FISICA F1

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FISICA F1
FIRJAN - Federação das Indústrias do Estado do Rio de Janeiro
Eduardo Eugênio Gouvêa Vieira
Presidente
Diretoria Corporativa Operacional
Augusto César Franco de Alencar
Diretor
SESI - Rio de Janeiro
Fernando Sampaio Alves Guimarães
Diretor Superintendente
Diretoria de Educação
Andréa Marinho de Souza Franco
Diretora
Gerência de Educação Básica
Hozana Cavalcante Meirelles
Gerente
Gerência de Educação a Distância
Maria Antonieta Pires dos Santos
Gerente
Série SESIeduca
2010
SESI • Rio de Janeiro
FICHA TÉCNICA
Divisão de Desenvolvimento
Lorelei Guanabara Baliosian
Coordenação
Carmem Lúcia de Freitas Siqueira
Redação TécnicaMaria José Silva Rique
Leitor CríticoAugusto José Brito Veiga
Tratamento Pedagógico
Kátia Lúcia de Oliveira Barreto
Revisão Ortográfica
Marly Oliveira Fortunato / Formas Consultoria
Revisão EditorialSergio Henrique Martins
Supervisão de Produção Gráfica
Lienice Silva de Souza
Projeto Gráfico Ana Monteleone · Engenho & Arte
DiagramaçãoSylvio Nogueira · Engenho & Arte
Normalização Bibliográfica
Biblioteca do Sistema FIRJAN
FICHA CATALOGRÁFICA
Sistema FIRJAN
Divisão de Documentação - Biblioteca
S491ef
SESI - RJ
Ensino Médio para Jovens e Adultos :
Física
Rio de Janeiro : GEB / GED, 2004.
174 p.
edição atualizada, 2010.
1. Educação de Jovens
2. Educação de Adultos
I - Física / Fase 1
CDD 373.011
Propriedade do SESI - Rio de Janeiro
Reprodução total ou parcial, sob expressa autorização.
SESI • Rio de Janeiro
DIRETORIA DE EDUCAÇÃO
Avenida Graça Aranha, 1 - Centro
20.030-002 - Rio de Janeiro - RJ
SUMÁRIO
Apresentação
7
Capítulo 1
Introdução à física
9
Capítulo 2
método científico
19
Capítulo 3
operação com vetores
27
Capítulo 4
velocidade
45
Capítulo 5
movimento retilíneo uniforme e
57
movimento retilíneo uniformemente variado
Capítulo 6
movimento circular uniforme
75
Capítulo 7
movimentos de trajetórias parabólicas
87
Capítulo 8
equilíbrio estático da partícula e forças notáveis
99
Capítulo 9
equilíbrio do corpo extenso
109
Capítulo 10
leis de newton
121
Capítulo 11
energia cinética
137
Capítulo 12
trabalho de uma força
147
Capítulo 13
trabalho e energia cinética
161
Gabaritos
169
APRESENTAÇÃO
“Se eu enxerguei mais longe que
outros, foi porque subi em ombros de
gigantes.”
Isaac Newton
Prezado(a) aluno(a)
Este material foi elaborado com a intenção de despertar em você o
espírito investigativo, necessário na busca constante da compreensão dos
fenômenos físicos, de suas leis e aplicações.
O conteúdo foi desenvolvido de maneira gradual, numa linguagem simples, de forma a permitir que a transposição dos conceitos abordados para
a linguagem matemática possa ser significativa para você.
Pretende, também, ressaltar o caráter provisório da ciência: a teoria
usada hoje, para explicar determinado fenômeno, pode ser substituída amanhã
por outra mais abrangente, pois o conhecimento científico está sempre se
ampliando.
Procura desmistificar, ainda, a ideia de que a Física só pode ser compreendida e/ou produzida por mentes geniais. Não é esta a opinião de grandes
pensadores como Newton, citado lá no alto da página; nem a do cientista que
lançou as bases para o desenvolvimento da Física Nuclear, Lord Rutherford
(1871/1937), como ilustra a citação a seguir:
Não está na natureza das coisas que um só homem faça uma
violenta e repentina descoberta; vai a Ciência passo a passo, e cada
homem depende do trabalho de seus predecessores. Quando se
ouve de uma descoberta inesperada e repentina, como se fosse um
relâmpago no céu azul, pode-se estar certo, sempre, de que ela se
desenvolveu pela influência de um homem sobre outro, e é esta mútua influência que faz a enorme possibilidade do avanço científico.
Os cientistas não dependem das idéias de um só homem e sim de
milhares de homens, todos pensando no mesmo problema, e cada um
pensando no seu pouquinho, para ser acrescentado à grande estrutura
do conhecimento que está sendo levantada gradativamente.
Esperamos que este material contribua para ampliar sua visão de
mundo, de forma a poder discernir entre os benefícios e riscos decorrentes
do desenvolvimento científico e, assim, atuar como cidadão consciente no
meio em que vive.
No mais, esperamos que este material ajude-o em seu processo de
aprendizagem. Agora é só começar. Desejamos sucesso em sua nova
caminhada.
CAPÍTULO 1
introdução à FÍSICA
CAPÍTULO 1
introdução à FÍSICA
PLANEJANDO A ROTA
A N O T A Ç Õ E S
o
que é a Ciência?
É o estudo dos fenômenos, dos
seres, enfim, da natureza, através
de observações e experimentações,
usando um método próprio.
As Ciências Naturais dividem-se em: Biologia, Química e Física.
Biologia é a ciência que estuda
os seres vivos e as relações entre
eles.
São exemplos de fenômenos biológicos: a respiração, a reprodução,
a fotossíntese etc.
Química é a ciência que estuda as transformações que alteram a
natureza dos corpos ou substâncias.
São exemplos de fenômenos químicos: a combustão, a corrosão
de metais, a decomposição de um corpo etc.
Física é a ciência que estuda os fenômenos ou ocorrências naturais,
sem alteração da estrutura interna dos corpos.
São exemplos de fenômenos físicos: evaporação e ebulição da
água, dilatação de um corpo, fusão do gelo, queda livre dos corpos,
oscilação de um pêndulo etc.
Para que você possa saber um pouco mais sobre Ciência, sugerimos a leitura do texto a seguir. Sempre que aparecer uma palavra
desconhecida, vá até o Glossário. Caso não a encontre lá, consulte
um dicionário, mas não prossiga sem entender, está bem? Vamos lá!
-
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FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
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INVESTIGANDO CAMINHOS
Vendo o cosmo com olhos de gigante
Em 1609, o grande cientista italiano Galileu Galilei apontou pela
primeira vez um telescópio para os céus. E o que ele observou transformou profundamente a visão de mundo prevalente em sua época,
que dizia ser a Terra, e não o Sol, o centro do cosmo então conhecido.
Nos últimos 393 anos, telescópios cada vez mais potentes continuaram a transformar a nossa visão de mundo. Hoje sabemos que o Sol
é apenas uma estrela entre centenas de bilhões de outras que fazem
parte da Via Láctea, uma imensa galáxia espiral com aproximadamente
100 anos-luz de diâmetro.
Sabemos também que a Via Láctea é apenas uma galáxia entre
centenas de bilhões de outras, cada uma delas com milhões ou bilhões
de estrelas. E que essas galáxias estão se afastando umas das outras,
carregadas pela expansão do Universo. Sabemos que essa expansão
iniciou-se há cerca de 14 bilhões de anos, em um evento chamado
Big Bang.
Os telescópios modernos não se limitam apenas a captar a luz visível das estrelas ou galáxias distantes. Eles também captam formas de
radiação que são invisíveis aos nossos olhos, como a infravermelha,
a ultravioleta, os raios X etc. Com isso, os astrônomos podem “ver”
muitos fenômenos que são invisíveis a olho nu.
Hoje, o maior telescópio óptico (que capta luz visível) do mundo
se encontra no Chile, fazendo parte dos instrumentos do ESO (Observatório Europeu do Sul). O gigante consiste em quatro espelhos,
cada um com 8,2 metros de diâmetro. Outro enorme é o telescópio
Keck, no Havaí, com dois espelhos de 10 metros cada.
Esses telescópios múltiplos usam seus vários espelhos para amplificar a quantidade de luz captada e, conseqüentemente, a resolução
de suas imagens. Se os planos atuais de vários grupos nos EUA e na
Europa forem adiante, e o mais provável é que isso ocorra, dentro de
dez anos os gigantes de hoje serão brinquedos de criança . E também
alvos de uma acirrada competição entre a astronomia americana e a
européia. (...)
Marcelo Gleiser • Especial para a Folha de S. Paulo
Este texto é parte da matéria escrita pelo professor de Física Teórica e autor de vários livros de divulgação científica
Marcelo Gleiser e foi extraído do jornal Folha de S. Paulo de domingo, 06/01/2002.
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INTRODUÇÃO À FÍSICA
A partir da leitura do texto, podemos fazer algumas considerações
interessantes, tais como:
• A Ciência é uma atividade humana que tem como objetivo
explicar o mundo em que vivemos. Seus modelos explicativos
não são definitivos, ao contrário, estão sempre sendo substituídos por outros de maior alcance: numa época, acreditava-se
ser a Terra o centro do Universo; depois, o Sol; hoje, nosso
astro-rei é apenas uma estrela entre bilhões de outras da Via
Láctea, que por sua vez...
• Outro exemplo que ilustra o caráter provisório da Ciência e de
suas aplicações: de acordo com o texto, os telescópios gigantes
atuais serão, dentro de algum tempo, brinquedos de criança.
• Precisamos também ressaltar que seus motivos nem sempre são
nobres, muitas vezes os avanços científicos decorrem da disputa
de poder entre as grandes potências mundiais.
• Observe também como os instrumentos modernos afetam nossa
visão de mundo: antes tínhamos que nos contentar com o que
nossos cinco sentidos (audição, visão, tato, olfato e paladar) nos
ofereciam. Hoje podemos “ver” muito além desses limites.
Bem, já tratamos bastante da Ciência. Passemos, pois, a tratar especialmente da Física.
A Física é uma das Ciências Naturais que vem contribuindo para o
desenvolvimento da humanidade, quer seja explicando os fenômenos
naturais (relâmpagos, raios, movimento de rotação da Terra etc.), quer
seja participando no desenvolvimento de novas
tecnologias.
As tecnologias são as aplicações práticas do
conhecimento científico. Elas têm por objetivo
facilitar nossas vidas.
São, portanto, exemplos de
tecnologias: os automóveis, os
computadores, os eletrodomésticos,
os telescópios, os telefones, os satélites artificiais ou até mesmo um
simples martelo.
OS RaMOS da FíSiCa
Até o final do século XIX, a Física era dividida nas seguintes partes:
Mecânica: estudo dos movimentos;
Termologia: estudo do calor e dos fenômenos térmicos em geral;
Óptica: estudo dos fenômenos luminosos;
Ondulatória: estudo do som e de outros tipos de ondas;
Eletromagnetismo: estudo dos fenômenos elétricos e magnéticos.
A N O T A Ç Õ E S
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FÍSICA
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Estes ramos constituem a chamada Física Clássica.
No início do século XX, surgiram duas teorias revolucionárias:
a teoria da relatividade: usada para estudar o movimento de
corpos com altíssimas velocidades (cujo comportamento foge ao
âmbito da Física Clássica);
e a teoria quântica: usada para explicar o comportamento das
partículas muito pequenas situadas no interior dos átomos.
Estas duas teorias fazem parte da chamada Física Moderna.
Isso significa que a Física clássica perdeu a validade? Não! Absolutamente, as novas teorias vieram ampliar o conhecimento físico já existente.
Hoje, o mundo está interligado (Internet, telefonia, TV etc.) através dos satélites
que circundam a Terra. Entretanto, esse
avanço não está desvinculado do passado.
Não surgiu do nada. É preciso ressaltar o
grande trabalho desenvolvido por alguns
físicos notáveis: Newton, Einstein, Faraday,
Heisenberg, Neils Bohr, Planck, Galileu e
muitos outros.
Foi galileu (1564-1642) quem introduziu o método experimental. Observou e
descobriu planetas, a queda de corpos com
massas diferentes, e inventou a balança
hidrostática.
isaac newton (1642-1726) publicou
várias obras, uma delas sobre óptica (Optics, or a Treatise of the reflexions and
colours of light), e formulou, também, os
três princípios básicos da Mecânica e a lei
da gravitação universal.
Fibra ótica
Movimeto de um planeta
Bomba atômica E = m . c2
Faraday (1791-1867) descobriu a indução eletromagnética: princípio básico
utilizado na construção de geradores de
energia elétrica.
planck e einstein formularam a teoria
dos fótons ou quanta, e Einstein formulou
a teoria da relatividade.
Reator atômico
Agora, atividades para você fazer!
Conjunto de geradores
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INTRODUÇÃO À FÍSICA
DESAFIOS DO PERCURSO
1. Entre a telefonia celular e a bomba atômica qual representa um
avanço para o bem da humanidade?
R.
2. Este trecho da reportagem foi publicado na revista Superinteressante em maio/2000:
Líquidos podem ferver no microondas sem criar bolhas.
No microondas todas as moléculas de água se aquecem
por igual. Mas, se alguém mexer no recipiente, provoca
uma agitação que poderá ser capaz de libertar bolhas da
parede do recipiente, formando uma grande bolha suficiente
para provocar a ebulição repentina capaz de espirrar água
fervendo.
A ebulição é um fenômeno...
R.
3. Físico que introduziu o método experimental:
R.
4. O que é Ciência?
R.
5. Cite quatro benefícios que a Ciência trouxe para a humanidade.
R.
6. As teorias ou modelos propostos para interpretar um fenômeno são
substituídas de tempos em tempos. Retire do texto “Vendo o cosmo com
olhos de gigante” uma menção a este fato.
R.
7. Você acha que a substituição de uma teoria por outra significa,
necessariamente, que a anterior estava errada?
R.
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FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
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AMPLIANDO O HORIZONTE
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Física. São Paulo: Scipione, 1997.
BEN-DOV, Yoav. Convite à Física. Tradução: Maria Luiza X. de A.
Borges. Rio de Janeiro: Jorge Zahar, 1996.
MARTINS, Roberto de Andrade. Universo, Teorias sobre sua
Origem e Evolução.
NOVELLO, Mário. Cosmos e Contexto. Rio de Janeiro: Forense
Universitária.
SAMPAIO, José Luiz e CALÇADA, Caio Sérgio. Universo da Física
1, Mecânica. São Paulo: Atual, 2001.
GLOSSÁRIO
Prevalente – que é ou era aceito.
Galáxia – conjunto de estrelas.
Ano-luz – unidade de medida usada no cálculo de distâncias muito
grandes.
Captar – atrair, pegar, receber.
Desvinculado – sem vínculo, sem ligação.
Transformações – mudanças.
Quanta – quantidade indivisível de energia eletromagnética.
Rotação – giro.
Hidrostática / Balança hidrostática – baseada em sistema que
utiliza um fluido (líquido ou gás) em repouso.
Estrutura interna (física) – átomos e moléculas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Física. São Paulo: Scipione, 1997.
GUIMARÃES, Luiz Alberto e FONTE BOA, Marcelo. Física para o
2º grau. Harbra.
OKUNO, Emico, CALDAS, Iberê L. e CHOW, Cecil. Física para
Ciências Biológicas e Biomédicas. Harbra.
SAMPAIO, José Luiz e CALÇADA, Caio Sérgio. Universo da Física
1, Mecânica. São Paulo: Atual, 2001.
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INTRODUÇÃO À FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. Classifique em fenômeno físico (F), químico (Q) ou biológico (B):
a corrosão nos metais, a queda livre de um corpo, a respiração, a oscilação
de um pêndulo.
a) F\Q\B\F
b) B\F\Q\F
c) Q\F\B\F
d)Q\Q\B\F
2. A revista Superinteressante publicou, em maio/2000, o seguinte
trecho da reportagem sobre Astronomia:
O telescópio Gemini, instalado na ilha de Mauna Kea, no
Havaí, está funcionando em caráter experimental desde
março. Ele ganhará um irmão idêntico, no Chile, no fim
deste ano. Este telescópio é capaz de captar a luz das
estrelas sem distorção. Ele pesa 23 toneladas, tem 2,10m de
diâmetro e apenas 20cm de espessura.
O texto acima faz referência ao telescópio, invento estudado e muito
utilizado por qual desses físicos notáveis?
a) Galileu
b) Faraday
c) Planck
d) Joule
3. Faça a correspondência:
1) Faraday
ção).
( ) Movimento da Terra em torno do Sol (gravita-
2) Einstein
( ) Corrente elétrica através do magnetismo.
3) Isaac Newton( ) Teoria dos quanta.
a) 2\1\3
b) 3\1\2
4. É um fenômeno natural:
a) trovão
b) satélite
c) 1\3\2
d) 1\2\3
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FÍSICA
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5. O movimento de rotação da Terra em torno do seu próprio eixo
está relacionado com:
a) dias e noites.
b) estações do ano.
6. Constitui um mau uso da Ciência:
a) o computador.
b) a eletricidade.
c) a vacina.
d) a poluição.
7. Faz parte da Física Moderna:
a) Ondulatória
b) Termologia
c) Teoria da relatividade
d) Óptica
8. Trata-se de uma tecnologia:
a) a lei da gravitação universal.
b) o liquidificador.
c) a evaporação da água.
d) a teoria cinética dos gases.
CAPÍTULO 2
MÉTODO CIENTÍFICO
CAPÍTULO 2
MÉTODO CIENTÍFICO
PLANEJANDO A ROTA
A N O T A Ç Õ E S
O
que é Método?
Método é o modo de proceder,
maneira de agir para se chegar a
um resultado.
Você acredita que todos os
cientistas utilizam um mesmo método, como uma receita de bolo,
para produzir ciência?
Certamente que não! Cada ciência tem seus próprios caminhos
na busca do conhecimento, não é
mesmo?
Além disso, é preciso levar em consideração a criatividade, a
capacidade imaginativa, a análise crítica e o empenho de cada cientista. Ou até mesmo o acaso, pois conta-se que algumas descobertas
aconteceram acidentalmente, ou seja, o cientista estava investigando
um determinando fenômeno e “sem querer” descobriu outro.
É claro que nada acontece num passe de mágica, como costumamos
ver nos filmes de ficção científica. Até mesmo a famosa inspiração
atribuída aos grandes cientistas é fruto de muita reflexão e trabalho.
O que ocorre é que a “revelação”, às vezes, chega num momento
inesperado.
Por exemplo, dizem que Newton descobriu a força da gravidade ao
observar a queda de uma maçã. Talvez seja apenas uma lenda, mas,
de qualquer forma, com certeza ele refletiu muito sobre este assunto
antes de chegar a qualquer conclusão.
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FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
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INVESTIGANDO CAMINHOS
Mesmo sabendo que não existe um método único de se fazer ciência, existem alguns procedimentos que reconhecemos como sendo
tipicamente científicos.
Estes procedimentos constituem as etapas do que chamaremos de
método científico: São elas:
1ª Etapa: formular um problema, isto é, alguma coisa para a qual
procuramos uma explicação.
2ª Etapa: observar o fenômeno e realizar experimentos.
3ª Etapa: formular uma hipótese, ou seja, uma possível explicação
para aquilo que foi observado.
4ª Etapa: testar a hipótese com o maior rigor possível, verificando
se os resultados estão de acordo com ela. Caso contrário, formula-se outra hipótese e repetem-se as etapas.
Devemos ressaltar que as ações não precisam acontecer necessariamente nesta ordem. Acredita-se, inclusive, que a observação está sempre
carregada de teoria; em outras palavras, só podemos observar o que já
conhecemos um pouco; o que não conhecemos nos passa despercebido.
A Ciência, como podemos ver, não é um catálogo de fatos, mas, sim,
uma exposição de ideias, distinguindo-se, assim, do conhecimento vulgar
(popular).
DESAFIOS DO PERCURSO
A revista Veja publicou a seguinte reportagem:
A Vitória do Coração
Em 6 anos, a taxa de mortes por infarto no Brasil caiu 8%.
Hoje em dia, quando um enfartado chega a um hospital nas primeiras seis horas, após o ataque, as chances de sobrevivência são de 95%.
Os hipertensos que não tomam remédio correm dez vezes mais
riscos de ter um ataque do que aqueles que se medicam.
Uma hora de exercícios leves três vezes por semana “derruba”,
à metade, o risco de um ataque cardíaco.
Quem fuma tem até cinco vezes mais risco de sofrer um infarto
do que um não fumante.
06/11/1999. Resumo da reportagem.
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MÉTODO CIENTÍFICO
1. Baseada no resumo da reportagem, a medicina usou o
____________________________ para chegar a essas conclusões
(método científico ou conhecimento popular).
Baseado no texto abaixo, responda aos exercícios 2 e 3.
Presume-se que Isaac Newton, aos 23 anos, tenha publicado seu
primeiro trabalho científico. A experiência teria sido feita em sua
própria casa. Ele deixou uma quantidade de luz branca atravessar um
minúsculo furo em sua janela, colocou um prisma diante deste feixe de
luz e observou que várias cores eram projetadas em sua parede branca.
vermelha
luz branca
vermelha
violeta
luz branca
viole
ta
violeta
Sua experiência levou-o a concluir que a luz branca era composta
de sete cores básicas (vermelha, alaranjada, amarela, verde, azul, anil
e violeta), chamada de espectro da luz solar. Contestado por alguns
cientistas da época, colocou um segundo prisma diante do espectro
da luz e obteve a luz branca novamente.
2. De acordo com a figura, a luz que sofreu maior desvio ao sair do
primeiro prisma é ______________________ .
3. Dentre as quatro etapas do método científico, aquela que se encaixa
no último período (“Contestado por alguns...”) é a ___________________
etapa.
4. Horóscopo do dia: signo de Gêmeos (21 de maio a 20 de junho) –
“A semana começa favorável, grandes oportunidades no trabalho e nos
negócios. No amor, dê mais atenção à pessoa amada”. É provável que,
num universo tão grande de seres humanos, essas palavras se encaixem
perfeitamente no dia de um número razoável de pessoas. Na elaboração
desse horóscopo, ficou evidente que se usou o ______________________
(método científico ou conhecimento popular)
5. UERJ/2000: “O tempo de oscilação de um pêndulo não depende
do peso do corpo suspenso na extremidade do fio”. Com base nesse
conhecimento, Galileu, antes mesmo de realizar seu famoso experimento da Torre de Pisa, afirmou que uma pedra leve e outra pesada,
quando abandonadas livremente de uma mesma altura, deveriam levar
o mesmo tempo para chegar ao solo. Tal afirmação é um exemplo de
______________________ .
(hipótese ou teoria)
A N O T A Ç Õ E S
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24
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
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AMPLIANDO O HORIZONTE
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Física. São Paulo: Scipione, 1997.
