und M(X) - Leibniz Universität Hannover

SS 2012
Leibniz Universität Hannover
Institut für Analysis
Dr. Helmut Köditz
Funktionentheorie II
Zur algebraischen Struktur von H(X) und M (X)
Wir betrachten den Ring H(G) der holomorphen und den Körper M (G) der meromorphen Funktionen
in einem Gebiet G ⊂ C. Falls nicht anders genannt, gelten die Aussagen auch für offene Riemannsche
Flächen.
H(G) ist ein Integritätsbereich, d.h. ein kommutativer nullteilerfreier Ring mit Einselement und M (G)
als Quotientenkörper (Weierstraßscher Produktsatz). Die (multiplikative) Untergruppe der Einheiten
in H(G) ist E(G) := {f ∈ H(G) : f nullstellenfrei }. Wir betrachten noch (n ∈ N):
Eexp (G) := {f ∈ H(G) : ∃g ∈ H(G) mit f = eg }
und
n
En (G) := {f ∈ H(G) : ∃g ∈ H(G) mit f = g } .
Satz 1
\
Es gilt Eexp (G) =
En (G) und die Faktorgruppe E(G)/Eexp (G) ist isomorph zur ersten Homologien∈N
gruppe von G.
Zur Idealtheorie in H(G)
Sind f, g ∈ H(G), so teilt g 6= 0 die Funktion f (Bezeichnung f |g) genau dann, wenn fg ∈ H(G), also
genau dann wenn für die Nullstellenordnungen stets og ≤ of gilt - ist f (z) 6= 0, so gilt of (z) = 0.
Lemma 1
(ggt)
Für f1 , · · · , fn ∈ H(G) \ {0} sei o(z) := mink=1,··· ,n ofk (z), z ∈ G. Dann gibt es einen größten gemeinsamen Teiler g = ggT(f1 , · · · , fn ) ∈ H(G) mit og = o.
Definition
Ein kommutativer Ring mit Eins in dem jedes endlich erzeugte Ideal ein Hauptideal ist heißt
Bézout-Ring.
Der Mittag-Lefflersche Anschmiegungssatz ergibt:
Satz 2
(Satz von O.Helmer (1940))
H(G) ist ein Bézout-Ring.
Folgerungen:
a) Haben f1 , · · · , fn ∈ H(G) keine gemeinsamen Nullstellen, so gibt es g1 , · · · , gn ∈ H(G)
mit f1 g1 + · · · + fn gn ≡ 1.
b) Ist I ( H(G) ein Ideal in H(G), so bilden die Nullstellenmengen von Funktionen in I einen Filter
F (I) = {N (f ) : f ∈ I } mit Mengen aus D = {G} ∪ {A ⊂ G : A diskret } - Übung.
Wie bei Filtern definieren wir:
Definition
T
Ein Ideal I ( H(G) heißt frei“ falls f ∈I N (f ) = ∅, andernfalls heißt I fixiert“.
”
”
1
Beispiele und weitere Folgerungen:
a) Ist ∅ 6= A ⊂ G eine diskrete Menge, so ist I := {f ∈ H(G) : N (f ) ⊃ A } fixiert; ist {zn }n∈N ⊂ G
eine Menge ohne Häufungspunkt in G, so ist J := {f ∈ H(G) : ∃k ∈ N : {zn }n≥k ⊂ N (f ) } ein
freies Ideal.
b) Sei I ( H(G) ein fixiertes Ideal mit D := ∩f ∈I N (f ) 6= ∅. Es gibt ein g ∈ H(G) mit N (g) = D und
og = 1 auf D. Dann gilt natürlich I ⊂ (g), I 6= (g) ist aber möglich.
Lemma 2
Für jedes a ∈ G ist das Hauptideal (z − a) ein maximales Ideal in H(G). Ist umgekehrt m ein fixiertes
maximales Ideal in H(G), so gibt es ein a ∈ G mit m = (z − a) =: ma .
Nichtkonstante holomorphe Abbildungen h : G0 → G zwischen Gebieten in C (Riemannsche Flächen )
induzieren Homomorphismen
ϕ : M (G) → M (G0 ), ϕ(f ) := f ◦ h .
Nach Identifikation von C mit den konstanten Funktionen erkennt man ϕ(c) = c für c ∈ C - ϕ ist also
ein C-Algebra-Homomorphismus. Natürlich gilt hier auch ϕ(H(G)) ⊂ H(G0 ).
Ziel 1 : Jeder C-Algebra-Homomorphismus ϕ : M (G) → M (G0 ) wird so erzeugt.
