AP Repetition

Abschlussprüfungsaufgaben
Termumformungen
1.
x2 + 3xy
: (x + 3y)
3
2.
2a2
a
−
2
a+1
a −1
3.
3x2 − 30x + 75
3(x2 − 25)
4.
a
a
:
3a − 3
2a − 2
5.
8x − 2y
4,5y − 3x
+
4x + 4y
3x + 3y
6.
2n + 2
4n + 4
:
n+ 2
4 − n2
7.
r(p + t)
10s2
⋅ 2
4s
r p + r2t
8.
c−d
d−c
c+d
−
:
2
c+d
cd
c
9.
8p −10
p
−
3p − 4
6p − 8
10.
c2 − 3c −10
(c − 5) :
c2 − 4
Diverses mit Termen
11.
Der Mittelwert der vier Terme
12.
Gib alle natürlichen Zahlen an, welche die folgenden Bedingungen nicht erfüllen:
2 +
13.
s , s+1 , 3s+5 , 7s+10
ist 22. Berechne s.
20x −15
> 25
3
Bestimme die vier grössten ganzen Zahlen, welche die Ungleichung erfüllen:
3− x
5 − 3x
x −1
<
−
5
3
6
14.
Bestimme den Definitionsbereich für folgende Gleichung:
4x =
15.
33
104
−
x + x−6
4 − x2
2
Faktorisiere den folgenden Term vollständig:
5m6 − 50m5 + 125m4
16.
Bei einem Bruch ist der Zähler um 5 grösser als der Nenner. Der Wert des Bruches ist
29
grösser als
. Berechne den grössten möglichen Nenner.
28
17.
Welche natürlichen Zahlen erfüllen folgende Ungleichung?
8x − 3
3 + 2x
−
< 0
8
3
18.
Bestimme die vier grössten ganzzahligen Lösungen:
10x − 4
7− x
+ 1− x <
8
6
19.
Für welche Werte von s ist der folgende Term nicht definiert?
2
3
4
+ 5
− 2
s − 3s
s + 5s
s −4
2
20.
Welche negativen ganzen Zahlen erfüllen folgende Ungleichung?
4x −1
5x + 7
≤
8
6
21.
Welche durch 3 teilbaren Zahlen erfüllen folgende Ungleichung?
Gleichungen - Ungleichungen
22.
9x −1
5
1
=
−
x−4
x−5
x − 9x + 20
23.
x−6
x
=
x
x + 10
24.
x
1
6
+
=
2x −12
2
x−6
25.
x+2
x2 + 2
x
=
−
2
x
2
26.
5
3
− 2
= 0
x −9
x − 6x + 9
27.
1
1
2
+
=
x+2
x −1
x
28.
5
3
4
−
= 2
x+2
x−2
x −4
29.
10
x+3
=
4x + 3
4x2 + 3x
30.
⎛ a − 3b
3ab − b2 ⎞
⎜ 2
⎟
2
2
2
⎜ a − b + a − 2ab + b ⎟ ⋅ 1
b2
⎜ a
⎟ 1+ a
⎜
⎟
b
⎝ a+b
⎠
a−b
31.
m(m −1)
1
m+1
⋅
2
1
2m
+ m+1
− 4
2
m −1
m −1 m −1
32.
a+ x
2x
⎡⎛
−
⎞2
⎛ a − x ⎞2 ⎤
a
+
x
x
x−a
⎢⎜
⎟ − ⎜
⎟⎥ −
2
⎢⎣⎝ 2x ⎠
a + x2
⎝ 2x ⎠ ⎥⎦
x−a
33.
x3 − 2x −1
− x
x2 −1
2
2
Doppelbrüche
m −1−
=
4
2x2
x−
1+ x
⎛1
a − 2abc + (bc)
b ⎞
⋅ ⎜ +
⎟
a
a + ab
c
a − bc ⎠
⎝
−
c
a+ c
2
34.
36.
2
35.
x+a
2
x − b + 3bx − x
x−a
bx − b2
1−
x+b
1−
37.
x −p
r
− 1 =
p
1−
x
1
c
1
1
− 2
c
c
1
4r
1
2
(x + r) − (x − r)2
− 1
Textaufgaben
38.
Der Umlauf der Erde um die Sonne dauert 365,25 Tage. Während die Erde acht Umläufe
um die Sonne macht, umkreist der Planet Venus diese 13 Mal. In wie viel Tagen und
Stunden kreist die Venus einmal um die Sonne?
39.