SAMPAIO, José Luiz e CALÇADA, Caio Sérgio. Universo da Física
1, Mecânica. São Paulo: Atual, 2001.
TORRES, Carlos Magno et al. Física: Ciência e Tecnologia. São
Paulo: Moderna, 2001.
GLOSSÁRIO
Hipótese – suposição.
Conhecimento popular – empirismo sem comprovação científica,
comum na construção do conhecimento cotidiano.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Física. São Paulo: Scipione, 1997.
Enciclopédia Delta Larousse.
GEWANDSZNAJDER, Fernando. Método Científico. Pioneira, 1979.
SAMPAIO, José Luiz e CALÇADA, Caio Sérgio. Universo da Física
1, Mecânica. São Paulo: Atual, 2001.
TORRES, Carlos Magno et al. Física: Ciência e Tecnologia. São
Paulo: Moderna, 2001.
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. Identifique o fato ou prática em que foi empregado o método científico (M.C.) e o conhecimento popular (C.P.):
I. A vacina contra a AIDS foi testada em dez cobaias. ( )
II. Horóscopo. ( )
III. Simpatia para tirar mau-olhado. ( )
IV. O uso do cinto de segurança é obrigatório (Código de Trânsito).
( )
a) M.C.; C.P.; C.P.; C.P.
b) C.P.; C.P.; M.C.; M.C.
c) M.C.; C.P.; C.P.; M.C.
d) M.C.; M.C.; M.C.; M.C.
25
MÉTODO CIENTÍFICO
2. A indústria usa para obter bons resultados:
a) o conhecimento popular;
b) o método científico;
c) o conhecimento popular e o método científico;
d) não usa nenhum método.
3. A automedicação significa usar um medicamento por conta própria,
isto é, se um amigo meu curou uma gripe tomando aspirina, isso significa
que se eu ficar gripado também devo tomar aspirina. Ao fazer isto, estarei
empregando:
a) o método científico.
b) o método científico e o conhecimento popular.
c) na verdade, não estarei empregando nenhum método.
d) o conhecimento popular.
4. Veja a ilustração da página 23 e responda.
A luz que sofre o menor desvio ao sair do prisma é a:
a) violeta
b) anil
c) verde
d) vermelha
A N O T A Ç Õ E S
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CAPÍTULO 3
OPERAÇÃO COM VETORES
CAPÍTULO 3
OPERAÇÃO COM VETORES
PLANEJANDO A ROTA
A N O T A Ç Õ E S
N
o estudo da Física, a palavra “grandeza” significa tudo aquilo
que pode ser medido.
É possível medir o comprimento da mesa em que você está estudando? Com certeza que sim, não é mesmo? Então, o comprimento
da mesa é uma grandeza física.
Você pode medir o tempo que gasta para ler este capítulo, não
pode? Então, o tempo é uma grandeza física.
Existem muitas outras grandezas físicas como: temperatura, energia, força, aceleração, massa etc.
As grandezas físicas sempre possuem um valor e uma unidade de
medida.
Exemplo: uma criança está com febre: sua temperatura é de 39 oC.
Porém, algumas grandezas físicas só ficam bem definidas quando
introduzimos, além do valor e da unidade de medida, outras informações. Vamos usar, como exemplo, a velocidade.
Imagine um avião que faça um voo do sul para o leste.
Para realizar esse voo, além do valor da velocidade, o avião precisa
de uma direção e de um sentido, isto é, de uma orientação. Estas grandezas que necessitam de um valor (módulo),
de uma direção e de um sentido são chamadas de grandezas vetoriais. As que precisam apenas de um número e uma unidade,
como é o caso da massa de um corpo (5 kg),
são chamadas de grandezas escalares. No
decorrer do curso, você vai estudar outras
grandezas vetoriais e escalares.
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FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
As grandezas vetoriais são representadas por vetores. Um vetor é um
segmento de reta orientado, como este da figura abaixo.
Todo vetor possui três elementos, que são: o módulo (valor), a direção
e o sentido.
No nosso exemplo:
Módulo: indica o valor da velocidade do
ou v (sem
avião. Pode ser representado por
as barras e sem a seta).
Direção: é a mesma da reta que passa por
sul e leste.
Sentido: é de sul para leste.
Repare que o vetor velocidade está sobre a trajetória (rota) do avião,
pois a trajetória é retilínea. Numa trajetória curvilínea, o vetor velocidade
tem a direção da reta tangente à curva no ponto considerado.
Tudo entendido até aqui? Esperamos que sim. No entanto, é comum
haver confusão entre os conceitos de direção e sentido. Para evitar isto,
vamos procurar esclarecê-los um pouco mais.
Uma reta define uma direção no espaço. Cada reta admite duas orientações que são os possíveis sentidos.
r
A reta vertical r define uma direção.
Para cima e para baixo são os possíveis sentidos na mesma
direção vertical.
Assim, um elevador, num prédio, se desloca sempre na
direção vertical, porém o sentido do seu deslocamento
pode ser para cima (se ele estiver subindo) ou para baixo
(se ele estiver descendo).
INVESTIGANDO CAMINHOS
OpeRaçãO COM vetOReS
Soma de vetores
A utilização de vetores ou de um vetor pode ajudá-lo na localização
de uma rua, de um ponto turístico etc.
Veja, na próxima página, um esquema simplificado da cidade do Rio de
Janeiro. Como você poderia fazer a localização do estádio do Maracanã?
(0 é a sua posição em relação ao Estádio do Maracanã e a qualquer
lugar a que você queira ir depois.)
31
OPERAÇÃO COM VETORES
Em primeiro lugar, você vai localizar o Estádio, formando um par (B,4). Você acabou de
utilizar um vetor para fazer a localização de
uma posição.
Para se efetuar a soma de dois ou mais vetores, você pode aproveitar a situação anterior.
Veja como.
Suponha que você, ao chegar ao Estádio do
Maracanã, queira deslocar-se até a Igreja da Candelária, no centro da
cidade.
Note que os deslocamentos efetuados por você foram: do ponto de
(primeiro vetor) e do estádio até a igreja
partida (0) até o estádio
(último vetor). Basta agora ligar a origem (0) do primeiro vetor até a extremidade do último; este é o vetor soma. A expressão vetorial ficará assim:
Esta soma não é uma soma algébrica entre números, como, por exemplo, 5+7=12. É uma soma entre vetores.
Isto acontece com frequência no seu dia a dia, quando você vai para o
trabalho. Efetuamos e somamos vetores.
Exemplo:
A soma vetorial é diferente da soma algébrica a que você está acostumado, porque vetores possuem módulo (valor), direção e sentido. Não
podemos esquecer-nos disto! Então, se somarmos um vetor de 8 unidades
com outro vetor de 6 unidades, não encontraremos sempre um vetor de
14 unidades. O valor do vetor soma vai depender da direção e sentido dos
vetores que estão sendo somados.
Para esclarecer, vamos utilizar um exemplo envolvendo forças.
Porém, antes de prosseguir, você precisa saber que:
• força é uma grandeza vetorial, logo sua soma obedece à regra
que você acabou de aprender para somar vetores;
A N O T A Ç Õ E S
-
32
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
• a unidade oficial de medida de força é o newton (N), em homenagem ao físico inglês Isaac Newton (1642-1727), pois foi
ele quem formulou as leis que regem o estudo dos movimentos
e de suas causas (as forças).
Agora sim, vamos ao exemplo.
Imagine uma caixa apoiada num piso bem liso e duas pessoas exercendo forças de módulos 6N e 8N, respectivamente, sobre a caixa em três
situações distintas. Observe!
Você acha que a força resultante (resultado da soma das forças) vale
14N nos três casos apresentados? Não prossiga antes de analisar as situações descritas.
Vejamos cada uma delas:
a) as forças possuem mesma direção, porém sentidos contrários.
Nesse caso, a pessoa que faz a força de 8N vai sair ganhando,
concorda? Logo, o valor da força resultante será:
FR = 8N - 6N = 2N e apontará para a direita.
Assim, aplicando a regra que aprendemos para vetores (desenha-se o
primeiro vetor; em sua extremidade, desenha-se o segundo vetor; o vetor
soma vai da origem do primeiro até a extremidade do último).
b) as forças possuem mesma direção e mesmo sentido. Neste caso,
a força resultante é dada por FR = 8N + 6N = 14N, pois as
pessoas estão puxando a caixa para o mesmo lado, concorda?
33
OPERAÇÃO COM VETORES
Aplicando a regra de soma de vetores, fica:
c) as forças são perpendiculares (isto é, formam entre si um ângulo
de 90º). Volte à figura para observar. Como será a força resultante
nesse caso? Qual será o seu valor?
Para descobrir vamos aplicar a regra para soma vetorial:
Observe que a figura formada é um triângulo retângulo. Logo, o
módulo (valor) da força resultante pode ser obtido utilizando-se o teorema
de Pitágoras: a hipotenusa (o lado maior) ao quadrado é igual à soma dos
quadrados dos catetos.
Como você acabou de constatar, se 6 e 8 forem valores de uma grandeza
vetorial, sua soma nem sempre será igual a 14. Lembre-se disso!
decomposição de vetores
Agora você já sabe somar dois vetores perpendiculares entre si, usando
o teorema de Pitágoras. Porém, muitas vezes, estamos interessados em
resolver o problema inverso, ou seja, em decompor um vetor em dois
outros, perpendiculares entre si.
Para entender, observe a figura a seguir, enquanto lê a explicação a
seu lado.
Se conhecemos o ângulo que o vetor faz com um dos eixos (por exemplo, com o eixo x), podemos determinar os valores de e , usando os
conceitos de seno e cosseno de um ângulo.
Você já deve saber que num triângulo retângulo:
A N O T A Ç Õ E S
-
34
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
sen α =
cateto oposto ao ângulo
hipotenusa
cos α =
cateto adjacente ao ângulo
hipotenusa
Na figura a seguir, você pode ver que:
vy é o cateto oposto ao ângulo α; vx é o cateto adjacente (junto) ao
ângulo; e v é a hipotenusa.
Sendo assim, teremos:
Observe que:
vy = v.senα é o componente do vetor no eixo y;
vx = v.cosα é o componente do vetor no eixo x.
Um exemplo pode facilitar a sua compreensão:
Na figura a seguir temos um vetor de módulo 8 unidades, de direção
30º com a horizontal (eixo x) e sentido de baixo para cima.
Dados: cos30o =
e sen30o =
(Você não precisa decorar esses valores, pois eles sempre serão
fornecidos.)
Vamos decompor (projetar
ou “deitar”) o vetor v = 8 unidades nos eixos x e y:
35
OPERAÇÃO COM VETORES
Onde
A N O T A Ç Õ E S
vx é a projeção (ou componente de
) no eixo x e
vy é a projeção (ou componente de
) no eixo y.
No eixo x, teremos:
vx = v.cos 30o. Olhe para a figura anterior para observar que o vetor 8
“vai” para o eixo x com (que lembra “cos”) o ângulo de 30o:
Então vx = 8 . cos 30o = 8.
=4
No eixo y, teremos:
vy = v.sen30o.
Olhe para a figura anterior para observar que o vetor 8 “vai” para o eixo
y sem (que lembra “sen”) o ângulo de 30o:
Então vy = 8 . sen30o = 8.
=4
Desse modo, ficamos com a seguinte situação:
Antes de projetar:
Depois de projetar:
Você deve estar pensando: “Para que serve isso”? Resposta: para somar
vetores (forças, velocidades etc.) que nem sempre estão sobre os eixos,
certo?
-
36
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Veja um exemplo:
Suponha que um corpo esteja sujeito às forças representadas na figura
a seguir.
Calcule a força resultante.
Dados: sen60o =
e cos60o
=
A força de 6N já está sobre o eixo x, portanto não precisamos fazer
nada com ela, por enquanto...
Mas a força de 20 N terá que ser projetada, pois ela faz com o eixo x
um ângulo de 60º.
Sendo assim, vamos
lá:
Fx = F.cos 60o = 20.
= 10 N
Fy = F. sen60o = 20.
= 10
Nosso problema agora tem esta aparência:
Agora ficou fácil, pois, como você pode ver, as forças de 6N e de 10N
possuem mesma direção e sentido, portanto sua soma vetorial será:
Levando este resultado para o sistema de eixos, teremos:
Repare que ainda restam duas forças perpendiculares entre si. Você
também já sabe determinar a resultante neste caso.
37
OPERAÇÃO COM VETORES
Veja se concorda: a resultante terá a forma seguinte e seu módulo será
obtido pelo Teorema de Pitágoras:
DESAFIOS DO PERCURSO
Agora, faça as atividades a seguir.
1. A figura abaixo mostra um trecho de uma estrada plana e horizontal.
Vista aérea
Trace os vetores
pontos.
ne
m que representam as velocidades nesses
Considere que o velocímetro do carro esteja marcando, entre esses
pontos, uma velocidade de 60 km/h.
R.
2. Considere o mapa simplificado de ruas.
Trace o vetor soma
R.
soma entre A e B.
A N O T A Ç Õ E S
-
38
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
3. As grandezas vetoriais ficam definidas quando conhecemos o seu,
________________ , ________________ e ________________.
4. Classifique com grandeza vetorial (
V) ou grandeza escalar (E):
( ) velocidade
( ) deslocamento
( ) massa de um corpo
( ) energia
Escala: 1cm = 5,00km
5. Observe o mapa da figura:
Calcule o módulo do vetor soma.
6. Uma pessoa dá 5 passos para o leste e depois, 2 passos para o sul.
(1 passo = 1 m)
Calcule o módulo do vetor soma
.
Recife
Escala
620Km
Porto Alegre
39
OPERAÇÃO COM VETORES
7. Observe a figura:
A N O T A Ç Õ E S
a) Trace o vetor que tem como direção Porto Alegre – Recife e sentido
Recife – Porto Alegre.
R.
b) Dê o valor aproximado desse vetor em km.
R.
8. A figura abaixo representa uma mesa de bilhar (sinuca).
Q
posição final da bola
Escala
P
posição inicial da bola
10 cm
Caracterize o vetor que liga a posição inicial à posição final (módulo,
direção e sentido).
R.
9. Uma lancha se desloca numa direção que faz um ângulo de 60º com
a direção leste-oeste, com velocidade de 50 m/s, conforme mostra a figura:
sen 60o = 0,87
cos 60o = 0,50
Determine as componentes vx e vy da velocidade da lancha.
R.
-
40
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
AMPLIANDO O HORIZONTE
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. Scipione. 1 v.
GUIMARÃES, Luiz Alberto e BOA, Marcelo Fonte. Física para o 2º
grau. Harbra.
GLOSSÁRiO
Que dista – distante.
Retilínea – que é reta.
Trajetória – posições ocupadas sucessivamente por um corpo que
se move.
Tangente – reta que toca uma trajetória curva em um só ponto,
porém sem cruzá-la.
ReFeRênCiaS BiBLiOGRÁFiCaS
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. Scipione. 1 v.
GUIMARÃES, Luiz Alberto e BOA, Marcelo Fonte. Física para o 2º
grau. Harbra.
GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física). Física 1 – Mecânica. Editora da Universidade de São Paulo.
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. Um menino sai de sua casa e vai até a padaria que dista de sua casa,
em linha reta, 300 m.
41
OPERAÇÃO COM VETORES
Supondo que o menino ande em trajetória retilínea, o vetor que caracteriza o seu deslocamento tem módulo, direção e sentido, respectivamente,
iguais a:
a) 300 m; da reta que passa por A e B; de B para A.
b) 300 m; da reta que passa por A e B; de A para B.
c) 300 m; de A para B; da reta que passa por A e B.
d) 300 m; de A para B; de B para A.
2. Ainda em relação à questão 1, se o menino se desloca com velocidade de 1m/s, quais são as características do vetor velocidade do menino?
a) módulo: V = 1m/s
direção: da reta que passa por A e B
sentido: de B para A
b) módulo: V = 1m/s
direção: de A para B
sentido: de A para B
c) módulo: V = 1m/s
direção: da reta que passa por A e B
sentido: de A para B
d) módulo: V = 1m/s
direção: de A para B
sentido: de B para A
200
3. A figura abaixo mostra o exato momento em que um jato levanta voo.
Dê as características do vetor velocidade.
a) módulo: | | = 600 km/h
direção: 20° com a linha horizontal
sentido: para cima
b) módulo: | |= 600 km/h
direção: para cima
sentido: para cima
c) módulo: | | = 600 km/h
direção: para cima
sentido: 20º com a linha horizontal
d) módulo: | | = 600 km/h
direção: 20º com a linha horizontal
sentido: 20º com a linha horizontal
A N O T A Ç Õ E S
-
42
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
4. Um carro faz uma curva com velocidade V = 60 km/h.
Que vetor melhor caracteriza a velocidade do carro?
a)
b)
c)
d)
5. Um homem efetuou deslocamentos sucessivos, como mostra a figura:
O vetor que melhor caracteriza a soma desses vetores é:
a)
b)
c)
d)
6. Em relação à questão anterior, qual o valor do vetor soma S?
a) 30m
b) 10
c) 0
d) 500 m
m
43
OPERAÇÃO COM VETORES
7. Decompondo um vetor de módulo 10 cm que forma um ângulo de
60º com a horizontal, encontraremos para suas componentes horizontal e
vertical, respectivamente, os valores:
Dados: cos 60º=
a) 5 cm e 5
cm
b) 5 cm e 5
cm
c) 6 cm e 4c m
d) 10 cm e 0
e sen 60º =
A N O T A Ç Õ E S
-
CAPÍTULO 4
Alta
idade média
VELOCIDADE
CAPÍTULO 4
VELOCIDADE
PLANEJANDO A ROTA
A N O T A Ç Õ E S
E
sta grandeza física está presente no nosso dia a dia. A todo instante,
estamos deslocando-nos, seja a pé, de ônibus, de carro, de metrô etc.
Vivemos num mundo agitado, onde a rapidez se tornou essencial:
é preciso encurtar distâncias, ganhar tempo, correr e correr. Embora,
muitas vezes, não saibamos bem por que ou para quê...
Sendo assim, aproveite aquilo que você já sabe sobre velocidade
para analisar a situação a seguir:
Um atleta percorre 100 metros em 10 segundos.
Uma tartaruga percorre os mesmos 100 metros em 10 horas.
Qual dos dois é mais veloz?
Você deve estar pensando: “Que pergunta mais boba! É lógico que
o atleta é mais rápido!”
A razão de se fazer uma pergunta assim tão óbvia é justamente
mostrar que, para se determinar o valor da velocidade de um corpo,
precisamos apenas relacionar a distância percorrida (no caso os
100 metros) com o tempo gasto (10 segundos para o atleta; 10 horas
para a tartaruga).
Logo, quanto menos tempo se gasta para percorrer uma distância,
maior é a velocidade, e vice-versa. Lembre-se disso, quando estiver
aplicando a expressão matemática da velocidade média, que apresentaremos adiante.
Antes, porém, você precisa conhecer outras grandezas importantes
e seus respectivos símbolos. Fique atento(a)!
-
48
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
• Posição (s): é o lugar onde um corpo se encontra, num determinado instante de seu movimento, em relação a um referencial.
0
100 km
O carro da figura se encontra a 100 km do marco quilométrico zero
(km 0) de uma rodovia. Logo, sua posição é s = 100 km.
• Instante de tempo (t): é o momento em que um evento acontece.
Exemplo: um automóvel passou pelo km 100 de uma rodovia às
7 horas.
Neste caso, o horário de 7 horas representa o instante de tempo em que
o carro passou por aquele local.
• Deslocamento (∆s): um corpo em movimento está sempre
mudando de posição, não é mesmo? Suponha que, na figura a
seguir, o automóvel tenha saído do km 100 e depois de algum
tempo tenha chegado ao km 300.
100 km
300 km
Em Física, a letra grega delta (∆) significa variação, então ∆s significa
variação de posição. Observe a figura e responda: de quanto variou a posição do carro? Ou, em outras palavras, de quanto foi o seu deslocamento?
Veja se concorda: o seu deslocamento vai corresponder à diferença
entre a posição final (km 300), que representaremos por s, e a posição
inicial (km 100), que chamaremos de s0.
Logo, em símbolos: ∆s = s – s0 = 300 – 100 = 200 km.
• Intervalo de tempo (∆t): corresponde ao tempo de duração de um
evento.
Por exemplo, considerando que o nosso carro tenha saído do km 100
às 7 horas e tenha chegado ao km 300 às 11 horas, qual o intervalo de
tempo de duração da viagem?
Você já deve ter constatado que o intervalo de tempo será a diferença
entre o instante final (11 horas), que chamaremos de t, e o instante inicial
(7horas), que representaremos por t0.
Usando os respectivos símbolos, teremos: ∆t = t – t0 = 11h – 7h = 4h.
49
VElOCIDADE
A N O T A Ç Õ E S
INVESTIGANDO CAMINHOS
veLOCidade Média ( vM )
O que se entende por velocidade média?
Para responder, vamos retomar o exemplo do carro da seção anterior,
que, como você viu, percorreu 200 km em 4 horas. Qual é, nesse caso, a
velocidade média do carro?
Reflita e só prossiga depois que tiver dado a sua resposta.
Você deve ter percebido que, para determinar a velocidade média,
basta dividir o deslocamento realizado (no caso 200 km) pelo intervalo
de tempo (4 horas) gasto no percurso.
Em símbolos: vm = ∆s/∆t = 200 km/4h = 50 km/h.
Logo, a velocidade média do carro foi de 50 km/h.
Isso significa que o velocímetro estava sempre marcando este valor?
É evidente que não! O motorista desse carro pode ter aumentado a velocidade, reduzido e até ter parado (para abastecer, por exemplo) em alguns
momentos.
A velocidade média representa a velocidade que o carro deveria manter constante (50 km/h) para percorrer os 200 km em 4 horas, percebeu?
veLOCidade inStantÂnea
É a velocidade que possuímos a cada instante, quando nos deslocamos.
Esta velocidade pode também ser entendida, dentro de uma boa aproximação, como sendo a velocidade média calculada num intervalo de tempo
muito pequeno. Veja o exemplo da barreira eletrônica.