Zunächst zu H(G). Jeder C-Algebra-Homomorphismus H(G) → C heißt ein Charakter von H(G). Jede
Auswertung χc : H(G) → C, χ(f ) = f (c), c ∈ G ist ein Charakter.
Lemma 3
Ist χ ein Charakter von H(G), so gilt χ = χc mit c = χ(idG ) ∈ G.
Bemerkung: Für jedes maximale Ideal m ( H(G) ist H(G)/m ein Körper. Auch liefert jeder surjektive
Ringhomorphismus H(G) → K in einen Körper K als Kern ein maximales Ideal. Formuliere Lemma 3
in der Sprache“ der maximalen Ideale.
”
Satz 3
(Satz von Bers)
Zu jedem C-Algebra-Homomorphismus ϕ : H(G) → H(G0 ) gibt es genau eine holomorphe Abbildung
h : G0 → G mit ϕ(f ) = f ◦ h für alle f ∈ H(G). Es gilt h = ϕ(idG ) ∈ H(G0 ). ϕ ist genau dann bijektiv,
wenn h biholomorph ist.
Folgerungen:
1. G und G0 sind genau dann biholomorph äquivalent, wenn H(G) und H/G0 ) als C-Algebren isomorph sind.
2. Jeder C-Algebra-Homomorphismus ϕ : H(G) → H(G0 ) ist stetig. Hierbei ist jeweils die Topologie
der kompakten Konvergenz gewählt.
Definition
a) Sei M (G)∗ = M (G)\{0} die multiplikative Gruppe des Körpers M (G). Eine Abbildung v : M (G)∗ →
Z heißt Bewertung ( valuation“)von M (G), wenn für alle f, g ∈ M (G)∗ gilt:
”
(B1) v(f g) = v(f ) + v(g)
,
(B2) v(f + g) ≥ min(v(f ), v(g)) für f 6= −g .
∗
b) Ist v eine Bewertung von M (G) , so ist B := v −1 (N0 )∪{0} ein Unterring von M (G) mit der Eigenschaft f ∈
/ B ⇒ 1/f ∈ B. Solche Unterringe von Körpern heißen Bewertungsringe. Bewertungsringe
übernehmen in Körpern die Rolle von maximalen Idealen in Ringen.
1 frei
nach Remmert: Funktionentheorie II, Kap. 5
2
Lemma 4
Sind G, G0 Gebiete, so gilt ϕ(H(G)) ⊂ H(G0 ) für jeden Körperhomomorphismus ϕ : M (G) → M (G0 )
mit ϕ|C = id.
Satz 4
(Satz von Iss’sa (1965))
Zu jedem C-Algebra-Homomorphismus ϕ : M (G) → M (G0 ) gibt es genau eine holomorphe Abbildung
h : G0 → G mit ϕ(f ) = f ◦ h für alle f ∈ M (G).
Noch einige Bemerkungen für Freunde der Funktionalanalysis.
Statt H(G) betrachten wir nun H ∞ (G), die kommutative Banachalgebra mit Eins der in G beschränkten holomorphen Funktionen (Supnorm).
In kommutativen Banachalgebren B mit Eins gilt nun:
Ist m ( B ein maximales Ideal, so gilt für die Restklassenabbildung κ : B → B/m stets κ(C) = B/m anders als in H(G).
Es existiert also eine umkehrbar eindeutige Zuordung der max. Ideale in H ∞ (G) zu den C-Algebrahomomorphismen κ : H ∞ (G) → C. Jedes κ ist stetig und wegen κ(1) = 1 folgt kκk = 1.
Deshalb kann man den Raum M(G) der maximalen Ideale in H ∞ (G) mit der Einheitssphäre im (stetigen) Dual (H ∞ (G))0 identifizieren. Nach Banach-Alaoglu ist dann M(G) kompakt bzgl. der schwach∗-Topologie. Ferner ist G durch die Punktauswertungen c 7→ (f 7→ f (c)) in M(G) eingebettet.
Große Frage: Ist G dicht in M(G)?
Eine Antwort liefert das
Corona Theorem
(L. Carleson 1962)
Für G = D ist D dicht in M(D).
Ergänzung: Äquivalent ist:
f1 , · · · , fn ∈ H ∞ (D),
n
X
|fj (z)| ≥ δ > 0, ∀z ∈ D =⇒ ∃g1 , · · · , gn ∈ H ∞ mit
j=1
n
X
j=1
(Bitte nicht mit Bézout-Eigenschaft verwechseln.)
3
fj gj ≡ 1 .