwischen den Platten befindet, gerade eine
Beschleunigungsperiode statt findet.
Die Elektronen werden in die Mitte zwischen den beiden Platten
eingeschossen. Verlassen die Elektronen in beiden Fällen das
elektrische Feld auch in der Mitte?
Mathematik Anders Machen
G/L4 A Aufgaben
5
Aufgabe 8
Gegeben ist die Gleichung e x = x 4.
a) Geben Sie die Anzahl der Lösungen an und begründen Sie
Ihre Aussage.
Bestim m en Sie die Lösungen m it einem CAS (näherungsweise).
b) W ir ändern nun die obige Gleichung zu e 1,1x = x 4.
Bestim m en Sie näherungsweise die Lösungen und begründen Sie das unterschiedliche Verhalten in Bezug auf die
Lösungen.
Aufgabe 9
Gegeben ist die Kostenfunktion K m it
K(x) = 0,1 Ax 3 ! 1,2·x 2 + 5,4 Ax + 3,2 .
Vergleiche Aufgabe 11 von V1-neu
Das Unternehm en kann einen Preis von 3 € für das Produkt
erzielen.
a) Erm itteln Sie die Gewinnzone und geben Sie den m axim alen Gewinn an.
b) Als Stückkosten bezeichnet m an die durchschnittlichen Kosten pro produziertes Stück. Geben Sie die Funktionsgleichung für die Stückkosten an und erm itteln Sie die Menge,
für die die Stückkosten m inim al sind.
c)
Erklären Sie den Unterschied zwischen Grenz- und Stückkosten. W arum ergeben sich verschiedene x-W erte für den
m axim alen Gewinn und die m inim alen Stückkosten?
Aufgabe 10
Die elektrische W echselspannung hat einen durchschnittlichen
W ert von 230 V. Der Verlauf der Spannung ist sinusförm ig und
kann also m it folgender Gleichung beschrieben werden:
U(t) = û A sin(2ð A 50Hz A t)
(û gibt die m axim al m ögliche Spannung an und 50 Hz steht für
die in Europa übliche Frequenz.)
Der Strom ist in der Regel m it der Spannung in Phase, das
heißt, es gilt die Gleichung: I(t) = î A sin(2ð A 50Hz A t).
Um W echsel- und Gleichstrom m iteinander vergleichen zu können, m isst m an die Leistungen, für die P = U A I gilt. Bestim m t
m an die Leistung im W echselstrom kreis, so erhält m an eine
Gleichung der folgenden Art: P(t) = û A î A sin 2(2ð A 50Hz A t).
Um den Durchschnittswert der Leistung zu bestim m en, ist der
durchschnittliche W ert der Funktion f(x) = sin 2(x) zu berechnen.
Bestim m en Sie diesen Durchschnittswert und berechnen Sie
daraus die m axim ale in der Deutschland m ögliche Spannung.
Mathematik Anders Machen

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