Vista superior
3m
Considerando que o carro gasta 0,1s para percorrer os 3 metros indicados na figura, o cálculo dessa velocidade média se aproxima muito do
valor da velocidade no ponto médio (M).
∆s 0,3
Vm =
=
= 30m/s
∆t 0,1
Você já percebeu que velocidade pode ser medida em m/s (leia: metros
por segundo), em km/h (leia: quilômetros por hora) etc.
Mas, como se faz para transformar m/s em km/h? Por exemplo, quanto
vale em km/h a velocidade de 30 m/s, que acabamos de encontrar?
-
50
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Você sabe que
1h – 60 min e que
1min – 60 s
Logo, 1 h = 60.60 = 3.600s
Sabe, também, que
1 km = 1.000 m
Dessas relações resulta que:
para passar de km/h para m/s, devemos dividir o valor da velocidade
por 3,6;
para passar de m/s para km/h, devemos multiplicar por 3,6.
Veja o esquema:
Assim: 30 m/s x 3,6 = 108 km/h.
Se você sentiu alguma dificuldade até aqui, não desanime. Continue a
leitura, pois apresentaremos, a seguir, algumas atividades resolvidas, que
servirão para complementar o conceito de velocidade média e também
poderão ajudar você a recordar as transformações de unidades. Acompanhe com atenção!
1. Você se desloca de ônibus de sua casa para o trabalho, gastando
15min para chegar ao seu destino. Sabendo que o deslocamento
(casa-trabalho) é de 10 km, determine a velocidade do ônibus
neste percurso. Dê a resposta em km/h.
Resolução:
Neste caso, não podemos aplicar direto a fórmula da velocidade média.
Devemos antes ajustar as unidades, concorda? Para isso, utilizaremos uma
regra de três simples.
Veja:
60 min 1h
15 min x
15
1 h.
Multiplicando em cruz, fica: 60x = 15, donde x = = 60 4
∆s
10
Agora sim, vamos à fórmula: vm = = = 10 x 4 = 40km/h.
∆t 1/4
51
velocidade
2. (FGV-SP) Numa corrida de Fórmula 1, a volta mais rápida foi feita
em 1min e 20s a uma velocidade média de 180 km/h. Calcule,
em m, o comprimento da pista.
Resolução:
Primeiro vamos ajustar as unidades:
1min = 60s; logo ∆t = 60s + 20s = 80s;
Vm = 180km/h ÷ 3,6 = 50 m/s.
Para calcularmos o comprimento da pista, usaremos a mesma equação
da velocidade média, só que deixando, em evidência, o deslocamento.
Acompanhe!
∆s
Se vm = então ∆s = vm. ∆t, logo ∆s = 50 m/s x 80s = 4.000 m.
∆t
3. Um ciclista percorre um trecho de 500 m com velocidade média
de 36km/h. Determine, em segundos, o intervalo de tempo gasto
pelo ciclista para fazer esse deslocamento.
Resolução:
Antes de mais nada, precisamos transformar de 36 km/h em m/s:
Vm = 36 ÷ 3,6 = 10m/s.
Depois usaremos a fórmula da velocidade média, deixando, em evidência, o intervalo de tempo, que é o que queremos descobrir, não é mesmo?
Observe:
∆s
∆s
Sendo Vm = então ∆s = vm.∆t e ∆t = .
Vm
∆t
Nesta questão:
∆s= 500 m e Vm = 10 m/s, então: ∆t = 500 m ÷ 10 m/s = 50 s.
Dos exemplos resolvidos, podemos concluir que, para calcular:
• o deslocamento, utilizamos: ∆s = vm.∆t;
• o intervalo de tempo, usamos: ∆t =
∆s
Vm
DESAFIOS DO PERCURSO
Agora, faça as atividades a seguir.
1. Uma peça teatral começou às 9h e terminou 1h e 30 min depois.
a) 9h refere-se a um instante ou a um intervalo de tempo?
b) 1h e 30 min refere-se a um instante ou a um intervalo de tempo?
c) A que horas a peça terminou?
A N O T A Ç Õ E S
-
52
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
2. A figura abaixo mostra o esquema simplificado de um dispositivo
colocado em uma rua para o controle da velocidade dos automóveis (dispositivo popularmente chamado de radar).
Sabendo que o carro leva
0,1s para passar pelos sensores
S1 e S2, calcule a sua velocidade média nesse intervalo de
tempo.
R.
computador
S1
S2
câmera
d = 2m
3. Esta velocidade média, calculada na questão (2), pode ser considerada a velocidade instantânea no ponto médio (M)? Justifique.
R.
4. (Vunesp-SP) Ao passar pelo marco “km 200” de uma rodovia, um
motorista vê um anúncio com a inscrição: “Abastecimento e restaurante
a 30min”. Considerando que esse posto de serviços se encontra junto ao
marco “km 245” dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevê,
para os carros que trafegam nesse trecho, uma velocidade média, em km/h,
de____________________.
responda às questões de 5 a 8, baseando-se no texto abaixo:
A revista Quatro Rodas de fevereiro de 1999 apresentou o seguinte:
“Qual a velocidade de sua cidade? Você sabe quanto tempo leva
para ir de um lugar a outro na hora do rush?”. Esta pesquisa foi
feita pelo IPEA (Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada). A
pesquisa mostra quantos quilômetros se consegue percorrer em
uma hora, no começo da manhã e no fim da tarde.
Cidade
km/h
Brasília
44
Juiz de Fora
31
Porto Alegre
28
João Pessoa
27
Rio de Janeiro
26
Recife
24
Belo Horizonte
23
Campinas
23
Curitiba
22
São Paulo
17
Atenção: a tabela acima mostra que as velocidades estão em Km/h. Para transformá-las em minutos, lembre-se que: 1h = 60 min
53
velocidade
5. Um morador de São Paulo sai do trabalho no final da tarde e gasta 40
min para chegar à casa de carro. Qual a distância (em km) que ele percorre?
R.
6. Um morador de Recife mora a 20 km de seu trabalho. Quanto tempo
ele leva para chegar ao trabalho? Dê em min.
R.
7. Comparando um morador de Belo Horizonte com um de Juiz de
Fora, em quanto tempo a menos, aproximadamente, o morador de Juiz de
Fora faz o mesmo percurso que o morador de Belo Horizonte, sabendo-se
que o morador de Belo Horizonte gasta 40 min para ir ao trabalho?
R.
8. Se um estudante do Rio de Janeiro mora a 8 km de sua escola e sai
de carro pela manhã na hora do rush, quanto tempo, aproximadamente,
ele leva para chegar à escola?
R.
AMPLIANDO O HORIZONTE
GLOSSÁRIO
Óbvia – clara, evidente, que se compreende ou percebe por intuição.
Evento – acontecimento.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Guimarães, Luiz Alberto e Fonte Boa, Marcelo. Física para o 2°
Grau (Mecânica). Harbra.
AlvarengA, Beatriz e Máximo, Antônio. Curso de Física. Scipione, 1 v.
GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física). Física 1
(Mecânica). São Paulo: EDUSP (Editora da Universidade de
São Paulo).
A N O T A Ç Õ E S
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FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
MEMÓRIAS DA VIAGEM
a figura logo abaixo representa o circuito de interlagos (Brasil-são
paulo). extensão: 4.292 m. Voltas: 72.
1. Quantos km, aproximadamente, um piloto percorre nas 72 voltas?
a) 600
b) 400
c) 390
d) 309
2. Se um piloto leva 78 segundos, aproximadamente, para completar
uma volta, qual a sua velocidade média, em km/h, nessa volta?
a) 198
b) 300
c) 80
d) 308
3. Sabendo que a prova foi completada em 2h pelo vencedor, qual
a sua velocidade média nesse intervalo de tempo?
a) 180 km/h
b) 155 km/h
c) 300 km/h
d) 190 km/h
4. (UFRJ) Em sua viagem de descoberta da América, Cristóvão Colombo gastou 37 dias para ir das Ilhas Canárias até a Ilha de Guananani,
num percurso de cerca de 6.000 km, conforme se indica no mapa.
Calcule, em km/h, a velocidade média das caravelas de Colombo neste
trecho da viagem.
a) 5,45
Ilhas Canárias
Ilha de Guananani
b) 68
c) 6,76
d) 60
6000km
55
velocidade
5. (Unificado) Um automóvel passou pelo marco quilométrico 24 de
uma estrada às 12 h e 7 min. A seguir, passou pelo marco quilométrico
28 da mesma estrada às 12h e 11 min. A velocidade média do automóvel,
entre as passagens pelos dois marcos, foi de aproximadamente:
a) 12 km/h
b) 60 km/h
c) 80 km/h
d) 28 km/h
A N O T A Ç Õ E S
-
CAPÍTULO 5
MOVIMENTO RETILÍNeO UNIFORME
E MOVIMENTO RETILÍNeO
UNIFORMEMENTE VARIADO
CAPÍTULO 5
MOVIMENTO RETILÍNeO UNIFORME
E MOVIMENTO RETILÍNeO
UNIFORMEMENTE VARIADO
PLANEJANDO A ROTA
A N O T A Ç Õ E S
N
o estudo desses dois movimentos, o fator importante é o comportamento da velocidade. Quando você viaja de ônibus ou metrô, por
exemplo, geralmente ocorrem variações (de módulo, direção e sentido)
na velocidade ou até mesmo ela se mantém constante por algum tempo.
INVESTIGANDO CAMINHOS
Movimento retilíneo uniforme e
movimento retilíneo uniformemente variado
No movimento retilíneo uniforme, a velocidade (módulo, direção e
sentido) é constante. No movimento retilíneo uniformemente variado,
o valor (módulo) da velocidade aumenta ou diminui com o decorrer do
tempo, e a direção e o sentido se mantêm constantes.
Estudemos, detalhadamente, cada um deles.
Movimento Retilíneo Uniforme
Observe a figura a seguir:
Trata-se de uma fotografia de múltipla exposição (num ambiente escuro,
um flash é disparado em intervalos de tempo iguais e muito curtos), o que
permite registrar as diferentes posições de uma mesma bolinha.
Note que a bolinha percorre distâncias iguais em intervalos de tempo
iguais, o que revela que sua velocidade é constante.
-
60
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Logo, o movimento da bolinha de tênis é retilíneo (em linha reta) e
uniforme (sua velocidade não muda).
Sendo assim, a velocidade média será igual à velocidade instantânea
(a cada instante).
Então, para calcular a velocidade de um corpo em movimento retilíneo
uniforme, usa-se:
∆s
V = vm =
donde ∆s = v.∆t
∆t
Um exemplo:
Um carro movimenta-se, numa estrada reta, de acordo com a figura
a seguir:
t0 = 0
t = 1h
t = 2h
t = 3h
60
90
120
150
S (km)
Observe a figura e responda:
a) A velocidade deste carro é constante? Qual o seu valor?
b) Então, qual é o tipo de movimento que ele descreve?
c) Qual a posição inicial do carro?
d) Se o carro mantiver a mesma velocidade, onde ele estará depois
de decorridas 6h a partir do início da viagem?
Procure responder, antes de prosseguir.
Respondeu? Então, vamos conferir.
Respostas:
a) Sim. 30 km/h.
b) Movimento retilíneo uniforme.
c) 60 km.
d) Sabendo que a velocidade é constante e conhecendo as posições
do carro até o instante t = 3h, não é difícil encontrar a posição
em t = 6h. Para isso, basta somar 150 + 30 + 30 + 30 = 240
km, concorda?
Porém, e se tivéssemos perguntado: Qual seria a posição do carro,
depois de decorridas 15h a partir do início da viagem?
Talvez você pensasse: Que viagem longa!
E sairia a somar: 150 + 30 + 30 + 30 + 30... + 30. Você chegaria à
resposta, mas não seria muito prático, não é mesmo?
Então, para facilitar a sua vida, vamos estabelecer a equação horária
do movimento retilíneo uniforme. Com ela, você poderá determinar a
61
MOVIMENTO RETIlÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO RETIlÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
posição de um corpo em qualquer instante do seu movimento de uma
maneira bem simples. Acompanhe!
Retomemos o exemplo do carro: sabendo que ele saiu da posição 60km
e conhecendo a sua velocidade (30 km/h), para determinarmos uma posição qualquer, num instante (t) qualquer, por exemplo, t = 15h, é só fazer:
S = 60 + 30 x 15 = 60 + 450 = 510 km.
Logo, a equação horária do movimento retilíneo uniforme é:
S = s0 + v . t, onde s é uma posição qualquer;
s0 é a posição inicial;
v é a velocidade;
t, um instante qualquer.
Substituindo os dados do nosso exemplo, teremos:
S= 60 + 30.t; com esta equação, você pode localizar o carro em qualquer instante t de seu movimento, bastando, para isso, substituir o valor
de t, fazer as contas e pronto, percebeu?
Até aqui, você já viu que um movimento pode ser representado por
uma fotografia ou por uma equação. Vejamos agora como descrever o
MRU (movimento retilíneo uniforme) através de gráficos.
Para tanto, vamos escrever os dados referentes às posições e aos respectivos instantes de tempo daquele carro numa tabela:
T (h)
0
1
2
3
S (km)
60
90
120
150
Em seguida, vamos traçar um par de eixos cartesianos e representar,
no eixo das ordenadas, as posições do carro e, no eixo das abscissas, os
respectivos instantes de tempo.
Assim:
Ligando os pontos,
está pronto o gráfico
s x t (leia: posição
versus tempo) deste
movimento.
Que informações
podemos retirar deste gráfico? Olhe para
ele!
A N O T A Ç Õ E S
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62
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
1. A posição inicial s0 corresponde ao ponto onde a reta corta o
eixo das posições. No caso, 60 km.
2. A velocidade do carro está associada à inclinação da reta e seu valor
pode ser obtido a partir de dois pontos quaisquer do gráfico.
Veja: escolhendo os pontos A e B, e, aplicando a definição, teremos:
60
∆s 150-90
V = = = =
30 km/h
3-1
2
∆t
Se você escolher outros dois pontos quaisquer, encontrará o mesmo
valor. Verifique!
Para finalizar o movimento retilíneo uniforme, tracemos o gráfico v x
t (velocidade versus tempo).
Como a velocidade é constante, não é difícil perceber que o gráfico v
x t será uma reta paralela ao eixo dos tempos, pois todos os instantes de
tempo estão associados ao mesmo valor da velocidade (30 km/h). Veja!
Observação: A área da figura que aparece sob o gráfico v x t representa
o deslocamento do corpo no intervalo de tempo considerado.
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV)
A figura, ao lado, mostra a fotografia de múltipla exposição
de uma bola que cai, abandonada do repouso.
Observe que a bola, ao cair, percorre distâncias cada vez
maiores em intervalos de tempo iguais, o que revela que o valor
de sua velocidade está aumentando.
Logo, o movimento da bola é retilíneo (em linha reta) e
uniformemente variado (sua velocidade varia de maneira
uniforme).
Sempre que a velocidade de um corpo varia (aumenta ou
diminui), dizemos que ele possui aceleração.
Para entender melhor, leia as informações a seguir:
• Uma Ferrari F40 passou de 0 a 100 km/h em 4,5s.
• Um Gol CL da Volkswagen, partindo do repouso, atingiu a velocidade de 80 km/h em 7s.
63
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
Os dois veículos citados sofreram variações em suas velocidades, certo?
Analise os dados e responda:
Qual a velocidade inicial da Ferrari? E a velocidade final? Qual foi,
então, a variação de velocidade deste veículo?
Qual a velocidade inicial do Gol? E a final? De quanto foi a sua variação de velocidade?
Quanto tempo a Ferrari gastou para sofrer a variação de velocidade
de 100 km/h?
Quanto tempo o Gol gastou para sofrer a variação de 80 km/h em sua
velocidade?
Então, qual dos dois veículos variou mais rapidamente sua velocidade?
Não prossiga, antes de responder!
A grandeza física associada à rapidez com que a velocidade muda é
chamada de aceleração.
No exemplo acima, tanto a Ferrari quanto o Gol possuem aceleração.
Porém, em qual dos dois carros a aceleração é maior?
Se aceleração é a grandeza que indica de quanto varia a velocidade num
dado intervalo de tempo, podemos defini-la como sendo a razão entre a variação de velocidade v e o intervalo de tempo correspondente t, ou seja:
a=
v
, onde ∆v = v – v0
t
velocidade
final
velocidade
inicial
e
t = t - t0
tempo
final
tempo
inicial
Então teremos:
Analisando os resultados, podemos concluir que a Ferrari possui maior
aceleração, pois sua velocidade aumenta aproximadamente 22,2 km/h a
cada segundo, enquanto a do Gol aumenta, por segundo, aproximadamente
11,4 km/h apenas.
A N O T A Ç Õ E S
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64
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Vejamos outro exemplo para aprofundar o conceito de aceleração.
Um veículo que se movia com velocidade de 25m/s é freado e pára em
5s. Qual a sua aceleração?
Resolução:
V0 = 25m/s; v= 0 (o veículo pára); ∆t = 5s.
∆v 0 – 25
–5m/s
Então: a = = =
∆t
5
s
O sinal negativo indica que a velocidade do veiculo diminui de 5m/s a
cada segundo. Observe que, para a Física, diminuir a velocidade também
é acelerar!
Unidades de aceleração
Você já viu que aceleração pode ser medida em:
• km/h/s (leia: quilômetros por hora por segundo);
• m/s/s (leia: metros por segundo por segundo), que equivale a
m/s2 (leia: metros por segundo ao quadrado).
• E ainda em: cm/s2, km/h/min; km/h2 etc.
Nos exemplos discutidos acima, a aceleração que calculamos foi uma
aceleração média, pois não podemos garantir que a velocidade tenha
variado de maneira regular.
Porém, existem movimentos em que a aceleração instantânea (que
é calculada exatamente como a aceleração média, só que considerando
intervalos de tempo muito pequenos) é constante, ou seja, a velocidade
varia sempre de um mesmo valor.
Para entender, observe as tabelas a seguir, em que estão representadas
as velocidades em função do tempo de dois objetos móveis:
Móvel A
t(s)
01234
v (m/s) 1012141618
Móvel B
t (s)
01234
v (m/s) 1011141620
• O móvel da tabela A possui aceleração constante e igual a 2
m/s2, pois sua velocidade está aumentando de 2 m/s a cada
segundo.
• O móvel da tabela B não possui aceleração constante, pois sua
velocidade varia de maneira irregular (a cada instante, um valor
diferente).
Se a trajetória do móvel A for uma reta, podemos afirmar que se trata
de um movimento retilíneo uniformemente variado.
Portanto, são características do movimento retilíneo uniformemente
variado:
65
MOVIMENTO RETIlÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO RETIlÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
trajetória reta e aceleração constante.
A N O T A Ç Õ E S
Os movimentos variados podem ser classificados em acelerados e
retardados.
Dizemos que um corpo realiza um movimento acelerado quando o
valor absoluto da velocidade (v) cresce com o tempo.
Exemplo:
v1 = 10m/s
v2 = 15 m/s
movimento acelerado
(v2 > v1)
Nesse caso, temos ∆v > 0;
portanto, a aceleração será
∆v
positiva, pois a =
.
∆t
Quando o valor absoluto da velocidade (v) de um móvel diminui com
o tempo, dizemos que ele realiza um movimento retardado.
Exemplo:
v1 = 8 m/s
v2 = 2 m/s
movimento retardado
(v2 < v1)
Agora, temos ∆v < 0; portanto,
a aceleração
∆v
será negativa, pois a =
.
∆t
Portanto:
No movimento acelerado, a velocidade e a aceleração possuem o
mesmo sinal.
No movimento retardado, a velocidade e a aceleração possuem sinais
diferentes.
Observação: estamos considerando apenas velocidades
positivas, ou seja, aquelas em que o móvel caminha a favor
da trajetória.
aS equaçõeS dO MOviMentO RetiLíneO uniFORMeMente vaRiadO (MRuv)
equação da velocidade
Voltemos ao móvel da tabela A, que, estando em MRUV, possui uma
aceleração constante igual a 2 m/s2. Como já vimos, nesse movimento há
um aumento de velocidade de 2 m/s a cada segundo que passa.
Dessa forma:
Em t = 0 temos v0 = 10 m/s (Se necessário, volte à tabela para
conferir.)
Em t = 1s temos v = 12 m/s
Em t = 2s temos v = 14m/s e assim por diante...
-
66
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Então, se você quiser saber a velocidade do móvel em t = 7s, o que
você deverá fazer?
Pense, dê sua resposta e depois confira.
Se o móvel já possuía uma velocidade inicial de 10m/s, isso precisa
ser considerado no cálculo, concorda? Então, guarde esta informação.
Além disso, a velocidade vai sofrer um aumento de 2 x 7, pois ela
aumenta de 2m/s a cada segundo.
Logo: V = 10 + 2 x 7 = 10 + 14 = 24m/s.
Traduzindo estes dados para uma equação, fica:
V = v0 + at. Esta é a equação da velocidade para um corpo em
movimento uniformemente variado.
Aproveitando os dados da tabela do móvel A, vamos traçar o gráfico
v x t para este movimento:
t(s)
Móvel A
01234
v (m/s) 1012141618
A partir do gráfico v x t, podemos retirar várias informações, tais como:
1. A aceleração do móvel está associada à inclinação da reta e
seu valor pode ser obtido a partir de dois pontos quaisquer do
gráfico.
Veja: escolhendo os pontos A e B e aplicando a definição, teremos;
∆v 16 – 12
a=
=
= 2m /s2.
3–1
∆t
2. O deslocamento do móvel pode ser obtido pela área da figura
que aparece sob o gráfico (no caso, um trapézio). Mais à frente,
num exercício resolvido, você verá como se faz isso. Aguarde!
67
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
Equação do deslocamento
Aplicando a propriedade do gráfico v x t, mencionada acima, obteremos
a equação do deslocamento para este tipo de movimento.
Veja...
A equação v = v0 + at nos “diz” que a velocidade varia linearmente
com o tempo (v e t são variáveis e, para um dado movimento, v0 e a são
constantes).
Na figura a seguir, mostramos o gráfico v x t para o caso em que a
velocidade cresce com o tempo.
Olhe para a figura! Repare que a área sob o gráfico é a soma das áreas
de um retângulo de lados v0 e t e de um triângulo de base t e altura at.
Você sabe como calcular a área dessas figuras, não sabe? Claro que
sabe!