Laura kauft im Schwimmbad am Kiosk Süssigkeiten. Es gibt Lakritzstangen für 50
Rappen pro Stück, Kaugummikugeln für 10 Rappen pro Stück und Schleckstängel für
1.20 Franken pro Stück. Laura kauft doppelt so viele Kaugummikugeln wie
Lakritzstangen. Insgesamt kauft sie 29 Süssigkeiten und bezahlt Fr. 11.60. Wie viele
Süssigkeiten kauft Laura pro Sorte?
40.
Daniela und Kevin schätzten die Zeit für die Heimreise mit dem Velo. Daniela sagte eindreiviertel Stunden voraus, Kevin schlug eineinhalb Stunden vor. Die effektive Fahrzeit
lag zwischen den beiden Schätzwerten. Kevin schätzte 2,75 mal so weit daneben wie
Daniela. Wie lange dauerte die Heimfahrt?
41.
Werner besorgt für ein Schülerfest Orangensaft, Mineralwasser und Coca-Cola,
insgesamt 300 Flaschen. Mineralwasser bestellt er 60 Flaschen weniger als Coca-Cola
und doppelt so viele wie vom Orangensaft. Wie viele Flaschen Orangensaft stellt er
bereit?
42.
Für den Sporttag einer Schule sind Wettbewerbe im Rollbrett- und im Scooterfahren ausgeschrieben. Es melden sich 96 Kinder an. Ein Rollbrett hat vier Rollen, ein Scooter
zwei. Zusammen haben die Rollbretter sechsmal so viele Rollen wie die Scooter. Wie
viele Kinder nehmen am Scooterwettbewerb teil, wenn jedes Kind nur einen Wettbewerb
bestreitet?
43.
Eine Strecke ist in zwei Teile geteilt, deren Längen sich wie 5 : 3 verhalten. Man weiss,
dass das erste Teilstück 8,40 m länger ist als das zweite. Wie viele Meter misst der
längere Teil?
44.
Eine Gruppe von Pfadfinderinnen bereitet das Material für ein Zeltlager vor. Sie verfügt
über Vierer- und über Sechserzelte, insgesamt 39 Zelte. Ein Drittel der Anzahl
Schlafplätze in den Viererzelten ist um 13 grösser als die Hälfte der Anzahl Plätze in den
Sechserzelten. Wie viele Zelte jeder Grösse sind vorhanden?
45.
Der Winkel α eines Dreiecks ist
2
-mal
3
so gross wie β. Der Winkel γ ist der Mittelwert aus
den beiden anderen. Berechne die drei Winkel.
46.
Der Nenner eines Bruches ist um 240 grösser als der Zähler. Wenn man zum Zähler
1'200 addiert und den Nenner belässt, so erhält man den Kehrwert des Bruches.
Berechne den Zähler des ursprünglichen Bruches.
47.
Die Summe von 4 natürlichen Zahlen beträgt 172. Die zweite Zahl ist 40 % grösser als
die erste, die dritte Zahl ist um 110 grösser als die zweite und die vierte Zahl ist der
Mittelwert der anderen drei Zahlen. Berechne die erste Zahl.
Prozentrechnen - Zinsrechnen
48.
Zwei Kapitalien von Fr. 5'410.- und Fr. 1'350.- brachten in einem Jahr zusammen Fr.
155.45 Zins. Das zweite war um 1,5 % höher verzinst als das erste. Zu wie viel Prozent
wurde das zweite Kapital verzinst?
49.
Bei einem Kaffeegeschirr wurde der Preis nach einem Jahr um 30 %, nach einem
weiteren Jahr noch einmal um 20 % erhöht. Um wie viele Prozente müsste man danach
den Preis senken, um wieder den Anfangspreis zu erhalten?
50.
Als sich Albert Einsteins Freund Kurt Gödel um das amerikanische Bürgerrecht bewirbt,
hat er Fragen zur Geschichte zu beantworten. Nach der Befragung sagt er: "Weil ich
anfänglich nervös war, konnte ich von den ersten 10 Fragen nur zwei richtig
beantworten. Bei den übrigen Fragen habe ich 80 % Richtige erreicht und damit zwei
Drittel aller Fragen korrekt beantwortet." Wie viele Fragen wurden gestellt?
51.