A área do retângulo é igual ao produto dos lados:
Assim: Aretângulo = v0 . t .
A área do triângulo é dada por A = (base x altura)/2.
No nosso caso Atriângulo = (t x at)/2 = 1/2 at2.
Portanto, o deslocamento (∆s), realizado por um corpo em MUV que
é numericamente igual à área total sob o gráfico, é dado por:
∆s = v0 t + ½ at2 (equação do deslocamento)
No exemplo resolvido a seguir, você terá oportunidade de aprofundar
um pouco mais tudo o que foi dito sobre os dois tipos de movimento.
Acompanhe com disposição!
A N O T A Ç Õ E S
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68
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
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Exemplo 1: a tabela no gráfico mostra, de maneira aproximada, como
varia a velocidade de um trem do metrô.
Vamos representar esses valores num gráfico velocidade x tempo;
com isso você terá uma visão melhor do comportamento da velocidade
da composição do metrô.
Gráfico v x t
V(m/s)t(s)
0
0
10
7,5
15 11,25
20
15
20
20
20
25
20
30
20
35
17,5
40
15
45
12,5
50
10
55
0
75
Em seguida, vamos fazer uma análise de cada trecho do gráfico (I, II e III).
No trecho I: o movimento é retilíneo uniformemente acelerado.
Observe que o módulo (valor) da velocidade aumenta com o passar do
tempo; o trem possui uma aceleração constante e podemos determiná-la
com a equação:
a = ∆v
∆t
em que ∆v representa a variação de velocidade e ∆t,
o intervalo de tempo.
∆v v-vo 20-0 ∆v m/s2; V V
e o
a = = = =
t-to 15-3 ∆t
∆t
representam as velocidades final e inicial, respectivamente) e, t e
to representam os instantes final e inicial, respectivamente.
Para se determinar o deslocamento (∆s) do trem no intervalo de tempo
∆t = 15s, podemos fazê-lo de duas maneiras:
1ª. pela área do triângulo:
b x h 15 x 20
(base x altura), a = ∆s =
=
= 150 metros
2
2
2
2ª. pela equação
∆s = v0t +
at2
2
como v0 = 0, teremos:
∆s =
at2
=
2
4
3
•
(15)2
= 150m
2
69
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
No trecho II: o movimento é retilíneo uniforme, a velocidade média
(Vm) é constante, não existe variação na velocidade (módulo, direção
e sentido) e, portanto, a aceleração é nula e a distância que ele percorre
nesse intervalo (∆t = 35 – 15, ∆t = 20s) pode ser determinada por:
∆s
vm =
∆s = vm • ∆t
∆s = 20 x 20 = 400m
∆t
No trecho III: O movimento é retilíneo uniformemente retardado, a
velocidade diminui com o passar do tempo. Para o cálculo da aceleração
e do deslocamento nesse trecho, procede-se da mesma maneira do trecho I.
v–v0
0–20
20
=
=
a=
= –0,5/m/s2
t–t0 75–35 40
O sinal negativo significa que a aceleração tem sentido contrário
ao movimento do trem.
Você agora já sabe que a aceleração (freando ou acelerando) é a grandeza física que indica uma variação na velocidade, seja no módulo, seja
na direção, ou seja em ambos simultaneamente.
Os movimentos de queda livre na vertical se processam com aceleração
praticamente constante (aceleração da gravidade), dirigida sempre para
baixo. Esses movimentos são uniformemente variados (MUV). O corpo
ou objeto lançado verticalmente para cima, à medida que vai subindo, tem
sua velocidade em diminuição até se tornar nula, no ponto mais alto de sua
trajetória. Ao retornar, tem sua velocidade aumentando. Veja o exemplo.
As equações do movimento uniformemente variado (MUV), na queda livre,
são escritas da mesma forma;
apenas substituímos a (aceleração) por g (aceleração da
gravidade).
∆v
gt2
∆s = Vot + : g =
2
∆t
Módulo da aceleração da gravidade g = 10 m/s² (valor aproximado)
∆v = g . ∆t
Esta equação pode ser escrita assim: V = V0 + gt.
Observação: Existe também uma equação e uma propriedade que
você pode usar para resolver os problemas do MUV: a equação de Torricelli:
V² = V02 + 2ad ou V2 = V02 + 2gd
V1+ V2
E a propriedade da velocidade média Vm = ,
2
onde V1 e V2 são velocidades instantâneas.
A N O T A Ç Õ E S
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70
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
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DESAFIOS DO PERCURSO
Agora, trabalhe sozinho e depois confira suas respostas.
1. Um trem gasta, entre duas estações, 150 segundos. Considere a
ferrovia plana e horizontal. O gráfico abaixo mostra como varia a velocidade do trem com o tempo:
a) Qual o módulo da aceleração do trem nos primeiros 30s de
movimento?
b) Que distância que separa as duas estações?
c) Qual o módulo (valor) da aceleração do trem nos últimos 30s
de movimento?
2. É dado o movimento s = 30 + 50t, sendo as posições medidas em
km e os tempos em h. Determine:
a) a posição inicial e a velocidade;
b) a posição quando t = 2h;
c) os gráficos s x t e v x t desse movimento.
3. Um automóvel mantém uma velocidade constante de 72 km/h. Qual
a distância percorrida por ele em 1 h e 10 min?
R.
4. Um automóvel que vinha com velocidade de 108km/h é freado e
pára em 15s. Qual o valor da aceleração do automóvel em m/s2 durante
a freada?
R.
71
MOVIMENTO RETIlÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO RETIlÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
5. Um veículo desce uma rampa em 4s com aceleração constante de
3m/s2. Se, no início da descida, sua velocidade era de 16m/s, qual a sua
velocidade final?
R.
6. Um carro, partindo do repouso, acelera uniformemente e atinge a
velocidade de 108km/h em 6s. Qual a distância percorrida por ele nesse
intervalo de tempo?
R.
Considere que um astronauta tenha lançado, na Lua, um objeto
verticalmente para cima, com velocidade inicial de 3,2 m/s.
V0 = 3,2 m/s
dado g (Lua) = 1,6 m/s2
7. Quanto tempo levaria o objeto para alcançar a altura máxima?
R.
8. Qual a altura máxima atingida pelo objeto?
R.
9. Quanto tempo o objeto leva para retornar ao ponto de lançamento?
R.
10. Se o objeto fosse lançado com a mesma velocidade de 3,2 m/s
da superfície da Terra, qual seria a altura máxima atingida pelo objeto?
Dado que g (Terra) = 10 m/s2.
R.
A N O T A Ç Õ E S
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72
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
AMPLIANDO O HORIZONTE
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. Scipione, 1 v.
GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física). Fisica 1
(Mecânica). São Paulo: EDUSP (Editora da Universidade de
São Paulo).
GUIMARÃES, Luiz Alberto e FONTE BOA, Marcelo. Física para o
2º grau. Harbra.
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. Partindo do repouso, um avião percorre a pista com aceleração
constante e atinge a velocidade de 360km/h em 25s. Qual o valor da
aceleração em m/s²?
a) 9,8
b) 7,2
c) 6
d) 4
e) 2,8
O texto, a seguir, refere-se às questões 2 e 3:
Um automóvel parte do repouso com aceleração
constante de 5m/s².
2. Qual a velocidade do automóvel depois de 4s?
a) 3m/s
b) 5m/s
c) 10m/s
d) 15m/s
e) 20m/s
73
MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME E MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
3. Qual a distância percorrida por ele nesses 4s?
a) 5 m
b) 10 m
c) 40 m
d) 50 m
e) 100 m
O texto a seguir refere-se às questões 4 e 5.
Uma criança deixa cair, do 4º andar (12 m aproximadamente)
de um prédio, um objeto. Desprezando a resistência do ar e
considerando g = 10 m/s² (aceleração da gravidade), responda:
4. Quanto tempo este objeto leva para tocar o solo?
a) 3s
b) 4s
c) 6s
d) 1,5s
5. Qual a velocidade com que ele chega ao solo?
a) 15 m/s
b) 30 m/s
c) 40 m/s
d) 10 m/s
A N O T A Ç Õ E S
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CAPÍTULO 6
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
CAPÍTULO 6
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
PLANEJANDO A ROTA
A N O T A Ç Õ E S
N
o capítulo 5, estudamos os movimentos em trajetórias retilíneas,
em que a direção do vetor velocidade não varia. Mas, se você fizer
uma curva, seja de carro, ônibus ou até mesmo a pé, o vetor velocidade
mudará pelo menos de direção.
INVESTIGANDO CAMINHOS
Um corpo descreve um movimento circular uniforme quando sua
trajetória é uma circunferência e o valor de sua velocidade é constante.
Observe a figura a seguir, que representa um carro fazendo uma curva.
Considere que o velocímetro esteja marcando 72 km/h (valor constante)
durante a curva. Como você sabe, esta velocidade equivale a 20 m/s.
Na figura 1, a velocidade
do carro está representada
em dois instantes diferentes.
Observe que, apesar de ter
sido mantido o valor da velocidade (o tamanho do vetor
é o mesmo nas duas posições
do carro e vale 20 m/s), sua
direção mudou.
Figura 1.Vista superior de um trecho de uma estrada plana e horizontal
Já sabemos que a aceleração indica a existência de uma variação
da velocidade no decorrer do tempo. No caso do carro da figura 1, não
houve variação no módulo da velocidade, mas apenas na direção do
vetor velocidade (capítulo 3).
-
78
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
A aceleração que indica somente a variação de direção da velocidade
é chamada de aceleração centrípeta (voltada para o centro da curva), e
seu módulo é dado pela equação:
v
ac = , na qual R é o raio da curva e v, a velocidade do carro naquele
2
instante.
R
Logo, o módulo (valor) da aceleração centrípeta do carro, ao entrar
na curva, vale:
(20)2 400
ac =
=
= 1m/s2
400 400
Na figura 2, a seguir, estão representados os vetores e em dois instantes
distintos. Observe que eles são perpendiculares entre si.
Velocidade nas rotações (velocidade angular
)
Vamos retomar o caso do carro fazendo a curva (figura 1).
A figura acima nos mostra que, inicialmente, o carro se encontrava
na posição A, após um intervalo de tempo ∆t, ele estará passando pela
posição B. Ao passar de A para B, o carro descreveu um ângulo ∆θ, ou
seja, realizou um deslocamento ∆θ. Observe!
Então, além da velocidade constante v = 20m/s (que a partir de agora
chamaremos de velocidade linear), o carro apresenta uma velocidade
angular (w), assim definida:
79
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Repare que as definições de v e de w são semelhantes:
A N O T A Ç Õ E S
• A velocidade linear refere-se à distância percorrida num determinado intervalo de tempo: v =
;
• A velocidade angular refere-se ao ângulo descrito num certo
intervalo de tempo: w =
Você já deve ter visto, em matemática, que ângulos podem ser medidos
em graus (o) ou em radianos (rad).
Por exemplo, o carro citado acima, que está se movimentando em círculo, ao completar uma volta, terá descrito um ângulo de 360º ou 2π rad.
Veja por que 2π radianos correspondem a 360o:
O valor de um ângulo em radianos é a razão entre o valor do
arco e o raio.
Numa volta completa (360o), o arco será o próprio comprimento da
circunferência (2πR).
Então:
A partir daí, podemos determinar o valor de qualquer ângulo em radianos, resolvendo uma regra de três simples.
Veja quanto vale, em radianos, um ângulo de 60o.
Solução: 360o 2π rad
60o x
360 x = 60 . 2π
x = 120π = π
3603rad
Faça o mesmo para outros ângulos (30o, 90o e 180o) e depois confira
com a tabela a seguir.
Graus
30o
45
o
90o
180o
360o
Radianos
π
6
π
4
π
2
rad
π
rad
rad
rad
2 rad
-
80
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
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Tudo isso tem que estar bem sabido, pois, no cálculo da velocidade
angular, a medida do ângulo tem que estar em radianos.
Logo, as unidades da velocidade angular são:
Rad/s (leia: radianos por segundo); rad/h (leia: radianos por hora); etc.
Bem, sigamos em frente, porque você precisa saber ainda que, num
movimento circular:
• o tempo gasto numa volta completa chama-se período (T);
• o número de voltas ocorridas na unidade de tempo corresponde
à frequência (f) do movimento.
O período pode ser medido em h, min, s etc.
A frequência pode ser medida em rpm (rotações por minuto) e em rps
(rotações por segundo), sendo esta última também chamada de Hertz
(Hz) .
O período T é o inverso da frequência f:
Para compreender, acompanhe a resolução do exercício a seguir.
Exercício resolvido:
Os ponteiros de um relógio realizam um movimento circular uniforme, pois sua trajetória é circular e o valor de sua velocidade
linear é constante.
a) Qual o período do ponteiro dos segundos, ou seja, quanto tempo
ele gasta para dar uma volta completa?
Pegue um relógio, observe e só prossiga quando tiver dado sua
resposta.
Depois disso, pode conferir: o período dos ponteiros dos segundos
é T = 60s (1min).
b) Qual a frequência do ponteiro dos segundos? Em outras palavras:
quantas voltas ele dá em um segundo?
Resposta:
Se ele dá uma volta a cada 60s, em 1s ele terá efetuado 1/60 volta (a
sexagésima parte de uma volta). Logo, sua frequência será:
Percebeu?
Conhecendo o período e a frequência, podemos escrever a equação da
velocidade angular em função dessas grandezas.
81
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
Veja como:
A N O T A Ç Õ E S
Você já sabe que, numa volta completa, ∆θ = 2π e ∆t = T.
Essas expressões nos serão muito úteis no estudo do MCU Já, já vamos
aplicá-las. Aguarde! Enquanto isso, acompanhe a explicação de mais uma
relação importante.
Relação entre a velocidade linear v e a velocidade angular w
Como se trata de um movimento uniforme, o valor da velocidade linear
será dado por: concorda?
Num movimento circular, ∆s é um arco de circunferência. A Matemática
nos ensina que o comprimento de um arco é igual ao produto do ângulo
correspondente (∆θ) pelo raio da circunferência.
Então: ∆s = ∆θ . R
Substituindo na equação de v, teremos:
Repare que w
Portanto: v = w . R
Agora, passemos às aplicações:
1. Uma roda efetua 150 voltas por min.
a) Qual a frequência, em Hz, da roda?
b) Qual o seu período, em s?
c) Qual a sua velocidade angular, em rad/s?
d) Qual a velocidade linear de um ponto situado a 12cm do eixo
da roda?
Solução:
a) Sabendo que 1min = 60s, podemos obter a frequência, resolvendo uma regra de três. Veja:
150 voltas................... 60s
f.................................. 1s 150
60
60f = 150, donde = f = = 2,5 Hz
Isso significa que a roda dá 2,5 voltas por s.
b) c) d) v = w . R v = 5π x 12 = 60π cm/s ou 0,6π m/s
-
82
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
2. Um automóvel percorre uma pista circular de 1km de raio, com
velocidade constante de 36km/h. Qual a aceleração centrípeta do automóvel?
Solução:
Primeiro vamos ajustar as unidades:
36km/h ÷ 3,6 = 10m/s e 1km = 1.000m
Agora é só aplicar estes dados na equação da aceleração centrípeta.
Assim:
3. Calcule a velocidade angular, em radianos por segundo, de um eixo
1200 rotações por minuto.
de motor que gira com π
Solução:
Você sabe que a velocidade angular pode ser calculada por: w = 2πf
Estando a frequência em rotações por minuto, precisamos transformá-la para rotações por segundo. Como se faz isso? Dividindo o valor em
rpm por 60.
Assim:
Substituindo na equação da velocidade angular (w), teremos:
Substituindo na equação da velocidade angular (w), teremos:
DESAFIOS DO PERCURSO
Agora é com você. Bom trabalho!
1. Uma roda efetua 1.200 rotações por min. A frequência, em Hz, e o
período, em s, são, respectivamente:
a) 1.200 Hz; 0,05s
b) 60 Hz; 1min
c) 20 Hz; 0,05s
d) 20 Hz; 0,5s
83
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
2. O ponteiro dos min de um relógio mede 50 cm.
a) Qual a velocidade angular do ponteiro?
R.
b) Calcule a velocidade linear da extremidade do ponteiro.
R.
3. As afirmativas a seguir referem-se ao estudo do movimento circular
uniforme.
I. Os vetores velocidade e aceleração possuem módulo variável.
II. O vetor velocidade é tangente à trajetória em cada ponto.
III. Os vetores velocidade e aceleração são sempre perpendiculares
entre si.
Dessas afirmativas estão corretas somente:
a) I
b) II
c) I e II
d) II e III
4. Considerando que a Lua leva 28 dias para efetuar uma volta completa
em torno da Terra, calcule a velocidade angular, em rad/s e a velocidade
linear da Lua, sabendo que a distância Terra–Lua é de 3,8. 108m. (Use
π = 3,14).
R.
5. Um carro percorre uma curva plana e horizontal de raio igual a
600m, mantendo constante a indicação de seu velocímetro em 108 km/h.
Determine:
a) O módulo da aceleração centrípeta do carro ao fazer a curva;
R.
b) O ângulo que o carro descreve em 40s ao fazer a curva.
R.
6. (UFRJ) Um automóvel percorre, com movimento uniforme, a
trajetória plana e horizontal, representada abaixo. Compare os módulos
das acelerações centrípeta Ac1 e Ac2 respectivamente, nos pontos 1 e 2, e verifique se:
Justifique sua resposta.
A N O T A Ç Õ E S
-
84
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
AMPLIANDO O HORIZONTE
O movimento circular aplicado às bicicletas. In: Física. Volume único.
Série Novo Ensino Médio. Paraná: São Paulo: Ática 2000.
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. São
Paulo: Scipione, 2000. 1 v.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. São Paulo: Scipione. 1 v.
GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física). Física 1
(Mecânica). São Paulo: EDUSP (Editora da Universidade de
São Paulo).
GUIMARÃES, Luiz Alberto e FONTE BOA, Marcelo. Física para o 2º grau
(Mecânica). Harbra.
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. Um carro faz uma curva num trecho de uma estrada plana e horizontal, como mostra a figura abaixo.
Qual a opção que melhor representa os vetores V e Ac, velocidade do
carro e aceleração centrípeta, respectivamente?
a)b)
c)
d)
2. Um disco gira com 30 rpm (rotações por minuto). Isto quer dizer
que o período do movimento circular e a frequência desenvolvida são:
a) 4s e 5Hz
b) 3s e 5Hz
c) 2s e 0,5Hz
d) 0,5s e 0,5Hz
85
MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
3. Uma pedra descreve um movimento circular uniforme, de raio 2m.
Sendo sua velocidade linear igual a 4 m/s, a sua aceleração centrípeta tem
módulo, em m/s2 de:
a) 16
b) 8
c) 4
d) 2
Sabemos que a Terra gira em torno do Sol com movimento aproximadamente circular uniforme, de raio 150.000.000 km e período
de um ano. (Responda às questões 4, 5 e 6). Use π = 3,14
4. Qual o ângulo descrito pela Terra em torno do Sol, em um mês?
a) 3rad
b) 0,95rad
c) 0,52rad
d) 0,74rad
5. Qual a velocidade angular da Terra em torno do Sol?
a) 2 x 10
–7
rad/s
b) 2 x 10
–5
rad/s
c) 2 x 10
–3
rad/s
d) 2 x 10
–4
rad/s
6. Qual a velocidade linear da Terra em torno do Sol?
a) 3 x 106 m/s b) 3 x 104m/s
c) 3 x 108m/s
d) 3 x 109m/s
A N O T A Ç Õ E S
-
CAPÍTULO 7
movimentos de
trajetórias parabólicas
CAPÍTULO 7
MoViMEntoS dE
trAjEtóriAS PArAbóliCAS
PLANEJANDO A ROTA
D
esde a Grécia antiga até o século XVII, muitas foram as tentativas de explicação para o movimento dos projéteis (corpos que são
lançados, projetados).
Além de ser um assunto intrigante para os pensadores da época, pois
“fugia” à noção de movimento aceita até então, o interesse por este tema
devia-se muito ao aspecto prático, como a necessidade de aumentar o
alcance de uma bala arremessada por um canhão, por exemplo.
Deve-se a Galileu a interpretação correta dos movimentos dos
projéteis quando lançados verticalmente, horizontalmente ou obliquamente.
Nos movimentos de trajetórias parabólicas, como o lançamento
horizontal e oblíquo, Galileu Galilei contrariou as ideias de Jean Buridan (1295-1360), um dos que formularam a teoria do ímpeto, e de
Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.).
Aristóteles acreditava
que o corpo era lançado
para a frente (trajetória
horizontal) por ação do
ar. Logo, este movimento não poderia existir no
vácuo
Jean Buridan defendia
a teoria do ímpeto, segundo a qual o impulso inicial
prevaleceria sobre a gravidade. Esse impulso, no
entanto, ia se desgastando
e, então, a gravidade começava a atuar.
A N O T A Ç Õ E S
-
90
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
INVESTIGANDO CAMINHOS
MOviMentO HORiZOntaL e OBLíquO de uM pROJétiL
desprezando a resistência do ar
Galileu interpretou corretamente estes movimentos, ao sugerir que tanto
o lançamento horizontal como o oblíquo eram resultado da composição de
dois movimentos independentes e simultâneos: um na direção horizontal
que representa o projétil avançando; outro na direção vertical, movimento
uniformemente variado.
Vejamos cada um deles separadamente.
Lançamento Horizontal
Solo
Observe na figura acima que:
• na direção do avanço, o movimento da bolinha não se altera, ele é
uniforme, devido à inércia;
• na direção vertical, a bolinha cai em queda livre com sua velocidade aumentando devido à ação da força gravitacional.
Então, em cada ponto da trajetória da bolinha:
• A velocidade (vetorial) resultante V é dada pela soma vetorial
dos componentes Vx (horizontal) e Vy (vertical):
Em que Vx = V0 (pois, na
horizontal, o movimento é
uniforme, a velocidade não
muda) e Vy = g.t (equação
da velocidade para um
movimento uniformemente
acelerado a partir do repouso, conforme vimos no
capítulo 5)
• O alcance (A) da bolinha, ou seja, a distância horizontal percorrida durante a queda, será dado por:
A = V0 . T
91
MOVIMENTOS DE TRAJETÓRIAS PARABÓlICAS
O movimento, nesta direção, é uniforme e, no movimento uniforme,
calcula-se a distância por ∆s = v.t. Você está lembrado?
• O tempo de queda é o mesmo que o corpo gastaria se estivesse
caindo da mesma altura na vertical.
A fotografia estroboscópica ao
lado esclarece, pois ela mostra as sucessivas posições de h duas bolinhas;
uma bolinha abandonada a partir
do repouso (a da esquerda) e outra
lançada horizontalmente (bolinha
da direita).
Alcance A
Sendo igual o intervalo de tempo
entre duas posições sucessivas de
cada bolinha, é fácil perceber que o tempo total gasto por cada uma delas
é o mesmo. Conte!
Como o movimento na vertical é uniformemente variado, para calcular
o tempo de queda devemos usar:
(equação de deslocamento para um corpo em queda livre)
Para facilitar a compreensão, acompanhe atentamente a resolução do
exercício a seguir.
1. Um avião precisa soltar um saco de mantimentos para um grupo
de sobreviventes que está numa balsa.
A velocidade horizontal do avião é
constante e igual a 100 m/s em relação à
balsa, e sua altitude é 2.000 m.
Qual a distância horizontal (alcance) que separa o
avião dos sobreviventes no instante do lançamento? (Dado que
g = 10 m/s2).
solução:
Primeiro, vamos descobrir o tempo de queda, pois precisamos dele
para o cálculo do alcance.
Usando a equação do deslocamento para um corpo em queda livre,
teremos:
A N O T A Ç Õ E S
-
92
FÍSICA
Observe que a velocidade de lançamento não entrou no cálculo do
tempo. Isso demonstra que o tempo de queda só depende da altitude e da
aceleração da gravidade do local em que o corpo foi lançado.
Agora podemos calcular o alcance:
A = vo.t = 100 x 20= 2.000m
Lançamento Oblíquo
Observe na figura ao abaixo que:
• na direção vertical, temos a mesma situação de um corpo lançado
para cima: durante a subida, a velocidade diminui até se tornar
nula; durante a descida, a velocidade aumenta;
• na direção horizontal, que representa o avanço do projétil, o
movimento é uniforme, ou seja, a velocidade é constante.
hmáx.
-
vertical
A N O T A Ç Õ E S
horizontal
Vamos destacar uma parte da figura acima para que você possa ver
que, no lançamento, faz, com a horizontal, um ângulo θ.
Sendo assim, as componentes da velocidade vetorial
serão:
Vx = vo.cosθ (constante)
Vy = vo.senθ (MUV)
Repare que as componentes de
farão com que o corpo tanto se
mova para a frente (devido a vx),
quanto para cima (devido a vy).
É conveniente saber também
que:
• no ponto de altura máxima,
a componente vertical (vy) se
anula, mas a componente horizontal (vx) permanece constante;
• o tempo de subida é igual ao tempo de descida, logo o tempo
total de permanência do projétil no ar será o dobro do tempo
necessário para atingir a altura máxima;
93
MOVIMENTOS DE TRAJETÓRIAS PARABÓLICAS
• o alcance (A) é a distância
do ponto de lançamento ao
ponto de retorno do projétil
ao solo.
Para que você possa compreender melhor, vejamos uma aplicação:
2. Um jogador chuta uma bola
com uma velocidade inicial de
20m/s, formando, com a horizontal, um ângulo de 60o. São dados:
cos60o= 0,50; sen60o= 0,86 e g =
10m/s2.
Pergunta-se:
a) Quanto valem as componentes vx e vy da velocidade inicial da
bola?
b) Qual a altura máxima que a bola irá atingir?
c) Qual o tempo total necessário para a bola retornar ao chão?
d) A que distância do ponto de lançamento a bola cairá?
Solução:
A figura nos mostra que:
a)Vx = vo. cosθ e Vy = vo. senθ
Sendo v0 = 20m/s; cos60º = 0,50; sen60º = 0,86, teremos:
Vx = 20 x 0,50 = 10m/s;
Vy = 20 x 0,86= 17,2m/s.
b) Como o movimento de subida é uniformemente retardado, podemos calcular a altura máxima utilizando as equações do MUV
(capítulo 5).
Lembre-se de que o lançamento oblíquo é o resultado de dois
movimentos simultâneos, mas independentes: um vertical (MUV)
e outro horizontal (MRU). Logo, podemos “separar” um do outro,
a fim de facilitar nossos cálculos.
Sendo assim, para o cálculo da altura máxima, utilizaremos a
equação de Torricelli aplicada a um corpo lançado para cima:
Vy2 = vo2y – 2ghmáx
Como no ponto de altura máxima a componente da velocidade
vertical se anula, teremos:
Vy2 = (17,2)2 – 2 x 10 x h
20h = 295,8 donde h z 15 m.
A N O T A Ç Õ E S
-
94
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
c) Para o cálculo do tempo, usaremos a equação da velocidade
aplicada a um corpo lançado para cima, pois o movimento de
subida é uniformemente variado.
Então:
Vy2 = voy – gt.
Substituindo os valores conhecidos (lembre-se de que, na altura
máxima, vy = 0), fica:
0 = 17,2 – 10t
10t = 17,2 donde t = 1,72s
Logo, o tempo total será: 2 x 1,72 = 3,44s.
d) O alcance será dado por:
A = vox . ttotal
A = 10 x 3,44 = 34,4 m.
DESAFIOS DO PERCURSO
Agora, faça você. Bom trabalho!
1. Calcule o alcance horizontal de um projétil lançado por um morteiro com velocidade inicial de 100 m/s, sabendo que o ângulo formado
entre o morteiro e a horizontal é de 30o. Adote g = 10m/s2, sen30o= 0,50
e cos30o= 0,86.
R.
2. Uma esfera rola de uma mesa horizontal de 1,25 m de altura, atingindo o solo num ponto localizado a 5m da vertical que contém a beira
da mesa. Considere g = 10 m/s2.
a) Faça um desenho mostrando a trajetória da esfera.
b) Calcule o tempo que a esfera esteve no ar.
c) Calcule as componentes horizontal e vertical da velocidade da
esfera ao deixar a mesa.
d) Calcule as componentes vertical e horizontal da velocidade da
esfera ao atingir o chão.
95
MOVIMENTOS DE TRAJETÓRIAS PARABÓlICAS
3. Arremessa-se obliquamente uma pedra, como mostra a figura.
Nessas condições, podemos afirmar que:
vertical
a) a componente horizontal
da velocidade da pedra é
maior em A do que nos pontos B, C, D e E;
hmáx.
b) a velocidade da pedra no
ponto A é a mesma que nos
pontos B, C e D;
horizontal
c) a componente horizontal da
velocidade tem o mesmo valor nos pontos A, B, C, D e E;
d) a componente vertical da velocidade é nula no ponto E;
e) a componente vertical da velocidade é máxima no ponto C.
4. Um projétil é lançado com velocidade inicial de 100m/s, formando
um ângulo de 45º com a horizontal. Supondo g = 10m/s2, pergunta-se:
a) Qual será altura máxima atingida pelo projétil?
b) Qual o alcance?
Dado que cos45o = sen45o =
.
R.
Texto para as questões 5 e 6:
a figura ao lado representa a
fotografia estroboscópica do
movimento simultâneo de duas
pequenas bolas.
5. Quanto tempo as pequenas bolas levam para cair de 8m de altura?
Use g =10 m/s2.
Alcance A
R.
6. Quanto vale o alcance (A), sabendo que a bola da direita foi lançada
horizontalmente com velocidade de 10 m/s?
R.
A N O T A Ç Õ E S
-
96
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
AMPLIANDO O HORIZONTE
GLOSSÁRiO
Fotografia estroboscópica – fotografia tirada no escuro com um
flash que dispara em intervalos de tempo iguais.
ReFeRênCiaS BiBLiOGRÁFiCaS
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. Scipione. 1 v.
GUIMARÃES, Luiz Alberto e FONTE BOA, Marcelo. Física para o
2º grau (Mecânica). Harbra.
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. Uma pedra é lançada horizontalmente de uma altura H1 como mostra
a figura abaixo. Qual das figuras representa corretamente a componente
horizontal da velocidade?
a)
b)
c)
d)
97
MOVIMENTOS DE TRAJETÓRIAS PARABÓlICAS
2. (UFRJ) Um jogador de basquete, tentando fazer uma cesta, arremessa obliquamente a bola, que segue a trajetória mostrada na figura.
Assinale a alternativa que melhor representa o vetor velocidade v da bola
nos pontos 1, 2 e 3 da figura.
a) b)
c)
2
3
3
1
1
d)
2
2
2
3
1
3
1
3. Uma esfera está deslizando sobre uma mesa sem atritos, com certa
velocidade vo. Quando a esfera abandona a superfície da mesa, projetando-se no vácuo, descreve a trajetória representada na figura abaixo.
A altura da mesa (y) é de 5m e o alcance horizontal (x) é de 10 m. Qual
a velocidade vo da esfera, em m/s?
Use g = 10 m/s2.
a) 2
b) 4
c) 5
d) 8
e) 10
4. Na figura, temos duas bolinhas A e B, que partem no mesmo instante
de uma certa altura. A bolinha A tem certa velocidade horizontal vo e a
bolinha B parte do repouso. As massas das duas bolinhas são diferentes.
Pode-se afirmar que:
a) chega primeiro ao solo a
de maior massa.
b) a bola A chega antes ao
solo.
c) a bola B chega antes ao
solo.
d) as duas bolinhas chegam
juntas ao solo.
A N O T A Ç Õ E S
-
98
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
5. De um avião que voa com velocidade constante em trajetória reta
e horizontal, é solto um objeto suficientemente pesado para que se possa
desprezar a resistência do ar. Uma pessoa em repouso na superfície da
Terra verá esse objeto caindo:
a) em trajetória parabólica com velocidade constante.
b) em trajetória parabólica, sendo constante a componente horizontal de sua velocidade.
c) em trajetória parabólica, sendo constante a componente vertical
de sua velocidade.
d) verticalmente em trajetória retilínea.
6. Uma bola é lançada para cima em uma direção que forma um ângulo
de 60º com a horizontal. Sabendo-se que a velocidade na altura máxima é
20 m/s, pode-se afirmar que a velocidade de lançamento da bola é:
a) 10 m/s
b) 20 m/s
c) 40 m/s
d) 17 m/s
CAPÍTULO 8
equilíbrio estático
da partícula e forças notáveis
CAPÍTULO 8
EquilÍbrio EStátiCo
dA PArtÍCulA E ForçAS notáVEiS
PLANEJANDO A ROTA
A N O T A Ç Õ E S
V
amos fazer primeiro uma apresentação de algumas forças que
serão importantes no decorrer dos seus estudos.
Força gravitacional ou peso (P):
relativamente à Terra, é a força de
atração que a Terra exerce sobre
qualquer corpo; sua direção é a mesma
da linha que liga o corpo ao centro da
Terra, e seu sentido é do corpo para o
centro da Terra.
Força de tração ou tensão (T):
força que surge em cordas, fios e cabos,
quando você puxa um objeto através de
uma corda, por exemplo.
Força de atrito (Fa): quando tentamos empurrar um corpo sobre uma
superfície, às vezes sentimos muita
dificuldade para fazê-lo, isto é, encontramos resistência. Esta resistência
pode ser entendida como a força de
atrito que se opõe ao movimento relativo entre as superfícies em contato.
Força normal (N): esta força aparece quando uma superfície comprime
a outra.
Aqui neste exemplo, aparece a
força que a superfície exerce sobre
a caixa.
(força normal)
-
102
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
As unidades de força que vamos usar são o newton (N) e o quilograma-força (kgf). A relação entre o newton e o kgf é: 1 kgf z 10N.
Se você não possui um dinamômetro e quer ter a noção da força de 1N,
segure um objeto de 100 g. A força que você faz para sustentá-lo equivale,
aproximadamente, a 1N.
Logo, se você sustentar um objeto de 1 kg, estará exercendo uma força
de 1 kgf.
INVESTIGANDO CAMINHOS
Equilíbrio da partícula
A primeira noção de equilíbrio é a situação de repouso (parado). Vamos
a um exemplo simples para entendermos melhor esta situação de equilíbrio
(repouso). A figura abaixo representa um peso de pescaria e uma balança
de mola, conhecida como dinamômetro.
Para que o peso de pescaria
permaneça em repouso (equilíbrio),
é necessário que o seu peso P se
equilibre com uma outra força de
mesmo módulo, mesma direção e
sentido oposto à força peso. Veja
como representar essas forças que
atuam nesse objeto.
Tendo essas forças o mesmo
módulo, mesma direção e sentidos
opostos, a soma vetorial (resultante)
entre elas é nula, que é a condição
de equilíbrio.
Matematicamente, podemos
escrever:
Ao estudarmos o equilíbrio de um objeto, nós o faremos somente nos
eixos x e y (capítulo 4 do livro de Matemática).
Vejamos um exemplo de aplicação:
1. Uma luminária de peso igual a 15N está suspensa na vertical e presa
por um fio ao teto de uma sala, conforme a figura a seguir:
103
EQUIlÍBRIO ESTÁTICO DA PARTÍCUlA E FORÇAS NOTÁVEIS
a) Qual o valor da força resultante que atua sobre a
luminária?
b) Qual o valor da força de tração no fio que a sustenta?
resolução:
Antes de mais nada, vamos
representar as forças que atuam na
luminária. Leia novamente o enunciado da questão, observe a figura e
responda: que forças são essas? Não prossiga antes de responder.
Confira sua resposta, olhando para a figura a seguir. Nela já estão representadas as forças de tração (exercida pelo fio) e o peso da luminária.
a) A luminária está em repouso, logo está também em
equilíbrio. Sendo assim, a
resultante das forças que
atuam sobre ela vale zero
( = 0), concorda?
b) As forças
e
possuem
mesma direção e sentidos
contrários. Como se faz
para encontrar o valor da
resultante nesse caso?
Você já viu no capítulo 3 que, nesse caso, temos que subtrair uma força
da outra, está lembrado?
Assim: R = 0, então T – P = 0 , logo T = P = 15N.
É claro que a força de tração tinha que ser igual ao peso, porque senão
a luminária despencaria, não é mesmo?
Outro exemplo:
2. Uma esfera de aço, com peso P = 50 kgf, está sustentada por um
cabo preso ao alto de um mastro. Uma pessoa, exercendo na esfera uma
força horizontal, desloca-se lateralmente, mantendo-a em equilíbrio na
posição mostrada na figura. As forças que atuam na esfera já estão representadas na figura. São dados também:
sen300= 0,50 e cos300 = 0,86.
Calcule:
a) o valor da tração do cabo;
b) o valor da força que a pessoa
está exercendo.
A N O T A Ç Õ E S
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104
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
resolução:
Desenhando as forças , e em um sistema de eixos cartesianos e
decompondo a força nos eixos x e y, como aprendemos no capítulo 3,
teremos o seguinte:
Olhe para a figura!
Tx = T cosθ e Ty = T senθ
Como a esfera está em equilíbrio, podemos afirmar que Rx = 0 e Ry = 0.
a) Fazendo Ry = 0, obteremos o valor de
, veja:
Mas, quanto vale θ ? Olhe para a figura anterior e verifique que θ só
pode ser igual a 300, pois, sabendo que a soma dos ângulos internos de
um triângulo é sempre igual a 1800 e considerando que o nosso triângulo
já possui um ângulo de 900 e outro de 600, quanto falta?
Então:
Resposta : A tração no cabo é de 100kgf.
b) Para encontrarmos o valor da força
0.
, teremos que fazer Rx =
Assim :
F – T.cosθ = 0, donde F = T.cosθ, então F = 100.0,86 = 86,6 kgf.
Resposta: A força exercida pela pessoa é de 86,6 kgf.
105
EQUIlÍBRIO ESTÁTICO DA PARTÍCUlA E FORÇAS NOTÁVEIS
A N O T A Ç Õ E S
DESAFIOS DO PERCURSO
1. Um vaso de plantas, de peso 5 kgf, está preso por uma corda, conforme a figura abaixo. Calcule o valor da tração na corda.
senθ = 0,60 e cosθ = 0,80
R.
2. Uma criança de 40 kgf encontra-se sentada sobre um balanço.
Considerando que eles estejam em equilíbrio, determine o valor da tração
em cada corda.
R.
3. Um menino está em pé sobre um banco, como mostra a figura.
Sabendo que ele pesa 500N, determine:
a) o módulo da força que a
superfície do banco exerce
sobre o menino;
R.
b) determine essas forças.
R.
-
106
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
4. A figura abaixo representa um lustre de 5N de peso. Determine o
valor da tração em cada fio.
dado: cosθ = 0,86
R.
5. Um operário sustenta um balde, como mostra a figura. O valor da
força que o operário faz para sustentar o balde vale:
R.
P = 10kgf
AMPLIANDO O HORIZONTE
GLOSSÁRiO
Partícula – que tem dimensões desprezíveis quando comparadas
com as demais dimensões envolvidas no problema.
Dinamômetro – dínamo (força) + metro (medida). Logo, dinamômetro é o instrumento usado para medir forças.
ReFeRênCiaS BiBLiOGRÁFiCaS
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. Scipione. 1v.
GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física). Fisica 1
(Mecânica). São Paulo: EDUSP (Editora da Universidade de
São Paulo).
GUIMARÃES, Luiz Alberto e FONTE BOA, Marcelo. Física para o
2º grau. Harbra.
107
EQUIlÍBRIO ESTÁTICO DA PARTÍCUlA E FORÇAS NOTÁVEIS
A N O T A Ç Õ E S
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. Uma esfera de aço é afastada da posição vertical através de uma
força F, conforme mostra a figura abaixo:
A opção que melhor representa a força peso da esfera e a força de
tração no fio é:
a) b)
c)
d)
2. Um homem empurra uma caixa sobre uma superfície plana e horizontal. A opção que melhor representa a direção e o sentido da força de
atrito (fa) sobre a caixa é:
a)
b)
c)
d)
3. Uma pessoa está em repouso sobre uma balança de farmácia e observa que o seu peso vale 70 kgf. Isso quer dizer que a força normal (N)
que a balança exerce sobre a pessoa vale:
a) 60 kgf
b) 35 kgf
c) 90 kgf
d) 70 kgf
-
108
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
4. (UFRJ) Deseja-se pesar uma girafa. Devido a seu tamanho, usam-se
duas balanças idênticas do seguinte modo: colocam-se as patas dianteiras
sobre a balança 1 e as traseiras sobre a balança 2, como mostra a figura.
Com a girafa em repouso, a balança 1 indica 400 kgf e a balança
2 indica 300 kgf. Qual o peso da
girafa?
a) 800 kgf
b) 700 kgf
c) 100 kgf
d) 400 kgf
5. A força de atração que a Terra
exerce sobre um corpo em sua superfície é:
a) o atrito.
b) a normal.
c) a tração.
d) o peso.
CAPÍTULO 9
equilíbrio
ABSOLUTISMO
do corpo extenso
CAPÍTULO 9
EquilÍbrio do CorPo ExtEnSo
PLANEJANDO A ROTA
N
o capítulo 8, tratamos do equilíbrio da partícula, em que as dimensões do corpo eram desprezíveis, isto é, não tinham importância.
Quando analisamos o equilíbrio, por exemplo, de um corpo extenso
que possa girar em torno de um eixo de rotação, devemos levar em
consideração dois aspectos:
Chamamos de momento ou torque o “poder de rotação” de uma
força.
Vejamos um exemplo simples que trata do equilíbrio do corpo extenso: uma gangorra equilibrada por dois meninos de pesos diferentes.
Sendo PB > PA (representam os pesos de B e A respectivamente).
Veja que o menino mais pesado sentou-se mais próximo do eixo de
rotação (O), isso porque o seu peso precisa produzir o mesmo efeito
de rotação que o peso do menino mais leve; assim sendo, os momentos ou torques provocados pelas ações desses dois pesos são iguais.
A N O T A Ç Õ E S
-
112
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
INVESTIGANDO CAMINHOS
A expressão matemática para calcular esses momentos ou torque é:
m = F x d, na qual d é a distância perpendicular entre a força e o eixo
de rotação.
Unidade:
Newton x metro (N . m)
quilograma-força x centímetro (kgf . cm)
s
M=P.d
M’ = P’ . d’
Como a gangorra está em equilíbrio na posição horizontal, teremos:
Repare que as forças envolvidas são: a força
os pesos e dos meninos.
de reação do apoio e
Observe que o menino mais pesado gira no sentido horário, enquanto o
outro gira no sentido anti-horário, logo seus momentos terão sinais diferentes.
Costumamos, por convenção, considerar como negativo o sentido horário.
Sendo assim, teremos:
Você deve estar se perguntando: “E o momento da força normal
não foi calculado?”
,
O momento da força normal vale zero, pois ela se encontra sobre o
eixo de rotação, logo não existe uma distância perpendicular entre ela e
o eixo de rotação. Concorda?
Sempre que uma força passar sobre o eixo de rotação em relação ao
qual estivermos calculando o momento, seu momento será nulo.
Para que você possa compreender melhor a importância da grandeza
momento de uma força, considere que o peso P do menino mais leve seja
de 250N e que a distância d representada na figura seja de 3m. Sendo o
peso do outro menino de 450N, qual a distância d’ para que a gangorra
fique em equilíbrio na horizontal?
113
EQUIlÍBRIO DO CORPO EXTENSO
Aplicando
A N O T A Ç Õ E S
Observe, então, que o menino mais leve “compensou” o peso do outro,
ficando mais longe do eixo de rotação. Isso significa que quanto maior a
distância perpendicular da força ao ponto de rotação, maior o momento.
Podemos aplicar este conceito em várias ferramentas, como alicates,
chaves de fenda, chaves de roda, chaves de boca etc.
Como você sabe, estas ferramentas têm como finalidade ampliar forças,
facilitando a nossa vida na realização de muitas tarefas.
Vejamos inicialmente o alicate.
f
Alicate cortando um fio
Como os momentos ou torques são iguais em relação ao eixo de rotação
(0), podemos escrever:
f.d=F.D
e, se dividirmos
, obtemos a vantagem mecânica dessa ferramen-
ta. Você deve observar que, quanto menor for a distância d (chamada de
braço da força), maior será a vantagem mecânica da ferramenta (alicate).
chave de boca
Para calcular o torque ou momento de
força do operador, devemos proceder assim:
M = F . r, em que
representa a força exercida no cabo da chave.
chave de fenda
(força saindo do
plano da folha)
(força entrando do
plano da folha)
-
114
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Para determinarmos esses torques, devemos observar que a mão do
operador exerce duas forças paralelas de sentidos opostos, formando um
binário de forças.