Beim Kauf eines 1'990 Fr. teuren Computers entschliesst sich Frau Steiger, eine
Anzahlung von 20 % des Preises zu machen. Für den Rest vereinbart sie mit dem
Geschäftsführer 24 monatliche Raten zu Fr. 75.-. Hätte sie bar bezahlt, wäre ihr ein
Rabatt von 3 % gewährt worden. Um wie viele Prozent ist der von Frau Steiger
ausgegebene Betrag grösser als der Barzahlungspreis?
52.
Der Verkaufspreis eines Handys wurde im letzten Jahr wegen der herrschenden
Konkurrenz um 20 % gesenkt. Im Januar 2001 wurde der Preis wegen der grossen
Nachfrage um 10 % erhöht. Heute wird das Gerät mit 5 % Rabatt für Fr. 313.50
verkauft. Wie viel kostete das Handy vor der Preissenkung im Jahr 2000?
53.
Der Rohölpreis wird in Dollar pro Barrel (1 Barrel = 159 Liter) angegeben. Im Februar
1999 lag dieser Wert bei 9,63 $. Bis September 1999 stieg er auf 23,86 $.
Berechne die Preissteigerung von Februar bis September 1999 in Prozent. Um wie
viele Prozente müsste der Rohölpreis danach wieder fallen, um den gleichen Stand wie
im Februar 99 zu erreichen?
54.
Erna will ein Auto mieten und vergleicht zwei Angebote. Die Firma A verlangt Fr. 45 als
Grundgebühr und 40 Rappen pro gefahrenen Kilometer, bei der Firma B lauten die
entsprechenden Beträge Fr. 85.- und 35 Rappen. Bei beiden Angeboten kommen die
Benzinkosten dazu, der Wagen der Firma A verbraucht im Durchschnitt 9 Liter auf 100
km, jener von B benötigt durchschnittlich 8 Liter. Wie viele Kilometer müsste Erna
mindestens zurücklegen, damit das Angebot von B mindestens 5 % günstiger ist als
jenes von A? Rechne mit einem Benzinpreis von Fr. 1.20 pro Liter.
55.
Frau Gut hat ihr Erspartes von Fr. 62'100.- anfangs eines Jahres in zwei Teilen
angelegt, den einen zu 3 %, den anderen zu 4 %. Wenn am Ende des Jahres jeder
Bruttozins zu seinem Kapital hinzugefügt wird, so werden die bei den Guthaben gleich
gross. Wie gross waren die beiden Teile anfangs Jahr?
56.
Zwei Kapitalien von 7'200 Fr. und 8'800 Fr. ergeben zusammen einen Jahreszins von
470 Fr. Das grössere Kapital wird um 1,25 % höher verzinst als das kleinere. Zu
welchen Zinssätzen werden die Kapitalien verzinst?
57.
Nachdem die Bank den Hypothekarzinssatz von 4,5 % auf 3,75 % gesenkt hat, muss
Frau Hauser monatlich 280 Fr. weniger Zins bezahlen. Berechne Frau Hausers
Hypothekarschuld.
Konstruktionen
58.
Konstruiere ein Dreieck ABC mit α = 33°, hc = 4,2 cm und sa = 8,5 cm.
59.
Konstruiere das Trapez ABCD, für das gilt:
C (4/2) ,
P (-4/-1) ∈ AB ,
BC = 5,7cm und AC = 10cm ,
Winkel CBA = 52° ,
AD = CD .
Die Längeneinheit im Koordinatensystem beträgt beträgt 1cm.
60.
Gegeben sind die Punkte P und Q mit PQ = 9cm. Konstruiere durch P eine Gerade,
welche von Q einen Abstand von 4cm hat.
61.
Konstruiere das Viereck ABCD, für das gilt:
Ma (3,5/-3) und Md (-1/-2) sind die Mittelpunkte der Seiten AB und AD ,
P (6/-1,5) ∈ AB ,
Winkel BAD = 73° und Winkel DCB = 65° ,
C (2/?) .
62.
Konstruiere im Innern des Dreiecks ABC mit a = 9cm, b = 8cm und c = 10cm den Punkt,
von dem aus die Seite a unter einem Winkel von 110° erscheint und der gleich weit von
A und B entfernt ist.
63.
Spiegelt man das gleichschenklige Trapez ABCD mit A (-5/1), B (2/6) und D (-6/6) an der
Geraden g, so wird M’ (4/0) zum Umkreismittelpunkt des gespiegelten Trapezes.
Konstruiere die Spiegelachse g und das gespiegelte Trapez A’B’C’D’.
64.
Konstruiere ein Parallelogramm ABCD mit den beiden Diagonalen AC = 9cm, BD = 14cm
und dem Winkel ADC = δ = 55°.