Veja o exemplo abaixo.
binário
Assim sendo, o torque ou momento resultante no cabo e na fenda do
parafuso será dado por:
no cabo  M = 2 . F . d
na fenda  M = 2 . F’ . d‘
Como esses momentos ou torques são iguais, podemos igualar tais
equações.
Esta equação representa a vantagem mecânica da ferramenta:
Vamos aplicar estes conhecimentos? Então, acompanhe, com atenção,
a resolução dos exercícios a seguir.
1. Uma pessoa usa a chave de fenda
esquematizada na figura ao lado para retirar
um parafuso:
Dados: d = 0,75cm
d’ = 0,25cm.
a) Usando a expressão
, determine a
vantagem mecânica dessa ferramenta.
b) Qual o torque exercido pela mão da
pessoa, sabendo que ela aplica forças
iguais a 8N?
c) Sabendo que o torque exercido pela
pessoa é igual ao produzido na cabeça
do parafuso, determine a força exercida na cabeça do parafuso.
solução:
a)
Isso significa que a força exercida pela fenda na cabeça do parafuso
é três vezes maior do que a exercida pela mão da pessoa no cabo. Daí ser
chamada de vantagem mecânica, concorda?
115
EQUILÍBRIO DO CORPO EXTENSO
b) Sabemos que M = 2F. d, porém repare que a distância d foi
dada em cm e a força F em newtons. Para que o torque seja
fornecido em N.m, precisamos ajustar as unidades.
Passando d para metros, teremos: d = 0,0075m.
Agora podemos aplicar: M = 2F . d = 2 x 8 x 0,0075 = 0,12Nm
c) Você já sabe que a força exercida pela fenda na cabeça do parafuso é três vezes maior do que F (força exercida pela mão da
pessoa no cabo), mas vamos conferir:
2. Um carrinho de pedreiro, de peso P = 800 N, é mantido em equilíbrio
na posição mostrada na figura. Qual a força, em N, exercida pelo pedreiro?
Solução:
Observe que a força que o pedreiro faz é menor do que o peso total
do carrinho.
A N O T A Ç Õ E S
-
116
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
3. (UFRJ) Um jovem e sua namorada passeiam de carro por uma estrada
e são surpreendidos por um furo num dos pneus. O jovem, que pesa 750N,
pisa na extremidade de uma chave de roda, inclinada em relação ao eixo
horizontal, como mostra a Figura 1, mas só consegue soltar o parafuso
quando exerce sobre a chave uma força igual ao seu peso.
750 N
30 cm
20 cm
figura 1
A namorada do jovem, que pesa 510N, encaixa a mesma chave, mas na
horizontal, em outro parafuso, e pisa na extremidade da chave, exercendo
sobre ela uma força igual ao seu peso, como mostra a Figura 2.
510 N
30 cm
figura 2
Supondo que este parafuso esteja tão apertado quanto o primeiro, e
levando em conta as distâncias indicadas nas figuras, verifique se a moça
consegue soltar tal segundo parafuso. Justifique sua resposta.
solução:
Vamos calcular os momentos de cada um dos jovens.
Comecemos pelo momento do rapaz:
M = F.d, em que F é o peso do rapaz P = 750N e d = 20cm = 0,20m
(distância perpendicular ao eixo de rotação da chave de roda).
Sendo assim , o momento do rapaz será:
M = 750 x 0,20m = 150 N.m
Cálculo do momento da moça:
M = F.d com F= Pmoça = 510 N e d = 30cm = 0,30m
M = 510 . 0,30 = 153 N.m
resposta: A moça conseguiu soltar o parafuso, pois seu momento é
maior do que o momento do rapaz.
117
EQUIlÍBRIO DO CORPO EXTENSO
A N O T A Ç Õ E S
DESAFIOS DO PERCURSO
Agora, faça você!
1. Uma porca pode suportar, no máximo, 80N.m de torque. Utilizando
uma chave de boca como mostra a figura, determine a força máxima para
o aperto da porca.
R.
2. Um carro se encontra em repouso sobre uma ponte de 80 m de
comprimento e peso 105 N, de acordo com a figura abaixo. Determine a
força que cada pilar exerce sobre a ponte.
A
B
Dado:
Peso do carro 8000 N
R.
3. A figura mostra uma balança de braços iguais desequilibrada. Que
força devemos exercer no prato da direita para que a balança fique equilibrada na posição horizontal?
g = força da gravidade
Fg = 50 N
g
R.
-
118
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
4. Uma pessoa deseja usar uma chave de fenda para retirar um parafuso.
Dados:
D = 1,2cm
d = 0,24cm
Sendo a vantagem mecânica dessa ferramenta VM = D/d, calcule tal vantagem
mecânica.
R.
5. Ainda em relação ao exercício 4, determine:
a) O torque exercido pela mão da pessoa, sabendo que ela aplica
forças iguais a 10N;
R.
b) Sabendo que o torque exercido pela pessoa é o mesmo produzido
na cabeça do parafuso, calcule a força exercida na cabeça do
parafuso.
R.
6. Determine a vantagem mecânica de um alicate, de acordo com a
figura abaixo:
7 cm
R.
3 cm
fio
AMPLIANDO O HORIZONTE
ReFeRênCiaS BiBLiOGRÁFiCaS
GUIMARÃES, Luiz Alberto e FONTE BOA, Marcelo. Física para o 2° Grau
(Mecânica). Harbra
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. Scipione, 1v.
GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física). Física 1
(Mecânica). São Paulo: EDUSP (Editora da Universidade de
São Paulo).
119
EQUIlÍBRIO DO CORPO EXTENSO
A N O T A Ç Õ E S
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. (UFRJ) A Figura 1 mostra o braço de uma pessoa (na horizontal)
que sustenta um bloco de 100 N em sua mão.
figura 1
A Figura 2 mostra um modelo mecânico equivalente. A força F é exercida pelo bíceps sobre o osso rádio. A força F é exercida pelo osso úmero
sobre a articulação 0. Calcule o módulo da força F.
a) 700N
b) 800N
c) 900N
d) 990N
figura 2
2. Um carrinho de mão de peso total P = 700N é mantido em equilíbrio na posição mostrada na figura. Calcule a força exercida pelo homem.
a) 300N
b) 262,5N
c) 200N
d) 364N
3. Um homem usa uma chave de boca para apertar uma porca. Sabendo que o torque necessário para dar o aperto final vale 120 N.m, calcule
o valor de F.
a) 480N
b) 600N
c) 500N
d) 700N
-
120
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
4. Uma barra está na posição vertical, podendo girar em torno do ponto
0. Qual a força que produz o maior torque em torno do ponto 0? Todas
as forças têm o mesmo módulo.
a) II
b) III
c) I
d) IV
5. (UFRJ) A figura mostra uma haste rígida e homogênea presa no
ponto central A, porém livre para girar no plano da figura. A garotinha
consegue manter a haste em equilíbrio, apesar de o atleta ser mais forte
do que ela e estar fazendo uma força vertical para baixo, esforçando-se
ao máximo. Explique como isso é possível.
a) F . da = F9 . d9
b) F . da >F9 . d9
c) F . da <F9 . d9
d) Isso não é possível.
C A P Í T U L O 10
LEIS DE NEWTON
C A P Í T U L O 10
lEiS dE nEWton
PLANEJANDO A ROTA
A N O T A Ç Õ E S
N
os capítulos anteriores, estudamos os movimentos sem a preocupação de discutir suas causas. No entanto, todo mundo sabe que,
para produzir o movimento de um corpo, é necessária a ação de uma
força, não é? Mas será que, para mantermos um movimento, a força
tem que continuar atuando? Ou é possível um movimento sem força?
Desde a Antiguidade até o século XVII, várias teorias foram criadas
para explicar a relação existente entre força e movimento.
Até que, em 1687, Isaac Newton, apoiado nas ideias de Galileu
e de outros grandes cientistas, publicou sua obra-prima “Princípios
Matemáticos da Filosofia Natural”, na qual encontramos as bases da
Mecânica Clássica, válidas até hoje.
Fazem parte desta obra as três leis que estudaremos neste capítulo.
INVESTIGANDO CAMINHOS
Vamos, através de situações do nosso cotidiano, analisar as leis de
Newton. Consideremos uma bola recebendo uma tacada com uma força
constante e horizontal sobre uma mesa de sinuca.
= força resultante
m = massa da bola
t1
∆t
t2
∆t = t2 – t1
Despreze as resistências
-
124
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Inicialmente, a bola estava parada (V0 = 0). Durante a tacada, a bola
adquiriu uma velocidade. Portanto, a força produziu na bola uma aceleração (variação de velocidade).
Não é difícil perceber que quanto maior for a força aplicada (mais
forte a tacada), maior será a velocidade adquirida pela bola (e, portanto,
maior será sua aceleração).
Por outro lado, se aplicássemos a mesma tacada numa outra bola de
maior massa que a da bola de sinuca, você acha que esta bola adquiriria
a mesma aceleração?
É evidente que não! A aceleração desta bola será menor, não é mesmo?
Portanto, já podemos concluir que a aceleração adquirida por um corpo
depende da força aplicada: quanto maior a força, maior será a aceleração. Porém, depende também da massa: quanto maior a massa, menor
a aceleração.
Uma outra situação cotidiana ilustra bem este fato.
Você chega a um supermercado e vai empurrando tranquilamente o
carrinho vazio. À medida que você vai enchendo-o de compras, fica cada
vez mais difícil empurrá-lo, não fica?
Como se explica? Ao enchê-lo, você aumenta a massa (quantidade de
matéria) do carrinho; logo, para produzir a mesma aceleração, você terá
que aumentar a força.
O princípio fundamental da dinâmica ou segunda lei de Newton
trata exatamente disso, ao estabelecer que:
A aceleração adquirida por um corpo é diretamente proporcional
à força resultante aplicada e inversamente proporcional à sua
massa.
A expressão matemática desta lei é:
=m.
( representa a força resultante e tem a mesma
direção e sentido de )
No movimento retilíneo retardado, a resultante tem a mesma
direção do movimento, porém sentido contrário.
125
lEIS DE NEWTON
Vejamos algumas aplicações:
A N O T A Ç Õ E S
1. Um corpo de massa 5 kg está apoiado sobre uma superfície horizontal perfeitamente lisa, conforme a figura abaixo:
Qual a aceleração adquirida pelo bloco?
solução:
Como você pode ver, a força
lei, teremos:
(A direção e o sentido de
é a resultante. Aplicando a segunda
são iguais aos de
).
2. Sobre um carrinho de massa 2 kg, atuam as forças colineares
F1 = 15N e F2 = 5N, conforme indica a figura. Admitindo-se ausência de
atrito, qual será a aceleração resultante do carrinho?
solução:
Agora o valor da resultante será: FR= F1 – F2 = 15 – 5 = 10N, e seu
sentido é para a direita, acompanhando o sentido da força de maior módulo (F1).
Sendo a massa do carrinho igual a 2 kg, teremos:
(A direção e o sentido
de são iguais aos de
.)
A força-peso, citada no capítulo 8, também pode ser escrita de acordo
com a lei fundamental, pois, muitas vezes, o peso é a força resultante.
Assim:
=m.
Logo
=m.
em que
é a aceleração da gravidade.
Observe que peso e massa são grandezas diferentes.
peso é uma força. É medida em newtons (N), quilograma-força (kgf)
etc.
-
126
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Massa é a quantidade de matéria do corpo ou, ainda, a “capacidade
que o corpo tem de resistir a mudanças em sua velocidade” (lembre-se
do exemplo do carrinho de supermercado).
É medida em quilogramas (kg), gramas (g), toneladas (ton) etc.
Então, a massa de um corpo será a mesma na Terra, na Lua ou em
qualquer outro lugar.
O peso deste mesmo corpo vai depender da aceleração da gravidade
( ) do local onde o corpo se encontra.
Por exemplo:
Um astronauta tem massa de 120 kg. Qual o peso do astronauta na
Terra? E na Lua?
Dado que g T = 10m/s2 e g L = 1,6m/s2.
Solução:
O peso do astronauta na Terra será:
P = m.gT
P = 120 x 10 = 1.200N
Na Lua:
P = m.gL
P = 120 x 1,6 = 192N
Observe que apesar de a força de atração da Lua sobre o astronauta ser
pequena, em comparação com a da Terra, ela existe. Muita gente pensa
que não existe gravidade na Lua, mas, como você vê, isto não é verdade.
Veja, nos cálculos, que a massa do astronauta é invariável, ou seja, é
a mesma na Terra e na Lua.
Outra situação em que se aplica a segunda Lei de Newton é quando
um carro faz uma curva plana e horizontal:
A força de atrito ( ) representa a força centrípeta ( ) ou resultante
centrípeta:
127
lEIS DE NEWTON
Como você sabe, a resultante centrípeta é responsável pela mudança da
direção do vetor velocidade. Se a pista estiver escorregadia, como acontece no início de uma chuva fina que se mistura com a terra e com óleo, o
carro poderá não fazer a curva, derrapar e seguir em linha reta por inércia.
Mas isso já é assunto para outra lei.
O pRinCípiO da inéRCia Ou pRiMeiRa Lei de newtOn
Esta lei diz que:
Todo corpo continua em seu estado de repouso ou de movimento em linha reta com velocidade constante, a menos
que seja obrigado a alterar esse estado pela ação de uma
força resultante.
No caso do carro fazendo a
curva, quando a força de atrito
deixou de atuar, o carro prosseguiu por inércia, ou seja, seguiu
em linha reta com velocidade
constante.
inércia é a propriedade geral
da matéria de resistir a qualquer
variação em sua velocidade.
Assim, se um corpo estiver
em repouso, ele permanecerá em repouso, se estiver em movimento, permanecerá em movimento, até que uma força externa passe a atuar sobre ele.
Você já deve ter sentido na “pele” a lei da inércia em algumas das
situações a seguir:
Carro freiando
Carro acelerando
O cavalo estanca
diante de um
obstáculo.
Você é lançado
para a frente.
Você é jogado para frente, pois,
por inércia, quer manter sua
velocidade.
Você é jogado para trás.
Daí a exigência do uso do cinto de segurança nos automóveis, percebeu?
Então, sempre que a resultante das forças que atuam num corpo
for nula, ou ele estará em repouso ou em movimento retilíneo uniforme
(MRU).
Sendo assim, tanto o repouso como o MRU são situações de equilíbrio.
A N O T A Ç Õ E S
-
128
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Como você pode ver, o movimento retilíneo uniforme dispensa a
presença de uma força para se manter. Logo, é possível um movimento
sem força!
Vejamos agora algumas aplicações numéricas da primeira lei:
1. Um corpo de peso 50N encontra-se suspenso
por um fio, em equilíbrio. Quanto vale a força de
tração exercida pelo fio?
solução:
Se o corpo está em equilíbrio, então:
= 0, donde T – P = 0, logo T = P = 50N.
2. Para empurrar um móvel com velocidade constante, você deve
exercer uma força horizontal do módulo 150N. O valor da força de atrito
que o chão exerce sobre o móvel é:
a) maior que 150N.
b) menor que 150N.
c) igual a 150N.
d) não pode ser determinada sem se conhecer a massa do móvel.
solução:
Se o móvel se desloca com velocidade constante em linha reta, ele
está em equilíbrio, logo:
= 0 , donde F – Fat = 0 , logo F = Fat= 150N.
resposta: letra c.
O pRinCípiO da açãO e ReaçãO Ou teRCeiRa Lei de newtOn
Para explicar esta lei, vamos considerar algumas situações rotineiras,
como andar, chutar uma bola, provocar a colisão de duas bolas de bilhar etc.
Estas situações são aplicações da terceira lei, que diz:
A toda ação corresponde uma reação do mesmo módulo,
mesma direção, mas de sentido contrário.
Então, quando anda, você empurra o chão para
trás (ação); o chão empurra você para a frente.
129
lEIS DE NEWTON
Embora você não perceba, ao chutar uma
bola (ação), a bola também chuta seu pé (reação).
Com as bolas de bilhar acontece o mesmo:
as forças trocadas entre elas constituem um par
ação e reação.
É assim em todas as interações entre dois
corpos.
Vejamos outros exemplos:
A bolinha bate na mesa, a
massa reage, exercendo uma
força de mesma intensidade
na bolinha.
A Terra atrai a Lua; esta reage
puxando-a com uma força do
mesmo valor.
O foguete empurra para trás
os gases produzidos no seu
interior; os gases empurram o
foguete para frente.
O remo empurra a água (força
); a água reage, exercendo
no remo uma força da mesma
intensidade, mesma direção e
sentido oposto (força - ).
Como você pôde ver, as forças de ação e reação atuam em corpos
diferentes, logo uma não anula a outra, apesar de possuírem o mesmo
módulo, mesma direção e sentidos contrários.
A N O T A Ç Õ E S
-
130
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Para saber mais, acompanhe a resolução dos exercícios a seguir.
1. Um menino chuta uma pedra, exercendo, nela, uma força de 3 kgf.
a) Quanto vale a reação desta força?
b) Qual o corpo que exerce esta reação?
c) Onde se encontra aplicada esta reação?
solução:
a) Ação e reação têm mesmo valor, logo a força de reação também
vale 3 kgf.
b) A pedra, pois foi ela que sofreu a ação.
c) No pé do menino, pois o corpo que faz a ação recebe a reação.
2. Suponha que o valor do seu peso seja de 640N. Como você sabe, o
peso é uma força que atua sobre você na direção vertical e dirigida para
baixo.
a) Qual o corpo que exerce esta força sobre você?
b) Onde está aplicada a reação do seu peso, qual o seu valor, direção e
sentido?
solução:
a) A Terra.
b) Na Terra (quem faz a ação recebe a reação); 640N (ação e reação
têm o mesmo valor); vertical (a mesma direção da ação); para
cima (o sentido contrário ao da ação).
Tudo entendido até aqui?
Esperamos que sim, porém ainda precisamos aprofundar nossos conhecimentos. Para isso, resolveremos outros exercícios envolvendo as
três leis de Newton.
acompanhe com atenção.
1. Uma força horizontal F de 150N é aplicada ao bloco A, de 40 kg,
o qual está encostado em um segundo bloco B, de 20 kg. Considere sem
atrito a superfície horizontal na qual os blocos se encontram.
a) Qual a aceleração adquirida pelo conjunto?
b) Qual o valor da força que A exerce em B?
131
lEIS DE NEWTON
solução:
A N O T A Ç Õ E S
Inicialmente vamos representar as forças de direção horizontal que atuam nos corpos A e B.
Repare que F é a força externa exercida
sobre A e f é a força que B exerce em A,
por estar encostado.
Observe que A também exerce em B uma
força da mesma intensidade, mas de sentido
contrário.
Assim:
a) Aplicando a segunda lei ( = m . ) para cada um dos corpos,
teremos:
F – f = mA . a (corpo A)
f = mB . a (corpo B)
Somando membro a membro as duas equações, resultará:
F = (mA + mB) . a
Substituindo os valores, teremos:
150 = (40 + 20) . a
150 = 60 . a, donde a = 2,5 m/s2
b) f = mB . a
f = 20 x 2,5 = 50N
resposta: A aceleração do conjunto é de 2,5 m/s, e a força que A
exerce em B é de 50N.
2. Ricardo e Cláudio sustentam um objeto de peso de 120 kgf,
mantendo-o em repouso. A força que Ricardo exerce é duas vezes maior
que a exercida por Cláudio. Se ambas são verticais, elas então valem,
respectivamente:
a) 120 kgf e 60 kgf
b) 60 kgf e 30 kgf
c) 80 kgf e 40 kgf
d) 240 kgf e 120 kgf
solução:
Se o corpo está em repouso, então
= 0. Chamando de F a força
exercida por Cláudio e de 2F a exercida por Ricardo, teremos:
2F + F – P = 0
3F=P
3F = 120, donde F = 40N (força exercida por Cláudio).
Logo, a força exercida por Ricardo, que é duas vezes maior, será 80N.
-
132
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
DESAFIOS DO PERCURSO
Agora, faça você!
1. (UFRJ) A figura representa uma caixa que desce verticalmente com
velocidade constante, presa a um cabo de aço.
a) Compare o módulo da força f exercida pelo cabo sobre a caixa com o
módulo do peso P da caixa. Verifique
se:
Justifique a resposta.
b) Em que corpo está aplicada a reação
à força ?
R.
2. (UNIRIO) O passageiro de um táxi vem sentado no banco traseiro,
bem atrás do motorista. De repente, o táxi faz uma curva fechada para a
esquerda e o passageiro, que estava distraído, acaba atirado para a direita
do motorista. Essa situação pode ser explicada pelo princípio do(a):
a) inércia.
b) ação e reação.
c) conservação da energia.
d) interferência.
e) retorno inverso.
R.
3. (UFRJ) A figura ilustra um dos mais antigos modelos de automóvel
a vapor, supostamente inventado por Newton. Basicamente ele possui
uma fonte térmica e um recipiente contendo água que será aquecida para
produzir o vapor. O movimento do automóvel ocorre quando o motorista
abre a válvula v, permitindo que o vapor escape. Utilizando seus conhecimentos dos princípios da mecânica, explique como é possível a esse
automóvel locomover-se.
R.
133
lEIS DE NEWTON
4. (UFRJ) A figura representa o carrinho usado no plano inclinado do
Outeiro da Glória. No instante focalizado, uma moça de 60 kg está de pé
sobre o piso horizontal do carrinho e em repouso em relação a ele. O carrinho, no entanto, tem uma aceleração paralela ao plano inclinado, para
cima, e de módulo igual a 1,5 m/s².
Determine a direção e o sentido
da soma das forças que atuam sobre a
moça no instante considerado e calcule
seu módulo.
R.
5. (UFRJ) Um jogador de basquete cobra um lance livre. A trajetória
da bola, supondo desprezível a resistência do ar, está mostrada na figura.
Determine a direção e o sentido da
resultante das forças que atuam sobre
a bola, no instante em que ela se encontra na posição indicada na figura,
e calcule seu módulo, sabendo que a
massa da bola é igual a 0,65 kg e que,
no local, a aceleração da gravidade é
igual à 10m/s². Justifique sua resposta.
R.
6. Uma moto se move a 72 km/h numa estrada horizontal plana. A
resultante de todas as forças que agem na moto é zero. Nessas condições,
a velocidade da moto:
a) diminuirá de forma constante;
b) diminuirá de forma variável;
c) aumentará de forma constante;
d) aumentará de forma variável;
e) continuará a ser de 72 km/h.
R.
7. O sistema representado na figura (carrinhos da mesma massa
m = 4 kg, ligados por fios ideais) está inicialmente em repouso, podendo
mover-se com atritos desprezíveis sobre trilhos horizontais.
Aplica-se sobre o carrinho C uma força constante de intensidade 24N,
paralela aos trilhos e dirigida para a
direita.
a) Qual a aceleração do sistema?
b) Qual a intensidade da força de tração que liga os carrinhos A e B?
c) Qual a intensidade da força de tração que liga os carrinhos B e C?
R.
A N O T A Ç Õ E S
-
134
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
8. (VUNESP) Calcule o módulo da
aceleração no movimento da descida
espontânea do corpo mais pesado do
conjunto esquematizado abaixo. Considere a aceleração da gravidade g =
9,8m.s -2. Despreze os atritos, o peso do
fio e a massa da polia.
Dados: m1 = 0,50 kg, m2 = 0,060 kg.
R.
9. (UFRJ) A figura abaixo representa um carro-guincho de 1.500 kg que puxa, por meio de um cabo, um
automóvel de 900 kg numa estrada retilínea e horizontal. O cabo pode
ser considerado ideal inextensível e de massa desprezível. No instante
focalizado na figura, o sistema carro-guincho/automóvel possui uma
aceleração horizontal a.
a) Compare a força f’ exercida pelo carro-guincho sobre o automóvel através do cabo com a força f exercida pelo automóvel
sobre o carro-guincho através do cabo e verifique se
. Justifique sua resposta, indicando a lei física em que você baseou sua conclusão.
b) Calcule a razão
entre o módulo da resultante
forças que atuam sobre o carro-guincho e o da resultante
forças que atuam sobre o automóvel.
das
das
R.
10. Duas forças F1 e F2, aplicadas a uma partícula, são perpendiculares entre si. Sabendo que suas intensidades são, respectivamente, iguais
a 12N e 16N, determine:
a) a intensidade da resultante;
b) a aceleração da partícula, que tem 4 kg de massa.
R.
135
lEIS DE NEWTON
A N O T A Ç Õ E S
AMPLIANDO O HORIZONTE
GLOSSÁRiO
Referencial inercial – referencial sem aceleração.
ReFeRênCiaS BiBLiOGRÁFiCaS
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. Scipione, I v.
GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física). Física 1
(Mecânica). São Paulo: EDUSP (Editora da Universidade de
São Paulo).
GUIMARÃES, Luiz Alberto e FONTE BOA, Marcelo. Física para o
2º grau (Mecânica). Harbra.
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. (PUC) Um corpo que se desloca com velocidade constante é
submetido a uma força constante de duração muito pequena. Qual das
figuras seguintes melhor representa a aceleração recebida pelo corpo?
a)
c)
b)
d)
2. (MACK) Uma força constante age sobre um corpo de 100 kg e
em 5s varia sua velocidade de 10m/s para 15 m/s. A intensidade mínima
dessa força deve ser de:
a) 1.500N
b) 1.000N
c) 500N
d) 100N
-
136
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
3. (VUNESP) A figura mostra dois blocos sobre uma mesa lisa, plana
e horizontal.
Sendo F= 50N, m1 = 2 kg e
m2 = 3 kg, a força de contato
entre os blocos é:
m1
a) 17N
b) 30N
c) 25N
d) 20N
m2
4. Dois estudantes estão sentados, de frente um para o outro, em cadeiras de escritório de rodinhas idênticas. O estudante A, de massa igual a
80 kg, empurra o estudante B, cuja massa é de 60 kg. Qual das afirmações
abaixo é verdadeira?
a) A exerce força sobre B, mas B não exerce força sobre A.
b) Cada estudante exerce força sobre o outro, mas B exerce força
maior sobre A.
c) Cada estudante exerce força sobre o outro, mas A exerce força
maior sobre B.
d) Cada estudante exerce sobre o outro a mesma força.
5. (PUC) Dois carrinhos, de 0,1 kg e 0,05 kg de massa, ligados entre si,
são puxados horizontalmente por uma força de 0,6N. Desprezando atritos,
a força sobre o carrinho de maior massa é, em newtons, de:
a) 0,10
b) 0,15
c) 0,2
d) 0,4
0,1 kg
0,05 kg
0,6N
C A P Í T U L O 11
ENERGIA CINÉTICA
C A P Í T U L O 11
ENERGIA CINÉTICA
PLANEJANDO A ROTA
A N O T A Ç Õ E S
N
o segundo trimestre de 2001, manchetes, como as seguintes,
ganharam destaque nos meios de comunicação:
Como o Brasil saltou no escuro
• Falta de planejamento, privatização malfeita e FMI levam o
país ao racionamento.
Guia do racionamento • Brasil à
meia-luz
• Começa amanhã a
guerra para economizar 20% de energia.
• Saiba como poupar,
evitar corte de luz e
reclamar direitos.
Energia & meio ambiente
• Empresas buscam o equilíbrio entre pesquisa e exploração de
novas matrizes energéticas e a proteção do meio ambiente.
Conta mais cara • Casa mais escura
• Entenda o plano do governo para a crise energética.
Gás, uma promessa que se torna real
Você se lembra? E então, o brasileiro teve que mudar seus hábitos
em relação ao consumo de energia elétrica. Foi preciso reduzir o
tempo do banho; não dormir sem antes desligar a televisão; trocar as
lâmpadas por outras mais econômicas etc.
-
140
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Tudo isso nos mostra como a energia está presente em nossas vidas.
Não apenas a energia elétrica como também outras formas de energia,
tais como:
• a química: contida nos alimentos, nas pilhas, nas baterias;
• a térmica: liberada na combustão da gasolina ou do álcool;
• a nuclear: dos núcleos dos átomos;
• a solar: sem a qual não existiria vida na Terra;
• a mecânica (potencial e cinética): associada ao movimento;
• a luminosa, a sonora etc.
Não resta, portanto, nenhuma dúvida sobre a importância deste assunto,
concorda? Mas, afinal, o que é energia?
Esta é uma pergunta que deixaria embaraçados até os físicos mais
brilhantes da atualidade, pois eles mesmos reconhecem que o conceito
de energia não possui uma definição clara.
Podemos, entretanto, dizer que:
Um corpo ou sistema de corpos possui energia, quando
ele é capaz de produzir movimento, de fazer com que as
coisas funcionem.
INVESTIGANDO CAMINHOS
Começaremos o estudo da energia, de suas transferências e transformações, conceituando energia cinética.
Energia cinética: é a energia que um corpo possui em virtude de seu
movimento.
Um martelo pode cravar um prego graças à energia que possui por
estar em movimento. O mesmo não aconteceria se o martelo estivesse
em repouso, concorda?
Da mesma forma, a água em movimento pode acionar uma turbina.
141
ENERGIA CINÉTICA
•
A usina hidrelétrica gera energia a partir da água dos rios. Neles, são
construídas barragens, que criam reservatórios de água, e quedas de
água, feitas com tubulações, para a água girar numa turbina (um tipo
de roda com pás). A água bate nas pás, que fazem girar a turbina. A
turbina faz girar um gerador ligado a ela e que produz a eletricidade.
•
A energia elétrica é levada a uma estação chamada “subestação elevadora”. Ali, a energia adquire alta voltagem (tensão elétrica).
•
A energia elétrica é então levada por cabos a “estações rebaixadoras”,
para diminuir a voltagem.
•
A seguir, a energia elétrica viaja por fios até as cidades. Os fios são
fixados em postes com transformadores. Eles diminuem mais ainda a
voltagem da energia elétrica, que se transforma em 110 e 120 volts – a
mesma voltagem dos aparelhos eletrônicos que você conhece.
•
Como os fios dos postes das ruas estão ligados aos fios das casas, das
fábricas e dos hospitais (e de todos os lugares da cidade que usam luz
elétrica), a energia elétrica está pronta para ser usada na geladeira, no
chuveiro, no liquidificador etc.
A energia cinética é uma grandeza escalar, relacionada com a velocidade e com a massa de um corpo.
Seu valor é dado por:
Ec = m . v2
2
Esta expressão nos “diz” que:
• quanto maior a massa de um corpo, maior será a sua energia
cinética;
• a energia cinética varia com o quadrado da velocidade, ou seja,
se a velocidade dobra, a energia cinética torna-se quatro vezes
maior (quadruplica); se a velocidade triplica, a energia cinética
torna-se nove vezes maior e assim por diante.
unidades de Medida
A energia cinética, como qualquer outra forma de energia, pode ser
medida em: calorias (cal), quilowatt-hora (kWh) ou joule (J).
Neste módulo, usaremos apenas o joule (leia: jáule), por ser esta a
unidade do sistema internacional.
A N O T A Ç Õ E S
-
142
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Vejamos um exemplo de aplicação:
Um carro de massa 800 kg possui velocidade de 20m/s. Qual a sua
energia cinética?
Ec = m . v2
2
Ec = 800 x 202 = 160.000J ou 1,6 x 105J
2
Preste atenção: para obtermos a energia em joules, a massa do corpo
deve ser dada em kg e a velocidade, em m/s. Caso não estejam nestas
unidades, você terá que fazer as devidas transformações, está bem?
DESAFIOS DO PERCURSO
1. Um carro desenvolve uma velocidade de 30 m/s numa estrada
plana e horizontal. Sabendo que a massa do carro é de 800 kg, qual a sua
energia cinética?
R.
2. (UNIRIO) Quando a velocidade de um móvel duplica, sua energia
cinética quadruplica ou duplica?
R.
3. (FCC-BA) Na tabela estão indicadas as velocidades escalares e as
massas de dois corpos (A e B):
velocidademassa
corpo A – v
2M
corpo B – 2v
M
Qual é a relação entre as energias cinéticas (EA e EB) dos dois corpos?
R.
4. Uma bola de borracha é atirada contra um muro. No instante do
choque com o muro, sua velocidade é de 8 m/s. Quando a mesma bola se
choca com o muro com velocidade igual a 16 m/s, a nova energia cinética
é quantas vezes maior que a primeira?
R.
143
ENERGIA CINÉTICA
5. Uma bola de handebol tem massa de 450 g. Se ela foi arremessada
com uma velocidade de 72 km/h, qual a sua energia cinética?
R.
6. A energia cinética de um corpo, que se move com velocidade de
5 m/s, é de 50J. Qual a massa desse corpo?
R.
AMPLIANDO O HORIZONTE
Termelétrica
1. As usinas termelétricas produzem
energia a partir da queima de
matérias encontradas na terra ou
no mar: petróleo, gás natural ou
carvão mineral.
vapor
água
eletricidade
turbina
queima de resíduos
O calor gerado pela queima de um
desses combustíveis aquece a água. Aquecida, a água vira
vapor
2. Esse vapor entra em uma turbina, age sobre suas pás, que
fazem girar um gerador. Assim, é produzida a eletricidade.
A instalação das termelétricas é mais barata, e a construção, mais
rápida do que a da usina hidrelétrica. Mas as usinas termelétricas
soltam gases que poluem o ambiente.
Energia nuclear
vapor
eletricidade
1. O urânio, elemento radioativo encontrado na natureza, é o que gera
água
turbina
a energia nuclear. Ele é colocado
dentro de um recipiente, que faz urânio radioativo
gerar calor. Esse calor esquenta
uma serpentina (tipo de tubo cheio de curvas) com água, que
produz vapor.
2. O vapor faz com que as turbinas, ligadas a um gerador elétrico,
produza eletricidade.
3. Essa fonte de energia não polui o ambiente. O problema é que
o urânio, depois de usado, vira lixo atômico.
O lixo atômico deve ser enterrado longe das pessoas para evitar
a radioatividade. Em 1986, um acidente grave ocorreu na usina
nuclear de Tchernobil, na Rússia. No Brasil, em Angra dos Reis
(RJ), há duas usinas nucleares em operação.
A N O T A Ç Õ E S
-
144
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
eletricidade
Energia eólica
1. É a energia gerada a partir dos ventos.
2. O vento faz girar uma turbina que,
ligada a um gerador de eletricidade,
produz energia elétrica. Essa turbina
parece uma hélice de avião.
turbina
Por depender de ventos fortes, não é muito indicado construir
esse tipo de usina nas regiões Sul e Sudeste do Brasil, pois lá
não há ventos constantes. Esse tipo de usina é mais adequado
ao litoral nordestino.
A desvantagem é que as usinas eólicas, quando usadas em grande
quantidade, enfeiam a natureza, são barulhentas e têm o custo de
energia mais alto do que o das hidrelétricas.
Energia solar
1. Os raios solares também servem de
fonte de energia. Há duas formas
de energia solar: a térmica e a foto-voltaica.
eletricidade
painel fotovoltaico
2. Na fotovoltaica, a energia solar é
captada por painéis especiais, que a
transformam em eletricidade. Esses
painéis esquentam a água ou podem gerar eletricidade.
A vantagem é que esse tipo de energia não polui o ambiente.
Mas é ainda muito cara, e a quantidade de energia gerada é
pequena.
Energia das marés
1. A alta das marés é fonte para gerar eletricidade. Uma barragem é
construída para represar (guardar)
a água quando a maré sobe.
barragem
eletricidade
água
turbina
2. Depois, a água entra numa queda igual à das usinas
hidrelétricas.
3. A água bate em uma turbina com pás que, ligada a um gerador, produz energia elétrica.
Esse tipo de usina não polui o ambiente, mas altera o ecossistema local.
Fonte: José Antônio Jardini, professor titular de engenharia elétrica da Escola Politécnica da USP
No Brasil, a principal fonte de energia é a água dos rios. Geralmente, as chuvas que ocorrem em maior quantidade nos meses de
dezembro, janeiro, fevereiro, março e abril são suficientes para a
produção de energia. Também enchem os reservatórios das usinas
hidrelétricas para os meses do período seco (com pouca chuva): de
maio a novembro.
145
ENERGIA CINÉTICA
Porém, desde 1996 os níveis de água das hidrelétricas ficam cada
vez mais baixos depois do período chuvoso. Além disso, o consumo de
energia está aumentando em cerca de 5% todos os anos.
A crise energética piorou devido à falta de investimento
na diversificação das fontes de energia. Conheça algumas delas nesta
página.
Gabriela Romeu.
Folha de São Paulo, 26 de maio de 2001
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. Scipione, 1 v.
GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física). Física 1
(Mecânica). São Paulo: EDUSP (Editora da Universidade de
São Paulo).
GUIMARÃES, Luiz Alberto e FONTE BOA, Marcelo. Física para o
2º grau (Mecânica). Harbra.
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. Quando a velocidade de um corpo de massa constante reduz-se à
metade, a sua energia cinética:
a) duplica.
b) triplica.
c) fica quatro vezes menor.
d) fica duas vezes maior.
2. A energia cinética de um corpo é de 2.000J e sua massa, 200g. Qual
a sua velocidade?
a) 141,4m/s
b) 14,1m/s
c) 150m/s
d) 161m/s
A N O T A Ç Õ E S
-
146
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
3. Um corpo de massa 5 kg é lançado para cima com velocidade igual
a 5m/s. Desprezando a resistência do ar e considerando g = 10 m/s², qual
a sua energia cinética no instante do lançamento?
a) 0
b) 10J
c) 25J
d) 62,5J
4. Assinale V nas sentenças verdadeiras e F nas falsas:
I . ( ) Todo corpo que se move possui energia cinética.
II. ( ) Dois corpos com a mesma velocidade possuem, obrigatoriamente,
a mesma energia cinética.
III.( ) Se dois corpos de massas diferentes possuem a mesma velocidade, então o de menor massa tem energia cinética menor.
IV. ( ) Se a velocidade de um corpo dobra, sua energia cinética se reduz
à quarta parte.
A sequência correta é:
a) V, V, F, F.
b) V, F, V, F.
c) F, F, V, V.
d) F, V, F, V.
5. Entre as unidades seguintes, aponte aquela que não se aplica à
grandeza física energia:
a) joule
b) caloria
c) cavalo-vapor
d) quilowatt-hora
C A P Í T U L O 12
TRABALHO DE UMA FORÇA
C A P Í T U L O 12
trAbAlHo dE uMA ForçA
PLANEJANDO A ROTA
A N O T A Ç Õ E S
N
a linguagem comum do dia a dia, a palavra trabalho pode apresentar diferentes significados: atividade (intelectual ou física); local
onde se exerce esta atividade; profissão; tarefa; e muitos outros que
você mesmo poderá acrescentar.
Porém, na linguagem da Física, trabalho é:
A quantidade de energia transferida para um corpo
através de uma força.
O trabalho é uma grandeza escalar geralmente representada pela
letra W.
INVESTIGANDO CAMINHOS
Vamos considerar uma caixa sendo empurrada sobre uma superfície
plana e horizontal, a partir do repouso (v = 0), por uma pessoa que exerce
uma força de intensidade constante e paralela ao deslocamento ( ).
sistema caixa + carrinho
força resultante constante paralela
A figura indica que a força resultante está transferindo energia para
o sistema (caixa + carrinho), fazendo com que ele se desloque de A para
B, variando, portanto, a sua energia cinética.
-
150
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Essa variação de energia cinética (∆ec) equivale ao trabalho da
força resultante. Em outras palavras, a energia do sistema variou porque
a força transferiu energia para ele.
Para determinar esse trabalho, basta multiplicar F pelo deslocamento d.
matematicamente, teremos:
WR = F . d
uMa apLiCaçãO nuMéRiCa
Um homem empurra um carrinho ao longo de uma estrada plana,
comunicando-lhe uma força constante, paralela ao deslocamento e de
intensidade 300 N, conforme a figura:
Considerando que o carrinho foi deslocado por 12 m, qual o trabalho
realizado pela força do homem sobre o carrinho?
resolução:
Como a força e o deslocamento têm a mesma direção e sentido, o
trabalho de F fica:
W = F . d = 300 x 12 = 3.600J
Observe que a unidade de medida de trabalho também é o joule (J).
Tinha que ser, já que se trata de uma transferência de energia, não é mesmo?
Bom, até aqui você já sabe como calcular o trabalho de uma força
constante e da mesma direção do deslocamento.
Agora, olhe pare a figura a seguir.
Observe que a força exercida pela pessoa não tem mais a mesma
direção do deslocamento. Neste caso, a força não está sendo totalmente
aproveitada para deslocar a caixa, concorda?
151
TRABALHO DE UMA FORÇA
Como você pode ver, apenas a componente horizontal da força (Fx)
é que “colabora” para o deslocamento. Você já aprendeu no capítulo 3
a decompor uma força, está lembrado? Se não estiver, reestude o item
decomposição de vetores.
Você verá que a componente da força F na direção do deslocamento
é dada por: FX = F.cosθ.
Substituindo o valor de Fx em WR = F.d, podemos apresentar a expressão geral do trabalho de uma força constante:
W = F . cosθ . d em que θ é o ângulo entre F e d.
O exercício seguinte é uma aplicação do que acabamos de estudar.
Acompanhe atentamente a sua resolução.
1 caixa de massa 2 kg é arrastada horizontalmente, num percurso de
10m, pela força indicada na figura. A força de atrito entre a caixa e o solo
vale 5N.
a) Calcule, separadamente, o trabalho de cada força que age no corpo.
b) Calcule o trabalho resultante.
Solução:
a) A figura a seguir mostra todas as forças que agem na caixa.
Teremos então: (Fique de olho na figura!)
Cálculo do trabalho da força F:
WF = F. cosθ . d = 10 . 0,8 .10 = 80J.
Cálculo do trabalho da força normal:
WN = N.cosθ.d = N . cos90º. d = zero.
(Isso acontece porque N é perpendicular ao deslocamento, ou seja,
faz com ele um ângulo de 900 e cos900 = 0.)
Cálculo do trabalho do peso:
WP = P . cosθ . d = 0 (Pelo mesmo motivo anterior!)
A N O T A Ç Õ E S
-
152
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Cálculo do trabalho da força de atrito:
Wfat = fat . cos 180º . d = 5 . (–1) . 10 = – 50J
(observe que o cos =180º = –1, o que introduz o sinal negativo,
indicando que a fat trabalha integralmente contra o movimento).
b) O trabalho resultante (WR) é a soma dos trabalhos de cada força.
Como trabalho é uma grandeza escalar, a soma é algébrica.
WR = WF + WN + WP + Wfat
WR = 80 + 0 + 0 –50 = 30J
A partir deste exercício, podemos concluir que:
• Sempre que a força for perpendicular ao deslocamento de um
corpo, o trabalho realizado pela força será nulo, pois cos90º= 0.
Neste caso, o corpo não perderá nem ganhará energia através
da força.
• Se a força está a favor do deslocamento, transferindo energia
para o corpo, seu trabalho é positivo.
• Se a força atua em sentido contrário ao deslocamento, o trabalho
realizado por ela é negativo, pois ela retira energia do corpo.
Vejamos agora como calcular o trabalho de duas forças muitos especiais:
1. trabalho do peso de um corpo erguido ou abandonado de uma
certa altura (h):
Neste caso, a expressão W = F. cosθ . d, assume a forma: W = p.h, em
que P é a força F e h, o deslocamento (d) vertical a que está submetido o
corpo (repare que o termo cosθ “desapareceu”, porque P e h possuem a
mesma direção).
corpo abandonado
figura 1
figura 2
Para compreender melhor, observe as figuras, enquanto lê o texto a
seguir:
Na figura (1), o corpo é jogado para cima, a força P tem sentido contrário ao deslocamento (h) e o trabalho é negativo. Na figura (2), a força
peso P tem o mesmo sentido do deslocamento e o trabalho é positivo.
Agora acompanhe a resolução de um exemplo.
153
TRABAlHO DE UMA FORÇA
Uma criança de peso 250N desce num
escorregador de 5m de comprimento e 3m
de altura. Qual o trabalho realizado pelo
peso da criança?
solução: W = P x h = 250N x 3m = 750J.
Observe que o comprimento do escorregador não entrou no cálculo,
pois o trabalho do peso, independentemente da trajetória seguida pelo
corpo, será dado pelo valor do peso multiplicado pela altura.
2. o trabalho da força elástica (Fe)
O trabalho da força elástica já não pode ser calculado pelo produto
entre Fe e o deslocamento ∆x, porque esta força não é constante. À medida
que o chumbo de pescaria vai descendo, a força elástica vai aumentando
de valor até que, na posição de equilíbrio, ela se iguala ao peso do
chumbo de pescaria (veja as figuras abaixo).