65.
Gegeben sind die Gerade g = AB, der Punkt P und der Radius r1 eine Kreises k1, der g
berührt und durch P geht. Konstruiere k1 und anschliessend den Mittelpunkt M2 des
Kreises k2, der den Kreis k1 und die beiden Tangenten von A an k1 berührt.
66.
Die Front einer Lagerhalle ist 50m breit. Ein Beobachter steht in einem Abstand von 30m
vor dem Gebäude. Er sieht die Front der Halle unter einem Winkel von 65°. Bestimme
mögliche Standorte durch eine Konstruktion im Massstab 1 : 500.
67.
Konstruiere das Trapez ABCD, welches einen Inkreis mit Radius ρ = 3cm besitzt, mit
A (-5/-3), P (-1/-2) ∈ AB, Q (3/2) ∈ BC und dem Winkel β = 40°.
68.
Konstruiere das Trapez ABCD mit den Parallelseiten a und c aus a = 8,0cm, c = 4,0cm,
d = 5,5cm und dem Winkel ADB = 65°.
69.
Vom Dreieck ABC ist bekannt: BC = a = 7cm, 5cm ≤ ha ≤ 6,5cm, hb = 6cm. Konstruiere
die Menge aller möglichen Eckpunkte A.
70.
Konstruiere das Dreieck ABC mit B (6/2), Mc (1/-1) und dem Schwerpunkt S (-1,5/1,5).
71.
Konstruiere ein gleichschenkliges Trapez ABCD mit den Parallelseiten AB und CD, dem
Winkel CBA = β = 68°, BC = 6,5cm und den Punkten C (2/5), P (0/-1,8) ∈ AB und
R (0/3) ∈ BD.
72.
Vom Dreieck ABC sind die Eckpunkte A (-6/2) und B (-3/-6), die Seitenhalbierende
sc = 6cm und der Winkel ACB = γ = 65° gegeben. Konstruiere dasjenige Dreieck, bei
dem der Punkt C eine positive x-Koordinate hat. Verschiebe es anschliessend parallel
so, dass der Punkt C’ auf der x-Achse und der Punkt A’ auf der y-Achse liegt.
Geschwindigkeit - Leistung
73.
Ein Lift fährt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 0,6 m/s in einem Wolkenkratzer vom Erdgeschoss bis ins oberste Stockwerk. Oben angekommen fährt er
mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 1,5 m/s wieder zurück ins Erdgeschoss. Die
beiden Fahrten dauern zusammen 7 Minuten. In welcher Höhe liegt das oberste
Stockwerk des Wolkenkratzers?
74.
In Princeton legt Albert Einstein seinen 3 km langen Arbeitsweg stets zu Fuss zurück.
Einmal bemerkt er genau in der Mitte des Weges, dass er, sofern er seine
Geschwindigkeit beibehielte, 6 Minuten zu spät im Institut ankäme. Um wie viel muss er
die Geschwindigkeit erhöhen, um noch rechtzeitig einzutreffen, wenn er die erste
Weghälfte mit 5 km/h zurückgelegt hat?
75.
Am Aargauerfest findet ein Schweinerennen statt. Das Siegerschwein Molly legt die erste
Hälfte der Rennstrecke mit einer Geschwindigkeit von 12 km/h zurück, auf der
Reststrecke ist seine Geschwindigkeit um 6 km/h grösser. Mit welcher durchschnittlichen
Geschwindigkeit legt Molly die gesamte Strecke zurück?
76.
In einer Höhe von 2'700 m über Boden springt Hans aus dem Flugzeug. Im freien Fall
erreicht er eine mittlere Geschwindigkeit von 50 m/s, bei geöffnetem Fallschirm beträgt
seine Geschwindigkeit noch 3 m/s. Wie viele Sekunden nach dem Absprung muss er den
Fallschirm öffnen, wenn er genau 195 Sekunden nach seinem Absprung landen will? In
welcher Höhe über Boden befindet er sich zum Zeitpunkt des Öffnens?
77.
Im Juni 1902 fährt König Eduard mit dem Automobil von London nach Windsor und
erreicht dabei eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 32 km/h. Könnte der König diese
um 8 km/h steigern, würde er 24 Minuten Fahrzeit einsparen. Berechne die Distanz
zwischen London und Windsor.
78.