Forças trocadas entre a mola e o chumbo de pescaria (objeto).
A força elástica depende da deformação que a mola sofre (compressão ou alongamento) e do tipo da mola (dura ou maleável). O seu
módulo é dado por:
Fe = K.∆x, em que k representa a constante elástica da mola (mola mais
dura ou mais macia) e ∆x, a deformação (alongamento ou compressão).
Esta expressão, conhecida como lei de hooke, nos “diz” que quanto
maior for a força elástica (Fe ), maior será a deformação (∆x).
Já a constante elástica (k) de uma mola nos informa quanto de força devemos exercer para produzir uma deformação de 1 unidade. Por exemplo,
se uma certa mola possui constante elástica k = 8N/cm (leia: oito newtons
por centímetro), isso significa que, para deformá-la de 1cm, precisamos
de uma força de 8N.
Vejamos algumas aplicações:
A N O T A Ç Õ E S
-
154
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
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1. Certa mola deforma-se 3cm quando submetida a uma força de 27kgf.
a) Qual a sua constante elástica?
b) Qual a força necessária, em kgf, para deformá-la de 5cm?
resolução:
a) Se Fe = K . ∆x , então k =
b) Fe = k . ∆x = 9 x 5 = 45 kgf
2. O gráfico mostra a deformação de uma mola em função do valor
da força F exercida sobre ela. Qual o valor da constante elástica da mola
em N/m?
solução:
O gráfico mostra que F é proporcional a x, sendo k a constante de
proporcionalidade. Então, para
encontrar o valor de k, você deve
dividir o valor da força pela deformação correspondente.
Assim:
Depois de todas estas considerações a respeito da força elástica,
podemos passar ao cálculo de seu
trabalho. Vamos lá?
Para calcular o trabalho da força elástica, devemos construir o gráfico
da força elástica em função da deformação ∆x (deslocamento).
Vamos dividir a área do triângulo em pequenas deformações ∆x de
modo que a força, nesse trecho, seja praticamente constante e a soma dos
trabalhos nessas deformações (∆x) corresponda ao trabalho efetuado em
todo o deslocamento. O módulo do trabalho da força elástica corresponderá, então, à área do triângulo (base x altura/2). Acompanhe pela figura:
155
TRABAlHO DE UMA FORÇA
A N O T A Ç Õ E S
Quando a mola é comprimida ou alongada, o trabalho da força
elástica é negativo; quando a mola é liberada nessas duas situações, o
seu trabalho é positivo.
Achou complicado? Quem sabe um exemplo ajuda a esclarecer?
Acompanhe com atenção!
O gráfico 3 ao lado mostra a
variação da força (F) exercida
sobre uma mola em função de seu
alongamento (x). Calcule o trabalho realizado pela força elástica
para alongá-la desde a posição x =
0 até a posição x = 0,2m.
solução:
Como a área do triângulo corresponde ao trabalho realizado pela força elástica, vamos calculá-la:
Assim:
Logo, o trabalho será W = –10J (o sinal negativo aparece porque a
mola está sendo alongada)
Um outro exemplo para que
você possa aprender ainda mais:
4. (UFPE) O gráfico ao lado
mostra a variação da força (F) que
atua sobre um corpo em função da
sua posição (x). Qual o trabalho,
em joules, realizado pela força
quando o corpo vai de x = 2m
para x = 6m?
solução:
Agora a figura que “aparece” sob o gráfico, quando o corpo vai de
x = 2m para x = 6m, é um trapézio. A área do trapézio é dada por (olhe
para a figura!)
, em que b (base menor) B (base maior) e h (altura)
Então:
Portanto, o trabalho da força é igual a –32J.
-
156
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
DESAFIOS DO PERCURSO
Agora é com você. Bom trabalho!
1. (UFRN) Um bloco de 8Kg é suspenso por uma mola que
fica distendida de 20 cm. Calcule a constante elástica dessa mola
(g = 10m/s²).
R.
2. (PUC) Os gráficos abaixo mostram a variação da força feita sobre
uma mola (F) em função de seu alongamento (x).
Qual a mola mais dura? Qual o valor da constante elástica desta mola?
a) mola 1; K = 2N/cm
b) mola 3; K = 4N/cm
c) mola 2; K = 2,5N/cm
d) mola 1; K = 4N/cm
e) mola 3; K = 8N/cm
R.
3. (PUC) Os sistemas ilustrados, nos quais o atrito é desprezível, suportam dois corpos, A e B, da mesma massa. A relação entre o trabalho
realizado para elevar o corpo A a determinada altura e o realizado para
elevar B à mesma altura é igual a:
a) 2
b)
c)
d) 1
e)
R.
157
TRABAlHO DE UMA FORÇA
4. (UFF) Um homem de massa 70 kg sobe uma escada, do ponto A ao
ponto B, e depois desce, do ponto B ao ponto C, conforme indica a figura.
Dado que: g = 10 m/s².
O trabalho realizado pelo peso do homem desde o ponto A até o ponto
C foi de:
a) 5,6 x 10 2J
b) 1,4 x 103 J
c) 3,5 x 103 J
d) 1,4 x 102 J
e) 0
R.
5. (UFRJ) Um operário pode elevar um bloco de massa m de duas
maneiras: fazendo-o subir verticalmente (Figura 1) ou fazendo-o subir
num plano inclinado (Figura 2). Considere os fios ideais e os atritos
desprezíveis.
Supondo que, em ambos os casos, o bloco sobe em movimento retilíneo uniforme:
figura 1
figura 2
a) Compare os trabalhos W1 e W2 que o homem realiza nas situações ilustradas nas Figuras 1 e 2, respectivamente, para elevar
o bloco de uma mesma altura h, e verifique se:
W1 > W2; W1 = W2 ou W1 < W2.
R.
e
que o homem exerce sobre a corda
b) Compare as forças
nas situações ilustradas pelas figuras 1 e 2, respectivamente, e
verifique se IF1I > IF2I; IF1I = IF2I; ou IF1I < IF2I.
Justifique sua resposta.
R.
A N O T A Ç Õ E S
-
158
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
6. (UERJ) Uma pessoa pode mover uma caixa de massa empurrando-a
ou puxando-a sobre uma superfície áspera por intermédio de uma força
de módulo F, como é mostrado nas figuras:
θ
θ
Da análise das duas situações ilustradas nas figuras, a afirmativa fisicamente correta é:
a) A pessoa despende a mesma energia empurrando ou puxando
a caixa.
b) A pessoa despende mais energia para empurrar a caixa do que
para puxá-la.
c) A pessoa despende menos energia para empurrar a caixa do
que para puxá-la.
d) Puxando ou empurrando a caixa, a quantidade de movimento
da caixa diminui.
e) Puxando ou empurrando, a quantidade de movimento da caixa
permanece constante.
R.
AMPLIANDO O HORIZONTE
Capítulo 13 de Matemática
ReFeRênCiaS BiBLiOGRÁFiCaS
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. Scipione, I v.
GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física). Física 1
(Mecânica). São Paulo: EDUSP (Editora da Universidade de
São Paulo).
GUIMARÃES, Luiz Alberto e FONTE BOA, Marcelo. Física para o
2º grau (Mecânica). Harbra.
159
TRABAlHO DE UMA FORÇA
A N O T A Ç Õ E S
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. (PUC) O trabalho realizado pela força F = 90N, ao empurrar o
carrinho por uma distância de 2 m, é, em joules:
Dados: sen60º = 0,87; cos60º = 0,50.
a) 25
b) 90
60ª
c) 63
d) 87
e) 100
2. Um móvel de peso igual a 10N é lançado obliquamente, descrevendo
um arco de parábola, conforme o esquema a seguir.
Nessas condições, o valor absoluto, em joules, do trabalho efetuado
pela força peso, no trecho da trajetória compreendido entre A e B, é igual a:
a) 0
B
b) 5
h = 5m
c) 50
d) 100
A
horizontal
3. (UFF) Um motorista empurra um carro sem combustível até o posto
mais próximo. Na primeira metade do trajeto, o motorista empurra o carro
por trás (situação I) e, na segunda metade do trajeto, ele o empurra pelo
lado (situação II).
Nas figuras, está também representada a força que o motorista faz
sobre o carro em cada caso. Sabendo que a intensidade dessa força é
constante e a mesma nas duas situações, é correto afirmar que:
a) A energia transferida para o carro é igual nas duas situações.
b) A energia transferida para o carro é maior na situação I.
c) A energia transferida para o carro é maior na situação II.
d) Ele não consegue transferir energia para o carro.
-
160
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
4. (PUC-SP) A mala A, de 20 kg, pode ser transportada por 10m, na
horizontal, de dois modos: de acordo com as Figuras 1, carregada pela
alça, e 2, puxada pela correia, por uma força de 30 N, que faz um ângulo
de 45º com a horizontal. O atrito entre as rodinhas e o piso é desprezível,
e a aceleração da gravidade no local, 10m/s². Os trabalhos da força peso
em 1 e 2 são, respectivamente:
a) 0J e
. 103J
b) 2.000J e 2.000J
c) 200J e 15
J
d) 0J e 0J
figura 1
figura 2
5. (UNIRIO) Três corpos idênticos de massa M deslocam-se entre
dois níveis, como mostra a figura: A – caindo livremente; B – deslizando
ao longo de um tobogã; e C – descendo uma rampa, sendo, em todos os
movimentos, desprezíveis as forças dissipativas. Com relação ao trabalho
(W) realizado pela força-peso dos corpos, pode-se afirmar que:
a) WC > WB > W
C
A
B
b) WC > WB = WA
c) WC = WB > WA
d) WC = WB = WA
e) WC < WB > WA
6. (MACKENZIE-SP) O gráfico mostra a distensão (x) sofrida por
uma mola a partir de sua configuração natural sob a ação de uma força
F longitudinal. A relação entre os trabalhos necessários para distender a
mola de P a Q e de O a P é:
a) 3
b) 1/3
c) 2/3
d) 3/2
C A P Í T U L O 13
TRABALHO e energia cinética
C A P Í T U L O 13
trAbAlHo E EnErGiA CinÉtiCA
PLANEJANDO A ROTA
A N O T A Ç Õ E S
A
relação entre o trabalho das forças e a energia cinética pode
ser demonstrada através de exemplos do dia a dia, como andar de
bicicleta, de metrô etc.
INVESTIGANDO CAMINHOS
Consideremos um ciclista se deslocando numa pista plana e horizontal,
cuja resultante de todas as forças que atuam no sistema (bicicleta e ciclista)
seja representada por , paralela ao deslocamento .
Já foi dito no capítulo 12 que o trabalho da força resultante que
atua sobre um corpo equivale à variação da energia cinética deste
corpo. Você se lembra?
Neste módulo, vamos comprovar tal afirmação. Para isso, precisaremos
recordar alguns conceitos.
Vejamos: quando estudou a segunda lei de Newton (capítulo 10), você
viu que uma força paralela ao movimento, como a que atua no ciclista,
produz mudança na velocidade (aceleração), não foi? Então a segunda lei
de Newton se aplica a esta situação, certo?
-
164
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
Por outro lado, consideraremos o movimento do ciclista uniformemente
variado (capítulo 5). Logo, poderemos usar a equação de Torricelli para
calcular sua aceleração.
Acompanhe com atenção:
(
representa a força resultante)
Equação de Torricelli:
v é a velocidade final;
é a velocidade inicial; a é a aceleração;
d, o deslocamento.
Combinando estas duas equações, chegaremos à relação entre trabalho
e energia cinética.
Veja como:
Inicialmente, vamos retirar o valor de
a partir da equação de Torricelli.
Assim:
Agora vamos substituir este valor na 2ª lei de Newton:
Assim:
F . d =
Você já sabe que F . d = WR (trabalho da resultante).
Então:
Você acabou de constatar que o trabalho da resultante equivale à variação da energia cinética. A expressão, que encontramos, é chamada de
teorema da energia Cinética.
Embora esse teorema tenha sido demonstrado numa trajetória reta e
com constante, ele também é valido em trajetória curvilínea e com
força variável.
O teorema da energia cinética ajudará você a resolver inúmeros problemas de mecânica.
Vejamos alguns:
1. Qual o trabalho realizado pela força de atrito para fazer parar um
carro de massa 800kg, que se move a 10m/s?
Solução:
Primeiro vamos calcular a energia cinética inicial do carro:
Depois refletiremos: se o carro vai parar, sua velocidade final será nula
(v = 0) e sua energia cinética final também (Ecf = 0), concorda?
165
TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
Finalmente, podemos aplicar o teorema da energia cinética:
WR = Ecf – Eci
WR = 0 – 40.000 = – 40.000J
(O sinal negativo do trabalho indica que a força de atrito retirou energia
do carro.)
2. Supondo que o carro do exemplo anterior tenha parado após percorrer
20m, determine o valor da força de atrito.
Solução:
Neste caso, a força de atrito é a resultante, então:
WR = –Fat . d
–40.000 = –Fat . 20
3. Um móvel é abandonado num local situado a 40m do solo. Sabendo
que seu peso vale 30N e desprezando a resistência do ar, qual será sua
energia cinética, quando ele chegar ao solo?
Solução:
Antes de sairmos “fazendo contas”, vamos analisar os dados do problema:
• Se o móvel foi abandonado, sua velocidade inicial é nula (v0 = 0)
e, consequentemente, sua energia cinética inicial também vale
0 (Eci = 0).
• A única força que atua no móvel é o peso (a força de resistência do ar
foi desprezada), logo a força peso é a resultante.
• Como é mesmo que se calcula o trabalho do peso de um corpo em
queda? Fazendo W = P x h, certo?
Agora já podemos fazer os cálculos:
W = P x h , sendo P = 30N e h = 40m, fica:
W = 30N x 40m = 1.200J
Aplicando o teorema da energia cinética, teremos:
WR = Ecf – Eci
1.200 = Ecf – 0, logo Ecf = 1.200J
Tudo entendido? Então faça você agora.
A N O T A Ç Õ E S
-
166
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
DESAFIOS DO PERCURSO
1. Um corpo de massa m = 0,5 kg se move com velocidade constante
v0 = 2 m/s. Qual o trabalho, em joules, necessário para que esse corpo
passe a ter a velocidade v = 10m/s?
R.
2. (UNIRIO) Uma esfera de massa igual a 1 kg é lançada do alto de um
edifício verticalmente para baixo e com velocidade de 2 m/s. Ao tocar o
solo, possui velocidade igual a 20 m/s. O trabalho da resultante das forças
que atuam sobre a esfera nesse processo é:
a) 40J
b) 198J
c) 204J
d) 216J
R.
3. Um corpo de massa m = 2 kg e velocidade inicial v0 = 2 m/s desloca-se por 3m em linha reta e adquire velocidade final de 3 m/s.
a) Qual o trabalho realizado pela resultante das forças que atuam
sobre o corpo?
R.
b) Quanto vale a força resultante?
R.
4. Uma partícula, sujeita a uma força constante de 2N, move-se sobre
uma reta. A variação da energia cinética da partícula entre dois pontos, A
e B, é igual a 3J. Calcule a distância entre A e B.
R.
5. (FUVEST) Considere um bloco de massa M = 10 kg que se move
sobre uma superfície horizontal com uma velocidade inicial de 10 m/s.
Qual o trabalho realizado pela força de atrito para levar o corpo ao repouso?
R.
6. Um corpo de massa m = 2 kg move-se horizontalmente com velocidade de 3 m/s. Num dado instante, passa a atuar sobre ele uma força
, que lhe transfere 40J de energia. Determine a velocidade final adquirida
pelo corpo.
R.
167
TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
AMPLIANDO O HORIZONTE
GLOSSÁRIO
Teorema – proposição que, para ser admitida ou se tornar evidente,
necessita de demonstração.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALVARENGA, Beatriz e MÁXIMO, Antônio. Curso de Física. Scipione. I v.
GREF (Grupo de Reelaboração do Ensino de Física). Física 1
(Mecânica). São Paulo: EDUSP (Editora da Universidade de
São Paulo).
GUIMARÃES, Luiz Alberto e FONTE BOA, Marcelo. Física para o
2º grau (Mecânica). Harbra.
MEMÓRIAS DA VIAGEM
1. Um corpo de massa igual a 2 kg é abandonado do alto de um edifício.
Ao tocar o solo, a sua velocidade é de 15 m/s. O trabalho da resultante
das forças que atuam sobre o corpo nesse trajeto, vale:
a) 250J
b) 225J
c) 200J
d) 300J
2. Um carro faz uma curva numa estrada plana e horizontal, variando a
sua velocidade de 10 m/s para 20 m/s. Sabendo que a massa total do carro
é de 800 kg, calcule o trabalho da resultante das forças que atuam no carro.
a) 4 x 105J
b) 2 x 106J
c) 12 x 104J
d) 3 x108J
A N O T A Ç Õ E S
-
168
FÍSICA
A N O T A Ç Õ E S
-
3. Um corpo de massa de 2 kg, inicialmente em repouso, é puxado
sobre uma superfície horizontal sem atrito por uma força constante, também horizontal, de 4N. Qual será sua energia cinética após percorrer 5m?
a) 20J
b) 30J
c) 10J
d) 40J
4. Um carro trafega com velocidade de 72 km/h (20m/s). Quanto vale
a resultante das forças que atuam no carro para fazê-lo parar em 20m?
Massa total do carro: 1.000 kg
a) 10N
b) 102N
c) 10³N
d) 104N
5. Um carro se movimenta em linha reta, num trecho de uma estrada
plana e horizontal, com velocidade constante. O trabalho da resultante
das forças que atuam no carro nesse instante vale:
a) a massa do carro.
b) 0.
c) o peso do carro.
d) não se pode determinar.
GABARITO
capítulo 1
Desafios do percurso
1. Telefonia celular
2. Físico
3. Galileu
4. Estudo dos fenômenos, dos seres, da natureza, através de observações e experimentações,
usando um método próprio.
5. A critério.
6. A teoria geocêntrica (Terra no centro) foi substituída pela teoria heliocêntrica (Sol no centro).
7. Não, a nova teoria pode ser mais ampla que a anterior .
Memórias da viagem
1. c 2. a 3. b 4. a 5. a 6. d 7. c 8. b.
capítulo 2
Desafios do percurso
1. Método científico
2. Vermelha
3. 4ª Etapa
4. Conhecimento popular
5. Hipótese
Memórias da viagem
1. C
2. B
3. D
4. D
170
FÍSICA
capítulo 3
Desafios do percurso
1.
Vn
Vm
2.
3. módulo, direção e sentido
4. V, V, E, E.
5. 1.400km
6. m
7.
a)
RE
POA
b) Módulo
= 3.720Km
8. Módulo: V = 70cm
Sentido: de P para Q
Direção: PQ
9. vx= 25m/s e vy= 43m/s
Memórias da viagem
1. b 2. c 3. a 4. d 5. a 6. b 7. b
CAPÍTULO 4
Desafios do Percurso
1.
a) instante de tempo;
b) intervalo de tempo; c) Às 10h30min.
2. 20m/s
3. Sim, pois o intervalo de tempo é muito pequeno.
4. 90km/h.
5. 11km aproximadamente.
6. 5/6h ou 50min.
7. 10min.
8. 18min.
Memórias da viagem
1. d 2. a 3. b 4. c 5. b
171
GABARITO
capítulo 5
Desafios do percurso
1. a) 2/3m/s² b) ∆s= 2.400m c) – 2/3m/s²
2.
a) 30km; 50km/h;
b)130km
c)
3. 84 km
4. – 2m/s²
5. 28m/s
6. 90m
7. 2s
8. 3,2m
9. 4s
10. h = 0,512m
Memórias da viagem
1. d 2. e 3. c 4. d 5. a
capítulo 6
Desafios do percurso
1. c
2. a) 2πrad/h
b) πm/h
3. d
4. 2,6 . 10 – 6rad/s; 998,4m/s
5. a) 1,5m/s2; b) 2rad
6. |Ac1| > |Ac2| pois, R1 < R2 e ac = v2/R
(quanto maior o raio, menor a aceleração centrípeta)
Memórias da viagem
1. a 2. c 3. b 4. c 5. a 6. b
172
FÍSICA
capítulo 7
Desafios do percurso
1. 860m
2.
a) b) 0,5s
c) 10m/s e 0
d) 5m/s e 10m/s
3. c
4. a) 250m; b) 1.000m
5. 1,3s
6. A z 13m
Memórias da viagem
1. a 2. d 3. e 4. d 5. b 6. c
capítulo 8
Desafios do percurso
1. 8,33kgf
2. 20kgf
3.
a) 500kgf
b)
4. 2,9N
5. 10kgf
Memórias da viagem
1. b 2. a 3. d 4. b 5. d
173
GABARITO
capítulo 9
Desafios do percurso
1. F = 400N
2.RA= 5,2.104N e RB = 5,6.104N
3. F = 50N
4. VM = 5
5.
a) M = 0,24N.m
b) 50N
6. VM= 2,33
Memórias da viagem
1. d 2. b 3. a 4. c 5. a
capítulo 10
Desafios do percurso
1.
a) | | = | |, velocidade constante:
= 0;
b) no cabo.
2. a
3. Lei da ação e reação.
4. Direção e sentido: iguais aos da aceleração
. módulo: 90N
5. A resultante é o peso P = 6,5N, direção vertical, sentido para baixo.
6. e
7.
a) 2m/s2
b)8N
c) 16N
8. 7,7m/s2
9.
a) | | = | ’|, Lei da ação e reação.
b) 5/3
10. a) 20N ; 5m/s2
Memória de viagem
1. c 2. d 3. b 4. d 5. d
174
FÍSICA
capítulo 11
Desafios do Percurso
1. 360.000J ou 3,6.105J
2. Quadruplica.
3. EA = EB/2
4. 4 vezes maior.
5. 90J
6. 4 kg
Memórias da viagem
1. c 2. a 3. d 4. b 5. c
capítulo 12
Desafios do percurso
1. 400N/m
2. b
3. d
4. d
5.
a) W1 = W2
b) |F1| > |F2| na situação 2, a força F2 tem que equilibrar apenas a componente do peso que é
a direção do movimento.
6. a
Memórias da Viagem
1. b 2. c 3. b 4. d 5. d 6. a
capítulo 13
Desafios do percurso
1. 24J
2. b
3. a) 5J; b)1,6N
4. 1,5m
5. –500J
6. 7m/s
Memórias da viagem
1. b 2. c 3. a 4. d 5. b

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