Erna legt eine 200 m lange Strecke mit ihrem neuen Kickboard zurück. Auf dem ersten
Teilstück erreicht sie eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 15,5 km/h, auf dem
verbleibenden Teil fährt sie durchschnittlich mit 24,5 km/h. Wie lange ist die erste
Teilstrecke, wenn die Durchschnittsgeschwindigkeit für die Gesamtstrecke 20 km/h
beträgt?
79.
Erna legt das erste Viertel einer Strecke mit der Geschwindigkeit v km/h zurück: auf der
restlichen Strecke fährt sie durchschnittlich doppelt so schnell. Wie gross muss v sein,
damit die Durchschnittsgeschwindigkeit für die gesamte Strecke 15 km/h beträgt?
80.
Ein Stausee hat zwei Zuflüsse. Der eine würde ihn allein in 180 Tagen füllen, der andere
allein in 72 Tagen. Im Frühling ist er zu
ist?
1
5
gefüllt. Wie lange dauert es, bis er zu 90 % voll
81.
Bei der Durchfahrt in Aarau hat das mit durchschnittlich 40 km/h fahrende Spitzenfeld
gegenüber den Verfolgern einen Vorsprung von 2 km. Wie lange dauert es, bis die
Verfolger zum Spitzenfeld aufschliessen, wenn wir annehmen, dass sie eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 45 km/h einhalten können?
82.
Im Moment, wo sich die beiden Spitzenfahrer Ferdy und Hugo 2km vor dem Ziel in
Baden befinden, tritt Hugo zum Schlussspurt an und erreicht dabei eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 50 km/h. Ferdy vermag anfänglich nicht mitzuhalten und
fährt auf dem ersten Kilometer seines Schlussspurtes mit lediglich 45 km/h. Mit welcher
Geschwindigkeit muss Ferdy seinen letzten Kilometer zurücklegen, wenn er gleichzeitig
mit Hugo im Ziel sein will?
Pythagoras
83.
Zwei konzentrische Kreise bilden einen Kreisring. Die längst mögliche Strecke in diesem
Ring ist eine Linie, die den inneren Kreis berührt. Wie lang ist diese längst mögliche
Strecke, wenn der Kreisring den gleichen Flächeninhalt hat wie der kleinere Kreis? Der
Radius des kleineren Kreises beträgt 5cm. Runde das Schlussresultat auf mm.
84.
In einem Glaswürfel mit Kantenlänge a = 1 steckt ein Körper, dessen Ecken durch die
sechs Flächenmittelpunkte des Würfels gebildet werden. Berechne die Oberfläche dieses
Körpers. Nichtaufgehende Wurzeln stehen lassen.
85.
In einem Rechteck ABCD hat das Lot (=Senkrechte) von der Ecke B auf die Diagonale
e = AC die Länge 3. Der Winkel zwischen diesem Lot und der Seite BC beträgt 30°.
Berechne die Länge der Seite BC. Nichtaufgehende Wurzeln stehen lassen.
86.
Berechne die Länge des Tangentenabschnittes der Tangente, die vom Punkt P(-13/1) an
den Kreis mit dem Mittelpunkt M(7/6) und dem Radius r = 7,4cm gelegt ist
(Einheitsstrecke e = 1cm). Runde das Schlussresultat auf mm.
87.
Alle Kanten eines Prismas mit dreieckiger Grundfläche haben die Länge a. Drücke das
Volumen diese Prismas durch a aus. Nichtaufgehende Wurzeln stehen lassen.
88.
Alle Kanten eines Prismas haben die Länge k, seine Grundfläche ist ein regelmässiges
Sechseck. Drücke die Oberfläche des Prismas durch k aus. Nichtaufgehende Wurzeln
stehen lassen.
89.
Berechne die Seite c = AB des Dreiecks ABC aus a = BC = 17cm, hc = 8cm und α = 45°.
90.
Der Inhalt eines Drachenvierecks ABCD (AC = Symmetrieachse) beträgt 45cm2. Die
Diagonale BD teilt das Drachenviereck in zwei gleichschenklige Teildreiecke, von denen
dasjenige mit der Spitze C einen viermal so grossen Flächeninhalt aufweist wie das
andere. Der Winkel bei der Ecke A beträgt 90°. Berechne den Umfang dieses
Drachenvierecks. Nichtaufgehende Wurzeln stehen lassen.
91.
Berechne die Länge der Basis c des gleichschenkligen Dreiecks ABC mit Schenkellänge
a = 10cm und Höhe ha = 8cm. Nichtaufgehende Wurzeln stehen lassen.